数学 · 05 / 25
もう一つの判定基準
術は答えを出すだけでなく、論証の対象にもなる。元の図、紐でつながれていた順序、重なった注釈の層。そのどれもが、私たちの読み方に関わっている。
一 紐は腐った
1983年末から1984年初めにかけて、湖北省江陵の張家山で漢代の墓がいくつも発掘された。そのうち247号と呼ばれる墓から、大量の竹簡が出てきた。
墓の中に年を記した資料があったため、この墓は通常、漢の高后二年、紀元前186年ごろのものとされる。ただし、これは考古学上の推定であって、墓を閉じた正確な日付ではない。記されている最後の年だけを根拠に、写本は必ずそれ以前に作られたと断定することもできない。この竹簡群に、一冊の算書が含まれていた。
もとはれっきとした本だった。竹簡はおよそ200枚。一枚の長さは30センチほど、幅はわずか6、7ミリ。その上に横一行で書くのではない。細長い竹の面に沿って、筆で上から下へ一列に字を書く。一枚に入るのは数文字から数十文字で、一つの計算手順が何枚にもまたがることもある。書き終わると三本の紐で竹片を順につなぎ、一巻に巻く。紐は有機物だ。
2000年以上たって墓室を開けたとき、その三本の紐はすっかり腐っていた。一冊の本だったものは、200枚余りの細長い竹片となり、ばらばらに散っていた。ところどころ折れ、欠けてもいた。
そこで、これまでの回にはなかった問題が現れる。文章はある。順序がない。
現代の印刷本では、文は一文ずつ順番に並び、その並び方は当たり前に見える。竹簡の時代にはそうはいかない。紐が切れれば、順序そのものが証明を要するものになる。整理する人は、簡の長さ、上下の節の位置、紐の跡、書き手の筆跡、墨の色、割れ口の形、文のつながり、そして「法」「実」「術曰」といった術語が連続するかどうかを手がかりに、一枚ずつ並べ直すほかない。一枚取り違えただけで、同じ算法がまったく別の手順に見えてしまう。
少し居心地の悪い点がある。どの簡が先で、どれが後か。物理的な証拠で絞れる部分もあるが、残りは意味に頼らなければならない。意味に頼るとは、並べた順序でその算法が筋の通るものになるはずだ、と考えることだ。つまり、算書を読める形に戻すには、まず、それで計算が成り立つはずだと仮定しなければならない。この一文は最後でもう一度出てくる。発掘から全文の釈文が正式に公表されるまで、十数年かかった。釈文の発表が2000年、注釈本の刊行が2001年である。
この十数年、ずっと同じ種類の物理的なパズルを解いていたわけではない。清掃、保存処置、撮影、古文字の解読、筆跡の比較、繰り返しの仮配列、ほかの出土資料との照合まで含まれる。古文字の研究者が気長だったからではない。資料のあり方そのものが、それだけの仕事を要求した。大きな助けになったものが一つある。現代の整理番号で第6簡、その裏に三文字が書いてあった。「筭數書」。この本自身の名前だった。
自分の第6簡の裏に自分の名が書いてある。竹簡の時代には、それが実際に役に立った。巻いてしまえば、外からは中身がわからない。どこかに題名を示す場所が必要だった。
そして2000年後の整理者にとって、この三文字にはもう一つ意味があった。少なくとも、散らばった竹片がもとは同じ一冊に属し、その本には名前があったと確かめられる。
ほかにも、下端に「王」「楊」、あるいは「王已讎」「楊已讎」と記された簡がある。「讎」は校合したという意味だ。この二人が写した人なのか、校合した人なのか、それとも別の立場の人なのか、今のところ確定していない。
それでも少なくとも、紀元前186年ごろには、繰り返し使える計算手順を収めた算書が実物として存在し、誰かが校合した痕跡まで残していることはわかる。
これまでの四回で見た、文字を支える素材の事情はそれぞれ違っていた。粘土板はならして消せるが、消しても板は残る。蝋は拭い去ればなくなる。羊皮紙は削れるが、削り切れなかった墨は繊維に残り、700年後にも読み取れる。竹簡は四つ目だ。2000年もちこたえることがある。だが、ばらばらになる。四つの素材に、四つの壊れ方。消されたもの、消えたもの、消し切れなかったもの、散らばったもの。
そして、散らばるという壊れ方には独特の厄介さがある。前の三つなら、損なわれたあとに残ったものが元のままかどうかは見ればわかる。散らばった場合、残っているものは一式そこにある。ただ、どう置けばいいのかわからない。それぞれの壊れ方が、後世の人に何が手に入り、それを読むために何を払わなければならないかを決めている。
二 買われたもの、掘り出されたもの
出土した算書はこれ一冊ではない。ただし、証拠としての位置づけには大きな差がある。先にその違いをはっきりさせておきたい。
2007年末、岳麓書院は香港から秦簡の一群を購入した。番号を付したものが約2100枚、うち1300枚ほどは比較的よく形を保っていた。2008年には、ある収集家からさらに76枚の寄贈を受けた。その中に200枚余りからなる『数』という算書があり、2011年に正式に公開された。
2010年初め、北京大学は海外から買い戻された秦簡の寄贈を受けた。整理後の竹簡は762枚、うち約300枚には両面に文字がある。ほかに木簡、木牘、竹牘、筆記面として使う木製の多面体、木觚が一つ、賽が一つ、そして実物の算籌が61本あった。清華大学が2008年に収蔵した戦国時代の竹簡にも、21枚を組み合わせるとかなり複雑な十進法の掛け算表を復元できるものがある。この三群はいずれも発掘によって得られたものではない。古物市場から買い戻された品だ。ここでは二つの問いを分ける必要がある。本物かどうかと、どこから来たかは、別の問題である。
竹の材質、墨の痕跡、古文字、書体、内容に含まれる手がかり、必要な検査を組み合わせれば、一群の簡の年代や真贋を判断することはできる。この段階までは可能だ。
しかし、盗掘から市場へという経路に入ると、墓の番号、出土した層位、一緒に出た品、簡どうしの元の位置関係、埋まっていた環境が一度に切り離されてしまう。この段階の情報は取り戻せない。文献学で考古学の穴を埋めることはできない。
だから、この三群については、評価を二段に分けるのが妥当だ。竹簡と文章そのものは、十分に研究の対象になる。一方、元の出土地、墓主の身元、副葬品の組み合わせに依存する社会史の推論は、すべて確からしさを一段下げて扱う。
北京大学の一群には、少し特別な事情がある。運び戻して剥がしていく段階で、かなりの部分がまだ巻かれた状態にあった。およそ十巻の竹冊で、すべてが一枚ずつばらばらになっていたわけではない。簡冊をどう巻き、束ねたか。一巻の表裏にどう続けて書いたか。異なる文章が一巻をどう共用したか。それを調べるための、めったに得られない情報だった。そして、この一群には文章ではないものもある。61本の算籌が、算書とともに残った。
第1回の書記は粘土板を使い、第2回のギリシア人は蝋板や砂を敷いた盤を使った。そこで実際に計算していた面は残らなかった。ここでは道具が残っている。
ただし、これも室内での観察であって、発掘現場の記録ではない。それに対して、確かに発掘された資料群もある。
1975年、雲夢の睡虎地11号墓から、簡とその断片1155点が出土した。墓の主は喜という人で、役人としての経歴がはっきりしている。しかも、その経歴は本人とともに葬られた簡に書いてある。一巻の編年記には、秦がどんな戦争をしたかと並んで、喜自身の出来事が挟まっている。昭王四十五年、紀元前262年の十二月甲午の日、鶏が鳴くころ、喜は生まれた。秦王政元年、紀元前246年、17歳のとき、簡には「喜傅」と記される。役務に就く者の名簿に名が載ったのだ。秦王政三年に史となり、その後、安陸令史、鄢令史を務め、鄢で裁判に携わった。その間に三度従軍している。官府のために帳簿をつけ、事件を扱うようになる前に、まず自分の名が官府の帳面に載った。副葬簡の『效律』は、県や都官による財物の照合、度量衡の誤差処理を直接扱い、責任者本人に罰を科している。一石を量る秤が不正確で、誤差が16両以上なら、担当の官嗇夫に甲一領。8両から16両なら盾一枚。穀物を量る桶や斗の不正確さにも、それぞれ罰がある。『效律』自体は算書ではない。しかし、帳簿と現物の照合や標準化が、算書の著者の作り出した架空の背景ではなかったことを示している。
2002年、湖南省竜山の里耶で、古井戸から数万枚の秦代の簡牘が発掘された。中心をなすのは、遷陵県の役所の行政文書だ。九九術のような掛け算の資料もあれば、大量の実際の計簿もある。里耶の価値は、完全な算経がもう一冊見つかったことにあるのではない。計算の資料が役所の文書群の中に、その場のまま埋め込まれていることにある。片方には墓の中の教材、もう片方には井戸の中の帳簿。両端がそろっている。
これまでの回には、なかった組み合わせだ。第1回のメソポタミアには行政用の粘土板も、学校の練習板も大量にあったが、その二種類の関係は推定しなければならなかった。ここでは、副葬された算書と県の役所の実際の帳簿が、別々の場所から、どちらも出土層位のある資料として見つかっている。なぜこれらが残れたのかについても、一言必要だ。
竹も木も有機物であり、通常の温度と湿度があり、酸素の通う環境では非常に腐りやすい。今日、戦国・秦漢期の竹簡が大量に見つかる場所は、江漢地方の密閉され、水がたまり、酸素の乏しい墓や井戸に偏る。木簡が残る遺跡なら、西北の極度に乾燥した地域だ。
ここには強い保存の偏りがある。張家山は墓、里耶は使われなくなった古井戸だ。どちらも、古代人が日常どこで字を使ったかを無作為に示す標本ではない。北方の普通の土の墓、地上の建物、日々の作業場、何度も読み返した末に捨てられた竹冊は、ほとんど痕跡を残さなかった可能性が高い。
だから、中国に竹簡が残っていることから、当時の中国にはある種類の本がとりわけ多かった、とは言えない。言えるのは、南方の一部の湿潤な墓や井戸、そして極乾燥地域には、有機物の筆記材料が保存される機会があったということだけだ。
この慎重さは、これまでの四回でも形を変えて何度か求められた。第1回では粘土板が行政記録に偏り、第3回ではギリシアの完成品は残っても作業場が残らず、第4回ではただ一つの写本が偶然の連鎖で生き延びた。毎回、言っているのは同じことだ。現存する標本は、歴史上の営みから無作為に採られたものではない。
ついでに、前回の一文を訂正しておきたい。ギリシアには実物がない、と言うとき、『原論』のような古典には著者の時代の原稿が残っていないという意味なら、それでよい。しかし、古代ギリシア語世界には、パピルスや陶片に書かれた数学の実物資料がまったくないという意味に取るなら、言い過ぎになる。
三つの地域で本当に違うのは、現存する標本が出来上がった仕組みだ。粘土板、竹簡、後世の写本を、そのまま各地域で数学の営みがどれほどあったかを測る目盛りにするなら、保存環境を歴史そのものと取り違えることになる。
三 術
出土したこれらの算書と、後の『九章算術』に共通する、最も目につく特徴は書き方だ。典型的には三段からなる。「今、これこれがある。これこれを問う」「答えにいう、これこれ」「術にいう、これこれ」。初めの二段は具体例を示し、三段目はその種類の問題を解く方法を示す。
鍵は三段目にある。術は普通、その一問の計算を一行ずつ確かめるものではない。むしろ、繰り返し実行できる一般的な手続きに近い。どの量をどこに置き、何と何を掛け、何を「法」とし、何を「実」とし、いつ割り、どう約分し、その先へどう進むかを指示する。数を別の組に替えても、原則としてその術をたどれば実行できる。ここに、術と答えの根本的な違いがある。答えが受け持つのは一問。術が受け持つのは一群の問題だ。
張家山の算書は、この形式が紀元前186年ごろには存在していたことを示している。「粟求米」のように、粟を精白したときの量を求める項目は、一つの答えを告げるだけではない。一般的な換算規則を取り出し、その規則に具体的な数を当てはめていく。
だから、術という書き方は、劉徽の時代になって発明されたものではない。現存する『九章』の形が定まるより前からある。『九章算術』の通行本は九章に分かれ、全部で246問を収める。
方田38問は、田地の面積と分数。粟米46問は、穀物や物品の換算。衰分20問は、等級と比例に応じた配分。少広24問は、面積や体積から辺の長さを逆に求め、開方も含む。商功28問は、土木工事とさまざまな立体の体積。均輸28問は、租税、輸送、労役の比例配分。盈不足20問は、二度の仮定で生じた余りと不足から未知量を逆算する。方程18問は、組になった関係と正負の操作。勾股24問は、直角三角形の三辺の関係、測量、相似の問題だ。
この九つの名は、まず技術上の分類であって、今の学問分野の目次ではない。
方程をそのまま現代の線形代数と訳し、勾股をそのままある定理の名で呼べば、現代の読者は数学的な構造を見つけやすくなる。だが同時に、古代の分類体系は消えてしまう。方程は、まず算籌を並べて計算するときの配置の構造であって、紙の上の等式ではなかった。では、この問題集は行政実務なのだろうか。
章の主題から見れば、246問のうち、方田、粟米、衰分、商功、均輸の五章、計160問は、土地、商品の換算、配分、工事、徴税や輸送といった明確な実務の文脈に置かれている。残る章にも、測量、取引、井戸掘り、工事など、暮らしの中の話が多い。問題の場面設定が強く実務に寄っていることには、疑いがない。
ただし、誰かが穀物を運ぶという問題だからといって、それが実際の穀物輸送の記録だとは限らない。
多くの数は、手順を進めるときれいな結果が出るよう、明らかに念入りに作られている。同じ術に違う物語をつけることもできる。問題によっては、条件そのものが、算法の境界的な場合を練習させるために設けられたようにも見える。
したがって、この246問を、実例が何問、教室の練習が何問と分ける、信頼できる数え方はない。そのような数字は、精密に見えるだけのものになる。
行政の場で実際に計算していたと立証するのは、別の資料群だ。睡虎地の『效律』にある帳簿と現物の照合、度量衡の規定、里耶の役所の計簿や掛け算表。これらが、役所は確かに計算していたと教える。『九章』が教えるのは、それに似た問題を扱えるように編集された、手続きの知識が存在したということだ。両者の機能的なつながりは論じられる。だが、それだけで『九章』のある一問が、どこかの県役所の案件を書き写したものだと証明できるわけではない。
第1回でも、同じ問題を扱った。そこで見た古バビロニアには、行政の言葉で包まれながら、実際の業務ではありえない問題が大量にあった。ここでは証拠の組み立てが違い、しかも条件がよい。中国側では、墓の算書と役所の簡牘の両方が残り、教材風の手順と実際の会計を並べて見られる。これは証拠の構造の違いであり、実用と理論の優劣ではない。では、この本はいつ出来たのか。この日だ、と示せる日はない。
現存する『九章』は、明らかに幾層も積み重なっている。制度、地名、単位、術語は、すべてが同じ時代に属するわけではない。清代の四庫館臣たちは、すでに有名な問題に気づいていた。書中には上林に関わる内容が出てくる。しかし、上林苑は漢の武帝の時代の話だ。
劉徽の序文によれば、秦の焚書で古い術は欠け損ない、漢代の北平侯張蒼と耿寿昌という、ともに計算に秀でた人々が、残った古文をそれぞれ削り、補った。そのため後世の章立ては古本と異なり、文章にも後の時代の言い回しが混じったという。そこで四庫館臣は問い返す。上林苑は武帝の時代、張蒼は漢初の人なのに、どうしてあらかじめ書けたのか。この話は二層に分けなければならない。張蒼と耿寿昌が漢代に計算や度量に関わった技術官僚だったことは、ほかの史書にも裏づけがある。
しかし、二人が今の『九章』を編んだ、あるいは増補・削訂したという話は、主に三世紀の劉徽が数百年前を振り返って述べたものに頼っている。現存する漢代の史料には、それと同じほど明確な記録がない。
だから、言えるのはこういうことだ。263年前後の劉徽は、張蒼と耿寿昌が古い算術の資料を整理したという説を信じ、あるいは受け継いでいた。この伝承自体が重要な史料である。だが、二人こそ『九章』の編者だという話を、確定した事実に格上げすることはできない。仮に張蒼がある段階の整理に関わっていたとしても、それだけでは現存する文章のすべての層を説明できない。
四 割って、さらに割る
劉徽という人について、確実にわかることはごく少ない。第3回の人物と、ほとんど同じ事情だ。著作はまとまって残る。人の姿はほとんど残らない。
劉徽という名の人が『九章算術』に注をつけた。伝統的な年代では、曹魏の景元四年、263年のこととされる。その注と、後に独立した一書となった『海島算経』が、彼を知る主な手がかりだ。だいたい、それで尽きる。
今の一般向けの読み物では、生没年が当然のように示され、ときには具体的な出身地や家系まで書かれる。だが、それらの年には、祖沖之の429年から500年という生没年のような、正史の伝記による根拠がない。著作がきわめて重要だからといって、個人の記録まで自動的に豊かになるわけではない。263年という年は比較的確かだ。伝統的な目録や正史の書誌に、魏の景元四年に劉徽が『九章』に注をつけたと記されているからである。
ただし、ここにももう一層ある。伝わる劉注には、晋の武庫の銅斛などに触れる文があるが、263年はまだ曹魏の時代だ。四庫館臣はすでに指摘している。景元四年に注をつけたのなら、この部分は、晋に入ってから本人が改訂したか、後世の注釈の層が本文に入り込んだか、どちらかを示すはずだと。
つまり、景元四年に劉徽の注があった、という言い方はかなり堅い。今の本にある劉注の一字一句が263年に書かれた、という言い方は堅くない。彼の序文で最も貴重なのは、壮大な文明史ではなく、著者自身の立ち位置である。
この点で、これまでの回に出てきた人物たちとは大きく違う。アルキメデスの序文は、手紙のやり取りや先取権について語る。誰が亡くなったか、何を送っておいたか。劉徽の序文が語るのは、自分と一冊の古い本との関係だ。
幼いころから『九章』を学び、大人になってからも繰り返し読んだ、と彼は言う。古い術を前に自分がしたのは、見いだしたことを拾い上げ、注をつけることだった。序文には大切なたとえもある。問題は枝のように分かれていても、根幹を同じくする。一端をつかめば、同じ種類の事柄を互いに推し広げ、ほかの問題も理解できる、という趣旨だ。平たく言えば、元の本にはすでに術がある。私はその背後の根拠を明らかにし、同類の理をつなぎ合わせたい、ということになる。
元の本が間違っているとは言っていない。別の本を書きたいとも言っていない。そのことに注意しておきたい。彼が自分に与えた役割は、解釈する人だった。
そして、この解釈する人という位置こそ、ここから先の問題をすべて生み出す。術の指示どおり計算するだけなら、判定基準を論じる余地はない。別の本を書くのなら、それはまた別の仕事だ。彼がしたのは第三のことだった。元の本の傍らに立ち、一つずつ、なぜそれが正しいのかを説明する。
これは注の実際の書き方とも合う。彼はしばしば、術のとおりに答えを出すだけでは満足しない。なぜそこで掛けるのか。なぜそこで割るのか。切って補い合わせても、なぜ量は変わらないのか。最も有名な一節は、第1章「方田」の円田術への注にある。
円に内接する正六角形から始め、半径と弦でできる直角三角形を使って、辺の数を順に倍にする。12辺、24辺、48辺、96辺、そして192辺。倍にするたび、多角形は円に近づき、円と多角形の間でまだ計算に入っていない余りは小さくなる。さらに、その取り残された面積をどう見積もればよいかも説明しなければならない。円の面積を、目で見た感じで決めることにはしたくないのだ。
この最後の一手に注目したい。見た目で違いがわからなくなるまで細かくし、そこで手を止めて等しいと宣言するのではない。計算に入れていない残りの面積に、見積もりを与える。その過程で、彼はこう書いた。細かく割るほど、失われる分は少なくなる。割って、さらに割り、もはや割れないところまで至れば、円と一体になって失われるものはなくなる、と。
この一文は、しばしば単独で抜き出され、哲学の格言のように扱われる。だが、そうではない。構成し、誤差を縮め、余りを見積もるという計算の論証の中にあり、その前にも後にも、具体的にしなければならない仕事がある。
現代の歴史家はよく、これを「極限の思想」と呼ぶ。その言い方は理解の助けにはなる。しかし、そのまま十九世紀の形式的な定義に置き換えるなら、やはり後知恵による言い直しになる。
第4回で見た二重の背理法では、初めから終わりまで辺の数を無限にしなかった。余りを十分に小さくできる有限の段階がどこかにあればよかった。ここでは書き方が違う。劉徽の一文は、過程の行き着く先まで言い切る。もう割れないところまで割れば、円と一つになる。この二つの書き方の隔たりは、どれほど大きいのか。それは本当の問いであって、翻訳で片づくものではない。
数値については、二つの層を分けておく必要がある。主たる計算は192辺まで進み、使いやすい円周率の近似として157/50を採る。伝わる注には、別にもっと精密な値と、さらに多い辺数に結びつく計算もある。
そして、その後半こそ、文章の伝来の歴史について手を抜けない箇所だ。そこでは晋の武庫の器物に触れているが、263年はまだ曹魏である。清代の校訂者はこれを根拠に、劉注は晋の時代に入ってから増補された可能性があると考えた。現代の研究でも、その部分が本人の後年の文章なのか、後人の手による層なのか、扱いは分かれる。
だから、劉徽が263年に自ら非常に多くの辺数まで計算し、今の本にある細部のすべてを書いた、というのは、争いのない事実ではない。
五 疑いを残さずにいられようか
理由を語るのは、円を細かくする場面だけではない。「商功」章には、土木工事で扱うさまざまな立体の体積を求める術がある。劉徽が向き合う問いは、なぜその式では2で割るのか、3で割るのか、6で割るのか、というものだった。
彼の方法は、新たな公理の体系を立てることではない。立体を切り分け、互いに比較できる基本的な形にする。塹堵は、おおまかには直三角柱のようなくさび形。陽馬は、長方形の底面を持ち、斜めにそぎ落としたような錐体。鼈臑は、四面体型の小さな立体と考えればよい。
これらの形を切り分け、組み合わせ、すでにわかる体積の関係によって、わからない体積に制約をかける。陽馬と鼈臑の比を証明するときには、残った小さな立体も、同じやり方でさらに分割していく。
急所は、円を細かくする方法と通じている。大きな立体に残る差を、構造の似た、もっと小さな差へと移す。限りなく細分していけるなら、その余りは、求める体積比を崩すことができない。
この一群の論証が重視されるのは、円周率のところだけで、たまたま理由を言い出したわけではないと示しているからだ。彼の注釈には、繰り返し現れる型がある。分解、組み直し、同じ高さの断面、減っていく余り。こうした方法で、元の術がなぜ必ず正しいのかを説明する。
ただし、ここでももう一つ、見ておかなければならない層がある。
劉注には「朱実」「青実」「黄実」といった名が何度も出てくる。図の中の、色分けされた立体を指す言葉だ。宋代以降には、古い図はすでに失われていた。清代の人々は、注の意図をたどり、文章から描き直すしかなかった。『四庫提要』は、四文字ではっきり記している。「図既不存」。図は、もうない。
だから、今の本に載っているきれいな立体図の一部は、後世に文章から再構成したもので、三世紀の原図ではない。図に大きく依存する論証なのに、図は後の人が補っている。彼の論証の性質を考えるとき、この層を飛ばすわけにはいかない。そして、ここからがこの回で最も重要なくだりだ。『九章』の「商功」にある球の体積の術には問題があった。彼は元の本に代わって、つじつまを合わせようとはしなかった。
彼は「牟合方蓋」というものを構成した。互いに直交し、円柱状の断面構造を持つ二つの立体の共通部分と考えればよい。球とこの方蓋では、対応する高さの断面が一定の比になると気づいた。方蓋の体積さえ求まれば、球の問題は解ける。
だが、方蓋の体積を求められなかった。
そこで彼は、注に「明らかである」とは書かなかった。伝わる文章の最後に残る語調は、おおよそこうだ。方と円が入り組み、厚みが変化して、関係は複雑だ。形だけを頼りに無理な説明をすれば、正しい理を外すおそれがある。ならば、疑いを残しておきたい。「敢不闕疑、以俟能言者」。疑わしいところを未決のまま残し、説明できる人を待たずにいられようか。
これは、計算する時間がなかったという謙遜ではない。むしろこういう響きだ。自分で十分に正当だと思える理由がまだないのに、どうしてここを疑問として明示せずにいられるのか。説明できる人を待つべきではないか。この一節が重いのは、失敗がロマンチックだからではない。何が不十分かを見分ける基準を、並外れて明瞭に示しているからだ。否定の側から示す基準とは、何が数学に当たるかを告げるのではなく、何では足りないかを告げるものなのである。
この連載のここまでで、ある人が自分の仕事について最も直接に語った場面だ。前の回でアルキメデスは、力学的な方法は証明に当たらないと言った。だが、答えは手にしていた。ここでは、その答えさえない。そして、そのことを本文に書き残した。
答えがあるだけでは足りない。もっともらしく見える図があるだけでも足りない。自分が納得できる正しい理をまだ示せないのなら、そこで止まるべきだ。
第4回のあの人も、あるところで止まった。だが、止まり方が違う。アルキメデスは、この方法なら答えを見つけられるが証明にはならない、だから改めて証明する、と止まった。劉徽は、その方法さえまだない、だから書かない、と止まった。一人は見つけても認めず、一人は見つけていないことを認めた。二つの止まり方には、一つ共通点がある。どちらも当人が自分で書いたことであり、後世の人が代わりに判定したものではない。
この種の資料は、この連載では非常に少ない。第1回にはなく、第2回にもなく、第3回にもなかった。第4回と第5回になって、初めて二度続けて現れた。その穴は、後に別の人が埋めることになる。
祖沖之の年代は、劉徽よりずっと明瞭だ。正史によれば429年から500年まで生きた。暦法、天文学、数学に携わり、著書『綴術』は後に官の算学教育に入ったが、原書は失われている。球の体積については、今日、主として唐代の李淳風らの注疏に残された祖氏の資料に頼る。その核心にあるのが「冪勢既同、則積不容異」という一文だ。「冪」は対応する断面の面積、「積」は体積を指す。二つの立体が、同じ高さでつねに同じ断面積を持つなら、全体の体積も等しくなければならない、という意味である。
祖沖之の息子、祖暅は、この一層ずつ断面を比べる方法を使い、劉徽が残した方蓋を、体積を求められる立体に置き換えた。こうして、球の体積について正しい関係を得た。
祖沖之の円周率の結果には、もっと直接的な正史の記録がある。史書によれば、彼はさらに精密な方法を開き、きわめて大きな尺度で円周を計算し、過大になる「盈」と過小になる「朒」の二つの限界を与えた。現代の小数で書けば、3.1415926と3.1415927。差は0.0000001だ。比も二つ記されている。「密率」は直径113に対して円周355。「約率」は直径7に対して円周22。この結果そのものは、伝世史料としてきわめて堅い。
しかし、方法は残っていない。史書は、さらに精密な方法を開いたと述べるだけで、計算の一歩一歩を書き写してはいない。『綴術』も失われた。
だから、彼は劉徽の割円の方法を進め、1万数千辺、あるいは2万数千辺まで計算した、という今よく見る説明には、再構成による仮説だと明記すべきだ。現存する原文にそうあるわけではない。その可能性は高い。だが、結果から逆向きに、唯一の算法を導くことはできない。結果は確かめられても、算法には穴を残しておかなければならない。
六 三十人
劉徽の注で終わりではない。
唐の高宗の時代、李淳風らが勅命によって『九章』やほかの算経にさらに注釈を加えた。こうして、経文、劉注、唐疏という三層ができた。今、『九章』を読むとき、同じ一ページの上で、三つの時代の声に同時に向き合うことがよくある。
李淳風が何者だったかも、見ておく価値がある。彼の数学の注釈は、天文や暦法、官撰の史書の編纂、朝廷の技術実務と結びついていた。現代の意味での大学教授ではない。
唐代には、もう一つのことが行われた。李淳風らが勅命で整理し、注をつけた一群の古典は、後に「算経十書」と総称される。『周髀算経』『九章算術』『海島算経』『孫子算経』『張丘建算経』『五曹算経』『夏侯陽算経』『五経算術』『緝古算経』『綴術』。これらが官の数学教育と試験の体系に組み込まれた。
国子監には、算学を専門とする教育部門が置かれた。伝わる制度文書には、算学生は30人とある。学習期間は『九章』と『海島』を合わせて3年、『孫子』と『五曹』を合わせて1年、『張丘建』と『夏侯陽』で1年、『緝古』は3年、『綴術』に至っては4年と定められていた。
ここには、避けておきたい数字の落とし穴がある。算学生30人とは学校の定員であり、明算科が毎年30人を採用したという意味ではない。制度は時期によって変わるのに、現代の論著では、在学定員、受験者数、採用枠がしばしば混同される。明算は唐の科挙の常科に属する技術的な科目で、進士、明経、明法、明字と並んでいた。ただし、社会的な名声も、官職への道筋も、試験の規模も同じではなかった。
「並ぶ」という言葉には注意がいる。制度上は確かに並ぶが、重みまで同じではない。主な就職先は技術や暦算、そして一般の官僚組織の中下層であり、独立した数学教授の階層が生まれたわけではない。『五曹算経』という書名自体、計算と官府の各部門の必要を、なお結びつけている。さて、その後この本がどう生き延びたかは、また別の筋になる。
北宋の1084年前後には、算経十書を官の事業として刊刻した。南宋でも再刻と書写が行われた。南宋の慶元年間、鮑澣之は楊忠輔の家から『九章』一部を得て、写して秘閣に納めた。
しかし、文章が安定して残り続けたわけではない。明代には、『九章』の完全な旧本はほとんど見られなくなっていた。幸い、『永楽大典』が分類ごとに大量の文章を収めていた。清の乾隆年間に『四庫全書』が編纂されると、戴震を中心に算経の輯佚と校訂が進み、『永楽大典』などから失われた文章を集め直し、整えた。現代の通行本は、かなりの部分で、この清代の復元を受け継いでいる。
つまり、今の『九章算術』は、漢代の一冊が人の手から手へ、そのまま渡ってきた本ではない。
この点は、前回のパリンプセストと並べて考えられる。あちらでは一つの実物が、物理的な偶然の連続をくぐり抜けて残り、文章も基本的には十世紀の写字生が書いた姿を保っている。こちらには、そのような一つの実物がない。代わりに文章は、千数百年にわたって増補され、注をつけられ、刻印され、ばらされ、また類書の中から拾い戻された。片方は物が残った。もう片方は生き続けた。
漢代の経文、三世紀の劉注、唐代の疏、宋代の版本の系統、明代の類書に残った断片、清代の輯佚と校訂。それらが共同で成り立たせている、一つの文献なのだ。そして、本よりも計算の現場に近く、しかも見落とされやすいものが、もう一つある。
算籌は、竹や木などで作った細長い小さな棒だ。北京大学の秦簡群には、その実物が61本含まれていた。長さは一般に、数センチから十数センチほどである。
計算するときには籌を平らな面に置き、位置によって一の位、十の位、百の位を表す。隣り合う桁を取り違えないよう、縦向きと横向きを交互に使うことも多い。「方程」章の方法は、同じ面の上に複数の量の列を並べ、手順に従って消去していくのに、とりわけ向いている。現代の行列記法なら、その結果を正確に再現できる。だが、古代人の手が実際に何をしたかは省かれてしまう。ここには重要な記録の穴がある。書かれた算法は、計算の現場の完全な記録ではない。
本に「上禾三秉を置く」とあるとき、計算していた本人は、算籌の盤上で何十回もの移動、入れ替え、消去をしていたかもしれない。終わったあと、その瞬間ごとの籌の配置がすべて本に描かれるわけではない。古い算書は、少し棋譜に似ている。規則と典型的な局面がある。一回一回の計算を撮った動画ではない。
正の籌は赤、負の籌は黒という色分けの伝統は、伝世の注に見える。だが、漢代の正負の計算では、毎回必ず赤と黒の二組の籌を使っていたと証明できるだけの実物資料はない。文章の規定と、出土した道具が示す状態とは、二種類の証拠である。
細かな話に見えるが、この回の主題と同じことを言っている。本に書かれたことと、実際に起きたことの間には、つねに隔たりがある。そして後世の人が手にできるのは、往々にして、書かれたほうの半分だけなのだ。
七 証明に当たるのか
そろそろ、あの問いを出せる。劉徽の論証は、証明に当たるのか。答えは、単純なイエスかノーではない。研究には、少なくとも四つの立場がある。
第一は、証明の歴史を広く捉える立場と呼べる。数学に関わる人々が、ある算法の正しさを保証するためにどのような理由を示したか。その歴史を調べるのなら、劉徽の注の多くは明らかに証明の営みに属する。この方向の研究は、ギリシア式の命題演繹だけを証明とする歴史を、初めから書いてしまうことにはっきり反対する。中国、インド、メソポタミアなどで行われた、算法の正しさの論証も含めるべきだとする。
第二は、構造は同等でも形式は違う、という立場だ。勾股、面積、体積などの箇所に、確かな論証があると認める。その一方で、『九章』と劉注の文章の構成、言葉遣い、推論の見せ方は、『原論』の命題と証明の構造とは違うと強調する。比較の目的は、彼の文をエウクレイデスの形式に書き換え、「結局同じだった」と宣言することではない。それぞれの伝統が、どうやって信頼できるものを築いたかを確かめることだ。
第三は、文献学からの留保である。近現代の数学者は、古い術の一文を現代の代数に訳し、その式に見事な証明をつけ、最後にその現代の再構成を古代人がもともと持っていた証明として書き戻してしまいやすい、と注意を促す。これは、中国に証明はなかったと単純に宣言する立場ではない。歴史家の証明で、古代人の証明を代用してはいけない、という警告だ。
第四は、比較的伝統的な、狭い基準である。証明を、明示された定義、公準、公理、先行する命題から出発し、命題の形で演繹を連ねるものに限るなら、彼の論証の大部分は当然、その文体には属さない。
ただし、この用法を受け入れても、導けるのは「この種類の証明ではない」ということまでだ。「正しさの論証がない」とは導けない。
だから、研究者の間で本当に合意がないのは、彼が理由を述べたかどうかではない。その点について、資料はあまりに明瞭だ。合意がないのは、「証明」という語にどこまでの歴史的実践を含めるか、また、その語で異なる実践の差をならしてしまわないか、ということだ。この四つの立場の背後には、何世代もの研究者による方法上の異なる選択がある。読者にとって大切なのは、誰がどちら側かではなく、それぞれが何に注意を促しているかだ。
最も役に立つ注意の一つは、翻訳についてのものだ。古い術の一文を現代代数に訳す。その式に美しい証明をつける。そして、その再構成を過去に書き戻し、古代人自身の論証だったことにする。この三段を踏むと、誰一人書いたことのない証明が、本の上に出現する。中国には証明がないという話ではない。後世の人が組み立てたものを、古代人が自分で書いたものの代わりにはできない、という話だ。
もう一つの注意は、比較そのものに向けられる。成果を一覧にし、誰が何を先に手に入れたかを比べる方法がある。それとは別の問いを立てる比較もある。古代ギリシアと古代中国では、自分の主張をほかの人に受け入れてもらうために、それぞれ何をしなければならなかったのか。誰に向けて語り、何によって信じてもらったのか。後者の問い方なら、どちらの文明が後のヨーロッパ科学に近いかを、先に決める必要はない。
出土資料からの注意もある。張家山の算書が読めるようになった以上、『九章』を、初期の算法すべての唯一の源泉とするわけにはいかない。問うべきは、実践と文章の集まりとしての計算が、いったいどう形づくられ、どう伝えられたかだ。
文献そのものについては、現在最も包括的な整理を、郭書春とフランスの研究者カリーヌ・シュムラ（林力娜）が共同で行った。主文、劉注、唐疏、術語、図の再構成を、まとめて扱った仕事だ。その中心的な問いの一つこそ、算法はいかにして証明の対象となるのか、というものだった。確かに、一部は定義の問題である。
証明とは、明示された定義、公理、公準、先行命題から連続的に演繹することだ、と先に定めるなら、『九章』の主文に証明はもちろん少ない。劉注も、その全体構成を採ることはめったにない。
証明とは、一般的な数学の主張や算法について、それを使う共同体が、必ず正しいと受け入れられるだけの理由を公開して示すことだ、と定めるなら、割円、面積の切り貼り、陽馬と鼈臑、開方の説明は、ごく自然に証明の歴史へ入ってくる。
だが、辞書だけで論争は終わらない。
全員が広い定義を使うことで合意したとしても、先にはなお問いがある。劉徽の原図はどのようなものだったか。「もう割れない」は論証の中でどんな役割を担ったか。再帰的な分割には、明言されていない完備性の仮定が含まれるのか。彼の読者は、どのような理由を十分と認めたのか。これらは実質的な歴史の問題であり、辞書の問題ではない。しかも、この中には、もうすっきりした答えを出せない問いが一つある。原図はないのだ。
用語が決めるのは、彼を「証明」という箱に入れるかどうかだ。資料の分析が決めるのは、その箱に実際に何が入っているかである。
八 問いを逆に向ける
ここで、問いを逆に向けなければならない。しかも、本気で逆に向ける。
この回の題は「もう一つの判定基準」だ。この枠組み自体、成り立つのだろうか。
第一の異論。算法の伝統と演繹の伝統という二分法そのものが、現代の歴史研究の作り物なのではないか。これは強い異論だ。
劉徽が与えるのは、明らかに算法だけではない。論証も与える。一方、古代ギリシアの数学も、公理体系だけではない。数値計算、算法、天文計算、実用測量があった。数千年の資料から、固定観念にいちばん合う古典を一冊ずつ選べば、純粋な二つの伝統を人為的に作れてしまう。
だから、この回で言えるのは局所的なことに限られる。『九章』と劉注という文献の伝統は、術を強く中心に据えて組み立てられている。それを、ある文明の思考そのものが算法的なのだ、という話に格上げしてはいけない。
第二の異論。証明と算法の対立を、誇張しているのではないか。
まさに劉徽が、そのことを示している。彼が論証する対象は、多くの場合、算法そのものだ。証明は算法の外にある別の営みなのではない。なぜこの算法が、この種類の問題すべてに成り立つのかを答えるのである。
第三の異論が、最も重要だ。文明も時代も越える、一つにまとまった対象としての「数学」自体が、歴史家の分析上の分類である。戦国・秦漢期の人々は、数、算、術、九数と言った。今の意味で、数学の本質とは何かを議論していたわけではない。
したがって、「判定基準はまだ確立されていなかった」は、後世の人が振り返って言う言葉だ。劉徽の時代の人が、何を数学とするかはまだ決まっていない、と自覚して言っていたのではない。この点を忘れれば、現代の学問についての哲学的な問いを、古代人の上に投げ返してしまう。
第四の異論は、『九章』そのものに向かう。出土資料によって、それを中心に置いた物語が丸ごと崩れるのではないか。
張家山、岳麓、北京大学の資料は、初期の計算の知識が、数多くの短い術、抜き書き、集成、表、役所での計算、口伝の操作といった形で存在しえたことを教える。『九章』が後に正典になったからといって、戦国・秦漢期のすべての計算が、『九章』を目指して進んでいたわけではない。
以前なら、突然現れた完成済みの建物のように見立てるのは簡単だった。今見えてくるのは、その建物より先に存在した大量の部材、異なる工法、部分的な部屋である。
この変化をもたらしたのは出土資料だ。しかも、その向きは上ではなく、下へ向かう。『九章』をいっそう古く、いっそう偉大にしたのではない。出発点だったものを、一連の過程の中の、ある断面に変えたのである。
それでも、工事日誌はない。
第五の異論は、「二つの伝統はそれぞれ成り立つ」という言い方そのものに向けられる。それでもなお、中国とギリシアを閉じすぎた世界として考えていないか。歴史上の知の共同体は、初めから文明ごとの箱に入っていたのではない。比較の単位にするなら、あらかじめ実体化した文明の性格より、具体的な時代、文献、組織、実践を選んだほうがよい。
だから、この回が最後まで守れる主張は、「二つの数学的伝統」より弱く、同時にそれより堅い。
戦国から魏晋にかけての中国の資料には、術を編み、実行し、注釈によって論証することを中心とした数学の実践が見える。そこで何をどう信頼できるものにしたかは、それ自体として記述できる。古代ギリシアの一部の命題演繹の実践と比べることには意味がある。だが、算法と演繹は、二つの文明の永遠の本質ではない。まして、同じ競走路の順位表でもない。最も危険な比較の仕方を、いくつか書き留めておこう。
後の時代の一つの伝統で、別の伝統を定義してしまうこと。数学とは『原論』のような文章だと先に決めれば、『九章』は公理が欠けたものとしか描けなくなる。数学とは汎用的な算法だと先に決めれば、今度は『原論』が、実行可能な計算を欠いたものと描かれる。どちらも、選んだ物差しを中立な基準に見せかけているだけだ。
著作の種類を、文明の種類と取り違えること。『九章』は算術の古典であり、『原論』は命題の形に編まれた幾何学の集成だ。この二冊を比べることは、二つの人間集団を比べることと同じではない。注釈の層を無視すること。『九章』の主文だけをむき出しにして『原論』の命題証明と比べ、劉徽の注を外してしまえば、比較を始める前に答えは決まっている。
現代の学問の境界線で、過去の空白を埋めること。代数、幾何、証明、算法は、どれも分析のための言葉として使える。ただし、それは現代の歴史家が使う翻訳の道具であり、当時の人々自身の分類ではないと、明らかにしておかなければならない。
あの、ばらばらになった200枚余りの竹片へ戻ろう。
紐が腐れば、元のつながりの順序は、そのままでは保存されなくなる。とはいえ、紐の跡、物理的な位置、部分ごとの関係は、なお復元を制約できる。読める形に戻すには、まずどの簡を先にし、どれを後にするか決めなければならない。その決定自体、算法がどう進むはずかという、現代人の理解を使って行われる。整理者はもちろん、それを知っている。だから、物理的な証拠を使い尽くして制約をかける。それでも、その循環は完全には消せない。
復元した順序を信頼できない、という話ではない。物理的な証拠による制約は強く、異なる手がかりどうしで裏づけ合うこともできる。言いたいのは、その順序は一つの結論であって、観察そのものではない、ということだ。算書を理解するには、まず、それで計算が成り立つはずだと仮定する。この循環は第1節ですでに現れた。あのときは竹簡を並べる話だった。ここまで来ると、並べるだけの問題ではないことがわかる。
劉徽の注が証明に当たるかを判定するときも、まず彼は論証と呼びうることをしている、と仮定しなければならない。そのうえで初めて、それで十分かと問える。そして、彼が何をしていたのかを仮定するときに使うのは、後世の人々の論証観なのだ。
あの人々自身は、何が数学に当たるかと問わなかった。数と言い、算と言い、術と言った。その問いを立てたのは後の人々であり、しかも、振り返って問うている。ここで少し立ち止まる価値がある。この連載がどこに立つかも、はっきりするからだ。
この回でいう、伝統をまたぐ判定基準とは、後世の比較分析のことである。当時の人々が自分たちの論証の基準をまったく論じなかった、という意味ではない。その基準が見えるようになるのは、後にある一組のやり方が優勢になってから、過去を振り返るときだ。それが姿を現す以前、各地の人は、自分たちが計算したいことを計算していた。そして、それぞれに、自分が信頼できると思える方法があった。劉徽の「敢不闕疑」は、その方法を彼自身が使うときの下限を述べている。何が数学に当たるかを言ったのではない。ここは、まだ私には信頼できない、と言ったのだ。
計算は、なお先へ進む。何を数学と呼ぶのかは、いまだ解き明かされたためしがない。
史料と参考文献
以下の資料は、本文の歴史的な細部や解釈の分かれる点に対応する。収蔵記録、古代の文献による記述、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。