Transmitir y nombrar

1. Ha muerto un hombre

Ha muerto un hombre. Deja dos hijos y un testamento por el que lega un tercio de sus bienes a alguien ajeno a la sucesión. Tenía diez dírhams en efectivo; además, uno de sus hijos le debía otros diez. ¿Cuánto le corresponde a cada cual?

La dificultad no está en hacer las cuentas. Está en que la deuda del hijo forma parte de la herencia y, al mismo tiempo, debe descontarse de lo que le toque recibir. Para calcular el tercio del extraño antes o después de saldar esa deuda, hay que fijar primero el valor de la herencia. Pero ese valor depende, a su vez, de si se da la deuda por cobrada. Las condiciones se muerden unas a otras. Se empiece por donde se empiece, algo no encaja.

La salida consiste en dar un nombre a la cantidad que todavía no conocemos: llamarla cosa. Después se expresan las relaciones que imponen las condiciones, se deja que la cosa aparezca a ambos lados y, al final, se averigua cuánto vale. Eso hace aquel libro. No expone un saber abstracto: resuelve repartos familiares que no se dejan entender de un vistazo.

Y eran repartos que había que resolver todos los días. La gente moría, dejaba deudas, otorgaba testamentos; las porciones legales, en cambio, estaban fijadas de antemano. Si las cuentas no salían claras, se acababa en un pleito. Estos problemas no son los ejercicios de aplicación añadidos al final de un tratado de matemáticas. Constituyen el cuerpo de aquel Álgebra del siglo IX.

Tampoco se reducen al problema escolar de unos hijos que se reparten dinero. Hay legados a personas que no son herederas, deudas, patrimonios cuyo valor total aún se desconoce, herederos que deben dinero al difunto. Entran en juego las porciones que la ley asigna al marido, la esposa, la madre, las hijas y los hijos. A veces, además, la cuantía de un legado se define en relación con lo que vaya a recibir determinado heredero.

En la traducción inglesa de 1831, el texto traducido termina en la página 174; las treinta y tantas páginas siguientes son notas del propio Rosen. La parte dedicada a las herencias empieza en la 86, casi exactamente a mitad de la traducción. Es decir: la mayor parte de la segunda mitad del libro que conservamos se ocupa de calcular herencias, legados y repartos sucesorios.

De esa proporción no se puede concluir que la mitad de las hojas de un manuscrito del siglo IX estuviera dedicada al derecho sucesorio: estamos hablando de la paginación de una traducción del XIX. Pero basta como indicio del peso de esos asuntos en el contenido. El propio autor explicó también por qué había escrito el libro.

En el prólogo alaba primero a Dios y al soberano. Cuenta después que el califa al-Mamún lo animó a componer un libro breve sobre aquellas dos operaciones de cálculo. Quería recoger solo lo más sencillo y útil de la aritmética, porque hacía falta en herencias, legados, particiones de bienes, pleitos, transacciones comerciales, medición de terrenos, excavación de canales y otros cálculos geométricos. Su propósito no era anunciar que iba a fundar una disciplina. Era ordenar unos conocimientos de cálculo breves y útiles.

Por eso no se sostiene la frase, tan repetida, según la cual al-Mamún ordenó a al-Juarismi inventar el álgebra. El prólogo acredita una relación de patrocinio y una orientación práctica. No afirma que ese saber no existiera antes, ni declara que su autor fuera el primero en crearlo.

El libro tiene una relación directa con el derecho sucesorio islámico, pero no es una colección de casos jurídicos. El matemático toma como datos las porciones legales, las condiciones de los legados y las deudas ya establecidas, y resuelve las relaciones numéricas que se derivan de ellas.

Rosen llega a anotar, al pie de algunos problemas, que pertenecen más al derecho que al álgebra. Esa observación basta para advertir que, dentro del libro, la frontera entre matemáticas y jurisprudencia no tiene la limpieza de nuestras clasificaciones académicas.

En el primer ensayo dijimos que repartir ovejas entre tres personas no siempre exige escribir números. Lo que de verdad obliga a crear signos es la ausencia y la necesidad de atravesar el tiempo. Aquí, quien está ausente es el muerto.

Sin embargo, lo que aquel libro acabó dejando al mundo no tiene que ver con las herencias, y solo a medias tiene que ver con el álgebra.

Dejó dos palabras. Ambas vivieron mucho más que aquello de lo que procedían. Hoy casi todo el mundo usa una de ellas a diario, y casi nadie sabe quién fue antes de ser una palabra. La otra se convirtió en el nombre de una disciplina cuyas ocupaciones actuales quedan muy lejos de aquellas seis clases de relaciones del libro. Dos palabras: eso fue lo que quedó.

De eso trata este ensayo: de cómo sobreviven las palabras mientras desaparece lo que había detrás de ellas.

2. El lugar dentro del nombre

De al-Juarismi como persona se conserva una cantidad asombrosamente escasa de información. No hay un registro fiable de su nacimiento, ni una biografía contemporánea, ni un epitafio conocido, ni una vida escrita por un discípulo, ni un pasaje autobiográfico que pueda darse por seguro. Hoy suele fecharse su vida entre aproximadamente 780 y aproximadamente 850. No tenemos un documento para cada extremo: son fechas cómodas, calculadas hacia atrás a partir del período en que sabemos que estuvo activo.

Ese modo de reconstruir fechas ya ha aparecido varias veces en esta serie. En el cuarto ensayo vimos que el año de nacimiento de Arquímedes lo calculó alguien del siglo XII; en el quinto, que los textos divulgativos modernos atribuyen a Liu Hui fechas de nacimiento y muerte demasiado precisas. El mecanismo se repite: una referencia segura, sumada a una afirmación posterior, produce un número que parece exacto. Lo prudente es decir que al-Juarismi nació hacia la segunda mitad del siglo VIII y estuvo activo en la primera mitad del IX. Pudo morir después de los años 840; fijar la muerte exactamente en 850 carece de fundamento.

La última parte del nombre por el que lo conocemos expresa una vinculación geográfica: significa, literalmente, el hombre de Jorezm. Es, desde luego, un indicio fuerte de su relación con aquella región. Pero un nombre de procedencia no es una partida de nacimiento.

La noticia más antigua que tiene un carácter biográfico relativamente claro procede del catálogo compuesto hacia 987 por Ibn al-Nadim, librero y bibliógrafo de Bagdad. Ya en el tercer ensayo tuvimos que acudir a ese mismo catálogo para seguir la transmisión de las obras de Euclides. Lo separan entre ciento cincuenta y ciento setenta años de la principal actividad de al-Juarismi, en las décadas de 820 y 830.

Y hay datos que apuntan en otra dirección. Un historiador fallecido a comienzos del siglo X transmitió una forma más larga de su nombre, con otros dos apelativos; uno de ellos puede remitir a un lugar cercano a Bagdad. Algunos investigadores deducen que no cabe descartar que naciera en los alrededores de la ciudad. Otros advierten que tampoco se pueden ensamblar esos apelativos como si juntos formaran un certificado de nacimiento moderno.

Así que la afirmación tan difundida de que fue un matemático persa nacido en 780 en Jiva, hoy Uzbekistán, ofrece una precisión que las fuentes están muy lejos de permitir. Sus obras, por otra parte, deben repartirse en tres grupos: las de autoría segura, las perdidas cuyo título figura en catálogos y las que se le atribuyeron después. El Álgebra se conserva en árabe, pero no en un ejemplar de su época.

Es otra situación que se repite en la serie. El manuscrito griego más importante del tercer ensayo se copió entre los siglos IX y X; el palimpsesto del cuarto, en el X; los Nueve capítulos del quinto tuvieron que ser recompuestos por estudiosos de la dinastía Qing a partir de enciclopedias. Rosen, que tradujo el Álgebra al inglés en el siglo XIX, trabajó con un manuscrito copiado en 1342, unos quinientos años después del autor. Lo describió él mismo: letra clara, pero frecuentes omisiones de puntos, lagunas, repeticiones y notas marginales.

La versión original de sus tablas astronómicas, del siglo IX, se perdió. Lo que ha llegado pasó por la revisión posterior de un astrónomo andalusí y luego por una traducción latina. De su obra geográfica sí sobrevive un manuscrito árabe. De varios escritos sobre el astrolabio, los relojes de sol y la historia quedan títulos en los catálogos, pero no los libros. El caso más extremo es el de la obra sobre el cálculo indio: del original árabe no queda nada.

Conservamos unas cuatro tradiciones textuales latinas emparentadas entre sí. No son cuatro traducciones literales en las que podamos confiar sin más, sino una familia de textos donde se mezclan traducción, resumen y reelaboración.

Esto significa que muchos detalles de lo que se cuenta sobre su manera de enseñar las cifras indias no se leen en un libro árabe del siglo IX, sino en materiales rehechos por el mundo latino unos trescientos años después. La diferencia no se puede omitir.

Dicho sin rodeos: cualquier libro actual que cite cómo al-Juarismi introducía las cifras indias no está citando las frases que él escribió. Está citando algo que otras personas reorganizaron, en otra lengua, tres siglos más tarde. Y esas versiones ni siquiera coinciden entre sí.

En el ensayo anterior vimos que se habían perdido los diagramas del comentario de Liu Hui, y que algunos de los dibujos de sólidos que hoy conocemos fueron reconstruidos a partir del texto durante la dinastía Qing. Aquí la pérdida va más lejos. No faltan los dibujos: falta el libro entero. Solo quedan las versiones de otros.

3. La Casa de la Sabiduría

Antes de hablar del lugar donde trabajó, hay una imagen que conviene desmontar. La Casa de la Sabiduría de las ilustraciones modernas tiene grandes salas, laboratorios, un departamento de traducción, observatorios, cátedras, investigadores visitantes de otros países y un presupuesto común. Las fuentes del siglo IX no nos han dejado los estatutos de una institución semejante.

Vale la pena detenerse aquí, porque esa imagen resulta demasiado útil. Le da a una auténtica explosión de conocimientos un escenario que se puede dibujar; un escenario que, por casualidad, se parece exactamente a lo que hoy imaginamos cuando pensamos en un centro de investigación. Gracias a él, un proceso repartido entre decenas de mecenas, decenas de traductores y más de un siglo se convierte en algo que ocurrió dentro de un edificio.

Lo que sí tenemos son noticias dispersas sobre personas y tareas de administración de libros relacionadas con una casa o un depósito de la sabiduría. El relato retrospectivo no se vuelve relativamente abundante hasta aquel catálogo de finales del siglo X. No se conserva un decreto de fundación.

Una interpretación mínima, muy influyente, sostiene que en época abasí temprana fue ante todo una institución palaciega dedicada a los libros y a la documentación, probablemente heredera de las colecciones de la corte sasánida y de la tradición de traducir materiales persas. No hay pruebas de que fuera el centro único de la gran empresa de traducción del griego al árabe de los siglos VIII y IX. El testimonio más sólido en favor de esta lectura es una larga carta de un traductor del siglo IX.

En ella, el traductor reconstruye cómo él y sus colegas habían traducido a un autor griego de obras médicas. Habla con detalle de quienes hacían los encargos, las versiones anteriores, los manuscritos griegos y los traductores; incluso explica cómo buscaba varios ejemplares, cotejaba copias defectuosas y volvía a traducir. Es el mejor testimonio de primera mano que conservamos sobre aquella actividad. Y en ningún momento presenta la Casa de la Sabiduría como una oficina central de traducción. La fuerza de esta interpretación mínima no está en negar que la Casa existiera.

Afirmar que nunca existió sería ir demasiado lejos, y tampoco hace falta. Se sostienen cuatro afirmaciones más limitadas: hubo una biblioteca real; hubo personal vinculado a su administración; hubo traducción de materiales persas y actividad erudita. Pero no tenemos pruebas de que monopolizara o dirigiera de manera unificada la traducción del griego al árabe.

Lo que se ve de verdad en los siglos VIII y IX es la coexistencia de varias redes de patrocinio: la corte califal, una destacada familia de visires, tres hermanos que actuaban como mecenas particulares, familias de médicos, funcionarios, astrónomos y particulares adinerados. Cada cual contrataba a sus traductores, compraba manuscritos o enviaba a alguien a buscarlos.

Aquella estructura se parece poco a una academia moderna y bastante más a un mercado. Los encargos eran concretos: alguien quería un libro, buscaba a una persona para traducirlo y negociaba un precio. Tampoco los traductores vivían solo de traducir. Eran a la vez médicos, astrónomos, secretarios, maestros o servidores de la corte.

La confesión religiosa y la lengua del saber tampoco coincidían necesariamente. Un cristiano podía recibir de un funcionario musulmán el encargo de traducir al siríaco o al árabe la obra, escrita en griego, de un médico griego pagano.

Las objeciones a esa lectura mínima no obligan a resucitar la gigantesca academia de ciencias. Una interpretación más amplia señala que las fuentes sí vinculan a ciertos eruditos, astrónomos y responsables de libros con las colecciones reales. Además, la pérdida masiva de edificios, archivos y documentación administrativa impide deducir automáticamente, de la ausencia de registros conservados, que nunca hubo un espacio de trabajo compartido.

La posición más prudente sería esta: probablemente existió una institución real de libros y documentos, y pudo tener funciones eruditas. Lo que no cuenta con testimonios primarios proporcionados a la afirmación es el modelo de academia moderna, fundada por al-Mamún, donde cientos de científicos de todos los países traducían e investigaban cada día bajo una dirección común. Y todavía hay una historia más irresistible: el califa enviaba emisarios a Bizancio para conseguir libros científicos de la antigua Grecia y traerlos de vuelta como un botín.

Que la corte buscaba activamente libros en otras lenguas es una idea ampliamente aceptada. Los pormenores dramáticos de los relatos tardíos, en cambio, deben examinarse uno por uno; no cabe fundirlos en una empresa estatal con un calendario central de ejecución. Sobre el pago circula una versión especialmente famosa: al-Mamún remuneraba al traductor con tanto oro como pesara el manuscrito traducido. El relato completo que conocemos procede de la obra de un historiador de la medicina del siglo XIII, terminada hacia 1245: unos cuatrocientos diez años después de la muerte del califa, en 833.

Puede leerse como memoria cultural del valor que generaciones posteriores atribuyeron a la traducción. No como un libro de nóminas. No tenemos el recibo de pago del siglo IX.

Otros testimonios sí permiten pensar que una traducción de primer nivel podía costar muchísimo. Pero sostener que los pagos pudieron ser muy generosos y afirmar que se entregaba exactamente el peso del manuscrito en oro son dos afirmaciones de distinto alcance.

4. Seis formas

Vayamos al libro. Al-Juarismi distingue tres clases de objetos básicos: cuadrados, raíces o cosas, y números. A continuación distribuye en seis clases las relaciones que hay que resolver.

Cuadrados iguales a raíces. Cuadrados iguales a números. Raíces iguales a números. Cuadrados más raíces iguales a números. Cuadrados más números iguales a raíces. Raíces más números iguales a cuadrados. Hoy nos basta una forma general de la ecuación de segundo grado, con tres coeficientes que pueden ser positivos, negativos o nulos. Él necesita seis.

No es una redundancia didáctica. En su sistema, las cantidades negativas todavía no son coeficientes legítimos que puedan permanecer libremente a uno u otro lado de la ecuación. Tampoco el coeficiente cero tiene el lugar que ocupa en el álgebra moderna.

Hacen falta, por tanto, dos operaciones. Y esas dos operaciones dan título al libro.

La primera repone, restaura, la cantidad que se había restado o que faltaba, de modo que a ambos lados queden solo cantidades positivas. La segunda cancela entre sí cantidades positivas de la misma clase situadas a uno y otro lado. Una vez hechas ambas operaciones, la relación encaja en alguna de las seis formas legítimas, compuestas enteramente de cantidades positivas. Las seis clases no nacen de una manía clasificatoria: son la consecuencia directa de su concepción de los números y las cantidades. Conviene insistir, porque ahí está la clave para entender el libro.

A ojos posteriores, distinguir seis casos resulta engorroso. Pero la clasificación refleja qué objetos algebraicos admite este libro; no resume lo que toda una época entendía por número. En estas formas de resolución, una cantidad faltante no puede quedarse libremente a cualquier lado como coeficiente negativo. Hay que pasarla primero al otro lado, convertir lo que falta en algo que se tiene y, entonces sí, calcular. El próximo ensayo tratará precisamente de cuándo y por qué se permitió, por fin, que aquello se sostuviera por sí solo.

Para los tres casos compuestos, el libro ofrece argumentos geométricos. Se une un cuadrado, que representa el cuadrado de la incógnita, con rectángulos que representan cierto número de raíces. Luego se añade el pequeño cuadrado que falta. De la igualdad de las áreas se obtiene la regla.

Hay matices entre los investigadores a la hora de decidir si esos dibujos cuentan como demostraciones. Unos subrayan su carácter de argumentos geométricos matemáticos y sitúan el libro en una tradición que dialoga con la geometría de Euclides. Otros destacan que el núcleo de su álgebra es un arte de calcular expresado en palabras, formado por nombres, objetos y operaciones: las figuras explican por qué funciona una regla de resolución, sin convertir el conjunto en una teoría ordenada según la sucesión de definiciones, axiomas y proposiciones.

A menudo, el verdadero desacuerdo no consiste en decidir si hay razones lógicas, sino en decidir a qué debemos llamar demostración.

Si de antemano reservamos ese nombre a lo que se deduce paso a paso de definiciones, postulados y proposiciones, estos argumentos gráficos quedan fuera. Si llamamos demostración a cualquier explicación, borramos las diferencias entre géneros. En el ensayo anterior encontramos una disputa de la misma forma, protagonizada por un comentarista del siglo III. Aquí han cambiado la lengua y el siglo; la cuestión sigue siendo la misma. Hay que dejar clara otra cosa: este libro no dispone de variables alfabéticas, signos de operación ni un sistema de exponentes modernos. Las cantidades y las operaciones se enuncian con palabras.

Importa más de lo que parece. Un álgebra sin símbolos tiene que decir cada paso mediante una frase: poner una cantidad en un lugar, multiplicarla por otra, dividirla entre tal valor y ver después qué queda. Se lee como unas instrucciones, no como una fórmula. En el ensayo anterior vimos que los procedimientos chinos también se escribían así. Los dos géneros se parecen más de lo que suele imaginar la posteridad.

Hay una palabra para el cuadrado, otra para la incógnita o raíz; también los números y las operaciones se escriben con palabras. Al examinar su manuscrito en el siglo XIX, Rosen lo señaló expresamente: los números del cuerpo del texto siempre están escritos con letras. Las cifras aparecen únicamente en algunas figuras y en unas pocas notas marginales, que además no tienen por qué proceder del autor.

Por eso, cuando una edición moderna coloca al lado una fórmula con letras y superíndices y la llama ecuación de al-Juarismi, está creando una imagen visual que el original nunca tuvo.

No es buscarle tres pies al gato. Los símbolos permiten ver de golpe una estructura, y esa posibilidad de verla de golpe llegó después. Reconstruir un libro antiguo mediante notación moderna puede poner subrepticiamente en manos de un autor del siglo IX herramientas que tardaron varios siglos más en formarse.

5. Un linaje imposible de trazar

¿De dónde salió, entonces, todo esto?

La obra de Diofanto trata problemas de ecuaciones determinadas e indeterminadas, con sus propias abreviaturas y su propia tradición de problemas. En el siglo XX se descubrió que algunos libros considerados perdidos habían sobrevivido en traducción árabe. Esta suele atribuirse a un erudito del siglo IX. La traducción se sitúa, a grandes rasgos, después del Álgebra; en cualquier caso, no es un texto del que podamos demostrar que la precedió.

No hay, por tanto, pruebas directas de que al-Juarismi leyera a Diofanto. El parecido formal no sustituye a una cadena de transmisión de manuscritos.

Las matemáticas indias del siglo VII ya contaban con el cero, las cantidades negativas y reglas para ecuaciones de segundo grado e indeterminadas. Hay pruebas de que, en época abasí, materiales astronómicos y matemáticos indios entraron en la lengua árabe. Las propias tablas astronómicas de al-Juarismi y su libro sobre el cálculo indio pertenecen especialmente a ese entorno.

Pero tampoco tenemos una cadena de textos que permita afirmar que copió sus seis clases de ecuaciones de determinado capítulo. Los vínculos más claros con la tradición india están en la aritmética, las cifras y la astronomía. La evidencia es mucho más débil cuando se intenta asignar, uno por uno, sus contenidos algebraicos a un libro indio concreto.

Si retrocedemos todavía más, las tablillas del primer ensayo contienen, en efecto, problemas resueltos mediante relaciones de áreas que hoy podríamos reescribir como relaciones cuadráticas. Algunos investigadores subrayan el parentesco estructural entre esa tradición de agrimensura y cálculo geométrico y el álgebra práctica posterior.

Pero entre las tablillas del segundo milenio antes de nuestra era y la Bagdad del siglo IX median más de dos mil años. Por ahora no existe una cadena continua de manuscritos que nos diga a quién llegó el método de una tablilla determinada. Estamos ante una cuestión de comparación histórica y reconstrucción de tradiciones, no ante un préstamo directo ya demostrado. Las tres pistas comparten algo: en las tres encajan las estructuras, y en las tres falta un tramo de manuscritos.

El parecido entre estructuras se puede observar. Quién leyó a quién hay que probarlo con textos. En historia de las matemáticas se confunden a menudo ambas cosas, precisamente porque las semejanzas matemáticas saltan demasiado a la vista.

Durante mucho tiempo, la investigación ha mantenido dos grandes énfasis explicativos. Uno destaca la contribución de las matemáticas griegas, sobre todo de los conceptos de la geometría euclidiana, a la elaboración teórica del álgebra árabe. El otro recela de injertar a la fuerza el álgebra en el árbol de la teoría griega y concede más peso a las tradiciones prácticas de cálculo, la aritmética india y la reorganización conceptual llevada a cabo en árabe.

La formulación más segura hoy no dice que el álgebra procede de Grecia, de la India o de Babilonia, eligiendo una sola. Dice que este libro se escribió donde confluían varias tradiciones y que no podemos trazar un linaje único para su álgebra de seis formas. También al mirar hacia delante hay que andar con cuidado. Del siglo IX al XIII quedan al menos otros cuatrocientos años de historia.

Un estudioso próximo a al-Juarismi en el tiempo continuó explícitamente esa tradición de ecuaciones, llevó más lejos el trabajo con cantidades irracionales y problemas más complejos, y escribió un libro que después entraría en el mundo matemático latino. Otro, entre finales del siglo X y comienzos del XI, fue desplazando la atención hacia las operaciones con potencias, monomios y polinomios, de modo que las operaciones algebraicas dejaron de necesitar una explicación geométrica particular para cada problema. En el siglo XII, otro desarrolló sistemáticamente la suma, resta, multiplicación y división de polinomios y el cálculo de sus coeficientes, disponiendo en tablas los positivos y los negativos. Por la misma época, Omar Jayam, el que había estudiado las paralelas en el tercer ensayo, clasificó sistemáticamente las ecuaciones cúbicas y construyó sus raíces positivas mediante intersecciones de cónicas, sin afirmar que hubiera encontrado una fórmula general por radicales. Más tarde, otro autor afinó el análisis de las condiciones de existencia de soluciones de las cúbicas, sus relaciones con los extremos y la aproximación numérica.

Comprimir esos cuatrocientos años en la frase al-Juarismi inventó el álgebra y luego Europa la heredó elimina justamente el período en que más cambiaron los propios objetos algebraicos. Y las fechas de nacimiento y muerte de la mayoría de esos autores también son aproximadas. En este ensayo, eso vale casi en todas partes.

6. Dos oleadas

La primera gran oleada, del griego y el siríaco al árabe, empezó aproximadamente a mediados del siglo VIII y fue llegando a su fin durante la segunda mitad del X.

El griego no era la única lengua de partida. Buena parte de la ciencia, la filosofía y la medicina griegas ya tenía una tradición siríaca, y pasó de ella al árabe. También hubo traducciones directas del griego. A la vez llegaban materiales del persa medio y de la India. Hablar de un centro de traducción invita a imaginar una sala fija. En realidad hubo colaboración familiar, encargos privados, proyectos cortesanos y revisiones de traducciones anteriores.

El criterio de selección no era, ni de lejos, conservar toda la literatura griega. Las traducciones se concentraron en medicina, lógica, filosofía, matemáticas, astronomía, astrología, ciencias naturales y técnicas prácticas. El teatro, la poesía lírica y la mayor parte de la historiografía griega no recibieron una atención comparable. Elegir también era aplicar un criterio: decidir qué merecía el gasto de traducirlo y qué no determinó qué parte de Grecia podrían leer los que vinieran después. Y no lo decidió un comité. Fueron decenas de mecenas, cada cual por sus propias razones, escogiendo libro a libro.

No existe un porcentaje único y fiable de cuántas de todas aquellas traducciones correspondían a matemáticas y astronomía. El problema es que el denominador cambia: ¿contamos obras, libros de una obra, versiones independientes o manuscritos? Un mismo texto pudo traducirse tres veces, y un solo manuscrito pudo reunir diez tratados breves. Por eso, afirmar qué porcentaje de aquella actividad fue matemático no se sostiene si antes no se especifican el catálogo y las reglas de recuento.

La segunda oleada fue del árabe al latín. Tras la conquista cristiana de Toledo en 1085, la abundancia local de libros árabes y una población plurilingüe ofrecieron condiciones propicias para las traducciones del siglo XII. Uno de los traductores más prolíficos fue Gerardo de Cremona, llegado del norte de Italia y fallecido en 1187. No era una institución abstracta dedicada a traducir. Era una persona concreta que se mudó de ciudad porque no encontraba un libro que quería leer.

Otro, un inglés, cuenta en su propio prólogo que las matemáticas aprendidas en París no lo satisfacían. Por eso se marchó a Toledo en busca de aquel saber y más tarde regresó a Inglaterra con libros.

Estas personas no escribían sus diarios pensando que iban a resucitar la civilización europea. Buscaban libros concretos que querían leer y no encontraban. Tras la muerte de Gerardo, sus compañeros compusieron una breve biografía y una lista de setenta y una obras, que añadieron al final de uno de los libros médicos que había traducido. Según esa biografía, había llegado a Toledo buscando una obra astronómica ausente del mundo latino; al descubrir la riqueza de los libros árabes, aprendió la lengua y se dedicó durante años a traducir. Es una prueba de sus motivos mucho más firme que las leyendas posteriores. Fueron sus compañeros quienes tuvieron que hacer la lista porque, según el mismo relato, él nunca firmaba sus traducciones.

A menudo se le atribuyen ochenta y siete traducciones. No conviene tomar la cifra como una constante indiscutida. El catálogo casi contemporáneo y los inventarios de los investigadores modernos arrojan cifras de setenta y tantas a ochenta y tantas obras, según se separen o no los textos de una recopilación y se acepten o rechacen ciertas atribuciones.

La expresión Escuela de Toledo también puede fabricar una imagen falsa. El traductor que terminó la versión latina del Álgebra en 1145 estaba entonces en Segovia. Otro trabajaba principalmente en el entorno de Barcelona, y otro tuvo un ámbito de actividad más amplio. Toledo fue un nodo de enorme importancia. Pero no hay pruebas de que todos los traductores del siglo XII pertenecieran a una escuela formal con un mismo director, un programa, salarios y métodos unificados.

Hay además una vía paralela que no se puede omitir: la traducción directa del griego al latín. Hacia 1160 ya existía en Sicilia una versión de aquella obra astronómica traducida directamente del griego.

La ruta del griego al árabe y de ahí al latín fue, pues, importantísima, pero nunca fue el único paso. Y traducir tampoco consistía en trasladar las palabras una a una.

El primer problema para los traductores era que el latín no disponía de términos listos para usar. Convivieron, a grandes rasgos, tres soluciones: transcribir el sonido, traducir mediante una palabra latina de sentido próximo o tomar una palabra antigua y asignarle un nuevo significado técnico.

No hubo en la Europa del siglo XII un comité de terminología científica que unificara las decisiones. Cada traductor podía elegir una solución distinta; la copia, la enseñanza y el uso fueron estabilizándolas poco a poco. Los nombres personales se deformaban con especial facilidad. A veces, además, el lector europeo confundía el nombre del autor con el de una técnica, o al revés.

Tampoco los dibujos se copiaban de manera transparente. Al pasar de un manuscrito a otro había que volver a trazar las figuras geométricas y astronómicas, sustituir las letras de sus rótulos por las de otro alfabeto y adaptar la distribución a un sentido de escritura diferente. Los copistas también reorganizaban figuras que les costaba entender. En el ensayo anterior vimos cuántas capas puede acumular un libro en su historia de copias. Aquí ocurre lo mismo, una vez más, al cambiar de lengua.

Y las pérdidas de esa capa lingüística son más difíciles de rastrear que las de la copia dentro de una misma lengua. Si se copia mal una palabra, el contexto puede delatarla a los lectores posteriores. Si se traduce mal un término, la traducción puede seguir siendo perfectamente fluida. Nadie verá el fallo a menos que conserve también el original.

Varias de las palabras de este ensayo sobrevivieron así.

Queda, por último, el propio relato: los árabes conservaron el saber griego y después se lo devolvieron a Europa.

Entendido en un sentido limitado, contiene un núcleo verdadero. Sin la tradición árabe, hoy nos faltarían determinados textos científicos y matemáticos griegos. Algunos originales se perdieron y sus traducciones árabes conservaron el contenido. También es cierto que el mundo latino recibió muchos materiales a través del árabe. El problema empieza cuando ese hecho se expande hasta convertirse en el relato entero.

Ese relato rebaja a los autores de lengua árabe a guardianes de una biblioteca, cuando ninguno de los que vimos en la sección anterior se limitaba a copiar libros griegos. Las propias traducciones se corregían, se volvían a traducir, se criticaban y se reorganizaban: un traductor no es una fotocopiadora. Además, la palabra árabes oculta la aportación de cristianos de lengua siríaca, persas, estudiosos judíos y materiales indios. Decir que devolvieron el saber a Europa presupone que el conocimiento griego pertenecía por naturaleza a Europa. Los protagonistas de la Bagdad del siglo IX y la Toledo del XII no hablaban en esos términos de propiedad.

El relato también borra Bizancio. Los libros griegos no habían desaparecido por completo del mundo bizantino. Y deja la falsa impresión de que los traductores latinos solo buscaban recuperar originales griegos perdidos. En realidad también traducían activamente las obras propias de los autores árabes.

Sería más exacto decir que, entre los siglos VIII y XIII, el árabe se convirtió en una de las principales lenguas científicas compartidas por varias regiones. Incorporó materiales griegos, siríacos, persas e indios y produjo, a su vez, muchas obras nuevas. Una parte de ellas, junto con materiales clásicos, pasó al mundo latino entre los siglos XI y XIII por la península ibérica, Italia y Sicilia. Conservar describe una de sus funciones. No sirve como título de toda esa historia.

La deformación que encontramos aquí pertenece a la misma familia que la del quinto ensayo. Allí se convertían dos tradiciones en dos caracteres civilizatorios; aquí se comprimen varios siglos de actividades complejas en una entrega de testigo. Las dos operaciones tienen la misma forma: sustituir una multitud de hechos concretos, entrelazados entre sí, por un relato cómodo.

7. Palabras

Veamos ahora aquellas dos palabras, y unas cuantas más.

La primera sale del título del libro.

La raíz de la palabra árabe abarca los sentidos de reparar, restaurar y completar. También puede emplearse para acciones como recomponer un hueso roto, devolverle su integridad. En el título, sin embargo, designa ante todo una operación técnica: reponer como positiva una cantidad que se había restado o que faltaba.

La traducción latina de 1145 incorporó la palabra al título mediante una transcripción de su sonido. Con el tiempo, aquella forma pasó de nombrar una operación a nombrar toda una técnica de cálculo, y del latín medieval entró en las distintas lenguas europeas. Su adopción inequívoca como término matemático inglés pertenece a la primera Edad Moderna: no nació en inglés al mismo tiempo que el libro del siglo IX. Hay dos etimologías populares que conviene descartar.

En su recorrido hay un detalle significativo. Llegó a Europa como nombre de una operación técnica y acabó siendo el de todo un saber. Es decir: los europeos dieron a un campo entero el nombre de uno de sus pasos.

No es un fenómeno raro en las lenguas, pero aquí tuvo consecuencias. Es fácil que el nombre posterior de la disciplina eclipse el hecho de que aquel libro, además de organizar sistemáticamente la resolución de ecuaciones, dedica una gran parte de sus páginas a repartos de herencias y problemas semejantes. Álgebra no era el nombre de un matemático árabe. Tampoco significaba originalmente arte de recomponer huesos; el álgebra no es, por tanto, una matemática de huesos rotos. Una misma raíz puede expresar restauración, y la reducción de una fractura y la restauración en una ecuación pertenecen al mismo campo semántico. El contexto inmediato del título es, sin embargo, una operación de cálculo.

La cadena de la segunda palabra es más nítida. Y esa palabra es la protagonista de todo este ensayo.

Ya vimos que el original árabe del libro sobre el cálculo indio se perdió y solo quedaron varias tradiciones textuales latinas. La que se considera más próxima al original empieza con esta frase: Dixit Algorizmi, es decir, dijo al-Juarismi.

De ese modo, lo que un lector europeo veía al principio como el nombre de un autor fue reinterpretándose como el nombre de una forma de calcular.

En latín medieval, el término designaba principalmente el cálculo escrito con las cifras posicionales indoarábigas. En el siglo XIII ya había manuales en verso que lo llevaban por título: se había convertido en el nombre de una enseñanza de aritmética.

Después del siglo XV, su grafía cambió bajo la influencia de la palabra griega que significa número. En el inglés de la primera Edad Moderna ya aparecen formas próximas a la actual, aunque durante mucho tiempo el sentido siguió siendo el de un método de cálculo aritmético; para precisar el año de la primera aparición habría que cotejar las ediciones una por una. Solo a finales del siglo XIX empezó a ampliarse hasta designar un procedimiento general para resolver un problema mediante pasos definidos. La teoría de la computación del siglo XX convirtió ese sentido amplio en el habitual.

La cadena es esta: un nombre personal, un nombre personal latinizado, el nombre de una aritmética con cifras indias, una grafía remodelada y, al final, el nombre de cualquier procedimiento finito.

Aquí también hay etimologías populares que sobran. Algoritmo no procede de juntar las palabras griegas para dolor y número, ni es una mezcla de álgebra y logaritmo. La cadena que parte del nombre personal cuenta con documentación medieval continua; la que descompone la palabra de ese otro modo no. Ambas fantasías tienen algo en común: suenan mejor que la historia verdadera y se pueden contar sin consultar nada.

La tercera palabra es cero. El vocablo árabe tenía en el habla común el sentido de vacío, ausencia. Tras la llegada del cálculo posicional indio, se empleó para designar la posición vacía y el cero.

Conviene separar dos afirmaciones. Que la palabra ya existía en árabe es cierto. Que los árabes crearon el concepto de cero no lo es. En las matemáticas indias, una palabra que significaba vacío ya desempeñaba esa función; los autores árabes emplearon una palabra de sentido próximo en su propia lengua.

Al llegar al mundo latino, el recorrido se bifurcó. Por una rama, tras varios cambios de forma, acabó reduciéndose a zero, el nombre actual del cero en inglés. La otra pasó al francés y al inglés y dio lugar a cipher, que en inglés puede designar un código cifrado. El sentido de escritura secreta llegó después: de cero y cifra se pasó al signo numérico, y de ahí a la escritura cifrada.

La cuarta es seno. Su historia hay que partirla en dos.

Una mitad tiene un armazón sólido. La astronomía india empleaba una palabra que designaba la cuerda de un arco para nombrar la función de la semicuerda. Al pasar a la astronomía árabe adoptó la forma de un préstamo. Como la escritura árabe no suele representar las vocales breves, aquel grupo de consonantes pudo leerse después como una palabra árabe ya existente, con sentidos como pliegue del vestido, seno o cavidad semejante a un bolsillo. Los traductores latinos del siglo XII utilizaron entonces un término latino de significado equivalente, cuyos sentidos originales incluían seno, pliegue y bahía.

La historia de las lenguas respalda esa cadena de sonidos y significados de la India al árabe y del árabe al latín. La mitad más endeble dice que cierto traductor, un buen día, confundió una vocal e inventó el seno.

Para empezar, ni siquiera hay acuerdo sobre quién empleó primero el término latino: la investigación propone tres nombres distintos. Tampoco sabemos si aquella reinterpretación se produjo por primera vez en la cabeza de un traductor latino o si la tradición técnica árabe ya había dado al préstamo el significado de una palabra propia. Los textos conservados permiten demostrar que las formas se transformaron; no permiten leer el instante psicológico de quien supuestamente se equivocó primero.

Por eso, la conclusión más aceptada es que el término procede, en último término, del nombre indio de la semicuerda, transformado al pasar por el árabe y el latín. Lo del traductor distraído que confundió una cuerda con una bahía es una historia popular apoyada en una estructura lingüística real. Las objeciones no suelen negar la cadena: niegan que una reinterpretación terminológica continuada pueda reducirse a un error individual con lugar y momento precisos.

Ya hemos encontrado esa forma de contar dos veces: con Hípaso en el segundo ensayo y con el «no hay camino real» del tercero. En ambos casos, un proceso se comprime hasta caber en una persona identificable y un instante identificable. El relato necesita un protagonista; el proceso no lo tiene.

Hay otras dos palabras que ofrecen buenos contraejemplos. Tangente y secante no son préstamos árabes. Proceden de las ideas latinas de tocar y cortar, y fueron acuñadas después por la matemática europea a partir de las relaciones geométricas.

Otra etimología popular que conviene especialmente descartar afirma que la letra de la incógnita, x, proviene de la palabra árabe para cosa: al pasar por el español, un sonido que no se podía pronunciar habría obligado a escribirla así.

Por ahora no existe una cadena medieval de manuscritos del árabe al español y del español al latín que respalde esa historia tan difundida en internet. El uso de algunas de las últimas letras del alfabeto para las incógnitas tiene su propia historia europea de la notación en la primera Edad Moderna. Que aquella palabra árabe nombrara efectivamente la incógnita algebraica no demuestra, por sí solo, que la letra sea su transcripción fonética.

8. Un libro que no existe

En el caso del chino, es especialmente importante no dar por hecho que sus términos también se tomaron del árabe.

算法, suanfa, hoy equivalente de algoritmo, es una palabra china antigua, muy anterior a la llegada del término inglés a China. Los libros de cálculo de las dinastías Song y Yuan ya la utilizaban en sus títulos y con el sentido de método matemático. En el siglo XIII había obras cuyos nombres prometían una explicación detallada de tal o cual suanfa.

Se produjo así una coincidencia curiosa. El término inglés se remonta, en último término, a al-Juarismi; la palabra china 算法 posee una historia medieval china independiente. No es una transcripción del sonido extranjero.

Las dos trayectorias no se cruzaron hasta el siglo XX. Una había salido de la Bagdad del IX y recorrido el latín y varias lenguas europeas. La otra partía de los libros de cálculo de los Song y los Yuan y nunca había abandonado el chino. Hoy se emplea la segunda para traducir la primera, aunque sus recorridos anteriores no compartían ni un solo tramo.

Tampoco 零, ling, la palabra china para cero, llegó al chino como traducción del árabe. El carácter ya tenía sentidos relacionados con lo disperso, lo que cae y lo que queda como resto. Durante mucho tiempo, el cálculo posicional chino pudo expresar la ausencia de cantidad dejando una posición vacía. Un tratado matemático de 1247 ofrece uno de los ejemplos tempranos más conocidos del signo circular.

Aquí deben distinguirse tres historias: la de los significados del carácter 零, la del círculo como signo y la del cero como número. Fundirlas en la afirmación de que alguien inventó el cero en determinado año es confundir tres cosas diferentes.

正弦, zhengxian, el término chino para seno, responde a otra situación. Se formó como denominación técnica al entrar la astronomía occidental a finales de la dinastía Ming. Durante la reforma del calendario en el reinado de Chongzhen, el proyecto de traducción y compilación dirigido por Xu Guangqi, junto con varios de los misioneros que participaron en él, introdujo el cálculo trigonométrico europeo en chino. Uno de sus textos empleó sistemáticamente el conjunto de términos después familiares, entre ellos 正弦, seno, y 余弦, coseno. No hay documentación suficiente para atribuirlo a una sola persona. Es más prudente situarlo dentro de aquel sistema de traducción colectiva de la oficina del calendario. 代数, daishu, el nombre chino del álgebra, es en cambio un término sobre todo de finales de la dinastía Qing.

Durante mucho tiempo, el libro traducido conjuntamente por Li Shanlan y Alexander Wylie en 1859 se consideró el momento decisivo de su consolidación. Pero hay usos de la palabra que pueden remontarse a comienzos de la década de 1850. Investigaciones recientes señalan ejemplos en traducciones de 1852 vinculadas a Li Shanlan y Joseph Edkins; para fijar la primera aparición exacta sigue siendo necesario cotejar las ediciones. Algunos trabajos proponen, además, que Li Shanlan, incorporado en 1852 a la imprenta Mohai y participante en aquellas traducciones, pudo ser el creador chino decisivo a la hora de condensar el concepto en la palabra 代数.

Aun así, cuando se habla del primero hay que distinguir tres cosas: el ejemplo impreso más antiguo que conservamos, la persona que creó realmente la palabra al hablar y quien consiguió que después se asentara.

Entre el final de los Ming y el comienzo de los Qing, la situación había sido distinta. El álgebra europea introducida en el siglo XVII solía presentarse con nombres como 借根方, jie gen fang, método de la raíz prestada. Se ponía en relación con los procedimientos chinos del elemento celeste, 天元术, y de las ecuaciones, 方程术: el álgebra europea y los métodos chinos servían para explicarse mutuamente. 代数学, daishuxue, todavía no era el nombre estándar que abarcaba todo el campo.

Por tanto, la palabra árabe no se convirtió en el álgebra europea del siglo XII para luego traducirse sin más en el 代数 chino. Entre ambos extremos hay una historia de denominaciones matemáticas chinas completamente diferente.

He incluido este tramo porque los viajes de las palabras siempre parecen rectos. Una palabra pasa de aquí a allá y da la impresión de que su significado viaja con ella. En realidad, cada llegada supone volver a nombrar, y quienes nombran lo hacen desde circunstancias propias. También el viaje de las cifras a Europa fue más largo de lo que suele contarse.

Ya en 662, un estudioso siríaco elogiaba el cálculo de los indios con nueve signos: antes incluso de la dinastía abasí. En 976, un manuscrito de España recogía una serie de cifras indoarábigas del uno al nueve, aunque todavía sin un cero plenamente desarrollado. A finales del siglo X hubo también quien utilizó fichas de ábaco marcadas con cifras. En el XII ya existía la versión latina del libro sobre aritmética india. El célebre Libro del cálculo de 1202 llegó después de todo eso.

Su autor fue Leonardo de Pisa, a quien la posteridad llamó Fibonacci. Al comienzo cuenta que su padre había sido enviado por la ciudad de Pisa a Bugía, en el norte de África, la actual Bejaia de Argelia, para trabajar como notario de aduanas al servicio de los comerciantes pisanos que iban allí. Su padre lo mandó llamar siendo todavía un niño y lo dejó allí para que asistiera a una escuela donde se enseñaba a llevar cuentas: quería, en esencia, que aquello le fuera útil y le facilitara las cosas en el futuro. Allí aprendió los nueve signos de los indios. Su importancia no consiste en haber traído por primera vez las cifras a Europa, sino en haber reunido los métodos maduros de cálculo posicional, el cero y las matemáticas comerciales mediterráneas en una obra latina de gran envergadura. Y la supuesta gran guerra entre abacistas y algoristas conviene entenderla como una síntesis posterior, no como la existencia de dos partidos que lucharon durante siglos.

No hay pruebas de una oposición continua, con listas de miembros y manifiestos. En un mismo mundo comercial podían convivir el cálculo mental, el cálculo con los dedos, las tablas de ábaco, los libros de cuentas en números romanos y las operaciones con cifras indias.

La imagen que suele usarse como cartel de aquella guerra, con dos hombres sentados a uno y otro lado, uno trabajando con cifras y el otro con un ábaco, procede de un libro de 1503. Es ya una alegoría del saber de la época de la imprenta. Presentarla retrospectivamente como una reunión real de dos bandos del siglo XIII es usar mal una imagen. También hay que restringir el alcance de la afirmación de que Florencia prohibió los números arábigos en 1299.

Las historias de las matemáticas sí citan una norma gremial de ese año. Exigía que las cantidades monetarias de determinados libros de cuentas no se anotaran simplemente con cifras, sino de forma más completa, con palabras. Regulaba la contabilidad de una actividad concreta. No era una declaración de la república que convirtiera en delito que cualquier ciudadano escribiera números.

La frase habitual, según la cual Florencia prohibió por completo los números arábigos en 1299 por miedo a que un cero se transformara en un seis, contiene al menos tres ampliaciones: convierte una norma profesional en una prohibición para toda la ciudad; identifica sin más cierta clase de notación numérica con nuestras diez cifras actuales; y añade a la norma un motivo antifraude extraordinariamente específico.

El gremio tenía, desde luego, razones de sobra para temer las alteraciones de las cuentas. Pero explicar que bastaba añadir un trazo al cero para convertirlo en seis suele ser una racionalización de autores modernos. No es la exposición de motivos conservada junto a aquella norma.

Queda el papel.

El papel llegó a Asia Central mucho antes de la batalla de Talas, en 751. El relato según el cual unos prisioneros de guerra enseñaron a los árabes a fabricarlo suele remontarse, hasta donde sabemos, a un autor de comienzos del siglo XI: más de doscientos cincuenta años después. No tenemos un testimonio presencial del siglo VIII.

La conclusión más aceptada es que aquel año pudo constituir un punto de contacto, pero no se puede fijar como el comienzo seguro de la llegada de la fabricación del papel a Asia Central y al mundo islámico. Los testimonios arqueológicos y documentales muestran que el papel circulaba por Asia Central desde antes.

Tampoco la fecha de 794 o 795 para la primera fábrica de papel de Bagdad puede tratarse como un dato exacto de calendario. Es creíble que, en torno al siglo IX, aumentaran el uso y la producción. Pero a la precisión de esa fecha de la primera fábrica no le corresponde un documento fundacional igualmente preciso, ni disponemos de un emplazamiento que podamos señalar.

Frente al papiro y el pergamino, lo que el papel cambió de verdad fueron las restricciones de producción. El pergamino requiere pieles de animales y su superficie está limitada por el tamaño del animal; un libro grande consume muchas. El papel puede hacerse con fibras y trapos viejos, permite ampliar con más facilidad el formato y la cantidad producida, y admite escritura por ambas caras. Sirve para cartas, borradores, cálculos y grandes volúmenes de documentación administrativa. Reduce las restricciones marginales del material de copia. No vuelve de pronto los libros asequibles para todo el mundo.

Paquetes de cifras como el papel abarató los libros diez veces y por eso cierta biblioteca reunió cuatrocientos mil volúmenes deben descartarse enteros. Para los siglos VIII al X no tenemos una serie de precios que abarque varias ciudades y haga comparables calidad, superficie y moneda. Tampoco la adopción del papel hace que un copista escriba varias veces más por hora.

Volvamos al libro que ya no existe. Hoy no queda su original árabe en ningún lugar del mundo. Sobreviven varios textos latinos emparentados que no son traducciones palabra por palabra. La rama considerada más próxima al original comienza así: Dixit Algorizmi, dijo al-Juarismi.

De la segunda palabra de esa frase latina creció un sustantivo. Primero designó una manera de hacer aritmética en el papel con cifras indias; después, cualquier procedimiento finito que se completa mediante pasos definidos. Hoy lo usan cada día innumerables personas, y la inmensa mayoría ignora que antes fue el nombre de alguien. Mucho menos sabe que ni siquiera el lugar de nacimiento de ese hombre está resuelto. Su libro desapareció. Su nombre se convirtió en un nombre común.

Entre esas dos cosas no hay una relación causal. Que el nombre personal se convirtiera en nombre común tiene que ver con la circulación del libro y de sus reelaboraciones, con su enseñanza y con la formación de un término técnico. No se puede reducir a que alguien leyera por casualidad de manera equivocada una frase inicial.

Y lo que hoy designa ese sustantivo ya no es lo mismo que aquel libro que él escribió.

Es algo muy habitual en el mundo de las palabras. Solo que normalmente no lo pensamos.

A diario se dice algoritmo, se dice álgebra, se dice cero. Cada palabra tiene un origen, y la mayor parte de lo que había en esos orígenes ya no está: libros perdidos, sentidos transformados, incluso la huella de una lectura equivocada. Una palabra no necesita que su origen siga vivo para seguir funcionando.

Así que usar una palabra con soltura no significa que lo que hay detrás siga siendo lo mismo que al principio.

Y cuando se sigue una palabra hasta el final, muchas veces se acaba encontrando a una persona concreta de la que nadie se acuerda.

Seguimos calculando con números. Pero qué cuenta como matemáticas nunca ha acabado de quedar claro.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las diferencias de interpretación que aparecen en el ensayo. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son la misma clase de evidencia.

• Jan Hogendijk: textos originales y traducciones de al-Juarismi
• Universidad de St Andrews: al-Juarismi
• En el taller del traductor
• Hunayn sobre las traducciones siríacas y árabes de Galeno
• Oxford: origen de la palabra inglesa algorithm
• Biblioteca Británica: manuscrito del Carmen de Algorismo
• Niu Weiqiang: el origen del término matemático chino daishu, álgebra