数学 · 03 / 25
公理の構築
明示された前提は二千年にわたる疑いにさらされた。図の中で黙って使われていた資源は、別の厳密さの到来を待っていた。
幾何学に王道なし
プトレマイオスはユークリッドに尋ねた。この本を最後まで読むよりも、手っ取り早く幾何学を学ぶ方法はないのか。ユークリッドは答えた。幾何学に王道なし。この言葉は千五百年にわたって語り継がれた。短く、気骨がある。しかも数学者と王を同じ部屋に置き、数学者のほうを勝たせてくれる。
こういう話には、お決まりの形がある。権力が近道を求め、学問がそれを拒む。聞く側は幾何学を知らなくても、何を言いたい話なのかすぐにわかる。そして聞き終えたときには、数学の肩を持っている。使い勝手のいい逸話とは、たいていそういうものだ。その学問をわかってもらう必要はない。身の処し方さえ伝わればいい。そして、その姿勢だけで広まる話は、広まっていく途中で主人公を守り通す必要がない。
この話を残したのはプロクロスで、書かれたのは紀元450年ごろである。もし出来事が前300年ごろにあったのなら、記録されるまでにおよそ七百五十年が空いている。プロクロスは、誰から聞いた話なのかを記していない。
困るのは、もう一つの事実だ。同じ5世紀に、ストバイオスという編纂者がいた。彼はこの話の別の版を残している。王が、幾何学を手早く学ぶ方法はないかと尋ねる。数学者は、道を行くなら王のための道もあるが、幾何学にはない、と答える。その王はアレクサンドロス大王で、数学者はメナイクモスだった。
同じ話に、二組の師弟。どちらも、記録した人より七百年以上前に生きている。これは二つの記録が互いを裏づけているのではない。むしろ逆だ。同じ話を二組の人物に当てはめられるのなら、誰の逸話にしてもかまわないということになる。
しかも、どちらの版も筋は通っている。メナイクモスは確かに前4世紀の数学者であり、アレクサンドロスは確かに王だった。年代に無理はない。ユークリッドとプトレマイオス1世でも辻褄は合う。話の中に綻びがあるのではない。二通りあることが、綻びなのだ。
ストバイオスは、別の逸話も残した。最初の定理を習い終えたばかりの生徒が、これを学んで何の得になるのかと尋ねる。ユークリッドは召使いに、この者に3オボロス渡してやれ、と命じた。学んだことから何かしら得をしないと気がすまないらしいから、と。この二つを合わせると、後世の知るユークリッドが出来上がる。孤高で厳しく、実用を鼻であしらい、王を前にしても折れない人。
ところが、どちらの逸話も、現存する最古の出典は紀元5世紀なのである。
だからといって、この二つを語ってはいけないわけではない。古代末期に実在した文章であり、当時の人々が数学者をどのような人物として思い描きたかったかを伝えている。その意味では、立派な史料だ。ただし、ある日ユークリッドが本当にこうした、という出来事の記録ではない。
学問を利益と引き換えにしないという姿勢には、ずっと古く、原文を確かめられる出典が別にある。ただし、発言者はユークリッドではない。前4世紀、プラトンは『国家』第7巻で、やがて都市国家の最高の職務を担う者が算術を学ぶことについて、こういう趣旨のことを書いた。表面をかじるだけではいけない。思考によって数の本性を見抜けるところまで学ぶのだ。商人や小売商のように売り買いをするためではなく、戦争のために、そして魂を移ろうものから真実在へ向け直すために。その少し前では、もっと露骨に言っている。兵士は数を知らなければ陣形を組めない。彼の文章では、「商売のためではなく」と「戦争のために」が、一つの文の前半と後半を占めている。
前の二篇では、二種類の綻びを見てきた。第1回のヘロドトスの場合は、本人が「私はそう思う」と書いていた。第2回のヒッパソスでは、異なる伝承が食い違い、しかも後になるほど話が完成していった。今回は三つ目の綻びである。主人公を取り替えられるのだ。この二つの逸話を取り去ったとき、この人物について何が残るのか。それは、それだけで一度問う価値のある問題だ。答えは、ほとんど何も残らない。
温厚だった、厳格だった、貧しく清らかに暮らした、功利を蔑んだ、教え方が巧みだった。どの人物評も、確かな根拠の上には立っていない。ほぼすべて、あの二つの逸話から逆算された姿である。その一方で、彼の本なら、一語一語を取り出して検討できる。伝わってきた道筋も、節目ごとにさかのぼれる。4世紀にはテオンが編集し、鍵となるヴァティカンの写本は9世紀から10世紀に置かれている。写し手が代々、図を少しずつ整えていった痕跡まで残っている。人物について欠けているものが、本についてはすべて揃っている。
ここが、前の二篇とのいちばん大きな違いだ。第1回には実物があって、人の名がなかった。第2回には人の名があって、実物がなかった。今回は、一字ずつ校合できる完全な一冊と、ほとんど白紙の著者がいる。人の姿はほぼ消えているのに、その人が組み上げた構造はそっくり残り、命題から命題へと続き、二千三百年、倒れずに立っている。
本はわかるが、人はわからない
ユークリッドには、信頼できる同時代の伝記がない。出生の記録も、死亡の記録もない。家族や師弟関係はわからず、任用を示す文書もない。「前300年ごろ」というのも、まずは相対的な年代関係から推定した活動時期であって、生没年ではない。彼に言及する資料を古い順に並べると、こうなる。
独立した資料で最初に彼の名を挙げるのは、アポロニオスの『円錐曲線論』の序文である。前3世紀末から前2世紀初めごろ、前300年から約百年後のことだ。これは重要な一件である。ユークリッドは後世の完全な創作だ、という説を維持しにくくするからだ。前200年ごろにはすでに、高度な幾何学を研究する人から先人と見なされるユークリッドがいた。しかもアポロニオスが名を出したのは、批判するためだった。ある種の軌跡の問題について、ユークリッドの扱いは不十分だ、と言っている。
この記述の値打ちは、まさに遠慮のなさにある。後輩が自分の本で先輩の仕事に注文をつける。そういう言及は、称賛よりも捏造しにくい。また、名を挙げられた人物が当時、ただの象徴ではなく、具体的に論じられる相手だったことをよく示している。
パッポスの『数学集成』は紀元320年ごろの著作で、ユークリッドからおよそ六百二十年後になる。そこには、アポロニオスがアレクサンドリアでユークリッドの門人たちと交わった、とある。活動の場所をアレクサンドリアとする重要な傍証だが、その交流自体からすでに五百年ほど経っている。プロクロスの『ユークリッド原論第1巻注釈』は450年ごろ、ユークリッドからおよそ七百五十年後に書かれた。後世の伝記の骨組みは、主にこの本から来ている。そして5世紀のストバイオスが、あの二つの逸話の出典である。
イブン・アン＝ナディームの書目は987年ごろに成立し、ユークリッドからおよそ千二百九十年も隔たる。著作がどう伝わったかを知るにはきわめて重要だが、個人の伝記資料としては、すでに遅すぎる。12世紀から13世紀のアラビア語伝記集になって、ようやく出生地や父親の名が現れる。出来事から約千五百年後のことだ。この年代の並びを忘れてはいけない。通俗的な伝記では、何百年も離れた資料が一段落に押し込められ、まるで同時代の記述であるかのように読めてしまう。
アレクサンドリアという場所を支える柱は二本ある。プロクロスの記述と、パッポスのあの一文だ。二つが同じ方向を指すので、逸話が一つあるだけよりは強い。とはいえ、どちらも同時代の証言ではない。プトレマイオス1世の治世に活動したという説は、主にプロクロスによる。彼の根拠の一つは、アルキメデスがユークリッドに言及していることなのだが、その箇所の伝本自体に後世の挿入という問題がある。ムセイオンで俸給を受ける学者だったかどうかとなると、十分な証拠はない。
ムセイオンの実景を最もはっきりと描いているのは、前1世紀末ごろのストラボンだ。彼がその施設を実際に見たのは、前300年から三百年近くも後のことだった。彼によれば、それは王宮の一画に属し、回廊があり、座席があり、共同で食事をする広間があった。財産は共有され、王室の任命する神官が管理していた。ユークリッドがその名簿にいたとは書いていない。
アレクサンドリアの図書館は、背景としてあまりに使いやすい。ほとんど経歴のわからない人を有名な図書館に置くだけで、読者の目にはすぐ光景が浮かぶ。長い廊下、巻物、王室に養われる学者たち。その施設は確かに存在したし、その絵もおおむね外れてはいない。ただ、彼の名が載った名簿は一枚もない。確実に言えるのは一つだけだ。のちの人が、彼はそこで学生を教えた、と書いた。その人は、彼より六百年後に生きていた。
もう一つ、触れておきたい問題がある。ユークリッドは、一人の人間だったのか。
まじめな学術史研究でも、実際に論じられたことがある。2013年には、「多頭のユークリッド」という仮説と、それを現代のある集団筆名にたとえる議論の系譜を、専門にたどった研究が出ている。だから、そんな説は誰も唱えたことがない、と言うのは誤りだ。
ただし、現在の標準的な見方ではない。古代に彼を名指しする資料は、いずれも一人の個人として扱っている。アポロニオスはユークリッドが行った仕事を批判し、プロクロスは個々の数学者の列に彼を置く。今日の研究では、その仕事を、既存の知識を整理し、証明を書き直し、全体の構成を整えたものと捉える傾向がある。全巻を貫く緊密な大構造も、強力な編集者が組織した結果と考えるほうが説明しやすい。
現代の集団筆名との類比が成り立つのは、一点だけである。著者の名は、最初から最後まで独力で書き上げた孤独な天才の名とは限らない。この本には、何世代にもわたる成果が明らかに取り込まれている。現存する本文も後人の編集を経ている。著者の問題と、本文に重なった層の問題は、分けて考えなくてはならない。
類比が成り立たないところのほうが、肝心だ。現代のあの集団には、確認できる構成員、規約、共同作業の歴史、そして意図的に選んだ共通の筆名がある。古代のユークリッドには、それに対応する証拠が何一つない。本が大量の先行成果を取り込んでいることから、ユークリッドとは学派が意図して作った筆名だった、と飛ぶ。その間に欠けているものこそ、証拠である。本文にいくつもの層があるのは事実だ。最初の著者が集団だったはずだ、というのは事実ではない。
したがって、この篇で扱える人物とは、こういう位置を占める存在でしかない。前300年ごろのどこかで、一人、あるいは一群の人々が、それまで数世代の幾何学の成果を選び直し、並べ直し、証明を補い、何をいちばん初めに置くかを決めた。その決定がもたらしたものが、この先のすべての出発点になる。
この本はゼロから書かれたのではない
プロクロスの残した幾何学史の一覧は、『原論』を編むという仕事がユークリッド以前からあったことを、はっきり伝えている。
その記述によれば、最初に『原論』を編んだのはキオスのヒッポクラテスだった。その後、レオンがもっと綿密なものを編み、さらにマグネシアのテウディオスが、たいへん優れたものとして称えられる一書を編んだ。この三冊は、いずれも原書の形では残っていない。
この三人の名は、覚えておいてよい。見落とされやすいことを教えてくれるからだ。ユークリッドより前に、少なくとも三人が同じ種類の仕事をしていた。そして、その仕事は繰り返されていた。レオンのものは「もっと綿密」、テウディオスのものは「たいへん優れている」。比較されている以上、当時の人々には出来の差がわかっていたし、この種の本が流通していたことにもなる。
証拠がつながる道筋は、少し丁寧に見ておこう。ヒッポクラテスはおよそ前5世紀の人で、プロクロスが書いたのは450年ごろ。間には九百年近い隔たりがある。ただし、この歴史一覧の少なくとも一部は、エウデモスが前4世紀末に書き、いまは失われた『幾何学史』に由来すると広く考えられている。九百年後に突然創作された名前なのではない。前4世紀の歴史家が残した材料を、古代末期の人が保存したのである。
「原論」は、ユークリッドより前から、すでに一つの書物の型だった。その学問でより基本的とされ、あとの論証に道具として使える命題を、体系に組み上げた本を指す。ユークリッドの仕事として最もはっきり見えてくるのは、選択、再配置、統一、そして証明の補充である。彼以前には幾何学がなかった、という宣言ではない。
この点は、ここから先の判断をすべて左右する。もし彼がゼロから発明したのなら、本のあらゆる配置は彼自身の選択だったことになる。すでにある伝統を整理したのなら、引き継いだ配置もあれば、変えた配置もあるだろう。いまでは、そのどれがどれなのかを区別できない。
第五公準を彼自身が書いたのか、それとも以前の本から持ってきたのか。証拠はない。
各巻の出自についても、確かさの段階を分けなければならない。第5巻の比例論がエウドクソスと強く結びついていることは、堅い。巻全体の文章と構成まで彼が手がけたという証拠はない。第10巻の背後にテアイテトスの研究の伝統があることは、堅い。一つ一つの命題に彼の署名を付けることはできない。第13巻がユークリッド以前の正多面体研究を取り込んでいることは、堅い。その大部分を誰か一人が書いたという主張は、それよりはるかに弱い。
プロクロスが実際に述べているのは、ユークリッドがエウドクソスの多くの定理を組み込み、テアイテトスがすでに研究していた多くの成果を仕上げた、ということだ。言われているのは、配置し、完成度を高めたことであって、書き写したことではない。では、この本はいったい何なのか。よく使われる三つの呼び名は、それぞれ一面を捉えているが、どれもぴたりとは当てはまらない。
研究論文集ではない。内容の大半には、彼より前からの歴史がある。単なる抜き書きの集成でもない。全巻の命題が何に依存するか、その順序、定義の配置、足りない前提の補充には、強い編集上の設計が必要だからだ。繰り返し取り出して使える成果の貯蔵庫、と形容する研究者もいる。
教科書という呼び名はどうだろう。後世にそう使われたことは疑いないが、初めからそのために書かれたとは直接には証明できない。「本書は初級の学生のために」と述べるユークリッドの序文はないし、前300年の時間割もない。
規模を数字で見ると、全13巻、命題465、定義は合計およそ131。五つの公準と五つの共通概念は、すべて第1巻の冒頭に置かれている。
巻ごとの差は、とても大きい。最長の第10巻には115の命題があり、それだけで全体のほぼ4分の1を占める。第2巻はわずか14だ。
巻によって内容の性格も違う。第7巻から第9巻は整数論で、互いに素であること、素数、最大公約数を扱い、幾何学とは直接の関係がない。第11巻から第13巻は立体幾何学だ。第5巻が扱うのは、一般の量の比例である。前篇で見たとおり、その方法なら通約できる量と通約できない量を同時に扱える。
つまり、これは一冊の幾何学の本ではない。当時、基礎に据えられると考えられていたものを、分野ごとに揃えて置いた本なのだ。
ただし、この数字は近代の批判校訂版によって落ち着いた伝本の数字であって、ユークリッド自身が確定した目次の数字ではない。共通概念はもともと何項目だったのか、個々の定義や公準は本当に彼が書いたのか。本文批判の問題は、いまも残る。
第1巻の書き出しの順番は、覚えておこう。まず23の定義。点、線、直線、面、角、円、直角、平行。次に五つの公準。その次に共通概念。そしてようやく最初の問題に入る。この順番を見ると、基礎はすべて最初に並べてあるように見える。ように見える。この言葉の奥に、この篇の残りのすべてが隠れている。
第五の条項
第五の公準がなぜ特別なのかを見るには、まず、本の冒頭がどのように組まれているのかを見なければならない。
第1巻は23の定義から始まる。点とは、部分をもたないものである。線とは、幅のない長さである。続いて円、直角、平行線。定義のあとに、彼は五つのことを並べた。
第一。任意の一点から任意の一点へ、直線を引いてよい。この一文に証明はないし、証明するつもりもない。これは一つの申し出なのだ。この操作を認めてほしい、と。
次の三つも同様だ。有限な直線を、同じ向きにどこまでも延ばしてよい。任意の点を中心に、任意の長さを半径として円を描いてよい。すべての直角は互いに等しい。そして第五が来る。
一本の直線が二本の直線と交わり、同じ側にできる二つの内角の和が二直角より小さくなるなら、その二本の直線をどこまでも延ばすと、その側で交わる。五つを並べたあとには、さらに一般的な五つの文が続く。同じものに等しいものは互いに等しい、全体は部分より大きい、といった文である。これら一式が全書のいちばん初めに置かれ、何を証明せずにおくのかを、まず明らかにしている。
後世の数学者は、この一覧を隅々まで調べることになる。ここから出発するというのなら、それ以外のものを足してはならない。どんなに自明に見えるものであってもだ。ユークリッドは、まだ図を門の外へ締め出してはいなかった。それでも、出発点はすでに紙の上に並べていた。大事なのは、この組み方である。
彼以前にも、もちろん幾何学には多くの成果があった。すでに見たように、少なくとも三人が同じ種類の本を編んでいる。彼がしたのは、それらを一本の鎖につなぎ、その最初の輪を、誰の目にも見えるように差し出すことだった。差し出したその瞬間から、人はこう尋ねられる。この五つだけで、本当に足りるのか。その問いは、彼が書き終えてから二千三百年、絶えず問われてきた。ただし前半と後半では、問う方向がまるで違った。
一方の問いは、五つのうちに、実は余計なものが一つ紛れていないか。もう一方は、この五つでは、何か抜けていないか。一見すると正反対だが、一つの問題の両端を問うている。第五の条項からは、二千年にわたる論争が生まれた。そして図をもう証明とは認めないと決める人が現れると、後者の問いがいっそう切実になった。
ここで五つを見直すと、その違いは一目でわかる。しかも違いは、幾何学以前に、まず文の形に表れている。
最初の三つは、同じ調子で書かれている。線を一本引かせてほしい。それを延ばさせてほしい。円を一つ描かせてほしい。いずれも操作であり、いずれも短い。ギリシア語の原文なら、どれも十語前後しかない。
第四は操作ではなくなるが、それでもごく短い。すべての直角は、互いに等しい。
第五になって、文が急に長くなる。まず一本の横切る線が二本の線と交わり、次に同じ側の二つの角の和が二直角より小さくなり、さらに二本の線をどこまでも延ばす。そこまで来て、ようやく交わると言う。標準的なギリシア語本文で三十数語。先の公準の数倍ある。もっと重要なのは、長さよりも形だ。先の四つは規則のように読める。第五は、証明を待っている結論のように読める。なぜこの書き方をしたのかは、誰にもわからない。彼は説明を残さなかった。
見えるのは、その結果だけである。彼にはこのことが必要だった。そして証明に向かう代わりに、証明しないものの欄へ入れた。この選択は、当時は目立たなかったかもしれない。もともと証明しないものを入れる欄なのだから、一項目増やすのに理由はいらない。目立つようになったのは、あとになってからだ。ほかの四つが号令のように短いのに、これだけが結論のように長い。その違いが意識されると、残りの二千年は一つのことに費やされた。これを、わざわざ要求しなくてもすむようにすることだ。
道は三つしかない。最初の四つから導けると証明して、独立の項目にする必要をなくす。あるいは、もっと素朴な言い方に置き換える。あるいは、そもそもその証明はできないと証明する。初めの二つには二千年が注がれた。三つ目には、19世紀まで待たなければならない。
長いあいだ、初めの二つは主に、平行線の理論を完成させるための仕事と受け止められていた。三つ目の方向が決定的な形を得るのは、19世紀の非ユークリッド幾何学とモデルの研究によってである。
この本は、しばしば公理的方法の誕生と呼ばれる。
その言葉が、証明しないものを先に並べ、その後の論証がどこから出発するかを見えるようにする、という意味なら、よく捉えている。いままで述べてきたのは、まさにそのことだ。しかし19世紀末以降の人々がこの言葉を使うとき、その意味はずっと厳しい。どれほど厳しいかは、第6節で見ることになる。
その厳しさを前300年までさかのぼらせるのは、後知恵である。もちろん古代人も、原理に階層があることは知っていたし、何なら要求でき、何には証明が要るのかを論じていた。ただ、彼らの関心は後世のあの仕組みとは違うところにあった。
不安はいつ始まったのか
広く流布している言い方がある。第五公準は、書かれたその日から、すべての数学者を不安にした。「その日から」を支える現存資料はない。
アリストテレスは、ユークリッド以前にすでに、平行線の証明にまつわる循環論法の問題を知っていた。平行線をどう証明するかは、前4世紀の時点で、論理上の敏感な場所だったことになる。だからといって、まだ成立していない本を彼が批判していた、という証拠になるはずはない。
この区別は大事だ。二つのことは、すぐに混ざってしまう。平行線という問題がユークリッド以前から難しかったこと。そしてユークリッドのあの一項目の扱い方はおかしいと考えること。後者は別の話であり、時代もずっと下る。
この本そのものに向けられた異議として、現存資料から最も早く名を挙げられるのは、前135年ごろから前51年ごろに生きたポセイドニオスである。前300年から、すでに百五十年以上が過ぎている。しかも彼についてのこの資料も、5世紀のプロクロスを通じてしか残っていない。
プロクロスによれば、彼は平行線を定義し直そうとした。大意は、同一平面で等しい距離を保ち、近づきも遠ざかりもしない二直線、というものだ。問題は、「どこでも等距離」という条件そのものに、ユークリッド的な平行性に匹敵する強い条件がすでに入り込んでいることだった。
プトレマイオスは2世紀の人である。プロクロスは、彼が一つの証明を書いたと伝え、その手順を追って批判した。後世の分析によると、決定的な箇所で、平行線の一意性に相当する条件をひそかに使っていた。したがって論証は循環していた。
プロクロス自身も挑んだ。先人を批判したあとで、平行線間の距離には限界がある、といった追加の性質を使っている。それらは、最初の四公準からただでもらえるものではない。人が結論を前提に密輸した箇所を正確に見つけながら、自分も同じ穴に落ちたのである。
ここに、この問題の本当の難しさが見える。難しいのは、証明の技ではない。見分けることだ。持ち込まれた前提は、言葉にすると、第五公準そのものより素朴に見えることが多い。「平行線のあいだの距離には限界がある」と聞けば、誰もが当たり前だと思う。この歴史では、同じことが何度も起きる。人々の頭が悪かったからではない。何人かは、それぞれの時代を代表する最高の数学者だった。
ポセイドニオスはストア派の重要人物だった。プトレマイオスは、その後千四百年にわたって通用する天文学の体系を著した。ハイヤームは詩人であると同時に暦の改革者でもあり、トゥースィーは天文台を建てた。
本当の理由は、証明したい当のことと、もっと素朴に見える言い換えが、同じ強さを持っていたことにある。言い換えても、同じ重さのものに取り替えただけなのだ。そして取り替えている本人には、重さが変わっていないことが見えにくい。この試みはアラビア語圏でさらに数百年続いた。この歴史の中盤で、研究が実際に途切れず進んでいた場所である。
イブン・アル＝ハイサムは、垂線を用いた四辺形、等距離、運動の概念に関わる論証を使い、平行線の理論を組み直した。その案は後にハイヤームから批判される。幾何学の基礎に運動を持ち込むなら、そもそもそれが許されるのかを示す必要があるからだ。
オマル・ハイヤームは、底辺に垂直な二辺が等しい四辺形を研究した。上側の角について、直角、鋭角、鈍角の三つの場合を仮定し、後の二つを排除しようとした。そこで使われた、近づき合う直線は必ず交わる、といった原理は、現代から見ると第五公準と同等の強さを持つ。
ナスィールッディーン・トゥースィーは13世紀半ば、背理法と四辺形による方法を進め、以前の案を批判した。その家族や後継者によって、さらに後の版も作られた。16世紀にローマで印刷されたアラビア語の本文を通じて、この伝統の一部はヨーロッパの視野に入ることになる。
ただし注意が要る。かつては、後代のいくつかの版まで一括して、トゥースィー本人の最終的な証明とされがちだった。現代の文献学は、ずっと慎重である。この伝承の線そのものも、校合を必要とする歴史なのだ。そして、この数百年で本当に重要なのは、彼らがあと一歩で何を発見しそこねたか、ではない。そう見るのは、19世紀を終着点に据えた目的論である。
後から起きたことを物差しにして彼らの仕事を測れば、全員が失敗者として書かれてしまう。彼らは失敗していたのではない。当時としてまったく合理的な仕事をし、それをますます精密に進めていた。
しかも、その仕事は無駄にならなかった。あの四辺形も、頂角についての三つの仮定も、のちに別の問いのもとですべて役立つことになる。ただし、そのときには名前も用途も変わっていた。
重要なのは、同じ問いが、しだいに体系立てて問われるようになったことだ。一見自明な幾何学の性質は、本当に証明されたのか。それとも、別の言い方に包まれ、前提の中へ戻されただけなのか。
本そのものから、内在的に推測する人もいる。ユークリッドは第1巻で第五公準をずっと使わず、第29命題で初めて持ち出す。彼自身も使用を先延ばしにしたかったように見える。この観察自体は正しい。しかし、使うのを遅らせたことから、正しさを疑っていたとか、証明できると信じていたとか推し進めれば、そこから先は解釈であって伝記の証拠ではない。動機は残されていない。
この篇では、もう何度かこの言葉が出てきた。この先にも出てくるだろう。修辞ではない。この人について確かなことは、それほどまでに少ないのである。何をしたかは、本に書かれている。なぜそうしたかは、一字もない。
第一問
では、この本の最初の問題を見よう。一本の線分が与えられたとき、それを一辺とする正三角形を作図せよ。
作図はこう進む。線分の一方の端点を中心に、その線分全体を半径とする円を描く。次にもう一方の端点を中心に、同じ半径の円を描く。二円の交点を取り、二つの端点と結ぶ。
第三公準は、円を描くことを許している。二つの円が必ず交わるとは言っていない。もちろん、二つの円は交わる。図を描けば交点はそこにあり、一目で見える。問題は、まさにそこにある。本の中には、その交点の存在を保証する原理が一つもない。そしてこれは、全書の第一問なのだ。
「一目で見える」は、一つの推論であって、公準ではない。使っているのは本文ではなく、図である。第三公準が与えるのは、円を描いてよいという許可だ。描いた円がほかの円と交点を持つかどうかまで、その条項は面倒を見てくれない。
今日の規則に従って、その後のすべてを初めに挙げた数項目だけから導くとするなら、第一問ですでに、一覧にないものを使っていることになる。
これだけではない。あとの作図では、直線と円が交わることも、使ってよい事実として扱われる。すると、また別の、それに見合う原理が必要になる。線分の一方の端が円の内側にあり、他方が外側にあれば、その線分は必ず円を横切る。そのような現代的な形の記述は、本には一つもない。
第二の種類は、順序と「あいだにあること」だ。本文では、二点のあいだにある、ある側にある、角の内部に位置する、延長するとある場所を通る、といった位置関係が繰り返し使われる。しかし第1巻の冒頭には、「あいだにあること」について明示された原理の体系がない。
第三は、平面の分離である。現代でいうパッシュの公理を典型的な形で述べると、こうなる。同一直線上にない三点があり、その三頂点のいずれも通らない直線が三角形の一辺から入ったなら、必ずほかの二辺のどちらかから出る。古典的な幾何学の証明は、線がここから入った以上、あちらから出るしかない、といった図の上の事実に多くを頼っている。だが本では、それらを独立した原理として掲げていない。
第四は、合同と移動だ。第4命題の重ね合わせによる論証では、一方の三角形を他方の上に置くことが考えられている。共通概念にある「互いに重なり合うものは等しい」という一文は、そのための言葉をいくらか与えてはいる。しかし現代的な意味での剛体運動、角の合同、線分の移し取りについて、完全な規則が用意されているわけではない。
第五は、結合関係、一意性、そして退化する場合である。図はしばしば、新しく作った点が互いに異なること、いくつかの線が重ならないこと、交点が必要な位置に現れることを、暗黙のうちに前提としている。
この種類がいちばん目立たず、しかも数え尽くすのが最も難しい。証明を図にした時点で、図の中のものはすでに、それぞれの居場所に収まっている。本文は、なぜそこにあるのかを説明していない。
五種類を並べると、共通点が見えてくる。どれも、図なら一目で確かめられることなのだ。何と何が交わるのか、どの点がどの二点のあいだにあるのか、線がどの辺から入り、どの辺から出るのか。図の上ではたいてい確認できるからこそ、こうした関係は言葉の公理として体系的に列挙されなかった。古代の注釈者も、その困難にまったく気づかなかったわけではない。19世紀にとりわけ鮮明になった転換は、これらの推論の資源も、明示的な基礎体系の中に収めよ、という要求だった。
それまでは長いあいだ、図と言葉が一緒に働いていた。やがて図には席を外してもらおうという人が現れ、やり方が変わった。では、足りない原理は全部でいくつあるのか。
学界で通用する一つの整数はない。どの現代的な形式言語で数えるかによって、答えが変わるからだ。形式体系が異なれば、原理の切り分け方も違ってくる。
ユークリッドには十九条足りない、あるいは二十条足りない、と結論するのは誤りである。ヒルベルトが1899年に五群に分けた十九の公理は、一覧表を手にユークリッドの穴を一つずつ塞いだものではない。基礎構造そのものを設計し直したものだ。点、直線、平面、そしていくつかの関係を原始的なものとして置き、論理上の役割ごとに原理を分類し、さらにその無矛盾性と独立性を体系的に調べた。五群とは、結合、順序、合同、平行、連続である。
ここでは第五公準も、一つの群の中の一条件を占めるにすぎない。基礎全体を象徴する役目は、もう負っていない。パッシュの公理の出典は、1882年の『新幾何学講義』である。ヒルベルトは、順序公理の一つについて、とりわけパッシュに負うことを明記している。
パッシュの革命性は、驚くべき定理を見つけたことにはない。ある一点を指摘したことにある。「図を見れば当然そうなる」も、やはり一つの論理的な資源なのだ。図から証明する資格を取り上げたいのなら、そこで使っていた資源を言葉にしなくてはならない。
厳密という言葉の意味が変わる
ここで、二つのことを並べてみよう。
古代人が問うたのは、第五の条項はなぜこれほど複雑なのか、自明さが足りないのではないか、もっと簡単な原理から証明できないか、もっと自然な平行の定義に置き換えられないか、ということだった。
19世紀が問うたのは、完全な幾何学の体系にはほかにどのような原始関係が要るのか、「あいだ」「同じ側」「交わる」をどう形式的に定義するのか、円と円、直線と円の交わりを何が保証するのか、合同、順序、連続をそれぞれどう公理化するのか、ということだった。二組の問いを分けるのは、難しさではない。方向である。その違いは、もっと具体的にも言える。
古代人が向き合ったのは、紙に書かれた一つの文だった。読める。語数を数えられる。長すぎると思える。別の文に置き換えてみることもできる。その文は見えていた。だから二千年、攻撃され続けることができた。
近代の人々がしようとしたのは、図に隠れていたものも紙の上へ移すことだった。二つの円は交わるのか。一点は、ほかの二点のあいだにあるのか。三角形に入った線は、どこから出るのか。どれも証明の中では使われていたが、冒頭に一つずつ並べられてはいなかった。誰も問わなかったわけではない。ただ、図が代わりに語ってくれるうちは、もう一文書くまでもないと思いやすい。
第五公準は、明言されていた。近代に見いだされた問題の多くは、明言されていなかった推論の資源から生じていた。
ここで、正直に受け止めなければならない逆転が起きる。論理の穴とは、証明に必要なのに著者が述べていない前提のことだ、と定義するなら、第五公準は厳密には穴ですらない。彼は、それを書いたのだから。
19世紀の非ユークリッド幾何学と、その後のモデルを使った研究は、さらに強い理由を与えた。ほかの公理を適切に揃えたとき、ユークリッド的な平行公理は、実際に独立している。それより弱い体系から証明しようとしても、不可能なのだ。ヒルベルト自身も、ほかの公理に対するその独立性を明確に研究した。現代の目で見れば、ユークリッドがこれを隠さず、追加の仮定として一項目に掲げたことは、むしろ正しい扱いだった。
言い換えると、二千年も苦情を言われ続けたあの公準こそ、この本で最も正直な一文だった。ただでは手に入らないものを、正面から要求している。一方、別の難しさは、この本が使いながら一つずつ明かしてはいなかったところに隠れていた。いちばん大きな苦情を集めたところが、いちばん補うべきところとは限らない。
もう一歩、先へ進める。書かれた仮定は、見えるからこそ疑いを招く。書かれなかったものは、当たり前のことに紛れ込みやすい。見えるということ自体が、圧力のかかる場所を取り違えさせてしまう。
ここですぐ、歯止めをかけておこう。このことは、彼が論理的独立性を知っていた証拠にはならないし、何かを予見していた証拠にもならない。動機は残っていない。そして、第三の反論がある。それは、問題全体をひっくり返す。
いわゆる「穴」の中には、古代人が不注意で一文を書き漏らしたのではなく、その方法が初めから、推論の一部を図に担わせるものだった場合もあるのではないか。しかも、その図の扱いには規則も制約もあった。図の規範まで含めて形式化すれば、視覚的な関係を一つ残らず本文の公理にしなくても、多くの推論を厳密に再構成できる。この読み方に立てば、「公理が足りない」は、ときに、現代の純粋に構文的な体系へ移す際には一条を補う必要がある、という意味になる。元の営みが不当だったという意味にはならない。
この反論については、もう少し述べる価値がある。古代人を弁護しているのではない。証明の体系は、すべての推論を文字の文に押し込めなくても、厳密でありうる、という主張なのだ。図に規範があり、制約があり、検証できる使い方があるなら、図は脇に添えた挿絵ではなく、証明の一部になれる。図を証明から追い出すことは、19世紀の選択であって、永遠の基準ではない。
だから、最も公平な判定はこうなる。第五公準には、歴史的に、基礎の中でどの位置を占めるべきかという問題があった。しかし、この本で最も明らかな論理的欠落ではない。また、人類は二千年間ずっと見る場所を間違え、19世紀末になって初めて本当の穴に気づいた、という言い方も正しくない。
古代の数学者が取り組んでいたのは、彼ら自身の基礎論の基準だった。要求してよいことは、証明なしに採用する原理としてふさわしいのか。もっと素朴なものに取り替えられないのか。これは本物の問題である。
パッシュとヒルベルトが取り組んだのは、別の厳密さへの要求だった。図に推論する権利を認めないのなら、それまで図が担っていた順序や連続の情報を、形式体系の中へ移さなければならない。古代人が見当違いをしていたわけではない。「厳密」という言葉の意味が変わり、その変え方が問題を別の場所へ動かしたのである。この変更には、一つの代償があった。覚えておく価値がある。
図を証明から追い出したあと、幾何学はより確かなものになり、同時に、より読みにくいものにもなった。第一問は、もともと一文と一枚の図で済んでいた。いまは円と円の交わりについての原理が要り、その原理自体を連続性に支えてもらわなければならない。見えていたものが見えないものになり、その代わり、目を信じる必要がなくなった。はっきりした交換である。読みやすさを手放して、誰の視力にも直観にも依存しないことを得た。
この交換は、割に合う。ただし、一つの誤りを訂正したのではない。基準を取り替え、その新しい基準に合わせて、全体をもう一度作り直したのである。
製品と工房
この本の背後には、どれほどの人々がいたのか。手順を分解し、確かめられる推計が一つある。
ネッツは、ギリシア数学の演繹のあり方を論じた本で、まず、古代の数学者に数えられる、名前のわかる個人をおよそ144人挙げた。次に、痕跡がまったく失われた人々の数を推定しようとした。部分的に重なる四つの名簿を用い、ユークリッドのように、どの資料にも必ず出てくるほど著名な人物を除く。そのうえで、捕獲再捕獲法に似た方法で総数を逆算した。六組の組み合わせから得られた推定値は、およそ89人から303人のあいだにあった。彼は300人を比較的安全な推測とし、さらに余裕を見て、上限をおよそ千人まで広げた。
この推計の長所は、方法が透明なことだ。短所もまた明らかである。四つの名簿が、無作為抽出のように互いに独立していることを要求するのに、実際はそうなっていない。古代の著者が誰を引用するかは、名声、学問の系譜、そして先行する文章に強く左右される。出現頻度は、むしろ裾の長い分布に近い。いちばん有名な人を除くこと自体も、抽出の構造を変えてしまう。
別の研究者は、古代の科学文献に現れる引用を集計し、文献に名の見える著者をおよそ150人、その存在が知られている、あるいは題名だけが伝わる著作を380から440点ほど数えている。だが、これは文献から見える人口であって、実際の従事者数ではない。
したがって、統計的に信頼できる人数の範囲はない。数百人の規模、きわめて大きな余裕を持たせれば千人の規模。このくらいなら、おおよその感覚として使える。古代全体に数学者がちょうど何人いた、と言うためには使えない。
もっと確実なのは、別の結論だ。これは、きわめて小さく、地理的に散らばり、世代も連続しない著述の共同体だった。主要な何人かの著者たちのあいだには重なりが少なく、伝統が長く沈黙したあと、再び拾い上げられることもあったとする研究がある。
彼らの身分も揃っていない。哲学の学校の教師や学生、王室の援助を受ける学者、天文学者、機械の研究者、測量や工学の知識を書き残す者、個人教授。現代的な意味での職の市場があったという証拠はなく、都市国家をまたぐ数学者の組合もなかった。この伝統は、途切れず続く社会制度に依存するのではなく、大きくは書物、引用、注釈の連鎖によって受け継がれていた。第1回の書記学校と並べると、違いはよくわかる。
あちらでは、大量の練習用粘土板、行政文書、訓練の痕跡から、教える過程を再構成できる。こちらで中心に残っているのは、高度に整えられた著作、断片的なパピルス、哲学の文章、そして時代のはるかに下る伝記である。生産の仕組みより、製品のほうが、ずっとよく見える。
この篇で、一人の人間の姿をほとんど描けない理由も、そこにある。人々が重要でなかったからではない。働いていた環境が残らなかったからだ。練習の下書きも、授業の記録も、計算を間違えて線を引いて消した一頁もない。
第1回にいた、粘土板をならしてやり直すあの子に当たる人物は、この篇にはいない。そんな子がいなかったのではない。その子が使った板が、残るものではなかったのだ。図でさえ、製品なのである。
ギリシア数学の図は、証明の隣に添えた挿絵ではない。文字は文と図のあいだを往復して対象を指し、作図という行為が図を変え、証明はその図から、扱いに制約のある位置関係を取り出す。
では古代の図は比例どおりに描かれていたのか。「そうではない」と一言で答えるわけにはいかない。現代的な意味での長さや大きさの比を、忠実に保っているとは限らない。一般的な平行四辺形であるべきものが長方形に近く描かれたり、理論上は等しくない線分が等しく見えたりする。一方で、交わり、つながり、内と外、並びの前後といった関係は、しばしば決定的に重要になる。
図には、図の伝写の歴史もある。多数の写本の図を比べた研究では、写し手が図をより規則正しく、対称的に、見栄えよく整え、その結果、本文が求めていない特別な性質を付け加えてしまうことがわかった。写されるたびに、図が少しずつきれいになる。斎藤らは多くの写本にある同じ図を比較しており、この変化は実際にたどることができる。
これは、文章の伝写と同じではない。一語を書き違えたなら、後世の人は前後の文脈から気づくかもしれない。一般の四辺形を少し対称的に描いてしまうと、後世の人の目に入るのは、対称な四辺形である。本文には対称だと書かれていないのに。一般の場合を示すはずだった図が、写されるうちに特殊な場合へ変わっていく。そして、証明が頼っているのは、その図なのだ。
こうして、二本の線が同時に進む。本文は代々校訂され、ある古い読みへ近づいていく。図は代々描き写され、もとの姿から遠ざかっていく。
本文の側にも、同じように手が加わっている。4世紀のテオンはこの本を編集し、別の注釈書で、自分が内容を加えたことに言及していた。そのため、第6巻第33命題のあとにある追加部分が、彼の版を見分ける手がかりになった。現存する中世ギリシア語写本の大半には、この編集の伝統の特徴が見られる。
いわゆる非テオン系の伝承も、ユークリッドの自筆原稿ではない。同じ改訂を経ずに伝わった、別の枝である。鍵となるのは、ヴァティカンのギリシア語写本190番。通常、9世紀から10世紀のものとされている。
1808年にペイラールが調べたとき、この写本はパリにあった。ナポレオンがヴァティカンの蔵書を接収していたからだ。テオンが自分で加えたと言っている部分が、ここにはない。そこに気づいたペイラールは、別の伝承系統を前にしていると悟った。
しかし1996年には、この写本からまっすぐユークリッドへたどり着けるという楽観的な図式に異を唱える研究が出た。アラビア語の伝承には、テオン系か非テオン系かという二分法では拾いきれない古い読みが残っているかもしれない、と強調する研究である。最も堅実に言うなら、この写本は、本を校訂するうえで最重要のギリシア語証人の一つだ。著者の原本ではない。
1482年、ラトドルトがヴェネツィアで最初の印刷本を刊行した。ラテン語の伝承を用いた二つ折判である。名高い理由の一つは、活版印刷の初期に、四百点を超す幾何図を本文と一緒に刷ることに成功した点にある。ラトドルト自身も、献辞でその技術的な難しさを強調していた。
1570年、ビリングズリーが最初の完全な英訳を出版し、ディーが序文を寄せた。ビリングズリーはロンドンの商人で、小間物商のギルドに属し、1596年にはロンドン市長になった。扉には、ディーの序文が数学の主要ないくつかの学問を挙げ、それぞれ何であるか、どんな用途を持つかを示す、とある。ディーは序文で、なぜこの本を自国の言葉で印刷するのかを説明した。手に取るのは、ラテン語を知らず、大学の学者でもない人々なのだ。彼は問いかける。この国には、数や定規やコンパスを扱う普通の職人が、どれほどいるだろう。その人々がこうした助けを得たなら、新たな工事や、目新しい機械や器具を考え出し、国のさまざまな用に立てることも、自分で楽しむことも、暮らしをもっとよく支えることもできるのではないか。これも大判の本で、立体幾何学の図の一部には折り上げられる紙片が使われ、平らな頁を三次元の模型にできた。1574年にはクラヴィウスが大部のラテン語注釈版を刊行し、のちにイエズス会の数学教育で中核をなす教本の一つとなった。
教材としていつまで使われたかについて、共通の終わりの年はない。イギリスでは19世紀初めにも、学校と大学の幾何学の標準だった。ヴィクトリア朝には、別の教科書で代えられるかどうかをめぐって論争が起こり、1871年に設立されたある協会も改革を進める力の一つとなった。教育課程の中心から明らかに退くのは、20世紀初めになってからである。他国、他の時代では、ずっと前から書き直した教本に移っていた。だから、全世界で二千年間、この一冊だけを使い続けた、とも言えない。
「幾何学に王道なし」に戻ろう。
この本は、著者が誰だったのかを後世に伝えられるどの人よりも、長く生きた。写されるたびに図は整い、いくつもの手を経て、本文には加筆がなされ、番号が振られ、図が描き直された。それでも二千年、論じ続けられたのは、穴がなかったからではない。自分がどこに立っているかを、彼が書いたからだ。言うだけなら何でもない。実際にするのは、容易ではない。自分が何に依って立つのかを書き出すとは、それを人に渡し、解体できるようにすることなのである。
書かれたあの一条なら、後人は疑える。取り替えられる。証明を試み、ついには証明できないことを証明できる。図に隠れた前提を問う人もいた。ただ、紙の上の第五の条項のように、一つだけ取り出すのは容易ではなかった。あの本のいちばん率直な場所は、二千年、問いを浴び続けた。ほかの難しさは、まず当たり前の中から探し出さなければならない。
数の計算は、なお先へ進んでいく。けれど何を数学と数えるのかは、いまだ一度も決着していない。
史料とさらに読むために
以下は、本文で扱った歴史の細部や解釈の分かれる点に対応する資料である。所蔵資料の記録、古代の文学的な記述、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。