셈과 측량과 장부

양을 셀 때와 곡식을 셀 때는 기호가 달랐다

양 떼 한 무리를 세 사람에게 나누어 주어야 한다.

꼭 숫자를 적을 필요는 없다. 양을 세 무리로 몰아 놓고, 어느 쪽이 적어 보이면 다른 쪽에서 한 마리 끌어다 보탠다. 몇 번만 오가면 분배는 끝난다. 나중에 물으면 누구도 자기가 정확히 몇 마리를 데려갔는지 모른다. 그래도 그날 오후 세 사람에게는 아무 불만이 없다.

어려운 것은 다른 경우다. 올해 양의 일부를 바쳐야 하는데, 얼마나 바칠지는 작년에 얼마나 밀렸는지에 달려 있다. 양은 여러 마을에 흩어져 있고, 거두러 올 사람은 자리에 없다. 거둔 양은 다시 곡물로 환산해 나누어 주어야 하는데, 그 비율은 다른 사람이 정한다. 여기까지 오면 세 무리로 몰아 놓는 방법은 통하지 않는다. 누군가는 적어 두어야 한다. 다른 사람 손에 들어가고 달이 바뀌어도 똑같은 뜻으로 읽히도록 적어야 한다. 가장 오래된 점토판들이 하던 일이 바로 이것이었다.

먼저 기록 두 개를 상상해 보자. 다음 장면은 수를 적는 방식을 설명하기 위한 예시다. 유물 번호가 붙어 있어 하나하나 지목할 수 있는 실제 점토판 두 개를 묘사하는 것은 아니다.

때는 기원전 3300년 무렵, 장소는 우루크다. 손바닥만 한 점토판에 기호가 찍혀 있다. 가축 한 무리에 관한 기록이다. 몇 마리인지가 거기 적혀 있다.

다른 기록도 같은 도시, 같은 시기에 만들어졌다. 이번에는 보리 한 무더기의 부피를 기록한다. 오늘날 사람이라면 물품 이름만 바꾸고 숫자는 똑같이 쓰면 되리라 생각하기 쉽다. 하지만 당시에는 그렇게 간단히 옮겨 쓸 수 없었다.

누가 잘못 적은 것도, 같은 숫자의 글꼴만 바뀐 것도 아니다. 가축을 하나씩 세는 일과 보리의 부피를 재는 일은 그때 서로 다른 수 체계로 들어갈 수 있었다.

잘못 쓴 문장처럼 들리겠지만, 당시 문자 체계가 원래 그렇게 짜여 있었다. 우루크의 서기관에게는 대상을 떼어 내고 어디든 쓸 수 있는 단 하나의 숫자 체계가 없었다. 여러 벌이 있었다. 사람이나 가축처럼 하나씩 셀 수 있는 것에는 한 체계가 쓰였다. 곡물의 부피에는 다른 체계, 토지의 면적에는 또 다른 체계, 길이에도 별도의 체계가 있었다. 어떤 곡물 가공품이나 배급 식량에는 자리올림 방식까지 따로 있었다. 보통 물건을 세는 기호와 생김새만 다른 두 표기가 아니라, 아예 서로 다른 것이었다.

그러니 기호 하나의 값은 무엇을 세고 있느냐에 달렸다. 가축 칸에 있던 기호를 곡물 칸에 그대로 옮겨 놓는다고 같은 양이 되지 않았다. 점토판을 읽으려면 거기 적힌 물건이 어떤 부류인지부터 알아야 했다. 부류가 불분명하면 숫자의 값도 공중에 매달렸다.

서기관이 영영 환산을 못 했다는 뜻은 아니다. 단위들 사이에는 관계가 있었고, 그 관계는 배우면 됐다. 다만 환산 관계가 숫자 안에서 저절로 생겨난 것이 아니라 바깥에서 덧붙여졌다는 뜻이다. 이 기호들을 읽는 법은 아직 무엇을 어떤 단위로 세는지에 매여 있었다.

여기서 아주 현실적인 문제가 생긴다. 점토판이 그것을 만든 방을 떠나는 순간, 읽을 수 없는 물건이 될 수 있다. 적는 사람은 자기가 무엇을 세는지 아니까 굳이 쓰지 않는다. 그런데 쓰지 않은 그 부분이야말로 숫자에 값을 주는 부분이다. 출토 층위를 모르는 점토판 앞에서 후대 연구자가 겪는 어려움의 절반은, 당시 서기관이 아낀 수고다.

그렇다고 이 방식을 조잡하다고 여겨서도 안 된다. 실물에 바짝 붙어서 자란 체계였다. 곡물의 부피 단위는 실제 용기를 따라갔고, 면적 단위는 땅을 재는 방식을 따라갔다. 어느 체계든 자기 몫의 일에는 손에 잘 맞았다. 목자가 양 떼를 세는 일과 창고 관리인이 곡식을 받는 일은 애초에 서로 다른 동작이다. 서로 다른 동작에서 제각각 기호가 쌓여 나왔다고 해서 이상할 것은 없다.

쓰는 사람 처지에서는 나뉘어 있는 편이 오히려 편하다. 평생 부피만 다루는 창고 관리인에게 양까지 셀 수 있는 기호는 필요 없다. 각 체계는 자기에게 쓸모없는 부분을 잘라 냈으니, 범용 체계보다 더 다루기 쉬울 때도 있었다. 문제가 생기는 것은 두 체계를 맞대어 보아야 할 때뿐이다. 마을 하나 안에서는 그런 일이 많지 않았다.

도시에서는 맞대어 볼 일이 많아졌다. 창고가 있고, 신전이 있고, 공사가 있고, 일 년 내내 들어오고 나가는 것이 있다. 누가 누구에게 얼마나 빚졌는지를 한데 놓고 봐야 했다. 서로 통약되지 않던 기호들이 나중에 하나의 체계 안으로 밀려들어 간 압력은 여기서 왔다. 신기한 것은 나뉘어 있었다는 사실보다, 훗날 그것들이 하나로 묶였다는 사실이다. 그 일은 천 년도 더 기다려야 했다.

현존하는 가장 이른 점토판들에는 거의 한결같이 누가 얼마를 냈는지, 얼마가 아직 밀렸는지, 누구에게 나누어 주었는지가 적혀 있다. 후세에 보여 주려고 만든 기록이 아니었다. 다음 달에도 장부를 확인할 수 있도록 만든 기록이었다.

가장 이른 문자 기록의 5분의 4 이상은 장부였다

오늘날 원시 설형문자 자료라고 하면 보통 점토판과 파편 약 6천 점을 말한다. 그중 약 5천 점은 우루크 자체에서 나왔고, 나머지 일부는 젬데트 나스르처럼 우루크의 문자 전통에 영향을 받은 곳에서 출토되었다. 전통적인 편년으로는 대략 기원전 3350년부터 기원전 3000년까지의 자료다.

니센은 이 가장 오래된 문헌군을 대상으로 널리 인용되는 통계를 냈다. 경제·행정 기록이 약 85퍼센트, 어휘 목록 같은 비행정 문헌이 약 15퍼센트였다. 그 15퍼센트조차 주로 뒤 시기에 늘어났다. 더 이른 층위에서는 어휘 자료가 극히 드물고 행정 기록이 거의 압도적이다.

그러니 오늘 우리가 실제로 손에 쥔 가장 오래된 문자 기록 가운데 장부가 얼마나 되느냐고 묻는다면, 답은 절반을 넘는 정도가 아니다. 거의 대부분이다.

이 장부들은 후대의 부기와는 다르다. 대개 짧은 기록이다. 수량 기호 하나, 물품이나 사람을 나타내는 기호 하나, 기관이나 개인의 표지 하나를 붙여 놓았다. 당시 문자는 말로 하는 온전한 문장을 자유롭게 적을 만큼 발달하지 않았다. 문장 구조보다 수량과 단위와 물건의 종류가 더 분명했다. 이 체계가 가장 잘 말할 수 있는 것은 무엇을 얼마나 누구에게 주었느냐였다. 그 밖의 이야기는 당장 많이 할 수 없었다.

사람 이름도 장부를 따라 들어왔다. 우루크의 점토판 열여덟 개에 똑같은 두 기호가 되풀이된다. ‘쿠심’이라고 읽는 기호로, 보리와 술 빚는 곡물 옆에 적혀 있다. 그중 한 점에는 서른일곱 달 동안 취급한 보리의 총량이 기록되어 있다. 쿠심이 사람인지, 직책인지, 기관인지는 모른다. 두 기호 앞뒤에 다른 글자가 거의 없기 때문이다. 흔히 사람으로 해석한다. 만일 그렇다면 오늘 우리가 읽을 수 있는 가장 오래된 사람 이름 하나는 보리 장부에 적힌 이름이다.

여기서 잠깐 멈춰야 한다. 85퍼센트는 살아남은 자료의 비율이다. 점토판은 행정 기록이 보존되기에 특히 알맞다. 버려진 뒤 햇볕에 말랐거나 건물 화재로 우연히 단단하게 구워진 판은 더욱 그렇다. 반면 한 번 쓰고 버린 수많은 표지, 나무와 섬유, 말로 내린 지시, 몇 번이고 뭉개서 다시 쓴 연습은 같은 확률로 남지 않는다. 완성된 문서 묶음의 비율을 거슬러 올라간다고 발명자가 처음 품었던 유일한 동기를 알아낼 수는 없다.

사소해 보이는 구별이지만, 그 뒤의 모든 말을 어떻게 할지 결정한다. 행정적 필요가 문자가 형성된 핵심 환경이었다는 말은 버틴다. 회계가 문자를 낳은 유일한 원인이었다는 말은 버티지 못한다. 두 문장 사이의 거리는 증거가 많으냐 적으냐의 문제가 아니다. 증거가 어디까지 무게를 견딜 수 있느냐의 문제다.

니센, 다메로, 엥글룬드는 더 조심스럽게 말한다. 가장 이른 문자의 형성은 도시 기관의 자원 관리가 갈수록 복잡해진 일과 긴밀히 연결되어 있다는 것이다. 이것은 인류가 장부를 쓰려고 문자를 발명했다는 말과 거리가 멀다. 앞 문장은 환경을 말하고, 뒤 문장은 동기를 말한다. 그런데 동기를 설명한 기원전 3400년의 자기 진술은 한 장도 남아 있지 않다.

토큰에서도 같은 구별이 필요하다. 근동에서는 신석기시대부터 도시화 시기까지 작은 기하학적 점토 물체가 실제로 많이 발견된다. 원뿔, 구, 원반이 있고, 그것을 안에 넣어 봉한 점토 공과 표면에 눌러 찍은 자국이 있는 용기도 있다. 슈만트베세라는 이를 바탕으로 수천 년에 걸친 연속 과정을 제시했다. 단순한 토큰은 물품의 수량을, 복잡한 토큰은 더 복잡한 물품 범주를 나타냈다. 토큰을 점토 공 안에 넣고, 이어 공의 표면에 눌러 찍었다. 마침내 평면의 자국이 입체의 실물을 대신하면서 문자가 생겨났다는 설명이다.

유물은 진짜다. 점토 공 안에 토큰이 들어 있는 것도 사실이다. 하지만 그 연결 고리는 나중에 마디마다 검토되어 해체되었다. 형태가 닮았다고 기능과 의미까지 이어지는 것은 아니다. 분류가 지나치게 반듯하고, 상당수 토큰에는 회계에 쓰였다고 분명히 말할 만한 출토 맥락이 아예 없다. 토큰의 모양과 최초의 문자 기호가 일대일로 대응한다는 주장도 그 강한 설명이 요구하는 만큼 성립하지 않는다. 선사시대의 이 물체들을 통째로 회계 도구라고 해석하기에는 아직 증거가 부족하다. 애초에 여러 용도로 쓰인 물건도 많았을 수 있다.

요즘 비교적 널리 받아들여지는 설명은 이 정도다. 일부 토큰과 봉니, 수량을 나타내는 압인 자국은 회계 기술의 계보에 속한다. 이처럼 범위를 좁힌 설명에는 동의가 적지 않다. 그러나 의미가 안정된 채 수천 년 동안 이어졌고, 각각의 문자를 하나씩 끌어낼 수 있는 통일된 토큰 체계가 있었다는 데 합의가 이루어진 것은 아니다.

사람이 노동일이 되다

우르 제3왕조에 이르면 사정이 완전히 달라진다. 이 왕조가 남긴 행정 문서는 알려진 것만 해도 12만 점 규모다.

그 가운데 사정을 가장 잘 드러내는 것은 결산 장부, 또는 대차를 맞추는 장부다. 단순히 수입과 지출을 나란히 적은 표가 아니다. 책임을 맡은 기간 하나를 쪼개서 계산한다. 먼저 납부하거나 완수해야 할 총량을 적고, 인정된 지출과 손실과 이미 끝낸 양을 뺀다. 그 차이를 잉여인지 결손인지 판정한 뒤, 날짜와 책임자와 결산 설명을 붙인다.

관건은 환산이다. 노동력을 노동일로 바꾼다. 곡물, 양모, 직조, 농사일도 정해진 생산율에 따라 비교할 수 있는 양으로 바꾼다. 움마 등의 문서를 보면 사람들은 대개 작업반장이나 감독자 아래에 편성되어 있다. 행정 쪽에서 궁금한 것은 오늘 몇 명이 나왔느냐가 아니다. 이 작업반이 규정대로라면 며칠분의 노동을 내놓아야 하느냐였다.

그리하여 장부 한가운데 서 있는 사람은 노동자가 아니라 감독자가 된다.

환산이 끝나면 보이지 않게 되는 것들이 있다. 오늘 몸이 아픈 사람, 남보다 손발이 느린 사람, 가장 힘든 구간을 맡은 사람도 노동일이라는 단위 안에서는 모두 같다. 장부는 차이가 없다고 우기지 않는다. 그 차이를 놓을 자리를 마련하지 않을 뿐이다. 총장부에 들어갈 수 있는 것은 숫자 하나다. 일단 그 숫자가 들어가면 뒤따르는 모든 덧셈과 뺄셈은 그것만 알아본다.

슐기 재위 37년부터 40년 사이의 기록 한 묶음에는 여성 노동자 수백 명과 그들의 노동·곡물 의무가 루우루브라는 사람 이름 아래 계속 기록되어 있다. 그는 미나르니의 아들이다. 이런 자료를 보면 작업반장은 아침마다 출석만 부르는 사람이 아니었다. 오랫동안 장부에 책임이 걸려 있는 지점이었다. 책임자의 이름을 단 계정이 여러 해에 걸쳐 나타나기 때문에, 후대 학자들은 이 책임회계 체계를 복원할 수 있었다.

결손은 이월할 수 있었다. 모자란 몫은 미납액으로 다음 기간에 남고, 넘는 몫은 잉여로 적힌다. 다음 총장부가 앞 기간의 잔액을 받아들일 수 있다. 그렇게 사람 이름 하나가 장부 위에서 숫자 하나를 몇 년씩 짊어지고 다닐 수 있었다.

총장부 밑에는 또 한 겹이 깔려 있다. 영수증, 인장이 찍힌 증빙, 소액 전표는 검증이 끝날 때까지 보관한다. 결산을 마쳐야 그것들이 지닌 증거로서의 가치가 달라진다. 우르 제3왕조에는 이런 증빙 점토판을 담아 두는 용기를 사용하는 관행까지 자리 잡았다. 그러니 대차 장부 한 건은 점토판 하나가 아니다. 점토판 하나에 점토판 한 바구니를 더한 것이다.

널리 퍼진 이야기가 하나 있다. 노동자가 죽으면 채우지 못한 할당량이 가족에게 넘어갔다는 것이다. 여기서는 멈춰야 한다. 죽음과 인원 교체를 기록한 문서가 실제로 있다. 유족이나 고아에게 식량을 배급한 기록도 있다. 작업반장 계정의 결손이 이월된 사례도 있다. 그러나 이 두 종류의 증거를 합쳐 죽은 사람의 노동 빚이 아들에게 넘어갔다고 말하려면, 누가 죽었고 노동일이 얼마나 남았으며 그 미납분을 어느 친족에게 넘긴다고 한꺼번에 적은 점토판이 있어야 한다. 지금까지 그런 판은 찾지 못했다. 버틸 수 있는 말은 하나다. 이 회계 체계에서는 계정의 결손이 해를 넘겨 존속할 수 있었다. 개별 노동자가 채우지 못한 몫이 사후에 상속 규칙을 따라 가족의 빚으로 바뀌었는지는 직접 입증되지 않았다.

이 대목을 쉽게 지나치는 것은 이야기가 너무 매끄럽기 때문이다. 살아 있는 사람을 노동일로 바꾸는 체계라면 빚도 아들에게 넘겼으리라는 생각이 자연스럽게 이어진다. 추론은 그럴듯한데 자료가 따라오지 않는다. 어떤 체계가 할 수 있는 일과 실제로 한 일 사이에는 틈이 있다. 증거가 없을 때 그 틈을 마음대로 메워서는 안 된다.

감독자가 결손을 책임졌다는 말도 대체로 성립한다. 다만 그의 이름으로 행정적 책임 계정이 열려 있었다는 뜻이지, 후대 민법에서 말하는 개인의 무한 채무와 같다는 뜻은 아니다. 루우루브 명의의 숫자를 정말 사유재산으로 전부 메워야 했는지는 증거가 부족하다. 그가 미나르니의 아들이라는 사실은 점토판에 적혀 있다. 그의 집에 무엇이 있었는지는 한 글자도 없다.

어쨌든 한 가지는 분명하다. 이 무렵 남부 도시국가의 행정 체계는 살아 있는 사람 수백 명과 그들이 한 해 동안 쏟는 힘, 그들이 먹어 치우는 곡물을 모두 더하고 뺄 수 있는 동일한 것으로 환산할 수 있었다. 그리고 그 결과를 한 사람 이름 아래 걸어 둘 수 있었다.

추상의 층위

기원전 3천년기 후반부터, 특히 우르 제3왕조에서는 다른 방향의 움직임도 보인다. 서기관들은 구체적인 측정량을 추상적인 60진법 자릿값 수로 먼저 바꾸는 일을 점점 더 많이 했다. 그 추상적 층위에서 계산한 다음, 다시 실제 단위로 되돌렸다.

여기서는 두 가지를 구별해야 한다. 60을 중요한 자리올림의 기준으로 삼는 계수 전통은 우루크 시대부터 있었다. 하지만 수를 물품의 단위에서 실제로 떼어 내고, 같은 기호들이 놓인 자리에 따라 60의 서로 다른 거듭제곱을 나타내게 하는 방식은 기원전 3천년기 후반에야 뚜렷해진다. 우르 제3왕조 때 계산에 쓰이기 시작해 고바빌로니아의 학교에서 충분히 성숙했다. 이 추상적 층위를 받쳐 준 것은 표였다.

고바빌로니아의 표준 역수표는 1부터 59까지를 빠짐없이 나열하지 않는다. 주로 60진법에서 역수가 유한하게 표현되는 수를 실었다. 전형적인 표는 스무 줄에서 서른 줄쯤 된다. 역수를 유한한 자릿수로 나타낼 수 없는 수는 아예 넣지 않았다. 필요하면 분해하거나 근삿값을 쓰거나 다른 알고리즘을 택할 수 있었다. 곱셈표는 중요한 수 하나에 일련의 수를 곱한 결과를 한 줄씩 늘어놓았다. 도량형표는 전통적인 길이·면적·부피·무게 단위를 추상적인 60진법의 양으로 바꾸어 주었다. 학생이 실제 계산에서 익혀야 할 핵심은 한마디로 정리된다. 나눗셈을 역수를 곱하는 것으로 바꾸는 것이다. 외우거나 찾아볼 수 있는 체계 안에서 나누는 수의 역수를 먼저 찾고, 그것을 곱한다. 이 표들은 곁들여 보는 참고 자료가 아니었다. 계산 자체가 딛고 서는 바닥이었다.

학생에게는 외워야 할 것과 할 수 있는 일이 같은 것이었다. 역수표를 외우면 나눗셈을 할 수 있다. 외우지 못하면 손안의 숫자가 움직이지 않는다. 기술은 기억 속에 들어 있고, 기억에 넣으려면 진흙 위에서 몇 번이고 되풀이해야 한다. 학교가 남긴 점토판에서 표가 그렇게 큰 몫을 차지하는 이유다.

이 자릿값 표기법에는 눈에 띄는 빈틈이 있다. 초기에는 보통 고정된 소수점이 없었고, 후대의 의미에서 수의 중간 빈자리를 나타내는 0 기호도 없었다. 똑같이 적힌 수가 이론상 60배, 3,600배, 또는 60분의 1로 달라질 수 있었다. 서기관은 문제 속 단위와 양의 대략적인 크기, 문맥을 보고 절대적인 값을 되살렸다. 척도는 숫자 안에 적혀 있지 않았던 셈이다.

그렇다고 0이 없어서 서기관이 명백히 오산했고, 베껴 쓰며 자리를 잘못 맞춘 것 같은 다른 원인도 배제할 수 있는 점토판이 발견된 것은 아니다. 빈틈은 있었지만, 그 때문에 사람들이 넘어진 것 같지는 않다.

달리 말하면 이 표기법은 일의 일부를 판면 바깥에 남겨 두었다. 숫자는 상대적인 관계를 맡고, 사람은 그 수들이 곡식을 말하는지 은을 말하는지, 창고 하나 분량인지 하루 식량인지를 기억했다. 혼자 완결되는 체계가 아니라 누군가 곁에서 지켜보고 있어야 하는 체계였다.

어느 층위에서 통일이 이루어졌는지가 중요하다. 어떤 왕이 하룻밤 사이에 모든 단위를 없앤 것이 아니다. 부피, 무게, 길이, 면적에는 여전히 각자의 단위가 있었고 상인과 창고 관리인도 그대로 썼다. 통일된 것은 계산하는 층위였다. 서로 다른 단위를 표준 환산표를 통해 하나의 추상 체계에 대응시킬 수 있게 되었다. 도량형표는 그 두 층위 사이에 난 문이었다.

오늘날 문헌은 이 시기의 표준화를 간단히 ‘슐기 개혁’이라고 부르기도 한다. 편리한 이름이다. 하지만 근대의 도량형법처럼 오늘부터 어느 단위를 얼마로 정한다는 조항을 일일이 선언한 슐기의 칙령 점토판은 없다. 말할 수 있는 것은 그의 긴 통치 아래 국가가 측정과 세금·부역, 회계의 표준화를 크게 진전시켰다는 데까지다. 구체적으로 어떤 단위 관계를 왕이 직접 명령해 확정했는지는 뒤에 나타나는 일관된 문서 제도에서 거슬러 추정한 것이다.

슐기 본인에 관해서는 쓰기 아주 좋은 자료가 하나 있다. 다만 증거의 등급을 낮추어 다뤄야 한다. 슐기 찬가에서 왕은 자신이 어릴 때 학교에 다녔고, 수메르어와 아카드어 점토판을 다루는 서기관의 기술을 배웠으며, 뺄셈과 덧셈, 계산과 회계에 능숙했다고 말한다. 다른 찬가에서는 그를 학식 있는 서기관이라 부른다. 문제는 현존하는 찬가 사본 대부분이 고바빌로니아 시대 학교의 필사본이라는 점이다. 슐기가 살던 때보다 이삼백 년 뒤에 쓰였다. 궁정 찬가의 전통을 간직했을 수는 있지만, 역사 속 슐기가 어린 시절 정말 그런 교실에 앉았다는 증거는 못 된다. 오늘날에는 대개 왕권의 이념과 박식한 이상적 군주상을 보여 주는 자료로 읽는다. 이력서로 읽지는 않는다.

왕이 자기 찬가에 장부를 잘 쓴다는 말을 넣게 하고 싶어 했다는 사실만으로도 이미 알 만한 것이 적지 않다.

집 한 채에 점토판 천사백 개

니푸르에 주택 한 채가 있다. 발굴자들은 같은 구역의 집들에 알파벳순으로 표지를 붙였는데, 이 집은 뒤쪽 차례에 놓였다. 여기서 나온 점토판과 파편은 약 1,425점이고, 90퍼센트 이상이 쓰기 연습이다. 출처를 알 수 없는 수많은 수학 점토판과는 이 점에서 완전히 다르다. 이곳에서는 교재를 실제 집의 어느 방, 어느 폐기층에서 나왔는지에 맞추어 제자리에 돌려놓을 수 있다.

연습판의 모양만 보아도 장면이 그려진다. 어떤 판은 앞면 한 칸에 교사가 써 준 본보기가 남아 있고 그 옆에 학생이 베끼는 칸이 있다. 뒷면에는 앞서 배웠던 좀 더 긴 자료를 옮겨 적었을 수 있다. 작은 원형 점토판도 있다. 교사가 한 줄을 쓰면 학생이 옆에 따라 쓴다. 학생의 연습 칸은 자주 문질러 지우고 다시 썼다.

점토판 하나를 여러 번 쓸 수 있었다. 그때에는 절약이었고, 지금에는 손실이다. 학생이 무엇을 연습했는지, 어디서 틀렸는지, 몇 번 고쳤는지는 대부분 지워진 진흙 한 겹과 함께 사라졌다. 남은 것은 마지막에 미처 지우지 못한 연습 한 번, 또는 마침내 제대로 써서 옆에 내려놓은 판 하나다.

점토판은 손에 잡히는 느낌부터 천차만별이다. 예일의 소장 번호 7289번 원형 점토판은 지름이 약 8센티미터라 손바닥 하나에 얹을 수 있다. 대영박물관의 13901번은 너비 약 19.4센티미터, 높이 11.7센티미터다. 이쯤 되면 두 손이나 탁자가 필요하다. 잘못 쓰면 어떻게 했을까. 축축할 때 손가락이나 도구로 문질러 평평하게 만들고 다시 썼다. 완전히 마르면 그렇게 쉽게 고칠 수 없었다. 그래서 정식으로 작성한 판에는 다시 새긴 흔적, 비좁게 밀어 넣은 글자, 일부를 문질러 지운 울퉁불퉁한 자국이 흔히 보인다.

수업의 순서는 복원한 것이다. 티니, 롭슨, 벨트하위스 등은 점토판의 유형, 함께 적힌 문헌, 베껴 쓰는 방향을 바탕으로 니푸르의 기초 교육 순서를 재구성했다. 먼저 쐐기 자국을 내고 낱기호를 쓰는 법을 배운다. 이어 한 부류의 기호를 연습하고, 음절의 나열을 베껴 쓰고, 사람 이름 목록과 종류별 어휘 목록으로 들어간다. 다음은 더 복잡한 어휘 자료, 도량형표, 수와 각종 표다. 기초 훈련을 마치면 왕의 찬가, 격언, 논쟁 문학, 신화를 베끼기 시작한다.

첫날부터 마지막 날까지의 과정처럼 말했지만, 단서는 붙여야 한다. 우리 손에 있는 것은 고고학적으로 재구성한 순서이지 고대의 교육과정표가 아니다. 학생들은 되풀이했을 수도, 건너뛰었을 수도, 여러 가지를 함께 연습했을 수도 있다. 집 한 채의 자료를 조건 없이 바빌로니아 전체의 교육제도로 넓혀서도 안 된다. 롭슨 자신도 그런 일반화를 크게 경계했다.

고바빌로니아 문학에는 나중에 ‘학교생활’이라고 불리게 된 대화 형식의 글들이 있다. 그것들도 학생들이 베껴 써야 하는 교재였다. 그중 한 편은 아침부터 시작한다. 학생은 점토판을 들고 학교에 가서 자기 판에 적힌 것을 소리 내어 읽고, 점심을 먹고, 새 판을 준비한다. 집에 돌아와서는 아버지 앞에서 그날 배운 것을 다시 외워 들려줘야 한다.

다음 날 아침, 교사가 학생의 판을 살펴보다 빠뜨린 곳을 발견한다. 첫 번째 매가 떨어진다.

이 글의 진면목은 그다음에 나온다. 공부를 맡은 사람이 때린다. 뭐라고 했는지는 판이 깨져서 없다. 마당을 맡은 사람이 때린다. 자기가 없는데 왜 떠들었느냐고 묻는다. 또 누군가 때린다. 왜 고개를 제대로 들고 있지 않느냐고 묻는다. 도형 그리는 일을 맡은 사람이 때린다. 왜 자리에서 일어났느냐고 묻는다. 문을 맡은 사람이 때린다. 왜 문밖으로 나갔느냐고 묻는다. 또 누군가 때린다. 왜 어떤 물건을 집었느냐는데, 물건 이름이 있던 부분은 깨졌다. 수메르어를 맡은 사람도 때린다. 수메르어를 해야 할 때 아카드어로 입을 열었기 때문이다. 마지막은 학생을 가르치는 교사다. 글씨를 못 쓴다고 한다. 아침의 매까지 합하면 하루에 아홉 번이다. 이유는 갈수록 자잘해진다.

그날 저녁, 아이의 아버지는 교사를 집으로 초대해 술과 음식을 내고 옷까지 선물한다. 술을 마신 교사가 고개를 돌려 그 학생을 칭찬한다.

써먹기 너무 좋은 장면이라 사실 확인을 하고 싶지 않을 정도다. 그러니 바로 밝혀 두어야 한다. 이것은 학교 문학이지 그날의 징계 기록이 아니다. 이런 글은 고바빌로니아 시대에 생겨났다. 뒤에서 만날 그리스인처럼 천 년 뒤에 나온 이야기는 아니다. 그래도 장르는 문학이다. 줄줄이 매를 맞고 교사를 초대해 대접하는 이야기가 실제 제도를 재료로 삼았을 수는 있다. 모든 학교가 날마다 이랬다는 증거는 못 된다.

점토판의 형태만으로 따로 뒷받침할 수 있는 것은 다른 부분이다. 교사의 본보기와 학생의 필사문이 나란히 존재하는 것은 사실이다. 학생 칸에 반복, 지우기, 다시 쓰기의 흔적이 있는 것도 사실이다. 상급 학생이 문학을 베낀 것도 사실이다. 교사가 시범을 보이고 학생이 따라 하며 검사와 교정이 이어졌다는 흐름은 든든하게 서 있다.

우르에는 현대 발굴자들이 ‘조용한 거리 7번지’라는 주소를 붙인 집도 있다. 쿠닝갈 집안의 집으로, 문서와 연습 자료 2천여 점이 나왔다. 흔히 세습 서기관 가문이라는 이름표를 붙이는데, 그 이름표는 고쳐야 한다. 쿠닝갈과 몇몇 아들은 정결 의식을 담당하는 사제였다. 집에서 가르치는 일이 이루어졌다는 것은 확실하지만, 온 집안의 주업을 서기관 일로 보는 것은 지나친 단순화다. 신원을 확인할 수 있는 인물로 아들 우르난나가 있다. 그의 인장에는 달의 신과 관련된 사제직과 문서고 책임자라는 직함이 새겨져 있다.

세습이었느냐고 묻는다면, 가족 안에서 이어지는 힘은 강했지만 법으로 독점한 자격은 아니었다는 답이 가장 낫다. 읽고 쓰는 기술, 점토판 소장품, 인맥, 관직과 관련된 자원이 한집에 모여 있으면 자연히 유리하다. 한편 이름과 직함의 변화는 고정된 서기관 카스트가 없었음을 보여 준다. 보수에도 통일된 급여표는 없었다. 곡물, 양모, 토지 수익, 식량 배급, 직책 자체가 모두 소득의 일부가 될 수 있었다. 서기관이 존중받았다고 해서 하급 필경사까지 모두 부유했다고 할 수는 없다.

학교가 평민 출신의 재능 있는 아이에게 열려 있었고, 그래서 문해력이 신분 상승의 사다리가 되었다는 말은 직접적인 증거가 약하다. 지금 남은 학생 자료는 이미 행정과 사제직의 자원을 쥐고 있던 집안에 뚜렷하게 치우쳐 있다. 평범한 농가의 아이가 고급 서기관 훈련에 들어갈 확률은 얼마였을까. 계산할 수 없다.

출구 없는 문제

대영박물관의 13901번 점토판에는 네 개의 단에 스물네 문제가 적혀 있다. 정사각형과 직사각형의 변 길이와 넓이를 다루며, 쉬운 것에서 어려운 것으로 이어진다. 학술 발굴로 나온 물건이 아니라 믿을 만한 출토 층위가 없다.

스물네 문제를 쭉 읽으면 몇 가지를 못 본 척하기 어렵다. 난도에 층계가 있다. 같은 연산이 모양을 바꾸며 되풀이된다. 숫자는 유난히 깔끔하게 골랐다.

그 층계를 놓는 사람이 있어야 한다. 둘째 문제를 첫째보다 조금 어렵게, 셋째를 다시 조금 어렵게 놓는 순서는 장부에서 저절로 생겨나지 않는다. 먼저 어디가 고비인지 생각한 뒤, 바로 그 고비만 다르게 만든 문제들을 빚어 내야 한다. 출제자의 머릿속에 들어 있는 것은 더 이상 특정한 밭이나 곡식 창고가 아니다. 학생이 어디서 막힐지가 들어 있다.

이런 문제는 흔히 행정의 옷을 입는다. 밭, 벽돌, 도랑, 노동자, 은, 곡물. 모두 서기관의 직업 세계에서 늘 다루는 대상이니 문제에 나와도 자연스럽다. 하지만 어떤 곡물 창고 관리인도 일하다가 이런 문제와 마주치지는 않는다. 주어진 치수는 절차가 매끄럽게 돌아가도록 고른 것이지, 실제 땅 한 필지를 재려고 얻은 것이 아니다.

예일의 원형 점토판도 같은 종류다. 지름 8센티미터, 한 손에 들어오고, 출처는 모른다. 앞면에는 정사각형과 대각선 두 개가 그려져 있다. 한 변에 수 하나, 대각선 근처에 수 두 개가 적혀 있는데, 그중 하나는 정사각형의 대각선과 변의 비를 극도로 정밀하게 나타낸 값이다. 뒷면에는 일부 지운 흔적이 있다. 상수표에도 같은 대각선 상수가 남아 있다. 따라서 이 학생은 알려진 상수를 가져다 썼을 가능성이 높다. 그 자리에서 직접 계산했다고 볼 필요는 없다.

이 판이 입증하는 것은 고바빌로니아 사람들이 정사각형의 대각선 관계를 매우 높은 정밀도로 다룰 수 있었다는 사실이다. 그리스식 명제와 연역 체계를 갖추었다는 증거는 아니다. 후대 정리의 이름으로 이 판을 부르면, 지식을 조직하는 방식 한 벌을 몰래 끼워 넣게 된다.

가장 논란이 큰 것은 플림프턴 322번 점토판이다. 너비 약 13센티미터, 높이 약 9센티미터, 두께 2~3센티미터다. 모래처럼 누런 바탕에 녹슨 철을 닮은 주황빛과 검은색 얼룩이 있고, 뚜렷한 긁힌 자국과 깨진 가장자리가 보인다. 지금 남은 부분에는 네 개의 열과 온전한 자료 행 열다섯 줄이 있다. 왼쪽에 떨어져 나간 부분이 더 있었을 수 있다.

이 물건이 거쳐 온 길은 차례대로 짚을 수 있다. 조지 플림프턴은 1922~1923년 무렵 고대 유물상에게서 이것을 샀다. 판매자는 센케레에서 나왔다고 했다. 고대 라르사가 있던 곳이다. 하지만 학술 발굴 기록이 없으니 그 말을 확정된 출토 층위의 지위로 끌어올릴 수는 없다. 1930년대에는 플림프턴의 소장품과 함께 컬럼비아대학교로 들어갔다.

1945년, 노이게바우어와 작스는 표의 값들이 직각삼각형의 변 길이 사이의 관계와 들어맞는다는 사실을 알아냈다. 그 수학적 구조는 검증할 수 있고, 거기에 대해서는 애초부터 이견이 없었다. 논란은 그것이 무엇이었느냐에 있다.

나중에 어떤 저자들은 이것을 삼각함수표, 나아가 세계 최초의 삼각함수표라고 불렀다. 롭슨은 2001~2002년의 재분석에서 이 해석에 반대했다. 고바빌로니아 문헌에는 후대의 각도 함수표에 해당하는 개념 체계가 없다는 이유였다. 반면 서로 역수인 수의 쌍, 학교의 곱셈표, 문제를 만들어 내는 방식, 표의 형식에는 당시 자료에서 찾을 수 있는 유사 사례가 풍부하다. 롭슨은 이를 바탕으로 교사가 직각삼각형 문제를 준비할 때 쓰던 작업표라고 해석했다. 2017년에는 정확한 60진법 삼각법 표라는 강한 주장이 다시 제기되었다.

여전히 더 안전한 판단은 이렇다. 이 점토판은 직각삼각형의 관계, 역수 쌍, 학교에서의 문제 생성과 긴밀히 연결되어 있다. 삼각함수표라고 부르려면 고바빌로니아 자료 자체가 제공하지 않는 개념을 들여와야 한다.

이름 붙이기의 문제는 여기만 있는 것이 아니다. 원래 점토판에는 기호 방정식이 없다. 아카드어의 동사들로 연산을 말한다. 길이, 너비, 서로 맞대기, 떼어 내기, 덧붙이기, 정사각형 만들기. 1930~1940년대에 노이게바우어와 튀로당쟁은 이 문헌들을 처음 대규모로 해독하고, 절차를 현대 대수의 방정식으로 압축했다. 수학적 구조를 드러내는 데 대단히 성공적이었지만 부작용도 있었다. 독자는 그 방정식이 고대 서기관의 머릿속에 실제로 있던 대상이라고 여기기 쉽다. 뒤에 호이루프는 언어에서 출발해 다시 읽었다. 이차방정식을 푸는 것처럼 보이는 연산도 당시의 말뜻을 좇으면 측정 가능한 선분과 넓이를 이어 붙이고, 자르고, 빈 곳을 채우는 일을 가리키는 경우가 많다는 것이다. 오늘날에는 두 현대 언어 모두 결과를 형식화할 수 있다고 대체로 인정한다. 다만 서기관 자신이 무엇을 하고 있었느냐고 묻는다면, 어휘 증거에 더 가까이 붙어 있는 쪽은 문헌학적 복원이다.

그 스물네 문제로 돌아가 보자. 그것들은 장부가 아니고 어떤 결산에도 들어가지 않는다. 같은 집들에서 같은 손들이 만들어 내던 것이 벌써 두 종류로 갈라졌다. 하나는 결국 제출해야 하는 것이고, 다른 하나는 누구에게 제출해도 쓸 데가 없는 것이다.

둘은 어휘도, 기호도, 심지어 진흙도 함께 쓴다. 다른 것은 출구뿐이다. 하나는 창고와 왕실로 들어가고, 다른 하나는 또 다른 아이의 손으로 들어간다. 그런데 뒤의 것이 만들어지기 시작하면 자체의 리듬이 생긴다. 수확량이 아니라 난도에 따라 순서를 잡는다. 그 리듬이 자리 잡고 나면 바깥에서 명령할 사람이 더는 필요하지 않다. 올해 농사가 잘되었는지는 둘째 문제가 첫째보다 어려워야 하는지와 관계없다.

비율로 답할 수는 없다. 용도는 목록에서 바로 세어 볼 수 있는 물리적 속성이 아니다. 역수표 한 장은 학교 연습이면서 장차 회계에 쓰일 수도 있고, 밭 문제는 완전히 지어냈어도 실제 직업 기술을 훈련할 수 있다. 믿을 만하게 제시할 수 있는 것은 규모다. 알려진 설형문자 수학 문헌은 약 2천 점이다. 그중 약 천 점은 전사와 번역이 출판되었고, 대략 그만큼이 아직 정리를 기다린다. 이 2천 점에서 곱셈표, 역수표, 제곱과 제곱근 표, 도량형표, 학교 문제들이 큰 몫을 차지한다.

장부를 쓰는 이 기술 전체는 무엇인가를 세어 확인하려고 세워졌다. 그런데 제대로 자리를 잡고 나자 벌써 아무것도 세어 확인하지 않는 것을 만들어 내기 시작했다. 바로 같은 집들에서, 같은 손으로.

나일강 너머에서

이집트 이야기는 먼저 자료 수의 격차부터 짚어야 한다. 파라오 시대 전체와 그 이후를 통틀어 전문 수학 문헌으로 셀 만한 자료는 약 스물다섯 점이다. 남아 있는 문제는 백 개쯤이고, 그 대부분이 파피루스 두 두루마리에 몰려 있다. 그에 비해 알려진 설형문자 수학 문헌은 약 2천 점이다.

이 격차를 이해하려면 보존 조건을 건너뛸 수 없다. 점토는 그저 말리기만 해도 오래 버티고, 건물에 불이 나면 더 단단하게 구워지기도 한다. 파피루스, 가죽, 나무판은 축축한 토층에 들어가면 아주 쉽게 썩는다. 그런데 나일강 유역과 삼각주의 농업 관청은 유기물이 보존되기에 가장 불리한 곳에 있었다. 스물다섯과 2천을 나란히 놓고 두 지역의 수학 활동을 비교한다면, 실제로 비교하는 것은 흙이다.

가장 중요한 두루마리는 린드 수학 파피루스다. 지금은 여러 조각으로 나뉘어 있다. 대영박물관의 첫 번째 부분은 길이 약 296센티미터에 높이 약 32센티미터, 두 번째 부분은 길이 약 198.5센티미터에 높이 역시 약 32센티미터다. 브루클린에도 파편 몇 개가 있다. 큰 두 부분만 합해도 거의 4.95미터다. 파편과 사라진 이음매까지 더하면 원래 두루마리는 펼쳤을 때 5미터를 넘었다. 페이지를 넘기는 책이 아니었다. 보통 거실의 벽보다 긴, 가늘고 긴 두루마리였다.

첫머리에는 필사자의 이름 아메스가 적혀 있다. 그는 서두에서 이 두루마리가 사물을 탐구하고 온갖 비밀을 알아내기 위한 정확한 계산 지식을 제공한다고 선언한다. 이어 상·하이집트의 왕 아페피 재위 33년에 베껴 썼다고 연도를 밝힌다. 또 오래된 사본을 바탕으로 삼았는데, 그 옛 사본은 니마트레 시대에 만들어졌다고 한다. 보통 아메넴헤트 3세로 보는 왕이다.

옛 사본은 사라졌다. 그 사본에 대한 직접적인 증거는 약 300년 뒤에 아메스가 남긴 이 한마디뿐이다. 한 글자씩 그대로 옮겼는지, 골라 옮겼는지, 수치를 새로 바꾸었는지, 여러 자료를 엮었는지는 확인할 길이 없다. 오늘날에는 대체로 그의 진술에 남은 전통의 연대를 받아들인다. 다만 거기까지다.

그 시대의 필사는 한 단계 낮은 일이 아니었다. 베낄 만한 글이 있다는 것은 누군가 그것이 한 번 더 존재할 가치가 있다고 여겼다는 뜻이다. 베끼는 사람에게는 무엇을 남기고 무엇을 남기지 않을지 정할 기회도 생긴다. 아메스는 이름 하나와 연도 하나를 남겼다. 그 시대에 글 쓰는 도구를 쥐었던 대다수보다 이미 많이 남긴 것이다. 이집트인들이 아이에게 이 일을 하라고 어떻게 권했는지는 어떤 글에 아주 선명하게 나와 있다.

아버지가 아들을 데리고 길을 떠나, 가는 내내 다른 직업들을 하나씩 깎아내리는 구성이다. 목수는 지쳐서 허리를 펴지 못한다. 미장이의 몸에는 진흙이 덕지덕지 붙어 있다. 빨래하는 사람은 하루 종일 악어 옆의 물속에서 산다. 어부, 화살 만드는 사람, 전령도 빠지지 않는다. 어느 일이나 더럽고 힘들고 가망 없는 일로 그려진다. 한 바퀴 흉을 보고 나면 아버지는 결론을 되풀이한다. 서기관만 한 직업은 없다는 것이다.

이것은 직업별 소득 조사서가 아니다. 중왕국의 전통 속에서 형성된 글이지만, 지금 남은 온전한 사본과 수많은 학교 필사본은 주로 신왕국 때 것이다. 후대의 아이들이 세대를 이어 서기관이 되라는 글을 베껴 썼다는 뜻이다. 오늘날 어떤 이는 풍자로 읽고, 어떤 이는 서기관 직업의 선전문이라고 부르기를 선호한다. 어느 쪽도 다른 직업에 대한 묘사를 실황 기록으로 받아들이지는 않는다.

그래도 한 가지는 거짓이 아니다. 이 글을 지은 사람과 이 글을 베끼던 아이들은 같은 부류, 곧 기호와 숫자를 다루는 사람들이었다.

신왕국 후기의 학교용 필사본도 한 두루마리 남아 있다. 지금은 랜싱 파피루스라 부르며 대영박물관에 있다. 권하는 방식은 같다. 농부를 깎아내리는 대목이 가장 자세하다. 서기관이 수확을 조사하러 강가에 배를 대고 내린다. 뒤에는 회초리를 든 수행원과 몽둥이를 든 누비아인들이 따라온다. 누군가 농부에게 곡식을 내라고 한다. 농부는 없다고 한다. 그러자 모질게 두들겨 맞고, 묶인 채 우물에 던져진다. 아내도 묶이고 아이들에게는 족쇄가 채워진다. 두루마리 전체는 되풀이해서 한마디 권고로 돌아온다. 서기관이 되어라. 이 역시 공부를 권하는 교재이지 곡식을 독촉한 현장 기록이 아니다. 교재 속에서 배를 내려 수확을 조사하는 사람이 바로 그 교재가 아이에게 되라고 권하는 사람이다.

린드 수학 파피루스로 돌아가면, 이것도 출토 경위가 분명하지 않다. 린드는 1858년 룩소르에서 주요 부분을 샀다. 판매자는 라메세움 근처에서 나왔다고 했지만, 기록을 남긴 학술 발굴을 거치지 않았다. 린드 사후인 1865년 무렵 대영박물관이 주요 두루마리를 입수했다. 스미스도 1860년대에 룩소르에서 파편 몇 개를 샀는데, 나중에 린드 두루마리와 이어 붙일 수 있다는 사실이 밝혀졌다. 그의 딸이 1906년에 그것들을 기증했다. 다른 이집트 수학 자료들도 제각각 유별난 내력과 모양을 지니고 있다.

모스크바에 있는 두루마리는 길이가 약 5미터인데 높이는 고작 4~8센티미터다. 종이 한 장이라기보다 띠 하나다. 그 위에 스물다섯 문제가 빽빽하다. 곡물 창고를 계산하고 넓이를 구하는 문제부터, 밑면이 정사각형인 각뿔의 꼭대기를 잘라 낸 입체의 부피를 구하는 문제까지 있다. 골레니셰프가 1893년 고대 유물 시장에서 샀다. 이것 역시 출토 장소는 모른다.

파피루스가 아닌 물건도 있다. 약 25센티미터 곱하기 43센티미터 크기의 가죽 두루마리다. 같은 값을 서로 다른 단위분수들의 합으로 풀어 쓴 묶음이 여러 개 적혀 있다. 린드의 자료와 함께 박물관에 들어온 뒤 줄곧 말린 상태로 있었다. 바싹 마른 가죽은 딱딱하고 잘 부서져, 억지로 펼치는 것은 부수는 것이나 마찬가지였다. 아무도 손댈 엄두를 내지 못했다. 그렇게 거의 70년을 누워 있다가 1927년에야 처리를 거쳐 펼쳐졌다.

앞서 본 유물 시장 출신 자료와 달리 라훈의 자료는 기록이 남은 발굴에서 나왔다. 피트리가 중왕국 시대의 한 도시에서 발굴했다. 어느 집, 어느 층에서 나온 것인지 아는 분명한 고고학적 맥락이 있다. 수학 자료는 그 파피루스 묶음 가운데 아주 작은 일부다.

이집트 서기관이 정수가 아닌 양을 다루는 방식은 독특하다. 1보다 작은 양은 보통 서로 다른 단위분수 몇 개의 합으로 적는다. 린드 두루마리의 첫머리에는 특정 부류의 분수를 계산하기 쉬운 조합으로 분해하는 큰 표가 있다. 상당히 큰 분모까지 다룬다. 분수의 성질을 감상하려고 만든 표가 아니다. 배로 늘리고, 배급하고, 나누는 과정에서 단순히 반으로 접는 방법만으로는 얻을 수 없는 몫을 처리하도록 돕는 표다. 뒤에 나오는 곡물, 빵, 맥주, 노동력 배분 문제들도 같은 습관을 거듭 끌어다 쓴다.

라훈의 자료에도 같은 유형의 작은 표가 있다. 린드 두루마리보다 이르거나 같은 시기의 것이며 출토 층위도 분명하다. 린드의 큰 표는 고립된 발명이 아니라 하나의 전통에 속했다.

이 체계에서는 배로 늘리기와 이등분하기, 몫을 표준화되어 알아보기 쉬운 부품들로 적는 일이 자연스럽다. 부피 단위와도 잘 맞는다. 대가는 있다. 어떤 양은 여러 항의 합이 되고, 어느 분해를 택할지 배우고 표에서 찾아야 한다. 그렇다고 서투른 방식이라고 부르는 것은 후대의 표기법으로 재는 셈이다. 이 체계가 번거롭다고 불평한 이집트 서기관의 글은 남아 있지 않다. 현존하는 오류와 수정, 보조표는 다루는 데 숙련이 필요했다는 사실을 보여 준다. 다루던 사람 자신이 비효율적이라고 느꼈다는 사실까지 보여 주지는 않는다.

이집트에도 어떤 장부로도 이어지지 않는 문제가 있다. 가장 눈에 띄는 것은 린드 파피루스의 79번 문제다.

집 일곱 채. 집마다 고양이 일곱 마리. 고양이 한 마리마다 쥐 일곱 마리를 노려본다. 쥐 한 마리마다 곡식 이삭 일곱 개를 갉아 먹는다. 이삭 하나마다 다시 계량 용기 일곱 개 분량의 곡식을 거둘 수 있다. 수량은 층층이 불어나고, 불어날수록 이야기는 더 황당해진다. 마지막 질문은 모두 더하면 얼마냐는 것이다.

곡물 창고 관리인은 평생 가도 집 일곱 채에 고양이가 정확히 일곱 마리씩 있는 상황을 만날 수 없다. 이 문제의 집과 고양이와 쥐는 무엇을 기록하려고 등장한 것이 아니다. 학생이 7의 거듭제곱을 한 단계씩 계산하게 하려고 갖다 놓은 것이다. 3,500년 전 누군가 자리에 앉아 우스갯소리를 하나 지어 숙제로 냈다. 메소포타미아에서와 마찬가지로 이집트의 문제에도 계산 절차에 딱 들어맞게 일부러 고른 수치가 많다. 곡물 창고가 나오는 문제와 실제 곡물 창고의 기록은 전혀 다른 것이다.

린드의 56~60번 문제는 ‘세케드’라는 것을 다룬다. 수직으로 한 큐빗 올라갈 때 가로로 손바닥 너비 몇 개, 손가락 너비 몇 개만큼 나아가는지로 빗면을 나타낸다. 후대의 말로 바꾸면 경사도지만, 원문은 각도를 쓰지 않으며 삼각함수도 없다.

고왕국의 건설 공사에는 따로 매우 강력한 일차 자료가 있다. 와디 엘자르프에서 출토된 메레르의 일지는 쿠푸 통치 후반의 것이다. 원문은 제13차 가축 조사 이듬해로 연도를 적었으며, 보통 재위 26년 또는 27년으로 환산한다. 메레르 밑에는 사십여 명의 뱃사람으로 이루어진 조가 있었다. 이런 조 네 개가 모여 하나의 작업단을 이루었다. 일지에는 투라에서 석회석을 실어 수로를 따라 기자의 쿠푸 공사 구역으로 옮긴 일이 기록되어 있다. 날짜도, 인력도, 배치도 모두 적혀 있다.

메레르는 수학자가 아니었고, 후대의 의미에서 엔지니어도 아니었다. 사십여 명을 거느리고 날짜에 맞추어 돌을 목적지까지 옮겨야 하는 감독자였다. 일지가 중요한 것은 이런 공사를 굴리려면 얼마나 다양한 기록이 필요했는지 보여 주기 때문이다. 기록 하나하나 뒤에는 계산할 줄 아는 사람이 있어야 했다. 계산을 할 줄 아는 사람이 문제를 써 본 적은 없을 수 있고, 문제를 쓰던 사람이 배 한 번 인솔해 본 적은 없을 수 있다. 채석장의 흔적, 작업단 표식, 노동자 취락도 남아 있다. 공사의 조직 수준에는 의심할 여지가 없다.

하지만 쿠푸 시대의 경사도 계산표는 한 장도 남아 있지 않다. 린드 두루마리는 쿠푸보다 거의 천 년 뒤의 자료다. 피라미드의 실제 빗면을 후대의 세케드 단위로 역산할 수는 있다. 어떤 경사는 손바닥과 손가락 너비 사이에서 아주 반듯한 관계로 떨어지기도 한다. 고왕국의 건축가들이 그에 상당하는 경사 제어 기술을 갖고 있었다고 보는 것은 매우 합리적이다. 그래도 실측값에서 거슬러 올라가 그들이 바로 린드의 56번 문제에 적힌 절차로 설계했다고 하는 것은 여전히 추론이다. 고대 이집트 건축도를 연구하는 학자들은 살아남은 스케치 상당수가 후대의 의미에서 축척을 갖춘 시공 도면은 아니라고 지적했다.

이집트의 부피 계량에는 별도의 단위 체계가 있었다. ‘헤카트’라는 양을 계속 반으로 나눈 단위들이 곡물과 배급, 부피 환산에 실제로 쓰였다. 린드 두루마리에는 이 단위들을 어떻게 서로 바꾸는지 따로 보여 주는 문제도 있다. 이 이등분 분수 체계에서는 나중에 대단히 아름다운 이야기가 하나 나오게 된다. 그 이야기는 뒤에서 다루자.

아메스의 이름은 두루마리 첫머리에 남아 있다. 그는 자기를 수학자라고 하지 않았다. 그 말이 생기려면 한참을 더 기다려야 했다. 그는 자기를 베껴 쓰는 사람이라고 했다.

내가 보기에

기하학의 기원에 관한 가장 유명한 이야기 가운데 하나는 헤로도토스에게서 나왔다.

그의 기록에서 이집트의 한 왕은 땅을 크기가 같은 네모로 나누고 해마다 임대료를 거둔다. 나일강이 누군가의 땅 일부를 휩쓸어 가면 왕은 사람을 보내 남은 면적을 재고 그만큼 임대료를 깎아 준다. 이어 헤로도토스는 한마디를 덧붙인다. 요지는 이렇다. 내가 보기에 기하학은 이렇게 발견되었고 나중에 그리스로 전해졌다. 이 이야기에는 짚고 넘어갈 곳이 두 군데 있다.

첫째는 시간이다. 헤로도토스가 글을 쓴 때는 대략 기원전 5세기 중반이다. 그가 말한 왕에게 주로 중왕국의 전통이 투영되어 있다면, 서술하는 왕권의 시대와는 약 1,300~1,500년이나 떨어져 있다. 일반적인 고대 이집트 제도를 말한 것으로 읽더라도, 린드 두루마리가 속한 전통보다 천 년 이상 늦다.

둘째는 더 중요하다. 그 자신이 표시해 두었다. ‘내가 보기에’라는 말이 원문에 있다. 그래서 기하학이 발명되었다는 이야기를 헤로도토스는 자신의 설명으로 썼다. 이집트 문서에 적힌 문장을 옮긴 것이 아니다. 뒤에 이 이야기를 전하던 사람들은 그 짧은 말을 지웠다.

그 짧은 말이 여기서는 큰 차이를 만든다. 그것이 있으면 한 여행자가 보고 들은 것을 바탕으로 한 추론이다. 없애면 기원에 관한 기록이 된다. 뒤의 모양이 더 외우기 쉽고 더 쓰기 편하니, 더 멀리 퍼졌다.

이집트인이 땅을 측량했다는 사실 자체는 논란거리가 아니다. 넓이 문제, 토지 기록, 줄을 당겨 재는 활동, 조세와 임대료 문서가 모두 있다. 없는 것은 홍수가 땅의 경계를 지웠으므로 우리가 기하학을 발명했다고 적은 이집트 자체의 문서다.

이야기는 나중에 더 살이 붙었다. 열두 개의 매듭을 묶은 밧줄, 변 길이 3·4·5의 관계로 직각을 다시 잡았다는 대목은 헤로도토스에게조차 없다. 근현대의 수학사 안에서 자라난 세부다.

두 이야기를 나란히 놓으면 순서가 보인다. 헤로도토스의 추론은 기원전 5세기에 쓰였다. 매듭 열두 개짜리 밧줄은 근현대에 생겨났다. 세부로 들어갈수록 이야기의 나이는 어려진다. 세 번째도 있다. 앞의 둘보다도 더 젊다. 앞서 이집트의 부피 단위가 계속 반으로 나뉜다고 했다. 그 분수들을 더없이 아름답게 풀어 주는 이야기가 있다.

호루스가 세트와 싸우다가 한쪽 눈이 찢어진다. 조각들이 흩어지고, 조각 하나마다 반씩 나눈 분수 하나가 대응한다. 2분의 1, 4분의 1, 8분의 1, 그렇게 64분의 1까지. 조각을 전부 맞추어도 완전한 눈이 되기에는 아주 조금 모자란다. 지혜의 신 토트가 그 모자란 몫을 채운다. 너무 잘 맞아떨어져서 거의 확인할 필요도 없어 보이는 이야기다. 분수도 있고, 신화도 있고, 빈틈도 있고, 메움도 있다. 모자란 것마저 하필 가장 작은 몫이다.

리터는 이 이야기가 근대에 만들어진 경로를 추적했다. 중왕국 초기의 부피 분수 기호는 주로 신관문자의 표기 기호였다. 그것이 눈의 부분이라고 말한 고대 문헌은 없다. 기호들을 실제로 눈의 각 부분에 그려 넣는 강한 해석은 20세기 초 기호 비교 과정에서 점차 만들어졌고, 1920년대 가디너와 수학사 교재를 통해 퍼지며 정설처럼 자리 잡았다.

호루스의 눈이 다쳤다가 회복된다는 신화는 물론 오래되었다. 여섯 조각이 여섯 이등분 분수에 대응한다는 말이 처음 명시적으로 나타난 곳은 현대 이집트학이다. 해당 시대에서 약 3,500년 뒤다. 세 이야기는 하나보다 하나가 더 젊은데, 모두 삼사천 년 전을 이야기한다.

이 이야기에는 쉽게 알아채지 못하는 특징이 하나 더 있다. 주인공이 없다. 어느 이집트인의 이야기가 아니라 이집트의 이야기다. 이 시기에 남은 이름이 너무 적다. 기원에 관한 이야기를 걸어 둘 사람이 없어서 강 전체에 걸어 두어야 할 만큼 적다.

나일강 수위계에도 비슷한 문제가 있다. 이집트는 일찍부터 범람 높이를 기록했다. 고왕국의 왕실 연대 기록 전통에도 해마다의 수위 자료가 있다. 후대에 실제로 쓰인 나일강 수위계에는 기둥형, 계단형, 우물형 등 여러 구조가 있고 눈금은 큐빗으로 새겼다. 수위와 농업 생산의 잠재력이 밀접하게 연결된 것은 당연하다. 너무 낮으면 물을 댈 땅이 부족하고 너무 높으면 피해가 난다. 국가가 물 사정을 파악하고, 그에 따라 수확을 예상하며 거둘 수 있는 양을 조정했으리라는 복원은 매우 합리적이다.

하지만 이 시기에는 수위 몇 큐빗이면 세율 얼마라고 쓸 수 있는 파라오 시대의 세칙이 남아 있지 않다. 수위계의 눈금과 조세 제도를 긴밀하게 이어 주는 상세한 증거는 프톨레마이오스 시대와 로마 시대, 특히 이슬람 시대에 훨씬 풍부하다. 오늘날 유명한 로다 수위계 자체도 서기 861년에 세운 건축물이다. 큰 틀의 연관성은 믿을 만하지만, 정밀하고 기계적인 환산은 이 시기의 것이 아니다. 이야기에서 눈을 돌려 기록 자체를 보면 또 다른 것이 보인다.

발견된 설형문자 기록물은 보통 50만~100만 점으로 추산한다. 2016년까지 30만 점 이상이 목록에 올랐다. 그중 수학 자료는 약 2천 점이다. 우르 제3왕조의 행정 문서만 따로 약 12만 점이다. 이집트의 전문 수학 문헌은 약 스물다섯 점이다. 이 분포에는 적어도 네 가지 체계적인 편향이 따라온다.

가장 값싸고 가장 자주 이루어진 학습 과정이 가장 남기 어렵다. 젖은 진흙에 하던 일상의 연습은 지워졌다. 버려진 뒤 말랐거나 우연히 불에 구워진 판만 고고학적 기록에 들어왔다. 이집트의 범람 지역은 거의 완전히 침묵하는 반면 사막의 묘지와 사막 가장자리의 취락에는 물건이 남기 쉽다. 그래서 오늘 보이는 표본은 종교와 무덤, 소수의 건조한 장소에 치우친다. 고급 문헌은 일상의 상식보다 훨씬 잘 보인다. 농민이나 장사꾼이나 작업반장이 어떻게 암산하고, 매듭을 짓고, 용기로 양을 눈대중으로 가늠하고, 말로 빚을 기억했는지는 대개 그 자신의 기록으로 남지 않는다. 학교 자체도 기억과 구술에 크게 의존했다. 교사의 본보기, 학생의 필사, 문학 작품 속 낭송, 몇 번이고 지운 연습 칸은 모두 말로 가르치는 일이 있었음을 간접적으로 보여 준다. 하지만 수업의 몇 퍼센트가 구전이었는지는 계산할 수 없다.

누가 필기구를 쥐었는지에서도 한 겹 더 편향이 생긴다. 서기관 세계가 전부 남성이었다는 말은 성립하지 않는다. 여성 서기관이라는 직함은 적어도 아카드와 우르 제3왕조 시대에 이미 입증되며, 고바빌로니아 시대에는 더 분명해진다. 연구자들은 여성의 서명이 적힌 학교 문헌을 여럿 확인했다. 기초 음절·어휘 연습부터 수메르 문학까지 있다. 고바빌로니아의 어떤 여성 집단에는 글을 읽고 재산을 관리하며 문서를 작성한 사례가 있다. 아마트마무는 자주 언급되는 인물이다.

동시에 우르 제3왕조의 수많은 장부에서 여성과 노예는 계산되는 사람들이었다. 직조하는 여성 노동자, 예속 노동자, 아이들은 배급 식량과 노동일로 환산되어 감독자 이름 아래 매달렸다. 두 가지가 동시에 참이다.

문서는 필기구를 쥔 사람이 만든다. 그러므로 기록이 그 밖의 사람에 관해 침묵하는 것은 문서를 생산하는 제도가 남긴 편향이지, 인구의 능력을 조사한 결과가 아니다. 장부에서 평범한 여성이나 노예가 수학 점토판을 쓰는 모습을 드물게 본다는 이유로 그들이 계산을 못 했다고 말한다면, 추론의 방향이 거꾸로다.

맨 처음 수 세기를 가르친 사람이 누구였는지, 서기관 집안이 아닌 아이들은 일상의 산술을 어떻게 배웠는지, 한 번도 적히지 않은 알고리즘이 얼마나 있었는지, 초기 이집트 건축가들의 전체 설계 절차는 무엇이었는지, 우루크 문자가 생기기 전 구술 회계는 어떻게 돌아갔는지. 모두 모른다. 살아남은 파피루스 한두 두루마리로 이 빈자리를 가득 채우는 이야기는 어느 것이든 추측이다.

남아 있는 점토판은 누군가 남길 만하다고 여긴 것, 또는 불길이 우연히 단단하게 구워 준 것들이다. 다음 수업을 위해 지운 판들은 아무것도 남기지 않았다. 연습 칸을 문질러 평평하게 만든 뒤 다시 쓰던 아이는 자기가 증거를 지우고 있다는 사실을 몰랐다.

셈은 계속 이어진다. 그러나 어디까지를 수학으로 셀 것인지는 아직 한 번도 셈이 끝난 적이 없다.

사료와 더 읽을거리

아래는 본문에 등장한 역사적 세부와 해석의 차이에 관한 자료다. 박물관 소장 기록, 고대 문학, 현대의 복원은 같은 종류의 증거가 아니다.

• 다메로: 쿠심과 문자의 기원
• 롭슨: 고대 이라크에서 수학은 어디에 쓰였는가
• 롭슨: 도량형 그 이상
• 대영박물관: BM 13901
• 대영박물관: 린드 수학 파피루스
• 롭슨: 플림프턴 322의 재평가
• 탈레: 와디 엘자르프 파피루스 간행 자료

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