Inconmensurabilidad

1. Un hombre arrojado al mar

Hay una historia que casi todos hemos oído contar así.

Los pitagóricos creían que todo era número. Uno de ellos descubrió que el lado de un cuadrado y su diagonal no admitían una misma unidad de medida exacta. Aquello derribaba el credo de la escuela. El hombre lo contó. Entonces sus compañeros lo arrojaron al mar desde un barco. La historia no deja nada suelto: tiene un credo, un descubrimiento, un conflicto y un castigo. Hasta el orden es perfecto.

Y cada eslabón encaja en el anterior. Como todo era número, aquel hallazgo resultaba mortal. Como resultaba mortal, había que mantenerlo en secreto. Como él había revelado el secreto, merecía morir. Quita un eslabón y el resto se desarma. Esa precisión de relojería merece por sí sola cierta atención. Las cosas que realmente ocurren rara vez tienen una forma tan redonda. Y de esta historia podemos comprobar mucho menos de lo que parece al oírla.

Ninguna fuente temprana atribuye a Pitágoras en persona la frase según la cual todo es número. La referencia fiable es Aristóteles, que habla de los llamados pitagóricos, y lo que dice dista mucho de esa frase de los manuales posteriores. Tampoco hay un testimonio contemporáneo fiable que confirme directamente que Hípaso descubrió la inconmensurabilidad. En la Antigüedad tardía sí circulaban distintas leyendas de revelaciones, castigos y ahogamientos, pero no permiten dar por probada la escena moderna de unos compañeros que lo lanzan por la borda. En cuanto a la crisis de fundamentos, dos estudiosos alemanes le dieron en 1928 una formulación sistemática de enorme influencia; antes de ellos ya se habían propuesto hipótesis relacionadas.

De esos cuatro elementos, ni siquiera la crisis es el más reciente. Para el episodio de los compañeros que lo arrojan por la borda no se encuentra siquiera una fuente. Creció en la literatura de divulgación, y nadie ha logrado precisar en qué año empezó a crecer.

No son descuidos aislados. Basta colocarlos juntos para que aparezca una forma. Cada enlace surge más tarde que los dos extremos que une, más acabado y más fácil de contar.

Esta historia no ha vivido dos mil años porque alguien se haya ocupado de verificarla una y otra vez. Ha ocurrido lo contrario: servía demasiado bien, se contaba con tanta facilidad que nadie quería detenerse a comprobarla. En una sola frase ofrece un credo, un contraejemplo, un conflicto y un desenlace. Y, de paso, le pone un cadáver a las matemáticas. Hay pocos pasajes de la historia de las matemáticas que puedan contarse así.

Pero lo que hay debajo sí es cierto. El lado de un cuadrado y su diagonal no tienen una medida común. En el siglo IV a. C. eso ya se había demostrado, y la demostración se utilizaba como un ejemplo conocido por todos.

La solidez de las pruebas de una capa y de la otra es radicalmente distinta. La de arriba está hecha casi por entero de relatos escritos varios siglos después. La de abajo cuenta con Platón y Aristóteles. El descubrimiento es real; ignoramos quién lo hizo, y no quedó ningún registro del momento en que se produjo.

Este ensayo quiere separar esas dos capas. Ver cuál se sostiene, cuál se añadió después, qué se añadió al completarla y por qué hacía falta completarla.

Para hacerlo hay que aceptar antes algo poco cómodo. En el ensayo anterior, detrás de cada afirmación se podía poner una tablilla de arcilla que incluso se podía pesar. Aquí no tenemos nada parecido. Lo único que podemos hacer es poner junto a cada afirmación la fecha de su primera aparición y medir la distancia que la separa del hecho que relata.

Así, las propias fechas se convierten en la principal prueba de este ensayo.

Ordenar fechas es un método bastante tosco, pero aquí resulta más fiable que cualquier otro. Cuanto más tarde aparece una afirmación, más manos han podido intervenir entre tanto. Y cada una de esas manos tiene algún motivo para dejar la historia un poco más completa de como la encontró.

El ensayo anterior terminaba con un niño que alisaba su tablilla de ejercicios para empezar de nuevo. El niño borró lo que había escrito, pero la arcilla siguió allí. Más de tres mil años después alguien la sacó de la tierra, midió sus dimensiones y le asignó un número de inventario.

En este ensayo no nos queda ni siquiera algo que pudiera borrarse.

2. Nombres sin objetos

Ni una sola pieza.

Pitágoras, Hípaso, Teodoro, Teeteto, Eudoxo. Detrás de esos cinco nombres no hay un solo objeto matemático que podamos confirmar que escribieron de su puño y letra. No es que esté incompleto, ni que cueste descifrarlo. No hay ninguno. La mitad de la explicación está en los materiales.

Uno de los soportes habituales de escritura en la Grecia clásica era la tablilla de cera. Se practicaba una cavidad poco profunda en una tabla de madera o de marfil, se rellenaba de cera y se trazaban los signos con una punta de metal o de hueso. El otro extremo del estilete era plano, como una pequeña espátula. Si uno se equivocaba, bastaba con aplastar de nuevo la cera y la huella desaparecía. Se podían perforar dos o más tablillas y atarlas juntas. Era un objeto hecho para usarlo una y otra vez; es decir, hecho para no dejar nada.

No existía un tamaño único. Entre los ejemplares conservados hay pequeñas piezas que caben en la palma de la mano y conjuntos de varias hojas de veinte o treinta centímetros. El Museo Británico guarda un juego de tablillas de marfil de unos treinta y cuatro centímetros de alto por dieciséis de ancho. No podemos colocar sin más esos ejemplares posteriores sobre el escritorio de un matemático del siglo V a. C. Solo demuestran que ese tipo de objeto existió durante mucho tiempo, no cuál de sus variantes utilizaba una persona concreta.

Otro soporte era el papiro. En un suelo húmedo, el papiro se pudre. Los lugares donde hoy se exhuman grandes cantidades de papiros griegos no están en Grecia, sino en el seco Egipto. El clima del sur de Italia y del Egeo no conserva esas cosas.

Había una solución aún más radical. Los antiguos dibujaban figuras y hacían cálculos sobre superficies que podían alisarse: tablas cubiertas de arena fina o de una capa de polvo que, al terminar la clase, se borraban de una pasada. Esas superficies de trabajo ni siquiera tenían la oportunidad de convertirse en vestigios. La cera se alisa, el papiro se pudre y el polvo desaparece ese mismo día. Pudo haber una actividad matemática intensa y, al mismo tiempo, un registro arqueológico cercano a cero.

Es fácil leer esto al revés. Que el registro arqueológico sea casi nulo no significa que hubiera poca actividad matemática. Solo significa que se trabajaba con cosas que no dejaban huella. Una superficie de coste mínimo sobre la que se puede volver a empezar en cualquier momento es precisamente la mejor para hacer cálculos. Y precisamente la peor para que los vea la posteridad. La otra mitad de la explicación está en cómo se transmitieron los textos.

El manuscrito completo más antiguo de los Elementos que se conserva con una fecha segura fue copiado en Constantinopla en el año 888 d. C. Lo realizó un escriba llamado Esteban, por encargo de Aretas de Patras: trece libros. Entre aquel hombre y Euclides mediaban más de mil ciento ochenta años.

De épocas anteriores solo quedan fragmentos. En Oxirrinco, en Egipto, apareció parte de una hoja del libro II de los Elementos. Una datación paleográfica más reciente la sitúa entre finales del siglo I y comienzos del II d. C. Incluso tomando la fecha más temprana, la separan de Euclides cuatrocientos años. Y solo conserva una proposición y un pequeño trozo de figura.

¿Cuántas manos hubo entre medias? No tenemos respuesta. La genealogía de los manuscritos permite saber a qué familia pertenece un ejemplar, pero no contar cuántas veces se copió el texto entre Euclides y nosotros. En mil doscientos años de transmisión desaparecieron los antepasados del texto y la mayoría de sus ramas laterales. Hoy vemos las puntas del árbol. Las ramas que se cayeron ya no se pueden contar.

Y en cada cambio de manos podía pasar algo. Saltarse una línea. Copiarla dos veces. Cambiar un término, completar una demostración, volver a dibujar una figura, introducir una nota marginal en el cuerpo del texto, renumerar las proposiciones o sustituir una demostración difícil por otra más sencilla.

A grandes rasgos, el recorrido desde Euclides hasta hoy fue este. La tradición griega original siguió copiándose; en el siglo IV d. C. apareció la edición de Teón, que pasó al sistema de manuscritos griegos bizantinos. Al mismo tiempo, el texto griego entró en el mundo de lengua árabe, donde circularon las traducciones y revisiones de al-Hajjaj, Ishaq, Thabit y otros. Desde el siglo XII, las versiones árabes se vertieron al latín por obra de Adelardo de Bath y otros traductores. Después del Renacimiento, los manuscritos griegos y la tradición latina volvieron a confluir, hasta llegar a la imprenta y a la crítica textual moderna.

Ninguno de esos tramos fue una línea recta. Solo en el tramo árabe, las relaciones entre traducciones, revisiones y versiones mixtas ya son lo bastante complejas como para resultar difíciles de desenredar.

También hay que tener cuidado con las cantidades. Los testimonios griegos medievales de los Elementos se cuentan por centenares; los papiros que de verdad se acercan a la Antigüedad, por fragmentos. Parece que hay mucho material. Lo que abunda es el extremo tardío.

Por eso Mesopotamia y Grecia nos dejaron cosas exactamente opuestas. De un lado quedaron los objetos, sin suficientes personas detrás. Del otro quedaron los nombres, sin la hoja que aquellas personas tocaron.

El contraste tiene otra capa. En Mesopotamia sí hay nombres: la tradición cuneiforme conserva firmas de escribas y anotaciones de pertenencia a bibliotecas. Lo que ocurre es que muchas tablillas escolares no llevaban firma desde el principio. Un alumno copiaba tres veces el mismo problema; nadie iba a firmar aquello. A la inversa, que los griegos nos hayan dejado nombres no garantiza que la atribución sea fiable. Hípaso es el mejor ejemplo. Una persona que existió realmente puede acabar vinculada, siglos después, a un descubrimiento que no fue suyo. Un nombre da enseguida sensación de firmeza. Este ensayo trata precisamente de lo poco firme que puede ser esa sensación.

El anonimato mesopotámico nos inquieta porque no sabemos quién lo hizo. El nombre griego nos tranquiliza porque creemos saberlo. Pero la inquietud del primer caso nace de la naturaleza de la prueba; la tranquilidad del segundo, de una costumbre narrativa. Una tablilla cuyo autor ignoramos fue escrita, al menos, por alguien de aquella época. Un nombre que aparece una y otra vez en los libros puede haberse añadido varios siglos después.

3. Cuanto más antigua la fuente, menos matemático parece

Las tres biografías completas de Pitágoras que han llegado hasta nosotros se escribieron en época del Imperio romano, unos setecientos u ochocientos años después de su muerte. No hay ninguna obra que podamos atribuirle con seguridad, ni una biografía continuada de su tiempo. Si ordenamos cronológicamente todos los testimonios, ocurre algo extraño. A finales del siglo VI a. C., Jenófanes se burla de él: cuenta que, al oír los gemidos de un cachorro, reconoció el alma de un amigo muerto. Eso es transmigración de las almas, no matemáticas.

Hacia el año 500 a. C., Heráclito lo ataca por su erudición, por recoger conocimientos de todas partes. Eso prueba que ya en vida, o poco después de morir, era un buscador de saber muy conocido. No prueba ningún logro geométrico. En la década de 430 a. C., Heródoto conoce algo llamado pitagorismo; habla de prohibiciones funerarias.

En la década de 380 a. C., Platón lo menciona expresamente una sola vez. Dice que sus seguidores son célebres por una forma peculiar de vida pitagórica. Ni una palabra sobre teoremas, magnitudes irracionales o experimentos de armonía.

En la segunda mitad del siglo IV a. C., Aristóteles habla mucho de los llamados pitagóricos: de números, de armonía, de cosmología. Pero rara vez atribuye logros matemáticos directamente al individuo Pitágoras. Su expresión habitual es los llamados pitagóricos, no Pitágoras dijo.

Y después, cuanto más avanzamos en el tiempo, más se parece ese hombre a un matemático. En las biografías imperiales ya ha demostrado el teorema, descubierto las magnitudes irracionales, establecido un programa de estudios y realizado experimentos con sus propias manos.

Burkert puso esa secuencia sobre la mesa en su original alemán de 1962 y en la versión inglesa revisada de 1972. La fuerza de su trabajo no consiste en afirmar que Pitágoras no sabía matemáticas, sino en señalar una dirección: la figura de Pitágoras matemático va cobrando cuerpo a medida que las fuentes son más tardías.

Examinó además otra vía. El historiador antiguo de las matemáticas Eudemo escribió una Historia de la geometría que se ha perdido y de la que conocemos, sobre todo, un resumen conservado por Proclo en el siglo V d. C. Allí se dice que Pitágoras convirtió la geometría en una disciplina de educación liberal y descubrió las magnitudes irracionales y los poliedros regulares. Durante mucho tiempo, ese pasaje se tomó como testimonio del propio Eudemo, del siglo IV a. C. Comparando el lenguaje, la estructura y las fuentes, Burkert sostuvo que la parte que atribuye directamente a Pitágoras aquellos descubrimientos matemáticos pertenece con mayor probabilidad a una tradición posterior. No se le puede poner retrospectivamente la fecha ni la firma de Eudemo.

Zhmud se opone a un escepticismo tan intenso. Su objeción principal no es demostrar que una determinada historia tardía sea cierta, sino preguntar si el umbral de prueba se ha elevado hasta un nivel poco razonable. La pérdida de materiales del siglo VI a. C. fue enorme. Su silencio no permite desplazar casi toda la actividad científica temprana a épocas posteriores. Entre Tales e Hipócrates, la geometría griega pasó claramente de resultados prácticos dispersos a una investigación basada en demostraciones. Un vacío en las fuentes no equivale a un vacío en la historia.

El verdadero desacuerdo es metodológico. Para una parte, la atribución tardía de todos los logros al fundador es una afirmación que necesita probarse; el silencio de las fuentes enciende una alarma poderosa. Para la otra, cuando se ha perdido tantísimo material, ese silencio no puede tomarse como prueba de que no hubo actividad.

Si retiramos todas las fuentes tardías, lo que queda es, aproximadamente, esto. Hubo un hombre llamado Pitágoras que a finales del siglo VI a. C. ya gozaba de una fama de sabio extraordinariamente extendida. Hubo una manera de vivir transmitida en su nombre: la conocía Heródoto en el siglo V a. C., y la conocía Platón en el IV. Probablemente procedía de Samos; hacia los cuarenta años se trasladó a Crotona, en el sur de Italia, salió de allí ya anciano y murió en Metaponto.

Esas fechas se calculan a partir de varias coincidencias cronológicas, no de registros de nacimiento. El margen de error se mide, como mínimo, en décadas.

Así deben entenderse casi todas las fechas de nacimiento y muerte de este ensayo. De Hípaso solo podemos decir que estuvo activo en la primera mitad del siglo V a. C. Las fechas de Teodoro dependen sobre todo de la edad que le asignan los diálogos de Platón. De Teeteto suele darse una vida aproximada entre 415 y 369 a. C., pero el año de nacimiento se calcula retrospectivamente a partir del joven que aparece en el diálogo, y sigue discutiéndose con qué campaña militar estuvo relacionada su muerte. De Euclides ni siquiera tenemos fechas fiables de nacimiento y muerte: solo podemos situar su actividad hacia el 300 a. C.

Esas fechas sirven muy bien para ordenar una cronología. No hay que confundirlas con partidas de nacimiento de nuestro calendario actual.

En cambio, sí conviene borrar expresamente estas frases: demostró aquel teorema; descubrió las magnitudes irracionales; estableció un programa de estudios matemáticos; realizó personalmente experimentos con un monocordio. Todas ellas van más allá de lo que permiten las fuentes tempranas.

En cuanto a la propia comunidad, el relato más completo de sus cinco años de silencio, las lecciones tras una cortina, los cinco años de examen previo al ingreso y la propiedad común procede de Jámblico, que escribió hacia el 300 d. C., unos ochocientos treinta años después de los hechos. Ningún texto de los siglos V o IV a. C. demuestra que existiera un régimen así. Hay, sin embargo, un hecho sólido. Y es uno de los más humanos de todo este ensayo.

Aquella red del sur de Italia tenía influencia política, y pagó por ella. Una reconstrucción razonable debe distinguir al menos dos oleadas. Hacia el 510 a. C., Pitágoras, ya al final de su vida, encontró oposición política en Crotona y acabó trasladándose a Metaponto. La segunda oleada se sitúa hacia el 450 a. C. Según la tradición fragmentaria de Aristóxeno, autor del siglo IV a. C., prendieron fuego a la casa de Milón mientras los pitagóricos estaban reunidos allí. Hubo supervivientes; los miembros de la comunidad se dispersaron después.

Polibio, que escribió aproximadamente en el siglo II a. C., ofrece un relato más general. Dice que se incendiaron las sedes de los pitagóricos en la Magna Grecia, en plural, y que después hubo asesinatos, luchas de facciones e inestabilidad política en las ciudades. Escribía unos trescientos años después de los hechos, pero esa indicación importa: aquello no fue el incendio de un aula. Fue una crisis de las asociaciones que atravesó varias ciudades-Estado del sur de Italia.

No hay cifras fiables de muertos y heridos. La arqueología no ha identificado aquella casa. Detalles como que solo escaparon dos personas aparecen en distintas versiones tardías, y ni siquiera coinciden los nombres de los supervivientes. Solo podemos decir esto: un grupo de personas sufrió una agresión violenta por su asociación y su posición política, se dispersó y, en su mayoría, no nos dejó su nombre.

No eran estudiosos marginales en aquellas ciudades. Crotona y Metaponto eran ciudades coloniales del mundo de la Magna Grecia; Tarento tenía raíces espartanas. Competían entre sí, vivían sus propios conflictos entre aristócratas y pueblo, y además debían relacionarse con los pueblos autóctonos de Italia. Lo que llamamos sede de la escuela eran, en realidad, varias ciudades-Estado independientes y belicosas. La descripción más prudente de esa red es la de una asociación privada que era también una red política. No un partido en el sentido moderno, y mucho menos un monasterio.

4. Una clase

En toda esta historia, el testimonio que más nos acerca a una escena real no es una biografía. Es la descripción de una clase.

En el Teeteto, escrito probablemente en la década de 370 a. C., Platón presenta una escena. El joven Teeteto recuerda cómo su maestro Teodoro les hacía demostraciones con figuras. El lado de un cuadrado de tres unidades cuadradas de área no admite una medida común con la unidad de longitud. El de un cuadrado de cinco unidades cuadradas, tampoco. El maestro sigue, ejemplo a ejemplo, hasta llegar al diecisiete. Y allí, por alguna razón, se detiene.

Entonces Teeteto y su compañero intentan algo: reunir aquella sucesión interminable de casos particulares en una sola clase.

Platón da a Teeteto unos rasgos muy concretos. Es ateniense, del demo de Sunio, hijo de Eufronio, joven y con un talento excepcional para las matemáticas. Hasta se dice que se parece físicamente a Sócrates. Al comienzo del diálogo acaba de resultar herido en una campaña por la zona de Corinto, ha enfermado además y lo llevan de regreso a Atenas.

Teodoro es de Cirene, y Platón lo retrata como un profesor de matemáticas ya mayor. Platón fue casi contemporáneo de aquella generación, por lo que la existencia de Teodoro como personaje histórico resulta bastante segura. Lo difícil es fechar su nacimiento y su muerte. Solo cabe deducirlos de su edad en el diálogo y de la fecha en que se sitúa la escena.

Hay otro detalle que conviene anotar. Ninguna fuente temprana llama pitagórico a ninguno de los dos. Convertir automáticamente en pitagórico a quien estudia magnitudes irracionales es una manera típica, posterior, de ensanchar esa etiqueta. Este pasaje contiene muchísima información firme.

En tiempos de Platón, la inconmensurabilidad no era un tabú escondido. Era un asunto que podía demostrarse en clase, caso por caso. La respuesta de los alumnos no era el espanto, sino la clasificación y la generalización. El maestro no volvía a explicar el caso más sencillo, el del lado de un cuadrado y su diagonal. De ahí suele inferirse que ese ejemplo ya era bien conocido.

Sobre por qué se detuvo en el diecisiete, casi todo son conjeturas. Unos proponen un método basado en restos; otros reconstruyen una espiral formada por sucesivos triángulos rectángulos que, al llegar al diecisiete, casi ha completado una vuelta. Otros creen que Platón no dejó oculto ningún algoritmo que nosotros podamos reconstruir al revés. El texto no dice qué método se empleaba. Una explicación elegante del diecisiete no constituye, por sí sola, una prueba histórica. ¿Cómo era entonces la demostración del caso más sencillo?

Aristóteles nos deja ver su estructura en los Analíticos primeros. No está presentando un descubrimiento sorprendente. Está explicando la reducción al absurdo, y el lado y la diagonal del cuadrado son el ejemplo habitual que tiene a mano.

Supongamos que una misma medida cabe un número exacto de veces en el lado de un cuadrado y en su diagonal. Tendremos, por tanto, dos números enteros. Dividámoslos a ambos por dos tantas veces como sea posible, hasta que ya no podamos seguir haciéndolo. Por la relación geométrica del cuadrado, el cuadrado del entero correspondiente a la diagonal es el doble del cuadrado del entero correspondiente al lado. Ese cuadrado es, pues, par, y el entero cuyo cuadrado es par también tiene que ser par. Escribámoslo como el doble de otro número y sustituyámoslo en la relación. Resulta entonces que el cuadrado del entero correspondiente al lado también es par; por tanto, ese entero también lo es. Los dos son pares: podemos volver a dividirlos a ambos por dos. Pero ya habíamos llegado al punto en que eso era imposible.

Así que esa medida común no existe.

Hay algo en esta demostración que merece atención. No mide nada en ningún momento, ni calcula el valor de ningún número. Se limita a suponer que existe una medida común y a seguir las consecuencias de esa suposición hasta llegar a un número que debe ser par y a la vez no puede serlo. No es que no hayamos conseguido medirlo: es que resulta imposible medirlo así. Entre ambas cosas hay una distancia enorme, y en el siglo IV a. C. ya se había llegado a la segunda.

La demostración es tan breve que puede contarse de un tirón. Tampoco necesita saber cuánto miden esas dos líneas. Solo necesita suponer que existe una medida común y dejar que esa suposición choque consigo misma.

Aristóteles da únicamente el esqueleto, no cada uno de los pasos. Una demostración completa semejante se conserva al final de la tradición manuscrita del libro X de los Elementos y suele conocerse como la proposición 117. Pero aquí hay otra capa. Al preparar su edición crítica, Heiberg la consideró una adición posterior y no la admitió como parte del texto de Euclides. Es evidente que pertenece a la misma familia que la mencionada por Aristóteles. Sin embargo, entre Euclides y los manuscritos conservados hay más de mil años. No podemos saltarnos esa distancia y llevar después ese texto concreto hasta el siglo V a. C.

También conviene recordar una palabra. Lo primero que dijeron los griegos no fue números irracionales. Dijeron que dos líneas no tenían una medida común. El término combinaba un prefijo negativo con la idea de medida: literalmente, que no pueden medirse conjuntamente. Es el término matemático más neutro y el más antiguo del que tenemos constancia segura. No contiene ninguna idea de palabra prohibida, y Platón lo trata abiertamente en sus diálogos. En el ensayo anterior vimos la tablilla circular de Yale, donde un escriba de entre los siglos XIX y XVII a. C. anotó un valor extraordinariamente preciso para la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado.

Aquella tablilla no hacía esto. Daba un valor numérico muy preciso, pero finito. No afirmaba, ni pretendía afirmar, que no existiese ninguna medida común. Un problema pregunta cómo calcular; el otro, si algo existe. La misma diagonal, dos preguntas distintas.

La distinción explica también por qué no podemos decir que los babilonios ya habían descubierto los números irracionales. El valor de aquella tablilla es tan preciso que aún hoy serviría para hacer cálculos. Pero el grado de precisión y la existencia de una medida común son cuestiones que no se cruzan. Añadir otros cien dígitos de precisión no produciría, por sí solo, una demostración de inexistencia.

5. La vergüenza de no saber

Si el descubrimiento de la inconmensurabilidad provocó realmente una conmoción, algo debería haber quedado en los testimonios de los siglos V y IV a. C.

En el libro VII de las Leyes, Platón pone en boca de un ateniense anónimo unas palabras muy cargadas de emoción. El ateniense dice que supo muy tarde que existían esas relaciones de inconmensurabilidad en las longitudes, las áreas y los volúmenes, y que enterarse lo sorprendió mucho. Compara aquella ignorancia general con la de los cerdos y declara sentir vergüenza de sí mismo y de todo el mundo griego.

El tono es fuerte. La comparación no tiene nada de amable, y la vergüenza se extiende desde él hasta toda Grecia. Si buscamos en el siglo IV a. C. un pasaje al que podamos llamar exaltado, este es el mejor candidato. Parece justamente el testimonio que necesitábamos.

Pero lo que le avergüenza no es la inconmensurabilidad. Es no conocerla.

Acto seguido dice que ese conocimiento debe formar parte de la educación de los jóvenes, que el asunto no es dañino ni difícil y que incluso pueden proponerse problemas unos a otros como un juego, mucho más noble que los juegos de tablero de los ancianos.

En todo nuestro recorrido, el único testimonio emotivo del siglo IV a. C. no dice que aquello fuera tan terrible que hubiera que ocultarlo. Dice que resulta vergonzoso que aún haya quien no lo sepa y que, por eso, los niños deberían aprenderlo.

Las dos direcciones son exactamente opuestas. El relato de la crisis necesita a alguien incapaz de soportar lo que acaba de saber. Este testimonio habla de lo bochornoso que es no saberlo.

Y no es una frase que pueda interpretarse de cualquiera de las dos maneras. Todas las que vienen después apuntan hacia la enseñanza. Ni una sola apunta hacia la prohibición.

Aristóteles es todavía más sereno. Emplea la demostración de la diagonal del cuadrado como ejemplo habitual de reducción al absurdo, con el mismo tono con que lo haría un manual moderno de lógica. Sin crisis, sin espanto, sin tabú. Si ordenamos los testimonios conservados según la reacción que muestran, aparece esta cadena.

Teodoro demuestra un caso tras otro. Teeteto clasifica infinitos casos particulares. Platón exige que el asunto entre en la educación de los jóvenes y añade que puede aprenderse jugando. Aristóteles lo utiliza como ejemplo en una lección de lógica.

Esas cuatro personas abarcan aproximadamente un siglo. Si en algún momento el descubrimiento causó pánico, ese pánico debería aparecer en algún punto de aquellos cien años. No aparece en ninguno. Finalmente, el libro X de los Elementos lo convierte en una teoría de clasificación de ciento quince proposiciones: el libro más extenso de los trece, con casi una cuarta parte del total de proposiciones.

El libro X no estudia la expansión decimal de los números irracionales en el sentido que les daríamos después. Estudia las relaciones de conmensurabilidad e inconmensurabilidad entre magnitudes como segmentos y áreas, y un sistema entero de clases definidas respecto de un segmento de referencia elegido. Buena parte de su segunda mitad se dedica a construir, nombrar y distinguir tipos, y a demostrar después la unicidad de cada uno y sus relaciones mutuas.

Ciento quince proposiciones significan que alguien trató el asunto como un campo que podía explorarse hasta el final, y que le dedicó mucho tiempo. Los historiadores modernos suelen considerar ese libro una recopilación del trabajo de varias generaciones, no una invención de Euclides desde cero. El silencio no demuestra que jamás se conmocionaran. Lo que nadie escribió no está al alcance de quienes venimos después.

Pero la secuencia que sí podemos ver es de enseñanza, demostración, generalización, clasificación y sistematización. No de censura. Que acabara convertido en ejercicios de clase y en una recomendación para la educación infantil no descarta que antes hubiera habido alguna conmoción. Lo que ocurre es que las fuentes conservadas no prueban aquella crisis de fundamentos.

Si ponemos esta cadena junto a la historia del barco, vemos que no cuentan lo mismo. Ni siquiera expresan la misma emoción. De un lado, silencio, expulsión, castigo divino y ahogamiento. Del otro, figuras, clasificaciones, problemas y juegos. Entre ambas series de testimonios hay más de quinientos años, y la más tardía es la que tiene más espectáculo.

6. Versiones distintas

La historia de Hípaso no consiste en seis copias de un mismo relato. Consiste en varios motivos originalmente distintos que, con el tiempo, fueron acercándose.

El primero aparece en Plutarco, entre los años 75 y 100 d. C. Dice que los pitagóricos no ponían fácilmente sus secretos por escrito y que, cuando algunas teorías geométricas reservadas se revelaron a personas indignas de recibirlas, se decía que la divinidad había amenazado con enormes calamidades. No hay ningún nombre. No hay un asesinato entre compañeros. Ya han pasado más de quinientos veinte años desde el supuesto suceso.

Hacia los años 190 a 200 d. C., Clemente vincula a Hípaso con una esfera formada por doce pentágonos y con una muerte en el mar. Es la primera vez que Hípaso, mencionado por su nombre, queda ligado al castigo. Lo separan del suceso unos seiscientos cuarenta años.

Jámblico es el más completo y también el más peligroso. Escribe hacia el 300 d. C. En un pasaje dice que Hípaso, por haber sido el primero en divulgar y dibujar aquella construcción de doce pentágonos, sufrió en el mar el destino de los impíos. Añade, al mismo tiempo, que el verdadero descubridor seguía siendo el propio Pitágoras. En otro pasaje dice que el primero que reveló la teoría de lo conmensurable y lo inconmensurable a quienes no eran dignos de conocerla fue aborrecido y expulsado de la comunidad, y que se le erigió una tumba para simbolizar que ya estaba muerto. En esa versión no hay nombre ni muerte real. Más adelante cuenta primero que quien divulgó el dodecaedro inscrito en una esfera murió en el mar por la ira divina; inmediatamente después añade que otros atribuían ese mismo destino a quien había revelado la inconmensurabilidad.

En su texto los dos relatos ya son intercambiables, pero todavía no se han fundido. Han pasado unos setecientos cincuenta años desde el supuesto suceso. Más tarde, Papo, en su comentario al libro X de los Elementos, vincula expresamente la divulgación de las magnitudes irracionales con el ahogamiento, mientras que el nombre concreto vuelve a ser inestable. Al ordenar estos testimonios se puede proponer un modelo muy prudente de cómo se formó la historia.

Primera fase: en el siglo I d. C. ya existe el motivo del conocimiento que debe guardarse en secreto y cuya divulgación acarrea un castigo divino. Pero aún no están fijados el personaje, la forma de morir ni el contenido matemático concreto.

Segunda fase: aparecen al menos dos relatos más precisos. Uno reúne a Hípaso, el dodecaedro y la muerte en el mar. El otro reúne a un anónimo, la inconmensurabilidad y la expulsión o la erección de una tumba. Que Jámblico los coloque uno al lado del otro muestra que, en su época, podían intercambiarse, aunque todavía no se habían unido.

Tercera fase: el ahogamiento se atribuye expresamente a quien reveló las magnitudes irracionales. El último paso es muy fácil. Si Hípaso ya era el muerto en el mar de la otra historia, basta con hacer de los dos personajes uno solo.

Aquí hay que ir con cuidado. Poder ordenar las versiones por fechas no demuestra una evolución lineal. Es perfectamente posible que los autores tardíos utilizaran una misma obra anterior que ya no se conserva. Al desplegar las variantes, las diferencias se concentran en cuatro puntos.

No coincide lo que se reveló. Unas hablan de teoremas geométricos secretos; otras, de la teoría de lo conmensurable y lo inconmensurable; otras, del dodecaedro o, más precisamente, de inscribir un dodecaedro en una esfera. Ninguna fuente temprana dice que esas tres cosas fueran originalmente el mismo secreto.

No coincide la persona. Plutarco no da ningún nombre. Jámblico deja anónimo un pasaje y en otro sí nombra a Hípaso. En Papo la atribución tampoco es firme. Que Hípaso sea el descubridor de la inconmensurabilidad no es un núcleo compartido por todas las versiones antiguas.

No coincide el castigo. Una amenaza divina de calamidad, una expulsión, una tumba erigida en vida, una muerte en el mar. Ninguna versión dice que los compañeros se reunieran y votaran arrojarlo por la borda.

Tampoco coincide la naturaleza de la falta. Puede ser revelar secretos a quienes no los merecen, faltar a la piedad, romper el silencio o divulgar resultados que debían atribuirse a Pitágoras y ganar así fama personal. Esta última falta encaja especialmente bien con la ideología de las biografías tardías, que reservan todos los descubrimientos para el fundador. Aquí conviene desmontar otra afirmación, precisamente porque resulta demasiado bonita. Se dice que los griegos llamaban a esas magnitudes números indecibles porque eran un secreto religioso.

Como hemos visto, el término matemático más temprano y más inequívoco significa que no pueden medirse conjuntamente. No alude a ninguna prohibición de hablar. En griego sí existe otra palabra que puede significar indecible, no dicho o que no debe divulgarse; una familia de palabras cercanas también remite al secreto y a la prohibición de revelarlo. Pero mezclar ese vocabulario con el término matemático para concluir que el nombre de los irracionales significaba desde el principio un tabú misterioso es una invención etimológica. Lo que convirtió la divulgación matemática en sacrilegio fueron relatos escritos entre quinientos y ochocientos años después, no el vocabulario matemático del siglo V a. C.

¿Existió entonces Hípaso? Sí, y las pruebas no son malas.

En la Metafísica, Aristóteles coloca a Hípaso junto a Heráclito y dice que ambos tomaban el fuego como primer principio. Ese testimonio está a solo un siglo, aproximadamente, de la época en que se supone que estuvo activo. Es el más firme que tenemos sobre él. Otro procede de Aristóxeno: Hípaso habría estudiado las relaciones entre alturas musicales con cuatro discos de bronce del mismo diámetro y distinto grosor. Los análisis experimentales modernos consideran que el dispositivo, al menos, es físicamente viable.

Hubo, por tanto, un Hípaso real, una figura temprana de la filosofía de la naturaleza vinculada a la investigación de las proporciones numéricas.

El resto de su perfil es inestable. Su lugar de origen, su pertenencia a una corriente, si escribió alguna obra: sobre todo ello hay versiones contradictorias. Las listas de Jámblico llegan a situarlo en ciudades distintas.

Importa que esa persona existiera de verdad. Significa que el relato no se inventó de la nada. Creció sobre una persona real.

Eso vuelve más difícil desmontarlo. Si Hípaso fuese enteramente ficticio, bastaría con decir que tal persona no existió. Pero existió; Aristóteles conocía su nombre. Lo que hay que retirar no es al hombre, sino lo que otros le fueron colgando después.

7. En qué año se fabricó la crisis

Ahora le toca a la segunda capa.

La noción de crisis de fundamentos recibió una formulación sistemática en 1928, en un trabajo de Hasse y Scholz titulado La crisis de fundamentos de las matemáticas griegas. Tampoco surgió de la nada. Ya en La geometría griega, de 1887, Tannery había supuesto que la primera geometría pitagórica consideraba conmensurables todas las magnitudes y había descrito el descubrimiento de la inconmensurabilidad como una especie de escándalo lógico.

La estructura del argumento de Hasse y Scholz es muy moderna. Primero postulan una aritmética universal primitiva: los pitagóricos habrían creído que el mundo mensurable podía quedar, en última instancia, bajo el dominio de los enteros y sus razones. La inconmensurabilidad introduce entonces una magnitud imposible de expresar como razón numérica. Eso debería sacudir el sistema entero. Después llega la teoría de las proporciones de Eudoxo para repararlo. Creencia, catástrofe, crisis, reparación. Cuatro actos. No falta nada.

Knorr señaló más tarde de dónde había salido aquella construcción. La investigación nació en un contexto docente concreto, precisamente en los años en que más ardía el debate moderno sobre los fundamentos de las matemáticas. Hasse y Scholz comparaban expresamente la Antigüedad con los problemas de fundamentos de los siglos XIX y XX. Es decir: desde el principio, llamar a aquello la primera crisis de fundamentos significaba nombrar la Antigüedad con las categorías de la crisis de los propios modernos. Los modernos encontraron en la Antigüedad el drama que les era más familiar en su propia época.

La hipótesis contribuyó luego a dar forma a otra interpretación histórica. Si la inconmensurabilidad había cerrado la vía de los números, los griegos habrían tenido que esconder el álgebra dentro de la geometría. Así, una crisis no demostrada empezó a explicar toda otra configuración histórica.

Al repasar esta historia de la historiografía, Høyrup describió la supuesta crisis de fundamentos griega como una afirmación que se había dado por supuesta. El propio marco explicativo se había convertido ya en objeto de estudio para la historia de las matemáticas. Las objeciones tienen varios niveles.

El primer corte de Knorr es el más sencillo. Hasse y Scholz no demostraron la crisis a partir de las fuentes antiguas. Partieron del juicio de que un descubrimiento así tenía que producirla de manera natural. Si yo hubiera sido pitagórico, me habría conmocionado. Eso no es una prueba histórica.

En segundo lugar, la tesis de la crisis exige que la antigua teoría de las proporciones dejara de funcionar con normalidad al encontrarse con lo inconmensurable, y que la actividad matemática tropezara con un grave obstáculo en sus fundamentos. Pero los testimonios de entre 450 y 350 a. C. no muestran esa interrupción. Los trabajos de Hipócrates y Arquitas siguen utilizando profusamente las proporciones. La supuesta parálisis no deja rastro en lo que hacían.

En tercer lugar, Burkert ataca la premisa. No hay pruebas de que la idea de que todo es número equivalga a afirmar que todas las razones entre longitudes son razones entre enteros. Para Aristóteles, el número es ante todo una pluralidad compuesta de unidades. La ontología que describe dista mucho de la afirmación de los manuales posteriores según la cual toda magnitud puede escribirse como un número racional. Si aquella premisa nunca fue un axioma explícito de los antiguos, se rompe el paso que hace de la inconmensurabilidad la refutación del dogma supremo de la escuela.

Por eso la historia más difundida necesita, ya en su primer eslabón, dos traducciones. Primero traduce la ontología de Aristóteles en una afirmación: toda razón entre longitudes es una razón entre enteros. Después hace que un contraejemplo geométrico destruya esa afirmación. La primera traducción carece de respaldo en los textos antiguos.

En cuarto lugar, los textos tardíos sí contienen secretos, castigos divinos y muertes. Son las pruebas emotivas favoritas de los defensores de la crisis. Pero aparecen a partir de Plutarco, con más de quinientos años de retraso, y hablan de revelar secretos y de piedad, no de una contradicción lógica en los fundamentos matemáticos. Traducir un relato religioso de divulgación indebida en una crisis de filosofía de las matemáticas es una interpretación moderna.

Knorr acabó calificando la crisis antigua de fundamentos de ficción moderna. No quería decir que la inconmensurabilidad careciera de importancia, sino que las fuentes nunca habían demostrado la crisis. Se trataría de un acontecimiento psicológico e institucional, y ese acontecimiento no se encuentra en los testimonios. El descubridor con nombre propio pertenece a otra capa de reconstrucción. El artículo de 1945 fue un punto decisivo para difundir esa atribución, no su origen demostrable.

En 1945, von Fritz publicó un artículo titulado precisamente El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hípaso de Metaponto. Argumentaba de forma sistemática a favor de la hipótesis ya existente que atribuía a Hípaso el descubrimiento, e intentaba reconstruir su recorrido mediante el pentágono regular y el dodecaedro. Matemáticamente, la reconstrucción es hermosa. En las fuentes no hay una frase que establezca directamente el enlace. El material disponible no permite confirmar de forma directa toda la secuencia según la cual Hípaso llegó a la inconmensurabilidad a través del dodecaedro. Poner juntas las variantes de la Antigüedad tardía no las convierte automáticamente en un registro del proceso de descubrimiento.

Pero el artículo apareció en un ámbito especializado de historia de las matemáticas. A los manuales posteriores les resultó fácil comprimirlo hasta convertirlo en un hecho.

A partir de mediados del siglo XX, ciertos relatos generales de una gran revolución en las matemáticas griegas se unieron con toda naturalidad a aquel descubridor de nombre conocido. Las historias generales llevaron la unión a un público más amplio. Luego intervino la divulgación, y la antigua muerte en el mar por castigo divino fue convirtiéndose en una escena del crimen moderna. El descubrimiento se hizo a bordo; los demás lo tiraron al agua; el propio Pitágoras lo condenó a muerte. Esta versión tiene una dramaturgia completa. Y es, precisamente, la capa más reciente y menos sustentada de todo el conjunto.

Pongamos una junto a otra las fechas de los tres eslabones.

La inconmensurabilidad en sí: siglo V a. C. Los relatos de revelación de secretos y castigo divino: a partir del siglo I d. C., más de quinientos años después. La crisis de fundamentos: 1928. Una defensa sistemática importante de la atribución a Hípaso: 1945. Los compañeros que lo arrojan por la borda: todavía más tarde, y sin una fuente localizable. Cuanto más se acerca la historia a nosotros, más completa se vuelve.

8. Asimilación sin crisis

El problema de la inconmensurabilidad sí recibió solución. Pero de una manera muy distinta de la que imagina el relato de la crisis.

El libro V de los Elementos conserva una teoría de las proporciones. Los historiadores modernos de las matemáticas suelen vincular su núcleo con Eudoxo, aunque su nombre no figure en el texto de Euclides. Su mayor inteligencia consiste en no buscar siquiera aquella medida común y en no expresar la razón entre dos magnitudes como un número.

Dicho con palabras, así decide si dos razones son iguales. Tomamos dos pares de magnitudes. Multiplicamos los primeros términos de ambos pares por un mismo entero y los segundos por otro, eligiendo esos enteros como queramos. Si, cada vez que el múltiplo del primer término del primer par es mayor, igual o menor que el múltiplo del segundo, los múltiplos correspondientes del otro par mantienen exactamente la misma relación de mayor, igual o menor, entonces las dos razones se consideran iguales.

Así, aunque dos líneas no puedan tener jamás una medida común, la razón entre ellas sigue pudiendo compararse con rigor.

La definición resulta enrevesada porque no dice cuánto vale una razón. Solo dice en qué condiciones dos razones cuentan como iguales. Sustituye algo que querríamos enunciar por todo un sistema de relaciones que hay que comprobar. Para decidir si dos razones son iguales hay que considerar todos los múltiplos enteros posibles. Se gana rigor. Se pierde sencillez.

El procedimiento trata por igual lo conmensurable y lo inconmensurable. No elimina lo que molesta, ni finge que no existe. Cambia el criterio con el que se decide la igualdad por otro que puede aplicarse sin una medida común.

¿Lo hizo Eudoxo para afrontar la inconmensurabilidad? Ningún autor antiguo dejó un relato en primera persona que nos lo diga. En cuanto a su función, la teoría resuelve perfectamente el problema. En cuanto a la causa, solo podemos decir que las magnitudes inconmensurables fueron un trasfondo importante que hizo necesaria una teoría general de las proporciones. Escribir que inventó la definición para reparar una crisis sería ir demasiado lejos. La reconstrucción de Knorr, por el contrario, es gradual: el trabajo clasificatorio de Teeteto y los primeros métodos de proporciones basados en sustracciones recíprocas fueron revelando limitaciones técnicas, y una teoría como la de Eudoxo constituyó el siguiente paso para ampliar su campo de aplicación.

Aquí podemos dejar atrás otra afirmación muy repetida. Se dice que los griegos lo resolvían todo con aritmética; que, al descubrir las magnitudes irracionales, la aritmética se derrumbó, y que no tuvieron más remedio que refugiarse en la geometría.

Hay varias cosas que no encajan. La investigación geométrica griega existía claramente antes del descubrimiento de la inconmensurabilidad. Una crisis no puede explicar por qué una tradición ya existente habría tenido que volverse hacia sí misma. Los libros VII a IX de los Elementos contienen una teoría de números enteros muy desarrollada: números coprimos, primos, máximo común divisor, paridad. No falta nada, y su lugar entre las cuatrocientas sesenta y cinco proposiciones de la obra está lejos de ser marginal. Además, para los griegos número y magnitud eran de entrada categorías distintas de objetos. Decir, a propósito de las magnitudes inconmensurables, que descubrieron un número nuevo y se negaron a admitir que fuera un número es reescribir sus conceptos antiguos con nuestra idea moderna de número real.

Y lo más importante: los griegos del siglo IV a. C. no esquivaron el asunto. Ciento quince proposiciones en el libro X son la forma de llevar una investigación hasta el fondo, no la de eludirla.

Una versión menos fuerte sí se sostiene. La inconmensurabilidad acentuó la distinción técnica entre los números y las magnitudes continuas. Una teoría general de las proporciones debía ser capaz de tratar magnitudes geométricas sin recurrir a una unidad común. Esa distinción influyó, de hecho, en la manera de expresarse de las matemáticas griegas.

Pero eso es una estructura matemática que da forma a un método, no una huida provocada por una crisis psicológica. La primera frase puede escribirse. La segunda no.

Volvamos al hombre arrojado al mar. El hecho estructural es sólido. El lado del cuadrado y su diagonal no tienen una medida común; en el siglo IV a. C. se demostró, se enseñó, se clasificó y se incluyó en recomendaciones educativas.

El hecho biográfico es endeble. No quedó el nombre del descubridor. No quedó el momento del descubrimiento. Hubo un Hípaso real, pero ningún testimonio contemporáneo fiable confirma que fuera el autor de ese hallazgo. Los vínculos de las leyendas tardías deben examinarse por separado. Los relatos posteriores añadieron una víctima. Más tarde añadieron una crisis.

Ambas incorporaciones avanzan en la misma dirección. Un hecho estructural no tiene protagonista ni giro dramático: simplemente se cumple. Al introducir una persona, ya tiene protagonista. Al añadir un derrumbe, ya tiene giro. Un hecho estructural sin nadie dentro no da para seguir contando una historia. Así que pusieron a alguien.

A lo largo de este ensayo no hemos encontrado a ese hombre. Hemos encontrado a un filósofo de la naturaleza que existió de verdad, a un viejo maestro de Cirene, a un joven al que llevaban de regreso a Atenas y a un grupo de personas dispersadas por los conflictos de las ciudades-Estado del sur de Italia, la mayoría sin nombre conservado. No hay pruebas fiables de que alguien entre ellos fuera arrojado al mar por ese descubrimiento. El hecho más firme es, curiosamente, el que menos se parece a una historia. Alguien demostró que algo era imposible. Quién fue ese alguien, no quedó registrado.

Y cómo se abordó después aquella imposibilidad es algo que vale más la pena recordar que cualquiera de las versiones de la historia.

Nadie encontró aquella medida común, porque no existe. Tampoco nadie declaró que, desde ese momento, las dos líneas ya no pudieran compararse.

Lo que cambió fue una tercera cosa: qué significa que dos razones sean iguales.

La nueva formulación deja de preguntar dónde está la medida común. Solo pide probar con múltiplos enteros cualesquiera y que, se pruebe como se pruebe, las relaciones de tamaño coincidan a ambos lados.

Así, lo que antes no se podía alcanzar se alcanzó al formularlo de otra manera.

No se dio un rodeo para evitarlo. Se redefinió qué significaba alcanzar: pasó a significar algo que podía hacerse incluso sin una medida común.

Volveremos a encontrar ese movimiento varias veces, cada vez con un nombre distinto. Y en todas ellas lo que cambiará no será aquello que quedaba fuera de alcance, sino el criterio para alcanzarlo.

Seguimos calculando números. Lo que cuenta como matemáticas nunca ha quedado del todo resuelto.

Fuentes y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación tratados en el ensayo. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son la misma clase de prueba.

• Carl Huffman: Pitágoras
• Instituto Clay de Matemáticas: los Elementos de Euclides
• Euclides, libro V, definiciones 5–6
• Hasse y Scholz: La crisis de fundamentos de las matemáticas griegas (1928)
• Libros de Knorr: introducciones y reseñas académicas
• La deuda de Zenón con Hípaso, Hyperboreus 23.2 (2017)