Un autre critère

1 Les cordelettes ont pourri

Entre la fin de 1983 et le début de 1984, des fouilles mirent au jour plusieurs tombes des Han à Zhangjiashan, dans le district de Jiangling, au Hubei. L’une d’elles, la tombe 247, contenait un grand nombre de lamelles de bambou écrites.

Les indications chronologiques trouvées dans la tombe conduisent généralement les chercheurs à la dater des environs de la deuxième année du règne de l’impératrice douairière Gao, soit vers 186 avant notre ère. Il s’agit d’une déduction archéologique : ce n’est pas la date exacte à laquelle la tombe fut scellée, et la dernière année mentionnée ne suffit pas à établir que le manuscrit lui est nécessairement antérieur. Parmi ces lamelles se trouvait un livre de calcul.

C’était à l’origine un livre en bonne et due forme. Environ deux cents lamelles de bambou, longues d’une trentaine de centimètres, mais larges de six ou sept millimètres seulement. On n’y écrivait pas une ligne horizontale : le pinceau descendait le long de cette étroite surface en une colonne de caractères. Une lamelle pouvait en porter quelques-uns ou plusieurs dizaines ; l’énoncé d’une procédure pouvait se poursuivre sur plusieurs lamelles. Une fois l’écriture achevée, on les reliait une à une par trois cordelettes, puis on roulait l’ensemble. Or une cordelette est une matière organique.

Quand on ouvrit la chambre funéraire, plus de deux mille ans après, les trois liens avaient entièrement pourri. Le livre était devenu plus de deux cents languettes de bambou, longues et étroites, dispersées et parfois brisées.

D’où un problème que les épisodes précédents n’avaient pas encore rencontré. Le texte était toujours là. L’ordre avait disparu.

Dans un livre imprimé aujourd’hui, les phrases se suivent et leur disposition paraît aller de soi. Il n’en allait pas ainsi avec le bambou. Une fois les liens rompus, l’ordre lui-même devient une chose à démontrer. Pour remettre les lamelles en place, les éditeurs doivent s’appuyer sur leur longueur, la position des nœuds du bambou à leurs extrémités, les marques des liens, la main du scribe, la couleur de l’encre, la forme des cassures, l’enchaînement possible des phrases et la continuité de termes techniques comme fa, shi ou shu yue, « la procédure dit ». Ils les réordonnent une à une. Une seule lamelle mal placée peut donner à un algorithme l’apparence d’une tout autre suite d’opérations.

Il y a là quelque chose d’un peu inconfortable. Pour décider quelle lamelle précède quelle autre, les indices matériels imposent certaines contraintes ; pour le reste, il faut s’en remettre au sens. Et le sens, ici, veut dire que l’algorithme doit tenir debout dans l’ordre obtenu. Autrement dit, pour rendre un livre de calcul à la lecture, il faut d’abord supposer que ses calculs tiennent. Cette phrase reviendra à la fin. Plus de dix ans séparèrent les fouilles de la publication officielle de la transcription intégrale : celle-ci parut en 2000, l’édition annotée en 2001.

Ces années ne furent pas toutes consacrées au même travail de puzzle matériel. Il fallut nettoyer, conserver, photographier, déchiffrer les caractères anciens, comparer les écritures, essayer et réessayer des dispositions, confronter le tout à d’autres manuscrits exhumés. Ce n’est pas que les paléographes soient lents : la structure même du matériau l’exige. Un indice leur fut particulièrement précieux. Au dos de la sixième lamelle, selon la numérotation moderne, figuraient trois caractères : 筭數書, Suan shu shu, le Livre des calculs. C’était le nom que ce livre portait lui-même.

Qu’un livre inscrive son propre nom au dos de sa sixième lamelle avait une utilité très concrète au temps du bambou. Une fois le rouleau fermé, son contenu n’était plus visible. Il fallait bien pouvoir l’identifier quelque part.

Pour les éditeurs, deux mille ans plus tard, ces trois caractères avaient encore une autre utilité. Ils établissaient au moins une chose : les lamelles éparses avaient appartenu à un même livre, et ce livre avait un nom.

Au bas de quelques autres lamelles figurent aussi les noms Wang et Yang, ainsi que les mentions « Wang a collationné » et « Yang a collationné ». Le caractère 雠 désigne ici le travail de vérification du texte. Étaient-ils copistes, correcteurs, ou intervenaient-ils à un autre titre ? On ne le sait pas encore avec certitude.

On peut du moins constater que vers 186 avant notre ère existait déjà un exemplaire bien matériel d’un livre de calcul, contenant des procédures réutilisables et portant les traces d’une vérification par quelqu’un.

Dans les quatre premiers épisodes, les situations matérielles différaient. On peut lisser une tablette d’argile, mais la tablette reste. Ce qu’on efface sur la cire disparaît. On peut gratter le parchemin ; l’encre mal enlevée demeure dans ses fibres et reste lisible sept cents ans plus tard. Le bambou est un quatrième cas : il peut tenir deux mille ans, mais il se désassemble. Quatre matériaux, quatre manières de céder. Effacé, disparu, imparfaitement gratté, dispersé.

La dispersion a sa difficulté propre. Après les trois autres défaillances, on voit d’emblée si ce qui subsiste est resté dans son état initial. Après une dispersion, tout est encore là ; on ne sait simplement plus comment le disposer. Chacune de ces défaillances détermine ce qui parvient aux lecteurs futurs, et ce qu’il leur en coûtera pour le lire.

2 Achetés ou exhumés

Ce livre de calcul n’est pas le seul que la terre ait rendu. Mais le statut documentaire de ces trouvailles varie beaucoup. Il faut commencer par éclaircir cette différence.

À la fin de 2007, l’académie Yuelu acheta à Hong Kong un ensemble de lamelles de l’époque Qin : environ deux mille cent pièces numérotées, dont quelque mille trois cents assez complètes. En 2008, un collectionneur lui en donna soixante-seize autres. Cet ensemble comprend le Shu, « Les nombres », un ouvrage de plus de deux cents lamelles, officiellement publié en 2011.

Au début de 2010, l’université de Pékin reçut en don un ensemble de manuscrits Qin rachetés à l’étranger. Après nettoyage, on dénombrait sept cent soixante-deux lamelles de bambou, dont environ trois cents écrites sur les deux faces, mais aussi des lamelles de bois, des tablettes de bois et de bambou, un prisme de bois servant de support d’écriture, un dé et soixante et une baguettes à calculer. Parmi les lamelles des Royaumes combattants entrées à l’université Tsinghua en 2008, vingt et une permettent de reconstituer une table de multiplication décimale assez complexe. Aucun de ces trois ensembles ne provient de fouilles documentées. Tous ont été achetés sur le marché des antiquités. Il faut ici distinguer deux questions : l’authenticité d’un objet et sa provenance.

En examinant le bambou, l’encre, les caractères anciens, l’écriture et les indices internes au texte, et en procédant aux analyses nécessaires, on peut juger de la date et de l’authenticité d’un ensemble. À ce niveau, un travail est possible.

Mais la chaîne qui passe par le pillage et le marché rompt tout à la fois les liens avec le numéro de la tombe, la stratigraphie, les objets associés, les rapports spatiaux d’origine entre les lamelles et leur milieu d’enfouissement. Ce niveau-là ne se récupère pas. La critique des textes ne peut pas refaire l’archéologie.

La bonne manière d’aborder ces ensembles est donc de leur attribuer deux niveaux de confiance. Le bambou et les textes eux-mêmes peuvent faire l’objet d’études sérieuses. En revanche, toute conclusion d’histoire sociale fondée sur le lieu de découverte, l’identité du défunt ou la composition du mobilier funéraire doit être abaissée d’un cran.

L’ensemble de Pékin présente une particularité. Lorsqu’on le dégagea après son arrivée, une part importante formait encore des rouleaux : une dizaine de livres de bambou n’étaient pas entièrement dissociés en lamelles isolées. Cela fournit des renseignements très rares sur la manière d’enrouler et de lier les livres, de poursuivre l’écriture d’une face à l’autre d’un même rouleau ou d’y réunir plusieurs textes. Cet ensemble conserve aussi autre chose que de l’écrit : soixante et une baguettes à calculer, demeurées avec les livres de calcul.

Les scribes du premier épisode utilisaient des tablettes d’argile ; les Grecs du deuxième, des tablettes de cire et des surfaces couvertes de poussière. Leurs surfaces de travail n’ont pas survécu. Ici, les outils sont restés.

Mais il s’agit toujours d’observations faites en atelier, non de relevés sur un chantier archéologique. D’autres ensembles, en revanche, ont bel et bien été sortis de terre lors de fouilles.

En 1975, la tombe 11 de Shuihudi, à Yunmeng, livra mille cent cinquante-cinq lamelles et fragments. Le défunt s’appelait Xi. Sa carrière administrative est bien attestée, et elle l’est sur les lamelles déposées dans sa propre tombe. Un rouleau d’annales mêle les guerres du royaume de Qin aux événements de sa vie. La quarante-cinquième année du roi Zhao, soit en 262 avant notre ère, au douzième mois, le jour jiawu, Xi naît au chant du coq. La première année du roi Zheng de Qin, soit en 246, il a dix-sept ans ; les lamelles portent la mention « Xi est inscrit au service ». Son nom entre dans les registres des hommes mobilisables. La troisième année du roi Zheng, il devient scribe ; il est ensuite secrétaire de l’administration à Anlu, puis à Yan, où il instruit des affaires judiciaires. Entre-temps, il sert trois fois dans l’armée. Avant de tenir les comptes et de traiter les dossiers de l’État, il a d’abord eu son nom dans les registres de l’État. Le Statut des vérifications, présent dans cet ensemble, concerne directement le contrôle des biens et des comptes par les districts et les services centraux, ainsi que le traitement des erreurs de poids et mesures. Et les sanctions frappent les responsables : pour une balance destinée à peser un shi, une erreur d’au moins seize liang coûte une armure au fonctionnaire qui en a la charge ; de huit à seize liang, elle lui coûte un bouclier. Les récipients de mesure tong et dou servant aux grains ont aussi leurs sanctions propres. Ce texte n’est pas un livre de calcul. Il prouve néanmoins que la vérification des comptes et des stocks, comme la normalisation des mesures, n’est pas un décor inventé par les auteurs de tels livres.

En 2002, à Liye, dans le district de Longshan au Hunan, des dizaines de milliers de lamelles et de tablettes Qin furent exhumées d’un ancien puits. L’essentiel était constitué des archives administratives du district de Qianling. On y trouve des documents de multiplication du type « neuf fois neuf », ainsi que de nombreux registres de comptes effectivement tenus. L’intérêt de Liye n’est pas de nous avoir donné un traité de calcul complet de plus. C’est que les documents de calcul se trouvent directement pris dans le contexte des archives d’une administration. D’un côté, un manuel dans une tombe ; de l’autre, des comptes dans un puits. Nous avons les deux bouts.

Cette combinaison n’apparaissait pas dans les épisodes précédents. Dans la Mésopotamie du premier épisode, les tablettes administratives abondent, comme les exercices scolaires, mais leur rapport demande à être déduit. Ici, un livre de calcul déposé dans une tombe et les vrais comptes d’un district sont visibles en deux lieux distincts, chacun avec sa stratigraphie. Il faut aussi dire un mot de ce qui a permis leur conservation.

Le bambou et le bois sont des matières organiques qui pourrissent facilement dans des conditions ordinaires de température, d’humidité et d’oxygénation. Si tant de lamelles des Royaumes combattants, des Qin et des Han se concentrent aujourd’hui dans la région du Jianghan, c’est qu’elles y ont été conservées dans des tombes et des puits clos, gorgés d’eau et privés d’oxygène. Les sites à lamelles de bois du Nord-Ouest, eux, bénéficient d’une sécheresse extrême.

Le biais de conservation est considérable. Zhangjiashan est une tombe, Liye un ancien puits abandonné : ni l’un ni l’autre n’est un échantillon aléatoire des lieux où les anciens écrivaient au quotidien. Les tombes ordinaires en pleine terre du Nord, les bâtiments en surface, les ateliers usuels, les livres de bambou jetés après avoir été lus et relus ont fort bien pu ne laisser presque aucune trace.

La présence de lamelles en Chine ne permet donc pas de conclure qu’une certaine catégorie de livres y était particulièrement abondante. Elle permet seulement ceci : dans certaines tombes humides du Sud, certains puits et certaines régions extrêmement sèches, les supports organiques d’écriture avaient une chance de survivre.

Cette discipline nous a déjà servi plusieurs fois, sous des formes différentes, dans les quatre premiers épisodes. Le premier montrait que les tablettes favorisent les archives administratives ; le troisième, que la Grèce nous a laissé les produits sans les ateliers ; le quatrième, qu’un exemplaire unique a survécu à une succession de hasards. À chaque fois, c’est la même phrase : ce qui subsiste ne constitue pas un échantillon aléatoire des activités passées.

Il faut au passage corriger une phrase de l’épisode précédent. Dire que nous n’avons pas d’objets matériels grecs peut se défendre si l’on entend que les originaux contemporains des auteurs de classiques comme les Éléments ne sont pas conservés. Ce serait excessif si l’on voulait dire que le monde de langue grecque ancienne n’a laissé aucun support matériel d’écriture mathématique, papyrus ou tessons, par exemple.

Ce qui distingue réellement ces trois espaces, ce sont les mécanismes qui ont produit les échantillons conservés. Prendre directement les tablettes d’argile, les lamelles de bambou et les copies tardives pour des compteurs de leurs activités mathématiques respectives, c’est confondre les conditions de conservation avec l’histoire elle-même.

3 La procédure

Le trait commun le plus frappant entre ces livres de calcul exhumés et les Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques, plus tardifs, tient à leur forme. Le schéma type comporte trois moments : « Étant donné ceci, on demande cela » ; « La réponse est… » ; « La procédure dit… ». Les deux premiers présentent un cas précis. Le troisième expose la manière de traiter toute une classe de problèmes.

C’est le troisième moment qui compte. Le shu, la procédure, n’est généralement pas la vérification ligne à ligne de la réponse à cet exercice ; il s’apparente plutôt à un programme général qu’on peut exécuter plusieurs fois. Il indique quelle quantité disposer à quel endroit, quoi multiplier par quoi, quelle quantité prendre comme fa, le diviseur, et comme shi, le dividende, quand diviser, comment réduire les fractions et comment poursuivre. En principe, on change les nombres et l’on peut toujours suivre la procédure. C’est sa différence fondamentale avec la réponse : la réponse vaut pour ce problème ; la procédure, pour toute une classe.

Le livre de Zhangjiashan atteste que cette forme existait déjà vers 186 avant notre ère. Les rubriques qui permettent, par exemple, de trouver la quantité de grain décortiqué à partir du grain brut ne se bornent pas à annoncer un résultat. Elles dégagent une règle générale de conversion, puis y font entrer les nombres particuliers.

Le shu n’est donc pas une manière d’écrire inventée au temps de Liu Hui. Il précède la fixation des Neuf Chapitres dans leur forme conservée. La version courante de cet ouvrage rassemble deux cent quarante-six problèmes en neuf chapitres.

Fangtian, « Mesure des champs », en compte trente-huit, consacrés aux superficies et aux fractions. Sumi, « Grains », en compte quarante-six sur les conversions de céréales et de marchandises. Cuifen, « Répartitions proportionnelles », en compte vingt, pour partager selon le rang et les proportions. Shaoguang, « Diminution des largeurs », en compte vingt-quatre : retrouver une longueur à partir d’une aire ou d’un volume, notamment par extraction de racines. Shanggong, « Estimation des travaux », en compte vingt-huit sur les travaux publics et les volumes de divers solides. Junshu, « Répartition équitable des transports », en compte vingt-huit sur le partage proportionnel des impôts, des transports et des corvées. Yingbuzu, « Excédent et déficit », en compte vingt : remonter à l’inconnue à partir de l’excès et du manque produits par deux hypothèses. Fangcheng, « Dispositions rectangulaires », en compte dix-huit sur des groupes de relations et les opérations sur les quantités positives et négatives. Gougu, « Base et hauteur », en compte vingt-quatre sur les trois côtés du triangle rectangle, la mesure et la similitude.

Ces neuf noms désignent d’abord des catégories techniques. Ils ne sont pas le sommaire de nos disciplines actuelles.

Rendre directement fangcheng par l’algèbre linéaire d’aujourd’hui, ou donner à gougu le nom d’un théorème, peut aider le lecteur moderne à reconnaître des structures mathématiques. Mais cela efface aussi la classification ancienne. Fangcheng désigne d’abord une disposition en colonnes dans le calcul avec des baguettes, pas une équation écrite sur une feuille. Ces problèmes relèvent-ils alors de la pratique administrative ?

À considérer leurs thèmes, cinq chapitres, Fangtian, Sumi, Cuifen, Shanggong et Junshu, regroupent cent soixante des deux cent quarante-six problèmes. Tous sont présentés dans des contextes explicitement pratiques : terres, conversion des marchandises, répartition, travaux, impôts et transports. Les autres chapitres abondent eux aussi en récits de mesures, de transactions, de puits à creuser ou d’ouvrages à construire. Que la mise en scène soit massivement pratique ne fait aucun doute.

Mais ce n’est pas parce qu’un énoncé parle d’un transport de grain qu’il constitue l’archive d’un transport réel.

Bien des nombres ont manifestement été choisis avec soin pour que la procédure donne des résultats bien nets. Une même procédure peut être habillée de plusieurs histoires. Certaines conditions ressemblent davantage à un exercice conçu pour explorer les cas limites d’un algorithme.

Il n’existe donc pas de décompte fiable qui répartirait les deux cent quarante-six problèmes entre tant de cas réels et tant d’exercices de classe. Un chiffre de ce genre ne donnerait qu’une fausse précision.

Ce sont d’autres documents qui attestent la réalité du calcul administratif : les vérifications des comptes et des biens et les normes métrologiques du Statut des vérifications de Shuihudi, les registres et les tables de multiplication de l’administration de Liye. Ils montrent que les bureaux calculaient effectivement. Les Neuf Chapitres montrent, eux, qu’un savoir procédural mis en forme pouvait traiter des problèmes analogues. On peut relier leurs fonctions. On ne peut pas en déduire automatiquement que tel problème des Neuf Chapitres copie un dossier de telle administration de district.

Le premier épisode rencontrait le même problème. Nous avions alors vu qu’en Babylonie ancienne, de nombreux exercices empruntaient la langue de l’administration tout en ne pouvant correspondre à des affaires réelles. Ici, la configuration documentaire est différente, et meilleure : du côté chinois sont conservés à la fois des livres de calcul funéraires et des documents administratifs sur lamelles. On peut regarder côte à côte les procédures d’un manuel et les comptes effectivement tenus. C’est une différence dans la structure des preuves disponibles, pas une hiérarchie entre pratique et théorie. Quant à la rédaction du livre, on ne peut lui assigner une date unique.

Les Neuf Chapitres conservés se sont manifestement constitués par couches. Les institutions, les noms de lieux, les unités et les termes qui y figurent n’appartiennent pas tous à une même époque. Les lettrés des Qing chargés de la Bibliothèque complète des Quatre Magasins, le Siku quanshu, avaient déjà relevé une difficulté célèbre : l’ouvrage parle notamment de Shanglin, alors que le parc de Shanglin renvoie au règne de l’empereur Wu des Han.

Dans sa préface, Liu Hui raconte qu’après les autodafés des Qin, les anciennes procédures étaient lacunaires. Zhang Cang, marquis de Beiping, et Geng Shouchang, tous deux réputés sous les Han pour leur habileté au calcul, auraient chacun retranché et ajouté aux restes des vieux écrits. D’où les écarts entre les rubriques plus tardives et celles du livre ancien, et l’apparition de formulations plus récentes. Les lettrés du Siku quanshu demandent alors : puisque le parc de Shanglin date de l’empereur Wu et que Zhang Cang vivait au début des Han, comment aurait-il pu en parler à l’avance ? Il faut distinguer deux niveaux. Que Zhang Cang et Geng Shouchang aient été des fonctionnaires techniciens des Han liés aux calculs et aux mesures, d’autres sources historiques le confirment.

Qu’ils aient composé, remanié ou complété les Neuf Chapitres que nous lisons aujourd’hui repose surtout sur Liu Hui, au IIIe siècle, racontant des événements vieux de plusieurs centaines d’années. Les sources historiques conservées de l’époque Han ne contiennent pas de témoignage aussi explicite.

Nous pouvons donc dire ceci : vers 263, Liu Hui croyait que Zhang Cang et Geng Shouchang avaient mis en ordre d’anciens matériaux de calcul, ou du moins transmettait une tradition qui l’affirmait. Cette tradition constitue en elle-même une source historique importante. Elle ne suffit pas à faire de leur qualité de compilateurs des Neuf Chapitres un fait établi. Et même si Zhang Cang avait participé à une étape de leur élaboration, cela n’expliquerait pas toutes les couches du texte conservé.

4 Découper encore et encore

De Liu Hui lui-même, nous savons très peu de choses certaines. Sa situation ressemble presque exactement à celle du personnage du troisième épisode. L’œuvre est entière ; l’homme, presque absent.

Un homme nommé Liu Hui a commenté les Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques. La chronologie traditionnelle situe ce travail dans la quatrième année de l’ère Jingyuan des Wei, soit en 263. Ses commentaires et le Classique mathématique de l’île en mer, devenu par la suite un ouvrage autonome, sont nos principales sources pour le connaître. C’est à peu près tout.

Les ouvrages de vulgarisation modernes lui attribuent souvent sans détour des dates de naissance et de mort, parfois même un lieu d’origine précis et une généalogie. Ces indications sont loin d’avoir les fondements biographiques que les histoires officielles donnent, par exemple, aux dates de Zu Chongzhi, 429-500. L’importance exceptionnelle d’une œuvre ne fait pas automatiquement pousser les archives personnelles. La date de 263 est relativement solide : les catalogues anciens et les notices bibliographiques des histoires officielles consignent le commentaire des Neuf Chapitres par Liu Hui dans la quatrième année de Jingyuan des Wei.

Mais il y a encore une couche. Le commentaire transmis contient des mentions comme celle d’un récipient de mesure hu en bronze conservé dans l’arsenal des Jin, alors qu’en 263 on est encore sous les Wei. Les lettrés du Siku quanshu avaient déjà relevé le problème : s’il a commenté le livre la quatrième année de Jingyuan, ces passages impliquent soit qu’il l’a repris après l’avènement des Jin, soit que des commentaires plus tardifs se sont mêlés au texte.

« Il existait un commentaire de Liu Hui la quatrième année de Jingyuan » est donc assez sûr. « Chaque mot du commentaire conservé fut écrit en 263 » ne l’est pas. Et ce qu’il y a de plus précieux dans sa préface, ce n’est pas la grande histoire des civilisations. C’est la position que prend l’auteur.

Elle diffère beaucoup de celles rencontrées auparavant. Dans ses préfaces, Archimède règle des questions de correspondance et de priorité : qui est mort, ce qui a déjà été envoyé. Liu Hui explique le rapport qu’il entretient avec un livre ancien.

Il raconte avoir étudié les Neuf Chapitres dès l’enfance, puis les avoir lus et relus à l’âge adulte. Face aux anciennes procédures, son travail consiste à recueillir ce qu’il a compris et à le commenter. La préface contient aussi une métaphore importante : les problèmes se dispersent comme des branches, mais ils ont une racine et un tronc communs ; en tenant un bout, on peut comprendre les autres par rapprochement entre cas de même nature. En langage courant : le livre possède déjà les procédures ; je veux mettre au jour ce qui les fonde et relier les principes qui régissent les cas semblables.

Remarquons qu’il ne dit ni que le livre est faux ni qu’il veut en écrire un autre. Il se donne le rôle de celui qui explique.

Or c’est précisément ce rôle qui fait surgir toutes les questions de la suite. S’il se contentait d’exécuter les procédures, nous n’aurions pas de problème de critère à discuter. S’il écrivait un autre livre, ce serait une autre affaire. Il fait une troisième chose : à côté du texte ancien, il explique, point par point, pourquoi ce texte a raison.

C’est bien ce que montrent ses commentaires. Souvent, obtenir la réponse en suivant la procédure ne lui suffit pas. Il veut savoir pourquoi multiplier ainsi, pourquoi diviser ainsi, pourquoi le découpage et le réassemblage conservent la quantité. Le passage le plus célèbre figure dans le premier chapitre, Fangtian, au commentaire de la procédure des champs circulaires.

Il part d’un hexagone régulier inscrit dans le cercle. À l’aide de triangles rectangles formés à partir des rayons et des cordes, il double successivement le nombre de côtés : douze, vingt-quatre, quarante-huit, quatre-vingt-seize, puis cent quatre-vingt-douze. À chaque doublement, le polygone épouse davantage le cercle ; le petit reste entre eux, que le calcul n’a pas encore pris en compte, diminue. Il cherche aussi à montrer comment estimer cette aire restante, afin que l’aire obtenue pour le cercle ne dépende pas d’un simple coup d’œil.

Cette dernière étape mérite qu’on s’y arrête. Il ne découpe pas jusqu’à ne plus voir de différence pour déclarer ensuite l’égalité. Il veut estimer l’aire laissée de côté. C’est au cours de ce travail qu’il écrit : « Plus on découpe finement, moins on perd. Que l’on découpe encore et encore, jusqu’à ne plus pouvoir découper : alors la figure fait corps avec le cercle et il ne se perd plus rien. »

On détache souvent cette phrase de son contexte pour en faire une maxime philosophique. Ce n’en est pas une. Elle appartient à une argumentation calculatoire faite de constructions, de diminution de l’erreur et d’estimation du reste. Avant comme après elle, il y a du travail concret à accomplir.

Les historiens modernes parlent souvent, à son propos, d’une idée de limite. L’expression aide à comprendre. Mais la traduire directement dans les définitions formalisées du XIXe siècle reste une reformulation après coup.

La double réduction à l’absurde de l’épisode précédent ne rendait jamais infini le nombre de côtés : elle exigeait seulement qu’il existe une étape finie permettant de réduire suffisamment le reste. Ici, l’écriture diffère. La phrase de Liu Hui conduit le processus jusqu’au bout : découper jusqu’à ne plus pouvoir le faire, pour ne former qu’un corps avec le cercle. Quelle distance sépare ces deux manières de dire ? C’est une vraie question, qu’une traduction ne suffit pas à résoudre.

Pour les résultats numériques, il faut distinguer deux niveaux. Sa séquence principale de calcul atteint cent quatre-vingt-douze côtés et retient 157/50 comme approximation commode du rapport de la circonférence au diamètre. Le commentaire transmis donne aussi une valeur plus précise et des calculs liés à des nombres de côtés plus élevés.

Or ce dernier passage est justement celui où l’histoire du texte interdit la paresse. Il mentionne des objets de l’arsenal des Jin, alors qu’en 263 les Wei régnaient encore. Les éditeurs des Qing en ont conclu que des ajouts avaient pu être faits au commentaire après l’avènement des Jin. Les études modernes ne traitent pas toutes cette partie de la même manière : texte tardif de Liu Hui lui-même, ou couche ajoutée par d’autres ?

Que Liu Hui ait personnellement poussé les calculs jusqu’à un très grand nombre de côtés en 263 et rédigé alors tous les détails du texte actuel n’est donc pas un fait incontesté.

5 Comment oser taire le doute

Le découpage du cercle n’est pas le seul endroit où il donne des raisons. Le chapitre Shanggong expose des procédures pour calculer le volume de différents solides employés dans les travaux de construction. Sa question est alors : pourquoi telle formule demande-t-elle de diviser par deux, par trois, par six ?

Il ne pose pas un nouvel ensemble d’axiomes. Il découpe les solides en éléments de base qu’on peut comparer. Le qiandu peut se représenter, en gros, comme un coin en forme de prisme droit à base triangulaire ; le yangma est un solide pyramidal à base rectangulaire, coupé obliquement ; le bienao est un petit solide de type tétraédrique.

Il découpe ces solides pour les ajuster les uns aux autres et se sert de relations de volume connues pour contraindre les volumes inconnus. Lorsqu’il justifie la proportion entre yangma et bienao, les petits solides qui subsistent sont à nouveau découpés de la même manière.

Le point décisif est apparenté au découpage du cercle. L’écart qui concerne un grand solide se transforme en écarts plus petits, de structure semblable. Si l’on peut poursuivre indéfiniment cette subdivision, le reste ne peut plus faire obstacle à la proportion de volumes recherchée.

Ces raisonnements importent parce qu’ils montrent que Liu Hui ne se met pas soudain à donner des raisons au seul détour d’un calcul de π. Son travail de commentaire obéit à un schéma récurrent : décomposer, recomposer, comparer des sections à même hauteur, faire diminuer le reste, pour montrer pourquoi la procédure ancienne est nécessairement correcte.

Il faut toutefois ajouter une réserve.

Le commentaire de Liu Hui mentionne régulièrement un « solide rouge », un « solide bleu-vert », un « solide jaune » : ces noms renvoient aux différents morceaux représentés dans les figures. Passée l’époque Song, les dessins anciens avaient disparu. Les lettrés des Qing ne pouvaient que remonter à l’intention du commentaire et redessiner à partir des mots. Le catalogue du Siku quanshu le dit explicitement en quatre caractères chinois : « les figures n’existent plus ».

Une partie des beaux dessins de solides que nous voyons aujourd’hui dans les livres est donc une reconstitution tardive à partir du texte, non une figure du IIIe siècle. Un raisonnement dépend fortement d’un dessin, et ce dessin a été ajouté par la postérité : impossible de sauter cette étape lorsqu’on discute la nature de son raisonnement. Vient ensuite le passage le plus important de cet épisode. La procédure du chapitre Shanggong pour le volume de la sphère pose problème. Liu Hui ne cherche pas à sauver le texte à tout prix.

Il construit un objet nommé mouhe fanggai, que l’on peut comprendre comme la partie commune de deux solides perpendiculaires, de structure cylindrique en section. Il constate que les sections de la sphère et de ce fanggai présentent, à des hauteurs correspondantes, un rapport constant. Trouver le volume du fanggai résoudrait le problème de la sphère.

Mais ce volume, il n’arrive pas à le trouver.

Il n’écrit donc pas dans son commentaire : « C’est évident. » Le texte transmis s’achève plutôt sur cette idée : le carré et le cercle s’entrecroisent, les épaisseurs varient, les rapports sont complexes. Forcer une explication à partir de la seule apparence risquerait de faire perdre la juste raison. Mieux vaut laisser la question ouverte. « Comment oserais-je ne pas réserver ce point douteux, en attendant quelqu’un qui puisse l’expliquer ? »

Ce n’est pas un modeste « je n’ai pas eu le temps de calculer ». Le ton est plutôt : puisque je n’ai pas encore de raison que je juge assez fondée, comment pourrais-je ne pas signaler expressément cette difficulté et attendre quelqu’un qui sache en rendre compte ? L’importance du passage ne tient pas au charme romantique de l’échec. Il livre un critère négatif d’une rare netteté. Un critère négatif ne dit pas ce qui compte comme mathématiques. Il dit ce qui ne suffit pas.

C’est, depuis le début de cette série, la déclaration la plus directe d’un auteur sur son propre travail. Archimède nous avait dit que la méthode mécanique ne constituait pas une démonstration, mais il avait la réponse en main. Ici, même la réponse manque, et Liu Hui l’inscrit dans le texte.

Avoir une réponse ne suffit pas. Avoir une figure qui semble convaincante ne suffit pas non plus. Si l’on ne peut encore donner une juste raison dont on soit satisfait, il faut s’arrêter.

L’homme du quatrième épisode s’était lui aussi arrêté quelque part, mais autrement. Archimède s’arrête en disant : cette méthode me donne la réponse, mais elle ne constitue pas une démonstration, donc je vais démontrer à nouveau. Liu Hui s’arrête en disant : je n’ai même pas encore la méthode, donc je n’écris pas la solution. L’un a trouvé et refuse de valider ; l’autre n’a pas trouvé et le reconnaît. Ces deux arrêts ont un point commun : ce sont les intéressés qui les ont consignés, et non la postérité qui les a décrétés pour eux.

Dans cette série, les documents de ce genre sont très rares. Aucun dans le premier épisode, aucun dans le deuxième, aucun dans le troisième. Ce n’est qu’aux quatrième et cinquième qu’ils apparaissent deux fois de suite. La lacune fut ensuite comblée par d’autres.

Les dates de Zu Chongzhi sont bien mieux connues que celles de Liu Hui : les histoires officielles donnent 429-500. Il travaillait sur les calendriers, l’astronomie et les mathématiques. Son Zhuishu, « Procédures rassemblées », entra par la suite dans l’enseignement officiel du calcul, mais l’ouvrage original a disparu. Pour le volume de la sphère, nous dépendons surtout de matériaux de la famille Zu conservés par Li Chunfeng et ses collaborateurs dans les commentaires des Tang. La formule centrale dit : « Dès lors que les aires ont la même disposition, les volumes ne peuvent différer. » Mi désigne ici l’aire des sections correspondantes, ji le volume. Autrement dit, si deux solides ont toujours la même aire de section à une même hauteur, leurs volumes totaux sont égaux.

Zu Geng, fils de Zu Chongzhi, utilisa cette comparaison des sections niveau par niveau pour ramener le fanggai laissé par Liu Hui à des solides dont on pouvait calculer le volume. Il obtint ainsi la relation correcte pour le volume de la sphère.

Le résultat de Zu Chongzhi sur π est attesté plus directement dans les histoires officielles. Elles disent qu’il développa une méthode plus précise, calcula la circonférence à une échelle immense et donna une borne par excès et une borne par défaut. En écriture décimale moderne, ce sont 3,1415926 et 3,1415927, séparées par 0,0000001. Elles consignent aussi deux rapports : le « rapport précis », avec un diamètre de cent treize et une circonférence de trois cent cinquante-cinq, et le « rapport approché », avec un diamètre de sept et une circonférence de vingt-deux. Ces résultats reposent, en tant que tels, sur des témoignages transmis très solides.

Mais la méthode n’est plus là. Les histoires disent seulement qu’il développa une méthode plus précise ; elles ne reproduisent pas les étapes du calcul. Et le Zhuishu est perdu.

Le récit moderne courant selon lequel il aurait poursuivi le découpage du cercle de Liu Hui jusqu’à des polygones de plus de dix mille ou de plus de vingt mille côtés doit donc être présenté comme une hypothèse de reconstitution, et non comme ce que dit un texte original conservé. C’est fort plausible. Mais un résultat ne permet pas de remonter à un algorithme unique. Le résultat peut être tenu pour certain ; pour la méthode, il faut laisser le trou ouvert.

6 Trente étudiants

Le commentaire de Liu Hui n’est pas le dernier mot.

Sous l’empereur Gaozong des Tang, Li Chunfeng et ses collaborateurs reçurent l’ordre impérial d’ajouter des commentaires aux Neuf Chapitres et à d’autres classiques mathématiques. Trois couches se formèrent : le texte canonique, le commentaire de Liu Hui, les commentaires des Tang. Lire aujourd’hui les Neuf Chapitres, c’est souvent entendre sur une même page les voix de trois époques.

La situation de Li Chunfeng mérite elle aussi un regard. Son travail sur les textes mathématiques se mêlait à l’astronomie, aux calendriers, à la compilation des histoires officielles et aux affaires techniques de la cour. Ce n’était pas un professeur d’université au sens moderne.

Les Tang firent autre chose encore. Le groupe de classiques que Li Chunfeng et ses collègues avaient mis en ordre et commentés sur ordre impérial fut par la suite désigné collectivement comme les Dix Classiques mathématiques : le Zhoubi suanjing, le Jiuzhang suanshu ou Neuf Chapitres, le Haidao suanjing ou Classique de l’île en mer, le Sunzi suanjing, le Zhang Qiujian suanjing, le Wucao suanjing ou Classique des cinq bureaux, le Xiahou Yang suanjing, le Wujing suanshu ou Procédures mathématiques des cinq classiques, le Jigu suanjing et le Zhuishu. Ces livres entrèrent dans le système officiel d’enseignement et d’examens mathématiques.

Le Guozijian, l’administration des écoles impériales, disposait d’une école spécialisée dans le calcul. Les textes institutionnels transmis lui attribuent trente étudiants. Ils prévoient trois années d’étude pour l’ensemble Neuf Chapitres et Île en mer ; une pour le Sunzi et les Cinq Bureaux réunis ; une pour le Zhang Qiujian et le Xiahou Yang ; trois pour le Jigu ; et même quatre pour le Zhuishu.

Un piège numérique nous attend ici. « Trente étudiants en calcul » est l’effectif statutaire de l’école, pas le nombre d’admis chaque année au concours de mingsuan. Les institutions ont varié selon les périodes, et les ouvrages modernes confondent souvent places d’élèves, candidats et quotas d’admission. Le mingsuan, spécialité technique consacrée au calcul, figurait parmi les concours réguliers des Tang, à côté du jinshi et des concours de connaissance des classiques, du droit et de l’écriture, mingjing, mingfa et mingzi. Mais leur prestige social, les carrières qu’ils ouvraient et leur ampleur n’étaient pas les mêmes.

« À côté » appelle une précaution. Le voisinage était institutionnel ; le poids ne l’était pas. Les débouchés du calcul se trouvaient surtout dans les fonctions techniques, les services du calendrier et les échelons moyens ou inférieurs de l’administration ordinaire. Il ne se forma pas de corps autonome de professeurs de mathématiques. Le titre même du Classique mathématique des cinq bureaux continue de relier le calcul aux besoins des différents services de l’État. La survie ultérieure du livre, elle, suit une autre ligne.

Vers 1084, sous les Song du Nord, une entreprise officielle fit graver et imprimer les Dix Classiques mathématiques. Les Song du Sud connurent d’autres éditions et des copies manuscrites. Durant l’ère Qingyuan, Bao Huanzhi obtint un exemplaire des Neuf Chapitres auprès de la famille de Yang Zhongfu et le fit copier pour les collections impériales du Mige.

Le texte ne se conserva pourtant pas de façon stable. Sous les Ming, les exemplaires anciens complets des Neuf Chapitres étaient devenus presque introuvables. Heureusement, la Grande Encyclopédie de l’ère Yongle avait recueilli de nombreux passages par catégories. Sous les Qing, lors de la compilation du Siku quanshu sous Qianlong, les travaux de rassemblement et de critique des classiques mathématiques, dont Dai Zhen fut une figure centrale, reconstituèrent et corrigèrent ces textes perdus à partir de l’Encyclopédie de Yongle et d’autres matériaux. Les éditions courantes modernes héritent largement de cette reconstruction des Qing.

Les Neuf Chapitres que nous lisons aujourd’hui ne sont donc pas un livre passé de main en main depuis les Han.

On peut rapprocher ce cas du palimpseste de l’épisode précédent. Là, un objet a survécu par une suite d’accidents matériels, et son texte reste pour l’essentiel tel que le copiste du Xe siècle l’avait écrit. Ici, aucun objet de ce genre ; mais, pendant plus d’un millénaire, le texte a été complété, commenté, imprimé, dispersé, puis récupéré dans des encyclopédies. Dans un cas, l’objet demeure. Dans l’autre, le texte vit.

L’objet textuel que nous avons devant nous réunit le texte canonique des Han, les commentaires de Liu Hui au IIIe siècle, ceux des Tang, les lignées d’éditions Song, les vestiges recueillis dans une encyclopédie Ming et les travaux de reconstitution et d’établissement critique des Qing. Il reste encore un objet plus proche que le livre de la scène du calcul, et plus facile à négliger.

Les baguettes à calculer sont de petits bâtons minces, faits de bambou, de bois ou de matériaux semblables. L’ensemble de manuscrits Qin de l’université de Pékin en conserve soixante et un exemplaires. Leur longueur va généralement de quelques centimètres à plus de dix.

Pour calculer, on dispose les baguettes sur une surface plane ; leur position indique les unités, les dizaines, les centaines. On alterne souvent les formes verticales et horizontales pour ne pas confondre deux rangs voisins. Le chapitre Fangcheng se prête particulièrement bien à la juxtaposition de plusieurs colonnes de quantités sur un plan, suivie d’éliminations selon la procédure. L’écriture matricielle moderne peut en reproduire exactement les résultats, mais elle laisse de côté les gestes réellement accomplis par les anciens. C’est une lacune documentaire importante : l’algorithme écrit n’est pas l’enregistrement complet de la séance de calcul.

Quand le livre dit de « disposer trois gerbes de céréale de qualité supérieure », le calculateur peut être en train de déplacer, permuter et éliminer des baguettes des dizaines de fois sur sa planche. Une fois le travail terminé, le livre ne dessinera pas chaque état successif de leur disposition. Un ancien livre de calcul ressemble un peu à un recueil de parties d’échecs : des règles et des positions typiques, pas la vidéo de chaque calcul.

Les commentaires transmis attestent une tradition distinguant par la couleur les baguettes positives, rouges, et les négatives, noires. Mais les vestiges matériels ne suffisent pas à établir que, sous les Han, chaque opération sur des quantités positives et négatives mobilisait systématiquement deux jeux rouge et noir. La prescription écrite et l’état des objets exhumés sont deux sortes de preuves.

Le détail peut sembler minuscule. Il rejoint pourtant exactement le sujet de cet épisode. Entre ce qu’écrit le livre et ce qui s’est effectivement passé, il reste toujours une distance. Et souvent, seule la moitié écrite nous est parvenue.

7 Est-ce une démonstration

Nous pouvons maintenant poser la question. Les raisonnements de Liu Hui sont-ils des démonstrations ? Un simple oui ou non ne suffit pas. On distingue au moins quatre positions dans la recherche.

La première pourrait s’appeler une histoire élargie de la démonstration. Si cette histoire étudie les moyens par lesquels des communautés mathématiques donnent des raisons suffisantes pour garantir la validité d’un algorithme, nombre de commentaires de Liu Hui relèvent manifestement de l’activité démonstrative. Ce courant refuse expressément de décider d’avance que seules les déductions de propositions à la grecque comptent comme démonstrations. Il demande d’y inclure aussi les justifications de la validité des algorithmes dans les traditions chinoises, indiennes, mésopotamiennes et autres.

La deuxième position reconnaît une équivalence de structure, mais une différence de forme. Elle admet que Liu Hui fournit de véritables raisonnements sur les triangles rectangles, les aires, les volumes et d’autres sujets, tout en soulignant que l’organisation du texte, la langue et la présentation des inférences dans les Neuf Chapitres et leur commentaire diffèrent de la structure en propositions et démonstrations des Éléments. Comparer ne consiste pas à récrire ses phrases à la manière d’Euclide pour annoncer qu’au fond tout est pareil. Il s’agit de comprendre comment chaque tradition rend ses énoncés dignes de confiance.

La troisième position est celle de la réserve philologique. Elle rappelle combien il est facile, pour un mathématicien moderne, de traduire une ancienne procédure en algèbre actuelle, d’ajouter à cette expression une jolie démonstration, puis d’attribuer rétroactivement cette reconstitution aux anciens eux-mêmes. Il ne s’agit pas simplement de décréter que la Chine n’avait pas de démonstrations. L’avertissement est autre : la démonstration de l’historien ne peut pas remplacer celle des anciens.

La quatrième position conserve un critère plus traditionnel et plus étroit. Si « démonstration » désigne exclusivement une suite déductive de propositions partant de définitions, de postulats et d’axiomes explicitement posés, ainsi que de propositions déjà établies, la plupart des raisonnements de Liu Hui n’appartiennent évidemment pas à ce genre de texte.

Mais même en acceptant cet usage, on peut seulement conclure : « Ce n’est pas ce type de démonstration. » On ne peut pas conclure : « Il n’y a pas d’argument établissant la validité. »

Le vrai désaccord n’est donc pas de savoir s’il donnait des raisons. Les documents sont trop explicites sur ce point. Il porte sur les pratiques historiques que doit couvrir le mot « démonstration », et sur le risque d’effacer leurs différences en les plaçant sous ce mot. Derrière ces quatre positions se trouvent les choix de méthode de plusieurs générations. Pour le lecteur, l’essentiel n’est pas de ranger les chercheurs dans des camps, mais d’entendre ce que chacun invite à ne pas oublier.

L’avertissement le plus utile concerne la traduction. Prenez une ancienne procédure, traduisez-la en algèbre moderne, attachez une belle démonstration à la formule, puis reportez cette reconstitution dans le passé comme si elle était le raisonnement originel. Trois gestes, et une démonstration que personne n’avait jamais écrite apparaît dans le livre. Cela ne veut pas dire qu’il n’existait pas de démonstrations en Chine. Cela veut dire que ce que les lecteurs tardifs reconstruisent ne saurait tenir lieu de ce que les anciens ont effectivement écrit.

Un autre avertissement concerne la comparaison elle-même. On peut comparer en dressant une liste de résultats pour voir qui a obtenu quoi le premier. On peut aussi poser d’autres questions : en Grèce et en Chine anciennes, que fallait-il faire pour faire accepter une affirmation ? À qui s’adressait-on ? Qu’est-ce qui la rendait crédible ? Cette seconde manière d’interroger n’oblige pas à décider d’abord quelle civilisation s’approchait le plus de la science européenne ultérieure.

Les découvertes archéologiques apportent une autre mise en garde. Dès lors que le livre de Zhangjiashan a pu être lu, les Neuf Chapitres ne peuvent plus passer pour l’unique source de tous les algorithmes anciens. Il faut se demander comment le calcul, ensemble de pratiques et de textes, s’est réellement formé et transmis.

Pour le texte lui-même, l’édition la plus complète dont nous disposions aujourd’hui est le fruit du travail commun de Guo Shuchun et de la chercheuse française Karine Chemla. Elle traite ensemble le texte principal, les commentaires de Liu Hui, ceux des Tang, le vocabulaire et la reconstitution des figures. L’une des questions centrales de leurs recherches est précisément de savoir comment un algorithme devient l’objet d’une démonstration. Une part de la discussion est bel et bien affaire de définition.

Si l’on définit d’abord la démonstration comme une déduction continue à partir de définitions, d’axiomes, de postulats et de propositions antérieures explicitement formulés, le texte principal des Neuf Chapitres contient évidemment peu de démonstrations, et Liu Hui adopte rarement cette architecture d’ensemble.

Si l’on appelle démonstration le fait de donner, à propos d’une affirmation mathématique générale ou d’un algorithme, des raisons publiques permettant à la communauté concernée d’en accepter la validité nécessaire, alors le découpage du cercle, les décompositions et recompositions d’aires, les yangma et bienao, les explications de l’extraction des racines entrent tout naturellement dans l’histoire de la démonstration.

Mais le débat ne s’arrête pas au dictionnaire.

Même si tout le monde adopte la définition large, il reste à demander : à quoi ressemblaient les figures originales de Liu Hui ? Quel rôle joue, dans son raisonnement, le moment où l’on « ne peut plus découper » ? La subdivision récursive suppose-t-elle une hypothèse de complétude qui n’est pas formulée ? Quelles raisons ses lecteurs jugeaient-ils suffisantes ? Ce sont de vraies questions historiques, pas des questions de dictionnaire. Et l’une d’elles ne peut même plus recevoir de réponse nette : les dessins originaux ne sont plus là.

Le vocabulaire détermine si on le met dans la boîte « démonstration ». L’analyse des documents détermine ce qu’il y a réellement dans cette boîte.

8 Retourner la question

Il faut maintenant retourner la question. Et la retourner pour de bon.

Cet épisode s’intitule Un autre critère. Mais le cadre ainsi posé tient-il lui-même debout ?

Première objection : l’opposition entre tradition algorithmique et tradition déductive pourrait bien être une fabrication de l’historiographie moderne. L’objection est forte.

Liu Hui ne donne manifestement pas que des algorithmes : il donne aussi des raisonnements. Et les mathématiques grecques ne se réduisent pas aux systèmes axiomatiques. Elles comprennent des calculs numériques, des algorithmes, des calculs astronomiques et des mesures pratiques. Il suffit de choisir, dans des millénaires de documents, le classique le plus conforme au stéréotype de chaque côté pour fabriquer deux traditions pures.

Nous ne pouvons donc avancer ici qu’une proposition locale : la tradition textuelle formée par les Neuf Chapitres et le commentaire de Liu Hui s’organise très largement autour des procédures. Rien n’autorise à l’élever au rang d’une thèse selon laquelle l’esprit d’une civilisation serait algorithmique.

Deuxième objection : l’opposition entre démonstration et algorithme a été exagérée.

Liu Hui en fournit précisément la preuve. Ce qu’il justifie, c’est souvent l’algorithme lui-même. La démonstration n’est pas une activité extérieure à l’algorithme ; elle répond à la question de savoir pourquoi celui-ci vaut pour tous les problèmes de cette sorte.

La troisième objection est la plus importante. Les mathématiques comme objet unifié, traversant les civilisations et les époques, sont elles-mêmes une catégorie d’analyse de l’historien. Les gens des Royaumes combattants, des Qin et des Han parlaient de nombres, de calcul, de procédures, des « neuf sortes de calcul ». Ils ne discutaient pas de la nature des mathématiques au sens où nous l’entendons aujourd’hui.

Dire que « le critère n’était pas encore établi » est donc une manière de parler rétrospective. Ce n’est pas ce que les contemporains de Liu Hui se disaient consciemment : nous n’aurions pas encore décidé de ce qui compte comme mathématiques. L’oublier, c’est projeter sur les anciens un problème moderne de philosophie des disciplines.

La quatrième objection vise les Neuf Chapitres eux-mêmes. Les documents exhumés pourraient faire s’effondrer tout récit construit autour d’eux.

Les matériaux de Zhangjiashan, de Yuelu et de Pékin montrent que les premiers savoirs de calcul ont pu exister sous la forme de nombreuses procédures courtes, d’extraits, de recueils, de tables, de calculs administratifs et d’opérations transmises oralement. Que les Neuf Chapitres soient devenus plus tard un canon ne signifie pas que tout le calcul des Royaumes combattants, des Qin et des Han marchait vers eux.

Il était facile, autrefois, d’y voir un édifice complet apparu d’un coup. Nous voyons désormais tout ce qui existait avant l’édifice : quantité d’éléments de construction, différentes techniques et des pièces isolées.

Ce changement vient des découvertes archéologiques, et il nous fait redescendre. Il ne rend pas les Neuf Chapitres plus anciens ou plus grands. D’un point de départ, il fait une coupe prise à un moment d’un processus.

Mais nous n’avons toujours pas le journal du chantier.

La cinquième objection porte sur l’idée même de deux traditions qui tiendraient chacune par elles-mêmes : elle risque encore d’enfermer excessivement la Chine et la Grèce. Les communautés de savoir historiques ne sont pas des boîtes civilisationnelles naturelles. Mieux vaut comparer des époques, des textes, des institutions et des pratiques précis que des caractères de civilisation auxquels on a donné d’avance une existence propre.

La proposition qui résiste à la fin de cet épisode est donc plus modeste que celle de « deux traditions mathématiques », et plus solide aussi.

Les documents chinois des Royaumes combattants aux Wei et aux Jin font apparaître des pratiques mathématiques centrées sur la compilation des procédures, leur exécution et leur justification par le commentaire. On peut décrire pour elles-mêmes leurs manières d’établir la confiance. Les comparer à certaines pratiques grecques de déduction de propositions a un sens. Mais algorithme et déduction ne sont pas les essences éternelles de deux civilisations, encore moins leur classement sur une même piste de course. Il existe plusieurs comparaisons particulièrement dangereuses. Autant les retenir.

Définir une tradition par une autre, plus tardive. Si l’on décrète au départ que les mathématiques sont des textes à la manière des Éléments, les Neuf Chapitres ne pourront être décrits que comme privés d’axiomes. Si l’on décide d’abord que les mathématiques sont des algorithmes généraux, ce seront les Éléments qui paraîtront privés de calculs exécutables. Dans les deux cas, on a seulement déguisé une règle choisie en étalon neutre.

Prendre un genre d’ouvrage pour un genre de civilisation. Les Neuf Chapitres sont un classique du calcul ; les Éléments, une compilation géométrique organisée en propositions. Comparer ces deux livres ne revient pas à comparer deux groupes humains. Autre danger : oublier les couches de commentaires. Opposer le texte nu des Neuf Chapitres aux propositions démontrées des Éléments en excluant Liu Hui, c’est avoir décidé de la réponse avant même de comparer.

Projeter en arrière nos frontières disciplinaires. Algèbre, géométrie, démonstration, algorithme peuvent tous servir de termes d’analyse, à condition de préciser qu’ils sont les outils de traduction des historiens modernes, non les catégories originelles des intéressés.

Revenons aux deux cents et quelques lamelles de bambou dispersées.

Une fois les cordelettes pourries, l’ordre de l’assemblage initial n’est plus directement conservé. Les marques des liens, la position matérielle des pièces et leurs relations locales continuent toutefois de contraindre la reconstitution. Pour rendre le livre à la lecture, il faut d’abord décider quelle lamelle vient avant quelle autre. Et cette décision mobilise elle-même ce que les modernes comprennent du déroulement attendu de l’algorithme. Les éditeurs en sont naturellement conscients et exploitent tous les indices physiques pour la contraindre. Mais le cercle ne peut pas être entièrement éliminé.

Cela ne signifie pas que l’ordre reconstitué soit peu fiable. Les contraintes matérielles sont fortes, et les indices de nature différente peuvent se confirmer mutuellement. Cela signifie que cet ordre est une conclusion, pas une observation. Pour comprendre un livre de calcul, il faut d’abord supposer que ses calculs tiennent. Le cercle était déjà présent dans la première section, à propos du classement des lamelles. On voit maintenant qu’il ne concerne pas seulement leur classement.

Pour décider si le commentaire de Liu Hui constitue une démonstration, il faut aussi supposer d’abord qu’il accomplit quelque chose que nous pouvons appeler un raisonnement, puis demander si ce qu’il fait suffit. Or cette supposition sur ce qu’il est en train de faire emploie notre compréhension, tardive, de ce qu’est un raisonnement.

Ces hommes ne se demandaient pas eux-mêmes ce qui compte comme mathématiques. Ils parlaient de nombres, de calcul, de procédures. Ceux qui posent cette question viennent après, et ils la posent en se retournant. Cela mérite une pause, car la place de cette série s’y révèle aussi.

Le critère employé ici pour comparer les traditions relève d’une analyse comparative ultérieure. Cela ne veut pas dire que les anciens ne discutaient jamais de leurs propres exigences de raisonnement. Ce critère devient visible rétrospectivement, après qu’une certaine manière de faire a pris le dessus. Avant qu’il apparaisse ainsi, chacun, en différents lieux, calculait ce qu’il avait à calculer et disposait de façons de faire auxquelles il pouvait se fier. Le « comment oserais-je ne pas réserver ce point douteux » de Liu Hui énonce précisément le seuil en deçà duquel il refusait de descendre. Il ne disait pas ce qui compte comme mathématiques. Il disait : sur ce point, je ne suis pas encore convaincu.

On continue de faire des comptes. Mais ce qui compte comme mathématiques, on n’a jamais fini d’en faire le compte.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans cet essai. Les notices de collections, les textes littéraires anciens et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Écrire à tour de rôle : les mains des scribes du Suan shu shu
• Université de Pékin : les lamelles et tablettes Qin de ses collections
• Université Tsinghua : la table de calcul sur bambou des Royaumes combattants
• Karine Chemla : lire et reclasser les procédures des Neuf Chapitres
• Karine Chemla : penser la démonstration mathématique à partir de documents de la Chine ancienne
• Université de St Andrews : Zu Chongzhi