Approcher sans atteindre

1. Un livre démonté

Au début du XIIIe siècle, quelqu’un eut besoin d’un nouveau livre de prières. Qui exactement ? On l’ignore. Quant au monastère auquel il était destiné, nous n’avons que des indices indirects.

Le parchemin coûtait cher. Pour faire un livre, il fallait les peaux de tout un troupeau, et celles des vieux livres pouvaient encore servir. Cet homme réunit donc plusieurs ouvrages que plus personne ne lisait, défit les coutures, sépara les doubles feuillets, puis attaqua l’encre au couteau et à l’eau, grattant et lavant jusqu’à la faire pâlir.

Il n’avait pas besoin de tout effacer. Il suffisait que la nouvelle écriture soit lisible et que l’ancienne s’efface assez pour ne plus gêner. C’était le critère d’un artisan, pas celui d’un destructeur. Parmi ces livres se trouvait un Archimède copié à Constantinople au Xe siècle. Il contenait au moins sept traités.

Le vieux livre était plus grand que le nouveau. L’homme fit donc pivoter les pages d’Archimède de quatre-vingt-dix degrés, puis les plia en deux pour obtenir des doubles feuillets plus petits. Ce qui occupait auparavant une face entière se retrouva à cheval sur deux pages du nouveau volume.

Les phrases d’Archimède couraient désormais de travers, d’une page de prières à la suivante, avant de s’enfoncer dans le pli du dos et d’y disparaître.

La facture de ce geste ne serait présentée que plus de sept cents ans plus tard. Pour lire les lettres enfouies au fond du dos, il faudrait démonter de nouveau tout le livre de prières. Entre-temps, il aurait vieilli de sept siècles supplémentaires. La copie du nouveau volume fut achevée le 13 avril 1229 : une note du copiste, à la fin, en donne la date. Le travail eut peut-être lieu dans la région de Jérusalem.

Rien n’indique un acte de malveillance dirigé contre les mathématiques. Rien ne prouve que cet homme savait ce qu’il effaçait, encore moins qu’il détestait la science grecque. Le parchemin était cher, les vieux livres n’étaient plus lus, il fallait un livre neuf. Voilà tout.

Et Archimède ne fut pas le seul à passer au démontage. On retrouverait dans ce même livre de prières les discours d’un orateur antique, un commentaire ancien d’un ouvrage d’Aristote et les restes d’autres livres. L’homme du XIIIe siècle avait entre les mains le parchemin d’au moins sept volumes. Il en fit un seul. Du point de vue des matériaux, le recyclage était réussi : sept livres que personne ne lisait étaient devenus un livre dont quelqu’un se servait tous les jours.

Mais l’encre n’avait pas entièrement disparu. Le fer qu’elle contenait avait pénétré les fibres du parchemin ; le grattage n’en venait pas à bout. Sept cents ans plus tard, quelqu’un la lut sous les prières.

Nous raconterons cette lecture dans la huitième section. Pour l’instant, retenons une chose : si ces lettres sont toujours là, c’est parce qu’on n’a pas réussi à les effacer, et non parce qu’on les aurait protégées. Or, des sept traités, il en est un dont ce livre est le seul témoin au monde.

Pour un autre, il en conserve l’unique témoin grec. Pour un troisième, il existe bien une tradition latine médiévale, mais le texte grec ne subsiste que dans cet exemplaire.

Dans les trois premiers essais, les conditions matérielles étaient chaque fois différentes. Le premier avait des objets, mais pas de noms. Le deuxième, un nom, mais pas d’objet. Le troisième, un livre que l’on peut vérifier mot à mot, avec un auteur presque entièrement absent.

Cette fois, nous avons les deux. Un livre de parchemin que l’on peut tenir dans ses mains, avec ses moisissures, sa colle et ses plis. Et un homme qui a lui-même mis ses propos par écrit, avec une précision appréciable. Entre l’homme et l’objet, mille cent quatre-vingts ans. Ce nombre reviendra.

2. Sa propre voix

Beaucoup de traités d’Archimède commencent par quelques mots adressés à quelqu’un. Ce ne sont pas de simples billets privés. Ce sont des ouvrages mathématiques qui s’ouvrent sur une salutation et traversent la mer en rouleaux ou en volumes, confiés à des navires marchands, à des ambassades ou à des intermédiaires sûrs.

On peut nommer les destinataires : Conon, Dosithée, Ératosthène. Il y a aussi Gélon, roi de Syracuse, à qui s’adresse L’Arénaire. Dans ce même traité, Archimède indique que son père s’appelait Phidias. Ces noms reposent sur du solide : ils ne lui ont pas été prêtés après coup. C’est lui qui les a écrits.

Les trois premiers essais ne nous avaient rien offert de tel. Les scribes du premier ne signaient pratiquement jamais. Hippase, dans le deuxième, n’existait qu’à travers des récits écrits plusieurs siècles après lui. Pour Euclide, dans le troisième, le premier auteur qui le nomme arrive un siècle trop tard. Ici, enfin, quelqu’un prend lui-même la parole. Et ce qu’il dit ne recoupe en rien ce que les générations suivantes lui feront dire.

À côté de cela, bien des phrases ajoutées sans y penser dans les biographies modernes sont sans fondement. Qu’il ait étudié à Alexandrie dans sa jeunesse : aucun témoignage précoce ne l’atteste. Qu’il ait été parent de Hiéron II : la première affirmation explicite vient de Plutarque, plus de trois cents ans après lui.

Une vie débarrassée des légendes tient à peu près en ceci : un mathématicien de Syracuse, actif au temps de Hiéron II et de Gélon, fils de Phidias, en correspondance avec les milieux mathématiques de la Méditerranée orientale, notamment d’Alexandrie, mort lors de la prise de Syracuse en 212 avant notre ère. Mariage, enfants, maîtres, fortune, habitudes quotidiennes : presque tout reste en blanc.

Mais les préfaces ont gardé autre chose.

Celle du traité Des spirales s’adresse à Dosithée. Archimède rappelle d’abord avoir envoyé des résultats à Conon bien des années auparavant. Depuis, Conon est mort, et depuis longtemps ; personne, semble-t-il, ne s’est sérieusement occupé de ces problèmes. Il tenait Conon en haute estime : à l’en croire, s’il avait vécu plus longtemps, il aurait fort bien pu les résoudre. Puis vient un aveu. Parmi les propositions autrefois envoyées, Archimède en avait délibérément glissé deux qui ne pouvaient pas être vraies.

Ce n’était pas une plaisanterie. Il voulait repérer ceux qui prétendaient avoir tout découvert sans jamais produire de démonstration. S’ils affirmaient avoir démontré jusqu’aux propositions fausses, ils se dénonceraient eux-mêmes. Ce passage vient de lui ; ce n’est pas une anecdote tardive sur son caractère.

Les échanges mathématiques du IIIe siècle avant notre ère soulevaient donc déjà des problèmes de vie savante étonnamment modernes. Les énoncés pouvaient circuler avant les démonstrations. On pouvait se disputer la priorité. Dire « moi aussi, je l’avais trouvé » ne revenait pas à fournir une preuve. Et l’auteur pouvait prendre les devants pour mettre pareille prétention à l’épreuve.

Regardons aussi ce qui le poussait à agir ainsi. Il ne craignait pas qu’on lui vole ses démonstrations : il les avait encore par-devers lui. Il craignait qu’on affirme avoir trouvé indépendamment les mêmes résultats, affirmation qu’il était alors impossible de réfuter. Avec deux faux résultats dans l’envoi, elle devenait réfutable.

N’allons pas pour autant transformer l’épisode en piège tendu dans le cadre d’une évaluation par les pairs. Ce serait plaquer le nom d’une institution moderne sur une pratique ancienne. Le rythme de la correspondance explique lui aussi beaucoup de choses.

Avec des vents favorables, on pouvait gagner Alexandrie depuis l’Italie en dix jours à deux semaines. Le retour contre le vent risquait de prendre un mois, voire davantage. Syracuse se trouvait sur cette route : à la bonne saison, acheminer un rouleau jusqu’à Alexandrie devait donc demander de l’ordre d’une à plusieurs semaines. Il s’agit d’une reconstitution des conditions générales de navigation, pas de durées mesurées pour ses propres envois.

Aucun bordereau d’expédition d’Archimède ne nous est parvenu. Nous connaissons seulement les conditions habituelles de la navigation méditerranéenne à cette époque. Elles suffisent pourtant à comprendre comment un seul aller-retour pouvait aisément prendre plusieurs mois : il fallait envoyer un énoncé sans sa preuve, laisser au destinataire le temps d’y travailler, puis lui faire parvenir la démonstration. L’hiver, les vents, la guerre et les relais allongeaient encore le délai. Si l’envoi des propositions avant les preuves a fini par s’inscrire dans les textes mathématiques eux-mêmes, la distance physique y était pour quelque chose.

C’est aussi pourquoi ses préfaces sont si longues. Le correspondant n’habite pas à côté ; une lettre met des semaines à arriver. Chaque envoi doit donc faire le point sur le précédent : qui est mort, ce qui a déjà été expédié, ce qui reste à démontrer, pourquoi on n’envoie cela que maintenant. Ces mises au point sont devenues notre seul témoignage de première main sur sa vie savante. L’Archimède de ces préfaces n’est pas le génie des récits ultérieurs, absorbé au point d’oublier de manger.

C’est un homme qui attache un prix considérable aux preuves, à l’ordre de leur diffusion, à l’attribution des résultats, aux capacités de ses destinataires et à la réputation savante.

3. Trois légendes

L’autre moitié de son portrait vient entièrement des autres, et de beaucoup plus tard. Commençons par le bain. Le plus ancien récit conservé figure dans les Dix livres d’architecture de Vitruve, rédigés vers les années 30 à 20 avant notre ère, soit quelque cent quatre-vingts à cent quatre-vingt-dix ans après 212.

L’histoire est précise. Hiéron a fait réaliser une couronne d’or à offrir aux dieux, mais il soupçonne l’artisan d’y avoir mêlé de l’argent. Impossible de détruire la couronne : à Archimède de trouver une solution. En entrant dans son bain, celui-ci voit l’eau déborder à mesure que son corps s’y enfonce. L’idée lui vient soudain d’utiliser le volume d’eau déplacé. Fou de joie, il court chez lui tout nu en criant qu’il a trouvé. Le récit poursuit : il prend de l’or pur et de l’argent pur de même poids, les plonge successivement dans des récipients pleins d’eau, compare les volumes débordés, puis les confronte à celui de la couronne. Cette histoire n’a pas le même point faible que les précédentes.

Chez Hérodote, dans le premier essai, la faille était ce « je pense » qu’il avait pris soin de préciser. Pour Hippase, dans le deuxième, c’étaient les contradictions entre les versions. Pour la formule « pas de voie royale » du troisième, c’était le fait qu’on pouvait changer de personnage principal.

Nous avons ici un quatrième cas. Il est très douteux que l’opération décrite ait pu atteindre la précision nécessaire.

Dès 1586, dans La Petite Balance, Galilée jugeait trop grossier le procédé de Vitruve consistant à recueillir l’eau débordée. Au XXe siècle, des historiens des mathématiques ont insisté sur le même problème. La différence de densité entre l’or et l’argent produit bien, en théorie, une différence de volume. Mais si la proportion d’argent reste limitée, il faut souvent mesurer avec fiabilité une toute petite quantité d’eau. Le mouillage du récipient, le ménisque, l’adhérence, les éclaboussures, jusqu’à la difficulté de remplir exactement à ras bord : chacune de ces sources d’erreur peut égaler la différence recherchée.

Le débat ne porte pas sur la validité du principe du déplacement d’eau. Le principe est juste, et il est bien d’Archimède. La question est de savoir si le protocole décrit par Vitruve pouvait atteindre la précision exigée pour expertiser une pièce d’orfèvrerie royale.

C’est ce qui rend le récit plus intéressant qu’une légende ordinaire. Il ne sort pas de rien. Un principe vrai a été logé dans une opération dont la précision n’est pas établie. L’histoire donne la bonne conclusion. Elle ne décrit pas forcément la manière d’y parvenir avec la même sûreté.

Une solution plus crédible serait la pesée hydrostatique : comparer le poids apparent d’un même objet dans l’air et dans l’eau, sans avoir à recueillir le peu d’eau qui déborde. Galilée en a donné une présentation systématique. Mais ce n’est pas un témoignage du IIIe siècle avant notre ère ; on ne peut pas remonter le temps pour affirmer qu’Archimède a effectivement procédé ainsi. Les expériences modernes peuvent dire si une opération est physiquement réalisable, pas si elle a eu lieu. Passons à sa mort. Ici, il vaut la peine de disposer plusieurs textes côte à côte : c’est entre eux que ses prétendues dernières paroles prennent forme.

Tite-Live écrit vers la fin du Ier siècle avant notre ère, environ deux cents ans après les faits. Son récit tient en quelques lignes. Dans le désordre de la prise de la ville, Archimède, absorbé par des figures tracées dans la poussière, est tué par un soldat qui ne le reconnaît pas. Marcellus en éprouve du chagrin, fait organiser les funérailles et assure protection et faveur à ses proches. Aucun dialogue. Le meurtre est commis par méprise.

Valère Maxime écrit vers l’an 30 de notre ère, quelque deux cent quarante ans après l’événement. Dans sa version, Archimède protège son dessin dans la poussière et prononce une phrase dont le sens essentiel, en latin, est : je t’en prie, ne dérange pas ceci. Puis on le tue.

La célèbre formule « Ne dérange pas mes cercles » ne figure pas chez Tite-Live, ni sous cette forme chez Plutarque. Elle résulte d’une condensation ultérieure de la scène en maxime. Aucun texte antique conservé ne la donne mot pour mot comme ses dernières paroles.

Plutarque écrit autour de l’an 100, environ trois cent dix ans après les faits. Ce qu’il nous apporte de plus précieux, c’est précisément qu’il ne prétend pas connaître une version unique. Il en raconte trois à la suite.

Première version : un soldat lui ordonne de se rendre auprès de Marcellus. Archimède insiste pour achever d’abord son problème et en donner la démonstration. Le soldat, furieux, le transperce. Le motif est le refus d’obéir.

Deuxième version : un soldat arrive, l’épée à la main. Archimède le supplie d’attendre un instant, pour que le problème devant lui ne reste pas inachevé. Le soldat passe outre à sa supplication.

Troisième version : Archimède apporte à Marcellus des cadrans solaires, des sphères et des instruments de mesure des angles. Des soldats, croyant que les récipients contiennent de l’or, le tuent. Le motif est le vol. D’un récit à l’autre, les motivations des soldats n’ont rien à voir.

Si l’on range les textes conservés par date, on obtient cette suite : chez Tite-Live, la méprise sans dialogue ; chez Valère Maxime, la formule mémorable ; chez Plutarque, plusieurs variantes dramatiques. On dirait que l’histoire s’embellit à mesure.

Mais la critique des sources ne permet pas d’en conclure que chaque auteur a réécrit le précédent. Ils ont pu puiser dans des récits communs aujourd’hui perdus. Plutarque précise d’ailleurs que les uns écrivent ceci et que d’autres disent cela : des versions parallèles existaient donc déjà avant lui. On peut constater que les témoignages écrits conservés se sont étoffés. On ne peut pas prétendre avoir démontré chaque emprunt dans la chaîne. Ce que l’on appelle l’évolution d’une légende n’est souvent que la succession de textes conservés de plus en plus tardifs. Les deux ne se confondent pas automatiquement.

Enfin, les miroirs. Concentrer les rayons du soleil avec des miroirs pour incendier la flotte romaine : rien de tel dans les premiers récits de la guerre.

Polybe écrit au milieu du IIe siècle avant notre ère, à soixante ou soixante-dix ans seulement du siège. Voici la trame technique qu’il donne : les Romains attaquent de force par terre et par mer ; en mer, ils accouplent des navires de guerre pour monter de grandes plates-formes d’assaut. Du côté d’Archimède, les machines de jet sont disposées selon leur portée : les bateaux lointains reçoivent de lourdes pierres, les plus proches des projectiles plus petits et plus serrés ; d’autres engins frappent les navires depuis l’arrière des murailles. La version conservée par Tite-Live est plus détaillée. La muraille est percée de petites ouvertures à différentes hauteurs, d’où partent les flèches des archers et les projectiles de petites machines à traits ; des grappins de fer, manœuvrés par des leviers qui débordent du rempart, soulèvent les proues puis les relâchent brusquement, faisant retomber les navires avec fracas dans l’eau. Après l’échec de l’assaut, les Romains passent au blocus.

Aucun de ces trois auteurs ne parle de miroirs.

Une première strate apparaît chez Lucien, vers le milieu du IIe siècle de notre ère, environ trois cent soixante-dix ans après les faits : Archimède aurait détruit les bateaux par le feu, sans qu’il soit question du fameux dispositif de miroirs. Les véritables miroirs ardents n’arrivent qu’avec Anthémios de Tralles, vers l’an 500, quelque sept cents ans après 212 avant notre ère.

En 2005, une équipe a concentré la lumière sur une cible en bois immobile, à une trentaine de mètres, à l’aide de cent vingt-sept miroirs d’un pied de côté. Sous un ciel idéalement dégagé, avec une cible qui reste longtemps en place, on peut carboniser le bois, voire allumer un petit feu. Mais il faut maintenir la visée pendant une dizaine de minutes. Les essais ultérieurs à grande échelle ont souligné combien les mouvements du bateau, les erreurs de visée, la météo, l’orientation et la distance réduisent l’efficacité.

La conclusion n’est pas que l’optique l’interdit. C’est que, comme arme incendiaire sur un champ de bataille, le dispositif est extrêmement peu pratique. Les moyens de l’époque permettaient de projeter directement des matières enflammées, ce qui était bien plus simple. Trois histoires, trois distances dans le temps ; et, dans chaque cas, la strate la plus tardive est celle qui circule le plus.

Ces trois histoires ont encore quelque chose en commun. Toutes racontent un moment où Archimède affronte une puissance extérieure : le soupçon d’un roi, l’épée d’un soldat, la flotte d’un ennemi.

Dans ce qu’il a lui-même écrit, il n’est jamais question d’aucune de ces trois affaires. Il parle de ceux qui sont morts, de ce qui a été envoyé, des démonstrations encore dues.

Plutarque a proposé une explication à ce silence. D’après lui, Archimède n’avait construit les machines de défense qu’à la demande insistante du roi Hiéron, et ne leur accordait guère d’importance : c’étaient à ses yeux des produits accessoires de ses jeux géométriques. Plutarque ajoute qu’il jugeait l’ingénierie et tous les métiers au service des besoins quotidiens bas et grossiers, et refusait pour cette raison de laisser un seul écrit consacré à ses machines. Au même endroit, il raconte un épisode plus ancien : Eudoxe et Archytas auraient résolu des problèmes géométriques à l’aide d’instruments, au grand courroux de Platon, qui leur reprochait d’avilir la géométrie en la faisant retomber de l’incorporel dans le sensible. Aucun écrit conservé d’Archimède ne traite, en effet, des machines de siège. Pourtant, dans la lettre dont nous parlerons à la cinquième section, c’est bel et bien une balance imaginaire qui lui sert à trouver des aires et des volumes.

Le récit qu’un homme laisse de lui-même et les histoires que les autres lui fabriquent peuvent n’avoir absolument rien en commun. C’est ici, dans toute la série, que leur confrontation est la plus nette : nous avons les deux, et nous pouvons vérifier les deux.

4. Une double réduction à l’absurde

Regardons maintenant ce qu’il faisait réellement. Le mot « exhaustion » se prête à un contresens tenace : on augmenterait sans cesse le nombre de côtés, ce nombre finirait par devenir infini, et le polygone serait alors égal au cercle. La démonstration classique ne fonctionne justement pas ainsi. On commence par proposer une valeur déterminée : l’aire de cette figure à bord courbe doit, par exemple, être égale à celle d’une certaine figure rectiligne connue.

Supposons ensuite que l’aire réelle soit plus grande. Il existe alors entre les deux une différence positive bien déterminée. Construisons une figure inscrite dont le nombre de côtés soit fini, mais assez élevé pour que la partie laissée découverte soit plus petite que cette différence. Les relations géométriques connues imposent alors à la figure inscrite deux relations de grandeur incompatibles. Contradiction. L’aire réelle ne peut donc pas être plus grande.

Supposons maintenant qu’elle soit plus petite que la valeur proposée. Cette fois, on passe à une construction circonscrite et on reprend le raisonnement. Nouvelle contradiction. Elle ne peut pas être plus petite non plus. Ni plus grande ni plus petite : il ne reste que l’égalité. À aucun moment le nombre de côtés n’est devenu infini. Arrêtons-nous un instant sur ce point, car c’est celui que l’on déforme le plus volontiers. La version fausse coule mieux et ressemble davantage à la notion de limite qui viendra plus tard. Dans les récits de vulgarisation, elle gagne donc presque toujours.

Un polygone a de plus en plus de côtés, il s’approche de plus en plus du cercle : c’est l’image intuitive, et c’est bien ainsi que procède la construction. Mais la force de la preuve ne réside pas dans cette image. Elle tient à une garantie : si petite que soit la différence avancée par l’adversaire, il existe une étape finie où le reste devient plus petit encore. D’un côté, un processus ; de l’autre, une garantie. C’est la seconde qui sert à prouver. Cette distinction reviendra deux mille ans plus tard, sous une autre forme et avec plus de poids encore.

Chaque raisonnement par l’absurde porte sur une différence déjà fixée. Il suffit d’établir qu’à une certaine étape finie, le reste sera plus petit qu’elle. À cette étape, la contradiction apparaît et la démonstration s’arrête.

Ce passage s’appuie sur la première proposition du livre X des Éléments. Étant données deux grandeurs inégales, si l’on retranche de la plus grande plus de sa moitié, puis que l’on recommence sur ce qui reste, on finit, après un nombre fini d’opérations, par obtenir un reste plus petit que la grandeur initialement choisie comme la plus petite. L’essentiel n’est pas de répéter à l’infini. C’est de pouvoir toujours franchir, en un nombre fini d’étapes, n’importe quel seuil fixé à l’avance.

La place de cette proposition dans les Éléments est elle-même révélatrice. Elle ne figure pas dans les livres consacrés aux cercles ou aux sphères, mais à l’entrée du livre X, posée là comme un outil que chacun pourra reprendre au moment d’en avoir besoin.

Le titre de cet essai ne signifie donc pas, à strictement parler, qu’il manque éternellement un petit quelque chose. Il dit ceci : on peut démontrer une égalité unique et exacte sans achever un processus infini pour en faire un objet mathématique. Archimède en a tiré plusieurs résultats.

Dans La Mesure du cercle, il démontre que l’aire d’un cercle est égale à celle d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont le rayon et la circonférence de ce cercle. Plus loin, le même traité encadre le rapport de la circonférence au diamètre entre les deux valeurs que nous écrivons couramment 3 + 10/71 et 3 + 1/7. Il ne s’agit pas de mesurer la circonférence avec un nombre décimal, mais d’établir des bornes rigoureuses à l’aide de polygones finis que l’on maîtrise et d’estimations de racines carrées.

La Quadrature de la parabole démontre que l’aire d’un segment de parabole vaut les quatre tiers de celle d’un triangle inscrit bien déterminé.

Ce traité compte particulièrement parce qu’il propose deux voies à la fois : l’une liée à la mécanique et aux centres de gravité, l’autre purement géométrique. La première correspond justement à l’une des plus anciennes découvertes mécaniques qu’Archimède évoquera dans La Méthode. La répartition des tâches entre découverte et démonstration apparaît donc déjà dans La Quadrature de la parabole, sans être exposée aussi nettement. Un homme explique deux fois sa façon de travailler, dans deux ouvrages : la première en passant, la seconde dans une lettre écrite expressément pour cela. Cette seconde explication a failli ne jamais nous parvenir.

Dans De la sphère et du cylindre, la même maîtrise s’étend aux trois dimensions. L’aire de la surface d’une sphère vaut quatre fois celle de son grand cercle. Son volume vaut les deux tiers de celui du cylindre qui lui est circonscrit. La preuve ne consiste pas à déclarer que la sphère est une somme de disques infiniment minces, puis à s’en tenir là. Elle enferme l’erreur entre des solides inscrits et circonscrits, à l’aide d’inégalités.

Les textes antiques ne réunissent pas ces raisonnements sous un nom de méthode qui ferait un titre de manuel moderne. Euclide n’annonce pas au début du livre XII : maintenant, utilisons la méthode d’exhaustion. Archimède ne donne pas davantage d’appellation particulière à l’ensemble de ses démonstrations rigoureuses. On fait généralement remonter l’étiquette d’« exhaustion » à un ouvrage de Grégoire de Saint-Vincent publié en 1647, consacré à la quadrature du cercle et des sections coniques.

Ce n’est pas du purisme étymologique. Un nom peut faire croire que quelqu’un a inventé un jour un objet appelé « méthode d’exhaustion », puis l’a transmis. Les sources conservées montrent plutôt plusieurs techniques partagées : différence arbitrairement donnée, raisonnement par l’absurde, approximations par l’intérieur et l’extérieur, retraits successifs de parties assez grandes, théorie des proportions. On ne les a rangées que plus tard dans le même tiroir, sous une étiquette commune. Et pour savoir à qui les attribuer, notre témoignage le plus sûr vient précisément d’Archimède.

Dans la préface de La Méthode, il écrit qu’Eudoxe fut le premier à démontrer ces deux familles de théorèmes : le volume du cône vaut le tiers de celui du cylindre de même base et de même hauteur ; le volume de la pyramide vaut le tiers de celui du prisme de même base et de même hauteur. Mais il ajoute aussitôt que Démocrite avait déjà énoncé ces résultats, sans démonstration, et qu’une part non négligeable du mérite lui revenait aussi. Ce passage est précieux : il permet de se passer des conjectures d’un historien des mathématiques venu plusieurs siècles après lui.

Il montre aussi qu’Archimède distinguait clairement trois choses : énoncer le résultat le premier, trouver le premier sa démonstration, proposer le premier une manière de le découvrir. Le mérite pouvait revenir à des personnes différentes.

5. La Méthode

La Méthode commence ainsi : Archimède à Ératosthène, salut.

Il rappelle d’abord à son correspondant qu’il lui a précédemment envoyé plusieurs théorèmes, sous forme de simples énoncés, en lui laissant le soin d’en chercher les démonstrations. Il lui transmet maintenant les preuves et expose en même temps une façon de découvrir des résultats mathématiques avec l’aide de la mécanique. Au centre de cette démarche, une image : la balance.

Il imagine une figure plane composée d’une multitude de segments parallèles et traite un solide à travers une multitude de sections parallèles. Pour chaque groupe de segments ou de sections correspondants, il établit des rapports de longueur, d’aire ou de poids. Puis il les place en pensée sur un levier, dont les différentes parties s’équilibrent à des distances différentes du point d’appui. Si les tranches correspondantes satisfont une à une à la relation d’équilibre, il en déduit que les aires ou les volumes entiers doivent entretenir une relation analogue de poids. La position connue des centres de gravité lui permet alors d’obtenir le résultat recherché.

Vient ensuite la phrase la plus importante de cet essai. Il dit expressément que cela ne constitue pas une démonstration définitive.

Ce ne sont pas les historiens ultérieurs qui lui reprochent un manque de rigueur. C’est l’auteur lui-même qui l’écrit : l’examen mécanique ne fournit pas une véritable preuve ; il faudra donc reprendre le résultat et le démontrer géométriquement.

Il précise en même temps qu’il est plus facile de chercher une démonstration quand on connaît déjà à peu près le résultat que lorsqu’on ignore entièrement ce que l’on vise. Ses exemples sont justement Démocrite et Eudoxe.

Enfin, il explique pourquoi il veut rendre sa démarche publique : d’autres, et même les mathématiciens des générations futures, pourront s’en servir pour découvrir des théorèmes que lui n’a pas trouvés.

Présenter La Méthode comme un calcul infinitésimal qu’Archimède aurait pratiqué en cachette, sans oser le révéler, c’est donc manquer ce que le texte a de vraiment étonnant. Il ne dispose pas d’une méthode inférieure et d’une méthode supérieure. Il distingue nettement deux tâches. Aujourd’hui, cela paraît banal : dès le début, l’enseignement des mathématiques apprend aux élèves que trouver et démontrer ne sont pas la même chose.

Dans les textes antiques conservés, pourtant, il est presque le seul à l’avoir dit. La démarche mécanique répond à ces questions : comment le résultat a-t-il été découvert, et pourquoi mérite-t-il d’être cru ? La démonstration géométrique répond à une autre : pourquoi est-il vrai au sens rigoureux ? Les deux travaillent ensemble, sans avoir le même statut.

Sa raison est toute simple. Mieux vaut savoir à peu près où se trouve le but avant de chercher le chemin que tâtonner sans savoir où aller. La valeur de la découverte ne réside pas dans sa rigueur, mais dans le fait qu’elle réduit le champ des recherches. Une telle explication est très rare dans les textes mathématiques grecs qui nous restent.

L’immense majorité des ouvrages mathématiques grecs présentent les propositions et les preuves dans l’ordre qui est le leur une fois le travail achevé. Le lecteur voit la route déjà construite, pas la manière dont l’auteur l’a trouvée parmi les erreurs, les conjectures, les essais et les analogies.

Dans La Méthode, un mathématicien de tout premier rang nous dit en son nom : j’ai d’abord trouvé de cette façon ; je sais que cela ne peut pas encore tenir lieu de preuve ; ensuite, j’ai cherché la démonstration. Si je t’explique comment découvrir, c’est pour que tu puisses, toi aussi, trouver du nouveau.

L’Antiquité n’est pas absolument dépourvue de textes comparables. La préface de sa propre Quadrature de la parabole mentionnait déjà les deux voies, découverte mécanique et démonstration géométrique. Plus tard, Pappus, dans ses explications sur l’analyse et la synthèse, a également décrit en termes généraux la démarche qui part de ce qu’on cherche, remonte en arrière, puis reconstruit le raisonnement en sens inverse.

Mais Pappus donne un exposé de méthode ; il ne nous raconte pas comment il a lui-même trouvé tel théorème la veille. La différence tient à la personne grammaticale. Un exposé dit comment on doit généralement faire. La Méthode dit comment, moi, j’ai fait à ce moment-là.

L’appréciation la plus sûre n’est donc pas « l’unique récit antique d’une découverte ». C’est plutôt ceci : parmi les textes de mathématiques grecques avancées conservés, celui-ci est l’un des très rares où l’auteur distingue lui-même, explicitement, le chemin heuristique de la découverte et la procédure formelle de la preuve, avec assez de détails pour montrer leur coopération. Il faut encore éclaircir un point, car c’est ici que cet essai risque le plus facilement de déraper.

L’idée de La Méthode qui consiste à envisager une aire comme une collection de lignes, un volume comme une collection de surfaces, puis à les comparer tranche par tranche, ressemble bel et bien, dans sa structure, à la méthode des indivisibles du XVIIe siècle. Quiconque connaît cette dernière fera aussitôt le rapprochement en lisant ces pages.

Mais ressemblance ne veut pas dire transmission.

Quand les mathématiciens européens du XVIIe siècle développaient les indivisibles, La Méthode ne figurait dans aucun des recueils d’Archimède auxquels ils avaient accès. Ce texte n’a réintégré l’histoire des mathématiques qu’en 1906.

Il n’existe donc pas de filiation reliant La Méthode au XVIIe siècle. Tout ce que l’on peut dire, c’est qu’à mille huit cents ans de distance, face aux aires et aux volumes à contours courbes, deux époques ont fait naître chacune de leur côté des idées de découpage en tranches comparables dans leur structure. En revanche, les mathématiciens du XVIIe siècle ont bel et bien été profondément marqués par les autres ouvrages d’Archimède, ceux qui n’avaient pas cessé de circuler.

6. L’infini

Aristote a étudié l’infini de manière systématique au livre III de la Physique.

Il refusait d’y voir une grandeur achevée, entièrement donnée. Il préférait le comprendre comme une situation où, quel que soit le point atteint, on peut toujours prendre davantage, diviser encore. Son idée, en substance, est que l’infini n’est pas ce qui n’a plus rien en dehors de soi, mais ce qui a toujours quelque chose au-delà. Il répond aussi directement au cas des mathématiques : refuser l’infini en acte n’empêche pas les mathématiciens de travailler ; une grandeur arbitrairement grande, mais finie, leur suffit.

On peut aligner une chaîne de causes très propre : Zénon soulève les difficultés de l’infini, Aristote prononce l’interdiction, les mathématiciens obéissent et inventent l’exhaustion. Les documents conservés ne soutiennent pas cette histoire.

Eudoxe est antérieur à Aristote, ou appartient tout au moins au même siècle. On ne peut donc pas expliquer simplement ses techniques comme une invention postérieure à la réception de la Physique. Les démonstrations rigoureuses d’Euclide et d’Archimède s’accordent certes très bien avec l’infini en puissance : les constructions restent finies, et le raisonnement s’achève grâce à des relations de grandeur arbitrairement données. Mais aucune préface d’Archimède ne dit : je démontre ainsi parce qu’Aristote a interdit l’infini en acte.

Les éléments dont nous disposons autorisent cette conclusion : la pratique de la démonstration en géométrie grecque rigoureuse est hautement compatible avec cette philosophie. Que l’interdit philosophique ait directement régi la communauté mathématique, en revanche, aucun document ne l’établit.

On pourrait même retourner la question. Quand Aristote affirme que les mathématiciens n’ont pas réellement besoin de l’infini en acte, ne décrit-il pas, en partie, une pratique déjà existante plutôt qu’il ne légifère à leur intention ? Reste à savoir si les mathématiques grecques évitaient vraiment tout recours à l’infini en acte. Il y a là une controverse bien réelle, dont les pièces proviennent du livre démonté au début de cet essai.

À partir des nouvelles lectures du palimpseste, Netz a soutenu que, dans certaines propositions de La Méthode, Archimède semble faire plus que considérer une à une des lignes de section arbitraires. Il parlerait de leur totalité ou de leur nombre et les mettrait globalement en correspondance. Selon cette interprétation, ce serait, au moins sur le plan opératoire, une totalité infinie en acte.

Ceux qui s’y opposent ne contestent pas la présence des mots grecs. Ils discutent le niveau auquel on les traduit : passer de toutes les lignes de section, ou de leur multiplicité, à un ensemble infini achevé risque d’introduire l’ontologie de la théorie moderne des ensembles. De plus, Archimède a précisément dit lui-même que la démarche mécanique ne constituait pas une véritable preuve ; les démonstrations formelles reviennent, elles, à des raisonnements finis.

La controverse mérite d’être retenue pour une raison assez inhabituelle : on discute des mêmes lettres, et voici cent vingt ans, personne n’avait ces lettres sous les yeux.

Il faut donc corriger deux affirmations. Dire que les mathématiques grecques n’ont jamais laissé entrer dans la pensée la moindre idée d’infini en acte est trop fort : La Méthode fait peser sur cette affirmation la possibilité d’un contre-exemple. Dire qu’Archimède acceptait l’infini en acte au sens moderne est trop fort également : le texte ne contient ni théorie des ensembles infinis, ni, à plus forte raison, concept moderne de cardinalité.

Une description plus prudente serait la suivante : la démonstration grecque sous sa forme réglée tend à éviter de prendre une totalité infinie achevée pour fondement. Mais les raisonnements de découverte des mathématiciens et certains de leurs usages de la langue n’obéissent pas forcément à un interdit absolu, sans exception. Sur la différence entre le grand et l’infini, Archimède a lui-même écrit quelque chose de plus direct.

Le point de départ de L’Arénaire a presque le ton d’un défi. Certains jugent les grains de sable en nombre infini, ou pensent du moins qu’il n’existe pas de nombre assez grand pour les compter. Archimède construit alors un système élargi de dénomination des grands nombres. Il fixe aussi aux dimensions de l’univers une borne supérieure extrêmement généreuse, puis démontre que, même si l’on remplissait de sable un tel univers, le nombre de grains resterait un nombre fini auquel on pourrait donner un nom. Il ne cherche pas à calculer combien de grains de sable il y a réellement dans l’univers. Il veut montrer qu’inimaginablement grand et infini sont deux choses différentes.

Le même traité conserve un passage sur Aristarque de Samos. Selon Archimède, celui-ci avait proposé des hypothèses où les étoiles fixes et le Soleil restent immobiles, où la Terre parcourt un cercle autour du Soleil, situé près du centre de l’orbite, et où la sphère des étoiles fixes est immense. L’ouvrage héliocentrique d’Aristarque lui-même est perdu. Ce passage en constitue donc l’un des résumés conservés les plus anciens, les plus explicites et les plus techniques.

Il serait pourtant inexact d’en faire notre unique source. Plus tard, dans Du visage qui apparaît dans le disque de la Lune, Plutarque mentionne lui aussi qu’Aristarque mettait la Terre en mouvement ; les compilations tardives de doctrines en gardent d’autres traces. Ce qui est certain, en revanche, c’est que l’ouvrage héliocentrique d’Aristarque lui-même ne nous est pas parvenu.

7. Le tombeau retrouvé par Cicéron

Les légendes précédentes reposaient sur des témoignages fragiles. En voici un sensiblement plus solide. Plutarque raconte qu’Archimède tenait par-dessus tout au résultat sur la sphère et le cylindre, et qu’il avait demandé à ses amis et à sa famille d’en faire placer les figures sur son tombeau. En elle-même, cette affirmation reste fragile : Plutarque écrit environ trois cent dix ans après lui.

Mais Cicéron apporte un témoignage d’un autre ordre.

Les Tusculanes ont été écrites vers 45 avant notre ère. Cicéron y raconte qu’en 75, alors qu’il était questeur en Sicile, les Syracusains ignoraient jusqu’à l’emplacement du tombeau d’Archimède. Il se souvenait de quelques vers relatifs à l’épitaphe, ainsi que du signe formé par la sphère et le cylindre. Il chercha donc dans le cimetière situé près de la porte d’Agrigente. Une petite colonne émergeait des broussailles, portant une sphère et un cylindre. Il fit dégager les ronces par des habitants et put reconnaître l’inscription, déjà en partie abîmée. C’est le souvenir, raconté à la première personne, d’une démarche qu’il avait entreprise trente ans auparavant.

L’année 75 avant notre ère se situe environ cent trente-sept ans après la mort d’Archimède. En 45, lorsqu’il écrit, trente ans seulement séparent Cicéron de la découverte qu’il affirme avoir faite. Pourquoi ce témoignage est-il plus fort que l’histoire du bain ou celle des dernières paroles ?

Parce qu’il ne dit pas avoir entendu raconter ce qu’Archimède aurait fait deux cents ans plus tôt. Il dit s’être rendu lui-même sur place, puis avoir retrouvé et fait dégager une tombe à partir d’indices épigraphiques. Les herbes folles, la colonne, la sphère, le cylindre, l’inscription mutilée : ce sont au moins des affirmations de témoin direct. Il ajoute que les Syracusains eux-mêmes ne savaient plus où était le tombeau et, à la fin du passage, ramène la chose à sa propre personne. En substance : l’une des cités grecques les plus nobles, et jadis les plus savantes, aurait ignoré jusqu’à la tombe de son citoyen le plus intelligent si un homme venu d’Arpinum ne la lui avait pas montrée. Dire que les gens du lieu avaient oublié, c’était aussi dire que le découvreur, c’était lui.

Ce passage figure dans un livre qui demande si la vertu suffit au bonheur. Cicéron commence par évoquer Denys, ancien tyran de la même ville, puis fait sortir de la poussière, avec son petit bâton à tracer des figures, celui qu’il présente comme un humble petit homme : Archimède. Après le récit de la tombe, il demande, en substance : quiconque a quelque commerce avec les Muses, autrement dit avec la culture et le savoir, ne préférerait-il pas être ce mathématicien plutôt que ce tyran ? L’esprit de l’un se nourrit de l’examen et de la recherche des raisons, la plus douce nourriture de l’âme. Celui de l’autre baigne dans le meurtre et l’injustice, et vit dans la peur, jour et nuit.

Cela ne constitue pas pour autant une preuve irréfutable. Aujourd’hui, aucune chaîne d’identification de cette tombe ne peut être vérifiée de nouveau. On ne peut pas non plus exclure que Cicéron ait pris à tort pour celle d’Archimède une sépulture que la tradition locale lui attribuait.

Mais face au bain raconté par Vitruve près de deux cents ans après les faits, ou aux dernières paroles données par Valère Maxime deux cent quarante ans après, ce témoignage possède une structure documentaire nettement plus robuste.

Voici tout ce qu’on peut affirmer : en 75 avant notre ère, Cicéron dit avoir retrouvé une tombe ancienne qu’il identifia alors comme celle d’Archimède à partir du motif de la sphère et du cylindre et de l’inscription. Qu’Archimède lui-même ait demandé, avant de mourir, cette composition pour son monument funéraire, seul Plutarque, bien plus tard, le rapporte.

Le signe de la sphère et du cylindre, lui, repose pourtant sur quelque chose de solide. Le résultat évoqué plus haut, le rapport des volumes de la sphère et de son cylindre circonscrit, est resté emblématique dans la tradition d’Archimède. La présence de ces deux figures sur la petite colonne vue par Cicéron concorde donc au moins avec les mathématiques. En suivant ce fil, on peut examiner un autre détail.

L’année de sa mort, 212 avant notre ère, est assez sûre. Elle s’inscrit dans la chronologie de la deuxième guerre punique, de la prise de Syracuse et des campagnes de Marcellus. Plusieurs traditions indépendantes de l’histoire militaire placent Archimède dans le contexte de ce siège. Il en va autrement de sa naissance.

La date approximative de 287 avant notre ère vient de Jean Tzétzès, un auteur du XIIe siècle, situé à quelque mille trois cent soixante ans de l’année 212 avant notre ère. Tzétzès lui donne soixante-quinze ans de vie. Les biographies modernes remontent alors de soixante-quinze ans à partir de sa mort en 212 et arrivent à 287. Ce n’est pas un acte de naissance, encore moins une inscription contemporaine.

Cette sorte de calcul à rebours est fréquente pour les personnages antiques. Une phrase donnant un âge au décès, jointe à une année de mort fiable, produit une année de naissance qui a tout l’air d’être précise. Une fois installée dans une chronologie, cette date cesse de voyager avec sa source. L’année de sa mort est beaucoup plus sûre que celle de sa naissance : c’est vrai pour lui, et pour la plupart des personnages rencontrés ici.

Les dates absolues de ses ouvrages ne sont pas plus sûres. Les préfaces permettent de reconstruire un ordre relatif : quelles propositions ont été envoyées d’abord, à quel stade Conon était déjà mort, ce qui a ensuite été adressé à Dosithée, et les découvertes mécaniques antérieures que rappelle La Méthode. Fixer chaque traité à une année précise relève d’une reconstitution chronologique moderne, pas d’une date inscrite dans le manuscrit. Ironiquement, la note finale du livre de prières du XIIIe siècle est plus solide que tout cela. Le 13 avril 1229 : c’est écrit.

8. Mille cent quatre-vingts ans

Revenons au livre démonté. Sa réapparition ne commence pas par quelqu’un qui serait entré par hasard dans un monastère en 1906.

Dès les années 1840, Tischendorf, spécialiste des manuscrits bibliques, avait vu le palimpseste à Constantinople et remarqué le texte mathématique sous-jacent. Un feuillet passa même plus tard de sa succession aux collections de Cambridge.

En 1899, le savant grec Papadopoulos dressa le catalogue de la bibliothèque d’une dépendance monastique de Constantinople. Il y inscrivit le volume sous le numéro 355 et recopia quelques lignes grecques encore visibles sous le texte supérieur. Le philologue danois Heiberg les lut et reconnut De la sphère et du cylindre. En 1906, il se rendit lui-même à Constantinople.

Il n’avait ni photographie ultraviolette, ni, à plus forte raison, imagerie par rayons X. Il déchiffrait à l’œil, en grossissant l’image, en variant l’éclairage, avec l’appui des techniques photographiques de son temps, cette encre pâlie qui courait perpendiculairement aux prières. Il reconnut sept traités. Le plus bouleversant était La Méthode, jusqu’alors entièrement perdue.

Ses prises de vue couvraient cent trois faces écrites, rectos et versos compris. Trente-huit prises montrant deux pages ouvertes à la fois, on reconstitue généralement un total d’environ soixante-cinq photographies si l’on compte les expositions.

Ces photographies allaient devenir essentielles, car le livre continua de se dégrader au XXe siècle. Certaines lettres encore visibles en 1906 avaient été mangées par les moisissures en 1998. Plusieurs feuillets disparurent, ne laissant que les transcriptions ou les clichés de Heiberg. Celui-ci étudia encore le manuscrit en 1908. Après cette date, aucune suite continue de documents ne dit quand il quitta Constantinople, ni entre quelles mains il passa.

Lorsque la vente aux enchères de 1998 donna lieu à un procès, les représentants de l’Église grecque orthodoxe soutinrent que le manuscrit avait quitté illégalement les collections ecclésiastiques dans les troubles du XXe siècle. Une famille française affirmait, de son côté, l’avoir acquis dès les années 1920. On peut établir qu’il se trouvait dans une collection privée en France au plus tard au milieu du XXe siècle. Entre 1908 et cette période, la chaîne de propriété comporte une véritable lacune.

Avoir un manuscrit matériel sous les yeux ne suffit pas à lui faire livrer son parcours. L’objet peut être authentique et sa provenance rester discontinue.

En 1998, lors d’une vente publique à New York, un collectionneur privé américain anonyme l’acheta pour environ deux millions de dollars. L’identité de l’acquéreur n’a toujours pas été confirmée publiquement de manière fiable. Le nom qui circule depuis longtemps en ligne ne remonte à aucune source identifiable. Un manuscrit copié au Moyen Âge porte des œuvres vieilles de plus de deux mille ans. Savoir à qui il appartient aujourd’hui est, paradoxalement, le maillon le moins vérifiable de toute cette histoire. Le collectionneur confia ensuite le volume à l’équipe d’un musée d’art de Baltimore pour sa conservation, son imagerie et son étude, et finança ce projet au long cours. En 1998, le livre était dans un état trop désastreux pour être directement numérisé.

Les restaurateurs passèrent d’abord plusieurs années à le dérelier. L’un des obstacles venait d’une reliure du XXe siècle : on avait appliqué au dos un adhésif moderne proche de la colle blanche à bois. Plus résistant que le parchemin lui-même, il était très difficile à retirer sans déchirer la peau. Dans les zones moisies, c’était l’inverse : les fibres de collagène s’étaient réduites en poudre, et le moindre contact risquait d’emporter de la matière. Le démontage dura de 2000 à 2004.

L’imagerie multispectrale ne consiste pas à prendre une photographie plus nette. On photographie séparément dans plusieurs bandes, ultraviolet, visible, infrarouge, puis on exploite les réponses spectrales différentes du parchemin, de l’encre des prières du XIIIe siècle et de l’encre sous-jacente du Xe siècle pour combiner les images par algorithme. Des premiers essais à relativement basse résolution, l’équipe passa progressivement à douze bandes, complétées par un éclairage latéral.

Mais au XXe siècle, quelqu’un avait aussi ajouté sur certaines pages de faux portraits d’évangélistes dans le style byzantin. En retrouvant les modèles des images, l’équipe établit que ces peintures ne pouvaient pas être antérieures à 1929 : elles copiaient des illustrations d’un manuscrit grec publiées cette année-là. Les pigments et la couche d’or faisaient écran à l’imagerie optique.

Il fallut donc employer une autre méthode : exciter les éléments présents dans l’encre avec les rayons de haute énergie produits par un synchrotron, puis mesurer point par point le signal de fluorescence. La répartition du fer, en particulier, permet de dessiner les anciens traits d’encre. Même sous les prières, et jusque sous la peinture, les lettres sous-jacentes peuvent ainsi réapparaître. C’est de cette façon que la source de rayonnement synchrotron de Stanford a permis de lire les textes cachés par les fausses miniatures.

Dire que les techniques modernes ont permis de lire intégralement le livre serait faux. L’imagerie renforce un signal matériel encore présent ; elle ne reconstitue ni le parchemin ni l’encre entièrement détruits par les moisissures, et ne peut pas lire des feuillets alors disparus. Les rapports de conservation sont explicites : dans de vastes zones moisies, le texte a matériellement cessé d’exister.

Il y a encore un épilogue. Parmi les trois feuillets précédemment portés disparus, l’un a été reconnu dans un musée d’art français. Il correspond aux photographies prises par Heiberg en 1906 et contient des passages du traité De la sphère et du cylindre. Le nombre et le statut des feuillets manquants continuent donc de changer au XXIe siècle. Autrement dit, l’inventaire de cet objet n’est toujours pas clos.

La partie principale du livre de prières conservé compte environ cent soixante-quatorze feuillets de parchemin, soit quelque trois cent quarante-huit faces écrites. Chaque feuillet mesure de l’ordre de vingt centimètres sur quinze. C’est un vrai livre de peau, que l’on peut démonter, relier, plier, laisser moisir, tacher de cire ou abîmer avec de la colle. Pas un texte abstrait.

Une dernière formule demande à être corrigée. On présente souvent ce volume comme l’objet mathématique grec le plus proche d’Archimède lui-même. C’est confondre deux choses.

Au sein de la transmission de ses textes, ce témoin est effectivement d’une ancienneté exceptionnelle. Il précède d’environ quatre siècles les autres traditions connues de manuscrits médiévaux d’Archimède. Certains de ses dessins pourraient, pour cette raison, être plus proches des modèles antiques que ceux de copies tardives.

Mais par son âge matériel, il n’est nullement proche d’Archimède. Environ mille cent quatre-vingts ans séparent cette copie du Xe siècle de l’année 212 avant notre ère. Ce parchemin, l’encre du copiste du Xe siècle, ces petites lettres : rien de tout cela n’a été touché par Archimède. La minuscule grecque du Xe siècle n’appartient même pas au système d’écriture employé par les gens de son époque.

Il existe évidemment des témoins matériels des mathématiques grecques bien plus anciens. Un fragment du livre II des Éléments, découvert en Égypte, est généralement daté de la fin du Ier ou du début du IIe siècle de notre ère. Même en retenant la borne la plus tardive, il précède ce palimpseste de plus de huit cents ans.

Si La Méthode a survécu jusqu’à nous, ce n’est donc pas qu’une tradition abstraite l’aurait portée sur son courant.

Il a fallu des peaux d’animaux, de l’encre contenant du fer, un homme qui tourne ses feuilles de quatre-vingt-dix degrés avant de les plier, la réserve d’un monastère, un catalogue, un long voyage, soixante-cinq négatifs sur verre, une vente aux enchères, des années de démontage, douze bandes de lumière et un faisceau synchrotron. Qu’un seul de ces maillons ait cédé, et la page où Archimède explique lui-même la répartition du travail entre découverte et démonstration n’existerait pas aujourd’hui.

Tout au début de cette chaîne se tient un homme qui gratte l’encre. Les sources ne permettent pas de savoir s’il comprenait le contenu du texte qu’il recouvrait. Il n’a simplement pas tout effacé. La chaîne comporte à la fois des survivances fortuites et le travail conscient de générations qui reconnaissent et protègent. On ne peut pas, maillon par maillon, les séparer absolument.

On continue de compter. Mais ce qui compte comme mathématiques, on n’a jamais fini d’en faire le compte.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous éclairent les détails historiques et les désaccords d’interprétation évoqués dans cet essai. Les dossiers des musées, les récits littéraires antiques et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Projet du palimpseste d’Archimède : le manuscrit
• Histoire du manuscrit d’Archimède
• Chris Rorres : le problème de la couronne d’or
• SLAC : l’imagerie du palimpseste par rayons X
• Roger Easton : recherches sur l’imagerie du palimpseste
• Sorbonne iRHiST : le feuillet perdu de Blois, retrouvé en octobre 2025
• La revue du Walters Art Museum, volume 62