다가가되 닿지 않는다

1 해체된 책 한 권

13세기 초, 누군가에게 새 기도서 한 권이 필요했다. 누구였는지는 모른다. 어느 수도원을 위해 만들었는지도 간접 증거만 있을 뿐이다.

양피지는 비쌌다. 책 한 권을 만들려면 가축 여러 마리의 가죽이 들었다. 반면 헌책의 가죽은 아직 쓸 만했다. 그는 더는 아무도 읽지 않는 책 몇 권을 구해 제본 실을 풀고, 접힌 낱장을 분리한 뒤, 칼과 물로 글씨를 긁어 내고 씻어 흐리게 만들었다.

잉크를 말끔히 없앨 필요는 없었다. 새로 쓸 글자가 잘 보이고 옛 글자가 방해되지 않을 만큼 옅어지면 충분했다. 파괴자의 기준이 아니라 장인의 기준이었다. 그중 한 권은 10세기 콘스탄티노폴리스에서 필사한 아르키메데스의 책이었다. 적어도 일곱 편의 저술이 들어 있었다.

헌책의 판형이 새 책보다 컸다. 그래서 그는 아르키메데스의 책장을 90도 돌린 다음 반으로 접어, 한 치수 작은 두 잎짜리 낱장으로 만들었다. 본래 양피지 한 장의 한 면이던 것이 새 책에서는 두 쪽에 걸치게 되었다.

그렇게 아르키메데스의 문장들은 옆으로 흘렀다. 기도문이 적힌 한 쪽에서 다른 쪽으로 가로질러 가다가, 중간에 책등의 접힌 틈으로 파고들어 사라졌다.

그 한 번의 손길에 대한 대가는 700여 년 뒤에야 누군가가 치르게 된다. 책등 깊숙이 숨어든 아래층 글자를 읽으려면 기도서 전체를 다시 해체해야 했고, 그때 책은 이미 일곱 세기를 더 늙어 있었다. 새 기도서의 필사는 1229년 4월 13일에 끝났다. 마지막에 그 기록이 남아 있다. 작업 장소는 예루살렘 일대였을 가능성이 있다.

이 일이 수학을 적대하는 악의에서 비롯되었다는 증거는 없다. 그가 자신이 지우는 것이 무엇인지 알았다는 증거도, 그리스 과학을 적대했다는 증거도 없다. 양피지는 비쌌고, 헌책은 아무도 읽지 않았고, 새 책을 만들 재료는 필요했다. 그뿐이다.

해체된 것도 아르키메데스의 책만은 아니었다. 훗날 같은 기도서 안에서 고대 웅변가의 연설문, 아리스토텔레스 저술에 붙인 고대 주석, 다른 책들의 조각까지 나왔다. 13세기의 그 사람 손에는 적어도 일곱 권의 헌책에서 나온 양피지가 있었다. 그는 그것을 모아 새 책 한 권으로 바꾸었다. 재료만 놓고 보면 성공적인 재활용이었다. 아무도 읽지 않던 일곱 권이 누군가 날마다 쓰는 한 권이 되었다.

하지만 잉크는 완전히 사라지지 않았다. 철 성분이 든 잉크가 가죽 섬유 속으로 스며들어, 아무리 긁어도 다 지워지지 않았던 것이다. 700년 뒤, 누군가 기도문 밑에서 그 글자를 읽어 냈다.

어떻게 읽어 냈는지는 8절에서 이야기하겠다. 여기서는 한 가지만 기억하면 된다. 그 글씨가 남은 것은 누군가 지켜 주었기 때문이 아니라, 깨끗이 긁어 내지 못했기 때문이다. 그리고 일곱 편 가운데 한 편은 이 책 말고는 세상 어디에도 전해지는 사본이 없다.

또 다른 한 편은 이 책이 유일한 그리스어 사본이다. 또 한 편은 중세 라틴어로 전해진 계통이 있기는 하지만, 그리스어 원문은 이것 하나뿐이다.

앞선 세 편에서 만난 자료의 물질적 조건은 저마다 달랐다. 첫 편에는 실물은 있으되 사람 이름이 없었다. 두 번째에는 이름은 있으되 실물이 없었다. 세 번째에는 글자 하나하나를 대조할 수 있는 책과, 거의 백지에 가까운 저자가 있었다.

이번에는 둘 다 있다. 손으로 들 수 있고, 곰팡이 얼룩과 풀 자국과 접힌 흔적이 있는 양피지 책. 그리고 자기 말을 직접, 그것도 상당히 구체적으로 써 둔 사람. 둘 사이에는 1,180년이 놓여 있다. 이 숫자는 뒤에서 다시 나온다.

2 그 자신의 목소리

아르키메데스의 저술 상당수는 특정인에게 보내는 말로 시작한다. 몇 줄짜리 사적인 편지가 아니다. 인사말로 문을 연 수학 논저다. 두루마리나 책의 형태로 상선과 사절단, 믿을 만한 중개인의 손에 실려 바다를 건넜다.

받는 사람의 이름도 댈 수 있다. 코논, 도시테오스, 에라토스테네스. 시라쿠사의 왕 겔론도 있다. 『모래알을 세는 사람』은 그에게 보낸 글이다. 이 책에서 아르키메데스는 자신의 아버지가 페이디아스라고도 밝힌다. 이 이름들을 믿을 수 있는 것은 후대 사람이 그를 대신해 말한 것이 아니라, 그가 직접 적었기 때문이다.

앞선 세 편에는 이런 일이 없었다. 첫 편의 서기관들은 대체로 서명을 남기지 않았다. 두 번째의 히파소스는 몇백 년 뒤 다른 사람들이 전한 이야기 속에서만 살아 있다. 세 번째의 에우클레이데스는 가장 먼저 이름을 언급한 사람조차 그보다 100년 뒤의 인물이다. 이번에야 비로소 한 사람이 자기 입을 연다. 그런데 그가 하는 말과 후대 사람들이 그를 대신해 해 준 말은 내용이 전혀 겹치지 않는다.

이에 비하면 현대 전기에서 별생각 없이 덧붙이는 문장들은 대개 근거가 없다. 젊은 시절 알렉산드리아에서 공부했다는 말에는 초기 증거가 전무하다. 히에론 2세의 친척이었다는 말의 가장 이른 명시적 출처는 플루타르코스인데, 그는 아르키메데스보다 300여 년 뒤의 사람이다.

전설을 섞지 않은 생애는 대략 이만큼이다. 시라쿠사의 수학자. 히에론 2세와 겔론의 시대에 활동했다. 아버지 이름은 페이디아스. 동지중해, 특히 알렉산드리아의 수학자들과 서신을 주고받았다. 기원전 212년 시라쿠사 함락 때 사망했다. 결혼, 자녀, 스승, 재산, 일상의 습관은 거의 전부 빈칸이다.

대신 그 서문들은 다른 것을 남겼다.

『나선에 관하여』의 서문은 도시테오스에게 보낸 것이다. 그는 먼저 젊은 시절 몇 가지 결과를 코논에게 보냈던 일을 돌이킨다. 코논이 세상을 떠난 지 여러 해가 흘렀는데도, 그 문제를 제대로 다룬 사람은 없는 듯하다고 한다. 코논에 대한 평가는 높다. 더 오래 살았다면 충분히 풀어냈을 것이라는 취지다. 그러고는 이런 대목이 나온다. 예전에 보낸 명제들 속에, 성립할 수 없는 것 두 개를 일부러 끼워 넣었다고 인정한다.

장난을 치려던 것이 아니다. 자신도 다 발견했다고 말하면서 정작 증명은 내놓지 못하는 사람들을 가려내려는 것이었다. 그런 사람이 거짓 명제마저 증명했다고 나서면 스스로 정체를 드러내게 된다. 이것은 그가 직접 쓴 말이다. 성격이 어땠다더라는 후대의 일화가 아니다.

기원전 3세기의 수학 서신 교환에도 꽤나 현대적인 사회 문제가 있었다는 뜻이다. 명제가 먼저 돌고 증명은 나중에 돌 수 있었다. 누가 먼저 발견했느냐를 놓고 다툴 수도 있었다. 나도 발견했다고 말하는 것과 증명을 내놓는 것은 달랐다. 저자는 그런 주장을 검증할 방법까지 스스로 고안했다.

왜 그랬는지도 들여다볼 만하다. 자신의 증명을 베껴 갈까 봐 걱정한 것이 아니다. 증명은 아직 자기 손에 있었다. 걱정한 것은 남들이 똑같은 결과에 독자적으로 도달했다고 주장하는 일이었고, 당시에는 그 주장이 거짓임을 밝힐 방법이 없었다. 거짓 명제 두 개를 보내자, 거짓임을 밝힐 수 있는 주장이 되었다.

그렇다고 그가 동료 심사에 함정을 설치했다고 바꿔 말해서도 안 된다. 고대의 관행에 현대의 명칭을 씌우는 일이다. 편지가 오가는 속도 역시 많은 것을 설명해 준다.

순풍을 만나면 이탈리아에서 알렉산드리아까지 열흘에서 2주 안에 갈 수 있었다. 역풍을 맞는 귀로는 한 달, 혹은 그 이상 걸릴 수 있었다. 시라쿠사는 그 항로 위에 있었으므로 계절이 좋을 때 책 한 권을 알렉산드리아로 보내는 데 걸리는 시간은 대략 한 주에서 몇 주 정도였을 것이다. 일반적인 항해 여건을 재구성한 추정이지, 그의 우편물을 실제로 측정한 자료가 아니다.

그의 발송 기록은 단 한 장도 남아 있지 않다. 우리가 아는 것은 당시 지중해 항해의 일반적인 사정뿐이다. 그래도 한 가지는 충분히 설명된다. 증명 없는 명제를 보내고, 상대가 연구하기를 기다렸다가, 증명을 다시 보내는 한 차례의 왕복은 몇 달을 훌쩍 넘길 수 있었다. 겨울, 풍향, 전쟁, 경유는 시간을 더 늘렸다. 명제를 먼저 보내고 증명은 뒤에 보내는 관행이 수학 문헌의 일부가 된 데에는 물리적 거리도 한몫했다.

서문이 왜 그렇게 긴지도 설명된다. 수신자는 옆집에 있지 않았고 편지는 몇 주를 가야 했다. 한 번 보낼 때마다 지난번 이후의 사정을 정리해야 했다. 누가 죽었는지, 무엇을 이미 보냈는지, 무엇을 아직 증명하지 않았는지, 왜 이제야 보내는지. 이 설명들이 훗날 그의 학문 생활에 관한 유일한 1차 기록이 되었다. 서문 속 아르키메데스는 후대의 이야기에서 밥 먹는 것도 잊을 만큼 몰입하는 천재와는 다른 사람이다.

증명, 결과를 전하는 순서, 저자가 누구인지, 수신자의 역량과 학문적 신용을 몹시 중요하게 여긴 사람이다.

3 세 가지 전설

그에 관한 나머지 절반은 모두 남의 말에서 왔고, 시기도 훨씬 늦다. 목욕 이야기부터 보자. 현존하는 가장 이른 출처는 비트루비우스의 『건축십서』다. 대략 기원전 30년대에서 20년대에 쓰였으니, 기원전 212년과는 약 180~190년 떨어져 있다.

이야기는 구체적이다. 히에론이 신에게 바칠 금관을 만들게 했는데, 장인이 은을 섞은 것이 아닌가 의심했다. 왕관을 훼손할 수는 없으니 아르키메데스에게 방법을 찾으라고 했다. 목욕탕에 몸을 담그던 그는 몸이 들어가는 만큼 물이 넘치는 것을 보고, 밀려난 물의 양을 이용할 수 있다는 생각이 번뜩 떠올랐다. 신이 나서 벌거벗은 채 집으로 달려가며 줄곧 발견했다고 외쳤다. 이야기는 이어진다. 같은 무게의 순금과 순은을 가져다 물을 가득 채운 그릇에 각각 담근 뒤 넘친 물의 양을 비교하고, 다시 왕관과 비교했다는 것이다. 이 이야기의 허점은 앞선 편들과 다르다.

첫 편의 헤로도토스는 스스로 ‘내 생각에는’이라는 단서를 붙였다는 데 허점이 있었다. 두 번째의 히파소스는 판본끼리 충돌했다. 세 번째의 ‘왕도는 없다’는 말은 주인공을 바꿔 끼울 수 있었다.

이번에는 네 번째 종류다. 이야기 속 작업 방식으로 필요한 정밀도를 얻을 수 있었는지가 매우 의심스럽다.

갈릴레이는 이미 1586년 『작은 저울』에서 비트루비우스식으로 넘친 물을 받아 재는 방법이 너무 거칠다고 보았다. 20세기 수학사가들도 같은 문제를 강조했다. 금과 은의 밀도 차이는 물론 이론상 부피 차이를 만들어 내기에 충분하다. 하지만 섞인 은의 비율이 크지 않다면 신뢰할 수 있게 측정해야 할 것은 대개 아주 적은 양의 물이다. 용기가 젖는 정도, 수면의 굽은 모양, 물이 달라붙는 현상, 튀는 물방울, 정확히 가득 채우는 일 자체에서 생기는 오차 하나하나가 측정하려는 차이만큼 클 수 있다.

쟁점은 물체가 밀어낸 물을 이용하는 원리가 옳으냐 그르냐가 아니다. 원리는 옳고, 더구나 아르키메데스 자신의 원리다. 쟁점은 비트루비우스가 묘사한 절차가 과연 왕실 금세공품을 감정하는 데 필요한 정밀도에 이를 수 있느냐는 것이다.

그래서 이 이야기는 보통의 전설보다 더 흥미롭다. 허공에서 지어낸 이야기가 아니다. 참인 원리를, 정밀도가 검증되지 않은 절차에 넣어 둔 것이다. 이야기가 전하는 결론은 맞았다. 하지만 그 방법까지 똑같이 믿을 만하게 전했는지는 별개의 일이다.

더 믿을 만한 대안은 정수압을 이용한 무게 측정이다. 같은 물체를 공기 중에 두었을 때와 물속에 담갔을 때의 겉보기 무게를 비교하면 된다. 넘쳐 나온 그 적은 물을 받아 낼 필요가 없다. 갈릴레이가 이 방법을 체계적으로 설명했다. 하지만 이것은 기원전 3세기의 자료가 아니므로, 거꾸로 거슬러 올라가 아르키메데스가 실제로 쓴 방법이 이것이었다고 말할 수는 없다. 현대 실험이 답할 수 있는 것은 물리적으로 가능한가뿐이다. 역사에서 실제로 일어났는가는 답할 수 없다. 이제 죽음으로 넘어가자. 이 대목은 몇 가지 문헌을 나란히 놓고 볼 만하다. 이른바 마지막 한마디가 그 과정에서 자라났기 때문이다.

리비우스의 기록은 대략 기원전 1세기 말, 사건에서 약 200년 뒤다. 줄거리는 아주 짧다. 도시가 함락되는 혼란 속에서 아르키메데스는 흙바닥에 그린 도형에 몰두하다가, 자신을 알아보지 못한 병사에게 죽임을 당한다. 마르켈루스는 슬퍼하며 장례를 마련하고 유족을 보호하고 우대한다. 대사는 없다. 살해의 이유는 착오다.

발레리우스 막시무스의 기록은 서기 30년 무렵, 사건에서 약 240년 뒤다. 그의 이야기에서 아르키메데스는 흙바닥의 도형을 감싸며 한마디 한다. 라틴어 표현의 핵심 뜻은 제발 이것을 흐트러뜨리지 말아 달라는 것이다. 그러고는 살해된다.

유명한 ‘내 원을 건드리지 마라’는 말은 리비우스에게 없고, 플루타르코스에게도 이 형태로는 나오지 않는다. 후대에 그 상황을 경구로 압축해 낸 결과이지, 현존하는 어느 고대 문헌에라도 그대로 적혀 있는 유언이 아니다.

플루타르코스는 서기 100년 전후, 사건에서 약 310년 뒤다. 그의 기록이 특히 값진 까닭은 단 하나의 진짜 이야기를 아는 척하지 않았다는 데 있다. 그는 세 가지를 연이어 적었다.

첫째. 병사가 마르켈루스에게 가라고 명령하자, 아르키메데스는 먼저 문제를 풀고 증명까지 끝내겠다고 고집한다. 화가 난 병사가 그를 찔러 죽인다. 이유는 명령 불복종이다.

둘째. 병사가 칼을 들고 달려오자, 눈앞의 문제에 미완성인 부분이 남지 않도록 잠시 기다려 달라고 애원한다. 병사는 그 간청을 무시하고 죽인다.

셋째. 해시계와 구, 각도를 재는 기구를 가지고 마르켈루스를 만나러 가는 길이었다. 병사는 그릇 안에 금이 들었다고 생각해서 그를 죽인다. 이유는 약탈이다. 세 이야기에서 병사가 죽이는 이유는 완전히 다르다.

현존 문헌의 연대순으로 놓으면 이런 흐름이 된다. 리비우스의 대사 없는 오인 살해, 발레리우스의 경구가 있는 이야기, 플루타르코스가 보존한 여러 갈래의 극적인 이야기. 점점 더 재미있어지는 것처럼 보인다.

하지만 사료를 다룰 때는 이것만으로 뒤의 저자가 앞의 저자를 고쳐 썼다고 단정할 수 없다. 고대 저자들이 오늘날 사라진 이야기를 공통으로 이용했을 수도 있다. 더구나 플루타르코스는 어떤 이는 이렇게 썼고 다른 이는 저렇게 말했다고 명시한다. 그보다 앞서 여러 판본이 나란히 존재했다는 증거다. 남아 있는 문헌상의 증언이 확대되었다고는 말할 수 있다. 각 단계의 차용 관계가 입증되었다고는 말할 수 없다. 전설의 진화라는 말이 실은 현존 문헌의 연대가 점점 늦어진다는 뜻일 때가 많다. 둘을 저절로 같은 것으로 놓아서는 안 된다.

마지막은 거울이다. 거울로 햇빛을 모아 로마 함대를 불태웠다는 이야기는 초기 전쟁 사료에 아예 없다.

폴리비오스는 기원전 2세기 중엽, 포위전으로부터 불과 60~70년 뒤에 썼다. 그가 전하는 기술적 골격은 이렇다. 로마는 바다와 육지 양쪽에서 강공을 펼쳤다. 바다에서는 전함을 나란히 연결해 대형 공성용 발판을 올렸다. 아르키메데스 쪽은 사거리에 따라 투사 장치를 배치했다. 멀리 있는 배에는 무거운 돌을, 가까이 있는 배에는 더 작고 촘촘한 투사물을 쏘았고, 성벽 뒤에서 함선을 공격하는 장치도 있었다. 리비우스의 기록은 더 구체적이다. 성벽 위아래에 작은 구멍을 숱하게 뚫고, 그 안에서 화살과 작은 쇠뇌를 쏘았다. 성벽 밖으로 뻗은 지렛대가 쇠 갈고리를 움직여 뱃머리를 들어 올렸다가 갑자기 놓으면 배가 물 위로 거세게 곤두박질쳤다. 강공이 실패한 뒤 로마는 봉쇄로 돌아섰다.

이 세 저자 모두 거울은 언급하지 않았다.

첫 층위가 등장하는 것은 루키아노스다. 서기 2세기 중엽, 사건에서 약 370년 뒤다. 그는 아르키메데스가 불로 배를 파괴했다고 했지만, 그 유명한 거울 대형은 제시하지 않았다. 본격적인 집광 거울이 나오려면 트랄레스의 안테미오스, 서기 500년 무렵까지 가야 한다. 기원전 212년에서 약 700년 뒤다.

2005년 한 연구팀은 가로세로 1피트인 거울 127개로 약 30미터 떨어진 고정된 목조 표적에 빛을 모았다. 하늘이 이상적으로 맑고 표적이 오래 움직이지 않는 조건에서는 그을리거나 작은 불이 붙을 수도 있었다. 하지만 10분가량 계속 겨냥해야 했다. 그 뒤 규모를 키워 되풀이한 실험들은 배의 움직임, 거울 조준의 오차, 날씨, 방향, 거리가 효과를 크게 떨어뜨린다는 점을 강조했다.

결론은 광학 원리상 불가능하다는 것이 아니다. 전장에서 불을 지르는 무기로는 지극히 비실용적이라는 것이다. 같은 시대에 불붙은 물체를 직접 쏘는 편이 훨씬 간단했다. 세 이야기에는 저마다 다른 시간의 간격이 놓여 있다. 그런데 가장 널리 퍼진 것은 모두 가장 늦게 나타난 층위다.

세 이야기에는 또 하나의 공통점이 있다. 모두 그가 어떤 외부의 힘과 맞닥뜨리는 순간을 다룬다. 왕의 의심, 병사의 칼, 적군의 함대.

정작 그가 직접 쓴 글에는 이 세 가지 중 어느 것도 한 번 나오지 않는다. 그가 쓴 것은 누가 죽었는지, 무엇을 보냈는지, 어느 증명을 아직 보내 주어야 하는지였다.

플루타르코스는 이 침묵에 설명을 붙였다. 방어 기계들은 히에론 왕이 거듭 청해서 만든 것이며, 아르키메데스 자신은 대수롭게 여기지 않고 기하학을 가지고 놀다가 나온 부산물 정도로 보았다는 것이다. 공학과 일상의 필요를 채워 주는 모든 기술을 천하고 거친 것으로 여겨, 그런 기구를 설명하는 글을 한 편도 남기려 하지 않았다고도 했다. 같은 대목에서 플루타르코스는 더 오래된 이야기도 한다. 에우독소스와 아르키타스가 기구로 기하 문제를 풀자 플라톤이 몹시 화를 냈다는 것이다. 기하학을 망쳐 놓고, 형체 없는 것의 세계에서 감각으로 느끼는 것의 세계로 떨어뜨렸다고 꾸짖었다고 한다. 실제로 아르키메데스 자신이 남긴 글에는 공성 기구를 다룬 것이 한 편도 없다. 그런데 5절에서 볼 그 편지에서 그는 바로 상상 속 저울을 빌려 넓이와 부피를 찾아낸다.

한 사람이 남긴 자기 이야기와 남들이 그를 두고 만든 이야기는 서로 완전히 어긋날 수 있다. 이번 편은 이 연재 전체에서 둘의 대비가 가장 선명한 경우다. 양쪽이 다 남아 있고, 양쪽을 다 확인할 수 있기 때문이다.

4 두 번의 귀류법

이제 그가 실제로 하던 일을 보자. 소진이라는 말은 흔히 이렇게 잘못 설명된다. 변의 수를 계속 늘리면 마침내 무한히 많아지고, 그러면 다각형이 원과 같아진다는 것이다. 고대의 증명은 정확히 그런 구조가 아니다. 먼저 확정된 후보값 하나를 내놓는다. 이를테면 곡선으로 둘러싸인 이 도형의 넓이는 넓이가 이미 알려진 어떤 직선 도형의 넓이와 같을 것이라고 한다.

그다음 실제 넓이가 후보값보다 크다고 가정한다. 크다면 둘 사이에는 확정된 양의 차이가 있다. 이제 내접 도형을 만든다. 변의 수는 유한하되 충분히 촘촘해서, 덮지 못한 나머지 넓이가 방금 그 차이보다 작아지게 한다. 이미 알려진 기하 관계를 적용하면 이 내접 도형은 서로 충돌하는 두 대소 관계를 동시에 만족해야 한다. 모순이다. 그러므로 클 수 없다.

이번에는 후보값보다 작다고 가정한다. 외접 도형으로 바꿔 같은 일을 하면 또 모순이 나온다. 그러므로 작을 수도 없다. 크지도 작지도 못하니 같다는 결론만 남는다. 그 과정에서 변의 수가 무한해진 순간은 단 한 번도 없다. 여기서 잠깐 멈출 필요가 있다. 이 방법을 설명할 때 가장 흔히 틀리는 대목이기 때문이다. 틀린 쪽이 귀에는 더 매끄럽고 후대의 극한 개념에도 더 가까워서, 대중적인 서술에서는 거의 언제나 그쪽이 이긴다.

다각형의 변이 늘수록 원에 가까워진다는 것은 직관적인 그림이고, 실제 작도도 그렇게 이루어진다. 하지만 증명의 힘은 그 그림에 있지 않다. 상대가 아무리 작은 차이를 내놓더라도, 나머지를 그 차이보다 작게 만드는 유한한 단계가 반드시 있다는 데 있다. 하나는 과정이고 하나는 보장이다. 증명에 쓰이는 것은 뒤의 것이다. 이 구별은 2,000년 뒤 다른 모습으로, 훨씬 무거운 의미를 띠고 다시 나타난다.

각각의 귀류법이 상대하는 것은 이미 주어진 하나의 차이다. 증명할 것은 오직 이것이다. 나머지가 그 차이보다 작아지는 유한한 단계가 존재한다. 그 단계에 이르면 모순이 발생하고 증명은 끝난다.

이 단계를 받쳐 주는 것이 『원론』 제10권의 첫 번째 명제다. 서로 같지 않은 두 양이 주어졌다고 하자. 큰 쪽에서 절반보다 많은 부분을 덜어 내고, 남은 것에서도 같은 식으로 계속 덜어 내면, 유한 번 뒤에는 나머지가 처음 주어진 작은 양보다 작아진다는 것이다. 핵심은 무한히 반복한다는 데 있지 않다. 미리 어떤 문턱을 정해 놓더라도 유한 번 뒤에는 반드시 그 아래로 내려갈 수 있다는 데 있다.

이 명제가 『원론』의 어디에 놓였는지도 의미가 있다. 원이나 구를 다루는 권에 있지 않다. 제10권의 맨 앞에 도구처럼 놓여 있다. 뒤에서 필요한 사람이면 누구나 꺼내 쓸 수 있도록.

그러므로 이번 편의 제목을 엄밀히 읽으면 영원히 조금 모자란다는 뜻이 아니다. 무한한 과정을 하나의 수학적 대상으로 완결하지 않고도, 그 유일하고 정확한 등식을 증명할 수 있다는 뜻이다. 그는 이 방법으로 몇 가지 일을 해냈다.

『원의 측정』은 원의 넓이가, 그 반지름과 원주를 서로 직각으로 만나는 두 변으로 삼은 직각삼각형의 넓이와 같다고 판정한다. 같은 글 뒤쪽에는 원주와 지름의 비에 대한 상한과 하한도 나온다. 훗날 흔히 3 + 10/71과 3 + 1/7 사이라고 쓰는 바로 그 두 값이다. 소수 하나를 들고 원주를 재는 일이 아니다. 통제 가능한 유한 다각형과 제곱근의 추정으로 엄밀한 경계를 세우는 일이다.

『포물선의 구적』은 포물선의 활꼴 영역 넓이가 특정한 내접삼각형 넓이의 4/3임을 증명한다.

이 글이 특별히 중요한 까닭은 두 길을 함께 보여 주기 때문이다. 하나는 역학과 무게중심의 발상에 기대고, 다른 하나는 순수 기하학의 길이다. 앞의 길은 그가 나중에 『방법』에서 회고한, 역학을 통한 가장 초기의 발견들 중 하나다. 발견과 증명의 역할 분담은 이미 『포물선의 구적』에서 보인다. 『방법』처럼 정면으로 짚지 않았을 뿐이다. 한 사람이 자신의 작업 방식을 두 글에서 두 번 이야기했다. 한 번은 지나가듯 언급했고, 한 번은 따로 편지를 써서 설명했다. 두 번째 이야기는 하마터면 전해지지 못할 뻔했다.

『구와 원기둥에 관하여』는 같은 통제를 3차원으로 밀고 나간다. 구의 겉넓이는 그 대원 넓이의 네 배다. 구의 부피는 그 구에 외접하는 원기둥 부피의 2/3이다. 구는 무한히 얇은 원판들의 합이라고 선언하고 끝내는 증명이 아니다. 안팎으로 접하는 입체와 부등 관계를 써서 오차를 사이에 가둔다.

고대 문헌에는 현대 교과서의 단원명 같은 통일된 방법 이름이 없다. 에우클레이데스는 제12권을 열며 이제 소진법을 쓰겠다고 말하지 않는다. 아르키메데스 역시 자신의 엄밀한 논증 전체를 어떤 고유한 이름으로 부르지 않는다. 소진이라는 명칭의 출처는 보통 그레구아르 드 생뱅상이 1647년에 낸, 원과 원뿔곡선의 구적에 관한 책으로 거슬러 올라간다.

단어의 내력에 유난을 떠는 것만은 아니다. 이름은 착각을 만든다. 누군가 어느 날 소진법이라는 것을 발명해서 후세에 전한 듯한 착각이다. 남은 자료가 보여 주는 것은 사실 몇 가지 공통 기술이다. 임의로 주어진 차이, 귀류법, 안팎에서의 근사, 충분히 큰 부분을 되풀이해 덜어 내기, 비례 이론. 훗날 하나의 이름으로 같은 서랍에 넣었을 뿐이다. 그렇다면 이 기술들은 누구의 것인가. 가장 믿을 만한 공로의 배분은 바로 아르키메데스 자신에게서 나온다.

『방법』의 서문에서 그는 원뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 원기둥의 1/3이고, 각뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥의 1/3이라는 두 종류의 정리를 에우독소스가 처음 증명했다고 말한다. 곧바로 한마디를 덧붙인다. 데모크리토스가 앞서 이 결과를 제시했지만 증명을 하지 않았을 뿐이니, 그에게도 적잖은 공을 돌려야 한다는 것이다. 몇백 년 뒤 수학사가의 추측에 기대지 않아도 되는, 귀한 대목이다.

더구나 그는 세 가지를 명확히 갈라 놓고 있다. 결과를 처음 말한 것, 증명을 처음 찾아낸 것, 발견의 방법을 처음 내놓은 것. 각각의 공로는 서로 다른 사람에게 돌아갈 수 있다.

5 『방법』

『방법』은 이렇게 시작한다. 아르키메데스가 에라토스테네스에게 문안합니다.

먼저 그는 예전에 몇 가지 정리를 보냈던 일을 상기시킨다. 명제만 적어 보내고 증명은 받는 사람이 찾아보도록 했었다. 이제 증명을 보내면서, 역학의 도움으로 수학적 결과를 발견하는 방법도 설명하겠다고 한다. 그 방법의 한가운데에는 저울 한 대가 놓여 있다.

그는 평면도형을 수많은 평행한 선분으로 이루어진 것으로 생각한다. 입체는 수많은 평행한 단면으로 다룬다. 서로 대응하는 선분이나 단면의 각 쌍마다 길이, 넓이 또는 무게의 비례 관계를 세운 다음, 그것들을 지렛대에 올려놓았다고 상상한다. 각 부분이 받침점에서 서로 다른 거리에 놓여 평형을 이루도록 한다. 대응하는 모든 조각이 하나하나 평형 관계를 만족한다면, 전체 넓이나 부피 사이에도 그에 맞는 무게 관계가 있을 것이라고 추론한다. 여기에 이미 알려진 무게중심의 위치를 적용해 원하는 결과를 얻는다.

그러고는 이 글에서 가장 중요한 한마디를 한다. 이것은 최종적인 증명으로 칠 수 없다고 명시한다.

후대 수학사가가 엄밀하지 않다며 불평한 것이 아니다. 저자 자신이 그렇게 적었다. 역학적 방식의 고찰은 참된 증명을 제공하지 않으므로, 기하학적인 방법으로 다시 증명해야 한다고.

그러면서도 그는 말한다. 결과가 대략 무엇인지 먼저 알고 증명을 찾는 편이, 목표를 전혀 모를 때보다 쉽다고. 바로 데모크리토스와 에우독소스를 예로 든다.

마지막으로 이 방법을 왜 기꺼이 알리는지도 설명한다. 다른 사람들, 심지어 후세의 수학자들이 이것을 이용해 자신이 아직 발견하지 못한 정리를 발견할 수도 있기 때문이다.

그러므로 『방법』을 두고, 그가 몰래 미적분을 쓰면서 감히 공개하지 못한 것이라고 말하면 이 글의 진짜 놀라움을 놓친다. 그에게는 낮은 수준의 방법 하나와 높은 수준의 방법 하나가 있었던 것이 아니다. 두 가지 일을 분명히 구별한 것이다. 오늘날에는 평범하게 들린다. 현대 수학 교육은 처음부터 학생들에게 생각해 낸 것과 증명해 낸 것은 다르다고 가르치기 때문이다.

하지만 남아 있는 고대 문헌에서 이 말을 한 사람은 거의 그뿐이다. 역학적 방법은 이 결과를 어떻게 발견했으며 왜 믿어 볼 만한가에 답한다. 기하학적 증명은 그것이 엄밀한 의미에서 왜 성립하는가에 답한다. 둘은 협력하지만 지위는 다르다.

그가 내놓는 이유도 소박하다. 목표가 대략 어디 있는지 알고 길을 찾는 편이, 목표도 모르고 더듬는 것보다는 쉽다. 발견의 가치는 엄밀함에 있지 않다. 찾아야 할 범위를 좁혀 주는 데 있다. 이런 이야기는 현존하는 고대 그리스 수학 문헌에서 매우 드물다.

그리스 수학 저술의 압도적인 다수는 완성된 뒤의 명제와 증명의 질서를 보여 준다. 독자가 보는 것은 이미 닦인 길이다. 저자가 오류, 추측, 시행착오와 유추 속에서 어떻게 그 길을 찾았는지는 보이지 않는다.

『방법』에서는 최정상급 수학자가 자기 입으로 말한다. 나는 처음에 이렇게 발견했다. 이것이 아직 증명이 될 수 없다는 것은 안다. 그래서 그다음에 증명했다. 이 발견 방법을 당신에게 알려 주는 것은 당신도 새로운 것을 찾을 수 있게 하려는 것이다.

고대에 비교할 만한 글이 전혀 없었던 것은 아니다. 그의 『포물선의 구적』 서문부터 역학적 발견과 기하학적 논증이라는 두 길을 언급한다. 후대의 파포스도 분석과 종합을 설명하면서, 구하려는 것에서 거꾸로 추적한 다음 반대 방향으로 종합하는 방법을 일반적으로 논했다.

하지만 파포스가 주는 것은 방법론의 개요다. 어떤 정리를 자신이 어제 어떻게 찾아냈는지 알려 주는 것이 아니다. 차이는 인칭에 있다. 개요는 일반적으로 어떻게 해야 하는지를 말한다. 『방법』은 그때 내가 어떻게 했는지를 말한다.

그러므로 가장 신중한 평가는 고대의 유일한 발견 기록이라는 것이 아니다. 현존하는 고대 그리스 고등 수학 문헌 가운데, 저자 자신이 발견을 이끄는 탐색 절차와 정식 증명 절차를 명확히 구분한 극소수의 자료라는 것이다. 더구나 두 절차가 어떻게 맞물리는지 보일 만큼 자세하다. 여기서 반드시 짚어 두어야 할 것이 하나 더 있다. 이번 이야기가 가장 쉽게 엇나갈 수 있는 지점이기 때문이다.

『방법』에서 넓이를 선들의 모임으로, 부피를 면들의 모임으로 보고 한 조각씩 비교하는 발상은 17세기의 불가분량법과 구조상 분명히 닮았다. 그 몇 쪽을 읽으면 후대의 방법에 익숙한 사람이라면 누구나 곧바로 떠올릴 것이다.

하지만 닮았다는 것과 전해졌다는 것은 다르다.

17세기 유럽 수학자들이 불가분량법을 발전시킬 때, 그들이 읽을 수 있는 어느 아르키메데스 저작집에도 『방법』은 들어 있지 않았다. 이 글이 수학사에 다시 들어온 것은 1906년이다.

그러므로 『방법』에서 17세기로 이어지는 전수의 계보는 없다. 말할 수 있는 것은 이것뿐이다. 1,800년 떨어진 두 시대가 곡선 도형의 넓이와 곡면 입체의 부피를 마주하며, 구조상 비교할 수 있는 조각내기의 발상을 각자 길러 냈다. 한편 17세기 사람들이 계속 전해져 오던 다른 아르키메데스 저술들의 영향을 깊이 받았다는 것은 사실이다.

6 무한

아리스토텔레스는 『자연학』 제3권에서 무한을 체계적으로 논했다.

그는 무한을 이미 전부 주어진, 완결된 양으로 이해하는 데 반대했다. 그보다는 이런 상태로 보려 했다. 어디까지 갔든 더 많이 취할 수 있고, 더 나눌 수 있는 상태. 그의 표현을 풀면, 무한은 바깥에 더는 아무것도 없는 것이 아니라 바깥에 늘 무언가가 더 있는 것이다. 그는 수학에 대해서도 직접 답했다. 실무한을 거부한다고 수학자가 일을 못 하는 것은 아니다. 임의로 크되 유한한 양을 취하기만 하면 된다.

아주 반듯하게 줄 세운 인과관계가 하나 있다. 제논이 무한의 난제를 만들고, 아리스토텔레스가 금지령을 내리고, 수학자들이 그 금지령에 복종해서 소진법을 발명했다는 이야기다. 남아 있는 자료는 이를 뒷받침하지 않는다.

에우독소스는 애초에 아리스토텔레스보다 앞선 인물이거나 같은 세기에 속한다. 그의 기법을 『자연학』을 받아들인 뒤에야 고안한 것이라고 단순하게 설명할 수 없다. 에우클레이데스와 아르키메데스의 엄밀한 증명 방식이 잠재적 무한과 대단히 잘 들어맞는 것은 사실이다. 언제나 유한한 작도를 유지하며, 임의로 주어진 대소 관계를 이용해 논증을 마친다. 하지만 아르키메데스의 어느 서문에도 아리스토텔레스가 실무한을 금지했으니 이렇게 증명한다는 말은 없다.

증거가 허용하는 결론은 이렇다. 그리스의 엄밀한 기하학이 실제로 증명하던 방식과 그 철학은 매우 잘 맞는다. 그러나 철학의 금지령이 수학자 공동체를 직접 지배했다는 문헌 증거는 부족하다.

거꾸로 물을 수도 있다. 수학자에게 실제로는 실무한이 필요 없다는 아리스토텔레스의 말은, 적어도 어느 정도는 수학자에게 법을 내린 것이 아니라 이미 존재하던 수학의 실천을 설명한 것이 아닐까. 그렇다면 그리스 수학은 정말 실무한을 완전히 피했을까. 여기에는 실제 논쟁이 있다. 증거는 이 글 첫머리의 해체된 책에서 나온다.

네츠는 재사용 양피지본을 새로 판독한 내용을 토대로 이런 해석을 내놓았다. 『방법』의 일부 명제에서 아르키메데스는 임의의 절단선을 하나하나 다루는 데 그치지 않고, 그 선들의 전체나 수를 논하며 통째로 대응시키는 듯하다는 것이다. 그의 해석에 따르면 적어도 조작상의 의미에서는 실제로 무한한 전체를 다루는 셈이다.

반대편은 그 그리스어 단어들이 적혀 있다는 사실을 부정하지 않는다. 문제 삼는 것은 번역과 해석이 넘어가는 층위다. 모든 절단선, 혹은 이 선들의 다수성에서 완결된 무한집합으로 건너뛰면, 현대 집합론의 존재론을 끌어들일 수 있다는 것이다. 게다가 아르키메데스 자신이 역학적 방법은 참된 증명이 아니라고 하지 않았던가. 정식 증명에서는 여전히 유한한 논증으로 돌아온다.

이 논쟁을 기억할 만한 데에는 드문 특징이 하나 있다. 서로 다투는 대상은 똑같은 글자들이다. 그런데 불과 120년 전에는 그 글자들이 누구의 시야에도 들어와 있지 않았다.

따라서 두 문장 모두 손질할 필요가 있다. 그리스 수학은 실제적인 무한의 어떤 발상도 사고 안에 들어오지 못하게 했다는 말은 너무 강하다. 『방법』이 그 말의 반례일 수 있기 때문이다. 아르키메데스가 현대적 의미의 실무한을 받아들였다는 말도 너무 강하다. 문헌에는 무한집합 이론이 없고, 현대적인 기수 개념은 더더욱 없다.

좀 더 안전하게 말하면 이렇다. 고대 그리스에서 규범화된 증명은 완결된 무한의 전체를 증명의 토대로 삼기를 피하는 경향이 있었다. 그러나 수학자가 발견을 향해 나아가는 추론과 일부 언어 사용까지, 예외가 절대로 없는 금지령을 따랐다고는 할 수 없다. 큼과 무한의 차이에 대해서는 아르키메데스 자신이 더 직접적인 글을 남겼다.

『모래알을 세는 사람』의 출발점에는 거의 도발적인 맛이 있다. 모래알의 수는 무한하다고, 적어도 그것을 표현할 만큼 큰 수는 없다고 생각하는 사람들이 있었다. 그는 큰 수의 이름을 붙이는 체계를 확장하고, 우주의 크기에 아주 넉넉한 상한을 잡았다. 그러고는 그런 우주를 모래로 가득 채우더라도 모래알의 수는 여전히 이름 붙일 수 있는 유한수임을 증명했다. 우주에 모래가 실제로 얼마나 있는지 세려는 것이 아니다. 상상할 수 없을 만큼 크다는 것과 무한하다는 것은 같은 말이 아니라는 것이다.

같은 글에는 사모스의 아리스타르코스에 관한 대목도 남아 있다. 아리스타르코스가 일련의 가설을 세웠다는 것이다. 항성과 태양은 움직이지 않는다. 지구는 태양 둘레를 원을 그리며 돈다. 태양은 그 궤도 중심 부근에 있다. 항성들이 놓인 구는 엄청나게 크다. 아리스타르코스 자신의 태양중심설 저술은 사라졌으므로, 이 대목은 현존하는 가장 이르고 명료하며 기술적으로 구체적인 개요들 중 하나다.

다만 유일한 출처라는 말은 정확하지 않다. 플루타르코스도 훗날 『달의 얼굴에 관하여』에서 아리스타르코스가 지구를 움직이게 했다고 언급했고, 후기의 학설 모음집에도 다른 흔적이 남아 있다. 한 가지 분명한 것은 아리스타르코스 자신의 태양중심설 저술이 전해지지 않는다는 사실이다.

7 키케로가 찾아낸 무덤

앞선 전설들의 증거는 모두 무르다. 이제 눈에 띄게 단단한 자료 하나를 보자. 플루타르코스는 아르키메데스가 구와 원기둥에 관한 결과를 가장 아껴, 친구와 친족에게 자기 무덤 위에 구와 원기둥을 놓아 달라고 당부했다고 한다. 이 말 자체는 무르다. 플루타르코스가 그보다 약 310년 뒤의 사람이기 때문이다.

그런데 키케로는 다른 층위의 자료를 내놓는다.

『투스쿨룸 대화』는 기원전 45년 무렵 쓰였다. 키케로는 기원전 75년 시칠리아의 재무관으로 일할 때, 시라쿠사 사람들조차 아르키메데스의 무덤이 어디 있는지 몰랐다고 한다. 그는 묘비에 관한 시 몇 줄과 구와 원기둥이라는 표지를 기억하고 있었다. 그래서 아그리젠토 문 근처 묘지로 찾아갔다. 덤불 사이로 작은 기둥 하나가 보였고, 그 위에 구와 원기둥이 있었다. 현지 사람들에게 가시덤불을 치워 달라고 하여 일부 훼손된 비문을 판독했다. 자신이 30년 전에 한 일을 1인칭으로 회고한 기록이다.

기원전 75년은 아르키메데스 사후 약 137년이다. 글이 쓰인 기원전 45년은 키케로 자신이 전하는 그 발견으로부터 불과 30년쯤 뒤다. 왜 이 자료가 목욕 이야기나 임종의 한마디보다 강할까.

그가 200년 전 아르키메데스가 이러저러했다고 들었다고 말하는 것이 아니기 때문이다. 나 자신이 그곳에 가서 비문의 단서를 따라 무덤을 찾아내고 치웠다고 말한다. 잡초, 기둥, 구와 원기둥, 훼손된 비석. 적어도 직접 겪었다는 주장들이다. 그는 시라쿠사 사람들 자신도 무덤의 위치를 몰랐다고 한 뒤, 이 대목의 끝에서 이야기를 자신에게 돌린다. 요지는 이렇다. 그리스에서 가장 고귀하고 한때 가장 학식 높았던 도시가, 아르피눔에서 온 한 사람에게 듣지 않았다면 자기 도시의 가장 지혜로운 시민이 묻힌 곳조차 몰랐을 것이라는 것이다. 현지인들이 모두 잊었다는 말은, 찾아낸 사람이 자신이라는 말이기도 하다.

이 대목은 덕만으로 사람이 행복하게 살 수 있는가를 논하는 권에 들어 있다. 키케로는 먼저 같은 도시의 옛 폭군 디오니시오스를 내세운다. 그러고는 흙바닥과 도형을 그리는 작은 막대 곁에서, 자신이 미천한 작은 사람이라고 부르는 아르키메데스를 불러낸다. 무덤 이야기를 마친 뒤 그가 던지는 물음은 이런 뜻이다. 뮤즈, 곧 인간의 교양과 학문에 조금이라도 인연이 있는 사람이라면, 누가 저 폭군보다 이 수학자가 되기를 택하지 않겠는가. 한 사람의 마음은 이치를 궁리하고 탐구하며 자란다. 영혼에게 가장 달콤한 양식이다. 다른 한 사람의 마음은 살육과 불의에 잠겨 밤낮으로 두려움에 떤다.

물론 이것도 결정적 증거는 아니다. 그 무덤이 누구의 것인지 오늘날 다시 확인할 수 있는 연속적인 근거는 없다. 현지 전승에서 아르키메데스의 것이라고 하던 무덤을 그가 잘못 알아보았을 가능성도 배제할 수 없다.

그래도 거의 200년 뒤 비트루비우스가 쓴 목욕탕 이야기, 240년 뒤 발레리우스가 쓴 마지막 한마디와 비교하면, 이 자료는 사료로서의 구조가 분명히 더 단단하다.

말할 수 있는 것은 여기까지다. 기원전 75년, 키케로는 오래된 무덤 하나를 발견했다고 주장했다. 당시 구와 원기둥이라는 표지와 비문을 근거로 아르키메데스의 무덤이라고 판단했다는 것이다. 아르키메데스 자신이 죽기 전에 그런 묘비 디자인을 요청했는지는, 더 늦은 플루타르코스만이 그렇게 말한다.

하지만 구와 원기둥이라는 표지 자체는 단단하다. 앞에서 본 구와 외접 원기둥의 부피비는 아르키메데스를 전하는 전통 안에서 줄곧 상징적인 결과였다. 그러니 키케로가 보았다는 기둥 위에 구와 원기둥이 있었다는 것은 적어도 수학과는 맞아떨어진다. 이 선을 따라가면 하나를 더 볼 수 있다.

그가 죽은 해인 기원전 212년은 상당히 믿을 만하다. 제2차 포에니 전쟁, 시라쿠사 함락, 마르켈루스의 군사 활동 연표에 박혀 있는 연도다. 독립적으로 전해진 여러 전쟁사 계통이 그를 이 포위전의 현장에 놓고 있다. 태어난 해는 사정이 다르다.

기원전 287년 무렵이라는 숫자는 요안네스 체체스에게서 나왔다. 서기 12세기의 인물로, 기원전 212년에서 약 1,360년 뒤다. 체체스가 아르키메데스는 75세까지 살았다고 했고, 현대 전기는 기원전 212년에서 75년을 거슬러 올라가 기원전 287년을 얻었다. 출생 기록도 아니고, 동시대의 비문은 더더욱 아니다.

고대 인물의 연대를 이렇게 거꾸로 계산하는 일은 흔하다. 누구는 몇 살까지 살았다는 한마디에 믿을 만한 사망 연도를 더하면, 정확해 보이는 출생 연도가 하나 태어난다. 일단 연표에 들어간 출생 연도는 더 이상 자기 출처를 달고 다니지 않는다. 사망 연도가 출생 연도보다 훨씬 확실하다. 아르키메데스에게 맞는 말이고, 이번 편에 등장하는 대다수 인물에게도 맞는 말이다.

각 저술이 정확히 몇 년에 쓰였는지도 마찬가지로 불확실하다. 서문에서 얻을 수 있는 것은 상대적 순서다. 어느 명제를 먼저 보냈는지, 어느 단계에는 코논이 이미 죽었는지, 그 뒤 무엇을 도시테오스에게 보냈는지, 『방법』이 어떤 더 이른 역학적 발견을 돌아보는지. 작품마다 특정 연도를 박아 넣는 것은 현대의 연대기적 재구성이지, 필사본에 적힌 집필 연도가 아니다. 흥미롭게도 13세기 기도서 마지막의 필사 기록이 오히려 이 모든 것보다 단단하다. 1229년 4월 13일. 거기에 쓰여 있다.

8 1,180년

해체된 책으로 돌아가자. 그 책의 재등장은 1906년 누군가 우연히 수도원에 들어서면서 시작된 일이 아니다.

1840년대에 성서 필사본 연구자 티셴도르프는 이미 콘스탄티노폴리스에서 이 재사용 양피지본을 보았고, 아래층에 수학 문장이 있다는 사실을 알아챘다. 나중에는 그가 남긴 유품에서 낱장 하나가 케임브리지로 들어가기까지 했다.

1899년 그리스 학자 파파도풀로스는 콘스탄티노폴리스의 한 수도원 분원의 장서 목록을 만들며 이 책을 355번으로 올렸다. 눈에 보이는 아래층 그리스어 몇 줄도 옮겨 적었다. 덴마크 문헌학자 하이베르는 그 몇 줄을 보고 『구와 원기둥에 관하여』에서 나온 문장임을 알아보았다. 1906년 그는 직접 콘스탄티노폴리스로 갔다.

그에게는 자외선 사진도, 방사선 영상도 없었다. 눈과 확대 관찰, 여러 조명 조건, 당시의 사진 기술에 기대어 기도문과 직각으로 놓인 흐린 잉크에서 글자를 읽었다. 일곱 편의 저술을 식별했다. 가장 충격적인 것은 그전까지 완전히 사라졌던 『방법』이었다.

그가 촬영한 범위는 앞뒷면을 각각 세어 103개 면에 이르렀다. 그중 38회는 책을 펼쳐 두 쪽을 함께 찍었다. 노출 횟수로 따지면 보통 약 65장의 사진으로 복원된다.

이 사진들은 나중에 대단히 중요해졌다. 책이 20세기에도 계속 손상되었기 때문이다. 1906년 그가 볼 수 있었던 글자 중 일부는 1998년에 이미 곰팡이에 먹혀 사라졌다. 훗날 없어진 몇몇 낱장은 그가 옮겨 적은 글이나 사진만 남았다. 그는 1908년에도 이 필사본을 연구했다. 그 뒤 언제, 누구의 손을 거쳐 콘스탄티노폴리스를 떠났는지는 기록이 이어지지 않는다.

1998년 경매를 둘러싸고 소송이 벌어졌을 때, 그리스 정교회 측은 20세기의 혼란 속에서 책이 교회 소장품에서 불법으로 빠져나갔다고 보았다. 반면 프랑스의 한 가문은 1920년대에 이미 집안에서 취득했다고 주장했다. 확인할 수 있는 것은 적어도 20세기 중엽에는 프랑스의 개인 소장품이었다는 사실이다. 1908년부터 그때까지 소유권의 연속성에는 실제 공백이 있다.

필사본의 실물이 있다고 해서 그 물건이 제 이력을 저절로 제공하는 것은 아니다. 물건은 진짜여도, 그것이 온 길은 끊어져 있을 수 있다.

1998년 뉴욕의 경매장에서 이 책이 공개 경매에 나왔고, 익명의 미국 개인 수집가가 약 200만 달러에 샀다. 구매자의 신원은 지금까지도 신뢰할 만한 공개 자료로 확인되지 않았다. 오랫동안 인터넷을 떠돌던 그 이름도 출처를 따라갈 수 없다. 2,000여 년 전의 작품을 전하는 중세 필사본이 지금 누구의 소유인지는, 오히려 이 긴 역사에서 가장 확인하기 어려운 고리다. 이후 수집가는 볼티모어의 한 미술관 연구팀에 보존 처리와 촬영, 연구를 맡기고 장기 프로젝트의 자금도 댔다. 1998년의 책은 곧바로 스캔할 수 없을 만큼 상태가 나빴다.

보존 전문가들은 우선 몇 년에 걸쳐 책의 제본을 풀었다. 난관 중 하나는 20세기에 다시 제본한 사람이 책등에 목공용 흰 풀과 비슷한 현대식 접착제를 썼다는 점이었다. 이 풀은 양피지 자체보다 질겨, 가죽을 찢지 않고 떼어 내기가 어려웠다. 곰팡이가 핀 부분은 정반대였다. 콜라겐 섬유가 이미 가루처럼 되어 살짝만 건드려도 재료가 떨어져 나갈 수 있었다. 전체 해체 작업은 2000년부터 2004년까지 이어졌다.

다중분광 영상은 더 선명한 사진 한 장을 찍는 기술이 아니다. 자외선, 가시광선, 적외선 등 여러 파장대에서 따로 촬영하고, 양피지와 13세기 기도문 잉크, 10세기 아래층 잉크가 빛에 다르게 반응하는 것을 이용해 알고리즘으로 영상들을 조합한다. 연구팀은 초기에 비교적 낮은 해상도로 실험한 데서 출발해, 점차 열두 파장대와 측면 조명까지 사용하게 되었다.

그런데 20세기에는 몇몇 쪽에 비잔티움 양식의 복음서 저자 초상화를 위조해 덧그린 사람까지 있었다. 연구팀은 그림의 원본을 추적해 이것들이 1929년보다 앞설 수 없다고 판단했다. 그해 출판된 그리스어 필사본의 도판을 베낀 그림이었기 때문이다. 안료와 금으로 덮인 층이 광학 영상을 가로막았다.

그래서 다른 방법으로 눈을 돌렸다. 싱크로트론 방사광의 고에너지 광선으로 잉크 속 원소를 들뜨게 한 다음, 지점마다 형광 신호를 측정했다. 특히 철 원소의 분포가 원래 잉크 자국의 윤곽을 드러냈다. 위에 기도문이, 심지어 안료가 덮여 있어도 아래층 글자를 그려 낼 수 있었다. 스탠퍼드의 방사광 광원은 이렇게 위조 그림 밑의 문장을 읽어 냈다.

현대 기술이 책 전체를 빠짐없이 읽었다는 말은 틀렸다. 영상 기술은 아직 남아 있는 물질적 신호를 강화할 수 있다. 곰팡이가 완전히 파괴한 양피지와 잉크를 되살릴 수는 없고, 그때 이미 없어진 책장을 읽을 수도 없다. 보존 기록은 곰팡이로 손상된 넓은 영역의 글자가 물질적으로 사라졌다고 명시한다.

후일담도 하나 있다. 원래 사라졌던 세 낱장 중 하나가 프랑스의 한 미술관에서 다시 확인되었다. 1906년 하이베르의 사진과 맞아떨어졌고, 내용은 『구와 원기둥에 관하여』에 해당했다. 사라진 낱장의 수와 상태는 21세기에도 바뀐다. 이 물건의 목록은 오늘날까지도 최종본이 아니라는 뜻이다.

현존하는 기도서 본체에는 양피지 낱장이 약 174장 있다. 앞뒷면을 세면 약 348개 면이며, 한 잎은 대략 20센티미터 곱하기 15센티미터 크기다. 실제로 해체하고 묶을 수 있고, 접히고, 곰팡이가 피고, 밀랍이 묻고, 풀 때문에 상할 수 있는 양피지 책이다. 추상적인 텍스트가 아니다.

마지막으로 한 가지 표현을 바로잡자. 이 책은 흔히 아르키메데스 본인에게 가장 가까운 그리스 수학의 실물이라고 불린다. 서로 다른 두 가지를 섞은 표현이다.

아르키메데스의 글이 전해진 계통 안에서는 실제로 유난히 이르다. 알려진 다른 중세 아르키메데스 필사본 계통보다 약 400년 앞선다. 그래서 일부 도형은 뒤에 나온 필사본의 도형보다 고대의 원형에 더 가까울 수도 있다.

하지만 물건 자체의 연대로 보면 그에게 조금도 가깝지 않다. 10세기 필사본은 기원전 212년에서 약 1,180년 떨어져 있다. 이 양피지, 10세기 필사자가 쓴 잉크, 이 작은 소문자들은 어느 것도 아르키메데스가 만져 본 것이 아니다. 게다가 10세기의 그리스 소문자체는 아르키메데스 시대 사람들이 쓰던 문자 체계조차 아니다.

이보다 훨씬 오래된 그리스 수학 실물이 물론 있다. 이집트에서 나온 『원론』 제2권의 낱장 조각은 보통 서기 1세기 말에서 2세기 초로 추정한다. 늦은 쪽을 택해도 이 재사용 양피지본보다 800년 이상 앞선다.

그러므로 『방법』이 오늘날까지 살아온 것은 추상적인 전통이 그것을 둥둥 띄워 보내 주었기 때문이 아니다.

동물의 가죽, 철 성분이 든 잉크, 누군가 90도 돌려 접은 손길, 수도원의 창고, 목록 한 부, 머나먼 여행 한 번, 유리 건판 65장, 경매 한 번, 몇 년에 걸친 해체, 열두 파장대의 빛, 그리고 한 줄기 싱크로트론 방사광 덕분이다. 어느 고리 하나라도 끊어졌다면, 아르키메데스가 자기 입으로 발견과 증명의 역할 분담을 말한 그 한 쪽은 오늘날 존재하지 않을 것이다.

그 사슬의 맨 앞에는 잉크를 긁어 내는 사람이 서 있다. 그가 덮어 버린 글의 내용을 이해했는지는 지금의 자료로 알 수 없다. 그는 그저 잉크를 말끔히 긁어 내지 못했다. 이 사슬에는 우연히 남은 흔적도 있고, 여러 세대에 걸친 의식적인 식별과 보호도 있다. 고리마다 둘을 칼같이 갈라 놓을 수는 없다.

수는 여전히 계산되고 있다. 무엇을 수학으로 칠 것인지는, 아직 한 번도 계산이 끝난 적이 없다.

사료와 더 읽을거리

다음 자료는 본문에 나오는 역사적 세부 사항과 해석상의 이견에 대응한다. 소장 기관의 기록, 고대 문학의 서술, 현대의 재구성은 같은 종류의 증거가 아니다.

• 아르키메데스 팔림프세스트 프로젝트: 필사본
• 아르키메데스 필사본의 역사
• 크리스 로러스: 금관 문제
• SLAC: X선으로 재사용 양피지본 촬영하기
• 로저 이스턴의 재사용 양피지본 영상 연구
• 소르본 iRHiST: 2025년 10월 블루아에서 재발견된 잃어버린 낱장
• 『월터스 미술관 학술지』 제62권