Zählen, Vermessen und Buchhaltung

Schafe und Getreide zählte man nicht mit denselben Zeichen

Eine Herde Schafe soll unter drei Menschen aufgeteilt werden.

Dafür muss man nicht unbedingt Zahlen aufschreiben. Man treibt die Schafe zu drei Gruppen zusammen. Wo es nach weniger aussieht, führt man eines von den anderen hinüber. Ein paarmal hin und her, dann ist die Sache erledigt. Hinterher kann niemand genau sagen, wie viele Tiere er mitgenommen hat. Aber an jenem Nachmittag hat keiner der drei etwas einzuwenden.

Schwierig wird es in anderen Fällen. Dieses Jahr muss ein Teil der Schafe abgegeben werden; wie viele, hängt davon ab, was vom letzten Jahr noch aussteht. Die Tiere sind auf mehrere Dörfer verteilt, und derjenige, der sie einzieht, ist nicht da. Anschließend sollen die eingezogenen Schafe in Getreide umgerechnet werden, das dann wieder ausgegeben wird. Den Umrechnungssatz hat jemand anders festgelegt. Da hilft es nicht mehr, drei Gruppen zusammenzutreiben. Jemand muss etwas aufschreiben. Und das Geschriebene muss sich in den Händen eines anderen, in einem anderen Monat, noch immer gleich lesen lassen. Genau das leisteten die frühesten Tontafeln.

Stellen wir uns zunächst zwei Aufzeichnungen vor. Die folgenden Szenen veranschaulichen Verfahren der Zahlennotation. Sie beschreiben keine zwei eindeutig inventarisierten Objekte, auf die man einzeln zeigen könnte.

Wir sind in Uruk, um 3300 v. Chr. Auf einer handtellergroßen Tontafel sind Zeichen eingedrückt. Es geht um eine Gruppe von Nutztieren. Wie viele es sind, steht darauf.

Die zweite Aufzeichnung stammt aus derselben Stadt und derselben Zeit. Sie hält das Volumen einer Menge Gerste fest. Heute würde man erwarten, dass der Schreiber nur die Warenbezeichnung auswechseln muss und ansonsten dieselben allgemeingültigen Zahlen verwenden kann. So einfach ließ sich das damals nicht übertragen.

Da hat sich niemand verschrieben. Es ist auch nicht bloß dieselbe Zahl in einer anderen Schrift. Wer Vieh zählte und wer Gerste abmaß, konnte damals mit zwei verschiedenen Zahlensystemen arbeiten.

Das klingt wie ein Versehen, gehörte aber zum Grundbau dieser Schrift. Der Schreiber in Uruk verfügte über keinen einzigen Satz von Zahlen, der von den Dingen losgelöst und überall einsetzbar war. Er hatte mehrere. Menschen und Tiere, die man einzeln abzählen konnte, gehörten in das eine System. Getreidevolumen in ein anderes. Für Landflächen gab es wieder eines, für Längen noch eines. Bestimmte Getreideprodukte und Rationen hatten sogar eigene Regeln dafür, wann in die nächsthöhere Einheit übergegangen wurde. Gegenüber dem gewöhnlichen Zählsystem waren das nicht zwei Schreibweisen derselben Schrift, sondern zwei verschiedene Dinge.

Damit hing der Wert eines Zeichens davon ab, was es gerade zählte. Kopierte man es unverändert aus der Spalte für Vieh in die für Getreide, bezeichnete es dort nicht dieselbe Menge. Wer eine Tafel lesen wollte, musste zuerst wissen, zu welcher Kategorie die darauf verzeichneten Dinge gehörten. Solange die Kategorie unklar blieb, hing auch die Zahl in der Luft.

Das heißt nicht, dass ein Schreiber niemals etwas umrechnen konnte. Zwischen den Einheiten bestanden Beziehungen, und die konnte man lernen. Entscheidend ist etwas anderes: Die Umrechnung ergab sich nicht aus der Zahl selbst. Sie musste von außen hinzukommen. Wie diese Zeichen zu lesen waren, hatte sich noch nicht vollständig von den gezählten Gegenständen und ihren Einheiten gelöst.

Das hatte eine sehr praktische Folge. Sobald eine Tontafel den Raum verließ, in dem sie entstanden war, konnte sie unlesbar werden. Ihr Verfasser wusste, was er zählte, und musste es deshalb nicht eigens hinschreiben. Doch gerade das Ungeschriebene war es, was der Zahl ihren Wert gab. Wenn heutige Forscher vor einer Tafel stehen, deren Fundschicht unbekannt ist, verdanken sie die Hälfte ihrer Schwierigkeiten der Mühe, die sich der damalige Schreiber gespart hat.

Man sollte diese Ordnung deshalb nicht für primitiv halten. Sie war dicht an den Dingen gewachsen. Die Hohlmaße des Getreides folgten den tatsächlich benutzten Gefäßen, die Flächenmaße der Art, wie man Felder vermaß. Jedes System lag bei seiner eigenen Arbeit gut in der Hand. Ein Hirte, der seine Schafe zählt, tut etwas anderes als ein Lagerverwalter, der Getreide entgegennimmt. Dass sich um beide Tätigkeiten jeweils eigene Zeichen ansammelten, ist nicht erstaunlich.

Im Gebrauch konnte die Trennung sogar Arbeit sparen. Wer sein ganzes Leben nur mit Hohlmaßen zu tun hatte, brauchte keine Zeichen, mit denen man auch Schafe zählen konnte. Jedes System schnitt weg, was es selbst nicht benötigte, und ließ sich gerade deshalb manchmal leichter handhaben als ein universelles. Schwierigkeiten entstanden erst, wenn zwei Systeme zusammenpassen mussten. In einem Dorf kam das nicht allzu oft vor.

In einer Stadt dagegen schon. Dort gab es Speicher, Tempel, Bauvorhaben und das ganze Jahr hindurch Zu- und Abgänge. Wer wem wie viel schuldete, musste sich in einer gemeinsamen Rechnung überblicken lassen. Von hier kam der Druck, der die nicht miteinander verrechenbaren Zeichen später in ein gemeinsames System presste. Das eigentlich Erstaunliche ist, dass sie am Ende tatsächlich darin Platz fanden. Bis dahin sollten allerdings noch mehr als tausend Jahre vergehen.

Auf den ältesten erhaltenen Tafeln steht fast nur, wer wie viel abgegeben hat, was noch aussteht und an wen etwas ausgegeben wurde. Diese Tafeln wurden nicht für die Nachwelt angefertigt. Man wollte im nächsten Monat noch nachsehen können.

Mehr als vier Fünftel der frühesten Schrift sind Rechnungen

Wenn heute von proto-keilschriftlichen Texten die Rede ist, geht es gewöhnlich um rund sechstausend Tafeln und Fragmente. Etwa fünftausend stammen aus Uruk selbst, ein weiterer Teil aus Dschemdet Nasr und anderen Orten, die unter dem Einfluss der Uruker Schrifttradition standen. Nach der herkömmlichen Periodisierung reicht dieser Bestand ungefähr von 3350 bis 3000 v. Chr.

Nissen hat diese ältesten Texte in einer klassischen Untersuchung ausgezählt. Rund 85 Prozent sind Wirtschafts- und Verwaltungsaufzeichnungen, etwa 15 Prozent nichtadministrative Texte wie Wortlisten. Selbst diese 15 Prozent gewannen vor allem in der späteren Phase an Gewicht. In den älteren Schichten sind lexikalische Texte äußerst selten; Verwaltungsaufzeichnungen überwiegen dort nahezu erdrückend.

Fragt man also, welchen Anteil Rechnungen an der ältesten Schrift ausmachen, die wir tatsächlich in Händen halten, lautet die Antwort nicht: mehr als die Hälfte. Es ist die überwältigende Mehrheit.

Mit Buchführung im späteren Sinn sind diese Rechnungen nicht gleichzusetzen. Meist sind es kurze Einträge: ein Mengenzeichen, ein Zeichen für eine Ware oder für Personen, dazu eine Kennzeichnung einer Institution oder einer einzelnen Person. Die Schrift war noch nicht so weit, beliebige gesprochene Sätze vollständig wiederzugeben. Mengen, Einheiten und Arten von Dingen waren viel deutlicher ausgebildet als die Syntax. Am besten konnte dieses System sagen: Wie viel wovon ging an wen? Viel mehr hatte es vorerst nicht zu sagen.

Auch die Personennamen kamen mit den Rechnungen herein. Auf achtzehn Tafeln aus Uruk erscheint immer wieder dasselbe Zeichenpaar, gelesen als Kuschim, zusammen mit Gerste und Braugetreide. Eine dieser Tafeln verzeichnet die gesamte Gerstenmenge, die in siebenunddreißig Monaten verwaltet wurde. Ob Kuschim ein Mensch, ein Amt oder eine Institution war, wissen wir nicht: Vor und hinter den beiden Zeichen steht fast nichts. Eine verbreitete Lesart nimmt einen Menschen an. Falls sie stimmt, ist einer der frühesten heute lesbaren Personennamen der Name auf einer Gerstenrechnung.

Hier müssen wir kurz anhalten. Die 85 Prozent beschreiben den Bestand, der überlebt hat. Tontafeln eignen sich besonders gut zur Erhaltung von Verwaltungsaufzeichnungen, vor allem, wenn sie nach dem Wegwerfen trockneten oder bei einem Gebäudebrand zufällig hart gebrannt wurden. Zahllose einmalige Markierungen, Holz, Fasern, mündliche Anweisungen und immer wieder zerdrückte und neu begonnene Übungen hatten nicht dieselbe Aussicht, erhalten zu bleiben. Aus der Verteilung fertiger Archivstücke lässt sich nicht rückwärts das eine ursprüngliche Motiv der Erfinder herausrechnen.

Die Unterscheidung mag kleinlich wirken. Sie entscheidet aber darüber, wie sich alles Weitere sagen lässt. Der Bedarf der Verwaltung bildete das entscheidende Umfeld, in dem die Schrift Gestalt annahm: Dieser Satz trägt. Buchhaltung war der einzige Grund, aus dem Schrift entstand: Dieser Satz trägt nicht. Zwischen beiden liegt nicht die Menge der Belege, sondern das Gewicht, das sie tragen können.

Nissen, Damerow und Englund formulieren vorsichtiger: Die Ausbildung der frühesten Schrift hängt eng mit der zunehmend komplexen Ressourcenverwaltung städtischer Institutionen zusammen. Das ist etwas erheblich anderes als der Satz, die Menschen hätten die Schrift erfunden, um Buch zu führen. Der erste Satz beschreibt ein Umfeld, der zweite ein Motiv. Von diesem Motiv ist uns aber kein Selbstzeugnis aus dem Jahr 3400 v. Chr. hinterlassen worden.

Bei den Zählsteinen begegnet uns dieselbe Unterscheidung. Aus dem Vorderen Orient gibt es tatsächlich zahllose kleine geometrische Tonkörper vom Neolithikum bis zur Urbanisierung: Kegel, Kugeln, Scheiben, dazu Tonhüllen, in denen solche Körper eingeschlossen waren, und Behältnisse mit Abdrücken auf der Außenseite. Schmandt-Besserat entwarf daraus eine durch Jahrtausende reichende Entwicklungslinie. Einfache Zählsteine hätten Warenmengen bezeichnet, komplexere Steine kompliziertere Warenkategorien. Dann habe man sie in Tonkugeln eingeschlossen und auf deren Oberfläche abgedrückt. Schließlich hätten zweidimensionale Abdrücke die dreidimensionalen Gegenstände ersetzt. Damit wäre die Schrift entstanden.

Die Gegenstände sind echt. In den Tonhüllen liegen tatsächlich Zählsteine. Doch die Glieder dieser Kette sind später einzeln geprüft und auseinandergenommen worden. Eine ähnliche Form beweist noch keine Kontinuität von Funktion und Bedeutung. Die Kategorien gerieten allzu sauber; bei vielen Zählsteinen fehlt jeder eindeutige buchhalterische Fundzusammenhang. Auch die behauptete Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen den Formen der Steine und den frühesten Schriftzeichen hält nicht so stand, wie es diese starke These verlangen würde. Bis heute reicht die Evidenz nicht aus, sämtliche vorgeschichtlichen Objekte dieser Art einheitlich als Buchhaltungsgeräte zu erklären. Vieles könnte von Anfang an mehreren Zwecken gedient haben.

Heute ist eher die folgende, schwächere Fassung verbreitet: Ein Teil der Zählsteine, Siegelungen und Zahlenabdrücke gehört zur Geschichte der Buchhaltungstechniken. Dafür gibt es durchaus breite Zustimmung. Über ein einheitliches Zählsteinsystem, das über Jahrtausende seine Bedeutung bewahrte und aus dem sich die Schriftzeichen einzeln ableiten lassen, besteht dagegen kein Konsens.

Menschen werden zu Arbeitstagen

Mit der Dritten Dynastie von Ur sehen die Verhältnisse völlig anders aus. Allein die bekannten Verwaltungsurkunden aus diesem Reich liegen in der Größenordnung von hundertzwanzigtausend.

Besonders aufschlussreich sind darunter die Abrechnungen oder Bilanzkonten. Das sind keine bloßen Listen von Einnahmen und Ausgaben. Sie zerlegen einen ganzen Verantwortungszeitraum in Rechenschritte. Zuerst kommt die Gesamtmenge, die abzuliefern oder zu leisten war. Davon zieht man anerkannte Ausgaben, Verluste und bereits erbrachte Leistungen ab. Die Differenz wird als Überschuss oder Fehlbetrag ausgewiesen. Den Schluss bilden Datum, Verantwortlicher und Erläuterungen zur Rechnungsprüfung.

Der entscheidende Schritt ist die Umrechnung. Arbeitskraft wird in Arbeitstage verwandelt. Auch Getreide, Wolle, Textilarbeit und landwirtschaftliche Tätigkeiten lassen sich anhand festgelegter Produktivitätsnormen in vergleichbare Größen umrechnen. Die Urkunden aus Umma und anderen Orten zeigen, dass Menschen gewöhnlich unter Vorarbeitern oder Aufsehern organisiert waren. Die Verwaltung wollte dabei nicht wissen, wie viele heute gekommen waren. Sie wollte wissen, wie viele Arbeitstage diese Gruppe nach der geltenden Norm abzuliefern hatte.

Damit steht im Zentrum der Rechnung der Aufseher, nicht der Arbeiter.

Nach der Umrechnung ist manches nicht mehr zu sehen. Der eine ist heute krank, ein anderer langsamer als die übrigen, ein dritter hat den schwersten Abschnitt übernommen. In der Einheit Arbeitstag sind sie alle gleich. Die Rechnung leugnet diese Unterschiede nicht. Sie hat nur keinen Platz für sie vorgesehen. In die Gesamtabrechnung darf allein eine Zahl eintreten. Und sobald sie darin steht, erkennen alle weiteren Additionen und Subtraktionen nur noch diese Zahl an.

Eine Gruppe von Aufzeichnungen aus den Regierungsjahren 37 bis 40 Schulgis führt Hunderte Arbeiterinnen samt ihren Arbeits- und Getreideverpflichtungen fortlaufend unter dem Namen eines Mannes namens Lu-Urub, Sohn des Minar-ni. Solche Archive zeigen, dass ein Vorarbeiter nicht bloß morgens die Namen aufrief. Er war ein dauerhafter Bezugspunkt rechnerischer Verantwortung. Weil die Konten Jahr für Jahr unter dem Namen des Verantwortlichen wiederkehren, können heutige Forscher diese Form der Verantwortungsrechnung überhaupt rekonstruieren.

Fehlbeträge ließen sich vortragen. Was fehlte, blieb als Rückstand für die nächste Periode stehen, was darüber hinausging, wurde als Überschuss verbucht. Die nächste Gesamtabrechnung konnte den Saldo der vorigen übernehmen. So konnte ein Name über Jahre hinweg eine Zahl mit sich durch die Bücher tragen.

Hinter der Gesamtabrechnung lag noch eine weitere Schicht. Quittungen, gesiegelte Belege und kleine Einzelurkunden wurden bis zur Prüfung aufbewahrt. Erst nach dem Abschluss der Abrechnung änderte sich ihr Beweiswert. In der Dritten Dynastie von Ur bildete sich sogar eine eigene Tradition von Behältnissen heraus, in denen diese Belegtafeln aufbewahrt wurden. Eine Bilanz war deshalb nicht eine Tontafel. Sie war eine Tontafel und ein Korb voller Tontafeln.

Eine Behauptung ist weit verbreitet: Starb ein Arbeiter, sei sein unerfülltes Soll auf die Angehörigen übergegangen. Hier müssen wir bremsen. Es gibt tatsächlich Urkunden über Todesfälle und Personalersatz, ebenso über Rationen für Hinterbliebene oder Waisen. Es gibt auch Fehlbeträge, die auf den Konten von Vorarbeitern vorgetragen wurden. Doch aus diesen beiden Arten von Belegen folgt noch nicht, dass ein Verstorbener seinem Sohn Arbeitsschulden vererbte. Bisher lässt sich keine Tafel anführen, auf der zugleich steht: Dieser Mensch ist gestorben, er schuldet noch so viele Arbeitstage, und dieser Rückstand geht auf jenen Angehörigen über. Belegt ist nur: Diese Buchhaltung konnte Fehlbeträge über Jahresgrenzen hinweg fortbestehen lassen. Dass das unerfüllte Soll eines einzelnen Arbeiters nach seinem Tod nach Erbregeln zur Schuld seiner Familie wurde, ist nicht unmittelbar nachgewiesen.

Warum rutscht diese Behauptung so leicht durch? Weil sie so gut passt. Ein System, das lebende Menschen in Arbeitstage umrechnet, müsste, weitergedacht, doch auch ihre Schulden den Söhnen zurechnen können. Der Gedankengang ist elegant. Nur das Material kommt nicht mit. Zwischen dem, was ein System tun konnte, und dem, was es tatsächlich getan hat, bleibt ein Zwischenraum. Wo Belege fehlen, dürfen wir ihn nicht selbst ausfüllen.

Ähnlich verhält es sich mit der Haftung des Aufsehers. Dass er für Fehlbeträge verantwortlich war, ist im Wesentlichen gesichert. Aber unter seinem Namen wurde ein administratives Verantwortungskonto geführt; daraus wird noch keine unbeschränkte persönliche Schuld im Sinn späteren Zivilrechts. Ob Lu-Urub die Zahlen auf seinem Konto wirklich aus seinem Privatvermögen ausgleichen musste, ist nicht ausreichend belegt. Dass er der Sohn des Minar-ni war, steht auf den Tafeln. Was er zu Hause besaß, steht dort mit keinem Wort.

Eines jedenfalls ist klar. Die Verwaltung eines südlichen Stadtstaates konnte zu dieser Zeit bereits Hunderte lebende Menschen, ihre Kraft eines ganzen Jahres und das Getreide, das sie verzehrten, in ein und dieselbe addier- und subtrahierbare Größe umrechnen. Das Ergebnis konnte sie unter den Namen eines einzigen Menschen setzen.

Die abstrakte Ebene

Seit dem späten dritten Jahrtausend v. Chr., besonders unter der Dritten Dynastie von Ur, lässt sich noch eine andere Bewegung beobachten. Immer häufiger wandelten die Schreiber konkrete Maßangaben zunächst in abstrakte Zahlen eines Stellenwertsystems zur Basis sechzig um. Auf dieser abstrakten Ebene rechneten sie. Anschließend übersetzten sie das Ergebnis zurück in die tatsächlichen Einheiten.

Dabei muss man zwei Dinge auseinanderhalten. Eine Zähltradition, in der sechzig eine wichtige Schwelle zur nächsthöheren Einheit bildete, gab es schon in Uruk. Dass man Zahlen wirklich aus den Wareneinheiten herauslöste und dieselbe Zeichengruppe je nach Position für verschiedene Potenzen von sechzig verwendete, ist jedoch erst im späten dritten Jahrtausend klar zu erkennen. Unter der Dritten Dynastie von Ur ging das in die Rechenpraxis ein, in den altbabylonischen Schulen erreichte es seine volle Ausprägung. Getragen wurde diese abstrakte Ebene von Tabellen.

Die üblichen altbabylonischen Reziprokentabellen führen nicht einfach alle Zahlen von eins bis neunundfünfzig auf. Hauptsächlich enthalten sie Zahlen, deren Kehrwert im Sechzigersystem endlich darstellbar ist; eine typische Tabelle umfasst etwa zwanzig bis dreißig Zeilen. Zahlen, deren Kehrwert im Sechzigersystem nicht endlich darstellbar ist, lässt sie schlicht aus. Brauchte man sie, konnte man zerlegen, sich annähern oder ein anderes Verfahren wählen. Multiplikationstabellen reihten die Produkte einer bestimmten wichtigen Zahl mit einer Folge von Faktoren untereinander auf. Maßtabellen überführten die überlieferten Einheiten für Länge, Fläche, Volumen und Gewicht in abstrakte Größen des Sechzigersystems. Der Kern dessen, was Schüler beim Rechnen lernten, lässt sich in einem Satz zusammenfassen: Division wird zur Multiplikation mit dem Kehrwert. Man findet zunächst, auswendig oder durch Nachschlagen, den Kehrwert des Divisors und multipliziert dann damit. Diese Tabellen waren also kein beigegebenes Nachschlagewerk. Sie waren der Boden, auf dem Rechnen überhaupt stattfand.

Für einen Schüler hieß das: Was er auswendig wissen musste und was er tun konnte, war ein und dieselbe Sache. Hatte er eine Reziprokentabelle im Kopf, konnte er dividieren. Hatte er sie nicht gelernt, bewegten sich die Zahlen in seinen Händen nicht. Das Können saß im Gedächtnis. Und das Gedächtnis brauchte die Wiederholung, immer wieder in Ton. Deshalb nehmen Tabellen unter den erhaltenen Schultafeln so viel Raum ein.

Dieses Stellenwertsystem hatte eine auffällige Lücke. In der frühen Zeit gab es gewöhnlich weder ein festes Komma zur Trennung von ganzen Zahlen und Bruchteilen noch ein Nullzeichen als Platzhalter innerhalb einer Zahl im späteren Sinn. Ein und dieselbe Schreibung konnte theoretisch das Sechzigfache, das Dreitausendsechshundertfache oder auch nur ein Sechzigstel bedeuten. Aus den Einheiten, der Größenordnung und dem Zusammenhang der Aufgabe gewannen die Schreiber den absoluten Wert zurück. Der Maßstab stand also nicht innerhalb der Zahl.

Bisher ist allerdings auch keine Tafel bekannt, die eindeutig belegt, dass ein Schreiber wegen der fehlenden Null falsch gerechnet hat, und bei der sich andere Ursachen, etwa ein beim Abschreiben verrutschtes Zeichen, ausschließen lassen. Die Lücke war da. Anscheinend brachte sie die Menschen aber nicht zu Fall.

Anders gesagt: Diese Schreibweise ließ einen Teil der Arbeit außerhalb der Tafel liegen. Die Zahlen waren für die relativen Beziehungen zuständig. Die Menschen mussten im Kopf behalten, ob es um Getreide oder Silber ging, um einen ganzen Speicher oder um eine Tagesration. Das war kein System, das sich selbst genügte. Es brauchte jemanden daneben, der aufpasste.

Entscheidend ist, auf welcher Ebene die Vereinheitlichung stattfand. Kein König schaffte über Nacht sämtliche Einheiten ab. Volumen, Gewicht, Länge und Fläche behielten ihre jeweiligen Maße. Händler und Lagerverwalter benutzten sie wie zuvor. Vereinheitlicht wurde die Ebene des Rechnens. Über standardisierte Umrechnungstabellen ließen sich die verschiedenen Einheiten auf dasselbe abstrakte System abbilden. Die Maßtabellen waren die Tür zwischen diesen beiden Ebenen.

In der heutigen Literatur heißt diese Standardisierungsphase manchmal kurz „Schulgis Reformen“. Das ist ein handliches Etikett. Nur gibt es keine königliche Erlasstafel Schulgis, die einem neuzeitlichen Maß- und Gewichtsgesetz entspräche und Punkt für Punkt verkündete, welche Einheit von heute an wie viel gelten sollte. Sagen lässt sich: Unter seiner langen Herrschaft trieb der Staat die Vereinheitlichung von Maßen, Abgaben, Arbeitsdiensten und Rechnungen erheblich voran. Welche einzelnen Beziehungen zwischen Einheiten der König persönlich anordnete, wird aus der später einheitlichen Urkundenpraxis zurückerschlossen.

Über Schulgi selbst gibt es dagegen eine besonders verlockende Quelle. Gerade sie muss mit eingeschränktem Beweiswert verwendet werden. In einer Schulgi-Hymne behauptet er, als Jugendlicher die Schule besucht, die Schreiberkunst auf sumerischen und akkadischen Tafeln gelernt und Subtraktion, Addition, Rechnen und Buchhaltung sicher beherrscht zu haben. Eine andere Hymne nennt ihn einen gelehrten Schreiber. Nur stammen die erhaltenen Abschriften dieser Hymnen überwiegend aus altbabylonischen Schulen. Sie wurden ungefähr zwei- bis dreihundert Jahre nach Schulgis Lebzeiten geschrieben. Vielleicht bewahren sie die Tradition höfischer Lobgesänge. Sie beweisen aber nicht, dass der historische Schulgi als Junge wirklich in einem solchen Unterricht saß. Heute liest man sie gewöhnlich als Zeugnisse königlicher Ideologie und des Ideals eines umfassend gebildeten Herrschers, nicht als Lebenslauf.

Dass ein König sich die Fähigkeit zum Buchführen in seine Lobgesänge schreiben lassen wollte, sagt für sich genommen schon einiges.

Vierzehnhundert Tontafeln in einem Haus

In Nippur wurde ein Wohnhaus ausgegraben, dem die Forscher bei der alphabetischen Kennzeichnung der Häuser eines Viertels einen der hinteren Buchstaben zugewiesen haben. Etwa 1425 Tafeln und Fragmente wurden darin gefunden, mehr als 90 Prozent davon Schreibübungen. Das unterscheidet diesen Bestand grundlegend von den vielen mathematischen Tafeln unbekannter Herkunft: Hier lässt sich das Unterrichtsmaterial in die Räume und Ablagerungsschichten eines wirklichen Hauses zurücklegen.

Schon die Form der Übungstafeln lässt Bilder entstehen. Bei einem Typ steht auf der Vorderseite in einer Spalte das Muster des Lehrers. Daneben liegt das Feld, in dem der Schüler es nachschreibt. Auf der Rückseite können längere, früher gelernte Texte stehen. Auf einer anderen, kleinen runden Tafel schreibt der Lehrer eine Zeile vor, und der Schüler wiederholt sie daneben. Die Übungsflächen der Schüler wurden häufig geglättet und wiederverwendet.

Eine Tafel konnte oft benutzt werden. Damals war das eine Ersparnis, heute ist es ein Verlust. Was ein Schüler geübt hatte, wo er sich irrte und wie oft er etwas korrigierte, verschwand größtenteils mit der weggewischten Tonschicht. Erhalten blieb der letzte Versuch, den er nicht mehr rechtzeitig löschte, oder die Tafel, die er beiseitelegte, nachdem es endlich stimmte.

Tafeln fühlten sich sehr verschieden an. Die runde Tafel Nummer 7289 in Yale hat einen Durchmesser von ungefähr acht Zentimetern. Man kann sie auf einer Handfläche halten. Die Tafel Nummer 13901 im British Museum ist dagegen etwa 19,4 Zentimeter breit und 11,7 Zentimeter hoch. Dafür braucht man schon beide Hände oder einen Tisch. Und was tat man bei einem Fehler? Solange der Ton feucht war, glättete man ihn mit einem Finger oder einem Werkzeug und schrieb neu. War eine Tafel erst ganz durchgetrocknet, ließ sie sich nicht mehr so leicht ändern. Deshalb sieht man auf endgültig ausgefertigten Tafeln oft nachgeritzte Zeichen, zusammengedrängte Schrift und Unebenheiten, die örtliches Auswischen hinterlassen hat.

Die Reihenfolge des Unterrichts ist rekonstruiert. Tinney, Robson, Veldhuis und andere haben aus Tafelformen, Textkombinationen und Abschreibrichtungen eine Grundfolge für Nippur zusammengesetzt. Am Anfang stand, Keile zu setzen und einzelne Zeichen zu schreiben. Es folgten bestimmte Zeichenübungen, dann Silbenfolgen, danach Namenslisten und nach Sachgruppen geordnete Wortlisten. Anschließend kamen komplexere lexikalische Serien, Maßtabellen, Zahlen und Rechentabellen. Nach Abschluss dieser Grundausbildung schrieben die Schüler Königshymnen, Sprichwörter, Streitgespräche und Mythen ab.

Die Erzählung vom ersten bis zum letzten Schultag braucht allerdings eine Fußnote. Was wir haben, ist eine archäologisch rekonstruierte Abfolge, kein antiker Lehrplan. Schüler konnten wiederholen, etwas überspringen oder mehrere Dinge nebeneinander üben. Auch darf das Material eines einzelnen Hauses nicht ohne Weiteres zum Bildungssystem ganz Babyloniens erklärt werden. Robson selbst warnt ausdrücklich vor solchen Übertragungen.

In der altbabylonischen Literatur gibt es Dialogtexte, die später unter der Bezeichnung „Schulleben“ zusammengefasst wurden. Auch sie gehörten zu den Texten, die Schüler abschrieben. Einer beginnt am Morgen. Der Schüler nimmt seine Tafel mit in die Schule, liest seinen Text laut vor, isst zu Mittag und bereitet eine neue Tafel vor. Zu Hause muss er das am Tag Gelernte noch einmal vor seinem Vater aufsagen.

Am nächsten Morgen prüft der Lehrer seine Tafel und entdeckt eine ausgelassene Stelle. Zum ersten Mal trifft ihn der Stock.

Erst danach zeigt der Text sein ganzes Gesicht. Der für die Aufgaben Zuständige schlägt ihn; was er dazu sagt, ist auf der Tafel weggebrochen. Der Hofaufseher schlägt ihn und fragt, warum er gesprochen habe, während der Aufseher nicht da gewesen sei. Ein anderer schlägt ihn, weil er den Kopf nicht richtig aufrecht hält. Der für das Zeichnen Zuständige schlägt ihn und fragt, warum er von seinem Platz aufgestanden sei. Der Türhüter schlägt ihn, weil er durch die Tür gegangen ist. Wieder einer schlägt ihn, weil er etwas genommen hat; der Name des Gegenstands fehlt in einer Bruchstelle. Der Sumerisch-Aufseher schlägt ihn, weil er Akkadisch gesprochen hat, als Sumerisch verlangt war. Zuletzt kommt sein eigener Lehrer: Seine Schrift sei schlecht. Den Vorfall am Morgen mitgezählt, sind es neunmal Prügel an einem einzigen Tag, und die Gründe werden immer kleinteiliger.

Noch am selben Abend lädt der Vater des Jungen den Lehrer nach Hause ein. Er trägt Speisen und Trank auf und schenkt ihm Kleidung. Nachdem der Lehrer getrunken hat, wendet er sich um und lobt den Schüler.

Diese Szene passt so gut, dass man sie fast lieber nicht überprüfen möchte. Umso nötiger ist der sofortige Hinweis: Sie stammt aus der Schulliteratur, nicht aus dem Disziplinarprotokoll jenes Tages. Solche Texte entstanden in altbabylonischer Zeit. Anders als der Grieche, von dem später noch die Rede sein wird, kommen sie also nicht erst tausend Jahre danach. Trotzdem handelt es sich um Literatur. Die Serie der Prügel und die Einladung zum Essen mögen wirkliche Einrichtungen und Gepflogenheiten aufgreifen. Sie beweisen nicht, dass jede Schule jeden Tag so funktionierte.

Unabhängig davon belegt die Form der Tafeln etwas anderes. Lehrervorlagen und Schülerabschriften stehen tatsächlich nebeneinander. In den Schülerfeldern sieht man Wiederholungen, Auswischen und Neuschreiben. Fortgeschrittene schrieben tatsächlich Literatur ab. Vormachen, Nachmachen, Prüfen, Korrigieren: Diese Linie ist gut abgesichert.

In Ur gibt es ein weiteres Haus, dem die modernen Ausgräber die Adresse „Quiet Street 7“, also Stille Straße 7, gaben. Über zweitausend Urkunden und Übungstexte kamen dort zum Vorschein. Sie gehören zur Familie des Ku-Ningal. Häufig heißt es, hier habe eine erbliche Schreiberfamilie gelebt. Dieses Etikett muss man korrigieren. Ku-Ningal und mehrere seiner Söhne waren Reinigungspriester. Dass im Haus unterrichtet wurde, ist verlässlich belegt; den Beruf der ganzen Familie auf das Schreiben zu reduzieren, vereinfacht zu stark. Zu den nachweisbaren Personen gehört sein Sohn Ur-Nanna. Auf seinem Siegel wird er als Priester im Umfeld des Mondgottes und als Verantwortlicher für das Archiv bezeichnet.

Und war das nun erblich? Die beste Antwort lautet: Es gab eine ausgeprägte familiäre Kontinuität, aber keinen rechtlich abgeschlossenen Berufsstand. Schriftkenntnisse, Tafelsammlungen, Beziehungen und der Zugang zu Ämtern konzentrierten sich in den Familien und verschafften ihnen selbstverständlich Vorteile. Die wechselnden Namen und Amtstitel zeigen zugleich, dass keine starre Schreiberkaste bestand. Auch gab es keine einheitliche Gehaltstabelle. Getreide, Wolle, Erträge aus Land, Rationen und das Amt selbst konnten zum Einkommen gehören. Aus dem Ansehen der Schreiber folgt nicht, dass jeder kleine Kopist wohlhabend war.

Für die Behauptung, die Schulen hätten begabten Kindern aus einfachen Verhältnissen offengestanden und Lesen und Schreiben seien dadurch zur sozialen Aufstiegsleiter geworden, gibt es nur schwache direkte Belege. Die erhaltenen Unterlagen zu Schülern weisen deutlich auf Familien, die bereits über Mittel und Verbindungen in Verwaltung und Priesterschaft verfügten. Wie groß die Chance eines Kindes aus einer gewöhnlichen Bauernfamilie war, in eine höhere Schreiberausbildung zu gelangen, lässt sich nicht berechnen.

Aufgaben ohne Ausgang

Die Tafel Nummer 13901 im British Museum enthält in vier Spalten vierundzwanzig Aufgaben über Seitenlängen und Flächen von Quadraten und Rechtecken, angeordnet vom Einfachen zum Schwierigen. Sie stammt nicht aus einer wissenschaftlichen Ausgrabung. Eine gesicherte Fundschicht gibt es nicht.

Wer die vierundzwanzig Aufgaben nacheinander liest, kann einiges kaum übersehen. Sie bilden eine Stufenfolge. Dieselbe Operation kehrt in immer neuen Abwandlungen wieder. Die Zahlen sind auffallend glatt gewählt.

Eine solche Stufenfolge muss jemand herstellen. Die zweite Aufgabe ist ein wenig schwieriger als die erste, die dritte noch etwas schwieriger. Diese Ordnung wächst nicht von selbst aus irgendeiner Rechnung. Jemand muss zuvor erkannt haben, an welchem Schritt es schwierig wird, und dann Aufgaben entworfen haben, die sich genau an dieser Stelle unterscheiden. Wer sie verfasst, hat nicht mehr ein bestimmtes Feld oder einen bestimmten Getreidespeicher im Kopf. Er denkt daran, wo ein Schüler hängen bleiben wird.

Solche Aufgaben tragen oft das Gewand der Verwaltung. Felder, Ziegel, Kanäle, Arbeiter, Silber und Getreide gehören zum üblichen Inventar der Schreiberwelt. Dass sie im Aufgabentext vorkommen, ist ganz selbstverständlich. Trotzdem würde kein Getreideverwalter im Dienst jemals auf eine solche Aufgabe stoßen. Die Maße sind so gewählt, dass das Verfahren glatt durchläuft. Sie dienen nicht dazu, ein bestimmtes Feld zu vermessen.

Die runde Tafel in Yale gehört in dieselbe Welt. Acht Zentimeter Durchmesser, in einer Hand zu halten, Herkunft unbekannt. Auf der Vorderseite sind ein Quadrat und seine beiden Diagonalen gezeichnet. An einer Seite steht eine Zahl, nahe der Diagonale stehen zwei weitere. Eine davon gibt das Verhältnis von Diagonale zu Seite mit außerordentlicher Genauigkeit an. Die Rückseite wurde teilweise wieder geglättet. Derselbe Diagonalwert ist in Konstantentabellen überliefert. Deshalb benutzte der Schüler sehr wahrscheinlich eine bekannte Konstante; er muss sie nicht an Ort und Stelle selbst berechnet haben.

Die Tafel belegt, dass die Menschen im alten Babylonien das Verhältnis zwischen Quadratseite und Diagonale mit hoher Genauigkeit behandeln konnten. Sie belegt nicht, dass ihnen ein griechisch geordnetes System von Lehrsätzen und Deduktionen zur Verfügung stand. Wer die Tafel mit dem Namen eines späteren Lehrsatzes bezeichnet, schmuggelt eine ganze Art der Wissensorganisation mit hinein.

Am heftigsten umstritten ist Plimpton 322. Die Tafel ist ungefähr dreizehn Zentimeter breit, neun Zentimeter hoch und zwei bis drei Zentimeter dick. Ihr Ton ist sandgelb, mit rostorangefarbenen und schwarzen Flecken, deutlichen Kratzspuren und beschädigten Rändern. Erhalten sind vier Spalten und fünfzehn vollständige Datenzeilen. Links könnte ursprünglich noch ein heute verlorener Teil angeschlossen haben.

Ihr Weg lässt sich Schritt für Schritt nachzeichnen. George Plimpton kaufte sie ungefähr 1922 oder 1923 bei einem Antikenhändler. Der Verkäufer gab Senkereh, das antike Larsa, als Herkunft an. Eine wissenschaftliche Grabungsdokumentation fehlt jedoch. Deshalb lässt sich diese Herkunftsangabe nicht zu einer gesicherten Fundschicht aufwerten. In den dreißiger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts gelangte die Tafel mit Plimptons Sammlung an die Columbia University.

1945 erkannten Neugebauer und Sachs, dass die Tabellenwerte mit den Beziehungen zwischen den Seiten rechtwinkliger Dreiecke übereinstimmen. Diese mathematische Struktur lässt sich überprüfen und war nie strittig. Strittig ist, was die Tafel war.

Später bezeichneten manche Autoren sie als trigonometrische Tabelle, sogar als älteste trigonometrische Tabelle der Welt. Robson widersprach dieser Lesart in ihrer Neubewertung von 2001 bis 2002. In den altbabylonischen Quellen, so ihr Einwand, fehlt ein Begriffssystem, das späteren Tabellen von Winkelfunktionen entspräche. Für Kehrwertpaare, schulische Multiplikationstabellen, das Erzeugen von Aufgaben und die Tabellenform hingegen gibt es zahlreiche einheimische Parallelen. Sie deutete die Tafel deshalb als Arbeitsblatt eines Lehrers, der damit Aufgaben über rechtwinklige Dreiecke vorbereitete. 2017 wurde die starke These einer exakten sexagesimalen Trigonometrietabelle erneut vertreten.

Die belastbarere Einschätzung bleibt: Die Tafel hängt eng mit rechtwinkligen Dreiecken, Kehrwertpaaren und dem Erzeugen von Schulaufgaben zusammen. Um sie eine Tabelle trigonometrischer Funktionen zu nennen, muss man Begriffe hinzunehmen, die das altbabylonische Material selbst nicht bereitstellt.

Solche Schwierigkeiten der Benennung begegnen uns öfter. Auf den ursprünglichen Tafeln stehen keine symbolischen Gleichungen. Akkadische Verben beschreiben, was zu tun ist: Länge, Breite, einander halten lassen, abreißen, hinzufügen, zum Quadrat zusammenfügen. In den dreißiger und vierziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts entzifferten Neugebauer und Thureau-Dangin diese Texte erstmals in großem Umfang und verdichteten die Verfahren mithilfe moderner Algebra zu Gleichungen. Damit legten sie die mathematische Struktur äußerst erfolgreich frei. Der Erfolg hatte allerdings eine Nebenwirkung: Leser halten die Gleichung leicht für einen Gegenstand, der schon im Kopf des antiken Schreibers vorhanden war. Høyrup las die Texte später von ihrer Sprache her neu. Was wie das Lösen quadratischer Gleichungen aussieht, verweist nach seiner Deutung in der damaligen Wortbedeutung häufig auf messbare Strecken und auf das Zusammenlegen, Zerschneiden und Ergänzen von Flächen. Heute wird gewöhnlich anerkannt, dass beide modernen Beschreibungssprachen die Ergebnisse formalisieren können. Will man aber wissen, was die Schreiber selbst taten, bleibt die philologische Rekonstruktion näher an den sprachlichen Belegen.

Zurück zu den vierundzwanzig Aufgaben. Es sind keine Rechnungsunterlagen. In keine Abrechnung werden sie je eingehen. In denselben Häusern, aus denselben Händen, kommen inzwischen zwei verschiedene Arten von Erzeugnissen hervor. Die einen müssen am Ende abgeliefert werden. Die anderen helfen niemandem, dem man sie abliefern würde.

Beide benutzen denselben Wortschatz, dieselben Zeichen und sogar denselben Ton. Nur ihr Ausgang ist ein anderer. Die einen wandern in Speicher und Königshaus, die anderen in die Hände des nächsten Kindes. Sobald aber die zweite Art hergestellt wird, gewinnt sie einen eigenen Rhythmus. Geordnet wird nach Schwierigkeit, nicht nach Ernte. Hat sich dieser Rhythmus einmal durchgesetzt, braucht es keinen Befehl mehr von außen. Ob die Ernte dieses Jahr gut ausfällt, entscheidet nicht darüber, ob die zweite Aufgabe schwieriger sein soll als die erste.

Einen Prozentsatz kann man dafür nicht angeben. Der Verwendungszweck ist keine physische Eigenschaft, die man im Katalog einfach auszählen könnte. Eine Reziprokentabelle kann Schulübung sein und zugleich einer späteren Buchhaltung dienen. Eine Feldaufgabe kann vollständig erfunden sein und dennoch eine wirkliche berufliche Fertigkeit trainieren. Verlässlich angeben lässt sich die Größenordnung: Rund zweitausend mathematische Keilschrifttexte sind bekannt. Von etwa tausend liegen veröffentlichte Umschriften und Übersetzungen vor, ungefähr ebenso viele warten noch auf Bearbeitung. Einen erheblichen Teil dieser zweitausend bilden Multiplikations- und Reziprokentabellen, Quadrat- und Quadratwurzeltabellen, Maßtabellen und Schulaufgaben.

Das ganze Handwerk der Buchführung war entstanden, um Bestände zu erfassen. Kaum stand es auf eigenen Füßen, brachte es bereits Dinge hervor, die keinen einzigen Bestand erfassten. In denselben Häusern, aus denselben Händen.

Drüben am Nil

Bei Ägypten fällt zuerst ein zahlenmäßiges Missverhältnis auf. Für die gesamte Pharaonenzeit und die Zeit danach gibt es ungefähr fünfundzwanzig Stücke, die als eigenständige mathematische Texte gelten können. Etwa hundert Aufgaben sind erhalten, und die große Mehrheit davon steht auf nur zwei Papyrusrollen. Demgegenüber kennen wir rund zweitausend mathematische Keilschrifttexte.

Wer dieses Missverhältnis verstehen will, kommt an den Erhaltungsbedingungen nicht vorbei. Selbst bloß getrockneter Ton kann lange überdauern. Ein Gebäudebrand kann ihn noch härter brennen. Papyrus, Leder und Holz dagegen verrotten in feuchten Bodenschichten sehr leicht. Gerade die landwirtschaftlichen Verwaltungsstellen im Niltal und im Delta lagen an Orten, die für die Erhaltung organischer Stoffe denkbar ungünstig waren. Wer mit fünfundzwanzig gegen zweitausend die mathematische Tätigkeit beider Regionen vergleicht, vergleicht in Wahrheit ihre Böden.

Die wichtigste Rolle heißt mathematischer Papyrus Rhind. Heute ist sie in mehrere Teile getrennt. Der erste große Abschnitt im British Museum ist etwa 296 Zentimeter lang und 32 Zentimeter hoch, der zweite etwa 198,5 Zentimeter lang und ebenfalls ungefähr 32 Zentimeter hoch. Weitere Fragmente liegen in Brooklyn. Schon die beiden Hauptstücke ergeben zusammen fast 4,95 Meter. Nimmt man die Fragmente und verlorenen Verbindungsstücke hinzu, war die ursprüngliche Rolle ausgebreitet über fünf Meter lang. Das ist kein Buch zum Umblättern. Es ist eine schmale Rolle, länger als die Wand eines gewöhnlichen Wohnzimmers.

Am Anfang nennt sich der Abschreiber: Ahmose. In der Einleitung verspricht er genaues Rechnen, um die Dinge zu erforschen und allerlei Geheimnisse zu erkennen. Dann datiert er ausdrücklich: abgeschrieben im dreiunddreißigsten Jahr des Königs von Ober- und Unterägypten, Apepi. Außerdem erklärt er, sich auf eine alte Vorlage zu stützen, angefertigt unter Nimaatre, der gewöhnlich mit Amenemhet III. gleichgesetzt wird.

Diese ältere Vorlage ist nicht mehr vorhanden. Ihr einziger direkter Beleg ist der Satz, den Ahmose ungefähr dreihundert Jahre später über sie schrieb. Ob er Wort für Wort kopierte, auswählte, Zahlen aktualisierte oder mehrere Materialien miteinander verband, lässt sich nicht prüfen. Gewöhnlich akzeptiert man heute die überlieferte Datierung, die sein Selbstzeugnis bewahrt. Weiter reicht das nicht.

Abschreiben war damals keine zweitrangige Arbeit. Wenn etwas abgeschrieben wurde, hielt es jemand für wert, noch einmal zu existieren. Und wer abschrieb, konnte entscheiden, was weiterleben sollte und was nicht. Ahmose hat einen Namen und ein Jahr hinterlassen. Das ist schon mehr, als von der überwältigenden Mehrheit seiner schreibenden Zeitgenossen übrig blieb. Wie die Ägypter selbst Kindern zu diesem Beruf rieten, zeigt ein Text sehr deutlich.

Sein Rahmen ist die Reise eines Vaters mit seinem Sohn. Unterwegs zieht der Vater der Reihe nach über alle anderen Berufe her. Der Zimmermann kann sich vor Erschöpfung kaum noch aufrichten. Der Maurer ist mit Schlamm beschmiert. Der Wäscher steht den ganzen Tag im Wasser, neben den Krokodilen. Fischer, Pfeilmacher, Bote: Keiner kommt davon. Jeder Beruf erscheint schmutzig, mühselig und aussichtslos. Nach jeder Runde wiederholt der Vater sein Fazit: Kein Beruf reicht an den des Schreibers heran.

Das ist keine Untersuchung von Berufseinkommen. Der Text gehört seiner Entstehung nach zur Tradition des Mittleren Reiches. Die erhaltenen vollständigen Abschriften und zahlreichen Schulabschriften stammen jedoch überwiegend aus dem Neuen Reich. Spätere Kinder schrieben also Generation für Generation einen Text ab, der sie zum Schreiberberuf überreden sollte. Manche lesen ihn heute als Satire, andere eher als Werbung für den eigenen Berufsstand. Keine der beiden Lesarten nimmt die Schilderungen der übrigen Berufe für einen Tatsachenbericht.

In einem Punkt lügt der Text allerdings nicht. Seine Verfasser und die Kinder, die ihn abschrieben, gehörten zu derselben Gruppe: zu den Menschen, die Zeichen und Zahlen beherrschten.

Aus dem späten Neuen Reich stammt eine weitere Schulabschrift, heute Papyrus Lansing genannt und im British Museum aufbewahrt. Die Überredung funktioniert genauso. Besonders ausführlich fällt die Abrechnung mit dem Bauern aus. Ein Schreiber geht am Flussufer an Land, um die Ernte zu prüfen. Hinter ihm kommen Begleiter mit Stöcken und Nubier mit Knüppeln. Jemand verlangt vom Bauern: Gib das Getreide her. Der Bauer sagt: Es gibt keines. Darauf wird er schwer geschlagen, gefesselt und in einen Brunnen geworfen. Seine Frau wird gebunden, seinen Kindern werden Fußfesseln angelegt. Immer wieder läuft die Rolle auf denselben Rat hinaus: Werde Schreiber. Auch das ist ein Lehrtext, der zum Lernen bewegen soll, kein Protokoll einer Getreideeintreibung. Der Mann, der darin vom Boot steigt und die Ernte kontrolliert, ist genau der Mensch, zu dem der Text das Kind machen möchte.

Zurück zum mathematischen Papyrus Rhind: Auch seine Fundgeschichte ist unklar. Rhind erwarb die Hauptteile 1858 in Luxor. Dem Verkäufer zufolge stammten sie aus der Nähe des Ramesseums; eine dokumentierte wissenschaftliche Ausgrabung hatte es nicht gegeben. Nach Rhinds Tod gelangte die Hauptrolle um 1865 an das British Museum. Smith kaufte in den sechziger Jahren des neunzehnten Jahrhunderts ebenfalls in Luxor einige Fragmente, die sich später als passende Teile der Rhind-Rolle erwiesen. Seine Tochter stiftete sie 1906. Die übrigen ägyptischen mathematischen Quellen haben wiederum ihre ganz eigenen seltsamen Formen und Wege.

Die Moskauer Rolle ist ungefähr fünf Meter lang, aber nur vier bis acht Zentimeter hoch. Das ist kein Blatt, sondern ein Band. Auf ihm drängen sich fünfundzwanzig Aufgaben: Speicherberechnungen, Flächen, sogar das Volumen eines Pyramidenstumpfs mit quadratischer Grundfläche. Golenischtschew kaufte die Rolle 1893 auf dem Antikenmarkt. Auch hier ist kein Fundort bekannt.

Ein weiteres Stück besteht gar nicht aus Papyrus. Es ist eine Lederrolle von etwa fünfundzwanzig mal dreiundvierzig Zentimetern, beschrieben mit mehreren Gruppen gleichwertiger Zerlegungen in Stammbrüche. Sie gelangte mit Rhinds Material ins Museum und blieb eingerollt. Ausgetrocknetes Leder ist hart und spröde. Es mit Gewalt zu öffnen hieße, es zu zerstören. Niemand wagte sich daran. Fast siebzig Jahre lag die Rolle so da, bis sie 1927 nach entsprechender Behandlung endlich geöffnet werden konnte.

Anders als die Stücke vom Antikenmarkt stammt der Bestand aus Lahun aus einer dokumentierten Ausgrabung. Petrie fand ihn in einer Stadt des Mittleren Reiches. Damit besitzt diese Gruppe einen klaren archäologischen Zusammenhang: Man weiß, aus welchem Haus und welcher Schicht die Texte kamen. Die mathematischen Stücke bilden nur einen kleinen Teil dieser Papyri.

Ägyptische Schreiber gingen mit nichtganzzahligen Größen auf charakteristische Weise um. Einen Anteil kleiner als eins schrieben sie gewöhnlich als Summe verschiedener Stammbrüche. Am Anfang der Rhind-Rolle steht eine große Tabelle, die eine bestimmte Klasse von Brüchen in handhabbare Summen zerlegt, bis hin zu recht großen Nennern. Sie war nicht dazu da, Eigenschaften von Brüchen zu bestaunen. Die Tabelle half den Schreibern, beim Verdoppeln, Zuteilen und Dividieren auch mit Anteilen umzugehen, die sich nicht durch einfaches Halbieren gewinnen ließen. Die späteren Aufgaben der Rolle über Getreide, Brot, Bier und die Zuteilung an Arbeitskräfte greifen immer wieder auf dieselbe Gewohnheit zurück.

Im Bestand aus Lahun gibt es eine kleinere Tabelle desselben Typs. Sie ist älter als die Rhind-Rolle oder ungefähr gleichzeitig entstanden, und ihre Fundschicht ist bekannt. Die große Tabelle der Rhind-Rolle ist folglich keine isolierte Erfindung. Sie steht in einer Tradition.

In diesem System fallen Verdoppeln und Halbieren leicht. Auch lassen sich Anteile ganz selbstverständlich in standardisierte, wiedererkennbare Bestandteile zerlegen und mit Hohlmaßen verbinden. Der Preis dafür ist, dass manche Größe zur Summe vieler Glieder wird und die Wahl einer Zerlegung Übung und Nachschlagen verlangt. Wer das schwerfällig nennt, misst das System an einer späteren Schreibweise. Kein ägyptischer Schreiber hat uns eine Beschwerde darüber hinterlassen, wie lästig es sei. Erhaltene Fehler, Korrekturen und Hilfstabellen belegen, dass der Umgang damit Können verlangte. Sie beweisen nicht, dass diejenigen, die damit rechneten, es selbst für ineffizient hielten.

Auch in Ägypten gibt es Aufgaben, die in keine Abrechnung münden. Am auffälligsten ist Aufgabe 79 des Papyrus Rhind.

Sieben Häuser. In jedem Haus sieben Katzen. Jede Katze hat sieben Mäuse im Blick. Jede Maus nagt an sieben Ähren. Jede Ähre liefert wiederum sieben Hohlmaße Getreide. So steigt die Zahl Stufe für Stufe, und mit jeder Stufe wird es absurder. Am Ende lautet die Frage: Wie viel ist das alles zusammen?

Kein Lagerverwalter wird in seinem ganzen Leben sieben Häuser vorfinden, in denen zufällig jeweils genau sieben Katzen sitzen. Häuser, Katzen und Mäuse stehen in dieser Aufgabe, damit ein Schüler die Potenzen von sieben Stufe für Stufe ausrechnet. Aufzeichnen sollen sie nichts. Vor dreitausendfünfhundert Jahren setzte sich jemand hin, erfand einen Witz und machte eine Hausaufgabe daraus. Wie im Zweistromland sind auch in ägyptischen Aufgaben zahlreiche Zahlen absichtlich so gewählt, dass sie den Rechenverfahren besonders gut entgegenkommen. Ein Speicher im Aufgabentext und die wirkliche Aufzeichnung eines Speicherbestands sind zwei völlig verschiedene Dinge.

Die Aufgaben 56 bis 60 der Rhind-Rolle behandeln etwas, das Seked heißt. Eine geneigte Fläche wird danach beschrieben, wie viele Handbreiten und Fingerbreiten in der Waagerechten auf eine Elle Höhenzunahme kommen. In späterer Sprache ist das eine Neigung. Der ursprüngliche Text verwendet jedoch keine Winkel und kennt keine trigonometrischen Funktionen.

Für die Bauvorhaben des Alten Reiches gibt es unabhängig davon außerordentlich starke Zeugnisse aus erster Hand. Das in Wadi al-Dscharf gefundene Tagebuch des Merer gehört in die späte Regierungszeit des Cheops. Die ursprüngliche Datierung lautet auf das Jahr nach der dreizehnten Viehzählung; gewöhnlich wird das als sein sechsundzwanzigstes oder siebenundzwanzigstes Regierungsjahr verstanden. Merer leitete eine Gruppe von gut vierzig Bootsleuten. Vier solcher Gruppen bildeten zusammen eine Arbeitsmannschaft. Das Tagebuch verzeichnet ihre Kalksteintransporte von Tura auf dem Wasserweg zum Baugebiet des Cheops in Gizeh. Datum, Personal und Zuteilungen stehen darin.

Merer war weder Mathematiker noch Ingenieur im späteren Sinn. Er war ein Aufseher mit gut vierzig Leuten, der die Steine zum vorgesehenen Tag an den vorgesehenen Ort bringen musste. Sein Tagebuch ist wichtig, weil es zeigt, wie viele verschiedene Aufzeichnungen ein solches Bauvorhaben brauchte, um überhaupt zu laufen. Hinter jedem Eintrag musste jemand stehen, der rechnen konnte. Wer rechnen konnte, hatte nicht unbedingt je eine Rechenaufgabe geschrieben. Wer Aufgaben schrieb, hatte nicht unbedingt je einen Steintransport auf dem Wasser begleitet. Auch Steinbruchspuren, Mannschaftsmarkierungen und Arbeitersiedlungen sind vorhanden. Am hohen Organisationsgrad des Bauens besteht kein Zweifel.

Erhalten ist aber keine einzige Tabelle zur Neigungsberechnung aus der Zeit des Cheops. Und die Rhind-Rolle ist fast tausend Jahre jünger. Die tatsächlichen Neigungen der Pyramiden lassen sich durchaus rückwärts in den späteren Seked-Einheiten ausdrücken. Manche ergeben sogar auffallend glatte Beziehungen zwischen Hand- und Fingerbreiten. Dass die Baumeister des Alten Reiches eine irgendwie gleichwertige Technik zur Kontrolle von Neigungen beherrschten, ist deshalb sehr plausibel. Aus den gemessenen Werten zu folgern, sie hätten ihre Bauten genau nach dem Verfahren der Rhind-Aufgabe 56 entworfen, bleibt dennoch ein Schluss. Forscher, die sich mit altägyptischen Bauzeichnungen befassen, haben zudem darauf hingewiesen, dass viele erhaltene Skizzen keine maßstäblichen Ausführungspläne im späteren Sinn sind.

Für Volumen besaß Ägypten noch ein eigenes Gefüge von Einheiten. Ein Maß namens Hekat wurde immer weiter halbiert. Diese Teile waren in der Getreidewirtschaft, bei Rationen und beim Umrechnen von Hohlmaßen wirklich in Gebrauch. Einige Aufgaben der Rhind-Rolle führen eigens vor, wie die Einheiten ineinander umgerechnet werden. An diese Halbierungsbrüche sollte sich später eine besonders schöne Geschichte heften. Auf sie kommen wir noch zurück.

Ahmoses Name steht am Anfang der Rolle. Er hat nicht gesagt, er sei Mathematiker. Bis dieses Wort geprägt wurde, sollte noch viel Zeit vergehen. Er sagte, er sei der, der abschreibt.

Ich glaube

Eine der am weitesten verbreiteten Geschichten über den Ursprung der Geometrie stammt von Herodot.

In seiner Erzählung teilt ein ägyptischer König das Land in gleich große Quadrate und erhebt jährlich einen Pachtzins. Spült der Nil einem Menschen einen Teil seines Landes fort, schickt der König Leute, die die verbliebene Fläche vermessen und den Pachtzins entsprechend herabsetzen. Dann fügt Herodot einen Satz hinzu, dem Sinn nach: Ich glaube, auf diese Weise wurde die Geometrie entdeckt und kam später nach Griechenland. An dieser Geschichte sind zwei Dinge zu klären.

Das erste ist die Zeit. Herodot schrieb ungefähr in der Mitte des fünften Jahrhunderts v. Chr. Wenn sich in dem König seiner Erzählung vor allem Überlieferungen aus dem Mittleren Reich spiegeln, trennen ihn rund dreizehnhundert bis fünfzehnhundert Jahre von der geschilderten Herrschaftsepoche. Selbst wenn man die Geschichte ganz allgemein als Beschreibung altägyptischer Einrichtungen liest, ist er mehr als tausend Jahre jünger als die Tradition, zu der die Rhind-Rolle gehört.

Das zweite ist wichtiger. Er hat die Kennzeichnung selbst angebracht. „Ich glaube“ steht im Original. Dass deshalb die Geometrie erfunden worden sei, schreibt Herodot als seine eigene Erklärung, nicht als einen Satz aus einem ägyptischen Archiv. Spätere Weitererzähler haben etwas Bestimmtes getan: Sie ließen diese beiden Wörter weg.

Diese beiden Wörter machen einen großen Unterschied. Mit ihnen ist der Satz die Schlussfolgerung eines Reisenden aus dem, was er gesehen und gehört hat. Ohne sie wird daraus eine Überlieferung vom Ursprung. Die zweite Form lässt sich leichter merken und leichter verwenden. Also kam sie weiter.

Dass die Ägypter Land vermaßen, ist unstrittig. Flächenaufgaben, Aufzeichnungen über Grundstücke, Vermessung mit gespannten Seilen, Steuer- und Pachturkunden: All das gibt es. Was fehlt, ist irgendein einheimisches ägyptisches Dokument, in dem steht: Die Flut löschte die Grenzen aus, deshalb haben wir die Geometrie erfunden.

Später wurde die Geschichte noch dicker. Ein Seil mit zwölf Knoten soll anhand des Seitenverhältnisses drei zu vier zu fünf den rechten Winkel wiederherstellen. Nicht einmal bei Herodot kommen diese Einzelheiten vor. Sie wuchsen erst in der neuzeitlichen Geschichtsschreibung der Mathematik hinzu.

Legt man beides nebeneinander, zeigt sich eine Reihenfolge. Herodots Schlussfolgerung stammt aus dem fünften Jahrhundert v. Chr. Das Seil mit den zwölf Knoten kam in der Neuzeit auf. Je genauer die Geschichte wird, desto jünger ist sie. Und es gibt noch eine dritte, jünger als die ersten beiden. Vorhin war von den ägyptischen Hohlmaßen die Rede, die immer weiter halbiert wurden. Dazu gibt es eine Erklärung von besonderer Schönheit.

Horus kämpft mit Seth, und eines seiner Augen wird zerrissen. Die Stücke verstreuen sich. Jedes entspricht einem Bruch aus der Folge fortgesetzter Halbierungen: einer Hälfte, einem Viertel, einem Achtel, bis hinunter zu einem Vierundsechzigstel. Setzt man alle Teile zusammen, fehlt ein winziges Stück zum ganzen Auge. Dieses fehlende Stück ergänzt Thot, der Gott der Weisheit. Die Geschichte ist so gut, dass man sie fast nicht mehr prüfen müsste. Brüche, Mythos, Lücke, Ergänzung: Alles ist da. Und ausgerechnet der kleinste Anteil fehlt.

Ritter hat die moderne Entstehung dieser Geschichte verfolgt. Die Zeichen für Volumenbrüche aus dem frühen Mittleren Reich waren vor allem hieratische Schriftzeichen. Kein antiker Text sagt, sie seien Teile eines Auges. Die starke Fassung, in der diese Zeichen tatsächlich als einzelne Bestandteile des Auges gezeichnet werden, bildete sich erst allmählich in Zeichenvergleichen zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts. In den zwanziger Jahren verbreitete sie sich über Gardiner und Lehrbücher zur Mathematikgeschichte und wurde zum Klassiker.

Der Mythos vom verletzten und wiederhergestellten Horusauge ist selbstverständlich alt. Die erste ausdrückliche Aussage, sechs Teile entsprächen sechs Halbierungsbrüchen, stammt jedoch aus der modernen Ägyptologie, rund dreitausendfünfhundert Jahre nach jener Zeit. Drei Geschichten, jede jünger als die vorige. Und alle erzählen von einer Welt vor drei- oder viertausend Jahren.

Die Geschichte hat noch eine Eigenschaft, die leicht unbemerkt bleibt: Sie hat keinen Protagonisten. Sie handelt von Ägypten, nicht von einem bestimmten Ägypter. Aus dieser Zeit sind so wenige Namen überliefert, dass eine Ursprungserzählung keinen Menschen findet, an den sie sich heften könnte. Also hängt sie sich an einen ganzen Fluss.

Dasselbe Problem begegnet beim Nilometer. Die Ägypter zeichneten die Höhe der Überschwemmungen sehr früh auf; schon die königliche Annalentradition des Alten Reiches enthält jährliche Wasserstände. Spätere Nilometer wurden als Säulen, Treppen oder Schächte gebaut und hatten Skalen in Ellen. Wasserstand und landwirtschaftliches Potenzial hängen natürlich eng zusammen. Steht das Wasser zu niedrig, lässt sich zu wenig Land bewässern; steht es zu hoch, richtet es Zerstörungen an. Dass der Staat die Wasserlage kannte, danach die Ernte abschätzte und seine Möglichkeiten zur Abgabenerhebung daran anpasste, ist eine sehr vernünftige Rekonstruktion.

Aus dieser frühen Zeit ist jedoch kein pharaonischer Steuertarif erhalten, den man als Gleichung schreiben könnte: so viele Ellen Wasserstand gleich so hoher Steuersatz. Ausführliche Belege, die Nilometermessungen eng mit dem Steuersystem verbinden, sind aus ptolemäischer, römischer und besonders islamischer Zeit erheblich zahlreicher. Das berühmte Nilometer auf Roda selbst wurde 861 n. Chr. gebaut. Der Zusammenhang im Großen ist glaubwürdig. Eine präzise mechanische Umrechnung gehört nicht in die hier behandelte Zeit. Wenden wir den Blick von den Geschichten zu den Aufzeichnungen selbst, tritt etwas anderes hervor.

Die Zahl der entdeckten Keilschriftobjekte wird gewöhnlich auf fünfhunderttausend bis eine Million geschätzt. Bis 2016 waren mehr als dreihunderttausend katalogisiert. Etwa zweitausend davon sind mathematische Texte. Allein die Verwaltungsurkunden der Dritten Dynastie von Ur umfassen rund hundertzwanzigtausend Stück. Aus Ägypten dagegen kennen wir etwa fünfundzwanzig eigenständige mathematische Texte. Diese Verteilung bringt mindestens vier systematische Verzerrungen mit sich.

Ausgerechnet der billigste und häufigste Teil des Lernens bleibt am seltensten erhalten. Die alltäglichen Übungen im feuchten Ton wurden ausgewischt. In die archäologische Überlieferung gelangten nur Tafeln, die weggeworfen und getrocknet oder zufällig hart gebrannt worden waren. Ägyptens Überschwemmungsgebiet schweigt fast vollständig, während Wüstenfriedhöfe und Siedlungen am Wüstenrand leichter etwas bewahren. Unser heutiger Bestand ist deshalb zugunsten von Religion, Bestattung und einigen wenigen trockenen Orten verschoben. Anspruchsvolle Texte sind viel sichtbarer als alltägliches Wissen. Darüber, wie ein Bauer, ein Händler oder ein Vorarbeiter im Kopf rechnete, Knoten machte, Mengen in Gefäßen nach Augenmaß einschätzte oder Schulden mündlich festhielt, hinterließ er selbst gewöhnlich keine Aufzeichnung. Auch die Schulen arbeiteten in hohem Maß mit Gedächtnis und mündlicher Vermittlung. Lehrervorlagen, Schülerabschriften, das in literarischen Texten beschriebene Aufsagen und die immer wieder geglätteten Übungsflächen bezeugen das indirekt. Welcher Anteil des Unterrichts mündlich blieb, lässt sich trotzdem nicht berechnen.

Eine weitere Verzerrung hängt damit zusammen, wer den Griffel hielt. Die Behauptung, die Schreiberwelt habe ausschließlich aus Männern bestanden, ist falsch. Titel für Schreiberinnen sind spätestens in akkadischer Zeit und unter der Dritten Dynastie von Ur belegt; in altbabylonischer Zeit werden die Nachweise noch deutlicher. Forscher haben mehrere Schultexte identifiziert, die Frauen in ihren Schlussvermerken mit Namen zeichneten. Sie reichen von einfachen Silben- und Wortschatzübungen bis zur sumerischen Literatur. Innerhalb einer altbabylonischen Frauengruppe sind Lese- und Schreibkenntnisse, Vermögensverwaltung und das Verfassen von Urkunden bezeugt. Amat-Mamu wird häufig als Beispiel genannt.

Gleichzeitig erscheinen Frauen und Sklaven in den zahlreichen Rechnungen der Dritten Dynastie von Ur als die Menschen, über die gerechnet wird. Textilarbeiterinnen, abhängige Arbeitskräfte und Kinder werden in Rationen und Arbeitstage umgerechnet und unter dem Namen eines Aufsehers geführt. Beides ist zugleich wahr.

Archive entstehen durch diejenigen, die schreiben. Dass die Aufzeichnungen über die übrigen schweigen, ist eine Verzerrung, die das archivbildende System hinterlässt, keine Erhebung der Fähigkeiten einer Bevölkerung. Wer daraus, dass die Rechnungen gewöhnliche Frauen und Sklaven kaum als Verfasser mathematischer Tafeln zeigen, folgert, sie hätten nicht rechnen können, zieht den Schluss in die falsche Richtung.

Wer den Menschen zuerst das Zählen beibrachte, wie Kinder außerhalb von Schreiberfamilien ihre Alltagsarithmetik lernten, wie viele Rechenverfahren niemals aufgeschrieben wurden, wie die vollständigen Entwurfsverfahren früher ägyptischer Baumeister aussahen und wie mündliche Buchhaltung vor dem Auftreten der Schrift in Uruk funktionierte: All das wissen wir nicht. Jede Erzählung, die diese Lücken mit ein oder zwei überlebenden Papyrusrollen ausfüllt, ist Vermutung.

Erhalten sind jene Tafeln, die jemand für aufbewahrenswert hielt, oder die ein Feuer zufällig hart brannte. Diejenigen, die für die nächste Unterrichtsstunde glattgestrichen wurden, hinterließen nichts. Das Kind, das sein Übungsfeld glättete und neu begann, wusste nicht, dass es gerade Beweise beseitigte.

Weitergerechnet wird. Doch was als Mathematik zählt, ist nie abschließend ausgerechnet worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen behandeln die historischen Einzelheiten und Deutungsstreitigkeiten dieses Essays. Sammlungsnachweise, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Damerow: Kuschim und der Ursprung der Schrift
• Robson: Wozu Mathematik im alten Irak diente
• Robson: Mehr als Maße und Gewichte
• British Museum: BM 13901
• British Museum: Der mathematische Papyrus Rhind
• Robson: Eine Neubewertung von Plimpton 322
• Tallet: Publikationsmaterialien zu den Papyri aus Wadi al-Dscharf