Des nombres absurdes

I. Une question impossible

Voici un problème.

Un père a cinquante-six ans, son fils vingt-neuf. Dans combien d’années le père aura-t-il deux fois l’âge du fils ?

On pose l’équation, on fait le calcul. La réponse est moins deux.

En 1831, un mathématicien britannique examine ce problème dans un livre consacré à l’apprentissage des mathématiques. Il déclare le résultat absurde : la question a été posée dans des termes trop étroits. Puis il la reformule. Le signe moins indique que la situation s’est présentée deux ans auparavant, et non deux ans plus tard. Une fois la question rectifiée, deux redevient un banal nombre positif. Cet homme s’appelle De Morgan. À cette époque, il tient une quantité négative isolée pour incompréhensible dans le cadre de l’arithmétique. Juste avant ce problème, il vient d’écrire que, du point de vue de leur signification réelle, les quantités négatives sont des produits de l’imagination au même titre que les quantités imaginaires : soustraire un nombre à rien est aussi inconcevable que la racine carrée d’un nombre négatif.

Nous sommes pourtant déjà dans les années 1830. La Grande-Bretagne possède des chemins de fer, des presses à vapeur, des encyclopédies bon marché destinées aux ouvriers et aux classes moyennes. De Morgan lui-même collabore à l’une d’elles. Douze siècles se sont écoulés depuis que Brahmagupta a formulé, en 628, un ensemble complet de règles des signes. Davantage encore depuis les procédures sur le positif et le négatif des Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques. Le décalage semble dessiner une frontière nette : l’Orient avait accepté depuis longtemps ce à quoi l’Occident a résisté pendant mille ans.

Cette phrase est presque un passage obligé des histoires populaires des mathématiques. Elle offre un récit bien confortable : les uns sont intelligents, les autres obstinés, et l’écart des dates est assez spectaculaire pour rester en mémoire.

Il ne s’agit pas ici de réhabiliter un camp. Il s’agit de démonter cet écart chronologique pour voir ce qu’il mesure réellement. Une fois démonté, il ne mesure plus des capacités de compréhension, mais les questions différentes auxquelles on répondait en différents lieux. Dans ce récit, presque chaque mot demande à être démonté.

Commençons par un fait qui passe facilement inaperçu : dans ce même passage, De Morgan emploie moins deux avec une parfaite justesse. Il comprend que le signe moins inverse la direction du temps et s’en sert pour corriger l’énoncé. Un homme censé refuser les nombres négatifs vient d’utiliser un signe moins pour remettre une question d’aplomb. Attaquons donc le mot décisif : accepter. Accepter les nombres négatifs, ce n’est pas une seule chose. C’en est au moins quatre.

Premièrement : un terme négatif peut-il apparaître à une étape intermédiaire d’un algorithme ? Deuxièmement : peut-on calculer avec ces termes de manière stable, en suivant des règles des signes fiables ? Troisièmement : une valeur négative peut-elle être conservée comme réponse finale à une certaine catégorie de problèmes ? Quatrièmement : les nombres négatifs peuvent-ils être reconnus comme une classe de nombres ayant les mêmes droits que les positifs ? En Chine, en Inde, dans les mathématiques de langue arabe et en Europe, ces quatre choses ne sont pas arrivées ensemble. Elles ne sont pas non plus arrivées dans le même ordre.

Appeler la première « acceptation », puis juger une autre tradition à l’aune de la quatrième : voilà comment fabriquer une fausse symétrie.

De Morgan ne manque pas de savoir-faire avec le signe moins. Il le manie très bien, et il sait exactement ce que ce signe indique dans le problème. Ce qu’il refuse, c’est la quatrième chose.

Nous allons suivre les quatre chronologies séparément. On verra alors que chaque tradition a été précoce sur certains points, tardive sur d’autres, selon une combinaison qui lui est propre. L’unique ligne de partage se changera en quatre calendriers décalés.

Et ces décalages ne se distribuent pas au hasard. Les deux premières choses arrivent tôt presque partout. La troisième reste partout soumise à des conditions. La quatrième apparaît avec une netteté particulière dans les sources européennes modernes examinées ici ; on ne peut en déduire qu’aucune autre tradition n’a jamais soulevé de questions voisines. La différence ne tient pas à l’intelligence des uns ou des autres. Elle tient à ce qu’ils demandaient. Tout cet essai est dans cette phrase. Il ne reste qu’à déplier les quatre calendriers.

II. Gains et pertes sont opposés

Les Neuf Chapitres introduisent les procédures sur le positif et le négatif dans leur huitième chapitre, consacré au fangcheng.

Il s’agit de traiter deux états opposés qui apparaissent dans les tableaux de baguettes lorsqu’on soustrait une colonne à une autre. Le cœur des règles porte sur les retraits et les ajouts entre termes de même nom ou de noms différents, ainsi que sur deux opérations : retrancher du positif à une place vide y fait entrer du négatif ; retrancher du négatif à une place vide y fait entrer du positif. Le commentaire rédigé par Liu Hui au IIIe siècle est décisif. Les deux sortes de baguettes, explique-t-il, s’opposent comme le gain et la perte ; il faut donc les nommer positive et négative. Il précise aussi les couleurs : rouges pour le positif, noires pour le négatif. À défaut de couleurs, on les distingue par l’orientation des baguettes.

Arrêtons-nous un instant. Pour distinguer deux sortes de quantités opposées dans un tableau de calcul, le geste le plus direct n’est pas d’inventer un signe. C’est de changer de couleur, ou de changer la disposition des baguettes.

L’épisode 5 l’a rappelé : les baguettes rouges et noires sont attestées dans la tradition textuelle, mais les vestiges matériels ne suffisent pas à établir que chaque calcul sous les Han employait systématiquement deux jeux de couleurs différentes. Ce qui est certain, c’est que la distinction reposait sur l’état des baguettes elles-mêmes, et non sur un signe inscrit à côté.

Ici, positif et négatif sont donc d’abord les noms donnés aux deux sortes de baguettes qui, dans l’algorithme, s’opposent comme gain et perte.

Les sources établissent solidement ceci : des baguettes négatives peuvent prendre place de façon stable dans l’élimination du fangcheng ; elles peuvent résulter de la soustraction de baguettes positives à une place vide ; il existe des règles d’addition et de soustraction. Elles établissent beaucoup moins sûrement que les auteurs concevaient déjà moins trois comme un nombre abstrait autonome, détaché du tableau de baguettes et du contexte du problème.

Précisons. Dans le tableau, le négatif signifie que les baguettes d’une case ont pris un autre état. Elles ont un emplacement, des voisines, une fonction dans cette étape de l’élimination. Quant à les extraire de leur case pour demander ce qu’elles sont en elles-mêmes, ces textes de procédures n’en disent pas davantage. Le texte ne donne pas ici un système complet de multiplication et de division des quantités positives et négatives. La valeur négative joue avant tout le rôle d’un terme signé dans une procédure de résolution.

Autrement dit, elle naît d’un verbe, pas d’un nom. Après l’action de soustraire, il reste dans une case un certain état, auquel il faut donner un nom. Une fois nommé, cet état peut participer à toutes les étapes suivantes, jusqu’au bout du calcul. Mais au bout du calcul, il disparaît : la réponse finale ne le conserve pas.

Dire que le négatif des Neuf Chapitres n’est qu’une erreur passagère ou un simple manque serait donc trop peu. Dire qu’il est déjà un objet autonome appartenant aux entiers modernes serait trop.

L’épisode 5 a décrit la pratique concrète du calcul à baguettes. C’est à partir des tableaux, des positions et des rapports de transformation qu’il faut comprendre ces termes, sans y déverser rétrospectivement nos matrices et nos nombres signés.

Sous les Song et les Yuan, l’extension devient visible. Des procédures d’extraction de racines comme celles de Qin Jiushao emploient les états positif et négatif dans les tableaux de coefficients de polynômes de degré supérieur. Les reconstitutions modernes montrent même des procédures à baguettes qui opèrent durablement sur des polynômes dont le terme dominant ou le terme constant est négatif. Au XIIIe siècle, Yang Hui réorganise et commente la tradition du fangcheng. Avec les méthodes tianyuan et siyuan de Zhu Shijie, les coefficients positifs et négatifs font désormais partie du calcul polynomial. Le terme négatif a quitté son rôle d’état local dans l’élimination linéaire pour entrer dans un ensemble plus vaste d’opérations sur les coefficients.

Reprenons nos quatre questions. La première reçoit très tôt une réponse positive. La deuxième aussi, dans le domaine du fangcheng. La troisième dépend de la nature de la quantité. Quant à la quatrième, ces textes de procédures ne la développent pas explicitement ; cela ne signifie pas que personne, à l’époque, n’y ait réfléchi.

L’épisode 5 demandait déjà une prudence analogue. Le piège, alors, était de transformer une tradition algorithmique en caractère de civilisation. Ici, c’est de prendre la précocité sur un point pour une précocité sur les quatre.

Les deux erreurs procèdent du même montage. On choisit, dans une tradition, ce qu’elle a de plus fort ; dans une autre, ce qu’elle a de plus faible. Puis on pose les deux côte à côte.

Que le livre ne pose pas la question et que personne, à l’époque, ne se la soit posée sont deux choses différentes. La question moderne « qu’est-ce qu’un entier ? » est née d’autres préoccupations. Celles-ci apparaîtront dans la seconde moitié de cet essai, et elles ont une origine très précise.

Nous aurons souvent besoin de cette distinction. Si une tradition ne répond pas à une question, c’est peut-être qu’elle n’en trouve pas la réponse. Mais c’est peut-être aussi que cette question, en son sein, ne fait pas problème. Historiquement, les deux situations n’ont pas du tout le même sens.

III. Biens et dettes

Le livre de Brahmagupta date de 628. Son dix-huitième chapitre expose une arithmétique des signes remarquablement explicite.

Les termes techniques sanskrits portent en eux leur sens quotidien. Du côté positif : les biens, la richesse, les gains. Du côté négatif : la dette, ce que l’on doit. Pour zéro, un mot qui dit le vide. Les biens et les dettes ne sont pas des images pédagogiques ajoutées après coup : ils sont entrés dans la langue technique elle-même. On peut condenser le contenu des strophes 30 à 35 environ de la manière suivante.

La somme de deux biens reste un bien ; la somme de deux dettes reste une dette. Pour un bien et une dette, on prend la différence ; s’ils sont égaux, le résultat est zéro. Additionné à zéro, le positif ou le négatif garde son signe. Soustraire du positif à du négatif, ou du négatif à du positif, demande d’additionner les quantités. Positif multiplié par négatif donne négatif ; négatif multiplié par négatif donne positif. Zéro multiplié par du positif ou du négatif donne zéro. Pour les règles des signes, c’est déjà un système d’une grande stabilité. La deuxième de nos quatre conditions est pleinement remplie dans l’Inde du VIIe siècle.

Ces règles ne sont d’ailleurs pas rédigées pour les besoins ponctuels d’une catégorie de problèmes. Elles sont énoncées comme des règles générales, l’une à la suite de l’autre, à la manière d’un tableau.

La mise en tableau compte en elle-même. Une règle glissée dans la résolution d’un problème appartient à cette résolution. Un ensemble de règles présenté à part devient quelque chose auquel on peut renvoyer. Ce tableau existe dès le VIIe siècle. Il faut le retenir : l’Europe mettra beaucoup plus longtemps à en disposer d’un aussi explicite.

Mais le traitement de zéro nous empêche opportunément de transformer ce passage en récit triomphal.

Brahmagupta traite correctement l’addition de zéro à un nombre, la soustraction de zéro et la multiplication par zéro. En revanche, il pose que zéro divisé par zéro vaut zéro. Pour un nombre non nul divisé par zéro, il laisse une expression dont le dénominateur est zéro, sans quotient bien défini au sens moderne.

Il ne s’agit pas d’une distraction. Il faudra longtemps pour décider clairement que la division par zéro ne doit pas être effectuée, plutôt que de chercher quelle valeur lui attribuer. Chez lui, il reste encore possible de fixer une règle à cet endroit. Cela montre aussi que zéro et les nombres négatifs sont deux affaires distinctes. Les règles des signes peuvent être complètes au VIIe siècle, alors que les propriétés arithmétiques de zéro présentent encore des lacunes chez le même auteur. Dire d’un bloc que les Indiens ont inventé zéro et les nombres négatifs, c’est écraser deux travaux de maturité différente en un seul.

On peut donc dire qu’il a, le premier, donné des règles arithmétiques à zéro. On ne peut pas dire qu’il a déjà fondé toute la théorie algébrique moderne de zéro. Mais une phrase écrite cinq siècles plus tard importe davantage encore.

L’Algèbre de Bhāskara II date d’environ 1150. Après un problème où apparaît une deuxième racine, il explique que cette seconde valeur ne sera pas retenue ici, parce qu’elle ne convient pas à l’énoncé. Dans la tradition de traduction issue de Colebrooke, la fin décisive dit que l’on ne reconnaît pas de nombre absolu négatif.

Les ouvrages de seconde main résument souvent cette phrase ainsi : on ne reconnaît pas les racines négatives. Le sens général n’est pas très éloigné, mais « nombre absolu négatif » mérite davantage d’être conservé. L’expression suggère que le désaccord porte peut-être sur l’attribution d’une valeur négative à une inconnue censée désigner une quantité absolue, et non sur le refus de toute opération comportant un signe moins. On ne saurait retourner cette phrase pour prouver que l’Inde n’avait, au fond, pas accepté les nombres négatifs. La même tradition maniait déjà avec aisance les dettes, les directions opposées et les règles des signes.

À cinq siècles de distance, un auteur expose des règles des signes complètes ; un autre rejette une racine négative particulière. Les deux faits ne se contredisent pas. Ils appartiennent à la même tradition.

Ne retenir que le premier conduirait à dire que l’Inde avait déjà tout accepté. Ne retenir que le second conduirait à dire qu’elle refusait, elle aussi, les nombres négatifs. Dans les deux cas, on a réduit les quatre questions à une seule. Ce que ces textes montrent est autre chose : être un objet de calcul et être une solution recevable pour une inconnue donnée sont deux titres distincts.

Pour l’Inde, la conclusion la plus solide est donc celle-ci. Dans les calculs arithmétiques et algébriques, les quantités négatives peuvent subsister sans difficulté. Lorsque le sens des quantités va naturellement par paires, biens et dettes, est et ouest, augmentation et diminution, le signe moins trouve une interprétation concrète. Lorsque l’inconnue représente un nombre de personnes, une longueur, un nombre d’objets, bref quelque chose qui ne peut prendre qu’une valeur non négative, une racine négative peut être jugée contraire à l’énoncé. Nos manuels font encore la même chose, sous un autre nom : on trouve deux racines, puis on en écarte une parce qu’une longueur ne peut pas être négative.

La différence est que l’élève d’aujourd’hui sait que la valeur écartée reste un nombre : elle ne convient simplement pas à ce problème. Les hommes de cette époque n’avaient pas besoin de cette idée, puisque la chose n’entrait pas, au départ, dans les nombres. Le même geste, vers 1150, se consigne comme un propos sur ce que les gens ne reconnaissent pas ; aujourd’hui, comme une simple élimination.

Les deux premières conditions sont remplies. La troisième dépend du genre de quantité. Le solde d’une dette peut avoir un sens final négatif. Moins cinq singes, non.

Cette distinction paraît aller de soi. Elle constitue pourtant tout le contenu de la troisième question. Peut-on garder une valeur négative pour réponse ? Cela dépend de l’existence d’un envers naturel de la quantité. S’il y en a un, le signe moins indique une direction. S’il n’y en a pas, il signale que le problème est mal posé.

Le problème du père et du fils se trouve justement entre les deux. Le temps possède un sens inverse, donc moins deux est interprétable. Mais l’énoncé demandait « dans combien d’années », et ce futur-là n’a pas d’envers.

Le mathématicien a donc conservé l’information portée par le signe moins, puis modifié la question.

C’est un geste subtil. Il n’a dit ni que le signe était dépourvu de sens, ni que moins deux était un nombre. Il a dit : ce signe vous avertit que vous cherchez dans la mauvaise direction.

IV. Manque et excédent

L’épisode précédent nous a conduits à cette Algèbre du IXe siècle et à ses six types d’équations, dans lesquels les coefficients des nombres, des racines et des carrés restent tous positifs. Ce n’était pas une incapacité à écrire une formule unique. Ce choix s’accordait avec la manière dont on concevait alors nombres, racines et carrés : comme des quantités positives.

Un autre détail de ce livre, évoqué dans l’épisode précédent, trouve ici son utilité : il ne possède pas encore notre notation algébrique. Ce qu’on calcule et la manière de le calculer se racontent surtout avec des mots. Une quantité formulée en mots se prête moins facilement à un changement de signe à volonté. Ce qui s’écrit comme une phrase porte naturellement avec soi le sens de ce que c’est.

L’algèbre de langue arabe ultérieure est pourtant bien plus complexe qu’un simple refus des nombres négatifs. Dans les calculs polynomiaux d’al-Karajī, les termes soustractifs participent aux opérations algébriques. Au XIIe siècle, al-Samawʾal formule explicitement les règles des signes. Il nomme le côté négatif manque, perte, diminution ; le côté positif augmentation, excédent. Il sait que négatif multiplié par positif donne négatif, et négatif multiplié par négatif, positif. Il sait aussi que soustraire un terme positif à une place vide laisse un terme négatif, et que soustraire un terme négatif à cette place laisse un terme positif.

Autrement dit, le coefficient négatif n’est pas évité dès lors qu’il appartient à la structure d’un polynôme.

Le vocabulaire est révélateur : manque et excédent, perte et augmentation. Ces mots ne désignent pas des nombres, mais des états. Un terme se trouve du côté du déficit, ou de celui du surplus.

Nommer par des états montre que ces textes proposent une interprétation relationnelle. Le nom, à lui seul, ne prouve cependant pas que la chose ne puisse être considérée comme un objet autonome. Les gains et pertes opposés de Liu Hui, rencontrés dans la deuxième section, relèvent du même geste de nomination, à des milliers de kilomètres et neuf cents ans de distance. Dans les deux cas, une paire de situations opposées existe d’abord ; on y puise ensuite les noms. Personne ne commence par fabriquer une chose nommée « négatif » avant de lui chercher un emploi. Pourquoi, alors, les racines restent-elles normalement positives ?

Parce que racines, nombres et grandeurs relèvent encore des quantités positives mesurables, tandis que les termes négatifs sont souvent compris comme des termes à soustraire, des déficits, ou des termes qui viennent annuler ceux de l’autre côté. Il n’existe pas ici d’interdiction uniforme. Le sens des problèmes et le domaine des objets algébriques ne coïncident pas. Ce point commande la compréhension de toute cette histoire.

Voilà pourquoi la troisième question reçoit partout des réponses conditionnelles. Éviter les racines négatives ne revient pas à ignorer les nombres négatifs. Cela peut simplement vouloir dire que, dans les problèmes considérés, « racine » désigne une longueur, un nombre d’objets, une somme d’argent : des choses sans envers.

L’épisode précédent expliquait pourquoi les six types d’équations devaient rester six. On peut maintenant achever la phrase : leur réunion dans une expression unique exigeait des coefficients négatifs, alors qu’une quantité munie d’un signe moins ne pouvait pas encore tenir toute seule. Les six types sont la forme de cette contrainte. Ce qu’un système refuse révèle souvent mieux ses limites que ce qu’il accepte. Ce ne sont pas six règles : ce sont les six faces d’un mur.

Une étude classique sur les solutions négatives au Moyen Âge travaille précisément sur cette distinction : connaître les règles des signes, voir apparaître des valeurs formellement négatives et admettre des solutions négatives sont trois niveaux différents. Dans les premières pratiques européennes, on retrouve la même configuration.

Le Livre de l’abaque a été rédigé une première fois en 1202, mais aucun témoin de cette version ne nous est parvenu. Le texte conservé relève de la révision de 1228. Dans certains calculs de commerce, d’association et de fausse position du treizième chapitre, des avoirs formellement inférieurs à zéro sont interprétés comme une dette, et non comme un sac d’argent négatif.

Cela s’accorde avec un trait durable des pratiques européennes ultérieures : une valeur négative peut exister d’abord grâce à l’interprétation par la dette, sans qu’il faille auparavant s’engager à reconnaître aux négatifs le même statut ontologique qu’aux positifs. C’est un arrangement fort commode. On fait porter la difficulté au sens des mots : ce n’est pas le nombre qui est négatif, c’est l’argent qui circule dans l’autre sens. Tant qu’on trouve chaque fois un envers approprié, on peut indéfiniment se dispenser de répondre à la question plus difficile.

Et dans le commerce, cet envers existe presque toujours. Devoir et posséder, entrées et sorties, profits et pertes.

Si les marchands sont à l’aise avant les mathématiciens, ce n’est donc pas qu’ils ont l’esprit plus ouvert. C’est que, dans leur métier, chaque quantité arrive déjà avec une direction.

Ce que fait ce livre, c’est donc autoriser une réinterprétation de valeurs formellement négatives dans un contexte commercial déterminé, sans accepter officiellement une classe de nombres négatifs. À ce stade, les deux premières de nos quatre conditions sont remplies, ou presque, dans les quatre espaces considérés. Les différences se concentrent sur les troisième et quatrième.

Et ce sont elles les vraies difficultés. Les deux premières demandent si l’on peut calculer. Les deux dernières demandent si ce que le calcul produit a droit au titre de nombre. Pouvoir calculer est affaire de technique ; compter comme nombre, affaire de légitimité. Dans les textes de procédures rencontrés plus haut, cette légitimité n’était pas encore mise sur la table de cette façon.

Cette répartition dément justement la ligne de partage initiale. Si l’Orient acceptait et l’Occident résistait, la différence devrait apparaître dans les deux premières conditions. Or elles sont satisfaites partout. La quatrième devient une question explicite dans certaines discussions européennes ultérieures sur les fondements ; la répartition de ces sources ne prouve pas qu’on ne la posait jamais ailleurs. Pourquoi là, particulièrement ? C’est l’objet de la section suivante. La réponse tient à un livre vieux de deux mille ans.

V. Qu’est-ce qu’un nombre ?

Au plus profond, la résistance ne vient pas d’une incompréhension du signe moins. Elle porte sur ce qu’est un nombre. Pendant deux mille ans, la première leçon de mathématiques des Européens commence ainsi : un est l’unité, et le nombre est une multitude composée d’unités.

Autrement dit, un nombre se compte. Trois, ce sont trois unités. Sept, sept unités.

La définition ouvre le livre VII des Éléments. L’épisode 3 rappelait que les postulats de cet ouvrage, posés sur le papier, avaient attiré deux mille ans de questions. Les définitions, elles, désarment facilement la méfiance : elles semblent seulement préciser le vocabulaire.

Mais une fois les mots fixés, ce qu’on pourra dire pendant les deux mille années suivantes l’est aussi. Selon cette définition, qu’est-ce que moins trois ? Trois unités de quoi a-t-on comptées ? Les longueurs, les aires et les volumes appartiennent à une autre catégorie, celle des grandeurs. Et une grandeur est une taille. Une longueur inférieure à rien n’y trouve pas davantage de place.

Ce n’est pas seulement la position d’un livre : c’est le point de départ de toute une éducation. Avant de connaître la moindre algèbre, un homme instruit a déjà appris qu’un nombre se compte. Lui demander ensuite d’accepter un nombre qui ne peut pas se compter revient à lui demander d’annuler sa première leçon. Cette résistance a un véritable noyau logique. Supposons que soustraire b à a signifie retirer b de a. Le résultat ne sera une partie de la quantité initiale que si a n’est pas inférieur à b.

Pour que a moins b reste un nombre lorsque a est inférieur à b, il faut modifier au moins une chose. Faire de la soustraction une opération formelle plutôt qu’un retrait matériel. Ou remplacer le nombre conçu comme quantité absolue par une quantité pourvue d’une direction, d’un état. Ou encore étendre le domaine des nombres afin que toute addition possède une opération inverse. Les définitions modernes ont justement suivi ces trois voies.

Le contenu de la résistance est donc très précis. On ne refuse pas un nouveau signe : on refuse, pour lui faire une place, de changer quoi que ce soit à la soustraction, au nombre ou à la grandeur. Or ces trois choses ont été apprises avant la moindre algèbre.

Et chacune sert de fondation à d’autres choses.

D’où une explication : les Éléments exerçaient sur la définition du nombre, de la grandeur et du rapport, dans les mathématiques européennes, une autorité normative exceptionnelle. Les nombres négatifs ne trouvaient aucune place dans ce cadre. Aux XVIe et XVIIe siècles, ils apparaissent en outre en compagnie d’objets encore plus inquiétants ; les deux catégories se voient ainsi facilement reléguées au second rang.

L’explication est éclairante, mais elle porte en elle un classement. Les sources permettent de dire que certaines traditions mathématiques européennes étaient davantage contraintes par une théorie des grandeurs et par des exigences d’explication des fondements. Dire que l’Europe a accepté plus tard parce qu’elle prenait la philosophie plus au sérieux que les autres, c’est déjà porter un jugement de valeur. Et les contre-exemples se trouvent en Europe même : l’algèbre des marchands, la géométrie des coordonnées et l’étude des courbes se sont souvent mises au travail sans attendre que les fondements soient réglés.

Avant que la voie ne s’ouvre, l’attaque la plus incisive vient d’un problème de proportions. Voici l’argument d’Arnauld. Selon l’algèbre formelle, le rapport de moins un à un est égal au rapport de un à moins un : les deux produits en croix valent plus un.

Mais si l’on continue à comprendre le rapport comme un rapport de grandeurs, on compare à gauche une quantité plus petite à une plus grande, et à droite une plus grande à une plus petite. Le premier rapport devrait être inférieur à un, le second supérieur à un. Comment pourraient-ils être égaux ? Ce n’est pas une réaction de surprise devant le signe moins. C’est une contradiction qui naît lorsque l’on emploie simultanément l’ancienne signification du rapport et les nouvelles règles du calcul symbolique. On fait généralement remonter cette objection à un traité de géométrie de 1667. L’essentiel, pourtant, est la réponse de Leibniz.

Il ne répond pas que le calcul formel fonctionne et qu’Arnauld a donc tort.

Il reconnaît que l’objection a du poids. Dans les discussions du début du XVIIIe siècle sur les quantités négatives et les proportions, il cherche la solution en interrogeant la prémisse elle-même. Les quantités négatives doivent-elles nécessairement entrer, comme les grandeurs positives ordinaires, dans les mêmes rapports de grandeur ? On peut les comprendre comme des états opposés, des directions, ou comme une fiction dotée d’une réelle efficacité dans le calcul. Le pas est décisif.

Il montre que la résistance est argumentée, et non simplement affective. Pour la lever, il ne suffit pas de trouver une meilleure image : il faut modifier le domaine d’application du concept même de rapport.

Cette section marque le tournant de l’essai. Jusqu’ici, nous avons vu comment on utilisait les nombres négatifs en divers lieux. À partir de maintenant, la question devient : au nom de quoi peuvent-ils compter comme nombres ?

Auparavant, le problème des négatifs pouvait sembler une affaire d’idées : certains auraient compris, d’autres non. Le problème des proportions en fait une difficulté technique. Deux ensembles de règles entrent en collision lorsqu’on les tient simultanément pour valides ; il faut abandonner une partie de l’un d’eux. Et l’intuition ne suffit pas à décider lequel.

Quant à cette affirmation fréquemment rencontrée en ligne, selon laquelle Leibniz aurait, telle année, expressément reconnu qu’Arnauld avait entièrement raison, elle va trop loin. Il a bel et bien pris le problème au sérieux. En faire une citation précise suppose de retourner à ses textes latins, à sa correspondance et aux différentes éditions, pour vérifier chaque mot.

VI. Absurdes, fictifs, faux

On ne peut pas fondre tous ces noms dépréciatifs dans une seule liste. Ils ne désignent pas toujours les mêmes objets.

Lorsque Diophante rencontre des équations qui, écrites à notre manière, conduiraient à des solutions négatives, il qualifie le résultat ou les données du problème d’absurdes, d’impossibles. Il juge absurde le résultat de ce problème. Il n’a pas d’abord construit un objet appelé nombre négatif pour ensuite le baptiser.

La distinction vaut pour toute la liste. Déclarer un résultat absurde et déclarer absurde une classe d’objets sont deux gestes très éloignés. L’un porte un jugement sur un problème ; l’autre, sur une sorte de nombres.

Dans son livre de 1544, Stifel emploie explicitement des expressions du genre « nombres absurdes » et appelle « nombres fictifs » les nombres formels situés au-dessous de zéro. C’est l’une des sources les plus pertinentes pour l’emploi de « nombres absurdes » comme terme du début de l’époque moderne. Dans l’Ars magna de 1545, Cardan traite les solutions négatives à l’aide d’expressions telles que « nombres fictifs » ou « équations fictives ».

Des recherches récentes insistent sur un point : aux XVIe et XVIIe siècles, « fictif » ne signifie pas « dépourvu de sens ». Un objet fictif peut entrer dans un calcul et produire des résultats corrects sans posséder d’interprétation quantitative directe. Le qualifier ainsi ne revient donc pas à l’expulser. C’est lui attribuer un statut qui lui permet de rester. Dans l’épisode suivant, ce statut servira de nouveau, et de façon plus décisive encore.

On garde d’abord dans la maison, sous le titre de fiction, quelque chose avec quoi l’on sait calculer sans savoir l’expliquer. Quand l’explication arrive, on change le titre. Le procédé se répétera pendant les deux siècles suivants. Les « fausses racines » de Descartes, en 1637, désignent principalement ce que nous appelons les racines négatives. Ses « racines imaginaires », en revanche, concernent les racines non réelles. Traiter faux, fictif, imaginaire et impossible comme autant de synonymes du négatif, c’est mélanger cette histoire avec celle de l’épisode suivant.

Le livre de Wallis de 1685 offre un magnifique texte de transition. D’un côté, il dit encore que, pris à la lettre, le signe algébrique semble désigner moins que rien. De l’autre, il précise aussitôt que, correctement comprises, les quantités négatives ne sont ni inutiles ni absurdes.

Son explication physique est la suivante : si plus trois signifie avancer de trois yards, moins trois signifie reculer de trois yards. Le livre contient aussi une droite qui se prolonge des deux côtés. On la considère souvent comme l’un des premiers exemples explicites d’une droite numérique complète.

Pourtant, le même homme, dans le même ouvrage, conserve un raisonnement qui nous paraît aujourd’hui fort étrange.

Selon l’ancienne intuition des fractions, quand un dénominateur positif diminue vers zéro, le quotient grandit et tend vers l’infini au voisinage de zéro. Si le dénominateur franchit ensuite zéro et devient négatif, le résultat prend formellement une valeur négative.

Wallis a donc un temps imaginé les valeurs négatives comme une sorte de région située au-delà de l’infini. Cela ne tient évidemment pas dans l’ordre moderne des nombres réels. Moins un est inférieur à zéro ; il n’est pas supérieur à l’infini.

Historiquement, ce passage est pourtant précieux. L’homme qui dispose déjà de l’explication par une droite orientée essaie encore de faire entrer les nombres négatifs dans l’ancienne représentation continue des rapports et des grandeurs.

L’acceptation n’a jamais des contours bien nets. Wallis défend les nombres négatifs tout en conservant une interprétation incompatible avec la structure d’ordre moderne. Partager les personnages en partisans et adversaires fait perdre la partie la plus intéressante de l’histoire.

Presque tous les personnages de cet essai se tiennent des deux côtés à la fois. Stifel peut parler d’absurdité et calculer quand même. Cardan peut parler de fiction et intégrer ces objets à ses techniques de résolution. Descartes dit « fausses racines », mais sait transformer les fausses en vraies. Newton ne donne pas de démonstration structurelle de la règle qui fait d’un produit de deux négatifs un positif, mais trace déjà librement des courbes dans les quatre quadrants. Refus dans la théorie, usage sans encombre dans la pratique. Ce n’est pas une contradiction : c’est le fil conducteur de toute cette histoire.

Le manuel d’algèbre d’Euler, rédigé au milieu du XVIIIe siècle, paraît vers 1770. Il explique le positif et le négatif par les biens et les dettes, les gains et les pertes. Il dit sans détour que les nombres positifs sont au-dessus de zéro et les négatifs au-dessous, et utilise les règles des signes comme des règles élémentaires de l’algèbre. Dans la pratique du calcul, il n’a pas les fortes réticences d’un Stifel ou d’un De Morgan.

Il laisse néanmoins coexister plusieurs explications. Le signe moins désigne tantôt une opération de soustraction, tantôt une propriété d’une quantité, tantôt encore une direction opposée ou une dette. Parler de « moins que rien » suggère par ailleurs que le nombre reste compris comme une grandeur absolue. Euler ne réunit pas ces sens dans une structure abstraite, comme on le fera dans la seconde moitié du XIXe siècle. Une formule résume bien le phénomène : l’extension des opérations peut réussir avant que l’on sache expliquer rigoureusement ce que sont les nouveaux objets.

Il ne s’agit donc pas d’une incapacité à comprendre correctement les nombres négatifs. Sa pratique algébrique est déjà beaucoup plus moderne, tandis que sa conception de ce qu’est un nombre conserve les couches successives de l’ancienne notion de grandeur, accumulées depuis les débuts de l’époque moderne.

Revenons à De Morgan. Son évolution est nette, et elle se fait par étapes. Lorsqu’il commente Peacock en 1835, l’algèbre symbolique lui semble d’abord peuplée de signes ensorcelés, errant à la recherche d’un sens. Mais les idées de Peacock le font progressivement changer.

En 1840, lorsqu’il rédige pour une encyclopédie l’article sur les quantités négatives et impossibles, il distingue déjà clairement trois étapes : poser les symboles ; poser les lois auxquelles ils obéissent ; tirer de ces lois des conséquences. Son article de 1842 sur les fondements de l’algèbre avance encore vers l’axiomatisation. Des signes ensorcelés à la détermination des symboles puis de leurs lois, cinq années ont passé.

Il n’ira pourtant pas jusqu’à dire que le sens n’a aucune importance. Toute sa vie, il espérera que les systèmes formels finissent par recevoir une interprétation. La réussite des calculs peut justifier que l’on conserve provisoirement des symboles inexpliqués ; il pense cependant que l’histoire leur trouvera un sens plus large.

VII. D’abord, que le calcul fonctionne

Un même schéma traverse cet essai et plusieurs civilisations. Al-Samawʾal peut calculer durablement avec des termes négatifs dans les polynômes, alors que sa tradition ne reconnaît généralement pas encore les quantités négatives comme racines. Le champ des opérations dépasse le domaine des objets admis comme solutions. Cardan qualifie les solutions négatives de fictives, sans cesser pour autant de calculer avec elles. Le mot « fictif » est justement une manière d’autoriser un objet utile à entrer d’abord dans le calcul.

Newton, de son côté, ne fournit pas de démonstration structurelle moderne du fait que négatif multiplié par négatif donne positif, mais emploie déjà librement les quatre quadrants et les racines positives et négatives pour étudier les courbes. Le témoignage le plus frappant vient de De Morgan lui-même. Revenant sur l’histoire de l’algèbre, il décrit une situation que l’on peut résumer ainsi : la capacité de produire des résultats avait pris de l’avance sur celle de les expliquer. Il estime même que, si des calculs encore inexpliqués donnent à plusieurs reprises des résultats corrects, il y a de bonnes raisons de les conserver d’abord, puis de chercher une explication plus générale.

Utiliser avant de comprendre n’est donc pas une histoire inventée par les modernes pour défendre leurs prédécesseurs. C’est une régularité historique que des mathématiciens du XIXe siècle avaient eux-mêmes reconnue. Nous l’avons déjà rencontrée deux fois dans cette série, chaque fois énoncée par les intéressés.

Dans l’épisode 4, l’un disait qu’un procédé mécanique lui permettait de trouver la réponse, mais ne constituait pas une preuve : il fallait donc encore démontrer. Dans l’épisode 5, l’autre disait ne pas encore disposer d’une justification qui le convainque lui-même et préférait laisser ce point en suspens. Cette fois, celui qui parle vient plus tard. Et il ne décrit pas son propre cas, mais une habitude de toute la discipline.

L’observation est moins banale qu’elle n’en a l’air. De l’intérieur d’une discipline, on discerne rarement les gestes qu’elle répète. Il faut en général attendre longtemps, laisser le geste se reproduire plusieurs fois, avant que quelqu’un le reconnaisse. Lui le reconnaît alors qu’il est en train de le reproduire à son tour. Et cette découverte ne lui fait pas relâcher ses exigences. Ce qu’on ne sait pas encore expliquer devra l’être un jour, pense-t-il ; seulement, ce jour n’a pas besoin d’être aujourd’hui.

La position est singulière : admettre que son métier agit souvent avant de rendre des comptes, tout en exigeant que les comptes soient bel et bien rendus, tôt ou tard.

Trois hommes, trois siècles distincts, trois langues. Trois versions de la même affaire : je sais le calculer, mais je ne le tiens pas pour établi ; je n’ai même pas d’algorithme, donc je ne l’écris pas ; notre discipline sait souvent calculer ce qu’elle ne sait pas expliquer. Au moment où De Morgan le dit, il a précisément entre les mains un objet auquel on est en train de faire place. Qu’est-ce qui lui donnera finalement droit de cité ? Trois voies se dessinent.

La première est la formalisation. Dans son livre de 1830, Peacock propose de libérer l’algèbre de l’arithmétique universelle. Il distingue l’algèbre arithmétique, où les lettres désignent encore les nombres positifs ordinaires, et l’algèbre symbolique, qui étudie d’abord les symboles et les lois de leurs opérations.

Son célèbre principe sera souvent résumé par la permanence des formes : des formes équivalentes, obtenues en algèbre arithmétique par des opérations licites, doivent rester équivalentes lorsque le sens des symboles est étendu, pourvu que les lois opératoires prescrites soient maintenues.

Le changement décisif ne consiste pas à découvrir enfin que moins trois serait une mystérieuse quantité bien réelle. Il consiste à ne plus exiger d’une expression qu’elle représente d’abord une quantité positive pour avoir le droit d’entrer dans une algèbre légitime. Il faut lire cette phrase lentement. Ce qu’elle supprime n’est pas une conclusion : c’est une condition d’entrée.

Avant, tout symbole devait montrer ses papiers à la porte de l’algèbre : quelle quantité positive représentez-vous ? Désormais, il lui suffit d’obéir aux lois fixées. Son identité pourra être précisée plus tard, ou ne jamais l’être. Les nombres négatifs, comme les objets de l’épisode suivant, obtiennent ainsi une place de droit.

Le livre de Hankel de 1867 ramène cette démarche à un principe général : introduire des objets nouveaux ne demande pas de ramener chaque nouveau nombre aux anciennes grandeurs ; il faut que le système élargi conserve les lois algébriques appropriées.

La deuxième voie est géométrique.

L’erreur la plus tentante serait d’écrire : Descartes invente les coordonnées, et les nombres négatifs trouvent ainsi leur explication sur une droite numérique. Sa géométrie analytique de 1637 a certes considérablement élargi les liens entre symboles et courbes. Mais lui-même parle encore de fausses racines pour les racines négatives. L’existence des techniques de coordonnées n’a donc pas automatiquement réglé le statut ontologique des nombres négatifs.

Les exemples les plus directs sont les mouvements en avant et en arrière, ainsi que la droite à deux directions, chez Wallis. Au début de son livre d’arithmétique, Newton distingue lui aussi des quantités affirmatives et négatives. Il explique les signes par les biens et les dettes, la marche en avant et le recul, ou une ligne tracée dans la direction opposée. Dans son étude des courbes cubiques publiée en 1704, il utilise déjà largement des courbes déployées dans différentes directions et régions du plan.

Au début du XIXe siècle, plusieurs auteurs développent encore les segments orientés et les représentations géométriques. Le négatif peut alors se comprendre comme la direction opposée sur un même axe, plutôt que comme une longueur inférieure à zéro.

Quel problème cette voie résout-elle ? La difficulté intuitive de savoir comment moins trois pieds pourrait être une longueur. Les trois pieds restent une longueur ; le signe moins enregistre la direction.

Elle ne résout pas tout. Une dette, une température ou la racine d’une équation abstraite ne sont pas littéralement des segments de droite. Et un simple dessin de droite orientée ne suffit pas à démontrer l’ensemble des lois algébriques.

L’explication géométrique elle-même peut d’ailleurs traîner de vieux bagages. On l’a vu : l’homme qui donne la droite à deux directions croit encore que les nombres négatifs occupent une région située au-delà de l’infini. Un dessin peut faire comprendre la direction sans faire comprendre l’ordre. La droite numérique est un puissant modèle explicatif ; elle n’est pas la construction logique des entiers modernes.

La troisième voie est la réussite des opérations elles-mêmes, déjà évoquée. Voici comment pondérer les trois.

Si la question est de savoir comment les nombres négatifs ont obtenu un droit inconditionnel à l’algèbre, la formalisation pèse le plus lourd. La percée de Peacock consiste précisément à supprimer cette barrière : tout symbole légitime devait auparavant recevoir une interprétation en quantité arithmétique ordinaire.

Si la question est de savoir pourquoi les mathématiciens ordinaires et les élèves ont fini par ne plus trouver les négatifs étranges, on ne peut reléguer la géométrie et les applications au rôle de figurantes. Directions, dettes et coordonnées fournissent des significations que l’on peut réutiliser sans cesse. Elles empêchent le système formel de se réduire aux signes ensorcelés dont se moquait De Morgan.

Certains ont explicitement contesté le récit d’une victoire automatique du formalisme sur l’intuitionnisme. Ce qui se poursuit longtemps au XIXe siècle est une négociation entre généralisation, rigueur et intelligibilité intuitive.

Négociation est le mot juste. Trois exigences tirent chacune de leur côté : élargir la portée des règles, assurer chaque étape du raisonnement, rendre le tout compréhensible. Pousser l’une à l’extrême, c’est malmener les deux autres.

L’épisode 3 montrait déjà un certain dosage de ces trois exigences. En chassant la figure hors de la démonstration, on gagnait l’indépendance à l’égard de l’œil. Le prix en était la lisibilité.

L’échange porte cette fois sur autre chose : on renonce à exiger que les symboles aient d’abord une interprétation en grandeurs, et l’on obtient en retour la légitimité des négatifs, puis de bien d’autres objets. Un nombre n’a plus besoin de renvoyer préalablement à une quantité concrète déterminée pour participer aux opérations prescrites ; il peut toujours recevoir plusieurs interprétations concrètes. Les deux échanges vont dans le même sens : lâcher quelque chose de visible pour gagner une règle qui porte plus loin.

Démontée pièce à pièce, chacune des controverses de cet essai est un changement de dosage entre ces trois exigences.

VIII. Les blessures dans les noms

Tous ces noms portent la trace de leur origine.

Dans la tradition latine, l’adjectif qui donne « négatif » vient d’un mot signifiant nier, refuser, dire non. Ce n’était pas, à l’origine, un nom neutre inventé spécialement pour les entiers modernes. L’algèbre des temps modernes l’a repris pour parler de nombres négatifs et de quantités négatives ; il est ensuite entré dans les langues européennes. Le terme opposé vient, lui, du côté de poser, établir, affirmer. Un autre mot courant de l’anglais, minus, est plus direct encore : il vient du latin signifiant moins, en moindre quantité. Cette histoire des mots conserve la trace d’une époque où l’on comprenait le négatif comme soustraction, manque ou négation, et non comme une classe d’objets se suffisant à eux-mêmes.

L’Europe n’a rien d’unique à cet égard. Le mot sanskrit signifiait d’abord dette, par opposition aux biens. Le mot arabe signifiait diminution ou manque, par opposition à l’augmentation. Ces termes techniques sont entrés en mathématiques par les relations, les gains et les pertes, les déficits et les excédents.

Nulle part on n’est parti du nom neutre d’une catégorie. Dans toutes ces langues, les objets ont donc été désignés d’abord par ce qui leur manquait, et non par ce qu’ils étaient.

Les blessures dans les noms ne sont donc pas qu’une image. Bien des langues n’ont pas nommé les négatifs à partir d’une catégorie neutre d’entiers, mais à partir de la perte, du manque, de la dette, du refus, de la soustraction, de la direction inverse. Les objets ont ensuite obtenu un statut formel égal aux autres ; leurs vieux noms sont restés. Dans l’épisode suivant, cela sautera encore davantage aux yeux. Le nom de ces autres objets dit toujours, aujourd’hui, qu’ils ont été imaginés. Le chinois participe lui aussi de cette histoire, mais réserve une surprise.

Pour comprendre le sens du caractère 负, fù, dans les Neuf Chapitres, le témoignage le plus sûr n’est pas un récit étymologique moderne. C’est l’explication de Liu Hui lui-même : les deux sortes de baguettes s’opposent comme gain et perte ; il faut donc les nommer positive et négative.

Dans le contexte mathématique, fù se situe donc du côté de la perte, en opposition à zhèng, 正, le positif. En chinois ancien, 负 possède aussi des sens voisins : porter une charge, avoir une dette, être en déficit, subir une défaite. Il est difficile de reconstituer, à partir des seuls textes transmis, lequel de ces sens a directement produit le terme mathématique. Le traduire tout simplement par « dette » reviendrait, de son côté, à indianiser les sources chinoises. La surprise se trouve à la fin des Qing : zhèng et fù ne sont pas de nouveaux termes forgés à la hâte au XIXe siècle pour traduire l’algèbre occidentale.

La Chine disposait déjà de termes mathématiques classiques, vieux de plus d’un millénaire, qu’elle pouvait réemployer. Li Shanlan et les textes mathématiques modernes de son entourage continuent tout naturellement à parler de nombres positifs, de nombres négatifs et de nombres des deux signes. Certains textes énoncent même directement que positif multiplié par positif donne positif, et que négatif multiplié par négatif donne également positif.

Il s’agit donc plutôt de réinstaller d’anciens termes dans une algèbre de type occidental que de traduire en partant de rien. L’épisode précédent montrait les origines différentes des mots chinois pour algorithme, zéro, sinus et algèbre : vieux mots autochtones, traductions du Bureau du calendrier à la fin des Ming, créations de la fin des Qing. Positif et négatif appartiennent à la première catégorie, et en sont même les représentants les plus anciens.

Un mot vit en chinois pendant plus de mille ans, traverse plusieurs mathématiques, puis sert à traduire un concept arrivé par une tout autre route. Et l’ajustement se fait sans heurt.

D’une disposition dans un tableau de baguettes à un coefficient de polynôme, puis à un objet dont le XIXe siècle doit justifier le droit d’exister, le caractère est là du début à la fin. Son sens ne cesse de bouger ; son tracé, jamais. L’ajustement est si naturel qu’aujourd’hui personne n’y voit un terme traduit.

L’histoire ressemble à celle du mot « algorithme » dans l’épisode précédent. Deux systèmes suivent chacun leur chemin. Un jour, quelqu’un les raccorde avec un même mot, qui possède lui-même sa propre histoire.

Y a-t-il eu d’autres traductions concurrentes, finalement éliminées ? À ce jour, je ne trouve pas de sources fiables. Ni termes candidats, ni dates de première occurrence, ni histoire de leur élimination. L’origine du terme pédagogique chinois moderne 相反数, « nombre opposé », reste elle aussi introuvable. Je préfère laisser ces deux cases vides.

Une case vide vaut mieux qu’une généalogie complétée pour faire joli. Si l’histoire d’un terme traduit demeure introuvable et qu’on l’écrit ainsi, le suivant peut reprendre la recherche. Si l’on écrit qu’Untel a fixé le terme telle année, le suivant ne cherche plus.

Reposons maintenant nos quatre questions.

Premièrement : des termes négatifs peuvent-ils apparaître dans un algorithme ? En Chine, oui dès les Neuf Chapitres. En Inde et dans le monde de langue arabe, oui depuis longtemps aussi. En Europe, on les utilise sans s’en priver dès le XVe siècle.

Deuxièmement : existe-t-il des règles des signes fiables ? Elles sont complètes en Inde au VIIe siècle, explicites dans le monde de langue arabe au XIIe ; l’Europe suit.

Troisièmement : une valeur négative peut-elle être la réponse finale ? Partout, cela reste conditionnel. La condition est que la quantité possède une direction. Pour les dettes, oui. Pour les singes, non.

Quatrièmement : les nombres négatifs sont-ils des nombres à égalité de droits avec les positifs ? Dans les controverses européennes modernes considérées ici, la question fait l’objet de développements explicites et prolongés. Cela n’autorise pas à exclure des réflexions analogues dans les autres traditions. La réponse ne consiste pas non plus à découvrir quelle chose est, au juste, moins trois. Elle consiste à supprimer la prémisse de la question : un symbole n’a pas besoin d’être d’abord interprété comme une quantité pour avoir droit aux opérations.

De Morgan lui-même a le mieux formulé ce schéma. Les mathématiques fabriquent d’abord des choses avec lesquelles le calcul fonctionne sans qu’on sache les expliquer, puis reviennent élargir leurs définitions pour les laisser entrer. Lorsqu’il le dit, il a entre les mains un objet tout juste admis et un autre qui ne l’est pas encore. Le second porte un nom plus ingrat encore que celui des nombres négatifs. Ce nom dit tout bonnement qu’il a été imaginé, et il n’a toujours pas changé.

Sa manière d’entrer en mathématiques diffère aussi de celle des négatifs. Eux ont grandi dans les dettes et les directions. Lui a été arraché au calcul là où personne ne le voulait. Les négatifs disposaient au moins d’un envers tout prêt à désigner. Cette autre classe d’objets ne désignait rien ; sans elle, pourtant, impossible d’obtenir la réponse par cette voie des radicaux.

Les calculs se poursuivent. Mais ce qui compte comme mathématiques n’a jamais été définitivement réglé.

Sources et lectures complémentaires

Les documents ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans cet essai. Les notices de collections, la littérature ancienne et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• De Morgan, De l’étude des mathématiques et de ses difficultés (1831)
• Mathematical Association of America : présentation de l’ouvrage original de De Morgan
• Université de St Andrews : Brahmagupta
• L’histoire problématique de l’algèbre britannique au XIXe siècle
• Sur le passé d’un objet mathématique
• Hankel : traduction de l’ouvrage de 1867 sur le système des nombres complexes

Non Dubito · Han Qin (秦汉)