Cantidades imaginadas

1. Treinta problemas

Venecia, a comienzos de 1535. Dos hombres se proponen treinta problemas cada uno.

Los enunciados se sellan y se entregan a un notario. Se fija un plazo; al vencer, habrá que presentar las soluciones.

Uno de los contendientes se llama Fiore. Tiene algo en su poder: un método para resolver cierta clase de ecuaciones cúbicas. Lo ha recibido de su maestro, Scipione del Ferro, profesor de aritmética y geometría en la Universidad de Bolonia. Del Ferro lo dominaba ya hacia 1515. Nunca lo había hecho público.

Conviene detenerse en ese año. Lo acepta la historiografía matemática actual, pero no hay un manuscrito autógrafo fechado que permita clavarlo en el calendario. El resultado ha llegado hasta nosotros; el día del descubrimiento, no. Fiore lo apuesta casi todo a esa única baza: sus treinta problemas dependen prácticamente del mismo método. Su adversario se llama Tartaglia. Los treinta que él propone son variados, de distintas clases.

Según contaría Tartaglia más tarde, poco antes de recibir oficialmente los enunciados había logrado por fin descubrir por sí mismo el método general en el que Fiore confiaba. Después resolvió los treinta problemas de su rival en unas dos horas. Fiore no resolvió ninguno. La posteridad ha contado este duelo infinidad de veces, casi siempre como una exhibición de dos genios calculando de cabeza sobre la marcha. Lo ocurrido se parece bastante más a una apuesta mal hecha.

La estructura del duelo es muy sencilla. Uno juega todas sus fichas a un secreto; el otro prepara problemas heterogéneos. En cuanto el secreto deja de serlo, la partida da un vuelco en un solo día. Dejemos anotadas tres cosas: volveremos a necesitarlas muchas veces a lo largo de este ensayo.

Primera: en el documento original, la fecha lleva un año menos que aquí. En la Venecia de entonces, el año empezaba el 1 de marzo. Febrero todavía pertenecía al año anterior. Con nuestra forma de contar los años, aquello sucedió en febrero de 1535. Copiar sin más el año del original produce un error frecuente de un año.

Segunda: la apuesta que suele aparecer en las versiones modernas son treinta banquetes. Las fuentes cercanas a los hechos no lo expresan de una manera tan redonda: hablan del honor y de ciertas recompensas calculadas según el número de problemas resueltos. Los treinta problemas, los pliegos sellados, el notario, el plazo: todo eso está documentado. Los treinta banquetes, no.

Tercera, y la más importante: la fuente más valiosa sobre el duelo de 1535 es un libro que Tartaglia reunió y publicó once años después. Era parte interesada y también el editor del relato. Pero entonces, ¿por qué aquel método, descubierto hacia 1515, seguía circulando en 1535 entre tan pocas personas?

No se ha encontrado ninguna explicación del propio Del Ferro sobre por qué lo guardó. Una reconstrucción razonable sería esta: para los maestros de matemáticas aplicadas del norte de Italia, el prestigio profesional estaba estrechamente ligado a los desafíos públicos de resolución de problemas. Un método que solo uno conocía podía convertirse en una ventaja para conseguir trabajo, conservar un puesto o retar a un rival. En un sistema así, guardar un método elegante como arma secreta tenía una lógica económica comprensible.

Pero eso explica el sistema; no es algo que él dijera. Las narraciones modernas suelen dar un paso más y afirmar que perder un duelo suponía perder automáticamente la cátedra. Ese «automáticamente» no tiene respaldo documental. También conviene ver quiénes eran aquellos hombres.

Hay otra advertencia que hacer desde el principio. A lo largo de este ensayo aparecerán cuatro personas que se acusan unas a otras, y lo que han dejado escrito es extraordinariamente desigual. Unas nos legaron abundantes recuerdos ordenados por ellas mismas; otras, apenas un libro de matemáticas impreso; otras, nada. Tener la voz más alta y tener razón son dos cosas distintas.

Por eso, en estas dos secciones mantendremos separados los textos que ambas partes llegaron a imprimir de las afirmaciones de una sola de ellas. El hombre que primero había dominado aquellas reglas tenía un puesto universitario. Tartaglia se hizo un nombre dando clases, publicando obras técnicas y participando en desafíos públicos. Su nombre era un apodo: significa «tartamudo». En 1512, cuando las tropas francesas entraron en Brescia, se refugió en la catedral con su madre y su hermana. La espada de un soldado francés le hirió la mandíbula y el paladar; desde entonces le costaba hablar. Publicó su primer libro en 1537. Trataba del vuelo de los proyectiles e incluía las primeras tablas de tiro. En la dedicatoria contó que, al principio, le parecía vergonzoso y cruel perfeccionar un arte destinado a herir al prójimo e incluso a destruir a la humanidad. No solo había abandonado esas investigaciones: había roto y quemado los cálculos y apuntes que había escrito. Más tarde vio que el lobo estaba a punto de entrar en el rebaño y que todos los pastores convenían en defenderlo. Solo entonces pensó que ya no debía ocultar aquel trabajo y lo llevó a la imprenta. El lobo era el Imperio otomano. Cardano, que aparecerá más adelante, se movía entre la enseñanza de las matemáticas, la medicina, la universidad y las redes de los poderosos. Los duelos públicos de Ferrari no tardarían en convertirse en una baza para su carrera.

La Italia del siglo XVI no ofrecía una trayectoria profesional tan uniforme para los matemáticos como la de hoy. Los desafíos públicos no eran un número de entretenimiento: eran una de las maneras de encontrar trabajo.

Por eso no sirve preguntar, desde las normas académicas actuales, por qué no publicaban de inmediato. Para un maestro independiente de la década de 1530, publicar significaba poner el método en manos de todos sus competidores. Guardarlo era conservar un problema que solo él podía proponer y una técnica que solo él dominaba para resolverlo: una ventaja profesional propia.

2. El texto de una de las partes

En 1539, Cardano quería aquellas reglas.

Los documentos conservados muestran que, a principios de año, ambos empezaron a escribirse por medio de un intermediario. En enero, Cardano había planteado dos posibilidades: incluir el método en su libro atribuyéndoselo a Tartaglia, o comprometerse a mantenerlo en secreto. Tartaglia se negó al principio porque quería publicarlo él mismo más adelante. La correspondencia continuó en febrero, alternando la suavidad con la presión. Cardano mencionó además a un personaje poderoso de Milán que quizá quisiera recibirlo. Tartaglia acabó viajando a Milán.

Según su relato posterior, se reunieron en casa de Cardano el 25 de marzo de 1539. Tartaglia esperaba aprovechar la visita para conocer a aquel poderoso, pero no lo consiguió. Después transmitió a Cardano las reglas para las ecuaciones cúbicas en forma de versos. El texto de esa receta versificada sí se conserva. No contiene una demostración completa, sino instrucciones para operar con varios tipos de ecuaciones cúbicas. Y luego está el juramento. Aquí es imprescindible dejar claro de dónde procede la información.

El texto íntegro más antiguo que conservamos del juramento aparece en el libro que Tartaglia publicó en 1546. Quien narra es Tartaglia. El episodio narrado corresponde al 25 de marzo de 1539. Entre uno y otro median unos siete años. No se conserva ningún pacto de 1539 firmado por ambos, ni un acta de la reunión levantada por un testigo neutral.

En aquel diálogo dramatizado, Tartaglia presenta a Cardano jurando por los santos Evangelios y por su honor de caballero que jamás publicará los descubrimientos que se le confíen. Promete incluso escribirlos en clave, para que nadie pueda entenderlos después de su muerte. Tartaglia replica que, si no pudiera fiarse de tantos juramentos, quien merecería pasar por hombre sin palabra sería él mismo. Lo que tenemos es la manera en que Tartaglia consignó aquellos juramentos siete años después. Lo que no tenemos es un registro de las palabras que Cardano pronunció allí.

La versión pública de Cardano responde a otro planteamiento.

En el Ars magna de 1545 reconoce que Tartaglia le transmitió las reglas y no pretende hacer pasar el descubrimiento por suyo. Pero atribuye primero la prioridad de esa clase de ecuaciones cúbicas al profesor de Bolonia, anterior a ambos; después explica que Tartaglia redescubrió el método de forma independiente al competir con Fiore. Insiste también en que, tras recibir las reglas, él siguió buscando demostraciones y extendiéndolas a más casos, mientras Ferrari resolvía las ecuaciones de cuarto grado.

La genealogía queda así: Del Ferro descubre primero; Tartaglia redescubre por su cuenta; Cardano demuestra y sistematiza; Ferrari amplía.

Hay una relación de fechas que no se debe invertir. El Ars magna se publicó en 1545, un año antes de que Tartaglia imprimiera el juramento completo. Por tanto, no puede leerse como la defensa de Cardano frente a la acusación de haberlo roto. Quien salió a responder públicamente fue Ferrari, a partir de 1547.

¿Por qué consideraba Cardano que podía publicar? El relato tradicional dice que, hacia 1543, viajó con Ferrari a Bolonia, donde visitaron al yerno del ya fallecido Del Ferro. Examinaron los papeles que este había dejado y comprobaron así que Tartaglia no había sido el primero en descubrir el método.

La historiografía matemática actual suele aceptar las líneas generales de esa comprobación. Pero el día exacto de la llegada a Bolonia, el cuaderno que abrieron o las personas presentes en la habitación son detalles conservados sobre todo en las explicaciones de la disputa posterior. No hay que introducirlos retrospectivamente, en bloque, en el texto de 1545. El cuaderno original, supuestamente custodiado por el yerno, no ha llegado hasta nosotros como un archivo autógrafo completo. Una consulta determinó si alguien tenía derecho a publicar una fórmula, pero el propio cuaderno consultado no se ha conservado. La lógica ética de ambas partes se sostiene.

El argumento de Cardano era este: había prometido guardar el secreto de Tartaglia. Si otra persona había hecho antes el mismo descubrimiento de manera independiente, Tartaglia no podía monopolizar para siempre un resultado cuya prioridad no le pertenecía en exclusiva. Además, el método de Ferrari para las ecuaciones de cuarto grado necesitaba recurrir a las cúbicas. Seguir sin publicarlo impedía también dar a conocer el resultado independiente de Ferrari.

El argumento de Tartaglia era este otro: el juramento de secreto obligaba personalmente a Cardano. Que alguien hubiera llegado antes al mismo descubrimiento no anulaba aquella promesa privada. La posteridad ha visto a menudo en la razón invocada por Cardano una escapatoria ética, más que una cláusula de liberación indiscutible.

Entre 1547 y 1548, Ferrari difundió seis desafíos públicos y Tartaglia imprimió seis respuestas. Los doce impresos y los sesenta y dos problemas intercambiados entre ambos se conservan íntegros en ediciones facsímiles modernas.

De modo que aquella guerra pública de insultos no es una invención posterior. Los doce textos se imprimieron entonces y hoy podemos leerlos palabra por palabra. El encuentro final suele fecharse el 10 de agosto de 1548, en Milán. En conjunto, los historiadores de las matemáticas consideran que Ferrari obtuvo una ventaja clara y que Tartaglia se marchó después.

En cambio, los detalles de la escena que mejor quedarían en una película carecen de ese respaldo. Una iglesia abarrotada de ciudadanos; el gobernador presidiendo o actuando como juez; Ferrari rodeado de partidarios y Tartaglia acompañado solo por su hermano; la salida nocturna de la ciudad al terminar el primer día: no existe un acta neutral que permita confirmar una por una esas imágenes. Algunas narraciones modernas solventes advierten expresamente de que sabemos muy poco sobre el desarrollo del duelo formal y dependemos, en buena medida, de una breve y dudosa versión posterior del propio Tartaglia.

En el fondo, esta sección entera quiere decir una sola cosa. La imprenta cambió la forma de las pruebas en una controversia.

Antes, lo que alguien me había dicho podía desvanecerse con la transmisión oral. Ahora, las acusaciones, los insultos, los problemas matemáticos y las fechas podían copiarse, enviarse, conservarse y cotejarse palabra por palabra cuatrocientos años después. Cardano no podía leer el libro de su adversario en 1546, regresar a 1545 y retocar a escondidas la primera edición. Tampoco podía Tartaglia convertir automáticamente su acusación de 1546 en un documento redactado durante el encuentro de 1539. La imprenta ofrecía un punto de anclaje temporal que cualquiera podía someter a examen.

Eso no significa que la imprenta creara de golpe un sistema de prioridad como el de los artículos científicos actuales. Un manuscrito podía seguir siendo anterior a un impreso; una comunicación oral secreta podía constituir una prueba en la historia de un descubrimiento; el año que indicaba el impresor debía leerse atendiendo al calendario local. Lo nuevo eran las versiones y los testimonios de fechas que podían cotejarse públicamente. Distinguir reimpresiones, ediciones, erratas y calendarios seguía siendo tarea del estudio bibliográfico.

Y así aparece el rasgo más extraño de toda esta disputa.

La asimetría tiene otra capa. La guerra de insultos se ha conservado tan bien precisamente porque era una guerra de insultos: aquellos doce textos se imprimieron para que la gente los leyera. Del juramento, en cambio, solo queda la versión de una parte precisamente porque fue privado. La pelea pública deja pruebas; la promesa privada, no.

Por eso lo que sabemos tiene una forma torcida. La parte más ruidosa es la más nítida; la decisiva, la más borrosa.

De la disputa pública sabemos muchísimo: los doce impresos siguen ahí, palabra por palabra. Del juramento privado, lo más importante de todo, solo tenemos el texto que una de las partes escribió siete años después.

3. Trece formas

El Ars magna consta de cuarenta capítulos y se imprimió en Núremberg en 1545.

Divide las ecuaciones cúbicas en numerosas clases. Los capítulos once a veintitrés estudian, una por una, trece formas de ecuación cúbica. Las ecuaciones de cuarto grado también se presentan en varias formas. No es que el autor ignorara que hoy podemos reunirlas en una sola expresión.

Como vimos en el ensayo anterior, el álgebra de entonces todavía no trataba los coeficientes positivos y negativos como miembros de una misma clase de números. Hoy, trasladar una cantidad de un lado del signo igual al otro solo cambia su signo. Entonces podía suponer el paso a otra clase de ecuación. Las seis clases de aquel ensayo y las trece de este muestran dos caras de una misma pared. Allí decíamos que no eran seis reglas, sino seis caras de una pared. Aquí la pared es la misma; tiene más caras porque el grado es mayor.

Unas décadas después, otra cosa abriría un boquete en esa pared. Pero el boquete estaría en otro sitio, no aquí.

Primero levantemos la pared en esta sección. En la siguiente hablaremos del boquete.

Si proyectamos sobre 1545 nuestro polinomio moderno, con sus coeficientes positivos y negativos, parecerá que el autor se repite a propósito. Ocurría exactamente lo contrario: como los números negativos aún no eran miembros corrientes del sistema de coeficientes, había que separar las formas diciendo a qué lado se sumaba cada cantidad. Hay un pasaje especialmente célebre en el capítulo treinta y siete. El problema parece sencillísimo: dividir diez en dos partes cuyo producto sea cuarenta. Con números reales es imposible. Si las dos partes suman diez, su producto no puede superar veinticinco.

Cardano sigue adelante con el procedimiento de las ecuaciones de segundo grado y obtiene dos objetos emparejados. Ambos contienen un cinco; cada uno lleva además una parte procedente de la raíz cuadrada de menos quince, con signo más en uno y signo menos en el otro. En lenguaje moderno: cinco más la raíz cuadrada de menos quince, y cinco menos la raíz cuadrada de menos quince. Lo verdaderamente importante es su actitud. No los desecha.

Merece la pena detenerse aquí. Donde habría podido limitarse a decir que el problema no tenía solución, decide seguir calculando. Aunque sea algo sofístico, dice, hay que efectuar las operaciones. Multiplica los dos objetos y, en efecto, la operación formal vuelve a dar cuarenta.

Las dos partes suman diez: consigue que esa condición se cumpla. Las dos partes dan cuarenta al multiplicarlas: también consigue que se cumpla. El precio es que las dos partes no son números.

Ha obtenido, pues, dos cosas que satisfacen todas las condiciones, salvo que no sabe qué son. La condición de «ficticio» de la que hablamos en el ensayo anterior se inventó en momentos como este. No resuelve el problema; permite, de momento, dejarlo sobre la mesa. Y dejarlo sobre la mesa resultaría ser un paso decisivo. Lo que se tira no vuelve por sí solo.

Hay una frase de la versión inglesa que suele verterse como «dejando a un lado las torturas mentales»: apartar el tormento que aquello produce y seguir multiplicando. Su célebre juicio final viene a decir que la sutileza de esa aritmética alcanza el extremo de lo sutil y, a la vez, el extremo de lo inútil. Sus actos son mucho más audaces que sus comentarios. La boca declara que no sirve; la mano ya ha terminado de calcular con las reglas del álgebra.

Ya vimos el mismo gesto en el ensayo anterior. Alguien llama ficticio al número negativo y, al mismo tiempo, lo incorpora a las técnicas de resolución de ecuaciones. La palabra «ficticio» no lo expulsa: le asigna una condición que le permite quedarse. «Sofístico» cumple aquí la misma función.

Pero hay una confusión frecuente. Dividir diez en esas dos partes es un problema de segundo grado. No demuestra que Cardano hubiera resuelto ya una ecuación cúbica mediante raíces cuadradas de números negativos. La pared estaba en otro sitio, y él había chocado con ella muy pronto: apenas acababa de recibir las reglas. A alguien le entregan un arma secreta; enseguida descubre que se atasca en ciertos casos, y quien se la ha entregado le responde que la está usando mal.

En la correspondencia de 1539 que Tartaglia publicó después, Cardano prueba las reglas con varios ejemplos poco después de recibir los versos. Uno de ellos pertenece, según nuestra clasificación actual, precisamente al caso más difícil. Plantea la duda a Tartaglia; este responde que el error está en cómo ha operado Cardano y muestra un arrepentimiento y una desconfianza cada vez mayores. Es decir, ya en 1539 Cardano había llegado al punto en que aquellas reglas dejaban de funcionar.

Pero hay un hecho sobre el libro de 1545 que la historia divulgativa de las matemáticas suele contar mal: en los capítulos dedicados a las cúbicas, Cardano no consiguió resolver ese caso valiéndose de tales objetos. El libro sí contiene ecuaciones cúbicas que hoy sabemos que tienen tres raíces reales. Sin embargo, cuando su regla de radicales le obligaba a colocar un número negativo bajo una raíz cuadrada, no siguió adelante con la fórmula.

Conviene, por tanto, separar tres cosas.

Sabía que había una pared. En otros problemas había llegado incluso a tantear las operaciones que aguardaban al otro lado. Quien llevó de verdad esas operaciones, de forma sistemática, de vuelta al caso difícil de las ecuaciones cúbicas fue otra persona.

4. El caso irreducible

Aclaremos ahora en qué consiste la pared. No hace falta ningún símbolo. Primero se cambia de variable en la ecuación cúbica general para eliminar el término de segundo grado. El paso decisivo del método no consiste en adivinar directamente la respuesta final, sino en suponer que la raíz buscada puede descomponerse en la suma de dos cantidades auxiliares.

Después de reorganizar la expresión, esas dos cantidades deben satisfacer a la vez dos condiciones: su producto queda fijado por la ecuación original, y también queda fijada la suma de sus respectivos cubos.

El problema baja así un grado. Los valores de esos dos cubos son precisamente las dos soluciones de un problema ordinario de segundo grado.

Aquí el camino se bifurca.

Cuando la ecuación cúbica original tiene una sola raíz real, el problema auxiliar de segundo grado suele dar dos números reales. Se extrae la raíz cúbica de cada uno y se suman. Todo permanece dentro de los números reales.

Pero cuando la cúbica original tiene tres raíces reales distintas, el discriminante del problema auxiliar cambia de signo. Sus dos soluciones dejan de ser reales. Para calcularlas hay que extraer antes la raíz cuadrada de un número negativo. Las tres respuestas que buscamos al final están en la recta real, y sin embargo el camino de los radicales nos obliga a abandonarla a mitad de trayecto. No es un accidente aritmético ni una mala elección del signo. Tampoco sirve cambiar de dirección. Este camino pasa necesariamente por ahí.

Las dos cantidades intermedias forman lo que hoy llamamos un par de conjugados. Al elegir las raíces cúbicas adecuadas, obtenemos de nuevo dos cantidades emparejadas. Las sumamos, sus partes no reales se anulan y volvemos a tener un número real. Si escogemos las otras dos combinaciones compatibles de raíces cúbicas, obtenemos las otras dos raíces reales. Las cantidades intermedias no reales no han contaminado la respuesta. Son precisamente la estructura que codifica simultáneamente las tres respuestas reales.

El dramatismo de este caso cabe, pues, en tres frases.

El problema no tiene respuestas ficticias. Las tres respuestas son reales. Pero para alcanzarlas con el método algebraico general más reciente de entonces hay que atravesar una clase de objetos que todavía carece de una condición legítima. Los números negativos del ensayo anterior habían crecido entre deudas y direcciones; al menos podían señalar un opuesto que ya estaba ahí. Estos no podían señalar nada. Y sin ellos no se alcanzaba la respuesta. Más exactamente: sin ellos no se alcanzaba por ese camino. La precisión importa, y enseguida veremos por qué.

También esa afirmación tiene sus límites.

Es correcto decir que aquella fórmula introduce raíces cuadradas de números negativos cuando hay tres raíces reales distintas. Afirmar que cualquier método necesita emplear esos objetos es ir demasiado lejos. Más adelante fue posible expresar las raíces mediante funciones trigonométricas sin salir de los números reales.

La formulación más rigurosa no llegó hasta el siglo XIX. Cuando un polinomio cúbico con coeficientes racionales es irreducible sobre los racionales y tiene tres raíces reales, es imposible expresarlas utilizando únicamente las raíces cuadradas y cúbicas ordinarias dentro de los números reales. La demostración apareció en 1843. La condición de irreducibilidad es indispensable. Si la cúbica ya tiene una raíz racional, se puede factorizar primero y, por supuesto, quizá evitar aquel camino.

Lo que ocurre, por tanto, es esto: en esa clase de casos, quien sigue aquel camino de entonces tiene que pasar por esos objetos. Era una vía algebraica general importante, recién conquistada, pero no la única vía posible entre todos los métodos para hallar raíces. Hubo que esperar trescientos años para que alguien demostrara que otra vía del mismo tipo tampoco permitía evitarlos.

5. Un ingeniero

El hombre que lo consiguió se llamaba Rafael Bombelli. Fue bautizado en Bolonia en 1526 y murió en 1572.

Bombelli no siguió el camino del profesor universitario de matemáticas. Se formó en el mundo de la ingeniería, la agrimensura y las obras hidráulicas, como discípulo de un arquitecto e ingeniero que había trabajado en desagües y terrenos para el organismo financiero de la Santa Sede.

Su proyecto mejor documentado fue el saneamiento de una zona de pantanos y tierras en la Toscana. Hacia 1549, su protector obtuvo los derechos de explotación; en 1551 ya hay documentos que lo sitúan registrando límites de propiedades y atendiendo asuntos de las obras. Los trabajos se interrumpieron hacia 1555, se reanudaron después y completaron una fase importante antes de 1560. Le dieron fama como ingeniero hidráulico. En 1561 participó también en Roma en un intento de reparar un puente sobre el Tíber, y más tarde asesoró otro proyecto de drenaje de pantanos.

Llamarlo simplemente matemático aficionado nos haría perder de vista lo principal. Era un hombre que se ganaba la vida con tierras, aguas, lindes y obras, y que escribió una de las obras de álgebra abstracta más audaces del siglo XVI.

No hay una relación causal evidente entre ambas cosas, ni hace falta forzarla. Pero sí cabe decir algo: quien se pasa los días fijando los límites de un pantano probablemente tiene su propio criterio sobre qué significa que algo esté realmente ahí.

Tampoco escribió el libro de repente en 1572. Había empezado a mediados de la década de 1550, durante la pausa en las obras; hacia 1557 ya estaba trabajando en él. Su plan original era de cinco libros. En 1572 publicó los tres primeros. Los dos últimos, dedicados a la geometría, no llegaron a editarse formalmente; los manuscritos inéditos no fueron redescubiertos hasta 1923 y aparecieron en una edición preparada en 1929. El propio Bombelli sabía que sus lectores iban a pensar que estaba haciendo una locura.

Al tratar aquel tipo de ecuaciones cúbicas, dijo que muchos juzgarían sus ideas extravagantes, atrevidas y ajenas a las reglas. Admitió que también él, al principio, había creído que aquello parecía más un sofisma que una verdad. Cardano había empleado esa palabra, «sofístico», veintisiete años antes.

Además, advertía al lector que en esa parte debía poner en juego todas las fuerzas de la mente, pues era muy fácil dejarse confundir. Veintisiete años antes, el otro había hablado de dejar a un lado las torturas mentales. Separados por veintisiete años, ambos recurrían a la misma familia de palabras.

El detalle importa más de lo que parece. Dos hombres con posiciones opuestas, uno que lo declara inútil y otro que le da reglas, describen con las mismas palabras el estado mental que les provoca. En veintisiete años no ha cambiado lo que se siente ante ese objeto. La diferencia es que el segundo no se detiene. Después de estudiarlo una y otra vez, descubre que puede establecer operaciones y demostraciones coherentes, y decide continuar. Lo que hace consta de tres pasos.

Primero, deja de tratar la raíz cuadrada de un número negativo como si fuera una raíz corriente que se hubiera estropeado. Da nombres propios a dos objetos básicos; traducidos de manera aproximada, serían «más de menos» y «menos de menos». Corresponden, a grandes rasgos, a las dos unidades imaginarias de signos opuestos que vendrían después. Naturalmente, él aún no dispone de nuestra notación con letras.

Segundo, establece un conjunto de reglas de cálculo: qué se obtiene al multiplicar cantidades positivas ordinarias, cantidades negativas y esos dos objetos. Multiplicar dos de estos con el mismo sentido produce una cantidad negativa ordinaria; multiplicar uno de cada sentido produce una cantidad positiva ordinaria. Al sumar y restar, se agrupan las partes ordinarias con las ordinarias y las de aquella clase con las de su misma clase. En otras palabras, por primera vez no se limita a tolerar los objetos: les da una tabla de multiplicar.

Dar una tabla de multiplicar y dar una definición son cosas distintas. La definición debe responder qué es aquello; la tabla, cómo se calcula con ello. Bombelli ofrece lo segundo. Durante los más de doscientos años siguientes, se siguió calculando con ello mientras se intentaba responder a la primera pregunta.

Ya hemos visto esta frontera en la serie. El comentarista del quinto ensayo se detenía ante el volumen de la esfera porque ni siquiera disponía del algoritmo. Aquí sucede lo contrario: el algoritmo existe y es fiable; lo que falta es el objeto.

El tercer paso es el núcleo de la historia. Bombelli elige un ejemplo del que ya se sabe que cuatro es una raíz real. Al aplicar el método aparece, a mitad del cálculo, una pareja de cantidades no reales, y todavía hay que extraer la raíz cúbica de cada una. Ahí se había atascado el problema: la raíz cuadrada de un número negativo ya es bastante extraña; ¿cómo se extrae la raíz cúbica de un número que contiene una de esas raíces? Hace una suposición audaz. Quizá esa complicada raíz cúbica pueda escribirse también como un número corriente más un objeto sencillo de la misma clase.

No se limita a adivinar por intuición. Eleva al cubo toda la expresión que ha supuesto, la desarrolla siguiendo su propia tabla de operaciones y compara término a término las partes ordinarias y las no reales. El resultado es que una de las raíces cúbicas puede escribirse como dos más una unidad de aquel objeto; la otra es exactamente su pareja: dos menos el mismo objeto. Al sumarlas, las partes no reales se anulan por completo. Queda precisamente cuatro.

Lo convincente de ese paso no es que la respuesta sea correcta. Ya se sabía que era cuatro. Lo convincente es que cada paso, del primero al último, obedece a las reglas que él mismo ha establecido; no hace falta ningún permiso adicional a mitad de camino, y al final el cálculo se cierra por sí solo.

Por primera vez, lo que está ocurriendo se ve con claridad.

La raíz cuadrada de un número negativo no es la señal de un error. Los resultados intermedios pueden no ser reales. Dos resultados intermedios de esa clase pueden obedecer por completo a las reglas del álgebra y producir juntos una raíz real cuya existencia ya se conocía. Bombelli no ofrece la teoría moderna de los números complejos, ni el plano complejo, ni mucho menos la definición moderna de un cuerpo numérico. Demuestra algo más práctico para la historia de las ideas: con esos objetos se puede formar un lenguaje de cálculo que no se derrumba a la primera de cambio.

«Que no se derrumba a la primera de cambio»: esas palabras importan. Lo que más fácilmente mata a un objeto nuevo no es que nadie crea en él, sino que, en algún paso del cálculo, incurra en contradicción consigo mismo. Con sus reglas y sus ejemplos resueltos, Bombelli reduce considerablemente esa sospecha, pero no proporciona una demostración global de consistencia en el sentido que tendría después. La interpretación sistemática de los objetos aún está por desarrollar. Y de cuántos lectores tuvo entonces su libro no podemos dar una cifra. No contamos con una cifra fiable de la tirada de la primera edición ni se ha conservado un registro de ventas.

La propia historia de su recepción es objeto de debate. Una tradición subraya su enorme importancia: el sistema de operaciones estaba ya muy completo, y matemáticos destacados de épocas posteriores lo leyeron y lo elogiaron. Otra señala que su circulación efectiva y su influencia directa durante los siglos XVI y XVII fueron menores de lo que podría hacernos pensar su posterior condición de clásico.

Así pues, lo que hizo en 1572 no llevó a todos los matemáticos europeos a reconocer colectivamente esos objetos al día siguiente. Podemos demostrar que el libro existió y que más tarde lo leyeron matemáticos importantes. No podemos deducir de su prestigio posterior que en la década de 1570 tuviera un público numeroso. La invención y la aceptación deben ir por separado. Un libro puede tener razón antes de tener lectores.

6. Doscientos cincuenta años

La mejor manera de resumir el período entre 1572 y principios del siglo XIX no es decir que aquellos objetos fueron rechazados durante doscientos cincuenta años. Es decir que su uso llegó antes que la tranquilidad acerca de qué eran.

Los matemáticos recurrieron cada vez más a las raíces cuadradas de números negativos como herramientas formales. Durante los siglos XVII y XVIII, la teoría de ecuaciones, los logaritmos, las funciones trigonométricas y las series infinitas fueron arrastrándolas a un número creciente de cálculos. Llegó un momento en que ciertos cálculos del análisis resultaban más engorrosos sin ellas. Un hito célebre es la conexión que Euler estableció en 1748 entre la función exponencial y las funciones trigonométricas mediante parámetros complejos. Entretanto, seguía inquietando la pregunta de qué eran exactamente.

Por eso un mismo matemático podía llamarlas imposibles en una página y utilizarlas con soltura en la siguiente. No era un desdoblamiento lógico de la personalidad. En las matemáticas de comienzos de la Edad Moderna, la legitimidad de una operación y el derecho de un objeto a existir todavía no estaban unidos. La séptima sección del ensayo anterior decía lo mismo, solo que allí el objeto era el número negativo. Aquí la zona gris dura más y es más oscura. El nombre aparece en 1637.

En el tercer libro de La geometría, Descartes escribe, al tratar las raíces de las ecuaciones, que las llamadas verdaderas y falsas no siempre son reales, sino que a veces son solo imaginadas: aunque se pueden imaginar tantas raíces como indica el grado de la ecuación, en ocasiones no hay ninguna cantidad que corresponda a lo imaginado.

El contexto original de la palabra sí tenía, por tanto, algo de rebaja de categoría. Se oponía a «real» y quería decir que aquello podía imaginarse, pero no necesariamente tenía una cantidad correspondiente.

Hay que mirar bien ese contraste. Descartes no dice que sea erróneo ni que no permita obtener resultados. Dice que no hay una cantidad que le corresponda. En un sistema donde un número todavía debe ser alguna clase de cantidad, eso equivale a decir que no es un número.

Aunque interpretar la palabra como un mero insulto también sería un poco anacrónico. Más exactamente: en su contexto indica una insuficiencia de estatuto ontológico; no es un elogio. Su carga despectiva procede de oponer lo meramente imaginado, sin cantidad correspondiente, a lo real; no de un arrebato de mal humor.

De ahí que el título de este ensayo sea históricamente preciso. Al principio no se trataba de celebrar, con el romanticismo de la posteridad, que la imaginación de los matemáticos había creado un mundo nuevo. La idea era más bien esta: puedes imaginar una raíz así, pero en realidad no hay ninguna cantidad que le corresponda.

En 1685, Wallis ya buscaba una interpretación geométrica para aquellas cantidades. Partiendo de segmentos dirigidos y proporciones geométricas, intentó entender las raíces cuadradas de números negativos como direcciones perpendiculares en el plano. Al comienzo de su exposición dice que suelen llamarse cantidades imaginarias, señal de que el término había entrado ya en el lenguaje matemático inglés. Es el mismo hombre del ensayo anterior que dibujaba una recta con dos sentidos y, a la vez, creía que los números negativos ocupaban una región más allá del infinito.

¿Por qué no se lo considera normalmente el fundador del plano complejo? Porque no estableció la correspondencia completa, uno a uno, que se desarrollaría después. No basta con representar una raíz cuadrada de un negativo mediante una línea perpendicular: cada número formado por una parte real y otra no real debe corresponder a un punto o a un segmento dirigido del plano, y la suma, la multiplicación, la longitud y el giro han de concordar con las operaciones algebraicas. Wallis tuvo una intuición geométrica decisiva; no completó ese sistema cerrado.

La distinción reaparece una y otra vez en la historia de las matemáticas: ver qué aspecto tiene algo queda muy lejos de situarlo en un sistema completo de correspondencias.

Leibniz utilizó abundantemente esas cantidades y dejó expresiones singulares que las sitúan entre el ser y el no ser. Esa actitud no se niega a calcular con ellas; se niega a responder demasiado pronto qué son.

En cuanto a la letra de la unidad imaginaria, hay que distinguir la fecha de escritura de la fecha de publicación. La adopción sistemática de la notación suele atribuirse a un artículo que Euler terminó en 1777, pero que no se publicó hasta 1794.

Y tampoco Euler dejó de equivocarse a partir de entonces. En el siglo XVIII aún no existían las reglas modernas para las ramas de las raíces. A veces aplicaba a dos números negativos una propiedad de la raíz cuadrada que solo es segura para reales no negativos, y cometía así errores de signo.

No escribamos, por tanto, una historia en la que los anteriores no sabían calcular y, en cuanto llegó Euler, todo se volvió correcto. Bombelli era, de hecho, muy prudente con algunas reglas de signos.

Cuanto más familiar resulta algo, más fácil es aplicarle mal una regla traída de otro lugar. Cuanto más extraño resulta, más obliga a detenerse a pensar en cada paso. El primero que de verdad lo dibujó fue un agrimensor y cartógrafo.

Presentó su artículo a la Real Academia Danesa de Ciencias en 1797 y lo publicó en danés en 1799. En él relacionó sistemáticamente aquellas cantidades con segmentos dirigidos, dotados de orientación y longitud: sumar equivalía a colocar el principio de uno en el extremo del otro; multiplicar, a multiplicar las longitudes y sumar los ángulos de dirección. Aquello estaba ya muy cerca del plano complejo moderno. Y su caso ofrece un magnífico contraejemplo para recordar que acertar en un descubrimiento y lograr que sea aceptado no son lo mismo.

El artículo apareció en una publicación de la academia danesa a la que el público internacional prestaba poca atención; además, estaba escrito en danés. Permaneció casi un siglo en silencio. No volvió a llamar la atención hasta finales del XIX, gracias a las investigaciones danesas de historia de las matemáticas. En 1897 apareció una traducción francesa, y solo entonces su prioridad obtuvo reconocimiento internacional.

En 1806, otro hombre publicó, de manera independiente, un pequeño libro que representaba esas cantidades mediante la geometría del plano. No era un profesor académico célebre; la primera edición fue privada y de corta tirada, y tampoco causó sensación inmediata. Hacia 1813, los materiales relacionados con ella volvieron a la discusión pública en unos anales de matemáticas. Su método entró así en las redes matemáticas francesas de una manera más directa que el de su predecesor.

El caso de Gauss es el más complejo. Su tesis doctoral de 1799 ya se había acercado a ese mundo al tratar el teorema fundamental del álgebra, y está claro que poseía desde muy pronto las intuiciones geométricas pertinentes. Pero su declaración verdaderamente pública y explícita no llegó hasta 1831. Allí convirtió en objetos de la propia aritmética las expresiones formadas por un entero real más otro entero real multiplicado por la unidad imaginaria.

En la década de 1830, Hamilton tomó un camino complementario al de la interpretación geométrica. En lugar de preguntarse dónde existía exactamente la raíz cuadrada de menos uno, propuso definir esos números desde el principio como pares de números reales.

Planteó la idea hacia 1833 y publicó su versión madura en 1837. Para sumar dos de esos pares, se sumaban por separado sus primeros miembros y sus segundos miembros. La multiplicación se definía mediante una regla especial para pares que hacía que la unidad de la segunda dirección, multiplicada por sí misma, diera exactamente menos uno. Así, la llamada unidad imaginaria no necesitaba existir antes como una misteriosa raíz cuadrada. Era, sencillamente, un elemento concreto del sistema de pares.

Esto llega más hondo que dibujar un eje perpendicular. La geometría dice cómo verlo; esta construcción muestra que basta con los números reales ya aceptados y unas reglas de operación explícitas para fabricarlo. ¿Fue entonces la interpretación geométrica la causa de la aceptación, o un resultado de que ya se lo aceptara? Vale la pena preguntarlo, porque casi todas las narraciones divulgativas cuentan lo mismo: nadie creía en aquello, alguien dibujó el plano complejo y, a partir de ahí, todos creyeron.

La propia cronología desmiente esa causalidad de una sola dirección. Bombelli ya calculaba con ello en 1572; Wallis intentaba explicarlo en 1685; en el siglo XVIII había entrado en las operaciones centrales de la trigonometría y el análisis. Todo eso ocurrió antes de que apareciera la representación completa en el plano. Y, a la inversa, el agrimensor demuestra que dibujarlo no provoca automáticamente su aceptación: su explicación geométrica completa fue prácticamente ignorada durante un siglo.

Una formulación más acorde con la historiografía matemática actual sería, pues, esta: la interpretación geométrica fue tanto el resultado de un uso prolongado como una de las causas de su posterior legitimación. Primero hubo más de doscientos años en que aquello permitía calcular. Después llegaron, poco a poco, varias respuestas: podía dibujarse, podía definirse, podía pertenecer a un sistema numérico completo. El orden es casi el mismo que el de los negativos en el ensayo anterior, solo que aquí tarda más y los doscientos años intermedios son más oscuros.

Los números negativos ya contaban con explicaciones a las que recurrir, como las deudas o las direcciones. En esos más de doscientos años también hubo intentos de interpretación geométrica de las cantidades no reales, pero aún no una explicación sistemáticamente coherente y ampliamente aceptada.

7. Directo, inverso, lateral

En aquel artículo de 1831, Gauss se quejaba de algo.

Decía que, si en vez de palabras tan torpes como positivo, negativo, imaginario e incluso imposible se hubieran pensado las tres direcciones básicas como unidades, por ejemplo, directas, inversas y laterales, casi no habría surgido la misteriosa oscuridad que rodeaba a aquellos objetos.

Es decir, en 1831 uno de los matemáticos de mayor autoridad en Europa ya señalaba que parte del problema no era lo absurdo de aquellas cantidades, sino que los nombres elegidos por los matemáticos llevaban mucho tiempo insinuando que eran absurdas.

En la última sección del ensayo anterior vimos que muchas lenguas no empezaron por dar a los números negativos un nombre de categoría neutral. Los nombraron a partir de la pérdida, la falta, la deuda, la negación, la resta o la dirección contraria. Después, los objetos adquirieron la misma condición formal que los demás, pero los viejos nombres permanecieron.

El nombre que nos ocupa aquí resulta todavía más hiriente que el del ensayo anterior, porque dice sin rodeos que la cosa es imaginada. Además, hay que distinguir los nombres, no amontonarlos en una sola lista. «Sofístico» procede del Cardano de 1545. Bombelli empleó después la misma palabra para decir que, al principio, aquello le había parecido más un sofisma. «Imaginario» procede del Descartes de 1637. Ese es el nombre que acabaría fijándose.

«Imposible» fue haciéndose habitual durante los siglos XVII y XVIII. Al revisar la terminología anterior en 1831, Gauss reunió «imaginario» e «incluso imposible» entre los viejos nombres que habían provocado aquella oscuridad. Con «absurdo» hay que tener cuidado. En la tradición que examinamos en el ensayo anterior, «números absurdos» se aplicaba sobre todo a números negativos o a soluciones negativas, no a los imaginarios puros en el sentido ya desarrollado del término. Decir que los matemáticos del siglo XV llamaban absurdos a los números imaginarios es hacer pasar subrepticiamente la historia de la aceptación de los negativos por la historia que estamos contando aquí.

Pero esa misma distinción permite formular una buena observación histórica. Cuando incluso los números negativos seguían llamándose a menudo absurdos, sus raíces cuadradas tenían aún menos posibilidades de encontrar un asiento reservado. ¿Por qué no se cambió después aquel nombre?

Ningún congreso matemático votó a favor de conservar un mal nombre. La explicación más verosímil es la inercia de los términos: cuando se comprendió bien la confusión filosófica que generaba, ya estaba incrustado en los manuales de muchos países, en las parejas parte real y parte imaginaria, eje real y eje imaginario, y en una enorme literatura especializada. Una vez fijada, una palabra técnica suele dejar de obedecer por completo a su significado en el habla corriente.

Además, cambiar el nombre nunca fue un problema matemático. Exigía modificar libros de texto, símbolos y pares de términos ya asentados en decenas de lenguas. La ganancia consistía en eliminar un equívoco; el coste, en reorganizar un sistema que ya funcionaba. Nadie hizo ese trato. En cuanto al lado chino de la historia, este ensayo debe dejar una laguna.

En los materiales que he podido comprobar no encuentro pruebas suficientes para determinar qué traductor chino acuñó por primera vez el término 虚数, en qué año y en qué libro.

Solo puede afirmarse con seguridad lo siguiente: en el chino actual, 虚数, «número imaginario», forma pareja con 实数, «número real», y se escribe con los mismos caracteres que el término japonés equivalente. Entre el final de la dinastía Qing y la era Meiji hubo un intenso intercambio, en ambas direcciones, de términos chinos y japoneses para el saber occidental.

Pero compartir los caracteres no demuestra por sí solo que el término naciera necesariamente en Japón y pasara después a China. A mediados del siglo XIX ya se traducía álgebra occidental en China. Las traducciones matemáticas de las personas mencionadas en el ensayo anterior son anteriores a la gran entrada de neologismos japoneses al final de los Qing. Este término exige, más que otros, examinar las primeras ediciones libro por libro. No se puede deducir su procedencia porque tenga aspecto de palabra japonesa escrita con caracteres chinos. En el ensayo anterior quedaron otras dos lagunas del mismo tipo: si hubo traducciones rivales para «número negativo» y de dónde procede el término chino para «número opuesto».

Ante las cuatro lagunas de estos dos ensayos, prefiero escribir que no he podido averiguarlo antes que rellenarlas con una genealogía de apariencia completa.

Hay, sin embargo, algo que sí puede decirse. El carácter 虚 va más allá de lo meramente imaginado: arrastra los matices del chino clásico de vacío, no real, no existente de hecho. Ese carácter recoge con extraordinaria precisión la historia despectiva de la palabra europea. Cuando una traducción es inexacta, el uso suele desgastarla. Esta fue tan exacta que se llevó también los defectos del original.

8. Pasar al otro lado

Si ponemos este ensayo junto al anterior, veremos que los dos objetos entraron en las matemáticas de maneras completamente distintas.

Al número negativo lo fueron empujando hacia dentro. Aparecía de manera natural en los pasos intermedios de los algoritmos, tenía una realidad correspondiente en los libros de cuentas y podía señalar un sentido contrario ya conocido. Se discutía si merecía ser un número, no si servía para algo. El de este ensayo entró porque no hubo más remedio.

Nadie lo quería. No tenía en ninguna parte una cantidad que le correspondiera. Cuando Descartes le dio nombre, eso fue exactamente lo que dijo: no había ninguna cantidad correspondiente.

Y sin embargo, en aquellas ecuaciones cúbicas irreducibles, las tres respuestas eran reales, pero buscarlas por el camino de los radicales obligaba a pasar por allí. El número imaginario no ayudó a los matemáticos a encontrar una raíz ficticia. Ocurrió lo contrario: apareció primero como el tramo intermedio que conducía a tres raíces reales. Conviene recordar esa forma, porque es distinta de las que hemos encontrado en los ensayos anteriores.

En el tercero, aquella laguna se escondía en un dibujo que se veía de un vistazo. En el cuarto, fue el propio protagonista quien decidió dejar por escrito su relato. En el séptimo, unos se resistían al objeto y otros lo defendían, y la resistencia tenía argumentos.

El objeto de este ensayo se parece a una estación de paso cuya identidad sigue en suspenso, y por la que pasa precisamente el camino de los radicales. El del ensayo anterior al menos podía señalar una deuda y decir: esto soy yo. Este no puede señalar nada. Y la estación no está al final del viaje ni al principio. Está en medio del camino: hay que entrar y salir, y una vez fuera, desaparece.

Eso lo hace más difícil de defender que el número negativo. El negativo al menos puede quedarse en la respuesta, para que alguien lo señale y pregunte qué es. Este ni siquiera se queda. ¿Cómo demostrar la existencia de algo que solo aparece a mitad de camino y al final desaparece por sí solo? Durante más de doscientos años no dejaron de proponerse interpretaciones parciales y cada vez más matemáticos lo utilizaron, pero la explicación sistemática y la aceptación general no llegaron a la vez. En las tres respuestas finales no queda ni rastro de él. Se usó durante más de doscientos años y sus interpretaciones fueron creciendo poco a poco. Pero que uno calculara tranquilo no bastaba para tranquilizar a otro.

Se puede calcular con él, el resultado es correcto y vuelve a serlo una y otra vez. Pero, al acabar la cuenta, sigue ahí la pregunta: ¿qué es? Durante más de doscientos años, las operaciones llegaron muy lejos; las explicaciones y el reconocimiento no avanzaron al mismo paso.

Al final del ensayo anterior citábamos una idea: las matemáticas fabrican primero cosas con las que se puede calcular sin que se sepa explicarlas; después vuelven atrás y ensanchan las definiciones para dejarlas entrar. Quien lo dijo vivió en el siglo XIX, y aquí tenía el mejor ejemplo a la vista. Primero, Bombelli le dio una tabla de multiplicar y mostró que al menos no se derrumbaba a la primera de cambio. Ese mismo hombre pasaba el día registrando lindes en los pantanos. Después, alguien intentó dibujarlo, pero quien lo dibujó fue ignorado durante cien años.

Luego alguien lo definió como un par de números reales, de modo que ya no tenía que existir primero como una misteriosa raíz cuadrada.

Hubo también quien señaló que parte del problema estaba en el nombre. Y el nombre sigue siendo el mismo. Todo estudiante que oye por primera vez «números reales» y «números imaginarios» recibe, antes que nada, una insinuación: unos son de verdad; los otros, de mentira. La insinuación viene del siglo XVII, y eso era lo que se quería decir entonces. Solo que quien lo decía se refería a que no había una cantidad correspondiente, mientras que el estudiante entiende que aquello no existe. Entre una cosa y otra hay trescientos años de matemáticas.

Seguimos haciendo cuentas con los números; lo que cuenta como matemáticas nunca ha terminado de quedar claro.

Fuentes y lecturas complementarias

Las fuentes que siguen corresponden a los detalles históricos y a las divergencias de interpretación del ensayo. Los registros de catálogo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de prueba.

• Tartaglia y Cardano: traducción de los intercambios originales
• Diccionario de biografías científicas: Bombelli
• Traducción del Álgebra de Bombelli
• Estudio de historia de las matemáticas sobre la obra de Wantzel
• Universidad de St Andrews: Wessel
• Universidad de St Andrews: Argand