Aproximarse sin llegar

1. Un libro desmantelado

A comienzos del siglo XIII, alguien necesitaba un libro de oraciones nuevo. No sabemos quién. Tampoco sabemos con certeza para qué monasterio se hizo; solo hay indicios.

El pergamino era caro. Para hacer un libro se necesitaban las pieles de todo un rebaño, y las pieles de los libros viejos todavía servían. Así que aquel hombre reunió varios volúmenes que ya nadie leía, deshizo las costuras, separó los bifolios y, con una cuchilla y agua, raspó y lavó la tinta hasta dejarla desvaída.

No hacía falta borrarla del todo. Bastaba con que las letras nuevas se vieran bien y las antiguas hubieran palidecido lo suficiente para no estorbar. Era el criterio de un artesano, no el de un destructor. Uno de aquellos libros era un Arquímedes copiado en Constantinopla en el siglo X. Contenía al menos siete obras.

Como el formato del libro antiguo era mayor que el del nuevo, giró las hojas de Arquímedes noventa grados y las dobló por la mitad para formar bifolios más pequeños. Lo que antes ocupaba una cara de una hoja pasó a extenderse por dos páginas del nuevo libro.

Así, las frases de Arquímedes quedaron atravesadas: cruzaban de una página de oraciones a otra, se metían por el pliegue del lomo y desaparecían.

La factura de aquel gesto llegaría más de setecientos años después. Para leer las letras ocultas en el fondo del lomo habría que volver a desmontar el libro de oraciones entero, cuando ya llevaba a cuestas otros siete siglos. Un colofón al final del nuevo volumen deja constancia de que se terminó de copiar el 13 de abril de 1229, posiblemente en algún lugar de la región de Jerusalén.

No hay pruebas de que lo moviera la hostilidad hacia las matemáticas. No hay pruebas de que supiera qué estaba raspando, y menos aún de que aborreciera la ciencia griega. El pergamino era caro, los libros viejos ya no se leían y hacían falta páginas para uno nuevo. Eso fue todo.

Además, no solo se desmanteló el Arquímedes. En el mismo libro de oraciones aparecieron después discursos de un orador antiguo, un comentario antiguo a una obra de Aristóteles y fragmentos de otros libros. Aquel hombre del siglo XIII tenía entre las manos el pergamino de al menos siete volúmenes. Los convirtió en uno. Desde el punto de vista de los materiales, el reciclaje fue un éxito: siete libros que nadie leía se transformaron en uno que alguien usaba todos los días.

Pero la tinta no desapareció por completo. El hierro que contenía había penetrado en las fibras de la piel; el raspado no podía llevárselo todo. Setecientos años después, alguien leyó aquellas letras bajo las oraciones.

Cómo se consiguió lo veremos en la octava sección. Por ahora basta con recordar una cosa: las letras seguían allí porque no se habían podido borrar del todo, no porque alguien las hubiera protegido. Y, de las siete obras, una no tiene en todo el mundo ningún otro testimonio fuera de este libro.

Otra conserva aquí su único testimonio en griego. Y de una tercera, aunque hubo una tradición latina medieval, este es el único ejemplar del original griego.

En las tres entregas anteriores, la situación material era distinta en cada caso. En la primera teníamos un objeto, pero ningún nombre. En la segunda, un nombre, pero ningún objeto. En la tercera, un libro que podía cotejarse palabra por palabra y un autor del que casi nada sabíamos.

En esta tenemos ambas cosas. Un libro de pergamino que se puede sostener en las manos, con sus manchas de moho, su pegamento y sus pliegues. Y un hombre que dejó sus propias palabras por escrito, con bastantes detalles. Entre el uno y el otro median mil ciento ochenta años. Esa cifra volverá a aparecer.

2. Su propia voz

Muchas obras de Arquímedes comienzan con unas palabras dirigidas a una persona concreta. No son unas líneas de correspondencia privada. Son tratados matemáticos que arrancan con un saludo y cruzan el mar en rollos o volúmenes, a bordo de barcos mercantes, con embajadas o por medio de alguien de confianza.

Podemos nombrar a los destinatarios: Conón, Dositeo, Eratóstenes. También a Gelón, rey de Siracusa, a quien dedica El arenario. En esa misma obra dice que su padre se llamaba Fidias. Estos nombres descansan sobre terreno firme porque los escribió él; no los pusieron en su boca las generaciones posteriores.

Es algo que no habíamos tenido en las tres primeras entregas. Los escribas de la primera apenas firmaban. El Hípaso de la segunda solo vive en relatos de otras personas, escritos siglos más tarde. Al Euclides de la tercera lo nombra por primera vez alguien que llegó un siglo después. Aquí, por fin, alguien habla por sí mismo. Y lo que dice no coincide en absoluto con lo que otros dirán en su nombre.

En cambio, muchas de esas frases que las biografías modernas añaden como quien no quiere la cosa carecen de fundamento. Que de joven estudiara en Alejandría no tiene ningún respaldo temprano. Que fuera pariente de Hierón II aparece de forma explícita, por primera vez, en Plutarco, que escribió más de trescientos años después de él.

Sin leyendas, su biografía se reduce aproximadamente a esto: matemático de Siracusa, activo en tiempos de Hierón II y Gelón, hijo de Fidias, corresponsal de los círculos matemáticos del Mediterráneo oriental, especialmente los de Alejandría, muerto durante la caída de Siracusa en 212 a. C. Matrimonio, hijos, maestros, patrimonio, costumbres cotidianas: casi todo queda en blanco.

Pero aquellos prefacios conservan algo más.

El de Sobre las espirales está dirigido a Dositeo. Arquímedes recuerda primero que años atrás había enviado algunos resultados a Conón; añade que Conón murió hace ya mucho tiempo y que, al parecer, nadie más se ha ocupado seriamente de aquellos problemas. Lo tiene en alta estima: viene a decir que, de haber vivido más, bien habría podido resolverlos. Y entonces llega este pasaje. Admite que entre las proposiciones que había enviado incluyó adrede dos que no podían ser ciertas.

No lo hizo por gastar una broma. Quería detectar a quienes aseguraban haberlo descubierto todo, pero nunca presentaban una demostración. Si alguien decía haber demostrado incluso las proposiciones falsas, se delataría solo. Esto lo escribió él mismo; no es una anécdota tardía acerca de su carácter.

El pasaje revela que la correspondencia matemática del siglo III a. C. ya tenía problemas sociales bastante modernos. Una proposición podía circular antes que su demostración. Se disputaba la prioridad. Decir «yo también lo descubrí» no equivalía a poder demostrarlo. Y un autor podía idear deliberadamente un procedimiento para comprobar esa afirmación.

También merece atención el motivo. No temía que le copiaran las demostraciones: todavía las tenía él. Temía que otros aseguraran haber obtenido por su cuenta los mismos resultados, algo que entonces no había manera de desmentir. Al enviar dos resultados falsos, hizo que esa pretensión sí pudiera refutarse.

Pero tampoco conviene contar esto como si hubiera tendido una trampa dentro de un sistema de revisión por pares. Sería ponerle a una práctica antigua el nombre de una institución moderna. El ritmo de la correspondencia explica también unas cuantas cosas.

Con viento favorable, el viaje desde Italia hasta Alejandría podía hacerse en un plazo de entre diez días y dos semanas. El regreso, con viento en contra, podía alargarse un mes o más. Siracusa estaba en esa ruta, de modo que, en buena temporada, enviar un rollo a Alejandría era cuestión de una a varias semanas. Se trata de una reconstrucción de las condiciones generales de navegación, no de tiempos medidos de su correspondencia.

No ha sobrevivido ni un resguardo de sus envíos. Solo conocemos las condiciones generales de la navegación mediterránea de entonces. Pero eso basta para entender una cosa: mandar una proposición sin demostración, esperar a que el destinatario la estudiara y remitir después la prueba podía consumir fácilmente varios meses de ida y vuelta. El invierno, los vientos, la guerra y los transbordos alargaban aún más los plazos. La distancia física ayuda a explicar por qué enviar primero las proposiciones y más tarde las demostraciones terminó dejando huella en los propios textos matemáticos.

También explica la extensión de sus prefacios. El destinatario no vivía en la casa de al lado. Una carta tardaba semanas, así que cada envío tenía que poner al día lo ocurrido desde el anterior: quién había muerto, qué se había mandado ya, qué seguía sin demostrar, por qué aquello se enviaba solo ahora. Esas aclaraciones terminaron siendo el único testimonio de primera mano de su vida académica. El Arquímedes que aparece en los prefacios no es el genio de la posteridad, tan absorto que se olvida de comer.

Es un hombre muy pendiente de las demostraciones, del orden en que se difunden los resultados, de a quién corresponde su autoría, de la capacidad de sus destinatarios y de la reputación intelectual.

3. Tres leyendas

La otra mitad de lo que se cuenta sobre él procede enteramente de otros, todos muy posteriores. Empecemos por el baño. La fuente más antigua que se conserva es la obra de Vitruvio Los diez libros de arquitectura, escrita hacia los años treinta o veinte del siglo I a. C., entre ciento ochenta y ciento noventa años después de 212 a. C.

El relato da muchos detalles. Hierón ha encargado una corona de oro como ofrenda a los dioses y sospecha que el artesano le ha mezclado plata. No puede destruirse la corona, así que pide una solución a Arquímedes. Al entrar en el baño, este ve que el agua rebosa al sumergirse su cuerpo, comprende de pronto que puede aprovechar el volumen desplazado y, de puro entusiasmo, vuelve corriendo a casa desnudo mientras grita que lo ha descubierto. El relato continúa: toma oro puro y plata pura del mismo peso, los sumerge por separado en recipientes llenos de agua, compara el agua que desbordan y luego hace lo mismo con la corona. La grieta de esta historia es distinta de las que encontramos antes.

En la primera entrega, Heródoto dejaba la grieta a la vista al advertir «yo creo». En la segunda, los relatos sobre Hípaso se contradecían. En la tercera, el protagonista de la frase sobre la inexistencia de un camino real podía cambiarse por otro.

Aquí aparece una cuarta clase de problema. Es muy dudoso que la operación descrita en el relato pueda alcanzar la precisión necesaria.

Ya en 1586, en La pequeña balanza, Galileo juzgaba demasiado tosco el procedimiento de recoger el agua desbordada que describía Vitruvio. Los historiadores de las matemáticas del siglo XX volvieron a señalar el mismo problema. La diferencia de densidad entre el oro y la plata produce, desde luego, una diferencia teórica de volumen. Pero, si la proporción de plata es pequeña, el agua que hay que medir con fiabilidad puede ser muy poca. Que el recipiente se moje, el menisco de la superficie, el agua que queda adherida, las salpicaduras y la propia dificultad de llenarlo exactamente hasta el borde: cada una de esas fuentes de error puede ser tan grande como la diferencia que se intenta medir.

No se discute si el principio del desplazamiento del agua es correcto. Lo es, y además es suyo. Lo que se discute es si el procedimiento descrito por Vitruvio alcanza realmente la precisión exigida para examinar una pieza de orfebrería real.

Por eso la historia resulta más interesante que una leyenda cualquiera. No está inventada de la nada. Introduce un principio verdadero en un procedimiento cuya precisión no se ha acreditado. El relato acertaba con la conclusión, pero quizá no contaba el procedimiento con la misma fiabilidad.

Una alternativa más verosímil es la pesada hidrostática: comparar el peso aparente de un mismo objeto en el aire y sumergido en agua, sin recoger ese poco de líquido que rebosa. Galileo expuso el procedimiento de forma sistemática. Pero eso no es un testimonio del siglo III a. C. y no permite retroceder en el tiempo para afirmar que Arquímedes lo empleó realmente. Un experimento moderno puede decirnos si algo es físicamente posible; no puede decirnos si ocurrió. Pasemos a su muerte. Aquí conviene colocar varios textos uno al lado del otro, porque es en ese recorrido donde nacen las supuestas últimas palabras.

Tito Livio escribe hacia finales del siglo I a. C., unos doscientos años después de los hechos. El armazón de su relato es muy breve: en el desorden de la toma de la ciudad, Arquímedes está absorto en unas figuras dibujadas en el polvo y un soldado que no lo reconoce lo mata. Marcelo lamenta su muerte, dispone sus funerales y protege y favorece a sus familiares. No hay diálogo. Se trata de una muerte por error de identificación.

Valerio Máximo escribe hacia el año 30 d. C., unos doscientos cuarenta años después de los hechos. En su versión, Arquímedes protege el dibujo trazado en el polvo y pronuncia unas palabras cuyo sentido esencial en latín es: por favor, no deshagas esto. Después lo matan.

La célebre frase «No perturbes mis círculos» no está en Tito Livio ni aparece con esa forma en Plutarco. Es el resultado de condensar posteriormente la escena en una máxima, no una transcripción literal de sus últimas palabras conservada en algún texto antiguo.

Plutarco escribe alrededor del año 100 d. C., unos trescientos diez años después. Lo más valioso de su relato es precisamente que no finge conocer una versión única. Cuenta tres seguidas.

Primera: un soldado le ordena presentarse ante Marcelo; él insiste en terminar antes el problema y demostrarlo. El soldado se enfurece y lo atraviesa con la espada. El motivo es la desobediencia.

Segunda: un soldado se acerca con la espada desenvainada; Arquímedes le ruega que espere un momento, que no deje incompleto el problema que tiene delante. El soldado desoye la súplica.

Tercera: Arquímedes lleva relojes de sol, esferas e instrumentos para medir ángulos a ver a Marcelo. Unos soldados creen que los recipientes contienen oro y lo matan. El motivo es el robo. Las tres versiones atribuyen a los soldados motivos completamente distintos.

Si ordenamos los textos conservados por su fecha, vemos una secuencia: la muerte por error y sin diálogo de Tito Livio, la sentencia memorable de Valerio Máximo y el drama con varias ramificaciones recogido por Plutarco. Parece que el relato gana interés con el tiempo.

Pero, desde el punto de vista de las fuentes, eso no basta para concluir que cada autor reescribió al anterior. Los antiguos pudieron compartir relatos que hoy se han perdido. Además, Plutarco distingue expresamente entre lo que algunos escriben y lo que otros cuentan: eso demuestra que antes de él ya coexistían varias versiones. Podemos decir que los testimonios escritos conservados se fueron ampliando. No podemos decir que se haya probado cada eslabón de una cadena de préstamos. Muchas veces, lo que llamamos evolución de una leyenda consiste simplemente en que los textos que nos quedan son cada vez más tardíos. No es lícito dar ambas cosas por equivalentes.

Por último, los espejos. La concentración de la luz solar para incendiar la flota romana no aparece en las fuentes tempranas sobre la guerra.

Polibio escribe a mediados del siglo II a. C., apenas sesenta o setenta años después del asedio. Su relato técnico tiene este armazón: los romanos atacan por tierra y por mar; en el mar unen barcos de guerra para montar grandes plataformas de asalto; el bando de Arquímedes dispone máquinas de proyectiles para distintas distancias, de modo que las naves lejanas reciben grandes piedras y las cercanas una lluvia más densa de proyectiles pequeños; otros mecanismos atacan los barcos desde detrás de las murallas. La versión conservada por Tito Livio es más concreta: la muralla tiene numerosas aberturas a distintas alturas por las que disparan arcos y pequeñas ballestas; unas palancas que sobresalen del muro manejan garfios de hierro capaces de levantar la proa de un barco y soltarla de golpe para que se estrelle contra el agua. Tras fracasar los asaltos, Roma opta por el bloqueo.

Ninguno de estos tres autores menciona espejos.

Una primera capa de la historia aparece en Luciano, hacia mediados del siglo II d. C., unos trescientos setenta años después: dice que Arquímedes destruyó barcos con fuego, pero no describe la famosa disposición de espejos. Los espejos incendiarios propiamente dichos no aparecen hasta Antemio de Tralles, hacia el año 500 d. C., unos setecientos años después de 212 a. C.

En 2005, un equipo utilizó ciento veintisiete espejos de un pie de lado para concentrar la luz sobre un blanco fijo de madera a unos treinta metros. Con un cielo idealmente despejado y el blanco inmóvil durante mucho tiempo, se podía carbonizar la madera e incluso provocar un pequeño fuego, pero había que mantener la puntería durante unos diez minutos. Las posteriores pruebas de repetición a gran escala subrayaron cuánto disminuía la eficacia si el barco se movía, si los espejos no apuntaban con exactitud o si variaban el tiempo, la orientación y la distancia.

La conclusión no es que el principio óptico sea imposible. Es que resulta sumamente poco práctico como arma incendiaria en una batalla. En la misma época era mucho más sencillo lanzar directamente materiales ardiendo. Tres historias, tres distancias temporales; y en todas, la capa más difundida es la más tardía.

Las tres tienen algo más en común. Todas cuentan un encuentro suyo con una fuerza exterior: la sospecha de un rey, la espada de un soldado, la flota de un enemigo.

En sus propios escritos, en cambio, no menciona ni una sola vez ninguna de esas tres cosas. Habla de quién ha muerto, de lo que ha enviado y de qué demostración sigue debiendo.

Plutarco ofreció una explicación para ese silencio. Según él, Arquímedes construyó las máquinas defensivas solo después de que el rey Hierón se lo pidiera una y otra vez; les concedía poca importancia, como si fueran un subproducto de jugar con la geometría. Añade que consideraba vulgares y bajas la ingeniería y todas las artes al servicio de las necesidades cotidianas, por lo que se negó a dejar escrito alguno sobre esos artefactos. En el mismo pasaje, Plutarco cuenta una historia anterior: Eudoxo y Arquitas habían recurrido a mecanismos para resolver problemas geométricos; Platón, indignado, los acusó de corromper la geometría y hacerla caer desde lo incorpóreo hasta lo sensible. Es cierto que entre los escritos conservados de Arquímedes no hay ninguno dedicado a las máquinas de asedio. Pero en la carta que veremos en la quinta sección busca áreas y volúmenes precisamente con una balanza imaginaria.

Lo que una persona cuenta de sí misma y las historias que otros le atribuyen pueden no tener nada que ver. Esta entrega ofrece la comparación más clara de toda la serie, porque aquí tenemos ambos lados y podemos consultar los dos.

4. Una doble reducción al absurdo

Veamos ahora qué hacía de verdad. La palabra «exhaución» se presta a una explicación equivocada: se aumenta sin cesar el número de lados hasta que se vuelve infinito y, entonces, el polígono es igual al círculo. La demostración clásica tiene justamente otra estructura. Primero se propone un valor concreto: por ejemplo, el área de esta figura de borde curvo debe ser igual a la de cierta figura rectilínea conocida.

A continuación se supone que el área verdadera es mayor. Si es mayor, entre las dos hay una diferencia positiva determinada. Se construye entonces una figura inscrita, con un número finito de lados, pero lo bastante ajustada para que la porción que deja sin cubrir sea menor que aquella diferencia. Las relaciones geométricas conocidas obligan a esa figura inscrita a satisfacer dos desigualdades incompatibles. Contradicción. Por tanto, el área no puede ser mayor.

Luego se supone que es menor que el valor propuesto. Se repite el razonamiento con una construcción circunscrita y se llega a otra contradicción. Tampoco puede ser menor. Si no puede ser mayor ni menor, tiene que ser igual. En ningún momento el número de lados se ha vuelto infinito. Conviene detenerse aquí, porque es justo el punto que más se suele explicar mal. La versión equivocada fluye mejor y se parece más a la noción posterior de límite; por eso casi siempre gana en los relatos divulgativos.

Un polígono con cada vez más lados se aproxima cada vez más a un círculo: esa es la imagen intuitiva y así se procede, en efecto, en la construcción. Pero la fuerza de la demostración no está en la imagen. Está en esta garantía: por pequeña que sea la diferencia que plantee el adversario, existe una etapa finita en la que el resto será aún menor. Una cosa es el proceso; otra, la garantía. Lo que se usa es la segunda. La distinción volverá a aparecer dos mil años después, con otra forma y mucho más peso.

Cada reducción al absurdo se enfrenta a una diferencia ya fijada. Solo hay que probar que existe una etapa finita en la que el resto queda por debajo de esa diferencia. Al llegar a ella surge la contradicción y la demostración termina.

El apoyo de este paso es la primera proposición del libro X de los Elementos. Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita más de la mitad y se repite la operación con lo que va quedando, al cabo de un número finito de pasos el resto será menor que la magnitud pequeña fijada al comienzo. La clave no es repetir hasta el infinito. Es poder franquear, siempre en un número finito de pasos, cualquier umbral que se haya señalado de antemano.

El lugar que ocupa la proposición en los Elementos también dice algo. No está en los libros sobre círculos o esferas. Está al principio del libro X, dispuesta como una herramienta que podrá tomar quien la necesite más adelante.

Entendido con rigor, el título de esta entrega no significa quedarse siempre a un paso. Significa que se puede demostrar una igualdad exacta y única sin tener que completar un proceso infinito y convertirlo en un objeto matemático. Con este modo de proceder, Arquímedes consiguió varias cosas.

En La medida del círculo demuestra que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el radio y la longitud de la circunferencia. Más adelante, en la misma obra, da una cota inferior y otra superior para la razón entre circunferencia y diámetro: las que hoy suelen expresarse como 3 + 10/71 y 3 + 1/7. No está midiendo la circunferencia con un decimal. Está estableciendo límites rigurosos mediante polígonos finitos controlables y estimaciones de raíces cuadradas.

La cuadratura de la parábola demuestra que el área de un segmento parabólico equivale a cuatro tercios del área de un determinado triángulo inscrito.

Esta obra importa especialmente porque ofrece dos caminos: uno relacionado con la mecánica y el centro de gravedad, y otro puramente geométrico. El primero es uno de los descubrimientos mecánicos más tempranos que después recordará en El método. Es decir, en La cuadratura de la parábola ya se ve el reparto de tareas entre descubrir y demostrar, aunque todavía no se exponga con la claridad de El método. Un hombre explicó dos veces su manera de trabajar: una de pasada y otra en una carta dedicada a ello. La segunda estuvo a punto de no llegar hasta nosotros.

Sobre la esfera y el cilindro extiende ese mismo control a las tres dimensiones. El área de la superficie de una esfera es cuatro veces el área de su círculo máximo. El volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro circunscrito. La demostración no consiste en declarar que la esfera es una suma de discos infinitamente delgados y dar el asunto por cerrado. Acota el error con cuerpos geométricos inscritos y circunscritos y relaciones de desigualdad.

Los textos antiguos no tienen un nombre único para todo esto, como si fuera el título de un capítulo en un manual moderno. Euclides no anuncia al principio del libro XII que va a usar el método de exhaución, ni Arquímedes reúne sus demostraciones rigurosas bajo una denominación especial. El origen de la etiqueta «exhaución» suele remontarse a una obra de Grégoire de Saint-Vincent sobre la cuadratura del círculo y de las secciones cónicas, publicada en 1647.

No es una simple manía etimológica. Un nombre puede hacernos creer que alguien inventó un día una cosa llamada método de exhaución y se la pasó a los demás. Lo que muestran las fuentes conservadas es un conjunto de técnicas compartidas: una diferencia arbitrariamente dada, la reducción al absurdo, las aproximaciones por dentro y por fuera, la sustracción reiterada de una parte lo bastante grande, la teoría de las proporciones. Solo después se guardaron todas en un mismo cajón con una etiqueta común. Y, en cuanto a la autoría de estas herramientas, la atribución más firme procede precisamente del propio Arquímedes.

En el prefacio de El método dice que Eudoxo fue el primero en demostrar estos dos teoremas: un cono tiene un tercio del volumen de un cilindro de igual base y altura, y una pirámide tiene un tercio del volumen de un prisma de igual base y altura. Pero añade enseguida que Demócrito ya había enunciado ambos resultados, aunque sin demostrarlos, y que por ello también le corresponde un mérito considerable. Es un pasaje precioso: no obliga a depender de las conjeturas de un historiador de las matemáticas que escribiera siglos más tarde.

Además, distingue claramente tres logros: ser el primero en enunciar un resultado, el primero en hallar su demostración y el primero en ofrecer un procedimiento para descubrirlo. Cada mérito puede corresponder a una persona distinta.

5. El método

El método empieza así: Arquímedes saluda a Eratóstenes.

Primero le recuerda que tiempo atrás le envió varios teoremas, solo con sus enunciados, para que el destinatario buscara las demostraciones. Ahora se las remite y, además, explica una manera de descubrir resultados matemáticos con ayuda de la mecánica. La imagen central del procedimiento es una balanza.

Imagina una figura plana compuesta por multitud de segmentos paralelos y trata un cuerpo sólido mediante multitud de secciones paralelas. Para cada grupo de segmentos o secciones correspondientes establece proporciones entre longitudes, áreas o pesos; después los coloca mentalmente en una palanca para que las distintas partes se equilibren a distintas distancias del punto de apoyo. Si todos los grupos de cortes satisfacen, uno por uno, la relación de equilibrio, infiere que entre las áreas o los volúmenes completos debe existir una relación de pesos correspondiente. Con las posiciones conocidas de los centros de gravedad obtiene entonces el resultado que busca.

Y llega la frase decisiva de esta entrega. Arquímedes declara expresamente que eso no constituye una demostración definitiva.

No son los historiadores posteriores quienes lo juzgan poco riguroso. Lo escribe el propio autor: una investigación realizada por medios mecánicos no proporciona una verdadera demostración; hay que volver a demostrar el resultado por procedimientos geométricos.

A la vez, añade que es más fácil buscar una demostración cuando ya se sabe, aproximadamente, cuál es el resultado, que cuando no se conoce en absoluto la meta. Sus ejemplos son Demócrito y Eudoxo.

Por último, explica por qué quiere divulgar el procedimiento: otros matemáticos, incluso los de generaciones futuras, podrían usarlo para descubrir teoremas que él todavía no ha descubierto.

Por eso, presentar El método como la prueba de que usaba el cálculo infinitesimal a escondidas, sin atreverse a confesarlo, hace perder de vista lo verdaderamente asombroso de la obra. No tenía un método inferior y otro superior. Distinguía con mucha claridad entre dos tareas. Hoy la distinción parece corriente porque la enseñanza moderna de las matemáticas advierte desde el principio que dar con un resultado y demostrarlo no son la misma cosa.

Pero, entre los textos antiguos conservados, casi solo él lo dice. El procedimiento mecánico responde a cómo se descubrió el resultado y por qué merece ser creído. La demostración geométrica responde a por qué es válido en sentido riguroso. Ambos colaboran, pero no tienen el mismo estatuto.

La razón que ofrece es también muy sencilla. Si sabes más o menos dónde está la meta, encontrar el camino es más fácil que buscar a ciegas. El valor del descubrimiento no reside en su rigor, sino en que reduce el terreno de búsqueda. Encontrar algo así en los textos matemáticos de la Grecia antigua que se conservan es muy raro.

La inmensa mayoría de las obras matemáticas griegas presentan los resultados una vez terminados, ordenados en proposiciones y demostraciones. El lector recorre una carretera ya construida; no ve cómo el autor la encontró entre errores, conjeturas, ensayos y analogías.

El método deja que un matemático de primer orden diga con su propia voz: primero lo descubrí de esta manera; sé que eso todavía no sirve como demostración; después me puse a demostrarlo. Te cuento cómo lo descubrí para que tú también puedas encontrar cosas nuevas.

Tampoco es que la Antigüedad no ofrezca ningún texto comparable. El propio prefacio de La cuadratura de la parábola ya mencionaba los dos caminos, el descubrimiento mecánico y la argumentación geométrica. Más tarde, Papo también explicó en términos generales el análisis y la síntesis: cómo remontarse desde lo buscado y recorrer después el camino en sentido contrario.

Pero Papo ofrece un esquema metodológico. No cuenta cómo encontró él mismo un teorema el día anterior. La diferencia está en la persona gramatical: el esquema dice cómo se debe proceder en general; El método dice cómo procedí yo aquella vez.

Por eso, la valoración más sólida no es llamarlo el único registro antiguo de un descubrimiento. Es decir que, entre los textos conservados de la matemática superior griega, constituye uno de los poquísimos en que el propio autor separa expresamente un procedimiento heurístico de descubrimiento de un procedimiento formal de demostración, con suficiente detalle para ver cómo cooperan. Aquí hay que aclarar algo más, porque este es uno de los puntos donde resulta más fácil ir demasiado lejos.

La idea de El método de considerar las áreas como colecciones de líneas y los volúmenes como colecciones de superficies, para compararlos corte a corte, tiene una semejanza estructural real con el método de los indivisibles del siglo XVII. Cualquiera que conozca este último pensará enseguida en él al leer esas páginas.

Pero el parecido no demuestra una transmisión.

Cuando los matemáticos europeos del siglo XVII desarrollaban el método de los indivisibles, El método no figuraba en ninguna de las colecciones de obras de Arquímedes que podían leer. Ese texto no volvió a entrar en la historia de las matemáticas hasta 1906.

Por tanto, no hay una línea de transmisión que una El método con el siglo XVII. Solo cabe decir que dos épocas separadas por mil ochocientos años, enfrentadas al problema de las áreas y los volúmenes de formas curvas, desarrollaron cada una ideas de cortes comparables en su estructura. Los matemáticos del siglo XVII sí estuvieron profundamente influidos por las otras obras de Arquímedes, las que nunca habían dejado de circular.

6. El infinito

Aristóteles estudió de manera sistemática el infinito en el libro III de la Física.

Se oponía a entenderlo como una cantidad completa, dada de una vez por todas. Prefería concebirlo como una situación en la que, por lejos que se haya llegado, siempre cabe tomar algo más o seguir dividiendo. Su formulación viene a decir que infinito no es aquello fuera de lo cual no hay nada, sino aquello fuera de lo cual siempre hay algo. También se ocupó directamente de las matemáticas: rechazar el infinito actual no impide trabajar a los matemáticos, porque les basta con tomar una cantidad arbitrariamente grande, pero finita.

Hay una cadena causal que queda impecablemente ordenada: Zenón plantea las dificultades del infinito, Aristóteles dicta una prohibición, los matemáticos la acatan y por eso inventan el método de exhaución. Las fuentes conservadas no sostienen ese relato.

Eudoxo es anterior a Aristóteles o, como mínimo, pertenece al mismo siglo. Sus técnicas no pueden explicarse sin más como un diseño posterior a la aceptación de la Física. Las demostraciones rigurosas de Euclides y Arquímedes son, en efecto, sumamente compatibles con el infinito potencial: mantienen construcciones finitas y concluyen mediante relaciones de tamaño fijadas de manera arbitraria. Pero ningún prefacio de Arquímedes dice que demuestra así porque Aristóteles haya prohibido el infinito actual.

La evidencia permite concluir que la práctica demostrativa de la geometría griega rigurosa encaja muy bien con esa filosofía. Faltan, en cambio, documentos que prueben que una prohibición filosófica gobernara directamente a la comunidad matemática.

Incluso cabe invertir la pregunta. Cuando Aristóteles dice que los matemáticos no necesitan realmente el infinito actual, ¿no estará describiendo en parte una práctica ya existente, en vez de legislar para ellos? ¿Y de verdad la matemática griega evitó por completo el infinito actual? Aquí hay una controversia genuina, cuya evidencia procede del libro desmantelado con el que abrimos esta entrega.

A partir de las nuevas lecturas del palimpsesto, Netz ha propuesto que, en algunas proposiciones de El método, Arquímedes parece hacer algo más que considerar una a una secciones arbitrarias: habla de la totalidad o del número de esas líneas y las pone en correspondencia como un todo. Según su interpretación, eso supone, al menos en el plano operativo, una totalidad infinita actual.

Sus críticos no niegan la presencia de aquellas palabras griegas. Discuten el salto interpretativo de la traducción: pasar de todas las secciones o de la multiplicidad de esas líneas a un conjunto infinito ya completado puede introducir la ontología de la teoría moderna de conjuntos. Además, el propio Arquímedes dice que el procedimiento mecánico no constituye una verdadera demostración; para demostrar formalmente vuelve a razonamientos finitos.

Merece la pena recordar esta controversia por una característica poco habitual: se discute sobre unas mismas letras que hace ciento veinte años no estaban al alcance de la vista de nadie.

Hay, por tanto, dos afirmaciones que necesitan corregirse. Decir que la matemática griega nunca admitió ninguna idea de infinito actual en su pensamiento es demasiado tajante: El método obliga a tomar en serio un posible contraejemplo. Decir que Arquímedes aceptó el infinito actual en su acepción moderna también lo es: en el texto no hay una teoría de conjuntos infinitos, y menos aún el concepto moderno de cardinal.

Una descripción más prudente sería esta: la práctica demostrativa establecida en la matemática griega tendía a evitar que una totalidad infinita completada le sirviera de fundamento. Pero los razonamientos de descubrimiento y ciertos usos del lenguaje de los matemáticos no tenían por qué obedecer una prohibición absoluta y sin excepciones. Sobre la diferencia entre lo grande y lo infinito, Arquímedes escribió algo más directo.

El punto de partida de El arenario roza la provocación. Hay quienes creen que los granos de arena son infinitos o, por lo menos, que no existe un número suficientemente grande para expresarlos. Arquímedes diseña entonces un sistema ampliado para nombrar números enormes, fija una cota superior extraordinariamente generosa para las dimensiones del universo y demuestra que, incluso si se llenara de arena un universo así, sus granos seguirían siendo un número finito al que se puede dar nombre. No pretende calcular cuánta arena hay realmente en el universo. Pretende mostrar que ser inconcebiblemente grande y ser infinito son cosas distintas.

La misma obra conserva un pasaje sobre Aristarco de Samos. Arquímedes cuenta que Aristarco había propuesto unas hipótesis: las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles; la Tierra gira en círculo alrededor del Sol, situado cerca del centro de la órbita; y la esfera de las estrellas fijas tiene dimensiones inmensas. El tratado heliocéntrico de Aristarco se ha perdido, por lo que este pasaje es uno de los resúmenes conservados más antiguos, más explícitos y más técnicos de su contenido.

Pero no es exacto llamarlo la única fuente. Plutarco también menciona después, en Sobre la cara visible de la Luna, que Aristarco puso a la Tierra en movimiento; las compilaciones tardías de doctrinas conservan otras huellas. Lo que sí es un hecho inequívoco es que la propia obra heliocéntrica de Aristarco no ha sobrevivido.

7. La tumba que encontró Cicerón

Las pruebas de las leyendas anteriores son endebles. Ahora encontramos una bastante más firme. Plutarco dice que Arquímedes apreciaba por encima de todos el resultado de la esfera y el cilindro y que pidió a sus amigos y familiares que pusieran ambos en su tumba. Por sí sola, la afirmación tiene poco peso: Plutarco escribe unos trescientos diez años después.

Pero Cicerón aporta otra capa de evidencia.

Las Disputaciones tusculanas se escribieron hacia 45 a. C. Cicerón cuenta que, cuando fue cuestor en Sicilia en 75 a. C., los propios siracusanos ni siquiera sabían dónde estaba la tumba de Arquímedes. Él recordaba unos versos de la inscripción y el emblema de la esfera y el cilindro. Fue a buscarla al cementerio situado junto a la puerta de Agrigento, vio entre los arbustos una pequeña columna con una esfera y un cilindro y pidió a la gente del lugar que despejara las zarzas. Así reconoció la inscripción, ya parcialmente deteriorada. Es el recuerdo en primera persona de una acción suya de treinta años antes.

Entre la muerte de Arquímedes y 75 a. C. median unos ciento treinta y siete años. El texto de 45 a. C., en cambio, solo dista unos treinta años del hallazgo que Cicerón dice haber realizado. ¿Por qué pesa más este testimonio que el baño o las últimas palabras?

Porque no dice haber oído que Arquímedes hizo tal o cual cosa doscientos años atrás. Dice que él mismo estuvo allí y que, siguiendo las pistas de la inscripción, encontró y mandó limpiar una tumba. Las hierbas, la columna, la esfera y el cilindro, la inscripción rota: al menos son afirmaciones de alguien que se presenta como testigo. También dice que los propios siracusanos habían olvidado dónde estaba la sepultura, y al final del pasaje hace que el relato desemboque en su persona: la ciudad más noble de Grecia, en otro tiempo también la más culta, habría seguido sin conocer la tumba de su ciudadano más inteligente si no se la hubiera señalado un hombre de Arpino. Decir que los vecinos la habían olvidado era también decir que quien la encontró fue él.

El pasaje pertenece a un libro que discute si la virtud basta para vivir feliz. Cicerón presenta primero a Dionisio, el antiguo tirano de la misma ciudad, y después hace salir de entre el polvo y una varilla de dibujar a quien llama un hombrecillo humilde: Arquímedes. Tras contar lo de la tumba, pregunta, en esencia, quién que haya tenido algún trato con las musas, es decir, con la cultura y el saber, no preferiría ser aquel matemático antes que aquel tirano. La mente del uno se alimenta de indagar y explorar las razones de las cosas, el alimento más dulce del alma; la del otro se empapa de asesinatos e injusticia y pasa los días y las noches con miedo.

Naturalmente, tampoco es una prueba irrefutable. Hoy no disponemos de una cadena de identificación de la tumba que podamos comprobar de nuevo. Tampoco podemos descartar que Cicerón se equivocara al identificar una sepultura que una tradición local atribuía a Arquímedes.

Aun así, frente al baño de Vitruvio, contado casi doscientos años después, o las últimas palabras de Valerio Máximo, doscientos cuarenta años posteriores, la estructura de esta fuente es claramente más sólida.

Solo podemos afirmar lo siguiente: Cicerón asegura que en 75 a. C. encontró una tumba antigua y que, por el emblema de la esfera y el cilindro y por la inscripción, la identificó como la de Arquímedes. Que Arquímedes hubiera pedido antes de morir ese diseño funerario lo afirma únicamente Plutarco, mucho más tarde.

Pero la esfera y el cilindro como emblema sí tienen un fundamento firme. El resultado que vimos antes, la proporción entre el volumen de una esfera y el del cilindro circunscrito, siempre ha tenido un carácter emblemático en la tradición de Arquímedes. Por eso, que Cicerón viera una esfera y un cilindro en aquella columna encaja, al menos, con las matemáticas. Siguiendo ese hilo podemos mirar otro asunto.

Su año de muerte, 212 a. C., es bastante seguro. Está insertado en las cronologías de la segunda guerra púnica, la caída de Siracusa y las campañas de Marcelo. Varias tradiciones independientes de historia militar lo sitúan en el contexto del asedio. Con su año de nacimiento ocurre algo muy distinto.

La fecha aproximada de 287 a. C. procede de Juan Tzetzes, un autor del siglo XII d. C., unos mil trescientos sesenta años posterior a 212 a. C. Tzetzes dice que Arquímedes vivió setenta y cinco años. Los biógrafos modernos retroceden esos años desde 212 a. C. y obtienen 287 a. C. No es una partida de nacimiento, ni mucho menos una inscripción de su época.

Esta clase de cuenta hacia atrás es habitual con los personajes antiguos. Basta con una frase que diga cuántos años vivió alguien y una fecha de muerte fiable para producir un año de nacimiento de apariencia exacta. Una vez entra en las cronologías, la fecha deja de ir acompañada de su procedencia. La muerte está mucho mejor fechada que el nacimiento: vale para Arquímedes y también para la mayoría de las personas que aparecen en esta entrega.

Tampoco son firmes las fechas absolutas de sus obras. Los prefacios proporcionan una secuencia relativa: qué proposiciones envió primero, en qué momento ya había muerto Conón, qué remitió después a Dositeo y cómo El método recuerda descubrimientos mecánicos anteriores. Asignar a cada obra un año concreto es una reconstrucción cronológica moderna, no leer una fecha puesta en el manuscrito. Curiosamente, el colofón del libro de oraciones del siglo XIII ofrece una certeza mayor que todo eso. 13 de abril de 1229. Ahí está escrito.

8. Mil ciento ochenta años

Volvamos al libro desmantelado. Su reaparición no comenzó en 1906, con alguien que entrara por casualidad en un monasterio.

En la década de 1840, el estudioso de manuscritos bíblicos Tischendorf ya había visto el palimpsesto en Constantinopla y advertido que debajo había escritura matemática. Más tarde, incluso una de sus hojas llegó a Cambridge entre los bienes que dejó al morir.

En 1899, el erudito griego Papadópulos catalogó los libros de una dependencia monástica de Constantinopla, incluyó el volumen con el número 355 y transcribió unas líneas visibles del griego subyacente. El filólogo danés Heiberg vio esas líneas y reconoció Sobre la esfera y el cilindro. En 1906 viajó en persona a Constantinopla.

No disponía de fotografía ultravioleta, y mucho menos de imágenes por rayos X. Leyó la tinta desvaída, perpendicular a las oraciones, con los ojos, con aumentos, con distintas condiciones de iluminación y con la fotografía de entonces. Identificó siete obras. La más sorprendente era El método, hasta aquel momento completamente perdido.

Sus fotografías cubrieron ciento tres caras escritas, contando anversos y reversos; en treinta y ocho ocasiones fotografió el libro abierto por dos páginas. Si se cuentan las exposiciones, el total suele reconstruirse como unas sesenta y cinco fotografías.

Esas imágenes resultarían cruciales, porque el libro siguió deteriorándose durante el siglo XX. Algunas letras que Heiberg aún pudo ver en 1906 ya habían sido devoradas por el moho en 1998. Varias hojas desaparecieron después y de ellas solo quedaron sus transcripciones o fotografías. Heiberg volvió a estudiar el manuscrito en 1908. No hay un registro continuo de cuándo salió luego de Constantinopla ni de por qué manos pasó.

Cuando la subasta de 1998 provocó un litigio, la Iglesia ortodoxa griega sostuvo que el volumen había salido ilegalmente de sus colecciones durante las convulsiones del siglo XX. Una familia francesa, por su parte, afirmó que lo había adquirido ya en la década de 1920. Lo que puede confirmarse es que, al menos a mediados del siglo XX, se encontraba en una colección privada francesa. Entre 1908 y ese momento hay una laguna real en la cadena de propiedad.

Que un manuscrito exista físicamente no significa que el objeto vaya a entregar por sí solo su historial. Puede ser auténtico y, aun así, haber perdido el rastro de su procedencia.

En 1998 se subastó públicamente en Nueva York y un coleccionista privado estadounidense, anónimo, lo compró por unos dos millones de dólares. Su identidad sigue sin tener una confirmación pública fiable. El nombre que lleva años circulando por internet no conduce a una fuente. Quién posee hoy un manuscrito medieval que transmite textos escritos hace más de dos mil años resulta ser, paradójicamente, el eslabón más difícil de esclarecer de toda esta historia. Después, el coleccionista confió el manuscrito a un equipo de un museo de arte de Baltimore para su conservación, obtención de imágenes e investigación, y financió el proyecto a largo plazo. En 1998, el libro estaba demasiado deteriorado para llevarlo sin más a un escáner.

Los conservadores dedicaron primero varios años a desmontarlo. Uno de los problemas era que un encuadernador del siglo XX había aplicado al lomo un adhesivo moderno parecido a la cola blanca de carpintero. La cola resistía más que el propio pergamino y era muy difícil retirarla sin desgarrarlo. En las zonas atacadas por el moho ocurría lo contrario: las fibras de colágeno se habían pulverizado y el más leve contacto podía hacer que se perdiera material. El desmontaje duró de 2000 a 2004.

La imagen multiespectral no consiste en sacar una foto más nítida. Consiste en fotografiar por separado en varias bandas del ultravioleta, el visible y el infrarrojo y combinar las imágenes con algoritmos que aprovechan las distintas respuestas espectrales del pergamino, de la tinta de las oraciones del siglo XIII y de la tinta subyacente del siglo X. Desde los primeros ensayos, de menor resolución, el equipo fue avanzando hasta trabajar con doce bandas y luz lateral.

Pero, en el siglo XX, alguien había añadido además falsos retratos de evangelistas de estilo bizantino a varias páginas. El equipo determinó por sus modelos iconográficos que no podían ser anteriores a 1929: copiaban imágenes de un manuscrito griego publicadas aquel año. Las capas de pintura y oro bloqueaban las técnicas ópticas.

Se recurrió entonces a otro procedimiento: excitar los elementos de la tinta con rayos de alta energía producidos mediante radiación sincrotrón y medir punto por punto la señal de fluorescencia. La distribución del hierro, en particular, permite reconstruir el trazo de la tinta original. Aunque encima haya oraciones e incluso pintura, todavía pueden dibujarse las letras de la capa inferior. Así se leyó en la fuente de radiación sincrotrón de Stanford lo que había bajo las pinturas falsas.

No es cierto que la tecnología moderna haya permitido leer ya el libro entero. Las imágenes pueden reforzar una señal material que todavía existe; no pueden recuperar el pergamino y la tinta que el moho ha destruido por completo ni leer las hojas que ya se habían perdido. Los registros de conservación lo dicen con claridad: en grandes zonas dañadas por el moho, las letras han desaparecido físicamente.

Hay también un epílogo. Una de las tres hojas que habían desaparecido ha sido identificada de nuevo en un museo de arte francés. Coincide con las fotografías de Heiberg de 1906 y contiene texto de Sobre la esfera y el cilindro. El número y la situación de las páginas perdidas todavía pueden cambiar en el siglo XXI. Ni siquiera hoy está cerrado el inventario de este objeto.

El cuerpo principal del libro de oraciones que se conserva tiene unas ciento setenta y cuatro hojas de pergamino, es decir, unas trescientas cuarenta y ocho caras entre anversos y reversos. Cada hoja mide aproximadamente veinte por quince centímetros. Es un libro de piel que de verdad se puede desmontar y encuadernar, doblar, llenar de moho, manchar de cera o estropear con pegamento. No es un texto abstracto.

Queda por corregir una afirmación. A menudo se lo presenta como el objeto de la matemática griega más próximo al propio Arquímedes. Esa frase mezcla dos cosas distintas.

Dentro de la transmisión de los textos de Arquímedes, el manuscrito es, en efecto, excepcionalmente temprano. Precede en unos cuatrocientos años a las otras tradiciones conocidas de copias medievales de sus obras, por lo que algunas figuras podrían acercarse más a los modelos antiguos que las de los ejemplares posteriores.

Pero su fecha material no lo sitúa en absoluto cerca de Arquímedes. Entre la copia del siglo X y 212 a. C. median unos mil ciento ochenta años. Esa piel, la tinta de aquel copista del siglo X, esas letras minúsculas: nada de eso pasó por las manos de Arquímedes. Ni siquiera la escritura minúscula griega del siglo X pertenece al sistema de escritura que habrían usado sus contemporáneos.

Por supuesto que existen objetos de la matemática griega mucho más antiguos. Un fragmento del libro II de los Elementos hallado en Egipto suele fecharse entre finales del siglo I y comienzos del II d. C. Incluso si aceptamos la fecha más tardía, antecede al palimpsesto en más de ochocientos años.

Así que El método no llegó hasta hoy flotando sobre una tradición abstracta.

Lo trajeron hasta aquí la piel de unos animales, la tinta con hierro, las hojas que alguien giró noventa grados y dobló, el almacén de un monasterio, un catálogo, un viaje, sesenta y cinco negativos de vidrio, una subasta, años de desmontaje, doce bandas de luz y un haz de radiación sincrotrón. Si se hubiera roto cualquiera de esos eslabones, hoy no existiría aquella página en la que el propio Arquímedes explica el reparto de tareas entre descubrir y demostrar.

Y al principio de esa cadena hay un hombre que raspa tinta. Las fuentes no permiten saber si comprendía el contenido de lo que iba a quedar cubierto. Lo que sabemos es que no logró borrarlo del todo. En la cadena se mezclan la supervivencia fortuita y la identificación y protección conscientes de generaciones enteras; no se pueden separar tajantemente, eslabón por eslabón.

Seguimos haciendo cuentas. Qué cuenta como matemáticas nunca ha terminado de estar claro.

Fuentes y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación del texto. Los registros de las colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no aportan el mismo tipo de evidencia.

• Proyecto del Palimpsesto de Arquímedes: el manuscrito
• Historia del manuscrito de Arquímedes
• Chris Rorres: el problema de la corona de oro
• SLAC: imágenes del palimpsesto mediante rayos X
• Roger Easton: investigación sobre las imágenes del palimpsesto
• iRHiST de la Sorbona: la hoja perdida de Blois, redescubierta en octubre de 2025
• Revista del Museo de Arte Walters, volumen 62