Absurde Zahlen

1 Eine unmögliche Frage

Eine Aufgabe lautet so.

Ein Vater ist sechsundfünfzig Jahre alt, sein Sohn neunundzwanzig. Nach wie vielen Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie der Sohn?

Man stellt die Gleichung auf, rechnet und erhält: minus zwei.

1831 behandelt ein britischer Mathematiker diese Aufgabe in einem Buch darüber, wie man Mathematik lernt. Das Ergebnis sei absurd, schreibt er; der Fehler liege in der zu eng gefassten Frage. Dann formuliert er sie um: Das Minuszeichen besage, dass der gesuchte Zeitpunkt zwei Jahre zurückliege, nicht zwei Jahre voraus. Nach dieser Änderung ist die Zwei wieder eine gewöhnliche positive Zahl. Der Mathematiker heißt De Morgan. Damals hält er eine für sich stehende negative Größe im Rahmen der Arithmetik für unverständlich. Unmittelbar vor dieser Aufgabe hat er geschrieben, dass negative Größen ihrer wirklichen Bedeutung nach ebenso erdacht seien wie imaginäre Größen: Eine Zahl von nichts abzuziehen sei so wenig vorstellbar wie die Quadratwurzel einer negativen Zahl.

Und wir befinden uns bereits in den 1830er Jahren. In Großbritannien gibt es Eisenbahnen, dampfbetriebene Druckmaschinen und preiswerte Enzyklopädien für Arbeiter und das bürgerliche Publikum. De Morgan selbst schreibt für eine davon. Seit Brahmagupta 628 sein vollständiges Regelwerk für positive und negative Vorzeichen aufgeschrieben hat, sind zwölfhundert Jahre vergangen. Seit den Regeln für Positives und Negatives in den „Neun Kapiteln über die mathematische Kunst“ noch mehr. Dieser Abstand sieht aus wie eine saubere Trennlinie: Der Osten hatte sie längst akzeptiert, der Westen wehrte sich tausend Jahre lang.

In populären Darstellungen der Mathematikgeschichte gehört dieser Satz fast zum Standard. Er hat eine angenehm übersichtliche Form: hier klug, dort stur, und dazwischen ein Zeitabstand, der groß genug ist, um im Gedächtnis zu bleiben.

Dieser Essay soll niemanden nachträglich freisprechen. Er soll den Zeitabstand auseinandernehmen und fragen, was er eigentlich misst. Dabei wird sich zeigen: Er misst kein Verständnisvermögen. Er misst, welche Frage die Menschen an den verschiedenen Orten jeweils beantworteten. Fast jedes Wort in jener Behauptung muss auseinandergelegt werden.

Beginnen wir mit einer leicht übersehenen Tatsache: Im selben Absatz verwendet De Morgan den Wert minus zwei vollkommen richtig. Er weiß, dass das Minuszeichen die umgekehrte Zeitrichtung anzeigt, und korrigiert damit die Aufgabe. Ein Mann, der negative Zahlen angeblich nicht akzeptiert, hat gerade mit einem Minuszeichen eine Fragestellung berichtigt. Nehmen wir nun das wichtigste Wort auseinander: akzeptieren. Negative Zahlen zu akzeptieren ist nicht eine Sache. Es sind mindestens vier.

Erstens: Dürfen negative Glieder in den Zwischenschritten eines Rechenverfahrens vorkommen? Zweitens: Lässt sich mit ihnen verlässlich rechnen, gibt es zuverlässige Vorzeichenregeln? Drittens: Darf ein negativer Wert bei bestimmten Aufgaben als endgültige Antwort stehen bleiben? Viertens: Werden negative Zahlen als eine Klasse von Zahlen anerkannt, die positiven Zahlen gleichberechtigt ist? In China, Indien, der arabischsprachigen Mathematik und Europa geschahen diese vier Dinge weder gleichzeitig noch in derselben Reihenfolge.

Wer das Erste „Akzeptanz“ nennt und an eine andere Tradition den Maßstab des Vierten anlegt, hat eine falsche Symmetrie hergestellt.

De Morgan konnte sehr wohl mit dem Minuszeichen umgehen. Er beherrschte es ausgezeichnet und wusste genau, was es in dieser Aufgabe bezeichnete. Was er verweigerte, war der vierte Schritt.

Wir werden deshalb die vier Zeitläufe einzeln verfolgen. Am Ende wird sich zeigen: Jede Tradition war bei manchen dieser Schritte früh, bei anderen spät, und nirgends war die Mischung aus früh und spät dieselbe. Aus einer Trennlinie werden vier gegeneinander verschobene Zeittafeln.

Diese Verschiebungen sind auch nicht zufällig. Der erste und der zweite Schritt geschehen fast überall früh; der dritte ist überall an Bedingungen geknüpft. Der vierte tritt in den hier behandelten neuzeitlichen europäischen Quellen besonders deutlich hervor. Daraus folgt nicht, dass andere Traditionen verwandte Fragen nie gestellt hätten. Der Unterschied liegt nicht darin, wer klug war, sondern darin, wer was fragte. In diesem Satz steckt der ganze Essay. Was folgt, ist das Ausbreiten der vier Zeittafeln.

2 Gewinn und Verlust als Gegensätze

Die „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ führen im achten Kapitel, „Fangcheng“ („Gleichungen“), die Regeln für Positives und Negatives ein.

Es geht um zwei entgegengesetzte Zustände, die in einer Anordnung von Rechenstäbchen entstehen, wenn eine Spalte von einer anderen abgezogen wird. Im Kern regeln sie, wie bei gleichnamigen und ungleichnamigen Einträgen abzuziehen und hinzuzufügen ist; außerdem gilt: Zieht man Positives von einer leeren Stelle ab, wird der Eintrag negativ, zieht man Negatives von ihr ab, wird er positiv. Entscheidend ist Liu Huis Kommentar aus dem dritten Jahrhundert. Weil sich die beiden Arten von Stäbchen wie Gewinn und Verlust gegenüberstehen, erklärt er, sollen sie die Namen „positiv“ und „negativ“ erhalten. Er nennt auch die Farben: positive Stäbchen rot, negative schwarz. Wo keine Farben verwendet werden, unterscheidet man sie durch ihre Ausrichtung.

Hier lohnt es sich, kurz innezuhalten. Wenn auf einem Rechenbrett zwei entgegengesetzte Arten von Größen zu unterscheiden sind, besteht der unmittelbarste Weg nicht darin, ein Zeichen zu erfinden. Man nimmt eine andere Farbe oder legt die Stäbchen anders hin.

Im fünften Essay war davon bereits die Rede: Für rote und schwarze Stäbchen gibt es eine schriftliche Überlieferung, aber nicht genügend Sachfunde, um nachzuweisen, dass in der Han-Zeit bei jeder Rechnung stets zwei verschiedenfarbige Sätze verwendet wurden. Sicher ist: Die Unterscheidung lag im Zustand der Stäbchen selbst, nicht in einem daneben geschriebenen Zeichen.

„Positiv“ und „negativ“ sind hier also zunächst Namen für zwei Arten von Rechenstäbchen, die im Verfahren entgegengesetzte Zustände von Gewinn und Verlust verkörpern.

Was die ursprünglichen Quellen sehr gut belegen: Negative Stäbchen können zuverlässig am Eliminationsverfahren für Gleichungen teilnehmen. Sie können entstehen, indem man positive Stäbchen von einer leeren Stelle abzieht, und für sie gelten Additions- und Subtraktionsregeln. Schwächer belegt ist die Behauptung, die Verfasser hätten minus drei bereits als abstrakte Zahl verstanden, die unabhängig von der Stäbchenanordnung und vom Zusammenhang der Aufgabe existiert.

Der Unterschied lässt sich genauer fassen. Negativ bedeutet auf dem Rechenbrett: Die Stäbchen in einem bestimmten Feld sind anders angeordnet. Sie haben einen Ort, Nachbarn und eine Funktion im gerade ausgeführten Eliminationsschritt. Was geschieht, wenn man sie aus diesem Feld herausnimmt und für sich fragt, was sie sind? Darüber sagen diese Verfahrensbeschreibungen nichts weiter. Der Haupttext bietet an dieser Stelle kein vollständiges System der Multiplikation und Division mit positiven und negativen Vorzeichen. Negative Werte sind in erster Linie vorzeichenbehaftete Einträge innerhalb eines Gleichungsverfahrens.

Anders gesagt: Hier liegt das Ergebnis eines Verbs vor, kein Substantiv. Nach dem Abziehen bleibt in einem Feld ein bestimmter Zustand zurück, und der braucht einen Namen. Hat er ihn bekommen, kann er an allen weiteren Schritten teilnehmen, bis die Rechnung zu Ende ist. Danach verschwindet er, denn in der endgültigen Antwort kommt er nicht mehr vor.

Das Negative in den „Neun Kapiteln“ als bloßen einmaligen Fehler oder Fehlbetrag zu bezeichnen, greift deshalb zu kurz. Es schon zu einem selbstständigen Objekt der modernen ganzen Zahlen zu erklären, geht zu weit.

Der fünfte Essay hat die konkrete Gestalt des Stäbchenrechnens untersucht. Diese Begriffe sind aus den Anordnungen, Positionen und Umformungsbeziehungen heraus zu verstehen. Moderne Matrizen und Zahlen mit Vorzeichen dürfen nicht einfach rückwärts in die Quellen hineingelesen werden.

In der Song- und Yuan-Zeit wird eine Erweiterung sichtbar. Verfahren zur Wurzelbestimmung, wie Qin Jiushao sie verwendete, übertrugen die positiven und negativen Zustände auf die Koeffizientenanordnungen von Polynomen höheren Grades. Moderne Rekonstruktionen zeigen sogar, wie Polynome mit negativem Leitkoeffizienten oder negativem konstantem Glied im Stäbchenverfahren fortlaufend bearbeitet werden. Yang Hui ordnete und erläuterte im dreizehnten Jahrhundert die Fangcheng-Tradition neu. In Zhu Shijies Verfahren mit einer und mit vier Unbekannten, Tianyuan und Siyuan, gehörten positive und negative Koeffizienten bereits zum Polynomrechnen. Negative Glieder waren also aus einem örtlich begrenzten Zustand innerhalb der linearen Elimination in eine weiter gefasste Koeffizientenrechnung übergegangen.

Gemessen an unseren vier Schritten heißt das: Der erste ist sehr früh vollzogen, der zweite innerhalb der Gleichungsverfahren ebenfalls. Beim dritten kommt es auf die Art der Größe an. Die vierte Frage wird in diesen Verfahrensbeschreibungen nicht ausdrücklich entfaltet. Das bedeutet nicht, dass damals niemand über sie nachgedacht hätte.

Im fünften Essay war dieselbe Vorsicht nötig. Dort bestand die Versuchung darin, aus einer Rechentradition einen Zivilisationscharakter zu machen. Hier besteht sie darin, ein frühes Datum bei einem der vier Schritte zum frühen Datum aller vier zu erklären.

Beide Fehler folgen demselben Muster. Aus der einen Tradition wählt man ihre stärkste Seite, aus der anderen ihre schwächste. Dann stellt man beides nebeneinander.

Dass das Buch die Frage nicht stellt, ist etwas anderes, als dass damals niemand darüber nachgedacht hätte. Die moderne Frage, was eine ganze Zahl sei, erwuchs aus anderen Anliegen. Sie werden erst in der zweiten Hälfte dieses Essays auftauchen, und sie haben einen sehr konkreten Ursprung.

Wir werden diese Unterscheidung immer wieder brauchen. Dass eine Tradition eine Frage nicht beantwortet, kann daran liegen, dass sie keine Antwort findet. Es kann auch daran liegen, dass die Frage dort gar keine Frage ist. Historisch bedeutet das etwas völlig anderes.

3 Eigentum und Schulden

Brahmaguptas Buch entstand 628. Sein achtzehntes Kapitel enthält eine ausgesprochen klare Arithmetik mit Vorzeichen.

Schon die Sanskrit-Fachwörter tragen alltägliche Bedeutungen in sich. Auf der positiven Seite stehen Eigentum, Vermögen, Gewinn; auf der negativen Schuld und Verschuldung. Für die Null steht ein Wort, das Leere bedeutet. Eigentum und Schulden sind hier keine nachträglich für den Unterricht hinzugefügten Bilder. Sie sind Teil der Fachsprache selbst. Etwa in den Versen dreißig bis fünfunddreißig steht, knapp zusammengefasst, Folgendes.

Eigentum zu Eigentum ergibt Eigentum, Schuld zu Schuld ergibt Schuld. Bei Eigentum und Schuld wird die Differenz genommen; sind beide gleich groß, ist das Ergebnis null. Addiert man null zu etwas Positivem oder Negativem, bleibt dessen Vorzeichen erhalten. Zieht man Positives von Negativem oder Negatives von Positivem ab, sind die Beträge zu addieren. Positiv mal negativ ist negativ, negativ mal negativ ist positiv. Null mal positiv oder negativ ergibt null. Für die Vorzeichen liegt damit bereits ein sehr stabiles System vor. Der zweite unserer vier Schritte ist im Indien des siebten Jahrhunderts vollständig vollzogen.

Und diese Regeln sind nicht beiläufig für einen bestimmten Aufgabentyp aufgeschrieben. Sie werden als allgemeine Regeln aufgeführt, eine neben der anderen, wie in einer Tabelle.

Schon diese Tabellenform hat Gewicht. Steht eine Regel innerhalb der Lösung einer Aufgabe, gehört sie zunächst zu dieser Aufgabe. Werden Regeln zusammengestellt, entstehen Aussagen, auf die man sich berufen kann. Eine solche Zusammenstellung gibt es hier bereits im siebten Jahrhundert. Das verdient es, festgehalten zu werden, denn in Europa wird eine ebenso ausdrückliche noch lange auf sich warten lassen.

Gerade der Teil über die Null schützt allerdings davor, diese Geschichte als Triumphzug zu erzählen.

Addition, Subtraktion und Multiplikation mit null behandelt Brahmagupta richtig. Doch null geteilt durch null setzt er gleich null. Für die Division einer von null verschiedenen Zahl durch null lässt er einen Ausdruck mit null im Nenner stehen, keinen im modernen Sinn wohldefinierten Quotienten.

Das ist kein Versehen. Erst sehr viel später wird ausdrücklich entschieden, dass die Division durch null unzulässig ist, statt ihr irgendeinen Wert zuzuweisen. Bei ihm ist an dieser Stelle noch eine Festlegung möglich. Daran zeigt sich auch: Die Null und die negativen Zahlen sind zwei verschiedene Dinge. Die Vorzeichenregeln können schon im siebten Jahrhundert vollständig sein, während die arithmetischen Eigenschaften der Null bei demselben Autor noch Lücken aufweisen. Beides unter „Die Inder erfanden die Null und die negativen Zahlen“ zusammenzufassen, presst zwei Arbeiten mit unterschiedlichem Reifegrad in eine einzige.

Man kann also sagen: Er gab der Null erstmals arithmetische Regeln. Man kann nicht sagen: Er begründete bereits ihre vollständige moderne algebraische Theorie. Wichtiger noch ist ein Satz, der fünfhundert Jahre später fällt.

Bhaskara II. verfasste seine „Algebra“ um 1150. Nach einer Aufgabe, in der eine zweite Wurzel auftritt, erklärt er, der zweite Wert werde hier nicht genommen, weil er der Bedeutung der Aufgabe widerspreche. In der auf Colebrooke zurückgehenden Übersetzung lautet der entscheidende Schluss sinngemäß: Die Menschen erkennen eine negative absolute Zahl nicht an.

Spätere Sekundärliteratur verkürzt das oft zu: Negative Wurzeln werden nicht anerkannt. Das trifft den Sinn ungefähr, doch „negative absolute Zahl“ verdient es eher, bewahrt zu werden als „negative Wurzel“. Die Formulierung zeigt, dass es bei dem Einwand darum gegangen sein könnte, einer Unbekannten einen negativen Wert zu geben, obwohl sie eine absolute Größe darstellen sollte. Das ist etwas anderes, als sämtliche Rechnungen mit Minuszeichen abzulehnen. Umgekehrt beweist der Satz auch nicht, Indien habe die negativen Zahlen in Wahrheit gar nicht akzeptiert. Dieselbe Tradition arbeitete längst sicher mit Schulden, entgegengesetzten Richtungen und den Vorzeichenregeln.

Zwei Autoren im Abstand von fünfhundert Jahren: Der eine schreibt vollständige Vorzeichenregeln auf, der andere verwirft eine bestimmte negative Wurzel. Das widerspricht sich nicht. Und es geschieht innerhalb derselben Tradition.

Wählt man nur den Ersten, erhält man die Geschichte von Indien, das längst alles vollständig akzeptiert hatte. Wählt man nur den Zweiten, erhält man die Geschichte von Indien, das negative Zahlen ebenfalls ablehnte. Beide machen aus vier Dingen eines. Die Quellen zeigen etwas anderes: Eine negative Größe als Gegenstand einer Rechnung und eine zulässige Lösung für eine bestimmte Unbekannte besitzen zwei verschiedene Arten von Berechtigung.

Die belastbarste Aussage für Indien lautet deshalb: Im Verlauf arithmetischer und algebraischer Rechnungen konnten negative Größen ohne Weiteres erhalten bleiben. Wo die Bedeutung einer Größe von selbst ein Gegenstück mitbringt, etwa Eigentum und Schuld, Ost und West, Zunahme und Abnahme, lässt sich das Minuszeichen praktisch deuten. Steht die Unbekannte dagegen für eine Menschenzahl, eine Länge oder eine Anzahl von Gegenständen, also für etwas, das nur nichtnegative Werte annehmen kann, kann eine negative Wurzel als unvereinbar mit der Aufgabe verworfen werden. Genau das geschieht auch in heutigen Lehrbüchern, nur unter anderem Namen: Zwei Wurzeln ausrechnen, eine verwerfen, weil eine Länge nicht negativ sein kann.

Der Unterschied ist: Heutige Schüler wissen, dass der verworfene Wert dennoch eine Zahl ist; er passt bloß nicht zu dieser Aufgabe. Damals brauchte man diesen Gedanken nicht, weil das fragliche Gebilde von vornherein nicht zu den Zahlen gehörte. Dieselbe Handlung steht 1150 als Aussage darüber da, was die Menschen nicht anerkennen, und heute als der knappe Vermerk: entfällt.

Der erste und der zweite Schritt sind vollzogen, der dritte hängt von der Art der Größe ab. Ein Schuldenstand kann als Endergebnis negativ sein. Minus fünf Affen geht nicht.

Das klingt wie eine Selbstverständlichkeit, ist aber der gesamte Inhalt des dritten Schritts. Ob ein negativer Wert als Antwort stehen bleiben darf, hängt davon ab, ob die Größe ein natürliches Gegenstück besitzt. Hat sie eines, gibt das Minuszeichen eine Richtung an. Hat sie keines, zeigt es einen Fehler in der Aufgabe.

Die Altersaufgabe mit Vater und Sohn liegt genau dazwischen. Die Zeit hat eine Gegenrichtung, deshalb lässt sich minus zwei lesen. Gefragt war jedoch ausdrücklich nach Jahren in der Zukunft. Und „in der Zukunft“ hat keine Gegenrichtung.

Der Mathematiker tat also Folgendes: Er behielt die Information, die ihm das Minuszeichen gab, und änderte die Frage.

Das ist ein feiner Eingriff. Er sagte weder, das Minuszeichen sei bedeutungslos, noch, minus zwei sei eine Zahl. Er sagte: Dieses Zeichen teilt dir mit, dass du in die falsche Richtung gefragt hast.

4 Mangel und Überschuss

Der vorige Essay behandelte jenes Algebra-Buch aus dem neunten Jahrhundert: sechs Gleichungstypen, bei denen Zahlen, Wurzeln und Quadrate durchweg mit positiven Koeffizienten auftreten. Das lag nicht daran, dass der Verfasser unfähig gewesen wäre, eine einheitliche Formel hinzuschreiben. Es entsprach dem damaligen Verständnis von Zahlen, Wurzeln und Quadraten als positiven Größen.

Ein weiteres Detail jenes Buches hilft hier weiter: Es hat kein modernes algebraisches Zeichensystem; Größen und Rechenoperationen werden im Haupttext überwiegend in Wörtern ausgedrückt. Eine ausgeschriebene Größe lässt sich schwerer als Gegenstand behandeln, dessen Vorzeichen man nach Belieben austauschen kann. Was als Satz dasteht, sagt von sich aus mit, was es ist.

Die spätere arabischsprachige Algebra war allerdings weit komplizierter als ein schlichtes Nein zu negativen Zahlen. Al-Karadschis Polynomrechnung ließ abzuziehende Glieder an algebraischen Operationen teilnehmen. Bei as-Samawʾal im zwölften Jahrhundert wurden die Vorzeichenregeln ausdrücklich formuliert. Die negative Seite hieß bei ihm Mangel, Verlust, Verminderung; die positive Zunahme, Überschuss. Er wusste: Negativ mal positiv ist negativ, negativ mal negativ ist positiv. Ebenso wusste er, dass beim Abziehen eines positiven Gliedes von einer leeren Stelle ein negatives zurückbleibt und beim Abziehen eines negativen ein positives.

Negative Koeffizienten als Bestandteile eines Polynoms wurden also keineswegs gemieden.

Die Wörter sind aufschlussreich: Mangel und Überschuss, Verlust und Zunahme. Sie bezeichnen keine Zahlen, sondern Zustände. Ein Glied steht auf der Seite des Fehlbetrags oder auf der Seite des Überschusses.

Solche Zustandsnamen zeigen, dass diese Texte eine relationale Deutung anbieten. Die Benennung allein beweist aber nicht, dass das Benannte nicht auch als selbstständiger Gegenstand verstanden werden konnte. Liu Huis „entgegengesetzter Gewinn und Verlust“ aus dem zweiten Abschnitt folgt derselben Art zu benennen, über Tausende Kilometer und neunhundert Jahre hinweg. An beiden Orten steht am Anfang ein Paar entgegengesetzter Situationen, aus dem die Namen gewonnen werden. Niemand erschafft zuerst ein Ding namens „negativ“ und sucht dann danach, was es bezeichnen könnte. Warum bleiben die Wurzeln trotzdem gewöhnlich positiv?

Weil Wurzel, Zahl und Größe weiterhin zur Welt messbarer positiver Größen gehören, während negative Glieder oft als Abzugs- oder Fehlbetragsglieder verstanden werden oder als Einträge, die etwas auf der anderen Seite aufheben. Dahinter steht kein einheitliches Verbot. Die Bedeutung der Aufgaben und die Reichweite der algebraischen Gegenstände decken sich nicht. Für diese ganze Geschichte ist das entscheidend.

Hier liegt der Grund, weshalb der dritte Schritt überall an Bedingungen gebunden bleibt. Negative Wurzeln zu vermeiden heißt nicht, negative Zahlen nicht zu verstehen. Es kann schlicht bedeuten, dass „Wurzel“ in diesem Aufgabenkreis eine Länge, eine Anzahl oder einen Geldbetrag bezeichnet, und dass diese Dinge kein Gegenstück haben.

Im vorigen Essay ging es darum, warum jene sechs Gleichungstypen sechs bleiben mussten. Jetzt lässt sich der Satz vervollständigen: Die einheitliche Formel hätte Koeffizienten mit negativen Vorzeichen verlangt, doch eine Größe mit Minuszeichen konnte damals noch nicht auf eigenen Füßen stehen. Die sechs Typen sind die Gestalt dieser Beschränkung. Häufig verrät das, was ein System ausschließt, mehr über seine Grenzen als das, was es aufnimmt. Jene sechs Typen sind nicht sechs Regeln. Sie sind die sechs Seiten einer Mauer.

Eine klassische Untersuchung zu negativen Lösungen im Mittelalter nimmt genau diese Unterscheidung vor: Vorzeichenregeln kennen, formal negative Werte erhalten und negative Lösungen anerkennen sind drei verschiedene Stufen. Im frühen Europa begegnet dieselbe Konstellation.

Das „Buch des Abakus“ wurde zuerst 1202 verfasst, doch von dieser Fassung ist kein Text überliefert. Was wir besitzen, gehört zur Überlieferung der Überarbeitung von 1228. Im dreizehnten Kapitel, bei Rechnungen über Handel, Handelspartnerschaften und Verfahren des falschen Ansatzes, erscheinen Vermögenswerte, die formal unter null liegen. Das Buch deutet solche Ergebnisse als Schulden, nicht als einen Beutel negativen Geldes.

Das passt zu einem lange anhaltenden Zug der europäischen Rechenpraxis: Ein negativer Wert darf zunächst als Schuld verstanden werden, ohne dass man sich vorab darauf festlegen müsste, negative Zahlen seien eine den positiven ontologisch gleichrangige Zahlenklasse. Eine bequeme Regelung. Man schiebt die Schwierigkeit auf die Bedeutung: Nicht die Zahl ist negativ, sondern die Richtung des Geldes hat sich umgekehrt. Solange sich jedes Mal ein passendes Gegenstück finden lässt, muss man die schwierigere Frage nie beantworten.

Und im Handel findet sich fast immer eines. Schulden und Besitz, Einnahmen und Ausgaben, Gewinn und Verlust.

Dass Kaufleute früher unbefangen damit umgingen als Mathematiker, lag daher nicht an ihrer größeren geistigen Offenheit. In ihrem Gewerbe brachte jede Größe ihre Richtung schon mit.

Das Buch erlaubt also, formal negative Werte in bestimmten kaufmännischen Zusammenhängen umzudeuten. Es erkennt damit nicht offiziell die negativen Zahlen an. Bis hierher sind die ersten beiden unserer vier Schritte an allen vier Schauplätzen vollzogen oder annähernd vollzogen. Die Unterschiede liegen vor allem beim dritten und vierten.

Und genau diese beiden sind die schwierigen. Die ersten beiden fragen, ob man rechnen kann. Die letzten beiden fragen, ob das Errechnete als Zahl zählt. Rechnen können ist eine Frage der Technik; als Zahl zählen eine der Berechtigung. In den zuvor betrachteten Verfahrensbeschreibungen liegt diese Frage der Berechtigung noch nicht so auf dem Tisch.

Gerade diese Verteilung widerlegt die vermeintliche Trennlinie. Hätte der Osten akzeptiert und der Westen Widerstand geleistet, müssten sich die Unterschiede beim ersten und zweiten Schritt zeigen. Tatsächlich gelingen beide überall. Der vierte wird später in einigen europäischen Grundlagenstreitigkeiten zur ausdrücklich gestellten Frage; diese Verteilung der Quellen beweist nicht, dass anderswo nie danach gefragt wurde. Warum gerade dort? Darum geht es im nächsten Abschnitt. Die Antwort hat mit einem zweitausend Jahre alten Buch zu tun.

5 Was ist eine Zahl?

Im tiefsten Grund des Widerstands geht es nicht um das Unvermögen, ein Minuszeichen zu lesen. Es geht darum, was eine Zahl überhaupt ist. Zweitausend Jahre lang beginnt in Europa die erste Mathematiklektion so: Eins ist die Einheit, und eine Zahl ist eine aus mehreren Einheiten zusammengesetzte Vielheit.

Zahlen werden also gezählt. Drei sind drei Einheiten. Sieben sind sieben Einheiten.

Der Satz steht am Anfang des siebten Buches der „Elemente“. Im dritten Essay stand es schon: Die Postulate dieses Werkes lagen auf dem Papier und zogen zweitausend Jahre lang Fragen auf sich. Bei Definitionen lässt die Wachsamkeit leichter nach. Sie scheinen ja nur zu erklären, wie Wörter gebraucht werden.

Doch sobald der Wortgebrauch festgelegt ist, steht mit fest, was in den folgenden zweitausend Jahren gesagt werden kann. Was ist nach dieser Definition minus drei? Drei wovon hat man da gezählt? Längen, Flächen und Volumina gehören zu einer anderen Kategorie, den Größen. Und eine Größe ist eine Ausdehnung. Für eine Länge, die weniger als nichts beträgt, gibt es dort ebenfalls keinen Platz.

Das ist nicht bloß die Ansicht eines Buches, sondern der Ausgangspunkt einer ganzen Ausbildung. Ein ausgebildeter Mensch hat, lange bevor er irgendeine Algebra lernt, bereits gelernt: Zahlen werden gezählt. Verlangt man später von ihm, eine Zahl zu akzeptieren, die sich nicht durch Zählen gewinnen lässt, soll er damit seine allererste Lektion für ungültig erklären. Dieser Widerstand besitzt einen echten logischen Kern. Angenommen, A minus B bedeutet, B aus A wegzunehmen. Dann bleibt das Ergebnis nur dann ein Teil des ursprünglich Vorhandenen, wenn A nicht kleiner als B ist.

Soll A minus B auch dann noch eine Zahl sein, wenn A kleiner als B ist, muss sich mindestens eines ändern: Aus dem körperlichen Wegnehmen muss eine formale Operation werden. Oder aus der Zahl als absoluter Größe eine Größe mit Richtung oder Zustand. Oder der Zahlenbereich muss so erweitert werden, dass jede Addition eine Umkehrung erhält. Die modernen Definitionen haben später tatsächlich alle drei Wege beschritten.

Wogegen man sich sträubte, war also sehr genau bestimmt. Nicht gegen ein neues Zeichen an sich, sondern dagegen, seinetwegen auch nur eines von dreien zu verändern: Subtraktion, Zahl oder Größe. Und alle drei hatte man schon gelernt, bevor man irgendeine Algebra kennenlernte.

Und jedes dieser drei Dinge bildet wiederum das Fundament für anderes.

Daraus ist eine Erklärung entstanden: Jenes Buch bestimmte mit außerordentlicher normativer Kraft, was in der europäischen Mathematik Zahl, Größe und Verhältnis heißen durfte. Für negative Zahlen war in diesem Rahmen kein Platz. Im sechzehnten und siebzehnten Jahrhundert traten sie zudem gemeinsam mit einer noch beunruhigenderen Klasse von Gegenständen auf. So konnten leicht beide zu Gebilden zweiter Klasse herabgestuft werden.

Diese Erklärung ist erhellend, bringt aber eine Rangordnung mit sich. Dass einige europäische mathematische Traditionen stärker an die Größenlehre und an Forderungen nach einer Grundlegung gebunden waren, lässt sich belegen. Dass Europa später akzeptierte, weil es philosophisch gründlicher gewesen sei als andere, ist bereits ein Werturteil. Außerdem liegen die Gegenbeispiele mitten in Europa. Die Algebra der Kaufleute, die Koordinatengeometrie und die Untersuchung von Kurven warteten häufig nicht auf die Klärung der Grundlagen, ehe sie an die Arbeit gingen.

Bevor ein gangbarer Weg gefunden war, kam der schärfste Einwand aus einem Proportionsproblem. Arnaulds Argument geht so: Nach den Regeln der formalen Algebra ist das Verhältnis von minus eins zu eins gleich dem von eins zu minus eins. Denn beim kreuzweisen Multiplizieren ergibt sich auf beiden Seiten plus eins.

Versteht man ein Verhältnis aber weiterhin als Größenverhältnis, so steht links eine kleinere Größe zu einer größeren, rechts dagegen eine größere zu einer kleineren. Das eine Verhältnis müsste kleiner als eins sein, das andere größer. Wie können sie gleich sein? Das ist kein bloßes Befremden angesichts eines Minuszeichens. Es ist der Widerspruch, der entsteht, wenn die alte Bedeutung von Proportionen und die neuen Regeln des Symbolrechnens gleichzeitig gelten sollen. Dieser Einwand wird gewöhnlich auf ein Geometriebuch von 1667 zurückgeführt. Wirklich wichtig ist Leibniz’ Reaktion.

Er sagte nicht: Formal geht die Rechnung auf, also hat Arnauld unrecht.

Er räumte ein, dass der Einwand nicht ohne Gewicht sei. In den Debatten über negative Größen und Proportionen zu Beginn des achtzehnten Jahrhunderts zielte sein Lösungsversuch darauf, die Voraussetzung selbst zu prüfen: Müssen negative Größen überhaupt an demselben Größenverhältnis teilnehmen wie gewöhnliche positive Größen? Man könnte sie auch als entgegengesetzte Zustände oder Richtungen verstehen oder als Fiktionen, mit denen sich erfolgreich rechnen lässt. Dieser Schritt ist entscheidend.

Er zeigt, dass der Widerstand keine bloße Stimmung war, sondern Argumente hatte. Und dass man ihn nicht durch eine bessere Metapher überwand, sondern dadurch, dass man den Anwendungsbereich des Begriffs „Verhältnis“ selbst veränderte.

Dieser Abschnitt ist der Wendepunkt des Essays. Bisher ging es darum, wie man an verschiedenen Orten negative Zahlen verwendete. Von jetzt an geht es darum, dass jemand fragte, mit welchem Recht sie überhaupt als Zahlen galten.

Bis dahin konnte das Problem wie eine Frage der Einsicht aussehen: Manche hatten es begriffen, andere nicht. Das Proportionsproblem macht daraus eine technische Frage. Zwei zugleich geltende Regelsysteme stoßen zusammen; auf einen Teil des einen oder des anderen muss verzichtet werden. Auf welchen, lässt sich nicht intuitiv entscheiden.

Die im Netz oft zu lesende Behauptung, Leibniz habe in einem bestimmten Jahr ausdrücklich zugegeben, Arnauld habe vollkommen recht, geht dagegen zu weit. Er setzte sich tatsächlich ernsthaft mit dem Problem auseinander. Wer daraus ein bestimmtes wörtliches Zitat machen will, muss jedoch zu seinen lateinischen Abhandlungen, Briefen und den verschiedenen Ausgaben zurückgehen und Wort für Wort nachprüfen.

6 Absurd, fingiert, falsch

Die abwertenden Bezeichnungen lassen sich nicht einfach zu einer Liste zusammenwerfen. Sie meinen nicht immer dieselben Gegenstände.

Wenn Diophant auf Gleichungen stieß, die in moderner Schreibweise eine negative Lösung ergeben würden, bezeichnete er das Ergebnis oder die Aufgabenstellung als absurd, als unmöglich. Er erklärte das Ergebnis dieser Aufgabe für absurd. Er hatte nicht zuerst das Objekt „negative Zahl“ geschaffen und ihm dann einen Namen gegeben.

Diese Unterscheidung gilt für die ganze Liste. Ein Ergebnis absurd zu nennen und eine Klasse von Gegenständen absurd zu nennen, sind grundverschiedene Dinge. Im ersten Fall beurteilt man eine Aufgabe, im zweiten eine Art von Zahl.

In Stifels Buch von 1544 finden sich ausdrücklich Wendungen wie „absurde Zahlen“; formale Zahlen unter null nennt er „fingierte Zahlen“. Es gehört damit zu den geeignetsten Belegen für „absurde Zahlen“ als frühneuzeitlichen Fachausdruck. Cardanos „Ars magna“ von 1545 behandelt negative Lösungen mit Bezeichnungen wie „fingierte Zahlen“ und „fingierte Gleichungen“.

Neuere Forschung hat auf etwas Wichtiges hingewiesen: Im sechzehnten und siebzehnten Jahrhundert bedeutete „fingiert“ nicht „sinnlos“. Mit fingierten Gegenständen konnte gerechnet werden, sie konnten richtige Ergebnisse liefern und dennoch keine unmittelbare Deutung als Größe besitzen. Sie fingiert zu nennen hieß also nicht, sie hinauszuwerfen. Es gab ihnen einen Status, mit dem sie bleiben durften. Im nächsten Essay wird dieser Status wieder gebraucht werden, und noch dringlicher.

Etwas, mit dem man rechnen, das man aber nicht erklären kann, darf vorläufig unter dem Namen „fingiert“ bleiben. Findet sich später eine Erklärung, ändert man seinen Status. Dieses Verfahren wird in den folgenden zweihundert Jahren immer wieder angewandt. Descartes’ „falsche Wurzeln“ von 1637 sind überwiegend das, was wir heute negative Wurzeln nennen. Sein anderer Ausdruck, die „imaginären Wurzeln“, gilt hingegen den nichtreellen Wurzeln. Wer falsch, fingiert, imaginär und unmöglich unterschiedslos als Synonyme für negative Zahlen behandelt, vermengt deren Geschichte mit jener anderen Geschichte, die der nächste Essay erzählen wird.

Wallis’ Buch von 1685 ist ein besonders schönes Dokument des Übergangs. Einerseits schreibt er noch, die algebraischen Zeichen schienen ihrem Wortlaut nach etwas zu bedeuten, das weniger als nichts sei. Andererseits betont er sofort: Richtig verstanden seien negative Größen weder nutzlos noch absurd.

Seine physikalische Erklärung lautet: Wenn plus drei bedeutet, drei Yards vorwärtszugehen, dann bedeutet minus drei, drei Yards rückwärtszugehen. Dazu enthält das Buch die Zeichnung einer Geraden, die sich nach beiden Seiten erstreckt. Sie wird später oft zu den frühesten eindeutigen Beispielen einer vollständigen Zahlengeraden gerechnet.

Doch derselbe Mann bewahrt im selben Buch auch eine Überlegung, die uns heute sehr seltsam vorkommt.

Nach einer älteren Anschauung von Brüchen wird der Quotient immer größer, wenn ein positiver Nenner allmählich bis auf null sinkt; bei null strebt er ins Unendliche. Lässt man den Nenner anschließend über null hinaus ins Negative gehen, wird das Ergebnis formal zu einer negativen Zahl.

So stellte Wallis sich negative Werte zeitweilig als eine Art Gebiet jenseits des Unendlichen vor. In der modernen Ordnung der reellen Zahlen geht das natürlich nicht. Minus eins ist kleiner als null, nicht größer als unendlich.

Gerade deshalb ist diese Stelle historisch so aufschlussreich. Derselbe Mann hatte bereits die Deutung durch eine gerichtete Gerade gefunden und versuchte dennoch, negative Zahlen in das alte kontinuierliche Bild von Verhältnissen und Größen hineinzupressen.

Was wir Akzeptanz nennen, ist nie säuberlich aufgeräumt. Wallis verteidigte negative Zahlen und hielt zugleich an einer Erklärung fest, die mit der modernen Ordnungsstruktur unvereinbar ist. Wer die Beteiligten in Befürworter und Gegner sortiert, verliert den interessantesten Teil.

Fast jeder in diesem Essay steht auf beiden Seiten zugleich. Stifel kann sie absurd nennen und mit ihnen rechnen. Cardano kann sie fingiert nennen und in die Gleichungstechnik einbauen. Descartes spricht von falschen Wurzeln und weiß dennoch, wie sie sich durch Umformung in wahre verwandeln lassen. Newton liefert keinen strukturellen Beweis dafür, dass negativ mal negativ positiv ist, zeichnet aber bereits frei in allen vier Quadranten. In der Theorie zurückweisen und in der Praxis unbekümmert weiterverwenden: Das ist kein Widerspruch. Es ist der rote Faden dieser Geschichte.

Eulers Algebra-Lehrbuch entstand in der Mitte des achtzehnten Jahrhunderts und wurde um 1770 veröffentlicht. Er erklärt positiv und negativ anhand von Eigentum und Schulden, Gewinnen und Verlieren, sagt ausdrücklich, positive Zahlen lägen über null und negative darunter, und verwendet die Vorzeichenregeln als elementare Gesetze der Algebra. Beim Rechnen zeigt er nicht Stifels oder De Morgans ausgeprägtes Zögern.

Dennoch stellt er weiterhin mehrere Erklärungen nebeneinander. Das Minuszeichen steht einmal für eine Subtraktion, einmal für eine Eigenschaft der Größe, dann wieder für eine Gegenrichtung oder für Schulden. Die Wendung „weniger als nichts“ deutet zugleich darauf hin, dass Zahlen weiterhin als absolute Größen verstanden werden. Euler vereinigt diese Bedeutungen noch nicht, wie es in der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts geschieht, in einer abstrakten Struktur. Der Vorgang lässt sich treffend so beschreiben: Die Erweiterung der Rechenoperationen kann bereits gelingen, während eine strenge Erklärung dessen, was die neuen Gegenstände eigentlich sind, weiter hinterherhinkt.

Euler war also keineswegs unfähig, negative Zahlen richtig zu verstehen. Vielmehr war seine algebraische Praxis schon erheblich moderner als seine Vorstellung davon, was eine Zahl sei. In dieser lagen die frühneuzeitlichen Größenbegriffe noch Schicht auf Schicht.

Zurück zu De Morgan. Sein Wandel ist klar erkennbar und vollzieht sich in Etappen. Als er 1835 Peacock bespricht, erscheint ihm die symbolische Algebra zunächst wie besessene Zeichen, die überall nach Bedeutung suchen. Peacocks Gedanken verändern ihn jedoch allmählich.

Als er 1840 für eine Enzyklopädie den Artikel „Negative und unmögliche Größen“ verfasst, unterscheidet er bereits ausdrücklich drei Schritte: zuerst die Zeichen festlegen, dann die Gesetze, denen sie gehorchen, und schließlich aus diesen Gesetzen die Ergebnisse ableiten. Seine Arbeit über die Grundlagen der Algebra von 1842 nähert sich der Axiomatisierung weiter an. Zwischen den besessenen Zeichen und dem Grundsatz, erst Zeichen und dann Gesetze festzulegen, liegen fünf Jahre.

Zum Standpunkt, Bedeutung sei grundsätzlich unwichtig, gelangt er allerdings nicht. Sein Leben lang erwartet er, dass formale Systeme letztlich eine Deutung erhalten. Zeichen, für die vorläufig keine Erklärung vorliegt, dürfen wegen ihres rechnerischen Erfolgs bleiben. Doch er glaubt, dass die Geschichte ihnen einen umfassenderen Sinn erschließen wird.

7 Erst einmal muss es funktionieren

Ein Muster durchzieht den ganzen Essay und begegnet über Zivilisationsgrenzen hinweg. As-Samawʾal kann innerhalb von Polynomen fortlaufend mit negativen Gliedern rechnen, während seine Tradition negative Größen gewöhnlich noch nicht als Wurzeln zulässt. Der Bereich des Operierens ist weiter als der Bereich dessen, was als Lösung existieren darf. Cardano nennt negative Lösungen fingiert, hört deshalb aber nicht auf, mit ihnen zu rechnen. Gerade das Wort „fingiert“ ist eine sprachliche Erlaubnis, nützliche Gegenstände schon einmal in die Rechnung einzulassen.

Newton liefert einerseits keinen modernen strukturellen Beweis dafür, warum negativ mal negativ positiv ist, verwendet andererseits aber bereits ganz selbstverständlich alle vier Quadranten sowie positive und negative Wurzeln bei der Untersuchung von Kurven. Das schönste Zeugnis stammt von De Morgan selbst. In seinem Rückblick auf die Geschichte der Algebra beschreibt er einen Zustand, der sich so zusammenfassen lässt: Die Fähigkeit, Ergebnisse hervorzubringen, eilte der Fähigkeit voraus, sie zu erklären. Er geht sogar so weit: Wenn vorläufig unerklärliche Rechnungen wiederholt richtige Ergebnisse liefern, gibt es gute Gründe, sie zunächst beizubehalten und erst danach nach einer allgemeineren Erklärung zu suchen.

Erst verwenden, dann verstehen: Das ist keine nachträgliche Verteidigungsrede moderner Menschen für die Alten. Es ist ein historisches Muster, das Mathematiker des neunzehnten Jahrhunderts selbst erkannt hatten. Zweimal ist es in dieser Reihe bereits aufgetaucht, und beide Male haben die Beteiligten selbst davon gesprochen.

Der Mann im vierten Essay sagte, das mechanische Verfahren helfe ihm, die Antwort zu finden, gelte aber nicht als Beweis; deshalb müsse er sie noch einmal beweisen. Der Mann im fünften sagte, er habe noch keine Begründung, der er selbst vertraue, und lasse die Stelle lieber als offene Frage stehen. Diesmal spricht jemand aus einer späteren Zeit. Und er spricht nicht nur von seinem eigenen Fall, sondern von einer Gewohnheit des ganzen Fachs.

Diese Beobachtung ist seltener, als sie klingt. Wer mitten in einem Fach arbeitet, erkennt kaum, dass es eine bestimmte Bewegung immer wieder vollzieht. Meist muss viel Zeit vergehen, muss die Bewegung mehrfach geschehen, ehe jemand sie bemerkt. Als De Morgan sie erkennt, führt er selbst gerade eine weitere Wiederholung aus. Und er lockert deswegen seine Maßstäbe nicht. Er hält weiterhin daran fest, dass das vorläufig Unerklärte früher oder später erklärt werden muss. Nur eben nicht unbedingt jetzt.

Das ist eine eigentümliche Haltung: eingestehen, dass das eigene Fach oft erst handelt und sich die Genehmigung hinterher besorgt, und zugleich darauf bestehen, dass diese Genehmigung irgendwann eingeholt werden muss.

Drei Menschen, jeder in einem anderen Jahrhundert, drei Sprachen. Sie sagen dieselbe Sache in drei Gestalten: Ich kann es ausrechnen, lasse es aber nicht gelten. Ich habe nicht einmal ein Rechenverfahren, also schreibe ich es nicht hin. Dieses Fach kann oft rechnen, was es nicht erklären kann. Als De Morgan das sagt, hat er gerade selbst ein Beispiel auf dem Tisch, das eingelassen wird. Was verschaffte ihm schließlich seine Berechtigung? Es gab drei Wege.

Der erste ist die Formalisierung. In seinem Buch von 1830 schlägt Peacock vor, die Algebra aus der allgemeinen Arithmetik zu lösen. Er unterscheidet arithmetische von symbolischer Algebra. In der ersten stehen die Buchstaben weiterhin für gewöhnliche positive Zahlen. Die zweite untersucht zunächst Zeichen und die Gesetze, nach denen mit ihnen gerechnet wird.

Sein berühmtes Prinzip wird später oft als Fortbestand der Formen zusammengefasst: Gleichwertige Formen, die in der arithmetischen Algebra durch zulässige Operationen gewonnen wurden, sollen auch nach einer Erweiterung der Zeichen gleichwertig bleiben, solange die festgelegten Rechengesetze erhalten werden.

Die entscheidende Veränderung besteht nicht darin, dass endlich entdeckt worden wäre, minus drei sei tatsächlich irgendeine geheimnisvolle Größe. Sie besteht darin, dass ein Ausdruck nicht mehr zuerst als positive Größe gedeutet werden muss, um in der Algebra rechtmäßig mitspielen zu dürfen. Diesen Satz sollte man langsam lesen. Er beseitigt keine Schlussfolgerung. Er beseitigt eine Zugangsschwelle.

Zuvor musste jedes Zeichen, das in die Algebra wollte, zuerst seine Papiere vorzeigen: Für welche positive Größe stehst du? Danach genügt es, den festgelegten Gesetzen zu gehorchen. Die Identität kann später geklärt werden oder auch auf Dauer offenbleiben. Dadurch entsteht institutioneller Raum für negative Zahlen und für jene andere Klasse von Gegenständen, mit der sich der nächste Essay befassen wird.

Hankels Buch von 1867 fasst diesen Weg zu einem allgemeinen Prinzip zusammen: Neue Gegenstände werden nicht dadurch eingeführt, dass man jede neue Zahl wieder auf eine Größe alten Typs zurückführt. Entscheidend ist vielmehr, dass das erweiterte System die geeigneten algebraischen Gesetze bewahrt.

Der zweite Weg führt über die Geometrie.

Besonders leicht schreibt sich hier ein falscher Satz: Descartes erfand das Koordinatensystem, und damit hatten negative Zahlen ihre Erklärung durch die Zahlengerade. Seine analytische Geometrie von 1637 erweiterte die Verbindung von Zeichen und Kurven natürlich erheblich. Er selbst nannte negative Wurzeln aber weiterhin falsch. Die Existenz der Koordinatentechnik löste also nicht von selbst das Problem, was negative Zahlen eigentlich sind.

Unmittelbarer sind Wallis’ Vorwärts- und Rückwärtsbewegung und seine nach beiden Seiten verlaufende Gerade. Auch Newton unterscheidet am Anfang seines Arithmetikbuchs bejahende und verneinende Größen. Er erläutert die Vorzeichen durch Eigentum und Schulden, Vorwärts- und Rückwärtsbewegung und eine in entgegengesetzter Richtung gezogene Linie. In seiner 1704 veröffentlichten Untersuchung kubischer Kurven arbeitet er bereits ausgiebig mit Kurven in verschiedenen Richtungen und Bereichen der Ebene.

Zu Beginn des neunzehnten Jahrhunderts entwickeln weitere Autoren gerichtete Strecken und geometrische Darstellungen fort. Negativ muss dadurch nicht mehr als eine Länge unter null verstanden werden, sondern kann die entgegengesetzte Richtung auf derselben Achse bedeuten.

Was löst das? Die anschauliche Schwierigkeit, wie minus drei Fuß eine Länge sein sollen. Drei Fuß bleiben eine Länge. Das Minuszeichen hält die Richtung fest.

Es löst nicht alles. Schulden, Temperaturen und Wurzeln abstrakter Gleichungen sind nicht buchstäblich Strecken. Und um sämtliche algebraischen Gesetze zu beweisen, reicht die Zeichnung einer gerichteten Geraden allein weiterhin nicht aus.

Außerdem kann die geometrische Erklärung selbst altes Gepäck mitbringen. Wir haben gesehen: Derselbe Mann, der eine Gerade nach beiden Seiten zeichnete, hielt negative Zahlen auch für eine Art Gebiet jenseits des Unendlichen. Ein Bild kann die Richtung erklären, aber nicht die Ordnung. Die Zahlengerade ist ein starkes Deutungsmodell. Sie ist nicht schon die logische Konstruktion der modernen ganzen Zahlen.

Der dritte Weg ist der Erfolg der Rechnungen selbst; davon war bereits die Rede. Das Gewicht der drei Wege lässt sich folgendermaßen bestimmen.

Fragt man, wodurch negative Zahlen ihr uneingeschränktes Recht auf Teilnahme an der Algebra erlangten, wiegt die Formalisierung am schwersten. Peacocks Durchbruch bestand gerade darin, die Forderung abzuschaffen, jedes zulässige Zeichen müsse zuerst als gewöhnliche arithmetische Größe erklärt werden.

Fragt man dagegen, warum gewöhnliche Mathematiker und Schüler negative Zahlen schließlich nicht mehr sonderbar fanden, dürfen Geometrie und Anwendungen nicht zu bloßem Beiwerk herabgesetzt werden. Richtung, Schulden und Koordinaten liefern immer wieder verwendbare Bedeutungen. Sie verhindern, dass das formale System zu jener Ansammlung besessener Zeichen wird, über die De Morgan gespottet hatte.

Es ist daher auch ausdrücklich bestritten worden, dass diese Geschichte als selbsttätiger Sieg des Formalismus über den Intuitionismus erzählt werden kann. Was sich im neunzehnten Jahrhundert über lange Zeit hinzieht, ist ein Aushandeln zwischen Verallgemeinerung, Strenge und anschaulicher Verständlichkeit.

Aushandeln ist das richtige Wort. Drei Wünsche ziehen in verschiedene Richtungen: Die Regeln sollen weiter reichen. Jeder Schritt soll standhalten. Die Menschen sollen verstehen können, was geschieht. Treibt man einen dieser Wünsche ins Extrem, leiden die beiden anderen.

Im dritten Essay begegnete bereits eine bestimmte Mischung dieser drei Ansprüche. Damals wurden die Bilder aus dem Beweis verbannt. Dafür gewann man Unabhängigkeit vom Auge; bezahlt wurde mit Lesbarkeit.

Diesmal wird anders getauscht. Man streicht die Forderung, dass ein Zeichen zuerst als Größe gedeutet werden muss, und gewinnt dafür den legitimen Platz der negativen Zahlen und später weiterer Gegenstände. Zahlen müssen nun nicht mehr zunächst eine bestimmte konkrete Größe bezeichnen, um an festgelegten Operationen teilnehmen zu dürfen; unterschiedliche konkrete Deutungen können sie weiterhin haben. Beide Tauschgeschäfte gehen in dieselbe Richtung: Man gibt etwas Sichtbares auf und gewinnt eine Regel, mit der sich mehr anfangen lässt.

Nimmt man die einzelnen Streitigkeiten dieses Essays auseinander, findet man jedes Mal eine neue Mischung derselben drei Ansprüche.

8 Die Wunden in den Namen

Alle diese Namen tragen ihre Herkunft mit sich.

Das Adjektiv für „negativ“ stammt in der lateinischen Tradition von einem Wort für Verneinen, Ablehnen, Neinsagen. Es war ursprünglich keine eigens für die modernen ganzen Zahlen geschaffene neutrale Bezeichnung. Die neuzeitliche Algebra entlehnte es für negative Zahlen und negative Größen; von dort gelangte es in die europäischen Sprachen. Das Gegenwort kommt von der Seite des Setzens, Hinstellens, Bejahens. Eine andere alltägliche englische Lesart, „minus“, ist noch unmittelbarer: Sie stammt vom lateinischen Ausdruck für weniger, geringer als. Diese Sprachgeschichte bewahrt Spuren davon, dass negative Zahlen zunächst als Abziehen, Fehlen und Verneinen verstanden wurden, nicht als eine Klasse in sich bestehender Gegenstände.

Das ist kein europäischer Sonderfall. Das Sanskritwort bedeutete ursprünglich Schuld, im Gegensatz zu Eigentum. Das arabische Wort bedeutete Verminderung oder Mangel, im Gegensatz zur Zunahme. Alle diese Fachwörter kamen aus Beziehungen, Gewinn und Verlust, Fehlbetrag und Überschuss in die Mathematik.

Nirgends stand am Anfang der neutrale Name einer Kategorie. In all diesen Sprachen wurde diese Art von Gegenstand zuerst dadurch kenntlich gemacht, dass ihr etwas fehlte, nicht dadurch, was sie war.

Die Wunden in den Namen sind deshalb mehr als eine Redensart. Viele Sprachen benannten negative Zahlen zunächst nicht als neutrale Klasse ganzer Zahlen, sondern von Verlust, Mangel, Schuld, Verneinung, Verminderung und Gegenrichtung her. Später erlangten die Gegenstände den gleichen formalen Rang. Die alten Namen blieben. Im nächsten Essay wird das noch auffälliger sein. Der Name jener anderen Gegenstände behauptet bis heute, sie seien bloß ausgedacht. Auf chinesischer Seite verhält es sich ähnlich. Doch dort gibt es eine Überraschung.

Für das Zeichen 负, fù, in den „Neun Kapiteln“ liefern nicht moderne Geschichten über seine Wortherkunft den sichersten Bedeutungsbeleg, sondern Liu Huis eigene Erklärung: Weil sich die beiden Arten von Stäbchen wie Gewinn und Verlust gegenüberstehen, sollen sie positiv und negativ heißen.

Im mathematischen Zusammenhang steht fù also auf der Seite des Verlusts und bildet die Gegenkategorie zu 正, zhèng. Im Altchinesischen besaß fù auch benachbarte Bedeutungen wie Tragen einer Last, Verschuldung, Schulden und Niederlage. Welche davon unmittelbar den mathematischen Fachausdruck hervorgebracht hat, lässt sich allein aus den überlieferten Texten nur schwer rekonstruieren. Es schlicht mit „Schuld“ zu übersetzen, würde wiederum die chinesischen Quellen nach indischem Muster umdeuten. Die Überraschung wartet in der späten Qing-Zeit: Zhèng und fù waren keine im neunzehnten Jahrhundert angesichts der westlichen Algebra rasch erfundenen Übersetzungen.

China besaß bereits eine über tausendjährige klassische mathematische Fachsprache, auf die es zurückgreifen konnte. Li Shanlan und die neuzeitlichen mathematischen Texte seines Umfelds sprachen ganz selbstverständlich weiter von positiven Zahlen, negativen Zahlen und positiven wie negativen Zahlen insgesamt. In einschlägigen Texten steht sogar ausdrücklich: Positiv mal positiv ist positiv, negativ mal negativ ebenfalls positiv.

Es wurde also eher eine alte Terminologie in die westliche Algebra neu eingesetzt, als dass eine Übersetzung bei null begann. Der vorige Essay hat gezeigt, dass die vier chinesischen Wörter für Algorithmus, Null, Sinus und Algebra ihre jeweils eigene Geschichte besitzen: einheimische alte Wörter, Übersetzungsnamen aus dem Kalenderamt der späten Ming-Zeit und Neuschöpfungen der späten Qing-Zeit. Zhèng und fù gehören zur ersten Gruppe und sind innerhalb dieser Gruppe die ältesten.

Ein Wort lebt über tausend Jahre in der chinesischen Sprache, durchläuft mehrere Arten von Mathematik und dient schließlich dazu, einen Begriff zu übersetzen, der auf einem anderen Weg gekommen ist. Und es passt mühelos.

Von einer bestimmten Anordnung auf dem Rechenbrett über einen Polynomkoeffizienten bis zu einem Gegenstand, dessen Berechtigung im neunzehnten Jahrhundert begründet werden muss: Dieses Zeichen ist immer dabei. Seine Bedeutung wandelt sich unterwegs, seine Gestalt kein einziges Mal. Es passt so mühelos, dass heute niemand das Gefühl hat, eine Übersetzung vor sich zu haben.

Das ähnelt der Geschichte des Algorithmus aus dem vorigen Essay. Zwei Systeme gehen ihre eigenen Wege, bis jemand sie irgendwann mit demselben Wort verbindet. Und dieses Wort bringt seine eigene Herkunft mit.

Ob es konkurrierende Übersetzungen gab, die später verschwanden, lässt sich derzeit nicht zuverlässig belegen. Keine gesicherten Kandidaten, kein Jahr des ersten Auftretens, kein nachvollziehbarer Verdrängungsprozess. Auch die Herkunft des heutigen chinesischen Unterrichtsbegriffs 相反数, „Gegenzahl“, ist nicht zu ermitteln. Diese beiden Stellen bleiben lieber offen.

Offen ist besser als eine hinzuerfundene, vollständig aussehende Abstammungslinie. Lässt sich die Geschichte eines Übersetzungswortes nicht ermitteln und steht das auch so da, kann der nächste Mensch weitersuchen. Steht dort stattdessen, jemand habe den Namen in einem bestimmten Jahr festgelegt, sucht der nächste nicht mehr.

Breiten wir die vier Schritte noch einmal aus.

Erstens: Können negative Glieder in einem Rechenverfahren auftreten? In China ist das in den „Neun Kapiteln“ bereits der Fall, in Indien und in der arabischsprachigen Welt ebenfalls früh. In Europa werden sie vom fünfzehnten Jahrhundert an unverdrossen verwendet.

Zweitens: Gibt es zuverlässige Vorzeichenregeln? In Indien sind sie im siebten Jahrhundert vollständig, in der arabischsprachigen Welt im zwölften ausdrücklich formuliert. Europa folgt.

Drittens: Kann ein negativer Wert die endgültige Antwort sein? Das bleibt überall an Bedingungen gebunden. Entscheidend ist, ob die Größe eine Richtung besitzt. Bei Schulden geht es, bei Affen nicht.

Viertens: Sind negative Zahlen ebenso berechtigte Zahlen wie positive? In den hier behandelten neuzeitlichen europäischen Debatten wird diese Frage lange und ausdrücklich entfaltet. Das schließt entsprechende Überlegungen in anderen Traditionen nicht aus. Beantwortet wird sie auch nicht dadurch, dass man herausfindet, was für ein Ding minus drei eigentlich ist. Man beseitigt die Voraussetzung der Frage. Ein Zeichen muss nicht zuerst als irgendeine Größe erklärt werden, um an Rechnungen teilnehmen zu dürfen.

De Morgan selbst hat dieses Muster am genauesten beschrieben. Die Mathematik erzeugt zunächst Dinge, mit denen sie rechnen kann, die sie aber nicht erklären kann. Dann kehrt sie um, fasst ihre Definitionen weiter und lässt die Dinge hinein. Als er das sagt, hat er gerade eines vor sich, das eben eingelassen wurde, und ein anderes, das noch draußen steht. Das zweite trägt einen noch unschöneren Namen als die negativen Zahlen. Sein Name sagt geradeheraus, es sei ausgedacht. Und dieser Name ist bis heute geblieben.

Auch sein Weg in die Mathematik ist ein anderer. Negative Zahlen wuchsen aus Schulden und Richtungen hervor. Dieses andere Gebilde wurde an einer Stelle erzwungen, an der niemand es haben wollte. Negative Zahlen konnten immerhin auf ein vorhandenes Gegenstück verweisen. Jene andere Klasse konnte auf gar nichts zeigen. Und auf jenem Weg über Wurzelausdrücke bekam man ohne sie die Antwort nicht.

Mit Zahlen wird weitergerechnet. Was als Mathematik zählt, ist dabei noch nie abschließend ausgerechnet worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Materialien beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die unterschiedlichen Deutungen in diesem Essay. Katalogeinträge zu Sammlungsbeständen, antike literarische Texte und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• De Morgan: Über das Studium der Mathematik und seine Schwierigkeiten (1831)
• Mathematical Association of America: Einblick in De Morgans Originalausgabe
• Universität St Andrews: Brahmagupta
• Zur problematischen Geschichte der britischen Algebra im neunzehnten Jahrhundert
• Über die Vergangenheit eines mathematischen Gegenstands
• Übersetzung von Hankels Werk über komplexe Zahlensysteme (1867)

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