공리의 구축

왕도는 없다

프톨레마이오스가 유클리드에게 물었다. 이 책을 끝까지 읽는 것 말고, 기하학을 배우는 더 짧은 길은 없겠느냐고. 유클리드는 대답했다. 기하학에는 왕도가 없다고. 이 말은 천오백 년 동안 전해졌다. 짧고, 꼿꼿하다. 수학자와 왕을 한 방에 들여놓고는 수학자가 이기게 해 주기까지 한다.

이런 이야기에는 익숙한 모양이 있다. 권력은 지름길을 원하고, 지식은 그런 길이 없다고 답한다. 듣는 사람은 기하학을 몰라도 뜻을 알아듣는다. 다 듣고 나면 수학의 편이 된다. 잘 먹히는 이야기는 대개 그렇다. 그 학문을 이해할 필요는 없다. 그 자세만 알아보면 된다. 그런데 자세 하나로 퍼져 나가는 이야기라면, 퍼지는 동안 주인공까지 꼭 지킬 필요는 없다.

이 이야기를 남긴 사람은 프로클로스다. 기록한 때는 서기 450년 무렵이다. 실제 일이 기원전 300년쯤 벌어졌다면, 그 사이에 약 750년이 놓인다. 프로클로스는 어디서 들었는지 밝히지 않았다.

더 난처한 사정도 있다. 같은 5세기의 편찬자 스토바이오스가 같은 이야기의 다른 판본을 남겼다. 왕이 기하학을 빨리 배우는 방법을 묻자, 수학자가 답한다. 왕이 다니는 길에는 왕도가 있지만 기하학에는 없다고. 여기서 왕은 알렉산드로스 대왕이고, 수학자는 메나이크모스다.

이야기는 하나인데 스승과 제자는 두 쌍이다. 두 쌍 모두 기록한 사람보다 700년 이상 앞선다. 이것은 서로를 뒷받침하는 증언이 아니다. 오히려 반대다. 같은 이야기를 서로 다른 두 쌍에게 붙일 수 있다면, 누구에게 붙이든 상관없다는 뜻이다.

두 판본은 각각 그럴듯하기까지 하다. 메나이크모스는 실제로 기원전 4세기의 수학자였고, 알렉산드로스는 실제로 왕이었다. 시대가 맞는다. 유클리드와 프톨레마이오스 1세도 마찬가지다. 이야기 안에서는 허점이 보이지 않는다. 허점은 그런 이야기가 두 개 있다는 데 있다.

스토바이오스는 또 다른 일화도 전한다. 첫 번째 정리를 막 배운 학생이 이런 것을 배워서 무엇을 얻느냐고 물었다. 유클리드는 하인에게 그 학생에게 3오볼을 주라고 했다. 배운 것에서 반드시 이익을 얻어야겠다는 사람이니 말이다. 이 두 일화를 합치면 후대에 알려진 유클리드가 나온다. 고고하고 엄격하며, 실용 따위에는 눈길도 주지 않고, 왕 앞에서도 물러서지 않는 사람.

그런데 두 일화의 가장 이른 출처는 모두 서기 5세기다.

이 이야기를 해서는 안 된다는 뜻은 아니다. 두 일화는 고대 후기에 실제로 존재했던 텍스트다. 그 시대 사람들이 수학자를 어떤 사람으로 그리고 싶어 했는지 보여 준다. 그 자체가 사료다. 다만 어느 날 유클리드가 실제로 무엇을 했다는 기록은 아니다.

학문을 이익과 맞바꾸려 하지 않는 자세에는 훨씬 이르고 원문도 확인할 수 있는 출처가 따로 있다. 말한 사람이 유클리드가 아닐 뿐이다. 기원전 4세기, 플라톤은 『국가』 제7권에서 장차 국가의 최고 직책을 맡을 사람들이 산술을 어떻게 배워야 하는지 썼다. 대강 맛만 보고 그칠 것이 아니라, 사유만으로 수의 본성을 꿰뚫어 볼 때까지 배워야 한다는 취지다. 상인이나 장사꾼처럼 사고팔기 위해서가 아니라, 전쟁을 위해서, 또 끊임없이 변하는 것에서 참된 실재로 영혼의 방향을 돌리기 위해서다. 그 앞에서는 더 직설적이다. 군인은 수를 알아야 진을 칠 수 있다. 그에게 ‘장사를 위해서가 아니다’와 ‘전쟁을 위해서다’는 한 문장의 앞뒤 절이었다.

앞선 두 편에서는 두 종류의 틈을 살폈다. 첫 편의 헤로도토스는 스스로 ‘내 생각에는’이라고 표시해 두었다는 데 틈이 있었다. 두 번째 편의 히파소스는 판본끼리 충돌하고, 후대의 이야기일수록 더 완결된 모습을 갖춘다는 데 있었다. 이번에는 세 번째다. 주인공을 갈아 끼울 수 있다. 이 두 일화를 걷어 내고 나면 이 사람에 관해 무엇이 남는가. 따로 물어 볼 만한 질문이다. 답은, 거의 아무것도 남지 않는다는 것이다.

온화했다거나, 진지했다거나, 청빈했다거나, 실리를 경멸했다거나, 잘 가르쳤다는 서술 중 확실하게 버틸 수 있는 것은 하나도 없다. 그런 초상은 대체로 두 일화에서 거꾸로 추려 낸 것이다. 반면 그가 남긴 책은 글자 하나하나를 꺼내 검토할 수 있다. 전승의 고리도 하나씩 거슬러 올라갈 수 있다. 4세기에는 테온이 편집했고, 바티칸의 핵심 사본은 9~10세기로 추정된다. 필사자들이 대를 이어 그림을 조금씩 더 반듯하게 그린 흔적까지 남아 있다. 사람에게는 없는 것이 책에는 다 있다.

앞선 두 편과 가장 크게 다른 점이 바로 이것이다. 첫 편에는 실물이 있었지만 이름이 없었다. 두 번째 편에는 이름이 있었지만 실물이 없었다. 이번에는 한 글자씩 대조할 수 있는 완전한 책과, 거의 백지나 다름없는 저자가 있다. 사람은 거의 존재하지 않는데 그가 세운 구조는 고스란히 서 있다. 명제 하나 뒤에 또 하나가 이어지며, 2,300년 동안 무너지지 않았다.

책은 알지만 사람은 모른다

유클리드에게는 믿을 만한 동시대 전기가 없다. 출생 기록도, 사망 기록도, 가족도, 스승의 계보도, 임명 문서도 없다. ‘기원전 300년 무렵’이라는 말부터가 상대적인 연대에서 추론한 활동 시기를 가리킬 뿐, 생몰년이 아니다. 그를 언급한 자료를 시대순으로 놓으면 사정이 드러난다.

독립된 자료에서 이름을 처음 확인할 수 있는 것은 아폴로니오스의 『원뿔곡선론』 서문이다. 기원전 3세기 말에서 2세기 초 무렵이니, 기원전 300년과는 약 백 년 떨어져 있다. 이 기록은 중요하다. 유클리드가 전적으로 후대의 창작 인물이라는 주장을 유지하기 어렵게 만들기 때문이다. 기원전 200년쯤에는 이미 고급 기하학을 다루던 수학자가 선배로 여기는 유클리드가 있었다. 게다가 아폴로니오스가 그를 언급한 목적은 비판이었다. 유클리드가 특정한 종류의 자취 문제를 충분히 다루지 못했다는 것이다.

이 기록의 가치는 바로 그 무례함에 있다. 후배가 자기 책에서 선배의 흠을 잡는다. 이런 언급은 찬사보다 꾸며 내기 어렵다. 그 이름의 주인공이 당시 구체적으로 따져 볼 수 있는 대상이었으며, 상징에 불과한 존재가 아니었다는 점도 더 잘 보여 준다.

파포스의 『수학 집성』은 서기 320년 무렵에 쓰였다. 유클리드와는 약 620년의 간격이 있다. 파포스는 아폴로니오스가 알렉산드리아에서 유클리드의 제자들과 어울렸다고 전한다. 유클리드를 알렉산드리아에 자리 잡게 하는 중요한 간접 증거다. 다만 파포스가 기록한 그 일 자체도 이미 500년 전의 일이었다. 프로클로스의 『유클리드 원론 제1권 주석』은 450년 무렵, 유클리드보다 약 750년 뒤에 나왔다. 후대에 그려진 유클리드 생애의 큰 틀은 주로 이 책에서 왔다. 두 일화를 남긴 스토바이오스 역시 5세기 사람이다.

이븐 알나딤의 서목은 987년 무렵에 쓰였다. 유클리드와는 약 1,290년 떨어져 있다. 작품의 전승을 연구하는 데는 대단히 중요하지만 개인의 전기로 읽기에는 너무 늦다. 12~13세기의 아랍어 전기 모음에 이르면 마침내 출생지와 아버지 이름도 등장한다. 해당 시대에서 약 1,500년이 지난 뒤다. 이 연대표가 중요한 이유가 있다. 후대의 대중 전기는 수백 년씩 떨어진 자료를 흔히 한 문단으로 눌러 담는다. 그러면 동시대에 기록한 이야기처럼 읽힌다.

‘알렉산드리아’라는 위치는 두 기둥 위에 서 있다. 프로클로스의 서술과 파포스의 그 한 문장이다. 방향이 일치하므로 일화 하나보다는 강하지만, 둘 다 동시대 증언은 아니다. ‘프톨레마이오스 1세 때’라는 말도 주로 프로클로스에게서 왔다. 그가 든 근거 가운데 하나는 아르키메데스가 유클리드를 언급했다는 것인데, 그 대목의 전승본에는 삽입 여부를 둘러싼 문제가 있다. 무세이온에서 급료를 받던 학자였는지는 충분한 증거가 없다.

무세이온의 실제 모습을 가장 뚜렷하게 묘사한 사람은 기원전 1세기 말 무렵의 스트라본이다. 그가 그 기관을 직접 본 시점은 기원전 300년보다 거의 300년 뒤였다. 그의 설명에 따르면 그곳은 왕궁 구역에 속했으며 회랑과 좌석, 함께 식사하는 홀이 있었다. 재산은 공동 소유였고 왕실이 임명한 사제가 관리했다. 그는 유클리드가 명부에 올라 있었다고 말하지 않았다.

알렉산드리아 도서관은 너무나 쓰기 좋은 배경이다. 생애가 거의 알려지지 않은 사람을 유명한 도서관에 넣어 두면, 독자의 머릿속에 곧바로 장면이 떠오른다. 긴 회랑, 두루마리, 왕실의 지원을 받는 학자들. 그런 기관은 실제로 있었고, 풍경도 대체로 틀리지 않는다. 다만 어떤 명부에도 그의 이름은 없다. 확실한 것은 하나뿐이다. 후대의 누군가 그가 그곳에서 학생을 가르쳤다고 했고, 그 말을 한 사람은 그보다 600년 뒤에 살았다.

짚고 넘어갈 문제가 하나 더 있다. 유클리드는 한 사람이었을까.

진지한 학술사 연구에서도 이 문제를 논한 적이 있다. 2013년에는 ‘여러 머리를 가진 유클리드’라는 가설과, 그것을 현대의 한 집단 필명에 빗대 온 계보를 추적한 연구까지 나왔다. 그러므로 아무도 그런 주장을 한 적이 없다고 하면 틀린다.

그러나 그것이 현재의 기본 입장은 아니다. 유클리드를 이름으로 지목하는 고대 자료는 모두 그를 단수의 개인으로 다룬다. 아폴로니오스는 유클리드가 한 일을 비판하고, 프로클로스는 개별 수학자들이 이어지는 계보 속에 그를 놓는다. 현대 연구는 그의 작업을 기존 지식의 정리, 증명의 재작성, 전체 구조의 배치로 이해하는 편이다. 책 전체의 촘촘한 거시 구조도 강력한 편집자 한 사람의 조직 작업으로 설명하는 쪽이 더 잘 맞는다.

그 비유가 성립하는 곳은 한 군데뿐이다. 저자의 이름이 반드시 처음부터 끝까지 홀로 써 낸 고독한 천재를 뜻할 필요는 없다는 점이다. 이 책에는 분명 여러 세대의 성과가 들어 있다. 현존하는 텍스트에는 후대의 편집도 더해졌다. 저자와 텍스트의 여러 층위는 구분해야 한다.

성립하지 않는 쪽이 더 중요하다. 현대의 그 집단에는 확인 가능한 구성원과 규약, 공동 작업의 역사, 의도적으로 택한 공동 필명이 있다. 고대의 유클리드에게는 그에 해당하는 것이 하나도 없다. 책이 선대의 성과를 많이 받아들였다는 사실에서, 유클리드는 학파가 의도적으로 만들어 낸 필명이라는 결론으로 건너가려면 증거가 필요하다. 바로 그 증거가 빠져 있다. 텍스트가 여러 층으로 이루어졌다는 것은 사실이다. 그렇다고 최초의 저자가 반드시 집단이었다고 할 수는 없다.

그러므로 이 글에서 다룰 ‘그 사람’은 이런 자리로만 남겨 둘 수 있다. 기원전 300년 무렵 어느 곳에서 한 사람, 혹은 여러 사람이 앞선 몇 세대의 기하학적 성과를 다시 고르고, 순서를 다시 짜고, 증명을 채워 넣었다. 그리고 무엇을 맨 앞에 놓을지 정했다. 그 결정이 불러온 결과가 이후 모든 이야기의 출발점이다.

책은 백지에서 시작되지 않았다

프로클로스가 남긴 기하학사 목록은 『원론』을 편찬하는 작업이 유클리드 이전부터 있었다고 분명히 적고 있다.

그 목록에 따르면 『원론』을 처음 엮은 사람은 키오스의 히포크라테스다. 뒤이어 레온이 더 꼼꼼한 책을 편찬했다. 그 뒤에는 마그네시아의 테우디오스가 한 권을 엮었고, 아주 훌륭하다는 평가를 받았다. 이 세 책 가운데 원래의 책 형태로 살아남은 것은 하나도 없다.

이 세 이름은 기억해 둘 만하다. 놓치기 쉬운 사실을 알려 주기 때문이다. 유클리드 이전에 적어도 세 사람이 같은 종류의 일을 했고, 그 작업은 거듭 이루어졌다. 레온의 책은 더 꼼꼼하다고 했고, 테우디오스의 책은 아주 훌륭하다고 했다. 비교가 있었다는 것은 당시 사람들도 우열을 가릴 수 있었다는 뜻이다. 그런 책들이 돌아다녔다는 뜻이기도 하다.

증거의 연결 고리는 펼쳐 놓고 봐야 한다. 히포크라테스는 대략 기원전 5세기 사람이고 프로클로스가 쓴 때는 서기 450년 무렵이다. 사이에 거의 900년이 있다. 그러나 이 역사 목록은 적어도 일부가 기원전 4세기 말 에우데모스의 『기하학사』에서 온 것으로 널리 받아들여진다. 그 책 자체는 사라졌다. 따라서 900년 뒤에 갑자기 지어낸 이름이라기보다는, 기원전 4세기 역사가가 남긴 자료가 고대 후기까지 보존된 경우다.

유클리드 이전부터 ‘원론’은 이미 하나의 책 유형이었다. 한 학문에서 더 기본적이며 뒤의 논증에 도구로 쓸 수 있다고 여기는 명제들을 체계적으로 배열한 책을 뜻했다. 유클리드의 업적으로 가장 또렷하게 식별되는 것은 선택과 재배열, 통일과 증명의 보완이다. 그 이전에 기하학이 없었다는 선언이 아니다.

이 점은 뒤의 모든 판단에 영향을 미친다. 그가 맨땅에서 발명했다면 책의 모든 배치는 그의 선택이 된다. 이미 있던 전통을 정리했다면 어떤 배치는 물려받은 것이고, 어떤 배치는 고친 것일 수 있다. 지금은 어느 것이 어느 쪽인지 가릴 수 없다.

제5공준을 직접 썼는지, 더 오래된 책에서 옮겨 왔는지도 증거가 없다.

권마다 그 바탕을 말할 때도 확실성의 등급을 나누어야 한다. 제5권의 비례론이 에우독소스와 밀접하게 관련된다는 것은 확실하다. 그 권 전체의 문장과 구성이 에우독소스의 것이라는 증거는 없다. 제10권의 뒤에 테아이테토스의 연구 전통이 있다는 것은 확실하다. 명제마다 그의 이름을 붙일 수는 없다. 제13권에 유클리드 이전의 정다면체 연구가 모여 있다는 것은 확실하다. 누가 그 대부분을 썼다고 말하는 것은 그보다 훨씬 약한 주장이다.

프로클로스의 실제 표현은 유클리드가 에우독소스의 여러 정리를 배치하고, 테아이테토스가 이미 연구한 많은 결과를 완성했다는 것이다. 배치와 완성을 말하지, 베껴 쓰기를 말하지 않는다. 그렇다면 이 책은 도대체 어떤 책인가. 흔히 쓰는 세 가지 이름이 각각 일부를 건드리지만, 어느 하나도 꼭 들어맞지는 않는다.

연구 논문집은 아니다. 내용 대부분이 그보다 앞선 역사를 갖고 있기 때문이다. 그렇다고 단순한 발췌 모음도 아니다. 책 전체에서 무엇이 무엇에 기대는지 순서를 짜고, 정의를 배치하고, 필요한 전제를 채우려면 상당한 편집 설계가 필요하다. 어떤 학자는 이를 거듭 꺼내 쓸 수 있는 성과의 저장고에 비유한다.

교과서라는 말은 어떨까. 후대에 그렇게 쓰였다는 것은 의심할 여지가 없다. 다만 처음부터 그 목적으로 썼다는 점은 직접 입증할 수 없다. 초급 학생을 위한 책이라고 밝힌 유클리드의 서문도 없고, 기원전 300년의 강의 시간표도 없다.

규모는 이렇다. 13권, 명제 465개, 정의는 모두 약 131개다. 다섯 공준과 다섯 공통 개념은 모두 제1권의 맨 앞에 놓여 있다.

권별 분량은 크게 다르다. 가장 긴 제10권에는 명제가 115개 있다. 이 한 권만으로 책 전체 명제의 거의 4분의 1을 차지한다. 제2권에는 14개뿐이다.

내용의 성격도 권마다 다르다. 제7~9권은 정수론이다. 서로소, 소수, 최대공약수를 다루며 기하학과는 직접적인 관계가 없다. 제11~13권은 입체기하학이다. 제5권은 일반적인 양 사이의 비례를 논한다. 앞선 글에서 보았듯, 그 방법은 통약 가능한 양과 통약 불가능한 양을 함께 다룰 수 있다.

그러니 이것은 한 권의 기하학 책이 아니다. 당시 기초로 삼을 수 있다고 여긴 것들을 종류별로 모아 놓은 책이다.

다만 이 숫자들은 현대의 비판적 교감본을 통해 자리 잡은 전승 텍스트의 숫자다. 유클리드가 직접 확정한 목차에 적힌 숫자가 아니다. 공통 개념은 원래 몇 개였는지, 특정 정의나 공준이 정말 그의 손에서 나왔는지에는 아직 문헌 비평상의 문제가 남아 있다.

제1권이 시작되는 순서는 기억해 둘 만하다. 먼저 정의 23개가 나온다. 점, 선, 직선, 면, 각, 원, 직각, 평행. 다음에는 다섯 공준, 그다음에는 공통 개념이 놓인다. 첫 문제는 그 뒤에야 시작된다. 기초를 전부 앞에 펼쳐 놓은 듯한 순서다. ‘듯하다.’ 이 말 속에 이 글의 나머지 내용이 모두 숨어 있다.

다섯 번째 항목

다섯 번째 항목이 왜 특별한지 보려면, 먼저 그가 책의 첫머리를 어떻게 짰는지 살펴야 한다.

제1권은 23개의 정의로 시작한다. 점은 부분이 없는 것이다. 선은 폭이 없는 길이다. 이어서 원, 직각, 평행선이 나온다. 정의를 마친 뒤 그는 다섯 가지를 내놓는다.

첫째. 임의의 한 점에서 임의의 다른 점까지 직선을 그을 수 있다. 이 문장에는 증명이 없고, 증명할 생각도 없다. 이것은 요청이다. 이 동작을 해도 좋다고 허락해 달라는 것이다.

그다음 세 가지도 마찬가지다. 유한한 직선을 같은 방향으로 계속 늘일 수 있다. 어떤 점이든 중심으로 삼고 어떤 길이든 반지름으로 삼아 원을 그릴 수 있다. 모든 직각은 서로 같다. 그리고 다섯 번째가 나온다.

한 직선이 두 직선을 가로질러 같은 쪽의 두 내각의 합이 두 직각보다 작아지면, 두 직선을 끝없이 늘였을 때 그쪽에서 서로 만난다. 이 다섯 가지 밑에는 더 일반적인 문장 다섯 개가 이어진다. 어떤 한 양과 각각 같은 두 양은 서로 같다. 전체는 부분보다 크다. 그런 말들이다. 이 모든 것을 책의 맨 앞에 놓고, 무엇을 증명하지 않을지 먼저 밝혀 둔다.

후대의 수학자들은 이 목록을 끝까지 따져 묻게 된다. 여기서 출발한다고 했으니 다른 것을 더 보태서는 안 된다. 아무리 뻔해 보이는 것이라 해도. 유클리드는 아직 그림을 문밖으로 밀어내지는 않았다. 하지만 출발점은 이미 종이 위에 올려놓았다. 중요한 것은 이 배치다.

그 이전에도 기하학에는 물론 많은 성과가 있었다. 앞에서 보았듯 적어도 세 사람이 같은 종류의 책을 엮었다. 그가 한 일은 그 성과들을 사슬로 연결하고, 사슬의 첫 고리를 누구나 보도록 분명하게 내놓는 것이었다. 내놓는 순간 누구든 물을 수 있다. 정말 이 다섯 가지만으로 충분한가. 그가 책을 마친 뒤 2,300년 동안 누군가는 줄곧 그 질문을 했다. 다만 전반부와 후반부에 질문이 향한 방향은 완전히 달랐다.

한쪽에서는 묻는다. 이 다섯 가지 가운데 사실은 없어도 되는 것이 있지 않은가. 다른 쪽에서는 묻는다. 이 다섯 가지에서 빠진 것은 없는가. 반대처럼 보이지만 같은 일의 양 끝을 묻는 질문이다. 다섯 번째 항목은 2천 년을 끈 논쟁을 불러왔다. 누군가 그림을 더는 증명으로 삼지 않겠다고 나서자, 뒤의 질문은 한층 절실해졌다.

이제 다섯 가지를 다시 보면 차이가 단번에 드러난다. 그 차이는 우선 기하학이 아니라 문장에서 보인다.

앞의 세 가지는 말투가 같다. 선을 긋게 해 달라. 그것을 늘이게 해 달라. 원을 그리게 해 달라. 문장마다 하나의 동작이 있고, 모두 짧다. 그리스어 원문으로 각각 열 단어 안팎이다.

네 번째는 동작이 아니지만 여전히 아주 짧다. 모든 직각은 서로 같다.

다섯 번째에서 문장이 갑자기 길어진다. 먼저 두 직선을 가로지르는 직선이 있어야 한다. 다음으로 같은 쪽의 두 각을 합한 크기가 두 직각보다 작아야 한다. 또 두 직선을 계속 늘여야 한다. 그제야 두 직선이 만난다고 말한다. 표준 그리스어 본문으로 서른 단어가 넘는다. 앞의 항목들보다 몇 배 길다. 하지만 길이보다 중요한 것은 문장의 모양이다. 앞의 네 가지는 규칙처럼 읽힌다. 다섯 번째는 증명해야 할 결론처럼 읽힌다. 왜 이렇게 썼는지 아는 사람은 없다. 그는 설명하지 않았다.

볼 수 있는 것은 결과뿐이다. 그에게는 이것이 필요했다. 그는 증명하려 하지 않고 증명하지 않는 항목에 넣었다. 당시에는 눈에 띄는 선택이 아니었을 수도 있다. 원래 증명하지 않는 것들을 넣는 칸인데, 하나를 더 넣는 데 이유가 필요하지는 않다. 눈에 띈 것은 나중의 일이다. 다른 네 가지는 구령처럼 짧고 이것만 결론처럼 길다는 차이가 보이기 시작했다. 한번 보이자 남은 2천 년이 같은 일에 들어갔다. 이것을 굳이 요구하지 않아도 되는 방법을 찾는 일이다.

방법은 세 가지뿐이다. 앞의 네 공준에서 유도할 수 있음을 증명해서 별도 항목이 필요 없게 만든다. 더 소박한 표현으로 바꾸어 놓는다. 아니면 애초에 그 일이 불가능함을 증명한다. 앞의 두 가지는 2천 년 동안 시도했다. 세 번째는 19세기를 기다려야 했다.

오랫동안 앞의 두 작업은 주로 평행선 이론을 완성하는 일로 받아들여졌다. 19세기의 비유클리드 기하학과 모형 연구에 이르러서야 세 번째 방향이 결정적인 형태를 얻었다.

이 책은 흔히 공리적 방법이 탄생한 자리로 불린다.

그 말이 증명하지 않는 것들을 먼저 펼쳐 놓아 뒤의 논증이 어디서 출발하는지 보여 준다는 뜻이라면 정확하게 짚은 것이다. 바로 앞에서 한 이야기가 그것이다. 그러나 19세기 말 이후 사람들이 이 말을 쓸 때는 훨씬 더 엄격한 뜻을 담는다. 얼마나 엄격한지는 여섯 번째 절에서 보게 된다.

그 엄격함을 기원전 300년으로 거슬러 올려놓는 것은 후대의 눈으로 덧씌우는 일이다. 고대인들도 원리마다 층위가 있다는 것을 알았다. 무엇을 요청해도 되는지, 무엇을 증명해야 하는지도 논했다. 다만 그들의 관심사는 나중에 등장할 그 체계와 달랐다.

불편함은 언제 시작되었나

널리 퍼진 말이 있다. 제5공준은 처음 적힌 날부터 모든 수학자를 불편하게 했다는 것이다. ‘첫날부터’를 뒷받침할 현존 증거는 없다.

유클리드보다 앞선 아리스토텔레스도 평행선 증명에 순환 논증의 문제가 있다는 것을 알고 있었다. 이는 기원전 4세기부터 평행선을 어떻게 증명할지가 논리적으로 민감한 영역이었음을 보여 준다. 물론 그가 아직 쓰이지도 않은 책을 비판했다는 증거는 될 수 없다.

이 구분은 중요하다. 두 가지 일이 쉽게 뒤섞이기 때문이다. 평행선이라는 주제는 유클리드 전부터 어려웠다. 유클리드가 그 한 항목을 처리한 방식에 문제가 있다고 생각하는 것은 다른 일이며, 훨씬 뒤의 일이다.

이 책 자체를 문제 삼은 사람 가운데 현존 자료로 가장 먼저 이름을 댈 수 있는 인물은 포세이도니오스다. 대략 기원전 135년에서 51년까지 살았다. 이미 기원전 300년으로부터 150년 이상 지난 때다. 게다가 그에 관한 자료도 5세기의 프로클로스를 통해서만 전해진다.

프로클로스에 따르면 그는 평행선을 새로 정의하려 했다. 같은 평면에서 같은 거리를 유지하며 가까워지지도 멀어지지도 않는 두 직선이라는 취지였다. 문제는 ‘어디서나 같은 거리’라는 말 자체에 이미 유클리드적 평행의 성질에 맞먹을 만큼 강한 조건이 들어간다는 점이다.

프톨레마이오스는 2세기 사람이다. 프로클로스는 그가 증명을 썼다고 전하고, 그 증명을 단계별로 비판했다. 후대의 분석에 따르면 핵심 단계에서 사실상 평행선의 유일성에 해당하는 조건을 몰래 사용했다. 따라서 순환 논증이었다.

프로클로스 자신도 시도했다. 앞선 사람들을 비판한 다음, 평행선 사이의 거리에는 한계가 있다는 식의 추가 성질을 가져다 썼다. 앞의 네 공준이 공짜로 내주는 성질은 아니었다. 남들이 결론을 전제로 밀수한 곳을 정확히 짚고 나서, 자신도 같은 구덩이에 빠졌다.

문제의 진짜 난점이 여기서 드러난다. 증명의 솜씨보다 무엇을 쓰고 있는지 알아보기가 어려웠다. 밀수된 전제는 문장으로 적으면 제5공준보다 더 소박해 보이기 일쑤다. 평행선 사이의 거리에는 한계가 있다. 누가 들어도 당연한 말처럼 들린다. 이 역사에서 같은 일이 거듭 일어난다. 사람들이 충분히 영리하지 못해서가 아니다. 그들 중 몇몇은 당대 최고의 수학자였다.

포세이도니오스는 스토아학파의 주요 인물이었다. 프톨레마이오스는 이후 1,400년 동안 통용된 천문학 체계를 썼다. 하이얌은 시인이자 역법 개혁가였고, 투시는 천문대를 세웠다.

진짜 이유는 증명하려는 명제와 더 소박해 보이는 대안들의 힘이 같았다는 데 있다. 말을 바꾸는 것은 무게가 똑같은 다른 물건으로 바꾸는 일이었다. 바꾸는 사람은 무게가 그대로라는 사실을 좀처럼 알아채지 못했다. 이 흐름은 아랍 세계에서 수백 년 더 이어졌다. 바로 그곳이 이 역사가 실제로 계속 발전한 중간 구간이다.

이븐 알하이삼은 수선을 세워 만든 사각형과 등거리, 운동 개념에 관한 논증으로 평행선 이론을 다시 세웠다. 나중에 하이얌이 이 방식을 비판했다. 운동을 기하학의 기초 안으로 들이는 것 자체에 정당화가 필요했기 때문이다.

오마르 하이얌은 길이가 같은 두 수직변을 가진 사각형을 연구했다. 위쪽의 두 각을 직각, 예각, 둔각이라는 세 가정으로 나눈 뒤 뒤의 두 경우를 배제하려 했다. 그가 사용한 ‘서로 가까워지는 직선은 반드시 만난다’ 같은 원리는 현대의 눈으로 보면 제5공준과 맞먹는 힘을 가진다.

나시르 앗딘 투시는 13세기 중반에 귀류법과 사각형을 이용한 방법을 이어 갔고, 앞선 시도들을 비판했다. 그의 가문과 후학에게서는 더 늦은 판본들도 나왔다. 16세기 로마에서 인쇄된 아랍어 텍스트를 통해 이 전통의 일부가 유럽의 시야에 들어왔다.

다만 주의할 점이 있다. 예전에는 여러 후대 판본을 통째로 투시 자신의 최종 증명으로 돌리는 일이 많았지만, 현대 문헌학은 훨씬 신중하다. 이 전승의 계보 자체도 교감이 필요한 역사다. 그 수백 년에서 정말 중요한 것은 그들이 무엇을 발견할 뻔했느냐가 아니다. 그것은 19세기를 종착점으로 삼는 목적론이다.

나중에 일어난 일을 잣대로 이 사람들이 한 일을 재면, 모두가 실패자로 쓰인다. 그들은 실패하고 있었던 것이 아니다. 당시에는 완전히 합리적으로 보였던 일을 하고 있었고, 갈수록 정교하게 하고 있었다.

그들이 만든 것도 헛되지 않았다. 그 사각형들, 위쪽 각에 관한 세 갈래 가정은 훗날 다른 문제 체계에서 모두 쓸모가 있었다. 그때는 이름이 달라지고 용도가 달라졌을 뿐이다.

중요한 것은 그들이 갈수록 체계적으로 같은 질문을 했다는 사실이다. 뻔해 보이는 기하학적 성질은 정말 증명된 것인가. 아니면 표현만 바뀐 채 다시 전제 안으로 들어온 것인가.

책 내부에서 단서를 끌어내는 사람도 있다. 유클리드는 제1권에서 제5공준을 쓰지 않다가 제29명제에 와서야 사용한다. 그 자신도 사용 시점을 미루고 싶어 한 듯 보인다. 관찰 자체는 맞다. 그러나 사용을 미뤘다는 사실에서 그가 공준의 참됨을 의심했다거나 증명할 수 있다고 믿었다는 결론으로 넘어가면, 그것은 이미 해석이지 전기의 증거가 아니다. 그의 동기는 남아 있지 않다.

이 글에서 벌써 여러 번 나온 말이다. 뒤에서도 다시 나올 것이다. 수사가 아니다. 이 사람에 관해 확실하게 알 수 있는 것은 이 정도로 적다. 무엇을 했는지는 책에 적혀 있다. 왜 그렇게 했는지는 한 글자도 없다.

첫 번째 문제

이제 책의 첫 번째 문제를 보자. 주어진 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 작도하라.

방법은 이렇다. 선분의 한 끝점을 중심으로 삼고 선분 전체의 길이를 반지름으로 삼아 원을 그린다. 다른 끝점을 중심으로 같은 반지름의 두 번째 원을 그린다. 두 원의 교점을 잡아 선분의 양 끝점과 잇는다.

제3공준은 원을 그리는 것을 허락한다. 두 원이 반드시 만난다고는 하지 않는다. 물론 두 원은 만난다. 그림을 그려 보면 교점이 바로 거기 있다. 한눈에 보인다. 문제가 바로 그것이다. 그 교점이 존재한다고 보장하는 원리가 책에는 하나도 없다. 그런데 이것이 책 전체의 첫 번째 문제다.

‘한눈에 보인다’는 말은 하나의 추론이지 공준이 아니다. 그것이 쓰는 것은 텍스트가 아니라 그림이다. 제3공준이 내주는 것은 원을 그릴 허가다. 그린 원이 다른 원과 만나는지까지 그 항목이 책임지지는 않는다.

오늘날의 규칙대로 뒤의 모든 것을 앞의 몇 가지 원리에서만 끌어내야 한다면, 첫 번째 문제부터 이미 목록에 없는 것을 가져다 쓴 셈이다.

이것은 고립된 사례가 아니다. 뒤의 작도들은 직선과 원이 만난다는 것을 이용 가능한 사실로 삼는다. 그러려면 또 그에 상응하는 원리가 필요하다. 선분의 한 끝점이 원 안에 있고 다른 끝점이 원 밖에 있으면 반드시 원을 지난다는 현대적인 형식의 진술은 이 책에 없다.

두 번째 종류는 순서와 사이에 있음이다. 텍스트는 어떤 두 점 사이에 있다거나, 어느 한쪽에 있다거나, 각의 내부에 놓인다거나, 늘이면 어느 곳을 지난다는 위치 관계를 끊임없이 쓴다. 그러나 제1권의 첫머리에는 ‘사이에 있음’에 관한 명시적 원리 체계가 없다.

세 번째는 평면의 분리다. 오늘날 파슈 공리라고 부르는 것의 전형적인 형태는 이렇다. 세 점이 한 직선 위에 놓이지 않고, 이 세 꼭짓점을 지나지 않는 직선이 삼각형의 한 변을 통해 안으로 들어왔다면, 반드시 나머지 두 변 가운데 하나를 통해 나가야 한다. 고전 기하학의 증명은 선이 여기로 들어왔으니 저기로 나갈 수밖에 없다는 식의 그림 속 사실에 크게 의존한다. 책은 이를 따로 원리로 내세우지 않았다.

네 번째는 합동과 이동이다. 제4명제의 포개기 논증에서는 한 삼각형을 다른 삼각형 위에 얹는다고 생각한다. 공통 개념 가운데 ‘서로 겹치는 것은 서로 같다’는 항목이 어느 정도의 언어적 자원을 제공한다. 그러나 현대적인 의미의 강체 운동, 각의 합동, 선분의 옮김을 다루는 완전한 규칙은 없다.

다섯 번째는 결합 관계와 유일성, 퇴화하는 경우다. 그림에서는 새로 생긴 점들이 서로 다르다거나, 어떤 선들이 겹치지 않는다거나, 교점이 필요한 위치에 놓인다는 것을 흔히 당연하게 여긴다.

이 부류가 가장 눈에 띄지 않으며, 끝까지 찾아내기도 가장 어렵다. 증명을 그림으로 그려 놓으면 모든 것이 이미 제자리에 들어가 있다. 텍스트는 그것들이 왜 그 자리에 있는지 설명하지 않는다.

다섯 부류를 나란히 놓으면 공통점이 보인다. 모두 그림에서는 한눈에 확인할 수 있는 것들이다. 무엇과 무엇이 만나는지, 어느 점이 어떤 두 점 사이에 있는지, 선이 어느 쪽으로 들어와 어느 쪽으로 나가는지. 그림에서 대개 확인할 수 있었기에 이런 관계를 글로 된 공리로 체계적으로 정리하지 않았다. 고대의 주석가들이 관련된 어려움을 전혀 알아채지 못했던 것은 아니다. 19세기에 특히 뚜렷해진 변화는 이런 추론 자원도 명시적인 기초 체계 안에 넣어야 한다는 요구였다.

그전까지 그림과 글은 오랫동안 함께 일했다. 나중에 누군가 그림을 내보내려 하면서 일하는 방식이 달라졌다. 그렇다면 빠진 것은 모두 몇 개일까.

학계에서 통용되는 정수 하나는 없다. 어떤 현대 형식 언어로 세느냐에 따라 답이 달라지기 때문이다. 형식 체계마다 원리를 쪼개는 방식이 다르다.

‘유클리드에게는 19개가 빠졌다’거나 ‘20개가 빠졌다’고 결론을 내리면 틀린다. 힐베르트가 1899년에 다섯 무리로 나눈 19개 공리는 목록을 들고 유클리드의 구멍을 하나씩 메운 것이 아니었다. 기초 구조 전체를 새로 설계한 것이었다. 그는 점과 선, 면, 몇몇 관계를 원초적 대상으로 놓고, 논리적 기능에 따라 원리를 나눈 뒤 그 무모순성과 독립성을 체계적으로 연구했다. 다섯 무리는 결합, 순서, 합동, 평행, 연속이다.

여기서 제5공준은 그중 한 무리에 속한 조건 하나일 뿐이다. 기초 전체를 상징하는 역할을 더는 홀로 짊어지지 않는다. 파슈 공리는 1882년의 『새 기하학 강의』에서 나왔다. 힐베르트도 자신의 순서 공리 가운데 하나는 특히 파슈에게 빚지고 있다고 명시했다.

파슈가 혁명적이었던 것은 놀라운 정리를 발견해서가 아니다. 한 가지를 지적했기 때문이다. ‘그림을 보면 당연하다’는 것 역시 논리적 자원이다. 그림에서 증명의 자격을 빼앗으려 한다면, 그 자원을 글로 써야 한다.

엄밀하다는 말의 뜻이 달라졌다

이제 두 가지를 나란히 놓아 보자.

고대인들이 물은 것은 이렇다. 다섯 번째는 왜 이렇게 복잡한가. 충분히 자명하지 않은 것 아닌가. 더 단순한 원리에서 증명할 수 없는가. 더 자연스러운 평행선의 정의로 바꿀 수는 없는가.

19세기의 질문은 이렇다. 완전한 기하학 체계에는 어떤 원초적 관계가 더 필요한가. 사이에 있음, 같은 쪽에 있음, 만남을 어떻게 형식적으로 정의할 것인가. 원과 원, 직선과 원의 교차는 무엇이 보장하는가. 합동, 순서, 연속은 각각 어떻게 공리화할 것인가. 두 질문 묶음은 난이도가 아니라 방향이 다르다. 그 차이는 더 구체적으로 말할 수 있다.

고대인들이 마주한 것은 종이에 적힌 한 문장이었다. 읽을 수 있었고, 단어가 몇 개인지 셀 수 있었고, 너무 길다고 느낄 수 있었고, 바꿔 보려 할 수 있었다. 보이는 문장이었으므로 2천 년 동안 공격할 수 있었다.

현대인이 해야 했던 일은 그림 속에 숨어 있던 것들까지 종이 위로 옮기는 것이었다. 두 원이 만나는가. 한 점이 다른 두 점 사이에 있는가. 삼각형에 들어간 선이 어디로 나가는가. 증명에서는 쓰였지만 첫머리에 하나씩 적어 놓지는 않은 것들이다. 아무도 물어본 적 없다는 뜻은 아니다. 다만 그림이 대신 말해 주는 동안에는 굳이 한 문장 더 쓸 필요가 없어 보이기 쉽다.

제5공준은 말해 놓은 전제였다. 현대에 발견한 문제들은 대부분 말하지 않은 추론 자원에서 나왔다.

여기서 정직하게 다루어야 할 역전이 일어난다. 논리적 빈틈을 ‘증명에 필요하지만 저자가 밝히지 않은 전제’로 정의한다면, 엄밀히 말해 제5공준은 애초에 빈틈이 아니다. 그는 그것을 써 놓았다.

19세기의 비유클리드 기하학과 뒤이은 모형 연구는 더 강한 이유도 내놓았다. 나머지 공리들을 적절하게 갖춘 체계에서 유클리드의 평행선 공리는 실제로 독립적이다. 더 약한 체계로부터 그것을 증명하려는 일은 불가능하다. 힐베르트 자신도 다른 공리들에 대한 그 독립성을 명시적으로 연구했다. 현대의 눈으로 보면 유클리드가 이를 숨기지 않고 추가 가정으로 따로 내놓은 처리는 오히려 옳았다.

바꾸어 말하면, 2천 년 동안 불평을 들어 온 그 공준은 이 책에서 가장 정직한 문장이다. 공짜로 얻을 수 없는 것을 분명하게 요구했기 때문이다. 다른 어려움들은 이 책이 가져다 쓰면서도 일일이 말하지 않은 곳에 숨어 있었다. 가장 큰 불평을 들은 곳이 반드시 가장 먼저 메워야 할 곳은 아니었다.

여기서 한 걸음 더 갈 수 있다. 적어 놓은 가정은 눈에 보이기에 의심을 불러온다. 적지 않은 것들은 당연해 보이는 것들 사이에 섞여 들기 쉽다. 보인다는 것 자체가 압력을 엉뚱한 데 나누어 놓는다.

여기서 곧바로 제동을 걸어야 한다. 이것이 그가 논리적 독립성을 알았다는 증거는 아니다. 무엇을 예견했다는 증거도 아니다. 그의 동기는 남아 있지 않다. 게다가 세 번째 반론도 있다. 이 반론은 문제 전체를 뒤집는다.

이른바 빈틈 가운데 일부는 고대인이 부주의해서 문장 하나를 빠뜨린 것이 아닐 수 있다. 애초에 그 방식에서는 그림이 추론의 일부를 맡도록 허용했을 수 있다. 그리고 그 부분에도 규칙과 제약이 있었다. 그림의 규범까지 함께 형식화하면, 눈에 보이는 관계를 일일이 글로 된 공리로 바꾸지 않고도 많은 추론을 엄밀하게 재구성할 수 있다. 이렇게 읽을 때 ‘공리가 빠졌다’는 말은 때로 현대의 순수 구문 체계로 옮기면서 하나를 보태야 한다는 뜻이다. 원래의 실천이 정당하지 않았다는 뜻은 아니다.

이 반론은 조금 더 말할 가치가 있다. 고대인을 변호하려는 것이 아니다. 증명 체계는 모든 추론을 문자로 된 문장에 눌러 담지 않고도 엄밀할 수 있다는 주장이다. 그림에 규범과 제약이 있고, 사용 방법을 검토할 수 있다면, 그림은 옆에 붙인 삽화를 넘어 증명의 일부가 될 수 있다. 그림을 증명에서 내쫓은 것은 19세기의 선택이지 영원한 기준이 아니다.

그러므로 가장 공정한 판단은 이렇다. 제5공준에는 역사적으로 기초 체계에서 어떤 자리를 차지해야 하는가라는 문제가 있었다. 그러나 그것은 이 책에서 가장 뚜렷한 논리적 누락이 아니다. 그렇다고 인류가 2천 년 동안 엉뚱한 곳만 들여다보다가 19세기 말에야 진짜 구멍을 발견했다는 말도 옳지 않다.

고대 수학자들이 해결하려 한 것은 그들 자신의 기초론이 요구하는 기준이었다. 요구할 수 있는 것이 증명 없이 받아들이는 원리로도 적합한가. 더 소박한 것으로 바꿀 수는 없는가. 이것은 실제 문제였다.

파슈와 힐베르트가 해결하려 한 것은 다른 엄밀성의 요구였다. 그림에 더는 추론할 권리가 없다면, 그전까지 그림이 맡았던 순서와 연속의 정보를 형식 체계 안으로 들여와야 한다. 고대인이 엉뚱한 곳을 본 것이 아니다. ‘엄밀하다’는 말의 뜻이 달라졌고, 그 변화가 문제를 다른 곳으로 옮겨 놓았다. 이 변화에는 대가가 있다. 기억해 둘 만한 대가다.

그림을 증명에서 내보낸 뒤 기하학은 더 믿을 만해졌고, 더 읽기 어려워졌다. 첫 번째 문제는 원래 문장 하나와 그림 한 장이면 됐다. 이제는 원과 원의 교차에 관한 원리가 필요하며, 그 원리 자체는 연속성에 기대어 서야 한다. 보이던 것이 보이지 않는 것이 되는 대신, 더는 눈을 믿지 않아도 되었다. 분명한 거래다. 읽기 쉬움을 내주고, 누구의 시력이나 직관에도 의존하지 않아도 되는 체계를 얻었다.

이 거래는 할 만했다. 다만 틀린 것을 바로잡은 일은 아니었다. 기준을 바꾸고, 새로운 기준에 맞추어 다시 지은 일이었다.

제품과 작업장

이 책 뒤에는 얼마나 많은 사람이 있었을까. 과정을 하나씩 뜯어 검토할 수 있는 추정치가 있다.

네츠는 그리스 수학의 연역 형식을 다룬 책에서, 먼저 고대 수학자로 셀 수 있는 인물 약 144명의 이름을 모았다. 그다음 완전히 잊힌 사람들의 수를 추정하려 했다. 부분적으로 겹치는 명단 네 개를 가져와, 유클리드처럼 어느 자료에나 반드시 등장하는 압도적으로 유명한 인물들을 뺐다. 그리고 포획·재포획법과 비슷한 방식으로 전체 수를 역산했다. 두 명단씩 짝지은 여섯 조합에서 나온 추정치는 대략 89명에서 303명 사이였다. 그는 300명을 비교적 안전한 짐작으로 잡았고, 여유를 더 두기 위해 상한을 약 1천 명까지 넓혔다.

이 추정의 장점은 방법이 투명하다는 데 있다. 단점도 뚜렷하다. 명단들이 무작위 표본처럼 서로 독립적이어야 하는데, 그렇지 않다. 고대 저자가 누구를 인용하는지는 명성, 학문의 계보, 앞서 읽은 텍스트에 크게 좌우된다. 인용 빈도는 꼬리가 긴 분포에 더 가깝다. 가장 유명한 사람들을 빼는 행위 자체도 표본의 구조를 바꾼다.

다른 학자는 고대 과학 문헌의 인용을 별도로 집계해, 문헌에 흔적을 남긴 저자 약 150명과 작품 380~440편을 얻었다. 이 작품들 중에는 제목만 알려진 것도 있다. 그러나 이것은 문헌에서 보이는 인구이지, 실제로 그 일에 종사한 사람들의 수가 아니다.

그러므로 통계적으로 믿을 만한 구간은 없다. 수백 명 규모, 아주 넉넉하게 잡아 천 명 규모였다는 정도는 감을 잡는 데 쓸 수 있다. 고대 전체에 수학자가 정확히 몇 명 있었는지 말하는 데는 쓸 수 없다.

더 자신 있게 말할 수 있는 것은 따로 있다. 이 저술 공동체는 극히 작았고, 지리적으로 흩어져 있었으며, 세대가 끊김 없이 이어지지도 않았다. 몇몇 주요 저자 사이의 겹치는 부분이 매우 적다는 연구도 있다. 이 전통은 한동안 오래 잠잠해졌다가 다시 집어 올려질 수 있었다.

그들의 신분도 한결같지 않았다. 철학 학교의 교사와 학생, 왕실의 후원을 받는 학자, 천문학자, 기계학자, 측량과 공학 지식을 쓰는 저자, 개인 교사. 현대적 의미의 고용 시장이 있었다는 증거는 없고, 도시국가들을 가로지르는 수학자 조합도 없었다. 이 전통은 대체로 텍스트와 인용, 주석의 사슬을 통해 이어졌지, 지속적인 사회 기관에 기대어 유지된 것이 아니었다. 첫 편의 서기관 학교와 나란히 놓으면 차이가 선명해진다.

그곳에서는 수많은 연습용 점토판, 행정 문서, 훈련 흔적을 통해 가르치고 배우는 과정을 재구성할 수 있다. 여기서 핵심으로 남은 자료는 고도로 정리된 저술, 흩어진 파피루스, 철학 문헌, 아주 늦은 전기다. 생산 제도보다 완성된 제품이 훨씬 더 많이 보인다.

그래서 이 글에서는 사람 하나를 제대로 그려 내기조차 어렵다. 중요하지 않아서가 아니다. 그들의 작업 환경이 남지 않았기 때문이다. 연습 초안도, 수업 기록도, 계산을 틀렸다가 줄을 그어 지운 그 페이지도 없다.

첫 편에서 점토판을 평평하게 밀고 다시 시작하던 아이에 해당하는 사람은 이 글에 없다. 그런 아이가 없었던 것이 아니다. 그 아이가 쓰던 판이 살아남지 못하는 것이다. 그림조차도 완성된 제품이다.

그리스 수학의 그림은 증명 옆에 붙인 삽화가 아니다. 글자들은 문장과 그림 사이를 오가며 대상을 가리킨다. 작도는 그림을 바꾸고, 증명은 다시 그 그림에서 규칙 아래 통제되는 위치 관계를 끌어낸다.

그러니 고대의 그림이 비례에 맞게 그려졌느냐는 질문에 단순히 ‘아니다’라고 답할 수는 없다. 그 그림들이 현대적인 의미의 계량적 비율을 믿을 만하게 보존하는 것은 아니다. 일반적인 평행사변형이어야 할 도형이 직사각형에 가깝게 그려질 수 있고, 이론상 길이가 다른 선분들이 같아 보일 수도 있다. 반면 만남과 연결, 안과 밖, 앞뒤 순서 같은 관계는 대개 대단히 중요하다.

그림에도 고유한 필사 전승의 역사가 있다. 많은 사본의 그림을 비교한 연구에서는 필사자들이 도형을 더 규칙적으로, 더 대칭적으로, 더 보기 좋게 그렸다는 사실이 드러난다. 그 결과 텍스트가 요구하지 않은 특별한 성질이 추가된다. 한 번 베낄 때마다 그림이 조금씩 더 반듯해진다. 사이토 등이 여러 사본에 실린 같은 그림을 대조했으므로, 이 변화는 추적할 수 있다.

이는 글을 옮겨 쓰는 문제와 다르다. 단어 하나를 잘못 베끼면 후대 사람이 문맥에서 알아챌 가능성이 있다. 일반적인 사각형을 조금 더 대칭적으로 그리면, 후대 사람이 보는 것은 대칭적인 사각형이다. 텍스트는 대칭이라고 하지 않았는데도 그렇다. 일반적인 경우를 나타내던 그림이 베끼는 동안 특수한 경우로 바뀐다. 그리고 증명이 의지하는 것은 바로 그 그림이다.

그렇게 두 흐름이 동시에 이어진다. 텍스트는 대를 이어 교감되면서 어떤 오래된 독법에 점점 가까워진다. 그림은 대를 이어 옮겨 그려지면서 원래 모습에서 점점 멀어진다.

텍스트 쪽에도 사정이 있다. 4세기의 테온은 이 책을 편집했다. 그는 자신이 쓴 다른 주석서에서 내용을 덧붙인 적이 있다고 언급했다. 덕분에 제6권 제33명제 뒤의 한 보충 대목이 그의 판본을 알아보는 기준점이 되었다. 현존하는 중세 그리스어 사본 대부분에는 이 편집 전통의 특징이 남아 있다.

이른바 비테온 전통은 유클리드의 친필 원고가 아니다. 같은 방식의 개정을 거치지 않은 다른 전승 가지다. 핵심 사본은 바티칸의 그리스어 사본 190번으로, 대개 9~10세기의 것으로 본다.

페라르가 1808년에 이 사본을 조사했을 때 책은 파리에 있었다. 나폴레옹이 바티칸의 장서를 몰수해 갔기 때문이다. 페라르는 테온이 자신이 넣었다고 말한 내용이 이 사본에는 없다는 것을 알아차렸다. 자신이 마주한 것이 다른 전통임을 깨달았다.

그러나 1996년에는 이 사본에서 유클리드에게 곧바로 닿을 수 있다는 낙관적인 모형에 도전한 연구가 나왔다. 아랍어 전통이 이 양분법으로는 다 포착하지 못하는 오래된 독법을 보존했을 가능성을 강조했다. 가장 안전하게 말하면 이 사본은 『원론』을 교감할 때 가장 중요한 그리스어 증거 가운데 하나다. 저자 자신의 원본은 아니다.

1482년, 라트돌트가 베네치아에서 최초의 인쇄본을 찍었다. 라틴어 전통을 따른 2절판이었다. 이 판본이 유명한 이유 가운데 하나는 활자 인쇄 초기에 400점이 넘는 기하학 도형을 본문과 함께 성공적으로 인쇄했다는 점이다. 라트돌트 자신도 헌사에서 그 기술적 어려움을 강조했다.

1570년에는 빌링즐리가 최초의 완역 영어판을 출판했고, 디가 서문을 썼다. 빌링즐리는 런던의 상인이자 의류상 조합의 회원이었으며, 1596년에는 런던 시장이 되었다. 속표지는 디의 서문이 주요 수학 분야 몇 가지를 열거하고, 각각 무엇이며 어디에 쓸 수 있는지 설명한다고 알린다. 디는 왜 이 책을 자국어로 인쇄하는지도 서문에서 설명했다. 이 책을 손에 넣을 사람들은 라틴어를 모르며 대학의 학자도 아니라는 것이다. 그는 묻는다. 이 나라에서 수와 자와 컴퍼스를 다루는 평범한 장인들 가운데 얼마나 많은 사람이 이런 도움을 받아 새로운 공사와 신기한 기계, 기구를 생각해 낼 수 있겠는가. 나라의 여러 필요에 쓰거나, 스스로 즐기거나, 집안의 살림을 더 잘 꾸려 갈 수 있겠는가. 이 책 역시 큰 판형이었다. 일부 입체기하학 그림에는 접어 세우는 종잇조각을 써서 평평한 책장 위에 3차원 모형이 서게 했다. 1574년에는 클라비우스가 방대한 라틴어 주석판을 펴냈다. 이 책은 훗날 예수회 수학 교육과정의 핵심 교재 가운데 하나가 되었다.

교재로 얼마나 오래 쓰였는지에는 하나로 정할 수 있는 마지막 연도가 없다. 영국에서는 19세기 초에도 학교와 대학의 표준 기하학 교재였고, 빅토리아 시대에는 다른 교재로 바꿔도 되는지를 두고 논쟁이 벌어졌다. 1871년에 만들어진 한 협회는 개혁을 밀어붙인 세력 가운데 하나였다. 교육과정의 중심에서 뚜렷이 물러난 것은 20세기 초에 이르러서다. 다른 나라와 시대에는 이미 오래전부터 다시 쓴 교재들을 사용했다. 그러니 전 세계가 2천 년 내내 오직 이 책 하나만 썼다고 할 수도 없다.

다시, ‘왕도가 없다’는 말로 돌아가자.

이 책은 저자가 누구인지 후세에 알려 줄 수 있었던 그 누구보다도 오래 살았다. 그림은 베낄 때마다 더 반듯해졌고, 텍스트는 수많은 손을 거치며 덧붙여지고, 번호가 매겨지고, 도형이 다시 그려졌다. 이 책을 두고 2천 년 동안 논쟁할 수 있었던 까닭은 빈틈이 없어서가 아니다. 그가 자신이 어디에 서 있는지를 써 놓았기 때문이다. 말로 하면 평범하지만, 실행은 평범하지 않다. 자신이 의지하는 것을 써 놓는다는 것은, 남이 뜯어 볼 수 있도록 그것을 내어 주는 일이다.

써 놓은 그 한 항목을 후대 사람들은 의심하고, 바꾸고, 증명하려 했으며, 마침내 증명할 수 없다는 것을 증명했다. 그림 속에 숨은 전제들을 물은 사람도 있었다. 하지만 종이 위의 다섯 번째 항목처럼 따로 떼어 내기는 쉽지 않았다. 이 책에서 가장 솔직한 곳은 2천 년 동안 질문을 받았다. 다른 어려움들은 먼저 당연해 보이는 것들 사이에서 찾아내야 했다.

수는 계속 계산된다. 하지만 무엇을 수학으로 셀 것인지는 아직 한 번도 계산이 끝난 적이 없다.

사료와 더 읽을거리

아래 자료는 본문의 역사적 세부 사항과 해석상의 이견에 관한 것이다. 소장 기관의 기록, 고대의 문학적 서술, 현대의 재구성은 같은 종류의 증거가 아니다.

• 유클리드 I.1: 정삼각형 작도
• 유클리드의 제5공준
• Beeson·Narboux·Wiedijk, 「컴퓨터로 검증하는 유클리드의 증명」
• 사이토 겐: 유클리드 산술 편의 사본 도형 연구
• 세인트앤드루스 대학교: 포세이도니오스
• 린다 홀 도서관: 헨리 빌링즐리
• Knorr, 「잘못된 유클리드 텍스트」(1996)