Der Bau der Axiome

I Kein Königsweg

Ptolemaios fragte Euklid, ob man die Geometrie nicht auf einem kürzeren Weg erlernen könne, als dieses ganze Buch durchzuarbeiten. Euklid soll geantwortet haben: Zur Geometrie gebe es keinen Königsweg. Seit anderthalb Jahrtausenden wird dieser Satz weitererzählt. Er ist kurz, er zeigt Rückgrat, und er bringt einen Mathematiker mit einem König in ein Zimmer, um den Mathematiker gewinnen zu lassen.

Geschichten dieser Art folgen einem vertrauten Muster. Die Macht möchte eine Abkürzung nehmen, das Wissen verweigert sie. Man braucht keine Geometrie zu verstehen, um zu begreifen, worum es geht. Und hinterher steht man auf der Seite der Mathematik. So funktionieren brauchbare Geschichten: Sie verlangen keine Kenntnis des Fachs, nur ein Gespür für die Haltung. Eine Geschichte aber, die allein von einer Haltung lebt, braucht auf ihrem Weg durch die Jahrhunderte nicht einmal ihre Hauptfigur zu behalten.

Überliefert hat sie Proklos, der um 450 n. Chr. schrieb. Sollte sich die Szene um 300 v. Chr. abgespielt haben, liegen zwischen ihr und ihrer Niederschrift etwa 750 Jahre. Woher er die Geschichte kannte, sagt Proklos nicht.

Es gibt noch ein schwerwiegenderes Problem. Ein anderer Sammler des fünften Jahrhunderts, Stobaios, bewahrt eine zweite Fassung derselben Geschichte. Wieder fragt ein König nach einem schnelleren Zugang zur Geometrie. Wieder erklärt ein Mathematiker, für die Reise des Königs gebe es Königsstraßen, für die Geometrie dagegen nicht. Nur heißt der König diesmal Alexander der Große und der Mathematiker Menaichmos.

Dieselbe Geschichte, zwei Paare aus Lehrer und Schüler, beide mehr als sieben Jahrhunderte älter als der jeweilige Bericht. Das ist keine gegenseitige Bestätigung. Es ist das Gegenteil. Lässt sich eine Geschichte zwei verschiedenen Paaren anhängen, kommt es offenbar nicht besonders darauf an, wem man sie anhängt.

Dabei sind beide Fassungen durchaus plausibel. Menaichmos war tatsächlich ein Mathematiker des vierten Jahrhunderts v. Chr., Alexander tatsächlich ein König. Zeitlich passt es. Auch Euklid und Ptolemaios I. passen zusammen. Die Geschichte verrät sich nicht durch einen Fehler in ihrem Ablauf. Sie verrät sich dadurch, dass es sie zweimal gibt.

Stobaios überliefert noch eine andere Anekdote. Ein Schüler hat gerade den ersten Satz gelernt und fragt, was ihm dieses Wissen einbringe. Euklid lässt ihm von einem Diener drei Obolen geben: Offenbar müsse er aus dem Lernen unbedingt einen Vorteil ziehen. Aus diesen beiden Geschichten zusammengenommen ist der Euklid entstanden, den die Nachwelt zu kennen glaubt. Stolz und streng, über jeden praktischen Nutzen erhaben, selbst vor Königen unbeugsam.

Die frühesten Belege für beide Anekdoten stammen aus dem fünften Jahrhundert n. Chr.

Man muss deshalb nicht aufhören, sie zu erzählen. Es handelt sich um wirkliche Texte der Spätantike. Sie zeigen, wie man sich damals einen Mathematiker vorstellen wollte. Schon darin liegt ihr Quellenwert. Nur berichten sie nicht, was Euklid an einem bestimmten Tag tatsächlich getan hat.

Für die Haltung, Wissen nicht gegen Vorteile einzutauschen, gibt es eine erheblich ältere Quelle, deren Wortlaut nachzulesen ist. Der Sprecher ist allerdings nicht Euklid. Im siebten Buch des Staates schreibt Platon im vierten Jahrhundert v. Chr. über den Arithmetikunterricht für die künftigen höchsten Amtsträger der Polis. Sinngemäß sollen sie sich nicht mit oberflächlicher Kenntnis begnügen, sondern so weit gehen, dass sie das Wesen der Zahlen im Denken erfassen. Nicht, um wie Kaufleute und Krämer Handel zu treiben, sondern für die Kriegführung und damit die Seele sich vom Wandelbaren zum wahrhaft Seienden wende. Kurz zuvor sagt er es noch schlichter: Ein Soldat müsse mit Zahlen umgehen können, um sein Heer aufzustellen. Nicht für den Handel und für den Krieg sind bei ihm die beiden Hälften desselben Satzes.

In den ersten beiden Folgen begegneten uns zwei Arten von Rissen in einer Überlieferung. Bei Herodot, in der ersten Folge, stand das verräterische »meiner Ansicht nach« schon im eigenen Text. Bei Hippasos, in der zweiten, widersprachen sich die Fassungen und wurden dabei umso vollständiger, je später sie entstanden. Hier zeigt sich eine dritte Art: Die Hauptfigur ist austauschbar. Es lohnt sich deshalb, eigens zu fragen, was von diesem Menschen übrig bleibt, wenn man ihm die beiden Anekdoten nimmt. Die Antwort lautet: fast nichts.

Keine Beschreibung hält stand, nach der er freundlich, ernst, arm, ein Verächter des Nutzens oder ein begabter Lehrer gewesen wäre. Solche Charakterbilder sind im Wesentlichen aus den beiden Anekdoten zurückgerechnet. Zugleich lässt sich jedes Wort seines Buches prüfen. Dessen Überlieferung kann man Glied für Glied zurückverfolgen: Theon bearbeitete es im vierten Jahrhundert, die entscheidende Handschrift im Vatikan wird ins neunte bis zehnte Jahrhundert datiert, und selbst die Spuren der Abschreiber, die seine Zeichnungen von Generation zu Generation etwas ordentlicher machten, sind noch da. Was uns für den Menschen fehlt, besitzen wir für das Buch.

Hier liegt der größte Unterschied zu den beiden vorangegangenen Folgen. In der ersten hatten wir materielle Zeugnisse ohne Namen. In der zweiten einen Namen ohne materielles Zeugnis. Hier haben wir ein vollständiges Buch, dessen Wortlaut sich im Einzelnen vergleichen lässt, und einen Autor, der beinahe eine Leerstelle ist. Der Mensch ist fast verschwunden. Sein Bau steht noch immer vollständig vor uns, Satz an Satz, seit 2300 Jahren nicht eingestürzt.

II Wir kennen das Buch, nicht den Menschen

Für Euklid gibt es keine verlässliche zeitgenössische Lebensbeschreibung. Keine Geburts- oder Sterbeurkunde, keine Familiengeschichte, keinen belegten Lehrer, kein Dokument über eine Anstellung. Die Angabe »um 300 v. Chr.« bezeichnet zunächst eine aus relativen Datierungen erschlossene Wirkungszeit, keine Lebensdaten. Ordnet man die Zeugnisse, in denen er vorkommt, nach ihrem Alter, ergibt sich folgendes Bild.

Die früheste unabhängige Nennung findet sich bei Apollonios, im Vorwort zu den Kegelschnitten. Sie stammt ungefähr vom Ende des dritten oder Anfang des zweiten Jahrhunderts v. Chr., liegt also etwa hundert Jahre nach 300 v. Chr. Das ist wichtig: Die Behauptung, Euklid sei erst in später Zeit frei erfunden worden, lässt sich damit kaum aufrechterhalten. Um 200 v. Chr. gab es bereits einen Euklid, den ein hochrangiger Geometer als Vorgänger behandelte. Apollonios nennt ihn zudem, um ihn zu kritisieren. Euklid habe eine bestimmte Klasse von Ortslinienproblemen nur unvollkommen behandelt.

Gerade die Unhöflichkeit macht dieses Zeugnis wertvoll. Wenn ein späterer Autor im eigenen Buch einem Vorgänger Fehler vorhält, lässt sich eine solche Erwähnung schwerer erfinden als ein Lob. Sie zeigt auch deutlicher, dass der Genannte damals ein konkreter Gegenstand fachlicher Auseinandersetzung war und nicht bloß ein Symbol.

Pappos verfasste seine Sammlung um 320 n. Chr., etwa 620 Jahre nach Euklid. Dort heißt es, Apollonios habe in Alexandria mit Schülern Euklids Umgang gehabt. Für die Verortung in Alexandria ist dieser Satz ein wichtiger zusätzlicher Beleg. Doch auch zwischen dem berichteten Vorgang und dem Bericht liegen schon rund fünfhundert Jahre. Proklos schrieb seinen Kommentar zum ersten Buch der Elemente um 450 n. Chr., etwa 750 Jahre nach Euklid. Von dort stammt das Gerüst der späteren Lebensbeschreibungen. Stobaios, die Quelle der beiden Anekdoten, gehört ebenfalls ins fünfte Jahrhundert.

Das Bücherverzeichnis des Ibn an-Nadim entstand um 987, ungefähr 1290 Jahre nach Euklid. Für die Überlieferung seiner Werke ist es außerordentlich wichtig, für eine private Lebensgeschichte bereits viel zu spät. Erst in arabischen biografischen Sammlungen des zwölften und dreizehnten Jahrhunderts tauchen schließlich ein Geburtsort und der Name des Vaters auf. Da sind etwa anderthalb Jahrtausende vergangen. Auf diese zeitliche Staffelung kommt es an. Populäre Lebensbeschreibungen pressen die um Jahrhunderte getrennten Zeugnisse gern in einen einzigen Absatz, der sich dann liest wie ein Bericht von Zeitgenossen.

Alexandria als Wirkungsort ruht auf zwei Stützen: der Angabe des Proklos und jenem Satz des Pappos. Beide weisen in dieselbe Richtung. Das ist mehr als eine einzelne Anekdote, aber keines von beiden ist ein zeitgenössisches Zeugnis. Die Einordnung in die Regierungszeit Ptolemaios' I. geht vor allem auf Proklos zurück. Eines seiner Argumente lautet, Archimedes habe Euklid erwähnt; gerade an dieser Stelle gibt es jedoch in der Textüberlieferung ein Problem mit späteren Zusätzen. Dass Euklid ein besoldeter Gelehrter des Museions gewesen sei, ist nicht hinreichend belegt.

Die anschaulichste Beschreibung des Museions aus eigener Anschauung verdanken wir Strabon, ungefähr am Ende des ersten Jahrhunderts v. Chr. Er sah diese Einrichtung mit eigenen Augen, allerdings fast dreihundert Jahre nach 300 v. Chr. Er beschreibt einen Teil des Palastbezirks, mit Wandelgängen, Sitzplätzen und einem Saal für gemeinsame Mahlzeiten. Der Besitz sei gemeinschaftlich, die Leitung liege bei einem vom Königshaus ernannten Priester. Dass Euklid dort auf einer Mitgliederliste stand, sagt er nicht.

Die Bibliothek von Alexandria ist ein allzu verlockender Hintergrund. Man setzt einen Menschen, dessen Leben fast unbekannt ist, in eine berühmte Bibliothek, und schon sieht der Leser alles vor sich: lange Gänge, Schriftrollen, vom Königshaus unterhaltene Gelehrte. Die Einrichtung hat es gegeben, und auch das Bild stimmt ungefähr. Nur steht sein Name auf keiner Liste. Sicher ist allein: Später sagte jemand, Euklid habe dort Schüler unterrichtet. Dieser Jemand lebte sechshundert Jahre nach ihm.

Eine weitere Frage verdient wenigstens eine Erwähnung. War Euklid überhaupt ein einzelner Mensch?

Auch in der ernsthaften Wissenschaftsgeschichte ist darüber nachgedacht worden. Eine Untersuchung von 2013 verfolgte eigens die Geschichte der Hypothese eines »vielköpfigen Euklid« und der Vergleiche mit jenem modernen Kollektivpseudonym. Es wäre also falsch zu behaupten, niemand habe diese Möglichkeit je erwogen.

Die vorherrschende Auffassung ist sie heute allerdings nicht. Alle antiken Zeugnisse, die Euklid beim Namen nennen, behandeln ihn als einzelne Person. Apollonios kritisiert, was Euklid gemacht habe; Proklos reiht ihn unter andere individuelle Mathematiker ein. Die moderne Forschung versteht seine Arbeit eher als Ordnung vorhandenen Wissens, Neufassung von Beweisen und Gestaltung des Gesamtaufbaus. Die enge architektonische Verzahnung des Werkes lässt sich gut als Arbeit eines durchsetzungsstarken Redaktors erklären.

In einem Punkt trägt der Vergleich: Ein Autorenname muss nicht für ein einsames Genie stehen, das ein ganzes Buch aus dem Nichts geschrieben hat. Dieses Werk hat offenkundig Ergebnisse mehrerer Generationen aufgenommen. Außerdem ist der erhaltene Text durch spätere Bearbeiter gegangen. Man muss den Autor von den Schichten des Textes unterscheiden.

Wichtiger ist, wo der Vergleich versagt. Bei jenem modernen Kollektiv kennen wir nachweisbare Mitglieder, Statuten, eine Geschichte der Zusammenarbeit und einen bewusst gewählten gemeinsamen Namen. Für den antiken Euklid fehlt jedes Gegenstück dazu. Wer von »Das Buch verarbeitet sehr viele ältere Ergebnisse« zu »Euklid war ein absichtlich geschaffenes Pseudonym einer Schule« übergeht, überspringt genau das, worauf es ankäme: den Beleg. Dass der Text mehrere Schichten hat, ist eine Tatsache. Dass sein ursprünglicher Autor notwendig ein Kollektiv war, ist keine.

Der Mensch, von dem diese Folge handelt, kann deshalb vorerst nur eine Stelle in der Geschichte besetzen: Irgendwo, irgendwann um 300 v. Chr., hat ein Mensch oder eine Gruppe die geometrischen Ergebnisse mehrerer vorangegangener Generationen noch einmal ausgewählt, neu angeordnet, ihre Beweise vervollständigt und entschieden, was ganz an den Anfang gehört. Die Folgen dieser Entscheidung bilden den Ausgangspunkt für alles Weitere.

III Dieses Buch entstand nicht aus dem Nichts

Das Verzeichnis zur Geschichte der Geometrie, das Proklos bewahrt hat, setzt die Abfassung von Elementen ausdrücklich schon vor Euklid an.

Als Ersten nennt es Hippokrates von Chios. Später habe Leon ein sorgfältigeres Werk verfasst, noch später Theudios von Magnesia ein weiteres, das als vorzüglich gerühmt wurde. Keines dieser drei Bücher ist als eigenständiges Werk erhalten geblieben.

Diese drei Namen sollte man sich einen Augenblick merken. Sie zeigen etwas, das leicht übersehen wird: Schon vor Euklid hatten mindestens drei Menschen Arbeit derselben Art geleistet, und sie war mehrfach neu unternommen worden. Leons Werk galt als sorgfältiger, das des Theudios als vorzüglich. Wo verglichen wird, konnte man offenbar Qualitätsunterschiede erkennen. Und solche Bücher müssen im Umlauf gewesen sein.

Die Überlieferungskette verdient es, offengelegt zu werden. Hippokrates wirkte ungefähr im fünften Jahrhundert v. Chr., Proklos schrieb um 450 n. Chr. Dazwischen liegen fast neunhundert Jahre. Doch dieser historische Katalog geht nach verbreiteter Auffassung zumindest teilweise auf die verlorene Geschichte der Geometrie zurück, die Eudemos am Ende des vierten Jahrhunderts v. Chr. verfasste. Hier wurde also nicht neunhundert Jahre später plötzlich ein Name erfunden. Die Spätantike bewahrte Material eines Historikers des vierten Jahrhunderts v. Chr.

»Elemente« war schon vor Euklid die Bezeichnung einer Buchgattung. Darin wurden die Sätze eines Fachs, die man für grundlegend und als Werkzeug späterer Beweise brauchbar hielt, in einen systematischen Zusammenhang gebracht. Euklids am deutlichsten erkennbare Leistung besteht im Auswählen, Umordnen, Vereinheitlichen und Ergänzen von Beweisen. Niemand muss deshalb behaupten, vor ihm habe es keine Geometrie gegeben.

Das verändert alle späteren Urteile. Hätte Euklid das Werk von Grund auf erfunden, wäre jede seiner Anordnungen seine eigene Entscheidung. Hat er dagegen eine bestehende Tradition geordnet, kann er manches übernommen und anderes geändert haben. Was zu welcher Kategorie gehört, lässt sich heute nicht mehr auseinanderhalten.

Ob er das fünfte Postulat selbst formuliert oder aus einem älteren Werk übernommen hat, ist nicht belegt.

Auch bei den einzelnen Büchern muss man nach der Tragfähigkeit der Zuschreibung unterscheiden. Dass die Proportionslehre des fünften Buches eng mit Eudoxos verbunden ist, darf als gesichert gelten. Dass der gesamte Wortlaut und Aufbau von Eudoxos stammen, ist unbelegt. Hinter dem zehnten Buch steht eine auf Theaitetos zurückgehende Forschungstradition: gesichert. Jeden einzelnen Satz einem Autor zuzuschreiben: nicht haltbar. In das dreizehnte Buch sind voreuklidische Arbeiten über regelmäßige Polyeder eingegangen: gesichert. Die Behauptung, es sei hauptsächlich von einer bestimmten Person geschrieben worden, steht auf erheblich schwächerem Boden.

Proklos sagt, Euklid habe viele Sätze des Eudoxos in sein Werk eingeordnet und zahlreiche von Theaitetos bereits untersuchte Ergebnisse vervollkommnet. Das sind Aussagen über Anordnung und Ausarbeitung, nicht über Abschreiben. Was dieses Buch eigentlich ist, lässt sich auch mit drei gängigen Bezeichnungen nur teilweise treffen. Keine passt ganz.

Eine Sammlung von Forschungsaufsätzen ist es nicht, denn der größte Teil seines Inhalts hatte bereits vor Euklid eine Geschichte. Eine bloße Zusammenstellung von Auszügen ist es ebenso wenig: Die Abfolge der Abhängigkeiten, die Platzierung der Definitionen und das Ergänzen benötigter Voraussetzungen verlangen beträchtliche redaktionelle Gestaltungskraft. Manche Forscher haben es als einen Vorrat an Ergebnissen beschrieben, aus dem man immer wieder schöpfen konnte.

Und ein Lehrbuch? Seine spätere Verwendung lässt keinen Zweifel daran. Als ursprüngliche Absicht lässt sich das jedoch nicht unmittelbar belegen. Es gibt kein Vorwort Euklids, in dem stünde, dieses Buch sei für Anfänger bestimmt. Einen Lehrplan aus dem Jahr 300 v. Chr. gibt es auch nicht.

Der Umfang: dreizehn Bücher, 465 Propositionen, insgesamt ungefähr 131 Definitionen. Fünf Postulate und fünf Gemeinsame Begriffe stehen gleich zu Beginn des ersten Buches.

Die Bücher sind höchst ungleich lang. Das zehnte ist mit 115 Propositionen das umfangreichste; es enthält für sich genommen fast ein Viertel aller Propositionen des Werkes. Das zweite hat gerade vierzehn.

Auch ihr Charakter unterscheidet sich. Die Bücher sieben bis neun behandeln die Theorie der ganzen Zahlen: Teilerfremdheit, Primzahlen, den größten gemeinsamen Teiler. Mit Geometrie haben sie nicht unmittelbar zu tun. Die Bücher elf bis dreizehn widmen sich der Raumgeometrie. Das fünfte handelt von den Verhältnissen allgemeiner Größen. Wie in der vorigen Folge beschrieben, lassen sich damit kommensurable und inkommensurable Größen gleichermaßen behandeln.

Dies ist also kein Geometriebuch. Es versammelt, nach Gebieten geordnet, das, was seinerzeit als Grundlage gelten konnte.

Allerdings sind das die Zahlen des überlieferten Textes, wie sie sich in modernen kritischen Ausgaben stabilisiert haben, nicht die Angaben einer von Euklid selbst abschließend genehmigten Inhaltsübersicht. Wie viele Gemeinsame Begriffe ursprünglich am Anfang standen und ob einzelne Definitionen und Postulate tatsächlich von ihm stammen, sind weiterhin Fragen der Textkritik.

Die Reihenfolge am Anfang des ersten Buches sollte man sich merken. Zunächst kommen 23 Definitionen: Punkt, Linie, Gerade, Fläche, Winkel, Kreis, rechter Winkel, Parallelen. Dann die fünf Postulate. Dann die Gemeinsamen Begriffe. Erst danach die erste Aufgabe. Es sieht aus, als lägen sämtliche Fundamente offen am Anfang. Es sieht so aus. In diesen vier Wörtern steckt der ganze Rest dieser Folge.

IV Das fünfte Postulat

Um zu erkennen, was am fünften Postulat so besonders ist, muss man zunächst sehen, wie Euklid den Anfang seines Buches eingerichtet hat.

Das erste Buch eröffnet mit 23 Definitionen. Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist Länge ohne Breite. Es folgen unter anderem Kreis, rechter Winkel und parallele Geraden. Nach den Definitionen führt er fünf Dinge auf.

Das erste: Von jedem Punkt zu jedem Punkt darf eine Gerade gezogen werden. Dieser Satz wird nicht bewiesen. Er soll auch gar nicht bewiesen werden. Es ist ein Antrag: Man gestatte mir diese Handlung.

Mit den nächsten drei Dingen verhält es sich ebenso. Eine begrenzte Gerade darf in ihrer Richtung beliebig weit verlängert werden. Um jeden beliebigen Mittelpunkt darf mit jeder beliebigen Länge als Radius ein Kreis beschrieben werden. Alle rechten Winkel sind einander gleich. Dann kommt das fünfte.

Wenn eine Gerade zwei andere Geraden so schneidet, dass die beiden inneren Winkel auf derselben Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich diese beiden Geraden, unbegrenzt verlängert, auf jener Seite. Nach den fünf Postulaten stehen noch fünf allgemeinere Aussagen: Größen, die derselben Größe gleich sind, sind einander gleich; das Ganze ist größer als der Teil; und Ähnliches. All das steht ganz vorn im Werk. Zuerst wird klargestellt, was nicht bewiesen werden soll.

Spätere Mathematiker werden diese Liste bis zum Ende prüfen: Wenn hier der Ausgangspunkt liegt, darf nichts anderes hinzukommen. Mag es noch so selbstverständlich aussehen. Euklid hat die Zeichnung noch nicht vor die Tür gesetzt. Aber er hat die Ausgangspunkte auf das Papier gebracht. Auf diese Anordnung kommt es an.

Natürlich gab es vor Euklid schon viele geometrische Ergebnisse. Mindestens drei Menschen hatten, wie gesehen, Bücher derselben Art zusammengestellt. Er ordnete diese Ergebnisse zu einer Kette und legte deren erstes Glied offen hin. Von diesem Augenblick an konnte jemand fragen: Bist du sicher, dass diese fünf Dinge ausreichen? In den 2300 Jahren seit der Fertigstellung des Werkes ist diese Frage nie verstummt. Ihre Richtung hat sich allerdings grundlegend verändert.

Die eine Frage lautet: Ist unter diesen fünf Dingen womöglich eines überflüssig? Die andere: Fehlt unter diesen fünf Dingen nicht etwas? Die Fragen scheinen einander zu widersprechen. Tatsächlich greifen sie dasselbe Problem von zwei Enden her auf. Das fünfte Postulat löste einen zweitausendjährigen Streit aus. Als man beschloss, die Zeichnung nicht länger als Beweis gelten zu lassen, wurde auch die zweite Frage besonders dringlich.

Betrachtet man die fünf Postulate nun noch einmal, fällt der Unterschied sofort auf. Zunächst ist es ein Unterschied der Sätze, nicht der Geometrie.

Die ersten drei sprechen im selben Ton: Gestattet mir, eine Gerade zu ziehen; gestattet mir, sie zu verlängern; gestattet mir, einen Kreis zu zeichnen. Jeder Satz erlaubt eine Handlung, jeder ist kurz. Im griechischen Original kommen sie jeweils mit ungefähr zehn Wörtern aus.

Das vierte beschreibt keine Handlung mehr, bleibt aber ebenso knapp. Alle rechten Winkel sind einander gleich.

Das fünfte wird plötzlich lang. Erst muss eine quer verlaufende Gerade zwei andere schneiden. Dann müssen zwei Winkel auf derselben Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sein. Dann müssen die beiden Geraden immer weiter verlängert werden. Erst am Ende erfahren wir, dass sie sich treffen. Im griechischen Standardtext braucht das mehr als dreißig Wörter, ein Mehrfaches der vorigen Postulate. Entscheidender als die Länge ist aber die Gestalt. Die ersten vier lesen sich wie Regeln. Das fünfte liest sich wie ein Ergebnis, das einen Beweis verlangt. Warum Euklid es so formulierte, weiß niemand. Er hat es nicht erklärt.

Wir sehen nur, was er getan hat. Er brauchte diese Aussage und bewies sie nicht, sondern nahm sie unter die unbewiesenen Voraussetzungen auf. Das musste seinerzeit nicht auffallen. Diese Rubrik war schließlich für Unbewiesenes da; ein zusätzlicher Eintrag verlangte keine Rechtfertigung. Auffällig wurde die Entscheidung erst später. Neben vier Postulaten, kurz wie Kommandos, stand eines, das sich wie eine Schlussfolgerung ausnahm. Als man den Unterschied erst einmal bemerkt hatte, verbrachte man die folgenden zweitausend Jahre mit derselben Aufgabe: einen Weg zu finden, auf dem man es nicht mehr eigens verlangen musste.

Dafür gab es nur drei Möglichkeiten. Man konnte beweisen, dass es aus den ersten vier folgte; dann brauchte es keinen eigenen Eintrag. Man konnte es durch eine schlichtere Aussage ersetzen. Oder man konnte beweisen, dass der angestrebte Beweis unmöglich war. Die ersten beiden Wege wurden zweitausend Jahre lang versucht. Der dritte kam erst im neunzehnten Jahrhundert hinzu.

Lange verstand man die Arbeit auf den ersten beiden Wegen vor allem als Vervollkommnung der Parallelentheorie. Erst die nichteuklidische Geometrie und die Untersuchungen ihrer Modelle im neunzehnten Jahrhundert gaben der dritten Richtung ihre entscheidende Gestalt.

Oft wird dieses Buch als Geburtsort der axiomatischen Methode bezeichnet.

Meint man damit, das Unbewiesene zuerst offenzulegen, damit sichtbar wird, wo die folgenden Beweise ihren Ausgang nehmen, trifft die Bezeichnung genau. Darum ging es in den vorigen Absätzen. Seit dem Ende des neunzehnten Jahrhunderts verbindet man mit diesem Ausdruck allerdings einen sehr viel strengeren Anspruch. Wie streng, werden wir im sechsten Abschnitt sehen.

Diesen Anspruch ins Jahr 300 v. Chr. zurückzuverlegen, hieße, es im Nachhinein besser zu wissen. Natürlich wussten die antiken Autoren, dass zwischen solchen Prinzipien Rangunterschiede bestanden. Natürlich diskutierten sie darüber, was man verlangen dürfe und was bewiesen werden müsse. Aber sie verhandelten dabei nicht das spätere Programm.

V Wann das Unbehagen begann

Ein Satz ist weit verbreitet: Vom ersten Tag an habe das fünfte Postulat sämtliche Mathematiker beunruhigt. Für »vom ersten Tag an« fehlt jeder erhaltene Beleg.

Schon Aristoteles, der vor Euklid lebte, kannte das Problem von Zirkelschlüssen bei Beweisen über Parallelen. Das zeigt, dass solche Beweise bereits im vierten Jahrhundert v. Chr. ein logisch heikles Gebiet waren. Es beweist selbstverständlich nicht, dass er ein Buch kritisierte, das noch gar nicht geschrieben war.

Auf diese Unterscheidung kommt es an, denn beides wird leicht vermengt. Dass die Parallelentheorie schon vor Euklid Schwierigkeiten bereitete, ist das eine. Dass man Euklids Umgang mit seinem Postulat für unzulänglich hielt, ist etwas anderes und erst erheblich später greifbar.

Der früheste namentlich fassbare Kritiker des Werkes selbst ist nach den erhaltenen Zeugnissen Posidonios, der ungefähr von 135 bis 51 v. Chr. lebte. Selbst da sind seit 300 v. Chr. schon mehr als anderthalb Jahrhunderte vergangen. Und was wir über seinen Versuch wissen, hat wiederum nur Proklos im fünften Jahrhundert n. Chr. bewahrt.

Laut Proklos wollte Posidonios parallele Geraden neu definieren: sinngemäß als zwei Geraden in derselben Ebene, die überall denselben Abstand halten, sich also weder annähern noch voneinander entfernen. Nur schmuggelt dieses »überall derselbe Abstand« bereits eine Bedingung in die Definition, die ähnlich stark ist wie die euklidische Paralleleneigenschaft.

Ptolemaios lebte im zweiten Jahrhundert n. Chr. Proklos berichtet, er habe einen Beweis verfasst, und geht ihn Schritt für Schritt kritisch durch. Spätere Untersuchungen zeigen, dass die entscheidende Stelle heimlich eine Bedingung voraussetzt, die der Eindeutigkeit der Parallelen gleichkommt. Der Beweis bewegt sich also im Kreis.

Auch Proklos versuchte sich daran. Nachdem er die Fehler seiner Vorgänger aufgedeckt hatte, griff er seinerseits auf zusätzliche Eigenschaften zurück, etwa auf die Beschränktheit des Abstands zwischen parallelen Geraden. Solche Eigenschaften bekommt man mit den ersten vier Postulaten nicht kostenlos dazu. Er erkannte genau, wie andere das Ergebnis in ihre Voraussetzungen einschleusten, und fiel anschließend in dieselbe Grube.

Hier zeigt sich die eigentliche Schwierigkeit. Es fehlt nicht an Beweiskunst, sondern an der Fähigkeit, eine verborgene Voraussetzung als solche zu erkennen. Ausgesprochen klingt sie oft noch viel schlichter als das fünfte Postulat. Dass der Abstand zwischen Parallelen eine Schranke hat: Wer würde das nicht für selbstverständlich halten? Solches geschieht in dieser Geschichte immer wieder. Nicht, weil die Beteiligten zu wenig Verstand hätten. Einige von ihnen gehören zu den besten Mathematikern ihrer jeweiligen Zeit.

Posidonios war ein bedeutender Vertreter der Stoa. Ptolemaios schuf das astronomische System, das für die folgenden vierzehnhundert Jahre maßgeblich blieb. Chajjam war zugleich Dichter und Kalenderreformer. Tusi baute eine Sternwarte.

Der wahre Grund ist, dass die zu beweisende Aussage und die vermeintlich schlichteren Ersatzformulierungen dieselbe Stärke besitzen. Man tauscht etwas gegen etwas ebenso Schweres aus, bemerkt aber häufig nicht, dass das Gewicht gleich geblieben ist. Diese Arbeit wurde in der arabischen Welt über mehrere Jahrhunderte fortgeführt. Dort liegt der mittlere Abschnitt dieser Geschichte, in dem ihre Entwicklung tatsächlich kontinuierlich weiterging.

Ibn al-Haitham baute die Parallelentheorie mit Argumenten neu auf, in denen Vierecke mit senkrechten Seiten, gleiche Abstände und Bewegungsbegriffe eine Rolle spielten. Chajjam kritisierte seinen Ansatz später: Wer die Bewegung in die Grundlagen der Geometrie aufnahm, musste erst rechtfertigen, dass er dazu berechtigt war.

Omar Chajjam untersuchte ein Viereck mit zwei gleich langen, auf der Grundseite senkrecht stehenden Seiten. Für die beiden oberen Winkel unterschied er drei Annahmen: Sie könnten rechte, spitze oder stumpfe Winkel sein. Dann suchte er die letzten beiden Fälle auszuschließen. Seine Grundsätze, etwa dass sich einander annähernde Geraden notwendig schneiden, haben aus moderner Sicht dieselbe Stärke wie das fünfte Postulat.

Nasir ad-Din at-Tusi setzte Mitte des dreizehnten Jahrhunderts die Arbeit mit Widerspruchsbeweisen und Vierecken fort und kritisierte die bisherigen Ansätze. Weitere, spätere Fassungen stammen aus seiner Familie und seinem Schülerkreis. Ein im sechzehnten Jahrhundert in Rom gedruckter arabischer Text machte Teile dieser Tradition in Europa bekannt.

Hier ist Vorsicht nötig. Früher fasste man mehrere späte Fassungen gern pauschal als Tusis eigenen endgültigen Beweis auf. Die heutige Philologie ist erheblich zurückhaltender. Auch diese Überlieferungslinie hat eine Geschichte, deren Texte kritisch geprüft werden müssen. Was an diesen Jahrhunderten wirklich wichtig ist, lässt sich nicht daran messen, wie nahe ihre Autoren einer späteren Entdeckung angeblich kamen. Das wäre eine vom neunzehnten Jahrhundert her entworfene Zielgeschichte.

Misst man die Arbeit dieser Menschen an dem, was später geschah, werden sie sämtlich zu Gescheiterten. Aber sie scheiterten nicht. Sie gingen einer Aufgabe nach, die zu ihrer Zeit vollkommen vernünftig war, und arbeiteten dabei immer genauer.

Ihre Ergebnisse waren auch nicht umsonst. Die Vierecke, die drei Annahmen über die oberen Winkel: All das ließ sich später unter einer anderen Fragestellung wiederverwenden. Nur trug es dann andere Namen und diente anderen Zwecken.

Wichtig ist, dass sie dieselbe Frage immer systematischer stellten: Ist eine scheinbar selbstverständliche geometrische Eigenschaft wirklich bewiesen worden? Oder hat man sie nur anders ausgedrückt und wieder unter die Voraussetzungen geschoben?

Manche versuchen, aus dem Buch selbst auf seinen Autor zu schließen. Euklid setzt das fünfte Postulat im ersten Buch erst in Proposition 29 ein. Offenbar, so die Vermutung, habe auch er seinen Einsatz möglichst lange aufschieben wollen. Die Beobachtung stimmt. Aus dem späten Einsatz aber zu folgern, Euklid habe an der Richtigkeit des Postulats gezweifelt oder es für beweisbar gehalten, ist bereits eine Deutung, kein biografischer Beleg. Seine Beweggründe sind nicht überliefert.

Dieser Satz ist in dieser Folge schon mehrfach gefallen. Er wird noch einmal fallen. Das ist kein rhetorisches Spiel. So wenig wissen wir über diesen Menschen mit Gewissheit: Was er getan hat, steht in seinem Buch. Warum er es tat, darüber ist kein einziges Wort erhalten.

VI Die erste Aufgabe

Sehen wir uns nun die erste Aufgabe des Buches an. Über einer gegebenen Strecke soll ein gleichseitiges Dreieck errichtet werden.

Die Konstruktion geht so: Man zeichnet um den einen Endpunkt einen Kreis, dessen Radius die ganze Strecke ist. Dann zeichnet man um den anderen Endpunkt einen zweiten Kreis mit demselben Radius. Man nimmt einen Schnittpunkt der beiden Kreise und verbindet ihn mit den Endpunkten.

Das dritte Postulat gestattet, Kreise zu zeichnen. Es sagt nicht, dass diese beiden Kreise einander schneiden müssen. Natürlich schneiden sie einander. Man braucht die Aufgabe nur aufzuzeichnen: Der Schnittpunkt ist da, man sieht ihn auf den ersten Blick. Genau hier liegt das Problem. Kein einziges Prinzip des Buches garantiert die Existenz dieses Punktes. Und wir sind bei der allerersten Aufgabe.

»Das sieht man doch« ist ein Schluss, kein Postulat. Er beruft sich auf die Zeichnung, nicht auf den Text. Das dritte Postulat erteilt die Erlaubnis, einen Kreis zu konstruieren. Ob der fertige Kreis einen anderen Kreis schneidet, liegt außerhalb seiner Zuständigkeit.

Verlangt man nach heutigen Regeln, dass alles Folgende allein aus den wenigen Grundsätzen am Anfang hergeleitet wird, nimmt schon die erste Aufgabe etwas in Anspruch, das nicht auf der Liste steht.

Es bleibt nicht bei diesem einen Fall. Spätere Konstruktionen nehmen das Schneiden einer Geraden mit einem Kreis als verfügbare Tatsache in Anspruch. Dafür wäre wiederum ein entsprechendes Prinzip erforderlich. Nirgends steht im Buch eine Aussage in moderner Form, nach der eine Strecke, deren einer Endpunkt innerhalb und deren anderer außerhalb eines Kreises liegt, diesen Kreis notwendig schneiden muss.

Eine zweite Gruppe betrifft Ordnung und Zwischenlage. Ständig verwendet der Text Lagebeziehungen wie »zwischen zwei Punkten«, »auf einer bestimmten Seite«, »im Innern des Winkels« oder »nach der Verlängerung durch einen bestimmten Ort«. Am Anfang des ersten Buches steht jedoch kein ausdrückliches System von Grundsätzen über das Dazwischenliegen.

Eine dritte Gruppe betrifft die Trennung der Ebene. Das heute so genannte Axiom von Pasch lautet in einer typischen Fassung: Sind drei Punkte nicht kollinear und geht eine Gerade durch keinen der drei Eckpunkte, dann muss sie, wenn sie durch eine Seite in das Dreieck eintritt, durch eine der beiden anderen wieder austreten. Klassische geometrische Beweise stützen sich häufig auf solche zeichnerisch gegebenen Tatsachen: Wenn die Linie hier hineingeht, muss sie dort wieder herauskommen. Im Buch werden sie nicht eigens als Prinzipien aufgeführt.

Eine vierte Gruppe betrifft Kongruenz und Bewegung. Beim Überlagerungsbeweis der vierten Proposition stellt man sich vor, dass ein Dreieck auf ein anderes gelegt wird. Der Gemeinsame Begriff, wonach Dinge, die einander decken, gleich sind, liefert dafür einen Teil des sprachlichen Rüstzeugs. Vollständige Regeln für starre Bewegungen, Winkelkongruenz und das Übertragen von Strecken im modernen Sinn enthält das Buch aber nicht.

Eine fünfte Gruppe betrifft Inzidenz, Eindeutigkeit und entartete Fälle. Die Zeichnung setzt oft stillschweigend voraus, dass neu eingeführte Punkte voneinander verschieden sind, bestimmte Geraden nicht zusammenfallen und Schnittpunkte an der benötigten Stelle liegen.

Diese Gruppe ist am unscheinbarsten und am schwersten vollständig zu erfassen. Sobald ein Beweis gezeichnet ist, hat in der Zeichnung alles seinen Platz. Der Text hat nur nicht erklärt, warum es dort liegt.

Legt man die fünf Gruppen nebeneinander, erkennt man ihre Gemeinsamkeit. Es geht jedes Mal um etwas, das sich auf der Zeichnung mit einem Blick bestätigen lässt. Was trifft aufeinander? Welcher Punkt liegt zwischen welchen anderen? Wo tritt eine Linie ein, wo wieder aus? Gerade weil sich solche Beziehungen in der Zeichnung häufig erkennen lassen, wurden sie nicht systematisch in sprachliche Axiome überführt. Den antiken Kommentatoren waren die damit verbundenen Schwierigkeiten keineswegs völlig entgangen. Der besonders scharfe Wandel im neunzehnten Jahrhundert bestand in der Forderung, diese Schlussmittel in ein ausdrücklich formuliertes Grundlagensystem aufzunehmen.

Lange hatten Bild und Text zusammengearbeitet. Erst als man die Zeichnung hinausbitten wollte, änderte sich die Arbeitsweise. Wie viele Grundsätze fehlen also insgesamt?

Eine unter Fachleuten allgemein akzeptierte ganze Zahl gibt es nicht. Das Ergebnis hängt davon ab, in welcher modernen Formalsprache man zählt. Verschiedene formale Systeme zerlegen die Prinzipien auf verschiedene Weise.

Es wäre falsch, als Ergebnis festzuhalten, Euklid fehlten neunzehn oder zwanzig Axiome. Hilberts neunzehn Axiome von 1899, auf fünf Gruppen verteilt, sind keine Checkliste, mit der er nacheinander Löcher bei Euklid stopfte. Er entwarf den gesamten Unterbau neu. Punkte, Geraden, Ebenen und bestimmte Beziehungen behandelte er als Grundbegriffe, ordnete die Prinzipien nach ihren verschiedenen logischen Aufgaben und untersuchte systematisch ihre Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit. Die fünf Gruppen sind: Inzidenz, Anordnung, Kongruenz, Parallelen und Stetigkeit.

Das fünfte Postulat nimmt darin nur noch den Platz einer Bedingung innerhalb einer Gruppe ein. Es steht nicht mehr stellvertretend für das gesamte Problem der Grundlagen. Das Axiom von Pasch stammt aus dessen Vorlesungen über neuere Geometrie von 1882. Hilbert erklärt ausdrücklich, dass er eines seiner Anordnungsaxiome in besonderem Maße Pasch verdanke.

Paschs Revolution bestand nicht in der Entdeckung eines überraschenden Lehrsatzes. Sie bestand in einem Hinweis: »Auf der Zeichnung ist es selbstverständlich« bezeichnet noch immer ein logisches Hilfsmittel. Wer der Zeichnung das Recht entziehen will, etwas zu beweisen, muss dieses Hilfsmittel ausdrücklich hinschreiben.

VII Was Strenge heißt, hat sich verändert

Stellen wir die beiden Unternehmungen nun nebeneinander.

Die antiken Autoren fragen: Warum ist das fünfte Postulat so umständlich? Ist es nicht selbstverständlich genug? Lässt es sich aus einfacheren Grundsätzen beweisen? Könnte man es durch eine natürlichere Definition der Parallelen ersetzen?

Im neunzehnten Jahrhundert lauten die Fragen: Welche ursprünglichen Beziehungen benötigt ein vollständiges geometrisches System außerdem? Wie lassen sich Zwischenlage, gleiche Seite und Schnitt formal bestimmen? Was garantiert, dass zwei Kreise oder eine Gerade und ein Kreis einander schneiden? Wie sind Kongruenz, Anordnung und Stetigkeit jeweils zu axiomatisieren? Die beiden Fragenkomplexe unterscheiden sich nicht durch ihren Schwierigkeitsgrad, sondern durch ihre Richtung. Dieser Unterschied lässt sich noch genauer fassen.

Die antiken Autoren haben einen Satz auf dem Papier vor sich. Sie können ihn lesen, seine Wörter zählen, ihn zu lang finden, einen Ersatz für ihn suchen. Er ist sichtbar. Deshalb kann er zweitausend Jahre lang angegriffen werden.

Die modernen Autoren müssen auch das aufs Papier holen, was in den Zeichnungen steckt. Ob zwei Kreise sich schneiden. Ob ein Punkt zwischen zwei anderen liegt. Wo eine Gerade wieder austritt, nachdem sie in ein Dreieck eingetreten ist. All das wurde in Beweisen verwendet, stand aber nicht Punkt für Punkt am Anfang. Es ist nicht so, dass niemand je danach gefragt hätte. Solange die Zeichnung dafür sprechen konnte, schien nur ein weiterer Satz leicht entbehrlich.

Das fünfte Postulat ist ausgesprochen. Die meisten der später erkannten Schwierigkeiten betreffen Schlussmittel, die unausgesprochen geblieben sind.

Hier dreht sich die Sache auf eine Weise um, mit der wir ehrlich umgehen müssen. Definieren wir eine logische Lücke als eine Voraussetzung, die der Beweis benötigt, der Autor aber nicht nennt, dann ist das fünfte Postulat streng genommen überhaupt keine Lücke. Euklid hat es hingeschrieben.

Die nichteuklidische Geometrie des neunzehnten Jahrhunderts und die anschließende Arbeit an Modellen liefern dafür noch einen stärkeren Grund. Gegenüber einem geeigneten System der übrigen Axiome ist das euklidische Parallelenaxiom tatsächlich unabhängig. Es lässt sich aus einem schwächeren System nicht beweisen. Hilbert selbst untersuchte ausdrücklich seine Unabhängigkeit von den anderen Axiomen. Aus heutiger Sicht war es also gerade richtig, dass Euklid diese Voraussetzung nicht versteckte, sondern als zusätzliche Annahme gesondert aufführte.

Mit anderen Worten: Das Postulat, über das man sich zweitausend Jahre lang beschwerte, ist der ehrlichste Satz des Buches. Es verlangt unmissverständlich etwas, das man nicht umsonst haben kann. Andere Schwierigkeiten stecken gerade dort, wo das Buch etwas verwendet, ohne es eigens auszusprechen. Was die lautesten Beschwerden hervorruft, muss nicht das sein, was am dringendsten ergänzt werden sollte.

Der Gedanke lässt sich noch weiter treiben. Eine niedergeschriebene Annahme weckt Zweifel, weil sie sichtbar ist. Die ungeschriebenen gehen dagegen leicht im Selbstverständlichen unter. Schon die Sichtbarkeit selbst verteilt den Druck falsch.

Hier müssen wir sofort bremsen. Das beweist weder, dass Euklid logische Unabhängigkeit kannte, noch, dass er irgendetwas vorhersah. Seine Motive sind nicht überliefert. Außerdem gibt es eine dritte Gegenposition. Sie stellt die ganze Frage auf den Kopf.

Manche der vermeintlichen Lücken sind vielleicht keine Sätze, die ein nachlässiger antiker Autor vergessen hat. Vielleicht gehört es zu seiner Arbeitsweise, dass Zeichnungen einen Teil der Schlüsse tragen dürfen, und vielleicht ist dieser Teil durchaus geregelt und beschränkt. Formalisiert man auch die Regeln des Umgangs mit Zeichnungen, lassen sich viele Beweise streng rekonstruieren, ohne jede visuelle Beziehung in ein sprachliches Axiom verwandeln zu müssen. Nach dieser Lesart bedeutet »Hier fehlt ein Axiom« mitunter nur: Bei der modernen Übertragung in ein rein syntaktisches System muss man eines ergänzen. Es bedeutet nicht notwendig, dass die ursprüngliche Praxis unzulässig war.

Diese Gegenposition verdient einen weiteren Satz. Sie ist keine Verteidigung der Alten. Ihr Argument lautet: Ein Beweissystem kann streng sein, ohne sämtliche Schlüsse in sprachliche Sätze zu pressen. Ist der Gebrauch von Zeichnungen geregelt, eingeschränkt und überprüfbar, können sie zum Beweis selbst gehören, statt bloß als Abbildungen daneben zu stehen. Zeichnungen aus den Beweisen zu verbannen, war eine Entscheidung des neunzehnten Jahrhunderts, kein ewiger Maßstab.

Das fairste Urteil lautet daher: Das fünfte Postulat hatte historisch ein Problem mit seinem Status unter den Grundlagen. Es ist aber nicht die offensichtlichste logische Auslassung des Buches. Ebenso falsch wäre die Behauptung, die Menschheit habe zweitausend Jahre lang auf die falsche Stelle gestarrt und erst am Ende des neunzehnten Jahrhunderts die wirklichen Lücken entdeckt.

Die antiken Mathematiker arbeiteten nach den Maßstäben ihrer eigenen Grundlagenlehre. Eignet sich etwas, das man verlangen kann, auch dazu, als unbewiesenes Prinzip vorausgesetzt zu werden? Lässt es sich durch etwas Schlichteres ersetzen? Das waren wirkliche Fragen.

Pasch und Hilbert antworteten auf einen anderen Anspruch an Strenge. Wenn Zeichnungen nicht mehr zum Schlussfolgern berechtigen, müssen jene Informationen über Anordnung und Stetigkeit, die sie zuvor getragen haben, in das formale System eingehen. Die Alten hatten nicht an der falschen Stelle gesucht. Das Wort »streng« hatte seine Bedeutung gewechselt, und dadurch rückte das Problem an eine andere Stelle. Dieser Wechsel hatte einen Preis, den wir uns merken sollten.

Als die Zeichnung aus dem Beweis verbannt war, wurde die Geometrie verlässlicher. Sie wurde auch schwerer zu lesen. Für die erste Aufgabe hatten einmal ein Satz und ein Bild genügt. Nun braucht man ein Prinzip über den Schnitt zweier Kreise, das seinerseits auf Stetigkeit gegründet werden muss. Sichtbares wird zu Unsichtbarem. Dafür muss man den Augen nicht mehr glauben. Es ist ein klarer Tausch: Man gibt Lesbarkeit her und gewinnt Unabhängigkeit von der Sehkraft und Intuition jedes Einzelnen.

Dieser Tausch lohnt sich. Doch hier wird kein Fehler berichtigt. Man wechselt den Maßstab und errichtet den Bau nach dem neuen Maßstab noch einmal.

VIII Produkt und Werkstatt

Wie viele Menschen hinter diesem Buch und seiner Tradition standen, dazu gibt es eine Schätzung, deren einzelne Schritte sich nachprüfen lassen.

In seinem Buch über die Gestalt der griechischen mathematischen Deduktion zählt Netz zunächst ungefähr 144 namentlich bekannte Personen auf, die als antike Mathematiker gelten können. Dann versucht er, diejenigen abzuschätzen, von denen jede Spur verloren ist. Er nimmt vier teilweise überlappende Listen, streicht die außerordentlich berühmten Personen wie Euklid, die ohnehin in jeder Quelle erscheinen müssen, und rechnet mit einem Verfahren, das der Fang-Wiederfang-Methode ähnelt, auf die Gesamtzahl zurück. Die sechs möglichen Listenpaare ergeben Schätzungen zwischen ungefähr 89 und 303. Er entscheidet sich für dreihundert als die sicherere Vermutung und erweitert vorsichtshalber die Obergrenze auf etwa tausend.

Die Stärke der Schätzung liegt in ihrer offengelegten Methode. Ihre Schwäche ist ebenso deutlich. Sie setzt voraus, dass die Listen voneinander unabhängig sind, als handelte es sich um Zufallsstichproben. Das sind sie nicht. Wen ein antiker Autor zitiert, hängt stark von Bekanntheit, fachlichen Überlieferungslinien und vorangegangenen Texten ab. Die Häufigkeiten ähneln eher einer Verteilung mit langem Ausläufer. Zudem verändert schon das Streichen der berühmtesten Namen die Struktur der Stichprobe.

Andere Forscher haben Zitate in antiken wissenschaftlichen Texten gesondert ausgezählt. Dabei kommen sie auf etwa 150 von den Quellen erfasste Autoren und auf 380 bis 440 Werke, die entweder bekannt oder wenigstens dem Titel nach bezeugt sind. Das sind jedoch die Menschen, die in der Überlieferung sichtbar werden, nicht die Zahl derer, die tatsächlich wissenschaftlich arbeiteten.

Ein statistisch verlässliches Intervall haben wir daher nicht. Einige Hundert, großzügig gefasst vielleicht eine Größenordnung von tausend: Als Vorstellung lässt sich das verwenden. Als Antwort auf die Frage, wie viele Mathematiker es in der gesamten Antike genau gab, nicht.

Sicherer ist eine andere Feststellung. Diese Gemeinschaft schreibender Mathematiker war winzig, geografisch verstreut und über die Generationen hinweg nicht lückenlos verbunden. Untersuchungen zeigen zwischen mehreren der wichtigsten Autoren nur geringe Überschneidungen. Die Tradition konnte lange verstummen und später wieder aufgenommen werden.

Auch ihre gesellschaftlichen Rollen waren verschieden: Lehrer und Schüler philosophischer Schulen, von Königen geförderte Gelehrte, Astronomen, Mechaniker, Autoren von Vermessungs- und Ingenieurwissen, Privatlehrer. Für einen Stellenmarkt im modernen Sinn gibt es keinen Beleg; eine städteübergreifende Mathematikerzunft gab es ebenso wenig. Die Tradition lebte zu einem erheblichen Teil durch Texte, Zitate und Ketten von Kommentaren fort, nicht durch die ununterbrochene Existenz gesellschaftlicher Einrichtungen. Vergleicht man sie mit den Schreiberschulen der ersten Folge, wird der Unterschied deutlich.

Dort lässt sich aus zahlreichen Übungstafeln, Verwaltungsdokumenten und Spuren der Ausbildung rekonstruieren, wie unterrichtet wurde. Hier besteht der Kern des erhaltenen Materials aus hochgradig durchgearbeiteten Schriften, verstreuten Papyri, philosophischen Texten und sehr späten Lebensbeschreibungen. Wir sehen viel mehr vom Produkt als von den Verhältnissen seiner Herstellung.

Deshalb lässt sich in dieser Folge kaum ein einzelner Mensch zeichnen. Nicht, weil diese Menschen unwichtig wären. Ihre Arbeitswelt ist uns nicht erhalten geblieben. Keine Übungsentwürfe, keine Mitschriften aus dem Unterricht, keine Seite, auf der jemand sich verrechnet und die Rechnung wieder durchgestrichen hat.

Das Kind aus der ersten Folge, das seine Tontafel glattstreicht und neu anfängt, hat hier kein Gegenstück. Nicht, weil es ein solches Kind nicht gab. Aber seine Tafel hätte nicht überdauert. Selbst die Zeichnungen sind fertige Produkte.

Zeichnungen in der griechischen Mathematik sind keine Illustrationen neben dem Beweis. Die Buchstaben verweisen zwischen Sätzen und Zeichnung hin und her. Eine Konstruktion verändert das Bild, und der Beweis entnimmt ihm seinerseits bestimmten Regeln unterliegende Lagebeziehungen.

Die Frage, ob antike Zeichnungen maßstabsgetreu sind, lässt sich deshalb nicht mit einem einfachen Nein erledigen. Metrische Proportionen im modernen Sinn bewahren sie nicht zuverlässig. Ein allgemeines Parallelogramm kann fast wie ein Rechteck aussehen. Strecken, die der Theorie nach nicht gleich lang sind, können gleich lang erscheinen. Dagegen sind Beziehungen wie Schnitt, Verbindung, Innen und Außen sowie Reihenfolge häufig von äußerster Bedeutung.

Auch Zeichnungen haben eine eigene Abschreibegeschichte. Untersuchungen zahlreicher Handschriften zeigen, wie Kopisten Figuren regelmäßiger, symmetrischer und hübscher machten. Dadurch erhielten sie zusätzliche besondere Eigenschaften, die der Text gar nicht verlangte. Mit jeder Abschrift ein bisschen ordentlicher. Saito und andere haben dieselbe Zeichnung in vielen Handschriften verglichen. Diese Veränderungen lassen sich verfolgen.

Das ist etwas anderes als die Überlieferung eines Textes. Wird ein Wort falsch abgeschrieben, können spätere Leser den Fehler vielleicht aus dem Zusammenhang erschließen. Zeichnet jemand ein allgemeines Viereck ein wenig symmetrischer, sehen spätere Leser einfach ein symmetrisches Viereck. Dass es symmetrisch sein soll, steht nirgends. Durch wiederholtes Kopieren wird aus der Darstellung des allgemeinen Falls eine des Sonderfalls. Und genau auf die Zeichnung stützt sich der Beweis.

So laufen zwei Bewegungen nebeneinander her. Der Text wird Generation für Generation kritisch geprüft und nähert sich einer alten Lesart an. Die Zeichnungen werden Generation für Generation neu abgezeichnet und entfernen sich immer weiter von ihrer ursprünglichen Gestalt.

Auch auf der Textseite hat die Bearbeitung ihre Spuren hinterlassen. Theon redigierte das Werk im vierten Jahrhundert. In einem anderen seiner Kommentare erwähnt er, selbst etwas hinzugefügt zu haben. So wurde ein Zusatz nach Proposition 33 im sechsten Buch zum Anhaltspunkt, an dem sich seine Fassung erkennen lässt. Die meisten erhaltenen mittelalterlichen griechischen Handschriften tragen die Merkmale dieser Redaktionstradition.

Die sogenannte nichttheonische Überlieferung ist kein eigenhändiges Manuskript Euklids. Sie ist ein anderer Zweig, der nicht dieselbe Bearbeitung durchlaufen hat. Die entscheidende Handschrift ist der griechische Codex 190 im Vatikan, gewöhnlich ins neunte bis zehnte Jahrhundert datiert.

Als Peyrard ihn 1808 untersuchte, befand er sich in Paris: Napoleon hatte die Bestände des Vatikans beschlagnahmen lassen. Peyrard bemerkte, dass die von Theon ausdrücklich als eigene Zusätze bezeichneten Stücke fehlten. Daran erkannte er, dass er eine andere Überlieferung vor sich hatte.

1996 stellte eine Untersuchung allerdings das optimistische Modell infrage, nach dem diese Handschrift unmittelbar zu Euklid zurückführe. Sie betonte, dass die arabische Überlieferung alte Lesarten bewahren könne, die in der Zweiteilung theonisch oder nichttheonisch nicht aufgehen. Am sichersten sagt man deshalb: Dieser Codex ist einer der wichtigsten griechischen Zeugen für die Textkritik des Werkes. Er ist nicht das Original des Autors.

1482 druckte Ratdolt in Venedig die erste Ausgabe, im Folioformat und nach der lateinischen Texttradition. Berühmt wurde sie unter anderem dafür, dass es schon in dieser frühen Phase des Buchdrucks gelang, mehr als vierhundert geometrische Figuren zusammen mit dem Text zu drucken. Ratdolt selbst hob die technischen Schwierigkeiten in seiner Widmung hervor.

1570 veröffentlichte Billingsley die erste vollständige englische Übersetzung; Dee schrieb das Vorwort. Billingsley war Londoner Kaufmann, Mitglied der Kurzwarenhändlerzunft und wurde 1596 Bürgermeister von London. Auf dem Titelblatt kündigt sich Dees Vorwort als Übersicht über mehrere Hauptgebiete der Mathematik an: was sie jeweils seien und wozu sie sich verwenden ließen. Im Vorwort erklärt Dee, warum dieses Buch in der Landessprache gedruckt wird. Es soll Menschen erreichen, die kein Latein können und keine Universitätsgelehrten sind. Wie viele gewöhnliche Handwerker in diesem Land, fragt er, die mit Zahlen, Lineal und Zirkel umgehen, könnten mit solcher Hilfe neue Bauvorhaben, neuartige Maschinen und Instrumente ersinnen? Für die vielfältigen Bedürfnisse des Landes, zum eigenen Vergnügen oder um ihren Lebensunterhalt besser zu bestreiten? Auch diese Ausgabe hatte ein großes Format. Einige Figuren zur Raumgeometrie besaßen faltbare Papierteile, mit denen sich aus der flachen Buchseite dreidimensionale Modelle aufrichten ließen. 1574 legte Clavius einen umfangreichen lateinischen Kommentar vor, der später zu einem der zentralen Texte des Mathematikunterrichts der Jesuiten wurde.

Für das Ende seiner Laufbahn als Lehrbuch gibt es kein einheitliches Datum. In Großbritannien war es noch zu Beginn des neunzehnten Jahrhunderts der Maßstab für die Geometrie an Schulen und Universitäten. Im viktorianischen Zeitalter wurde sogar darüber gestritten, ob andere Lehrbücher überhaupt zugelassen werden sollten. Ein 1871 gegründeter Verein gehörte zu den Kräften, die eine Reform vorantrieben. Erst zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts verlor Euklid dort deutlich seinen Platz im Zentrum des Unterrichts. Andere Länder hatten zu anderen Zeiten längst auf Neufassungen umgestellt. Man kann also auch nicht sagen, die ganze Welt habe zweitausend Jahre lang ununterbrochen nur dieses eine Buch benutzt.

Kehren wir zum Satz vom fehlenden Königsweg zurück.

Dieses Buch hat jeden überlebt, der der Nachwelt noch hätte sagen können, wer sein Autor war. Mit jeder Abschrift wurden die Zeichnungen ordentlicher; von Hand zu Hand wurde der Text ergänzt, wurden seine Teile nummeriert und seine Figuren neu gezeichnet. Dass man zweitausend Jahre lang über das Werk streiten konnte, verdankt es nicht seiner Lückenlosigkeit. Es verdankt es dem Umstand, dass sein Autor aufgeschrieben hat, worauf er stand. Das klingt gewöhnlich. Es zu tun, ist ungewöhnlich. Wer seine Voraussetzungen hinschreibt, gibt sie anderen zum Auseinandernehmen in die Hand.

An der ausgesprochenen Annahme konnte die Nachwelt zweifeln. Sie konnte sie ersetzen, sie zu beweisen versuchen und schließlich beweisen, dass sie sich nicht beweisen ließ. Auch nach Voraussetzungen, die in den Zeichnungen steckten, wurde gefragt. Sie ließen sich nur nicht so leicht einzeln herausgreifen wie die fünfte Annahme auf dem Papier. Wo das Buch am offensten war, hielt man ihm zweitausend Jahre lang Fragen entgegen. Andere Schwierigkeiten musste man erst aus dem Selbstverständlichen herausholen.

Wir rechnen weiter. Doch was als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend geklärt worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen im Text. Bestandsnachweise aus Sammlungen, antike literarische Berichte und moderne Rekonstruktionen sind verschiedene Arten von Belegen.

• Euklid I.1: Ein gleichseitiges Dreieck konstruieren
• Euklids fünftes Postulat
• Beeson, Narboux und Wiedijk: Euklids Beweise mit dem Computer prüfen
• Ken Saito: Zeichnungen in den Handschriften von Euklids arithmetischen Büchern
• Universität St Andrews: Posidonios
• Linda Hall Library: Henry Billingsley
• Knorr: Der falsche Euklid-Text (1996)