La arquitectura de los axiomas

No hay un camino reservado a los reyes

Ptolomeo le preguntó a Euclides si no había una manera de aprender geometría más corta que leerse aquel libro entero. Euclides respondió que la geometría no tenía un camino reservado a los reyes. La frase lleva mil quinientos años circulando. Es breve, tiene dignidad y consigue reunir a un matemático y a un rey en la misma habitación para que gane el primero.

Estas historias suelen tener la misma forma. El poder pide un atajo; el saber responde que no lo hay. No hace falta entender geometría para entender la escena, y quien la escucha acaba del lado de las matemáticas. Así funcionan las historias que sirven para algo: no exigen conocer una disciplina, basta con reconocer una actitud. Pero una historia que se transmite por la fuerza de una actitud tampoco necesita conservar a sus protagonistas durante el viaje.

Quien la conservó fue Proclo, que escribía hacia el año 450 de nuestra era. Si la escena ocurrió alrededor del 300 a. C., entre una cosa y otra median unos setecientos cincuenta años. Proclo no dice de dónde la sacó.

Hay un inconveniente mayor. Otro compilador del siglo V, Estobeo, guardó una versión distinta de la misma historia. Un rey pregunta por una vía rápida para aprender geometría; el matemático contesta que para viajar los reyes tienen caminos propios, pero para la geometría no. En esta versión, el rey es Alejandro Magno y el matemático, Menecmo.

Una historia, dos parejas de maestro y discípulo, ambas separadas de quien las registra por más de setecientos años. Eso no es una corroboración mutua. Es más bien lo contrario. Si el relato puede colgarse de dos parejas distintas, le da igual de quién cuelga.

Y las dos versiones resultan verosímiles. Menecmo fue realmente un matemático del siglo IV a. C.; Alejandro fue realmente un rey. Las fechas encajan. También encajan las de Euclides y Ptolomeo I. La grieta no está dentro de la historia. Está en que tenemos dos.

Estobeo conservó otra anécdota. Un alumno acababa de aprender el primer teorema y preguntó qué iba a sacar de todo aquello. Euclides mandó a un criado que le diera tres óbolos, ya que tanto empeño tenía en obtener algún beneficio de lo que aprendía. Entre las dos anécdotas queda compuesto el Euclides de la posteridad: altivo, severo, desdeñoso de la utilidad y poco dispuesto a ceder, ni siquiera ante un rey.

Las primeras fuentes que tenemos de ambas anécdotas son del siglo V de nuestra era.

Eso no significa que no se puedan contar. Son textos que existieron de verdad en la Antigüedad tardía y nos enseñan cómo deseaban imaginar entonces a un matemático. En ese sentido son documentos históricos. No son testimonios de lo que Euclides hizo realmente una tarde.

La actitud que se niega a cambiar conocimiento por provecho tiene otra fuente mucho más antigua cuyo texto podemos consultar. Solo que quien habla allí no es Euclides. En el siglo IV a. C., Platón escribió en el libro VII de la República que quienes fueran a ocupar las más altas funciones de la ciudad debían estudiar aritmética sin quedarse en la superficie: habían de llegar a percibir mediante el pensamiento la naturaleza del número. No para comprar y vender, como mercaderes y tenderos, sino para la guerra y para volver el alma desde lo mudable hacia lo verdadero. Poco antes lo había dicho con mayor franqueza: un soldado necesita saber de números para ordenar las filas. En Platón, «no para comerciar» y «para hacer la guerra» son las dos mitades de una misma frase.

Los dos ensayos anteriores se ocuparon de dos tipos de grietas. En el primero, Heródoto dejaba la suya a la vista al escribir «yo creo». En el segundo, las versiones de la historia de Hípaso se contradecían y eran más completas cuanto más tardías. Aquí aparece un tercer tipo: los protagonistas son intercambiables. Merece la pena preguntarse por separado qué queda de este hombre si quitamos las dos anécdotas. La respuesta es: casi nada.

No se sostiene ninguna de las descripciones que lo presentan como afable, serio, pobre, enemigo del provecho o maestro excelente. Esos retratos se han deducido, en lo esencial, de las dos anécdotas. Entretanto, podemos someter a examen cada palabra de su libro. La cadena de transmisión se deja recorrer eslabón por eslabón: Teón lo editó en el siglo IV; el manuscrito decisivo del Vaticano se fecha entre los siglos IX y X; hasta quedan huellas de cómo los copistas fueron dejando los dibujos un poco más ordenados generación tras generación. Todo lo que nos falta para conocer al hombre lo tenemos para conocer el libro.

Ahí está la principal diferencia con los dos ensayos anteriores. En el primero había objetos sin nombres. En el segundo, nombres sin objetos. Aquí tenemos un libro completo que se puede cotejar palabra por palabra y un autor casi en blanco. El hombre apenas existe; su construcción, en cambio, sigue entera ante nosotros, proposición tras proposición. Lleva dos mil trescientos años sin venirse abajo.

Conocemos el libro, no al hombre

De Euclides no hay una biografía contemporánea fiable. Ni registro de nacimiento ni de muerte, ni familia, ni maestros, ni documentos de un cargo. «Hacia el 300 a. C.» designa, ante todo, un período de actividad deducido por cronología relativa, no unas fechas de vida. Si ordenamos por antigüedad los testimonios que lo mencionan, el panorama es este.

La primera mención independiente que lo nombra aparece en un prefacio de las Cónicas de Apolonio, entre finales del siglo III y comienzos del II a. C., aproximadamente un siglo después del 300 a. C. Importa porque hace difícil sostener que Euclides sea una invención tardía de principio a fin. Hacia el 200 a. C. ya había un Euclides al que un geómetra de alto nivel trataba como predecesor. Y Apolonio lo cita para criticarlo: dice que su tratamiento de cierta clase de problemas de lugares geométricos era incompleto.

El valor de ese pasaje está precisamente en su falta de cortesía. Que un autor encuentre defectos en el trabajo de un predecesor es más difícil de fabricar que un elogio. También muestra mejor que el aludido era, para su época, alguien cuyo trabajo se podía discutir en concreto, no un mero símbolo.

La Colección de Papo se escribió hacia el 320 de nuestra era, unos seiscientos veinte años después de Euclides. Papo dice que Apolonio convivió en Alejandría con discípulos de Euclides. Es un indicio importante para situarlo en esa ciudad, aunque el propio episodio narrado le quedaba ya a quinientos años de distancia. El Comentario al primer libro de los Elementos de Proclo data de alrededor del 450, unos setecientos cincuenta años después de Euclides. De él procede el armazón de casi todas las biografías posteriores. Estobeo, la fuente de las dos anécdotas, pertenece también al siglo V.

El catálogo bibliográfico de Ibn al-Nadim se escribió hacia el 987, unos mil doscientos noventa años después de Euclides. Es crucial para seguir la transmisión de las obras, pero llega demasiado tarde para servir de biografía personal. En las compilaciones biográficas árabes de los siglos XII y XIII aparecen por fin un lugar de nacimiento y el nombre de un padre: unos mil quinientos años después de los hechos. Conviene tener presente esta secuencia. Las biografías divulgativas suelen comprimir en un solo párrafo materiales separados por siglos, y el resultado se lee como si todo procediera de testigos contemporáneos.

La localización en Alejandría descansa sobre dos apoyos: lo que dice Proclo y aquella frase de Papo. Coinciden, y por eso pesan más que una anécdota aislada, pero ninguno es un testimonio contemporáneo. La datación bajo Ptolomeo I procede sobre todo de Proclo. Uno de sus argumentos es que Arquímedes mencionó a Euclides, aunque el pasaje transmitido presenta a su vez problemas de interpolación. Y no hay pruebas suficientes para afirmar que Euclides fuera un estudioso asalariado del Museo.

La descripción más nítida del Museo como lugar real la debemos a Estrabón, hacia finales del siglo I a. C. Cuando vio la institución con sus propios ojos, habían pasado casi trescientos años desde el 300 a. C. Cuenta que formaba parte del recinto palaciego, tenía galerías, asientos y una sala para las comidas comunes; sus bienes eran compartidos y la administraba un sacerdote nombrado por la casa real. No dice que Euclides figurara entre sus miembros.

La biblioteca de Alejandría es un decorado demasiado eficaz. Basta con instalar en una biblioteca famosa a un hombre casi sin biografía para que el lector vea la escena: galerías, rollos, sabios mantenidos por la corte. La institución existió y la imagen no anda muy desencaminada. Solo falta un detalle: no tenemos ninguna lista en la que aparezca él. Lo único seguro es que alguien dijo después que había enseñado allí. Ese alguien escribió seiscientos años más tarde.

Hay otra cuestión que merece al menos una mención. ¿Euclides era una sola persona?

La historiografía académica sí ha discutido esa posibilidad. En 2013, un estudio siguió específicamente la trayectoria de la hipótesis de un Euclides de muchas cabezas y la genealogía de su comparación con aquel seudónimo colectivo moderno. Decir que nadie lo ha planteado nunca sería falso.

Pero esa no es hoy la posición de partida. Los testimonios antiguos que lo nombran lo tratan como a un individuo. Apolonio critica algo que Euclides hizo; Proclo lo sitúa en una sucesión de matemáticos individuales. La investigación moderna suele entender su tarea como una reorganización de conocimientos existentes, una reelaboración de las demostraciones y un diseño del conjunto. La estrecha trabazón de la obra encaja mejor con la labor organizadora de un editor de gran autoridad.

La analogía funciona en un solo punto: el nombre de un autor no tiene por qué designar a un genio solitario que escribió el libro entero desde cero. Los Elementos incorporan claramente resultados de varias generaciones y el texto conservado pasó por editores posteriores. Hay que distinguir al autor de los estratos del texto.

Lo decisivo está donde la analogía falla. Del colectivo moderno conocemos los miembros, los estatutos, la historia de su colaboración y la elección deliberada de un seudónimo común. Para el Euclides antiguo no existe nada equivalente. Entre «el libro incorpora muchos resultados anteriores» y «Euclides era un nombre de escuela creado a propósito» falta precisamente la prueba. Que el texto tenga capas es un hecho. Que su autor original tuviera que ser un grupo, no.

El hombre del que hablaremos aquí solo puede ocupar, por tanto, esta posición: alguien, o un grupo de personas, en algún lugar hacia el 300 a. C., volvió a seleccionar los resultados geométricos de varias generaciones, los ordenó de nuevo, completó las demostraciones y decidió qué debía ir al principio. Las consecuencias de esa decisión son el punto de partida de todo lo que viene después.

El libro no empezó de cero

El catálogo histórico de la geometría que conservó Proclo sitúa expresamente la composición de unos Elementos antes de Euclides.

Según ese catálogo, Hipócrates de Quíos fue el primero en componer una obra de esa clase. Después León preparó otra más cuidada. Más tarde Teudio de Magnesia escribió una que mereció el calificativo de excelente. Ninguna de las tres se ha conservado como libro original.

Vale la pena retener esos tres nombres. Revelan algo que se olvida con facilidad: antes de Euclides hubo al menos tres personas haciendo un trabajo semejante, y se hizo más de una vez. La obra de León era «más cuidada»; la de Teudio, «excelente». Si se comparaban, es porque los contemporáneos reconocían diferencias de calidad y porque aquellos libros circulaban.

Conviene desplegar la cadena de pruebas. Hipócrates vivió aproximadamente en el siglo V a. C.; Proclo escribió hacia el 450 de nuestra era. Los separan casi novecientos años. Pero suele aceptarse que esa sección del catálogo procede, al menos en parte, de la hoy perdida Historia de la geometría que Eudemo escribió a finales del siglo IV a. C. No estamos, por tanto, ante nombres inventados de pronto novecientos años después, sino ante materiales de un historiador del siglo IV a. C. que la Antigüedad tardía conservó.

Antes de Euclides, la palabra elementos ya designaba un género de libro: un sistema de proposiciones consideradas básicas dentro de una disciplina y utilizables como instrumentos en razonamientos posteriores. La aportación más reconocible de Euclides consistió en seleccionar, reordenar, unificar y completar demostraciones. No en declarar que antes de él no había geometría.

Esto cambia todos los juicios que vienen después. Si lo inventó todo de la nada, cada disposición del libro fue elección suya. Si reorganizó una tradición existente, pudo heredar algunas disposiciones y modificar otras. Hoy ya no sabemos distinguir unas de otras.

No tenemos pruebas para decidir si redactó él mismo el quinto postulado o si lo tomó de un libro anterior.

También debemos graduar lo que sabemos del origen de cada libro. La teoría de las proporciones del libro V está estrechamente vinculada a Eudoxo: eso es firme. Que toda su redacción y su ordenación sean de Eudoxo carece de pruebas. Detrás del libro X está la tradición de investigación de Teeteto: eso es firme. Atribuirle una por una sus proposiciones no se sostiene. El libro XIII recoge trabajos sobre poliedros regulares anteriores a Euclides: eso es firme. Afirmar que lo escribió principalmente una persona determinada es mucho menos seguro.

Proclo dice que Euclides incorporó y dispuso muchos teoremas de Eudoxo y perfeccionó numerosos resultados que Teeteto había estudiado. Habla de ordenar y perfeccionar, no de copiar. En cuanto a qué clase de libro tenemos delante, tres términos habituales alcanzan una parte de la respuesta, pero ninguno encaja del todo.

No es una colección de artículos de investigación, porque buena parte de su contenido tenía historia antes de Euclides. Tampoco es una simple antología de extractos: ordenar las dependencias, distribuir las definiciones y completar las premisas exige un diseño editorial muy potente. Algunos estudiosos lo han descrito como un depósito de resultados al que se puede acudir una y otra vez.

¿Un manual? Lo fue sin duda para sus lectores posteriores; no podemos demostrar directamente que se escribiera con ese propósito. No hay un prefacio de Euclides que diga «este libro está destinado a principiantes», ni un programa de estudios del año 300 a. C.

Estas son sus dimensiones: trece libros, cuatrocientas sesenta y cinco proposiciones y unas ciento treinta y una definiciones en total. Los cinco postulados y las cinco nociones comunes están al comienzo del libro I.

La extensión varía muchísimo. El libro X, con ciento quince proposiciones, es el más largo y reúne por sí solo casi una cuarta parte de todas las proposiciones de la obra. El libro II tiene solo catorce.

También cambia la naturaleza del contenido. Los libros VII a IX tratan de teoría de números enteros: números primos entre sí, números primos, máximo común divisor. No tienen una relación directa con la geometría. Los libros XI a XIII se ocupan de geometría del espacio. El V estudia las proporciones entre magnitudes en general; como vimos en el ensayo anterior, su método sirve tanto para magnitudes conmensurables como inconmensurables.

No estamos, pues, ante un libro de geometría. Es una obra que reúne, clasificadas por materias, las cosas que entonces se consideraban capaces de servir como fundamento.

Ahora bien, esas cifras corresponden al texto transmitido tal como lo han fijado las ediciones críticas modernas, no a un índice definitivo firmado por Euclides. Cuántas nociones comunes había originalmente, o si ciertas definiciones y postulados proceden de su mano, sigue siendo materia de crítica textual.

Conviene recordar el orden de entrada del libro I. Primero, veintitrés definiciones: punto, línea, recta, superficie, ángulo, círculo, ángulo recto, paralelas. Después, cinco postulados. Después, las nociones comunes. Solo entonces llega la primera proposición. La disposición parece poner todos los cimientos por delante. Parece. Detrás de esa palabra se esconde el resto de este ensayo.

El quinto postulado

Para entender qué tiene de especial el quinto postulado, hay que mirar primero cómo está organizado el umbral del libro.

El libro I se abre con veintitrés definiciones. Un punto es lo que no tiene partes. Una línea es longitud sin anchura. Vienen después el círculo, el ángulo recto, las paralelas. Terminadas las definiciones, Euclides enumera cinco cosas.

La primera: que se pueda trazar una recta desde cualquier punto hasta cualquier otro. La frase no tiene demostración ni pretende tenerla. Es una petición: permítaseme hacer esto.

Las tres siguientes siguen el mismo principio. Que una recta finita pueda prolongarse indefinidamente en su misma dirección. Que se pueda trazar un círculo con cualquier punto como centro y cualquier longitud como radio. Que todos los ángulos rectos sean iguales entre sí. Y entonces llega la quinta.

Si una recta corta a otras dos y hace que los ángulos interiores de un mismo lado sumen menos que dos ángulos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se encontrarán por ese lado. Tras los cinco postulados aparecen otras cinco afirmaciones más generales: las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí, el todo es mayor que la parte, y así sucesivamente. Todo el conjunto ocupa la cabecera de la obra y deja claro, antes de empezar, qué cosas no se van a demostrar.

Los matemáticos que vinieron después quisieron revisar la lista hasta el final: si se parte de aquí, no se permite añadir nada más. Por evidente que parezca lo añadido. Euclides aún no había dejado el dibujo fuera de la puerta, pero ya había puesto los puntos de partida sobre el papel. Lo importante era esa disposición.

Por supuesto, antes de Euclides ya se conocían muchos resultados geométricos. Hemos visto que al menos tres personas habían compuesto libros semejantes. Él ordenó esos resultados en una cadena y dejó su primer eslabón claramente a la vista. En el mismo instante en que lo mostraba, cualquiera podía preguntar: ¿estás seguro de que con esas cinco cosas basta? Durante los dos mil trescientos años posteriores, la pregunta no ha dejado de hacerse. Lo que cambió por completo fue la dirección desde la que se hacía.

Una línea de preguntas busca saber si alguna de las cinco no será, en realidad, innecesaria. La otra pregunta si no falta algo. Parecen opuestas, pero son los dos extremos de una misma cuestión. La quinta abrió una disputa que duró dos mil años; cuando alguien decidió dejar de aceptar el dibujo como prueba, la segunda pregunta volvió a hacerse especialmente urgente.

Volvamos a las cinco. La diferencia salta a la vista, y antes de ser una diferencia geométrica es una diferencia entre frases.

Las tres primeras hablan con la misma voz: permítaseme trazar una recta, permítaseme prolongarla, permítaseme dibujar un círculo. Cada una autoriza una acción y cada una es breve: en el original griego rondan las diez palabras.

La cuarta ya no describe una acción, pero sigue siendo brevísima: todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

La quinta se alarga de golpe. Primero hace falta una transversal que corte a dos rectas. Después, que dos ángulos del mismo lado sumen menos que dos rectos. Después, que las rectas se prolonguen indefinidamente. Solo al final se dice que se encontrarán. En el texto griego habitual ocupa más de treinta palabras, varias veces lo que ocupan las anteriores. Pero lo importante no es la longitud, sino la forma. Las cuatro primeras suenan a reglas. La quinta suena a una conclusión pendiente de prueba. Nadie sabe por qué la escribió así. Él no lo explicó.

Solo vemos el resultado de la decisión. Necesitaba aquello y, en vez de demostrarlo, lo puso entre las cosas que se concedían sin prueba. En su momento la elección pudo pasar inadvertida: aquel apartado estaba precisamente para lo que no se demostraba; añadir una cosa más no pedía explicaciones. La extrañeza vino después. Frente a cuatro enunciados tan cortos como órdenes, había uno largo como una conclusión. Cuando esa diferencia se hizo visible, los dos mil años restantes se dedicaron a lo mismo: buscar una manera de no tener que concedérselo.

Solo había tres vías. Demostrar que se deducía de los cuatro primeros, de modo que no hiciera falta enunciarlo por separado. Sustituirlo por una formulación más sencilla. O demostrar que aquello era imposible. Las dos primeras se ensayaron durante dos mil años. La tercera tuvo que esperar al siglo XIX.

Durante mucho tiempo, las dos primeras vías se entendieron sobre todo como maneras de perfeccionar la teoría de las paralelas. Las geometrías no euclidianas y los estudios sobre modelos del siglo XIX dieron a la tercera su forma decisiva.

A menudo se llama a este libro el nacimiento del método axiomático.

Si con ello queremos decir que lo que no se demuestra se coloca al principio, para que se vea de dónde parten los razonamientos posteriores, el nombre da en el blanco: de eso venimos hablando. Pero, desde finales del siglo XIX, la expresión lleva consigo una exigencia mucho más estricta. Hasta qué punto, lo veremos en la sexta sección.

Proyectar esa exigencia sobre el 300 a. C. es mirar hacia atrás con ventaja. Los antiguos sabían, por supuesto, que esos principios no estaban todos en el mismo nivel, y discutían qué se podía pedir y qué había que demostrar. Pero sus preocupaciones no eran las de aquel programa posterior.

Cuándo empezó la inquietud

Hay una afirmación muy repetida: el quinto postulado inquietó a todos los matemáticos desde el mismo día en que quedó escrito. No conservamos ninguna prueba de ese «desde el primer día».

Antes de Euclides, Aristóteles ya conocía problemas de circularidad en las demostraciones relativas a las paralelas. Eso indica que demostrar propiedades de las paralelas era un terreno lógicamente delicado en el siglo IV a. C. No demuestra, por supuesto, que estuviera criticando un libro que todavía no se había escrito.

La distinción importa porque es fácil confundir las dos cosas. Que las paralelas fueran un asunto difícil antes de Euclides es una cuestión. Que se juzgara inadecuado el tratamiento de aquel postulado suyo es otra, bastante posterior.

Si hablamos de críticas dirigidas al libro, el primer nombre que podemos señalar con los testimonios disponibles es Posidonio, que vivió aproximadamente entre el 135 y el 51 a. C. Ya habían pasado más de ciento cincuenta años desde el 300 a. C. Además, lo que sabemos de su intervención nos llega únicamente a través de Proclo, en el siglo V.

Según Proclo, intentó redefinir las paralelas como dos rectas de un mismo plano que mantienen la misma distancia, sin aproximarse ni alejarse. El problema es que esa equidistancia en todos sus puntos ya introduce una condición de fuerza comparable a las propiedades euclidianas de las paralelas.

Ptolomeo vivió en el siglo II. Proclo cuenta que escribió una demostración y la critica paso por paso. Los análisis posteriores muestran que el paso decisivo introducía a escondidas una condición equivalente en fuerza a la unicidad de la paralela. Por eso el argumento era circular.

Proclo también lo intentó. Después de criticar a sus predecesores, recurrió a propiedades adicionales, como que la distancia entre paralelas está acotada. Los cuatro primeros postulados no conceden gratis tales propiedades. Había reconocido con exactitud cómo otros metían la conclusión de contrabando entre las premisas, y cayó en el mismo agujero.

Aquí se deja ver la dificultad real. No era un problema de destreza para demostrar, sino de reconocer lo que se estaba usando. Una premisa introducida de contrabando suele parecer, al enunciarla, más sencilla que el propio quinto postulado. «La distancia entre las paralelas tiene un límite»: cualquiera lo oye y piensa que es evidente. La historia repite la escena una y otra vez, y no porque faltara inteligencia. Varios de sus protagonistas estuvieron entre los mejores matemáticos de su tiempo.

Posidonio fue una figura importante del estoicismo. Ptolomeo construyó el sistema astronómico que seguiría en uso durante los mil cuatrocientos años siguientes. Jayam fue también poeta y reformador del calendario. Al-Tusi levantó un observatorio.

La razón de fondo es que lo que se quería demostrar y las formulaciones alternativas que parecían más sencillas tenían la misma fuerza. Cambiar de enunciado era cambiar una carga por otra del mismo peso, aunque quien hacía el cambio no advirtiera que el peso seguía ahí. Esta línea de trabajo continuó durante siglos en el mundo árabe, que constituye el tramo intermedio de desarrollo verdaderamente sostenido de esta historia.

Ibn al-Haytham reconstruyó la teoría de las paralelas mediante argumentos relacionados con cuadriláteros de lados perpendiculares, la equidistancia y el concepto de movimiento. Jayam criticó después su propuesta: introducir el movimiento en los fundamentos de la geometría requería, por sí mismo, una justificación.

Omar Jayam estudió un cuadrilátero con dos lados iguales perpendiculares a la base. Separó en tres hipótesis los ángulos de la parte superior: rectos, agudos u obtusos, e intentó descartar las dos últimas. Los principios de los que se servía, como que dos rectas que convergen tienen necesariamente que encontrarse, poseen, vistos desde hoy, una fuerza equivalente a la del quinto postulado.

A mediados del siglo XIII, Nasir al-Din al-Tusi siguió trabajando con la reducción al absurdo y los cuadriláteros, a la vez que criticaba propuestas anteriores. Su familia y sus continuadores produjeron versiones posteriores. Un texto árabe impreso en Roma en el siglo XVI puso parte de esa tradición al alcance de Europa.

Aquí hace falta una cautela. Antes se atribuían a menudo varias versiones tardías, todas juntas, a la demostración definitiva del propio al-Tusi. La filología actual procede con bastante más cuidado. También esta cadena de transmisión tiene una historia que necesita cotejo textual. Lo importante de aquellos siglos no es qué estuvieron «a punto» de descubrir. Esa manera de contarlo impone la meta del siglo XIX al camino anterior.

Si medimos lo que hicieron por lo que sucedió después, terminaremos convirtiéndolos a todos en fracasados. No estaban fracasando. Hacían algo que, en su tiempo, era perfectamente razonable, y lo hacían con una precisión cada vez mayor.

Además, su trabajo no se perdió. Los cuadriláteros y las tres hipótesis sobre los ángulos superiores servirían más adelante para otra familia de problemas. Solo que entonces tendrían otros nombres y otros usos.

Lo importante es que formulaban cada vez más sistemáticamente la misma pregunta: esa propiedad geométrica que parece evidente, ¿se ha demostrado de verdad o ha vuelto a entrar entre las premisas con otro nombre?

También cabe inferir cosas del propio libro. En el libro I, Euclides no usa el quinto postulado hasta la proposición 29, lo que parece sugerir que él mismo quería posponerlo. La observación es correcta. Pero pasar de «aplazó su uso» a «dudaba de su verdad» o «creía que podía demostrarse» ya es interpretar, no aportar un testimonio biográfico. No se han conservado sus motivos.

La frase ha aparecido varias veces en este ensayo y volverá a aparecer. No es un recurso retórico. Lo que sabemos de este hombre llega a ser así de poco: lo que hizo está escrito en el libro; de por qué lo hizo no queda una palabra.

El primer problema

Veamos ahora el primer problema del libro: dado un segmento, construir un triángulo equilátero.

Se hace así. Con centro en uno de los extremos del segmento y radio igual al segmento entero, se traza un círculo. Con centro en el otro extremo y el mismo radio, se traza un segundo círculo. Se toma un punto de intersección de los dos y se une con ambos extremos.

El tercer postulado permite trazar círculos. No dice que esos dos círculos tengan que cortarse. Claro que se cortan. Basta con dibujar la construcción: el punto está ahí, se ve de inmediato. Ese es precisamente el problema. Ningún principio del libro garantiza la existencia de ese punto. Y estamos en el primer problema de todos.

«Se ve de inmediato» es una inferencia, no un postulado. Utiliza el dibujo, no el texto. El tercer postulado concede permiso para trazar un círculo. Que ese círculo, una vez trazado, tenga o no intersección con otro es una cuestión de la que el postulado no se ocupa.

Si aplicamos la regla de hoy, según la cual todo debe deducirse de aquellos principios iniciales, el primer problema ya ha tomado algo que no estaba en la lista.

No es un caso aislado. Otras construcciones posteriores dan por disponible la intersección de una recta y un círculo, y eso requiere otro principio del mismo orden. No hay en el libro una formulación moderna que establezca que, si un segmento tiene un extremo dentro de un círculo y el otro fuera, necesariamente atraviesa la circunferencia.

Una segunda clase de casos afecta al orden y a estar entre. El texto usa sin cesar relaciones de posición: estar entre dos puntos, estar a un lado, quedar dentro de un ángulo, pasar por cierto lugar al prolongarse. Sin embargo, el libro I no comienza con un sistema explícito de principios sobre la relación de intermediación.

La tercera clase corresponde a la separación del plano. Una forma característica de lo que hoy llamamos axioma de Pasch dice: dados tres puntos no alineados y una recta que no pasa por ninguno de ellos, si la recta entra en el triángulo por uno de sus lados, debe salir por alguno de los otros dos. Las demostraciones de la geometría clásica dependen continuamente de hechos que el dibujo presenta así: si la recta ha entrado por aquí, tiene que salir por allí. El libro no los enuncia como principios separados.

La cuarta clase es la congruencia y el movimiento. En la demostración por superposición de la proposición 4 se imagina que un triángulo se coloca encima de otro. La noción común según la cual las cosas que coinciden son iguales proporciona parte del lenguaje necesario. No proporciona un conjunto completo de reglas, en el sentido moderno, para los movimientos rígidos, la congruencia de ángulos y el transporte de segmentos.

La quinta clase reúne la incidencia, la unicidad y los casos degenerados. El dibujo suele dar por supuesto que ciertos puntos recién construidos son distintos entre sí, que determinadas rectas no coinciden y que las intersecciones quedan donde se necesitan.

Es la clase menos llamativa y la más difícil de agotar. Cuando una demostración toma forma en un dibujo, cada cosa ya está en su sitio. El texto no ha explicado por qué está allí.

Al reunir las cinco clases se ve lo que tienen en común. Todas se refieren a cosas que el dibujo permite confirmar de un vistazo: qué se encuentra con qué, qué punto queda entre otros dos, por dónde entra una recta y por dónde sale. Precisamente porque esas relaciones suelen poder comprobarse en la figura, no se enumeraron sistemáticamente como axiomas escritos. Los comentaristas antiguos no fueron del todo ajenos a las dificultades relacionadas con ellas. El cambio que se hizo especialmente nítido en el siglo XIX fue la exigencia de incorporar esos recursos inferenciales a un sistema explícito de fundamentos.

Durante mucho tiempo, texto y dibujo habían trabajado juntos. Cuando alguien quiso pedirle al dibujo que se marchara, hubo que hacer las cosas de otra manera. ¿Cuántos principios faltaban en total?

No hay un número entero aceptado por los especialistas. La respuesta depende del lenguaje formal moderno con el que queramos contarlos. Cada sistema formal divide los principios de una manera distinta.

Concluir que a Euclides le faltaban diecinueve o veinte axiomas es un error. Los diecinueve que Hilbert reunió en cinco grupos en 1899 no eran una lista para ir tapándole agujeros. Rediseñaban toda la estructura de los fundamentos. Hilbert tomó como primitivos los puntos, las rectas, los planos y ciertas relaciones; agrupó los principios según su función lógica y estudió sistemáticamente su consistencia y su independencia. Los cinco grupos eran incidencia, orden, congruencia, paralelas y continuidad.

En ese marco, el quinto postulado ocupa el lugar de una condición dentro de uno de los grupos. Ya no carga con el papel simbólico de representar todos los fundamentos. El axioma de Pasch procede de sus Lecciones sobre geometría moderna, de 1882. Hilbert señaló expresamente que uno de sus axiomas de orden se debía, en especial, a Pasch.

Lo revolucionario de Pasch no fue descubrir un teorema asombroso. Fue señalar algo: «por el dibujo es evidente» sigue siendo un recurso lógico. Si lo que se quiere es retirar al dibujo su derecho a intervenir en la prueba, ese recurso tiene que quedar escrito.

El rigor cambió de significado

Pongamos ahora las dos cosas una al lado de la otra.

Los antiguos preguntaban por qué el quinto enunciado era tan complicado, si le faltaba evidencia inmediata, si podía demostrarse a partir de principios más sencillos, si podía sustituirse por una definición de paralelas más natural.

En el siglo XIX se preguntaba qué otras relaciones primitivas necesitaba un sistema geométrico completo; cómo definir formalmente estar entre, estar del mismo lado o cortarse; qué garantizaba las intersecciones de dos círculos o de una recta y un círculo; cómo axiomatizar, cada una por su parte, la congruencia, el orden y la continuidad. La diferencia entre ambas familias de preguntas no es de dificultad, sino de dirección. Podemos precisarla aún más.

Los antiguos tenían delante una frase escrita. Podían leerla, contar sus palabras, encontrarla demasiado larga, intentar reemplazarla. La frase estaba a la vista. Por eso pudo recibir ataques durante dos mil años.

Los modernos querían llevar también al papel lo que se escondía en el dibujo. Si dos círculos se cortan. Si un punto está entre otros dos. Por dónde sale una recta después de entrar en un triángulo. Todo eso se había utilizado en las demostraciones sin enumerarlo al principio. No es que nadie lo hubiera preguntado nunca. Pero, mientras el dibujo pudiera decirlo, era fácil pensar que no hacía falta otra frase.

El quinto postulado se había enunciado expresamente. La mayor parte de los problemas que reconocieron los modernos procedía de recursos inferenciales que no se habían hecho explícitos.

Aparece aquí una inversión que hay que afrontar con honestidad. Si llamamos laguna lógica a una premisa que la demostración necesita y el autor no ha enunciado, el quinto postulado, hablando con rigor, no es una laguna. Euclides lo escribió.

Las geometrías no euclidianas del siglo XIX y los trabajos posteriores sobre modelos proporcionaron una razón todavía más fuerte. Con un conjunto adecuado de los restantes axiomas, el axioma euclidiano de las paralelas es efectivamente independiente. No se puede demostrar dentro de un sistema más débil. El propio Hilbert estudió expresamente su independencia respecto de los otros axiomas. Desde una perspectiva moderna, Euclides hizo bien en no esconderlo y en presentarlo como una hipótesis adicional.

Dicho de otro modo: el postulado que soportó dos mil años de quejas es la frase más honrada del libro. Pidió abiertamente algo que no se podía obtener gratis. Otras dificultades, en cambio, se escondían precisamente en lo que el libro utilizaba sin enunciarlo todo por separado. Donde más fuerte sonaban las quejas no era necesariamente donde más falta hacía reparar.

Podemos llevar la idea un paso más allá. Una hipótesis escrita atrae las sospechas porque es visible; las que no se escribieron se confunden con facilidad entre las cosas que se dan por sentadas. La visibilidad, por sí sola, reparte mal la presión.

Aquí hay que frenar inmediatamente. Esto no demuestra que Euclides conociera la independencia lógica ni que hubiera previsto nada. Sus motivos no se han conservado. Además, hay una tercera objeción que da la vuelta a todo el problema.

Quizá algunas de esas supuestas lagunas no sean frases que un antiguo olvidó por descuido. Quizá su manera de trabajar permitiera de entrada que el dibujo asumiera parte de la inferencia, y lo hiciera con reglas y restricciones. Si formalizamos también las normas del dibujo, muchos razonamientos pueden reconstruirse rigurosamente sin convertir cada relación visual en un axioma textual. Según esta lectura, «falta un axioma» puede significar que necesitamos añadirlo para traducir la práctica a un sistema moderno puramente sintáctico, no que la práctica original careciera de legitimidad.

Vale la pena detenerse en esta objeción. No pretende salir en defensa de los antiguos. Afirma que un sistema de demostración puede ser riguroso sin comprimir todas sus inferencias en frases. Si el dibujo tiene normas, restricciones y usos verificables, puede formar parte de la prueba en vez de quedarse en una ilustración al margen. Expulsar el dibujo de la demostración fue una elección del siglo XIX, no un criterio eterno.

El juicio más justo sería, por tanto, este: el quinto postulado planteaba un problema histórico acerca de su lugar entre los fundamentos, pero no era la omisión lógica más evidente del libro. Tampoco es correcto decir que la humanidad miró al lugar equivocado durante dos mil años y que solo a finales del siglo XIX descubrió los agujeros verdaderos.

Los matemáticos antiguos respondían a sus propios criterios sobre los fundamentos. ¿Algo que se puede pedir merece figurar como un principio concedido sin prueba? ¿Puede sustituirse por otro más sencillo? Eran problemas reales.

Pasch y Hilbert respondían a otra exigencia de rigor. Si el dibujo pierde su derecho a inferir, la información sobre orden y continuidad que antes llevaba consigo debe entrar en el sistema formal. No es que los antiguos miraran mal. Cambió el significado de la palabra rigor, y el cambio desplazó el problema. Conviene recordar que también tuvo un precio.

Al expulsar el dibujo de la demostración, la geometría ganó fiabilidad y se volvió más difícil de leer. Antes, el primer problema cabía en una frase y una figura. Ahora necesita un principio sobre la intersección de dos círculos, sostenido a su vez por la continuidad. Lo que se veía se convierte en algo que ya no se ve; a cambio, deja de ser necesario confiar en los ojos. El trato es claro: se cede legibilidad para ganar independencia respecto de la vista y la intuición de cualquiera.

El trato compensa. Pero no consistió en corregir un error. Consistió en cambiar los criterios y volver a construirlo todo conforme a ellos.

El producto y el taller

¿Cuántas personas había detrás de este libro? Existe una estimación cuyo procedimiento podemos examinar pieza por pieza.

En su libro sobre la forma de la deducción en la matemática griega, Netz empieza por reunir unos ciento cuarenta y cuatro individuos con nombre a los que se puede considerar matemáticos antiguos. Después intenta estimar cuántos se han perdido por completo. Toma cuatro listas que se solapan parcialmente, elimina figuras tan célebres como Euclides, que forzosamente aparecerían en todas las fuentes, y aplica un procedimiento semejante al de captura y recaptura para inferir el total. Las seis combinaciones por parejas dan estimaciones de entre ochenta y nueve y trescientos tres. Escoge trescientos como conjetura más segura y, por prudencia adicional, amplía el límite superior hasta aproximadamente mil.

La virtud de la estimación es que deja el método a la vista. Su debilidad es igual de clara: necesita que las listas sean independientes entre sí, como muestras aleatorias, y no lo son. A quién cita un autor antiguo depende mucho de la fama, de la filiación disciplinar y de los textos anteriores; las frecuencias se parecen más a una distribución de cola larga. Eliminar a los personajes más famosos modifica, además, la propia estructura del muestreo.

Otros estudiosos han contado por separado las citas en los textos científicos antiguos y han obtenido unos ciento cincuenta autores alcanzados por la documentación y entre trescientas ochenta y cuatrocientas cuarenta obras conocidas, algunas solo por su título. Pero esa es la población visible en los documentos, no el número real de quienes se dedicaron a la actividad.

No disponemos, por tanto, de un intervalo estadísticamente fiable. Podemos orientarnos con un orden de magnitud de varios cientos de personas y, con mucha holgura, llegar al millar. No podemos afirmar cuántos matemáticos hubo exactamente en toda la Antigüedad.

Hay otra conclusión bastante más segura. Era una comunidad de autores diminuta, dispersa geográficamente y discontinua entre generaciones. Algunos estudios han encontrado muy poco solapamiento entre varios de los autores principales. La tradición podía quedar en silencio durante mucho tiempo y recuperarse después.

Tampoco compartían una misma condición. Había maestros y alumnos de escuelas filosóficas, estudiosos sostenidos por reyes, astrónomos, especialistas en mecánica, autores que escribían sobre medición e ingeniería, profesores particulares. Nada demuestra que existiera un mercado de puestos en el sentido moderno, ni un gremio de matemáticos que enlazara las ciudades. La tradición se prolongó en gran medida a través de los textos, las citas y las cadenas de comentarios, sin depender de instituciones sociales ininterrumpidas. Al compararla con las escuelas de escribas del primer ensayo, la diferencia se hace patente.

Allí, las numerosas tablillas de ejercicios, los documentos administrativos y las huellas del entrenamiento permiten reconstruir la enseñanza. Aquí, lo esencial que ha quedado son obras muy elaboradas, fragmentos de papiro, textos filosóficos y biografías tardísimas. Vemos muchos más productos que estructuras de producción.

Por eso apenas se puede escribir aquí la vida de una persona. No porque aquellas personas carecieran de importancia, sino porque no ha quedado su entorno de trabajo. No tenemos borradores de ejercicios, apuntes de clase ni aquella página en la que alguien se equivocó y tachó la cuenta.

El niño del primer ensayo que alisaba la tablilla para empezar de nuevo no tiene aquí un equivalente visible. No porque no hubiera niños así, sino porque el soporte que usaban no iba a perdurar. Hasta el dibujo que nos llega es un producto acabado.

Los dibujos de la matemática griega no son ilustraciones al lado de la prueba. Las letras remiten de las frases a la figura y de la figura a las frases; las operaciones de construcción alteran el dibujo; la demostración extrae de él relaciones de posición sujetas a restricciones.

Por eso, a la pregunta de si las figuras antiguas están a escala no basta con responder que no. No preservan de forma fiable las proporciones métricas en el sentido moderno. Un paralelogramo que debería representar un caso general puede dibujarse casi como un rectángulo; segmentos que en teoría no son iguales pueden parecerlo. En cambio, la intersección, la conexión, el dentro y el fuera, el antes y el después suelen ser relaciones decisivas.

Los dibujos tienen, además, su propia historia de copia. Al comparar las figuras de numerosos manuscritos, se ha observado que los copistas tienden a hacerlas más regulares, más simétricas y más bonitas. Así les añaden propiedades particulares que el texto no exige. Con cada copia, un poco más de orden. Saito y otros investigadores han comparado una misma figura en muchos manuscritos: el cambio se puede seguir.

No es lo mismo que sucede con las palabras. Si se copia mal una, un lector posterior puede advertirlo por el contexto. Si un cuadrilátero general se dibuja algo más simétrico, lo que el lector posterior encuentra es un cuadrilátero simétrico, aunque el texto no diga que lo sea. A fuerza de copiarla, una figura destinada al caso general acaba convertida en un caso particular. Y la prueba depende precisamente de la figura.

Avanzan así dos procesos a la vez. Generación tras generación, el cotejo del texto lo acerca a una lectura antigua; generación tras generación, la copia de los dibujos los aleja de su aspecto original.

También las palabras llevan las marcas de quienes las transmitieron. Teón editó la obra en el siglo IV y mencionó, en otro comentario suyo, que había añadido material. Una adición posterior a la proposición 33 del libro VI se convirtió así en un punto de referencia para identificar su versión. La mayoría de los manuscritos griegos medievales conservados presenta rasgos de esa tradición editorial.

La llamada tradición no teonina no es el autógrafo de Euclides. Es otra rama de transmisión que no pasó por el mismo tipo de revisión. Su testigo decisivo es el manuscrito griego 190 del Vaticano, fechado habitualmente entre los siglos IX y X.

Cuando Peyrard lo examinó en 1808, el volumen estaba en París: Napoleón había requisado libros del Vaticano. Peyrard advirtió que le faltaban los materiales que Teón decía haber añadido y comprendió que tenía delante otra tradición.

Sin embargo, un estudio de 1996 cuestionó el optimismo de trazar desde ese manuscrito una línea directa hasta Euclides. Subrayaba que la tradición árabe podía conservar lecturas antiguas que aquella división en dos ramas no abarcaba. Lo más seguro es decir que se trata de uno de los testimonios griegos más importantes para la crítica textual de la obra. No es el original del autor.

En 1482, Ratdolt publicó en Venecia la primera edición impresa, un volumen en folio perteneciente a la tradición latina. Una de las razones de su fama es haber logrado, en los comienzos de la imprenta de tipos móviles, imprimir junto al texto más de cuatrocientas figuras geométricas. El propio Ratdolt destacó en la dedicatoria la dificultad técnica de la empresa.

En 1570, Billingsley publicó la primera traducción completa al inglés, con un prefacio de Dee. Billingsley era un comerciante londinense, miembro del gremio de merceros; en 1596 llegó a ser alcalde de Londres. La portada anunciaba que el prefacio de Dee presentaría las principales ciencias matemáticas, explicaría en qué consistían y para qué servían. Dee explicaba por qué el libro se imprimía en la lengua del país: para ponerlo en manos de quienes no sabían latín ni eran estudiosos universitarios. Preguntaba cuántos artesanos corrientes del reino, habituados a los números, la regla y el compás, podrían, con esa ayuda, idear nuevas obras, máquinas e instrumentos ingeniosos para distintos usos del país, para su propio entretenimiento o para mejorar el sustento de su casa. Aquel era también un volumen de gran formato. Algunas figuras de geometría del espacio llevaban piezas de papel plegables que levantaban modelos tridimensionales sobre la página plana. En 1574, Clavio publicó una extensa edición comentada en latín que acabaría siendo uno de los textos centrales de la enseñanza matemática de los jesuitas.

Tampoco hay una fecha única en la que dejara de usarse como manual. En Gran Bretaña aún era el patrón de la geometría escolar y universitaria a comienzos del siglo XIX. Durante la época victoriana se discutió si podían utilizarse otros libros; una asociación fundada en 1871 fue una de las fuerzas de la reforma. Solo a comienzos del siglo XX quedó claramente desplazado del centro de los programas. Otros países y otras épocas ya habían recurrido a versiones reelaboradas. No se puede decir, por tanto, que todo el mundo usara exclusivamente el mismo libro durante dos mil años seguidos.

Volvamos a aquel camino que no estaba reservado a los reyes.

El libro sobrevivió a todos los que habrían podido explicar a la posteridad quién era su autor. En cada nueva copia, las figuras ganaban orden. Al pasar de mano en mano, el texto recibía añadidos y números, y sus dibujos se trazaban de nuevo. Si pudo discutirse durante dos mil años, no fue porque careciera de lagunas. Fue porque su autor dejó escrito dónde se apoyaba. Parece algo corriente cuando se dice; hacerlo no lo es. Escribir de qué depende uno equivale a entregárselo a otros para que lo desmonten.

Aquel postulado escrito podía ponerse en duda, sustituirse, someterse a intentos de demostración y, al final, declararse indemostrable mediante una prueba. También hubo preguntas sobre las premisas escondidas en los dibujos, pero no era tan fácil aislarlas como al quinto postulado escrito en el papel. La parte más franca del libro soportó dos mil años de preguntas. Las otras dificultades había que encontrarlas primero entre las cosas que se daban por sentadas.

Seguimos haciendo cuentas. Qué cuenta como matemáticas nunca ha quedado del todo resuelto.

Fuentes históricas y otras lecturas

Las fuentes que siguen corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación del ensayo. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de prueba.

• Euclides I.1: construcción de un triángulo equilátero
• El quinto postulado de Euclides
• Beeson, Narboux y Wiedijk: Verificación informática de las demostraciones de Euclides
• Ken Saito: estudio de las figuras manuscritas de los libros aritméticos de Euclides
• Universidad de St Andrews: Posidonio
• Biblioteca Linda Hall: Henry Billingsley
• Knorr: El texto equivocado de Euclides (1996)