数える、測る、帳簿に記す

羊と穀物では、数える記号が違った

羊の群れを、三人に分けて渡すことになった。

数字を書きつけなくても、別に困らない。羊を三つの群れに分け、少なそうなところへ、ほかから一頭連れてくる。何度か行き来すれば、それで済む。あとで聞かれても、結局何頭もらったのか、誰も正確には答えられない。それでも、その日の午後、三人から不満は出なかった。

難しいのは、別の場合だ。今年、羊の一部を納めなければならない。その頭数は、去年どれだけ未納だったかによって決まる。羊は幾つもの村に散らばり、徴収する人間はその場にいない。集めた羊は、さらに穀物に換算して配り直すことになっていて、その比率を決めたのも別の人だ。ここまで来ると、三つの群れに分けるだけでは済まない。誰かが記録しなければならない。しかもその記録は、別の人の手に渡り、別の月になっても、同じ意味に読めなければ困る。最初期の粘土板が引き受けたのは、この仕事だった。

まず、二つの記録を思い浮かべてほしい。これから描くのは、数の記し方を説明するための場面である。番号のついた現存の粘土板を二枚、一点ずつ指し示しているわけではない。

舞台を紀元前3300年ごろのウルクに置こう。手のひらに収まる粘土板に、幾つかの印が押してある。記されているのは家畜の一群で、何頭いるかが板の上に残されている。

もう一つは、同じ町の同じ時代の記録だ。こちらには、ある量の大麦の容積が記されている。現代の私たちなら、品名さえ取り替えれば、数字は同じものを使い回せるはずだと思うだろう。ところが当時は、そう簡単にはいかなかった。

誰かが書き間違えたのでも、同じ数字を違う書体で書いたのでもない。家畜の頭数を数えるのと、大麦の量を測るのとでは、そもそも別の数体系に入ることがあった。

何かの誤記のように聞こえるが、それが当時の書記体系の基本的なつくりだった。ウルクの書記官は、対象を離れてどこにでも使える一組の数字を持っていなかった。持っていたのは、幾組もの数字だった。人間や家畜のように一つずつ数えられるものには、そのための体系がある。穀物の容積には別の体系。土地の面積にもまた別の体系。長さにもある。穀物の加工品や配給食の中には、独自の繰り上がり方をするものまであった。普通の個数を数える体系と、字体だけが違う二通りの表記なのではない。別々のものだったのだ。

だから、ある記号がいくつを表すかは、何を数えているかで変わった。家畜の欄から穀物の欄へ同じ印をそっくり写しても、同じ量にはならない。粘土板を読むには、そこに載っているものが何の種類に属するのかを、まず知らなければならない。種類がわからなければ、数も宙に浮く。

書記官には、いつまでたっても換算ができなかった、という意味ではない。単位同士には関係があり、その関係は学べる。肝心なのは、換算の仕方が数そのものの内側から出てくるのではなく、外から与えられていたことだ。記号の読み方は、何を、どの単位で数えているかという縛りから、まだ完全には自由になっていなかった。

これは、きわめて実際的な問題を生む。粘土板が、それを作った部屋を一歩出ただけで、読めなくなることがある。書いた人には何を数えているかわかっているから、いちいち書かなくてよい。ところが、その書かれなかった部分こそが、数字に値を与えている。出土した地層のわからない板を前に、後世の研究者が頭を抱える。その苦労の半分は、かつての書記官が省いた手間なのである。

だからといって、この仕組みを粗末なものと思ってはいけない。実物に寄り添って育った仕組みなのだ。穀物の容積単位は実際に使う容器に従い、面積の単位は土地の測り方に従う。どの体系も、自分の受け持ちの仕事には使いやすい。羊飼いが羊を数えるのと、倉の役人が穀物を受け取るのとは、もともと別の動作だ。それぞれの動作から、それぞれの記号が積み上がってきたとしても、少しも不思議ではない。

使う側からすれば、分かれていたほうが手間の省けることさえある。一生、容積だけを扱う倉の役人に、羊まで数えられる記号は要らない。各体系は、自分に用のない部分をそぎ落としている。そのぶん、万能の体系より使いやすいこともある。厄介になるのは、二つの体系を突き合わせなければならなくなったときだけだ。そして一つの村の中では、そんな機会は多くなかった。

町では、突き合わせる機会が増える。倉があり、神殿があり、工事があり、一年じゅう出入りがある。誰が誰にどれだけ負っているかを、一緒に眺めなければならない。互いにそのまま通約できない記号が、のちに一つの仕組みへと押し込まれていく。その圧力は、ここから来た。むしろ不思議なのは、のちに本当に一つへまとめられたことであり、その出来事までは、さらに千年以上待たなければならない。

現存する最初期の粘土板に記されているのは、ほとんどが、誰がどれだけ納め、あといくら未納で、誰に何を渡したか、ということだ。後世の人間に読ませるために作られたのではない。来月になっても、きちんと確かめられるように作られたのである。

最古の書き物の五分の四以上は帳簿だった

現在、原楔形文字の資料というと、通常は約6000点の粘土板と断片を指す。そのうち約5000点はウルクそのものから出土し、残りにはジェムデト・ナスルなど、ウルクの書記の伝統が及んだ場所の資料が含まれる。従来の時期区分では、おおよそ紀元前3350年から前3000年にまたがる一群だ。

ニッセンは、この最古の文書群について、よく知られた集計を行った。経済・行政上の記録がおよそ85パーセント。語彙リストなど、行政以外の文書がおよそ15パーセントを占める。しかも、その15パーセントが増えるのは、おもに後の段階になってからだ。古い層では語彙関係の文書はごく少なく、行政の記録がほぼ圧倒している。

では、私たちが実際に手にしている最古の書き物のうち、どれほどが帳簿なのか。答えは「半分以上」ではない。「ほとんど」だ。

ただし、後世の簿記をそのまま思い浮かべてはいけない。大半は短い記録である。数量を表す記号、品物や人員を表す記号、機関や個人を示す印。それらが組み合わされている。当時の書記体系は、話し言葉の完全な文を自由に記録できるところまでは育っていなかった。むしろ構文よりも、数量、単位、物の種類のほうがはっきりしている。つまり、この仕組みがいちばん得意としたのは、何をどれだけ誰に渡したかを表すことだった。ほかのことは、まだあまり話せなかった。

人名も帳簿について入ってきた。ウルクの18枚の板に、「クシム」と読まれる同じ二つの記号が繰り返し現れる。大麦や醸造用の穀物と一緒に記され、そのうち一枚には、37か月間に扱った大麦の総量が載っている。クシムとは、人なのか、役職なのか、それとも機関なのか。わからない。この二つの記号の前後には、ほかの文字がほとんどない。よくある解釈の一つは、人名と読むものだ。もしそうなら、いま私たちが読める最古の人名は、大麦の帳簿に書かれた名前だということになる。

ここで一度、立ち止まらなければならない。85パーセントという数字が語るのは、残った資料の内訳である。粘土板は、行政の記録を残すのにとりわけ都合がよかった。なかでも、捨てられたあとに乾燥したものや、建物の火災で偶然焼き固められたものは残りやすい。一方、使い捨ての印、木材、繊維、口頭の指示、何度も練り直された練習の粘土は、同じ確率では生き残らない。出来上がって残った文書の比率から、発明した当初の動機がただ一つだったと逆算することはできない。

些細な区別に見えるかもしれない。だが、この先の言葉の使い方は、すべてここで決まる。「行政上の必要は、書記体系が形をとるうえで中心的な環境だった」。これは言える。「会計だけが文字を生んだ」。これは言えない。二つの文を隔てているのは、証拠の量ではない。その証拠に、どこまでの重さを背負わせられるかである。

ニッセン、ダメロウ、エングルンドの述べ方は、もっと慎重だ。最初期の文字の形成は、都市の諸機関による資源管理が複雑さを増していったことと、密接に結びついていた。この説明と、「人類は帳簿をつけるために文字を発明した」という説明の間には、大きな隔たりがある。前者が述べるのは環境、後者が述べるのは動機だ。そして動機については、紀元前3400年の発明者の告白は一つも残っていない。

同じ区別は、トークンにも必要になる。近東には、新石器時代から都市化の時代まで、粘土でできた小さな幾何学的な形の品が大量にある。円錐、球、円盤。それらを封じ込めた中空の粘土球や、表面に印を押した容器もある。シュマント＝ベセラは、これをもとに、数千年にわたる連続した発展の筋道を描いた。単純なトークンは商品の数量に対応し、複雑なトークンは、より入り組んだ品物の種類に対応する。トークンを粘土球に入れ、次にその表面へ印を押す。最後には二次元の圧痕が三次元の実物に取って代わり、書記体系が生まれた、というのである。

実物は確かにある。粘土球の中には、本当にトークンが入っている。だが、このつながりは、その後、一節ずつ検討し直された。形が似ていることは、働きや意味が連続していることを保証しない。分類は整いすぎており、多くのトークンには、会計と結びつく明確な出土状況がない。トークンの形と最初期の文字記号との一対一の対応も、強い主張が求めるほどには成り立たない。先史時代のこの種の物体を、すべて会計用の道具として一括して説明できるだけの証拠は、いまもない。もともと幾つもの用途を兼ねていたものも、多かったのかもしれない。

現在、比較的よく採られる整理はこうだ。一部のトークン、封泥、数量の圧印は、会計技術の系譜に属する。この控えめな見方は、かなり受け入れられている。しかし、数千年間ずっと意味が安定し、一つひとつの文字を導き出せるような、統一されたトークン体系があったという見方は、共通了解ではない。

人が工日に変わる

ウル第三王朝になると、景色は一変する。この王朝が残した行政文書は、知られているものだけでも12万点規模にのぼる。

その中でとりわけよく事情を示すのが、勘定の照合記録、あるいは精算帳である。単純な収支表ではない。責任を負う一期間を、項目に分けて計算する。まず、納めるべき総量、または達成すべき仕事の総量がある。そこから正当な支出、損耗、すでに完了した量を引く。残った差額を余剰か不足かに分け、最後に日付、責任者、精算についての説明を添える。

決定的な一手は、換算だ。労働力を、工日、つまり人一人が一日働く量へ置き換える。穀物、羊毛、織物の生産、農作業も、標準の生産率によって比較できる量に換算する。ウンマなどの文書を見ると、人員はふつう職長や監督者のもとに編成されていた。行政が知りたいのは、今日は何人来たかではない。この集団は規定どおりなら何日分の労働を納めるはずなのか、ということだった。

こうして帳簿の中心に立つのは、働く人ではなく、監督する人になる。

換算が済むと、見えなくなるものがある。今日は病気の人がいる。ほかの人より手足の動きが遅い人がいる。いちばん重い作業を受け持つ人もいる。工日という単位の中では、どれも同じだ。帳簿は違いを否定しない。ただ、その違いの居場所を設けていない。総勘定に入れるのは一つの数だけであり、いったん入ってしまえば、その先の足し算も引き算も、その数しか見ない。

シュルギ王の在位37年から40年にかけての一群の記録には、数百人の女性労働者と、彼女たちの労働および穀物に関する義務が、継続してル・ウルブという人物の名義で記されている。ミナルニの息子である。こうした文書群を見ると、職長は毎朝名前を呼んで出欠を取るだけの役ではなかったとわかる。長期にわたって勘定を預かる、責任の結節点だった。その名義の帳簿が年をまたいで現れるからこそ、後世の研究者は、この責任会計の仕組みを再構成できる。

不足は繰り越せる。足りない分は次の期への未納分として残り、超過した分は余剰に記される。次の総勘定は、前の期の残高を取り込める。こうして一人の名前が、何年もの間、帳簿の上で数字を背負って歩くことになる。

総勘定の下には、もう一層の記録が敷かれている。受領証、印章を押した証憑、小口の伝票。照合が済むまでは、どれも取っておく。精算が終わって、初めてそれらの証明としての価値が変わる。ウル第三王朝では、こうした裏づけの粘土板を容器にまとめて保存する慣行までできていた。だから一件の精算帳とは、一枚の粘土板ではない。一枚の粘土板と、一かごの粘土板なのである。

よく広まっている話がある。労働者が死ぬと、果たせなかった割当てが家族へ移された、という話だ。ここは止まって確かめなければならない。死亡や人員の交替を記した文書は、確かにある。死者の家族や孤児への配給もある。職長の勘定の不足が繰り越された例もある。だが、これらをつなげて、死者が息子に労働の債務を相続させたとするには、足りない。「誰それが死亡した」「何工日が未納である」「その未納分をこの親族に移す」の三つを同時に明記した粘土板は、いまのところ見つかっていない。確実に言えるのは、この会計の仕組みでは、勘定の不足が年度を越えて存続できた、ということだけだ。個々の労働者の未達成分が、死後、相続の規則によって家族の債務に変わったかどうかには、直接の実証がない。

この一線をつい越えてしまうのは、話があまりにもすんなりつながるからだ。生きた人間を工日に換算できる仕組みなら、そのまま債務を息子へ換算し直すことも、当然やりそうに見える。筋は美しい。しかし資料がついてこない。仕組みとして「できる」ことと、実際に「した」ことの間には隔たりがある。証拠がないとき、その隔たりをこちらで埋めてはいけない。

監督者が不足に責任を負ったことも、おおむね確かだ。ただし、それは行政上の責任を示す勘定が、その人の名義になっていたということだ。後世の民法でいう、個人の無限責任と同じではない。ル・ウルブの名義に載った不足を、本当に彼の私有財産から穴埋めさせたのか。証拠はまだ足りない。彼がミナルニの息子であることは、粘土板に書いてある。彼の家に何があったかは、一言も書いていない。

それでも、一つだけははっきりしている。この時点で、南方の一都市国家の行政は、数百人の生きた人間、その一年分の力、その人たちが食べた穀物を、すべて同じ、足したり引いたりできるものへ換算し、その結果を一人の名前の下に載せることができた。

抽象の層

紀元前三千年紀の後半から、とりわけウル第三王朝の時代には、別の方向への動きも見えてくる。書記官は、具体的な測定量をいったん抽象的な六十進法の位取り数へ変え、その抽象の層で計算を行い、終わってから実際の単位へ戻すようになっていった。

ここでは、二つのことを分ける必要がある。六十を重要な繰り上がりの節目とする数え方は、すでにウルクの時代にあった。だが数を商品の単位から本当に取り出し、同じ一組の記号で、位置に応じて六十の異なる累乗を表す仕組みが明確に現れるのは、紀元前三千年紀の後半だ。ウル第三王朝では実際の計算に入り、古バビロニアの学校で十分に成熟する。この抽象の層を支えたのは、表だった。

古バビロニアの標準的な逆数表には、一から五十九までが全部載っているわけではない。おもに載るのは、逆数を六十進法で有限の桁数で表せる数で、典型的な表は二十〜三十行ほどだ。逆数を有限の桁数で表せない数は、載せない。必要になれば、分解するなり、近似するなり、ほかの手順を使う。乗法表には、基準となる数に一連の数を掛けた結果が一行ずつ並ぶ。度量衡表は、長さ、面積、容積、重さの伝統的な単位を、抽象的な六十進法の量へ変える役を担う。学生の計算の中核となる技は、一言でいえば、割り算を逆数の掛け算へ変えることだ。暗記した、あるいは表で調べた体系の中から割る数の逆数を見つけ、それを掛ける。これらの表は、脇に添える参考資料ではない。計算そのものを成り立たせる土台だった。

学生にとっては、覚えるべきものと、できるようになることとが、一つだった。逆数表を一枚覚えれば、割り算ができる。覚えられなければ、手元の数は動かない。技は記憶の中に収まり、記憶は粘土の上で何度もやり直して鍛えられる。学校の残した粘土板の大きな部分を表が占めるのは、そのためだ。

この位取り記数法には、目につく空白がある。初期には通常、決まった小数点も、後世の意味で数の途中の空位を示すゼロ記号もない。同じ書き方が、理屈の上では六十倍にも、三千六百倍にも、六十分の一にもなりうる。書記官は、問題に出てくる単位、桁の大きさ、文脈から、絶対的な値を復元した。つまり、尺度は数の内側に書き込まれていなかった。

とはいえ、ゼロがなかったせいで書記官が明らかに計算を誤ったと証明でき、しかも写す位置がずれたなどの別の原因を除外できる粘土板は、いまのところ見つかっていない。穴はある。だが、人はどうやら、そこでつまずかなかった。

言い換えれば、この記法は仕事の一部を板の外に残していた。数は相対的な関係を受け持つ。人は、その数が穀物なのか銀なのか、倉一杯なのか一日の配給なのかを覚えておく。自分だけで完結する体系ではない。そばで人が見ていなければならない体系だった。

どの層が統一されたのかは、大事な点だ。一夜にしてすべての単位を廃止した王などいない。容積、重量、長さ、面積には、それぞれの単位が残り、商人も倉の役人も、引き続きそれを使っていた。統一されたのは計算の層である。異なる単位を、標準の換算表を通して、同じ抽象体系へ写せるようになった。度量衡表は、その二つの層をつなぐ扉だった。

現代の文献では、この標準化をまとめて「シュルギ改革」と呼ぶことがある。便利な名前ではある。だが、今日からこの単位はいくつに等しいと逐条的に宣言する、近代の度量衡法に相当するシュルギの勅令板があるわけではない。言えるのは、シュルギの長い治世のもとで、その国家が計量、租税と労役、帳簿の標準化を大きく進めたことだ。具体的にどの単位関係が王自身の命令で定められたかは、のちに統一された文書実務からさかのぼって推定している。

シュルギ本人については、実に使い勝手のよい資料もある。ただし、証拠としての格を下げて使わなければならない。シュルギ賛歌の中で王は、少年時代に学校へ通い、シュメール語とアッカド語の粘土板を扱う書記の技を学び、引き算、足し算、計算、会計に熟達したと自ら語る。別の賛歌でも、知識ある書記としてたたえられている。問題は、現存する写本の多くが古バビロニア時代の学校の写本であり、シュルギの生きた時代より、およそ二百〜三百年後に書かれたことだ。宮廷の賛歌の伝統を残している可能性はある。しかし、史実のシュルギが少年時代に本当にそうした教室に座ったという証明にはならない。今日、これらは通常、王権の理念と、理想の博学な王の像を示す資料として読まれる。履歴書としてではない。

王が、自分をたたえる詩に「帳簿をつけられる」と書かせたがる。そのことだけでも、かなりのことがわかる。

一軒の家に千四百枚の粘土板

ニップルに、一軒の住宅がある。発掘者が同じ街区の家をアルファベット順に呼んでいった中で、後ろのほうの文字を与えられた家だ。ここから出た粘土板と断片は、約1425点。その九割以上が書く練習だった。この一点で、出所のわからない多くの数学粘土板とは、事情がまるで違う。ここでは教材を、実在した家の部屋や廃棄層へ戻して考えることができる。

練習板の形だけでも、情景が浮かんでくる。ある型の板は、表の一欄に教師の手本が残り、その隣に学生の写す欄がある。裏には、以前に習った、もっと長い教材が写されることもある。小さな丸い板もある。教師が一行書き、学生がその脇で繰り返す。学生の練習欄は、しばしばならして消され、使い直されていた。

一枚の板は、何度でも使える。当時にとっては節約であり、いまの私たちにとっては損失だ。何を練習し、どこで間違え、何度直したのか。その大半は、ならされた粘土の一層とともに消えた。残るのは、最後に消しそびれた一回か、ようやく正しく書けたあとで、脇に置いた一枚である。

粘土板は、持った感触もずいぶん違う。イェール大学にある7289番の丸い板は直径約8センチで、片手のひらに載る。大英博物館の13901番は幅約19.4センチ、高さ11.7センチ。こちらは両手か、机が欲しくなる。書き間違えたらどうするか。まだ湿っているうちに、指か道具でならして書き直す。完全に乾けば、そう簡単には直せない。だから正式な板には、彫り直し、詰め込まれた文字、部分的にこすり消した凹凸が、よく残っている。

授業の順序は、再構成されたものだ。ティニー、ロブソン、フェルドハイスらは、板の型、文の組み合わせ、書き写す方向を手がかりに、ニップルの基礎課程の流れを組み立てた。まず、楔の形のつけ方と、一つひとつの記号の書き方を習う。次に一定の種類の記号を練習し、音節の並びを書き写し、人名の一覧や、種類別に並んだ語彙表へ進む。その先に、より複雑な語彙の連作、計量表、数字と数表がある。基礎の訓練を終えると、王の賛歌、格言、論争文学、神話を書き写し始める。

「初日から最終日まで」というこの語り方には、注が要る。手元にあるのは考古学によって再構成した順序であり、古代の時間割ではない。繰り返した学生も、飛ばした学生も、同時並行で練習した学生もいただろう。また、一軒の家の資料を、そのままバビロニア全体の教育制度に広げるべきでもない。ロブソン自身、そのような一般化に慎重である。

古バビロニア文学には、のちに「学校生活」と呼ばれるようになった対話形式の作品群があり、それ自体が学生の書き写す教材だった。その一篇は朝から始まる。学生は粘土板を持って学校へ行き、自分の板を読み上げ、昼食を取り、新しい板を用意する。家に帰ると、父親の前で、その日習ったことをもう一度そらんじなければならない。

翌朝、教師が板を点検し、抜けている箇所を見つける。最初の杖が振り下ろされる。

だが、この作品の本領は、そのあとだ。課業を受け持つ者が殴る。何を言ったかは、板が欠けていて読めない。庭を受け持つ者が殴り、自分のいない間になぜしゃべった、と問う。別の者が殴り、なぜ頭をちゃんと上げない、と問う。図を描かせる係が殴り、なぜ席を立った、と問う。門の係が殴り、なぜ外へ出た、と問う。さらに別の者が殴り、なぜそれを取った、と問う。その「それ」の名は欠けている。シュメール語の係が殴る。シュメール語を話すべきときに、アッカド語を口にしたからだ。最後は自分の教師で、字が下手だと言う。朝の一回を合わせ、一日で九回。理由は、回を追うごとに細かくなる。

その夜、子どもの父親は、その教師を家へ招く。酒と食べ物を出し、衣服も贈る。酒を飲んだ教師は、向き直って、学生をほめ始める。

あまりにも使いやすい場面で、確かめずに済ませたくなる。だからこそ、すぐに断っておかなければならない。これは学校文学の一場面であり、その日の処分記録ではない。この種の作品は古バビロニア時代に成立しており、あとで出てくるギリシア人のように千年遅れているわけではない。それでも、文学という性格は変わらない。次々と殴られる話も、教師を招いて飲食させる話も、実際の制度を材料にしているかもしれない。しかし、どの学校でも毎日こうだった、とは証明できない。

板の形そのものから独立に確かめられるのは、別の部分だ。教師の手本と学生の写しは、確かに並んでいる。学生の欄には、繰り返し、消去、書き直しが確かにある。上級の学生が文学を書き写したことも確かだ。教師が示し、学生がまねし、点検して直す。この筋道は、揺るがない。

ウルには別の家がある。現代の発掘者がつけた住所は「静かな通り7番地」。2000点を超える文書や練習資料が出土し、ク・ニンガルの一家に属していた。「世襲の書記一族の家」というおなじみの説明は、直す必要がある。ク・ニンガルと何人かの息子には、浄めの儀礼を担う祭司の身分があった。家で教えていたことは確かだが、一族全体の本業を記録係としてしまうのは、単純化が過ぎる。確認できる人物の一人が息子のウル・ナンナで、その印章には、月神に関わる祭職と、文書保管の責任者という肩書がある。

世襲だったのか、という問いには、強い家族的な継続性はあったが、法律上、外部を閉め出す資格ではなかった、と答えるのがよい。読み書きの技術、粘土板の蔵書、人脈、官職への足がかりが家に集まれば、当然有利になる。一方、名前と肩書の移り変わりを見ると、固定した書記のカーストがあったわけでもない。報酬にも共通の給与表はない。穀物、羊毛、土地からの収益、配給、職そのものまで、収入の一部になりえた。書記が尊敬されたからといって、下級の写字生まで全員豊かだったことにはならない。

学校は庶民の秀才にも開かれ、読み書きが立身出世の階段になった。この見方を直接支える証拠は、弱い。いまある学生の記録は、すでに行政や祭司職への足がかりを持つ家に、明らかに偏っている。普通の農家の子が、高度な書記教育へ進めた確率はいくらか。計算できない。

行き先のない問題

大英博物館の13901番の粘土板には、四つの欄に、正方形と長方形の辺の長さや面積を扱う24問が、単純なものから複雑なものへと並んでいる。学術的な発掘で得られた板ではなく、出土層位も確定できない。

24問を通して読むと、見逃しにくいことが幾つかある。難しさが段階的に上がっていく。同じ操作が形を変えて何度も出てくる。そして、数値が不自然なくらいきれいに選ばれている。

この段階を作るには、誰かの手が要る。二問目は一問目より少し難しく、三問目はさらに少し難しい。こんな順序は、どんな帳簿からも自然には生えてこない。どこが関門になるかを先に見定め、その関門の部分だけが違う問題を幾つも作らなければならない。作問する人の頭にあるのは、もう特定の畑や穀物倉ではない。学生がどこで引っかかるか、である。

こうした問題は、よく行政の服を着ている。田畑、煉瓦、水路、労働者、銀、穀物。書記の仕事場で扱う標準的な対象だから、問題文に出てきても少しも不自然ではない。だが、こんな問題に仕事で出くわす穀物倉の管理人はいない。与えられた寸法は、計算の手順が滑らかに進むように選んだものだ。どこかの畑を測るための寸法ではない。

イェール大学の丸い板も、同じ仲間である。直径8センチ、片手で持てる大きさで、出所はわからない。表には正方形と二本の対角線が描かれ、一つの辺に一つ、対角線の近くに二つの数が書かれている。そのうち一つは、正方形の対角線と辺との比を、きわめて高い精度で表している。裏の一部には、消した跡がある。定数表にも同じ対角線の定数が残っているから、この学生はおそらく既知の定数を使っていた。その場で自分で計算して求めたとは限らない。

この板が証明するのは、古バビロニアの人々が、正方形の対角線の関係を高い精度で扱えたことだ。ギリシア式の命題と演繹の体系を持っていたという証明ではない。後世の定理の名で呼べば、その瞬間に、知識を組織する一式の仕組みまで、こっそり持ち込んでしまう。

もっとも論争の多い一枚が、プリンプトン322である。幅約13センチ、高さ約9センチ、厚さ2〜3センチ。砂を思わせる黄色の地に、錆びた橙色や黒の斑点があり、目立つ擦り傷と、縁の欠損がある。現存するのは四欄、完全なデータ行が15行。もとは左側にも、いまは失われた部分があったのかもしれない。

来歴は順にたどれる。ジョージ・プリンプトンが、1922年から1923年ごろに古物商から買った。売り手は、センケレ、すなわち古代のラルサから出たと言った。だが、学術的な発掘記録はない。その出土地の話を、確定した出土層位の情報へ格上げすることはできない。1930年代、プリンプトンのコレクションとともに、コロンビア大学へ入った。

1945年、ノイゲバウアーとサックスが、表の数値は直角三角形の辺の長さの関係に合致すると見抜いた。この数学的構造は検算でき、そこに争いはない。争われているのは、この板が何だったのか、である。

のちに、これを三角関数表、さらには世界最古の三角関数表と呼ぶ著者が現れた。2001年から2002年にかけて再検討したロブソンは、その読み方に反対した。古バビロニアの文献には、後世の角度に対する関数表に相当する概念体系が見当たらない。その一方で、逆数の対、学校の乗法表、問題の生成、表の形式には、同じ文化の中に豊富な比較資料がある。そこから彼女は、教師が直角三角形の問題を用意するための作業表と解釈した。2017年には、厳密な六十進法の三角法の表だとする強い主張が、再び出された。

いまも、より堅実な判断は、直角三角形の関係、逆数の対、学校での作問と深く結びついた粘土板だ、というものだ。「三角関数表」と呼ぶには、古バビロニアの資料自体が与えていない概念を持ち込まなければならない。

名前の問題は、これだけではない。もとの粘土板には、記号で表した方程式はない。長さ、幅、互いに保持させる、引き剝がす、付け足す、正方形にする。アッカド語の動詞で操作を述べている。1930年代から1940年代にかけて、ノイゲバウアーとテュロー＝ダンジャンは、初めて大規模にこれらを解読し、現代の代数を使って手順を方程式へ圧縮した。数学的な構造を明らかにするうえで、この仕事は大成功だった。だが副作用もあった。読者は、その方程式が古代の書記官の頭の中にも実際にあったのだと思いやすい。のちにホイルップは言葉から読み直し、二次方程式を解いているように見える操作も、現地の言葉の意味に即せば、測れる線分や面積をつなぎ、切り、形を補うことを指す場合が多いと論じた。現在では、どちらの現代的な言語でも結果を形式化できることは、おおむね認められている。だが書記官自身が何をしていたのかを問うなら、文献学的な再構成のほうが、語彙の証拠に近い。

あの24問へ戻ろう。あれは帳簿ではない。どの精算にも入らない。同じ家々で、同じ人々の手から生まれるものが、すでに二つに分かれていた。一つは、最後に提出しなければならないもの。もう一つは、誰に提出したところで役に立たないものだ。

二つは同じ語彙を使い、同じ記号を使い、同じ粘土さえ使う。違うのは行き先だけだ。一方は倉や王室へ向かう。もう一方は、別の子どもの手へ渡る。そして後者は、作られ始めると、独自のリズムを刻むようになる。収穫の良し悪しではなく、難しいか易しいかの順に並ぶ。そのリズムが定まれば、外から命じる人はもう要らない。今年が豊作かどうかで、二問目を一問目より難しくすべきかどうかが変わることはない。

割合を出すことはできない。用途は、目録で直接数え上げられる物理的な性質ではないからだ。一枚の逆数表は学校の練習であると同時に、将来の会計にも役立つかもしれない。畑の問題がまったくの作り話でも、鍛えているのは本物の職業技能かもしれない。確かに示せるのは、おおよその規模である。知られている楔形文字の数学文書は約2000点。そのうち約1000点は翻字と翻訳が刊行され、ほぼ同数が、まだ整理を待っている。この2000点の大きな部分を、乗法表、逆数表、平方・平方根の表、計量表、そして学校の問題が占める。

帳簿の技は、何かを数え上げるために組み立てられた。ところが、しっかり立つころには、何も数え上げないものを生み始めていた。同じ家々の中で、同じ人々の手によって。

ナイルの向こうでは

エジプトの話は、まず資料数の大きな開きから始めなければならない。ファラオの全時代とそれ以後を通じ、専門の数学文書と数えられる資料は約25点。残る問題は約100問で、その圧倒的多数が二本のパピルス巻物に集中している。これに対し、楔形文字の数学文書は約2000点知られている。

この開きを理解するには、保存条件を避けて通れない。粘土は、乾かしただけでも長く残る。建物の火災が、かえって硬く焼いてくれることもある。パピルス、革、木の板は、湿った土に入れば非常に腐りやすい。そしてナイルの谷とデルタの農政を担う役所は、まさに有機物がもっとも残りにくい場所にあった。25と2000を並べて、二つの土地の数学の営みを比べる。そのとき本当に比べているのは、土壌なのだ。

もっとも重要な巻物は、リンド数学パピルスと呼ばれる。現在は幾つかに分かれている。大英博物館の第一の部分は、長さ約296センチ、高さ約32センチ。第二の部分は、長さ約198.5センチで、高さは同じく約32センチ。そのほかの断片がブルックリンにある。大きな二つの部分だけでほぼ4.95メートルになり、断片と失われた継ぎ目も含めれば、もとの巻物は広げると5メートルを超えた。ページをめくる本ではない。普通の居間の壁よりも長い、細長い巻物なのだ。

巻頭には、写した人の名、アハメスが記されている。彼は冒頭で、この巻物は、物事を探究し、さまざまな秘密を知るための、正確な計算の知を与えると宣言する。続いて、上下エジプト王アペピの在位33年に写したと、はっきり年を記す。さらに、古い写本をもとにしたこと、その古い本はニマアトラーの時代、通常はアメンエムハト3世とされる王の時代に作られたことを述べている。

その古い本は、もうない。直接の証拠は、約三百年後にアハメスが記した、この一言だけだ。一字一句写したのか、抜き書きしたのか、数値を更新したのか、幾つもの資料を継ぎ合わせたのか。確かめようがない。現在はふつう、彼の説明が伝える伝統的な年代を受け入れている。だが、言えるのはそこまでだ。

当時、書き写すことは、一段下の仕事ではなかった。写されるということは、もう一度存在させる価値があると誰かが考えた、ということだ。そして写す人には、何を残し、何を残さないかを決める機会がある。アハメスは名と年を残した。それだけでも、同じ時代に筆を持った人の圧倒的多数より、多くのものを残している。エジプトの人々自身は、子どもにどう言って、この仕事を勧めたのか。それをはっきり示す文章がある。

枠組みは、父親が息子を連れて旅に出て、道すがら、ほかの職業を一つずつけなしていくというものだ。大工は疲れ果てて腰も伸ばせない。煉瓦職人は体じゅう泥まみれだ。洗濯人はワニのそばで、一日じゅう水につかっている。漁師も、矢を作る職人も、使者も、容赦はされない。どの仕事も汚く、つらく、先の見込みもないように描かれる。一通りけなすと、父親はもう一度、結論を繰り返す。書記にかなう職業はない。

職業別の所得調査ではない。成立は中王国の伝統に属するが、残っている完全な写本や、多数の学校での写しは、おもに新王国のものだ。つまり、後の時代の子どもたちが、世代を重ねて書き写していたのは、「書記になれ」と勧める文章だった。いまではこれを風刺と読む人もいれば、書記という職業の宣伝と呼ぶほうがよいと考える人もいる。どちらにせよ、ほかの仕事についての描写を、そのまま実録とは受け取らない。

ただ、一つだけは嘘をついていない。この文章を書いた人と、それを写した子どもたちは、どちらも記号と数字を手にする側の人間だった。

新王国末期の学校用写本に、現在はランシング・パピルスと呼ばれる巻物もある。大英博物館に収蔵されている。勧め方は同じで、とくに農夫をけなすくだりが詳しい。収穫を調べに来た書記が、川岸で船を降りる。後ろには杖を持った従者と、棍棒を持ったヌビア人がいる。「穀物を出せ」と農夫に言う。「ない」と農夫は答える。するとひどく殴られ、縛られて井戸へ投げ込まれる。妻も縛られ、子どもには足枷がはめられる。巻物が繰り返し行き着く勧めは、同じだ。書記になれ。これも学問を勧める教材であり、穀物の取り立て記録ではない。だが、教材の中で船から降りて収穫を調べるのは、ほかならぬ、子どもたちに目指せと言っている種類の人間なのだ。

リンド数学パピルスへ戻ると、これも出土の来歴ははっきりしない。リンドは1858年にルクソールで主要部分を購入した。売り手はラメセウム付近から出たと言ったが、記録のある学術的発掘ではない。彼の死後、1865年ごろに大英博物館が主要部分を入手した。スミスも1860年代にルクソールで断片を買っており、のちにリンドの巻物につながるとわかった。それらは1906年、彼の娘によって寄贈された。ほかのエジプトの数学資料も、来歴も姿も、それぞれ一風変わっている。

モスクワにある巻物は、長さ約5メートルなのに、高さは4〜8センチしかない。紙というより、一本の帯だ。その上に、穀物倉の計算から面積まで、25問が詰め込まれている。底面が正方形の角錐の頂部を切り落とした立体の体積を求める問題もある。ゴレニシチェフが1893年に古物市場で買ったもので、これにも出土地点の記録はない。

パピルスではないものもある。一巻の革だ。約25センチ×43センチの革に、等しい値を持つ単位分数の分解が、何組も書かれている。リンドの資料とともに博物館へ入ったあと、ずっと巻かれたままだった。乾き切った革は硬く、もろい。無理に広げれば、そのまま壊してしまう。誰も手を出せなかった。およそ七十年、その姿で横たわり、処置を受けてようやく開かれたのは、1927年だった。

古物市場で買われた以上の資料と違い、ラフーンの一群は、記録のある発掘から得られている。ペトリーが中王国の町で掘り出したものだ。だから考古学的な文脈が明確で、どの家の、どの層から出たかがわかる。数学は、そのパピルス群の中のごく小さな一群にすぎない。

エジプトの書記には、整数にならない量を扱う独特の方法があった。一に満たない量を、ふつう、互いに異なる幾つかの単位分数の和で書く。リンドの巻頭には大きな表があり、ある種の分数を、扱える組み合わせへ分解している。かなり大きな分母まで載っている。その目的は、分数の性質を眺めて楽しむことではない。倍加、配給、割り算の際、単に半分ずつにするだけでは得られない取り分を、書記が扱えるようにすることだ。後半に並ぶ穀物、パン、ビールや労働者の配分を扱う問題でも、同じやり方が繰り返し使われる。

ラフーンの資料にも、同じ種類の、より小さな表がある。リンドの巻物より古いか、同じころのもので、出土層位も明確だ。つまり、リンドの大きな表は、孤立した発明ではない。一つの伝統だった。

この体系では、倍にする、半分にする、取り分を標準的で見分けやすい部品に書き分ける、といった操作が自然にできる。容積の単位とも組み合わせやすい。代償として、量によっては幾つもの項の和になり、どの分解を選ぶかには、訓練と表が必要になる。これを不器用だと呼ぶのは、後世の記法を物差しにしているからだ。この体系は面倒だと愚痴をこぼしたエジプトの書記の文章は、一つも残っていない。残る誤り、訂正、補助の表は、操作に腕が必要だったことを示す。しかし、使った本人が非効率だと感じていたことまでは示さない。

エジプトにも、どの帳簿にもつながらない問題がある。ひときわ目を引くのが、リンドの第79問だ。

家が七軒。どの家にも猫が七匹。どの猫も鼠を七匹にらんでいる。どの鼠も穀物の穂を七本かじっている。どの穂からも、量り升で七杯の穀物が取れる。数は一段ごとに膨れ上がり、膨れるほど話はおかしくなる。最後に聞かれるのは、全部足すと、いったいいくつになるか、である。

穀物倉の管理人は、一生かかっても、七軒の家にちょうど七匹ずつ猫がいる場面には出くわさない。家も猫も鼠も、何かを記録するために置かれたのではない。学生に七の累乗を一段ずつ計算させるために並べられた。三千五百年前、誰かが腰を下ろして冗談を考え、それを宿題にしたのである。メソポタミアと同じく、エジプトの問題でも、多くの数値が、手順どおりの計算に都合よくなるよう、わざわざ選ばれている。穀物倉が問題に出ることと、その問題が実際の穀物倉の記録であることとは、まったく別だ。

リンドの第56問から第60問は、「セケド」と呼ばれるものを扱っている。一キュビット上がるごとに、水平方向へ何掌幅、何指幅進むかで斜面を表す。後世の言葉なら勾配だが、原文は角度を使わないし、三角関数も出てこない。

古王国の建設事業については、別に、きわめて強い一次資料がある。ワディ・エル＝ジャルフで出土したメレルの日誌は、クフ王の治世後半のものだ。原文の年記は「第13回家畜調査の翌年」で、ふつう在位26年または27年に換算される。メレルが率いたのは四十人ほどの船員の組で、同じような組が四つ集まり、一つの作業隊をなしていた。日誌には、トゥーラから石灰岩を運び、水路でギザのクフ王の工事現場へ届けたことが記されている。日付、人員、配置と手配まで載っている。

メレル自身は数学者でも、後世の意味での技師でもなかった。四十人ほどを預かり、日取りどおりに石を目的地へ運ばせる監督者だった。この日誌が重要なのは、こうした工事を動かすのに、いかに多種類の記録が必要だったかを示すからだ。そして、その一項一項の後ろには、計算のできる人間が要る。計算ができたからといって、問題を書いたことがあるとは限らない。問題を書いた人が、船荷を一度でも監督して運んだとは限らない。採石場の痕跡、作業隊の印、労働者の集落も残っている。工事の組織性に疑いはない。

ただし、クフ王の時代の勾配計算表は、一枚も残っていない。リンドの巻物は、クフ王よりほぼ千年も後だ。ピラミッドの実際の斜面を、後世のセケド単位で逆算することはできる。幾つかの勾配は、掌幅と指幅の関係がきれいにそろう。古王国の建築家が、それに相当する何らかの勾配制御の技術を持っていたと考えるのは、きわめて合理的だ。しかし実測値から逆算して、リンドの第56問と同じ手順で設計したのだと言うなら、なお推論である。古代エジプトの建築図を研究する学者は、残っている下図の多くは、後世の意味での縮尺を備えた施工図ではない、と注意を促している。

エジプトの容積計量には、別の単位体系もあった。「ヘカト」という量を、さらに半分、また半分へと分けていく。穀物、配給、容積の換算で実際に使われ、リンドの巻物にも、それらの単位をどう換算するかを示す問題がある。この半分ずつの分数は、のちに実に美しい話へと結びつく。その話は、あとで扱おう。

アハメスの名は、巻頭に残っている。彼は、自分を数学者とは呼ばなかった。その言葉が作られるまでは、まだ長く待たなければならない。彼が名乗ったのは、書き写す者だった。

私は思う

幾何学の起源について、もっとも広く知られる物語の一つは、ヘロドトスに由来する。

彼の記述では、エジプトのある王が土地を等しい正方形に分け、毎年地代を取り立てていた。ナイルが誰かの土地の一部を流してしまうと、王は人を送り、残った面積を測らせ、それに応じて地代を減らした。そこへヘロドトスは一言、趣旨としてはこう付け加える。幾何学はこのようにして発見され、のちにギリシアへ伝わったのだと、私は思う。この話には、二つ、確かめるべき点がある。

一つ目は、時間だ。ヘロドトスが書いたのは、紀元前五世紀の半ばごろである。彼の描く王に、おもに中王国の伝統が重ねられているのだとすれば、その王権の時代から約1300〜1500年隔たっている。話を古代エジプトの一般的な制度と解しても、リンドの巻物が属する伝統より千年以上遅い。

二つ目のほうが、もっと大きい。本人が断りを入れているのだ。「私は思う」という一言は、原文にちゃんとある。だから幾何学が発明された、というのは、ヘロドトスが自分の説明として書いたことだ。エジプトの文書にあった文言ではない。後世に話を伝えた人たちは、この一言を取り去った。

あるかないかで、大きく違う。残っていれば、一人の旅人が見聞きしたことから導いた推論である。取り去れば、起源についての記録になる。後者の形のほうが覚えやすく、使い勝手もよい。だから、もっと遠くまで広まった。

エジプト人が土地を測ったこと自体に、疑いはない。面積の問題も、区画の記録も、縄を張る測量も、租税や地代の文書も、すべてある。欠けているのは、「洪水が境界を消した。そこでわれわれは幾何学を発明した」と記す、エジプト自身の文書だ。

話は、あとからさらに太った。十二の結び目をつけた縄で、三・四・五の辺の長さの関係を使い、直角を取り直した。こうした細部は、ヘロドトスにもない。近現代の数学史の中で育ったものだ。

二つを並べると、順序が見えてくる。ヘロドトスの推論が書かれたのは紀元前五世紀。十二の結び目の縄が登場するのは近現代。細部へ分け入るほど、物語の年齢は若くなる。さらに、どちらよりも若い三つ目がある。先ほど、エジプトの容積単位を半分ずつ分けていく話をした。その分数を、実に見事に語る物語だ。

ホルスがセトと戦い、片目を引き裂かれる。破片は散り、それぞれが、半分ずつにした分数に対応する。二分の一、四分の一、八分の一、そして六十四分の一まで。全部をつなぎ直しても、完全な目には、ほんの少し足りない。その不足を知恵の神トートが補う。よくできすぎて、確かめる必要さえないように感じられる。分数、神話、欠けた部分、それを埋めるもの。何一つ欠けていない。しかも足りないのは、ちょうど最小の一片だ。

リッターは、この物語が現代に形作られた経緯をたどった。中王国初期の容積分数の記号は、おもに神官文字による表記であり、それを目の部品だと述べる古代の文章はない。記号を目の各部分として描く強い説が育ったのは、二十世紀初めの記号比較の中でのことだった。1920年代に、ガーディナーや数学史の教科書を通して広まり、定番になった。

ホルスの目が傷つき、修復される神話そのものは、もちろん古い。だが、六つの破片が、半分ずつの六つの分数に対応するということを、初めて明確に述べたのは現代のエジプト学である。語られる時代から、およそ三千五百年後だ。三つの物語は、一つずつ若くなる。それなのに、どれも三、四千年前のことを語っている。

この物語には、もう一つ、気づきにくい特徴がある。主人公がいない。語っているのは、エジプトであって、あるエジプト人ではない。この時代に残された名前は、あまりにも少ない。起源の話を結びつけられる人が見つからず、一本の川全体に結びつけるしかないほど、少ない。

ナイロメーターにも、同じ種類の問題がある。エジプトでは、早くから氾濫の高さを記録していた。古王国の王室年代記の伝統には、年ごとの水位の数値がある。後世の実物のナイロメーターには、柱型、階段型、井戸型など幾つもの構造があり、キュビットで目盛りが刻まれる。水位と農業の生産力は、もちろん強く結びつく。低すぎれば灌漑できる土地が足りず、高すぎれば被害が出る。国が水の状態を把握し、それをもとに収穫を見積もり、どれだけ取り立てられるかを調整したと考えるのは、合理的な再構成だ。

だが、いま扱っている時代には、「水位が何キュビットなら税率はいくら」と書けるような、ファラオ時代の税率表は残っていない。ナイロメーターの読みと税制を密接に結びつける詳しい証拠は、プトレマイオス朝、ローマ時代、とりわけイスラーム時代になると、はるかに豊富になる。今日有名なローダ島のナイロメーターそのものは、西暦861年の建造物だ。大づかみな関係は信じてよい。しかし、機械的な精密換算は、この時代の話ではない。物語から記録そのものへ目を戻すと、別のものが見えてくる。

これまでに見つかった楔形文字の書記資料は、通常50万〜100万点と見積もられ、2016年までに30万点以上が目録化されていた。そのうち数学に属するものは約2000点。ウル第三王朝の行政文書だけで、約12万点ある。一方、エジプトの専門の数学文書は約25点。この分布から、少なくとも四つの構造的な偏りが生まれる。

もっとも安上がりで、もっとも頻繁に行われた学習ほど、残りにくい。日々の湿った粘土での練習は消され、捨てられたあと乾いたものか、偶然焼き固められた板だけが、考古学の記録へ入った。エジプトの氾濫原は、ほとんど沈黙している。砂漠の墓地や、砂漠の縁の集落のほうが物を残しやすいため、現代に見える標本は、宗教、埋葬、少数の乾いた場所へと偏る。高度な文書は、日常の常識よりはるかに見えやすい。農民や商人や職長が、どう暗算し、どう結び目を作り、容器でどう目測し、口頭でどう貸し借りを覚えたか。本人の記録は、たいてい残らない。学校そのものも、記憶と口授に大きく頼っていた。教師の手本、学生の写し、文学に出てくる暗唱、繰り返し消された練習欄は、どれも間接的に口頭の教育を示す。しかし、授業の何割が口伝だったかは、計算できない。

もう一つ、誰が筆を持ったかによる偏りもある。書記の世界は男ばかりだった、という見方は成り立たない。女性書記の称号は、少なくともアッカド時代とウル第三王朝の時代に証拠があり、古バビロニア時代にはもっと明確になる。研究者は、奥書に女性の署名がある学校文書を、すでに幾つも特定している。初歩的な音節や語彙の練習から、シュメール文学まである。古バビロニアのある女性集団には、読み書きをし、財産を管理し、文書を書く実例がある。アマト・マムは、よく引かれる一人だ。

同時に、ウル第三王朝の膨大な帳簿では、女性や奴隷は、数えられる側の人だった。織物に従事する女性、従属する労働者、子どもたち。それぞれが配給と工日に換算され、監督者の名義に載る。二つのことは、同時に真実である。

記録を作るのは、筆を握る側の人間だ。だから、記録がほかの人々について黙っているのは、記録を生産する制度が残した偏りであって、人々の能力を調査した結果ではない。普通の女性や奴隷が数学の板を書く姿を帳簿でほとんど見ないから、計算できなかったのだと言うのは、推論の向きが逆である。

いちばん初めに人へ数え方を教えたのは誰か。書記の家ではない子どもは、どうやって日常の算術を覚えたのか。一度も文字にならなかった算法は、どれだけあったのか。初期エジプトの建築家は、どのような一連の手順で設計したのか。ウルクに書記体系が現れる前、口頭の会計はどう動いていたのか。どれも、わからない。生き残った一、二本のパピルスで、こうした空白を埋め尽くそうとする語りは、すべて推測である。

残った粘土板は、誰かが残す価値を認めたものか、たまたま火事で焼き固まったものだ。次の授業のために消された板は、何も残さなかった。練習欄をならして、もう一度やり直したあの子は、自分が証拠を消しているとは知らなかった。

数を計算する営みは続いている。だが、何を数学に数えるのかは、いまだ一度も、はっきり答えが出ていない。

史料と関連文献

以下は、本文の歴史的な細部と、解釈の分かれる点に関わる資料である。博物館の収蔵記録、古代の文学、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。

• ダメロウ：クシムと書記体系の起源
• ロブソン：古代イラクで数学は何に使われたか
• ロブソン：度量衡を超えて
• 大英博物館：BM 13901
• 大英博物館：リンド数学パピルス
• ロブソン：プリンプトン322の再評価
• タレ：ワディ・エル＝ジャルフのパピルス公刊資料

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