数学 · 04 / 25
近づいても、触れない
有限回の近似で、正確な等しさを証明できる。だが、発見するための方法が、そのまま証明になるとは限らない。
一 解体された一冊の本
十三世紀の初め、誰かが新しい祈祷書を必要としていた。それが誰だったのかはわからない。どの修道院のために作られたのかも、間接的な手がかりしかない。
羊皮紙は高かった。本を一冊作るには何頭もの家畜の皮が要る。けれども、古い本の皮ならまだ使える。そこでその人は、もう誰も読まない本を何冊か集め、綴じ糸を外し、二つ折りの葉をばらした。そして刃物と水で、表面のインクを削り、洗って薄くした。
文字を跡形もなく削り取る必要はない。上に書く新しい文字が読めて、下の文字が邪魔にならない程度に薄くなれば、それでよかった。これは職人の合格基準であって、何かを抹消する人間の基準ではない。そのうちの一冊が、十世紀のコンスタンティノープルで書き写されたアルキメデスの著作集だった。少なくとも七つの著作が収められていた。
古い本は、新しく作る本より判型が大きかった。そこでアルキメデスのページを九十度回し、さらに半分に折って、一回り小さな二つ折りの葉にした。もとは一枚の片面だったものが、新しい本では二ページにまたがることになった。
こうしてアルキメデスの文章は横向きに走り、一方の祈りのページからもう一方へ渡っていく。その途中で背の折り目にもぐり込み、見えなくなる。
このひと手間の代償を払う人が現れるのは、七百年以上たってからだ。背の奥深くに隠れた下層の文字を読むには、祈祷書をもう一度丸ごと解体しなければならない。そのころ本は、さらに七世紀分、老いていた。新しい祈祷書を書き終えた日は1229年4月13日。巻末の書写記録に残っている。場所はエルサレム周辺だった可能性がある。
数学を憎んでやった、という証拠はない。何を削り落としているのか、その人が知っていたという証拠もない。まして、ギリシアの科学を敵視していたとはいえない。羊皮紙は高い。古い本は誰も読まない。新しい本には皮が要る。ただ、それだけだった。
しかも解体されたのは、アルキメデスの一冊だけではない。同じ祈祷書からはのちに、古代の弁論家の演説、アリストテレスのある著作に付された古代の注釈、さらに別の本の断片も見つかった。十三世紀のその人の手もとには、少なくとも七冊分の古い羊皮紙があった。それをまとめて一冊の新しい本にしたのである。材料の側から見れば、再利用は大成功だった。誰も読まない七冊が、毎日使われる一冊になった。
それでも、インクは完全には消えなかった。鉄を含むインクが皮の繊維に染み込んでいて、削り切れなかったのだ。七百年後、祈りの言葉の下から、それを読み出す人たちが現れた。
どうやって読んだのかは、第八節で述べる。ここで覚えておいてほしいのは一つだけだ。文字が残ったのは、誰かが守ったからではない。削り切れなかったからである。そして七つの著作のうち一つには、この本のほかに、本文を伝える証人が世界のどこにもない。
別の一篇については、この本だけがギリシア語の本文を伝えている。さらにもう一篇には中世のラテン語による伝承があるものの、ギリシア語の原文はここにしか残っていない。
この連載の最初の三篇では、物として残ったもののあり方が、それぞれ違っていた。第一篇には実物があったが、人の名はなかった。第二篇には人の名があったが、実物はなかった。第三篇には一字ずつ照合できる本があり、作者についてはほとんど何もわからなかった。
今回は、両方がある。手に取ることのできる羊皮紙の本。カビの染みも、接着剤も、折り目もある。それに、自分の言葉を、しかもかなり具体的に書き残した人がいる。この二つのあいだには、千百八十年の隔たりがある。この数字は、あとでもう一度出てくる。
二 本人の声
アルキメデスの著作には、冒頭に誰かへの言葉を置いたものが多い。数行の私信ではない。挨拶から始まる数学の論考である。巻物などの形にまとめられ、商船や使節団、あるいは信用できる仲介者に託されて、海を渡っていった。
宛先の名は、具体的に挙げられる。コノン、ドシテオス、エラトステネス。それにシュラクサイの王ゲロンがいる。『砂粒を数えるもの』は彼に宛てられたものだ。この著作の中では、父の名がフェイディアスであることにも触れている。これらの名前が確かなのは、後世の人が代わりに語ったのではなく、本人が書いているからである。
最初の三篇には、これがなかった。第一篇の書記たちは、ほとんど署名しない。第二篇のヒッパソスは、数百年後の他人の語りの中にしかいない。第三篇のエウクレイデスは、最も早く名前を挙げた人でも、彼より百年遅い。ここにきてようやく、一人の人間が自分で口を開く。しかも本人の語ることと、後世の人が彼について語ることは、まったく重ならない。
それに比べると、現代の伝記が何気なく書き添える一文には、根拠のないものが多い。若いころアレクサンドリアで学んだという話には、初期の証拠がまったくない。ヒエロン二世の親族だったという話も、はっきりそう述べる最古の史料はプルタルコスであり、彼は三百年以上あとの人だ。
伝説を混ぜずに生涯を書けば、おおよそこれで終わる。シュラクサイの数学者。ヒエロン二世とゲロンの時代に活動した。父はフェイディアス。東地中海、とりわけアレクサンドリアの数学者たちと文通し、紀元前212年、シュラクサイ陥落の際に死んだ。結婚、子供、師匠、財産、日々の習慣。ほとんどすべてが空白である。
ただ、あの序文には、別のものが残されている。
『螺線について』の序文はドシテオスに宛てられている。まず、かつていくつかの成果をコノンに送ったことを振り返り、コノンが死んでからずいぶんたつのに、ほかの誰もあの問題を本気で扱っていないようだ、と書く。コノンへの評価は高い。もっと長く生きていたなら、十分に解けたはずだという。そして、こんなくだりが続く。以前送った命題の中には、成立しえないものを二つ、わざと混ぜておいたというのだ。
冗談のためではない。何でも自分が発見したと言いながら、いつまでも証明を出さない人を見分けるためである。偽の命題にまで証明できたと言い出せば、自分で正体を明かすことになる。この話は本人が書いている。後世に作られた、性格を語るための逸話ではない。
紀元前三世紀の数学者の文通にも、いかにも現代的な社会問題があったことがわかる。命題を先に流し、証明はあとから流すことができる。誰が最初かで争うこともできる。自分も発見したと言うことと、証明を示せることは違う。そして著者の側も、その言い分を試す仕掛けを自ら考えていた。
なぜそんなことをしたのか、そこも見ておきたい。証明を盗まれるのが心配だったのではない。証明はまだ自分の手もとにある。警戒していたのは、同じ結果に独力で到達したと言い張られることだった。当時、その主張の嘘を突くすべがなかった。偽物を二つ送れば、嘘かどうかを確かめられるようになる。
ただし、これを「査読の罠を仕掛けた」と言い換えてはいけない。それは古代の仕組みに現代の名前をかぶせることになる。文通の時間感覚を考えると、見えてくることもある。
順風なら、イタリアからアレクサンドリアまでは十日から二週間ほどで航海できた。逆風になる帰路は、一か月か、それ以上かかることもあった。シュラクサイはこの航路上にあるから、季節がよければ、巻物をアレクサンドリアへ届けるのに要する時間は、およそ一週間から数週間だったと考えられる。もっとも、これは一般的な航海条件の復元であって、彼の手紙に実際何日かかったかという測定値ではない。
彼の発送票は、一枚も残っていない。わかるのは、当時の地中海の航海事情だけだ。それでも、一つのことは見えてくる。証明のない命題を送り、相手が考えるのを待ち、そのあとで証明を送る。こんなやり取りは、たちまち数か月にまたがる。冬、風向き、戦争、途中の積み替えや取り次ぎが、さらに時間を延ばす。先に命題を、あとから証明を送る。この手順が数学の文章に組み込まれた理由の一つは、物理的な距離だった。
序文があれほど長い理由も、そこにある。受取人は隣に住んでいるのではない。一通の手紙が何週間も旅をする。だから送るたびに、前のやり取りからの事情を説明しなければならなかった。誰が死んだのか。何を送ったのか。何がまだ証明されていないのか。なぜ今になって送るのか。その説明が、彼の学問上の生活を伝える、唯一の一次記録になった。そこにいるアルキメデスは、食事も忘れて没頭する、後世のあの天才とは別の顔をしている。
証明に、成果を伝える順番に、誰の仕事であるかに、受取人の力量に、学者としての信用に、ひどく気を配る人間なのだ。
三 三つの伝説
もう半分のアルキメデス像は、すべて他人が語ったもので、しかもずっと時代が下る。まずは風呂の話から。現存する最古の出典は、ウィトルウィウスの『建築十書』である。書かれたのはおよそ紀元前30年代から20年代。紀元前212年から、百八十年から百九十年ほどたっている。
話は具体的だ。ヒエロンは神に捧げる金の冠を作らせたが、職人が銀を混ぜたのではないかと疑った。冠は壊せない。そこでアルキメデスに調べる方法を考えさせた。彼は浴槽に入ったとき、自分の体に押されて水があふれるのを見て、押しのけた水の量を使えばよいとひらめく。うれしさのあまり、裸で家まで走り、道々、わかったぞと叫んだ。さらに話は続く。同じ重さの純金と純銀を用意し、水をいっぱいに入れた容器にそれぞれ沈め、あふれた水の量を比べ、次に冠の場合と比べたという。この話の危ういところは、これまでの三篇とは違う。
第一篇のヘロドトスは、自分で「私はそう考える」と断っていた。第二篇のヒッパソスは、異なる伝承が互いに食い違っていた。第三篇の「王道はない」という言葉は、主役が取り替えられた。
今回は、四つ目の種類である。物語どおりの操作で、必要な精度が本当に得られるのか。それが、かなり怪しい。
ガリレオはすでに1586年の『小天秤』で、ウィトルウィウス式にあふれた水を集める方法は粗すぎると考えていた。二十世紀の数学史家も、同じ問題を指摘している。金と銀の密度には、理論上、体積の差を生むだけの違いが確かにある。だが銀の混入率が小さければ、正確に量らなければならない水の差は、ごくわずかになる。容器の濡れ、水面の湾曲、付着、飛び散り、そもそも「ちょうどいっぱい」にすること。そのどれから生じる誤差も、測りたい差と同じくらいの大きさになりうる。
争点は、水を押しのける原理が正しいかどうかではない。原理は正しいし、彼自身のものでもある。問題は、ウィトルウィウスの描く手順で、王室の金細工を鑑定するのに必要な精度に、本当に届くのかということだ。
そのため、この話は普通の伝説より面白くなる。何もかも空想でできているのではない。本物の原理を、精度の確かめられていない手順の中に収めてある。物語が伝える結論は正しい。だが、やり方まで同じように頼りになるとは限らない。
もっと確からしい別案は、水中で重さを量る方法だ。同じ物体を空気中に置いたときと水に沈めたときの見かけの重さを比べれば、わずかなあふれ水を集める必要がない。ガリレオはこの方法を体系的に説明している。しかし、それは紀元前三世紀の史料ではない。時代をさかのぼらせて、アルキメデスが実際に使ったのもこれだ、と言うことはできない。現代の実験が答えられるのは、物理的に可能かどうかまでである。歴史上それが起きたかどうかには答えられない。次は、死の話だ。ここではいくつかの文章を並べてみる意味がある。いわゆる最期の言葉は、そのあいだから育ってきたからだ。
リウィウスが書いたのは、およそ紀元前一世紀の末。事件から約二百年後である。話の骨組みは短い。落城の混乱の中、地面の砂埃に描いた図に集中していたアルキメデスが、彼とは知らない兵士に殺される。マルケルスはその死を悲しみ、葬儀を手配し、親族を保護して厚遇した。台詞はない。誤って殺したものとして語られる。
ウァレリウス・マクシムスは、およそ西暦30年、事件から約二百四十年後の人だ。こちらでは、アルキメデスは地面の図をかばい、一言口にする。ラテン語の言葉の核は、お願いだからこれを乱さないでくれ、というほどの意味だ。そのあと、殺される。
有名な「私の円を乱すな」は、リウィウスにはない。プルタルコスにも、この形では出てこない。状況を短い警句に圧縮した、後世の産物なのである。現存する古代の文献のどれかに、一字一句そのまま残る遺言ではない。
プルタルコスは西暦100年ごろ、事件から約三百十年後になる。彼の最も貴重なところは、どれが唯一の真相かを知っているふりをしなかったことだ。三つの話を続けて載せている。
一つ目。兵士にマルケルスのもとへ来るよう命じられたが、アルキメデスは、先に問題を解き終えて証明をつけたいと言い張る。怒った兵士が、彼を刺し殺す。理由は命令への不服従だ。
二つ目。剣を手にした兵士が駆け寄ってくる。アルキメデスは、目の前の問題に未完の部分を残したくないから、少し待ってほしいと頼む。その願いは聞き入れられず、殺される。
三つ目。日時計や球体、角度を測る器具を携えてマルケルスに会いに行く途中、兵士は容器の中身を黄金だと思い、彼を殺した。理由は略奪だ。三つの話では、兵士の動機がまるで違う。
現存する文章を年代順に並べると、こんな線が引ける。リウィウスの、台詞のない誤殺の話。ウァレリウスの、警句のある話。そしてプルタルコスが残した、いくつもの筋に分かれる劇的な話。物語がだんだん面白くなっていくように見える。
しかし史料を扱ううえでは、これだけで後の作者が前の作者を書き換えたとは断定できない。古代の作者たちは、今では失われた共通の物語を使っていたかもしれない。しかもプルタルコスは、ある人はこう書く、別の人はこう言う、と明記している。それ自体、彼より前から複数の話が並行していた証拠だ。言えるのは、現存する書かれた証言が膨らんでいるということまでである。一段ごとの借用関係が証明されたわけではない。「伝説の変化」と呼ばれているものが、実際には、残っている文章の時代がだんだん下っているというだけのことも多い。この二つに、初めから等号を置くことはできない。
最後は鏡。鏡で太陽光を集め、ローマの艦隊を焼いたという話は、初期の戦争史料にはまったく出てこない。
ポリュビオスが書いたのは紀元前二世紀の半ばで、包囲戦からまだ六、七十年しかたっていない。彼の描く技術的な骨組みはこうだ。ローマ軍は海陸両面から強襲し、海上では軍船を横につないで大きな攻城台を組んだ。アルキメデスの側は、射程ごとに投射機を配置する。遠い船には重い石を、近い船にはより小さな弾を密に浴びせ、城壁の背後から船を攻撃する装置も使う。リウィウスが残した話はさらに具体的で、城壁の高い所から低い所まで多数の小穴を設け、そこから弓や小型の弩で射撃したという。壁の外へ突き出したてこで鉄の鉤爪を操り、船首を持ち上げてから急に放すと、船は水面へ激しくたたきつけられる。強襲に失敗したローマ軍は、封鎖に切り替えた。
この三人は、誰も鏡に触れていない。
最初の層が現れるのは、二世紀半ばごろのルキアノスである。事件から約三百七十年後だ。アルキメデスが火で船を壊したとは書くが、あの有名な鏡の陣列は出てこない。はっきりとした燃焼鏡の話は、西暦500年ごろのトラレスのアンテミオスまで待たなければならない。紀元前212年から約七百年後である。
2005年には、あるチームが一辺一フィートの鏡を百二十七枚使い、約三十メートル先に固定した木製の標的へ光を集めた。快晴で、標的が長時間動かないという理想的な条件なら、焦がしたり、小さな火を起こしたりすることはできた。ただし10分ほど、照準を合わせ続ける必要があった。その後の大規模な再実験で強調されたのは、船の動き、鏡の照準のずれ、天候、向き、距離によって、効果が大きく落ちることだった。
結論は、光学の原理として不可能だ、ということではない。戦場で火をつける兵器としては、きわめて使い勝手が悪いということだ。同じ時代でも、燃える物を直接投げつけるほうがはるかに簡単だった。三つの物語には、それぞれ違う時間の隔たりがある。そして最も広まったのは、どれも最も遅く現れた層である。
三つの話には、もう一つ共通点がある。どれも、彼が外の力と向き合う場面なのだ。王の疑い、兵士の刃、敵の艦隊。
ところが本人の文章には、この三つのどれも、一度として出てこない。書いているのは、誰が死んだか、何を送ったか、どの証明がまだ済んでいないか、ということばかりだ。
プルタルコスは、この沈黙を説明しようとしている。守城用の機械は、王ヒエロンに繰り返し頼まれて作ったもので、アルキメデス本人は重きを置かず、幾何学で遊ぶうちにできた副産物ほどに考えていたという。さらに彼は、工学や日常の用に立つ手仕事のすべてを卑しく俗なものと見なし、それらの器械については一篇も書き残そうとしなかった、ともいう。同じ箇所でプルタルコスは、もっと古い話もする。エウドクソスとアルキュタスが器械を使って幾何学の問題を解いたところ、プラトンが怒り、幾何学を堕落させ、形のないものの世界から感覚で捉えるものの世界へ引きずり下ろしたと叱った、という話だ。確かにアルキメデス本人の現存する著作には、攻城器械を論じたものはない。だが第五節で扱う手紙では、ほかならぬ想像上の天秤を使って、面積と体積を探っている。
一人の人間が自分について書いたことと、他人がその人について作った物語は、まるでかみ合わないことがある。この連載で、その対照が最もはっきり見えるのが今回だ。両方が残り、両方を確かめられるからである。
四 二度の背理法
では、彼が本当にしていたことを見よう。「取り尽くし」という言葉は、こんな説明に化けやすい。辺の数をどんどん増やし、最後に無限にすれば、多角形は円になる。古典的な証明は、まさにそのようにはできていない。まず、答えの候補をはっきり示す。たとえば、この曲線で囲まれた図形の面積は、ある既知の直線図形の面積に等しいはずだ、と置く。
次に、本当の面積はその候補より大きいと仮定する。大きいのなら、両者のあいだには、ある確定した正の差がある。そこで内接図形を作る。辺の数は有限のまま、十分に細かくする。覆われずに残る面積が、先ほどの差より小さくなるまで細かくすればよい。すると既知の幾何学的関係から、この内接図形は、互いに両立しない二つの大小関係を同時に満たさなければならなくなる。矛盾である。だから、大きいはずはない。
今度は候補より小さいと仮定する。外接する図形に切り替えて、同じことをする。また矛盾する。だから小さいはずもない。大きくも小さくもなければ、等しいとするほかない。全過程を通して、辺の数が無限になる瞬間は一度もない。ここでは少し立ち止まっておきたい。この方法で、最も説明を間違えやすいところだからだ。間違ったほうの説明は耳に入りやすく、後世の極限の考え方にも近い。そのため一般向けの説明では、ほとんどいつもそちらが勝ってしまう。
辺が増えるにつれて多角形が円に近づいていく。これは直感的なイメージであり、実際の構成のしかたでもある。しかし証明を支えるのは、そのイメージではない。相手がどれほど小さな差を持ち出しても、有限のどこかの段階で、残りをその差より小さくできる。この保証こそが証明の力である。一方は過程で、他方は保証だ。使っているのは後者なのである。この違いは、二千年後、形を変え、さらに重みを増して、もう一度現れる。
一回ごとの背理法が相手にするのは、すでに指定された一つの差だ。示すべきことはただ一つ。有限のある段階で、残りをこの差より小さくできる。その段階で矛盾が生まれ、証明は終わる。
この一歩を支えているのは、『原論』第十巻の命題一である。大きさの違う二つの量を与え、大きいほうの量から半分を超える部分を取り去る。残りからまた半分を超える部分を取り去り、同じ操作を繰り返す。すると有限回のうちに、残りは初めに与えた小さいほうの量より小さくなる。大事なのは、無限に繰り返すことではない。どんな基準をあらかじめ指定されても、有限回で必ずそれを下回れるということだ。
この命題が『原論』のどこに置かれているかも、意味を持つ。円や球を扱う巻にあるのではない。第十巻の冒頭に、一つの道具として置いてある。あとは誰でも、必要になれば取り出して使える。
だから今回の題名も、厳密には「永遠にあと少し足りない」という意味ではない。無限の過程を完了させて一つの数学的対象にしなくても、ただ一つの正確な等式を証明できる、という意味だ。このやり方で、彼はいくつもの仕事を成し遂げた。
『円の計測』は、円の面積が、その半径と円周の長さを直角を挟む二辺とする直角三角形の面積に等しいと証明する。同じ著作の後半には、円周と直径の比の上限と下限も示される。後世によく使われる書き方なら、3と10/71の和より大きく、3と1/7の和より小さい、というあの二つの境界だ。小数を使って円周を測ったのではない。制御できる有限の多角形と、平方根の評価を使って、厳密な上下の境界を作ったのである。
『放物線の求積』では、放物線弓形の面積が、ある特定の内接三角形の面積の4/3に等しいことを証明した。
この著作がとりわけ重要なのは、二つの道筋を同時に示しているからだ。一方は力学と重心の考えにかかわり、もう一方は純粋に幾何学的である。前者は、のちに『方法』で振り返る、ごく初期の力学による発見の一つにあたる。つまり、発見と証明の役割分担は、『放物線の求積』ですでに見える。ただ、『方法』ほどはっきり言葉にしてはいない。同じ人が自分の仕事のしかたを、二つの著作で二度語った。一度はついでに、もう一度は、それを説明するためにわざわざ手紙を書いて。そして二度目のほうは、もう少しで伝わらないところだった。
『球と円柱について』では、同じような制御を三次元へ進める。球の表面積は、その大円の面積の四倍である。球の体積は、それに外接する円柱の体積の2/3である。球は無限に薄い円板の和だと宣言して、それで終わりにするのではない。内接・外接する立体と大小関係によって、誤差を挟み込む。
古代の文献には、現代の教科書の見出しに当たるような、統一された方法名はない。エウクレイデスは第十二巻の初めに「これから取り尽くし法を使う」とは書かないし、アルキメデスも、自分の厳密な論証全体を一つの固有名で呼んではいない。「取り尽くし」という呼び名は、通常、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが1647年に出した、円と円錐曲線の求積に関する著作までさかのぼる。
これは単なる語源への潔癖さではない。名前があると、いつか誰かが「取り尽くし法」という一つのものを発明し、それを後代に伝えたような気になってしまう。現存する資料に見えるのは、むしろいくつもの共通の技法だ。任意に与えられた差、背理法、内外からの近似、十分に大きな部分を繰り返し取り除くこと、比例の理論。それらが後世になって、一つの名前を付けた引き出しに収められたのである。では、この仕事は誰のものなのか。その帰属について最も頼りになる言葉は、ほかならぬ彼自身のものだ。
『方法』の序文で彼は、円錐の体積が同じ底面と高さを持つ円柱の三分の一であり、角錐の体積が同じ底面と高さを持つ角柱の三分の一であるという二種の定理を、最初に証明したのはエウドクソスだと書く。ただしすぐに、こう付け加える。デモクリトスは、それ以前に証明なしでこれらの結果を述べていた。だから彼にも、小さくない功績を認めるべきだという。この一節は貴重である。数百年後の数学史家の推測に頼らなくてよいからだ。
そしてここでは、三つのことが明確に分けられている。最初に結果を述べること。最初に証明を見つけること。最初に発見の方法を示すこと。それぞれの功績は、別々の人に帰してよい。
五 『方法』
『方法』は、アルキメデスからエラトステネスへの挨拶で始まる。
まず彼は、以前いくつかの定理を送ったときには命題だけを書き、証明は相手自身に探してもらったことを念押しする。今度はその証明を送る。それとともに、力学を借りて数学の結果を発見するやり方も説明する。その中心に置かれるのは、一台の天秤である。
平面図形を、多数の平行な線分からできているものとして考える。立体は、多数の平行な断面によって扱う。対応する線分や断面の組ごとに、長さ、面積、あるいは重さの比を求める。そしてそれらをてこに載せたつもりになり、支点からの距離を変えて釣り合わせる。対応する切り口の一つ一つについて釣り合いが成り立つのなら、全体の面積や体積にも、それに応じた重さの関係があるはずだと推し量る。そこから既知の重心の位置を使い、目指す結果へたどり着く。
そして、今回の話で最も大切な一言が来る。これは最終的な証明にはならない、と彼自身が明言する。
後世の数学史家が、あとから厳密さを問題にしたのではない。著者本人が書いている。力学を使った考察は、本当の証明を与えない。だから幾何学の方法でもう一度証明しなければならない、と。
同時に、結果がだいたいどんなものかを先に知ってから証明を探すほうが、目標をまるで知らずに探すより易しい、ともいう。そこで挙げる例が、デモクリトスとエウドクソスである。
最後に、この方法を人に明かす理由を説明する。他の人が、さらには後世の数学者が、この方法によって、まだ自分も発見していない定理を見つけるかもしれないからだ。
だから『方法』を、微積分をひそかに使っていたが公表する勇気がなかった話にしてしまうと、この著作の本当に驚くべきところを見失う。彼は低級な方法と高級な方法を一つずつ持っていたのではない。二つの仕事を、明確に区別していたのである。今では、ごく当たり前の区別に聞こえる。現代の数学教育は初めから、思いつくことと証明することは違うと教えるからだ。
しかし現存する古代の文献で、これを口にしたのは、ほとんど彼だけである。力学の方法が答えるのは、この結果をどう発見したのか、なぜ信じるに値するのかという問いだ。幾何学の証明が答えるのは、厳密な意味で、なぜ成り立つのかという問いである。二つは協力するが、同じ地位にあるわけではない。
理由も素朴だ。目標がどのあたりかを知ってから道を探すほうが、何も知らずに手探りするより易しい。発見の価値は、厳密であることにはない。探す範囲を狭めてくれることにある。現存する古代ギリシア数学の文献で、このような話を読めるのは、きわめて珍しい。
ギリシア数学の著作の大半が見せるのは、完成したあとの、命題と証明の整った配列だ。読者の前にあるのは、すでに敷かれた道である。作者が誤り、推測、試み、類推の中を通って、どうその道を見つけたかではない。
『方法』では、一流の数学者が自分の口で語る。私はまず、こうして発見した。これがまだ証明にならないことはわかっている。そのあとで証明した。この見つけ方をあなたに伝えるのは、あなたにも新しいものを見つけてほしいからだ、と。
古代に、比較できる文献がまったくないわけではない。彼自身の『放物線の求積』の序文にも、力学による発見と幾何学による論証という二つの道筋は、すでに出ている。後世のパップスによる分析と総合の説明も、求めるものから逆向きにたどり、その道筋を反転させて組み立て直す方法を、一般論として論じている。
ただしパップスが示すのは方法論の骨組みであって、ある定理を昨日自分がどう見つけたか、という話ではない。違うのは人称だ。骨組みが述べるのは、一般にどうすればよいか。『方法』が述べるのは、あのとき私はどうしたか、である。
したがって最も堅実な評価は、「古代唯一の発見の記録」ではない。現存する古代ギリシアの高度な数学の文献の中で、著者自身が発見へ導く手順と正式な証明の手順を明確に分け、しかも両者がどう協力するか見えるほど詳しく説明した、ごく少数の資料の一つである。ここでもう一つ、はっきりさせておかなければならないことがある。この話では、ここでつい先走った結論を出しやすいからだ。
『方法』にある、面積を線の集まり、体積を面の集まりとして考え、切片を一つずつ比べる発想は、十七世紀の不可分量法と、確かに構造がよく似ている。後世の方法を知っている人なら、あの数ページを読めば、すぐに連想するだろう。
だが、似ていることと、受け継がれたことは違う。
十七世紀のヨーロッパの数学者たちが不可分量法を育てていたとき、彼らの読めるアルキメデス著作集には、一冊として『方法』は入っていなかった。この著作が数学史に戻ってくるのは、1906年である。
だから『方法』と十七世紀とのあいだに、教えが伝わった一本の線はない。言えるのは、千八百年を隔てた二つの時代が、曲線や曲面に囲まれた面積・体積に向き合い、それぞれに、構造を比較できるような切片の発想を生み出した、ということまでだ。ただし十七世紀の人々が、伝わり続けていたほかのアルキメデスの著作から、深い影響を受けていたのは確かである。
六 無限
アリストテレスは、『自然学』第三巻で無限を体系的に論じている。
彼は、無限を、すべてがすでに与えられた完成済みの量と考えることに反対した。むしろ、どこまで進んでも、まださらに多く取れ、まださらに分けられる、そのようなあり方として捉えようとする。彼の言い方を大づかみにすれば、無限とは外側にもう何もないものではなく、外側にいつもまだ何かがあるものだ、ということになる。数学についても直接答えている。実無限を認めないからといって、数学者が仕事をできなくなるわけではない。必要なのは、どれほど大きくてもよい、有限の量だけなのだ。
いかにもきれいに並んだ因果関係がある。ゼノンが無限の難問を突きつけ、アリストテレスが禁止令を出し、数学者たちはその命令に従って、取り尽くし法を発明した。現存する資料は、この物語を裏付けていない。
エウドクソスは、そもそもアリストテレスより前、あるいは同じ世紀に属する。彼の技法を、『自然学』を受け入れたあとに考案したものとして単純に説明することはできない。エウクレイデスとアルキメデスの厳密な証明が、可能無限ときわめて相性がよいのは確かだ。構成は最後まで有限にとどまり、任意に与えた量の大小関係を使って論証を終える。だがアルキメデスの序文のどこにも、アリストテレスが実無限を禁じたので私はこう証明する、とは書かれていない。
証拠から言えるのは、ギリシアの厳密な幾何学の証明実践が、その哲学とよく整合しているということだ。哲学上の禁止令が数学者の集団を直接支配した、という文書上の証拠はない。
問いを逆にしてみることもできる。数学者は実際のところ実無限を必要としない、とアリストテレスが言ったのは、数学者に規則を課すためというより、すでに行われていた数学の仕事を、部分的に記述したものではなかったか。ではギリシア数学は、本当に実無限を完全に避けていたのだろうか。ここには実際の論争がある。そして証拠は、この篇の初めに出てきた、あの解体された本から来ている。
ネッツは、重ね書きされた写本の新たな解読に基づいて、『方法』のいくつかの命題では、アルキメデスは任意の切断線を一本ずつ考えているだけではないらしい、と指摘した。線全体、あるいはその数を論じ、全体どうしを対応させているように見える。彼の解釈では、それは少なくとも操作上の意味では、現に与えられた無限の全体なのである。
反対する側も、そのギリシア語の単語があることは否定しない。疑問を向けるのは、どの段階まで踏み込んで訳すかという点だ。「すべての切断線」や「この線群の多数性」から、完成した無限集合へ飛ぶと、現代集合論の存在論を持ち込むことになりかねない。しかも当のアルキメデス自身が、力学的な方法は本当の証明にならないと述べており、正式な証明では有限の論証に戻っている。
この論争を書き留める価値があるのは、少し珍しい性質を持つからだ。争っているのは、同じ一群の文字の読み方である。そしてその文字は、百二十年前には、誰の目にも入っていなかった。
だから、二つの言い方にはどちらも修正が要る。ギリシア数学は実無限の考えを一切思考に入れなかった、と言うのは強すぎる。『方法』が、その反例になりうるものとして迫ってくる。アルキメデスは現代的な意味で実無限を認めた、と言うのも強すぎる。本文には無限集合の理論はなく、まして現代の基数の概念はない。
より堅実に言うなら、古代ギリシアの定式化された証明は、完成済みの無限の全体を土台にすることを避ける傾向があった。しかし数学者が発見するときの推論や、ある種の言葉の使い方まで、絶対に例外を許さない禁止令に従っていたとは限らない。大きいことと無限であることの違いについて、彼自身はもっと直接的な著作も残している。
『砂粒を数えるもの』の出発点は、ほとんど挑発的だ。砂粒の数は無限だと考える人がいる。そうでなくても、それを表せるほど大きな数などない、と考える人がいる。そこで彼は、大きな数に名前を付ける仕組みを拡張し、宇宙の大きさにも、途方もなく余裕を持たせた上限を設ける。そして、その宇宙を砂でいっぱいにしたとしても、砂粒の数はなお、名前を付けて表せる有限の数であると証明する。実際の宇宙に砂が何粒あるかを計算したかったのではない。想像もつかないほど大きいことと、無限であることは、同じではないのだ。
同じ著作には、サモスのアリスタルコスについての一節も残っている。彼によれば、アリスタルコスはこんな仮説を立てていた。恒星と太陽は動かず、地球は太陽の周囲を円軌道で回る。太陽はその軌道の中心付近にあり、恒星の天球は途方もなく大きい。アリスタルコス自身の太陽中心説の著作は失われた。そのためこの一節は、現存する中で最も早く、最も明確で、最も技術的な概説の一つになっている。
ただし、唯一の出典だと言うのは正確ではない。のちのプルタルコスも『月面について』で、アリスタルコスが地球を動かしたことに触れているし、後期の学説集にも別の痕跡が残る。確かなのは、アリスタルコス本人の太陽中心説の著作そのものは、残っていないということだ。
七 キケロが見つけた墓
これまでの伝説は、どれも証拠が弱かった。今度は、それより明らかにしっかりしたものがある。プルタルコスによれば、アルキメデスは球と円柱のあの結果を何より大切にし、友人や親族に、自分の墓には球と円柱を置くよう頼んだという。もっとも、この言葉そのものは弱い。プルタルコスは約三百十年あとの人だからだ。
だがキケロは、もう一層、別のものを差し出してくれる。
『トゥスクルム荘対談集』が書かれたのは、紀元前45年ごろだ。キケロによれば、紀元前75年にシチリアの財務官を務めたとき、シュラクサイの人々はアルキメデスの墓の場所すら知らなかった。彼は碑銘にまつわる数行の詩を覚えていて、球と円柱という目印も覚えていた。そこでアグリゲントゥム門近くの墓地を探すと、茂みから小さな柱がのぞいていて、その上に球と円柱があった。土地の人に頼んで茨を刈り払い、一部が損なわれた碑文を読み取ったという。自分が三十年前にしたことを、一人称で振り返った記録である。
紀元前75年は、アルキメデスの死から約百三十七年後だ。文章になった紀元前45年は、キケロ自身のいう発見から、わずか三十年ほどしか隔たっていない。これが風呂の話や最期の言葉より強いのは、なぜだろう。
二百年前、アルキメデスがこうしたと聞いた、という話ではないからだ。自分でそこへ行き、碑銘の手がかりをもとに墓を見つけ、草を取り除いたというのである。雑草、柱、球と円柱、欠けた碑文。少なくとも、実際に見聞きしたという主張になっている。彼は、シュラクサイの人々が墓の場所を忘れていたとも書く。そしてこの記述の終わりで、その話を自分に引き寄せる。ギリシアで最も高貴な、かつては学問でも最も優れた都市が、アルピヌムから来た一人の男に教わらなければ、自分たちの最も賢い市民の墓さえ知らなかったのだ、と。地元の人が皆忘れていたと言うことは、見つけたのはこの私だと言うことでもある。
このくだりは、徳だけで人は幸福に生きられるかを論じる巻に置かれている。キケロはまず、同じ都市の昔の僭主ディオニュシオスを登場させる。次いで、地面の砂埃と図を描く棒の傍らから、自分が「身分の低い小人物」と呼ぶ人間を呼び出す。それがアルキメデスだ。墓の話を終えると、おおよそ次のように問いかける。ムーサたち、つまり人間の教養や学問と、少しでも付き合いのある人なら、この僭主より、あの数学者になりたいと思うのではないか。一人の心は、物事の筋道を究め、探ることで養われる。それは魂にとって最も甘い食べ物だ。もう一人の心は殺戮と不正に浸かり、昼も夜も恐れ続けている。
もちろん、これも動かぬ証拠ではない。いま、その墓が誰のものかを改めて確かめられる、切れ目のない証拠の連なりはない。地元の伝承でアルキメデスの墓とされていたものを、キケロが本人の墓だと誤認した可能性も排除できない。
それでも、ほぼ二百年後のウィトルウィウスによる風呂の話や、二百四十年後のウァレリウスによる最期の言葉と比べれば、こちらの史料の組み立ては明らかに丈夫だ。
言えるのは、ここまでである。紀元前75年、キケロは一つの古い墓を見つけたと述べ、当時、球と円柱の目印と碑文に基づいて、それをアルキメデスの墓だと判断した。アルキメデス自身が死ぬ前に、そのような墓標の設計を望んだかどうかは、さらに後世のプルタルコスだけがそう語っている。
ただし、球と円柱という目印それ自体には、確かな裏付けがある。先に触れた、球とその外接円柱の体積比は、彼に連なる伝統の中で、ずっと象徴的な成果だった。だからキケロが見たという柱に球と円柱があったことは、少なくとも数学の内容とつじつまが合う。この線をたどると、もう一つ見えてくることがある。
死去の年、紀元前212年は、かなり信頼できる。第二次ポエニ戦争、シュラクサイの陥落、マルケルスの軍事行動という年代の網の目に組み込まれており、いくつかの独立した戦争史の伝承が、彼をこの包囲戦の中に位置づけている。生年は、そうはいかない。
紀元前287年ごろという数字は、ヨハネス・ツェツェスに由来する。西暦十二世紀の人で、紀元前212年から約千三百六十年後にあたる。ツェツェスが七十五歳まで生きたと書き、現代の伝記が紀元前212年から逆算して、紀元前287年を得た。それは出生の記録ではない。同時代の碑文などでは、なおさらない。
古代の人物には、この種の逆算がよく使われる。何歳まで生きた、という一文に、確かな没年を足せば、いかにも正確そうな生年が生まれる。その数字は一度年表に入ると、もう出典を連れて歩かなくなる。生年より没年のほうが、ずっと確かだ。これは彼に当てはまるし、今回登場した人物の大半にも当てはまる。
個々の著作が何年に書かれたかも、同じように確かではない。序文から得られるのは、前後関係である。どの命題を先に送り、どの時点ですでにコノンが亡くなっていて、そのあとドシテオスに送ったのか。『方法』は、それより前の力学による発見をどう振り返っているのか。各著作を具体的な一年に釘付けにするのは、現代の年代復元であって、写本に記された年ではない。面白いことに、十三世紀のあの祈祷書の巻末にある書写記録のほうが、これらよりずっと確かだ。1229年4月13日。そこに、そう書いてある。
八 千百八十年
解体されたあの本に戻ろう。再登場の始まりは、1906年、誰かがたまたま修道院へ入っていったことではない。
1840年代には、聖書写本の研究者ティッシェンドルフが、すでにコンスタンティノープルでこの重ね書き写本を見ており、下層に数学の文章があると気づいていた。のちには、その遺品から一葉がケンブリッジに収められてさえいる。
1899年、ギリシアの学者パパドプロスが、コンスタンティノープルにあった修道院の付属施設の蔵書目録を作った。そこにこの本を番号三五五として載せ、見えていた下層のギリシア語を数行書き写した。デンマークの文献学者ハイベアは、その数行を見て、『球と円柱について』の一節だと気づいた。1906年、彼は自らコンスタンティノープルに赴く。
紫外線写真は使えなかった。放射線による画像化など、なおさらである。自分の目で、拡大し、光の当て方を変え、当時の写真技術も使いながら、祈りの文字と直角に交わる薄いインクを読んでいった。七つの著作を見分けた。最大の衝撃は、それまで完全に失われていた『方法』だった。
撮影したのは、葉の表と裏を数えて百三面に及ぶ。そのうち三十八回は見開きを一度に写しているため、露光の回数で数え直すと、通常は約六十五枚の写真になる。
この写真は、のちにきわめて重要なものとなった。本は二十世紀にも傷み続けたからだ。1906年には彼が読めた文字の中にも、1998年までにカビに食われたものがあった。後年、何葉かが行方不明になり、彼の書き写したものや写真しか残らなくなった。ハイベアは1908年にも、この写本を調べている。その後いつ、誰の手を経てコンスタンティノープルを離れたかは、連続した記録がない。
1998年の競売をめぐって訴訟が起きた際、ギリシア正教会側は、二十世紀の混乱の中で、教会の所蔵から不法に持ち出されたものだと主張した。一方、フランスのある家族は、1920年代にはすでに家で入手していたと主張した。確認できるのは、遅くとも二十世紀半ばにはフランスの個人蔵に入っていたことだ。1908年からそこまでの所有の連なりには、本当に穴が開いている。
写本の実物があっても、その物が自動的に自分の履歴を語ってくれるわけではない。物は本物でも、来歴は途切れていることがある。
1998年、この本はニューヨークの競売会社で公開競売にかけられ、匿名のアメリカ人個人収集家が約二百万米ドルで落札した。買い手の身元はいまも、信頼できる形では公に確認されていない。インターネットで長年出回っているあの名前も、出どころをたどれない。二千年以上前に書かれた文章を伝える中世の写本が、いま誰のものなのか。むしろそこが、この長い歴史の中で最も調べのつかない部分なのである。その後、収集家はボルティモアの美術館のチームに写本を預け、保存処置、画像化、研究を依頼するとともに、長期にわたる計画の資金を出した。1998年の状態はあまりに悪く、そのままスキャンすることさえできなかった。
保存修復の担当者たちは、まず何年もかけて本を解体した。難所の一つは、二十世紀に綴じ直した人が、木工用の白い接着剤に似た現代の糊を背に使っていたことだ。その糊は羊皮紙そのものより強靱で、皮を裂かずに取り除くのが難しかった。カビに侵された部分は正反対である。コラーゲンの繊維が粉状に崩れ、軽く触れただけで素材を失いかねない。解体作業は2000年から2004年まで続いた。
マルチスペクトル撮影とは、単に一枚の写真をもっと鮮明に撮ることではない。紫外線、可視光線、赤外線など、いくつもの波長帯でそれぞれ撮影する。羊皮紙、十三世紀の祈祷文のインク、十世紀の下層のインクは、波長によって反応が違う。その差を利用し、アルゴリズムで画像を組み合わせるのである。チームは初期の比較的低解像度の実験から、十二の波長帯に横からの照明を加える方法へと、段階的に進んだ。
ところが二十世紀には、いくつかのページに、ビザンティン風に偽造した福音書記者の肖像まで描き加えられていた。チームが絵の出典を調べると、1929年に刊行されたギリシア語写本の図版を写したものだとわかった。したがって、それ以前に描かれたはずはない。顔料と金の層が、光による画像化を阻んでいた。
そこで別の方法を使う。シンクロトロン放射で得られる高エネルギーの放射線によって、インクに含まれる元素を励起し、一点ずつ蛍光の信号を測る。とりわけ鉄の分布は、もとのインクの跡を浮かび上がらせる。上に祈祷文や、さらには顔料が重なっていても、下層の文字の形を描き出せるのだ。スタンフォードの放射光施設は、こうして偽の絵の下にある文章を読んだ。
現代の技術で、本全体をすべて読み終えた。そう言うのは間違いである。画像化は、まだ物質として残っている信号を強められる。しかし、カビで完全に失われた羊皮紙やインクを復元することはできないし、その時点ですでに行方不明の葉を読むこともできない。保存の記録にも、大きなカビ損傷の領域では、文字が物質として消えてしまったとはっきり書かれている。
後日談もある。行方不明だった三葉のうち一葉が、フランスの美術館で改めて見いだされた。1906年のハイベアの写真と一致し、内容は『球と円柱について』にかかわる。失われた葉の数も、その状態も、二十一世紀になってなお変わる。つまり、この物の目録は、いまもまだ確定していない。
現存する祈祷書の本体は、約百七十四葉の羊皮紙からなる。表と裏を数えれば約三百四十八面で、一葉はおよそ二十センチ掛ける十五センチほどの大きさだ。解体し、綴じ、折ることができ、カビが生え、蝋が付き、接着剤で傷む、本物の羊皮紙の本である。抽象的な本文ではない。
最後に、一つの言い方を正しておきたい。この本はしばしば、アルキメデス本人に最も近い、ギリシア数学の実物と呼ばれる。そこでは二つのことが混ざっている。
アルキメデスの本文の伝承の中では、確かに際立って古い。ほかに知られている中世のアルキメデス写本の伝統より、約四百年早い。そのため、図の中には、後代の写本より古代の原型に近いものがあるかもしれない。
しかし物としての年代を見れば、本人に近いどころではない。十世紀の写本は、紀元前212年から約千百八十年隔たっている。この皮も、十世紀の書写者のインクも、細かな小文字も、アルキメデスが触ったものではない。それどころか十世紀のギリシア小文字体は、彼の時代の人々が使っていた書記体系ですらない。
これよりはるかに古い、ギリシア数学の実物は、もちろんある。エジプトで出土した『原論』第二巻の断片は、通常、西暦一世紀末から二世紀初めとされる。遅いほうの年代を取っても、この重ね書き写本より八百年以上古い。
だから『方法』が今日まで生き延びたのは、抽象的な伝統が、ここまで流して運んでくれたからではない。
動物の皮。鉄を含むインク。誰かが九十度回して付けた折り目。修道院の書庫。一冊の目録。一度の遠い旅。六十五枚のガラス乾板。一度の競売。数年がかりの解体。十二の波長帯の光。そして一本の放射光。その連なりに支えられている。どれか一つでも切れていたら、発見と証明の役割分担をアルキメデス自身が語ったあの一ページは、今日ここにはない。
そして、その連なりのいちばん手前に、インクを削る一人の人が立っている。上書きされる文章の内容を理解していたかどうかは、今ある資料からはわからない。ただ、インクを削り切らなかった。この連なりには、偶然残ったものもあれば、何世代もの人々が意識して見分け、守ったものもある。一つ一つの環を、そのどちらかにきっぱり分けることはできない。
数はまだ計算され続けている。けれど何を数学に数え入れるのかは、いまだ一度も決着がついていない。
史料と、さらに読むために
以下は、本文で触れた歴史上の細部や解釈の違いにかかわる資料である。所蔵記録、古代の文学的記述、現代の復元研究は、それぞれ異なる種類の証拠を与える。