鑿と構の周期律
人間の営みとしての数学史
粘土の帳簿から無限、コンピューター、そして証明をつくる人々へ。数学には何を決着させることができ、何が私たちに委ねられるのかをたどる歴史。
高度な数学の知識は必要ありません。最初から読み進めても、下にある問いから選んでもかまいません。数学そのものも、それを可能にした教室や制度、人々の人生も、この物語には欠かせません。
数、証明、伝承
数える、測る、帳簿に記す
粘土板は、人に代わって羊と穀物と工日を覚えた。同時に、何が総勘定に入り、誰がその外に置かれるのかを決め始めてもいた。
本文を読む →通約不可能
共通の物差しがなくても、比較はできる。発見、伝説、そして現代の危機の物語を分けて考える。
本文を読む →公理の構築
明示された前提は二千年にわたる疑いにさらされた。図の中で黙って使われていた資源は、別の厳密さの到来を待っていた。
本文を読む →近づいても、触れない
有限回の近似で、正確な等しさを証明できる。だが、発見するための方法が、そのまま証明になるとは限らない。
本文を読む →もう一つの判定基準
術は答えを出すだけでなく、論証の対象にもなる。元の図、紐でつながれていた順序、重なった注釈の層。そのどれもが、私たちの読み方に関わっている。
本文を読む →伝わること、名づけること
原本は失われ、人の名はアルゴリズムになった。言葉が続いているからといって、それが指すものや意味まで変わらなかったとは限らない。
本文を読む →居場所のなかった対象
不条理な数
負の項を計算できること、負の解を残せること、一群の数として認めることは、同じではない。
本文を読む →想像された量
三次方程式の実根を求める途中で、実数ではない量が必要になることがある。規則、説明、公表、そして受容は、それぞれ別の時計で進む。
本文を読む →無限小と厳密さの欠如
一人の主教が消え去る増分を問い詰める。物理学を変えた道具は、自分自身の根拠を書き直し始める。
本文を読む →追跡の終わり
一般の五次方程式を根号で解く公式を求める営みは、どう終わったのか。そして、ガロアの記録は、なぜいまなお天才神話を食い止められないのか。
本文を読む →第五公準がはじける
背理法の中で倒されるはずだった仮定が、それだけで成り立つ幾何学になるまで。モデルは、二千年にわたる立証責任をどう変えたのか。
本文を読む →無限小を「追い出す」
厳密さは、一度の追放で手に入ったのではない。極限、連続性、実数、そして教室のノートが、ともに解析の境界を変えていった。
本文を読む →無限と基礎
数えきれないもの
一対一に対応させることで無限を測る。カントールは大小を問う方法を変え、同時に、存在とは何か、何をもって証明とするのかという対立を浮かび上がらせた。
本文を読む →ゲッティンゲン
閲覧室、ゼミナール、教授のポスト、編集机、そして資格の壁。それらはどうつながり、数学の研究を次へと引き継いでいける道にしたのか。
本文を読む →集合論の危機
一通の手紙は、明確に組み立てられた一つの体系を直撃した。それでも、数学全体の仕事が止まったわけではない。パラドックス、選択、危機は、それぞれの時期を分けてたどる必要がある。
本文を読む →排中律をめぐる論争
何かが存在すると言うことと、それを構成することは、同じなのか。ブラウワーの不動点からヒルベルトの証明論へ。この論争は、人が証明に対して何を問えるかを変えた。
本文を読む →算術に算術自身を語らせる
ゲーデルは論理式と証明を自然数に符号化し、形式化された算術が自分自身について証明できることの限界を、正確に示した。その限界は理性の破産ではない。「体系」と呼ばれるあらゆるものが逃れられない運命でもない。
本文を読む →閉じた体系は買える
完全であること、決定可能であること、使えることは、同じ保証ではない。プレスバーガーから数学の機械化まで、境界と代価はそれぞれ別の帳簿に記される。
本文を読む →数学をつくる人々
すべてを空にする
祖父母の素性を問う調査票から、空になった教室まで。ゲッティンゲンの離散を記すなら、無事にたどり着いた人だけでなく、旅立ちを強いられたすべての人を数えなければならない。
本文を読む →機械
チューリングは、紙と鉛筆で計算する人の営みから一つの部分を取り出し、機械として定義した。そして、その種の機械ならどれも越えられない境界を、そこから証明した。
本文を読む →著者が消える
ブルバキは、口論と直観と没原稿から、実在しない著者をつくり上げた。書き手の名が消えるのは出来上がった本からであって、それを本にした労働からではない。
本文を読む →一人では抱えきれない証明
四色定理、有限単純群、ケプラー予想。証明が成立すること、理解できること、確かめられることは、それぞれ異なる「完成」になった。
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