Annähern, ohne zu berühren

1 Ein Buch wird zerlegt

Anfang des 13. Jahrhunderts brauchte jemand ein neues Gebetbuch. Wer, wissen wir nicht. Für welches Kloster es bestimmt war, lässt sich ebenfalls nur aus Indizien erschließen.

Pergament war teuer. Ein einziges Buch verschlang die Häute einer ganzen Herde, und das Pergament alter Bücher ließ sich noch verwenden. Also nahm dieser Mensch einige Bücher, die niemand mehr las, löste die Heftfäden, trennte die Doppelblätter voneinander und bearbeitete die Schrift mit Messer und Wasser. Er schabte sie ab und wusch sie aus, bis sie verblasste.

Restlos verschwinden musste sie nicht. Es genügte, dass die neue Schrift gut zu lesen war und die alte nicht mehr störte. So rechnet ein Handwerker, kein Vernichter. Eines der zerlegten Bücher war eine Archimedes-Handschrift, im 10. Jahrhundert in Konstantinopel kopiert. Sie enthielt mindestens sieben Werke.

Die alten Bücher hatten ein größeres Format als das neue. Deshalb drehte er die Archimedes-Blätter um neunzig Grad und faltete sie zu kleineren Doppelblättern. Was zuvor auf einer einzigen Blattseite gestanden hatte, erstreckte sich im neuen Buch über zwei Seiten.

Nun liefen Archimedes’ Sätze quer durch die Gebete, von einer Seite zur nächsten. Unterwegs tauchten sie in den Falz am Buchrücken ab und verschwanden.

Die Rechnung für diesen Handgriff wurde erst mehr als siebenhundert Jahre später fällig. Um die Schrift tief im Falz sichtbar zu machen, musste man das gesamte Gebetbuch wieder auseinandernehmen. Inzwischen war es um weitere sieben Jahrhunderte gealtert. Am 13. April 1229 war das neue Buch fertig abgeschrieben worden; das vermerkt der Schreiber am Schluss. Entstanden ist es möglicherweise im Raum Jerusalem.

Es gibt keinen Beleg dafür, dass hier jemand aus Hass auf die Mathematik handelte. Wir haben keinen Beleg dafür, dass er wusste, was er abschabte, erst recht keinen für eine Feindschaft gegenüber der griechischen Wissenschaft. Pergament war teuer, die alten Bücher las niemand, das neue wurde gebraucht. Das war alles.

Und es traf nicht nur Archimedes. Später fand man in demselben Gebetbuch Reden eines antiken Redners, einen antiken Kommentar zu einem Werk des Aristoteles und Bruchstücke weiterer Bücher. Dem Mann des 13. Jahrhunderts lag Pergament aus mindestens sieben alten Büchern vor. Er machte ein einziges neues daraus. Vom Material her betrachtet war das gelungenes Recycling: Aus sieben Büchern, die keiner las, wurde eines, das jemand täglich benutzte.

Nur war die Tinte nicht völlig verschwunden. Ihre eisenhaltigen Bestandteile waren in die Fasern der Tierhaut eingedrungen. Die Tinte ließ sich dort nicht restlos entfernen. Siebenhundert Jahre später las jemand die Schrift unter den Gebeten wieder hervor.

Wie das gelang, kommt erst im achten Abschnitt zur Sprache. Vorläufig müssen wir uns nur eines merken: Diese Buchstaben blieben nicht erhalten, weil jemand sie geschützt hätte. Sie blieben erhalten, weil man sie nicht vollständig entfernen konnte. Und für eines jener sieben Werke ist dieses Buch der einzige Textzeuge auf der ganzen Welt.

Für ein weiteres Werk bewahrt es das einzige griechische Zeugnis. Und von noch einem gibt es zwar eine mittelalterliche lateinische Überlieferung, doch der griechische Wortlaut steht nur hier.

In den ersten drei Folgen war die materielle Ausgangslage jeweils eine andere. In der ersten hatten wir einen Gegenstand, aber keinen Namen. In der zweiten einen Namen, aber keinen Gegenstand. In der dritten ein Buch, dessen Wortlaut sich Wort für Wort prüfen lässt, und einen Autor, von dem wir fast nichts wissen.

Diesmal haben wir beides. Ein Pergamentbuch, das man in die Hand nehmen kann, mit Schimmelflecken, Klebstoff und Knicken. Und einen Menschen, der seine eigenen Worte niedergeschrieben hat, und zwar recht konkrete. Zwischen diesem Menschen und diesem Gegenstand liegen 1180 Jahre. Die Zahl wird uns wieder begegnen.

2 Seine eigene Stimme

Viele Werke des Archimedes beginnen mit einer an jemanden gerichteten Einleitung. Das sind nicht bloß ein paar private Zeilen. Es sind mathematische Abhandlungen, die mit einem Gruß einsetzen und als Schriftrollen mit Handelsschiffen, Gesandtschaften oder vertrauenswürdigen Vermittlern übers Meer reisen.

Die Empfänger lassen sich beim Namen nennen: Konon, Dositheos, Eratosthenes. Dazu kommt Gelon, König von Syrakus, an den der Sandrechner gerichtet ist. Dort nennt Archimedes auch seinen Vater: Phidias. Diese Namen stehen auf festem Grund. Andere haben sie ihm nicht nachträglich in den Mund gelegt; er hat sie selbst aufgeschrieben.

So etwas hatten wir in den ersten drei Folgen noch nicht. Die Schreiber der ersten blieben weitgehend namenlos. Hippasos aus der zweiten lebt nur in Berichten, die andere Jahrhunderte nach ihm verfassten. Den Euklid der dritten nennt erstmals jemand beim Namen, der ein Jahrhundert später lebte. Jetzt spricht endlich einer selbst. Und was er sagt, hat mit dem, was spätere Erzähler ihn sagen lassen, inhaltlich überhaupt nichts zu tun.

Dagegen fehlt den Sätzen, mit denen moderne Biografien sein Leben so beiläufig vervollständigen, meist die Grundlage. Dass er als junger Mann in Alexandria studierte, belegt keine frühe Quelle. Die früheste eindeutige Aussage, er sei mit Hieron II. verwandt gewesen, stammt von Plutarch. Der lebte mehr als dreihundert Jahre nach ihm.

Ein Lebenslauf ohne Legenden wäre ungefähr so lang: Mathematiker aus Syrakus, tätig zur Zeit Hierons II. und Gelons; sein Vater hieß Phidias. Er korrespondierte mit Mathematikern im östlichen Mittelmeerraum, besonders in Alexandria, und starb 212 v. Chr. bei der Eroberung von Syrakus. Ehe, Kinder, Lehrer, Vermögen, Alltagsgewohnheiten: fast durchweg Leerstellen.

Die Vorreden haben uns allerdings etwas anderes hinterlassen.

Die Einleitung zu Über Spiralen richtet sich an Dositheos. Archimedes erinnert zunächst daran, dass er Konon vor Jahren einige Ergebnisse geschickt hatte. Konon sei inzwischen schon lange tot, doch niemand sonst scheine sich ernsthaft mit jenen Problemen befasst zu haben. Er hielt große Stücke auf ihn: Hätte Konon länger gelebt, so der Sinn seiner Worte, hätte er diese Aufgaben durchaus lösen können. Dann folgt eine bemerkenswerte Passage. Unter die früher verschickten Sätze, räumt Archimedes ein, hatte er absichtlich zwei gemischt, die unmöglich wahr sein konnten.

Es war kein Scherz. Er wollte damit jene erkennen, die behaupteten, alles längst selbst entdeckt zu haben, aber nie einen Beweis vorlegten. Wer auch noch für die falschen Sätze einen Beweis für sich reklamierte, verriet sich selbst. Das hat Archimedes selbst geschrieben. Es ist keine spätere Anekdote über seinen Charakter.

Daran sieht man, dass die mathematische Korrespondenz im 3. Jahrhundert v. Chr. bereits einige verblüffend moderne soziale Probleme kannte. Sätze konnten zirkulieren, bevor ihre Beweise folgten. Um Priorität konnte man streiten. Zu behaupten, man habe etwas ebenfalls entdeckt, hieß noch lange nicht, es beweisen zu können. Und ein Autor konnte sich eigens Verfahren ausdenken, um solche Ansprüche auf die Probe zu stellen.

Auch der Grund dafür lohnt einen Blick. Archimedes hatte nicht etwa Angst, jemand könnte seinen Beweis abschreiben. Den hatte er noch bei sich. Er fürchtete, andere könnten behaupten, unabhängig zum selben Ergebnis gekommen zu sein. Eine solche Behauptung ließ sich damals nicht widerlegen. Zwei falsche Sätze im Brief machten sie widerlegbar.

Nur sollte man daraus nicht machen, er habe seinen Kollegen eine Peer-Review-Falle gestellt. Das wäre ein moderner Name für eine antike Einrichtung. Vieles erklärt sich auch aus dem Takt, in dem die Briefe unterwegs waren.

Bei günstigem Wind konnte eine Fahrt von Italien nach Alexandria zehn Tage bis zwei Wochen dauern. Gegen den Wind zog sich der Rückweg womöglich einen Monat oder länger hin. Syrakus lag an dieser Route. In einer günstigen Jahreszeit war also für eine Schriftrolle nach Alexandria grob mit einer bis mehreren Wochen zu rechnen. Das ist eine Rekonstruktion allgemeiner Seefahrtsbedingungen, keine gemessene Laufzeit seiner Briefe.

Nicht ein einziger Versandbeleg von ihm ist erhalten. Wir kennen nur die allgemeinen Verhältnisse der damaligen Mittelmeerschifffahrt. Doch schon sie machen eines deutlich: Einen Satz ohne Beweis losschicken, dem Empfänger Zeit zum Nachdenken lassen und dann den Beweis nachreichen, das konnte mit Hin- und Rückweg ohne Weiteres Monate beanspruchen. Winter, Windrichtung, Kriege und Zwischenstationen verlängerten die Wartezeit zusätzlich. Dass das Vorabsenden von Sätzen und das spätere Nachreichen ihrer Beweise zu einem Bestandteil mathematischer Texte wurde, hatte auch mit Entfernungen zu tun.

Daher die langen Vorreden. Der Empfänger wohnte nicht nebenan; ein Brief war wochenlang unterwegs. Bei jeder neuen Sendung musste deshalb die vorige Runde zusammengefasst werden: Wer war gestorben? Was war bereits verschickt? Was noch nicht bewiesen? Warum kam dies erst jetzt? Aus solchen Erläuterungen wurde später die einzige unmittelbare Quelle zu seinem wissenschaftlichen Leben. Der Archimedes dieser Vorreden ist ein anderer als das spätere Genie, das vor Versunkenheit das Essen vergisst.

Hier spricht jemand, dem Beweise, die Reihenfolge der Weitergabe, die Urheberschaft, das Können seiner Empfänger und der wissenschaftliche Ruf ausgesprochen wichtig sind.

3 Drei Legenden

Die andere Hälfte seines Bildes stammt vollständig von anderen, und alle schreiben viel später. Beginnen wir mit dem Bad. Die früheste erhaltene Quelle sind Vitruvs Zehn Bücher über Architektur, verfasst wohl in den Zwanziger- oder Dreißigerjahren des 1. Jahrhunderts v. Chr. Von 212 v. Chr. trennen sie etwa 180 bis 190 Jahre.

Die Geschichte ist sehr anschaulich. Hieron hat eine goldene Krone als Weihgeschenk für die Götter anfertigen lassen und vermutet, der Goldschmied habe Silber beigemischt. Die Krone darf nicht beschädigt werden; Archimedes soll einen Weg finden. Als er in ein Bad steigt und das Wasser über den Rand laufen sieht, kommt ihm plötzlich der Gedanke, die verdrängte Wassermenge zu nutzen. Vor Begeisterung rennt er nackt nach Hause und ruft unterwegs, er habe es gefunden. Anschließend, so geht die Erzählung weiter, nimmt er gleich schwere Stücke reinen Goldes und reinen Silbers, taucht sie nacheinander in ein randvoll gefülltes Gefäß, vergleicht die übergelaufenen Wassermengen und stellt ihnen schließlich die der Krone gegenüber. Diese Geschichte hat eine andere Schwachstelle als die der vorigen Folgen.

Bei Herodot in der ersten Folge lag sie in seinem ausdrücklichen Vorbehalt „Ich meine“. Bei Hippasos in der zweiten widersprachen sich die Fassungen. Bei dem Satz aus der dritten Folge, es gebe keinen Königsweg, ließ sich die Hauptfigur austauschen.

Hier kommt eine vierte Art hinzu. Es ist sehr zweifelhaft, ob sich mit dem beschriebenen Verfahren die erforderliche Messgenauigkeit erreichen lässt.

Schon 1586 hielt Galilei in Die kleine Waage das Auffangen des überlaufenden Wassers nach Vitruvs Art für zu grob. Mathematikhistoriker des 20. Jahrhunderts betonten dasselbe Problem. Natürlich erzeugen die unterschiedlichen Dichten von Gold und Silber theoretisch einen Volumenunterschied. Bei einem geringen Silberanteil muss man aber oft nur eine winzige Wassermenge zuverlässig messen. Die Benetzung des Gefäßes, der Meniskus an der Wasseroberfläche, anhaftende Tropfen, Spritzer und allein die Frage, wann ein Gefäß genau voll ist: Jeder dieser Effekte kann einen Fehler verursachen, der so groß ist wie der gesuchte Unterschied.

Um die Richtigkeit des Verdrängungsprinzips geht der Streit nicht. Es stimmt, und es gehört zu Archimedes’ eigener Arbeit. Strittig ist, ob das von Vitruv geschilderte Verfahren die Genauigkeit erreicht, die eine Prüfung königlicher Goldschmiedearbeit verlangt.

Gerade dadurch wird die Geschichte interessanter als eine gewöhnliche Legende. Sie ist nicht aus dem Nichts erfunden. Ein zutreffendes Prinzip wird in einen Ablauf eingebaut, dessen Messgenauigkeit nicht belegt ist. Die Geschichte trifft das richtige Ergebnis. Ob sie den Weg dorthin ebenso verlässlich beschreibt, ist eine andere Frage.

Eine glaubwürdigere Alternative wäre die hydrostatische Wägung. Man vergleicht das scheinbare Gewicht desselben Gegenstands in Luft und unter Wasser, statt ein paar übergelaufene Tropfen aufzufangen. Galilei hat dieses Verfahren systematisch beschrieben. Aber seine Schrift ist keine Quelle aus dem 3. Jahrhundert v. Chr.; man darf daraus nicht rückwärts schließen, Archimedes habe es tatsächlich so gemacht. Moderne Versuche können klären, ob etwas physikalisch möglich ist. Ob es historisch geschehen ist, können sie nicht beantworten. Kommen wir zum Tod. Hier lohnt es sich, mehrere Texte nebeneinanderzulegen. Denn erst dabei wachsen die angeblichen letzten Worte heran.

Livius schreibt ungefähr am Ende des 1. Jahrhunderts v. Chr., rund zweihundert Jahre nach dem Ereignis. Sein Gerüst ist knapp: Im Durcheinander nach der Eroberung der Stadt ist Archimedes in Figuren vertieft, die er in den Staub gezeichnet hat. Ein Soldat, der ihn nicht erkennt, tötet ihn. Marcellus trauert um ihn, sorgt für seine Bestattung und schützt und begünstigt seine Verwandten. Kein Dialog. Eine Tötung aus Versehen.

Valerius Maximus schreibt um 30 n. Chr., rund 240 Jahre nach dem Ereignis. Bei ihm schützt Archimedes seine Zeichnung im Staub und sagt einen Satz. Der Kern des lateinischen Wortlauts lautet sinngemäß: Bitte, bring das hier nicht durcheinander. Dann wird er getötet.

Der berühmte Satz „Störe meine Kreise nicht“ steht nicht bei Livius und auch bei Plutarch nicht in dieser Form. Er entstand erst später, als man die Situation zu einem geflügelten Wort verdichtete. Kein erhaltener antiker Text überliefert ihn als wortwörtlich gesprochene letzte Äußerung.

Plutarch schreibt um 100 n. Chr., etwa 310 Jahre nach dem Ereignis. Besonders wertvoll ist, dass er gar nicht erst so tut, als kenne er die eine gültige Fassung. Er erzählt gleich drei hintereinander.

Erste Fassung: Ein Soldat befiehlt Archimedes, mit zu Marcellus zu kommen. Archimedes besteht darauf, zunächst sein Problem zu Ende zu führen und den Beweis zu vollenden. Der Soldat gerät in Wut und ersticht ihn. Das Motiv: verweigerter Gehorsam.

Zweite Fassung: Ein Soldat stürmt mit gezogenem Schwert heran. Archimedes bittet ihn, kurz zu warten und das vorliegende Problem nicht unvollendet zu lassen. Der Soldat tötet ihn trotzdem. Das Motiv: Missachtung seiner Bitte.

Dritte Fassung: Archimedes ist mit Sonnenuhren, Kugeln und Instrumenten zur Winkelmessung auf dem Weg zu Marcellus. Die Soldaten glauben, in seinen Behältern stecke Gold, und töten ihn. Das Motiv: Raub. Die Soldaten handeln in den drei Fassungen aus völlig verschiedenen Gründen.

Ordnet man die erhaltenen Texte nach ihrem Entstehungsdatum, ergibt sich eine hübsche Reihe: bei Livius die versehentliche Tötung ohne Dialog, bei Valerius die Fassung mit dem prägnanten Ausspruch, bei Plutarch ein Drama mit mehreren Handlungssträngen. Es sieht aus, als werde die Geschichte immer spannender.

Quellenkritisch folgt daraus aber nicht, dass jeder spätere Autor den früheren umgeschrieben hat. Sie könnten auf gemeinsame Erzählungen zurückgegriffen haben, die heute verloren sind. Plutarch sagt ausdrücklich, die einen hätten dies geschrieben, andere jenes erzählt. Schon das belegt, dass es vor ihm mehrere Fassungen nebeneinander gab. Feststellen lässt sich, dass die erhaltenen schriftlichen Zeugnisse umfangreicher und vielfältiger werden. Nicht belegt ist damit, wer im Einzelnen von wem übernommen hat. Was wir als Entwicklung einer Legende beschreiben, ist oft zunächst nur eine Folge immer späterer erhaltener Texte. Beides ist nicht automatisch dasselbe.

Zuletzt die Spiegel. Dass Archimedes mit gebündeltem Sonnenlicht die römische Flotte verbrannt habe, steht in den frühen Quellen zum Krieg überhaupt nicht.

Polybios schreibt Mitte des 2. Jahrhunderts v. Chr., nur sechzig bis siebzig Jahre nach der Belagerung. Sein technisches Gerüst sieht so aus: Die Römer greifen von Land und See an. Für den Angriff vom Wasser verbinden sie Kriegsschiffe miteinander und errichten darauf große Belagerungsplattformen. Auf Archimedes’ Seite stehen Wurfmaschinen für unterschiedliche Entfernungen bereit. Ferne Schiffe werden mit schweren Steinen beschossen, nähere mit kleineren Geschossen in dichterer Folge. Weitere Vorrichtungen greifen die Schiffe von hinter der Mauer an. Livius schildert es noch genauer: Von oben bis unten ist die Mauer mit kleinen Öffnungen versehen, aus denen Bogenschützen und kleine Geschütze feuern. Hebel ragen über die Mauer hinaus und führen eiserne Fanghaken, die einen Schiffsbug anheben und unvermittelt loslassen können. Das Schiff schlägt dann mit Wucht ins Wasser zurück. Nach dem Scheitern des Sturmangriffs gehen die Römer zur Blockade über.

Keiner dieser drei Autoren erwähnt Spiegel.

Eine erste Schicht erscheint bei Lukian, um die Mitte des 2. Jahrhunderts n. Chr., etwa 370 Jahre nach dem Ereignis. Er sagt, Archimedes habe Schiffe mit Feuer zerstört; die berühmte Spiegelanordnung beschreibt er nicht. Von eigentlichen Brennspiegeln ist erst bei Anthemios von Tralleis die Rede, um 500 n. Chr. Das sind ungefähr siebenhundert Jahre nach 212 v. Chr.

2005 bündelte ein Team mit 127 Spiegeln von jeweils einem Fuß Seitenlänge Sonnenlicht aus ungefähr dreißig Metern Entfernung auf ein feststehendes Ziel aus Holz. Unter ideal klarem Himmel und bei lange unbewegtem Ziel ließ sich das Holz verkohlen, sogar ein kleines Feuer entzünden. Dafür musste man aber in der Größenordnung von zehn Minuten ununterbrochen zielen. Spätere Wiederholungen in größerem Maßstab machten deutlich, wie stark ein bewegtes Schiff, Fehler beim Ausrichten der Spiegel, Wetter, Himmelsrichtung und Entfernung die Wirkung mindern.

Das Fazit lautet nicht, das optische Prinzip sei unmöglich. Als Brandwaffe auf einem Schlachtfeld ist es äußerst unpraktisch. Brennendes Material direkt auf den Gegner zu schleudern war schon damals viel einfacher. Drei Geschichten, drei unterschiedliche zeitliche Abstände. Und am weitesten verbreitet ist jedes Mal die späteste Schicht.

Noch etwas verbindet diese drei Geschichten. Immer geht es um einen Moment, in dem Archimedes einer äußeren Macht begegnet: dem Verdacht eines Königs, dem Schwert eines Soldaten, der Flotte eines Feindes.

In seinen eigenen erhaltenen Worten kommt keines dieser drei Ereignisse auch nur einmal vor. Er schreibt darüber, wer gestorben ist, was er verschickt hat und welchen Beweis er noch schuldet.

Plutarch hat versucht, dieses Schweigen zu erklären. Die Verteidigungsmaschinen, sagt er, habe Archimedes nur auf wiederholtes Drängen König Hierons gebaut. Er selbst habe sie nicht besonders ernst genommen, bloß als spielerische Nebenprodukte der Geometrie betrachtet. Überdies habe er das Ingenieurwesen und alle Handwerke für den alltäglichen Bedarf als niedrig und unfein angesehen und deshalb keine einzige Schrift über diese Geräte hinterlassen wollen. An derselben Stelle erzählt Plutarch eine ältere Geschichte: Eudoxos und Archytas hätten geometrische Probleme mit mechanischen Vorrichtungen gelöst. Platon sei darüber empört gewesen und habe ihnen vorgeworfen, die Geometrie zu verderben, sie vom Unkörperlichen wieder ins sinnlich Wahrnehmbare hinabzuziehen. Tatsächlich ist von Archimedes keine Schrift über Belagerungsmaschinen erhalten. Doch in dem Brief, um den es im fünften Abschnitt geht, sucht er Flächen und Rauminhalte ausgerechnet mithilfe einer vorgestellten Waage.

Was ein Mensch über sich selbst hinterlässt und was andere über ihn erzählen, kann vollständig auseinanderliegen. In keiner Folge dieser Reihe lässt sich das so klar gegenüberstellen wie hier. Beide Seiten sind vorhanden. Beide lassen sich nachlesen.

4 Zwei Widerspruchsbeweise

Sehen wir uns nun an, womit er sich tatsächlich beschäftigte. Das Wort Exhaustion, also Ausschöpfung, wird besonders leicht falsch erklärt: Man erhöhe die Zahl der Seiten immer weiter, bis sie schließlich unendlich sei und das Vieleck deshalb zum Kreis werde. Gerade so funktioniert der antike Beweis nicht. Zuerst nennt man einen bestimmten Wert, den man für richtig hält. Etwa: Der Flächeninhalt dieser krummlinig begrenzten Figur soll gleich dem einer bekannten geradlinig begrenzten Figur sein.

Dann nimmt man an, der tatsächliche Flächeninhalt sei größer. In diesem Fall muss zwischen beiden ein bestimmter positiver Unterschied liegen. Nun konstruiert man eine einbeschriebene Figur mit endlich vielen Seiten, aber so fein, dass die nicht bedeckte Restfläche kleiner wird als jener Unterschied. Aus bekannten geometrischen Beziehungen folgt dann, dass diese einbeschriebene Figur gleichzeitig zwei unvereinbare Größenverhältnisse erfüllen müsste. Ein Widerspruch. Größer kann die Fläche also nicht sein.

Anschließend nimmt man an, sie sei kleiner als der vorgeschlagene Wert. Man ersetzt die einbeschriebene Konstruktion durch eine umbeschriebene und führt denselben Gedankengang noch einmal durch. Wieder ein Widerspruch. Kleiner kann sie also auch nicht sein. Weder größer noch kleiner: Es bleibt nur die Gleichheit. Im gesamten Verfahren wird die Seitenzahl kein einziges Mal unendlich. Hier lohnt eine Pause. Denn genau an dieser Stelle wird die Methode am häufigsten falsch erzählt. Die falsche Fassung klingt glatter und liegt näher am späteren Begriff des Grenzwerts. Darum setzt sie sich in populären Darstellungen fast immer durch.

Ein Vieleck mit immer mehr Seiten nähert sich dem Kreis immer stärker an. Das ist das anschauliche Bild, und tatsächlich geht man bei der Konstruktion so vor. Aber darin liegt nicht die Beweiskraft. Sie liegt in der Gewähr: Wie klein der Unterschied auch sein mag, den ein Gegenüber vorgibt, es gibt einen endlichen Schritt, bei dem der Rest noch kleiner wird. Das eine ist ein Prozess, das andere eine Garantie. Der Beweis nutzt die Garantie. Zweitausend Jahre später wird diese Unterscheidung wiederkehren, in anderer Gestalt und mit größerem Gewicht.

Jeder dieser Widerspruchsbeweise hat es mit einem bereits festgelegten Unterschied zu tun. Zu zeigen ist lediglich, dass es einen endlichen Schritt gibt, bei dem der Rest unter diesen Unterschied fällt. Sobald dieser Schritt erreicht ist, tritt der Widerspruch auf. Der Beweis ist beendet.

Die Grundlage dafür liefert der erste Satz im zehnten Buch der Elemente. Er besagt: Sind zwei ungleiche Größen gegeben und nimmt man von der größeren mehr als die Hälfte weg, dann vom Rest wiederum mehr als die Hälfte und so fort, wird nach endlich vielen Schritten der verbleibende Rest kleiner als die ursprünglich gegebene kleinere Größe. Entscheidend ist nicht, die Wiederholung ins Unendliche fortzusetzen. Entscheidend ist, dass man jede vorab festgelegte Schwelle nach endlich vielen Schritten unterschreiten kann.

Auch der Platz dieses Satzes in den Elementen ist aufschlussreich. Er steht nicht in den Büchern über Kreise oder Kugeln. Gleich zu Beginn des zehnten Buches liegt er als Werkzeug bereit. Wer ihn später braucht, kann ihn sich nehmen.

Der Titel dieser Folge bedeutet streng genommen also nicht, dass immer ein kleines Stück fehlt. Er bedeutet: Man muss einen unendlichen Prozess nicht zu einem abgeschlossenen mathematischen Gegenstand machen, um dennoch die eine exakte Gleichheit zu beweisen. Mit diesem Verfahren gelangen Archimedes mehrere Dinge.

In der Kreismessung zeigt er, dass ein Kreis denselben Flächeninhalt hat wie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten dem Radius und dem Umfang dieses Kreises entsprechen. Weiter hinten in derselben Schrift gibt er eine untere und eine obere Schranke für das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser an. Heute schreibt man sie meist als 3 + 10/71 und 3 + 1/7. Hier wird nicht der Umfang mit einer Dezimalzahl ausgemessen. Endliche Vielecke und Abschätzungen von Quadratwurzeln, beides unter genauer Kontrolle, liefern strenge Grenzen.

Die Quadratur der Parabel beweist, dass der Flächeninhalt eines Parabelsegments vier Drittel des Flächeninhalts eines bestimmten einbeschriebenen Dreiecks beträgt.

Diese Schrift ist besonders wichtig, weil sie gleich zwei Wege vorführt. Der eine arbeitet mit Vorstellungen aus der Mechanik und mit Schwerpunkten, der andere rein geometrisch. Den ersten nennt Archimedes später in der Methodenlehre als eine seiner frühesten mechanischen Entdeckungen. Die Arbeitsteilung zwischen Entdecken und Beweisen ist also schon in der Quadratur der Parabel erkennbar, nur wird sie dort nicht so ausdrücklich benannt. Ein Mensch erläutert seine Arbeitsweise in zwei Schriften: einmal eher nebenbei, einmal in einem eigens dafür geschriebenen Brief. Die zweite Erläuterung wäre beinahe verloren gegangen.

In Über Kugel und Zylinder überträgt er dieselbe Kontrolle auf drei Dimensionen. Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Fläche ihres Großkreises. Ihr Rauminhalt beträgt zwei Drittel des Volumens des sie umschreibenden Zylinders. Der Beweis erklärt nicht einfach, eine Kugel sei die Summe unendlich dünner Kreisscheiben, und ist damit fertig. Er engt den Fehler mithilfe ein- und umbeschriebener Körper und entsprechender Ungleichungen ein.

In den antiken Texten gibt es keinen einheitlichen Namen für dieses Vorgehen, wie ihn ein modernes Lehrbuch als Kapitelüberschrift verwenden würde. Euklid kündigt zu Beginn des zwölften Buches nicht an, nun komme die Exhaustionsmethode. Auch Archimedes fasst seine strengen Beweise nicht unter einem solchen Eigennamen zusammen. Die Bezeichnung Exhaustion wird gewöhnlich auf ein Werk zurückgeführt, das Grégoire de Saint-Vincent 1647 über die Quadratur des Kreises und der Kegelschnitte veröffentlichte.

Das ist mehr als etymologische Pedanterie. Namen können eine falsche Vorstellung erzeugen: Eines Tages habe jemand etwas namens Exhaustionsmethode erfunden und dann weitergegeben. Die erhaltenen Quellen zeigen vielmehr eine Reihe gemeinsamer Verfahren: einen beliebig vorgegebenen Unterschied, den Widerspruchsbeweis, Annäherungen von innen und außen, das wiederholte Abziehen hinreichend großer Anteile, die Proportionslehre. Erst später hat man all das unter einem Namen in dieselbe Schublade gelegt. Und ausgerechnet Archimedes selbst liefert die verlässlichste Auskunft darüber, wem diese Arbeit zu verdanken ist.

In der Vorrede zur Methodenlehre schreibt er: Dass ein Kegel ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe hat und eine Pyramide ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe, habe Eudoxos als Erster bewiesen. Gleich darauf fügt er hinzu, Demokrit habe diese Ergebnisse bereits zuvor aufgestellt, nur ohne Beweis. Deshalb gebühre auch ihm ein beträchtlicher Teil des Verdienstes. Diese Passage ist kostbar. Wir müssen uns dafür nicht auf die Mutmaßungen eines Mathematikhistorikers verlassen, der erst Jahrhunderte später lebte.

Außerdem trennt Archimedes hier ausdrücklich drei Leistungen: ein Ergebnis zuerst auszusprechen, als Erster einen Beweis zu finden und erstmals ein Verfahren zum Entdecken bereitzustellen. Die Verdienste können verschiedenen Menschen gehören.

5 Die Methodenlehre

Die Methodenlehre beginnt mit dem Gruß des Archimedes an Eratosthenes.

Zunächst erinnert er seinen Empfänger daran, dass er ihm bereits einige Sätze geschickt hatte, nur die Behauptungen, damit dieser selbst die Beweise suche. Jetzt schickt er die Beweise nach und erläutert zugleich einen Weg, mithilfe der Mechanik mathematische Ergebnisse zu entdecken. Im Mittelpunkt steht das Bild einer Waage.

Er stellt sich eine ebene Figur als eine Vielzahl paralleler Strecken vor und behandelt einen Körper anhand einer Vielzahl paralleler Querschnitte. Für jedes Paar einander entsprechender Strecken oder Schnitte stellt er Verhältnisse zwischen Längen, Flächen oder Gewichten her. Dann legt er sie in Gedanken auf einen Hebel, wo verschiedene Teile an unterschiedlich langen Hebelarmen ins Gleichgewicht kommen. Erfüllen alle einander entsprechenden Schnitte einzeln diese Gleichgewichtsbeziehung, schließt er daraus, dass auch die gesamten Flächen oder Volumina in einer entsprechenden Gewichtsbeziehung stehen müssten. Aus den bekannten Schwerpunktlagen gewinnt er dann das gesuchte Ergebnis.

Nun kommt der wichtigste Satz dieser Folge. Archimedes sagt ausdrücklich: Das ist noch kein endgültiger Beweis.

Nicht erst spätere Mathematikhistoriker haben dem Verfahren mangelnde Strenge vorgeworfen. Der Autor selbst schreibt, dass die mechanische Untersuchung keinen wirklichen Beweis liefert. Deshalb müsse das Ergebnis anschließend noch einmal geometrisch bewiesen werden.

Zugleich sagt er: Wer ungefähr weiß, wie ein Ergebnis lautet, findet seinen Beweis leichter als jemand, der das Ziel noch gar nicht kennt. Als Beispiel führt er Demokrit und Eudoxos an.

Zum Schluss erklärt er, warum er diese Methode überhaupt weitergeben will: Andere, womöglich auch Mathematiker späterer Zeiten, könnten damit Sätze finden, die er selbst noch nicht entdeckt hat.

Wer die Methodenlehre so darstellt, als habe Archimedes heimlich Infinitesimalrechnung betrieben und sich bloß nicht getraut, es öffentlich zuzugeben, verfehlt das eigentlich Erstaunliche an diesem Text. Hier wird nicht eine minderwertige Methode einer höherwertigen gegenübergestellt. Hier hält jemand zwei verschiedene Tätigkeiten sauber auseinander. Heute klingt das selbstverständlich. In der modernen mathematischen Ausbildung lernt man von Anfang an, dass Entdecken und Beweisen nicht dasselbe sind.

Unter den erhaltenen antiken Autoren hat das jedoch fast nur er so gesagt. Das mechanische Verfahren beantwortet die Fragen: Wie wurde dieses Ergebnis gefunden, und weshalb lohnt es sich, ihm zu vertrauen? Der geometrische Beweis beantwortet eine andere: Weshalb gilt es im strengen Sinn? Die beiden arbeiten zusammen, haben aber nicht denselben Status.

Auch seine Begründung ist schlicht. Wer ungefähr weiß, wo das Ziel liegt, findet den Weg leichter als jemand, der völlig ohne Zielvorstellung tastet. Der Wert der Entdeckung liegt nicht in ihrer Strenge. Sie verkleinert das Suchfeld. In den erhaltenen mathematischen Texten des antiken Griechenlands begegnet uns dieser Gedanke nur äußerst selten.

Die allermeisten griechischen Mathematikschriften zeigen die fertige Ordnung aus Sätzen und Beweisen. Der Leser sieht die bereits gebaute Straße, nicht den Weg durch Irrtümer, Vermutungen, Versuche und Analogien, auf dem ihr Erbauer sie gefunden hat.

In der Methodenlehre hören wir einen Mathematiker ersten Ranges selbst erläutern: So habe ich es zunächst entdeckt. Mir ist klar, dass dies noch kein Beweis ist. Danach habe ich es bewiesen. Ich gebe dir mein Entdeckungsverfahren weiter, damit auch du Neues finden kannst.

Ganz ohne Vergleichbares ist die Antike allerdings nicht. Schon in der Vorrede zu seiner eigenen Quadratur der Parabel nennt Archimedes die beiden Wege, mechanische Entdeckung und geometrischen Beweis. Später erörtert auch Pappos in seinen Ausführungen über Analysis und Synthesis allgemein, wie man vom Gesuchten rückwärts vorgeht und den Gedankengang anschließend in umgekehrter Richtung zusammensetzt.

Pappos bietet jedoch einen methodischen Abriss. Er erzählt nicht, wie er selbst gestern einen bestimmten Satz gefunden hat. Der Unterschied liegt in der Person, die spricht. Ein Abriss sagt, wie man im Allgemeinen vorgehen sollte. Die Methodenlehre sagt: So bin ich damals vorgegangen.

Am sichersten ist deshalb nicht das Urteil, hier liege der einzige antike Bericht über eine mathematische Entdeckung vor. Sicherer ist dies: Unter den erhaltenen Texten der höheren griechischen Mathematik gehört dieser zu den sehr wenigen, in denen ein Autor sein heuristisches Entdeckungsverfahren ausdrücklich vom förmlichen Beweisverfahren trennt. Und er tut das so ausführlich, dass man ihr Zusammenspiel nachvollziehen kann. Noch eine Sache muss hier klar sein, denn gerade an dieser Stelle gleitet eine Darstellung dieser Geschichte besonders leicht ab.

Die Idee der Methodenlehre, Flächen als Gesamtheiten von Linien und Körper als Gesamtheiten von Flächen zu betrachten und dann Schnitt für Schnitt zu vergleichen, ähnelt der Indivisiblenmethode des 17. Jahrhunderts tatsächlich in ihrer Struktur. Wer diese spätere Methode kennt, wird beim Lesen jener Seiten sofort daran denken.

Ähnlichkeit ist jedoch keine Überlieferungslinie.

Als europäische Mathematiker im 17. Jahrhundert die Indivisiblenmethode entwickelten, stand die Methodenlehre in keiner Archimedes-Ausgabe, die ihnen zugänglich gewesen wäre. Erst 1906 kehrte dieser Text in die Mathematikgeschichte zurück.

Zwischen der Methodenlehre und dem 17. Jahrhundert verläuft daher keine Linie der Weitergabe. Sagen lässt sich nur: In zwei Epochen, die 1800 Jahre voneinander trennen, entstanden angesichts krummlinig begrenzter Flächen und Rauminhalte unabhängig Gedanken über Schnitte, deren Struktur sich vergleichen lässt. Andere, durchgehend überlieferte Werke des Archimedes übten hingegen sehr wohl einen tiefen Einfluss auf die Mathematiker des 17. Jahrhunderts aus.

6 Das Unendliche

Aristoteles hat im dritten Buch seiner Physik das Unendliche systematisch behandelt.

Er wendet sich gegen die Vorstellung einer unendlichen Größe, die bereits vollständig gegeben und abgeschlossen ist. Lieber versteht er das Unendliche so: Wo immer man angekommen ist, man kann noch mehr nehmen, noch weiter teilen. Sinngemäß sagt er, unendlich sei nicht das, außerhalb dessen nichts mehr liege, sondern das, außerhalb dessen immer noch etwas liege. Er geht auch ausdrücklich auf die Mathematik ein. Mathematiker würden durch den Verzicht auf das aktual Unendliche keineswegs arbeitsunfähig. Sie brauchten lediglich eine beliebig große, aber endliche Größe.

Daraus lässt sich eine sehr ordentliche Kausalkette bauen: Zenon schafft das Problem des Unendlichen, Aristoteles erlässt ein Verbot, die Mathematiker gehorchen und erfinden deshalb die Exhaustionsmethode. Nur geben die erhaltenen Quellen diese Geschichte nicht her.

Eudoxos lebte vor Aristoteles beziehungsweise im selben Jahrhundert. Seine Verfahren können also nicht einfach deshalb entstanden sein, weil er die Physik gelesen und ihre Vorgaben befolgt hätte. Die strengen Beweise Euklids und Archimedes’ passen tatsächlich außerordentlich gut zur Vorstellung des potenziell Unendlichen. Sie halten an endlichen Konstruktionen fest und führen ihre Beweise über beliebig vorgegebene Größenbeziehungen. Aber in keiner Vorrede schreibt Archimedes: Weil Aristoteles das aktual Unendliche verboten hat, beweise ich auf diese Weise.

Die Belege erlauben folgenden Schluss: Die Beweispraxis der strengen griechischen Geometrie und jene Philosophie sind in hohem Maße miteinander vereinbar. Dafür, dass ein philosophisches Verbot die mathematische Gemeinschaft unmittelbar regierte, fehlt der dokumentarische Nachweis.

Man könnte sogar umgekehrt fragen: Wenn Aristoteles sagt, Mathematiker benötigten das aktual Unendliche in Wirklichkeit nicht, beschreibt er damit vielleicht zum Teil eine schon bestehende mathematische Praxis, statt den Mathematikern Gesetze zu geben? Hat die griechische Mathematik das aktual Unendliche tatsächlich vollständig gemieden? Darüber gibt es einen echten Streit. Seine Belege stammen aus dem zerlegten Buch vom Anfang dieser Folge.

Netz hat auf der Grundlage neuer Lesungen des Palimpsests vorgeschlagen, dass Archimedes in einigen Sätzen der Methodenlehre mehr tut, als beliebige Schnittlinien einzeln zu betrachten. Offenbar spricht er dort von ihrer Gesamtheit oder Anzahl und ordnet sie einander als Ganze zu. Nach Netz’ Deutung handelt es sich zumindest im operativen Sinn um eine aktual unendliche Gesamtheit.

Die Gegenseite bestreitet nicht, dass die betreffenden griechischen Wörter dort stehen. Sie bezweifelt den Schritt bei ihrer Deutung: Von sämtlichen Schnittlinien oder der Vielheit dieser Linien zu einer abgeschlossenen unendlichen Menge überzugehen, könnte eine Ontologie der modernen Mengenlehre in den Text hineintragen. Zudem sagt Archimedes selbst ausdrücklich, dass das mechanische Verfahren keinen wirklichen Beweis liefert. Beim förmlichen Beweis kehrt er zum endlichen Argument zurück.

Es lohnt sich, diesen Streit festzuhalten, weil er eine seltene Eigenschaft hat. Gestritten wird über dieselben Buchstaben. Vor hundertzwanzig Jahren hatte diese Buchstaben noch niemand vor Augen.

Deshalb müssen beide pauschalen Aussagen korrigiert werden. Die griechische Mathematik habe niemals irgendeinen Gedanken an das aktual Unendliche zugelassen: Das ist zu stark. Die Methodenlehre setzt diese Behauptung als mögliches Gegenbeispiel unter Druck. Archimedes habe das aktual Unendliche im modernen Sinn akzeptiert: Auch das ist zu stark. Im Text findet sich keine Theorie unendlicher Mengen, geschweige denn ein moderner Begriff der Kardinalität.

Vorsichtiger lässt es sich so beschreiben: Die geregelte Beweispraxis der antiken griechischen Mathematik vermeidet es tendenziell, eine abgeschlossene unendliche Gesamtheit zur Beweisgrundlage zu machen. Doch das entdeckende Denken der Mathematiker und manche ihrer sprachlichen Verwendungen folgen womöglich keinem ausnahmslosen Verbot. Über den Unterschied zwischen groß und unendlich hat Archimedes selbst noch eine direktere Schrift verfasst.

Der Sandrechner beginnt fast mit einer Provokation. Manche Menschen, heißt es dort, hielten die Zahl der Sandkörner für unendlich oder glaubten wenigstens, es gebe keine Zahl, die groß genug wäre, sie auszudrücken. Also entwirft Archimedes ein erweitertes System zur Benennung großer Zahlen, legt für die Größe des Weltalls eine überaus großzügige obere Grenze fest und zeigt schließlich: Selbst wenn dieses Weltall vollständig mit Sand gefüllt wäre, ließe sich die Zahl seiner Körner noch als endliche Zahl benennen. Es geht nicht darum auszurechnen, wie viel Sand sich wirklich im Universum befindet. Es geht darum, dass unvorstellbar groß und unendlich zwei verschiedene Dinge sind.

Dieselbe Schrift bewahrt auch eine Passage über Aristarch von Samos. Archimedes berichtet, Aristarch habe eine Reihe von Annahmen aufgestellt: Fixsterne und Sonne ruhen, die Erde läuft auf einer Kreisbahn um die Sonne, diese befindet sich in der Nähe des Mittelpunkts der Bahn, und die Fixsternsphäre ist ungeheuer groß. Aristarchs eigene Schrift über das heliozentrische Modell ist verloren. Darum gehört diese Passage zu den frühesten, eindeutigsten und technisch genauesten erhaltenen Zusammenfassungen.

Die Bezeichnung einzige Quelle trifft es allerdings nicht. Auch Plutarch erwähnt später in Über das Gesicht im Mond, dass Aristarch die Erde in Bewegung setzte; in spätantiken Zusammenstellungen von Lehrmeinungen finden sich weitere Spuren. Was hingegen fehlt, ist Aristarchs eigene heliozentrische Schrift.

7 Das Grab, das Cicero fand

Die Belege für die bisherigen Legenden sind dünn. Nun kommt einer, der deutlich mehr trägt. Plutarch berichtet, Archimedes habe das Ergebnis über Kugel und Zylinder am höchsten geschätzt. Deshalb habe er Freunde und Verwandte gebeten, auf seinem Grab eine Kugel und einen Zylinder anzubringen. Für sich genommen ist auch diese Aussage schwach: Plutarch schreibt rund 310 Jahre nach ihm.

Cicero steuert jedoch eine andere Ebene bei.

Seine Gespräche in Tusculum entstanden um 45 v. Chr. Darin berichtet er, die Syrakusaner hätten nicht einmal mehr gewusst, wo Archimedes’ Grab lag, als er 75 v. Chr. als Quästor auf Sizilien amtierte. Er selbst habe sich an einige Verse der Grabinschrift und an das Zeichen von Kugel und Zylinder erinnert. Also habe er auf dem Gräberfeld nahe dem Agrigentiner Tor gesucht. Im Gebüsch habe er eine kleine Säule mit Kugel und Zylinder entdeckt, Einheimische das Gestrüpp beseitigen lassen und die schon teilweise zerstörte Inschrift erkannt. Er erinnert sich hier in der ersten Person an etwas, das er dreißig Jahre zuvor selbst getan haben will.

Zwischen dem Tod des Archimedes und 75 v. Chr. liegen ungefähr 137 Jahre. Als Cicero den Bericht 45 v. Chr. niederschreibt, ist die von ihm berichtete Entdeckung erst etwa dreißig Jahre her. Warum wiegt dieses Zeugnis schwerer als die Badegeschichte und die letzten Worte?

Weil Cicero nicht erzählt, man habe gehört, dass Archimedes zweihundert Jahre zuvor dies oder jenes getan habe. Er sagt: Ich bin selbst hingegangen, habe anhand der Hinweise aus der Inschrift ein Grab gefunden und es freilegen lassen. Unkraut, Säule, Kugel und Zylinder, beschädigte Inschrift: All das wird zumindest als eigene Wahrnehmung beansprucht. Er sagt auch, die Syrakusaner hätten selbst nicht mehr gewusst, wo das Grab war. Am Ende zieht er diese Feststellung deutlich auf sich zu. Sinngemäß: Eine der vornehmsten und einst gelehrtesten Städte Griechenlands hätte ohne einen Mann aus Arpinum nicht einmal das Grab ihres klügsten Bürgers gekannt. Dass alle Einheimischen es vergessen hatten, heißt eben auch: Gefunden hat es er.

Die Passage steht in einem Buch, das fragt, ob Tugend für ein glückliches Leben genügt. Cicero führt zunächst Dionysios vor, den früheren Tyrannen derselben Stadt. Dann ruft er aus dem Staub, neben den kleinen Zeichenstäbchen, einen Mann hervor, den er als gering und unscheinbar bezeichnet: Archimedes. Nach der Grabgeschichte fragt er sinngemäß, wer denn, sofern er auch nur ein wenig Umgang mit den Musen habe, also mit Bildung und Gelehrsamkeit, nicht lieber dieser Mathematiker als jener Tyrann sein wollte. Der Geist des einen nährt sich vom Erforschen und Ergründen, der süßesten Nahrung für die Seele. Der des anderen ist in Mord und Unrecht getaucht und lebt Tag und Nacht in Angst.

Natürlich ist das kein unwiderlegbarer Beweis. Für jenes Grab besitzen wir heute keine durchgehende Identifizierungskette, die sich neu überprüfen ließe. Auch lässt sich nicht ausschließen, dass Cicero ein Grab falsch zuordnete, das die örtliche Überlieferung mit Archimedes verband.

Doch verglichen mit Vitruvs Badegeschichte, die fast zweihundert Jahre später aufgeschrieben wurde, und mit den von Valerius überlieferten letzten Worten, die 240 Jahre später auftauchen, ist die Quellenlage hier deutlich belastbarer.

Mehr lässt sich nicht sagen: Cicero behauptet, 75 v. Chr. ein altes Grab gefunden und damals anhand von Kugel, Zylinder und Inschrift als das Grab des Archimedes identifiziert zu haben. Dass Archimedes selbst vor seinem Tod diese Gestaltung gewünscht habe, behauptet erst der noch spätere Plutarch.

Das Zeichen von Kugel und Zylinder hat hingegen einen festen Bezugspunkt. Das bereits erwähnte Ergebnis, das Volumenverhältnis einer Kugel zu ihrem umbeschriebenen Zylinder, war in der Archimedes-Überlieferung stets kennzeichnend. Dass die von Cicero gesehene kleine Säule Kugel und Zylinder trug, passt also zumindest zur Mathematik. Dieser Spur folgend lässt sich noch etwas betrachten.

Das Todesjahr 212 v. Chr. ist recht verlässlich. Es ist in die Chronologie des Zweiten Punischen Krieges, der Einnahme von Syrakus und der Feldzüge des Marcellus eingebettet. Mehrere voneinander unabhängige kriegsgeschichtliche Überlieferungen verorten Archimedes in dieser Belagerung. Anders sieht es mit seinem Geburtsjahr aus.

Die Angabe um 287 v. Chr. geht auf Johannes Tzetzes zurück, einen Autor des 12. Jahrhunderts n. Chr., ungefähr 1360 Jahre nach 212 v. Chr. Tzetzes sagt, Archimedes sei fünfundsiebzig Jahre alt geworden. Moderne Biografien rechnen von 212 v. Chr. entsprechend zurück und gelangen zu 287 v. Chr. Das ist kein Geburtseintrag und schon gar keine zeitgenössische Inschrift.

Solche Rückrechnungen sind bei antiken Persönlichkeiten häufig. Man nehme einen Satz darüber, wie alt jemand geworden sei, und ein einigermaßen gesichertes Todesjahr: Schon entsteht ein scheinbar präzises Geburtsjahr. Sobald es in einer Zeittafel steht, führt es seine Herkunft nicht mehr mit sich. Das Todesjahr ist sehr viel zuverlässiger als das Geburtsjahr. Für Archimedes gilt das ebenso wie für die meisten Menschen, denen wir in dieser Folge begegnen.

Ebenso unsicher sind die absoluten Entstehungsjahre seiner einzelnen Schriften. Die Vorreden erlauben eine relative Reihenfolge: Welche Sätze wurden zuerst verschickt? An welcher Stelle war Konon bereits tot? Was ging danach an Dositheos? Auf welche früheren mechanischen Entdeckungen blickt die Methodenlehre zurück? Jedem Werk ein bestimmtes Jahr zuzuweisen ist eine moderne chronologische Rekonstruktion, keine Datumsangabe in der Handschrift. Ausgerechnet der Schreibervermerk am Ende des Gebetbuchs aus dem 13. Jahrhundert ist verlässlicher als all das. 13. April 1229. So steht es dort.

8 1180 Jahre

Zurück zu dem zerlegten Buch. Seine Wiederentdeckung begann nicht damit, dass 1906 zufällig jemand in ein Kloster spazierte.

Schon in den 1840er-Jahren hatte der Bibelhandschriftenforscher Tischendorf das Palimpsest in Konstantinopel gesehen und die mathematische Schrift in der unteren Schicht bemerkt. Später gelangte sogar ein Blatt aus seinem Nachlass nach Cambridge.

1899 katalogisierte der griechische Gelehrte Papadopoulos die Bibliothek einer klösterlichen Niederlassung in Konstantinopel. Er verzeichnete das Buch unter der Nummer 355 und schrieb einige lesbare Zeilen des unteren griechischen Textes ab. Der dänische Philologe Heiberg sah diese Zeilen und erkannte sie als Stellen aus Über Kugel und Zylinder. 1906 reiste er selbst nach Konstantinopel.

Er hatte keine Ultraviolettfotografie, geschweige denn bildgebende Röntgentechnik. Er las mit den Augen, mit Vergrößerung, wechselnder Beleuchtung und den fotografischen Möglichkeiten seiner Zeit. Die blassen Buchstaben verliefen im rechten Winkel zur Gebetsschrift. Er identifizierte sieben Werke. Der aufsehenerregendste Fund war die bis dahin vollständig verlorene Methodenlehre.

Seine Aufnahmen erfassten 103 beschriebene Vorder- und Rückseiten. Achtunddreißigmal fotografierte er eine aufgeschlagene Doppelseite. Rechnet man nach einzelnen Belichtungen, kommt man gewöhnlich auf ungefähr fünfundsechzig Fotografien.

Diese Bilder wurden später unersetzlich, denn im 20. Jahrhundert nahm das Buch weiter Schaden. Manche Buchstaben, die Heiberg 1906 noch hatte lesen können, waren 1998 vom Schimmel aufgezehrt. Einige Blätter verschwanden; von ihnen blieben nur seine Abschriften oder Fotografien. Auch 1908 untersuchte er die Handschrift noch einmal. Wann sie danach Konstantinopel verließ und durch wessen Hände sie ging, ist nicht lückenlos dokumentiert.

Als die Versteigerung von 1998 einen Rechtsstreit auslöste, vertrat die griechisch-orthodoxe Seite die Auffassung, die Handschrift sei in den Wirren des 20. Jahrhunderts unrechtmäßig aus kirchlichem Besitz entfernt worden. Eine französische Familie erklärte dagegen, sie habe das Buch bereits in den 1920er-Jahren erworben. Sicher ist, dass es spätestens Mitte des 20. Jahrhunderts zu einer französischen Privatsammlung gehörte. Zwischen 1908 und diesem Zeitpunkt klafft in der Besitzgeschichte eine wirkliche Lücke.

Selbst eine körperlich erhaltene Handschrift liefert ihre Biografie nicht von allein mit. Der Gegenstand kann echt sein, auch wenn seine Herkunftsgeschichte Lücken hat.

1998 wurde das Buch in einem New Yorker Auktionshaus öffentlich versteigert. Ein anonym gebliebener amerikanischer Privatsammler kaufte es für ungefähr zwei Millionen US-Dollar. Seine Identität ist bis heute nicht verlässlich öffentlich bestätigt. Der Name, der seit Langem im Internet kursiert, lässt sich auf keine Quelle zurückführen. Wem eine mittelalterliche Handschrift mit über zweitausend Jahre alten Werken heute gehört, ist ausgerechnet das undurchsichtigste Glied dieser ganzen Geschichte. Anschließend übergab der Sammler sie einem Team an einem Kunstmuseum in Baltimore zur Konservierung, Bildaufnahme und Erforschung und finanzierte das langfristige Projekt. 1998 war das Buch in einem so schlechten Zustand, dass man es nicht einfach auf einen Scanner legen konnte.

Zunächst brauchten die Restauratoren mehrere Jahre, um es auseinanderzunehmen. Ein Problem war der moderne Klebstoff, ähnlich einem weißen Holzleim, mit dem man den Buchrücken bei einer Neubindung im 20. Jahrhundert versehen hatte. Dieser Leim war zäher als das Pergament selbst und ließ sich kaum entfernen, ohne es zu zerreißen. In den vom Schimmel befallenen Bereichen herrschte das gegenteilige Problem: Die Kollagenfasern waren bereits zerfallen. Schon die leiseste Berührung konnte Material kosten. Die gesamte Zerlegung dauerte von 2000 bis 2004.

Multispektrale Bildgebung bedeutet nicht einfach, ein schärferes Foto zu machen. Man nimmt getrennte Bilder in mehreren Wellenlängenbereichen auf, etwa im Ultravioletten, im sichtbaren Licht und im Infraroten. Pergament, Gebetsschrift des 13. Jahrhunderts und darunterliegende Tinte des 10. Jahrhunderts reagieren darauf unterschiedlich. Diese spektralen Unterschiede nutzt man, um die Bilder rechnerisch zu kombinieren. Von den ersten Versuchen mit geringerer Auflösung arbeitete sich das Team schrittweise zu zwölf Spektralbändern plus seitlicher Beleuchtung vor.

Allerdings hatte im 20. Jahrhundert jemand auf mehreren Seiten gefälschte Evangelistenbilder im byzantinischen Stil aufgebracht. Ihre Vorlagen erlaubten dem Team eine Datierung: Vor 1929 konnten sie nicht entstanden sein, denn sie kopierten Abbildungen einer griechischen Handschrift aus einer Veröffentlichung dieses Jahres. Die Farbschichten und das Gold versperrten den optischen Verfahren den Weg.

Also wechselte man die Methode. Hochenergetische Synchrotronstrahlung regt Elemente in der Tinte an; anschließend wird Punkt für Punkt das Fluoreszenzsignal gemessen. Besonders die Verteilung des Eisens zeichnet die frühere Schrift nach. Selbst wenn Gebetstext oder sogar Farbe darüberliegen, lassen sich die Buchstaben der unteren Schicht so abbilden. Auf diese Weise machte die Synchrotronstrahlungsquelle in Stanford Text unter den gefälschten Bildern lesbar.

Die moderne Technik habe inzwischen das ganze Buch vollständig entziffert: Das stimmt nicht. Bildgebung kann vorhandene materielle Signale verstärken. Sie kann weder Pergament und Tinte wiederherstellen, die der Schimmel vollständig zerstört hat, noch Blätter lesen, die zum Zeitpunkt der Untersuchung verschollen waren. Die Konservierungsberichte halten ausdrücklich fest, dass in großen schimmelgeschädigten Bereichen die Schrift als Materie nicht mehr existiert.

Es gibt noch ein Nachspiel. Eines der ursprünglich drei vermissten Blätter wurde inzwischen in einem französischen Kunstmuseum wiedererkannt. Es stimmt mit Heibergs Fotografien von 1906 überein und enthält Text aus Über Kugel und Zylinder. Zahl und Status der verschollenen Blätter können sich also selbst im 21. Jahrhundert noch ändern. Das Inventar dieses Gegenstands ist bis heute nicht abgeschlossen.

Der erhaltene Hauptteil des Gebetbuchs umfasst ungefähr 174 Pergamentblätter, also rund 348 Vorder- und Rückseiten. Ein Blatt misst etwa zwanzig mal fünfzehn Zentimeter. Das ist ein wirkliches Pergamentbuch: Man kann es zerlegen, binden und falten; es kann schimmeln, Wachsflecken bekommen und durch Leim beschädigt werden. Es ist kein abstrakter Text.

Zum Schluss muss noch eine verbreitete Bezeichnung zurechtgerückt werden. Man nennt es häufig das materielle Zeugnis griechischer Mathematik, das Archimedes selbst am nächsten stehe. Dabei werden zwei verschiedene Dinge vermengt.

Innerhalb der Überlieferung seiner Werke ist dieser Textzeuge tatsächlich ungewöhnlich früh. Er liegt ungefähr vierhundert Jahre vor den anderen bekannten mittelalterlichen Archimedes-Handschriftentraditionen. Manche seiner Zeichnungen könnten den antiken Vorbildern daher näher sein als die späterer Abschriften.

Misst man dagegen das Alter des Gegenstands, ist das Buch von Archimedes selbst weit entfernt. Zwischen dem Exemplar aus dem 10. Jahrhundert und 212 v. Chr. liegen etwa 1180 Jahre. Dieses Pergament, die Tinte dieses Schreibers aus dem 10. Jahrhundert, diese kleinen Buchstaben: Archimedes hat nichts davon berührt. Die griechische Minuskel des 10. Jahrhunderts gehört nicht einmal zu demselben Schriftsystem, das Menschen seiner Zeit benutzt hätten.

Sehr viel ältere materielle Zeugnisse griechischer Mathematik gibt es selbstverständlich. Ein in Ägypten gefundenes Fragment aus dem zweiten Buch der Elemente wird gewöhnlich an das Ende des 1. oder den Anfang des 2. Jahrhunderts n. Chr. datiert. Selbst mit dem späteren Datum ist es mehr als achthundert Jahre älter als dieses Palimpsest.

Dass die Methodenlehre bis heute überlebt hat, verdankt sie also nicht einer abstrakten Überlieferung, die sie irgendwie zu uns herübergetragen hätte.

Sie verdankt es Tierhaut, eisenhaltiger Tinte, einem Menschen, der ein Blatt um neunzig Grad drehte und faltete, dem Magazin eines Klosters, einem Katalog, einer weiten Reise, fünfundsechzig Glasnegativen, einer Versteigerung, mehreren Jahren des Auseinandernehmens, zwölf Spektralbändern und einem Strahl aus einem Synchrotron. Wäre ein einziges Glied dieser Kette gerissen, gäbe es die Seite heute nicht mehr, auf der Archimedes selbst die Arbeitsteilung zwischen Entdecken und Beweisen erklärt.

Ganz am Anfang dieser Kette steht ein Mensch, der Tinte abschabt. Ob er verstand, was in dem überdeckten Text stand, lässt sich aus den vorhandenen Quellen nicht entscheiden. Er hat die Tinte nur nicht restlos entfernt. Zufälliges Überdauern gehört zu dieser Kette ebenso wie das bewusste Erkennen und Bewahren durch Generationen. Glied für Glied scharf voneinander trennen lassen sich die beiden nicht.

Die Rechnung geht weiter. Was zur Mathematik zählt, ist noch immer nicht ausgerechnet.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen im Text. Bestandsnachweise, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Das Archimedes-Palimpsest-Projekt: die Handschrift
• Die Geschichte der Archimedes-Handschrift
• Chris Rorres: das Problem der goldenen Krone
• SLAC: Röntgenbilder des Palimpsests
• Roger Eastons Forschungen zur Bildgebung am Palimpsest
• Sorbonne iRHiST: das im Oktober 2025 wiederentdeckte Blatt von Blois
• Zeitschrift des Walters Art Museum, Band 62