不条理な数

一　ありえない問題

こんな問題がある。

父は五十六歳、息子は二十九歳。あと何年たてば、父の年齢は息子の二倍になるだろうか。

式を立てて計算すると、答えはマイナス二になる。

1831年、あるイギリスの数学者が、数学の学び方を説く本でこの問題を取り上げた。彼は、この結果は不条理であり、問題の尋ね方が狭すぎるのがいけない、としたうえで、問いを書き換える。負号が教えているのは、その出来事が二年後ではなく二年前に起きたということだ。尋ね方を変えれば、二はごく普通の正の数になる。この数学者がド・モルガンである。当時の彼にとって、単独の負量は算術の枠内では理解できないものだった。この問題のすぐ前でも、実在という意味では負のものも虚のものと同じく想像上のものであり、無から数を引くことは、負数の平方根と同じように思い描けない、と書いている。

しかも、すでに1830年代である。イギリスには鉄道があり、蒸気動力の印刷機があり、労働者や中産階級の読者に向けた安価な百科事典があった。ド・モルガン自身、その一つに寄稿していた。ブラーマグプタが正負の符号法則を一通り書き記した628年から、千二百年。『九章算術』の正負術からなら、もっと長い。この隔たりを見ると、鮮やかな境界線が引けそうに思える。東洋はとっくに受け入れ、西洋は千年も抵抗した、と。

一般向けの数学史では、ほとんどお決まりの説明だ。いかにも収まりがいい。一方は賢く、もう一方は頑固。しかも時間差が大きいから、記憶に残る。

この回で誰かの汚名をそそごうというのではない。その時間差を分解して、いったい何を測っているのかを確かめたい。分けてみると、測られているのは理解力ではなく、それぞれの土地で人々がどの問いに答えていたかだとわかる。そのためには、この説明を形づくるほぼすべての言葉を、いったんほどく必要がある。

まず、見落とされやすい事実から。ド・モルガンは同じくだりで、マイナス二をじつに正確に使っている。負号が時間の向きの逆転を示すと理解し、それを手がかりに問いを正した。負数を認めなかったという人物が、たったいま負号を使って問題の聞き方を直したのである。そこで、いちばん大事な言葉をほどこう。「受け入れる」だ。負数を受け入れるとは、一つのことではない。少なくとも四つある。

第一に、計算の途中に負の項が現れてよいか。第二に、負の項を安定して計算できるか、信頼できる符号法則があるか。第三に、ある種の問題で、負の値を最終的な答えとして残せるか。第四に、負数を正数と対等な資格を持つ数の一群として認められるか。この四つは、中国でもインドでも、アラビア語の数学でもヨーロッパでも、同時には起きていない。起きた順序も同じではない。

第一の意味で「受け入れた」と言っておきながら、別の伝統を第四の物差しで測れば、見せかけの対照が出来上がる。

ド・モルガンは負号を使えなかったのではない。使いこなしていたし、あの問題で負号が何を意味するのかもわかっていた。彼が拒んでいたのは、第四のことだった。

ここからたどるのは、この四つ、それぞれの年表である。たどり終えれば、どの土地もいくつかの点では早く、別の点では遅く、その早さと遅さの組み合わせも土地ごとに違うとわかるだろう。一本の境界線が、互いにずれた四枚の年表に変わる。

そのずれ方も、でたらめではない。第一と第二は、ほぼどこでも早い。第三には、どこでも条件がつく。第四は、ここで扱う近代ヨーロッパの史料にとりわけ明確に現れる。ただし、それを理由に、ほかの伝統では関連する問いが一度も立てられなかった、と断言することはできない。違いは、誰が賢かったかではなく、誰が何を問うたかにある。この回で言いたいことは、それに尽きる。あとは四枚の年表を、一枚ずつ広げていくだけだ。

二　得失は相反する

『九章算術』は、第八章「方程」で正負術を導入する。

そこで扱うのは、算木を並べた陣で列から列を引くと現れる、二つの相反する状態である。規則の中心は、同じ名のものと異なる名のものをどう減らし、どう加えるか、そして、何もないところから正を引けば負を置き、負を引けば正を置く、ということにある。決定的なのは、三世紀に劉徽が付した注だ。二種類の算木は得と失が相反するので、正と負と名づける必要がある、と彼は説明する。得ることと失うことが逆だから、正と負という名を与えるのだ。色にも触れている。正の算木は赤、負の算木は黒。色を使わない場合は、算木を置く向きで区別する。

ここでは少し立ち止まりたい。算木の陣で相反する二種類の量を見分けるいちばん手っ取り早い方法は、新しい記号を発明することではない。色を変えるか、置き方を変えることだった。

第五回でも述べたように、赤い算木と黒い算木の記述は文献に受け継がれている。しかし漢代の計算で、そのたびに必ず二色の算木が使われたと証明するだけの実物資料はない。確かに言えるのは、区別が算木そのものの状態によってなされ、横に添える記号によってなされたのではない、ということだ。

ここで正と負は、まず、計算の中で得失が相反する二種類の算木につけられた名なのである。

原史料から強く裏づけられるのは、負の算木が方程の消去の手順に安定して組み込まれていたこと、何もないところから正の算木を引くことで生じうること、そして加減の規則があったことだ。一方、著者がマイナス三を、算木の陣からも問題の文脈からも離れて独立に存在する抽象的な数と捉えていた、という点の裏づけは、それほど強くない。

もう少し具体的に言おう。算木の陣における負とは、ある区画の算木が別の状態で置かれているということだ。そこには位置があり、隣り合う項があり、その消去の段階で果たす役目がある。その区画から取り出して、これだけなら何なのかと問うことについては、これらの術を記す文章は、その先を語っていない。本文のこの箇所には、正負の乗除を網羅する体系は示されていない。負の値の第一の役目は、方程の手続きに登場する符号つきの項だった。

言い換えれば、それは名詞ではなく、動詞が生んだものだ。引くという動作が終わると、ある区画に一つの状態が残る。その状態に、名が要る。名がつけば、以後のすべての手順に加わり、計算の終わりまで使える。だが、計算が終われば姿を消す。最終的な答えには、その状態は持ち越されないからだ。

だから、『九章』の負は一度きりの誤りや不足にすぎない、と言うのでは足りない。すでに現代の整数のような独立した対象だった、と言うのでは行きすぎる。

第五回では、算木による計算が実際にどんな姿をしていたかを扱った。これらの言葉は、算木の配列や位置、変換の関係から理解しなくてはならない。現代の行列や符号つきの数を、そのまま過去へ流し込んではいけない。

宋・元代になると、用途の広がりが見えてくる。秦九韶らの開方の手順では、より高次の多項式の係数配列にも正負の状態が使われた。現代の復元では、最高次の項や定数項が負である多項式さえ、算木の手順によって計算され続ける様子を確かめられる。十三世紀の楊輝は方程の伝統を整理し直し、説明を加えた。朱世傑の天元術・四元術に至ると、正負の係数はすでに多項式計算の一部である。負の項は、線形の消去で現れる局所的な状態から、もっと広い係数の計算へと入っていった。

先ほどの四つに照らせば、第一は早くから成り立ち、第二は方程の範囲内で成り立っていた。第三は、どんな量かによる。これらの術を記す文章は第四の問いを明示的には展開していないが、それは当時、誰も考えなかったという意味ではない。

第五回でも、同じ種類の慎重さが必要だった。あちらで避けるべきだったのは、計算法の伝統を一つの文明の性格に仕立てること。この回で避けるべきなのは、一つの点で早かったことを、四つとも早かったことにしてしまうことだ。

どちらの誤りも、仕組みは同じである。一方の伝統からいちばん強い面を選び、もう一方からいちばん弱い面を選んで、二つを並べる。

本にその問いが出てこないことと、当時、誰も考えなかったことは、別の話である。現代の「整数とは何か」という問いは、別の関心から育った。その関心が登場するのは、この回の後半である。しかもその出どころは、かなり具体的に指し示せる。

この違いは、この先も繰り返し使う。ある伝統がある問いに答えていないのは、答えが出せなかったからかもしれないし、そこでその問いがそもそも問いにならなかったからかもしれない。この二つは、歴史的な意味がまるで違う。

三　財産と負債

ブラーマグプタの著作は628年に書かれた。第十八章には、符号を伴う算術がきわめて明瞭な形で示されている。

サンスクリットの専門語には、日常の意味がそのまま息づいている。正の側を表すのは、財産、富、所得という言葉。負の側は、負債や借り。そして零には、空を意味する語が使われる。ここでの財産と負債は、後世の人が教えやすくするために足した比喩ではない。専門語そのものに入り込んでいる。およそ第三十頌から第三十五頌の内容を縮めると、こうなる。

財産どうしを足せば財産、負債どうしを足せば負債。財産と負債なら差を取り、等しければ零とする。正にも負にも零を足しても、符号はもとのまま。負から正を引くとき、また正から負を引くときは、量を足し合わせる。正と負の積は負、負と負の積は正。零に正や負を掛けても零である。符号法則として見れば、すでにきわめて安定した体系だ。あの四つのうち第二のことは、七世紀のインドで完成していた。

しかも、特定の種類の問題を解くために、その場で用意された規則ではない。一般的な規則として、一条ずつ、表のように並べられている。

表にするということ自体に重みがある。一つの問題の解き方に書き込まれた規則は、その問題の一部分にとどまる。規則がまとめて一覧になれば、ほかから参照できるものになる。七世紀にすでにその一覧があった。この事実は覚えておいてよい。ヨーロッパに同じほど明確な一覧が現れるのは、ずっと後のことだからだ。

ただし零をめぐる箇所を見ると、この話を勝利の歴史に仕立てるわけにはいかなくなる。

彼は、ある数に零を足すこと、零を引くこと、零を掛けることを正しく扱っていた。けれども、零を零で割った値は零と定めた。零でない数を零で割る場合には、分母を零にした式が残るだけで、現代の意味できちんと定義された商は得られていない。

うっかりしたのではない。零で割ることは、ある値に等しいのではなく、そもそも行ってはいけない、と明確に判定されるまでに長い時間がかかった。彼にとっては、そこもまだ規則を与えてよい場所だった。この一点からも、零と負数が別々の問題だとわかる。符号法則は七世紀に完成していても、同じ人が扱う零の算術的性質には、穴が残っていた。「インド人が零と負数を発明した」と一まとめにすれば、熟し具合の違う二つの仕事を一つに押しつぶしてしまう。

だから、零に初めて算術の規則を与えた、とは言える。現代の零について、完全な代数理論をすでに築いた、とは言えない。そして、さらに大切なのは、五百年後に書かれた一言である。

バースカラ二世の『代数学』は、1150年ごろの著作だ。第二の根が現れるある問題のあとで、彼は、この第二の値は問題の意味に合わないので採らない、と述べる。コールブルックに由来する訳で、肝心なのはその結びだ。人々は「負の絶対数」を認めない、とある。

後の二次文献では、しばしば「人々は負の根を認めない」と簡略化される。大意は外れていない。しかし「負の根」よりも「負の絶対数」という言い方を残す価値がある。争点は、負号を含む計算をすべて否定することではなく、本来は絶対的な数量を表すはずの未知量に、負の値を与えることだった可能性が見えるからだ。この一文を逆手に取って、インドは実は負数を受け入れていなかった、と証明することはできない。同じ伝統は、負債も逆向きも、正負の符号法則も、すでに使いこなしていた。

五百年を隔てた二人の著者。一人は符号法則を一通り書き、もう一人は特定の負の根を退けた。二つの行為は矛盾せず、しかも同じ伝統の内部で起きている。

前者だけを取り出せば、インドは早くから完全に受け入れていた、という話になる。後者だけなら、インドも受け入れていなかった、という話になる。どちらも、四つのことを一つにしてしまっている。ここからわかるのは、別のことだ。計算の対象として負量であることと、ある具体的な未知量の答えとして認められることとは、別々の資格なのである。

インドについて、最も確実に言えるのはこういうことだ。算術や代数の計算過程では、負量はそのまま存在し続けてよい。財産と負債、東と西、増加と減少のように、量の意味がもともと対になっていれば、負号には実際の解釈を与えられる。一方、未知量が人数や長さ、物の個数など、負の値を取りえないものを表すなら、負の根は問題の意味に合わないとして退けられることがある。今の教科書でも、呼び方を変えて同じことをしている。二つの根が出たら、一つを捨てる。長さは負になれないからだ。

違うのは、今の生徒なら、捨てたほうも数ではあって、ただこの問題には合わないだけだと知っていることだ。当時の人に、その考えは必要なかった。それはもともと数の仲間に入っていなかったからである。同じ操作が、1150年には「人々は何を認めないか」という一文で記され、今は「不適なので除く」の一言で記される。

第一と第二は成り立つ。第三は量の種類しだいだ。負債の残高なら、最後まで負の意味を持たせられる。サルがマイナス五匹、ではそうはいかない。

常識のように見える違いだが、これこそ第三のことのすべてである。負の値を答えとして残せるかは、その量に自然な反対側があるかどうかにかかっている。反対側があれば、負号は向きを示す。なければ、負号は問題のどこかがおかしいことを示す。

冒頭の父子の年齢の問題は、ちょうどその間にある。時間には逆向きがあるので、マイナス二は読み取れる。だが、もとの問いは「あと何年」と尋ねていた。「あと」には、反対側がない。

そこであの数学者は、負号の伝えてきた情報を残し、問いの立て方を変えた。

じつに巧みな処置である。負号に意味がないとは言わない。マイナス二が数であるとも言わない。こう言うのだ。この記号は、あなたが尋ねる向きを間違えたと教えている。

四　不足と余剰

前回扱った九世紀の『代数学』には、六種類の方程式があった。数、根、平方の係数は、すべて正の量に保たれている。一本の式にまとめる書き方を知らなかったからではない。数も根も平方も正の量だという当時の理解に、合っていたのである。

あの本について、ここでも役立つ細部がもう一つある。今日のような代数の記号はまだなく、何をどう計算するかは、主に言葉で語っていた。言葉で書かれた量は、自由に符号を取り替えてよい対象には、なおさらなりにくい。文として書かれたものには、それが何であるかという意味が、最初からついて回る。

とはいえ、その後のアラビア語の代数学は、「負数を拒んだ」の一言では済まない。カラジーの多項式計算では、差し引かれる項も代数操作に加われた。十二世紀のサマウアルになると、符号法則がはっきりと語られる。負の側は不足、損失、減少。正の側は増加、余剰と呼ばれる。負に正を掛ければ負、負に負を掛ければ正になると、彼は知っていた。空いた位置から正の項を引けば負の項が残り、負の項を引けば正の項が残ることも知っていた。

つまり、多項式の構造の一部としての負の係数は、避けられていなかった。

ここでの言葉づかいが面白い。不足と余剰、損失と増加。これらの対が指すのは、数ではなく状態だ。ある項が、欠けている側にあるのか、余っている側にあるのか。

状態によって名づけることからは、これらの文献が関係に基づく解釈を与えていたとわかる。ただし、名づけ方だけをもって、独立した対象とは見なせなかったと証明することはできない。第二節で見た劉徽の「得失が相反する」も、同じ名づけ方である。数千キロと九百年を隔てて、同じことが起きている。どちらもまず一対の逆の状況があり、そこから名前を取った。先に「負」というものを作り、後から何を表せるか探した人はいない。ではなぜ、根は依然として正であるのが普通だったのか。

根、数、量といったものは、まだ測ることのできる正の量の範囲に属していたからだ。一方、負の項は、引く項、不足を表す項、あるいは反対側と打ち消し合う項として理解されることが多かった。全面的な禁止令があったのではない。問題の意味と、代数で扱う対象の範囲とが違っていた。この点は、この歴史全体を理解するうえで重要である。

第三のことにどこでも条件がつくのは、まさにこのためだ。負の根を避けることは、負数がわからないことと同じではない。その一群の問題では「根」が長さや個数、ある金額を指し、それらには反対側がない、というだけかもしれない。

前回、六種類の方程式をなぜ六種類に分ける必要があったのかを見た。今なら、その説明を最後まで言える。一つの式にまとめるには、係数が負号を帯びることを認めなくてはならない。だが当時、負号をつけた量は、それだけで自立できるものではなかった。六種類という形は、その制約の形なのだ。ある体系が何を受け入れたかよりも、何を拒んだかのほうが、その境界をよく示すことがある。あの六種類は、六つの規則ではない。一枚の壁が持つ六つの面なのである。

中世の負の解を扱った古典的な研究の一つも、まさにこの区別をしている。符号法則を知ること、形式上の負の値が現れること、負の解を認めることは、三つの段階だ。初期のヨーロッパにも、同じ形が見られる。

『算盤の書』が最初に書かれたのは1202年だが、その版は伝わっていない。現存する本文は、1228年の改訂に連なるものである。第十三章の商業、共同出資、仮定法による計算などでは、資産が形式上は零より小さくなると、その結果を借金と読み替える。袋に入ったマイナスの金、とするのではない。

これは、その後のヨーロッパの実務に長く見られた特徴によく合う。負の値はまず負債という解釈を得て存在できる。負数を正数と存在論上対等な一群の数と認める約束は、先にしなくてよい。たいへん手間の省ける仕組みだ。面倒を意味の側へ預ける。この数が負なのではなく、この金の向きが逆なのだ、と。そのつど適切な反対側が見つかりさえすれば、もっと難しい問いには、いつまでも答えずに済む。

商売の世界なら、その反対側はほとんどいつでも見つかる。借りているか、持っているか。入るか、出るか。儲かるか、損するか。

商人が数学者より早く気楽に使えたのは、頭が柔らかかったからではない。彼らの商売では、どの量にも初めから向きがついていたからだ。

したがって、この本がしたのは、形式上の負の値を、特定の商業上の文脈で読み替えてよいとしたことだ。負数を正式に認めたのではない。ここまでで、四つのうち初めの二つは、四つの地域すべてで成り立つか、それに近いところまで来ていた。違いは第三と第四に集まっている。

本当に難しいのは、その二つだ。初めの二つは「計算できるか」を問う。後の二つは「計算で出たものを数と認めるか」を問う。計算できるかは技術の問題であり、数と認めるかは資格の問題である。そして先ほどの術を記す文章を開いてみると、資格の問題は、まだこのような形で表には出ていない。

この分布そのものが、あの境界線への反証になる。東洋は受け入れ、西洋は抵抗した、というなら、第一と第二に違いが現れるはずだ。実際には、どちらもいたるところで成り立っていた。第四は、後のヨーロッパのいくつかの基礎論的議論で明確な問いとなる。ただし、史料がそのように分布しているからといって、ほかでは一度も問われなかったことにはならない。なぜ、とりわけそこだったのか。次の節ではそれを扱う。答えは、二千年前のある本につながっている。

五　数とは何か

抵抗のいちばん深いところにあったのは、負号が読めないという問題ではない。数とは、そもそも何かという問題だ。二千年にわたり、ヨーロッパで数学を学ぶ最初の授業は、こう始まった。一は単位であり、数とは複数の単位から成る多である。

つまり、数は数えることによって得られる。三とは三つの単位。七とは七つの単位だ。

この定義は『原論』第七巻の冒頭にある。第三回で見たように、あの本の公準は紙の上に並び、二千年にわたる問いを招いた。一方、定義にはつい警戒を解いてしまう。ただ言葉の使い方を説明しているだけに見えるからだ。

しかし、言葉の使い方が決まれば、その後の二千年に何が言えるかも決まる。この定義によれば、マイナス三とは何だろう。何を三つ数えたのだろうか。長さ、面積、体積は別の種類に属する。その種類は「量」と呼ばれ、量とは大きさである。無より小さい長さにも、やはり置き場所はない。

これは一冊の本の見解にとどまらない。教育体系全体の出発点だった。訓練を受けた人は、代数を一つでも学ぶ前に、数は数えて得るものだと学んでいる。後になって数えられない数を受け入れろと言うのは、入門の第一課を取り消せと言うに等しい。こうした抵抗には、確かな論理の核がある。甲から乙を引くことを、甲の中から乙を取り去ることだとしよう。すると結果がもとの数量の一部分となるのは、甲が乙以上であるときだけだ。

甲が乙より小さくても、甲から乙を引いたものはなお数である、と認めるには、少なくとも一つを変えなければならない。減法を物理的に取り去る行為から形式的な操作へ変えるか。数を絶対的な量から、向きや状態を持つ量へ変えるか。数の範囲を広げて、どの加法にも逆の操作を認めるか。後の現代的な定義は、この三つの道をすべて通った。

抵抗の中身は、じつはきわめてはっきりしている。新しい記号を受け入れることを拒んだのではない。新しい記号のために、減法、数、量のいずれかを変えることを拒んだのである。三つとも、代数を学ぶより前に、すでに学んでしまったものだ。

しかも、その一つ一つが、ほかの何かを支える土台になっている。

ここから、こんな説明がなされてきた。あの本はヨーロッパの数学において、何を数とし、何を量とし、何を比とするかについて、きわめて強い規範の力を持った。負数には、その枠の中に居場所がなかった。さらに十六、十七世紀には、負数と並んで、もっと不穏な別種の対象まで現れたため、どちらも二流の地位に落とされやすかった、と。

示唆に富む説明だが、そこには序列が持ち込まれている。ヨーロッパのいくつかの数学的伝統が、量についての理論からより強い制約を受け、基礎的な説明を強く求めた、というなら史料で支えられる。だが、ヨーロッパは哲学的により真剣だったから、ほかより受容が遅れた、と言えば、すでに価値判断だ。しかも反例はヨーロッパの中にある。商人の代数、座標幾何、曲線の研究は、基礎の問題が解決するのを待たずに動き出すことが多かった。

道が通じる前、最も鋭い一撃となったのは、比をめぐる難問だった。アルノーの議論はこうである。形式的な代数では、マイナス一対一と、一対マイナス一は等しい。外項どうし、内項どうしを掛ければ、どちらもプラス一になるからだ。

ところが比を依然として大きさの比と理解するなら、左辺は小さい量の大きい量に対する比であり、右辺は大きい量の小さい量に対する比になる。一方は一より小さく、もう一方は一より大きいはずだ。どうして等しくなるのか。負号を見て何となく変だと思ったのではない。昔からの比の意味と、新しい記号計算の規則を同時に使うと、矛盾が生じるのである。この反論は通常、1667年のある幾何学書にさかのぼるとされる。本当に重要なのは、それに対するライプニッツの反応だ。

彼は、形式上は計算できるのだからアルノーが間違っている、とは言わなかった。

この反論にはそれなりの力がある、と認めた。十八世紀初めの負量と比をめぐる議論で、彼は前提そのものを疑う方向に解決を探った。負量も、普通の正の大きさと同じように、同じ大小の比に加わらなくてはならないのか。負量は、反対の状態や向きとして、あるいは計算上よく働く虚構として、理解できるのではないか。この一歩が肝心だった。

抵抗は気分ではなく、論拠を持っていた。そしてそれを解く方法も、もっとよい比喩を探すことではなかった。「比」という概念そのものの適用範囲を、変えることだったのである。

この節は、この回の転換点である。ここまでは、各地で負数がどう使われたかを見てきた。ここからは、それが何を根拠に数として通用するのかと、問い直す人々の話になる。

それまでは、負数の問題は考え方の問題に見えた。納得できた人と、できなかった人がいる、と。比の難問は、それを技術的な問題に変えた。二組の規則を同時に成立させると衝突する。どちらかの一部を手放さなくてはならない。何を手放すかは、直感だけでは決められない。

なお、ネットでよく見かける「何年にライプニッツはアルノーが完全に正しいと明言した」という説明は、言いすぎである。彼がこの難問を真剣に扱ったのは確かだ。それを特定の発言として引用するには、ラテン語の論文や書簡に戻り、版の違いも含めて一語ずつ照合する必要がある。

六　不条理、虚構、偽り

否定的な名前を、一つのリストに押し込んではいけない。それらが指す対象は、いつも同じとは限らないからだ。

ディオファントスは、現代の書き方なら負の解に至る方程式に出会うと、その結果や問題の設定を、不条理で成立しえないものとした。ある問題の結果が不条理だと言ったのであって、先に負数という対象を作り、それに名をつけたのではない。

この区別は、リスト全体に当てはまる。ある結果を不条理だと言うことと、ある種類の対象を不条理だと言うことには、大きな隔たりがある。前者は一問を評し、後者は数の一群を評している。

シュティーフェルの1544年の本では、「不条理な数」に当たる言い方が明示的に使われ、零より下の形式的な数は「虚構の数」と呼ばれる。「不条理な数」を近世の用語としてたどるなら、とりわけ適切な出典の一つだ。カルダーノの1545年の『大術』も、負の解を扱うとき、「虚構の数」「虚構の方程式」といった表現を使う。

近年の研究は、ある点を強調している。十六、十七世紀の「虚構」は、「無意味」と同じではなかった。虚構の対象は、直接の数量的な解釈を欠いたままでも、計算でき、正しい結果を生み出せる。つまり、虚構と呼ぶことは追放することではなく、中に残れる身分を与えることだった。この身分は次回でも、さらに重要な役割を果たす。

計算はできるが説明できないものに、まずは「虚構」という身分を与えて中に置く。後に説明が見つかれば、身分を変える。この方法は、その後二百年にわたって繰り返し使われた。デカルトが1637年に言う「偽の根」は、主として今の負の根を指す。それとは別の「想像上の根」は、実数ではない根を指していた。「偽」「虚構」「想像上」「不可能」を全部、負数の同義語として扱えば、負数の歴史と、次回扱う歴史がごちゃ混ぜになる。

ウォリスの1685年の本は、移り変わりを見せるじつに見事な史料である。一方では、代数記号を文字どおり読めば、無よりも少ないものを表すように見える、と言う。そのすぐあとで、正しく理解すれば、負量は無用でも不条理でもない、と強調する。

物理的な説明はこうだ。プラス三が前へ三ヤード進むことなら、マイナス三は後ろへ三ヤード進むことを表す。本には、両方向へ伸びる直線の図も添えられている。この線は後に、完全な数直線を明示した最初期の例の一つに数えられるようになった。

ところが同じ人が、同じ本に、今の目にはひどく奇妙な推論も残している。

昔ながらの分数の直感では、正の分母をだんだん小さくして零に近づけると、商は大きくなり、零のところで無限へと近づく。さらに分母を零の向こうへ進ませ、負にすれば、形式上、結果は負の数になる。

そこで彼は一時、負の値を、いわば無限を通り過ぎた先の領域として思い描いた。もちろん、現代の実数の順序では成り立たない。マイナス一は零より小さいのであって、無限より大きいのではない。

しかし、このくだりは史料としてきわめて貴重だ。同じ人が、向きを持つ直線による解釈を手に入れながら、なお負数を、比と大きさについての古い連続的な見取り図にはめ込もうとしていたのである。

受け入れるということは、いつも不ぞろいだ。彼は負数の擁護者でありながら、現代の順序構造とは両立しない解釈も持ち続けていた。人物を受容派と反対派に分ければ、いちばん面白いところを取りこぼす。

この回に登場するほとんどの人が、両側に足を置いている。シュティーフェルは不条理と呼びながら計算する。カルダーノは虚構と呼びながら方程式の技法に組み入れる。デカルトは偽の根と呼びながら、変換によって偽の根を真の根に変える方法を知っている。ニュートンは負に負を掛けるとなぜ正になるのかを構造から証明してはいないが、四つの象限では自在に図を描いていた。理論では拒み、実際にはためらわず使う。これは矛盾ではない。この歴史を貫く本筋なのである。

オイラーの代数の教科書は十八世紀半ばに書かれ、1770年前後に刊行された。財産と負債、得ることと失うことなどを例に正負を説明し、正数は零より上、負数は零より下だとはっきり述べ、符号法則を代数の基礎規則として使っている。計算の実践という点では、シュティーフェルやド・モルガンに見られたような強いためらいはない。

それでも、いくつもの異なる解釈を並べたままだった。負号は、ときには引き算の操作、ときには量の性質、ときには逆向きや負債を表す。「無よりも少ない」という言い方には、数をなお絶対的な大きさとして捉えている気配もある。十九世紀後半のように、抽象的な構造によってそれらの意味を一つにまとめてはいない。この状況は、うまく要約できる。計算の拡張が先に成功しても、新たな対象がそもそも何であるかについての厳密な説明は、なお遅れ続けるのだ。

オイラーが負数を正しく理解できなかったのではない。実際には、彼の代数の実践はずっと現代的になっていた一方で、数とは何かについての考えには、近世の量の概念が幾層にも積もって残っていたのである。

ド・モルガンに戻ろう。彼の変化は明瞭で、しかも段階がある。1835年、ピーコックを論じた当初の彼には、記号代数は、意味を求めてさまよう取り憑かれた記号のように見えていた。だが、ピーコックの考えが、次第に彼を変えていく。

1840年に百科事典へ「負量と不可能量」の項目を書くころには、すでに三つの手順をはっきり分けていた。まず記号を定め、次に記号が従う法則を定め、その法則から結果を導く。1842年の代数の基礎についての論文は、さらに公理化へ近づいた。取り憑かれた記号から、まず記号を、次に法則を定める立場へ。その間は五年である。

ただし、意味などまったく重要ではない、というところまでは行かなかった。形式体系はいつか解釈を得るはずだと、生涯期待し続けた。いま説明できない記号も、計算がうまくいくなら残してよい。ただし歴史は、それらにもっと広い意味を見つけてくれるはずだ、と考えていた。

七　まずは計算ができること

この回の全体を貫き、文明の境を越えて現れる型がある。サマウアルは多項式の中で負の項を計算し続けられたが、その伝統では依然として、通常、負量を根とはしなかった。操作できる範囲のほうが、解として存在を認める範囲より広かったのである。カルダーノも、負の解を虚構と呼んだからといって、計算をやめはしなかった。虚構という言葉こそ、役に立つ対象を先に計算へ入れるための言葉だった。

ニュートンは、負に負を掛けるとなぜ正になるのかについて、現代的な構造に基づく証明を示してはいない。その一方、四つの象限と正負の根を自由に用いて、曲線を研究していた。最も鮮やかな証言を残したのは、ド・モルガン自身である。代数の歴史を振り返った彼の言葉は、こう要約できる。結果を生み出す力が、結果を説明する力より先を走る時期があった。いまは説明できない計算が、繰り返し正しい結果を生むなら、まずそれを残し、後からもっと一般的な説明を探す理由がある、とさえ考えていた。

だから「先に使い、後から理解する」は、現代人が昔の人をかばうために作った話ではない。十九世紀の数学者自身が、すでに気づいていた歴史の型なのだ。このことは、このシリーズでも二度登場した。しかも二度とも、当人の口から語られている。

第四回のあの人は、機械的な方法で答えを見つけられるが、それは証明ではないので、改めて証明すると言った。第五回のあの人は、自分で信頼できる理由をまだ持てないので、ここは疑問のまま残したいと言った。今回、言葉を発する人は、さらに後の時代に立っている。しかも語るのは、自分の一件ではなく、学問全体の一つの習慣である。

この観察は、聞こえる以上に得がたい。その学問の中にいる人が、自分の分野は同じ動きを繰り返している、と見抜けることは少ない。たいていは長い時間がたち、その動きが何度も繰り返されてから、ようやく誰かが気づく。彼が見抜いたときには、彼自身がその何度目かをやっている最中だった。しかも気づいたからといって、基準を緩めはしなかった。いま説明できないものも、いずれ説明されなくてはならない。ただ、その説明はいまでなくてもよいと考えた。

独特な立場である。先に実行し、説明は事後報告。この分野にはそれがよくあると認めながら、その事後報告だけは、遅かれ早かれ必ずしなくてはならない、と譲らない。

三人、三つの異なる世紀、三つの言語。同じことの三つの姿を語っている。計算はできるが、それだけでは認めない。計算法さえないので、書かない。この学問は、計算できても説明できないことがよくある。ド・モルガンがそう語ったとき、その手元には、まさに受け入れられつつある実例があった。では、最後に何がその資格を認めさせたのか。道は三つある。

第一は、形式化である。ピーコックの1830年の著作は、代数を普遍算術から解き放とうとした。彼は算術的代数と記号代数を区別する。前者の文字は、なお普通の正数を指す。後者がまず研究するのは、記号と、その記号の計算規則である。

彼の有名な原理は、後にしばしば「形式の不変」と要約された。算術的代数で正当な操作から得られた同値な形式は、記号の意味を拡張したあとも、定めた演算法則が保たれるかぎり、同値であり続けるべきだというのである。

決定的な変化は、マイナス三が本当に何か神秘的な量だと、ようやく発見されたことではない。一つの式が正当な代数に参加するために、まず正の量としての解釈を持っている必要がなくなったことだ。ここは、少しゆっくり読んでほしい。取り払われたのは一つの結論ではない。入口の関門である。

それまでは、どんな記号も代数に入る前に身分を示さなくてはならなかった。おまえは、どの正の量を表すのか。その後は、決められた法則に従えばよい。身元の説明は後回しでもいいし、ずっと説明しなくてもいい。負数と、次回扱うもう一群の対象は、こうして制度の中に居場所を得た。

ハンケルの1867年の本は、この道を一般原理としてまとめる。新たな対象を導入するとき、どの新しい数も、昔ながらの量に還元し直す必要はない。大事なのは、拡張した体系が適切な代数法則を保つことである。

第二は、幾何学的な表現を与える道だ。

最も書き間違えやすい筋書きは、デカルトが座標系を発明したので、負数を数直線で説明できるようになった、というものだ。1637年の解析幾何が、記号と曲線の結びつきを大幅に広げたことは確かである。だが、本人はなお負の根を「偽」と呼んでいた。座標の技術があるだけで、負数の存在論上の問題が自動的に解けたわけではない。

もっと直接的な史料は、ウォリスの前後の運動と、両方向に伸びる直線である。ニュートンも算術の著作の冒頭で、量を肯定的なものと否定的なものに分け、財産と負債、前進と後退、逆の方向へ引いた線を使って符号を説明した。1704年に発表した三次曲線の研究では、平面上のさまざまな向きや領域にある曲線を、すでに広く扱っている。

十九世紀初めには、さらに何人かの著者が有向線分や幾何学的表示を発展させた。負を、零より小さい長さと考える必要はなくなり、同じ軸上の反対方向と考えられるようになる。

これで何が解けたのか。マイナス三尺がどうして長さでありうるのか、という直感的な難問である。三尺は、相変わらず長さだ。負号が記すのは、向きなのである。

すべてが解けたわけではない。負債、温度、抽象的な方程式の根は、文字どおりの線分ではない。それに、すべての代数法則を証明するには、向きをつけた一本の線の図だけでは足りない。

幾何学的な解釈そのものが、古い荷物を背負っている場合もある。先ほど見たように、両方向へ伸びる直線を示した同じ人が、負数は無限を越えた先の領域だとも考えていた。一枚の図は向きを説明できても、順序は説明できない。数直線は強力な説明モデルであって、現代の整数を論理的に構成すること、そのものではない。

第三は、すでに見た、計算そのものの成功である。三つの道の重みは、こう分けて考えられる。

負数はどうして無条件に代数へ参加する資格を得たのか、と問うなら、最も重いのは形式化だ。ピーコックの突破は、正当な記号はすべて、まず普通の算術的な量として説明されなくてはならない、という関門を取り払ったことにあった。

普通の数学者や生徒が、なぜついに負数を奇妙と思わなくなったのか、と問うなら、幾何学的な表現や応用を脇役に落とすことはできない。向き、負債、座標は、何度でも使える意味を与えた。それによって形式体系は、ド・モルガンが揶揄した、あの取り憑かれた記号の群れにならずに済んだ。

この歴史を、形式主義がひとりでに直観主義に勝った物語にすることには、明確な反対もある。十九世紀に長く続いたのは、拡張、厳密さ、直観的なわかりやすさの間の交渉だった。

「交渉」という言葉は、よく当たっている。三つの要求が引っ張り合う。規則をもっと広く使いたい。一歩一歩を確かなものにしたい。人が見てわかるようにしたい。どれか一つを極端に押し進めると、残りの二つが損なわれる。

第三回でも、この三つの配分の一例を見た。あのときは証明から図を追い出すことで、目に頼らずに済むようになった。その代価は、読みやすさだった。

今度の交換は別のものだ。記号には、あらかじめ量としての解釈が必要だという要求を取り下げ、その代わりに負数、そして後のさらに多くの対象が、正式な地位を得た。変わったのは、数が定められた計算に参加するために、まず何か具体的な量を指さなくてもよくなったことだ。具体的な解釈は、なおいくつも持てる。二度の取引が向かう方向は同じである。目に見えるものを一つ手放し、その代わりに、もっとよく働く規則を手に入れる。

この回の論争は、どれもほどいてみれば、この三つの配分を組み替える話なのだ。

八　名前に残る傷

あの名前には、どれにも来歴がある。

ラテン語の伝統で負を表す形容詞は、否認する、否定する、ノーと言う、という意味の語に由来する。現代の整数のために作られた、中立的な分類名ではなかった。近代代数がそれを借り、「負の数」「負の量」という表現を作り、それがヨーロッパの諸言語へ入っていった。対になる正の側の言葉は、置く、定める、肯定するという側から来ている。英語でもう一つ日常的に使われる読み方、マイナスは、さらに直接的だ。ラテン語で「より少ない」「より小さい」を意味する語に由来する。この言葉の歴史には、負数が当初、一つの自立した対象の種類としてではなく、引くこと、不足、否定として理解されていた痕跡が残っている。

ヨーロッパだけのことではない。サンスクリットのあの語は、もともと財産と対になる負債だった。アラビア語のあの語も、本来は増加に対する減少、不足を意味した。これらの専門語はすべて、関係、損得、不足と余剰を通じて数学に入ってきた。

どこも、中立的な分類名から始まってはいない。つまり、これらすべての言語で、その対象が最初に指し示されたとき、語られたのは、それが何であるかではなく、何を欠いているかだった。

だから「名前に残る傷」は、ただの言葉の飾りではない。多くの言語は当初、中立的な整数の分類として負数を名づける代わりに、損、不足、借金、否定、減少、逆向きから名を取った。後に対象は形式上対等な地位を得ても、古い名前は残った。次回、このことはさらに痛々しく見える。あの一群の対象の名は、今日なお、それが想像で作られたものだと言い続けている。中国語でも事情は同じだ。ただし、一つ意外なことがある。

『九章』の「負」の意味について、最も確かな手がかりは、現代に作られた字源の物語ではない。劉徽自身の説明である。二種類の算木は得と失が相反するので、正と負と名づける必要がある、と彼は言う。

つまり、数学の文脈における「負」は「失」の側にあり、「正」と対をなす反対の区分である。古い中国語の「負」には、もともと荷を負う、借金を負う、欠ける、敗れる、といった隣接する意味もあった。そのうち、どの語義から数学の術語が直接生まれたのかを、伝世の文献だけで復元するのは難しい。単純に「負債」と訳せば、今度は中国の史料をインド風にしてしまう。意外なのは、清末の話だ。「正」と「負」は、十九世紀に西洋代数と出会って、その場で作られた新訳語ではない。

中国には、すでに千年以上使ってきた、古典数学の術語があった。それをもう一度使えたのである。李善蘭や、その周囲で生まれた近代数学の文献は、ごく自然に「正数」「負数」「正負の諸数」と言い続けた。関連する文献には、正に正を掛ければ正、負に負を掛けても正、とそのまま書かれてさえいる。

したがって、ここで起きたのは、ゼロからの翻訳というより、古い術語を西洋式の代数体系の中へ置き直すことだった。前回見たように、中国語の「算法」「零」「正弦」「代数」には、それぞれ別の来歴がある。中国で昔から使われていた語もあれば、明末の暦局で作られた訳語も、清末の新造語もある。「正」「負」は最初の種類に属し、その中でも最も古い。

一つの言葉が、中国語の中で千年以上生きてきた。その間に数学の姿は何度も変わり、最後には別の道をたどってきた概念の訳語に使われた。しかも、すんなりと収まった。

算木の陣でのある置き方から、多項式の係数へ、そして十九世紀には、資格を論証しなくてはならない対象へ。この字は、ずっとその場にいた。意味は道中で変わり続け、字の形は一度も動かなかった。あまりに自然に収まったため、今日では誰も、これを訳語だとは感じない。

前回の「算法」の話とよく似ている。二つの体系がそれぞれの道を歩み、ある時点で、誰かが同じ一つの言葉を使ってつなぐ。その言葉には、その言葉自身の来歴がある。

競合する訳語があって、最後に消えたのかどうかについては、今のところ確かな資料が見つからない。候補の語も、最初に現れた年も、淘汰の過程もわからない。中国語の現代の教育用語「相反数」の来歴も、同じく確認できない。この二か所は、空白のままにしておきたい。

もっともらしく完結した系譜を埋めるより、空けておくほうがよい。訳語の歴史が調べてもわからないなら、わからないと書いておけば、次の人が続きを調べられる。何年に誰が命名したと書いてしまえば、次の人はもう調べない。

ここで、四つのことをもう一度並べよう。

第一に、負の項が計算の中に現れてよいか。中国では『九章』ですでに成り立っていた。インドやアラビア語圏でも早くから成り立ち、ヨーロッパも十五世紀以降、ためらわず使っていた。

第二に、信頼できる符号法則があるか。インドでは七世紀にそろい、アラビア語圏では十二世紀に明示され、ヨーロッパが後に続いた。

第三に、負の値を最終的な答えにできるか。これはどこでも条件つきだった。条件は、その量に向きがあるかどうか。負債ならよい。サルではだめだ。

第四に、負数は正数と対等な資格を持つ数なのか。この問いは、ここで扱った近代ヨーロッパの論争で、長く、明示的に展開された。ただし、それによってほかの伝統の関連する思考を排除することはできない。答え方も、マイナス三の正体をついに突き止めた、というものではなかった。問うときの前提を取り下げたのである。記号は、まず何らかの量として説明されなければ計算に参加できない、というわけではない。

この型を最も的確に言い表したのは、ド・モルガン自身だった。数学はまず、計算はうまくいくが説明はできないものを作る。それから振り返って定義を広げ、中へ入れる。彼がそう言ったとき、手元には、入れてもらったばかりのものと、まだ入れてもらっていないものがあった。後者の名前は、負数よりもひどい。その名は、それが想像で作られたものだと、露骨に言っている。そして、今日まで変わっていない。

数学に入ってきた道も、負数とは違っていた。負数は負債や向きから育った。だが、それは誰も欲しがらない場所で、無理やり引きずり出された。負数なら少なくとも、指し示せる既存の反対側がある。あの一群の対象には、指し示せるものが何もない。しかも、あの根式の道を進むなら、それを使わなければ答えにたどり着けない。

数の計算は、まだ先へ進んでいく。何を数学のうちに数えるのかは、一度も決着していない。

史料とさらに読むために

以下の資料は、本文の歴史的な細部や解釈の違いに対応している。所蔵記録、古代の文学、現代の復元は、同じ種類の証拠ではない。

• ド・モルガン『数学の学習とその困難について』（1831年）
• アメリカ数学協会：ド・モルガンの原著を紹介
• セント・アンドルーズ大学：ブラーマグプタ
• 十九世紀イギリス代数学の問題史
• 「数学的対象の過去について」
• ハンケルの複素数体系に関する1867年の原著・翻訳版

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