Otro criterio

1. Cuando se pudrieron las cuerdas

Entre finales de 1983 y comienzos de 1984 se excavó un conjunto de tumbas Han en Zhangjiashan, en Jiangling, provincia de Hubei. De una de ellas, la número 247, salió una gran cantidad de tablillas de bambú.

Los documentos fechados de la tumba han llevado a los especialistas a situar el enterramiento, por lo general, hacia el segundo año del gobierno de la emperatriz viuda Lü (Gao Hou) de los Han, alrededor de 186 a. C. Es una datación inferida de los datos arqueológicos: no conviene convertirla en el día exacto en que se selló la tumba, ni asegurar, solo a partir de la última fecha documentada, que el manuscrito tuvo que copiarse antes de ese año. Entre las tablillas había un libro de cálculo.

Había sido un libro en toda regla. Unas doscientas tablillas, de unos treinta centímetros de largo y apenas seis o siete milímetros de ancho. No se escribía una línea horizontal: el pincel recorría la estrecha superficie de bambú de arriba abajo, formando una columna. En cada tablilla cabían desde unos pocos caracteres hasta varias decenas; las instrucciones de un procedimiento podían ocupar varias. Terminada la escritura, tres cuerdas enlazaban las tiras, una a una, y el conjunto se enrollaba. Las cuerdas eran materia orgánica.

Cuando, más de dos mil años después, se abrió la cámara funeraria, las tres cuerdas se habían podrido por completo. Aquel libro se había convertido en más de doscientas tiras largas y estrechas, desordenadas y, en algunos puntos, rotas.

Apareció así un problema que no habíamos encontrado en las entregas anteriores. El texto seguía allí. El orden, no.

En un libro impreso, las frases se suceden en un orden que parece natural e indiscutible. Con las tablillas no ocurría lo mismo. Al romperse las cuerdas, el propio orden pasaba a ser algo que había que demostrar. Para reconstruirlo, los editores solo podían ir pieza por pieza, atendiendo a la longitud de cada tira, la posición de los nudos superiores e inferiores del bambú, las marcas de las cuerdas, la mano del escriba, el tono de la tinta, la forma de las fracturas, la continuidad de las frases y la sucesión de términos técnicos como fa, shi o «el procedimiento dice». Bastaba colocar mal una tablilla para que un algoritmo pareciera ordenar unas operaciones completamente distintas.

Hay algo incómodo en esto. Para decidir qué pieza va antes y cuál después, los indicios físicos resuelven una parte; el resto depende del sentido. Y depender del sentido quiere decir que el orden reconstruido debe hacer que el algoritmo funcione. Para volver a leer un libro de cálculo, hay que suponer primero que sus cálculos tienen sentido. Esta frase reaparecerá al final. Entre la excavación y la publicación oficial de la transcripción completa pasaron más de diez años. La transcripción salió en 2000; la edición anotada, en 2001.

No se pasaron todos esos años haciendo el mismo rompecabezas material. Hubo que limpiar, conservar, fotografiar, descifrar grafías antiguas, comparar escrituras, ensayar una y otra vez distintos órdenes y cotejar el resultado con otros hallazgos. No era parsimonia de paleógrafos. La propia estructura del material lo exigía. Una pista resultó de enorme ayuda: en el reverso de la tablilla a la que los editores modernos asignaron el número seis aparecían tres caracteres, 筭數書, Suan shu shu, «Libro de cálculo». Era el nombre que el propio libro llevaba.

Que un libro dijera cómo se llamaba en el dorso de su sexta tablilla tenía una utilidad muy concreta en el mundo de los libros de bambú. Una vez enrollado, no se veía qué había dentro. El título tenía que asomar en alguna parte.

Para quienes lo reconstruían dos milenios después, aquellos tres caracteres servían además para otra cosa. Permitían establecer, al menos, que aquellas tiras dispersas habían pertenecido a un mismo libro y que ese libro tenía nombre.

En el extremo inferior de otras tablillas aparecen Wang, Yang y las expresiones «Wang ya lo cotejó» y «Yang ya lo cotejó». El carácter chou, 雠, significa aquí cotejar o revisar. No sabemos aún si esas dos personas fueron copistas, correctores o desempeñaron alguna otra función.

Pero al menos puede verse que hacia 186 a. C. existía ya un libro material de cálculo, con procedimientos que podían ejecutarse una y otra vez y con huellas de haber sido revisado por alguien.

Las cuatro entregas anteriores presentaban situaciones materiales distintas. Una tablilla de arcilla se puede alisar, pero la tablilla sigue ahí. Lo borrado de la cera desaparece. El pergamino se puede raspar; la tinta que resiste queda en las fibras y aún puede leerse setecientos años después. El bambú ofrece un cuarto caso: aguanta dos milenios, pero se desarma. Cuatro materiales, cuatro maneras de fallar. Lo borrado, lo desaparecido, lo que no se consigue raspar del todo, lo disperso.

Esta última tiene una dificultad propia. En las otras tres, al mirar lo que queda se ve si conserva su estado original. Cuando un libro se desarma, todas las piezas siguen allí; lo que se ignora es cómo colocarlas. Cada forma de deterioro decide qué podrá recibir el futuro y qué precio tendrá que pagar para leerlo.

2. Lo comprado y lo excavado

No es el único libro de cálculo recuperado del subsuelo. Pero la fuerza probatoria de unos hallazgos y otros varía mucho, y conviene aclararlo antes de seguir.

A finales de 2007, la Academia Yuelu compró en Hong Kong un lote de tablillas Qin: unas dos mil cien piezas numeradas, de las que alrededor de mil trescientas estaban relativamente completas. En 2008 recibió como donación otras setenta y seis de un coleccionista. Entre ellas había un libro titulado Shu, «Números», de más de doscientas tablillas, publicado oficialmente en 2011.

A comienzos de 2010, la Universidad de Pekín recibió como donación otro lote de tablillas Qin que se había comprado en el extranjero. Tras la limpieza se contabilizaron 762 tiras de bambú, unas trescientas escritas por ambas caras; había también tiras de madera, tablillas anchas de madera y de bambú, un prisma de madera para escribir, un dado y sesenta y una varillas de cálculo. Entre las tablillas de los Reinos Combatientes incorporadas a la Universidad Tsinghua en 2008, veintiuna permiten reconstruir una tabla de multiplicación decimal bastante compleja. Ninguno de estos tres lotes procede de una excavación documentada. Los tres llegaron a través del mercado de antigüedades. Aquí hay que separar dos preguntas: si un objeto es auténtico y de dónde procede.

El bambú, la tinta, los caracteres antiguos, el estilo de escritura, los indicios internos del contenido y los análisis necesarios permiten juzgar la antigüedad y autenticidad de un conjunto. Hasta ahí se puede llegar.

Pero la cadena que va del saqueo al mercado rompe a la vez la conexión con el número de tumba, el estrato, los objetos asociados, la disposición original de las tablillas y las condiciones del enterramiento. Eso no se recupera. La crítica textual no puede suplir a la arqueología.

Lo razonable es, por tanto, valorar estos materiales en dos planos. Las tablillas y sus textos merecen un estudio riguroso. Las inferencias de historia social que dependan del lugar exacto del hallazgo, de la identidad del difunto o del conjunto funerario deben recibir, todas, un grado menos de confianza.

El lote de Pekín tiene una particularidad. Al desembalarlo y separar sus piezas, una parte considerable seguía enrollada: alrededor de diez rollos de tablillas, no una acumulación de tiras sueltas. Eso ofrece información excepcional sobre cómo se enrollaban y ataban los libros, cómo continuaba la escritura entre el anverso y el reverso de un mismo rollo y cómo podían convivir en él varios textos. Además, el lote contenía algo que no era texto: sesenta y una varillas de cálculo, conservadas junto al libro.

El escriba de la primera entrega trabajaba sobre arcilla; los griegos de la segunda, sobre cera y superficies cubiertas de polvo. Aquellas superficies de trabajo no han llegado hasta nosotros. Aquí sí quedó la herramienta.

Aun así, se trata de observaciones hechas en una sala de estudio, no de registros tomados sobre el terreno en una excavación. Otros conjuntos, en cambio, sí salieron de excavaciones arqueológicas.

En 1975, de la tumba número once de Shuihudi, en Yunmeng, salieron 1155 tablillas y fragmentos. El difunto se llamaba Xi. Su trayectoria de funcionario está bien documentada, y lo está en las tablillas que lo acompañaban en la tumba. Un rollo de anales intercala, entre las campañas militares del Estado de Qin, episodios de su vida: Xi nació al canto del gallo, el día jiawu del duodécimo mes del año cuarenta y cinco del rey Zhao, es decir, en 262 a. C. En el primer año del rey Zheng de Qin, 246 a. C., tenía diecisiete años; la tablilla anota «Xi, inscrito para el servicio». Su nombre había entrado en el registro de quienes debían servir al Estado. En el tercer año del rey Zheng pasó a ser escriba; después ejerció de secretario administrativo en Anlu y en Yan, instruyó causas en Yan y sirvió tres veces en el ejército. Antes de llevar las cuentas y los expedientes del gobierno, él mismo había quedado apuntado en sus libros. Las «Ordenanzas de verificación», Xiao lü, incluidas en el conjunto, regulan directamente el cotejo de cuentas y bienes en los distritos y las oficinas centrales, así como las discrepancias en pesos y medidas. Las sanciones recaían sobre el responsable: si una balanza para pesar un shi se desviaba dieciséis liang o más, el funcionario encargado debía una armadura; si la desviación iba de ocho a dieciséis liang, un escudo. Los recipientes para medir grano, tong y dou, tenían también sus propias multas por inexactitud. No es un libro de cálculo, pero demuestra que comprobar existencias y normalizar medidas no era un decorado inventado por quienes escribían esos libros.

En 2002 se extrajeron de un antiguo pozo en Liye, distrito de Longshan, Hunan, decenas de miles de tablillas Qin. El grueso pertenecía al archivo administrativo del distrito de Qianling. Había materiales de multiplicación del tipo de las tablas de nueve por nueve, junto con multitud de libros de cuentas reales. El valor de Liye no consiste en haber proporcionado otro tratado completo de cálculo, sino en que el material matemático permanece inserto en su contexto de archivo administrativo. De un lado, un manual en una tumba; del otro, las cuentas de un pozo. Tenemos los dos extremos.

Esta combinación no había aparecido en las entregas anteriores. De la Mesopotamia de la primera conservamos muchas tablillas administrativas y ejercicios escolares, pero la relación entre ambas clases de objetos se infiere. Aquí podemos ver un libro de cálculo funerario y los libros de cuentas reales de una oficina de distrito, en dos lugares distintos y cada uno con su propio contexto estratigráfico. También hay que decir algo sobre las razones de su supervivencia.

El bambú y la madera son materiales orgánicos: en condiciones normales de temperatura, humedad y oxígeno se descomponen con facilidad. Por eso muchas tablillas de los Reinos Combatientes, Qin y Han se concentran hoy en tumbas y pozos de la región de Jianghan que quedaron sellados, inundados y sin oxígeno; las de madera aparecen también en yacimientos del noroeste extremadamente árido.

El sesgo de conservación es enorme. Zhangjiashan es una tumba; Liye, un pozo abandonado. Ninguno de esos entornos constituye una muestra aleatoria de los lugares donde se escribía a diario. Las tumbas ordinarias del norte, los edificios sobre el suelo, los talleres corrientes y los libros de bambú desechados después de muchas lecturas pueden no haber dejado casi ninguna huella.

Que China conserve tablillas de bambú no permite concluir que cierto tipo de libro abundara especialmente en la China antigua. Solo permite concluir que algunas tumbas húmedas y algunos pozos del sur, junto con regiones muy secas, tuvieron la posibilidad de conservar materiales orgánicos de escritura.

Esta disciplina ya ha aparecido varias veces, de distintas formas, en las cuatro primeras entregas. En la primera, la arcilla favorecía los registros administrativos; en la tercera, Grecia había dejado el producto, pero no el taller; en la cuarta, un ejemplar único sobrevivía gracias a una cadena de casualidades. Siempre era la misma advertencia: lo que se conserva no es una muestra aleatoria de lo que se hizo.

De paso, conviene corregir una frase de la entrega anterior. Puede decirse que de Grecia no quedan originales materiales si con ello se entiende que obras como los Elementos no conservan manuscritos de la época de sus autores. Pero sería excesivo entender que del mundo antiguo de lengua griega no ha sobrevivido ningún testimonio material de escritura matemática, en papiro, cerámica u otros soportes.

La verdadera diferencia entre los tres ámbitos está en cómo llegaron a formarse las muestras conservadas. Usar directamente las tablillas de arcilla, las de bambú y los manuscritos posteriores como contadores de la actividad matemática de cada lugar es confundir las condiciones de conservación con la historia misma.

3. El procedimiento

El parentesco más visible entre estos libros recuperados y los posteriores Nueve capítulos sobre los procedimientos matemáticos es su forma. La estructura típica tiene tres partes: «Supongamos que hay tal cosa; se pregunta tal otra». «La respuesta es esta». «El procedimiento dice esto». Las dos primeras presentan un caso concreto; la tercera explica cómo resolver toda una clase de problemas.

Esa tercera parte es la decisiva. El shu, el procedimiento, no suele ser una comprobación línea por línea del ejemplo. Se parece más a un programa general que puede ejecutarse repetidas veces. Indica qué cantidad colocar en qué sitio, qué multiplicar por qué, qué tomar como fa y qué como shi, cuándo dividir, cómo reducir una fracción y cómo continuar. En principio, aunque cambien los números, el procedimiento sigue siendo ejecutable. Esa es la diferencia fundamental entre un procedimiento y una respuesta. La respuesta resuelve este problema; el procedimiento abarca una clase.

El libro de Zhangjiashan demuestra que esa forma de escritura existía ya hacia 186 a. C. Sus entradas, como las dedicadas a obtener la cantidad de grano descascarillado a partir de la de grano sin descascarillar, no se limitan a dar un resultado: extraen una regla general de conversión y hacen entrar los números concretos en ella.

El procedimiento no fue, por tanto, un estilo de escritura inventado en tiempos de Liu Hui. Existía antes de que los Nueve capítulos adquirieran la forma en que los conocemos. La versión habitual de la obra reúne 246 problemas, distribuidos en nueve capítulos.

Fangtian, «Medición de campos», contiene treinta y ocho problemas sobre superficies de terrenos y fracciones. Sumi, «Cereales», cuarenta y seis sobre conversiones de granos y mercancías. Cuifen, «Reparto proporcional», veinte sobre distribuciones según rangos y proporciones. Shaoguang, «Anchura menor», veinticuatro que buscan longitudes a partir de áreas o volúmenes, incluida la extracción de raíces. Shanggong, «Evaluación de obras», veintiocho sobre construcción y volúmenes de distintos sólidos. Junshu, «Reparto equitativo», veintiocho sobre la distribución proporcional de impuestos, transportes y prestaciones de trabajo. Ying buzu, «Exceso y defecto», veinte que deducen una cantidad desconocida a partir del exceso y la falta producidos por dos suposiciones. Fangcheng, «Disposición en columnas», dieciocho sobre relaciones agrupadas y operaciones con positivos y negativos. Gougu, «Base y altura», veinticuatro sobre los tres lados del triángulo rectángulo, medición y semejanza.

Estos nueve nombres son, ante todo, categorías técnicas. No forman un índice de las disciplinas actuales.

Traducir fangcheng sin más como álgebra lineal moderna, o llamar a gougu simplemente por el nombre de un teorema, ayuda al lector de hoy a reconocer la estructura matemática. Pero borra al mismo tiempo la clasificación antigua. Fangcheng es, en primer lugar, una manera de disponer columnas en el cálculo con varillas, no una igualdad escrita en papel. ¿Y eran todos estos problemas asuntos de administración real?

Si atendemos a los temas, cinco capítulos, Fangtian, Sumi, Cuifen, Shanggong y Junshu, suman 160 de los 246 problemas, todos enmarcados en situaciones claramente prácticas: tierras, conversiones de mercancías, repartos, obras, tributos y transporte. Los demás incluyen también numerosas historias de mediciones, compraventas, pozos y construcciones. El escenario narrativo es marcadamente práctico. Eso no ofrece duda.

Pero que un problema hable de alguien que transporta grano no lo convierte en un expediente auténtico de transporte de grano.

Muchos números están claramente elegidos con cuidado para que el procedimiento arroje un resultado limpio. Un mismo algoritmo admite historias distintas. En algunos problemas, las condiciones se parecen más a un ejercicio concebido para poner a prueba los casos límite del procedimiento.

No existe, por eso, un recuento fiable que permita dividir los 246 problemas entre casos reales y ejercicios de aula. Dar esas cifras sería fingir precisión.

La prueba de que el cálculo administrativo existía de verdad procede de otros materiales: el cotejo de cuentas y bienes y las normas de pesos y medidas de las Ordenanzas de verificación de Shuihudi; los libros de cuentas y las tablas de multiplicación de las oficinas de Liye. Esos documentos demuestran que el gobierno calculaba. Los Nueve capítulos muestran que había un saber procedimental, seleccionado y organizado, capaz de resolver problemas semejantes. Se puede establecer una relación funcional entre ambos, pero no concluir automáticamente que cierto problema de los Nueve capítulos copia un expediente de una oficina de distrito.

La primera entrega trató esta misma cuestión. Entonces veíamos que la antigua Babilonia produjo numerosos problemas revestidos de lenguaje administrativo que no podían corresponder a asuntos reales. Aquí la estructura de la evidencia es distinta y más favorable: de China se conservan tanto los libros de cálculo de las tumbas como las tablillas de las oficinas, de modo que los procedimientos de manual y la contabilidad efectiva pueden examinarse en paralelo. La diferencia está en la documentación, no en una jerarquía entre lo práctico y lo teórico. En cuanto a cuándo se escribió el libro, no hay una fecha que podamos señalar en el calendario.

Los Nueve capítulos conservados son, a todas luces, una acumulación de capas. Las instituciones, los topónimos, las unidades y los términos que aparecen en ellos no pertenecen todos a la misma época. Los compiladores Qing de la Biblioteca completa de los cuatro depósitos, el Siku quanshu, ya señalaron una dificultad célebre: el texto menciona lugares como Shanglin, pero el parque de Shanglin corresponde a tiempos del emperador Wu de los Han.

En su prefacio, Liu Hui cuenta que, tras la quema de libros de Qin, los antiguos procedimientos quedaron incompletos. Zhang Cang, marqués de Beiping, y Geng Shouchang, ambos célebres por su destreza en el cálculo durante los Han, habrían suprimido y añadido materiales a los restos de los textos antiguos. De ahí las diferencias entre la organización posterior y la primitiva, y la presencia de expresiones más recientes. Los compiladores del Siku plantearon entonces una pregunta: si Shanglin pertenece a la época del emperador Wu y Zhang Cang a los primeros Han, ¿cómo iba a incluirlo de antemano? Hay dos niveles que separar. Que Zhang Cang y Geng Shouchang fueron funcionarios técnicos Han vinculados al cálculo y a las medidas cuenta con el apoyo de otras fuentes históricas.

Que compilaran o revisaran los Nueve capítulos que hoy leemos depende, en cambio, sobre todo de lo que Liu Hui, en el siglo III, decía de sucesos ocurridos varios siglos antes. Ninguna fuente Han conservada lo afirma con la misma claridad.

Podemos decir, por tanto, que hacia 263 Liu Hui creía, o transmitía una tradición según la cual, Zhang Cang y Geng Shouchang habían ordenado antiguos materiales de cálculo. Esa tradición es, por sí misma, un testimonio histórico importante. No podemos, sin embargo, elevar a hecho establecido que ambos fueran los compiladores de los Nueve capítulos. Y aunque Zhang Cang hubiera participado en alguna fase de su elaboración, eso no explicaría todas las capas del texto actual.

4. Cortar y volver a cortar

De Liu Hui, la persona, podemos asegurar muy poco. Su caso se parece mucho al del protagonista de la tercera entrega. La obra está entera; el hombre casi ha desaparecido.

Hubo alguien llamado Liu Hui que comentó los Nueve capítulos. La cronología tradicional sitúa ese trabajo en el cuarto año de Jingyuan, bajo Cao Wei: 263. Su comentario y el Manual matemático de la isla marítima, que más tarde circuló como obra independiente, son nuestras principales vías para conocerlo. Poco más.

Las divulgaciones modernas suelen asignarle sin rodeos fechas de nacimiento y muerte, e incluso una localidad de origen y un linaje precisos. Esas cifras no tienen un respaldo comparable al de los años 429 y 500 que las historias oficiales dan para Zu Chongzhi. La importancia de una obra no engorda por sí sola la biografía de su autor. La fecha de 263 resulta relativamente firme porque los catálogos tradicionales y las secciones bibliográficas de las historias oficiales registran que Liu Hui comentó los Nueve capítulos en el cuarto año de Jingyuan de Wei.

Pero también aquí hay otra capa. El comentario transmitido menciona, por ejemplo, una medida de bronce, un hu, del arsenal de Jin, y en 263 aún reinaba Cao Wei. Los compiladores del Siku ya lo advirtieron: si el comentario se escribió en el cuarto año de Jingyuan, ese pasaje indica o bien que Liu Hui lo revisó una vez comenzada la dinastía Jin, o bien que anotaciones posteriores acabaron incorporándose al texto.

«En el cuarto año de Jingyuan existía un comentario de Liu Hui» es una afirmación bastante segura. «Cada palabra del comentario actual se escribió en 263» no lo es. Lo más valioso de su prefacio, por cierto, no es la gran historia de la civilización que propone, sino la posición que adopta el autor.

En eso se diferencia mucho de los personajes anteriores. Los preámbulos de Arquímedes sitúan una correspondencia y la prioridad de los hallazgos: quién ha muerto, qué se ha enviado ya. El prefacio de Liu Hui explica su relación con un libro antiguo.

Dice que estudió los Nueve capítulos desde niño y que, ya adulto, volvió a leerlos una y otra vez. Ante los procedimientos heredados, su tarea consistía en recoger lo que había alcanzado a comprender y anotarlo. El prefacio ofrece además una imagen importante: aunque los problemas se ramifiquen, comparten raíz y tronco; si se toma un extremo, se pueden inferir los demás por afinidad entre las cosas. En palabras llanas: el libro ya contiene procedimientos; yo quiero sacar a la luz lo que los fundamenta y mostrar cómo se enlazan las razones de los casos semejantes.

Obsérvese que no declara erróneo el libro, ni anuncia otro que lo sustituya. Se reserva el puesto de intérprete.

Y precisamente de ese puesto nacen todos los problemas que vienen después. Si se limitara a ejecutar las instrucciones, aquí no habría ninguna cuestión de criterios. Si escribiera otro libro, estaríamos ante otra empresa. Hace una tercera cosa: al margen del libro antiguo, explica paso a paso por qué el libro tiene razón.

Así escribe, en efecto, sus comentarios. A menudo no le basta con seguir el procedimiento hasta obtener la respuesta. Pregunta por qué hay que multiplicar así, por qué dividir de ese modo, por qué una magnitud permanece invariable después de cortar y recomponer. El pasaje más conocido aparece en Fangtian, el primer capítulo, al comentar el procedimiento para un campo circular.

Parte de un hexágono regular inscrito en el círculo. Con los triángulos rectángulos formados por el radio y la cuerda, duplica sucesivamente el número de lados: doce, veinticuatro, cuarenta y ocho, noventa y seis y, finalmente, ciento noventa y dos. Con cada duplicación, el polígono se ajusta más al círculo y se reduce la pequeña porción que aún queda fuera del cómputo. También debe explicar cómo estimar esa superficie restante, para que el área obtenida no dependa de una impresión visual.

Ese último paso merece atención. No deja de cortar cuando ya no se ve diferencia para declarar, sin más, que las figuras son iguales. Busca una estimación de la superficie que todavía no ha contado. En ese proceso escribe: «Cuanto más fino el corte, menor lo que se pierde. Corta y vuelve a cortar, hasta que ya no sea posible cortar: entonces coincidirá con el círculo y nada se perderá».

La frase suele extraerse del contexto y circular como una máxima filosófica. No lo es. Forma parte de un razonamiento de cálculo que construye figuras, reduce errores y estima restos. Antes y después hay trabajo concreto por hacer.

Los historiadores modernos recurren a menudo a la idea de límite para explicarlo. Puede ser una ayuda, pero traducirlo directamente a las definiciones formalizadas del siglo XIX sigue siendo una reformulación retrospectiva.

El método de doble reducción al absurdo de la cuarta entrega nunca convertía el número de lados en infinito. Solo exigía que hubiera alguna etapa finita en la que el resto se redujera lo suficiente. Aquí la escritura es distinta. Liu Hui lleva el proceso hasta su término: cuando ya no se pueda cortar, el polígono formará un solo cuerpo con el círculo. Qué distancia separa ambos modos de razonar es una cuestión real. No se resuelve traduciendo.

En cuanto a los valores numéricos, hay que distinguir dos niveles. Su secuencia principal llega al polígono de ciento noventa y dos lados y adopta 157/50 como aproximación práctica de pi, la razón entre la circunferencia y el diámetro. El comentario transmitido incluye además un valor más preciso y cálculos asociados a polígonos de más lados.

Ese pasaje posterior es justamente uno de los lugares donde no cabe ahorrarse la historia del texto. Menciona objetos del arsenal de Jin, aunque en 263 aún estábamos bajo Cao Wei. A partir de ello, los editores Qing pensaron que el comentario podía contener adiciones hechas después del comienzo de Jin. Tampoco la investigación moderna trata de manera uniforme ese estrato: unos lo atribuyen a una fase tardía de Liu Hui; otros, a manos posteriores.

No es, por tanto, un hecho libre de discusión que el propio Liu Hui llegara en 263 a polígonos de tantísimos lados y escribiera entonces todos los detalles de la versión actual.

5. Dejar constancia de la duda

El círculo no es el único lugar donde da razones. El capítulo Shanggong ofrece procedimientos para calcular volúmenes de distintos sólidos de construcción. La pregunta a la que se enfrenta Liu Hui es esta: ¿por qué una fórmula tiene que dividir por dos, por tres o por seis?

Su respuesta no consiste en levantar un nuevo sistema de axiomas, sino en descomponer los sólidos en cuerpos elementales que puedan compararse entre sí. El qiandu puede entenderse, a grandes rasgos, como una cuña con forma de prisma triangular recto; el yangma es un cuerpo piramidal oblicuo de base rectangular; el bienao, un pequeño sólido de tipo tetraédrico.

Los corta, los combina y se sirve de las relaciones de volumen conocidas para acotar las desconocidas. Al demostrar la proporción entre el yangma y el bienao, vuelve a subdividir de la misma manera los pequeños sólidos que quedan.

El punto decisivo está emparentado con la disección del círculo. La diferencia entre cuerpos grandes se transforma en diferencias menores de estructura semejante. Si la subdivisión puede continuar, el resto no podrá quebrantar la proporción de volúmenes que se pretende establecer.

Estos razonamientos importan porque muestran que Liu Hui no se puso de pronto a justificar algo solo al llegar a pi. Su trabajo de comentarista sigue un patrón recurrente: descomposición, recomposición, secciones a igual altura y disminución de restos sirven para explicar por qué los procedimientos originales son necesariamente correctos.

Pero aquí hace falta otra salvedad.

En el comentario reaparecen nombres como «sólido rojo», «sólido azul verdoso» y «sólido amarillo». Remiten a las distintas piezas de los dibujos. A partir de la época Song, las figuras antiguas ya se habían perdido. Los estudiosos Qing solo podían reconstruir la intención del comentario y volver a dibujar a partir de las palabras. El catálogo razonado del Siku lo dice expresamente en cuatro caracteres, 图既不存: «Las figuras ya no se conservan».

Así pues, algunos de esos hermosos dibujos tridimensionales que vemos hoy en los libros son reconstrucciones posteriores hechas a partir del texto, no los originales del siglo III. Un razonamiento depende en buena medida de unas figuras, y esas figuras las han repuesto otros. No puede saltarse ese estrato cuando se discute la naturaleza de la argumentación. Y llegamos al pasaje más importante de esta entrega. El procedimiento del capítulo Shanggong para hallar el volumen de la esfera era defectuoso. Liu Hui no buscó la manera de salvarle la cara al libro.

Construyó una figura llamada mouhe fanggai, que puede entenderse como la parte común de dos sólidos perpendiculares entre sí, con una estructura de secciones de tipo cilíndrico. Advirtió que las secciones de la esfera y las de ese fanggai mantenían una proporción fija a alturas correspondientes. Si lograba calcular el volumen del fanggai, el problema de la esfera quedaría resuelto.

Pero no sabía calcular el volumen del fanggai.

No escribió entonces «es evidente». El sentido del pasaje transmitido es, aproximadamente, este: lo cuadrado y lo circular se cruzan, los espesores varían y las relaciones se complican. Si forzaba una explicación apoyándose solo en la forma, temía apartarse de la razón correcta; prefería dejar abierta la duda. «¿Cómo atreverme a no dejar constancia de esta duda, a la espera de quien sepa explicarlo?»

No es una forma modesta de decir «no he tenido tiempo de calcularlo». Se acerca más a esto: si todavía no tengo una razón que considere suficientemente fundada, ¿cómo voy a atreverme a no señalar expresamente aquí la duda y esperar a quien pueda resolverla? La fuerza del pasaje no está en el romanticismo del fracaso. Está en un criterio negativo de una claridad poco común. Negativo quiere decir que no establece qué cuenta como matemática; establece qué no basta.

Hasta este punto de la serie, es la declaración más directa de alguien sobre su propio trabajo. Arquímedes había dicho que el método mecánico no era una demostración, pero tenía la respuesta. Aquí ni siquiera está la respuesta, y Liu Hui lo deja por escrito en el texto.

Tener una respuesta no basta. Tener una figura que parece razonable tampoco. Si no se puede ofrecer una razón correcta que satisfaga a quien la propone, hay que detenerse.

El protagonista de la cuarta entrega también se detuvo en un punto, pero de otra manera. Arquímedes se detuvo aquí: este método me permite encontrar la respuesta, pero no cuenta como demostración, así que la demostraré de nuevo. Liu Hui se detuvo aquí: ni siquiera dispongo aún de ese método, así que no lo escribo. Uno había encontrado algo y no lo daba por válido; el otro no lo había encontrado y lo reconocía. Ambas maneras de detenerse tienen algo en común. Las dejaron escritas sus propios autores. No son juicios que otros les hayan atribuido después.

En esta serie escasean mucho los testimonios de ese tipo. No había ninguno en la primera entrega, ni en la segunda, ni en la tercera. Solo en la cuarta y la quinta han aparecido dos seguidos. El hueco lo llenarían otros más tarde.

Las fechas de Zu Chongzhi son mucho más claras que las de Liu Hui: las historias oficiales dan 429 y 500. Trabajó en calendarios, astronomía y matemáticas. Su Tratado de interpolación, el Zhui shu, entró después en la enseñanza matemática oficial, pero se perdió. Para la cuestión del volumen de la esfera dependemos hoy, sobre todo, del material de la familia Zu que preservaron los comentarios y subcomentarios de Li Chunfeng y otros autores Tang. Su enunciado central dice: «Si las áreas de las secciones se corresponden por igual, los volúmenes no pueden diferir». Mi designa aquí las áreas de las secciones correspondientes; ji, el volumen. Es decir: si dos sólidos tienen siempre la misma área de sección a una misma altura, sus volúmenes totales son iguales.

Zu Geng, hijo de Zu Chongzhi, utilizó esta comparación de secciones, nivel por nivel, para transformar el fanggai que había dejado Liu Hui en figuras cuyo volumen sí podía calcularse. Así obtuvo la relación correcta para el volumen de la esfera.

El resultado de Zu Chongzhi para pi tiene un testimonio más directo en las historias oficiales. Estas cuentan que desarrolló un método más preciso, calculó la circunferencia a una escala enorme y dio una cota por exceso y otra por defecto. Escritas en decimales modernos, son 3.1415926 y 3.1415927, separadas por 0.0000001. Registran también dos razones: la «razón precisa», con diámetro 113 y circunferencia 355, y la «razón aproximada», con diámetro 7 y circunferencia 22. Los resultados mismos cuentan con una base documental transmitida muy firme.

El método, sin embargo, se ha perdido. La historia oficial se limita a decir que desarrolló un procedimiento más preciso. No copió el cálculo paso a paso, y el Zhui shu tampoco sobrevivió.

Por eso, el relato moderno habitual según el cual continuó la disección del círculo de Liu Hui hasta polígonos de más de diez mil o veinte mil lados debe identificarse como una hipótesis de reconstrucción, no como un texto original conservado. Es muy probable que lo hiciera, pero un resultado no permite deducir un único algoritmo. El resultado puede darse por establecido. En el método hay que dejar el hueco.

6. Treinta alumnos

El comentario de Liu Hui no fue el final.

Durante el reinado del emperador Gaozong de los Tang, Li Chunfeng y otros recibieron el encargo imperial de ampliar los comentarios a los Nueve capítulos y a otros clásicos de cálculo. Se formaron así tres capas: el texto canónico, el comentario de Liu Hui y los subcomentarios Tang. Leer hoy los Nueve capítulos suele ser escuchar, en una sola página, voces de tres épocas.

También merece una mirada el oficio de Li Chunfeng. Sus comentarios matemáticos formaban parte de un trabajo que incluía astronomía y calendarios, compilación de historias oficiales y asuntos técnicos de la corte. No era un profesor universitario en el sentido moderno.

Los Tang hicieron algo más. El conjunto de obras que Li Chunfeng y sus colaboradores ordenaron y comentaron por mandato imperial acabaría recibiendo el nombre de Diez clásicos matemáticos: el Zhoubi suanjing, Clásico matemático del gnomon de Zhou; los Nueve capítulos sobre los procedimientos matemáticos; el Manual matemático de la isla marítima; los clásicos matemáticos de Sunzi y Zhang Qiujian; el Clásico matemático de las cinco oficinas; el de Xiahou Yang; los Procedimientos matemáticos de los cinco clásicos; la Continuación de las matemáticas antiguas, Jigu suanjing; y el Tratado de interpolación, Zhui shu. Entraron en el sistema oficial de enseñanza y exámenes de matemáticas.

La Academia Imperial, el Guozijian, tenía una escuela especializada en cálculo. Los documentos institucionales conservados fijan treinta plazas de alumnos. Para los Nueve capítulos y la Isla marítima, juntos, se prescribían tres años de estudio; para Sunzi y las Cinco oficinas, un año; para Zhang Qiujian y Xiahou Yang, otro; para el Jigu, tres años; y para el Zhui shu, nada menos que cuatro.

Hay una trampa numérica que conviene evitar. Treinta plazas en la escuela no significa treinta aprobados anuales en el examen de cálculo, el mingsuan. Las instituciones cambiaron con el tiempo, y muchos trabajos modernos confunden plazas de estudio, número de aspirantes y cupos de selección. El mingsuan era una especialidad técnica entre las convocatorias ordinarias de los exámenes imperiales Tang, junto a jinshi, mingjing, mingfa y mingzi. Pero no compartían prestigio social, vías de ascenso ni volumen de examinados.

Conviene medir bien ese «junto a». Figuraban juntos en la organización, pero no pesaban lo mismo. Las salidas profesionales del cálculo se concentraban en puestos técnicos, de calendarios y astronomía y en los niveles medios y bajos de la administración general. No se formó una clase independiente de profesores de matemáticas. El propio título Clásico matemático de las cinco oficinas seguía ligando el cálculo a las necesidades de los departamentos del gobierno. Cómo sobrevivió después el libro es otra historia.

Hacia 1084, bajo los Song del Norte, se emprendió la impresión oficial de los Diez clásicos matemáticos. Los Song del Sur volvieron a grabarlos y copiarlos. En la era Qingyuan de esta última dinastía, Bao Huanzhi obtuvo de la familia de Yang Zhongfu un ejemplar de los Nueve capítulos y una copia pasó a los fondos de la biblioteca imperial, el Mige.

Pero el texto no quedó a salvo de una vez para siempre. En época Ming apenas podían encontrarse ya ejemplares antiguos completos de los Nueve capítulos. Por fortuna, la Gran enciclopedia Yongle había recogido grandes porciones, distribuidas por materias. Cuando, durante el reinado Qing de Qianlong, se compiló el Siku quanshu, la labor de recuperación y cotejo de los clásicos matemáticos, con Dai Zhen como figura central, reunió y revisó los textos perdidos a partir de la enciclopedia Yongle y otros materiales. Las ediciones corrientes de hoy heredan en buena medida aquella reconstrucción Qing.

Los Nueve capítulos actuales no son, por tanto, un libro que haya pasado intacto de mano en mano desde los Han.

Podemos ponerlo al lado del palimpsesto de la entrega anterior. Allí sobrevivió un objeto gracias a una cadena de accidentes físicos, y el contenido conserva, en lo esencial, la forma que le dio aquel copista del siglo X. Aquí no existe un objeto semejante, pero durante más de mil años el texto siguió recibiendo añadidos y comentarios, se imprimió, se dispersó y volvió a recogerse de entre las páginas de enciclopedias. En un caso perdura la cosa; en el otro, sigue viviendo.

El objeto textual que hoy leemos lo forman, en conjunto, el texto canónico Han, el comentario de Liu Hui del siglo III, los subcomentarios Tang, la tradición de impresos Song, los restos en las enciclopedias Ming y las recopilaciones y revisiones Qing. Hay además otro objeto más cercano que el libro al acto de calcular, y más fácil de pasar por alto.

Las varillas de cálculo eran pequeños bastones alargados, hechos de bambú, madera u otros materiales semejantes. El lote Qin de la Universidad de Pekín conserva sesenta y una varillas. Solían medir desde unos pocos centímetros hasta algo más de diez.

Para calcular se disponían sobre una superficie plana y se usaba la posición para indicar unidades, decenas y centenas. A menudo se alternaban formas horizontales y verticales, evitando así que se confundieran las posiciones contiguas. El capítulo Fangcheng se presta especialmente a colocar varias columnas de cantidades una junto a otra y efectuar después las eliminaciones previstas por el procedimiento. La escritura matricial moderna puede reproducir con exactitud el resultado, pero suprime los movimientos reales de las manos antiguas. Ahí hay una laguna documental importante: un algoritmo escrito no es el registro completo de una sesión de cálculo.

Cuando el libro ordena «coloca tres haces de cereal de primera calidad», la persona que calcula quizá haga decenas de movimientos, intercambios de posición y eliminaciones en el tablero. Al terminar, el libro no dibuja cada disposición de varillas de cada instante. Los antiguos manuales de cálculo se parecen un poco a los registros de partidas de juegos de tablero: reglas y posiciones características, no una grabación de cada cálculo.

Los comentarios transmitidos sí recogen una tradición que distingue por colores las varillas: rojas para los positivos, negras para los negativos. Pero no hay pruebas materiales suficientes para asegurar que cada operación Han con cantidades positivas y negativas utilizara de forma fija dos juegos, uno rojo y otro negro. Una norma escrita y el estado de los objetos excavados son dos tipos distintos de evidencia.

El detalle puede parecer menor, pero vuelve al asunto central de esta entrega. Entre lo que se escribe y lo que sucede siempre queda una distancia. Y a quienes vienen después suele llegarles solo la mitad que quedó por escrito.

7. ¿Cuenta como demostración?

Ahora sí podemos plantear la pregunta. ¿Los razonamientos de Liu Hui cuentan como demostraciones? No basta con responder sí o no. Entre los especialistas hay, al menos, cuatro posiciones.

La primera podría llamarse una historia ampliada de la demostración. Si se estudia cómo una comunidad matemática ofrece razones suficientes para garantizar la corrección de un algoritmo, muchos comentarios de Liu Hui pertenecen sin duda a la actividad de demostrar. Esta línea rechaza expresamente escribir de antemano una historia en la que solo cuente la deducción de proposiciones al modo griego. Propone incluir también las justificaciones de algoritmos presentes en las tradiciones de China, India, Mesopotamia y otros lugares.

La segunda reconoce una equivalencia estructural con formas distintas. Admite que Liu Hui da verdaderos argumentos sobre triángulos rectángulos, áreas, volúmenes y otros asuntos, pero subraya que la organización del texto, el lenguaje y la presentación del razonamiento en los Nueve capítulos y su comentario difieren de la estructura de proposiciones y demostraciones de los Elementos. Comparar no consiste en reescribir sus frases al modo de Euclides para anunciar que, en el fondo, son iguales. Consiste en averiguar cómo establece cada tradición lo que merece confianza.

La tercera es la cautela filológica. Advierte de lo fácil que resulta para un matemático moderno traducir una instrucción antigua al álgebra actual, añadir una demostración elegante de esa expresión y proyectar después la reconstrucción hacia atrás, como si fuera la prueba que había dado el autor antiguo. No es una declaración de que China careciera de demostraciones. Su advertencia es otra: la demostración del historiador no puede sustituir a la del antiguo.

La cuarta conserva un criterio más estrecho y tradicional. Si «demostración» designa exclusivamente una cadena de deducciones formuladas como proposiciones, a partir de definiciones, postulados, axiomas y proposiciones anteriores explícitos, entonces la mayor parte de los razonamientos de Liu Hui no pertenece a ese género.

Pero, aun aceptando ese uso, solo se concluye que no son esa clase de demostración. No se concluye que carezcan de una justificación de la corrección.

El desacuerdo real no gira, por tanto, en torno a si Liu Hui dio razones. Los materiales son demasiado claros al respecto. Gira en torno a qué prácticas históricas debe abarcar la palabra «demostración» y a si usarla borra las diferencias entre ellas. Detrás de las cuatro posiciones hay varias generaciones de decisiones metodológicas. Para el lector, lo importante no es saber quién está en qué bando, sino qué nos obliga a tener presente cada uno.

La advertencia más útil tiene que ver con la traducción. Se vierte una instrucción antigua al álgebra moderna, se añade una hermosa demostración de la fórmula y se presenta después la reconstrucción como el argumento que el antiguo ya poseía. Tres pasos, y en el libro aparece una demostración que nadie escribió jamás. Esto no quiere decir que China careciera de demostraciones. Quiere decir que la reconstrucción posterior no puede ponerse en el lugar de lo que los antiguos dejaron escrito.

Otra advertencia atañe a la comparación misma. Se puede comparar haciendo listas de resultados, para ver quién obtuvo qué antes que nadie. O se pueden plantear otras preguntas: ¿qué tenía que hacer alguien en la Grecia antigua y en la China antigua para que los demás aceptaran una afirmación suya? ¿A quién se dirigía? ¿En qué apoyaba su credibilidad? Estas preguntas no requieren decidir de antemano qué civilización estaba más cerca de la ciencia europea posterior.

Los hallazgos materiales aportan otra advertencia. Una vez leído y entendido el libro de Zhangjiashan, ya no cabe presentar los Nueve capítulos como la única fuente de todos los algoritmos tempranos. Hay que preguntar cómo se formó y cómo se transmitió el cálculo, entendido como un conjunto de prácticas y textos.

En cuanto al texto, la edición de conjunto más completa de la que disponemos hoy es fruto de la colaboración entre Guo Shuchun y la investigadora francesa Karine Chemla. Trata conjuntamente el texto principal, el comentario de Liu Hui, los subcomentarios Tang, la terminología y la reconstrucción de las figuras. Una de sus preguntas centrales es precisamente cómo un algoritmo llega a convertirse en un objeto susceptible de demostración. Parte del asunto es, en efecto, una cuestión de definiciones.

Si definimos de entrada la demostración como una deducción continua desde definiciones, axiomas, postulados y proposiciones anteriores expresos, el texto principal de los Nueve capítulos contiene, naturalmente, pocas demostraciones. El comentario de Liu Hui tampoco suele adoptar esa arquitectura de conjunto.

Si la definimos como la presentación de razones públicas que permitan a la comunidad pertinente aceptar la corrección necesaria de una afirmación matemática general o de un algoritmo, la disección del círculo, las áreas por corte y recomposición, el yangma y el bienao y las explicaciones de la extracción de raíces entran con toda naturalidad en la historia de la demostración.

Pero la disputa no termina en el diccionario.

Aunque todos aceptáramos la definición amplia, aún habría que preguntar: ¿cómo eran las figuras originales de Liu Hui? ¿Qué función cumple en su razonamiento ese «ya no se puede cortar»? ¿La subdivisión recursiva incorpora una hipótesis de completitud que no se formula expresamente? ¿Qué tipo de razones consideraban suficientes sus lectores? Son preguntas históricas de fondo, no cuestiones de diccionario. Y una de ellas ya no admite una respuesta limpia: las figuras originales no están.

La terminología decide si metemos a Liu Hui en la caja de la demostración. El análisis de las fuentes decide qué hay de verdad dentro de esa caja.

8. Dar la vuelta a la pregunta

Ahora hay que dar la vuelta a la pregunta. Y hacerlo en serio.

Esta entrega se titula Otro criterio. ¿Se sostiene siquiera ese marco?

Primera objeción: la oposición entre una tradición algorítmica y otra deductiva podría ser una construcción de la historiografía moderna. Es una objeción de peso.

Liu Hui ofrece, claramente, algoritmos y argumentos. Tampoco la matemática griega se reduce a sistemas axiomáticos: incluye cálculo numérico, algoritmos, cálculo astronómico y mediciones prácticas. Basta elegir, entre milenios de materiales, el clásico que mejor encaja con el estereotipo de cada lado para fabricar dos tradiciones puras.

Por eso, aquí solo cabe una afirmación localizada: la tradición textual de los Nueve capítulos y del comentario de Liu Hui se organiza en gran medida en torno al procedimiento. No se puede elevar esa observación a la idea de que la mente de una civilización es algorítmica.

Segunda objeción: se ha exagerado la oposición entre demostración y algoritmo.

Liu Hui lo muestra de manera ejemplar. El objeto de su argumentación es a menudo el propio algoritmo. Demostrar no es una actividad exterior a él, sino responder por qué ese procedimiento funciona para todos los problemas de su clase.

La tercera objeción es la más importante. La matemática, concebida como un objeto unificado que atraviesa civilizaciones y épocas, es ella misma una categoría analítica del historiador. Las personas de los Reinos Combatientes, Qin y Han hablaban de números, de cálculo, de procedimientos, de las «nueve artes del número». No discutían la esencia de la matemática en el sentido que damos hoy a la pregunta.

Así pues, «el criterio aún no se había establecido» es algo que decimos retrospectivamente. No era la gente de la época de Liu Hui la que declaraba conscientemente que todavía no se había decidido qué contaba como matemática. Olvidarlo sería proyectar sobre los antiguos un problema moderno de filosofía de las disciplinas.

La cuarta objeción apunta a los propios Nueve capítulos. Los hallazgos pueden desmoronar por completo una historia construida alrededor de ese libro.

Los materiales de Zhangjiashan, Yuelu y Pekín muestran que el saber temprano del cálculo pudo circular en forma de muchos procedimientos breves, extractos, recopilaciones, tablas, cálculos de oficina y operaciones transmitidas oralmente. Que los Nueve capítulos llegaran a convertirse en un canon no significa que todo el cálculo de los Reinos Combatientes, Qin y Han marchara hacia ellos.

Antes era fácil imaginarlos como un edificio completo aparecido de pronto. Ahora vemos la multitud de piezas, las distintas técnicas de construcción y las habitaciones parciales que existían antes del edificio.

Este cambio lo han traído los hallazgos, y el movimiento es hacia abajo. No hacen que los Nueve capítulos sean más antiguos y más grandiosos. Hacen que dejen de ser un punto de partida y pasen a ser una sección de un proceso.

Pero sigue sin haber un diario de obra.

La quinta objeción alcanza la propia frase «dos tradiciones que se sostienen cada una por sí misma». Todavía corremos el riesgo de imaginar a China y a Grecia como mundos demasiado cerrados. Las comunidades de conocimiento históricas no vienen empaquetadas de forma natural en cajas de civilizaciones. Para comparar, es preferible tomar épocas, textos, instituciones y prácticas concretas, en vez de convertir de antemano los caracteres de las civilizaciones en cosas que existen por sí solas.

La tesis que esta entrega puede conservar al final es, por tanto, más limitada que «dos tradiciones matemáticas». Y más firme.

Los materiales chinos de los Reinos Combatientes a Wei y Jin muestran una práctica matemática centrada en compilar procedimientos, ejecutarlos y justificarlos mediante comentarios. Sus maneras de establecer confianza pueden describirse por derecho propio. Tiene sentido compararlas con ciertas prácticas griegas de deducción proposicional. Pero algoritmo y deducción no son las esencias eternas de dos civilizaciones, ni mucho menos sus puestos en la clasificación de una misma carrera. Conviene recordar algunas de las comparaciones más peligrosas.

Definir una tradición a partir de otra posterior. Si se decreta primero que la matemática consiste en textos del tipo de los Elementos, los Nueve capítulos solo podrán describirse por los axiomas que les faltan. Si se decreta que consiste en algoritmos generales, los Elementos aparecerán faltos de cálculos ejecutables. En ambos casos se disfraza de patrón neutral una vara de medir que alguien ha elegido.

Confundir un tipo de obra con un tipo de civilización. Los Nueve capítulos son un clásico de cálculo; los Elementos, una compilación geométrica organizada en proposiciones. Comparar esos dos libros no equivale a comparar dos poblaciones. O ignorar los estratos de comentario: si se enfrenta el texto principal desnudo de los Nueve capítulos a las proposiciones y demostraciones de los Elementos, dejando fuera a Liu Hui, la respuesta ya está decidida antes de empezar.

Rellenar el pasado con las fronteras disciplinares del presente. Álgebra, geometría, demostración y algoritmo sirven como términos de análisis, siempre que se aclare que son herramientas de traducción del historiador moderno, no las categorías originales de aquellas personas.

Volvamos a las más de doscientas tiras de bambú dispersas.

Una vez podridas las cuerdas, el orden original de las tablillas deja de estar conservado directamente. Quedan, no obstante, las marcas de las ataduras, las posiciones físicas y las relaciones locales que limitan las reconstrucciones posibles. Para leer el libro de nuevo, primero hay que decidir qué tablilla precede a cuál. Y esa decisión se toma con la comprensión moderna de cómo debería funcionar el algoritmo. Los editores lo saben, por supuesto, y agotan los indicios físicos para restringir sus hipótesis. Pero no hay manera de eliminar del todo el círculo.

Eso no vuelve poco fiable el orden reconstruido. Los indicios físicos imponen límites fuertes, y distintas pistas pueden corroborarse entre sí. Quiere decir que ese orden es una conclusión, no una observación. Para entender un libro de cálculo hay que suponer primero que sus cálculos tienen sentido. El círculo apareció en la primera sección, cuando hablábamos de ordenar tablillas. Ahora se ve que no afecta solo al orden.

Para decidir si el comentario de Liu Hui cuenta como demostración, también hay que suponer primero que está haciendo algo que podemos llamar argumentar. Solo después se pregunta si lo hace de manera suficiente. Y para suponer qué estaba haciendo se recurre a una idea de argumentación que pertenece a quienes vinieron después.

Aquellas personas no se preguntaron qué contaba como matemática. Hablaban de números, de cálculo, de procedimientos. Quienes plantean esa pregunta son los que llegan más tarde, y la plantean mirando hacia atrás. Vale la pena detenerse aquí: también queda situada esta serie.

El criterio entre tradiciones del que habla esta entrega pertenece al análisis comparativo posterior. Eso no implica que aquellas personas nunca discutieran sus propios requisitos de argumentación. Ese criterio solo se hizo visible, retrospectivamente, después de que cierta manera de trabajar se impusiera a las demás. Antes de que apareciera como tal, en cada lugar se calculaba lo que hacía falta calcular, y cada cual tenía sus maneras de llegar a confiar en el resultado. El «¿cómo atreverme a no dejar constancia de esta duda?» de Liu Hui expresa precisamente el umbral mínimo de ese método en sus manos. No estaba diciendo qué cuenta como matemática. Estaba diciendo: aquí todavía no puedo darme por convencido.

Seguimos echando cuentas. Pero nunca hemos acabado de aclarar qué cuenta como matemática.

Fuentes y lecturas complementarias

Las fuentes siguientes corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación que aparecen en el ensayo. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de evidencia.

• Escribir por turnos: las manos de los escribas del Suan shu shu
• Universidad de Pekín: la colección de tablillas Qin
• Universidad Tsinghua: la tabla de cálculo de los Reinos Combatientes
• Karine Chemla: leer y reclasificar los procedimientos de los Nueve capítulos
• Karine Chemla: documentos de la China antigua para estudiar la demostración matemática
• Universidad de St Andrews: Zu Chongzhi