Contar, medir y llevar cuentas

Para contar ovejas y cereal no servían los mismos signos

Hay que repartir un rebaño de ovejas entre tres personas.

Para hacerlo, quizá ni siquiera haga falta escribir un número. Basta con reunir las ovejas en tres grupos y, cuando uno parezca más pequeño, llevarle una del grupo de al lado. Tras unas cuantas idas y venidas, el reparto está hecho. Después, ninguno de los tres sabrá decir cuántas se llevó exactamente. Pero aquella tarde nadie tuvo nada que objetar.

Lo difícil empieza en otras circunstancias. Este año hay que entregar parte del rebaño, y la cantidad depende de lo que quedó pendiente el año pasado. Las ovejas están repartidas por varias aldeas y el encargado de recogerlas no está presente. Además, habrá que convertir lo recaudado en cereal para distribuirlo de nuevo, a una tasa de conversión que ha fijado otro. Llegados a ese punto, ya no sirve hacer tres grupos. Alguien tiene que dejar constancia de todo, y lo que escriba debe poder pasar a otras manos, en otro mes, sin cambiar de significado. Eso hacían las primeras tablillas de arcilla.

Imaginemos primero dos registros. Son escenas que sirven para explicar cómo se anotaban las cantidades; no dos objetos identificados, con sus números de inventario, que podamos señalar uno por uno.

Estamos en Uruk, hacia el 3300 a. C. Una tablilla que cabe en la palma de la mano lleva unos signos impresos. Registra una partida de ganado. El número de cabezas está escrito allí.

El otro registro procede de la misma ciudad y del mismo período, y recoge el volumen de una partida de cebada. Un lector de hoy tendería a suponer que bastaba con cambiar el nombre del producto y seguir utilizando los mismos números, válidos para todo. Entonces no era tan sencillo.

Nadie se ha equivocado al escribir. Tampoco se trata, sin más, de una misma numeración con otra grafía. Contar cabezas de ganado y medir una partida de cebada podía llevar a dos sistemas numéricos distintos.

Parece una errata, pero era parte de la arquitectura de aquella escritura. El escriba de Uruk no disponía de un único juego de números, desligado de los objetos y utilizable en cualquier lugar. Disponía de varios. Las personas y los animales, que se podían contar de uno en uno, seguían un sistema. El volumen del cereal, otro. Las superficies de tierra tenían el suyo, y las longitudes, el suyo también. Ciertos productos elaborados con cereal y ciertas raciones poseían incluso sus propias reglas para pasar de un orden de unidades al siguiente. No eran dos maneras de escribir los mismos números con distinta letra. Eran cosas diferentes.

La consecuencia era que el valor de un signo dependía de lo que se estuviera contando. Copiarlo tal cual de la columna del ganado a la del cereal no conservaba la cantidad. Para entender una tablilla había que saber primero a qué categoría pertenecían los bienes anotados. Sin categoría, el número quedaba en el aire.

Eso no significa que un escriba fuera incapaz de hacer conversiones. Había relaciones entre las unidades, y esas relaciones se podían aprender. Lo importante es que la conversión no nacía del interior de los números: había que incorporarla desde fuera. La lectura de aquellos signos aún no se había liberado por completo de los objetos y las unidades que medían.

De ahí una consecuencia muy práctica. En cuanto una tablilla salía de la habitación donde se había producido, podía volverse ilegible. Quien la había escrito sabía qué estaba contando y no necesitaba indicarlo; pero esa información omitida era precisamente la que daba valor al número. La mitad de los quebraderos de cabeza que hoy provoca a un investigador una tablilla sin estrato arqueológico conocido procede del trabajo que se ahorró aquel escriba.

Sería un error tomar esta organización por rudimentaria. Había crecido pegada a las cosas. Las unidades de capacidad del cereal seguían los recipientes que se utilizaban; las de superficie, las maneras de medir las parcelas. Cada sistema resultaba cómodo en su propio ámbito. Un pastor que cuenta su rebaño y un encargado que recibe cereal en un almacén están haciendo, al fin y al cabo, dos cosas distintas. No tiene nada de extraño que cada una acumulara su propio repertorio de signos.

Para quien los utilizaba, mantenerlos separados podía incluso ahorrar esfuerzo. Un encargado de almacén que solo tratara con volúmenes durante toda su vida no necesitaba signos que también sirvieran para contar ovejas. Cada sistema había recortado lo que no le hacía falta y, a veces, era por eso más manejable que uno universal. La dificultad aparecía cuando había que hacer concordar dos sistemas, algo que en una aldea no sucedía muy a menudo.

En una ciudad, en cambio, sucedía continuamente. Había almacenes, templos, obras, entradas y salidas durante todo el año. Las deudas de unos y otros debían poder contemplarse juntas. De ahí vino la presión que acabaría comprimiendo aquellos signos mutuamente inconmensurables dentro de un mismo sistema. Lo extraño es que llegaran a caber en él. Para eso todavía habría que esperar más de mil años.

Casi todo lo que recogen estas primeras tablillas conservadas es cuánto entregó alguien, cuánto seguía debiendo y a quién se le dio algo. No se escribieron para la posteridad. Se escribieron para que el mes siguiente aún fuera posible aclarar las cuentas.

Más de cuatro quintas partes de la primera escritura eran cuentas

Hoy se suele hablar de unas seis mil tablillas y fragmentos protocuneiformes. Alrededor de cinco mil proceden de la propia Uruk; una parte del resto, de lugares como Jemdet Nasr, influidos por su tradición escrita. Según la periodización convencional, el conjunto abarca aproximadamente del 3350 al 3000 a. C.

Nissen hizo un recuento ya clásico de estos textos antiquísimos. Cerca del 85 % eran registros económicos y administrativos; aproximadamente el 15 %, textos no administrativos, como listas léxicas. Ese 15 %, además, solo empezó a crecer de manera importante en las fases más tardías. En los estratos anteriores, los textos léxicos son escasísimos y los registros administrativos dominan de forma casi absoluta.

Así que, si preguntamos qué proporción de la escritura más antigua que hoy tenemos realmente entre las manos corresponde a cuentas, la respuesta no es «más de la mitad». Es «la inmensa mayoría».

No eran cuentas en el sentido que tendría después la contabilidad. La mayoría son anotaciones breves: un signo de cantidad, otro de un producto o una persona, una marca que identifica a una institución o a un individuo. Eso, reunido. La escritura todavía no permitía registrar libremente el habla en toda su extensión; cantidades, unidades y clases de objetos resultaban más claras que la sintaxis. En otras palabras, lo que mejor sabía decir aquel sistema era cuánto de qué se había dado a quién. De momento, no podía decir mucho más.

Los nombres de persona también entraron de la mano de las cuentas. En dieciocho tablillas de Uruk se repite una pareja de signos que se lee Kushim, junto a cebada y cereal para elaborar cerveza. Una de ellas anota la cantidad total de cebada gestionada a lo largo de treinta y siete meses. ¿Kushim era una persona, un cargo o una institución? No lo sabemos: apenas hay otros signos alrededor de esos dos. Una interpretación habitual lo considera una persona. Si es así, uno de los nombres humanos más antiguos que hoy podemos leer es el nombre de alguien que figura en una cuenta de cebada.

Aquí conviene detenerse. El 85 % describe el conjunto que ha sobrevivido. La arcilla conserva especialmente bien los registros administrativos, sobre todo si las tablillas se secaron después de desecharlas o quedaron endurecidas por accidente en el incendio de un edificio. Las innumerables marcas de un solo uso, la madera, las fibras, las órdenes verbales y los ejercicios amasados una y otra vez para empezar de nuevo no tenían las mismas probabilidades de llegar hasta nosotros. La proporción de documentos conservados en un archivo no permite remontarse hasta un único motivo original de la invención.

La diferencia parece minúscula, pero de ella depende todo lo que podamos decir después. «Las necesidades administrativas fueron un entorno central en la formación de la escritura» es una afirmación que se sostiene. «La contabilidad fue la única causa de la escritura» no lo es. Entre ambas no hay una diferencia en la cantidad de pruebas, sino en el peso que se les exige soportar.

Nissen, Damerow y Englund lo expresan con más cautela: la formación de las primeras escrituras estuvo estrechamente ligada a una gestión de recursos cada vez más compleja en las instituciones urbanas. De ahí a decir que la humanidad inventó la escritura para llevar cuentas hay un largo trecho. La primera frase describe un entorno; la segunda atribuye una intención. Y no ha llegado hasta nosotros ninguna declaración de intenciones del 3400 a. C.

La misma distinción reaparece con las fichas. En el Próximo Oriente abundan, desde el Neolítico hasta la urbanización, pequeños objetos geométricos de arcilla: conos, esferas, discos. También hay bolas de barro que los encierran y recipientes con impresiones por fuera. A partir de ellos, Schmandt-Besserat propuso una continuidad de varios milenios: las fichas simples corresponderían a cantidades de productos; las complejas, a categorías de bienes más complejas. Las fichas se encerrarían después en bolas de arcilla y se imprimirían en su superficie. Por último, las huellas bidimensionales sustituirían a los objetos tridimensionales. Así habría nacido la escritura.

Los objetos son reales. Hay, efectivamente, fichas dentro de las bolas de arcilla. Pero más tarde se ha desmontado aquella cadena eslabón por eslabón. El parecido de las formas no demuestra continuidad en sus funciones ni en sus significados. Las clasificaciones eran demasiado pulcras, y muchas fichas carecen de un contexto arqueológico inequívocamente contable. La correspondencia de uno a uno entre la forma de las fichas y los signos de la primera escritura tampoco se cumple como exigiría la versión fuerte de la hipótesis. Todavía no hay pruebas suficientes para interpretar todos esos objetos prehistóricos como instrumentos de contabilidad. Muchos pudieron servir desde el principio para varias cosas.

Hoy es bastante habitual distinguir dos versiones. Una parte de las fichas, los sellados de arcilla y las impresiones numéricas pertenecen a la historia de las técnicas contables: esta versión más limitada tiene una aceptación considerable. Un sistema único de fichas que hubiera mantenido significados estables durante milenios y del que pudieran derivarse, uno por uno, los signos de la escritura no constituye un consenso.

Las personas se convierten en jornadas de trabajo

Con la tercera dinastía de Ur, el panorama es completamente distinto. Solo los documentos administrativos conocidos que dejó este reino se sitúan ya en el orden de los ciento veinte mil.

Una de las clases más reveladoras es la de las cuentas de balance o de rendición de cuentas. No se trata de una simple lista de ingresos y gastos. Lo que hacen es descomponer un período de responsabilidad. Primero se establece el total que debía entregarse o realizarse. Luego se restan los gastos admitidos, las pérdidas y lo ya ejecutado. La diferencia se clasifica como excedente o déficit. Al final figuran la fecha, el responsable y las observaciones de la revisión.

El paso decisivo es la conversión. La fuerza de trabajo se convierte en jornadas de trabajo. El cereal, la lana, la producción textil y las faenas agrícolas también pueden reducirse, mediante tasas normativas de productividad, a cantidades comparables. Los documentos de Umma y de otros lugares muestran que el personal solía organizarse en torno a capataces o supervisores. A la administración no le interesaba tanto cuántas personas habían acudido aquel día como cuántas jornadas debía entregar aquella cuadrilla según lo establecido.

Y así, en el centro de la cuenta ya no está el trabajador. Está el supervisor.

Una vez hecha la conversión, algunas cosas dejan de verse. Una persona está enferma; otra se mueve más despacio que las demás; otra carga con la parte más pesada del trabajo. Dentro de la unidad «jornada de trabajo», todas son iguales. La cuenta no niega esas diferencias. Sencillamente, no les ha reservado un sitio. En la cuenta general solo puede entrar un número, y una vez que ha entrado, todas las sumas y restas posteriores solo reconocen ese número.

Un conjunto de registros de los años treinta y siete a cuarenta del reinado de Shulgi anota de forma continuada a varios cientos de trabajadoras, junto con sus obligaciones de trabajo y cereal, bajo el nombre de Lu-Urub, hijo de Minar-ni. Estos archivos muestran que el capataz no se limitaba a pasar lista por las mañanas. Era un punto estable al que se imputaban responsabilidades contables. Que las cuentas reaparezcan año tras año con el nombre del responsable es precisamente lo que ha permitido a los investigadores reconstruir este sistema de contabilidad por responsabilidades.

El déficit podía trasladarse al período siguiente. Lo que faltaba quedaba pendiente; lo que sobraba se anotaba como excedente. La siguiente cuenta general podía incorporar el saldo de la anterior. De ese modo, un nombre podía cargar durante años con una cifra en los registros.

Detrás de la cuenta general había otra capa de documentos. Recibos, comprobantes sellados y pequeños justificantes se conservaban hasta que terminaba la verificación. Solo entonces cambiaba su valor como prueba. La tercera dinastía de Ur llegó a desarrollar una tradición de recipientes para guardar estas tablillas de respaldo. Una cuenta de balance, por tanto, no era una tablilla. Era una tablilla y una cesta llena de tablillas.

Circula una afirmación muy repetida: cuando moría un trabajador, la cuota que no había cumplido pasaba a sus familiares. Aquí hay que parar. Existen documentos sobre muertes y sustituciones de personal; existen raciones para familiares de difuntos y para huérfanos. También existen déficits trasladados de un ejercicio a otro en las cuentas de los capataces. Pero juntar ambos tipos de pruebas y concluir que el muerto legaba una deuda de trabajo a su hijo es otra cosa. Hasta ahora no se ha encontrado una tablilla que diga a la vez que cierta persona murió, que aún debía tantas jornadas y que esa deuda pasó a determinado pariente. Solo se sostiene lo siguiente: aquel sistema contable permitía que un déficit siguiera vivo en una cuenta durante varios años. No hay prueba directa de que las cuotas incumplidas de un trabajador individual se convirtieran, al morir este, en deudas de su familia conforme a reglas de herencia.

Es tan fácil dar por buena esa afirmación porque encaja demasiado bien. Si un sistema podía convertir a los vivos en jornadas de trabajo, parece natural prolongar la lógica y suponer que también podía convertir la deuda en una obligación del hijo. El razonamiento es elegante; los documentos no lo han seguido. Entre lo que un sistema podía hacer y lo que hizo efectivamente hay una distancia. Si faltan pruebas, no podemos rellenarla por nuestra cuenta.

Algo parecido sucede con la responsabilidad del supervisor por el déficit. En lo esencial está acreditada, pero lo que llevaba su nombre era una cuenta de responsabilidad administrativa. Eso no equivale a una deuda personal ilimitada en el sentido del derecho civil posterior. ¿Tenía Lu-Urub que cubrir las cifras de su cuenta con su patrimonio privado? No hay pruebas suficientes para afirmarlo. Que era hijo de Minar-ni sí lo dice la tablilla. De lo que había en su casa no dice una palabra.

En cualquier caso, algo está claro. Para entonces, la administración de una ciudad-Estado del sur ya podía convertir a varios cientos de personas vivas, las fuerzas que gastaban en un año y el cereal que comían en una misma cosa, susceptible de sumarse y restarse. Y podía colocar el resultado bajo el nombre de un solo hombre.

El plano abstracto

Desde finales del tercer milenio, y sobre todo durante la tercera dinastía de Ur, se advierte otro movimiento. Cada vez más, los escribas convertían primero las medidas concretas en números abstractos de un sistema posicional de base sesenta. Operaban en ese plano abstracto y, al terminar, volvían a las unidades de uso.

Aquí hay que separar dos cosas. La tradición de contar con el sesenta como punto importante de cambio de orden ya existía en Uruk. Pero extraer de verdad los números de las unidades de los productos, de modo que un mismo conjunto de signos representara distintas potencias de sesenta según su posición, solo aparece con claridad a finales del tercer milenio. Entra en la práctica del cálculo durante la tercera dinastía de Ur y alcanza su plena madurez en las escuelas paleobabilónicas. Ese plano abstracto descansaba sobre tablas.

Las tablas paleobabilónicas de recíprocos no enumeraban, sin más, todos los números del uno al cincuenta y nueve. Recogían sobre todo aquellos cuyo recíproco tenía una expresión sexagesimal finita; una tabla típica contaba unas veinte o treinta filas. Los que no tenían un recíproco de expresión finita se quedaban fuera. Si hacían falta, se recurría a descomposiciones, aproximaciones u otros procedimientos. Las tablas de multiplicar alineaban, fila a fila, los productos de un número importante por una serie de multiplicadores. Las tablas metrológicas convertían las unidades tradicionales de longitud, superficie, capacidad y peso en cantidades sexagesimales abstractas. La técnica central que aprendía un alumno puede resumirse así: dividir se convierte en multiplicar por el recíproco. Primero se encuentra el recíproco del divisor en el repertorio aprendido de memoria o consultado; después se multiplica por él. Estas tablas no eran un material de referencia accesorio. Eran el suelo sobre el que se podía calcular.

Para un alumno, lo que debía memorizar y lo que sabía hacer eran, por tanto, una misma cosa. Aprenderse una tabla de recíprocos le permitía dividir. Sin ella en la memoria, los números que tenía delante no se movían. El oficio residía en la memoria, y la memoria se hacía repitiendo una y otra vez sobre la arcilla. Por eso las tablas ocupan una parte tan grande de las tablillas escolares conservadas.

Esta numeración posicional tenía una carencia llamativa. En sus primeras etapas no solía haber un separador fijo entre la parte entera y la fraccionaria, ni un signo de cero interno en el sentido posterior. Una misma forma escrita podía, en teoría, representar cantidades que difirieran por un factor de sesenta, de tres mil seiscientos o de un sesentavo. El escriba restituía el valor absoluto atendiendo a las unidades del problema, al orden de magnitud y al contexto. La escala, en otras palabras, no estaba escrita dentro del número.

Tampoco se ha encontrado hasta ahora una tablilla que permita demostrar que un escriba cometió un error de cálculo inequívocamente por no disponer del cero, descartando explicaciones como un desplazamiento al copiar. La carencia existía, pero no parece que les hiciera tropezar.

Dicho de otro modo, aquella notación dejaba parte del trabajo fuera de la superficie de la tablilla. Los números se ocupaban de las relaciones relativas; las personas recordaban si estaban hablando de cereal o de plata, de todo un almacén o de la ración de un día. No era un sistema autosuficiente. Necesitaba a alguien al lado que estuviera pendiente.

Importa precisar en qué plano se produjo la unificación. Ningún rey abolió de la noche a la mañana todas las unidades. La capacidad, el peso, la longitud y la superficie conservaron las suyas, y comerciantes y encargados de almacén siguieron utilizándolas. Lo que se unificó fue el plano del cálculo. Mediante tablas de conversión normalizadas, las distintas unidades podían trasladarse a un mismo sistema abstracto. Las tablas metrológicas eran la puerta entre ambos planos.

Los estudios modernos llaman a veces «reformas de Shulgi» a esta oleada de normalización. La etiqueta resulta cómoda, pero no existe una tablilla de un edicto de Shulgi comparable a una ley moderna de pesos y medidas, que anuncie artículo por artículo cuánto vale cada unidad a partir de ese día. Lo que puede afirmarse es que, durante su largo reinado, el Estado impulsó de manera considerable la normalización de las medidas, las obligaciones fiscales y laborales y las cuentas. Qué relaciones concretas entre unidades estableció personalmente el rey por decreto es algo que se infiere de la uniformidad posterior de los documentos.

Sobre el propio Shulgi sí hay un material extraordinariamente tentador, cuyo rango como prueba hay que rebajar. En uno de sus himnos, el rey afirma que de joven fue a la escuela, aprendió el arte de los escribas en tablillas sumerias y acadias y dominaba la resta, la suma, el cálculo y la contabilidad. Otro himno lo presenta como un escriba instruido. El problema es que las copias conservadas son principalmente copias escolares paleobabilónicas, escritas unos doscientos o trescientos años después de su vida. Quizá preserven una tradición de himnos cortesanos, pero no demuestran que el Shulgi histórico se sentara de joven en un aula como aquella. Hoy suelen utilizarse como testimonio de la ideología de la realeza y del ideal de monarca erudito, no como un currículum.

Que un rey quisiera que sus versos de alabanza celebraran lo bien que llevaba las cuentas ya dice bastante por sí solo.

Mil cuatrocientas tablillas en una sola casa

En Nippur se excavó una vivienda a la que tocó una de las últimas letras cuando los arqueólogos ordenaron alfabéticamente las casas de aquel barrio. En ella aparecieron unas mil cuatrocientas veinticinco tablillas y fragmentos. Más del 90 % eran ejercicios de escritura. Eso la distingue por completo de tantas tablillas matemáticas de procedencia desconocida: aquí podemos devolver los materiales de enseñanza a las habitaciones y a los estratos de abandono de una casa que existió de verdad.

La forma de las tablillas basta para imaginar la escena. En un tipo de pieza, una columna del anverso conserva el modelo escrito por el maestro, y al lado está la zona donde copiaba el alumno. En el reverso podían copiarse textos más largos, aprendidos antes. También había pequeñas tablillas redondas: el maestro escribía una línea y el alumno la repetía a su lado. La parte destinada al ejercicio del alumno se alisaba a menudo para volver a utilizarla.

Una tablilla servía muchas veces. Entonces era un ahorro; para nosotros es una pérdida. Qué había practicado el alumno, en qué se había equivocado, cuántas veces lo había corregido: casi todo desapareció con aquella capa de barro borrada. Ha quedado la última versión que no le dio tiempo a alisar, o la tablilla que dejó a un lado cuando por fin le salió bien.

Las tablillas tampoco se sienten igual en la mano. La redonda de Yale, con el número 7289, mide unos ocho centímetros de diámetro y cabe en una palma. La 13901 del Museo Británico tiene unos 19,4 centímetros de ancho y 11,7 de alto: para ella ya hacen falta las dos manos o una mesa. ¿Y si uno se equivocaba? Mientras la arcilla estaba húmeda, bastaba alisar con un dedo o una herramienta y volver a escribir. Una vez completamente seca, corregirla no resultaba tan fácil. Por eso las tablillas formales muestran a menudo signos vueltos a incidir, letras apretadas y superficies irregulares donde se borró una zona.

El orden de la enseñanza se ha reconstruido. A partir de los tipos de tablilla, las combinaciones de textos y la dirección de las copias, Tinney, Robson, Veldhuis y otros investigadores han recompuesto una secuencia básica para Nippur. Primero se aprendía a hacer cuñas y a escribir signos aislados. Venía después una clase de ejercicios de signos; luego, la copia de series silábicas. A continuación se pasaba a las listas de nombres y al vocabulario ordenado por categorías, y de ahí a series léxicas más complejas, tablas metrológicas, números y tablas de cálculo. Terminada la formación elemental, los alumnos copiaban himnos reales, máximas, debates literarios y mitos.

Esa descripción, desde el primer día hasta el último, necesita una nota al margen. Lo que tenemos es una secuencia reconstruida por la arqueología, no un programa de estudios antiguo. Un alumno podía repetir pasos, saltarse alguno o practicar varias cosas a la vez. Tampoco cabe extender sin reservas los materiales de una sola casa a todo el sistema educativo babilónico. La propia Robson insiste en el peligro de esa generalización.

Entre los textos literarios paleobabilónicos hay unos diálogos que más tarde se agruparon bajo la etiqueta de «vida escolar». Los propios alumnos debían copiarlos. Uno empieza por la mañana: el muchacho lleva su tablilla a la escuela, lee en voz alta lo que ha escrito, come, prepara una tablilla nueva y, ya en casa, tiene que recitar ante su padre lo aprendido durante el día.

A la mañana siguiente, el maestro revisa la tablilla y descubre que falta algo. Cae el primer bastonazo.

Lo que viene después muestra de qué está hecho realmente el texto. El encargado de las lecciones lo golpea; lo que le dice se ha perdido en una rotura de la tablilla. El encargado del patio lo golpea y le pregunta por qué hablaba mientras él no estaba. Otro lo golpea por no mantener bien levantada la cabeza. El encargado del dibujo lo golpea por levantarse de su sitio. El portero lo golpea por salir por la puerta. Otro lo golpea por haber cogido algo cuyo nombre se ha perdido. El encargado del sumerio lo golpea porque ha hablado en acadio cuando debía hablar en sumerio. Por último lo golpea su propio maestro, que le dice que tiene mala letra. Contando el golpe de la mañana, nueve veces en un día, con motivos cada vez más minuciosos.

Aquella noche, el padre del muchacho invita al maestro a casa, le sirve bebida y comida y le regala ropa. Después de beber, el maestro se vuelve hacia el alumno y empieza a elogiarlo.

La escena viene tan bien que casi dan ganas de no comprobarla. Por eso hay que aclararlo enseguida: procede de la literatura escolar, no del parte disciplinario de aquel día. Estos textos se compusieron en época paleobabilónica; no llegan mil años tarde, como el relato del griego que veremos después. Pero siguen siendo literatura. La sucesión de golpes y el convite quizá se apoyaran en instituciones reales; no demuestran que todas las escuelas funcionaran así todos los días.

La forma material de las tablillas respalda por sí misma otra parte de la historia. El modelo del maestro y la copia del alumno ocupan, efectivamente, zonas contiguas. La zona del estudiante muestra repeticiones, borrados y reescrituras. Los alumnos avanzados copiaban, efectivamente, literatura. Esa secuencia de demostración, imitación, revisión y corrección está bien asentada.

En Ur hay otra vivienda a la que los excavadores modernos dieron la dirección de calle Tranquila, número 7. Allí aparecieron más de dos mil documentos y materiales de práctica, pertenecientes a Ku-Ningal y su familia. Es habitual describirla como la casa de una familia hereditaria de escribas. Esa etiqueta necesita corregirse. Ku-Ningal y varios de sus hijos eran sacerdotes de purificación. Que en la casa se enseñaba es seguro; reducir la ocupación principal de toda la familia al trabajo de escriba es simplificar demasiado. Entre los miembros identificables está su hijo Ur-Nanna, cuyo sello lo presenta como un servidor religioso vinculado al dios lunar y como responsable de archivos.

En cuanto a si el oficio era hereditario, la mejor respuesta es que existía una continuidad familiar muy marcada, pero no un acceso al oficio reservado por ley. Las técnicas de lectura y escritura, las colecciones de tablillas, los contactos y el acceso a cargos se concentraban en las familias y les daban una ventaja evidente. Sin embargo, los cambios en nombres y títulos muestran que no existía una casta fija de escribas. Tampoco había una tabla salarial única. El cereal, la lana, las rentas de la tierra, las raciones y el propio cargo podían formar parte de los ingresos. Del respeto que recibían los escribas no se deduce que cualquier copista subalterno viviera con holgura.

Las pruebas directas de que las escuelas se abrieran a los talentos de las clases populares y de que, por ello, aprender a leer y escribir se convirtiera en una escalera de ascenso social son muy débiles. Los expedientes de alumnos que conocemos apuntan claramente hacia familias que ya disponían de recursos administrativos y sacerdotales. No podemos calcular qué probabilidades tenía el hijo de una familia campesina corriente de acceder a una formación avanzada de escriba.

Problemas sin salida

La tablilla 13901 del Museo Británico contiene, en cuatro columnas, veinticuatro problemas sobre las longitudes de los lados y las áreas de cuadrados y rectángulos, ordenados de lo sencillo a lo complejo. No procede de una excavación científica y carece de un contexto estratigráfico seguro.

Al leer esos veinticuatro problemas hay varias cosas difíciles de pasar por alto. Forman una progresión. La misma operación vuelve una y otra vez, con variaciones. Los números se han elegido para que encajen de una manera excepcionalmente limpia.

Alguien tuvo que construir esa progresión. Que el segundo problema sea un poco más difícil que el primero, y el tercero un poco más que el segundo, no es un orden que brote espontáneamente de una cuenta. Hace falta identificar primero el paso que plantea una dificultad y después fabricar una serie de problemas que solo difieran en ese punto. Quien los compone ya no tiene en la cabeza una parcela determinada o cierto almacén de cereal. Tiene en la cabeza el lugar donde se atascará el alumno.

Muchos de estos problemas llevan puesto un traje administrativo. Campos, ladrillos, canales, trabajadores, plata y cereal son los objetos habituales del mundo profesional de los escribas; nada más natural que encontrarlos en los enunciados. Pero ningún encargado de un granero se toparía en su trabajo con un problema así. Las dimensiones dadas están ahí para que el procedimiento funcione sin tropiezos, no para medir una parcela real.

La tablilla redonda de Yale pertenece a la misma clase de objetos. Ocho centímetros de diámetro, cabe en una mano, procedencia desconocida. En el anverso hay un cuadrado con sus dos diagonales. Un número está escrito junto a un lado; otros dos, cerca de la diagonal. Uno de ellos es un valor extraordinariamente preciso de la razón entre la diagonal del cuadrado y su lado. Una parte del reverso fue borrada. La misma constante de la diagonal figura en tablas de constantes, de modo que es muy probable que aquel alumno estuviera utilizando un valor ya conocido. No necesariamente lo calculó allí mismo.

La tablilla demuestra que los paleobabilonios podían tratar con gran precisión la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado. No demuestra que dispusieran de un sistema de proposiciones y deducciones al modo griego. Llamarla por el nombre de un teorema posterior es introducir a escondidas toda una forma de organizar el conocimiento.

La más discutida es Plimpton 322. Mide unos trece centímetros de ancho, nueve de alto y entre dos y tres de grosor. Es de un amarillo arenoso, con manchas de color naranja óxido y otras negras, arañazos visibles y bordes dañados. Conserva cuatro columnas y quince filas completas de datos. Es posible que a su izquierda hubiera otra parte hoy perdida.

Su recorrido moderno puede seguirse paso a paso. George Plimpton la compró a un anticuario hacia 1922 o 1923. El vendedor dijo que procedía de Senkereh, la antigua Larsa, pero no hay registro de una excavación científica. Por tanto, esa procedencia declarada no puede ascender a la categoría de contexto estratigráfico seguro. En la década de 1930, la tablilla pasó con la colección de Plimpton a la Universidad de Columbia.

En 1945, Neugebauer y Sachs reconocieron que los números de la tabla concordaban con las relaciones entre los lados de triángulos rectángulos. Esa estructura matemática se puede comprobar y nunca ha sido objeto de disputa. Lo discutido es qué era aquella tablilla.

Después, algunos autores la llamaron tabla trigonométrica, incluso la primera tabla trigonométrica del mundo. En sus nuevos análisis de 2001 y 2002, Robson rechazó esa lectura. En los documentos paleobabilónicos no aparece un marco conceptual equivalente al de las posteriores tablas de funciones de ángulos. En cambio, hay abundantes paralelos propios de aquella tradición para los pares de recíprocos, las tablas escolares de multiplicar, la generación de problemas y la disposición de las tablas. A partir de ellos, Robson interpretó la pieza como una hoja de trabajo con la que un maestro preparaba problemas de triángulos rectángulos. En 2017 volvió a formularse la tesis fuerte de que se trataba de una tabla exacta de trigonometría sexagesimal.

La conclusión más firme sigue siendo que la tablilla está estrechamente ligada a las relaciones de los triángulos rectángulos, los pares de recíprocos y la preparación de problemas escolares. Llamarla tabla trigonométrica exige introducir conceptos que los propios materiales paleobabilónicos no proporcionan.

Este problema de los nombres aparece en más lugares. Las tablillas originales no contienen ecuaciones simbólicas. Hablan en acadio de longitud y anchura, y describen las operaciones con verbos: hacer que se sostengan una a otra, arrancar, añadir, formar un cuadrado. En las décadas de 1930 y 1940, Neugebauer y Thureau-Dangin descifraron por primera vez estos textos a gran escala y condensaron sus procedimientos en ecuaciones mediante el álgebra moderna. Fue un éxito extraordinario a la hora de revelar la estructura matemática, pero tuvo un efecto secundario: al lector le resulta fácil tomar la ecuación por un objeto que existía realmente en la mente del escriba antiguo. Høyrup volvió más tarde a los textos desde su lengua y sostuvo que aquellas operaciones, que parecen resolver ecuaciones de segundo grado, remitían en su sentido propio a unir, cortar y completar segmentos medibles y superficies. Hoy se suele admitir que ambos lenguajes modernos pueden formalizar los resultados. Pero, si queremos saber qué creía estar haciendo el escriba, la reconstrucción filológica se mantiene más cerca de las palabras que utilizó.

Volvamos a los veinticuatro problemas. No son cuentas y no entrarán en ninguna liquidación. De las mismas casas y las mismas manos salen ya dos clases de cosas. Una acabará entregándose a quien debe recibirla. La otra no servirá de nada, se entregue a quien se entregue.

Comparten vocabulario, signos e incluso la misma arcilla. Solo difieren en su salida. Una va a los almacenes y a la casa real; la otra, a las manos de otro niño. Y en cuanto empieza a producirse esta segunda clase de objetos, aparece un ritmo propio: se ordena por dificultad, no por cosecha. Una vez asentado ese ritmo, ya no hace falta que alguien desde fuera dé la orden. Que la cosecha del año haya sido buena o mala no decide si el segundo problema debe ser más difícil que el primero.

No podemos dar un porcentaje. El uso no es una propiedad física que se pueda contar directamente en un catálogo. Una tabla de recíprocos es un ejercicio escolar y también puede preparar para la contabilidad futura. Un problema de tierras puede ser por completo ficticio y, aun así, entrenar una habilidad profesional real. Lo que sí puede citarse con seguridad es un orden de magnitud: se conocen unos dos mil textos matemáticos cuneiformes. Cerca de mil se han publicado con transcripción y traducción; una cantidad aproximadamente igual sigue esperando estudio y edición. Dentro de esos dos mil, las tablas de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados y raíces cuadradas, las tablas metrológicas y los problemas escolares ocupan una parte considerable.

Todo aquel oficio de llevar cuentas se había levantado para hacer recuentos. Una vez en pie, ya estaba empezando a producir cosas que no hacían recuento de nada. En las mismas casas. Con las mismas manos.

En tierras del Nilo

En Egipto hay que empezar por una diferencia de cantidades. Para toda la época faraónica y los períodos posteriores, los materiales que pueden considerarse textos específicamente matemáticos rondan las veinticinco piezas. Se conservan unos cien problemas, y la inmensa mayoría se concentra en dos rollos de papiro. Frente a ellos, conocemos unos dos mil textos matemáticos cuneiformes.

Para entender esa distancia no se pueden pasar por alto las condiciones de conservación. La arcilla, incluso simplemente secada al aire, puede durar muchísimo; el incendio de un edificio puede endurecerla aún más. El papiro, el cuero y las tablillas de madera se pudren con facilidad en suelos húmedos. Y las oficinas agrícolas del valle y del delta del Nilo se encontraban precisamente en lugares pésimos para conservar materia orgánica. Poner veinticinco junto a dos mil para comparar la actividad matemática de ambas regiones es, en realidad, comparar sus suelos.

El rollo principal es el papiro matemático Rhind. Hoy está dividido en varias partes. El primer tramo del Museo Británico mide unos 296 centímetros de largo por 32 de alto; el segundo, unos 198,5 de largo y también unos 32 de alto. Hay además fragmentos en Brooklyn. Los dos tramos mayores suman ya casi 4,95 metros. Con los fragmentos y las uniones perdidas, el rollo original desplegado superaba los cinco metros. No era un libro al que pasarle las páginas. Era una larga y estrecha tira, más larga que la pared de un salón corriente.

Al principio del rollo figura el nombre del copista, Ahmose. Declara que el texto ofrece un cálculo exacto para investigar las cosas y conocer toda clase de misterios. A continuación da una fecha precisa: lo copió en el año treinta y tres de Apepi, rey del Alto y el Bajo Egipto. Añade que se basó en una copia antigua, preparada en tiempos de Nimaatre, a quien normalmente se identifica con Amenemhat III.

Aquella copia antigua ya no existe. La única prueba directa que tenemos de ella es esa frase de Ahmose, escrita unos trescientos años después. No podemos comprobar si copió palabra por palabra, seleccionó pasajes, actualizó datos o combinó varias fuentes. Hoy suele aceptarse la fecha de la tradición que transmite su declaración. Pero solo hasta ahí.

Copiar no era entonces un trabajo de segunda. Que algo se copiara significaba que alguien lo consideraba digno de existir otra vez, y quien copiaba tenía ocasión de decidir qué se conservaba y qué no. Ahmose dejó un nombre y un año: bastante más que la inmensa mayoría de quienes sostenían una pluma en su tiempo. Hay un texto que explica muy bien cómo animaban los propios egipcios a un niño a dedicarse a ese oficio.

Un padre lleva a su hijo de viaje y, por el camino, va despachándose contra los demás trabajos. El carpintero está tan rendido que no puede enderezar la espalda. El albañil lleva el cuerpo cubierto de barro. El lavandero pasa el día metido en el agua, junto a los cocodrilos. No se salvan el pescador, ni el fabricante de flechas, ni el mensajero. Todos los oficios aparecen sucios, penosos y sin porvenir. Acabada la ronda, el padre repite su conclusión: ninguno se compara con el de escriba.

No estamos ante una encuesta de ingresos profesionales. El texto se formó en la tradición del Reino Medio, pero las copias completas conservadas y buena parte de los ejercicios escolares proceden del Reino Nuevo. Es decir, generaciones posteriores de niños copiaban una obra que los animaba a convertirse en escribas. Hay quien la lee como sátira y quien prefiere llamarla propaganda del oficio. Ninguna de las dos lecturas acepta sus retratos de las demás profesiones como descripciones documentales.

Pero en algo no mentía. Quien había escrito aquel texto y los niños que lo copiaban pertenecían al mismo grupo: el de quienes dominaban los signos y los números.

Del final del Reino Nuevo se conserva otra copia escolar, hoy llamada papiro Lansing y custodiada en el Museo Británico. Repite el mismo argumento, y se ensaña especialmente con el campesino. El escriba desembarca en la orilla para inspeccionar la cosecha, seguido de acompañantes con varas y nubios con garrotes. Alguien exige al campesino que entregue el cereal. El campesino responde que no tiene. Lo apalean, lo atan y lo arrojan a un pozo; atan también a su mujer y ponen grilletes a sus hijos. El rollo vuelve una y otra vez al mismo consejo: hazte escriba. Sigue siendo un texto para exhortar al estudio, no el registro de una recaudación. Pero el hombre que desembarca para comprobar la cosecha es exactamente la clase de persona en la que el texto invita al niño a convertirse.

Volvamos al papiro Rhind. Su procedencia arqueológica tampoco está clara. Rhind compró la parte principal en Luxor en 1858. El vendedor dijo que venía de las cercanías del Ramesseum, sin una excavación científica documentada. Tras la muerte de Rhind, el Museo Británico adquirió el grueso del rollo hacia 1865. En la década de 1860, Smith compró en Luxor otros fragmentos que más tarde se descubrió que encajaban con él. Su hija los donó en 1906. Los demás materiales matemáticos egipcios tienen cada uno sus propias rarezas, tanto en su historia como en su forma.

El rollo de Moscú mide unos cinco metros de largo, pero solo entre cuatro y ocho centímetros de alto. Más que una hoja, es una cinta. En ella se apiñan veinticinco problemas, desde cálculos de graneros hasta áreas, y uno sobre el volumen de una pirámide de base cuadrada a la que se ha cortado la punta. Golenishchev lo compró en el mercado de antigüedades en 1893. Tampoco tiene un lugar de hallazgo conocido.

Otro objeto ni siquiera es de papiro. Es un rollo de cuero, de unos veinticinco por cuarenta y tres centímetros, con varios grupos de descomposiciones equivalentes en fracciones unitarias. Entró en el museo con los materiales de Rhind y allí se quedó, enrollado. El cuero seco estaba duro y quebradizo: desplegarlo a la fuerza habría sido destruirlo. Nadie se atrevía a tocarlo. Pasó casi setenta años así, hasta que en 1927 se consiguió tratarlo y abrirlo.

A diferencia de estas piezas compradas a anticuarios, los materiales de Lahun proceden de una excavación documentada. Petrie los halló en una ciudad del Reino Medio. Tienen, por tanto, un contexto arqueológico definido: sabemos de qué casa y de qué estrato salieron. Los textos matemáticos son solo un pequeño grupo dentro de aquel conjunto de papiros.

Los escribas egipcios tenían una forma muy particular de tratar las cantidades no enteras. Una cantidad menor que la unidad solía escribirse como suma de varias fracciones unitarias distintas. El rollo Rhind empieza con una gran tabla que descompone una clase de fracciones en combinaciones manejables, hasta denominadores bastante elevados. No estaba ahí para admirar las propiedades de las fracciones. Ayudaba al escriba a resolver, al duplicar, repartir raciones o dividir, porciones que no podían obtenerse simplemente partiendo por la mitad. Los problemas posteriores sobre cereal, pan, cerveza y reparto de trabajadores recurren continuamente a esa misma práctica.

Entre los papiros de Lahun hay una tabla más pequeña del mismo tipo. Es anterior o contemporánea al rollo Rhind y cuenta con un contexto estratigráfico claro. La gran tabla del Rhind no era, por tanto, una invención aislada. Formaba parte de una tradición.

El sistema hacía naturales la duplicación, la división por dos y la expresión de las porciones mediante componentes normalizados y reconocibles. Además, encajaba bien con las unidades de capacidad. El precio era que algunas cantidades se convertían en sumas de varios términos, y elegir una descomposición u otra exigía práctica y consulta de tablas. Llamarlo torpe es medirlo con una notación posterior. Ningún escriba egipcio nos ha dejado una queja sobre lo engorroso que le resultaba su sistema. Los errores, las correcciones y las tablas auxiliares conservados demuestran que operarlo requería destreza. No demuestran que sus usuarios lo consideraran ineficiente.

También en Egipto hay problemas que no conducen a ninguna cuenta. El más llamativo es el número setenta y nueve del Rhind.

Siete casas. En cada casa, siete gatos. Cada gato vigila a siete ratones. Cada ratón roe siete espigas. Cada espiga produce, a su vez, siete medidas de cereal. Las cantidades van subiendo de nivel en nivel, cada vez más disparatadas. Al final se pregunta cuánto suman todas juntas.

Un encargado de granero no se topará en toda su vida con siete casas que tengan exactamente siete gatos cada una. Las casas, los gatos y los ratones del problema no están ahí para registrar nada. Están colocados para que un alumno vaya calculando las potencias de siete, una tras otra. Hace tres mil quinientos años, alguien se sentó a inventar un chiste y lo convirtió en deberes. Igual que en Mesopotamia, numerosos problemas egipcios utilizan datos escogidos deliberadamente para facilitar muchísimo el procedimiento. Que un problema hable de un granero y que sea el registro real de un granero son cosas completamente distintas.

Los problemas cincuenta y seis a sesenta del Rhind tratan de algo llamado seked. Describe una pendiente mediante el número de anchos de palma y de dedo que se avanza en horizontal por cada codo de subida. En términos posteriores, es una manera de expresar la pendiente. El original no utiliza ángulos ni contiene funciones trigonométricas.

Para las obras del Reino Antiguo contamos, por otra parte, con un testimonio de primera mano extraordinariamente sólido. El diario de Merer, hallado en Wadi el-Jarf, pertenece al final del reinado de Keops. El texto lo fecha en el año posterior al decimotercer recuento del ganado, que suele convertirse en el año veintiséis o veintisiete del reinado. Merer dirigía un grupo de unos cuarenta barqueros. Cuatro grupos de ese tipo formaban una cuadrilla. El diario registra los transportes de caliza desde Tura, por agua, hasta la zona de obras de Keops en Guiza. Ahí están las fechas, el personal y su distribución.

Merer no era un matemático ni un ingeniero en el sentido posterior. Era un supervisor con unos cuarenta hombres a su cargo y tenía que hacer llegar la piedra a su destino en las fechas previstas. Su diario importa porque permite ver cuántas clases de registros hacían falta para que una obra así funcionara, y detrás de cada registro tenía que haber alguien que supiera calcular. Quien sabía calcular no necesariamente había escrito un problema; quien escribía problemas no necesariamente había acompañado un cargamento en barco. También se conservan las huellas de las canteras, las marcas de las cuadrillas y los asentamientos de los trabajadores. El grado de organización de las obras no está en duda.

Pero no se conserva ninguna tabla de cálculo de pendientes de la época de Keops, y el rollo Rhind es casi mil años posterior. Es posible calcular a la inversa las pendientes reales de las pirámides mediante las unidades posteriores del seked; algunas dan relaciones muy limpias entre palmas y dedos. Resulta perfectamente razonable pensar que los arquitectos del Reino Antiguo dominaban alguna técnica equivalente de control de la pendiente. Sin embargo, deducir de las mediciones que diseñaron siguiendo exactamente el procedimiento del problema cincuenta y seis del Rhind sigue siendo una inferencia. Los estudiosos de los dibujos arquitectónicos egipcios han recordado que muchos bocetos conservados no eran planos de construcción a escala en el sentido posterior.

La capacidad se medía en Egipto con otro conjunto de unidades. Una cantidad llamada heqat se dividía sucesivamente por la mitad. Estas unidades se utilizaban realmente para el cereal, las raciones y las conversiones de capacidad, y el Rhind contiene problemas que muestran cómo pasar de unas a otras. Esa serie de fracciones obtenidas por mitades daría lugar más tarde a una historia preciosa. Nos ocuparemos de ella después.

El nombre de Ahmose quedó al comienzo del rollo. No dijo que fuera matemático. Faltaba mucho para que se acuñara esa palabra. Dijo que era quien copiaba.

Creo que

Una de las historias más difundidas sobre el origen de la geometría viene de Heródoto.

Según su relato, un rey de Egipto dividió la tierra en cuadrados iguales y cobró por ellos una renta anual. Si el Nilo se llevaba parte de la parcela de alguien, el rey enviaba a medir lo que quedaba y reducía la renta en proporción. Heródoto añade entonces una frase que, en sustancia, dice: creo que así se descubrió la geometría, que después pasó a Grecia. Este relato exige detenerse en dos puntos.

El primer punto es la distancia temporal. Heródoto escribió hacia mediados del siglo V a. C. Si el rey de su relato recoge principalmente tradiciones del Reino Medio, lo separaban entre mil trescientos y mil quinientos años de aquella monarquía. Incluso si entendemos la historia como una descripción general de las instituciones del antiguo Egipto, sigue llegando más de mil años después de la tradición a la que pertenece el Rhind.

El segundo es más importante. Él mismo dejó puesta una señal. «Creo que»: esas palabras están en el original. Heródoto presentó la invención de la geometría como su propia explicación, no como una frase tomada de un archivo egipcio. Lo que hicieron quienes repitieron después la historia fue quitar aquellas palabras.

Conservar o quitar esas dos palabras supone una diferencia enorme. Con ellas, tenemos la inferencia de un viajero a partir de lo que vio y oyó. Sin ellas, tenemos un registro sobre los orígenes. Esta segunda versión es más fácil de recordar y más cómoda de usar. Por eso llegó más lejos.

Que los egipcios medían las tierras no ofrece ninguna duda. Tenemos problemas de áreas, registros de parcelas, actividades de medición con cuerdas y documentos de impuestos y rentas. Lo que falta es un documento egipcio que diga: la inundación borró los límites de los campos y por eso inventamos la geometría.

La historia siguió engordando. Una cuerda con doce nudos y la recuperación del ángulo recto mediante lados de tres, cuatro y cinco unidades: esos detalles ni siquiera están en Heródoto. Crecieron en las historias de las matemáticas de época moderna y contemporánea.

Si ponemos ambas cosas una junto a otra, aparece una secuencia. La inferencia de Heródoto se escribió en el siglo V a. C. La cuerda de doce nudos llegó en época moderna. Cuanto más minuciosos son los detalles, más joven resulta el relato. Y hay un tercero, todavía más joven que los otros dos. Antes hemos visto que las unidades egipcias de capacidad se dividían sucesivamente por la mitad. Hay una historia que presenta esas fracciones de una manera deslumbrante.

Horus lucha con Seth y uno de sus ojos queda despedazado. Los fragmentos se dispersan. A cada uno le corresponde una fracción de la serie de mitades: un medio, un cuarto, un octavo, hasta un sesentaicuatroavo. Al reunirlos todos, falta muy poco para tener el ojo entero. Thot, dios de la sabiduría, aporta la parte que falta. El relato es tan bueno que casi parece innecesario comprobarlo. Tiene fracciones, mito, una falta y su reparación. No le falta nada; y lo que le falta al ojo es, precisamente, la menor de aquellas porciones.

Ritter rastreó la construcción moderna de esta historia. Los signos de las fracciones de capacidad de comienzos del Reino Medio eran principalmente signos de escritura hierática. Ningún texto antiguo dice que fueran partes de un ojo. La versión fuerte, la que dibuja esos signos como los componentes del ojo, se fue formando a partir de comparaciones de signos de principios del siglo XX. En la década de 1920, Gardiner y los manuales de historia de las matemáticas contribuyeron a difundirla hasta convertirla en un clásico.

El mito del ojo de Horus dañado y restaurado es, desde luego, antiguo. Pero la primera afirmación explícita de que seis fragmentos corresponden a seis fracciones sucesivas por mitades procede de la egiptología moderna, unos tres mil quinientos años después de aquella época. Tres relatos, cada uno más joven que el anterior, y todos hablan de hace tres o cuatro mil años.

Hay otro rasgo de este relato que suele pasar desapercibido. No tiene protagonista. Habla de Egipto, no de un egipcio. De aquel período han quedado tan pocos nombres que una historia sobre los orígenes no encuentra una persona a la que atribuirse. Tiene que atribuirse a todo un río.

Algo semejante ocurre con los nilómetros. Los egipcios registraron muy pronto la altura de las crecidas: la tradición de los anales reales del Reino Antiguo ya incluye datos anuales del nivel del agua. Los nilómetros de épocas posteriores tuvieron formas diversas: columnas, escaleras y pozos, con escalas en codos. El nivel del agua estaba, naturalmente, muy relacionado con las posibilidades agrícolas. Demasiado bajo dejaba pocas tierras irrigables; demasiado alto causaba daños. Es una reconstrucción muy razonable que el Estado conociera la situación del río, estimara con ella las cosechas y ajustara su capacidad de recaudación.

Pero para este período no se conserva ninguna tarifa fiscal faraónica que pueda expresarse como «tantos codos de agua equivalen a tal tipo impositivo». Las pruebas detalladas que vinculan estrechamente las lecturas de los nilómetros y los impuestos son mucho más abundantes en épocas ptolemaica, romana y, sobre todo, islámica. El famoso nilómetro de Roda es, de hecho, una construcción del año 861 d. C. La relación general es verosímil; una conversión mecánica y exacta no pertenece a este período. Si apartamos la vista del relato y volvemos a los registros, aparece otra cosa.

El número de objetos con escritura cuneiforme descubiertos suele estimarse entre medio millón y un millón. En 2016 ya se habían catalogado más de trescientos mil. Unos dos mil son matemáticos. Solo los documentos administrativos de la tercera dinastía de Ur rondan los ciento veinte mil. Y los textos específicamente matemáticos de Egipto son unos veinticinco. Esta distribución introduce al menos cuatro sesgos sistemáticos.

La parte más barata y más frecuente del aprendizaje es precisamente la que peor se conserva. Los ejercicios cotidianos sobre arcilla húmeda se borraban; solo entraron en el registro arqueológico las tablillas que se secaron después de desecharse o que el fuego endureció por accidente. Las zonas inundables de Egipto guardan un silencio casi total. Los cementerios del desierto y los asentamientos en sus bordes preservan mejor los materiales, de modo que la muestra moderna se inclina hacia la religión, las tumbas y unos pocos lugares secos. Los textos avanzados resultan mucho más visibles que los conocimientos corrientes. Cómo calculaba de cabeza un campesino, un vendedor o un capataz; cómo hacía nudos, estimaba cantidades a ojo con recipientes o recordaba de palabra una deuda: por lo general, nada de eso dejó un registro propio. La escuela misma dependía en gran medida de la memoria y de la enseñanza oral. Los modelos del maestro, las copias de los alumnos, las recitaciones descritas en la literatura y las zonas de práctica alisadas repetidamente son testimonios indirectos de esa transmisión oral. Qué proporción del aprendizaje ocupaba, no podemos calcularlo.

Otro sesgo tiene que ver con quién sostenía el instrumento de escritura. No es cierto que todos los escribas fueran hombres. Hay pruebas de títulos de escriba aplicados a mujeres al menos desde las épocas acadia y de la tercera dinastía de Ur. En el período paleobabilónico son más claras: se han identificado varios textos escolares firmados por mujeres en sus colofones, desde ejercicios elementales de sílabas y vocabulario hasta obras literarias sumerias. Dentro de una comunidad de mujeres paleobabilónicas hay ejemplos de mujeres que sabían leer y escribir, administraban bienes y redactaban documentos. Amat-Mamu es una de las más citadas.

Al mismo tiempo, en muchísimas cuentas de la tercera dinastía de Ur, las mujeres y los esclavos son las personas que se cuentan. Trabajadoras textiles, trabajadores dependientes y niños se convierten en raciones y jornadas, anotadas bajo el nombre de un supervisor. Ambas cosas son ciertas a la vez.

Los archivos los producen quienes escriben. Su silencio sobre los demás es, por tanto, un sesgo de la institución que los produjo, no el resultado de una encuesta sobre las capacidades de la población. Concluir que las mujeres corrientes y los esclavos no sabían calcular porque apenas aparecen escribiendo tablillas matemáticas en esas cuentas es razonar en la dirección equivocada.

Quién enseñó primero a contar, cómo aprendían la aritmética cotidiana los hijos de familias ajenas al mundo de los escribas, cuántos algoritmos nunca se pusieron por escrito, cuál era el procedimiento completo de diseño de los primeros arquitectos egipcios, cómo funcionaba la contabilidad oral antes de que apareciera la escritura en Uruk: no lo sabemos. Toda narración que pretenda llenar esos huecos con uno o dos rollos de papiro supervivientes es una conjetura.

Las tablillas que quedaron son las que alguien creyó que merecía la pena guardar, o las que un incendio endureció por casualidad. Las que se borraron para la siguiente lección no dejaron nada. El niño que alisaba su columna de ejercicios para empezar de nuevo no sabía que estaba eliminando pruebas.

Seguimos haciendo cuentas. Qué cuenta como matemática es algo que nunca hemos terminado de aclarar.

Fuentes y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación del texto. Los registros de museo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son el mismo tipo de prueba.

• Damerow: Kushim y los orígenes de la escritura
• Robson: los usos de las matemáticas en el antiguo Irak
• Robson: Más que metrología
• Museo Británico: BM 13901
• Museo Británico: papiro matemático Rhind
• Robson: una nueva evaluación de Plimpton 322
• Tallet: materiales publicados de los papiros de Wadi el-Jarf