Incommensurable

1 Un homme jeté à la mer

Voici l’histoire telle que la plupart d’entre nous l’ont entendue.

Les pythagoriciens croyaient que tout était nombre. L’un d’eux découvrit que le côté d’un carré et sa diagonale n’avaient pas de commune mesure. C’était la ruine du credo de l’école. Il divulgua sa découverte. Alors, à bord d’un bateau, ses condisciples le jetèrent à la mer. L’histoire est remarquablement complète. Une croyance, une découverte, un conflit, un châtiment. Et tout arrive dans le bon ordre.

Mieux encore, chaque maillon tient au précédent. Puisque tout était nombre, la découverte était fatale. Puisqu’elle était fatale, il fallait la garder secrète. Puisqu’il avait rompu le secret, il devait mourir. Retirez un seul maillon, tout se défait. Cette perfection de l’assemblage mérite à elle seule qu’on s’y arrête. Les événements réels prennent rarement une forme aussi nette. Et ce que l’on peut vérifier ici est bien moins abondant que le récit ne le laisse entendre.

Aucune source ancienne proche de Pythagore ne lui attribue personnellement la formule « tout est nombre ». Le témoignage solide vient d’Aristote, qui parle de ceux qu’on appelle les pythagoriciens, et dont le propos est fort éloigné de la petite phrase des manuels. Aucun document contemporain fiable ne confirme directement qu’Hippase ait découvert l’incommensurabilité. L’Antiquité tardive nous a bien laissé plusieurs légendes de divulgation, de châtiment et de noyade ; elles n’attestent pas pour autant la scène moderne des condisciples jetant un homme par-dessus bord. Quant à la crise des fondements, deux savants allemands en ont donné en 1928 une formulation systématique appelée à faire école, après d’autres hypothèses sur le sujet.

Et, de ces quatre éléments, la crise n’est même pas le plus tardif. Pour l’épisode où les condisciples précipitent leur camarade hors du bateau, on ne retrouve pas la source. Il a poussé dans les récits de vulgarisation. Personne n’a su établir exactement en quelle année.

Ce ne sont pas des négligences éparses. Placez-les côte à côte : un dessin apparaît. Chacune des articulations du récit est venue après les deux éléments qu’elle relie. Elle est plus achevée aussi, et se raconte mieux.

Si cette histoire a traversé deux millénaires, ce n’est pas parce qu’on n’a cessé de la vérifier. C’est plutôt qu’elle rendait trop de services. Elle marchait si bien que personne n’avait envie de s’arrêter pour contrôler. En une phrase, elle fournissait une doctrine, un contre-exemple, un affrontement et un dénouement. En prime, elle donnait un cadavre aux mathématiques. L’histoire des mathématiques n’offre pas souvent de quoi raconter les choses ainsi.

Mais, sous le récit, il y a bien un fait. Le côté du carré et sa diagonale n’ont effectivement pas de commune mesure. Au IVe siècle avant notre ère, c’était déjà démontré et on s’en servait comme d’un exemple classique, connu de tous.

Entre ces deux couches, la solidité des témoignages n’a rien de comparable. Celle du dessus repose presque entièrement sur des récits écrits des siècles après les faits ; celle du dessous a pour elle Platon et Aristote. La découverte est réelle. Son auteur nous est inconnu. Du moment où elle fut faite, aucun témoignage n’a été conservé.

Cet essai se propose de séparer ces deux couches. De voir laquelle tient, laquelle a été ajoutée après coup, ce qu’on a ajouté et pourquoi il fallait l’ajouter.

Pour cela, il faut d’abord consentir à quelque chose d’assez inconfortable. Dans l’essai précédent, on pouvait poser derrière chaque affirmation une tablette d’argile et mettre cette tablette sur une balance. Ici, nous n’avons rien de tel. Tout ce que nous pouvons faire, c’est dater la première apparition de chaque énoncé, puis mesurer la distance qui le sépare de ce qu’il raconte.

Les dates deviennent donc elles-mêmes la principale pièce à conviction de cet essai.

Ranger des dates est une méthode peu brillante. Ici, elle est pourtant plus sûre que toute autre. Plus une affirmation apparaît tard, plus elle a pu passer par des mains intermédiaires. Et chacune de ces mains avait ses raisons de rendre l’histoire un peu plus complète.

L’essai précédent s’achevait sur un enfant qui lissait sa tablette d’exercice pour recommencer. L’enfant avait effacé ses signes, mais la tablette était restée. Plus de trois mille ans après, quelqu’un l’a sortie de terre, mesurée, puis dotée d’un numéro.

Ici, même le support qu’on aurait pu effacer nous manque.

2 Des noms, aucun objet

Pas un seul objet.

Pythagore, Hippase, Théodore, Théétète, Eudoxe : derrière ces cinq noms, il n’existe aucun objet mathématique sur lequel on puisse affirmer qu’ils ont écrit de leur propre main. Pas un vestige incomplet, pas un texte indéchiffrable. Rien. Les supports expliquent la moitié de cette absence.

Dans la Grèce classique, on écrivait couramment sur des tablettes de cire. On creusait une légère cavité dans une plaquette de bois ou d’ivoire, on y coulait la cire, puis on traçait les signes avec la pointe d’un stylet en métal ou en os. L’autre bout du stylet formait une petite spatule : en cas d’erreur, il suffisait de lisser de nouveau la cire, et les traces disparaissaient. Deux tablettes, ou davantage, pouvaient être percées et attachées ensemble. L’objet était fait pour resservir. Autrement dit, pour ne rien laisser.

Ces tablettes n’avaient pas de format unique. Les exemplaires conservés vont du petit morceau tenant dans la paume aux ensembles de plusieurs feuillets longs de vingt ou trente centimètres. Le British Museum possède un jeu de tablettes en ivoire d’environ trente-quatre centimètres de haut sur seize de large. On ne peut pas installer sans précaution ces objets tardifs sur la table d’un mathématicien du Ve siècle avant notre ère. Ils montrent que ce type de support a longtemps existé, pas quel modèle tel ou tel homme avait entre les mains.

Il y avait aussi le papyrus. Dans un sol humide, il pourrit. Si nous exhumons aujourd’hui tant de papyrus grecs, ce n’est pas en Grèce, mais dans l’Égypte sèche. Le climat du sud de l’Italie et du monde égéen ne permet pas à ces supports de se conserver.

Un autre procédé effaçait plus radicalement encore ses propres traces. Les Anciens dessinaient et calculaient sur des surfaces qu’on pouvait lisser, des planches couvertes de sable fin ou de poussière. La leçon terminée, un geste suffisait à tout faire disparaître. Ces surfaces de travail n’avaient même pas la possibilité de devenir des vestiges. La cire se lisse, le papyrus pourrit, la poussière disparaît le jour même. Une activité mathématique intense peut donc parfaitement laisser des traces archéologiques presque nulles.

Il est facile de prendre cela à l’envers. La quasi-absence de traces archéologiques ne signifie pas qu’on faisait peu de mathématiques. Elle signifie seulement qu’on les faisait sur des supports qui ne gardaient pas de traces. Une surface peu coûteuse, sur laquelle on peut recommencer à volonté, est précisément ce qu’il y a de mieux pour travailler un calcul. Et de pire pour les regards de la postérité. L’autre moitié de l’explication tient aux modes de transmission.

Le plus ancien manuscrit complet des Éléments dont la date soit certaine a été copié à Constantinople en 888 de notre ère. Un scribe nommé Stéphanos en a transcrit les treize livres pour Aréthas de Patras. Plus de mille cent quatre-vingts ans séparent cet homme d’Euclide.

Avant lui, nous n’avons que des fragments. À Oxyrhynque, en Égypte, on a découvert un morceau de page du livre II des Éléments. Des analyses paléographiques plus récentes le font remonter à la fin du Ier ou au début du IIe siècle de notre ère. Même avec la datation la plus haute, quatre siècles le séparent encore d’Euclide. Et il ne conserve qu’une proposition et un petit bout de figure.

Combien de mains entre les deux ? Impossible de le savoir. La généalogie des manuscrits permet d’attribuer un exemplaire à une famille ; elle ne permet pas de compter toutes les copies effectuées depuis Euclide. Au cours de douze siècles de transmission, les ancêtres et la plupart des branches latérales ont disparu. Nous ne voyons que la cime de l’arbre. Les branches tombées, personne ne peut les compter.

Or, à chaque passage, quelque chose peut arriver. Une ligne sautée, une ligne recopiée deux fois, un terme remanié, une démonstration complétée, une figure redessinée, une note marginale incorporée au texte, des propositions renumérotées, une preuve difficile remplacée par une plus facile.

La route qui mène d’Euclide à nous ressemble à peu près à ceci. La tradition grecque d’origine se transmet de copie en copie. Au IVe siècle de notre ère apparaît l’édition de Théon, qui entre dans la tradition manuscrite grecque de Byzance. Les textes grecs passent aussi dans le monde arabophone : traductions et révisions d’al-Hajjaj, d’Ishaq, de Thabit, entre autres, contribuent à leur diffusion. À partir du XIIe siècle, les versions arabes sont à leur tour traduites en latin, notamment par Adélard de Bath. Après la Renaissance, manuscrits grecs et tradition latine se rejoignent, pour aboutir aux éditions imprimées et à la critique textuelle moderne.

Aucun de ces trajets n’est une ligne droite. Pour la seule étape arabe, les relations entre traductions, révisions et versions composites forment déjà un enchevêtrement difficile à démêler.

Il faut aussi se méfier des quantités. Les témoins grecs médiévaux des Éléments se comptent par centaines ; les papyrus réellement proches de l’Antiquité, eux, se comptent en fragments. Les sources semblent abondantes. C’est le bout tardif de la chaîne qui l’est.

Ce que la Mésopotamie et la Grèce nous ont laissé dessine donc une opposition presque parfaite. D’un côté, les objets sont restés, mais les hommes nous manquent. De l’autre, nous avons les noms, mais pas la feuille que leurs mains ont touchée.

L’opposition demande toutefois une précision. Les noms ne sont pas absents de Mésopotamie : la tradition cunéiforme connaît les signatures de scribes et les inscriptions de bibliothèques. Mais quantité de tablettes scolaires n’étaient tout simplement pas signées. Un élève qui recopiait trois fois le même problème n’avait aucune raison d’y mettre son nom. Inversement, la présence de noms grecs ne garantit pas la fiabilité des attributions. Hippase en est le meilleur exemple. Un homme qui a réellement existé peut se retrouver, des siècles après sa mort, rattaché à une découverte qui n’est pas la sienne. Un nom rassure facilement. Cet essai porte précisément sur le peu de sûreté de ce réconfort.

L’anonymat mésopotamien nous inquiète : nous ne savons pas qui a fait le travail. Les noms grecs nous rassurent : nous le savons. Mais, dans le premier cas, l’inquiétude vient de la nature des preuves ; dans le second, la tranquillité vient d’une habitude de raconter. La tablette dont l’auteur nous échappe a au moins été écrite par quelqu’un de l’époque. Un nom qui revient de livre en livre a peut-être été ajouté des siècles plus tard.

3 Plus les sources sont anciennes, moins l’homme ressemble à un mathématicien

Les trois biographies complètes de Pythagore qui nous sont parvenues datent toutes de l’Empire romain, quelque sept à huit siècles après sa mort. Aucun écrit ne peut lui être attribué avec certitude, aucune biographie suivie ne vient de ses contemporains. Quand on dispose les témoignages par ordre de date, un phénomène étrange apparaît. À la fin du VIe siècle avant notre ère, Xénophane se moque de lui : en entendant japper un chiot, Pythagore aurait reconnu l’âme d’un ami mort. Il est question de transmigration des âmes, pas de mathématiques.

Vers 500 avant notre ère, Héraclite l’attaque pour son érudition et sa manie de recueillir des connaissances partout. Cela prouve que, de son vivant ou peu après sa mort, il était déjà connu comme un chercheur de savoir. Cela ne prouve aucun exploit géométrique. Dans les années 430 avant notre ère, Hérodote connaît quelque chose qu’il appelle pythagoricien ; il en parle à propos d’interdits funéraires.

Dans les années 380 avant notre ère, Platon le nomme explicitement une seule fois. Il évoque la réputation de ses disciples, connus pour leur manière de vivre singulière, pythagoricienne. Pas un mot sur un théorème, sur les grandeurs irrationnelles ou sur des expériences d’harmonique.

Dans la seconde moitié du IVe siècle avant notre ère, Aristote parle abondamment de ceux qu’on appelle les pythagoriciens : des nombres, de l’harmonie, de la cosmologie. Il attribue en revanche très rarement une réussite mathématique à Pythagore en personne. Sa formule habituelle est « ceux qu’on appelle les pythagoriciens », et non « Pythagore dit ».

Puis, à mesure qu’on s’éloigne, l’homme ressemble de plus en plus à un mathématicien. Dans les biographies impériales, il a démontré le théorème, découvert les grandeurs irrationnelles, organisé un enseignement, réalisé les expériences de ses propres mains.

Burkert a exposé cette succession dans son ouvrage allemand de 1962, puis dans sa version anglaise remaniée de 1972. La force de son travail n’est pas d’affirmer que Pythagore ne connaissait rien aux mathématiques. Elle est de montrer dans quel sens les choses se passent. Le mathématicien Pythagore prend de l’épaisseur à mesure que les sources deviennent plus tardives.

Burkert a suivi une autre piste. Eudème, historien antique des mathématiques, avait écrit une Histoire de la géométrie aujourd’hui perdue, connue surtout par un résumé conservé chez Proclus, au Ve siècle de notre ère. On y lit que Pythagore fit de la géométrie une discipline d’éducation libérale et découvrit les grandeurs irrationnelles ainsi que les polyèdres réguliers. On a longtemps reçu ce passage comme le témoignage d’Eudème, au IVe siècle avant notre ère. En comparant la langue, la structure et les sources, Burkert a estimé que la partie attribuant directement ces inventions mathématiques à Pythagore appartenait plus probablement à une tradition ultérieure. On ne pouvait pas la faire remonter à Eudème en lui prêtant ces paroles.

Zhmud s’oppose à un scepticisme aussi poussé. Son propos n’est pas de certifier tel récit tardif, mais de demander si l’on ne place pas la barre de la preuve déraisonnablement haut. Les pertes documentaires sont immenses pour le VIe siècle avant notre ère. Le silence des sources ne permet pas de reporter presque toute l’activité scientifique ancienne à des époques plus récentes. Entre Thalès et Hippocrate, la géométrie grecque a manifestement quitté l’accumulation de résultats pratiques isolés pour devenir une recherche fondée sur la démonstration. Un blanc dans les archives n’est pas un blanc dans l’histoire.

Le désaccord de fond est méthodologique. Pour les uns, l’attribution tardive de toutes les réussites au fondateur est une proposition à démontrer ; le silence des sources doit donner fortement l’alerte. Pour les autres, lorsque les documents ont disparu à ce point, le silence ne saurait prouver l’absence d’activité.

Une fois retirés tous les récits tardifs, voici à peu près ce qui reste. Un homme nommé Pythagore jouissait, dès la fin du VIe siècle avant notre ère, d’une réputation de sagesse d’une ampleur exceptionnelle. Un mode de vie se transmettait sous son nom : Hérodote le connaissait au Ve siècle, Platon au IVe. Cet homme venait vraisemblablement de Samos. Vers la quarantaine, il s’installa à Crotone, dans le sud de l’Italie, quitta la ville à la fin de sa vie et mourut à Métaponte.

Ces dates résultent de rapprochements entre événements contemporains. Ce ne sont pas des actes de naissance. La marge d’erreur se compte au moins en dizaines d’années.

Il faut lire de cette façon presque toutes les dates de naissance et de mort de cet essai. Pour Hippase, on peut tout au plus situer son activité dans la première moitié du Ve siècle avant notre ère. Les dates de Théodore reposent surtout sur l’âge que lui donnent les dialogues de Platon. Théétète est souvent situé vers 415–369 avant notre ère : on a reconstitué sa naissance à partir du jeune homme mis en scène dans le dialogue ; la campagne militaire à laquelle rattacher sa mort reste, elle aussi, une question d’interprétation. Pour Euclide, nous n’avons même pas de dates de naissance et de mort fiables, seulement une activité située aux environs de 300 avant notre ère.

Ces repères sont très commodes pour dresser une chronologie. Ne les traitons pas comme les dates d’un état civil moderne.

En revanche, il faut prendre l’initiative de supprimer certaines phrases. Il a démontré ce théorème. Il a découvert les grandeurs irrationnelles. Il a institué un cursus mathématique. Il a fait lui-même les expériences sur le monocorde. Toutes vont au-delà de ce que les témoignages anciens autorisent.

Quant à la communauté, les cinq années de silence, les leçons écoutées derrière un rideau, les cinq années de mise à l’épreuve avant l’admission, les biens mis en commun : la version la plus détaillée de ces usages se trouve chez Jamblique, vers 300 de notre ère, soit quelque huit cent trente ans après les faits. Aucun texte des Ve et IVe siècles avant notre ère n’atteste ces institutions. Une chose, pourtant, tient solidement. C’est aussi l’une des plus humaines de cet essai.

Le réseau du sud de l’Italie avait du poids politique. Et il l’a payé. Une reconstitution raisonnable doit distinguer au moins deux vagues. Vers 510 avant notre ère, Pythagore, alors âgé, rencontra une hostilité politique à Crotone et finit par s’installer à Métaponte. La seconde vague se situe vers 450. Selon la tradition fragmentaire d’Aristoxène, auteur du IVe siècle avant notre ère, les pythagoriciens réunis dans la maison de Milon furent victimes d’un incendie volontaire. Certains survécurent ; les membres se dispersèrent par la suite.

Vers le IIe siècle avant notre ère, Polybe en donne une description plus générale. Les lieux de réunion des pythagoriciens de Grande-Grèce, au pluriel, auraient été incendiés ; meurtres, luttes de factions et troubles politiques auraient suivi dans les cités. Il écrit environ trois cents ans après les événements, mais son indication compte. Il ne s’agissait pas d’une salle de classe qui avait pris feu. C’était une crise des associations pythagoriciennes à l’échelle de plusieurs cités du sud de l’Italie.

Nous n’avons aucun bilan fiable des morts et des blessés. Aucune maison n’a été identifiée par l’archéologie comme celle de l’incendie. Quant aux détails, tels ces deux hommes qui auraient seuls réussi à s’enfuir, les versions tardives ne s’accordent même pas sur les noms des survivants. Tout ce qu’on peut dire tient à ceci : des hommes, visés en raison de leur association et de leur position politique, ont subi la violence, se sont dispersés, et la plupart de leurs noms ne nous sont pas parvenus.

Ces hommes n’étaient pas des lettrés en marge de la vie locale. Crotone et Métaponte étaient des cités coloniales du monde de la Grande-Grèce ; Tarente avait des origines spartiates. Rivales, elles traversaient chacune des conflits entre aristocratie et peuple, et devaient aussi composer avec les populations autochtones de la péninsule italienne. Ce qu’on appelle le lieu d’implantation de l’école était en réalité un ensemble de cités indépendantes et batailleuses. La description la plus prudente de ce réseau est aujourd’hui celle d’associations privées formant aussi un réseau politique. Pas un parti au sens moderne. Encore moins un monastère.

4 Un cours

Dans cette histoire, l’un des documents qui nous rapprochent le plus de la scène n’est pas une biographie. C’est le récit d’un cours.

Platon a écrit cette scène dans le Théétète, probablement dans les années 370 avant notre ère. Le jeune Théétète se souvient de son maître Théodore traçant devant eux des figures pour faire des démonstrations. Le côté d’un carré d’aire égale à trois unités carrées n’a pas de commune mesure avec l’unité de longueur. Celui d’un carré d’aire cinq non plus. Le maître poursuit, cas après cas, jusqu’à dix-sept. Là, sans qu’on sache bien pourquoi, il s’arrête.

Théétète et son camarade font alors quelque chose. Ils essaient de réunir en une seule classe cette interminable succession de cas.

Platon donne à Théétète des traits très précis. Athénien du dème de Sounion, fils d’Euphronios, jeune, remarquablement doué pour les mathématiques, il ressemble même, dit-on, à Socrate. Au début du dialogue, il revient d’une campagne du côté de Corinthe. Blessé, atteint aussi par la maladie, il est transporté vers Athènes.

Théodore vient de Cyrène. Platon en fait un professeur de mathématiques âgé. Platon est presque contemporain de cette génération, ce qui rend l’existence historique de Théodore assez sûre. Seules ses dates de naissance et de mort restent difficiles à fixer : on ne peut les reconstituer qu’à partir de l’âge qu’il a dans le dialogue et de la date à laquelle la scène est censée se dérouler.

Autre point à retenir : aucune source ancienne proche de leur époque ne présente ces deux hommes comme des pythagoriciens. Classer d’office parmi les pythagoriciens tous ceux qui étudient les grandeurs irrationnelles est une manière typique, chez les auteurs postérieurs, d’élargir l’étiquette. Cette scène, elle, livre quantité d’informations solides.

À l’époque de Platon, l’incommensurabilité n’est pas un tabou qu’on dissimule. C’est une question qu’on peut démontrer en classe, exemple après exemple. La réaction des élèves n’est pas l’effroi : ils classent, ils généralisent. Le maître ne reprend pas le cas le plus simple, celui du côté et de la diagonale du carré. On en déduit généralement que cet exemple était déjà bien connu.

Pourquoi s’arrêter à dix-sept ? Là, presque tout est conjecture. Certains invoquent une méthode fondée sur les restes. D’autres reconstituent une spirale formée par une suite de triangles rectangles : à dix-sept, elle aurait presque achevé un tour. D’autres encore estiment que Platon n’a caché dans son texte aucun algorithme qu’il nous reviendrait de retrouver. Le texte ne donne pas la méthode. Une solution qui explique élégamment le nombre dix-sept n’est pas, pour cette seule raison, une preuve historique. Mais, pour le cas le plus simple, à quoi ressemblait la démonstration ?

Aristote en laisse voir la structure dans les Premiers Analytiques. Il ne présente pas une découverte extraordinaire. Il explique la réduction à l’absurde et prend, comme exemple classique qui lui vient sous la main, le côté du carré et sa diagonale.

Supposons que le côté et la diagonale du carré puissent être mesurés exactement avec un même étalon. Chacun contient alors un nombre entier de fois cet étalon : nous obtenons deux entiers. Divisons-les ensemble par deux autant de fois que possible, jusqu’à ce qu’ils ne soient plus tous deux divisibles par deux. La relation propre au carré nous dit que le carré de l’entier correspondant à la diagonale vaut deux fois le carré de celui correspondant au côté. Le premier carré est donc pair, et l’entier dont il est le carré l’est nécessairement aussi. Écrivons cet entier comme le double d’un autre et remplaçons-le dans la relation. Le carré de l’entier correspondant au côté devient à son tour pair ; cet entier doit donc être pair lui aussi. Les deux entiers étant pairs, on peut encore les diviser ensemble par deux. Or nous les avions précisément réduits jusqu’à rendre cette division impossible.

L’étalon commun n’existe donc pas.

Un point mérite qu’on s’y arrête. Du début à la fin, cette démonstration ne mesure rien et ne calcule la valeur d’aucun nombre. Elle suppose seulement que l’étalon existe, puis suit cette hypothèse jusqu’à un endroit où un nombre doit être pair tout en ne pouvant pas l’être. Nous ne sommes pas devant une mesure qu’on n’arrive pas à faire. Nous sommes devant une mesure impossible. La différence est immense, et les hommes du IVe siècle avant notre ère avaient déjà franchi ce pas.

La preuve est assez courte pour être racontée d’un seul souffle. Elle n’exige même pas qu’on connaisse la longueur des deux segments. Il lui suffit de supposer l’existence d’une mesure commune, puis de laisser l’hypothèse se heurter à elle-même.

Aristote n’en donne que l’ossature, sans dérouler toutes les étapes. Une démonstration complète du même genre est conservée à la fin du livre X dans la tradition manuscrite des Éléments ; on la désigne habituellement comme la proposition 117. Mais il y a là une difficulté supplémentaire. En établissant son édition critique, Heiberg l’a jugée interpolée et l’a exclue du texte d’Euclide. Elle appartient manifestement à la même famille que la preuve évoquée par Aristote. Les manuscrits conservés sont cependant postérieurs de plus d’un millénaire à Euclide lui-même. On ne peut enjamber cet intervalle pour faire remonter ce texte précis jusqu’au Ve siècle avant notre ère.

Il faut aussi retenir un mot. Les Grecs ne parlaient pas d’abord de nombres irrationnels. Ils disaient que deux segments n’avaient pas de mesure commune, avec un terme formé d’un préfixe privatif et de la notion de mesure. Littéralement : qui ne peuvent être mesurés ensemble. C’est le terme mathématique à la fois le plus neutre et le plus anciennement attesté de façon sûre. Il ne porte aucune idée de parole interdite ; Platon en discute ouvertement dans ses dialogues. L’essai précédent évoquait la tablette ronde de Yale. Entre le XIXe et le XVIIe siècle avant notre ère, un scribe y avait inscrit une valeur extrêmement précise du rapport entre la diagonale et le côté d’un carré.

Mais cette tablette ne faisait pas ce que nous venons de faire. Elle donnait une valeur numérique très précise, mais finie. Elle ne disait pas, et ne cherchait pas à dire, qu’aucune mesure commune ne pouvait exister. Une question demande comment calculer ; l’autre demande si quelque chose existe. Même diagonale, deux problèmes différents.

Cette différence explique aussi pourquoi on ne peut pas dire que les Babyloniens avaient déjà découvert les nombres irrationnels. La valeur inscrite sur la tablette est d’une précision extraordinaire, suffisante même pour bien des calculs d’aujourd’hui. Mais le degré de précision d’une valeur et l’existence d’une mesure commune sont deux questions qui ne se recoupent pas. Ajoutez encore cent chiffres de précision : vous n’obtiendrez pas, par ce seul progrès, une preuve de non-existence.

5 La honte de ne pas savoir

Si la découverte de l’incommensurabilité a réellement provoqué un ébranlement, les sources des Ve et IVe siècles avant notre ère devraient en avoir gardé quelque chose.

Au livre VII des Lois, Platon prête à un Athénien anonyme des propos très chargés d’émotion. L’homme dit avoir appris tardivement qu’il existe de telles relations d’incommensurabilité parmi les longueurs, les surfaces et les volumes, et en avoir été très étonné. Cette ignorance si répandue, dit-il, est celle de pourceaux. Il en a honte pour lui-même et pour le monde grec tout entier.

Le ton est rude. La comparaison n’a rien d’aimable, et la honte s’étend de sa propre personne à l’ensemble de la Grèce. Si nous cherchons, dans les sources du IVe siècle avant notre ère, un passage où l’émotion déborde, c’est bien celui-ci qui s’en approche le plus. Voilà qui semble correspondre exactement à ce que nous cherchions.

Seulement, ce qui lui fait honte n’est pas l’incommensurabilité. C’est de l’avoir ignorée.

Il ajoute aussitôt que cette connaissance doit faire partie de l’éducation des jeunes. La question n’est ni nuisible ni difficile ; on peut même en faire un jeu, se proposer des problèmes les uns aux autres, occupation bien plus noble que les jeux de plateau des vieillards.

Au bout du compte, le seul témoignage ému du IVe siècle que nous ayons rencontré ne dit pas : c’est trop effrayant, cachons-le. Il dit : comment peut-on encore l’ignorer ? C’est honteux, il faut l’enseigner aux enfants.

Les deux directions sont rigoureusement opposées. Pour le récit de la crise, il faut que le savoir soit insupportable. Dans ce témoignage, c’est l’ignorance qui est déshonorante.

Et il ne s’agit pas d’une phrase qu’on pourrait tirer dans un sens ou dans l’autre. Toutes celles qui suivent vont vers l’enseignement. Aucune ne va vers la mise au secret.

Chez Aristote, le calme est plus grand encore. Il prend la démonstration sur la diagonale du carré comme exemple type de réduction à l’absurde, exactement sur le ton d’un manuel de logique moderne. Ni crise, ni effroi, ni tabou. Si l’on classe les témoignages conservés selon les réactions qu’ils décrivent, voici la chaîne qui apparaît.

Théodore démontre, cas après cas. Théétète classe une infinité de cas. Platon demande qu’on enseigne la question aux jeunes et propose même de l’apprendre sous forme de jeu. Aristote s’en sert comme exemple pour une leçon de logique.

Ces quatre hommes couvrent environ un siècle. Si l’incommensurabilité a, à un moment donné, semé la panique, cette panique devrait trouver place quelque part dans ce siècle. Elle n’apparaît nulle part. Enfin, le livre X des Éléments en fait une théorie de classification de cent quinze propositions. C’est le plus volumineux des treize livres : à lui seul, il rassemble près d’un quart des propositions de l’ouvrage.

Le livre X n’étudie pas le développement décimal des nombres irrationnels au sens donné à cette expression bien plus tard. Il traite des relations de commensurabilité et d’incommensurabilité entre des grandeurs comme les segments et les aires, ainsi que de toute une classification définie par rapport à un segment de référence donné. Dans sa seconde moitié, il multiplie les constructions, les noms et les distinctions entre types, puis démontre l’unicité de chacun et les relations qui les unissent.

Cent quinze propositions : quelqu’un a donc pris cette question pour un domaine susceptible d’être exploré jusqu’au bout, et y a longuement travaillé. Les historiens modernes considèrent généralement ce livre comme une compilation des travaux de plusieurs générations, non comme une invention qu’Euclide aurait tirée seul du néant. Le silence ne prouve pas que ces hommes n’aient jamais été bouleversés. Ce que personne n’a écrit, la postérité ne peut le savoir.

Mais l’enchaînement que nous pouvons observer est fait d’enseignement, de démonstrations, de généralisations, de classifications et de mise en système. Pas de mise au secret. Que la question soit devenue un exercice de cours et une recommandation pour l’éducation des enfants n’exclut pas un choc antérieur. Cela ne change pas le fait que les sources conservées n’établissent pas cette crise des fondements.

Plaçons cette chaîne à côté de l’histoire du bateau. Elles ne racontent pas la même chose ; elles ne font même pas entendre la même émotion. Ici, silence, exclusion, châtiment divin, noyade. Là, figures, classements, problèmes et jeux. Plus de cinq siècles séparent les deux ensembles de témoignages. Et c’est le plus tardif qui fait le plus de bruit.

6 Les versions

L’histoire d’Hippase n’est pas un même récit conservé en six copies. Ce sont plusieurs motifs distincts à l’origine, qui se sont progressivement rapprochés.

Le premier témoignage se trouve chez Plutarque, entre 75 et 100 de notre ère. Les pythagoriciens, écrit-il, ne confiaient pas facilement leurs secrets à l’écriture ; certaines théories géométriques cachées ayant été révélées à des personnes indignes de les recevoir, la puissance divine aurait menacé les coupables de grandes calamités. Aucun nom. Aucun meurtre commis par des compagnons. Plus de cinq cent vingt ans séparent déjà ce récit des événements supposés.

Vers 190–200 de notre ère, Clément associe Hippase à une sphère composée de douze pentagones et à une mort en mer. C’est la première fois qu’Hippase, nommément désigné, se trouve relié à un châtiment. Quelque six cent quarante ans se sont écoulés depuis les faits supposés.

Jamblique est le plus complet, donc aussi le plus dangereux à manier. Son ouvrage date des environs de 300 de notre ère. Dans un passage, Hippase, pour avoir été le premier à divulguer et à tracer cette construction composée de douze pentagones, connaît en mer le sort réservé aux impies. Jamblique précise pourtant que le véritable découvreur demeure Pythagore. Ailleurs, le premier homme qui a révélé à des personnes indignes la théorie du commensurable et de l’incommensurable est haï par la communauté, chassé, et pourvu d’un tombeau signifiant qu’il est désormais mort pour elle. Dans cette version, il n’a pas de nom et ne meurt pas réellement. Un peu plus loin, Jamblique raconte d’abord que le divulgateur du dodécaèdre inscrit dans une sphère périt en mer sous la colère divine. Puis il ajoute que d’autres attribuent ce même sort à celui qui a révélé l’incommensurabilité.

Sous sa plume, les deux histoires sont déjà interchangeables, mais elles n’ont pas encore fusionné. Ce passage est postérieur d’environ sept cent cinquante ans aux faits supposés. Plus tard encore, dans son commentaire au livre X des Éléments, Pappus relie expressément la divulgation des grandeurs irrationnelles à la noyade, tandis que l’identité précise du personnage reste fluctuante. En ordonnant ces témoignages, on peut proposer, avec beaucoup de prudence, un modèle de formation du récit.

Première étape : au Ier siècle de notre ère, le motif est déjà présent. Le savoir doit rester secret ; le révéler expose au châtiment divin. Mais le personnage, la manière de mourir et le contenu mathématique exact ne sont pas encore fixés.

Deuxième étape : au moins deux histoires plus précises apparaissent. L’une rassemble Hippase, le dodécaèdre et la mort en mer. L’autre, un anonyme, l’incommensurabilité et l’exclusion ou l’érection d’un tombeau. Jamblique place les deux versions l’une à côté de l’autre : à son époque, elles peuvent donc déjà se substituer l’une à l’autre, sans s’être encore fondues en un seul récit.

Troisième étape : la noyade est explicitement attribuée à celui qui divulgue les grandeurs irrationnelles. Il ne reste qu’un dernier pas, facile à franchir. Puisque, dans l’autre récit, Hippase est déjà l’homme mort en mer, il suffit de faire des deux personnages un seul.

Attention, toutefois. Pouvoir classer les textes par date ne prouve pas que le récit ait suivi une évolution linéaire. Les auteurs tardifs ont très bien pu puiser ensemble dans un livre antérieur aujourd’hui perdu. Si l’on étale ces versions devant soi, leurs différences portent sur quatre points.

Le secret révélé n’est pas le même. Ici, des théorèmes géométriques cachés ; là, la théorie du commensurable et de l’incommensurable ; ailleurs, le dodécaèdre, ou, plus précisément, son inscription dans une sphère. Aucune source ancienne proche des faits ne dit que ces trois choses aient constitué, à l’origine, un seul et même secret.

L’homme n’est pas le même. Plutarque ne donne pas de nom. Chez Jamblique, un passage reste anonyme, un autre nomme Hippase. Chez Pappus non plus, l’identité n’est pas stable. L’équation Hippase égale découvreur de l’incommensurabilité n’est pas le noyau commun de toutes les versions antiques.

Le châtiment n’est pas le même. Menace de catastrophe divine, expulsion, tombeau élevé du vivant de l’homme, mort en mer. Aucune version ne raconte une réunion au cours de laquelle ses condisciples auraient voté pour le jeter par-dessus bord.

La faute elle-même change de nature. Révéler un secret à des gens qui n’en sont pas dignes ; manquer de piété ; rompre le silence ; rendre publics des résultats qui devaient revenir à Pythagore et s’en attribuer ainsi la gloire personnelle. Cette dernière version s’accorde particulièrement bien avec l’idéologie des biographies tardives, où toute découverte doit appartenir au maître fondateur. Il faut démonter ici une autre explication, parce qu’elle est trop belle. On dit parfois que les Grecs appelaient ces grandeurs des « nombres indicibles » parce qu’il s’agissait d’un secret religieux.

Nous l’avons vu plus haut : le terme mathématique le plus ancien et le plus clairement attesté signifie qu’on ne peut pas mesurer ensemble. Il n’a rien d’un interdit de parole. Il existe certes un autre mot grec qui peut signifier indicible, non dit, à ne pas divulguer ; une famille de mots voisine peut aussi désigner le secret et l’interdiction de révéler. Mais confondre ce vocabulaire avec le terme mathématique, puis affirmer que le nom de nombre irrationnel signifiait d’emblée un tabou mystérieux, c’est fabriquer une étymologie. Ce sont des récits postérieurs de cinq à huit siècles qui font de la divulgation mathématique un sacrilège, pas le vocabulaire mathématique du Ve siècle avant notre ère.

Hippase a-t-il donc existé ? Oui. Et les preuves ne sont pas mauvaises.

Dans la Métaphysique, Aristote cite ensemble Hippase et Héraclite : tous deux font du feu le premier principe. Ce témoignage n’est postérieur que d’un siècle environ à la période où Hippase aurait vécu. C’est le plus solide que nous ayons à son sujet. Un autre vient d’Aristoxène : Hippase aurait étudié les rapports entre hauteurs musicales à l’aide de quatre disques de bronze de même diamètre mais d’épaisseurs différentes. Les analyses expérimentales modernes estiment que ce dispositif est, au moins, physiquement plausible.

Il y a donc bien eu un Hippase, figure ancienne de la philosophie de la nature, lié à l’étude des rapports numériques.

Tout le reste vacille. Sa cité d’origine, son appartenance à une école, l’existence d’écrits de sa main : sur chacun de ces points, les récits se contredisent. Les listes de Jamblique lui-même le placent dans des villes différentes.

Que cet homme ait réellement existé importe beaucoup. Le récit n’a donc pas été inventé à partir de rien. Il a poussé sur un homme réel.

C’est aussi ce qui rend le démontage plus difficile. Si Hippase était entièrement fictif, il suffirait de constater que personne de ce nom n’a existé. Mais il a existé ; Aristote connaissait son nom. Ce qu’il faut retirer, ce n’est pas l’homme. C’est ce que d’autres ont accroché à sa personne bien après lui.

7 La date de fabrication de la crise

Passons maintenant à la seconde couche.

L’expression « crise des fondements » reçoit sa formulation systématique en 1928, dans une étude de Hasse et Scholz intitulée La Crise des fondements des mathématiques grecques. Elle ne sort pas du néant : dès 1887, dans La Géométrie grecque, Tannery avait supposé que la géométrie pythagoricienne primitive tenait toutes les grandeurs pour commensurables. Il qualifiait la découverte de l’incommensurabilité de scandale logique.

La construction de Hasse et Scholz est très moderne. Ils posent d’abord une arithmétique universelle primitive : les pythagoriciens auraient cru que le monde mesurable pouvait, en dernière instance, être maîtrisé par les entiers et leurs rapports. L’incommensurabilité fait alors surgir une grandeur impossible à exprimer par un rapport de nombres. Tout le système devrait en être ébranlé. Puis la théorie des proportions d’Eudoxe apporte la réparation. Croyance, désastre, crise, réparation. Quatre actes, une pièce complète.

Knorr a plus tard indiqué d’où venait ce dispositif. L’étude était née dans le cadre d’un enseignement bien particulier, au moment où les débats sur les fondements des mathématiques modernes faisaient rage. Hasse et Scholz rapprochaient explicitement les problèmes de l’Antiquité de ceux des XIXe et XXe siècles. Autrement dit, dès l’origine, l’expression « première crise des fondements » nommait l’Antiquité avec les catégories de la crise que les Modernes traversaient eux-mêmes. Dans le passé antique, ils retrouvaient la pièce qu’ils connaissaient le mieux : celle de leur propre époque.

Cette hypothèse a ensuite contribué à façonner une autre construction historiographique. Puisque l’incommensurabilité avait barré la route des nombres, les Grecs auraient été contraints de cacher l’algèbre dans la géométrie. Une crise non démontrée se mettait ainsi à expliquer la forme prise par tout un autre pan de l’histoire.

Revenant sur cette histoire de l’historiographie, Høyrup qualifie sans détour la prétendue crise grecque des fondements de diagnostic posé par hypothèse. Le cadre d’explication est lui-même devenu un objet pour l’histoire des mathématiques. Les objections se déploient sur plusieurs plans.

La première attaque de Knorr est la plus simple. Hasse et Scholz n’ont pas établi la crise à partir des témoignages antiques. Ils ont d’abord estimé qu’une telle découverte devait naturellement en provoquer une. Si j’étais pythagoricien, je serais bouleversé. Ce n’est pas une preuve historique.

Deuxième objection : pour qu’il y ait crise, l’ancienne théorie des proportions devrait cesser de fonctionner au contact de l’incommensurabilité, dressant un obstacle majeur dans les fondements mêmes de l’activité mathématique. Or les témoignages de la période 450–350 avant notre ère ne montrent pas cet arrêt. Les travaux d’Hippocrate et d’Archytas continuent à faire un large usage des proportions. La paralysie supposée ne laisse aucune trace dans leur pratique.

Troisièmement, Burkert attaque la prémisse. Rien ne prouve que « tout est nombre » ait signifié que tous les rapports de longueurs sont des rapports d’entiers. Chez Aristote, le nombre est d’abord une pluralité composée d’unités. L’ontologie qu’il décrit est très éloignée de la formule des manuels selon laquelle toute grandeur peut s’écrire comme un nombre rationnel. Si cette prémisse n’a jamais été un axiome explicite des Anciens, alors le raisonnement qui fait de l’incommensurabilité la réfutation du dogme suprême de l’école se rompt.

Le récit le plus répandu exige donc, dès son premier maillon, une double traduction. On traduit d’abord l’ontologie décrite par Aristote en une proposition affirmant que tous les rapports de longueurs sont des rapports d’entiers. Puis on fait détruire cette proposition par un contre-exemple géométrique. La première opération n’a aucun fondement dans les textes antiques.

Quatrième objection : les écrits tardifs parlent bien de secrets, de châtiments divins et de morts. Voilà les témoignages d’émotion que les tenants de la crise aiment citer. Mais ils apparaissent à partir de Plutarque, plus de cinq cents ans après les faits, et portent sur la divulgation et la piété, non sur une contradiction logique surgie dans les fondements des mathématiques. Traduire une histoire de secret religieux trahi en crise de la philosophie des mathématiques est une interprétation moderne.

Knorr finit par qualifier la crise antique des fondements de fiction moderne. Il ne veut pas dire que l’incommensurabilité soit sans importance. Il veut dire que l’événement appelé crise n’a jamais été établi par les sources. Ce serait un événement psychologique et institutionnel ; or on ne le trouve pas dans les témoignages. Le découvreur nommé appartient à une autre couche de reconstitution. Un article de 1945 a joué un rôle majeur dans la diffusion de cette attribution, sans qu’on puisse en faire son point de départ assuré.

En 1945, von Fritz publie précisément un article intitulé La Découverte de l’incommensurabilité par Hippase de Métaponte. Il y développe de façon systématique l’hypothèse, déjà existante, qui attribue la découverte à Hippase, puis tente d’en reconstruire le chemin à travers le pentagone régulier et le dodécaèdre. Mathématiquement, la reconstitution est belle. Historiquement, il manque un témoignage qui relie directement ces éléments. Les sources disponibles ne suffisent pas à établir qu’Hippase ait découvert l’incommensurabilité en passant par le dodécaèdre. Mettre côte à côte des versions de l’Antiquité tardive ne les transforme pas en compte rendu du processus de découverte.

Mais l’article paraît dans un cadre savant d’histoire des mathématiques. Les manuels qui suivent peuvent donc facilement condenser cette hypothèse en un fait.

Après le milieu du XXe siècle, les grands récits d’une révolution des mathématiques grecques s’associent tout naturellement à ce découvreur désormais pourvu d’un nom. Les histoires générales les diffusent auprès d’un public plus large. Puis la vulgarisation transforme peu à peu la mort en mer par châtiment divin des Anciens en scène de crime moderne. La découverte aurait été faite sur le bateau ; les autres auraient jeté Hippase à l’eau ; Pythagore lui-même l’aurait condamné à mort. La dramaturgie est complète. Et c’est précisément la couche la plus tardive, la moins étayée de tout le dossier.

Plaçons côte à côte les dates des trois maillons.

L’incommensurabilité elle-même : Ve siècle avant notre ère. Les histoires de divulgation et de châtiment divin : à partir du Ier siècle de notre ère, plus de cinq cents ans après. La crise des fondements : 1928. Une importante défense systématique de l’attribution à Hippase : 1945. Les condisciples qui le jettent par-dessus bord : plus tard encore, sans source retrouvée. Plus le récit se rapproche de nous, plus il devient complet.

8 Une intégration sans crise

On a bel et bien su traiter l’incommensurabilité. Mais d’une manière très différente de celle qu’imagine le récit de la crise.

Le livre V des Éléments conserve une théorie des proportions dont les historiens modernes rattachent généralement le cœur à Eudoxe, bien que le texte d’Euclide ne porte pas son nom. Son trait le plus ingénieux consiste à ne chercher aucun étalon commun et à ne pas écrire le rapport de deux grandeurs sous la forme d’un nombre.

En mots, voici comment elle décide que deux rapports sont égaux. On prend deux couples de grandeurs. On multiplie le premier terme de chaque couple par un même entier choisi librement, et le second terme de chaque couple par un second entier, tout aussi librement choisi ; puis on compare les multiples à l’intérieur de chaque couple. Quels que soient ces entiers, si le premier multiple est supérieur, égal ou inférieur au second dans le premier couple, et que les multiples correspondants du second couple présentent toujours la même relation, alors les deux rapports sont égaux.

Ainsi, même lorsque deux segments ne peuvent avoir aucune mesure commune, leurs rapports restent susceptibles d’une comparaison rigoureuse.

La définition semble tortueuse parce qu’elle ne dit pas combien vaut un rapport. Elle dit seulement à quelles conditions deux rapports sont égaux. À la chose que l’on voudrait énoncer, elle substitue tout un ensemble de relations à vérifier. Pour juger de l’égalité de deux rapports, il faut envisager tous les multiples entiers possibles. On gagne en rigueur ce qu’on perd en commodité.

Cette méthode traite sur le même pied le commensurable et l’incommensurable. Elle n’élimine pas l’objet embarrassant et ne fait pas semblant qu’il n’existe pas. Elle change le critère d’égalité, en lui substituant un critère applicable sans mesure commune.

Eudoxe a-t-il conçu cette théorie pour faire face à l’incommensurabilité ? Aucun auteur antique ne nous a laissé de témoignage personnel sur cette intention. Du point de vue de son fonctionnement, elle résout parfaitement le problème. Du point de vue des causes, nous pouvons seulement dire que les grandeurs incommensurables constituent un élément important du contexte qui rendait nécessaire une théorie générale des proportions. Écrire qu’il inventa cette définition pour réparer une crise serait aller trop loin. La reconstitution de Knorr décrit au contraire un développement graduel : le travail de classification de Théétète et les premières méthodes de proportion par soustractions réciproques font peu à peu apparaître leurs limites techniques ; une théorie du type de celle d’Eudoxe constitue l’étape suivante, qui élargit le champ d’application.

Nous pouvons également abandonner ici une autre explication très répandue. Les Grecs, dit-on, traitaient d’abord tout par l’arithmétique. La découverte des grandeurs irrationnelles aurait fait s’effondrer cette arithmétique, les obligeant à se réfugier dans la géométrie.

Plusieurs choses ne collent pas. La recherche géométrique grecque n’est manifestement pas née après l’incommensurabilité ; une crise n’explique pas pourquoi une tradition déjà existante se serait tournée vers elle-même. Les livres VII à IX des Éléments contiennent une théorie des entiers très développée : nombres premiers entre eux, nombres premiers, plus grand commun diviseur, pair et impair, tout y est. Dans un ouvrage de quatre cent soixante-cinq propositions, ce n’est pas une activité marginale. De plus, les nombres et les grandeurs étaient déjà, pour les Grecs, des catégories d’objets distinctes. Dire qu’en rencontrant les grandeurs incommensurables ils auraient découvert un nombre nouveau tout en refusant de le reconnaître comme nombre, c’est déjà réécrire leurs concepts avec notre notion moderne de nombre réel.

Le point décisif est que les Grecs du IVe siècle avant notre ère n’ont pas esquivé la difficulté. Les cent quinze propositions du livre X montrent à quoi ressemble une recherche qui veut aller au fond du problème, pas une recherche qui l’évite.

Une version plus modeste de l’explication tient, en revanche. L’incommensurabilité a effectivement renforcé la distinction technique entre les nombres et les grandeurs continues. Une théorie générale des proportions devait donc pouvoir traiter les grandeurs géométriques sans recourir à une unité commune. Cette distinction a bel et bien influé sur les formes d’expression des mathématiques grecques.

Mais, dans ce cas, une structure mathématique façonne des méthodes. Ce n’est pas une crise psychologique qui provoque une fuite. La première phrase peut s’écrire. La seconde, non.

Revenons à l’homme jeté à la mer. Du côté de la structure, le fait est solide. Le côté du carré et sa diagonale n’ont pas de mesure commune. Les hommes du IVe siècle avant notre ère l’ont démontré, enseigné, classé et fait entrer dans leurs recommandations éducatives.

Du côté de l’homme, tout est fragile. Le nom du découvreur ne nous est pas parvenu. L’instant de la découverte non plus. Un Hippase a réellement existé, mais aucun témoignage contemporain fiable ne confirme qu’il soit l’auteur de cette découverte ; les liens établis par les légendes tardives doivent être examinés séparément. Les récits ultérieurs ont ajouté une victime. Plus tard encore, on a ajouté une crise.

Les deux ajouts vont dans le même sens. Un fait de structure n’a ni protagoniste ni retournement. Il se contente d’être vrai. Mettez-y un homme : voici un protagoniste. Ajoutez un effondrement : voici un retournement. Un fait structurel, sans personne à l’intérieur, ne fournit pas une histoire qu’on puisse poursuivre. Alors on y a fait entrer quelqu’un.

Du début à la fin, cet essai n’a pas retrouvé cet homme-là. Il a trouvé un philosophe de la nature qui a réellement vécu, un vieux maître de Cyrène, un jeune homme transporté vers Athènes et des hommes dispersés par les conflits des cités du sud de l’Italie, dont la plupart n’ont pas laissé de nom. Aucun document fiable ne prouve que l’un d’eux ait été jeté à la mer pour cette découverte. Le fait le plus solide est justement celui qui ressemble le moins à une histoire. Quelqu’un a démontré une impossibilité. Qui ? Nous n’en avons pas gardé le nom.

Et la manière dont on a ensuite traité cette impossibilité mérite davantage d’être retenue que toutes les versions du récit.

Personne n’a trouvé l’étalon commun, puisqu’il n’existe pas. Personne n’a non plus décrété que les deux segments seraient désormais incomparables.

Ce qu’on a changé est une troisième chose : ce que signifie l’égalité de deux rapports.

La nouvelle formulation ne demande plus où se trouve l’étalon. Elle demande seulement qu’on essaie avec n’importe quels multiples entiers et que, quels que soient ces multiples, les relations de grandeur concordent des deux côtés.

Ainsi, ce qu’on ne pouvait pas obtenir est devenu accessible en changeant de formulation.

Ce n’est pas un détour pour esquiver la difficulté. On a redéfini le mot « obtenir » : il désigne désormais une opération qu’on peut accomplir même sans mesure commune.

Nous retrouverons ce geste plusieurs fois dans la suite, sous un nom différent à chaque fois. Et, à chaque fois, ce qui changera ne sera pas la chose hors d’atteinte. Ce sera le critère qui permet de dire qu’on l’a atteinte.

On continue de calculer. Mais ce qui compte comme mathématiques, on n’a jamais fini de le déterminer.

Sources et lectures complémentaires

Les ressources ci-dessous concernent les détails historiques et les désaccords d’interprétation évoqués dans cet essai. Notices de collections, textes antiques et reconstitutions modernes ne constituent pas des preuves de même nature.

• Carl Huffman : Pythagore
• Clay Mathematics Institute : les Éléments d’Euclide
• Euclide, livre V, définitions 5–6
• Hasse et Scholz : La Crise des fondements des mathématiques grecques (1928)
• Ouvrages de Knorr : préfaces et recensions savantes
• La dette de Zénon envers Hippase, Hyperboreus 23.2 (2017)