L’architecture des axiomes

Pas de voie royale

Ptolémée demanda à Euclide s’il existait, pour apprendre la géométrie, un chemin plus court que la lecture de son livre jusqu’au bout. Euclide répondit qu’il n’y avait pas de voie royale en géométrie. La réplique circule depuis quinze siècles. Elle est brève, elle a de la tenue, et elle fait entrer un mathématicien et un roi dans la même pièce pour donner le dernier mot au premier.

Les récits de ce genre ont une forme bien à eux. Le pouvoir voudrait un raccourci ; le savoir répond qu’il n’y en a pas. Nul besoin de connaître la géométrie pour comprendre, ni pour prendre, à la fin, le parti des mathématiques. C’est souvent à cela qu’on reconnaît une histoire qui marche. Elle n’exige pas que le lecteur maîtrise la discipline, seulement qu’il saisisse le geste. Et lorsqu’une histoire voyage grâce à un geste, elle peut très bien changer de héros en route.

C’est Proclus qui nous l’a conservée, dans un texte rédigé vers 450 de notre ère. Si la scène se situe aux environs de 300 avant notre ère, quelque sept cent cinquante ans séparent l’événement supposé de son récit. Proclus ne dit pas de qui il la tient.

Il y a plus gênant. Un autre compilateur du Ve siècle, Stobée, transmet une seconde version de la même histoire. Un roi demande s’il existe un moyen rapide d’apprendre la géométrie ; un mathématicien lui répond que les rois disposent de routes royales pour voyager, mais que la géométrie n’en possède pas. Le roi s’appelle cette fois Alexandre le Grand. Le mathématicien, Ménechme.

Une histoire, deux couples de maître et d’élève, tous deux antérieurs de plus de sept siècles à ceux qui les mettent par écrit. Les deux récits ne se corroborent pas. Ils font le contraire. Si la même histoire s’accroche à deux paires de personnages, c’est qu’elle peut s’accrocher à n’importe laquelle.

Et les deux versions sont parfaitement vraisemblables. Ménechme est bien un mathématicien du IVe siècle avant notre ère ; Alexandre est bien un roi de son temps. Euclide et Ptolémée Ier vont également ensemble. Ce n’est pas dans l’histoire qu’apparaît la faille. C’est dans le fait qu’il y en ait deux.

Stobée rapporte aussi cette autre anecdote : un élève, sitôt son premier théorème appris, demande ce qu’il pourra en retirer. Euclide prie un serviteur de lui donner trois oboles, puisqu’il lui faut absolument tirer profit de ce qu’il apprend. Mettez les deux récits bout à bout et vous obtenez l’Euclide de la postérité : fier, sévère, dédaigneux des applications, ne cédant rien même à un roi.

Or, pour l’un comme pour l’autre, les plus anciens témoignages conservés remontent au Ve siècle de notre ère.

Cela n’interdit pas de raconter ces anecdotes. Ce sont d’authentiques textes de l’Antiquité tardive. Ils nous apprennent comment les gens de cette époque aimaient se représenter un mathématicien, et c’est déjà une donnée historique. Ils ne nous apprennent pas ce qu’Euclide a réellement fait tel ou tel jour.

Le refus de monnayer le savoir a, lui, un témoin beaucoup plus ancien, dont nous pouvons encore lire les mots. Seulement, ce témoin n’est pas Euclide. Au IVe siècle avant notre ère, Platon explique au livre VII de la République que les futurs dirigeants de la cité ne doivent pas se contenter d’un vernis d’arithmétique. Il faut poursuivre jusqu’à saisir par la pensée la nature du nombre, non pour acheter et vendre comme les marchands et les détaillants, mais pour faire la guerre et pour tourner l’âme du devenir vers ce qui est véritablement. Un peu plus haut, il est encore plus direct : un soldat doit connaître les nombres pour ranger ses troupes. Chez lui, « pas pour le commerce » et « pour la guerre » sont les deux moitiés d’une même phrase.

Les deux premiers essais rencontraient deux sortes de failles. Dans le premier, Hérodote écrivait lui-même : je le pense. Dans le deuxième, les versions de l’histoire d’Hippase se contredisaient, tout en s’enrichissant à mesure qu’elles s’éloignaient des faits. Voici une troisième faille : on peut remplacer les personnages. Une question mérite alors d’être posée pour elle-même. Si l’on retire les deux anecdotes, que reste-t-il de cet homme ? Presque rien.

Ni sa douceur, ni son sérieux, ni sa pauvreté, ni son mépris de l’utile, ni ses talents de pédagogue ne reposent sur un témoignage solide. Ces portraits ont été, pour l’essentiel, déduits à rebours des deux petites histoires. Pendant ce temps, chacun des mots de son livre peut être examiné. Sa transmission se remonte maillon par maillon : Théon en a donné une édition au IVe siècle ; le manuscrit décisif du Vatican est daté du IXe ou du Xe siècle ; on retrouve jusqu’aux traces laissées par les copistes qui, génération après génération, rendaient les figures un peu plus régulières. Tout ce qui nous manque pour l’homme, nous l’avons pour le livre.

La différence avec les deux premiers essais tient là. Dans le premier, des objets sans noms d’auteurs. Dans le deuxième, un nom sans objet matériel. Ici, un livre entier dont on peut collationner chaque mot, et un auteur dont nous ne savons presque rien. L’homme s’est presque effacé. Sa construction, elle, se tient debout tout entière, proposition après proposition. Depuis deux mille trois cents ans, elle n’est pas tombée.

Nous connaissons le livre, pas l’homme

Nous ne possédons aucune biographie fiable d’Euclide rédigée de son vivant. Ni trace de sa naissance, ni trace de sa mort, ni famille, ni maître, ni document attestant une fonction. « Vers 300 avant notre ère » désigne d’abord une période d’activité reconstituée par chronologie relative, nullement des dates de naissance et de décès. Alignons dans le temps les textes qui le mentionnent.

La première mention indépendante de son nom vient d’Apollonios, dans la préface des Coniques, vers la fin du IIIe ou le début du IIe siècle avant notre ère : une centaine d’années après 300. Elle compte beaucoup, car elle rend difficile l’idée d’un Euclide entièrement inventé à une époque tardive. Vers 200 avant notre ère, un géomètre de haut niveau connaît déjà un Euclide qu’il considère comme un prédécesseur. Et il le cite pour le critiquer : Euclide, dit-il, n’a pas traité de façon satisfaisante une certaine catégorie de problèmes de lieux géométriques.

La valeur de cette mention tient précisément à son manque de révérence. Un auteur qui relève, dans son propre livre, les défauts d’un prédécesseur laisse un témoignage plus difficile à fabriquer qu’un éloge. Il montre surtout que le personnage cité est alors quelqu’un dont on peut discuter concrètement le travail, et non une simple figure symbolique.

La Collection de Pappus est écrite vers 320 de notre ère, soit environ six cent vingt ans après Euclide. Pappus rapporte qu’Apollonios a fréquenté les disciples d’Euclide à Alexandrie. C’est un indice important en faveur de cette localisation, mais l’épisode qu’il raconte lui est déjà antérieur de cinq siècles. Le Commentaire sur le premier livre des Éléments de Proclus date d’environ 450, à quelque sept cent cinquante ans d’Euclide. C’est de lui que vient l’ossature des biographies ultérieures. Stobée, enfin, appartient au Ve siècle : c’est à lui que nous devons les deux anecdotes.

Le catalogue d’Ibn al-Nadim est rédigé vers 987, environ mille deux cent quatre-vingt-dix ans après Euclide. Capital pour l’histoire de la transmission des œuvres, il arrive bien tard pour éclairer une vie privée. Il faut attendre les recueils biographiques arabes des XIIe et XIIIe siècles pour voir enfin apparaître un lieu de naissance et le nom d’un père. Quinze siècles se sont écoulés. Cette chronologie importe. Les biographies de vulgarisation ont souvent le défaut de fondre en un seul paragraphe des matériaux séparés par plusieurs centaines d’années. On les lit alors comme s’il s’agissait de témoignages contemporains.

La localisation à Alexandrie tient sur deux appuis : le récit de Proclus et la phrase de Pappus. Leur accord pèse davantage qu’une anecdote isolée ; aucun des deux n’est pourtant un témoignage contemporain. La datation sous Ptolémée Ier vient surtout de Proclus. L’un de ses arguments est qu’Archimède aurait mentionné Euclide, mais le passage concerné pose lui-même un problème d’interpolation. Quant à savoir s’il était un savant pensionné du Musée, les preuves sont insuffisantes.

La description la plus précise du Musée vu sur place nous vient de Strabon, vers la fin du Ier siècle avant notre ère. C’est donc près de trois siècles après l’époque où nous situons Euclide qu’il a vu l’institution de ses propres yeux. Strabon dit qu’elle appartient au quartier des palais, qu’elle possède des portiques, des sièges et une salle de repas commune, que les biens y sont mis en commun et qu’un prêtre nommé par le pouvoir royal l’administre. Il ne dit pas qu’Euclide figurait parmi ses membres.

La bibliothèque d’Alexandrie est un décor trop commode. Installez un homme presque dépourvu de biographie dans une bibliothèque célèbre, et le lecteur voit aussitôt la scène : des galeries, des rouleaux, des savants entretenus par le roi. L’institution a bel et bien existé, et le tableau n’est pas absurde. Seulement, aucune liste n’y porte son nom. Une seule chose est assurée : quelqu’un a dit plus tard qu’il y avait enseigné. Quelqu’un qui vivait six cents ans après lui.

Une autre question mérite qu’on s’y arrête un instant. Euclide était-il un seul homme ?

La question a réellement été discutée dans l’histoire savante. Une étude de 2013 a même retracé l’hypothèse d’un « Euclide à plusieurs têtes » et la généalogie de son rapprochement avec ce célèbre pseudonyme collectif moderne. Il serait donc faux de dire que personne ne l’a jamais avancée.

Ce n’est pourtant pas l’hypothèse retenue par défaut aujourd’hui. Les sources anciennes qui le nomment le traitent toutes comme un individu. Apollonios critique ce qu’Euclide a fait ; Proclus le place dans une succession de mathématiciens singuliers. Les chercheurs actuels voient plutôt dans son travail une mise en ordre de connaissances existantes, une réécriture des démonstrations et une organisation d’ensemble. La forte cohérence architecturale du livre s’explique mieux par l’action d’un organisateur à la main ferme.

Le rapprochement n’est juste que sur un point : un nom d’auteur ne suppose pas nécessairement un génie solitaire ayant écrit l’ouvrage entier à partir de rien. Les Éléments intègrent manifestement les résultats de plusieurs générations ; le texte qui nous est parvenu a en outre été remanié par des éditeurs ultérieurs. Il faut distinguer l’auteur des différentes couches du texte.

Mais la différence est plus décisive encore. Le collectif moderne possède des membres identifiables, des statuts, une histoire de sa collaboration et un pseudonyme commun adopté à dessein. Nous n’avons rien de tel pour l’Euclide antique. Entre « ce livre reprend beaucoup de travaux antérieurs » et « Euclide est le nom de plume qu’une école s’est délibérément donné », il manque précisément la preuve. Les couches du texte sont un fait. La nécessaire pluralité de ses premiers auteurs n’en est pas un.

L’homme dont il sera question ici ne peut donc occuper que cette place : une personne ou un groupe, quelque part aux alentours de 300 avant notre ère, a repris les résultats géométriques des générations précédentes, les a sélectionnés, réordonnés, a complété les démonstrations et décidé de ce qui viendrait tout au début. Les conséquences de cette décision sont le point de départ de tout le reste.

Un livre qui ne partait pas de rien

Dans l’inventaire historique de la géométrie que nous a conservé Proclus, la rédaction d’Éléments commence explicitement avant Euclide.

Hippocrate de Chios, nous dit-il, fut le premier à en composer. Léon en rédigea ensuite de plus soignés. Puis Theudios de Magnésie en produisit à son tour, jugés excellents. Aucun de ces trois ouvrages n’a subsisté sous sa forme originale.

Ces noms méritent qu’on les retienne. Ils rendent visible un fait qu’on oublie facilement : avant Euclide, au moins trois personnes avaient entrepris le même genre de travail, et ce travail avait été repris plusieurs fois. Les Éléments de Léon étaient « plus soignés », ceux de Theudios « excellents ». Comparer ainsi les ouvrages, c’est déjà reconnaître des différences de qualité. C’est aussi laisser entendre qu’ils circulaient.

Déplions la chaîne des témoignages. Hippocrate se situe au Ve siècle avant notre ère ; Proclus écrit vers 450 de notre ère. Près de neuf siècles les séparent. Mais on admet généralement que cet inventaire historique dérive, au moins en partie, de l’Histoire de la géométrie, aujourd’hui perdue, qu’Eudème avait écrite à la fin du IVe siècle avant notre ère. Les noms ne surgissent donc pas d’une invention faite neuf cents ans plus tard. L’Antiquité tardive a conservé des matériaux laissés par un historien du IVe siècle avant notre ère.

Avant Euclide, le mot « éléments » désignait déjà une forme d’ouvrage : on y disposait en système les propositions jugées plus fondamentales dans une discipline, celles qui pouvaient servir d’outils aux démonstrations à venir. La contribution la plus reconnaissable d’Euclide est de choisir, de réordonner, d’unifier et de compléter les preuves. Elle ne consiste pas à déclarer qu’avant lui la géométrie n’existait pas.

Cette distinction change tous les jugements qui suivent. S’il avait tout inventé à partir de rien, chaque disposition du livre serait un choix de sa main. S’il réorganisait une tradition déjà constituée, certaines dispositions étaient peut-être héritées, d’autres modifiées par lui. Nous ne savons plus faire le partage.

A-t-il rédigé lui-même le cinquième postulat, ou l’a-t-il repris dans un ouvrage antérieur ? Nous n’avons pas de preuve.

L’origine des différents livres demande, elle aussi, plusieurs degrés de certitude. Que la théorie des proportions du livre V soit étroitement liée à Eudoxe, c’est solide. Que tous ses mots et toute son organisation soient d’Eudoxe, rien ne le prouve. Que le livre X s’appuie sur la tradition de recherche de Théétète, c’est solide. Attribuer à celui-ci chaque proposition une par une ne l’est pas. Que le livre XIII recueille des recherches sur les polyèdres réguliers antérieures à Euclide, c’est solide. Prétendre qu’un auteur déterminé en a écrit l’essentiel est bien moins assuré.

Proclus dit exactement qu’Euclide a mis en ordre nombre de théorèmes d’Eudoxe et perfectionné nombre de résultats déjà étudiés par Théétète. Il parle d’organisation et de perfectionnement, non de copie. Quant à définir ce qu’est ce livre, les trois appellations habituelles en saisissent chacune une part. Aucune ne lui va tout à fait.

Ce n’est pas un recueil d’articles de recherche : la majeure partie de son contenu avait une histoire avant lui. Ce n’est pas davantage une simple compilation d’extraits : agencer les dépendances entre propositions, répartir les définitions et compléter les prémisses exigeait un véritable travail d’architecture éditoriale. Certains chercheurs y voient un réservoir de résultats dans lequel on peut puiser à répétition.

Un manuel ? Il en a incontestablement fait office par la suite. Mais on ne peut prouver directement que telle était sa destination première. Aucune préface d’Euclide n’annonce un livre pour débutants. Aucun programme de cours de l’an 300 avant notre ère ne nous est parvenu.

Voici ses dimensions : treize livres, quatre cent soixante-cinq propositions, environ cent trente et une définitions au total. Les cinq postulats et les cinq notions communes se trouvent tous au début du livre I.

Les dimensions varient énormément d’un livre à l’autre. Le livre X, le plus long, compte cent quinze propositions : à lui seul, presque le quart du total. Le livre II n’en compte que quatorze.

Leur nature varie aussi. Les livres VII à IX traitent de théorie des nombres entiers : nombres premiers entre eux, nombres premiers, plus grand commun diviseur. Ils n’ont pas de rapport direct avec la géométrie. Les livres XI à XIII abordent la géométrie dans l’espace. Le livre V porte sur les proportions des grandeurs en général ; comme nous l’avons vu dans l’essai précédent, sa méthode traite ensemble les grandeurs commensurables et incommensurables.

Ce n’est donc pas un livre de géométrie. C’est un ouvrage qui réunit, en les classant, les connaissances alors jugées propres à servir de fondements.

Encore faut-il préciser que ces chiffres décrivent le texte transmis tel que les éditions critiques modernes l’ont stabilisé. Ils ne proviennent pas d’une table des matières arrêtée par Euclide lui-même. Combien de notions communes comportait l’état d’origine ? Telle définition, tel postulat est-il vraiment de sa main ? La critique textuelle a encore des questions à poser.

Retenons l’ordre d’entrée du livre I. D’abord vingt-trois définitions : point, ligne, droite, surface, angle, cercle, angle droit, parallèles. Puis cinq postulats. Puis les notions communes. Ensuite seulement vient la première proposition. Tout donne l’impression que les fondations ont été intégralement déposées devant nous. Donne l’impression. Toute la suite de cet essai se cache dans cette réserve.

La cinquième demande

Pour comprendre ce que la cinquième demande a de singulier, il faut regarder comment Euclide a disposé l’entrée de son livre.

Le livre I s’ouvre sur vingt-trois définitions. Le point est ce qui n’a pas de partie. La ligne est une longueur sans largeur. Viennent aussi le cercle, l’angle droit, les parallèles. Après les définitions, Euclide énonce cinq demandes.

La première : pouvoir mener une droite de n’importe quel point à n’importe quel autre. La phrase n’est pas démontrée. Elle ne prétend pas l’être. C’est une demande d’autorisation : laissez-moi faire ce geste.

Les trois suivantes procèdent de même. Pouvoir prolonger indéfiniment une droite finie dans sa direction. Pouvoir tracer un cercle de centre quelconque et de rayon quelconque. Tenir tous les angles droits pour égaux entre eux. Vient alors la cinquième.

Si une droite coupe deux droites en faisant, d’un même côté, deux angles intérieurs dont la somme est inférieure à deux angles droits, les deux droites, prolongées indéfiniment, se rencontreront de ce côté-là. Après ces cinq demandes, cinq énoncés plus généraux : des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles ; le tout est plus grand que la partie ; et ainsi de suite. Tout cela est placé à l’entrée du livre : on commence par dire ce qu’on ne cherchera pas à démontrer.

Les mathématiciens qui viendront ensuite voudront aller jusqu’au bout de cette liste : puisqu’on part de là, il ne faudra rien ajouter d’autre. Même ce qui paraît aller de soi. Euclide n’a pas encore laissé les figures à la porte. Mais il a déjà mis les points de départ sur le papier. C’est ce dispositif qui compte.

Bien entendu, la géométrie avait déjà accumulé quantité de résultats. Nous l’avons vu : au moins trois auteurs avaient composé des ouvrages du même genre. Euclide a fait de ces résultats une chaîne dont il a placé le premier maillon bien en vue. Dès cet instant, quelqu’un pouvait demander : êtes-vous sûr que ces cinq demandes suffisent ? Pendant les deux mille trois cents ans qui ont suivi, la question n’a pas cessé d’être posée. Mais elle a changé entièrement de direction.

Une voie consiste à demander : parmi ces cinq demandes, n’y en aurait-il pas une de trop ? L’autre : n’en manquerait-il pas ? Les questions semblent opposées ; elles prennent en réalité le même problème par ses deux bouts. La cinquième demande a ouvert une querelle de deux mille ans. Lorsque certains décidèrent de ne plus laisser les figures faire preuve, l’autre question devint particulièrement pressante.

Revenons aux cinq demandes. La différence saute aux yeux, et elle est d’abord dans les phrases, avant d’être dans la géométrie.

Les trois premières parlent d’une même voix : laissez-moi tracer une droite, laissez-moi la prolonger, laissez-moi tracer un cercle. Chacune autorise un geste. Chacune est brève : une dizaine de mots dans le grec original.

La quatrième ne désigne plus un geste, mais reste tout aussi courte. Tous les angles droits sont égaux entre eux.

La cinquième, soudain, s’allonge. Il faut d’abord qu’une transversale coupe deux droites, puis que la somme de deux angles du même côté soit inférieure à deux droits, puis qu’on prolonge indéfiniment les deux droites ; alors seulement vient l’annonce de leur rencontre. Le texte grec usuel dépasse les trente mots, plusieurs fois la longueur des énoncés précédents. Le plus important n’est pourtant pas la longueur, mais l’allure. Les quatre premiers se lisent comme des règles. Le cinquième ressemble à une conclusion qui demanderait à être démontrée. Pourquoi Euclide l’a-t-il rédigé ainsi ? Personne ne le sait. Il ne s’en est pas expliqué.

Nous n’en voyons que le résultat. Il avait besoin de cette propriété et ne l’a pas démontrée : il l’a rangée dans la rubrique des choses qu’on ne démontre pas. Ce choix n’avait peut-être alors rien de frappant. La rubrique était faite pour cela ; y ajouter un énoncé n’exigeait pas de justification. C’est plus tard que l’écart est devenu visible. Quatre règles aussi courtes que des consignes, et une seule aussi longue qu’une conclusion : on a fini par le remarquer. Les deux mille ans suivants ont alors été consacrés au même effort : trouver comment ne plus avoir à la demander.

Trois voies, et trois seulement. Démontrer que la cinquième demande découle des quatre premières, ce qui dispenserait de l’énoncer à part. La remplacer par une formulation plus simple. Ou démontrer que l’entreprise est impossible. Les deux premières ont occupé deux millénaires. La troisième a dû attendre le XIXe siècle.

Longtemps, les deux premières démarches ont surtout été comprises comme des travaux visant à perfectionner la théorie des parallèles. Au XIXe siècle, les géométries non euclidiennes et l’étude de leurs modèles ont donné à la troisième une forme décisive.

On présente souvent ce livre comme l’acte de naissance de la méthode axiomatique.

Si l’expression signifie placer d’abord ce qui ne sera pas démontré, pour que chacun voie d’où part la suite du raisonnement, elle vise juste. C’est exactement ce dont nous venons de parler. Mais depuis la fin du XIXe siècle, on donne à ces mots un sens beaucoup plus exigeant. À quel point ? La sixième section le montrera.

Projeter cette exigence sur l’an 300 avant notre ère serait juger après coup. Les Anciens connaissaient évidemment les différents rangs de ces principes. Ils discutaient de ce qu’on pouvait demander et de ce qu’il fallait démontrer. Leurs préoccupations n’étaient pas celles qui viendraient ensuite.

Quand le malaise a-t-il commencé ?

On entend souvent cette affirmation : dès le premier jour, le cinquième postulat a inquiété tous les mathématiciens. Aucun témoignage conservé ne permet de soutenir « dès le premier jour ».

Avant Euclide, Aristote connaissait déjà les problèmes de raisonnement circulaire dans les démonstrations relatives aux parallèles. La question était donc, au IVe siècle avant notre ère, un point sensible de la logique. Mais cela ne prouve évidemment pas qu’il critiquait un livre qui n’avait pas encore été écrit.

La distinction est importante, car on confond facilement deux choses. Que les parallèles aient posé problème avant Euclide est un fait. Que la façon dont son livre énonce le cinquième postulat ait été jugée défectueuse est une autre affaire, beaucoup plus tardive.

Pour une mise en cause de ce livre même, le premier nom que nous puissions aujourd’hui avancer est celui de Posidonios, qui vécut approximativement de 135 à 51 avant notre ère. Nous sommes déjà plus de cent cinquante ans après 300. Et, de nouveau, ce que nous savons de sa tentative ne nous est transmis que par Proclus, au Ve siècle de notre ère.

Selon Proclus, Posidonios essaya de redéfinir les parallèles : deux droites d’un même plan qui restent à égale distance, sans se rapprocher ni s’éloigner. Le problème est que cette équidistance en tout point introduit déjà, dans la définition, une condition dont la force est comparable à celle des propriétés euclidiennes des parallèles.

Ptolémée vécut au IIe siècle de notre ère. Proclus rapporte qu’il avait écrit une démonstration et la critique étape par étape. Les analyses ultérieures ont montré qu’à l’endroit crucial, l’argument utilise en cachette une condition équivalente, par sa portée, à l’unicité de la parallèle. Le raisonnement tourne donc en rond.

Proclus s’y est essayé à son tour. Après avoir critiqué ses devanciers, il a fait appel à des propriétés supplémentaires, notamment au fait que la distance entre parallèles reste bornée. Or les quatre premiers postulats ne les donnent pas gratuitement. Il a vu avec précision comment les autres faisaient entrer clandestinement la conclusion dans les prémisses. Puis il est tombé dans le même piège.

C’est ici qu’on mesure la vraie difficulté. Elle n’est pas tant de démontrer que de reconnaître ce qu’on utilise. Une prémisse introduite en contrebande se présente souvent sous une forme plus simple que le cinquième postulat lui-même. « La distance entre parallèles est bornée » : qui ne trouverait cela tout naturel ? L’histoire est remplie de ces retours du même piège. Ils ne trahissent pas un manque d’intelligence. Plusieurs de ceux qui y sont tombés comptaient parmi les meilleurs mathématiciens de leur temps.

Posidonios était une grande figure du stoïcisme ; Ptolémée a écrit le système astronomique qui s’est imposé pendant les quatorze siècles suivants ; Khayyam était à la fois poète et réformateur du calendrier ; Tusi a fondé un observatoire.

La véritable raison est que la propriété à démontrer et les formulations de remplacement, apparemment plus simples, ont la même force. Changer les mots revient à déplacer un objet tout aussi lourd. Celui qui le déplace ne s’aperçoit souvent pas que le poids n’a pas changé. Cette recherche s’est poursuivie plusieurs siècles dans le monde arabe : c’est là que se trouve la longue période médiane où cette histoire a continué de se développer.

Ibn al-Haytham a reconstruit la théorie des parallèles au moyen d’arguments faisant intervenir des quadrilatères à côtés perpendiculaires, l’équidistance et le mouvement. Khayyam lui a ensuite reproché d’introduire le mouvement dans les fondements de la géométrie sans avoir d’abord établi qu’il était légitime de le faire.

Omar Khayyam étudia un quadrilatère ayant deux côtés de même longueur perpendiculaires à sa base. Il distingua trois hypothèses pour les angles du sommet : droits, aigus ou obtus, puis chercha à éliminer les deux dernières. Les principes qu’il employait, par exemple celui selon lequel des droites qui convergent doivent se rencontrer, ont, à nos yeux modernes, une force comparable à celle du cinquième postulat.

Au milieu du XIIIe siècle, Nasir al-Din al-Tusi poursuivit cette recherche au moyen de raisonnements par l’absurde et de quadrilatères, en critiquant les solutions antérieures. Sa famille et ses continuateurs en donnèrent encore d’autres versions. Un texte arabe imprimé à Rome au XVIe siècle fit entrer une partie de cette tradition dans le champ de vision européen.

Il faut toutefois être prudent : on a longtemps attribué en bloc plusieurs versions tardives à Tusi lui-même, comme s’il s’agissait de sa démonstration définitive. La philologie moderne est bien plus réservée. Cette transmission a elle aussi une histoire qu’il faut établir par la critique des textes. Et l’intérêt majeur de ces quelques siècles n’est pas dans ce que leurs auteurs auraient été « sur le point de découvrir ». Ce serait leur imposer la destination fixée par le XIXe siècle.

Mesurer leurs travaux à ce qui s’est produit plus tard ferait de chacun d’eux un homme qui échoue. Ils n’étaient pas en train d’échouer. Ils poursuivaient une entreprise parfaitement raisonnable selon les critères de leur temps, et la menaient avec une précision croissante.

Leurs résultats n’ont d’ailleurs pas été perdus. Les quadrilatères, les trois hypothèses sur les angles du sommet : tout cela resservirait dans un autre ensemble de problèmes. Simplement, les noms auraient changé, et les usages aussi.

L’essentiel est qu’ils posaient, de manière toujours plus systématique, la même question : cette propriété géométrique apparemment évidente a-t-elle réellement été démontrée, ou l’a-t-on réintroduite dans les prémisses sous une autre formulation ?

Certains tirent un indice de la construction du livre lui-même. Au livre I, Euclide attend la proposition 29 pour employer le cinquième postulat, ce qui semble indiquer qu’il tenait à en retarder l’usage. L’observation est exacte. Mais passer de cet usage différé à l’idée qu’il doutait de la vérité du postulat, ou qu’il le croyait démontrable, c’est déjà interpréter. Ce n’est pas produire un témoignage biographique. Ses raisons ne nous sont pas parvenues.

Cette phrase est déjà revenue plusieurs fois dans cet essai, et elle reviendra encore. Ce n’est pas un effet de plume. Nous savons si peu de cet homme que nous en sommes là : ce qu’il a fait est dans le livre. Sur les raisons pour lesquelles il l’a fait, pas un mot.

La première proposition

Regardons maintenant le tout premier problème du livre. Étant donné un segment, construire un triangle équilatéral.

La construction est la suivante. On trace un cercle centré sur l’une des extrémités du segment, avec le segment entier pour rayon. Puis un second cercle de même rayon, centré sur l’autre extrémité. On prend un point d’intersection des deux cercles et on le joint aux deux extrémités.

Le troisième postulat autorise à tracer les cercles. Il ne dit pas qu’ils se coupent nécessairement. Bien sûr qu’ils se coupent : il suffit de dessiner la figure, le point d’intersection est là, on le voit immédiatement. C’est tout le problème. Aucun des principes du livre ne garantit l’existence de ce point. Et nous sommes à la première proposition.

« On le voit immédiatement » est un raisonnement, pas un postulat. Son appui est la figure, pas le texte. Le troisième postulat donne l’autorisation de tracer un cercle. Une fois ce cercle tracé, qu’il possède ou non un point commun avec un autre ne relève plus de ce postulat.

Si l’on applique la règle d’aujourd’hui, selon laquelle tout doit découler des quelques principes placés en tête, la première proposition emprunte déjà quelque chose qui ne figure pas sur la liste.

Le cas n’est pas isolé. Des constructions ultérieures traitent l’intersection d’une droite et d’un cercle comme un fait disponible ; il faut donc un autre principe du même ordre. Nulle part le livre n’énonce, sous une forme moderne, que si les extrémités d’un segment sont l’une à l’intérieur d’un cercle et l’autre à l’extérieur, le segment rencontre nécessairement le cercle.

Deuxième famille : l’ordre et la relation « entre ». Le texte ne cesse de dire qu’un point se trouve entre deux autres, qu’un objet se trouve d’un côté donné, qu’un point tombe à l’intérieur d’un angle, qu’une droite prolongée passe par tel endroit. Pourtant, à l’ouverture du livre I, aucune série explicite de principes ne régit la relation « être entre ».

Troisième famille : la séparation du plan. Sous l’une de ses formes usuelles, ce qu’on appelle aujourd’hui l’axiome de Pasch dit ceci : étant donné trois points non alignés, une droite qui ne passe par aucun de ces trois sommets et qui entre dans le triangle par un côté doit en ressortir par l’un des deux autres. Les démonstrations classiques utilisent abondamment des faits lus sur la figure : si la droite entre par ici, elle ne peut sortir que par là. Le livre ne les énonce pas séparément comme principes.

Quatrième famille : la congruence et le déplacement. Dans la proposition 4, la démonstration par superposition demande d’imaginer un triangle posé sur un autre. La notion commune selon laquelle des choses qui coïncident sont égales fournit une partie du vocabulaire nécessaire. Elle ne constitue pas pour autant un ensemble complet, au sens moderne, de règles sur les déplacements rigides, la congruence des angles et le transport des segments.

Cinquième famille : l’incidence, l’unicité et les cas dégénérés. Les figures supposent souvent tacitement que des points nouvellement construits sont distincts, que certaines droites ne se confondent pas, que les intersections tombent à l’endroit requis.

C’est la famille la plus discrète, et celle dont il est le plus difficile de faire le tour. Une fois le dessin tracé, chacun de ses objets est déjà à sa place. Le texte n’a pourtant pas expliqué pourquoi il s’y trouvait.

Ces cinq familles ont quelque chose en commun. Elles portent toutes sur des faits que l’on peut vérifier d’un coup d’œil dans la figure : quels objets se rencontrent, quel point est entre quels autres, par où une droite entre et par où elle sort. C’est précisément parce que ces rapports sont souvent visibles qu’ils n’ont pas été systématiquement énumérés sous forme d’axiomes écrits. Les commentateurs antiques n’ignoraient pas toutes les difficultés que cela soulève. Le tournant particulièrement net du XIXe siècle consiste à exiger que ces ressources du raisonnement prennent place dans un système explicite de fondements.

La figure et le texte avaient longtemps travaillé ensemble. Puis certains voulurent faire sortir la figure, et la manière de faire changea. Combien de principes manquaient donc au total ?

Il n’existe aucun nombre entier reconnu par les spécialistes. La réponse dépend du langage formel moderne choisi pour les compter. Les différents systèmes ne découpent pas leurs principes de la même manière.

Conclure qu’il « manque dix-neuf axiomes à Euclide », ou vingt, serait donc une erreur. Les dix-neuf axiomes de Hilbert en 1899, répartis en cinq groupes, ne formaient pas une liste destinée à boucher ses trous un à un. Hilbert a repensé l’ensemble de l’architecture des fondements. Il prend comme objets primitifs les points, les droites, les plans et certaines relations, répartit les principes selon leur fonction logique, puis étudie systématiquement leur compatibilité et leur indépendance. Les cinq groupes sont ceux de l’incidence, de l’ordre, de la congruence, des parallèles et de la continuité.

Le cinquième postulat n’occupe plus, dans cet ensemble, que la place d’une condition au sein d’un groupe. Il ne symbolise plus à lui seul toute la question des fondements. L’axiome de Pasch vient des Leçons de géométrie nouvelle de 1882. Hilbert indique expressément que l’on doit tout particulièrement à Pasch l’un de ses axiomes d’ordre.

La révolution de Pasch ne tient pas à la découverte d’un théorème spectaculaire. Elle tient à ce constat : « la figure le montre bien » est encore une ressource logique. Si l’on veut retirer à la figure son droit de faire preuve, il faut mettre cette ressource par écrit.

Le mot « rigueur » a changé de sens

Plaçons maintenant les deux démarches côte à côte.

Les Anciens demandaient : pourquoi la cinquième demande est-elle si compliquée ? N’est-elle pas insuffisamment évidente ? Peut-on la démontrer à partir de principes plus simples ? Peut-on lui substituer une définition plus naturelle des parallèles ?

Au XIXe siècle, on demande : de quelles autres relations primitives un système géométrique complet a-t-il besoin ? Comment définir formellement « entre », « du même côté », « se couper » ? Qu’est-ce qui garantit l’intersection de deux cercles, ou d’une droite et d’un cercle ? Comment axiomatiser séparément la congruence, l’ordre et la continuité ? La différence entre les deux groupes de questions n’est pas une différence de difficulté. C’est une différence de direction. On peut la rendre plus concrète encore.

Les Anciens avaient devant eux une phrase écrite. Ils pouvaient la lire, en compter les mots, la trouver trop longue, essayer de la remplacer. Elle était visible. C’est pourquoi elle a pu subir deux mille ans d’attaques.

Les modernes avaient à porter sur le papier ce qui se cachait dans les figures : deux cercles se coupent-ils ? Un point est-il entre deux autres ? Par où ressort une droite qui entre dans un triangle ? Ces faits servaient dans les démonstrations sans avoir été énumérés un à un à l’entrée du livre. Des questions avaient bien été posées. Mais tant que la figure pouvait parler pour eux, on était tenté de juger inutile une phrase de plus.

Le cinquième postulat était explicite. La plupart des problèmes mis au jour à l’époque moderne venaient de ressources de raisonnement qui ne l’étaient pas.

Il y a là un renversement qu’il faut regarder honnêtement. Si l’on appelle « lacune logique » une prémisse nécessaire à la démonstration mais que l’auteur n’a pas énoncée, le cinquième postulat n’est, à strictement parler, pas une lacune. Euclide l’a écrit.

Les géométries non euclidiennes du XIXe siècle, puis les travaux sur leurs modèles, ont fourni une raison plus forte encore. Une fois convenablement choisis les autres axiomes, l’axiome euclidien des parallèles est bel et bien indépendant. Le démontrer dans un système plus faible est impossible. Hilbert lui-même a explicitement étudié son indépendance à l’égard des autres axiomes. Vu d’aujourd’hui, Euclide a donc eu raison de ne pas le dissimuler et de le présenter comme une hypothèse supplémentaire.

Autrement dit, le postulat dont on s’est plaint pendant deux mille ans est la phrase la plus honnête de ce livre. Elle demande ouvertement ce qui ne peut pas s’obtenir gratuitement. D’autres difficultés se cachaient justement dans ce que le livre utilisait sans tout énoncer. Ce qui faisait protester le plus fort n’était pas forcément ce qu’il fallait compléter en premier.

On peut aller un peu plus loin. Une hypothèse écrite attire le doute parce qu’elle est visible. Celles qui ne le sont pas se fondent facilement dans ce qui va de soi. La visibilité elle-même répartit mal la pression.

Il faut aussitôt freiner. Cela ne prouve pas qu’Euclide connaissait l’indépendance logique, ni qu’il avait prévu quoi que ce soit. Ses intentions n’ont pas été conservées. Il existe, en outre, une troisième objection, qui retourne entièrement le problème.

Certaines prétendues lacunes ne sont peut-être pas des phrases qu’un Ancien distrait aurait oublié d’écrire. Sa pratique pouvait autoriser les figures à prendre en charge une part des inférences, une part encadrée par des règles et des contraintes. Si l’on formalise aussi ces règles d’usage des figures, beaucoup de raisonnements se reconstruisent rigoureusement sans qu’il soit nécessaire de transformer chaque relation visuelle en axiome textuel. Dans cette lecture, dire qu’« un axiome manque » signifie parfois qu’il faut en ajouter un pour traduire la pratique ancienne dans un système moderne purement syntaxique. Cela ne signifie pas que cette pratique était illégitime.

Cette objection mérite qu’on s’y attarde. Il ne s’agit pas de plaider pour les Anciens. Il s’agit de reconnaître qu’un système de démonstration peut être rigoureux sans réduire toutes ses inférences à des phrases. Si une figure obéit à des règles, à des contraintes et à des usages vérifiables, elle peut faire partie de la preuve au lieu d’être une simple illustration dans la marge. Chasser les figures de la démonstration fut un choix du XIXe siècle. Ce n’est pas une norme éternelle.

Le jugement le plus équitable serait donc le suivant. Le cinquième postulat a historiquement posé un problème de statut parmi les fondements, mais il n’est pas l’omission logique la plus manifeste de ce livre. On aurait tout autant tort de prétendre que l’humanité s’est obstinée pendant deux mille ans à regarder au mauvais endroit, avant de découvrir les véritables brèches à la fin du XIXe siècle.

Les mathématiciens antiques travaillaient selon leurs propres critères de fondation. Une propriété que l’on peut demander convient-elle pour autant comme principe admis sans preuve ? Peut-on la remplacer par une formulation plus simple ? Ce sont de vraies questions.

Pasch et Hilbert répondaient à une autre exigence de rigueur. Si la figure perd son droit de raisonner, les informations d’ordre et de continuité qu’elle portait doivent entrer dans le système formel. Les Anciens ne regardaient pas au mauvais endroit. Le mot « rigueur » a changé de sens, et ce changement a déplacé le problème. Il a eu un coût qu’il faut garder en mémoire.

Une fois la figure écartée de la preuve, la géométrie est devenue plus sûre, et plus difficile à lire. La première proposition tenait auparavant en une phrase accompagnée d’un dessin. Il lui faut désormais un principe garantissant l’intersection de deux cercles, principe qui doit lui-même s’appuyer sur la continuité. Le visible s’est changé en invisible. En échange, plus besoin de faire confiance à ses yeux. Le marché est clair : on a cédé de la lisibilité pour gagner l’indépendance à l’égard de la vue et de l’intuition de chacun.

L’échange en valait la peine. Mais il ne consistait pas à corriger une erreur. On avait changé de normes, puis tout reconstruit selon les nouvelles.

Le produit et l’atelier

Combien étaient-ils, ces hommes derrière le livre ? Il existe une estimation dont on peut démonter la méthode pièce par pièce.

Dans son ouvrage consacré à la forme de la déduction dans les mathématiques grecques, Netz commence par recenser environ cent quarante-quatre individus nommément connus que l’on peut tenir pour des mathématiciens antiques. Il tente ensuite d’évaluer ceux dont toute trace a disparu. Il prend quatre listes partiellement recoupées, en retire les célébrités comme Euclide, que toutes les sources sont presque obligées de citer, puis remonte au total par une méthode proche de la capture-recapture. Les six appariements donnent des estimations allant d’environ quatre-vingt-neuf à trois cent trois. Il retient trois cents comme conjecture relativement prudente et, par précaution supplémentaire, élargit la borne haute à environ mille.

Le mérite de ce calcul est sa transparence. Sa faiblesse est tout aussi visible. Il suppose des listes indépendantes les unes des autres, comme le seraient des échantillons aléatoires. Elles ne le sont pas. Les auteurs antiques choisissent qui citer en fonction de la réputation, des filiations disciplinaires et des textes précédents ; les fréquences ressemblent davantage à une distribution à longue traîne. Retirer les figures les plus célèbres modifie de surcroît la structure même de l’échantillonnage.

D’autres chercheurs ont compté les citations dans les textes scientifiques antiques. Ils arrivent à quelque cent cinquante auteurs dont les textes ont gardé trace, et entre trois cent quatre-vingts et quatre cent quarante œuvres connues, parfois par leur seul titre. Mais c’est la population visible dans les textes, non le nombre réel de personnes qui pratiquaient ces disciplines.

Il n’existe donc pas d’intervalle statistiquement fiable. Quelques centaines de personnes, en élargissant très généreusement jusqu’à l’ordre du millier : voilà qui peut guider l’intuition. Un nombre exact de mathématiciens pour toute l’Antiquité, non.

Une autre conclusion est mieux assurée. Il s’agissait d’une communauté d’auteurs minuscule, géographiquement dispersée, sans continuité de génération en génération. Des études ont relevé le peu de recoupement entre plusieurs de ses auteurs majeurs. La tradition pouvait s’assoupir longtemps avant d’être reprise.

Leurs statuts étaient divers : maîtres et élèves d’écoles philosophiques, savants entretenus par les rois, astronomes, mécaniciens, auteurs d’ouvrages d’arpentage et de techniques de construction, enseignants privés. Rien n’atteste un marché de l’emploi au sens moderne, ni une corporation de mathématiciens couvrant plusieurs cités. La tradition se perpétuait largement par les textes, les citations et les chaînes de commentaires, sans dépendre d’institutions sociales ininterrompues. Le contraste avec les écoles de scribes du premier essai est net.

Là-bas, des exercices sur tablettes en grand nombre, des documents administratifs et des traces d’apprentissage permettent de reconstituer l’enseignement. Ici, l’essentiel de ce qui reste est constitué d’ouvrages fortement élaborés, de papyrus épars, de textes philosophiques et de biographies très tardives. Nous voyons beaucoup plus les produits que leur système de production.

Voilà aussi pourquoi cet essai parvient si mal à faire apparaître un individu. Ce n’est pas que ces hommes comptent peu. C’est que leur cadre de travail n’a pas subsisté. Ni brouillons d’exercices, ni notes de cours, ni cette page où l’on s’est trompé dans un calcul avant de le rayer.

L’enfant du premier essai, qui lissait sa tablette pour recommencer, n’a pas ici de pendant. Non qu’un tel enfant n’ait pas existé, mais son support d’écriture n’était pas destiné à nous parvenir. Même les figures sont des produits finis.

Dans les mathématiques grecques, les figures ne sont pas des illustrations posées à côté des démonstrations. Les lettres renvoient sans cesse des phrases au dessin et du dessin aux phrases. Construire modifie la figure ; démontrer consiste aussi à y prélever, sous contrôle, des rapports de position.

Les figures antiques étaient-elles à l’échelle ? On ne peut se contenter de répondre non. Elles ne conservent pas de façon fiable les proportions métriques au sens moderne. Un parallélogramme censé représenter le cas général peut ressembler à un rectangle ; des segments théoriquement inégaux peuvent paraître égaux. En revanche, les rapports d’intersection, de connexion, d’intérieur et d’extérieur, d’ordre, ont souvent une importance capitale.

Les figures ont également leur propre histoire de copie. Des comparaisons portant sur un grand nombre de manuscrits montrent que les copistes les rendaient plus régulières, plus symétriques, plus jolies. Ils leur donnaient ainsi des propriétés particulières que le texte n’exigeait pas. À chaque copie, la figure gagnait un peu en régularité. Saito et d’autres chercheurs ont comparé une même figure dans de nombreux manuscrits : ces transformations peuvent être suivies.

Ce phénomène diffère de la transmission du texte. Un mot mal copié peut être repéré plus tard grâce à son contexte. Mais qu’on dessine un quadrilatère général avec un peu trop de symétrie, et ce que l’on verra ensuite sera un quadrilatère symétrique, sans que le texte ait jamais dit qu’il l’était. De copie en copie, une figure générale devient un cas particulier. Or c’est sur la figure que la preuve s’appuie.

Deux mouvements se poursuivent donc simultanément. Le texte, collationné de génération en génération, se rapproche toujours davantage d’une lecture ancienne. La figure, redessinée de génération en génération, s’éloigne toujours davantage de sa forme initiale.

Le texte lui aussi porte la marque de ses transmissions. Au IVe siècle, Théon a édité le livre. Dans un autre de ses commentaires, il signale avoir ajouté du contenu aux Éléments. Une addition située après la proposition 33 du livre VI est ainsi devenue le point de repère permettant de reconnaître sa version. La plupart des manuscrits grecs médiévaux conservés portent les traits de cette tradition éditoriale.

Ce qu’on appelle la tradition « non théonienne » n’est pas le manuscrit autographe d’Euclide. C’est une branche de la transmission qui n’a pas subi la même révision. Son témoin décisif est le manuscrit grec 190 du Vatican, généralement daté du IXe ou du Xe siècle.

Lorsque Peyrard l’examina en 1808, le manuscrit se trouvait à Paris : Napoléon avait fait saisir les fonds du Vatican. Peyrard remarqua qu’il ne comportait pas les passages que Théon disait avoir ajoutés. Il comprit alors qu’il avait affaire à une autre tradition.

Mais, en 1996, une étude a contesté le modèle optimiste qui faisait de ce manuscrit un chemin direct jusqu’à Euclide. Elle soulignait que la tradition arabe pouvait conserver des leçons anciennes qu’une division en deux branches ne suffisait pas à couvrir. La formulation la plus sûre reste celle-ci : c’est l’un des témoins grecs les plus importants pour établir le texte du livre, et non l’original de l’auteur.

En 1482, Ratdolt publia à Venise la première édition imprimée, un in-folio issu de la tradition latine. Elle est notamment célèbre pour avoir réussi, aux débuts de l’imprimerie à caractères mobiles, à imprimer ensemble le texte et plus de quatre cents figures géométriques. Ratdolt insistait lui-même, dans sa dédicace, sur la difficulté technique de l’entreprise.

En 1570, Billingsley publia la première traduction anglaise complète, avec une préface de Dee. Marchand londonien, membre de la corporation des merciers, Billingsley deviendrait lord-maire de Londres en 1596. La page de titre annonçait que la préface de Dee présenterait les principales disciplines mathématiques, ce qu’elles étaient et les services qu’elles pouvaient rendre. Dee y expliquait pourquoi imprimer l’ouvrage dans la langue du pays : il devait parvenir à des lecteurs qui ne connaissaient pas le latin et n’étaient pas des universitaires. Combien d’artisans ordinaires du royaume, demandait-il en substance, habitués aux nombres, à la règle et au compas, pourraient, avec cette aide, concevoir de nouveaux ouvrages, des machines et des instruments inédits ? Ces réalisations répondraient aux divers besoins du pays, ou au plaisir des artisans eux-mêmes, ou leur permettraient de mieux gagner leur vie. C’était encore un grand format. Certaines figures de géométrie dans l’espace comportaient des pièces de papier à plier, qui transformaient la page plane en modèle à trois dimensions. En 1574, Clavius publia un ample commentaire latin qui allait devenir l’un des textes centraux de l’enseignement mathématique des jésuites.

Combien de temps les Éléments ont-ils servi de manuel ? Il n’existe pas d’année unique où cet usage aurait pris fin. En Grande-Bretagne, au début du XIXe siècle, ils restaient la référence géométrique des écoles et des universités. À l’époque victorienne, on discutait encore du droit de les remplacer par d’autres manuels ; une association fondée en 1871 fut l’une des forces de cette réforme. Ce n’est qu’au début du XXe siècle qu’ils perdirent nettement leur place au cœur des programmes. Ailleurs, et à d’autres époques, des réécritures les avaient remplacés depuis longtemps. On ne peut donc pas davantage affirmer que le monde entier a utilisé ce seul livre sans interruption pendant deux mille ans.

Revenons à cette formule : pas de voie royale.

Le livre a vécu plus longtemps que tous ceux qui auraient pu dire à la postérité qui était son auteur. Au fil des copies, ses figures se sont faites toujours plus régulières. De main en main, on l’a augmenté, numéroté, on en a retracé les dessins. S’il a pu nourrir deux millénaires de débats, ce n’est pas parce qu’il était sans lacunes. C’est parce que son auteur a écrit où il prenait appui. Cela paraît banal à dire. Cela ne l’est pas à faire. Écrire ce dont on dépend, c’est le livrer au démontage des autres.

Le postulat qui avait été écrit, les générations suivantes ont pu le contester, le remplacer, tenter de le démontrer, puis démontrer qu’on ne pouvait pas le démontrer. On avait aussi interrogé certaines prémisses cachées dans les figures, mais elles se laissaient moins facilement isoler que cette cinquième demande posée sur le papier. Le livre a subi deux mille ans de questions à l’endroit où il était le plus franc. Ailleurs, il fallait d’abord déloger les difficultés de ce qui semblait aller de soi.

On continue à compter. Mais ce qui compte comme mathématiques, on n’en a jamais fini de faire le compte.

Sources et lectures complémentaires

Les références suivantes éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation abordés dans cet essai. Notices de collections, littérature antique et reconstructions modernes ne constituent pas le même type de preuves.

• Euclide, I.1 : construire un triangle équilatéral
• Le cinquième postulat d’Euclide
• Beeson, Narboux et Wiedijk : vérifier les démonstrations d’Euclide par ordinateur
• Ken Saito : les figures des manuscrits dans les livres arithmétiques d’Euclide
• Université de St Andrews : Posidonios
• Bibliothèque Linda Hall : Henry Billingsley
• Knorr : Le mauvais texte d’Euclide, 1996