Inkommensurabel

1. Ein Mann wird ins Meer geworfen

Die meisten kennen die Geschichte ungefähr so.

Die Pythagoreer glaubten, alles sei Zahl. Einer von ihnen entdeckte, dass sich die Seite eines Quadrats und seine Diagonale nicht mit demselben Maß restlos ausmessen lassen. Damit war der Glaubenssatz der Schule widerlegt. Er erzählte es weiter. Also warfen ihn seine Gefährten von einem Schiff ins Meer. Eine wunderbar vollständige Geschichte. Ein Glaubenssatz, eine Entdeckung, ein Konflikt, eine Strafe. Sogar die Reihenfolge stimmt.

Und jedes Glied hängt am vorherigen. Weil alles Zahl sein sollte, war die Entdeckung tödlich. Weil sie tödlich war, musste sie geheim bleiben. Weil er das Geheimnis verriet, musste er sterben. Zieht man ein Glied heraus, fällt der Rest auseinander. Schon diese lückenlose Passung verdient Aufmerksamkeit. Was wirklich geschehen ist, hat selten eine solche Form. Nachprüfen lässt sich an dieser Geschichte sehr viel weniger, als es sich anhört.

Keine frühe Quelle schreibt den Satz „Alles ist Zahl“ Pythagoras persönlich zu. Die belastbare Quelle ist Aristoteles. Er spricht von den sogenannten Pythagoreern, und was er über sie sagt, liegt weit von jenem Satz aus späteren Lehrbüchern entfernt. Keine verlässliche zeitgenössische Aufzeichnung bestätigt unmittelbar, dass Hippasos die Inkommensurabilität entdeckte. Aus der Spätantike sind zwar verschiedene Erzählungen über Geheimnisverrat, Bestrafung und Ertrinken überliefert. Daraus lässt sich aber nicht die moderne Szene beglaubigen, in der seine Gefährten ihn über Bord werfen. Und die Grundlagenkrise? Zwei deutsche Gelehrte formulierten diese Vorstellung 1928 in einer folgenreichen systematischen Darstellung; verwandte Hypothesen gab es schon vorher.

Die jüngste dieser vier Zutaten ist nicht einmal die Krise. Für die Szene, in der seine Gefährten ihn vom Schiff werfen, lässt sich nicht einmal eine Quelle finden. Sie ist in der populären Literatur gewachsen. In welchem Jahr genau sie dort aufkam, hat niemand zuverlässig ermittelt.

Das sind keine vereinzelten Nachlässigkeiten. Legt man sie nebeneinander, zeichnet sich ein Muster ab. Jedes Verbindungsglied taucht später auf als die beiden Dinge, die es verbindet, ist vollständiger und lässt sich besser erzählen.

Dass diese Geschichte zweitausend Jahre überleben konnte, liegt nicht daran, dass man sie immer wieder überprüft hätte. Eher am Gegenteil: Sie ist zu brauchbar, sie läuft zu glatt. So glatt, dass niemand anhalten und nachsehen möchte. In einem einzigen Satz liefert sie einen Glaubenssatz, ein Gegenbeispiel, einen Konflikt und ein Ende. Und sie gibt der Mathematik eine Leiche mit. Viele Stellen in der Mathematikgeschichte lassen sich so nicht erzählen.

Die Sache darunter allerdings stimmt. Quadratseite und Diagonale haben tatsächlich kein gemeinsames Maß. Das war im 4. Jahrhundert v. Chr. bewiesen und diente bereits als Standardbeispiel, das jeder wiedererkannte.

Zwischen der Beweislage für diese untere Schicht und derjenigen darüber liegen Welten. Oben stehen fast ausschließlich Nacherzählungen aus mehreren Jahrhunderten Abstand. Unten stehen Platon und Aristoteles. Die Entdeckung ist wirklich. Wer sie machte, wissen wir nicht. Von dem Augenblick, in dem sie gelang, ist keinerlei Aufzeichnung geblieben.

Dieser Essay soll die beiden Schichten auseinandernehmen. Welche trägt? Welche wurde später ergänzt? Was hat man dabei ergänzt, und warum?

Dazu müssen wir zunächst etwas Unbequemes hinnehmen. Im vorigen Essay ließ sich hinter jede Behauptung eine Tontafel legen, die man auf eine Waage stellen konnte. Hier gibt es nichts dergleichen. Alles, was wir tun können, ist, neben jede Aussage das Jahr ihres frühesten Auftretens zu schreiben und dann nachzusehen, wie weit es von dem entfernt liegt, worüber sie spricht.

So werden die Jahreszahlen selbst zum wichtigsten Beweismaterial dieses Essays.

Jahreszahlen zu sortieren ist eine schlichte Methode. Hier ist sie aber verlässlicher als jede andere. Je später eine Behauptung auftaucht, desto mehr Hände konnten unterwegs eingreifen. Und jede dieser Hände hatte einen Grund, die Geschichte ein wenig vollständiger zu machen.

Der vorige Essay endete bei einem Kind, das seine Übungstafel glatt strich und noch einmal anfing. Das Kind löschte seine Schrift. Die Tafel blieb. Mehr als dreitausend Jahre später grub jemand sie aus, maß sie aus und gab ihr eine Nummer.

Hier haben wir nicht einmal etwas, das sich hätte glatt streichen lassen.

2. Namen, keine Dinge

Nicht ein einziges.

Pythagoras, Hippasos, Theodoros, Theaitetos, Eudoxos: Hinter diesen fünf Namen steht kein einziges mathematisches Objekt, von dem wir bestätigen könnten, dass sie es eigenhändig beschrieben haben. Nicht bruchstückhaft erhalten. Nicht schwer zu entziffern. Null. Zur Hälfte liegt das am Material.

Eine der gebräuchlichen Schreibunterlagen im klassischen Griechenland war die Wachstafel. In Holz oder Elfenbein wurde eine flache Vertiefung gearbeitet und mit Wachs gefüllt. Mit einem Griffel aus Metall oder Knochen ritzte man die Schrift ein. Sein anderes Ende war zu einem flachen Spatel geformt: Hatte man sich verschrieben, drückte man das Wachs zurück, und die Spur verschwand. Zwei oder mehrere Tafeln ließen sich durchbohren und zusammenbinden. Solche Dinge waren eigens dazu gemacht, immer wieder benutzt zu werden. Also auch dazu, nichts zu hinterlassen.

Wachstafeln hatten kein einheitliches Format. Die erhaltenen Stücke reichen von handtellergroßen Täfelchen bis zu mehrblättrigen Exemplaren von zwanzig oder dreißig Zentimetern. Das British Museum besitzt einen Satz elfenbeinerner Schreibtafeln, ungefähr vierunddreißig Zentimeter hoch und sechzehn Zentimeter breit. Solche späteren Stücke dürfen wir nicht kurzerhand auf den Schreibtisch eines Mathematikers des 5. Jahrhunderts v. Chr. stellen. Sie belegen, dass es diese Art Schreibgerät lange gab. Welches Exemplar ein bestimmter Mensch benutzte, belegen sie nicht.

Eine andere Unterlage war Papyrus. In feuchter Erde verrottet er. Wo heute griechische Papyri in großer Zahl ausgegraben werden, ist nicht Griechenland, sondern das trockene Ägypten. Das Klima Süditaliens und der Ägäis bewahrt solche Dinge nicht.

Und es gab noch etwas Gründlicheres. Man zeichnete und rechnete auf Flächen, die sich einfach wieder glätten ließen: Bretter mit feinem Sand oder Staub darauf, nach der Unterrichtsstunde mit einer Handbewegung leer gewischt. Solche Arbeitsflächen hatten nicht einmal die Chance, zu einem Fundstück zu werden. Wachs lässt sich glätten, Papyrus verrottet, Staub ist noch am selben Tag fort. Es kann sehr viel mathematische Arbeit gegeben haben und dennoch nahezu keine archäologische Spur.

Das lässt sich leicht verkehrt herum lesen. Ein archäologischer Befund nahe null bedeutet nicht, dass damals wenig Mathematik betrieben wurde. Er bedeutet nur, dass sie auf Dingen betrieben wurde, die keine Spuren bewahrten. Eine möglichst billige Fläche, auf der man jederzeit neu beginnen kann, eignet sich gerade besonders gut zum Rechnen. Und gerade besonders schlecht dafür, von späteren Generationen gesehen zu werden. Die andere Hälfte der Erklärung liegt in der Überlieferung.

Die älteste erhaltene vollständige Handschrift der „Elemente“, deren Datierung feststeht, wurde 888 n. Chr. in Konstantinopel fertiggestellt. Ein Schreiber namens Stephanos kopierte im Auftrag des Arethas von Patras dreizehn Bücher. Zwischen diesem Mann und Euklid lagen mehr als eintausendeinhundertachtzig Jahre.

Aus früherer Zeit gibt es nur Fragmente. Im ägyptischen Oxyrhynchos wurde ein Blattrest aus dem zweiten Buch der „Elemente“ gefunden. Neuere paläographische Einschätzungen setzen ihn an das Ende des 1. oder den Anfang des 2. Jahrhunderts n. Chr. Selbst mit der früheren Datierung liegt er vierhundert Jahre nach Euklid. Er bewahrt gerade einen einzigen Lehrsatz und ein kleines Stück einer Zeichnung.

Durch wie viele Hände der Text dazwischen ging, lässt sich nicht beantworten. Handschriftenstammbäume können zeigen, zu welcher Familie ein Exemplar gehört. Wie oft von Euklid bis heute insgesamt abgeschrieben wurde, können sie nicht zählen. In einer Abschreibegeschichte von zwölfhundert Jahren sind die Vorlagen und die meisten Seitenzweige verschwunden. Wir sehen nur noch die Spitzen des Baumes. Wie viele Äste abgefallen sind, lässt sich nicht mehr ermitteln.

Und bei jedem Abschreiben konnte etwas geschehen. Eine Zeile wurde ausgelassen, eine andere verdoppelt. Begriffe wurden geändert, Beweise vervollständigt, Figuren neu gezeichnet. Eine Randbemerkung wanderte in den Haupttext, Lehrsätze bekamen neue Nummern, ein schwieriger Beweis wurde durch einen leichteren ersetzt.

Ungefähr verlief der Weg von Euklid zu uns so: Die ursprüngliche griechische Überlieferung wurde weiterkopiert. Im 4. Jahrhundert n. Chr. entstand Theons Bearbeitung, die in das byzantinische System griechischer Handschriften einging. Zugleich gelangten griechische Texte in die arabischsprachige Welt. Übersetzungen und Revisionen von al-Haddschadsch, Ishaq, Thabit und anderen trugen zu ihrer Verbreitung bei. Vom 12. Jahrhundert an übertrugen Adelard von Bath und weitere Übersetzer arabische Fassungen ins Lateinische. Nach der Renaissance flossen griechische Handschriften und lateinische Tradition wieder zusammen und mündeten schließlich in Druckausgaben und moderne Textkritik.

Keiner dieser Abschnitte war eine gerade Linie. Allein im arabischen Teil sind die Beziehungen zwischen Übersetzungen, Revisionen und Mischfassungen bereits so verwickelt, dass sie kaum zu entwirren sind.

Auch bei den Mengen ist Vorsicht nötig. Mittelalterliche griechische Handschriften der „Elemente“ zählen nach Hunderten. Papyri, die der Antike wirklich nahe sind, gibt es nur in Fragmenten. Das Material wirkt reichhaltig. Reichhaltig ist vor allem sein spätes Ende.

Mesopotamien und Griechenland haben uns also genau Entgegengesetztes hinterlassen. Auf der einen Seite blieben die Dinge, aber zu wenige Menschen. Auf der anderen blieben Menschennamen, aber nicht das Blatt, das diese Menschen berührt hatten.

Der Gegensatz hat noch eine zweite Seite. Mesopotamien war keineswegs namenlos. In der Keilschrifttradition gibt es Schreibernamen und Besitzvermerke von Bibliotheken. Nur wurden sehr viele schulische Übungstafeln von vornherein nicht signiert: Wenn ein Schüler dieselbe Aufgabe dreimal abschreibt, setzt niemand eine Unterschrift darunter. Umgekehrt macht ein griechischer Name die Zuschreibung noch nicht verlässlich. Hippasos ist das beste Beispiel. Ein Mensch kann wirklich gelebt haben und erst Jahrhunderte später an eine Entdeckung geheftet werden, die nicht seine war. Ein Name gibt leicht ein Gefühl von festem Boden. Genau diesem Gefühl ist hier nicht zu trauen.

Die mesopotamische Anonymität beunruhigt uns, weil wir nicht wissen, wer etwas getan hat. Die griechischen Namen beruhigen uns, weil wir es zu wissen glauben. Doch im ersten Fall rührt die Unruhe von der Art der Belege her. Im zweiten rührt die Beruhigung von unseren Erzählgewohnheiten her. Eine Tontafel mit unbekanntem Verfasser hat wenigstens tatsächlich jemand aus jener Zeit beschrieben. Ein Name, der in Büchern immer wieder auftaucht, kann erst Jahrhunderte später daran befestigt worden sein.

3. Je älter die Quelle, desto weniger erscheint er als Mathematiker

Die drei vollständig erhaltenen Lebensbeschreibungen des Pythagoras stammen sämtlich aus der römischen Kaiserzeit, ungefähr siebenhundert bis achthundert Jahre nach seinem Tod. Von ihm selbst ist kein Werk sicher belegt, aus seiner eigenen Zeit keine fortlaufende Biographie. Ordnet man sämtliche Quellen nach ihrem Alter, fällt etwas Merkwürdiges auf. Xenophanes spottet Ende des 6. Jahrhunderts v. Chr., Pythagoras habe im Jaulen eines Hündchens die Seele eines verstorbenen Freundes erkannt. Das ist Seelenwanderung, keine Mathematik.

Um 500 v. Chr. greift Heraklit ihn wegen seiner Vielwisserei an, weil er überall Kenntnisse zusammengesammelt habe. Das belegt, dass er schon zu Lebzeiten oder kurz nach seinem Tod als Wissenssucher bekannt war. Es belegt keine geometrische Leistung. Herodot kennt in den 430er Jahren v. Chr. etwas, das pythagoreisch heißt. Er spricht über Bestattungstabus.

Platon nennt ihn in den 380er Jahren v. Chr. ein einziges Mal ausdrücklich beim Namen. Dabei geht es darum, dass seine Anhänger für eine besondere pythagoreische Lebensweise bekannt seien. Kein Wort über einen Lehrsatz, irrationale Größen oder Versuche zur Harmonielehre.

Aristoteles erörtert in der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. ausführlich die sogenannten Pythagoreer. Er behandelt Zahlen, Harmonie und Kosmologie, schreibt mathematische Leistungen aber nur äußerst selten unmittelbar der Person Pythagoras zu. Seine typische Wendung lautet „die sogenannten Pythagoreer“, nicht „Pythagoras sagt“.

Dann, mit wachsendem Abstand, wird dieser Mensch immer mehr zum Mathematiker. In den kaiserzeitlichen Biographien beweist er einen Lehrsatz, entdeckt irrationale Größen, begründet einen Lehrplan und führt eigenhändig Experimente durch.

Walter Burkert hat diese zeitliche Folge in seinem deutschen Buch von 1962 und dessen überarbeiteter englischer Fassung von 1972 sichtbar gemacht. Die Stärke seiner Arbeit liegt nicht in der Behauptung, Pythagoras habe nichts von Mathematik verstanden. Sie liegt darin, eine Richtung zu zeigen: Je später die Quellen, desto vollkommener die Gestalt des Mathematikers Pythagoras.

Burkert verfolgte noch eine andere Spur. Der antike Mathematikhistoriker Eudemos verfasste eine inzwischen verlorene „Geschichte der Geometrie“. Von ihr ist vor allem eine Zusammenfassung bei Proklos aus dem 5. Jahrhundert n. Chr. geblieben. Darin heißt es, Pythagoras habe die Geometrie zum Gegenstand freier Bildung gemacht und die irrationalen Größen sowie die regelmäßigen Körper entdeckt. Lange wurde das als Zeugnis des Eudemos aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. gelesen. Burkert verglich Sprache, Aufbau und Quellen und kam zu dem Schluss, dass gerade der Teil, der Pythagoras verschiedene mathematische Erfindungen unmittelbar zuschreibt, eher einer späteren Tradition angehört. Man darf ihn nicht zurückdatieren und Eudemos selbst in den Mund legen.

Leonid Zhmud widerspricht dieser weitreichenden Skepsis. Sein Punkt ist nicht, die Wahrheit irgendeiner späten Geschichte zu beweisen. Er fragt, ob die verlangte Beweisschwelle nicht unangemessen hoch liegt. Aus dem 6. Jahrhundert v. Chr. ist ungeheuer viel Material verloren. Aus dem Schweigen der Überlieferung darf man nicht nahezu sämtliche frühe Wissenschaft in spätere Zeiten verschieben. Zwischen Thales und Hippokrates vollzog die griechische Geometrie offensichtlich den Übergang von einzelnen praktischen Ergebnissen zu beweisender Forschung. Eine Lücke in den Quellen ist keine Lücke in der Geschichte.

Der eigentliche Streit betrifft die Methode. Die eine Seite hält die späte Zuschreibung aller Leistungen an den Schulgründer für eine Behauptung, die erst bewiesen werden muss; das Schweigen ist ihr ein starkes Warnsignal. Die andere hält dagegen, dass bei einem derart schweren Quellenverlust Schweigen nicht als Beleg für das Fehlen von Tätigkeit dienen kann.

Entfernt man alles spät Hinzugekommene, bleibt ungefähr Folgendes: Es gab einen Mann namens Pythagoras, der gegen Ende des 6. Jahrhunderts v. Chr. einen ungewöhnlich weitreichenden Ruf als Weiser genoss. Unter seinem Namen wurde eine Lebensordnung weitergegeben. Herodot kannte sie im 5., Platon im 4. Jahrhundert v. Chr. Wahrscheinlich stammte Pythagoras von Samos, zog mit etwa vierzig Jahren nach Kroton in Süditalien, verließ die Stadt im Alter wieder und starb in Metapont.

Diese Zeitangaben sind aus mehreren zeitlichen Verknüpfungen erschlossen, nicht aus Geburtsregistern. Die Fehlerspanne beträgt mindestens Jahrzehnte.

So sollten wir beinahe alle Lebensdaten in diesem Essay verstehen. Von Hippasos lässt sich nur sagen, dass er in der ersten Hälfte des 5. Jahrhunderts v. Chr. tätig war. Theodoros wird hauptsächlich anhand der Altersangaben in Platons Dialogen datiert. Für Theaitetos stehen gewöhnlich etwa 415 bis 369 v. Chr.; sein Geburtsjahr ist aus der Gestalt des jungen Mannes im Dialog zurückgerechnet. Mit welchem Kriegsgeschehen sein Tod zusammenhängt, ist bis heute eine Frage der Auslegung. Für Euklid fehlen selbst verlässliche Geburts- und Sterbedaten. Wir haben nur die ungefähre Einordnung: tätig um 300 v. Chr.

Zum Aufbau einer Zeitleiste sind solche Jahreszahlen nützlich. Man sollte sie nicht mit Geburtsdaten aus einem modernen, nach dem gregorianischen Kalender geführten Register verwechseln.

Aktiv streichen sollten wir hingegen die Sätze: Er bewies den berühmten Lehrsatz. Er entdeckte irrationale Größen. Er begründete einen mathematischen Lehrplan. Er experimentierte eigenhändig am Monochord. All das geht über die frühen Belege hinaus.

Und die Gemeinschaft selbst? Fünf Jahre Schweigen, Unterricht hinter einem Vorhang, fünf Jahre Prüfung vor der Aufnahme, gemeinsamer Besitz: Die vollständigste Fassung dieser Einzelheiten findet sich bei Iamblichos um 300 n. Chr., ungefähr achthundertdreißig Jahre nach den Ereignissen. Kein Text des 5. oder 4. Jahrhunderts v. Chr. belegt eine solche Ordnung. Eine Sache allerdings steht fest. Und sie ist in diesem Essay diejenige, die den Menschen am nächsten kommt.

Dieses Netzwerk in Süditalien besaß politischen Einfluss und musste dafür bezahlen. Eine plausible Rekonstruktion muss mindestens zwei Wellen unterscheiden. Um 510 v. Chr. geriet der alte Pythagoras in Kroton unter politischen Druck und zog schließlich nach Metapont. Eine zweite Welle folgte um 450 v. Chr. Der fragmentarisch überlieferte Bericht des Aristoxenos aus dem 4. Jahrhundert v. Chr. erzählt, dass Pythagoreer sich im Haus des Milon versammelt hatten, als es in Brand gesetzt wurde. Einige überlebten. Danach zerstreuten sich die Mitglieder.

Polybios liefert etwa im 2. Jahrhundert v. Chr. einen allgemeineren Bericht. Ihm zufolge wurden in Großgriechenland die Versammlungshäuser der Pythagoreer niedergebrannt, im Plural. Anschließend kam es in den Städten zu Morden, Parteienkämpfen und politischen Unruhen. Er schrieb ungefähr dreihundert Jahre nach dem Geschehen. Sein Hinweis ist dennoch wichtig: Hier brannte nicht ein Klassenzimmer. Hier wurden Vereinigungen in mehreren süditalienischen Stadtstaaten gewaltsam erschüttert.

Verlässliche Zahlen über Tote und Verletzte gibt es nicht. Auch das fragliche Haus ist archäologisch nicht identifiziert. Bei Einzelheiten wie der, dass nur zwei Menschen entkommen seien, unterscheiden sich in den späten Fassungen sogar die Namen der Überlebenden. Mehr lässt sich nicht sagen: Eine Gruppe von Menschen wurde wegen ihrer Verbindung und ihrer politischen Stellung gewaltsam angegriffen und in alle Richtungen verstreut. Die meisten ihrer Namen sind verloren.

Diese Menschen waren vor Ort keine Gelehrten am Rand der Gesellschaft. Kroton und Metapont waren Kolonialstädte der großgriechischen Welt; Tarent hatte spartanische Wurzeln. Die Städte konkurrierten miteinander, jede erlebte politische Auseinandersetzungen zwischen Aristokratie und Volk, und alle mussten sich mit den einheimischen Bevölkerungen Italiens auseinandersetzen. Die angeblichen Standorte einer Schule waren also mehrere unabhängige, streitbare Stadtstaaten. Am vorsichtigsten beschreibt man das Geflecht heute als privaten Zusammenschluss mit politischem Netzwerk. Keine Partei im modernen Sinn, erst recht kein Kloster.

4. Eine Unterrichtsstunde

Das Zeugnis, das dem Geschehen in dieser Geschichte am nächsten kommt, ist keine Biographie. Es ist die Schilderung einer Unterrichtsstunde.

Platon beschreibt im „Theaitetos“, wahrscheinlich in den 370er Jahren v. Chr. verfasst, eine Szene: Der junge Theaitetos erinnert sich, wie sein Lehrer Theodoros ihnen Beweise anhand von Zeichnungen vorführte. Bei einem Quadrat mit drei Flächeneinheiten lässt sich die Seite nicht mit der Einheitsstrecke gemeinsam ausmessen. Bei einem Quadrat mit fünf Flächeneinheiten ebenfalls nicht. Der Lehrer ging die Beispiele eines nach dem anderen durch. Bei siebzehn hörte er aus irgendeinem Grund auf.

Daraufhin versuchten Theaitetos und sein Gefährte etwas. Sie wollten diese endlose Reihe einzelner Fälle zu einer Klasse zusammenfassen.

Platon zeichnet Theaitetos als einen sehr konkreten Menschen. Er stammt aus dem attischen Demos Sunion, ist der Sohn des Euphronios, jung, außergewöhnlich mathematisch begabt. Sogar sein Aussehen soll an Sokrates erinnern. Zu Beginn des Dialogs wird er nach Athen zurückgetragen: Er ist bei Kämpfen in der Gegend von Korinth verwundet worden und außerdem erkrankt.

Theodoros stammt aus Kyrene. Platon stellt ihn als älteren Mathematiklehrer dar. Da Platon fast zur selben Zeit lebte wie diese Männer, ist Theodoros als historische Person recht gut gesichert. Schwierig sind nur seine Lebensdaten. Sie lassen sich lediglich aus dem Alter der Figur und dem Zeitpunkt erschließen, zu dem die Dialoghandlung angesiedelt ist.

Noch etwas sollten wir festhalten: Keine frühe Quelle nennt einen dieser beiden Männer einen Pythagoreer. Wer irrationale Größen untersucht, wird später gern automatisch den Pythagoreern zugeschlagen. Das ist ein typischer Fall dafür, wie weit dieser Name nachträglich ausgedehnt wurde. Diese Unterrichtsszene enthält außerordentlich viele belastbare Informationen.

Zu Platons Zeit war die Inkommensurabilität kein verstecktes Tabu. Sie war ein Gegenstand, den man im Unterricht Beispiel für Beispiel vorführen konnte. Die Schüler reagierten darauf nicht mit Entsetzen, sondern mit Klassifikation und Verallgemeinerung. Der Lehrer begann auch nicht noch einmal mit dem einfachsten Fall, der Quadratseite und ihrer Diagonale. Daraus wird gewöhnlich geschlossen, dass dieses Beispiel längst allgemein bekannt war.

Warum er bei siebzehn aufhörte, bleibt beinahe vollständig Spekulation. Manche erklären es mit einem Verfahren, das Reste betrachtet. Andere rekonstruieren eine Spirale aus immer neuen rechtwinkligen Dreiecken, die bei siebzehn ungefähr eine Umdrehung vollendet hat. Wieder andere meinen, Platon habe überhaupt keinen Algorithmus im Text versteckt, den man rückwärts erschließen könnte. Der Text nennt keine Methode. Eine Lösung, die siebzehn noch so elegant erklärt, ist deshalb noch kein Beleg. Wie aber sah der Beweis für den einfachsten Fall aus?

Aristoteles verrät in den „Ersten Analytiken“ seinen Aufbau. Er stellt keine aufregende Neuheit vor. Er erklärt den Widerspruchsbeweis und greift beiläufig zum vertrauten Beispiel von Quadratseite und Diagonale.

Nehmen wir an, Seite und Diagonale eines Quadrats ließen sich mit demselben Maß restlos ausmessen. Dann wäre jede der beiden Strecken ein ganzzahliges Vielfaches dieses Maßes. Wir hätten zwei ganze Zahlen. Zunächst kürzen wir sie so weit, dass sie sich nicht mehr beide zugleich halbieren lassen. Aus der Geometrie des Quadrats folgt: Das Quadrat der Diagonalenzahl ist doppelt so groß wie das Quadrat der Seitenzahl. Also ist das erste Quadrat gerade, folglich muss auch die Diagonalenzahl selbst gerade sein. Wir schreiben sie als das Doppelte einer anderen Zahl und setzen das wieder ein. Nun erweist sich auch das Quadrat der Seitenzahl als gerade, also muss die Seitenzahl ebenfalls gerade sein. Beide Zahlen sind gerade: Man könnte sie noch einmal gemeinsam halbieren. Wir hatten sie aber bereits so weit gekürzt, dass genau das nicht mehr möglich war.

Also gibt es dieses gemeinsame Maß nicht.

An dem Beweis ist etwas bemerkenswert. Von Anfang bis Ende wird nichts gemessen und keine einzige Zahl ausgerechnet. Man nimmt nur an, das gemeinsame Maß existiere, und folgt dieser Annahme bis zu einer Stelle, an der eine Zahl gerade sein muss und zugleich nicht gerade sein kann. Es gelingt nicht, etwas auszumessen. Oder: Es ist unmöglich, es auszumessen. Zwischen diesen beiden Aussagen liegt ein gewaltiger Abstand. Die Menschen des 4. Jahrhunderts v. Chr. standen bereits auf der zweiten Seite.

Der Beweis ist so kurz, dass man ihn in einem Atemzug erzählen kann. Man braucht nicht einmal zu wissen, wie lang die beiden Strecken jeweils sind. Man setzt nur voraus, es gebe ein gemeinsames Maß, und lässt diese Voraussetzung gegen sich selbst laufen.

Aristoteles liefert nur das Gerüst, nicht jeden einzelnen Schritt. Ein vollständiger verwandter Beweis ist in der handschriftlichen Überlieferung am Ende des zehnten Buches der „Elemente“ erhalten; gewöhnlich wird er als Lehrsatz 117 bezeichnet. Doch auch hier liegt noch eine Schicht dazwischen. Heiberg stufte ihn bei der Arbeit an seiner kritischen Ausgabe als späteren Zusatz ein und nahm ihn nicht als Bestandteil des euklidischen Haupttextes an. Er gehört offensichtlich zur selben Familie wie der von Aristoteles erwähnte Beweis. Die erhaltenen Handschriften liegen jedoch mehr als tausend Jahre nach Euklid selbst. Über diese Entfernung darf man nicht einfach hinwegspringen und den konkreten Wortlaut ins 5. Jahrhundert v. Chr. zurückschieben.

Auch ein Wort verdient Aufmerksamkeit. Die Griechen sprachen anfangs nicht von „irrationalen Zahlen“. Sie sagten, zwei Strecken hätten kein gemeinsames Maß. Das Wort setzt sich aus einer verneinenden Vorsilbe und dem Wort für Maß zusammen: wörtlich etwas, das sich nicht gemeinsam ausmessen lässt. Das ist der neutralste und früheste sicher belegte mathematische Ausdruck, ohne jeden Anklang an ein verbotenes Wort. Platon erörtert ihn offen in seinen Dialogen. Im vorigen Essay war von der runden Tafel in Yale die Rede. Zwischen dem 19. und dem 17. Jahrhundert v. Chr. schrieb ein Schreiber darauf einen äußerst genauen Wert für das Verhältnis von Quadratdiagonale und Seite.

Diese Tafel tut etwas anderes. Sie liefert einen außerordentlich genauen, aber mit endlich vielen Stellen dargestellten Näherungswert. Sie sagt nicht, dass es überhaupt kein gemeinsames Maß gibt, und will das auch gar nicht sagen. Die eine Frage lautet: Wie berechnet man es? Die andere: Existiert es? Dieselbe Diagonale, zwei verschiedene Fragen.

Darum können wir auch nicht sagen, die Babylonier hätten bereits die irrationalen Zahlen entdeckt. Der Wert auf der Tafel ist so genau, dass er selbst für heutige Berechnungen ausreichen kann. Aber wie genau ein Wert ist und ob es ein gemeinsames Maß gibt, sind zwei Fragen, die einander nicht schneiden. Auch hundert weitere genaue Stellen werden nicht von selbst zum Beweis einer Nichtexistenz.

5. Beschämend ist das Nichtwissen

Wenn die Entdeckung der Inkommensurabilität tatsächlich eine Erschütterung ausgelöst hätte, müsste in den Quellen des 5. und 4. Jahrhunderts v. Chr. etwas davon zu finden sein.

Im siebten Buch der „Gesetze“ lässt Platon einen namenlosen Athener ausgesprochen emotional werden. Der Athener sagt, er habe erst spät erfahren, dass es bei Längen, Flächen und Rauminhalten solche Verhältnisse ohne gemeinsames Maß gebe. Er sei erstaunt gewesen. Diese allgemeine Unwissenheit nennt er schweinemäßig; er schämt sich für sich selbst und für die gesamte griechische Welt.

Der Ton ist scharf. Das Bild ist alles andere als höflich, und die Scham dehnt sich vom Sprecher auf ganz Griechenland aus. Sucht man in den Quellen des 4. Jahrhunderts v. Chr. nach einer Stelle, die wirklich als emotional aufgewühlt gelten kann, kommt diese ihr am nächsten. Sie scheint genau das Gesuchte zu sein.

Doch er schämt sich nicht für die Inkommensurabilität. Er schämt sich dafür, sie nicht gekannt zu haben.

Unmittelbar danach erklärt er dieses Wissen zum notwendigen Bestandteil der Erziehung junger Menschen. Der Gegenstand sei weder schädlich noch schwierig. Man könne sich sogar spielerisch gegenseitig Aufgaben dazu stellen, eine weit edlere Beschäftigung als das Brettspiel der Alten.

Die einzige emotionale Quelle aus dem 4. Jahrhundert v. Chr., der wir hier begegnen, sagt also nicht: Diese Sache ist so furchtbar, dass man sie verstecken muss. Sie sagt: Dass jemand davon nichts weiß, ist beschämend. Deshalb sollen die Kinder sie lernen.

Die Richtungen sind genau entgegengesetzt. Die Krisenerzählung braucht Menschen, die mit dem Wissen nicht fertigwerden. Diese Quelle findet es peinlich, das Wissen nicht zu besitzen.

Und der Satz lässt sich nicht bequem in beide Richtungen lesen. Jeder unmittelbar folgende Satz zielt auf Bildung. Kein einziger zielt auf Abschottung.

Bei Aristoteles geht es noch ruhiger zu. Er benutzt den Beweis zur Quadratdiagonale als Standardbeispiel für die Widerlegung durch Widerspruch, im selben Ton, in dem ein heutiges Logiklehrbuch seine Beispiele vorführt. Keine Krise, kein Entsetzen, kein Tabu. Ordnen wir die erhaltenen Quellen nach ihren Reaktionen, ergibt sich folgende Kette.

Theodoros beweist einen Fall nach dem anderen. Theaitetos fasst die unendlich vielen Einzelfälle in Klassen zusammen. Platon verlangt, sie in die Bildung der Jugend aufzunehmen, und erklärt, man könne sie spielerisch lernen. Aristoteles macht daraus ein Musterbeispiel für den Logikunterricht.

Diese vier Menschen überspannen ungefähr ein Jahrhundert. Falls die Entdeckung irgendwann Panik auslöste, müsste diese Panik irgendwo in dieses Jahrhundert fallen. An keiner Stelle ist sie zu finden. Schließlich entfaltet das zehnte Buch der „Elemente“ den Gegenstand zu einer Klassifikationstheorie mit 115 Lehrsätzen. Es ist das umfangreichste der dreizehn Bücher. Nach der Zahl der Lehrsätze allein enthält es beinahe ein Viertel des gesamten Werkes.

Buch X behandelt keine Dezimalentwicklungen irrationaler Zahlen im späteren Sinn. Es untersucht Kommensurabilität und Inkommensurabilität zwischen Größen wie Strecken und Flächen sowie ein ganzes System von Klassen, die in Bezug auf eine festgelegte Grundstrecke definiert werden. In der zweiten Hälfte werden in großer Zahl verschiedene Typen konstruiert, benannt und voneinander unterschieden; anschließend werden ihre jeweilige Eindeutigkeit und ihre Beziehungen untereinander bewiesen.

115 Lehrsätze: Da hat jemand ein Gebiet als etwas betrachtet, das sich vollständig durcharbeiten lässt, und sehr lange daran gearbeitet. In der heutigen Geschichtsschreibung gilt dieses Buch weithin als Zusammenführung der Arbeit mehrerer Generationen, nicht als etwas, das Euklid allein aus dem Nichts erfand. Schweigen beweist nicht, dass niemand erschrocken war. Was niemand aufgeschrieben hat, können spätere Menschen nicht wissen.

Sichtbar ist aber diese Folge: Unterricht, Beweis, Verallgemeinerung, Klassifikation, Systematisierung. Keine Abschottung. Dass etwas zur Unterrichtsaufgabe und zur Empfehlung für die Kindererziehung wird, schließt frühere Erschütterungen nicht aus. Die erhaltenen Quellen haben jene Grundlagenkrise jedoch nicht bewiesen.

Legt man diese Kette neben die Geschichte auf dem Schiff, sprechen sie nicht von derselben Sache, nicht einmal von derselben Gefühlslage. Auf der einen Seite Schweigen, Ausschluss, göttliche Strafe und Ertrinken. Auf der anderen Zeichnen, Klassifizieren, Aufgaben und Spiele. Zwischen den beiden Seiten liegen mehr als fünfhundert Jahre. Und die spätere Seite erzählt viel aufregender.

6. Die Varianten

Die Geschichte des Hippasos liegt nicht in sechs Abschriften ein und derselben Geschichte vor. Es sind mehrere ursprünglich verschiedene Motive, die sich nach und nach aufeinander zubewegten.

Die früheste Fassung findet sich bei Plutarch, zwischen 75 und 100 n. Chr. Er sagt, die Pythagoreer hätten ihre Geheimnisse nicht ohne Weiteres aufgeschrieben. Als verborgene geometrische Lehren an Menschen gelangt seien, die ihrer nicht würdig waren, habe die Gottheit, so erzähle man, mit großen Katastrophen gedroht. Kein Name. Kein Mord durch Gefährten. Da waren seit dem angenommenen Geschehen bereits mehr als fünfhundertzwanzig Jahre vergangen.

Klemens verbindet um 190 bis 200 n. Chr. Hippasos mit einer aus zwölf Fünfecken bestehenden Kugel und mit einem Tod auf See. Hier wird der namentlich genannte Hippasos zum ersten Mal mit Bestrafung verknüpft, ungefähr sechshundertvierzig Jahre nach dem Ereignis.

Am vollständigsten und zugleich am gefährlichsten ist Iamblichos, dessen Werke um 300 n. Chr. entstanden. An einer Stelle sagt er, Hippasos habe als Erster jene Konstruktion aus zwölf Fünfecken veröffentlicht und gezeichnet und deshalb auf See das Schicksal eines Frevlers erlitten. Zugleich soll der eigentliche Entdecker weiterhin Pythagoras selbst gewesen sein. Anderswo heißt es, der Erste, der die Lehre vom Kommensurablen und Inkommensurablen an Unwürdige verraten habe, sei von der Gemeinschaft gehasst und ausgeschlossen worden. Man habe ihm sogar ein Grab errichtet, zum Zeichen, dass er für sie gestorben sei. In dieser Fassung gibt es weder einen Namen noch einen wirklichen Tod. Ein Stück weiter schreibt Iamblichos zunächst, wer die Einschreibung des Dodekaeders in die Kugel verraten habe, sei durch göttlichen Zorn auf See umgekommen. Gleich darauf fügt er hinzu, andere schrieben dasselbe Schicksal dem Verräter der Inkommensurabilität zu.

Bei ihm sind die beiden Geschichten bereits austauschbar, aber noch nicht verschmolzen. Diese Passage liegt ungefähr siebenhundertfünfzig Jahre nach dem Geschehen. Später verbindet Pappos in seinem Kommentar zum zehnten Buch der „Elemente“ die Veröffentlichung irrationaler Größen ausdrücklich mit dem Ertrinken; der konkrete Name dagegen ist nicht verlässlich festgelegt. Ordnet man all das, lässt sich ein sehr vorsichtiges Modell der Entstehung versuchen.

Erste Stufe: Im 1. Jahrhundert n. Chr. gibt es bereits das Motiv, Wissen müsse geheim bleiben und seine Preisgabe ziehe göttliche Strafe nach sich. Person, Todesart und mathematischer Gegenstand stehen aber noch nicht fest.

Zweite Stufe: Mindestens zwei konkretere Geschichten treten hervor. Die eine verbindet Hippasos, Dodekaeder und Tod auf See. Die andere einen Namenlosen, Inkommensurabilität und Ausschluss oder ein zu Lebzeiten errichtetes Grab. Dass Iamblichos beide Fassungen nebeneinander niederschreibt, zeigt: In seiner Zeit ließen sie sich bereits gegeneinander austauschen, waren aber noch nicht zu einer Geschichte geworden.

Dritte Stufe: Das Ertrinken wird ausdrücklich demjenigen zugeordnet, der irrationale Größen öffentlich machte. Der letzte verbleibende Schritt ist leicht. Wenn Hippasos in der anderen Geschichte ohnehin schon der Tote auf See ist, muss man die beiden Personen nur noch zusammenlegen.

Hier ist Vorsicht nötig. Dass sich Texte chronologisch ordnen lassen, beweist noch keine geradlinige Entwicklung. Die späten Autoren könnten durchaus alle auf ein früheres, inzwischen verlorenes Buch zurückgegriffen haben. Legt man die Varianten offen nebeneinander, bündeln sich die Unterschiede an vier Stellen.

Das Verratene ist nicht immer dasselbe. Einmal sind es geheime geometrische Lehrsätze, einmal die Theorie des Kommensurablen und Inkommensurablen, einmal das Dodekaeder, genauer: seine Einschreibung in eine Kugel. Keine frühe Quelle sagt, diese drei Dinge seien ursprünglich ein und dasselbe Geheimnis gewesen.

Auch der Mensch ist nicht derselbe. Plutarch nennt keinen Namen. Bei Iamblichos bleibt er an einer Stelle namenlos und heißt erst an einer anderen Hippasos. Bei Pappos steht der Name ebenfalls nicht sicher fest. Die Gleichung „Hippasos = Entdecker der Inkommensurabilität“ ist kein gemeinsamer Kern aller antiken Fassungen.

Die Strafe wechselt ebenfalls. Eine Gottheit droht mit Unheil. Jemand wird ausgeschlossen. Ein Lebender erhält ein Grab. Einer kommt auf See um. In keiner Fassung beschließen die Mitbrüder in einer Versammlung, ihn vom Schiff zu werfen.

Nicht einmal die Art der Schuld bleibt gleich. Einmal geht es um Geheimnisverrat an Unwürdige, einmal um Gottlosigkeit, einmal um die Verletzung des Schweigegebots. Ein anderes Mal veröffentlicht jemand eine Leistung, die eigentlich Pythagoras zugeschrieben werden müsste, und gewinnt dadurch persönlichen Ruhm. Gerade das Letzte passt ausgezeichnet zur Ideologie der späten Biographien, die jede Entdeckung dem Schulgründer zuteilen. Noch eine Behauptung müssen wir hier zerlegen, weil sie allzu schön ist: Die Griechen, heißt es, hätten solche Größen „unaussprechliche Zahlen“ genannt, weil es sich um ein religiöses Geheimnis gehandelt habe.

Wie bereits erläutert, bedeutet der früheste eindeutig belegte mathematische Ausdruck „nicht gemeinsam messbar“ und enthält keinen Hinweis auf ein Sprechverbot. Im Griechischen gibt es tatsächlich ein anderes Wort, das „unsagbar“, „nicht gesagt“ oder „nicht zu verraten“ bedeuten kann. Eine verwandte Wortfamilie bezeichnet auch Geheimnisse und das Verbot, etwas preiszugeben. Vermischt man das aber mit dem mathematischen Begriff und behauptet, schon der Name „irrationale Zahl“ bedeute ein geheimnisvolles religiöses Tabu, erfindet man eine Etymologie. Erst die fünfhundert bis achthundert Jahre jüngeren Erzählungen machten aus der Preisgabe mathematischen Wissens einen religiösen Frevel. Die mathematische Sprache des 5. Jahrhunderts v. Chr. tat das nicht.

Hat Hippasos denn überhaupt gelebt? Ja. Und die Belege sind nicht schlecht.

Aristoteles nennt ihn in der „Metaphysik“ zusammen mit Heraklit: Beide hätten das Feuer zum ersten Prinzip erklärt. Diese Aussage liegt nur etwa ein Jahrhundert nach seiner angenommenen Wirkungszeit und ist das stärkste Zeugnis zu seiner Person. Ein anderes stammt von Aristoxenos. Hippasos habe mit vier Bronzescheiben gleichen Durchmessers, aber unterschiedlicher Dicke die Verhältnisse von Tonhöhen untersucht. Moderne experimentelle Analysen halten eine solche Anordnung zumindest physikalisch für brauchbar.

Es gab also einen wirklichen Hippasos, eine Gestalt der frühen Naturphilosophie, die mit der Untersuchung von Zahlenverhältnissen zu tun hatte.

Alles Weitere an ihm bleibt unsicher. Herkunft, Schulzugehörigkeit, mögliche Schriften: Zu jedem Punkt gibt es widersprüchliche Angaben. Sogar die Listen des Iamblichos ordnen ihn verschiedenen Städten zu.

Dass dieser Mensch wirklich existiert hat, ist wichtig. Die Geschichte wurde nicht aus dem Nichts erfunden. Sie ist an einem wirklichen Menschen gewachsen.

Das macht es zugleich schwieriger, sie auseinanderzunehmen. Wäre Hippasos vollständig erfunden, genügte der Satz: Eine solche Person ist nicht nachweisbar. Aber es gab ihn. Aristoteles kannte seinen Namen. Abzutragen ist nicht dieser Mensch. Abzutragen ist, was andere ihm später angehängt haben.

7. In welchem Jahr wurde die Krise gemacht?

Nun zur zweiten Schicht.

Die Vorstellung einer „Grundlagenkrise“ erhielt ihre systematische Form 1928 durch Hasse und Scholz in einer Arbeit mit dem Titel „Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik“. Auch sie kam nicht aus dem Nichts. Bereits 1887 hatte Tannery in „La géométrie grecque“ vermutet, die früheste pythagoreische Geometrie habe sämtliche Größen für kommensurabel gehalten. Die Entdeckung der Inkommensurabilität nannte er einen logischen Skandal.

Der Aufbau des Arguments von Hasse und Scholz ist ausgesprochen modern. Am Anfang setzen sie eine frühe „allgemeine Arithmetik“ an: Die Pythagoreer hätten geglaubt, die messbare Welt lasse sich letztlich durch ganze Zahlen und deren Verhältnisse beherrschen. Mit der Inkommensurabilität tritt dann eine Größe auf, die sich nicht als Zahlenverhältnis ausdrücken lässt. Das müsste das gesamte System erschüttern. Anschließend liefert Eudoxos mit seiner Proportionslehre die Reparatur. Glaube, Katastrophe, Krise, Wiederherstellung. Vier Akte. Vollständig.

Knorr hat später gezeigt, woher dieses Modell kam. Die Untersuchung entstand im Umfeld einer bestimmten Lehrveranstaltung, gerade in den Jahren, in denen der Streit um die Grundlagen der modernen Mathematik besonders heftig tobte. Hasse und Scholz zogen ausdrücklich Analogien zwischen den Grundlagenproblemen des 19. und 20. Jahrhunderts und der Antike. Der Name „erste Grundlagenkrise“ benannte die Antike also von Beginn an mit den Kategorien einer Krise, die die Modernen selbst durchlebten. In der Antike erkannten sie das Schauspiel wieder, das ihnen aus der eigenen Zeit am vertrautesten war.

Die Hypothese half anschließend, noch ein weiteres Geschichtsbild zu formen. Weil die Inkommensurabilität den Weg über die Zahlen versperrt habe, hätten die Griechen ihre Algebra in der Geometrie verstecken müssen. So begann eine unbewiesene Krise, eine ganze weitere historische Gestalt zu erklären.

Høyrup bezeichnet die sogenannte griechische Grundlagenkrise in seinem Rückblick auf diese Geschichtsschreibung ausdrücklich als einen nur als gegeben angenommenen Befund. Das Deutungsmodell ist inzwischen selbst zum Gegenstand der Mathematikgeschichte geworden. Die Einwände dagegen liegen auf mehreren Ebenen.

Knorrs erster Schnitt ist der einfachste. Hasse und Scholz weisen die Krise nicht anhand antiker Quellen nach. Sie urteilen zunächst, eine solche Entdeckung müsse natürlicherweise eine Krise ausgelöst haben. Wäre ich ein Pythagoreer gewesen, wäre ich erschüttert gewesen. Das ist kein historischer Beleg.

Zweitens verlangt die Krisentheorie, dass die alte Proportionslehre beim Kontakt mit dem Inkommensurablen nicht mehr ordentlich funktioniert und mathematische Arbeit auf schwere Grundlagenhindernisse stößt. Zwischen 450 und 350 v. Chr. zeigen die Quellen aber keinen solchen Stillstand. Die Arbeiten des Hippokrates und des Archytas verwenden weiterhin in großem Umfang Proportionsgedanken. Von der angenommenen Lähmung findet sich keine Spur im tatsächlichen Arbeiten.

Drittens greift Burkert die Voraussetzung an. Es gibt keinen Beleg dafür, dass „Alles ist Zahl“ bedeutet: „Alle Längenverhältnisse sind Verhältnisse ganzer Zahlen.“ Zahl ist bei Aristoteles zunächst eine aus Einheiten zusammengesetzte Vielheit. Die von ihm beschriebene Ontologie liegt weit von dem späteren Lehrbuchsatz entfernt, jede Größe lasse sich als rationale Zahl schreiben. War diese Voraussetzung nie ein ausdrücklich formuliertes Axiom der damaligen Menschen, bricht der nächste Schritt weg: Die Inkommensurabilität habe das oberste Glaubensbekenntnis der Schule widerlegt.

Die am weitesten verbreitete Geschichte braucht also schon für ihr erstes Glied zwei Übersetzungen. Zuerst übersetzt sie die von Aristoteles beschriebene Ontologie in den Satz, alle Längenverhältnisse seien Verhältnisse ganzer Zahlen. Dann lässt sie ein geometrisches Gegenbeispiel diesen Satz zerstören. Für die erste Übersetzung gibt es keine Grundlage in einem antiken Text.

Viertens gibt es in den späten Texten tatsächlich Geheimnisse, göttliche Strafe und Tod. Gerade diese emotionalen Belege zitiert die Krisentheorie besonders gern. Sie erscheinen aber erst von Plutarch an, mehr als fünfhundert Jahre später. Und sie handeln von Geheimnisverrat und Frömmigkeit, nicht von einem logischen Widerspruch in den Grundlagen der Mathematik. Aus einer religiösen Verratsgeschichte eine Krise der Mathematikphilosophie zu machen, ist eine moderne Deutung.

Knorr bezeichnet die antike Grundlagenkrise schließlich als moderne Fiktion. Damit meint er nicht, die Inkommensurabilität sei unwichtig gewesen. Er meint, dass die Krise durch Quellen nie belegt wurde. Sie wäre ein psychologisches und institutionelles Ereignis gewesen. In den Quellen ist sie nicht zu finden. Der namentlich bekannte Entdecker gehört zu einer weiteren Rekonstruktionsschicht. Eine Abhandlung von 1945 war ein wichtiger Punkt ihrer weiten Verbreitung, kein sicher bestimmbarer Ursprung.

1945 veröffentlichte Kurt von Fritz einen Aufsatz mit dem Titel „Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Hippasos von Metapont“. Er begründete systematisch die schon bestehende Hypothese, Hippasos sei der Entdecker, und versuchte zugleich, den Entdeckungsweg über das regelmäßige Fünfeck und das Dodekaeder zu erklären. Mathematisch ist diese Rekonstruktion schön. In den Quellen fehlt der unmittelbare Verbindungssatz. Das erhaltene Material reicht nicht aus, um die ganze Kette „Hippasos entdeckt über das Dodekaeder die Inkommensurabilität“ direkt zu bestätigen. Nebeneinandergestellte spätantike Varianten werden nicht von selbst zu einer Aufzeichnung des Entdeckungsvorgangs.

Doch der Aufsatz erschien in einem fachwissenschaftlichen mathematikhistorischen Umfeld. Da konnten spätere Lehrbücher seine These leicht zu einer Tatsache zusammendrücken.

Nach der Mitte des 20. Jahrhunderts verband sich eine umfassende Erzählung von der großen Revolution der griechischen Mathematik ganz mühelos mit diesem namentlich bekannten Entdecker. Gesamtdarstellungen trugen sie zu einem breiteren Publikum. In der populären Weiterverarbeitung wurde aus dem antiken Tod auf See als göttlicher Strafe nach und nach ein moderner Tatort: Die Entdeckung sei an Bord erfolgt. Die anderen hätten ihn ins Meer geworfen. Pythagoras persönlich habe ihn zum Tode verurteilt. Diese Fassung ist dramaturgisch vollkommen. Und sie ist ausgerechnet die jüngste, am schlechtesten belegte Schicht des gesamten Materials.

Stellen wir die Jahreszahlen der drei Verknüpfungen nebeneinander.

Die Inkommensurabilität selbst: 5. Jahrhundert v. Chr. Die Geschichten von Verrat und göttlicher Strafe: ab dem 1. Jahrhundert n. Chr., mehr als fünfhundert Jahre später. Die Grundlagenkrise: 1928. Eine wichtige systematische Begründung der Zuschreibung an Hippasos: 1945. Dass die Gefährten ihn über Bord werfen: noch später, ohne auffindbare Quelle. Je näher die Geschichte unserer Gegenwart kommt, desto vollständiger wird sie erzählt.

8. Aufnahme ohne Krise

Die Inkommensurabilität wurde tatsächlich bewältigt. Nur auf eine ganz andere Weise, als die Krisenerzählung es sich vorstellt.

Das fünfte Buch der „Elemente“ bewahrt eine Proportionslehre, deren Kern in der heutigen Mathematikgeschichte gewöhnlich mit Eudoxos verbunden wird, obwohl Euklids Text seinen Namen nicht nennt. Ihr klügster Zug: Sie sucht gar nicht erst nach dem gemeinsamen Maß. Und sie schreibt das Verhältnis zweier Größen nicht als Zahl hin.

In Worten lässt sich ihre Prüfung, ob zwei Verhältnisse gleich sind, so beschreiben: Man nimmt die beiden Größenpaare und vergleicht beliebige ganzzahlige Vielfache miteinander. Welche Vielfachen man auch wählt: Ist beim ersten Paar das Vielfache der ersten Größe größer als, gleich groß wie oder kleiner als das Vielfache der zweiten, und bleiben die entsprechenden Vielfachen beim zweiten Paar immer in genau derselben Größer-, Gleich- oder Kleiner-Beziehung, dann gelten die beiden Verhältnisse als gleich.

Auch wenn sich für zwei Strecken niemals ein gemeinsames Maß finden lässt, können ihre Verhältnisse damit streng verglichen werden.

Die Definition liest sich umständlich. Sie sagt nicht, wie groß ein Verhältnis ist. Sie sagt nur, unter welchen Bedingungen zwei Verhältnisse als gleich gelten. Etwas, das man gern unmittelbar aussprechen würde, ersetzt sie durch ein ganzes Gefüge von Beziehungen, die zu prüfen sind. Um die Gleichheit zweier Verhältnisse zu beurteilen, muss man alle möglichen ganzzahligen Vielfachen berücksichtigen. Man gewinnt Strenge und bezahlt mit Einfachheit.

Dieses Verfahren behandelt kommensurable und inkommensurable Größen gleich. Es beseitigt den lästigen Gegenstand nicht und tut auch nicht so, als gäbe es ihn nicht. Es verändert den Maßstab dafür, was als gleich gilt, und macht daraus einen Maßstab, der ohne gemeinsames Maß auskommt.

Ob Eudoxos das ausdrücklich zur Bewältigung der Inkommensurabilität tat, darüber hat uns kein antiker Autor eine Selbstauskunft hinterlassen. Ihrer Funktion nach löst die Theorie das Problem vollkommen. Über die Ursachen lässt sich nur sagen, dass inkommensurable Größen ein wichtiger Hintergrund waren, vor dem eine allgemeine Proportionslehre nötig wurde. Zu schreiben, er habe diese Definition erfunden, um eine Krise zu reparieren, ginge zu weit. Knorr rekonstruiert vielmehr eine allmähliche Entwicklung: Die Klassifikationen des Theaitetos und frühe Proportionsverfahren mit wechselseitiger Subtraktion machten nach und nach technische Grenzen sichtbar. Eine Theorie nach Art des Eudoxos war der nächste Schritt, um den Anwendungsbereich zu erweitern.

Hier können wir noch eine weit verbreitete Behauptung beiseitelegen. Es heißt, die Griechen hätten ursprünglich alles arithmetisch behandelt. Nach der Entdeckung irrationaler Größen sei die Arithmetik zusammengebrochen, und ihnen sei nichts übrig geblieben, als sich in die Geometrie zu flüchten.

Daran passt einiges nicht. Griechische Geometrie entstand offensichtlich nicht erst nach der Inkommensurabilität. Eine Krise erklärt nicht, warum eine bereits vorhandene Tradition sich zu sich selbst hinwenden müsste. Die Bücher VII bis IX der „Elemente“ enthalten eine hochentwickelte Theorie ganzer Zahlen: Teilerfremdheit, Primzahlen, größte gemeinsame Teiler, gerade und ungerade Zahlen, alles vorhanden. Innerhalb der 465 Lehrsätze des Gesamtwerks ist das kein Randgebiet. Außerdem waren „Zahl“ und „Größe“ für die Griechen von vornherein verschiedene Arten von Gegenständen. Wer über inkommensurable Größen sagt, die Griechen hätten eine neue Zahl entdeckt, sich aber geweigert, sie als Zahl anzuerkennen, schreibt die antiken Begriffe bereits mit unserer modernen Vorstellung reeller Zahlen um.

Das Wichtigste: Die Griechen des 4. Jahrhunderts v. Chr. gingen dem Gegenstand nicht aus dem Weg. 115 Lehrsätze in Buch X sehen danach aus, dass man etwas bis auf den Grund erforscht. Nicht danach, dass man es umgeht.

Eine schwächere Fassung lässt sich durchaus halten. Die Inkommensurabilität verschärfte tatsächlich die technische Unterscheidung zwischen Zahlen und kontinuierlichen Größen. Eine allgemeine Proportionslehre musste geometrische Größen deshalb auch ohne gemeinsame Einheit behandeln können. Diese Unterscheidung beeinflusste tatsächlich die Ausdrucksformen der griechischen Mathematik.

Aber hier prägt eine mathematische Struktur die Methode. Das ist keine Flucht infolge einer psychischen Krise. Den ersten Satz kann man schreiben, den zweiten nicht.

Zurück zu dem Mann, den man ins Meer geworfen haben soll. Die Sache mit der Struktur ist fest belegt. Quadratseite und Diagonale haben kein gemeinsames Maß. Die Menschen des 4. Jahrhunderts v. Chr. bewiesen das, lehrten es, ordneten es in Klassen und nahmen es in ihre Vorschläge zur Erziehung auf.

Die Sache mit dem Menschen steht auf weichem Grund. Der Name des Entdeckers blieb nicht erhalten. Der Augenblick der Entdeckung blieb nicht erhalten. Einen wirklichen Hippasos gab es. Aber keine zuverlässige zeitgenössische Aufzeichnung bestätigt ihn als Urheber dieser Entdeckung. Die Verknüpfungen in den späten Legenden müssen einzeln geprüft werden. Spätere Erzählungen ergänzten ein Opfer. Noch spätere ergänzten eine Krise.

Beide Ergänzungen weisen in dieselbe Richtung. Eine strukturelle Tatsache hat keinen Hauptdarsteller und keinen Wendepunkt. Sie gilt einfach. Setzt man einen Menschen hinein, hat sie einen Hauptdarsteller. Fügt man einen Zusammenbruch hinzu, hat sie einen Wendepunkt. Eine strukturelle Tatsache ohne Menschen darin lässt sich nicht weitererzählen. Also wurde jemand hineingesetzt.

Diesen Menschen haben wir im ganzen Essay nicht gefunden. Gefunden haben wir einen wirklich existierenden Naturphilosophen, einen alten Lehrer aus Kyrene, einen jungen Mann, den man nach Athen zurückträgt, und eine Gruppe, die in den Konflikten süditalienischer Stadtstaaten auseinandergetrieben wurde. Die meisten ihrer Namen sind verloren. Keine verlässliche Quelle belegt, dass einer von ihnen wegen dieser Entdeckung ins Meer geworfen wurde. Das am festesten Belegte ist ausgerechnet das, was am wenigsten nach einer Geschichte aussieht: Jemand bewies, dass etwas unmöglich ist. Wer dieser Jemand war, ist nicht überliefert.

Wie man später mit diesem Unmöglichen umging, verdient eher, im Gedächtnis zu bleiben, als irgendeine Fassung der Geschichte.

Niemand fand das gemeinsame Maß. Es existiert nicht. Niemand erklärte aber auch, dass sich die beiden Strecken fortan nicht mehr vergleichen ließen.

Verändert wurde etwas Drittes: was es heißt, dass zwei Verhältnisse gleich sind.

Die neue Formulierung fragt nicht mehr, wo das gemeinsame Maß steckt. Sie verlangt nur, beliebige ganzzahlige Vielfache zu prüfen. Wie man auch prüft, auf beiden Seiten müssen die Größenbeziehungen übereinstimmen.

Was zuvor unerreichbar war, wurde durch eine andere Formulierung erreichbar.

Das ist kein Ausweichen. Man hat das Wort „erreichen“ neu bestimmt: als etwas, das auch ohne gemeinsames Maß möglich ist.

Diese Bewegung wird uns später noch mehrmals begegnen, jedes Mal unter einem anderen Namen. Und jedes Mal verändert sich nicht das Unerreichbare. Es verändert sich das Kriterium dafür, wann man es erreicht hat.

Mit Zahlen wird weitergerechnet. Was als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend ausgerechnet worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Materialien beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen im Text. Sammlungskataloge, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Carl Huffman: Pythagoras
• Clay Mathematics Institute: Euklids „Elemente“
• Euklid: Buch V, Definitionen 5–6
• Hasse und Scholz: Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik (1928)
• Knorrs Bücher: Vorworte und wissenschaftliche Rezensionen
• Was Zenon Hippasos verdankt, Hyperboreus 23.2 (2017)