Compter, mesurer, tenir les comptes

Des signes pour les moutons, d’autres pour le grain

Un troupeau de moutons à partager entre trois personnes.

Il n’est pas forcément nécessaire d’écrire des nombres pour y parvenir. On rassemble les bêtes en trois groupes ; si l’un paraît plus petit, on y amène un mouton pris ailleurs. Quelques allers-retours, et le partage est fait. Après coup, personne ne saurait dire exactement combien de bêtes il a emmenées. Mais cet après-midi-là, les trois personnes sont satisfaites.

Les difficultés commencent dans d’autres situations. Il faut livrer une partie du troupeau cette année, et la quantité dépend de ce qui restait dû l’an dernier. Les moutons sont répartis entre plusieurs villages ; celui qui doit les recevoir n’est pas sur place. Il faudra ensuite convertir les bêtes reçues en céréales à redistribuer, selon un taux fixé par quelqu’un d’autre. À ce stade, trois groupes de moutons ne suffisent plus. Quelqu’un doit tenir une trace, et cette trace doit pouvoir passer dans d’autres mains, être relue un autre mois et dire toujours la même chose. Voilà ce que faisaient les premières tablettes.

Imaginons d’abord deux enregistrements. Les scènes qui suivent servent à rendre sensibles deux manières de noter les quantités ; elles ne décrivent pas deux objets archéologiques précisément identifiés, chacun muni de son numéro.

Nous sommes à Uruk, vers 3300 avant notre ère. Sur une tablette d’argile qui tient dans la paume, des signes ont été imprimés. Il est question de bétail. Le nombre de têtes est inscrit là.

Un autre enregistrement, dans la même ville et à la même époque, indique le volume d’un lot d’orge. Nous nous attendrions à ce que le scribe change seulement le nom de la marchandise et conserve les mêmes nombres, bons pour tous les usages. Ce passage n’avait alors rien d’automatique.

Personne ne s’est trompé. Il ne s’agit pas non plus des mêmes chiffres dans une autre écriture. Dénombrer des animaux et mesurer de l’orge pouvait faire entrer dans deux systèmes numériques distincts.

Cela ressemble à une coquille ; c’est pourtant la structure même de cette écriture. Le scribe d’Uruk ne dispose pas d’un jeu de nombres détachés des objets, utilisables partout. Il en a plusieurs. Les êtres que l’on peut compter un par un, humains ou bêtes, relèvent d’un système. Les volumes de céréales d’un autre. Les superficies d’un troisième. Les longueurs d’un autre encore. Certains produits céréaliers et certaines rations ont même leurs propres règles de groupement et de passage à l’ordre supérieur. Ce ne sont pas deux graphies du système ordinaire de dénombrement, mais deux choses différentes.

La valeur d’un signe dépend donc de ce qu’il compte. Recopiez-le tel quel depuis la rubrique du bétail dans celle des céréales : vous n’obtiendrez pas la même quantité. Avant de lire une tablette, il faut savoir à quelle catégorie appartiennent les choses qui y figurent. Tant que la catégorie reste incertaine, le nombre reste en suspens.

Cela ne veut pas dire que le scribe était condamné à ne jamais convertir. Les unités entretenaient des rapports que l’on pouvait apprendre. Mais la conversion ne naissait pas de l’intérieur du nombre : elle lui était ajoutée du dehors. La lecture de ces signes n’était pas encore entièrement affranchie des objets et des unités auxquels ils s’appliquaient.

La conséquence est très concrète. Une tablette peut devenir illisible dès qu’elle quitte la pièce qui l’a vue naître. Celui qui tient le compte sait ce qu’il compte et n’a donc pas besoin de l’écrire. Or ce qu’il n’écrit pas est précisément ce qui donne aux nombres leur valeur. Devant une tablette privée de contexte stratigraphique, la moitié des difficultés du chercheur d’aujourd’hui vient du travail que le scribe d’alors s’était épargné.

Il ne faudrait pas en conclure que ce dispositif est grossier. Il a grandi au contact des choses. Les unités de capacité suivent les récipients employés ; les unités de superficie, les façons d’arpenter les parcelles. Chaque système convient aux affaires dont il s’occupe. Un berger qui compte ses moutons et un préposé au grenier qui réceptionne du grain ne font pas le même geste. Que chacun de ces gestes ait peu à peu produit ses signes n’a rien d’étonnant.

À l’usage, les séparer peut même simplifier la vie. Celui qui passe sa carrière à mesurer des volumes n’a pas besoin que ses signes sachent aussi compter les moutons. Chaque système s’est délesté de ce qui ne lui servait pas ; il arrive qu’il soit ainsi plus commode qu’un système universel. L’ennui commence quand il faut faire coïncider les deux. Dans un village, l’occasion ne se présente pas si souvent.

Dans une ville, elle se présente beaucoup plus. Il y a des greniers, des temples, des chantiers, des entrées et des sorties toute l’année. Il faut pouvoir embrasser d’un seul regard ce que chacun doit à chacun. C’est de là que viendra la pression qui finira par faire entrer ces signes sans commune mesure dans un même ensemble. Ce qui mérite l’étonnement, c’est qu’ils y soient finalement entrés. Il faudra encore attendre plus de mille ans.

Sur les plus anciennes tablettes conservées, il est presque toujours question de qui a livré combien, de ce qui reste dû, de ce qui a été distribué et à qui. Elles n’ont pas été faites pour la postérité. Elles ont été faites pour que l’on puisse encore s’y retrouver le mois suivant.

Aux débuts de l’écriture, plus de quatre cinquièmes de comptes

On parle aujourd’hui d’environ six mille tablettes et fragments proto-cunéiformes. Quelque cinq mille proviennent d’Uruk même ; une autre partie vient de Djemdet Nasr et d’autres sites marqués par sa tradition d’écriture. Selon la chronologie habituelle, cet ensemble s’étend approximativement de 3350 à 3000 avant notre ère.

Nissen a proposé une répartition devenue classique de ces textes les plus anciens. Les documents économiques et administratifs en représentent environ 85 % ; les textes non administratifs, notamment les listes lexicales, autour de 15 %. Encore cette seconde part augmente-t-elle surtout dans les phases tardives. Dans les niveaux les plus anciens, les listes lexicales sont très rares et les enregistrements administratifs dominent presque sans partage.

Si l’on demande quelle place occupent les comptes dans les premières écritures que nous avons effectivement entre les mains, la réponse n’est donc pas « plus de la moitié ». C’est : l’immense majorité.

Ces comptes ne sont pas une comptabilité au sens ultérieur du terme. Ce sont le plus souvent des notices brèves : un signe de quantité, un signe de marchandise ou de personnel, une marque désignant une institution ou un individu, assemblés sur l’argile. L’écriture ne permet pas encore de noter librement toute une parole articulée. Les quantités, les unités et les catégories de choses s’y lisent plus clairement que la syntaxe. Ce qu’elle sait dire le mieux, c’est combien de quoi a été donné à qui. Pour le reste, elle n’a pas encore grand-chose à dire.

Les noms de personnes entrent eux aussi par les comptes. Sur dix-huit tablettes d’Uruk revient la même paire de signes, que l’on lit Kushim, associée à l’orge et aux céréales destinées au brassage. L’une de ces tablettes totalise l’orge prise en charge pendant trente-sept mois. Kushim est-il une personne, une fonction, une institution ? Nous ne le savons pas : autour de ces deux signes, il n’y a presque pas d’autres mots. Une interprétation courante y voit une personne. Si elle est juste, le plus ancien nom humain que nous sachions lire est un nom inscrit sur un compte d’orge.

Il faut s’arrêter ici. Les 85 % décrivent ce qui a survécu. Les tablettes d’argile conservent particulièrement bien les archives administratives, surtout lorsqu’elles ont séché après avoir été jetées ou qu’un incendie de bâtiment les a fortuitement cuites. Les marques à usage unique, le bois, les fibres, les consignes orales, les exercices sans cesse pétris et recommencés n’avaient pas les mêmes chances de nous parvenir. La proportion de documents dans une archive constituée ne permet pas de remonter à l’unique intention de ceux qui ont inventé l’écriture.

La distinction paraît minuscule. Elle commande pourtant tout ce que l’on pourra dire ensuite. Que les besoins administratifs aient été le milieu essentiel dans lequel l’écriture a pris forme, on peut le soutenir. Que la comptabilité en ait été la seule cause, on ne le peut pas. Entre les deux propositions, il n’y a pas une différence de quantité de preuves, mais de charge qu’on leur fait porter.

Nissen, Damerow et Englund avancent une formulation plus prudente : la formation des premières écritures est étroitement liée à la gestion de ressources toujours plus complexe au sein des institutions urbaines. Il y a loin de là à dire que l’humanité a inventé l’écriture pour tenir ses comptes. La première phrase décrit un milieu ; la seconde prête une intention. Et aucune intention ne nous a laissé son témoignage personnel daté de 3400 avant notre ère.

La même distinction vaut pour les jetons. Du Néolithique à l’urbanisation, le Proche-Orient a bien livré quantité de petits objets géométriques en argile : cônes, boules, disques, mais aussi des bulles d’argile qui les enferment et des réceptacles portant des empreintes extérieures. Schmandt-Besserat en a tiré une continuité de plusieurs millénaires : les jetons simples représenteraient les quantités de marchandises ; les jetons complexes, des catégories plus élaborées ; puis les jetons auraient été enfermés dans des bulles et imprimés sur leur surface ; enfin, l’empreinte à deux dimensions aurait remplacé l’objet à trois dimensions. L’écriture serait née ainsi.

Les objets sont bien réels. Les bulles contenaient réellement des jetons. Mais cette chaîne a depuis été démontée maillon par maillon. Une ressemblance de forme ne prouve pas la continuité d’une fonction ni d’un sens. Les classements sont trop nets, et beaucoup de jetons ne proviennent d’aucun contexte archéologique clairement comptable. La correspondance terme à terme entre leur forme et les premiers signes d’écriture ne résiste pas non plus aux exigences de cette version forte. Nous ne disposons toujours pas de preuves suffisantes pour interpréter toute cette famille d’objets préhistoriques comme un ensemble d’instruments comptables. Beaucoup ont peut-être eu plusieurs usages dès le départ.

La position aujourd’hui assez répandue est plus modeste : une partie des jetons, des scellements d’argile et des empreintes numériques appartient à l’histoire des techniques comptables. Cette version faible est largement recevable. Un système unifié de jetons, stable dans sa signification pendant des millénaires et capable d’engendrer les signes d’écriture un à un, ne fait pas consensus.

Quand les humains deviennent des journées de travail

Sous la troisième dynastie d’Ur, le paysage a complètement changé. Rien que les documents administratifs connus laissés par cet État se comptent par quelque cent vingt mille.

Parmi eux, les comptes de vérification, ou comptes de bilan, sont particulièrement révélateurs. Ils ne se bornent pas à mettre recettes et dépenses face à face. Ils décomposent une période de responsabilité : d’abord le total à livrer ou à accomplir ; puis la déduction des dépenses admises, des pertes et de ce qui a déjà été accompli ; enfin la différence, qualifiée d’excédent ou de déficit. Viennent ensuite la date, le nom du responsable et les indications de vérification.

L’opération décisive est la conversion. La main-d’œuvre devient des journées de travail. Les céréales, la laine, le textile, les travaux agricoles peuvent eux aussi être ramenés à des quantités comparables au moyen de rendements normés. Les documents d’Umma et d’autres villes montrent un personnel généralement organisé sous l’autorité de chefs d’équipe ou de surveillants. Du côté de l’administration, la question n’est pas de savoir combien de personnes sont venues aujourd’hui. Elle est de savoir combien de journées de travail cette équipe doit fournir selon la norme.

Au centre du compte se tient donc le surveillant, et non l’ouvrier.

Une fois la conversion effectuée, certaines choses disparaissent du regard. L’un est malade aujourd’hui ; un autre est plus lent de ses mains ; un troisième s’est chargé de la tâche la plus lourde. Dans l’unité « journée de travail », ils se valent. Le compte ne nie pas leurs différences. Il ne leur réserve simplement aucune place. Un seul nombre peut entrer dans le grand livre ; une fois entré, lui seul sera reconnu par toutes les additions et soustractions qui suivront.

Une série de documents datés des années 37 à 40 du règne de Shulgi suit plusieurs centaines de travailleuses, leur travail et leurs obligations en grain, sous le nom d’un certain Lu-Urub, fils de Minar-ni. Ces archives montrent que le chef d’équipe n’est pas seulement celui qui fait l’appel tous les matins. Il est le point où vient se fixer une responsabilité comptable durable. C’est parce que les comptes reviennent année après année sous le nom de leur responsable que les chercheurs ont pu reconstituer cette comptabilité des responsabilités.

Un déficit peut être reporté. Ce qui manque reste dû pour la période suivante ; ce qui dépasse est inscrit en excédent ; le nouveau compte récapitulatif peut reprendre le solde du précédent. Un nom peut ainsi traverser plusieurs années avec un nombre sur le dos.

Derrière le grand livre s’accumule une autre couche. Reçus, pièces scellées, petites quittances sont conservés jusqu’à la vérification. Ce n’est qu’une fois le contrôle achevé que leur valeur de preuve change. La troisième dynastie d’Ur a même développé une tradition de conservation de ces tablettes justificatives dans des récipients. Un compte de bilan, ce n’est donc pas une tablette. C’est une tablette et un panier de tablettes.

Une affirmation circule beaucoup : à la mort d’un ouvrier, la part de son quota qu’il n’avait pas accomplie aurait été transmise à sa famille. Il faut ici freiner. Il existe bien des documents sur les décès et les remplacements de personnel, ainsi que sur les rations destinées aux familles des morts ou aux orphelins. Il existe aussi des déficits reportés dans les comptes de chefs d’équipe. Mais réunir les deux pour faire hériter le fils de la dette de travail du père est un autre pas. À ce jour, on ne peut produire une tablette indiquant à la fois le décès d’un individu, le nombre de journées restant dues et le transfert de cette dette à tel parent. Une seule proposition tient : cette comptabilité permettait aux déficits d’un compte de survivre d’une année à l’autre. Qu’un quota individuel non accompli soit devenu, après la mort du travailleur et selon des règles successorales, une dette familiale n’est pas directement attesté.

Si le glissement passe si facilement, c’est qu’il semble aller de soi. Un système capable de convertir les vivants en journées de travail devrait, pense-t-on, pouvoir convertir la dette du père en dette du fils. Le raisonnement est élégant ; les documents ne le suivent pas. Entre ce qu’un système aurait pu faire et ce qu’il a réellement fait, il y a un espace que l’absence de preuves ne nous autorise pas à remplir.

De même, la responsabilité du surveillant en cas de déficit est globalement établie. Mais il s’agit d’un compte de responsabilité administrative porté à son nom, non d’une dette personnelle illimitée au sens d’un droit civil bien plus tardif. Lu-Urub devait-il vraiment combler les nombres inscrits à son débit avec ses biens privés ? Les preuves ne suffisent pas. Qu’il soit le fils de Minar-ni, la tablette le dit. Ce qu’il possède chez lui, elle n’en dit pas un mot.

Quoi qu’il en soit, une chose est claire. À cette époque, l’administration d’une cité du Sud sait déjà convertir plusieurs centaines d’êtres vivants, toute une année de leurs forces et les céréales qu’ils ont mangées en une même chose que l’on peut additionner et soustraire, puis inscrire le résultat sous le nom d’un seul homme.

La couche abstraite

À partir de la fin du troisième millénaire, surtout sous la troisième dynastie d’Ur, un autre mouvement devient visible. De plus en plus souvent, les scribes commencent par convertir les mesures concrètes en nombres abstraits écrits dans une notation de position sexagésimale. Ils calculent à ce niveau abstrait, puis reviennent aux unités réelles.

Il faut distinguer deux choses. Dès l’époque d’Uruk, soixante joue un rôle important dans les changements d’ordre de certaines traditions numériques. Mais extraire véritablement le nombre de l’unité de marchandise, employer les mêmes signes pour représenter des puissances différentes de soixante selon leur position, cela n’apparaît clairement qu’à la fin du troisième millénaire. La pratique entre dans les calculs sous Ur III et atteint sa maturité dans les écoles paléo-babyloniennes. Cette couche abstraite repose sur des tables.

Une table paléo-babylonienne ordinaire d’inverses ne déroule pas tous les nombres de un à cinquante-neuf. Elle retient surtout ceux dont l’inverse possède une écriture sexagésimale finie ; une table typique occupe vingt à trente lignes. Les nombres dont l’inverse n’a pas d’écriture finie en sont tout simplement absents. Si on en a besoin, on peut décomposer, approcher ou employer un autre algorithme. Les tables de multiplication alignent les produits d’un nombre important par une série de multiplicateurs. Les tables métrologiques convertissent les unités traditionnelles de longueur, de superficie, de capacité et de poids en quantités sexagésimales abstraites. Le tour de main essentiel de l’élève se résume en une phrase : remplacer la division par une multiplication par l’inverse. Il trouve l’inverse du diviseur dans le répertoire appris ou consulté, puis multiplie. Ces tables ne sont donc pas des accessoires que l’on ouvre à l’occasion. Elles sont le sol sur lequel le calcul peut se faire.

Pour l’élève, ce qu’il doit apprendre par cœur et ce qu’il sait faire ne font dès lors qu’un. Une table d’inverses mémorisée lui donne la division. S’il ne la sait pas, les nombres restent immobiles entre ses mains. Le savoir-faire tient dans la mémoire, et la mémoire se travaille en recommençant encore et encore sur l’argile. Voilà pourquoi les tables occupent une place si considérable parmi les tablettes scolaires qui nous sont parvenues.

Cette notation de position présente pourtant une lacune frappante. À ses débuts, elle n’a généralement ni séparateur fixe entre partie entière et partie fractionnaire, ni signe de zéro interne au sens ultérieur. Une même suite de signes peut en théorie désigner des valeurs dans un rapport de soixante, de trois mille six cents, ou d’un soixantième. Pour retrouver la valeur absolue, le scribe s’appuie sur les unités du problème, les ordres de grandeur et le contexte. L’échelle n’est pas écrite à l’intérieur du nombre.

On n’a pas non plus trouvé, à ce jour, de tablette permettant d’établir qu’un scribe s’est manifestement trompé à cause de l’absence du zéro, tout en excluant un décalage de copie ou une autre cause semblable. La lacune existe. Elle ne semble pourtant pas avoir fait trébucher ceux qui s’en servaient.

Autrement dit, cette notation laisse une partie du travail hors de la surface de la tablette. Aux nombres les rapports relatifs ; à l’être humain le soin de se rappeler s’il est question de céréales ou d’argent, d’un grenier entier ou d’une ration quotidienne. Le système ne se suffit pas à lui-même. Il faut quelqu’un à côté pour veiller sur lui.

Il importe de voir à quel niveau se fait l’unification. Aucun roi n’a aboli toutes les unités en une nuit. Capacité, poids, longueur et superficie gardent leurs unités propres ; marchands et préposés aux greniers continuent de les employer. Ce qui s’unifie, c’est le niveau du calcul : toutes ces unités peuvent être projetées dans un même système abstrait à l’aide de tables de conversion normalisées. Les tables métrologiques sont la porte entre les deux niveaux.

La littérature moderne désigne parfois cette vague de normalisation par le raccourci « réformes de Shulgi ». L’étiquette est pratique, mais nous n’avons aucune tablette portant un édit de Shulgi qui ferait office de loi moderne sur les poids et mesures, stipulant article par article qu’à compter de ce jour telle unité vaudra tant. On peut dire que, sous son long règne, cet État a nettement fait progresser la normalisation des mesures, des prélèvements, des corvées et des comptes. Déterminer quels rapports entre unités ont été fixés sur ordre personnel du roi revient à remonter des pratiques documentaires ultérieures, devenues cohérentes, vers une décision supposée.

Pour Shulgi lui-même, nous disposons d’un document presque trop bien venu, dont il faut aussitôt limiter la portée. Dans un hymne à sa gloire, il affirme avoir fréquenté l’école dans sa jeunesse, appris l’art des scribes sur les tablettes sumériennes et akkadiennes, maîtrisé soustraction, addition, calcul et comptabilité. Un autre hymne le célèbre en scribe savant. Seulement, les copies conservées sont pour l’essentiel des copies scolaires paléo-babyloniennes, écrites quelque deux ou trois siècles après sa vie. Elles peuvent préserver une tradition d’hymnes de cour ; elles ne prouvent pas que le Shulgi historique s’est réellement assis, enfant, dans cette classe. On les traite donc généralement comme des témoignages sur l’idéologie royale et l’image du souverain idéalement instruit, plutôt que comme un curriculum vitae.

Qu’un roi souhaite voir célébrer son talent de comptable dans ses propres louanges en dit déjà beaucoup.

Mille quatre cents tablettes dans une maison

À Nippur se trouve une maison que les fouilleurs ont désignée par l’une des dernières lettres de la série alphabétique attribuée aux habitations du quartier. On y a exhumé environ mille quatre cent vingt-cinq tablettes et fragments, dont plus de 90 % sont des exercices d’écriture. C’est ce qui la distingue de tant de tablettes mathématiques sans provenance assurée : ici, le matériel d’enseignement peut être replacé dans les pièces d’une véritable maison et dans ses couches de rejet.

La forme même des tablettes d’exercice donne à voir une scène. Sur un type de tablette, une colonne du recto porte le modèle écrit par le maître ; à côté se trouve l’espace de copie de l’élève. Le verso peut recevoir des passages plus longs, étudiés auparavant. Sur de petites tablettes rondes, le maître écrit une ligne que l’élève répète à côté. La partie réservée à l’exercice est souvent lissée puis réutilisée.

Une tablette peut servir beaucoup de fois. Pour eux, c’était une économie ; pour nous, c’est une perte. Ce que l’élève a travaillé, ses erreurs, le nombre de ses reprises : presque tout a disparu avec la pellicule d’argile effacée. Ce qui reste, c’est la dernière tentative qu’il n’a pas eu le temps d’effacer, ou la tablette qu’il a enfin posée de côté après avoir réussi.

Toutes n’offrent pas la même prise. La tablette ronde de Yale qui porte le numéro 7289 mesure environ huit centimètres de diamètre : elle tient dans une main. Celle du British Museum, numéro 13901, mesure environ 19,4 centimètres de large sur 11,7 de haut ; il faut déjà deux mains, ou une table. Et si l’on se trompe ? Tant que l’argile est humide, on l’aplanit du doigt ou avec un outil, puis on recommence. Une fois parfaitement sèche, elle se laisse beaucoup moins facilement reprendre. D’où les signes regravés, les caractères serrés et les irrégularités d’effacements locaux visibles sur tant de tablettes mises au propre.

L’ordre des apprentissages est une reconstitution. À partir des formes de tablettes, des associations de textes et du sens de la copie, Tinney, Robson, Veldhuis et d’autres ont assemblé la séquence élémentaire de Nippur. On commence par apprendre à faire les coins de l’écriture, puis les signes isolés. Viennent ensuite des exercices sur des groupes de signes, la copie de suites syllabiques, les listes de noms propres et les listes lexicales classées par catégories. Puis on aborde des séries lexicales plus complexes, les tables métrologiques, les nombres et les tables de calcul. La formation élémentaire achevée, les élèves copient des hymnes royaux, des maximes, des joutes littéraires et des mythes.

Cette histoire qui va du premier au dernier jour appelle une note en marge. Nous possédons une séquence reconstruite par l’archéologie, pas un emploi du temps antique. L’élève pouvait répéter une étape, en sauter une autre ou mener plusieurs apprentissages de front. Et le contenu d’une maison ne saurait devenir sans précaution le modèle de toute l’éducation babylonienne. Robson elle-même met fortement en garde contre cette généralisation.

La littérature paléo-babylonienne comprend des dialogues que l’on a ensuite regroupés sous le nom de « vie à l’école ». Ils font eux-mêmes partie des textes que les élèves doivent copier. L’un commence au matin : le garçon emporte sa tablette à l’école, lit à voix haute ce qu’il y a écrit, déjeune, prépare une nouvelle tablette. Une fois rentré, il lui faut encore réciter à son père le travail du jour.

Le lendemain matin, le maître vérifie sa tablette et constate un manque. Le bâton tombe pour la première fois.

La suite donne à ce texte sa véritable allure. Le responsable des devoirs le frappe ; ce qu’il dit manque sur la tablette. Le responsable de la cour le frappe et lui demande pourquoi il a parlé en son absence. Un autre le frappe : pourquoi ne tient-il pas la tête bien droite ? Le responsable du dessin le frappe : pourquoi s’est-il levé de sa place ? Le portier le frappe : pourquoi est-il sorti ? Un autre encore le frappe : pourquoi a-t-il pris quelque chose dont le nom est perdu dans une lacune ? Le responsable du sumérien le frappe, parce qu’il a parlé akkadien alors qu’il devait parler sumérien. Enfin son propre maître intervient : son écriture est mauvaise. Avec la première correction du matin, cela fait neuf en une journée, pour des motifs toujours plus minutieux.

Le soir même, le père du garçon invite le maître chez lui. Il lui sert à boire et à manger, lui offre des vêtements. Après avoir bu, le maître se tourne vers l’élève et fait son éloge.

La scène est si commode qu’on aurait presque envie de ne pas la vérifier. Précisons donc tout de suite : elle vient de la littérature scolaire, pas du registre disciplinaire de cette journée. Ces textes remontent bien à l’époque paléo-babylonienne ; ils ne sont pas séparés des faits par un millénaire, comme le sera le récit du Grec que nous rencontrerons plus loin. Mais ils restent de la littérature. La succession des coups et le repas offert au maître peuvent jouer sur des pratiques réelles. Ils ne prouvent pas que chaque école vivait ainsi chaque jour.

Les formes des tablettes étayent indépendamment une autre partie du tableau. Le modèle du maître et la copie de l’élève sont bel et bien côte à côte. Dans l’espace de l’élève, on trouve bien des répétitions, des effacements, des reprises. Les élèves avancés copient effectivement des textes littéraires. Démonstration, imitation, contrôle et correction : cette chaîne-là tient solidement.

À Ur, une autre maison, baptisée par les fouilleurs « 7, rue Tranquille », a livré plus de deux mille documents et exercices. Elle appartenait à Ku-Ningal et à sa famille. L’étiquette courante de « famille de scribes héréditaires » doit être rectifiée. Ku-Ningal et plusieurs de ses fils étaient des prêtres de purification. Que l’on ait enseigné chez eux est bien établi ; faire du métier de scribe l’activité principale de toute la famille simplifie trop les choses. Parmi les individus identifiables figure son fils Ur-Nanna, dont le sceau lui attribue une fonction cultuelle liée au dieu de la Lune et la responsabilité d’archives.

Héréditaire, alors ? La meilleure réponse est : une forte continuité familiale, sans que l’accès au métier soit juridiquement réservé. La maîtrise de l’écriture, les collections de tablettes, les relations et les ressources liées aux fonctions se concentrent dans les familles et leur donnent naturellement un avantage. Mais les changements de noms et de titres montrent aussi qu’il n’existe pas de caste immuable de scribes. Il n’y a pas davantage de grille unique de salaires : céréales, laine, revenus fonciers, rations et charge elle-même peuvent composer la rémunération. Le prestige des scribes ne prouve pas que chaque petit copiste vivait dans l’aisance.

Quant à l’idée d’écoles ouvertes aux enfants doués du peuple, où l’écriture aurait servi d’échelle pour monter dans la société, ses preuves directes sont minces. Les dossiers d’élèves conservés penchent nettement vers les familles qui disposent déjà de ressources administratives et sacerdotales. La probabilité qu’un enfant d’une famille ordinaire de cultivateurs accède à une formation supérieure de scribe, nous ne pouvons pas la calculer.

Des problèmes sans débouché

La tablette 13901 du British Museum comporte quatre colonnes et vingt-quatre problèmes portant sur les côtés et les aires de carrés et de rectangles, ordonnés du simple au complexe. Elle ne provient pas de fouilles scientifiques et n’a pas de contexte stratigraphique assuré.

À lire ces vingt-quatre problèmes, plusieurs choses sautent aux yeux. Ils forment une progression. Une même opération revient sous des formes variées. Les nombres ont été choisis pour tomber extraordinairement juste.

Une progression demande que quelqu’un la construise. Le deuxième problème un peu plus difficile que le premier, le troisième un peu plus difficile encore : cet ordre ne sort spontanément d’aucun compte. Il faut avoir repéré le passage délicat, puis fabriqué une série de problèmes qui ne diffèrent que par ce passage. Celui qui les compose n’a plus en tête une parcelle particulière ou un grenier particulier. Il imagine l’endroit où l’élève va buter.

Ces exercices portent volontiers des habits administratifs. Champs, briques, canaux, travailleurs, argent, céréales : ce sont les objets ordinaires de la profession de scribe, et rien de plus naturel que de les retrouver dans les énoncés. Mais aucun administrateur de grenier ne rencontrera au travail un problème de cette sorte. Les dimensions ont été choisies pour que la procédure se déroule sans accroc, pas pour mesurer un terrain donné.

La petite tablette ronde de Yale appartient au même monde. Huit centimètres de diamètre, une seule main pour la tenir, et une provenance inconnue. Au recto figurent un carré et ses deux diagonales. Un nombre est inscrit le long d’un côté ; deux autres près d’une diagonale. L’un de ceux-ci donne une valeur extrêmement précise du rapport entre diagonale et côté. Une partie du verso a été effacée. Comme la même constante de la diagonale figure dans des tables de constantes, il est très probable que l’élève utilisait une valeur connue. Rien n’oblige à penser qu’il venait de la calculer lui-même.

Cette tablette prouve que les Paléo-Babyloniens savaient traiter avec une grande précision le rapport entre le côté d’un carré et sa diagonale. Elle ne prouve pas qu’ils possédaient un système de propositions et de déductions à la grecque. Lui donner le nom d’un théorème postérieur, c’est introduire en douce toute une organisation du savoir.

La plus controversée est Plimpton 322. Elle mesure environ treize centimètres de large, neuf de haut et deux à trois d’épaisseur. Son argile jaune sable porte des taches orange rouille et noires, des rayures bien visibles et des bords abîmés. Quatre colonnes et quinze lignes complètes de données subsistent ; une partie située à gauche a peut-être disparu.

On peut suivre son parcours étape par étape. George Plimpton l’achète vers 1922-1923 à un antiquaire. Selon le vendeur, elle vient de Senkereh, l’ancienne Larsa. Sans compte rendu de fouilles scientifiques, cette provenance déclarée ne peut devenir un contexte de découverte certain. Dans les années 1930, elle entre à l’université Columbia avec la collection Plimpton.

En 1945, Neugebauer et Sachs reconnaissent que les nombres du tableau correspondent à des relations entre les côtés de triangles rectangles. Cette structure mathématique est vérifiable et n’a jamais été le point litigieux. Le désaccord porte sur ce qu’était la tablette.

Des auteurs l’ont ensuite appelée table trigonométrique, voire la première table trigonométrique du monde. Dans ses nouvelles analyses de 2001-2002, Robson s’oppose à cette lecture. Les textes paléo-babyloniens n’offrent pas de système conceptuel comparable à celui des tables ultérieures de fonctions d’angles. En revanche, les paires d’inverses, les tables scolaires de multiplication, la fabrication de problèmes et la mise en forme des tableaux ont d’abondants parallèles locaux. Elle y voit donc une feuille de travail dont un enseignant se servait pour préparer des problèmes sur les triangles rectangles. En 2017, une autre étude relance la thèse forte d’une table de trigonométrie sexagésimale exacte.

La conclusion la plus solide reste que la tablette entretient des liens étroits avec les relations propres aux triangles rectangles, les paires d’inverses et la production de problèmes scolaires. La qualifier de table trigonométrique demande d’y introduire des concepts que les documents paléo-babyloniens ne nous fournissent pas eux-mêmes.

Ce n’est pas le seul problème de dénomination. Les tablettes originales ne contiennent pas d’équations symboliques. Elles décrivent les opérations à l’aide de mots et de verbes akkadiens : longueur, largeur, faire tenir ensemble, arracher, ajouter, constituer un carré. Dans les années 1930 et 1940, Neugebauer et Thureau-Dangin ont été les premiers à déchiffrer massivement ces textes et à condenser leurs procédures en équations d’algèbre moderne. L’opération a remarquablement révélé leur structure mathématique. Elle a aussi eu un effet secondaire : le lecteur peut prendre ces équations pour les objets que les scribes avaient réellement en tête. Høyrup est ensuite reparti de la langue. D’après sa relecture, les opérations qui nous paraissent résoudre des équations du second degré renvoient souvent, dans leur sens local, à des segments mesurables et à des surfaces que l’on assemble, découpe et complète. On admet généralement aujourd’hui que les deux langages modernes peuvent formaliser les résultats. Mais pour savoir ce que le scribe faisait, lui, la reconstruction philologique reste au plus près des mots attestés.

Revenons aux vingt-quatre problèmes. Ce ne sont pas des comptes. Ils n’entreront dans aucun règlement. Dans les mêmes maisons, entre les mêmes mains, la production s’est déjà séparée en deux. Une part devra être remise à quelqu’un. L’autre ne servira à rien, quel qu’en soit le destinataire.

Les deux partagent le même vocabulaire, les mêmes signes, jusqu’aux mêmes morceaux d’argile. Seule la destination diffère. Les premiers documents vont aux greniers et au palais ; les seconds, dans les mains d’un autre enfant. Dès que cette seconde production commence, elle trouve son propre rythme. Elle se classe selon la difficulté, non selon la récolte. Une fois ce rythme établi, nul besoin d’attendre un ordre extérieur. Que la récolte de l’année soit bonne ou mauvaise ne change rien à la nécessité de rendre le deuxième problème plus difficile que le premier.

Impossible d’en tirer un pourcentage. L’usage n’est pas une propriété physique qu’un catalogue permettrait de compter directement. Une table d’inverses peut être un exercice scolaire et préparer en même temps de futurs travaux comptables. Un problème de champ peut être entièrement fictif et entraîner à une compétence professionnelle bien réelle. Ce que l’on peut citer avec assurance, c’est un ordre de grandeur : environ deux mille textes mathématiques cunéiformes sont connus. Quelque mille ont été publiés avec transcription et traduction ; à peu près autant attendent encore d’être étudiés et édités. Les tables de multiplication, d’inverses, de carrés et de racines carrées, les tables métrologiques et les problèmes scolaires y occupent une large place.

Tout l’art comptable s’était construit pour dénombrer. À peine tient-il debout qu’il se met à fabriquer des choses qui ne dénombrent rien. Dans les mêmes maisons. Par les mêmes mains.

De l’autre côté, le Nil

Pour l’Égypte, il faut d’abord mesurer l’écart des quantités. Sur toute la période pharaonique et au-delà, nous possédons environ vingt-cinq pièces que l’on peut classer comme textes spécifiquement mathématiques, soit quelque cent problèmes conservés, dont l’immense majorité se concentre dans deux rouleaux de papyrus. En face, environ deux mille textes mathématiques cunéiformes sont connus.

On ne peut comprendre cet écart sans les conditions de conservation. Même simplement séchée, l’argile peut durer longtemps ; l’incendie d’un bâtiment peut encore la durcir. Papyrus, cuir et planches pourrissent très facilement dans les sols humides. Or les bureaux agricoles de la vallée et du delta du Nil se trouvaient précisément dans les endroits les moins favorables à la conservation des matières organiques. Comparer vingt-cinq et deux mille pour départager l’activité mathématique des deux régions, c’est en réalité comparer leurs sols.

Le plus important de ces rouleaux est le papyrus mathématique Rhind. Il est aujourd’hui en plusieurs morceaux. La première grande section du British Museum mesure environ 296 centimètres de long sur 32 de haut ; la seconde, environ 198,5 centimètres, pour la même hauteur d’environ 32 centimètres. D’autres fragments sont à Brooklyn. Les deux grandes sections font déjà près de 4,95 mètres ; avec les fragments et les raccords perdus, le rouleau déployé dépassait cinq mètres. Ce n’est pas un livre dont on tourne les pages. C’est une longue bande étroite, plus longue que le mur d’un salon ordinaire.

Au commencement, le copiste a donné son nom : Ahmès. Il annonce un calcul exact permettant d’examiner les choses et d’accéder à la connaissance de toutes sortes de mystères. Puis il date expressément sa copie de l’an 33 du roi de Haute et de Basse-Égypte Apépi. Il précise encore qu’il s’appuie sur un ancien exemplaire réalisé sous Nimaâtrê, généralement identifié à Amenemhat III.

Cet ancien exemplaire n’existe plus. La seule preuve directe que nous en ayons est cette déclaration d’Ahmès, écrite quelque trois cents ans après l’ancien modèle. A-t-il copié mot à mot, choisi des extraits, actualisé des données, assemblé plusieurs matériaux ? Nous n’avons aucun moyen de le vérifier. On accepte généralement la datation traditionnelle transmise par sa déclaration. Mais pas davantage.

Copier n’était pas alors un travail de second rang. Qu’un texte soit recopié signifie que quelqu’un le juge digne d’exister une fois encore. Et celui qui le copie peut décider ce qui restera et ce qui ne restera pas. Ahmès nous a laissé un nom et une année, déjà plus que l’immense majorité de ses contemporains qui tenaient une plume. Un texte dit très bien comment les Égyptiens eux-mêmes incitaient les enfants à choisir cette voie.

Le cadre est celui d’un père en voyage avec son fils. En chemin, il dénigre les autres métiers les uns après les autres. Le charpentier est si épuisé qu’il ne peut plus se redresser. Le maçon est couvert de boue. Le blanchisseur passe sa journée dans l’eau, au voisinage des crocodiles. Pêcheur, fabricant de flèches, messager : personne n’y échappe. Chaque métier est sale, pénible et sans avenir. La tournée achevée, le père répète sa conclusion : aucun ne vaut celui de scribe.

Ce n’est pas une enquête sur les revenus professionnels. Le texte appartient à une tradition formée au Moyen Empire, mais ses copies complètes conservées et ses nombreux exemplaires scolaires viennent surtout du Nouvel Empire. Autrement dit, des générations d’enfants plus tardifs ont recopié un plaidoyer pour le métier qu’on leur enseignait. Certains y voient aujourd’hui une satire, d’autres préfèrent parler de propagande de la profession. Aucune de ces lectures ne prend pour un reportage la description des autres métiers.

Sur un point, pourtant, le texte ne ment pas. Celui qui l’a écrit et les enfants qui le recopient appartiennent au même groupe : ceux qui possèdent les signes et les nombres.

Un autre rouleau scolaire de la fin du Nouvel Empire, conservé au British Museum sous le nom de papyrus Lansing, reprend la même méthode de persuasion. Son passage sur le cultivateur est le plus détaillé. Le scribe débarque sur la rive pour contrôler la récolte, suivi de serviteurs armés de bâtons et de Nubiens munis de gourdins. On dit au paysan : livre le grain. Il répond : il n’y en a pas. Alors on le roue de coups, on le ligote et on le jette dans un puits. Sa femme est attachée ; ses enfants sont entravés aux pieds. Tout le rouleau revient à la même exhortation : deviens scribe. Cela reste un texte destiné à encourager les études, pas un procès-verbal de recouvrement. Mais l’homme qui débarque pour contrôler la récolte est précisément celui que le texte conseille aux enfants de devenir.

Revenons au papyrus Rhind : sa provenance archéologique est elle aussi incertaine. Rhind achète les principales parties à Louxor en 1858. Le vendeur les dit issues des environs du Ramesseum, sans fouilles scientifiques documentées. Après la mort de Rhind, le British Museum acquiert le rouleau principal vers 1865. Dans les années 1860, Smith achète à son tour des fragments à Louxor ; on découvrira qu’ils se raccordent au papyrus Rhind. Sa fille en fera don en 1906. Les autres documents mathématiques égyptiens ont chacun leurs étrangetés de provenance et de forme.

Le rouleau de Moscou mesure environ cinq mètres de long, mais seulement quatre à huit centimètres de haut. Ce n’est pas une feuille : c’est un ruban où se serrent vingt-cinq problèmes, des greniers aux superficies, avec même le calcul du volume d’une pyramide à base carrée dont on a retranché le sommet. Golenichtchev l’a acheté en 1893 sur le marché des antiquités. Lui non plus n’a pas de lieu de découverte établi.

Un autre document n’est pas en papyrus. C’est un rouleau de cuir d’environ vingt-cinq centimètres sur quarante-trois, couvert de plusieurs séries de décompositions équivalentes en fractions unitaires. Il est entré au musée avec le lot de Rhind, puis est resté roulé. Une fois sec, le cuir devient dur et cassant. Le dérouler de force, c’était le détruire ; personne n’osait y toucher. Il a attendu près de soixante-dix ans. Ce n’est qu’en 1927 qu’un traitement a permis de l’ouvrir.

À la différence de ces achats sur le marché des antiquités, les documents de Lahoun proviennent de fouilles enregistrées. Petrie les a exhumés dans une ville du Moyen Empire. Ils possèdent donc un contexte archéologique précis : on sait de quelle maison et de quelle couche ils sont sortis. Les mathématiques ne forment qu’un petit groupe parmi ces papyrus.

Les scribes égyptiens ont une façon bien à eux de traiter ce qui n’est pas entier. Une quantité inférieure à l’unité est généralement écrite comme la somme de plusieurs fractions unitaires distinctes. Le papyrus Rhind s’ouvre sur une grande table qui décompose une catégorie de fractions en combinaisons utilisables, jusqu’à des dénominateurs assez élevés. Sa raison d’être n’est pas la contemplation des propriétés des fractions. Elle aide à traiter, dans les calculs par doublement, les distributions de rations et les divisions, les parts qu’un simple partage en deux ne permet pas d’obtenir. Les problèmes de céréales, de pain, de bière et de répartition de la main-d’œuvre qui suivent ne cessent de mobiliser cette même pratique.

Parmi les papyrus de Lahoun se trouve une table plus petite du même type. Elle est antérieure au rouleau Rhind ou contemporaine de lui, et son contexte de fouille est connu. La grande table de Rhind n’est donc pas une invention solitaire. Elle appartient à une tradition.

Dans ce système, doubler, partager en deux et ramener une part à des composantes standard que chacun sait reconnaître devient naturel. L’ensemble s’accorde aussi aisément avec les unités de capacité. En contrepartie, certaines quantités se déploient en sommes de plusieurs termes, et le choix d’une décomposition demande entraînement et consultation des tables. Le dire maladroit, c’est le mesurer à l’aune d’une notation plus tardive. Aucun scribe égyptien ne nous a laissé de plainte sur les embarras du système. Les erreurs, corrections et tables auxiliaires conservées prouvent qu’il fallait un savoir-faire ; elles ne prouvent pas que les utilisateurs jugeaient leur outil inefficace.

L’Égypte connaît elle aussi des problèmes qui ne mènent à aucun compte. Le plus frappant est le numéro 79 du papyrus Rhind.

Sept maisons. Dans chaque maison, sept chats. Chaque chat guette sept souris. Chaque souris grignote sept épis. Chaque épi peut à son tour donner sept mesures de grain. Les quantités se multiplient d’un étage à l’autre, dans une extravagance croissante. Et à la fin, on vous demande le total de tout cela.

Un administrateur de grenier peut passer sa vie sans rencontrer sept maisons contenant exactement sept chats chacune. Les maisons, les chats et les souris ne sont pas là pour enregistrer quoi que ce soit. On les a disposés pour qu’un élève calcule les puissances de sept, étage après étage. Il y a trois mille cinq cents ans, quelqu’un s’est assis pour inventer une plaisanterie et en faire un devoir. Comme en Mésopotamie, bien des énoncés égyptiens choisissent délibérément des données qui épousent à merveille les procédures de calcul. Qu’un problème parle d’un grenier et qu’il soit l’enregistrement réel d’un grenier sont deux choses entièrement différentes.

Les problèmes 56 à 60 du papyrus Rhind portent sur ce que l’on appelle le seked. Un plan incliné y est décrit par le nombre de palmes et de doigts de déplacement horizontal pour une coudée d’élévation. Nous parlerions de pente dans notre vocabulaire, mais le texte n’utilise ni angles ni fonctions trigonométriques.

Pour les grands travaux de l’Ancien Empire, nous disposons par ailleurs de témoignages directs exceptionnellement solides. Le journal de Merer, découvert au Ouadi el-Jarf, date de la fin du règne de Khéops. Le texte le situe dans l’année suivant le treizième recensement du bétail, généralement convertie en vingt-sixième ou vingt-septième année de règne. Merer commande un groupe d’une quarantaine de bateliers. Quatre groupes semblables forment une équipe de travail. Le journal suit le transport du calcaire de Toura par voie d’eau vers la zone des chantiers de Khéops à Gizeh. Dates, effectifs et affectations y sont consignés.

Merer n’est ni un mathématicien ni un ingénieur au sens ultérieur du mot. C’est un surveillant qui a une quarantaine d’hommes sous ses ordres et doit livrer les pierres à destination selon le calendrier prévu. Son journal importe parce qu’il montre combien de sortes d’enregistrements il faut pour faire fonctionner un tel chantier ; derrière chacune, il faut quelqu’un qui sache calculer. Celui qui sait calculer n’a pas nécessairement rédigé un problème ; celui qui rédige des problèmes n’a pas nécessairement escorté un bateau. Les traces dans les carrières, les marques d’équipes et les établissements ouvriers sont également là. Le degré d’organisation du chantier ne fait aucun doute.

Mais aucune table de calcul de pente de l’époque de Khéops ne nous est parvenue, et le papyrus Rhind lui est postérieur de près de mille ans. On peut effectivement exprimer rétrospectivement les pentes réelles des pyramides dans l’unité plus tardive du seked. Certaines donnent même des rapports très simples de palmes et de doigts. Il est donc tout à fait raisonnable de penser que les architectes de l’Ancien Empire maîtrisaient une technique équivalente de contrôle des pentes. Déduire des mesures observées qu’ils concevaient leurs ouvrages précisément selon la procédure du problème 56 reste toutefois une inférence. Les chercheurs qui étudient les dessins architecturaux de l’Égypte ancienne ont aussi rappelé que bien des croquis conservés ne sont pas des plans d’exécution à l’échelle au sens plus tardif.

L’Égypte possède par ailleurs ses propres unités de capacité. Une mesure appelée héqat est successivement divisée par deux ; ces unités sont bien attestées dans la mesure des céréales, la distribution des rations et les conversions de volumes. Des problèmes du papyrus Rhind montrent expressément comment passer de l’une à l’autre. Ces fractions obtenues par moitiés nourriront plus tard une explication merveilleusement séduisante. Nous y reviendrons.

Le nom d’Ahmès est resté en tête du rouleau. Il ne se disait pas mathématicien. Il faudrait attendre encore longtemps pour que le mot existe. Il se disait celui qui copie.

Je pense

L’une des histoires les plus répandues sur l’origine de la géométrie nous vient d’Hérodote.

Dans son récit, un roi d’Égypte partage le sol en carrés égaux et prélève une redevance annuelle. Si le Nil emporte une partie du terrain d’un sujet, le roi envoie mesurer ce qui reste et réduit la redevance en conséquence. Hérodote ajoute alors une phrase qui signifie en substance : je pense que la géométrie a été découverte ainsi, avant de passer en Grèce. Deux points demandent qu’on s’y arrête.

Le premier est la date. Hérodote écrit vers le milieu du Ve siècle avant notre ère. Si son roi reflète surtout une tradition du Moyen Empire, treize à quinze siècles environ le séparent de la royauté dont il parle. Même en prenant son histoire comme une description générale des institutions égyptiennes, il écrit plus de mille ans après la tradition à laquelle appartient le papyrus Rhind.

Le second point est plus important encore : il a lui-même mis une étiquette. « Je pense » figure dans le texte. Hérodote présente l’invention de la géométrie comme sa propre explication, pas comme une phrase tirée des archives égyptiennes. Ceux qui ont transmis l’histoire après lui ont supprimé ces mots.

Deux mots, et tout change. Avec eux, nous avons la déduction d’un voyageur à partir de ce qu’il a vu et entendu. Sans eux, nous avons un témoignage sur les origines. Sous cette seconde forme, le récit est plus facile à retenir et plus facile à employer. C’est donc lui qui a voyagé le plus loin.

Que les Égyptiens aient arpenté leurs terres n’est pas contesté. Nous avons des problèmes d’aires, des relevés de parcelles, des activités de mesure à la corde, des documents de taxes et de redevances. Ce qui manque, c’est un document égyptien disant : la crue a effacé nos limites, alors nous avons inventé la géométrie.

L’histoire a ensuite pris de l’embonpoint. Une corde à douze nœuds, les côtés trois-quatre-cinq pour rétablir un angle droit : même Hérodote ne donne pas ces détails. Ils ont poussé dans les histoires modernes des mathématiques.

Plaçons les deux côte à côte, et une chronologie apparaît. L’inférence d’Hérodote date du Ve siècle avant notre ère. La corde à douze nœuds vient des temps modernes. Plus le récit devient précis, plus il est jeune. Il en existe un troisième, plus jeune que les deux autres. Nous avons vu que les unités de capacité égyptiennes se subdivisaient par moitiés successives. Une explication fait de ces fractions une histoire d’une beauté parfaite.

Horus combat Seth et son œil est mis en pièces. Les fragments se dispersent. À chacun correspond une fraction obtenue en partageant par deux : un demi, un quart, un huitième, jusqu’à un soixante-quatrième. Réunissez tous les fragments : il manque un tout petit peu pour retrouver un œil entier. Thot, le dieu de la sagesse, fournit la part manquante. L’histoire est si belle qu’elle semble pouvoir se passer de vérification. Fractions, mythe, lacune, réparation : tout y est. Même la part qui manque est exactement la plus petite.

Ritter a retracé la genèse moderne de cette histoire. Au début du Moyen Empire, les signes des fractions de capacité relèvent principalement de l’écriture hiératique. Aucun texte antique ne dit qu’ils sont les parties d’un œil. La version forte, qui dessine véritablement chacun de ces signes comme un morceau de l’œil, se forme peu à peu dans les comparaisons de signes du début du XXe siècle. Dans les années 1920, sa diffusion par Gardiner et les manuels d’histoire des mathématiques en fait un classique.

Bien sûr, le mythe de l’œil d’Horus blessé puis restauré est ancien. Mais la première formulation explicite qui fait correspondre six fragments à six fractions par moitiés successives vient de l’égyptologie moderne, quelque trois mille cinq cents ans après l’époque concernée. Trois histoires, chacune plus jeune que la précédente, qui parlent toutes de choses vieilles de trois ou quatre millénaires.

Ce récit possède une autre particularité, moins visible. Il n’a pas de personnage principal. Il parle de l’Égypte, jamais d’un Égyptien. Cette époque a laissé si peu de noms qu’une histoire des origines ne trouve personne à qui s’attacher. Elle finit par s’accrocher à un fleuve tout entier.

Un problème du même ordre apparaît avec les nilomètres. L’Égypte enregistre très tôt la hauteur des crues ; la tradition des annales royales de l’Ancien Empire comporte déjà des données annuelles de niveau d’eau. Plus tard, les nilomètres construits prennent différentes formes : colonnes, escaliers, puits, gradués en coudées. Le niveau de l’eau est bien entendu étroitement lié au potentiel agricole. Trop bas, il laisse trop peu de terres irrigables ; trop haut, il détruit. Que l’État connaisse l’état des eaux, estime à partir de lui les récoltes et ajuste sa capacité de prélèvement est une reconstitution très raisonnable.

Mais, pour la période dont nous parlons, aucun barème fiscal pharaonique conservé ne permet d’écrire : tant de coudées d’eau égalent tel taux d’imposition. Les preuves détaillées d’un lien serré entre mesures des nilomètres et fiscalité sont bien plus abondantes pour les époques ptolémaïque, romaine et surtout islamique. Le célèbre nilomètre de Roda date lui-même de 861 de notre ère. La relation d’ensemble est crédible ; la conversion mécanique précise n’appartient pas à cette période. Si l’on quitte le récit pour regarder de nouveau les archives elles-mêmes, autre chose apparaît.

Le nombre d’objets écrits en cunéiforme découverts est généralement estimé entre cinq cent mille et un million. En 2016, plus de trois cent mille avaient été catalogués. Environ deux mille relèvent des mathématiques. Les documents administratifs de la seule troisième dynastie d’Ur sont autour de cent vingt mille. L’Égypte, elle, compte environ vingt-cinq textes spécifiquement mathématiques. Cette distribution produit au moins quatre biais systématiques.

La part la moins coûteuse et la plus fréquente de l’apprentissage est justement celle qui se conserve le moins. Les exercices quotidiens sur argile humide ont été effacés. Seules les tablettes jetées puis séchées, ou durcies par un incendie fortuit, sont entrées dans les archives archéologiques. Les zones inondables d’Égypte sont presque muettes, tandis que les nécropoles désertiques et les établissements en bordure du désert gardent plus facilement des objets. L’échantillon moderne penche ainsi vers la religion, les sépultures et quelques sites secs. Les textes savants se voient bien mieux que les connaissances ordinaires. Comment un paysan, un marchand ou un chef d’équipe calcule de tête, noue une corde, évalue une quantité à l’œil dans un récipient, retient oralement une dette : il n’en laisse généralement aucun récit de sa main. L’école elle-même repose largement sur la mémoire et la parole. Modèles de maîtres, copies d’élèves, récitations dans les textes littéraires, espaces d’exercice sans cesse effacés attestent indirectement un enseignement oral. Quelle proportion du cours passait par la voix ? Impossible à calculer.

Un autre biais tient à la main qui tient le calame. Dire que les scribes étaient tous des hommes est faux. Le titre de femme scribe est attesté au moins dès les époques d’Akkad et d’Ur III, et les preuves se précisent à l’époque paléo-babylonienne. Les chercheurs ont identifié plusieurs textes scolaires dont une femme signe la notice finale, depuis les exercices élémentaires de syllabes et de vocabulaire jusqu’à la littérature sumérienne. Au sein d’un groupe de femmes paléo-babyloniennes, on connaît aussi des cas de maîtrise de l’écrit, de gestion de biens et de rédaction d’actes. Amat-Mamu est l’un des noms souvent cités.

Dans le même temps, une masse de comptes d’Ur III place les femmes et les esclaves du côté des personnes que l’on calcule. Ouvrières du textile, travailleurs dépendants, enfants sont convertis en rations et en journées de travail, puis inscrits sous le nom d’un surveillant. Les deux faits sont vrais à la fois.

Les archives sont produites par ceux qui tiennent le calame. Leur silence sur les autres est donc un biais laissé par les institutions qui les fabriquent, pas le résultat d’une enquête sur les capacités de la population. Déduire de la rareté des femmes ordinaires et des esclaves écrivant des tablettes mathématiques dans ces comptes qu’ils ne savaient pas calculer, c’est faire marcher l’inférence à l’envers.

Qui a le premier appris à compter à quelqu’un ? Comment les enfants de familles étrangères au métier de scribe apprenaient-ils l’arithmétique quotidienne ? Combien de méthodes n’ont jamais été écrites ? Quelle était la procédure complète de conception des premiers architectes égyptiens ? Comment fonctionnait la comptabilité orale avant l’apparition de l’écriture à Uruk ? Nous ne le savons pas. Toute histoire qui remplit ces blancs avec un ou deux rouleaux de papyrus rescapés relève de la conjecture.

Les tablettes qui restent sont celles que quelqu’un a jugé utile de garder, ou qu’un incendie a durcies par hasard. Celles qui ont été effacées pour la leçon suivante n’ont rien laissé. L’enfant qui lissait son espace d’exercice pour recommencer ne savait pas qu’il faisait disparaître des preuves.

On continue de compter. Ce qui compte comme mathématiques, en revanche, n’a jamais été clairement tranché.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous éclairent les détails historiques et les désaccords d’interprétation évoqués dans ce texte. Les notices de musée, la littérature antique et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Damerow : Kushim et les origines de l’écriture
• Robson : les usages des mathématiques dans l’Irak ancien
• Robson : Au-delà de la métrologie
• British Museum : BM 13901
• British Museum : le papyrus mathématique Rhind
• Robson : réévaluer Plimpton 322
• Tallet : documents de publication des papyrus du Ouadi el-Jarf

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