Números absurdos

1. Un problema imposible

El problema dice así.

Un padre tiene cincuenta y seis años; su hijo, veintinueve. ¿Cuántos años tienen que pasar para que el padre tenga el doble de edad que el hijo?

Planteamos la ecuación, hacemos las cuentas y obtenemos menos dos.

En 1831, un matemático británico abordó este problema en un libro sobre cómo aprender matemáticas. El resultado, decía, era absurdo: la pregunta había acotado demasiado las posibilidades. Y la reformuló. El signo menos indicaba que aquello había ocurrido dos años antes, no que fuera a ocurrir dos años después. Cambiada la pregunta, el dos volvía a ser un número positivo corriente. El matemático era De Morgan. Por entonces consideraba incomprensible una cantidad negativa aislada dentro del marco de la aritmética. Justo antes del problema había escrito que, en cuanto a su significado real, las cantidades negativas eran tan imaginarias como las que llevaban ese nombre: restar un número de la nada resultaba tan inconcebible como la raíz cuadrada de un número negativo.

Y estamos ya en la década de 1830. Gran Bretaña tenía ferrocarriles, imprentas de vapor y enciclopedias baratas destinadas a trabajadores y lectores de clase media. El propio De Morgan colaboraba en una de ellas. Habían pasado mil doscientos años desde que Brahmagupta escribiera en 628 un sistema completo de reglas para los signos positivos y negativos. Desde los procedimientos con positivos y negativos de los Nueve capítulos sobre el arte matemático, todavía más. La distancia parece trazar una frontera clarísima: Oriente ya los había aceptado; Occidente llevaba mil años resistiéndose.

La frase es casi obligatoria en las historias divulgativas de las matemáticas. Tiene una forma muy cómoda: unos eran inteligentes, los otros obstinados, y la diferencia de fechas es lo bastante grande como para recordarla.

Este ensayo no pretende rehabilitar a nadie. Pretende desmontar esa distancia temporal y averiguar qué está midiendo. Al hacerlo veremos que no mide la capacidad de comprender, sino la pregunta que se estaba respondiendo en cada lugar. Habrá que desmontar casi todas las palabras de aquella frase.

Empecemos por un hecho que suele pasar inadvertido: en ese mismo pasaje, De Morgan usa el menos dos con toda precisión. Sabe que el signo menos invierte el sentido del tiempo y se sirve de él para corregir el enunciado. Alguien que, según se dice, no aceptaba los números negativos acaba de utilizar el signo menos para arreglar una pregunta. Vayamos, pues, a la palabra decisiva: aceptar. Aceptar los números negativos no es una sola cosa. Son, por lo menos, cuatro.

Primera: ¿puede aparecer un término negativo en los pasos intermedios de un algoritmo? Segunda: ¿se puede operar con esos términos de forma estable, con reglas de signos fiables? Tercera: ¿se puede conservar un valor negativo como respuesta final de cierta clase de problemas? Cuarta: ¿se reconoce a los números negativos como una clase de números con los mismos derechos que los positivos? En China, en la India, en las matemáticas en lengua árabe y en Europa, estas cuatro cosas no ocurrieron al mismo tiempo. Tampoco siguieron el mismo orden.

Basta llamar aceptación a la primera y medir a otra tradición por la cuarta para fabricar una simetría falsa.

De Morgan sabía utilizar el signo menos. Lo manejaba con soltura y sabía exactamente qué significaba en aquel problema. Lo que no estaba dispuesto a hacer era dar el cuarto paso.

Vamos a recorrer las cuatro cronologías por separado. Al terminar, veremos que cada lugar se adelantó en unas cosas y se retrasó en otras, y que las combinaciones de adelanto y retraso son distintas en cada caso. Una única frontera se convertirá en cuatro cuadros cronológicos que no encajan entre sí.

Y ese desencaje no es aleatorio. Las dos primeras cosas llegaron pronto casi en todas partes; la tercera estuvo sujeta a condiciones en todas ellas. La cuarta aparece con especial claridad en las fuentes de la Europa moderna que examinaremos aquí, pero eso no autoriza a afirmar que otras tradiciones nunca plantearan preguntas semejantes. La diferencia no está en quién era más inteligente, sino en qué preguntaba cada cual. En esa frase cabe todo este ensayo. Lo que queda es desplegar, una por una, las cuatro cronologías.

2. Ganancias y pérdidas opuestas

Los Nueve capítulos sobre el arte matemático introducen el procedimiento de positivos y negativos en su capítulo octavo, dedicado al fangcheng, la disposición de cantidades en columnas.

El procedimiento trata dos estados opuestos que aparecen en una disposición de varillas de cálculo cuando se resta una columna de otra. Sus reglas se ocupan de cómo restar y sumar entre términos de igual nombre o de nombre distinto, y de cómo, al restar un positivo de una posición vacía, se introduce un negativo; al restar un negativo, un positivo. Lo decisivo es el comentario de Liu Hui, del siglo III: las dos clases de varillas representan ganancias y pérdidas opuestas, y por eso hay que darles los nombres de positivo y negativo. Ganar y perder son contrarios; los nombres deben distinguirlos. También especifica los colores: rojas las varillas positivas, negras las negativas. Si no se usan colores, se distinguen por la orientación en que se colocan.

Merece la pena detenerse aquí. Para distinguir dos clases opuestas de cantidades sobre el tablero de cálculo, lo más inmediato no fue inventar un símbolo: fue cambiar de color o colocar las varillas de otra manera.

En el quinto ensayo vimos que las varillas rojas y negras cuentan con una tradición textual, pero que no hay suficientes pruebas materiales para asegurar que todos los cálculos de la época Han se hicieran siempre con dos juegos de colores. Lo que sí podemos afirmar es que la distinción se inscribía en el estado de las propias varillas, no en una marca escrita a su lado.

Aquí, por tanto, positivo y negativo son, ante todo, los nombres de dos clases de varillas que representan ganancias y pérdidas opuestas dentro del algoritmo.

Las fuentes originales permiten sostener con firmeza que las varillas negativas intervenían de manera estable en la eliminación de los sistemas de ecuaciones, que podían surgir al restar varillas positivas de una posición vacía y que existían reglas para sumarlas y restarlas. Sostienen con mucha menos fuerza que el autor concibiera ya el menos tres como un número abstracto con existencia propia, separado del tablero y del contexto del problema.

Se puede precisar más. Lo negativo en una disposición de varillas consiste en que las de cierta casilla se colocan de otro modo. Tienen un lugar, unas casillas vecinas y una función en ese paso de la eliminación. En cuanto a sacarlas de ahí y preguntar qué son por sí solas, estos textos de procedimientos no siguen por ese camino. El texto principal no presenta aquí un sistema completo de multiplicación y división con signos. El papel primordial de los valores negativos es el de términos con signo dentro de un procedimiento para resolver ecuaciones.

Dicho de otro modo: aquello nace de un verbo; no empieza siendo un sustantivo. Tras efectuar la resta, queda un estado en una casilla, y ese estado necesita un nombre. Una vez nombrado, puede intervenir en todos los pasos siguientes hasta que acaba el cálculo. Pero al acabar desaparece, porque la respuesta final no lo lleva consigo.

Decir que lo negativo de los Nueve capítulos era apenas un error ocasional o una carencia es decir demasiado poco. Decir que ya era un objeto independiente entre los enteros modernos es decir demasiado.

El quinto ensayo examinó la forma concreta que adoptaba el cálculo con varillas. Estos términos deben entenderse desde las disposiciones, las posiciones y las relaciones de transformación, sin verter retrospectivamente sobre ellos las matrices y los números con signo de hoy.

En las épocas Song y Yuan se aprecia una ampliación. Los procedimientos de extracción de raíces del tipo de los de Qin Jiushao emplearon estados positivos y negativos en disposiciones de coeficientes de polinomios de grado superior. Las reconstrucciones modernas permiten incluso seguir operaciones con varillas sobre polinomios que tienen el término principal o el término independiente negativos. En el siglo XIII, Yang Hui reorganizó y explicó la tradición del fangcheng. Con los métodos del elemento celeste y de los cuatro elementos de Zhu Shijie, los coeficientes positivos y negativos formaban ya parte del cálculo polinómico. El término negativo había dejado de ser un estado local de la eliminación lineal para entrar en un campo más amplio de operaciones con coeficientes.

Volvamos a nuestras cuatro preguntas. La primera estaba resuelta desde muy pronto; la segunda, dentro del ámbito del fangcheng. La tercera dependía del tipo de cantidad. Estos textos de procedimientos no desarrollaron explícitamente la cuarta, lo cual no significa que nadie la pensara en aquella época.

El quinto ensayo exigía una cautela parecida. Allí el error consistía en convertir una tradición algorítmica en el carácter de toda una civilización. Aquí consiste en tomar la precocidad en una sola de las cuatro cosas por precocidad en las cuatro.

Ambos errores funcionan igual: se escoge el punto más fuerte de una tradición y el más débil de otra, y se colocan uno junto al otro.

Que el libro no plantee la pregunta y que nadie la pensara entonces son cosas distintas. La pregunta moderna por lo que es un entero nació de otras preocupaciones. Esas preocupaciones aparecerán en la segunda mitad de este ensayo y tienen un origen muy concreto.

Tendremos que volver muchas veces a esta diferencia. Si una tradición no respondió a cierta pregunta, puede ser porque no supiera responderla o porque allí aquella pregunta no constituyera un problema. El significado histórico de ambas situaciones es por completo distinto.

3. Propiedad y deuda

Brahmagupta escribió su libro en 628. En el capítulo decimoctavo expuso una aritmética con signos muy explícita.

Los propios términos técnicos del sánscrito conservaban un sentido cotidiano. Del lado positivo estaban la propiedad, la riqueza, lo obtenido. Del negativo, la deuda, lo que se debe. Para el cero se empleaba una palabra que significaba vacío. La propiedad y la deuda no son metáforas que una pedagogía posterior añadiera a las reglas: forman parte del lenguaje técnico mismo. El contenido de las estrofas que van aproximadamente de la treinta a la treinta y cinco puede condensarse así.

La suma de dos bienes sigue siendo un bien; la de dos deudas, una deuda. Entre un bien y una deuda se toma la diferencia; si son iguales, el resultado es cero. Un positivo o un negativo sumado a cero conserva su signo. Para restar un positivo de un negativo, o un negativo de un positivo, se suman las cantidades. Positivo por negativo da negativo; negativo por negativo, positivo. Cero multiplicado por positivo o por negativo da cero. En cuanto a las reglas de los signos, se trata ya de un sistema muy estable. La segunda de nuestras cuatro cosas estaba completa en la India del siglo VII.

Además, no se redactaron esas reglas para salir del paso en una clase determinada de ejercicios. Se enunciaron como reglas generales, una tras otra, a la manera de una tabla.

Que estén reunidas en una tabla importa por sí mismo. Una regla escrita dentro de la solución de un problema pertenece a ese problema. Un conjunto de reglas dispuesto en una tabla se convierte en algo que se puede citar. Conviene recordar que esa tabla existía ya en el siglo VII, porque Europa tardaría mucho en tener otra tan explícita.

Pero lo que sucede con el cero impide, mejor que nada, contar todo esto como una historia de triunfos.

Brahmagupta trató correctamente la suma, la resta y la multiplicación de un número con cero. Sin embargo, estableció que cero dividido por cero era cero. Para un número no nulo dividido por cero dejó una expresión con denominador cero, sin un cociente bien definido en el sentido moderno.

No fue un descuido. Hubo que esperar mucho para establecer con claridad que dividir por cero era una operación que no podía hacerse, en vez de una operación a la que correspondía asignar algún valor. Para él seguía siendo un lugar en el que cabía fijar una regla. Esto muestra también que el cero y los negativos son dos asuntos distintos. Las reglas de los signos podían estar completas en el siglo VII y, en manos del mismo autor, las propiedades aritméticas del cero podían seguir teniendo fisuras. Decir que los indios inventaron el cero y los números negativos comprime en una sola dos labores que habían alcanzado grados de madurez diferentes.

Podemos decir que fue el primero en dar reglas aritméticas al cero. No podemos decir que hubiera establecido toda la teoría algebraica moderna del cero. Pero hay una frase de quinientos años después que importa aún más.

El tratado de álgebra de Bhaskara II data de hacia 1150. Tras un problema en el que aparece una segunda raíz, explica que ese segundo valor no se toma aquí porque no corresponde al sentido del enunciado. La parte decisiva de la traducción transmitida por Colebrooke viene a decir: no se admite un número absoluto negativo.

Muchas fuentes secundarias posteriores lo han simplificado como no se admiten raíces negativas. La idea es aproximadamente correcta, pero conviene conservar número absoluto negativo, una expresión mucho más reveladora. Sugiere que la discusión podía concentrarse en asignar un valor negativo a una incógnita que debía representar una cantidad absoluta, sin negar por ello todas las operaciones con signo menos. Tampoco cabe invertir la frase y usarla para demostrar que la India, en realidad, no había aceptado los negativos. Esa misma tradición manejaba con soltura las deudas, los sentidos opuestos y las reglas de los signos.

Dos autores separados por quinientos años: uno escribe unas reglas de signos completas; el otro rechaza una raíz negativa concreta. No hay conflicto entre ambas cosas. Ocurren dentro de una misma tradición.

Si escogemos solo al primero, concluiremos que la India ya lo había aceptado todo. Si escogemos solo al segundo, que tampoco la India lo aceptaba. Las dos conclusiones funden nuestras cuatro cosas en una. Lo que el caso demuestra es algo distinto: ser una cantidad negativa con la que se puede operar y ser una solución admisible para una incógnita concreta son dos clases distintas de legitimidad.

La conclusión más segura para la India es, por tanto, esta: las cantidades negativas podían mantenerse sin dificultad a lo largo de las operaciones aritméticas y algebraicas. Cuando el significado de una cantidad formaba naturalmente una pareja, como propiedad y deuda, este y oeste, aumento y disminución, el signo menos encontraba una interpretación efectiva. Cuando la incógnita representaba algo que solo podía tomar valores no negativos, como el número de personas, una longitud o la cantidad de objetos, una raíz negativa podía juzgarse incompatible con el problema. Los libros de texto actuales siguen dando ese paso, aunque lo llamen de otro modo: aparecen dos raíces y se descarta una, porque una longitud no puede ser negativa.

La diferencia es que el estudiante de hoy sabe que el valor descartado sigue siendo un número, solo que no sirve para ese problema. Quienes trabajaban entonces no necesitaban concebirlo así, porque aquello no estaba incluido, para empezar, entre los números. Una misma operación quedó registrada hacia 1150 como una frase sobre lo que la gente no admitía; hoy queda registrada con un simple «se descarta».

Las dos primeras cosas se cumplen. La tercera depende del tipo de cantidad. El saldo de una deuda puede tener un significado final negativo. Menos cinco monos, no.

La distinción parece de sentido común, pero constituye todo el contenido de la tercera pregunta. Que el valor negativo pueda quedarse como respuesta depende de que la cantidad tenga un reverso natural. Si lo tiene, el signo menos indica un sentido. Si no lo tiene, indica que algo falla en el problema.

El problema de las edades del padre y el hijo cae justo en medio. El tiempo tiene un sentido contrario, así que el menos dos se puede interpretar. Pero el enunciado preguntaba por después, y después no tiene reverso.

Lo que hizo aquel matemático fue conservar la información del signo menos y cambiar la pregunta.

Es una maniobra muy fina. No dijo que el signo menos careciera de sentido, pero tampoco que menos dos fuera un número. Dijo: este signo te está diciendo que has preguntado en la dirección equivocada.

4. Déficit y exceso

El ensayo anterior trató aquel libro de álgebra del siglo IX y sus seis clases de ecuaciones: todos los coeficientes de números, raíces y cuadrados se mantenían como cantidades positivas. No era incapacidad para escribir una fórmula unificada. Era coherencia con la manera en que entonces se entendían el número, la raíz y el cuadrado: como cantidades positivas.

Hay otro detalle de aquel libro que viene al caso: todavía no tenía nuestros símbolos algebraicos; qué calcular y cómo hacerlo se iba contando, sobre todo, con palabras. Es más difícil tratar una cantidad expresada en palabras como un objeto al que se le puede cambiar el signo a voluntad. Lo escrito en una frase lleva consigo, de manera natural, el sentido de lo que es.

Pero el álgebra posterior en lengua árabe fue mucho más compleja que un rechazo de los negativos. El cálculo polinómico de Al-Karají permitía que los términos que se restaban intervinieran en las operaciones algebraicas. Con Al-Samaw'al, en el siglo XII, las reglas de signos ya eran explícitas. Para el lado negativo empleaba palabras que significaban falta, pérdida, disminución; para el positivo, aumento, exceso. Sabía que negativo por positivo da negativo y que negativo por negativo da positivo. Sabía también que restar un término positivo de una casilla vacía deja un término negativo, y que restarle uno negativo deja uno positivo.

Los coeficientes negativos, en otras palabras, no se evitaban cuando formaban parte de la estructura de un polinomio.

El vocabulario es revelador: falta y exceso, pérdida y aumento. No son nombres de números, sino de estados. Un término se encuentra del lado del déficit o del lado del superávit.

Nombrar mediante estados indica que estos textos ofrecían una interpretación relacional. Pero el nombre, por sí solo, no demuestra que aquello no pudiera tratarse como un objeto independiente. Las ganancias y pérdidas opuestas de Liu Hui, que vimos en la segunda sección, responden a la misma forma de nombrar, a miles de kilómetros y novecientos años de distancia. En ambos casos hubo primero dos situaciones contrarias y se tomaron de ellas los nombres. Nadie empezó por fabricar una cosa llamada negativo para buscar después qué podía representar. Entonces, ¿por qué las raíces seguían siendo, por lo común, positivas?

Porque raíz, número y cantidad seguían perteneciendo a la categoría de las cantidades positivas medibles, mientras que los términos negativos solían entenderse como términos que se restaban, términos deficitarios o términos que se anulaban con los del otro lado. No había una prohibición uniforme: había una diferencia entre el sentido de los problemas y el alcance de los objetos algebraicos. Esto es esencial para comprender toda esta historia.

Ahí está la razón de que la tercera cosa estuviera sujeta a condiciones en todas partes. Evitar las raíces negativas no equivale a no entender los negativos. Puede significar simplemente que, en aquella familia de problemas, raíz quería decir una longitud, un número de objetos o una suma de dinero, y que esas cosas no tenían un reverso.

En el ensayo anterior vimos por qué aquellas seis clases de ecuaciones tenían que ser seis. Ahora podemos terminar la explicación: una fórmula unificada exigía coeficientes con signo menos, y una cantidad con signo menos todavía no era algo capaz de sostenerse por sí mismo. Las seis clases dibujan la forma de esa limitación. A menudo, lo que un sistema rechaza revela sus límites mejor que lo que admite. No eran seis reglas. Eran las seis caras de un muro.

Un estudio clásico sobre las soluciones negativas medievales establece precisamente esta distinción: conocer las reglas de signos, obtener valores formalmente negativos y admitir soluciones negativas son tres niveles diferentes. La primera etapa europea presenta el mismo patrón.

El Libro del ábaco se compuso inicialmente en 1202, pero no se conserva ningún ejemplar de aquella versión. El texto disponible pertenece a la tradición de la revisión de 1228. En ciertos cálculos del capítulo decimotercero relacionados con el comercio, las sociedades mercantiles y el método de falsa posición, cuando los bienes quedan formalmente por debajo de cero, el resultado se interpreta como una deuda, no como una bolsa de dinero negativo.

Esto encaja muy bien con un rasgo duradero de la práctica europea posterior: un valor negativo podía existir primero bajo la interpretación de deuda, sin comprometerse de antemano a reconocer los negativos como números del mismo rango ontológico que los positivos. Era un arreglo cómodo. El problema se descargaba sobre el significado: no es que el número sea negativo, es que el dinero va en sentido contrario. Si en cada ocasión se encuentra un reverso adecuado, nunca hace falta responder a la pregunta más difícil.

Y en el comercio casi siempre se encuentra: deber y tener, entrar y salir, ganar y perder.

Si los comerciantes se sintieron cómodos antes que los matemáticos, no fue por tener una mentalidad más abierta. Fue porque, en su oficio, cada cantidad venía ya con un sentido.

Lo que aquel libro permitía era reinterpretar valores formalmente negativos en contextos comerciales determinados; no estaba aceptando formalmente los números negativos. A estas alturas, las dos primeras cosas de nuestra lista se habían cumplido, o estaban cerca de cumplirse, en los cuatro ámbitos. Las diferencias se concentraban en la tercera y la cuarta.

Y esas dos eran las difíciles de verdad. Las primeras preguntaban si se podía calcular. Las otras dos preguntaban si lo que salía del cálculo contaba como número. Poder calcular es una cuestión técnica; contar como número es una cuestión de legitimidad. Pero, si volvemos a los textos de procedimientos anteriores, esa legitimidad aún no se había puesto así sobre la mesa.

Esta distribución desmiente precisamente aquella frontera. Si Oriente hubiera aceptado y Occidente se hubiera resistido, la diferencia debería aparecer en las dos primeras cosas. En realidad, ambas se daban en todas partes. La cuarta se volvió una pregunta explícita en ciertos debates europeos posteriores sobre los fundamentos; esta distribución de las fuentes no prueba que nunca se preguntara por ella en otros lugares. Por qué cobró esa forma justamente allí es el asunto de la siguiente sección. La respuesta tiene que ver con un libro de hace dos mil años.

5. ¿Qué es un número?

La resistencia más honda no consistía en no entender el signo menos. Consistía en preguntar qué era un número. Durante dos mil años, la primera lección de matemáticas en Europa empezaba así: uno es la unidad; el número es una multitud compuesta de unidades.

Es decir: el número es lo que se cuenta. Tres son tres unidades. Siete son siete unidades.

La definición está al principio del libro VII de los Elementos. En el tercer ensayo vimos que los postulados de esa obra, puestos sobre el papel, atrajeron dos mil años de preguntas. Una definición, en cambio, invita a bajar la guardia: parece limitarse a explicar cómo se usan las palabras.

Pero, una vez fijadas las palabras, queda fijado lo que se podrá decir durante los dos mil años siguientes. Con esa definición, ¿qué es menos tres? ¿Qué tres cosas ha contado? Las longitudes, las áreas y los volúmenes pertenecen a otra categoría, la magnitud, y una magnitud es un tamaño. Tampoco hay dónde alojar una longitud menor que nada.

No era solo la afirmación de un libro. Era el punto de partida de toda una educación. Antes de aprender álgebra, una persona formada ya había aprendido que los números se obtenían contando. Pedirle después que admitiera un número imposible de contar era pedirle que anulara su primera lección. Esa resistencia tenía un auténtico núcleo lógico. Supongamos que restar B de A significa quitar B de A. Solo cuando A no es menor que B, el resultado sigue siendo una parte de la cantidad original.

Para que A menos B siga siendo un número cuando A es menor que B hay que cambiar por lo menos una cosa. O convertir la resta, de un acto físico de quitar, en una operación formal. O convertir el número, de una cantidad absoluta, en una cantidad dotada de sentido o de estado. O ampliar el dominio de los números para que toda suma tenga una operación inversa. Las definiciones modernas posteriores recorrieron, precisamente, las tres vías.

El contenido de la resistencia era, pues, muy preciso. No se rechazaba simplemente un símbolo nuevo. Se rechazaba modificar, por ese símbolo, cualquiera de estas tres cosas: la resta, el número o la magnitud. Y las tres se habían aprendido antes de estudiar álgebra alguna.

Cada una de las tres era, además, el cimiento de otras cosas.

De ahí surgió una explicación: aquel libro ejercía una autoridad normativa extraordinaria sobre lo que las matemáticas europeas llamaban número, magnitud y razón, y los negativos no tenían sitio en ese marco. En los siglos XVI y XVII coincidieron, además, con otra clase de objetos todavía más inquietantes, lo que facilitó que unos y otros quedaran relegados a una segunda categoría.

La explicación ilumina algo, pero introduce una jerarquía. Las fuentes permiten sostener que varias tradiciones matemáticas europeas estaban más constreñidas por una teoría de las magnitudes y por la exigencia de explicar los fundamentos. Afirmar que Europa tardó más en aceptar los negativos porque se tomaba más en serio la filosofía ya es un juicio de valor. Y los contraejemplos están dentro de la propia Europa: el álgebra mercantil, la geometría de coordenadas y el estudio de curvas muchas veces empezaron a trabajar sin esperar a que se resolvieran los fundamentos.

Antes de abrirse paso, los negativos recibieron su objeción más afilada de un problema de proporciones. Arnauld razonaba así: según el álgebra formal, menos uno es a uno como uno es a menos uno, porque al multiplicar en cruz ambos productos dan más uno.

Pero, si seguimos entendiendo la razón como una razón de tamaños, a la izquierda tenemos una cantidad menor respecto de una mayor; a la derecha, una mayor respecto de una menor. Una razón debería ser menor que uno y la otra mayor que uno. ¿Cómo van a ser iguales? No era extrañeza ante un signo menos. Era una contradicción producida al usar a la vez el viejo significado de las razones y las nuevas reglas del cálculo simbólico. La objeción suele remontarse a una obra de geometría de 1667. Lo que de verdad importa es la reacción de Leibniz.

No dijo que, puesto que la cuenta formal salía, Arnauld estaba equivocado.

Reconoció que la objeción tenía fuerza. En las discusiones de comienzos del siglo XVIII sobre cantidades negativas y proporciones, buscó una salida poniendo en duda la premisa misma: ¿tenían que participar las cantidades negativas en las mismas razones de tamaños que las magnitudes positivas corrientes? Podían entenderse como estados opuestos, como sentidos o como una ficción de probada eficacia para calcular. El paso es crucial.

Muestra que la resistencia tenía argumentos, no era una emoción. Y que para vencerla no bastaba con encontrar una metáfora mejor: había que modificar el ámbito de aplicación del propio concepto de razón.

Aquí gira el ensayo. Las secciones anteriores contaban cómo se usaban los negativos en distintos lugares. A partir de aquí contamos cómo alguien empezó a preguntar con qué derecho contaban como números.

Hasta ahora el problema podía parecer de mentalidad: unos lo habían entendido, otros no. La dificultad de las proporciones lo convierte en un problema técnico. Dos sistemas de reglas chocan cuando se aplican a la vez; hay que renunciar a parte de uno de ellos. Y no se puede decidir por pura intuición a cuál.

La afirmación que tanto circula por internet, según la cual Leibniz habría reconocido expresamente en cierto año que Arnauld tenía toda la razón, va demasiado lejos. Es verdad que se tomó el problema en serio. Pero para atribuirle una frase literal concreta habría que volver a sus trabajos en latín, a su correspondencia y a las distintas ediciones, y cotejar palabra por palabra.

6. Absurdo, ficticio, falso

No se pueden meter todos aquellos nombres despectivos en una misma lista, porque no siempre designaban los mismos objetos.

Cuando Diofanto se encontraba con ecuaciones que, escritas a nuestra manera, conducirían a soluciones negativas, calificaba de absurdo o imposible ese resultado o ese planteamiento. Decía que el resultado del problema era absurdo. No había construido primero un objeto llamado número negativo para bautizarlo después.

La diferencia vale para toda la lista. Hay mucha distancia entre llamar absurdo a un resultado y llamar absurda a una clase de objetos. En el primer caso se juzga un problema; en el segundo, un tipo de número.

El libro de Stifel de 1544 sí emplea expresiones como números absurdos y llama ficticios a los números formales por debajo de cero. Es uno de los lugares más adecuados para documentar números absurdos como término de la primera modernidad. El Ars magna de Cardano, publicado en 1545, trata las soluciones negativas con expresiones como números ficticios y ecuaciones ficticias.

La investigación reciente ha subrayado un punto: en los siglos XVI y XVII, ficticio no equivalía a carente de sentido. Se podía operar con un objeto ficticio y obtener resultados correctos, aunque todavía no hubiera una interpretación directa en términos de cantidad. Llamarlo ficticio no era expulsarlo. Era concederle un estatuto que le permitiera quedarse. En el próximo ensayo ese estatuto volverá a ser necesario, y cargará con un peso mayor.

Algo con lo que se sabe calcular, pero que todavía no se sabe explicar, recibe de momento el título de ficticio y se queda dentro. Cuando llega la explicación, se cambia el título. El recurso se repetirá durante los doscientos años siguientes. Las raíces falsas de Descartes, en 1637, eran principalmente lo que hoy llamamos raíces negativas; sus raíces imaginarias, en cambio, eran las no reales. Convertir falso, ficticio, imaginario e imposible en sinónimos de negativo enreda la historia de los negativos con la que abordaremos en el próximo ensayo.

El libro de Wallis de 1685 es un texto de transición espléndido. Por un lado, todavía dice que los signos algebraicos parecen indicar literalmente menos que nada. Por otro, se apresura a aclarar que las cantidades negativas, bien entendidas, no son inútiles ni absurdas.

Su explicación física es esta: si más tres significa avanzar tres yardas, menos tres significa retroceder tres yardas. El libro incluye un dibujo de una recta que se prolonga en ambos sentidos. Esa recta suele contarse entre los primeros ejemplos explícitos de una recta numérica completa.

Pero el mismo autor, en el mismo libro, conserva un razonamiento que hoy nos resulta muy extraño.

Según la antigua intuición de las fracciones, al reducir un denominador positivo hacia cero el cociente crece cada vez más y tiende a infinito al llegar a cero. Si el denominador cruza después el cero y se hace negativo, el resultado se convierte formalmente en un número negativo.

Así llegó a imaginar los valores negativos como una especie de región situada más allá del infinito. En el orden moderno de los números reales esto, por supuesto, no se sostiene. Menos uno es menor que cero; no es mayor que infinito.

El pasaje, sin embargo, tiene un enorme valor histórico. El mismo hombre que ya había encontrado una interpretación mediante una recta orientada seguía intentando encajar los negativos en la vieja imagen continua de razones y tamaños.

La aceptación nunca avanza en bloque. Wallis defendía los negativos y, a la vez, conservaba una explicación incompatible con la estructura de orden moderna. Repartir a los personajes entre partidarios y adversarios deja fuera lo más interesante.

Casi todos los protagonistas de este ensayo pisan los dos lados. Stifel puede llamarlos absurdos y calcular con ellos. Cardano puede llamarlos ficticios e incorporarlos a las técnicas de resolución de ecuaciones. Descartes habla de raíces falsas, pero sabe convertirlas en verdaderas mediante transformaciones. Newton no ofrece una demostración estructural de por qué negativo por negativo da positivo, pero ya dibuja con libertad en los cuatro cuadrantes. Rechazo en la teoría, uso sin reparos en la práctica. No es una contradicción: es el hilo conductor de esta historia.

Euler escribió su manual de álgebra a mediados del siglo XVIII y lo publicó hacia 1770. Explica lo positivo y lo negativo mediante propiedades y deudas, ganancias y pérdidas; afirma sin rodeos que los positivos están por encima de cero y los negativos por debajo; utiliza las reglas de signos como reglas algebraicas elementales. En la práctica del cálculo no muestra las intensas vacilaciones de Stifel o De Morgan.

Sin embargo, sigue dejando unas junto a otras varias explicaciones diferentes. El signo menos es unas veces una operación de resta; otras, una propiedad de la cantidad; otras, un sentido opuesto o una deuda. Y hablar de menos que nada sugiere que el número aún se entiende como un tamaño absoluto. Euler no reúne estos sentidos en una estructura abstracta como se hará en la segunda mitad del siglo XIX. La situación puede resumirse muy bien así: la ampliación de las operaciones puede triunfar antes de que llegue una explicación rigurosa de qué son, exactamente, los objetos nuevos con los que se opera.

No se trata, por tanto, de que Euler no supiera entender correctamente los negativos. Su práctica algebraica era ya mucho más moderna que su concepción del número, en la que seguían depositadas, una sobre otra, las capas de la noción de cantidad de la primera modernidad.

Volvamos a De Morgan. Su cambio se ve con claridad y por etapas. En 1835, al comentar a Peacock, la primera impresión que le producía el álgebra simbólica era la de unos símbolos embrujados que vagaban buscando significado. Pero las ideas de Peacock lo fueron cambiando.

En 1840, cuando escribió para una enciclopedia la entrada sobre cantidades negativas e imposibles, ya distinguía expresamente tres pasos: fijar los símbolos, fijar las leyes a las que debían obedecer y deducir las consecuencias de esas leyes. Su trabajo de 1842 sobre los fundamentos del álgebra se acercó todavía más a la axiomatización. Entre los símbolos embrujados y el programa de fijar primero los símbolos y después sus leyes median cinco años.

Aun así, nunca dio el paso de declarar irrelevante el significado. Durante toda su vida esperó que los sistemas formales acabaran encontrando interpretación. Un símbolo todavía inexplicado podía conservarse por el éxito de las operaciones, pero él confiaba en que la historia le encontraría un sentido más amplio.

7. Primero, que la cuenta salga

Un mismo patrón atraviesa este ensayo y cruza civilizaciones. Al-Samaw'al podía operar una y otra vez con términos negativos en los polinomios, mientras que su tradición seguía sin admitir, por lo común, cantidades negativas como raíces. El campo de las operaciones era más amplio que el de las entidades admitidas como soluciones. Cardano llamaba ficticias a las soluciones negativas y no por ello dejaba de calcular con ellas. Precisamente, ficticio era una palabra que permitía dar entrada provisional en el cálculo a un objeto útil.

Newton no ofreció una demostración estructural moderna de por qué negativo por negativo da positivo y, sin embargo, utilizaba con libertad los cuatro cuadrantes y las raíces positivas y negativas para estudiar curvas. El testimonio más notable lo dio el propio De Morgan. Al repasar la historia del álgebra, identificó una situación que puede resumirse así: la capacidad de producir resultados se adelantaba a la capacidad de explicarlos. Incluso consideraba que, si ciertas operaciones todavía incomprensibles producían repetidamente resultados correctos, había razones para conservarlas primero y buscar después una explicación más general.

Usar antes de entender no es, pues, una historia que los modernos hayamos inventado para defender a los antiguos. Es un patrón histórico del que ya eran conscientes los propios matemáticos del siglo XIX. En esta serie lo hemos encontrado dos veces, y las dos por boca de los protagonistas.

El del cuarto ensayo decía que el método mecánico le permitía encontrar la respuesta, pero que eso no constituía una demostración, así que tenía que demostrarla de nuevo. El del quinto decía que todavía no contaba con una razón que le inspirara confianza y prefería dejar aquel punto como una duda. Esta vez quien habla lo hace desde una época posterior y no está describiendo solo su propio caso, sino una costumbre de toda la disciplina.

La observación es más infrecuente de lo que parece. Quien está dentro de una disciplina rara vez distingue los gestos que esta repite. Suele hacer falta que pase mucho tiempo y que el gesto se repita varias veces antes de que alguien lo reconozca. Él lo reconoció mientras estaba ejecutándolo una vez más. Y reconocerlo no lo llevó a rebajar sus exigencias. Seguía pensando que lo que de momento no se podía explicar tendría que explicarse tarde o temprano. Solo que no tenía por qué ser ahora.

Es una posición singular: admitir que en el propio oficio se actúa a menudo primero y se rinden cuentas después, sin dejar de exigir que, antes o después, se rindan las cuentas.

Tres personas, en tres siglos distintos, en tres lenguas. Tres formas de decir lo mismo: sé calcularlo, pero no lo doy por válido; ni siquiera tengo el algoritmo, así que no lo escribo; esta disciplina sabe calcular muchas cosas que no sabe explicar. Cuando De Morgan decía esto tenía entre manos, precisamente, un ejemplo que estaba obteniendo permiso de entrada. ¿Qué terminó por legitimarlo? Hubo tres vías.

La primera fue la formalización. El libro de Peacock de 1830 proponía liberar al álgebra de la aritmética universal. Distinguía entre álgebra aritmética y álgebra simbólica. En la primera, las letras seguían designando los números positivos corrientes. La segunda estudiaba, ante todo, los símbolos y las leyes de sus operaciones.

Su célebre principio se resumiría a menudo como permanencia de las formas: las formas equivalentes obtenidas mediante operaciones legítimas en el álgebra aritmética debían seguir siendo equivalentes al ampliar el significado de los símbolos, siempre que se conservaran las leyes de operación estipuladas.

El cambio decisivo no consistió en descubrir, por fin, que menos tres era realmente una cantidad misteriosa. Consistió en esto: una expresión ya no tenía que recibir primero una interpretación como cantidad positiva para tener derecho a participar en un álgebra legítima. Conviene leer despacio esa frase. No anula una conclusión. Retira una barrera de entrada.

Antes, cualquier símbolo que quisiera entrar en el álgebra tenía que identificarse: ¿qué cantidad positiva representas? Después bastaba con que obedeciera las leyes estipuladas. La identidad podía aclararse más adelante, o no aclararse nunca. Los negativos, y también la clase de objetos del próximo ensayo, adquirieron así un espacio dentro del orden admitido.

En su libro de 1867, Hankel condensó esta vía en un principio general: introducir objetos nuevos no exige reducir cada nuevo tipo de número a las cantidades de antaño; exige que, tras la ampliación, el sistema conserve las leyes algebraicas pertinentes.

La segunda vía fue la geometrización.

Aquí es fácil escribir algo falso: Descartes inventó las coordenadas y, con ellas, los negativos encontraron su interpretación en la recta numérica. Es indudable que su geometría analítica de 1637 amplió enormemente la relación entre símbolos y curvas. Pero él mismo seguía llamando falsas a las raíces negativas. Disponer de una técnica de coordenadas no resolvió automáticamente la cuestión de qué eran los números negativos.

Una prueba más directa la ofrecen el movimiento hacia delante y hacia atrás y la recta de dos sentidos de Wallis. Al comienzo de su libro de aritmética, Newton también distingue cantidades afirmativas y negativas, e interpreta los signos mediante propiedades y deudas, avances y retrocesos, y una línea trazada en sentido contrario. En su estudio de curvas cúbicas, publicado en 1704, ya utiliza ampliamente curvas situadas en distintas regiones del plano y orientadas en sentidos diferentes.

A comienzos del siglo XIX, varios autores desarrollaron más los segmentos orientados y las representaciones geométricas. Lo negativo ya no tenía que entenderse como una longitud menor que cero: podía entenderse como el sentido contrario sobre un mismo eje.

¿Qué resolvía esto? La dificultad intuitiva de concebir menos tres pies como una longitud. Los tres pies seguían siendo la longitud; el signo menos registraba el sentido.

No lo resolvía todo. Una deuda, una temperatura o la raíz de una ecuación abstracta no son literalmente segmentos. Y el dibujo de una recta orientada no basta para demostrar todas las leyes algebraicas.

La propia interpretación geométrica, además, podía arrastrar un equipaje antiguo. Ya vimos que el mismo hombre que dibujó la recta en ambos sentidos seguía creyendo que los negativos ocupaban una región más allá del infinito. Un dibujo puede explicar el sentido, pero no el orden. La recta numérica es un poderoso modelo de interpretación, no la construcción lógica de los enteros modernos.

La tercera vía fue el éxito de las propias operaciones, del que ya hemos hablado. El peso de las tres puede repartirse así.

Si preguntamos cómo obtuvieron los negativos un derecho incondicional a formar parte del álgebra, la formalización pesa más. La ruptura de Peacock consistió precisamente en retirar la exigencia de que todo símbolo legítimo tuviera primero que interpretarse como una cantidad de la aritmética ordinaria.

Si preguntamos por qué los matemáticos corrientes y los estudiantes dejaron por fin de verlos como algo extraño, no podemos relegar la geometría y las aplicaciones a un papel secundario. Los sentidos, las deudas y las coordenadas ofrecían significados que podían usarse una y otra vez. Impedían que el sistema formal se convirtiera en esos símbolos embrujados de los que se burlaba De Morgan.

También se ha rechazado expresamente la idea de contar esta historia como la victoria automática del formalismo sobre el intuicionismo. Lo que persistió durante buena parte del siglo XIX fue una negociación entre la generalización, el rigor y la comprensión intuitiva.

Negociación es la palabra exacta. Tres deseos tiran en direcciones distintas: que las reglas sirvan para más cosas, que cada paso se sostenga y que la gente lo pueda entender. Llevar cualquiera de ellos al extremo perjudica a los otros dos.

En el tercer ensayo vimos ya una combinación de los tres. Se expulsó el dibujo de la demostración para no depender de los ojos, a costa de hacerla menos legible.

Esta vez el intercambio es otro. Retirar la exigencia de que un símbolo tenga primero una interpretación cuantitativa otorgó legitimidad a los negativos y, después, a muchas más cosas. El cambio era que un número ya no necesitaba remitir de antemano a una cantidad concreta para participar en operaciones bien estipuladas, aunque pudiera seguir recibiendo múltiples interpretaciones concretas. Los dos intercambios van en la misma dirección: se renuncia a algo que se puede ver para obtener una regla que sirve mejor.

Desmontada pieza por pieza, cada discusión de este ensayo es una nueva proporción entre esas tres exigencias.

8. Las heridas de los nombres

Todos esos nombres llevan consigo el lugar del que vienen.

En la tradición latina, el adjetivo que da nombre a lo negativo procede de una palabra que significa negar, rechazar, decir que no. No nació como un nombre neutro creado especialmente para los enteros modernos. El álgebra de la modernidad lo tomó para formar número negativo y cantidad negativa, y de ahí pasó a las distintas lenguas europeas. Su contrario procede del lado de poner, establecer, afirmar. En inglés, otra forma cotidiana de leer el signo, minus, es aún más directa: procede de una palabra latina que significa menos, menor que. Esta historia lingüística conserva la huella de una época en que lo negativo se entendía como sustracción, carencia o negación, no como una clase de objetos que se bastaran a sí mismos.

Y esto no es exclusivo de Europa. La palabra sánscrita era originalmente deuda, opuesta a propiedad. La árabe significaba disminución o carencia, opuestas a aumento. Todos esos términos técnicos entraron en las matemáticas desde las relaciones, las ganancias y pérdidas, los déficits y excesos.

En ningún caso se empezó por el nombre neutro de una categoría. En todas estas lenguas, aquello se identificó primero por lo que le faltaba, no por lo que era.

Por eso hablar de las heridas de los nombres no es un simple recurso retórico. Muchas lenguas no empezaron por dar a los negativos el nombre neutro de una clase de enteros. Los nombraron desde la pérdida, la falta, la deuda, la negación, la resta y el sentido contrario. Más tarde los objetos alcanzaron la misma condición formal que los otros números, pero los nombres viejos se quedaron. En el próximo ensayo eso resultará aún más hiriente: el nombre de aquella clase de objetos sigue diciendo hoy que son cosas imaginadas. En chino ocurre algo parecido, aunque con una sorpresa.

Para el carácter 负, fu, de los Nueve capítulos, la prueba semántica más segura no es un relato etimológico moderno, sino la explicación del propio Liu Hui: las dos clases de varillas representan ganancias y pérdidas opuestas, y por eso se les dan los nombres de positivo y negativo.

En el contexto matemático, por tanto, 负 queda del lado de la pérdida y forma la categoría contraria a 正, zheng, lo positivo. En chino antiguo, 负 tenía además sentidos próximos como cargar, deber, estar en deuda o sufrir una derrota. Reconstruir cuál de ellos dio origen directo al término matemático resulta difícil solo con los textos conservados. Traducirlo sin más por deuda sería, además, indianizar las fuentes chinas. La sorpresa llega al final de la dinastía Qing: 正 y 负 no se inventaron en el siglo XIX como traducciones de urgencia ante el álgebra occidental.

China disponía ya de términos matemáticos clásicos con más de mil años de uso. Li Shanlan y los textos de matemáticas modernas de su entorno siguieron hablando con toda naturalidad de números positivos, números negativos y números de ambos signos. Algunos de esos textos escriben incluso, de forma explícita, que positivo por positivo da positivo y negativo por negativo también da positivo.

Lo que encontramos se parece más a una recolocación de viejos términos en el sistema algebraico occidental que a una traducción desde cero. El ensayo anterior mostró que las palabras chinas para algoritmo, cero, seno y álgebra tienen orígenes distintos: unas eran términos locales antiguos; otras surgieron en las traducciones de la oficina del calendario de finales de los Ming; otras se acuñaron al final de los Qing. Positivo y negativo pertenecen al primer grupo, y son los más antiguos de él.

Una palabra vive más de mil años en chino, atraviesa varias matemáticas y termina sirviendo para traducir un concepto que ha llegado por otro camino. Y encaja sin esfuerzo.

De una manera de colocar varillas en el tablero a un coeficiente de polinomio y, después, a un objeto que en el siglo XIX tiene que justificar su legitimidad: el carácter ha estado ahí todo el tiempo. El significado no ha dejado de cambiar; la forma escrita no ha cambiado ni una vez. Ha encajado tan bien que hoy nadie lo siente como una traducción.

Se parece mucho al caso de algoritmo del ensayo anterior. Dos sistemas recorren caminos propios hasta que alguien los enlaza mediante una misma palabra, y esa palabra trae a su vez una historia.

En cuanto a si hubo otras traducciones que compitieran con esta y acabaran descartadas, hoy no encontramos fuentes fiables. No tenemos palabras candidatas, fechas de primera aparición ni un proceso documentado de eliminación. Tampoco hemos podido reconstruir el origen del término didáctico chino moderno 相反数, número opuesto. Es preferible dejar esos dos huecos.

Un hueco es mejor que una genealogía añadida para que todo parezca completo. Si no se encuentra la historia de una traducción y se escribe que no se ha encontrado, el siguiente podrá seguir buscando. Si se escribe que tal persona la fijó en tal año, el siguiente dejará de buscar.

Pongamos otra vez sobre la mesa las cuatro cosas.

Primera: si un término negativo puede aparecer dentro de un algoritmo. En China ya ocurre en los Nueve capítulos; en la India y en el mundo de lengua árabe ocurre también desde muy pronto; en Europa se usan sin reparos desde el siglo XV.

Segunda: si hay reglas de signos fiables. En la India están completas en el siglo VII; en el mundo de lengua árabe son explícitas en el XII; Europa viene después.

Tercera: si un valor negativo puede quedarse como respuesta final. En todas partes depende de condiciones, y la condición es que la cantidad tenga un sentido. Las deudas sí. Los monos no.

Cuarta: si los negativos son números con los mismos derechos que los positivos. La pregunta tuvo un desarrollo largo y explícito en los debates de la Europa moderna que hemos examinado, sin que eso permita excluir reflexiones semejantes en otras tradiciones. La respuesta tampoco consistió en descubrir qué cosa era, exactamente, menos tres. Consistió en retirar la premisa de la pregunta. Un símbolo no tiene que interpretarse primero como alguna cantidad para adquirir el derecho a entrar en el cálculo.

El propio De Morgan fue quien describió con mayor precisión el patrón. Las matemáticas producen primero cosas con las que se puede calcular, pero que todavía no se saben explicar. Después vuelven sobre sus definiciones y las ensanchan para darles cabida. Cuando decía esto tenía entre manos algo que acababa de entrar y otra cosa que aún esperaba fuera. Esta última llevaba un nombre todavía peor que el de los negativos: su nombre decía, sin rodeos, que era imaginada. Y ese nombre tampoco ha cambiado hasta hoy.

Su entrada en las matemáticas fue distinta de la de los negativos. Estos habían crecido a partir de las deudas y los sentidos; aquella otra clase de objetos fue arrancada a la fuerza de un lugar donde nadie la quería. Los negativos tenían, al menos, un reverso ya disponible al que referirse. Aquellos objetos no remitían a nada. Y, por aquel camino de los radicales, sin usarlos no había manera de obtener la respuesta.

Seguimos haciendo cuentas con los números. Qué cuenta como matemáticas es una cuenta que nunca hemos terminado de saldar.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las diferencias de interpretación expuestos en el ensayo. Los registros de las colecciones, los textos literarios antiguos y las reconstrucciones modernas no son la misma clase de prueba.

• De Morgan: Sobre el estudio de las matemáticas y sus dificultades (1831)
• Asociación Matemática de Estados Unidos: presentación del libro original de De Morgan
• Universidad de St Andrews: Brahmagupta
• La problemática historia del álgebra británica del siglo XIX
• Sobre el pasado de un objeto matemático
• Hankel: traducción de su obra de 1867 sobre el sistema de los números complejos

Non Dubito · Han Qin (秦汉)