Transmettre et nommer

1 Un homme est mort

Un homme est mort. Il laisse deux fils et un testament : le tiers de ses biens doit revenir à un tiers qui n’est pas son héritier. Il possédait dix dirhams en espèces ; l’un de ses fils lui devait en outre dix dirhams. Quelle part chacun recevra-t-il ?

La difficulté n’est pas de faire les opérations. La dette du fils envers son père entre dans la succession, mais elle doit aussi être retranchée de la part qui revient à ce fils. Quant au tiers promis à l’étranger, faut-il le calculer avant ou après le remboursement ? Cela dépend du montant auquel on fixe la succession. Or ce montant dépend lui-même de la question de savoir si la dette est considérée comme recouvrée. Les conditions s’engrènent les unes dans les autres. Par quelque bout qu’on prenne le problème, on commence au mauvais endroit.

Une issue consiste à donner d’abord un nom à la quantité qu’on ignore : on l’appellera la chose. Puis on écrit les relations imposées par les différentes conditions, on laisse la chose figurer de part et d’autre, et l’on finit par en trouver la valeur. Voilà ce que fait le livre dont nous allons parler. Il n’expose pas un savoir abstrait ; il règle des partages de biens dont on ne voit pas immédiatement comment sortir.

Et des partages de ce genre, il fallait alors en régler tous les jours. Les gens mouraient, laissaient des dettes, faisaient des testaments, tandis que les parts légales, elles, étaient fixées une fois pour toutes. Si le calcul ne tombait pas juste, l’affaire finissait en procès. Ces problèmes ne sont pas les exercices d’application relégués à la fin d’un ouvrage de mathématiques. Ils constituent le cœur de cette Algèbre du IXe siècle.

Rien à voir, non plus, avec les petits problèmes d’école où des fils se partagent une somme. Il est question ici de legs à des personnes qui n’héritent pas de droit, de dettes, de successions dont le montant total est encore inconnu, d’héritiers qui doivent eux-mêmes de l’argent au défunt. Il faut tenir compte des parts légales du mari, de l’épouse, de la mère, des filles et des fils ; parfois même, la valeur d’un legs est définie par rapport à la part que recevra tel ou tel héritier.

Dans la pagination de la traduction anglaise de 1831, le texte traduit s’achève à la page 174 ; les trente et quelques pages suivantes contiennent les notes de Rosen. La partie consacrée aux successions commence à la page 86, presque exactement à mi-parcours. Autrement dit, dans l’ouvrage tel qu’il nous est parvenu, la seconde moitié porte pour l’essentiel sur les calculs de succession, de legs et d’héritage.

On ne peut pas en déduire qu’un manuscrit du IXe siècle consacrait la moitié de son papier au droit successoral : cette proportion dépend de la mise en page d’une traduction du XIXe. Mais elle suffit à donner la mesure de la place occupée par ces questions. L’auteur a d’ailleurs lui-même expliqué pourquoi il écrivait.

Dans sa préface, après avoir rendu hommage à Dieu et au souverain, il dit que le calife al-Ma’mun l’a encouragé à composer un livre bref sur ces deux opérations de calcul. Il souhaite ne retenir de l’arithmétique que ce qu’elle a de plus simple et de plus utile, puisque les gens en ont besoin pour les successions, les legs, les partages de biens, les procès, le commerce, l’arpentage, le creusement des canaux et d’autres calculs géométriques. Il ne se présente pas en homme qui va fonder une discipline nouvelle. Il entend mettre en ordre un savoir de calcul concis et utile.

La formule souvent répétée selon laquelle al-Ma’mun aurait ordonné à al-Khwarizmi d’inventer l’algèbre ne tient donc pas. La préface atteste un patronage et une visée pratique. Elle ne dit ni que ce savoir n’existait pas auparavant, ni que l’auteur en est le premier inventeur.

Le livre entretient un lien direct avec le droit successoral islamique, sans être pour autant un recueil de jurisprudence. Le mathématicien prend pour données les parts légales ainsi que les conditions relatives aux legs et aux dettes. Il résout ensuite les relations numériques qui en découlent.

Rosen remarque même, dans ses notes sur certains problèmes, qu’ils relèvent moins de l’algèbre que du droit. Il suffit de cette remarque pour voir que, dans ce livre, la frontière entre mathématiques et droit n’a pas la netteté de nos découpages disciplinaires.

Le premier épisode le disait : partager des moutons entre trois personnes n’exige pas nécessairement de noter des nombres. Ce qui impose vraiment les signes, c’est l’absence, et la nécessité de franchir le temps. Ici, l’absent est le mort.

Or ce que ce livre a finalement laissé au monde n’a rien à voir avec les héritages, et ne concerne l’algèbre que pour moitié.

Deux mots ont survécu, beaucoup plus longtemps que ce qui leur avait donné naissance. Le premier, presque tout le monde s’en sert aujourd’hui chaque jour, et l’immense majorité de ceux qui l’emploient ignore qui il a été. Le second est devenu le nom d’une discipline dont les activités sont désormais bien éloignées des six sortes de relations traitées dans ce livre. Ce qui nous est resté, ce sont deux mots.

Cet épisode raconte comment les mots survivent, tandis que ce qu’il y avait derrière eux disparaît.

2 Le lieu dans le nom

De la vie d’al-Khwarizmi, il reste étonnamment peu de documents. Aucun acte de naissance fiable, aucune biographie contemporaine, aucune épitaphe connue, aucun récit laissé par un élève, aucun passage autobiographique que l’on puisse identifier avec certitude. Les notices modernes donnent volontiers « vers 780 – vers 850 ». Ces deux dates ne correspondent pas à deux témoignages, l’un pour le début et l’autre pour la fin. Ce sont des repères commodes, déduits à rebours de la période où il était actif.

Nous avons déjà rencontré ce procédé plusieurs fois. Dans le quatrième épisode, l’année de naissance d’Archimède résultait du calcul d’un homme du XIIe siècle ; dans le cinquième, les dates de naissance et de mort de Liu Hui devenaient bien trop précises dans la vulgarisation moderne. Le mécanisme est toujours le même : un repère solide, auquel on ajoute une affirmation tardive, produit un nombre qui a l’air exact. Il est plus prudent de dire qu’al-Khwarizmi est né probablement dans la seconde moitié du VIIIe siècle et qu’il a travaillé durant la première moitié du IXe. Sa mort pourrait être postérieure aux années 840 ; rien ne permet de la fixer précisément à 850.

La dernière composante du nom sous lequel nous le connaissons est une désignation géographique : al-Khwarizmi signifie littéralement « l’homme du Khwarezm ». C’est assurément l’indice d’un lien fort avec cette région. Un nom de provenance n’est toutefois pas un acte de naissance.

La première présentation biographique relativement explicite se trouve dans le catalogue composé vers 987 par Ibn al-Nadim, libraire et bibliographe à Bagdad. C’est aussi à ce catalogue que nous devions recourir, dans le troisième épisode, pour suivre la transmission des œuvres d’Euclide. Il a été établi quelque cent cinquante à cent soixante-dix ans après les principales activités d’al-Khwarizmi, dans les années 820 et 830.

D’autres éléments viennent compliquer le tableau. Un historien mort au début du Xe siècle transmet une forme plus longue de son nom, comportant deux désignations supplémentaires. L’une d’elles peut renvoyer à un lieu proche de Bagdad. Certains chercheurs estiment donc qu’une naissance dans les environs de Bagdad ne saurait être exclue. D’autres font valoir qu’on ne peut tout simplement pas assembler ces différents noms comme les rubriques d’un acte de naissance moderne.

La présentation si répandue du « mathématicien persan né en 780 à Khiva, dans l’actuel Ouzbékistan » atteint ainsi un degré de précision que les sources sont très loin d’autoriser. Ses œuvres, elles aussi, doivent être réparties en trois catégories : les attributions certaines, les titres attestés par les catalogues mais dont le texte est perdu, et les attributions plus tardives. L’Algèbre nous est bien parvenue en arabe, mais dans des copies qui ne remontent pas au temps de l’auteur.

Là encore, cette série ne cesse de retrouver la même situation. Le principal manuscrit grec du troisième épisode date du IXe ou du Xe siècle ; le palimpseste du quatrième a été copié au Xe ; les Neuf Chapitres du cinquième ont dû être reconstitués par des lettrés des Qing à partir de citations conservées dans des compilations encyclopédiques. Rosen, qui traduisit l’Algèbre en anglais au XIXe siècle, travaillait sur un manuscrit copié en 1342, quelque cinq cents ans après son auteur. Il l’a décrit lui-même : une écriture nette, mais des points diacritiques souvent absents, des omissions, des répétitions et des annotations marginales.

La version originale, au IXe siècle, de ses tables astronomiques est perdue. Elles ont survécu grâce à la révision ultérieure d’un astronome andalou, puis à une traduction latine. Il reste un manuscrit arabe de son ouvrage de géographie. Pour plusieurs livres sur l’astrolabe, les cadrans solaires et l’histoire, les catalogues ont gardé les titres ; les livres, eux, ont disparu. Le cas le plus radical est celui du traité de calcul indien : il ne subsiste absolument rien de l’original arabe.

Nous avons environ quatre traditions textuelles latines apparentées. Ce ne sont pas quatre traductions littérales auxquelles on pourrait se fier mot pour mot, mais une famille de textes où se mêlent traductions, abrégés et réécritures.

Cela signifie que, pour nombre de détails sur la façon dont il enseignait les chiffres indiens, ce que nous lisons n’est pas son livre arabe du IXe siècle. C’est ce que le monde latin en a réécrit environ trois cents ans plus tard. Cette différence ne peut pas être passée sous silence.

Disons-le encore plus simplement. Quand un livre raconte aujourd’hui comment al-Khwarizmi présentait les chiffres indiens, les phrases qu’il cite ne sont pas celles qu’al-Khwarizmi a écrites. Ce sont celles que d’autres hommes ont réorganisées, trois siècles après lui, dans une autre langue. Et ces différents textes ne concordent même pas entre eux.

L’épisode précédent rappelait que les figures du commentaire de Liu Hui ont disparu et que certains dessins de solides que nous voyons aujourd’hui ont été reconstitués sous les Qing à partir du texte. Ici, la perte est plus complète encore. Ce ne sont pas les figures qui manquent, mais le livre entier. Il ne reste que ce que d’autres en ont raconté.

3 La Maison de la sagesse

Avant de parler de son lieu de travail, il faut défaire une image. Dans les illustrations modernes, la Maison de la sagesse possède de grandes salles, des laboratoires, un service de traduction, un observatoire, des chaires professorales, des chercheurs invités du monde entier et un budget commun. Les documents du IXe siècle ne nous ont laissé aucun règlement d’organisation de ce genre.

Il vaut la peine de s’y arrêter, tant cette image est commode. À une effervescence intellectuelle qui a réellement existé, elle donne un lieu que l’on peut dessiner ; et ce lieu ressemble exactement à ce que nous attendons, aujourd’hui, d’un institut de recherche. Grâce à elle, un processus réparti entre des dizaines de mécènes, des dizaines de traducteurs et plus d’un siècle tient désormais dans un seul bâtiment.

Ce dont nous disposons, ce sont quelques mentions dispersées de personnes et de gestion des livres, associées à une « maison de la sagesse » ou à un « dépôt des livres de sagesse ». Ce n’est qu’avec le catalogue de la fin du Xe siècle que les renseignements rétrospectifs deviennent un peu plus abondants. Aucun décret de fondation ne nous est parvenu.

Selon une lecture minimaliste qui a eu une grande influence, l’institution des premiers Abbassides était avant tout une bibliothèque et un service documentaire de la cour. Elle prolongeait très probablement les traditions sassanides de collections royales et de traduction de textes persans. Rien ne prouve qu’elle ait constitué le centre unique du vaste mouvement de traduction du grec vers l’arabe aux VIIIe et IXe siècles. Le témoignage le plus fort en faveur de cette lecture est une longue lettre écrite par un traducteur du IXe siècle.

Ce traducteur y revient sur le travail accompli par lui et ses confrères autour d’un auteur médical grec. Il décrit en détail les commanditaires, les traductions antérieures, les manuscrits grecs et les traducteurs. Il explique jusqu’à la manière dont il cherchait plusieurs copies, confrontait les exemplaires défectueux, puis retraduisait. C’est le meilleur témoignage direct qui nous soit parvenu sur ce travail. Or, du début à la fin, la Maison de la sagesse n’y apparaît jamais comme une direction générale de la traduction. La force de l’interprétation minimaliste n’est pas de prétendre que cette maison n’a pas existé.

Ce serait une affirmation excessive, et inutile. Quatre propositions plus limitées tiennent, elles, solidement : il existait une collection royale de livres ; des personnes étaient chargées de sa gestion ; des traductions de matériaux persans et des activités savantes s’y rattachaient ; mais rien ne prouve que l’institution ait monopolisé ou administré de façon centralisée les traductions du grec vers l’arabe.

Ce que l’on distingue réellement aux VIIIe et IXe siècles, ce sont plusieurs réseaux de patronage coexistants : la cour califale, une illustre famille de ministres, trois frères mécènes à titre privé, des familles de médecins, des fonctionnaires, des astronomes et de riches particuliers. Chacun engageait ses traducteurs, achetait ses manuscrits ou envoyait quelqu’un les chercher.

L’ensemble ressemble bien moins à un institut moderne qu’à un marché. Les commandes sont précises : quelqu’un veut tel livre, sollicite tel traducteur, négocie un prix. Les traducteurs ne vivent pas non plus de la seule traduction. Ils sont également médecins, astronomes, secrétaires, enseignants ou hommes au service de la cour.

L’appartenance religieuse ne coïncide pas davantage avec la langue du savoir. Un chrétien peut, à la demande d’un fonctionnaire musulman, traduire du grec en syriaque ou en arabe le livre d’un médecin grec païen.

Les objections à cette lecture ne rétablissent pas pour autant une immense académie des sciences. Une interprétation plus large souligne que les sources relient bel et bien certains savants, astronomes et bibliothécaires aux collections royales. Elle rappelle aussi que la disparition massive des bâtiments, des archives et des documents administratifs interdit de conclure automatiquement, à partir de l’absence de traces conservées, qu’aucun espace de travail commun n’a jamais existé.

La position la plus sûre se situe entre les deux : il s’agissait très probablement d’une véritable institution royale consacrée aux livres et aux documents, qui pouvait aussi remplir des fonctions savantes. En revanche, le modèle d’une académie moderne fondée par al-Ma’mun, où des centaines de scientifiques de tous les pays auraient chaque jour traduit et mené leurs recherches sous une direction commune, ne repose pas sur des sources de première main à la mesure de ce récit. Un autre récit se prête encore mieux à la mise en scène : le calife envoie des ambassadeurs réclamer à Byzance les livres scientifiques de la Grèce antique, puis les fait rapporter comme des prises de guerre.

Que la cour ait activement recherché des livres en langues étrangères est largement admis. Mais les détails spectaculaires des versions tardives doivent être examinés un à un, et non réunis pour former un programme national doté d’un calendrier centralisé. Quant à la rémunération, une histoire domine toutes les autres : al-Ma’mun aurait payé aux traducteurs le poids de leur manuscrit en or. Le récit complet que l’on connaît provient de l’ouvrage d’un historien de la médecine du XIIIe siècle, composé vers 1245, soit environ quatre cent dix ans après la mort d’al-Ma’mun en 833.

On peut y voir la mémoire culturelle que les siècles suivants ont gardée de la valeur des traductions. On ne peut pas en faire un registre des salaires. Nous n’avons aucun reçu de paiement du IXe siècle.

D’autres sources permettent bien de penser que les meilleurs traducteurs coûtaient alors extrêmement cher. Mais « ils pouvaient être très généreusement payés » et « ils recevaient exactement le poids du manuscrit en or » sont deux affirmations qui n’engagent pas le même degré de précision.

4 Six formes

Ouvrons maintenant le livre lui-même. Al-Khwarizmi distingue trois sortes d’objets fondamentaux : les carrés, les racines, autrement dit les choses, et les nombres. Il répartit ensuite en six formes les relations qu’il faut résoudre.

Des carrés égaux à des racines. Des carrés égaux à des nombres. Des racines égales à des nombres. Des carrés et des racines égaux à des nombres. Des carrés et des nombres égaux à des racines. Des racines et des nombres égaux à des carrés. Aujourd’hui, une seule écriture d’équation du second degré, avec trois coefficients qui peuvent être positifs, négatifs ou nuls, suffirait à tout regrouper. Lui doit distinguer six cas.

Il ne multiplie pas les catégories par souci pédagogique. Dans son dispositif, une quantité négative n’est pas encore un coefficient admis que l’on pourrait laisser librement d’un côté ou de l’autre de l’équation. Le coefficient nul n’y possède pas non plus son statut moderne.

Il faut donc deux opérations. Ces deux opérations donnent son titre au livre.

La première restaure, remet en place la quantité soustraite ou manquante, de façon à ne laisser que des quantités positives dans les deux membres. La seconde retranche de part et d’autre les quantités positives de même nature qui peuvent se compenser. Une fois ces deux opérations effectuées, la relation entre dans l’une des six formes admises, toutes composées de quantités positives. Les six cas ne sont pas le produit d’une manie de classer. Ils découlent directement de la manière dont l’auteur conçoit les nombres et les grandeurs. Il faut s’y attarder un peu : c’est une clef de lecture du livre.

Pour les lecteurs venus après lui, ces six cas peuvent sembler bien encombrants. Mais ce classement décrit les objets algébriques que le livre admet ; il ne résume pas la façon dont toute une époque comprenait les nombres. Dans ce système de résolution, une quantité manquante ne peut pas rester à volonté dans l’un ou l’autre membre sous forme de coefficient négatif. Il faut d’abord la faire passer en face, la transformer en quantité présente, et seulement alors calculer. Le prochain épisode demandera précisément quand, et pour quelles raisons, cette chose-là a enfin obtenu le droit de tenir debout toute seule.

Pour les trois formes composées, le livre propose des arguments géométriques. On assemble un carré, qui représente le carré de l’inconnue, et des rectangles représentant plusieurs racines ; on ajoute ensuite le petit carré manquant. L’égalité des aires permet d’en tirer la règle de calcul.

Ces figures constituent-elles des démonstrations ? Les chercheurs ne leur accordent pas tous le même poids. Certains soulignent plus volontiers qu’il s’agit d’arguments géométriques mathématiques et inscrivent le livre dans une tradition d’échanges avec la géométrie euclidienne. D’autres mettent surtout en avant une algèbre qui demeure, pour l’essentiel, un art du calcul formulé en mots, fait de noms, d’objets et d’opérations. Les figures servent alors à expliquer pourquoi telle règle de résolution fonctionne ; elles ne transforment pas l’ouvrage entier en une théorie ordonnée par définitions, axiomes et propositions.

Souvent, le désaccord ne porte pas vraiment sur la présence ou l’absence de raisons logiques. Il porte sur ce qui mérite le nom de démonstration.

Si l’on décide d’avance que seule mérite ce nom une déduction conduite de définition en postulat et de postulat en proposition, ces arguments par les figures seront exclus. Si l’on appelle démonstration n’importe quelle explication, on efface à l’inverse les différences entre les genres. Nous avons rencontré le même débat dans l’épisode précédent, autour d’un commentateur du IIIe siècle. La langue et le siècle ont changé ; la question reste entière. Un autre point doit être parfaitement clair : le livre ne possède ni variables alphabétiques au sens moderne, ni signes opératoires, ni système d’exposants. Son texte énonce les quantités et les opérations avec des mots.

C’est plus important qu’il n’y paraît. Dans une algèbre sans symboles, chaque étape demande une phrase : placer telle quantité à tel endroit, la multiplier par ceci, la diviser par cela, puis examiner ce qui reste. On lit un mode d’emploi plutôt qu’une formule. L’épisode précédent montrait que les procédures chinoises s’écrivaient elles aussi de cette façon. Les deux genres sont plus proches que les lecteurs des siècles suivants ne l’ont souvent imaginé.

Il y a un mot pour le carré, un autre pour l’inconnue ou la racine ; les nombres et les opérations s’écrivent eux aussi en toutes lettres. Quand Rosen examine son manuscrit au XIXe siècle, il insiste sur ce point : dans le corps du texte, les nombres sont toujours écrits avec des mots. Les chiffres n’apparaissent que dans certaines figures et dans quelques annotations marginales, lesquelles ne sont pas nécessairement de l’auteur.

Ainsi, la formule avec ses lettres et ses exposants que l’on imprime aujourd’hui à côté du texte sous l’étiquette « équation d’al-Khwarizmi » produit une image qui n’existait absolument pas dans l’original.

Ce n’est pas une querelle de détail. Les symboles permettent de saisir la structure d’un seul regard ; or cette possibilité est venue plus tard. Recomposer un livre ancien en notation moderne, c’est parfois glisser discrètement entre les mains d’un auteur du IXe siècle des outils qui ont mis encore des centaines d’années à se former.

5 Une généalogie introuvable

D’où venait donc tout cela ?

L’ouvrage de Diophante traite de problèmes d’équations déterminées et indéterminées, avec ses propres signes abrégés et sa propre tradition de problèmes. Au XXe siècle, on a découvert que certains livres que l’on croyait perdus subsistaient dans une traduction arabe, généralement attribuée à un savant du IXe siècle. Cette traduction est vraisemblablement postérieure à l’Algèbre ; en tout cas, rien ne permet de démontrer qu’elle lui est antérieure.

Nous n’avons donc aucune preuve directe qu’al-Khwarizmi ait lu Diophante. Une ressemblance de forme ne remplace pas une chaîne de transmission manuscrite.

Les mathématiques indiennes du VIIe siècle connaissaient le zéro, les quantités négatives et des règles pour les équations du second degré comme pour les équations indéterminées. Nous avons bien des témoignages de l’arrivée en arabe de matériaux astronomiques et mathématiques indiens à l’époque abbasside. Les propres tables astronomiques d’al-Khwarizmi et son livre de calcul indien s’inscrivent tout particulièrement dans ce contexte.

Mais aucune chaîne de textes n’autorise davantage à dire qu’il a nécessairement recopié ses six formes d’équations dans tel chapitre. C’est en arithmétique, en matière de chiffres et en astronomie que ses liens avec les traditions indiennes sont les plus nets. Pour assigner chaque élément précis de son algèbre à tel ou tel livre indien, les preuves sont beaucoup plus faibles.

Plus loin dans le passé, les tablettes d’argile évoquées dans le premier épisode résolvaient bien, au moyen de relations entre des aires, des problèmes que nous pouvons aujourd’hui réécrire sous forme de relations du second degré. Certains historiens insistent sur la parenté de structure entre cette tradition de mesure et de calcul géométrique, d’une part, et l’algèbre pratique des époques ultérieures, d’autre part.

Seulement, entre les tablettes du IIe millénaire avant notre ère et Bagdad au IXe siècle, il y a plus de deux mille ans. Aucune suite continue de manuscrits ne nous dit actuellement à qui la méthode de telle tablette aurait été transmise. Nous sommes dans la comparaison historique et la reconstitution de traditions, non devant un emprunt direct dont on aurait fait la preuve. Ces trois pistes ont un point commun : chaque fois, les structures se répondent ; chaque fois, un maillon manuscrit manque.

Que deux structures se ressemblent, cela se voit. Qui a lu qui, cela se prouve par les textes. L’histoire des mathématiques confond souvent les deux, tant la ressemblance des structures mathématiques saute aux yeux.

Depuis longtemps, deux grandes orientations se partagent l’interprétation. L’une insiste sur le rôle de théorisation joué par l’entrée des concepts grecs, en particulier ceux de la géométrie euclidienne, dans l’algèbre arabe. L’autre se méfie davantage d’une généalogie qui ferait à toute force de l’algèbre la descendante de la théorie grecque ; elle met en avant les traditions de calcul pratique, l’arithmétique indienne et les réorganisations conceptuelles propres aux auteurs de langue arabe.

La phrase la plus sûre aujourd’hui n’est donc pas : l’algèbre vient de Grèce, ou d’Inde, ou de Babylone. C’est plutôt : ce livre appartient à un milieu où plusieurs traditions se rencontrent, sans que l’on puisse dessiner une généalogie unique pour son algèbre à six formes. Il faut la même prudence lorsqu’on regarde ce qui vient après. Du IXe au XIIIe siècle, l’histoire se poursuit sur au moins quatre cents ans.

Un savant de la période immédiatement voisine de la sienne reprend explicitement cette tradition d’équations, pousse plus loin le travail sur les quantités irrationnelles et sur des problèmes plus complexes ; son livre gagnera ensuite le monde mathématique latin. Un autre, à la fin du Xe et au début du XIe siècle, porte de plus en plus son attention sur les opérations elles-mêmes, appliquées aux puissances, aux monômes et aux polynômes : chaque manipulation algébrique n’a plus nécessairement besoin de son explication géométrique particulière. Au XIIe siècle, un autre encore développe systématiquement l’addition, la soustraction, la multiplication et la division des polynômes, ainsi que le calcul de leurs coefficients, en disposant dans des tableaux les coefficients positifs et négatifs. À la même époque, Omar Khayyam, celui dont nous avons rencontré les travaux sur les parallèles au troisième épisode, classe méthodiquement les équations du troisième degré et construit leurs racines positives par intersection de coniques, sans prétendre avoir trouvé une formule générale par radicaux. Plus tard, un autre savant affine l’analyse des conditions d’existence des racines des équations cubiques, des relations avec les extrema et des approximations numériques.

Résumer ces quatre siècles par « al-Khwarizmi invente l’algèbre, puis l’Europe en hérite », c’est supprimer précisément la période où les objets de l’algèbre se transforment le plus. Et les dates de naissance et de mort de la plupart de ces hommes ne sont elles-mêmes qu’approximatives. C’est presque partout le cas dans cet épisode.

6 Deux vagues

Le mouvement de traduction du grec et du syriaque vers l’arabe commence, dans ses grandes lignes, au milieu du VIIIe siècle et approche de son terme dans la seconde moitié du Xe.

Le grec n’est pas la seule langue de départ. Une grande partie des sciences, de la philosophie et de la médecine grecques possède déjà une tradition syriaque ; elle passe ensuite du syriaque à l’arabe. D’autres traductions se font directement sur le grec. Des textes en moyen perse et des matériaux indiens entrent aussi dans le mouvement. L’expression « atelier de traduction » fait trop facilement imaginer une grande salle à demeure. En réalité, on trouve des collaborations familiales, des commandes privées, des projets de cour et des révisions de traductions anciennes.

Le principe de sélection n’est absolument pas de conserver toute la littérature grecque. Les traductions privilégient très fortement la médecine, la logique, la philosophie, les mathématiques, l’astronomie, l’astrologie, les sciences de la nature et les techniques utiles. Le théâtre, la poésie lyrique et la plupart des œuvres historiques grecques ne bénéficient pas d’un effort comparable. Ce choix met lui aussi en jeu un critère : ce qui mérite qu’on paie pour le traduire, et ce qui ne le mérite pas, détermine la part de la Grèce que pourront lire les générations suivantes. Et aucun comité n’en décide. Ce sont des dizaines de mécènes qui choisissent, livre après livre, chacun pour ses propres raisons.

Quelle proportion de l’ensemble des traductions représentaient les mathématiques et l’astronomie ? Nous ne disposons d’aucun pourcentage global fiable. Le dénominateur n’est pas stable : compte-t-on les œuvres, les volumes, les traductions distinctes ou les manuscrits ? Un même ouvrage peut avoir été retraduit trois fois, et un seul manuscrit contenir dix courts traités. Tant qu’on n’a pas précisé le catalogue retenu et les règles de comptage, aucune phrase annonçant que « tant pour cent des traductions étaient des mathématiques » ne tient debout.

La seconde vague va de l’arabe au latin. Après la prise de Tolède par les forces chrétiennes en 1085, l’abondance des livres arabes et la population multilingue de la ville créent les conditions du travail de traduction du XIIe siècle. Parmi les traducteurs les plus féconds figure Gérard de Crémone, venu du nord de l’Italie et mort en 1187. Il n’est pas une institution de traduction abstraite. C’est un homme bien réel qui a changé de ville parce qu’il ne trouvait pas un livre qu’il voulait lire.

Un Anglais raconte pour sa part, dans sa propre préface, que les mathématiques qu’il avait étudiées à Paris ne le satisfaisaient pas. Il est donc parti chercher le savoir de Tolède, puis est revenu en Angleterre chargé de livres.

Ces hommes n’écrivaient pas dans leur journal : « Je vais faire renaître la civilisation européenne. » Ils cherchaient des livres précis qu’ils voulaient lire et ne trouvaient pas. Après la mort de Gérard, ses compagnons rédigèrent une courte biographie et un catalogue de soixante et onze ouvrages, qu’ils placèrent à la suite de sa traduction d’un livre de médecine. D’après cette notice, il était venu à Tolède pour y trouver un ouvrage d’astronomie qui manquait au monde latin. Devant la richesse des livres arabes, il apprit la langue et consacra de longues années à les traduire. Voilà, sur ses motivations, un témoignage autrement plus solide que les légendes tardives. Si ses compagnons ont dû établir ce catalogue, c’est que, toujours selon la notice, il ne signait jamais ses traductions.

On lui attribue souvent quatre-vingt-sept traductions. Ce chiffre ne doit pas être pris pour une constante incontestée. Entre le catalogue presque contemporain et les inventaires remaniés par les chercheurs modernes, selon que l’on compte séparément les textes réunis en recueil et que l’on accepte ou non certaines attributions, les totaux vont de soixante-dix et quelques à quatre-vingt et quelques.

L’expression « école de Tolède » crée elle aussi facilement une illusion. L’homme qui acheva en 1145 une traduction latine de l’Algèbre se trouvait alors à Ségovie. Un autre était principalement lié au milieu barcelonais. Un troisième circulait sur un territoire plus vaste encore. Tolède a été un nœud essentiel de ces échanges ; rien ne prouve pour autant que tous les traducteurs du XIIe siècle aient appartenu à une école officielle, avec une direction, des cours, des salaires et des méthodes communs.

Une voie parallèle ne doit pas disparaître du tableau : celle du grec directement traduit en latin. Vers 1160, on disposait déjà en Sicile d’une traduction directe du grec de cet ouvrage d’astronomie.

Le trajet du grec à l’arabe puis au latin a donc été capital, sans jamais constituer le seul passage possible. Et traduire n’a jamais consisté à transporter les mots un à un.

Premier problème pour les traducteurs : le latin ne possède pas les termes tout prêts. Trois solutions coexistent, dans les grandes lignes. Transcrire directement le son du mot ; le traduire par un mot latin de sens voisin ; reprendre un mot ancien et lui assigner un sens technique nouveau.

L’Europe du XIIe siècle n’a aucun comité de terminologie scientifique chargé d’unifier ces choix. Les traducteurs peuvent adopter des solutions différentes, que la copie, l’enseignement et l’usage finiront peu à peu par stabiliser. Les noms de personnes se déforment tout particulièrement. Il arrive même que des lecteurs européens prennent un nom d’auteur pour un terme technique, ou l’inverse.

Les figures ne passent pas davantage d’un manuscrit à l’autre par une reproduction transparente. Les dessins géométriques et astronomiques doivent être refaits, les lettres qui les repèrent remplacées par celles d’un autre alphabet. Le changement du sens de lecture et d’écriture modifie la disposition ; les copistes remettent aussi en ordre des schémas qu’ils comprennent mal. L’épisode précédent montrait combien de couches un livre pouvait accumuler au fil des copies. Le même phénomène recommence ici, dans une autre langue.

Et les pertes liées à ce changement de langue sont plus difficiles à suivre que celles de la copie dans une seule langue. Un caractère mal copié peut être décelé grâce au contexte. Un mot mal traduit peut, lui, produire une phrase parfaitement lisible. Rien n’avertit le lecteur ultérieur qu’il y a une erreur, sauf s’il dispose encore de l’original.

Plusieurs des mots dont il est question ici ont survécu de cette manière.

Reste enfin le récit lui-même : les Arabes auraient conservé le savoir grec, puis l’auraient rendu à l’Europe.

Pris dans un sens étroit, ce récit contient un noyau vrai. Sans la tradition arabe, nous disposerions aujourd’hui de plusieurs textes mathématiques et scientifiques grecs en moins. Certains originaux grecs ont disparu, alors que leur contenu demeure dans les traductions arabes. Le monde latin a bel et bien reçu beaucoup de matériaux par l’intermédiaire de l’arabe. Le problème commence lorsqu’on transforme ce fait en histoire complète.

On réduit alors les auteurs de langue arabe au rôle de gardiens de bibliothèque. Or aucun des savants évoqués dans la section précédente ne se bornait à recopier des livres grecs. Les traductions elles-mêmes sont corrigées, refaites, critiquées et réorganisées : un traducteur n’est pas une photocopieuse. Le mot « Arabes » masque en outre le rôle des chrétiens de langue syriaque, des Persans, des savants juifs et des matériaux indiens. Quant à « rendre à l’Europe », la formule suppose que le savoir grec lui appartiendrait par nature. Les acteurs de Bagdad au IXe siècle et de Tolède au XIIe ne parlaient pas eux-mêmes ce langage de la propriété.

Le récit efface aussi Byzance. Les livres grecs n’avaient pas tous disparu du monde byzantin. Il laisse en outre croire que les traducteurs latins ne recherchaient que des originaux grecs perdus. Ils traduisaient pourtant, de leur propre initiative, les œuvres des auteurs arabes eux-mêmes.

On peut dire les choses plus exactement : entre le VIIIe et le XIIIe siècle, l’arabe devient l’une des grandes langues scientifiques communes à plusieurs régions. Il accueille des matériaux grecs, syriaques, persans et indiens, et produit dans le même temps une masse d’œuvres nouvelles. Une partie de ces œuvres, avec des textes de l’Antiquité, entre dans le monde latin entre le XIe et le XIIIe siècle par la péninsule Ibérique, l’Italie et la Sicile. La conservation décrit l’une des fonctions de cette histoire ; elle ne peut pas lui servir de titre.

Le défaut examiné dans cette section appartient à la même famille que celui du cinquième épisode. Là, on faisait de deux traditions deux caractères de civilisation ; ici, on réduit plusieurs siècles d’activités complexes à une passation de relais. Dans les deux cas, le geste est le même : remplacer une multitude de faits concrets, qui se nouent les uns aux autres, par un récit commode.

7 Les mots

Venons-en à ces deux mots, et à quelques autres.

Le premier vient du titre du livre.

La racine du mot arabe possède un champ de sens qui comprend réparer, rétablir, compléter ; elle peut aussi désigner un geste qui rend son intégrité à quelque chose, comme remettre un os en place. Dans le titre, c’est d’abord le nom d’une opération technique : restaurer sous forme positive une quantité soustraite ou manquante.

La traduction latine de 1145 en introduit une transcription phonétique dans son titre. Peu à peu, cette forme transcrite cesse de nommer une seule opération pour désigner tout un art du calcul, avant de passer du latin médiéval dans les différentes langues européennes. L’emploi clairement attesté d’algebra comme terme mathématique anglais appartient au début de l’époque moderne ; il n’est pas né en anglais au même moment, au IXe siècle. Il faut ici écarter deux étymologies populaires.

Une particularité de ce trajet mérite qu’on la remarque. Entré en Europe comme le nom d’une opération technique, le mot est devenu celui d’un domaine entier du savoir. Autrement dit, les Européens ont nommé tout le champ à partir d’une seule de ses étapes.

La langue connaît bien ce genre de glissement. Ici, toutefois, il a une conséquence : on risque de ne plus voir que le nom de la discipline ultérieure, en oubliant que le livre organise méthodiquement la résolution des équations tout en consacrant une grande place aux partages de successions et à d’autres problèmes de ce type. Ce mot n’est pas le nom d’un mathématicien arabe qui se serait appelé ainsi. Il ne signifie pas non plus, à l’origine, « art de remettre les os » ; l’algèbre n’est donc pas une mathématique des rebouteux. Une même racine peut exprimer le rétablissement : remettre un os en place en médecine et restaurer une quantité dans une équation appartiennent au même champ de sens. Mais le contexte immédiat du titre est bien celui d’une opération de calcul.

La filiation du second mot est plus nette. C’est lui, d’ailleurs, le personnage principal de cet épisode.

Nous l’avons vu : l’original arabe du livre de calcul indien a disparu ; seules subsistent plusieurs traditions textuelles latines. Celle qui est tenue pour la plus proche de l’original s’ouvre par cette phrase : Dixit Algorizmi, « Al-Khwarizmi dit ».

Ce qu’un lecteur européen aurait d’abord reconnu comme le nom de l’auteur a donc été progressivement compris comme le nom d’une méthode de calcul.

En latin médiéval, ce mot désigne surtout la méthode de calcul écrit à l’aide des chiffres indo-arabes et de leur numération de position. Dès le XIIIe siècle, des manuels en vers le prennent pour titre : il est devenu le nom d’un enseignement d’arithmétique.

À partir du XVe siècle, son orthographe se transforme sous l’influence du mot grec qui signifie « nombre ». L’anglais du début de l’époque moderne connaît déjà des formes proches de l’actuel algorithm, mais le sens demeure longtemps voisin de « méthode de calcul arithmétique » ; dater exactement la première occurrence exige encore de vérifier les éditions une à une. Ce n’est que vers la fin du XIXe siècle que le terme s’élargit progressivement à toute procédure permettant de résoudre un problème par des étapes explicites. La théorie du calcul, au XXe siècle, fera de cette acception large l’usage courant.

La chaîne est la suivante : un nom de personne devient un nom de personne latinisé, puis le nom d’une arithmétique utilisant les chiffres indiens ; sa graphie est remodelée ; il finit par désigner n’importe quelle procédure finie.

Là aussi, quelques étymologies populaires sont à écarter. Le mot ne vient pas de l’assemblage des mots grecs pour « douleur » et pour « nombre ». Il n’est pas non plus un croisement entre « algèbre » et « logarithme ». La filiation par le nom propre s’appuie sur une suite de documents médiévaux ; les jeux de découpage du mot, eux, n’en ont pas. Les deux fausses étymologies ont ceci de commun : elles sonnent mieux que la vraie, et l’on peut les raconter sans rien avoir à vérifier.

Le troisième mot est zéro. Le mot arabe à son origine signifie, dans la langue ordinaire, « vide », « absence de contenu ». Après l’arrivée du calcul indien de position, il sert à désigner la place vide et le zéro.

Il faut distinguer deux affirmations. Ce mot existait déjà en arabe : c’est vrai. Les Arabes ont créé le concept de zéro : cela ne l’est pas. Dans les mathématiques indiennes, le mot signifiant « vide » jouait déjà le rôle de zéro ; les auteurs arabes ont adopté un mot de leur propre langue dont le sens était voisin.

Une fois dans le monde latin, la filiation se divise en deux branches. L’une traverse plusieurs transformations, puis se raccourcit jusqu’au mot que nous connaissons : zéro, zero en anglais. L’autre se prolonge en français dans chiffre et en anglais dans cipher, avec le sens de code secret. Ce sens est tardif : de zéro et de chiffre, on passe aux signes numériques, puis à l’écriture chiffrée.

Le quatrième est sinus, dont il faut raconter l’histoire en deux parties.

Voici la partie à l’ossature solide. L’astronomie indienne emploie un mot signifiant « corde d’arc » pour la fonction de la demi-corde. Repris par l’astronomie arabe, il donne un emprunt phonétique. Comme l’écriture arabe ne note habituellement pas les voyelles brèves, le groupe de consonnes peut ensuite être lu comme un mot arabe déjà existant, qui désigne le pan d’un vêtement, la poitrine ou un creux en forme de poche. Les traducteurs latins du XIIe siècle emploient alors un mot latin de sens correspondant, dont les sens premiers sont le sein, le pli et la baie.

Cette chaîne phonétique et sémantique, de l’Inde à l’arabe puis au latin, est étayée par les travaux d’histoire de la langue. La partie plus fragile du récit est celle-ci : un beau jour, un traducteur aurait mal lu une voyelle et, ce faisant, inventé le sinus.

D’abord, l’identité du premier utilisateur du terme latin fait elle-même débat : les travaux avancent trois noms différents. Ensuite, nous ignorons si la réinterprétation s’est produite pour la première fois dans l’esprit d’un traducteur latin, ou si la tradition technique arabe avait déjà réinterprété cet emprunt à travers le sens d’un mot de sa propre langue. Les textes conservés permettent d’établir la transformation des formes ; ils ne nous donnent pas accès à l’instant mental du premier lecteur qui se serait trompé.

La conclusion généralement retenue est donc que le mot provient en dernière instance du terme indien de la demi-corde, transformé au cours de son passage par l’arabe puis le latin. Le traducteur distrait qui aurait pris une corde pour une baie appartient, lui, à un récit de vulgarisation doté d’une véritable ossature linguistique. Ce que l’on conteste d’ordinaire n’est pas cette filiation, mais la réduction d’un processus continu de réinterprétation terminologique à l’erreur d’une personne, en un point précis du temps.

Nous avons déjà rencontré deux fois cette forme de récit : Hippase au deuxième épisode, et l’absence de « voie royale » au troisième. Chaque fois, un processus devient un homme que l’on peut nommer et un instant que l’on peut désigner. Une histoire veut son personnage principal. Un processus n’en a pas.

Deux autres mots offrent d’utiles contre-exemples. Tangente et sécante ne sont pas des emprunts à l’arabe. Ils viennent des verbes latins qui signifient « toucher » et « couper » : les mathématiciens européens les ont formés plus tard à partir des relations géométriques elles-mêmes.

Parmi les étymologies populaires à écarter en priorité, il y a celle de la lettre de l’inconnue, x : elle viendrait du mot arabe pour « chose », transcrit ainsi parce que l’espagnol n’aurait pas pu en prononcer un son.

Aucune chaîne de manuscrits médiévaux allant de l’arabe à l’espagnol puis au latin ne vient aujourd’hui soutenir cette histoire très répandue sur Internet. L’emploi, au début de l’époque moderne, de lettres de la fin de l’alphabet pour les inconnues relève d’une histoire européenne de la notation qui lui est propre. Ce n’est pas parce que le mot arabe désignait effectivement l’inconnue en algèbre que la lettre en devient automatiquement une transcription phonétique.

8 Un livre qui n’existe plus

Du côté du chinois, il faut encore moins présumer que ces mots sont eux aussi des emprunts à l’arabe.

算法, suanfa, « méthode de calcul », est un vieux mot chinois, bien antérieur à l’arrivée en Chine du terme anglais algorithm. Les livres de calcul des Song et des Yuan l’utilisaient déjà dans leurs titres et pour parler de méthodes mathématiques. Dès le XIIIe siècle, on trouve des ouvrages qui s’annoncent comme l’explication détaillée de tel ou tel suanfa.

Il en résulte une coïncidence intéressante. L’étymologie du mot anglais remonte en dernière instance à al-Khwarizmi, tandis que le chinois 算法 possède sa propre histoire dans la Chine médiévale. Ce n’est pas une transcription phonétique.

Les deux chemins ne se rencontrent qu’au XXe siècle. L’un part de Bagdad au IXe, traverse le latin et plusieurs langues européennes. L’autre part des livres de calcul des Song et des Yuan et reste en chinois. Les modernes se servent du second mot pour traduire le premier, alors que leurs parcours n’avaient jusque-là aucun tronçon commun.

零, ling, le mot chinois pour zéro, n’est pas davantage une traduction de l’arabe. Le caractère possédait déjà des sens tels que la dispersion, la chute, les éléments ou quantités qui restent. Le calcul chinois de position a longtemps pu marquer l’absence de quantité par une place vide. Un livre de calcul de 1247 offre l’un des exemples anciens les plus connus du symbole circulaire.

Il faut séparer ici trois histoires : celle des sens du caractère 零, celle du cercle comme signe et celle du concept de zéro comme nombre. On ne peut pas les fondre en une seule phrase où un individu aurait inventé le zéro en telle année.

正弦, zhengxian, « sinus », présente un autre cas. Ce terme technique de traduction prend forme lors de l’introduction de l’astronomie occidentale à la fin des Ming. Pendant la réforme du calendrier menée sous l’ère Chongzhen, le projet de traduction et de compilation dirigé par Xu Guangqi, avec plusieurs missionnaires qui y participent, fait entrer le calcul trigonométrique européen en chinois. L’un des textes emploie systématiquement tout un ensemble de termes devenus familiers, dont 正弦 et 余弦, le sinus et le cosinus. Les documents ne suffisent pas à en attribuer le mérite à un homme isolé. Il est plus sûr de replacer ce travail dans le dispositif collectif de traduction du bureau du calendrier. Quant à 代数, daishu, « algèbre », le terme appartient surtout à la fin des Qing.

Le livre traduit conjointement en 1859 par Li Shanlan et Alexander Wylie a longtemps été considéré comme le point décisif de la fixation de ce terme. Mais on peut en faire remonter l’usage au début des années 1850 ; des travaux récents présentent aussi des exemples liés à des traductions de Li Shanlan et de Joseph Edkins en 1852. La date de première apparition exacte reste à vérifier édition par édition. Certains chercheurs avancent en outre que Li Shanlan, qui participa à ces traductions après son entrée à la maison d’édition Mohai shuguan en 1852, pourrait avoir été l’artisan principal de cette création chinoise : résumer le terme étranger par 代数.

Même alors, pour parler du « premier », il faut encore distinguer trois choses : la plus ancienne occurrence imprimée qui nous soit parvenue, l’identité de celui qui a réellement créé le mot à l’oral et celle de la personne qui en a fixé l’usage par la suite.

À la charnière des Ming et des Qing, la situation était encore différente. L’algèbre européenne introduite au XVIIe siècle était souvent présentée sous des appellations comme 借根方, jiegenfang, la méthode de la racine empruntée, et expliquée en regard des méthodes chinoises déjà existantes, le tianyuan shu (天元术) et le fangcheng shu (方程术). Chacune aidait à interpréter l’autre. 代数学, daishuxue, n’était pas encore le nom standard qui recouvrait tout le domaine.

Le mot arabe n’est donc pas devenu « algèbre » en Europe au XIIe siècle pour être ensuite simplement traduit par 代数 en chinois. Entre les deux s’interpose une histoire tout autre de la dénomination des mathématiques en chinois.

Pourquoi ce détour ? Parce que le voyage des mots paraît toujours suivre une ligne droite. Un mot irait d’ici à là, accompagné de son sens. Or chaque arrivée est un nouvel acte de nomination, accompli par des gens qui ont chacun leur propre situation. Le chemin des chiffres eux-mêmes vers l’Europe a été, lui aussi, plus long qu’on ne le raconte d’habitude.

Dès 662, un savant syriaque louait les Indiens pour leur façon de calculer avec neuf signes, avant même la dynastie abbasside. En 976, un manuscrit espagnol donnait déjà une série de chiffres indo-arabes allant de un à neuf, sans toutefois disposer encore d’un zéro véritablement constitué. À la fin du Xe siècle, on utilisait aussi des jetons d’abaque marqués de chiffres. Au XIIe, la traduction latine du livre sur l’arithmétique indienne existait déjà. Le célèbre Livre du calcul de 1202 vient après tout cela.

Son auteur est Léonard de Pise, que la postérité appellera Fibonacci. Au début de son livre, il raconte que son père, envoyé par la cité de Pise, exerçait à la douane de Bougie, en Afrique du Nord, l’actuelle Béjaïa en Algérie, comme notaire au service des marchands pisans qui y commerçaient. Il avait fait venir son fils, encore enfant, pour qu’il demeure sur place et fréquente une école où l’on apprenait à tenir les comptes : en substance, afin que cet apprentissage lui soit utile et lui facilite la vie plus tard. C’est là que Léonard apprit les neuf signes indiens. Son importance ne tient pas à ce qu’il aurait introduit les chiffres en Europe pour la première fois, mais à ce qu’il a réuni, dans un vaste ouvrage latin, les méthodes abouties du calcul de position, le zéro et les mathématiques du commerce méditerranéen. Quant à la grande guerre entre abacistes et algoristes, mieux vaut y voir une synthèse rétrospective que deux partis politiques affrontés pendant des siècles.

Rien ne prouve l’existence d’une opposition continue, dotée de listes de membres et de manifestes. Un même monde marchand pouvait faire coexister le calcul mental, les doigts, les tables à compter, la tenue des comptes en chiffres romains et les opérations en chiffres indiens.

L’image si souvent utilisée comme affiche de cette grande guerre montre deux hommes assis de part et d’autre, l’un calculant avec des chiffres, l’autre avec un abaque. Elle vient d’un livre de 1503 : c’est déjà une allégorie du savoir de l’époque de l’imprimé. La projeter en arrière pour en faire la représentation d’une véritable réunion des deux camps au XIIIe siècle, c’est détourner l’image. L’affirmation selon laquelle Florence aurait interdit les chiffres arabes en 1299 demande elle aussi à être resserrée.

Les historiens des mathématiques citent effectivement un règlement de corporation de cette année-là. Il demande que les sommes figurant dans les registres concernés ne soient pas écrites simplement en chiffres, mais consignées plus complètement en toutes lettres. Il s’agit d’une règle de comptabilité propre à un secteur d’activité, et non d’une loi de la république déclarant illégal, pour tout citoyen, le fait d’écrire des chiffres.

La phrase courante « En 1299, Florence a entièrement interdit les chiffres arabes, de peur qu’on ne transforme les zéros en six » ajoute au moins trois couches au document. Elle étend une règle professionnelle à toute la ville. Elle identifie sans réserve une certaine manière d’écrire les nombres aux dix chiffres modernes. Et elle prête au règlement un motif antifraude extrêmement précis.

La corporation avait assurément de bonnes raisons de craindre la falsification des comptes. Mais l’explication selon laquelle il suffit d’ajouter un trait à zéro pour en faire un six est généralement une rationalisation des auteurs modernes, pas un exposé des motifs législatifs conservé avec ce règlement.

Reste le papier.

Le papier est arrivé en Asie centrale bien avant la bataille de Talas, en 751. Le récit où des prisonniers de guerre auraient appris aux Arabes à le fabriquer est habituellement rattaché, dans l’état actuel de nos connaissances, à un auteur du début du XIe siècle, soit plus de deux cent cinquante ans après 751. Aucun témoignage pris sur le vif au VIIIe siècle ne nous est parvenu.

La conclusion généralement admise est que cette année a pu représenter un point de contact, mais ne peut servir de date de départ certaine pour l’entrée de la fabrication du papier en Asie centrale et dans le monde islamique. Les découvertes archéologiques et les documents montrent que le papier circulait déjà en Asie centrale auparavant.

La fondation à Bagdad d’un premier atelier de papier en 794 ou 795 ne peut pas non plus être traitée comme un fait précisément inscrit au calendrier. Que l’usage et la production du papier se soient développés aux alentours du IXe siècle est crédible. Mais la date exacte de cette « première usine » ne repose pas sur un document de fondation d’une précision équivalente, et aucun emplacement de cet atelier ne peut être désigné.

Par rapport au papyrus et au parchemin, ce que le papier modifie vraiment, ce sont les contraintes de production. Le parchemin exige des peaux animales, dont la superficie est limitée par la taille des bêtes ; un gros livre consomme beaucoup de peaux. Le papier peut être fabriqué à partir de fibres de vieux tissus. Il est plus facile d’en augmenter les formats et les quantités ; on peut écrire sur ses deux faces, et il se prête aux lettres, aux brouillons, aux calculs et à une masse de documents administratifs. Il réduit les contraintes matérielles qu’impose chaque copie supplémentaire. Il ne rend pas soudain les livres accessibles à toutes les bourses.

Quant aux séries de chiffres qui s’enchaînent si bien, « le papier divise le prix du livre par dix, telle bibliothèque atteint donc quatre cent mille volumes », il faut les écarter en bloc. Nous n’avons, pour les VIIIe à Xe siècles, aucune série de prix couvrant plusieurs villes avec des critères uniformes de qualité, de superficie et de monnaie. L’adoption du papier ne multiplie pas non plus automatiquement la vitesse à laquelle un copiste écrit chaque heure.

Revenons au livre qui n’existe plus. Son original arabe ne se trouve aujourd’hui nulle part au monde. Il reste plusieurs textes latins apparentés, qui ne le reproduisent pas mot pour mot. La branche la plus proche de l’original commence ainsi : Dixit Algorizmi, « Al-Khwarizmi dit ».

Du deuxième mot de cette phrase latine est né un nom commun. Il désigna d’abord une méthode pour faire sur le papier de l’arithmétique avec les chiffres indiens, puis toute procédure finie que l’on mène à son terme selon des étapes explicites. Chaque jour, d’innombrables personnes dans le monde s’en servent ; l’immense majorité ignore qu’il fut autrefois le nom d’un homme, et plus encore que le lieu de naissance de cet homme fait toujours débat. Son livre a disparu. Son nom est devenu un nom commun.

Il n’y a pas de rapport de cause à effet entre ces deux faits. Le passage du nom propre au nom commun tient à la circulation du livre et de ses réécritures, à l’enseignement et à la formation d’un vocabulaire technique. On ne peut pas le réduire à quelqu’un qui aurait, par hasard, mal compris une phrase d’ouverture.

Et ce que ce nom désigne maintenant n’est plus la même chose que ce dont traitait le livre qu’il avait écrit.

Dans le monde des mots, cela arrive sans cesse. Simplement, nous n’y pensons guère.

Tous les jours, quelqu’un dit « algorithme », « algèbre », « zéro ». Chacun de ces mots a son origine, et ce qui lui a donné naissance a le plus souvent disparu : un livre s’est perdu, un sens a changé, parfois il ne reste que la trace d’une lecture erronée. Les mots n’ont pas besoin que leur origine soit encore vivante pour continuer à travailler.

Qu’un mot soit commode à employer ne signifie donc pas que la chose derrière lui soit restée la même.

Et lorsqu’on suit un mot jusqu’au bout, on finit souvent par retrouver un homme bien précis dont personne ne se souvient.

On continue de faire des calculs. Mais ce qui compte comme mathématiques n’a encore jamais été tiré au clair.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous se rapportent aux détails historiques et aux divergences d’interprétation abordés dans cet essai. Les notices de collections, les récits littéraires anciens et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Jan Hogendijk : textes et traductions d’al-Khwarizmi
• Université de St Andrews : al-Khwarizmi
• Dans l’atelier du traducteur
• Hunayn sur les traductions syriaques et arabes de Galien
• Oxford : origine du mot anglais algorithm
• British Library : manuscrit du Carmen de Algorismo
• Niu Weiqiang : origine du terme mathématique chinois 代数, daishu, « algèbre »