数学 · 02 / 25
通約不可能
共通の物差しがなくても、比較はできる。発見、伝説、そして現代の危機の物語を分けて考える。
この篇の目次
一 人が一人、海へ投げ込まれる
多くの人が、こんな話を聞いたことがあるだろう。
ピタゴラス学派は、万物は数であると信じていた。ところが仲間の一人が、正方形の辺と対角線には共通の物差しがないと発見する。それは学派の教義を覆す発見だった。彼は秘密を外に漏らした。そこで同門の者たちは、船の上から彼を海へ投げ込んだ。よくできた話である。教義があり、発見があり、対立があり、罰がある。順序も申し分ない。
しかも、どのくだりも一つ前ときっちり噛み合っている。万物は数だと信じていたから、発見は致命的だった。致命的だったから、秘密にしなければならなかった。その秘密を破ったから、彼は死ななければならなかった。一つでも抜けば、残りはばらばらになる。この隙間のなさ自体に、注意を向けておきたい。本当に起きた出来事は、めったにこれほど整った形をしていない。裏を取れる部分は、聞いた印象よりずっと少ない。
「万物は数である」をピタゴラス本人の言葉だとする初期史料は、一つもない。確かな出所はアリストテレスだが、彼が論じているのは「いわゆるピタゴラス派」であり、その内容も後世の教科書に出てくる一文とは大きく違う。ヒッパソスが通約不可能性を発見したと直接確認できる、信頼に足る同時代の記録もない。古代末期には、秘密の漏洩、処罰、溺死をめぐる幾通りもの伝承がある。しかし、それを根拠に、仲間が彼を船から突き落とすという現代版の場面まで確定することはできない。そして「基礎の危機」。関連する仮説はそれ以前にもあったが、後世に大きな影響を与える体系的な説明を示したのは、1928年の二人のドイツ人学者だった。
この四つのうち、いちばん新しいのは危機ですらない。仲間が彼を船から投げ落とした、という筋書きには、出所さえ見つからない。一般向けの読み物のなかで育ったものだが、何年に生まれたのか、誰も突き止めていない。
これは、散発的な手落ちの寄せ集めではない。並べてみると、一つの形が見えてくる。話をつなぐ一つ一つの輪は、その両端にある事柄よりも遅れて現れ、より整っていて、より語りやすい。
この話が二千年も生き延びたのは、誰かが繰り返し検証してきたからではない。むしろ逆だ。あまりに使いやすく、話があまりにすらすら進むので、立ち止まって確かめようという気が起きない。一息で教義と反例、対立と結末まで揃い、おまけに数学に死体を一つ添えてくれる。数学史でこんなふうに語れるくだりは、そう多くない。
ただし、その下にある事実は本物だ。正方形の辺と対角線には、確かに共通の物差しがない。紀元前四世紀にはすでに証明され、誰でも知っている定番の例として使われていた。
下の層と上の層では、証拠の強さがまるで違う。上にあるのは、ほぼすべて数百年後の伝聞だ。下にはプラトンとアリストテレスがいる。発見は本物だが、発見者が誰なのかはわからない。発見の瞬間については、何の記録も残っていない。
この一篇でやりたいのは、その二つの層を分けることだ。どこまでは確かで、どこからが後の継ぎ足しなのか。何を継ぎ足し、なぜ継ぎ足す必要があったのか。
そのためには、少し居心地の悪いことを、まず受け入れなければならない。前回は、一つ一つの説明の後ろに、重さを量れる粘土板を置くことができた。今回はそういうものがない。できるのは、それぞれの言い分に、最初に現れた年を添え、語られている出来事からどれだけ離れているかを確かめることだけだ。
そこで今回は、年代そのものが主な証拠になる。
年を順番に並べる。愚直なやり方だが、この一篇ではほかのどんな方法より頼りになる。ある話の登場が遅ければ遅いほど、途中に入り込める手は多くなる。そしてどの手にも、元の話をもう少し整えたくなる理由がある。
前回の終わりにいたのは、練習用の板をならして、もう一度やり直す子どもだった。子どもは自分の文字を消したが、粘土板は残った。三千年以上たって、誰かが土の中から掘り出し、大きさを測り、番号を付けた。
今回は、消すことのできたはずの、その板さえない。
二 名前はある。物はない
一つもない。
ピタゴラス、ヒッパソス、テオドロス、テアイテトス、エウドクソス。この五つの名の後ろには、本人の手で数学を書きつけたと確認できる物が、一点もない。欠けているのでも、読みにくいのでもない。ゼロなのだ。理由の半分は、書くための素材にある。
古典期のギリシア人がよく使った筆記具の一つに、蝋板があった。木や象牙の板に浅いくぼみを作り、蝋を流し込む。その表面を、金属や骨の尖筆で引っかいて書く。筆の反対側は平たいへらになっていて、間違えたら蝋を押しならせば跡が消える。二枚、あるいは数枚に穴をあけて、紐で綴じることもできた。繰り返し使うために作られた道具とは、つまり、何も残さないために作られた道具でもある。
蝋板に決まった規格はない。残っている実物には、手のひらに載る小片から、二、三十センチほどの複数枚綴りまである。大英博物館には、高さ約三十四センチ、幅約十六センチの象牙製筆記板の一組がある。ただし、こうした後の時代の実物を、そのまま紀元前五世紀の数学者の机に置いてはいけない。この種の道具が長く存在していたことはわかる。特定の誰かがどの型を使ったかまでは、わからない。
もう一つはパピルスだ。パピルスは湿った土の中では腐る。今日、ギリシア語のパピルスが大量に出土するのは、ギリシアではなく、乾燥したエジプトである。南イタリアやエーゲ海沿岸の気候では、この素材を保てない。
さらに徹底したものもある。古代の人は、細かな砂や塵をまいた板のように、ならせば消える面に図を描き、計算した。授業が一つ終われば、その手で消してしまう。こうした作業面には、遺物になる機会さえない。蝋はならせる。パピルスは腐る。塵の上の文字は、その日のうちに消える。数学が盛んに行われていても、考古学的な記録はほぼゼロになりうる。
ここは、逆に読み違えやすい。考古学的記録がほとんどないからといって、当時、数学がほとんど行われていなかったことにはならない。跡の残らない道具で数学をしていた、というだけのことだ。安上がりで、いつでもやり直せる作業面は、計算するにはまさにうってつけであり、後世の人に見てもらうにはまさに最悪である。残らなかった理由のもう半分は、伝えられ方にある。
現存する『原論』の完本写本のうち、年が確定している最古のものは、西暦888年、コンスタンティノープルで書き写された。パトライのアレタスの依頼を受け、ステファノスという書記が十三巻を写したものだ。彼とエウクレイデスのあいだには、千百八十年以上の隔たりがある。
それより古いものは、断片しかない。エジプトのオクシュリュンコスからは、『原論』第二巻の断片が出土している。比較的新しい古書体学上の判定では、西暦一世紀末から二世紀初頭にさかのぼるとされる。この早い年代を採っても、エウクレイデスとは四百年離れている。しかも残るのは、命題一つと図の小さな一部分だけだ。
そのあいだに何人の手を経たのか。答えはない。写本の系統をたどれば、ある一冊がどの一族に属するかはわかる。しかし、エウクレイデスから今日まで、何回書き写されたかを数えることはできない。千二百年に及ぶ書写の歴史のなかで、祖本も、大半の傍系も失われた。今見えているのは枝先だけだ。落ちた枝の数はわからない。
一人の手を通るたびに、何かが起こりうる。一行抜ける。一行重なる。用語が書き換わる。証明が補われる。図が描き直される。欄外の注記が本文に紛れ込む。命題の番号が付け直される。難しい証明が、もっと簡単な証明に取り替えられる。
エウクレイデスから今日に至る道筋を、大づかみに描くとこうなる。ギリシア語のもとの伝統が書き継がれ、西暦四世紀にテオンの編集本が現れ、それがビザンツのギリシア語写本の系統へ入る。一方、ギリシア語の本文はアラビア語世界にも入り、ハッジャージュ、イスハーク、サービトらの翻訳や改訂を通じて広まる。十二世紀以降、そのアラビア語本が、バースのアデラードらによってラテン語に移される。ルネサンス以後、ギリシア語写本とラテン語の伝統が再び合流し、やがて印刷本と近代の校訂へ続いていく。
どの区間も、一本道ではない。アラビア語の区間だけでも、翻訳本、改訂本、混成本の関係は、ほどききれないほど入り組んでいる。
数にも注意が要る。中世ギリシア語の『原論』伝本は、百点という単位で数えられる。一方、古代に本当に近いパピルスは、断片という単位でしか残っていない。史料はたくさんあるように見える。多いのは、遅い時代の側なのだ。
メソポタミアとギリシアが残したものは、ちょうど裏返しになっている。一方には物が残り、人の姿が十分に残らなかった。もう一方には人名が残り、その人が触れた紙が残らなかった。
この対照には、もう一段ある。メソポタミアに人名がないわけではない。楔形文字の伝統にも書記の署名や蔵書の記載はある。ただ、学校の練習板の多くは、もともと名を記さないものだった。同じ問題を生徒が三度書き写したところで、そこにいちいち署名はしない。反対に、ギリシアで人名が残っているからといって、その名が確かだとは限らない。ヒッパソスは格好の例だ。実在した人物が、数百年後、自分のものではない発見に結びつけられることはある。名前があると、人は安心しやすい。この一篇が扱うのは、まさに、その安心の危うさである。
メソポタミアの匿名性は不安を誘う。誰がやったかわからないからだ。ギリシアの名入りの歴史は安心を誘う。誰がやったかわかるからだ。だが、前者の不安は証拠の性質から来ており、後者の安心は語り方の習慣から来ている。作者不明の粘土板も、少なくともその時代の人が書いたことは確かだ。本に繰り返し登場する名前は、数百年後に付けられたものかもしれない。
三 古い史料ほど、数学者らしくない
ピタゴラス本人について、完全な形で現存する三つの伝記は、いずれもローマ帝政期の作品である。彼の死から約七百年ないし八百年が過ぎている。本人の著作と確認できるものはなく、同時代に生涯を通して記した伝記もない。史料を年代順に並べると、奇妙なことが見えてくる。紀元前六世紀末のクセノパネスがからかっているのは、子犬の鳴き声を聞いて、死んだ友人の魂だと気づいたというピタゴラスだ。魂の転生の話であって、数学ではない。
紀元前500年頃のヘラクレイトスは、彼を物知りで、あちこちから知識を集める人間だと攻撃した。ここからわかるのは、生前か死後まもなく、知を求める人物としてすでに有名だったということだ。幾何学上の業績が証明されるわけではない。紀元前430年代のヘロドトスも、ピタゴラス派と呼ばれるものを知っている。ただし、話題は葬儀の禁忌だ。
紀元前380年代、プラトンが彼をはっきり名指しした唯一の箇所では、その追随者たちが、ピタゴラス流の独特な生き方で知られていると述べられている。定理にも、無理量にも、和音の実験にも、一言も触れていない。
紀元前四世紀後半のアリストテレスは、「いわゆるピタゴラス派」を盛んに論じる。数、調和、宇宙論を語るが、数学上の業績をピタゴラス個人のものとすることは、ごく少ない。彼が繰り返し使うのは「いわゆるピタゴラス派」であって、「ピタゴラスはこう言った」ではない。
ところが時代が下るほど、この人物は数学者らしくなる。帝政期の伝記に入ると、彼は定理を証明し、無理量を発見し、教育課程を整え、自分の手で実験までしている。
ブルケルトは、1962年のドイツ語原著と1972年の英語改訂版で、この順序を示した。彼の議論の強みは、ピタゴラスは数学を知らなかったと断言することにはない。史料が向かう方向を指し示したことにある。数学者ピタゴラスの姿は、史料が遅い時代のものになるにつれて、少しずつ肉づけされていく。
彼は別の経路も調べた。古代の数学史家エウデモスが書いた『幾何学史』は失われており、その内容は、主として西暦五世紀のプロクロスが残した要約を通じて伝わる。そこには、ピタゴラスが幾何学を自由人の教育にふさわしい学問にし、無理量と正多面体を発見したという一文がある。長く、紀元前四世紀のエウデモスの証言として扱われてきた箇所だ。ブルケルトは、言葉遣い、構成、出典の比較から、数学上のさまざまな発明をピタゴラスに直接帰す部分は、後の伝承に属する可能性が高く、エウデモス本人の言葉として日付をさかのぼらせることはできないと考えた。
ジュムドは、この徹底した懐疑に反対する。彼の論点は、特定の後代の逸話が真実だと証明することではなく、証拠に求める水準が不合理なほど高くなっていないか、という問いにある。紀元前六世紀の史料は、あまりにも多く失われている。記述がないという理由で、初期の科学的活動のほとんどを後の時代へ送ってしまってはならない。タレスからヒッポクラテスまでのあいだに、ギリシア幾何学が、ばらばらの実用的成果から証明を伴う研究へ移っていったことは明らかだ。史料の空白は、そのまま歴史の空白ではない。
両者の本当の食い違いは、方法にある。一方は、後代に業績がすべて祖師へ帰せられていること自体を、証明しなければならない主張と見る。初期史料の沈黙は強い警告になる。他方は、これほど史料が失われた状況では、沈黙を活動がなかった証拠として扱えないと考える。
後から現れた史料をすべて取り除くと、おおよそ次のことが残る。ピタゴラスという人物がいて、紀元前六世紀末には、知恵のある人物として、並外れて広く名を知られていた。彼の名のもとに伝わる生活の規範があり、紀元前五世紀のヘロドトスも、紀元前四世紀のプラトンもそれを知っていた。おそらくサモスの出身で、四十歳前後に南イタリアのクロトンへ移り、晩年にそこを去り、メタポンティオンで死んだ。
これらの年代は、いくつかの同時代関係を照らし合わせて推定したもので、出生の記録ではない。誤差は、少なくとも十年単位で考える必要がある。
この一篇に出てくる生没年は、ほぼすべて同じように受け取ってほしい。ヒッパソスは、紀元前五世紀前半に活動したとしか言えない。テオドロスの年代は、主にプラトンの対話篇の年齢設定に依存している。テアイテトスは紀元前415年頃から369年頃と書かれることが多いが、生年は対話篇に描かれた青年の姿から逆算したものであり、死がどの戦闘と結びつくのかも、今なお解釈の問題として残る。エウクレイデスに至っては、信頼できる生没年がなく、紀元前300年頃に活動したという位置づけがあるだけだ。
こうした年は、年表を作るには便利である。ただし、現代の西暦で日付の確定した出生記録と同じように扱ってはいけない。
一方、こちらから削っておくべき文句もある。彼はあの定理を証明した。彼は無理量を発見した。彼は数学の教育課程を作った。彼は自らモノコードの実験を行った。どれも、初期史料が許す範囲を越えている。
共同体そのものはどうか。五年間の沈黙、幕越しの聴講、入会に先立つ五年間の審査、財産の共有。こうした細部が最も揃っているのは、西暦300年頃のイアンブリコスで、出来事から約八百三十年がたっている。紀元前五世紀から四世紀の文献には、このような制度の存在を証明するものがない。ただ一つ、確かなことがある。そして、それはこの一篇で、最も人間の姿が感じられる事柄でもある。
南イタリアのこのつながりは、政治的な影響力を持ち、そのために代償を払った。無理の少ない再構成をするなら、少なくとも二度の出来事に分ける必要がある。紀元前510年頃、晩年のピタゴラスはクロトンで政治的な敵対に遭い、最終的にメタポンティオンへ移った。二度目は紀元前450年頃だ。紀元前四世紀のアリストクセノスに由来する断片的な伝承によれば、ピタゴラス派がミロンの家に集まっていたところへ火を放たれ、生き残った者もいたが、その後、成員は各地に散った。
紀元前二世紀頃のポリュビオスには、もっと広く捉えた記述がある。マグナ・グラエキアのピタゴラス派の集会所が焼かれたといい、しかも集会所は複数形である。その後、各都市で殺人、派閥争い、政情の混乱が起きた。彼が書いたのは出来事から約三百年後だが、この手がかりは重要だ。教室が一つ火事になったのではない。南イタリアの複数の都市国家にまたがる、結社をめぐる危機だった。
死傷者の確かな数はない。その家が考古学的に確認されたわけでもない。「二人だけ逃げ出した」といった細部にしても、後代の異なる伝承では、生存者の名さえ一致しない。言えるのは、これだけだ。結社に属し、特定の政治的位置にいたために、一群の人々が暴力に襲われ、各地に散った。その大半は、名前も残していない。
彼らは土地の片隅にいる読書人ではなかった。クロトンもメタポンティオンも、マグナ・グラエキアの植民都市であり、タラントにはスパルタの背景があった。都市どうしは競い合い、それぞれに貴族と民衆の政治的対立を抱え、イタリアの在来の人々とも関係を結ばなければならなかった。いわゆる学派の拠点とは、実際には、独立心も闘争心も強いいくつもの都市国家である。このつながりを今いちばん慎重に言い表すなら、私的結社であり、同時に政治的なネットワークだった、となる。現代の意味での政党ではない。まして修道院ではない。
四 ある授業
この話で現場に最も近い史料は、伝記ではない。ある授業の描写だ。
プラトンの『テアイテトス』には、おそらく紀元前370年代に書かれた、こんな場面がある。若いテアイテトスは、先生のテオドロスが図を描いて証明してくれたことを思い出す。面積が三平方単位の正方形では、その辺と単位の長さは共通の物差しで測れない。五平方単位の正方形でも、測れない。先生は一つずつ例を進めていき、十七のところで、なぜか止めた。
その後、テアイテトスと仲間は一つのことを試みた。果てしなく続く個々の例を、一つの種類にまとめようとしたのだ。
プラトンの描くテアイテトスは、ずいぶん具体的な人物である。アテナイのスニオン区の出身。エウフロニオスの息子。若く、数学の才に恵まれ、顔立ちはソクラテスに似ているとまで言われる。対話篇の冒頭では、コリントス方面での戦闘で傷を負い、さらに病にもかかって、アテナイへ担ぎ戻されるところだ。
テオドロスはキュレネの人で、プラトンは年配の数学教師として描いている。プラトンはこの世代の人々とほぼ同時代に生きていたため、テオドロスが歴史上実在したことは、かなり確かである。難しいのは生没年で、対話篇の年齢設定と劇中の年代から逆算するしかない。
もう一つ、覚えておきたいことがある。この二人を、初期史料はどちらもピタゴラス派と呼んでいない。無理量を研究した人を自動的にピタゴラス派へ入れてしまうのは、後世にその名の範囲を広げる典型的なやり方だ。この場面には、確かな情報が多い。
プラトンの時代には、通約不可能性は隠すべき禁忌ではなく、教室で一例ずつ示せる課題だった。生徒の反応は恐怖ではなく、分類と一般化である。先生は、最も単純な場合、つまり正方形の辺と対角線については、あらためて教えていない。そのため、この例はすでによく知られていたのだろうと、普通は推測されている。
なぜ十七で止めたのかとなると、ほとんどすべては推測だ。ある種の余りを用いる方法で説明する人もいれば、直角三角形を次々に描いてゆく螺旋を再構成し、十七あたりでほぼ一周するからだとする人もいる。そもそもプラトンは、逆算して取り出せるような算法を埋め込んでなどいない、という考えもある。本文には方法が書かれていない。十七をどれほど美しく説明できても、その説明そのものが証拠になるわけではない。では、いちばん単純な場合の証明は、どんなものだったのか。
その骨組みを教えてくれるのは、アリストテレスの『分析論前書』である。珍しい新発見を紹介しているのではない。背理法を説明するために、正方形の辺と対角線を、手近な定番の例として取り上げている。
正方形の辺と対角線が、同じ物差しで端数なく測れると仮定しよう。すると、それぞれの線はその物差しの何倍かになり、二つの整数が得られる。まず、その二数を、両方一緒にはもう二で割れないところまで割っておく。正方形の関係から、対角線に当たる整数の二乗は、辺に当たる整数の二乗の二倍になる。したがって、対角線のほうは二乗が偶数であり、整数自身も偶数でなければならない。それをある数の二倍と書いて代入し直すと、今度は辺のほうの整数の二乗が偶数になり、こちらの整数も偶数でなければならなくなる。両方が偶数なら、まだ両方一緒に二で割れる。ところが、もう割れないところまで割ったはずだった。
だから、その物差しは存在しない。
この証明には、注目しておきたい点がある。最初から最後まで、何も実際には測っていない。数値を一つ算出したわけでもない。ただ、その物差しがあると仮定して進み、ある数が偶数であり、同時に偶数ではありえないという場所に行き着く。測れていないのではない。測ることが不可能なのだ。この二つには大きな隔たりがあり、紀元前四世紀の人は、すでに後者の側に立っていた。
一息で話し終えられるほど短い証明であり、しかも二本の線がそれぞれどれほどの長さかを知る必要がない。共通の物差しがあると仮定し、その仮定を、それ自身にぶつければいい。
アリストテレスが残したのは骨組みだけで、一歩一歩の手順ではない。同じ型の完全な証明は、『原論』第十巻の写本伝承の末尾に残り、通常、命題117と呼ばれる。ただし、ここにも一段ある。ハイベアは批判校訂版を編んだ際、これを後世の追加と判断し、エウクレイデスの本文には認めなかった。アリストテレスが触れた証明と同族であることは明らかだが、現存写本はエウクレイデス本人からすでに千年以上隔たっている。その距離を飛び越え、具体的なこの文面を紀元前五世紀にまで押し戻すことはできない。
もう一つ、言葉を覚えておきたい。ギリシア人が最初に語ったのは「無理数」ではなかった。二本の線に共通の物差しがない、ということだった。用語は否定の接頭辞と「測ること」からできていて、字義どおりなら「一緒には測れない」である。最も中立で、早い時期から確かめられる数学の言葉だ。口にしてはいけないという含みはなく、プラトンも対話篇で公然と論じている。前回、イェール大学にある円形の粘土板に触れた。紀元前十九世紀から十七世紀の書記が、そこに正方形の対角線と辺の比を、きわめて精密な数値で書き残していた。
その板がしていたのは、今の話とは違う。示しているのは、非常に精密ではあっても、有限の数値だ。共通の物差しはどんなものであれ存在しない、とは述べていないし、述べようともしていない。一方は、どう計算するかを問う。もう一方は、存在するかを問う。同じ対角線に向けられた、二つの別の問いである。
バビロニア人はすでに無理数を発見していた、と言えない理由も、ここにある。あの板の数値はきわめて精密で、今でも計算に使えば十分役に立つ。しかし、どこまで精密かと、共通の物差しがあるかどうかは、交わらない二つの問いだ。さらに百桁精密にしても、それだけで不存在の証明になるわけではない。
五 恥ずかしいのは、知らないこと
通約不可能性の発見が本当に衝撃をもたらしたのなら、紀元前五世紀から四世紀の史料に、何かが残っていてよさそうだ。
プラトンは『法律』第七巻で、名もないアテナイ人に、かなり感情のこもった言葉を語らせている。この人物は、長さや面積や体積について、こうした共通の尺度を持たない関係があることを、ずいぶん遅くまで知らず、知ったときには驚いたという。そして、このように広まっている無知を豚にたとえ、自分自身を、そしてギリシア世界全体を恥じると語る。
かなり手厳しい口調である。遠慮のない比喩を使い、恥じる対象を自分からギリシア全体にまで広げている。紀元前四世紀の史料から、感情の高ぶりと呼べそうな箇所を探すなら、これがいちばん近い。まさに、探していたもののように見える。
だが、彼が恥じているのは、通約不可能性ではない。通約不可能性を知らなかったことだ。
続けて彼は、この知識は若者が必ず受けるべき教育であり、この問題は有害でも難しくもなく、互いに問題を出し合う遊びにさえできる、と言う。老人たちの盤上遊戯より、ずっと上品な遊びになるというのだ。
この一篇で出会う紀元前四世紀の唯一の感情的な史料は、恐ろしすぎるから隠せ、と言っているのではない。これを知らない人がいるとは恥ずかしい、だから子どもに教えるべきだ、と言っている。
向いている方向は、正反対だ。危機の物語が必要とするのは、知ってしまって耐えられなくなること。この史料にあるのは、知らずにいたことこそ恥だという反応である。
しかも、どちらにも読める曖昧な一言ではない。その後に続く言葉は、一つ残らず教育のほうへ向かっている。封じ込めのほうへ向かうものは、一つもない。
アリストテレスは、いっそう平静だ。正方形の対角線の証明を、背理法の標準的な例題として扱う。その調子は、現代の論理学の教科書が例を挙げるのとまったく同じである。危機も、驚愕も、禁忌もない。残った史料を、反応に沿って並べると、次のようなつながりが見えてくる。
テオドロスは、一例ずつ証明する。テアイテトスは、無限にある個々の場合を分類する。プラトンは、若者の教育に入れるべきだと主張し、遊びながら学べるとも言う。アリストテレスは、論理の授業の手本にする。
この四人は、およそ百年にまたがっている。もしどこかの時点で恐慌が起きたのなら、この百年のどこかに現れてよさそうだ。だが、どこにも現れない。最後には、『原論』第十巻が、この主題を115の命題からなる分類理論へ広げる。全十三巻のなかで最も大きな巻となり、命題数だけで全体のほぼ四分の一を占める。
第十巻が扱うのは、後世の意味でいう無理数の小数展開ではない。線分や面積といった量のあいだにある通約可能・不可能の関係と、指定された一本の基準線に対して定義される、一揃いの分類である。後半では多くの種類を構成し、名を付け、区別し、それぞれの一意性や相互の関係を証明していく。
115の命題。それは、誰かがここを、くまなく調べ尽くせる領域として扱い、長い時間を費やしたということだ。現代の歴史家は一般に、この巻を、エウクレイデス一人がゼロから作り出したものではなく、数世代にわたる仕事の集成と考えている。沈黙は、彼らが決して驚かなかったという証明にはならない。誰も書き残さなかったことは、後世には知りようがない。
それでも、目に見えるこの連なりは、授業、証明、一般化、分類、体系化である。封鎖ではない。教室の課題になり、子どもの教育への提案になったからといって、それ以前の衝撃がなかったとまでは言えない。しかし、現存する史料は、あの基礎の危機を証明していない。
このつながりと、あの船上の話を並べると、語っている出来事が違うことに気づく。そこにある感情さえ違う。一方には沈黙、追放、神罰、溺死がある。もう一方には作図、分類、出題、遊びがある。両者の年代には五百年以上の隔たりがあり、賑やかに書かれているのは、遅いほうだ。
六 いくつもの異伝
ヒッパソスの話は、一つの物語が六通りに書き写されたものではない。もとは別々だったいくつかのモチーフが、後から少しずつ寄り集まってきたものだ。
いちばん早いのは、西暦75年から100年頃のプルタルコスである。ピタゴラス派は容易に秘密を書き記さず、隠された幾何学の理論のいくつかが、それを受け取る資格のない人に漏れた後、神意が大きな災いをもって威嚇したと伝えられる、という。名前はない。仲間による殺人もない。この時点で、想定される出来事からすでに五百二十年以上が過ぎている。
西暦190年から200年頃のクレメンスは、十二の五角形からなる球にヒッパソスを結びつけ、そこに海での死を重ねた。名を持つヒッパソスと罰が初めて結びつくのは、ここである。出来事から約六百四十年後だ。
いちばん詳しく書き、いちばん危ういのが、イアンブリコスである。著作の成立は西暦300年前後。ある箇所では、十二の五角形からなるあの構造を、ヒッパソスが最初に公表し、図示したため、不敬虔な者にふさわしい海上の運命に遭ったと述べ、同時に、本当の発見者はやはりピタゴラス本人だとも言う。別の箇所では、通約可能と通約不可能の理論を、知る資格のない者に初めて漏らした人物が、共同体に憎まれ、追放され、死んだ者として墓まで建てられたと語る。この版には名前がなく、実際の死もない。さらに先では、球に内接する十二面体を漏らした者が神の怒りに触れて海で死んだと述べ、すぐ続けて、別の人々は同じ運命を、通約不可能性を漏らした者に帰していると書く。
彼の筆のもとでは、二つの話はすでに入れ替え可能になっている。だが、まだ一つにはなっていない。この記述は、出来事から約七百五十年後だ。さらに後のパッポスは、『原論』第十巻の注釈で、無理量の公開と溺死をはっきり結びつけるが、具体的な人名のほうは、かえって安定しない。これらを並べると、きわめて控えめながら、話の成り立ちのモデルを描くことができる。
第一段階。西暦一世紀には、知識は秘密にすべきで、漏らせば神罰を招く、というモチーフがすでにある。ただし、人物、死に方、具体的な数学の内容は、まだ定まっていない。
第二段階。少なくとも二つ、もっと具体的な話が現れる。一つは、ヒッパソス、十二面体、海での死。もう一つは、名のない人物、通約不可能性、追放ないし生前の墓である。イアンブリコスが二つの版を隣り合わせに書いたことは、彼の時代には互いに置き換えられるようになっていたが、まだ合流してはいなかったことを示している。
第三段階。無理量を漏らした人物に、溺死が明確に結びつけられる。最後の一歩は、容易に踏み出せる。ヒッパソスは別の話ですでに海の死者なのだから、この二人を一人にしてしまえばいい。
ただし、ここでは慎重さが要る。年代順に並べられることと、一本道の発展が実際にあったと確定できることは、同じではない。後代の著者たちが、今は失われた、もっと古い一冊を共通して使っていた可能性も十分ある。こうした異伝を広げてみると、違いは四つの点に集まっている。
漏れた内容が揃わない。隠された幾何学の定理であったり、通約可能と通約不可能の理論であったり、十二面体であったりする。より具体的には、十二面体を球に内接させることだともいう。この三つがもともと同一の秘密だったとする初期史料は、一つもない。
人物も揃わない。プルタルコスは名を出さない。イアンブリコスも、ある箇所では匿名で、別の箇所になって初めてヒッパソスが出てくる。パッポスでも確定していない。ヒッパソスが通約不可能性の発見者であるという点は、古代のすべての異伝に共通する核ではない。
罰も揃わない。神から災いを予告される。追放される。生きているうちに墓を建てられる。海で命を落とす。仲間たちが集会で採決し、船から投げ落とすことにした、と書く版は一つもない。
罪の性質も揃わない。知る資格のない者への漏洩であったり、不敬神であったり、沈黙の掟を破ることだったり、本来ピタゴラスに帰すべき成果を公開し、個人の名声を得たことだったりする。最後のものは、すべての発見を祖師のものにする後代の伝記の思想に、とりわけよく合う。ここでもう一つ、ほどいておくべき説明がある。あまりにも見事だからだ。この種の量が宗教的な秘密だったので、ギリシア人は「語りえない数」と呼んだ、という説明である。
先に見たとおり、最も早く、最も明確な数学の用語は「一緒には測れない」であり、発言の禁忌を含んでいない。ギリシア語には確かに、別に「言えない」「言われていない」「漏らしてはならない」を表せる語があり、それに近い語族には、秘密や口外の禁止を意味するものもある。だが、この語と数学用語を混ぜ合わせ、「無理数という名前には、もともと神秘的な禁忌の意味があった」とするのは、語源の作り話だ。数学の漏洩を宗教上の冒瀆として描いたのは、五百年から八百年後の物語であって、紀元前五世紀の数学用語ではない。
では、ヒッパソスという人はいたのか。いた。しかも、証拠はそう悪くない。
アリストテレスは『形而上学』で、ヒッパソスをヘラクレイトスと並べ、火を第一原理とした人々として挙げている。想定される活動年代との隔たりは、およそ一世紀しかない。彼について最も堅い証拠である。もう一つはアリストクセノスに由来し、ヒッパソスが、直径は等しく厚さの違う四枚の青銅の円盤で、音の高さの関係を調べたというものだ。現代の実験的な検討によれば、この装置は少なくとも物理的には成立する。
つまり、初期の自然哲学に携わり、数の比の研究と関わりを持った、実在のヒッパソスがいた。
それ以外のことは、どれも安定しない。出身地、どの派に属したか、著作があったか。いずれにも相反する話がある。イアンブリコスの名簿では、彼が異なる都市に配置されてさえいる。
この人物が実在したことは、重要である。あの話が、ゼロから作られたわけではないとわかるからだ。物語は、実在の人間に生えたのである。
だからこそ、解きほぐすのがいっそう難しくなる。ヒッパソスが完全な架空の人物なら、「そんな人物は確認できない」の一言で済む。しかし、彼はいた。アリストテレスは彼の名を知っていた。取り除かなければならないのは、その人ではない。後からほかの人々が、その人にぶら下げたものだ。
七 危機は何年に作られたのか
次は、第二の層である。
「基礎の危機」という言葉が体系立てられたのは1928年、ハッセとショルツの『ギリシア数学の基礎の危機』においてだった。これも無から生まれたわけではない。タヌリはすでに1887年の『ギリシア幾何学』で、最初期のピタゴラス派の幾何学は、あらゆる量を通約可能とみなしていたのではないかと仮定し、通約不可能性の発見を、一種の論理的なスキャンダルと呼んでいた。
ハッセとショルツの論証は、非常に現代的な構造をしている。まず、初期の普遍的な算術を想定する。ピタゴラス派は、測れる世界は最終的に整数とその比で捉えられると信じていた。そこへ通約不可能性が、数の比で表せない量を持ち込む。それは体系全体を揺るがしたはずだ。続いて、エウドクソスの比例理論が修復をもたらす。信念、災厄、危機、修復。四幕が、きれいに揃う。
後にノールは、この説明の生まれた場所を指摘した。研究には、ある特定の講義という背景があった。当時はまさに、近代数学の基礎をめぐる問題が最も激しく論じられていた時期であり、ハッセとショルツ自身が、十九世紀から二十世紀の数学の基礎問題を、古代になぞらえていた。つまり、「第一次の基礎の危機」という呼び名は、初めから、現代人が自分たちの危機を捉える枠組みで古代を名づけたものだった。現代人は古代のなかに、自分たちの時代でいちばん見慣れた芝居を見つけたのである。
この仮説は、やがて別の歴史の描き方をも形づくった。通約不可能性によって数の道が閉ざされた以上、ギリシア人は代数を幾何学のなかに隠さざるをえなかった、という説明だ。証明されていない危機が、もう一つの歴史的なあり方全体を説明し始めた。
ホイルップは、この歴史叙述の歴史を振り返る際、いわゆるギリシアの基礎の危機を、端的に、仮定に基づく見立てと呼んでいる。この枠組み自体が、すでに数学史研究の対象になったのだ。反論には、いくつかの段階がある。
ノールの最初の切り込みは、いちばん単純だ。ハッセとショルツは、古代の史料から危機を証明したのではない。このような発見なら当然、危機を引き起こすはずだと、先に判断したのである。自分がピタゴラス派だったら、衝撃を受けるだろう。それは歴史の証拠ではない。
第二に、危機説が成り立つには、古い比例理論が通約不可能性に出会った途端、正常に使えなくなり、数学の営みに深刻な基礎上の障害が生じる必要がある。ところが、紀元前450年から350年までの史料には、そのような中断が見えない。ヒッポクラテスやアルキュタスの仕事は、引き続き比や比例の考え方を広く用いている。想定された麻痺の、活動上の痕跡が見つからないのだ。
第三に、ブルケルトは前提を攻める。「万物は数である」が、「すべての長さの比は整数の比である」を意味したという証拠はない。アリストテレスにおける数は、まず単位からなる多である。彼の描く存在論は、後世の教科書の「あらゆる量は有理数で書ける」という一文とは、遠く隔たっている。もしこの前提が、そもそも古代の人々の明示的な公理でなかったのなら、通約不可能性が教団の最高教義を覆した、というつながりは切れる。
つまり、最も広く流布するあの話は、最初の一つながりだけで、二度の翻訳を必要とする。まず、アリストテレスの存在論を「すべての長さの比は整数比である」と訳し、それから幾何学の反例にそれを破壊させる。最初の一歩に、古代の文献上の根拠がない。
第四に、後代の文献に秘密、神罰、死があるのは確かである。危機説が好んで挙げる、感情の証拠だ。しかし、それらが現れるのはプルタルコス以後、五百年以上遅れてからであり、語っているのは秘密の漏洩と敬虔さであって、数学の基礎に生じた論理矛盾ではない。宗教上の漏洩譚を、数学哲学の危機へ訳し替えるのは、現代の解釈である。
結局ノールは、古代の基礎の危機を、現代の作り出した虚構と呼んだ。通約不可能性は重要でない、と言いたいのではない。危機という出来事は、史料によって証明されたことがない、と言っているのだ。それは心理と制度に関わる事件のはずだが、史料のなかに見当たらない。名のある発見者は、さらに別の再構成である。1945年の論文は、その説が広く伝わるうえでの重要な節目だが、確定できる出発点ではない。
1945年、フォン・フリッツは、まさに『メタポンティオンのヒッパソスによる通約不可能性の発見』と題する論文を発表した。すでにあったヒッパソス帰属説を体系的に論じ、さらに正五角形と十二面体から、発見への道筋を説明しようとした。数学的には美しい再構成である。しかし、史料には両者を直接つなぐ一文がない。ヒッパソスが十二面体を通じて通約不可能性を発見した、という一続きの経路を、手元の史料から直接確認することはできない。古代末期の異伝を並べても、それだけで発見の過程の記録になるわけではない。
それでも、数学史の専門的な研究として発表されたため、後の教科書では、たやすく一つの事実に縮められてしまった。
二十世紀半ば以降、ギリシア数学に大革命が起きたとする大きな物語が、この名のある発見者と、ごく自然に結びついた。通史が、さらに広い読者へ運んだ。そして一般向けの読み物を通るうちに、神罰を受けて海で死ぬという古代の話は、少しずつ現代の犯罪現場へ書き換えられた。発見は船の上でなされた。ほかの者たちが彼を海へ投げ込んだ。ピタゴラス本人が死刑を言い渡した。この版ではドラマが完結している。そして、これこそが、すべての史料のなかで最も遅く、最も根拠のない層なのである。
三つのつながりの年代を、並べてみよう。
通約不可能性そのものは、紀元前五世紀。秘密の漏洩と神罰の話は、西暦一世紀以降で、五百年以上遅い。基礎の危機は、1928年。ヒッパソス帰属説を体系的に支えた重要な論証の一つは、1945年。仲間が船から投げ落とした話は、さらに遅く、しかも出所が見つからない。話は、現代に近づくほど、よくできたものになる。
八 危機を経ずに取り込む
通約不可能性は、確かに扱えるものになった。ただし、その方法は、危機の物語が思い描くものとは大きく違っていた。
『原論』第五巻には、一つの比例理論が保存されている。エウクレイデスの本文に名は記されていないが、現代の数学史では一般に、その核をエウドクソスに結びつける。いちばん巧みなのは、そもそも共通の物差しを探さず、二つの量の比を一つの数で表そうともしないところだ。
二つの比が等しいかどうかをどう決めるのか。言葉で書けば、こうなる。一組目と二組目の前の量どうしに同じ任意の整数倍を取り、後ろの量どうしにも、別に選んだ同じ任意の整数倍を取る。そして各組の中で大小を比べる。整数倍の取り方がどうであっても、一組目の前の量の倍数が、後ろの量の倍数より大きい、等しい、小さいとき、二組目の対応する倍数どうしも、必ず同じく大きい、等しい、小さいという関係になる。そのとき、二つの比は等しいとする。
これなら、二本の線に共通の物差しが永久に見つからなくても、その比を厳密に比較できる。
読んでいて回りくどく感じる定義である。比はいくつかを教えるのではなく、どの条件のもとで二つの比を等しいとするかだけを述べているからだ。口に出したかった一つのものを、確かめなければならない関係の組全体に置き換えている。二つの比が等しいかを判断するには、ありうるすべての整数倍を考えなければならない。手に入るのは厳密さで、支払うのは簡便さだ。
このやり方は、通約できる場合も、できない場合も、分け隔てなく扱う。厄介なものを消そうとはせず、存在しないふりもしない。等しさを判断する基準を取り替えたのだ。共通の尺度がなくても使える基準へと。
では、エウドクソスは通約不可能性に対処するために、こうしたのか。それを自ら語る古代の記述は残っていない。機能の面では、この方法は問題を見事に処理する。原因について言えるのは、通約不可能な量が、普遍的な比例理論を必要にした重要な背景だった、というところまでだ。危機を修復するために彼がこの定義を発明した、と書けば行き過ぎになる。むしろノールの再構成は、段階的である。テアイテトスの分類や、量を互いに引き去っていく初期の比例の方法が、しだいに技術的な限界を露呈する。エウドクソス型の理論は、適用範囲を広げる次の一歩だった、というものだ。
ここで、もう一つ、広く流布している説明を手放せる。ギリシア人は、もともとあらゆることを算術で処理していたが、無理量の発見で算術が崩壊し、幾何学へ逃げ込まざるをえなくなった、という説明だ。
いくつも辻褄が合わない。ギリシアの幾何学研究は、明らかに通約不可能性の後に初めて現れたものではない。もともと存在する伝統が、なぜ自分自身へ転向したのかを、危機で説明することはできない。『原論』第七巻から第九巻には、きわめて発達した整数論がある。互いに素、素数、最大公約数、奇数と偶数。ひととおり揃い、全465命題のなかでも、周辺的な位置にはない。そもそもギリシア人にとって、数と量は別種の対象だった。通約不可能な量のことを、新しい数を発見しながら、それを数と認めるのを拒んだのだと述べる時点で、現代の実数の観念によって、古代の概念を書き換えている。
最も大切なのは、紀元前四世紀のギリシア人が、それを避けていないことだ。第十巻の115命題は、徹底的に研究した姿である。迂回した姿ではない。
主張を弱めれば、成り立つ説明はある。通約不可能性は確かに、数と連続量の技術上の区別を強めた。そのため普遍的な比例理論には、共通の単位に頼らずに幾何学的な量を扱えることが求められた。この区別がギリシア数学の表現の仕方に影響したのは、確かである。
だが、それは数学の構造が方法を形づくったという話であり、心理的な危機による逃亡ではない。前の文は書ける。後の文は書けない。
海へ投げ込まれたあの人に戻ろう。構造に関する事実は、堅い。正方形の辺と対角線に共通の物差しはない。紀元前四世紀の人々は、それを証明し、教え、分類し、教育への提案に書き入れた。
人物をめぐる話は、足元が危うい。発見者の名は残っていない。発見の瞬間も残っていない。実在のヒッパソスはいたが、彼がこの発見の作者であると確認する、信頼できる同時代の記録はない。後代の伝説に見える結びつきは、それぞれ別に見極めなければならない。後の語りは被害者を一人補い、さらに後の語りは危機を一つ補った。
二度の補完は、同じ方向を向いている。構造上の事実には、主人公も転回もない。ただ、成り立っている。人を一人入れれば、主人公ができる。さらに崩壊を一つ加えれば、転回ができる。構造的な事実は、人がいないと物語として語り続けられない。そこで、人が一人入れられた。
この一篇は、最後までその人を見つけられなかった。見つかったのは、実在した自然哲学者、キュレネの老教師、アテナイへ担ぎ戻された若者、そして南イタリアの都市国家の争いで散り散りになった人々だった。彼らの大半は、名も残していない。この発見のために、そのうちの誰かが海へ投げ込まれたと証明する、確かな史料はない。最も堅い事実が、かえって最も物語らしくない。あることが不可能だと、誰かが証明した。その誰かが誰だったのかは、残らなかった。
そして、その不可能なことを、その後どう扱ったかは、どの版の物語よりも、持ち帰る価値がある。
共通の物差しを見つけた人は、いなかった。存在しないからだ。だからといって、この二本の線はもう比較できないと宣告した人も、いなかった。
変えられたのは、第三のものだった。二つの比が等しいとは、どういうことか。
新しい言い方は、もう物差しの在りかを問わない。求めるのは、任意の整数倍を取って試すことだけだ。そして、どう試しても、両方の大小関係が一致すること。
すると、もともと手に入らなかったものが、言い方を変えることで、手に入った。
これは、脇を通り抜けたのではない。「手に入れる」という言葉を、もう一度定義したのだ。共通の物差しがなくても、できることとして。
この動きは、この先にも何度か現れる。そのたびに、別の名をまとって。そして毎回、変わるのは手の届かなかったものではない。そこに手が届いたとする、その基準のほうである。
数の計算は、今も続いている。だが、何を数学に数え入れるのかには、まだ一度も決着がついていない。
史料と読書案内
以下の資料は、本文の歴史的な細部や、解釈の分かれる点に対応している。所蔵品の記録、古代の文献、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。