数学 · 08 / 25
想像された量
三次方程式の実根を求める途中で、実数ではない量が必要になることがある。規則、説明、公表、そして受容は、それぞれ別の時計で進む。
一 三十問ずつ
1535年の初め、ヴェネツィアで二人の男が、相手に三十問ずつの問題を出した。
問題は封をして公証人に預ける。期限を決め、その日までに解答を提出する約束だった。
一方の名はフィオル。彼には切り札があった。ある型の三次方程式を解く方法である。授けたのは師のシピオーネ・デル・フェッロ。ボローニャ大学で算術と幾何学を教えていた人で、1515年ごろにはすでにこの方法を手にしていたが、一度も公にしていなかった。
ただし、この年には注意がいる。現代の数学史ではおおむね一致している年代だが、年記のある自筆稿で確定できるわけではない。成果は残った。発見した日は残らなかった。フィオルの三十問は、ほぼすべてこの一枚の切り札に賭けられていた。もう一方はタルタリアという。こちらの三十問は雑多で、さまざまな種類が混じっていた。
タルタリアが後に語ったところでは、問題を正式に受け取る少し前、フィオルの頼みの綱だった型の方程式について、とうとう自力で一般的な解法を見つけた。そして約二時間で、相手の三十問をすべて解いてしまった。フィオルは一問も解けなかった。この勝負は後世に繰り返し語られ、たいていは二人の天才がその場で暗算を競った話になる。実際に起きたことは、むしろ賭ける先を間違えたという話に近い。
勝負の仕組みは明快だ。一方は一つの秘密にすべてを賭け、もう一方は異質な問題を取りそろえた。秘密が破られた途端、その日のうちに形勢は逆転する。ここで三つのことを押さえておこう。この先、何度も必要になる。
第一に、元の史料が記す年は、ここで挙げた年より一年早い。当時のヴェネツィアでは、年は三月一日に始まり、二月はまだ前年に属していたからだ。今の数え方なら1535年二月になる。原文の年をそのまま写して生じる一年のずれは、よくある間違いだ。
第二に、今よく語られる話では、賭けたものは三十回の宴会になっている。しかし、一次史料に近い記録の文言は、そんなにきれいには整っていない。そこにあるのは名誉や、解けた問題数に応じた何らかの報酬への言及だ。三十問、封をした問題、公証人、期限。これらには裏づけがある。三十回の宴会にはない。
第三に、そしてこれがいちばん重要なのだが、1535年の勝負を知るうえで最も価値のある史料は、十一年後にタルタリア自身が編んで出版した本である。彼は当事者であり、編集者でもあった。では、1515年ごろに発見された解法が、なぜ1535年にもなお、ごく少数の人のあいだにしか出回っていなかったのか。
デル・フェッロ自身が理由を語った言葉は、一つも見つかっていない。もっともらしい再構成はこうだ。当時の北イタリアで応用数学を教える人々にとって、専門家としての評判は、公開の問題勝負と固く結びついていた。自分だけが知る方法は、職を得るときも、職を守るときも、相手に挑むときも、仕事上の資本になる。こうした仕組みのもとで、美しい解法を秘密兵器として抱えておくのは、経済的には理解できる。
ただし、それは制度からの説明であって、本人の証言ではない。現代の語りでは、この推測がもう一歩先まで進み、勝負に負ければ自動的に教授の職を失った、という話になりがちだ。その「自動的に」を支える史料はない。この人たちがどんな立場にいたのかも、見ておく必要がある。
その前に、もう一つ断っておきたい。この一篇には、互いを非難する四人の人物が登場する。ところが、彼らの残した史料はひどく釣り合いが悪い。自分で組み立てた過去の物語を大量に残した人もいれば、印刷された数学書を一冊だけ残した人もいる。何も残していない人もいる。大きな声が残っていることと、その声が正しいこととは、別の話だ。
そこで、ここから次の節にかけては、双方が実際に印刷したものと、片方だけが語っているものを、混ぜずに追っていく。この解法を最初に手にした人には、大学の職があった。タルタリアは、教育、技術書、公開勝負によって名を上げた。この名は「どもる人」という意味のあだ名だ。1512年、フランス軍がブレシアに攻め込んだとき、彼は母と妹とともに大聖堂へ逃げ込んだ。そこでフランス兵の刃が下あごと上あごを傷つけ、それ以来うまく話せなくなった。最初の本は1537年に出た。砲弾の飛び方を論じ、最古の射表を載せた本である。巻頭の献辞で彼は、隣人を傷つけ、果ては人類を滅ぼしかねない技を完成に近づけるのは、恥ずべき残酷なことだと思っていた、と述べる。それで研究をやめただけでなく、書き留めた計算や文章も破って焼いたという。その後、狼が羊の群れへ入り込もうとし、どの羊飼いも備えが必要だと認めるのを見て、もう隠しておくべきではないと考え、刊行に踏み切った。その狼とはオスマン帝国のことだ。後に登場するカルダーノは、数学教育、医学、大学、権力者たちとの人脈のあいだを渡り歩いた。フェラーリにとっては、公開勝負がまもなく仕事上の資本になった。
十六世紀のイタリアには、今のような、数学者になるための共通した道筋はなかった。公開勝負は余興ではない。職を見つける方法の一つだった。
だから、現代の学界の規範を持ち込んで、なぜすぐに出版しなかったのかと問い詰めることはできない。1530年代、独立して教えて暮らす人にとって、公表すれば競争相手全員が同じものを手にする。隠しておけば、自分だけが出せる問題、自分だけが解ける技術という財産になるのだ。
二 片方だけの記録
1539年、カルダーノがその解法を欲しがった。
残る史料によれば、年明けには、まず仲介人を通じたやり取りがあった。一月、カルダーノ側は二つの案を示している。自著にタルタリアの名を明記して収録することもできるし、秘密を守ると約束することもできる。タルタリアは、自分で後に出版したいと考え、初めは断った。二月にも手紙は続き、口調は柔らかくなったり、強くなったりした。カルダーノはさらに、ミラノの有力者が会ってくれるかもしれないと持ちかけた。タルタリアはついにミラノへ向かった。
後のタルタリアの説明では、二人がカルダーノの家で会ったのは1539年三月二十五日だった。有力者に会えることを期待していたが、それはかなわなかった。その後、彼は三次方程式の解法を詩の形でカルダーノに伝えた。この暗記用の詩は、実際に文章として残っている。完全な証明ではなく、いくつかの型の三次方程式を処理する手順である。そして誓いが来る。ここは、何が出典なのかをはっきりさせておかねばならない。
現存する最古の、誓いの全文を記した資料は、タルタリアが1546年に出版したあの本だ。語り手はタルタリア。そこで語られている出来事の日付は1539年三月二十五日。約七年の隔たりがある。二人が署名した1539年の誓約書は残っていない。中立の立会人が作った面会の記録もない。
彼の劇的な対話のなかで、カルダーノは、聖なる福音と紳士としての信義にかけて誓う人物として描かれる。教わった発見は決して出版しない。そればかりか暗号で記し、自分の死後にも誰にも読めないようにする、と。タルタリアはすぐに、これほどの誓いをなお信じられないなら、むしろ自分のほうが信義のない者と見なされるべきだ、と答える。あるのは、七年後にタルタリアが誓いをこう書き留めたという事実である。その場でカルダーノが実際に何を言ったのかを確かめられる記録は、ない。
カルダーノが公に示した話は、別の枠組みでできている。
1545年の『アルス・マグナ』で、彼は解法をタルタリアから教わったことを認めている。発見を自分の手柄に偽装したわけでもない。ただし、この型の三次方程式の発見者として最初に挙げるのは、先のボローニャの教授だ。そのうえで、タルタリアはフィオルとの競争のなかで、独力で同じ解法を再発見したと述べる。また、手順を得た後、自分はその証明を探し、さらに多くの場合へ一般化し、フェラーリは四次方程式を解き終えた、と強調している。
その系譜はこうなる。最初がデル・フェッロ、独立に再発見したのがタルタリア、証明し体系化したのがカルダーノ、先へ広げたのがフェラーリ。
前後を取り違えてはいけない点がある。『アルス・マグナ』は1545年刊で、タルタリアが誓いの全文を印刷するより一年早い。したがってこの本を、誓いを破ったという告発に対するカルダーノの答弁として読むことはできない。実際に公の場で反撃したのは、1547年以降のフェラーリだった。
では、カルダーノはなぜ出版してよいと考えたのか。よく知られた筋書きによれば、1543年ごろ、彼とフェラーリはボローニャへ赴いた。デル・フェッロはすでに亡くなっており、二人はその娘婿に会った。残された資料を見て、タルタリアが最初の発見者ではないと確認したという。
この確認作業の大筋は、現代の数学史でも通常は認められている。ただ、ボローニャに着いたのが何月何日で、どのノートを開き、その部屋に誰がいたのか。こうした細部は主に、後の論争で語られた説明によって伝わっている。それをすべて1545年の本文にさかのぼって読み込むべきではない。娘婿が保管していたとされる元のノートも、完全な自筆資料として今日まで残ってはいない。ある公式を出版する権利があるかどうかを、一度の資料確認が左右した。だが、そのとき確認したノート自体は伝わらなかった。両者の倫理的な言い分には、それぞれ筋がある。
カルダーノ側からすれば、秘密を守ると約束した相手はタルタリアであり、守る対象は彼の秘密だった。同じ発見を別の人が独立に、しかも先に得ていたのなら、もともと優先権を独占できない成果を、タルタリアが永久に独り占めすることはできない。さらに、フェラーリの四次方程式の解法には三次方程式の解法が必要で、公表を差し止め続ければ、フェラーリの独立した成果まで封じてしまう。
タルタリア側からすれば、秘密を守るという誓いは、カルダーノ本人を拘束するものだ。他の誰かが先に独立に発見していたとしても、その私的な約束が消えるわけではない。後世にも、カルダーノ側の理屈を、異論の余地のない免責条項ではなく、倫理上の抜け道だと受け取る見方は少なくない。
1547年から1548年にかけて、フェラーリは六通の公開挑戦状を出し、タルタリアは六通の返答を印刷した。計十二点の印刷物と、双方が出し合った六十二問は、現代では影印による資料集に全体が保存されている。
したがって、この公開の罵り合いは、後世の創作ではない。十二点は当時すでに印刷され、今も一字ずつ読める。最後の対面勝負は、通常、1548年八月十日のミラノでのこととされる。数学史の研究では、フェラーリが明らかに優勢で、その後タルタリアは去った、というのがおおよその見解である。
だが、いちばん映像にしやすそうな場面ほど、史料の支えがない。教会は市民で埋まり、総督が自ら司会や審判を務め、フェラーリは大勢の支持者を引き連れ、タルタリアに付き添うのは兄弟だけで、初日が終わると夜のうちに町を去った。これらを一つずつ確かめられる、中立の議事録があるわけではない。信頼できる現代の記述はむしろ、正式な勝負の経過についてわかることはごく少なく、しかも主な根拠は、タルタリア自身による短く疑わしい事後の記述だと、はっきり注意を促している。
この節で言いたいのは、結局一つのことだ。印刷によって、争いの証拠の残り方が変わった。
かつては、あの人が私にこう言ったという話は、口伝えの言葉とともに消えていった。今や告発も侮辱も、数学の問題も日付も、複製し、送り、保存できる。四百年後に一字ずつ突き合わせることもできる。カルダーノは1546年に相手の本を読んでから、1545年へ戻って初版をこっそり書き換えることはできない。タルタリアも、1546年の告発を、それだけで1539年の現場で作られた文書に変えることはできない。印刷は、誰もが検証できる時間上の足場を与えた。
とはいえ、印刷がひとりでに、現代のような論文の優先権制度を作ったわけではない。手稿は印刷に先立ちうるし、秘密の口伝も発見の歴史を知る証拠になりうる。出版者が記した年も、土地ごとの暦と照合する必要がある。印刷がもたらしたのは、公に比較できる版と日付の証言だ。再印刷、版の違い、印刷上の誤り、暦の違いは、なお書誌学によって見分けなければならない。
そこで、この争いのいちばん奇妙なところが見えてくる。
史料の不釣り合いには、もう一段理由がある。罵り合いがよく残ったのは、まさに罵り合いだったからだ。十二点の印刷物は、そもそも人に見せるために刷られた。誓いが片方の話でしか残っていないのは、まさに私的な約束だったからだ。公の喧嘩は証拠を残す。私的な約束は残さない。
だから、後世の私たちが知るこの事件は、いびつな形をしている。いちばん騒々しい部分が最も鮮明で、いちばん肝心な部分が最もぼやけている。
公の罵り合いについては、後世の私たちは実に多くを知っている。十二点の印刷物が、一字残らずそこにある。ところが、決定的なあの私的な誓いについては、片方が七年後に書いた文章しかない。
三 十三の型
『アルス・マグナ』は全四十章。1545年、ニュルンベルクで印刷された。
この本は三次方程式をいくつもの型に分けている。第十一章から第二十三章まで、十三種類を一つずつ扱う。四次方程式も、複数の形に分かれている。著者が、今ならこれらを一つの式にまとめられると知らなかったから、という話ではない。
前篇で見たように、当時の代数学は、正の係数と負の係数を一つの同じ数の体系で扱ってはいなかった。ある量を等号の左から右へ移すことは、現代なら符号を変えるだけだ。当時は、それによって方程式の種類そのものが変わることがあった。前篇の六つの型と、この篇の十三の型は、同じ壁の別々の側面である。前篇では、あの六つは六つの規則ではなく、一つの壁の六つの面なのだと述べた。ここにあるのも同じ壁だ。ただし次数が高いぶん、面の数が増えている。
あと数十年で、この壁には別の出来事によって穴が開く。ただし穴の開く場所は、ここではない。
この節ではまず壁を立てよう。その穴の話は、次の節でする。
正負の係数を備えた現代の多項式を、先入観のまま1545年へ持ち込むと、著者がわざわざ同じことを繰り返しているように見えてしまう。実情は逆だ。負数がまだ係数の体系の普通の一員になり切っていないので、どちらの辺で足すか、という言い方で形を分けるほかなかった。この本の第三十七章には、とりわけ有名な一節がある。問題はひどく簡単に見える。十を二つに分け、その積が四十になるようにせよ。実数の範囲ではできない。和が十なら、積はどれほど大きくても二十五までだ。
カルダーノは二次方程式のやり方で先へ進み、対をなす二つのものを得た。どちらにも五があり、もう一つ、負の十五の平方根に由来する部分が、それぞれ正と負の符号を伴っている。今の言葉なら、五に負の十五の平方根を足したものと、五からその平方根を引いたものだ。大事なのは、ここでの彼の態度である。彼はそれを捨てなかった。
ここは立ち止まる価値がある。「この問題には解がない」で済ませられるところで、彼は計算を続けるほうを選んだ。これは詭弁めいているけれども、なお演算してみよう、と言う。そして二つを掛けると、形式のうえでは、確かに四十が戻ってきた。
二つの部分の和は十。この条件を、彼は成立させた。積は四十。この条件も成立させた。代償は、その二つの部分が数ではないことだった。
こうして、すべての条件を満たす一対のものが手に入った。ただ、それが何であるかはわからない。前篇で見た「架空」という身分は、こういう瞬間に生み出されたのだ。それで問題が解決するわけではない。ひとまず問題を机の上に置いておけるだけである。だが、そのまま置いておいたことが、後に決定的な一歩だったとわかる。捨てたものは、自分から戻ってはこない。
英訳には、「心の苦しみは脇に置いて」といった形でよく引かれる一文がある。要するに、この件が引き起こす精神的な責め苦にはかまわず、掛け算を続けるという意味だ。そして最後に、有名な評言が来る。この算術の精妙さは、精妙を極めると同時に、無用をも極める、と。彼の手つきは、彼の評言よりずっと先へ進んでいた。口では役に立たないと言いながら、手はもう、代数の規則どおりに計算を終えていたのである。
前篇にも、同じ形の動作があった。負数を架空と呼びながら、それを方程式を扱う技術に組み入れた人がいた。「架空」は追い出すための言葉ではない。そこにいてよい身分を与える言葉だった。ここでは「詭弁」が、同じ働きをしている。
ただし、よくある取り違えを避けなければならない。十を二つに分けるこの例は、二次の問題だ。彼が負数の平方根を使って三次方程式を解き終えた例ではない。あの壁は別の場所にあり、彼はずっと早くからそこにぶつかっていた。しかも、その解法を教わって間もないころのことだ。秘密兵器を手に入れたばかりの人が、いざ使うと、あるところで動かなくなるのに気づく。すると授けた当人が、使い方を間違えているのはそちらだ、と言う。
タルタリアが後に刊行した1539年の往復書簡を見ると、カルダーノは暗記用の詩を受け取ってまもなく、いくつかの例で規則を試している。その一つは、現代の目で見ると、ちょうど最も厄介な型に入る。疑問を投げかけたカルダーノに、タルタリアは計算の操作が間違っているのだと返し、教えてしまったことへの後悔と警戒を強めていく。つまり、1539年の時点ですでに、彼はあの手順が立ち往生する場所に行き当たっていた。
だが1545年の本について、通俗的な数学史がしばしば間違える事実がある。三次方程式を扱う章で、彼がこうしたものを用い、問題の型を最後まで解いたわけではない。本には、今なら三つの実根を持つとわかる三次方程式が確かにある。しかし、根号を使う手順を進めれば平方根の中に負数が現れる場合、彼は公式に従って先へは進まなかった。
だから、三つのことを分けておく必要がある。
彼は、壁があると知っていた。別の問題では、壁の向こうにある演算に手を伸ばしたこともあった。だが、その演算を体系立てて三次方程式のあの型へ持ち帰ったのは、別の人である。
四 還元不能の場合
では、その壁が何だったのかを、はっきりさせよう。ここには数式は要らない。まず一般の三次方程式で変数を置き換え、二次の項を消す。解法の要は、最終的な答えを直接当てることではない。求める根を、二つの補助的な量の和として表せる、と仮定することだ。
整理すると、二つの補助量は同時に二つの条件を満たさなければならない。両者の積は、元の方程式によって決まる。また、それぞれを三乗して足したものも、元の方程式によって決まる。
ここで、問題の次数が一つ下がる。その二つの三乗の値は、ちょうど普通の二次方程式の二つの答えになる。
ここから、道が分かれる。
元の三次方程式に実根が一つしかないとき、補助的な二次の問題からは、通常、二つの実数が出てくる。それぞれの立方根を取り、足し合わせればよい。始めから終わりまで、実数のなかにとどまれる。
ところが、元の三次方程式に互いに異なる三つの実根があると、補助的な二次の問題では、根の判別の様子がちょうど逆になる。二つの答えは、もはや実数ではない。それを計算するには、まず負数の平方根を取らなければならない。最後に欲しい三つの答えは、どれも実数の直線上にある。それなのに、根号をたどるこの道は、途中で実数の直線から外へ出ることを強いる。偶然の計算事故でも、正負の符号を選び損ねた結果でもない。向きを変えても無駄だ。この道を行くかぎり、ここを通るほかにない。
途中の二つの量は、今でいう共役の対をなしている。それぞれ適切な立方根を取ると、そこでも対をなす二つの量が得られる。足し合わせれば、実数ではない部分が打ち消し合い、再び実数に戻る。立方根の組合せを、互いの対応を保ったまま残りの二通りに選べば、他の二つの実根も得られる。途中に現れた非実の量は、答えを汚してはいない。むしろ、三つの本物の答えを同時に符号化している構造なのである。
だから、この場合のいちばん劇的なところは、三つの文に集約できる。
問題に、偽物の答えはない。三つとも本物の答えだ。しかし、当時いちばん新しかった代数の一般解法でそこへ届こうとすると、当時まだ正式な身分のないものを通り抜けなければならない。前篇の負数は、負債や向きから育ってきた。少なくとも、すでにあるものの反対側を指すことができた。こちらには、指せるものが何もない。しかも使わなければ、答えが手に入らない。もっと正確には、使わなければ「あの道では」答えが手に入らない。この限定は大切だ。すぐにその話をする。
この言い方にも、適用できる範囲がある。
あの公式では、異なる三つの実根があると負数の平方根が現れる。これは正しい。どんな方法でも、必ずこうしたものを使わなければならない。そう言うと、強すぎる。後には、三角関数を使い、実数の範囲だけで根を表すこともできるようになる。
さらに厳密な言い方が得られるのは、十九世紀になってからだ。有理数を係数とする三次多項式が、有理数の範囲では既約であり、しかも三つの実根を持つとき、その根を、実数の範囲の普通の平方根と立方根だけで書き表すことはできない。この証明が現れるのは1843年である。「既約」という条件は外せない。三次式がすでに有理根を一つ持っていれば、先に因数分解できるのだから、もちろんあの道を迂回できる場合もある。
つまり実際はこうだ。あの型の問題で、当時のあの道を進むなら、必ずそこを通る。ただし、それは当時新たに手に入った、重要で汎用的な代数の道であって、根を求めるあらゆる方法のなかで唯一の道ではない。同種の別の道に移っても迂回できないと証明されるには、さらに三百年かかった。
五 一人の技師
これをやり遂げた人は、ラファエレ・ボンベリという。1526年にボローニャで洗礼を受け、1572年に亡くなった。
ボンベリは大学の数学教授になる道を歩んでいない。工事、測量、水利の世界で育った人である。師は建築家兼技師で、教皇庁の財政機関のために、排水や土地の工事を請け負った経験があった。
ボンベリの仕事のうち、最も豊富な資料が残るのは、トスカーナの湿地と土地を整備する事業だ。1549年ごろに後援者が開発権を得て、1551年には、彼が土地境界の記録や工事の実務に携わっていたことを示す文書がある。事業は1555年ごろに中断し、その後再開され、1560年より前に重要な段階を終えた。この仕事が、水利技師としての彼の名を高めた。1561年にはローマで、テヴェレ川に架かる橋の修復を試みる工事にも参加し、後には別の湿地の排水事業で助言もしている。
この人を単にアマチュア数学者と呼ぶと、かえっていちばん大切な点を落としてしまう。土地と水流と境界と工事を生業にしていた人が、十六世紀で最も大胆な抽象代数の仕事の一つを書いたのである。
二つのあいだに明白な因果関係はない。無理に探す必要もない。ただ、これだけは言えるだろう。日々、湿地のどこに境界を引くかを決めていた人には、「それが確かにそこにある」とはどういうことかについて、彼なりの物差しがあったのだろう。
あの本も、1572年に突然できたわけではない。工事が一時止まっていた1550年代半ばに執筆に取りかかり、1557年ごろにはすでに書き進めていた。計画では全五巻だった。1572年にまず前三巻が刊行され、幾何学を扱う後二巻は正式には出版されなかった。未刊の手稿が再発見されたのはようやく1923年、整理して刊行されたのは1929年である。ボンベリ自身、自分の仕事を読者が狂気の沙汰だと思うだろうと、わかっていた。
あの型の三次方程式を論じる際、彼は、自分の考えを奇怪で、大胆不敵で、常軌を逸していると感じる人が大勢いるだろうと書く。自分も初めは、これは真実というより詭弁に近いと思っていた、と認めている。「詭弁」は、二十七年前にカルダーノも使った言葉だ。
さらに読者に、この部分では知力を十分に働かせなければならない、さもないとたちまち惑わされる、と警告する。二十七年前の人が言ったのは、心の責め苦を脇に置くことだった。二十七年を隔てて、二人は同じ種類の言葉を使っている。
これは見かけ以上に重要だ。立場が反対の二人がいる。一人は無用と言い、もう一人は規則を立てる。なのに、それを前にした自分の心のありようを、同じ一群の言葉で表している。あのものが人に与える感触は、二十七年たっても変わらなかった。違いは、後の人が立ち止まらなかったことだ。繰り返し調べるうち、首尾一貫した演算と証明を与えられるとわかり、先へ進むことにした。彼のしたことは、三段階に分かれる。
第一に、負数の平方根を、普通の根号が壊れてしまったものとして扱うのをやめた。二つの基本的なものに、専用の名前を付けたのだ。直訳すれば、およそ「負の正」と「負の負」にあたる。後の正負二つの虚数単位におおむね対応するが、もちろん彼には、今日の文字記号はない。
第二に、演算の規則を一式そろえた。普通の正の量、負の量、そしてこの二種類のものを掛け合わせたとき、どの種類になるのか。同じ向きどうしを掛けると、普通の負の量になる。一方が正向き、もう一方が逆向きなら、普通の正の量になる。足し引きでは、普通の部分は普通の部分と、もう一方の種類の部分は同じ種類の部分と合わせる。言い換えれば、初めて、こうしたものをただ我慢して置いておくのではなく、掛け算の表を与えたのだ。
掛け算の表を与えることと、定義を与えることは違う。定義は、それは何かに答える。掛け算の表は、それをどう計算するかにだけ答える。彼が与えたのは後者だった。その後二百年以上、人々はそれを使って計算しながら、前者の問いにも答えようとした。
この境目は、すでにこの連載に現れている。第五篇の注釈者が球の体積で足を止めたのは、そもそも計算法がまだなかったからだ。ここでは逆である。計算法はある。しかも信頼できる。欠けているのは、その計算の対象のほうだ。
第三の段階が、この歴史の核心である。彼は、四が実根だとすでにわかっている例を選んだ。あの手順で計算を進めると、途中で対をなす非実の量が出てくる。しかも、それぞれの立方根をさらに取らなければならない。それまでの問題は、ここでつかえていた。負数の平方根だけでも十分に奇妙なのに、それを含む数の立方根をどう取ればよいのか。彼は大胆に仮定した。その込み入った立方根自体も、普通の数に、同じ種類の単純なものを一つ足した形で書けるのではないか、と。
そこから先を、勘任せに当てたわけではない。仮定した式全体を三乗し、自分の演算表に従って展開し、普通の部分と非実の部分をそれぞれ比較した。すると、一方の立方根は、二にあのものを一単位足した形で書ける。もう一方は、ちょうどその対になる、二から同じものを引いた形になる。足し合わせると、非実の部分は完全に打ち消し合う。残るのは、まさに四だった。
この一歩の説得力は、答えが正しかったことにはない。答えが四なのは、初めから知っていた。最初から最後まで、一歩ごとに自分で定めた規則に従い、途中のどこにも特別な許可を足す必要がなく、最後には計算が自分で閉じた。そのことに説得力がある。
こうして、初めてはっきりと姿を現したことがある。
負数の平方根は、間違いの印ではない。途中の結果は、実数でなくてもよい。そうした二つの中間結果が、代数の規則に完全に従い、最後には、確かに存在すると前からわかっていた実根を一緒に生み出す。彼が与えたのは、現代の複素数論ではない。複素平面もなければ、現代的な数の体の定義などなおさらない。彼が示したのは、思想の歴史のうえではもっと手触りのあることだった。こうしたものから、むやみに破綻しない計算の言語を作れる、ということである。
「むやみに破綻しない」というところが大切だ。新しいものが最も死にやすいのは、誰にも信じてもらえないところではない。あるところまで計算したら、自己矛盾に陥るところだ。規則の体系と成功した計算例によって、彼はその疑いを大きく減らした。ただし、後世の意味で、体系全体の無矛盾性を証明したわけではない。対象についての体系的な説明は、まだ先の仕事だった。では、この本を当時どれほどの人が読んだのか。数字は挙げられない。初版の部数について信頼できる記録はなく、売上帳簿も一冊たりとも伝わっていない。
受け入れられていく歴史自体にも、見解の違いがある。一つの見方は、この本のきわめて大きな重要性を強調する。演算はすでにかなり完成しており、後の重要な数学者たちが読んで、高く評価したからだ。別の見方は、十六、十七世紀にどれほど実際に出回り、直接の影響を与えたかとなると、後世の古典としての地位から想像するほど大きくはなかった、と指摘する。
つまり、1572年に彼が成し遂げたことによって、翌日からヨーロッパの数学者全員が、そろってこうしたものを認めたわけではない。本があったことは証明できる。後の重要な数学者が読んだことも証明できる。だが、後世の地位から逆算して、1570年代にすでに大きな読者層がいたことにはできない。生み出すことと、受け入れられることは、分けなくてはならない。本は、まだ読者がいないうちから、正しくありうる。
六 二百五十年
1572年から十九世紀初頭までを、こうしたものが二百五十年間拒まれ続けた、とまとめるのは正確ではない。いちばん的確なのは、使うことが、その存在に安心することより先に来た、という言い方だ。
数学者たちは、負数の平方根を形式上の道具として、ますます頻繁に使うようになった。十七、十八世紀を通じ、方程式論、対数、三角関数、無限級数が、それらを次々と計算のなかへ引き込んでいく。ある段階になると、解析の計算によっては、使わないほうがかえって手間になる。1748年、オイラーが複素数の引数を通じて指数関数と三角関数を結びつけたのは、よく知られた節目だ。その一方で、いったいそれは何なのかという不安は残った。
だから、同じ数学者が、あるページではそれを「不可能なもの」と呼び、次のページでは自在に使いこなすことも、十分にありえた。論理のうえで人格が分裂していたのではない。近世の数学では、演算してよいことと、その対象が存在する資格を持つこととが、まだ結びついていなかったのである。前篇の第七節でも、同じことを述べた。ただ、あちらの対象は負数だった。この篇の灰色の領域は、もっと長く、もっと暗い。その名前が登場するのは、1637年だ。
デカルトは『幾何学』第三巻で方程式の根を論じ、いわゆる真の根と偽の根は、必ずしも実のものではなく、ただ想像されたものの場合もある、と書いている。方程式の次数に応じて、それだけの数の根を想像することはできる。けれども、想像したものに対応する量が、一つもない場合があるというのだ。
したがって、この言葉は、最初の文脈では確かに格下げの意味を帯びていた。「実」と対置され、想像はできるが、対応する量があるとはかぎらない、という意味だった。
この対比は、きちんと見ておきたい。彼は、間違っているとは言っていない。計算しても答えが出ないとも言っていない。対応する量がない、と言っているのだ。数はまだ何らかの量でなければならない体系のなかでは、それは数ではない、と言うのに等しかった。
とはいえ、彼はこの語を単なる悪口として使ったのだ、とするのも、少し現代的すぎる。より正確には、彼の文脈では、存在としての地位が足りないことを示す語であり、褒め言葉ではなかった。その低い評価は、想像だけがあって対応する量がない、という対比から生じている。感情に任せた罵声ではない。
ここから、この篇の題名がなぜ歴史に即しているのかもわかる。もともとの意味は、数学者の想像力が新世界を創造した、という後世のロマンチックな話ではない。むしろ、そういう根があると想像することはできるが、実際には対応する量がない、というものに近かった。
1685年には、ウォリスがすでにこうした量の幾何学的な説明を探していた。向きのある線分や幾何学的な比例を出発点に、負数の平方根を、平面内の垂直な方向に置いて理解しようとしたのである。彼自身、冒頭で、これらは通常「想像された量」と呼ばれる、と述べている。この時点で、その言葉が英語の数学用語に入っていたことがわかる。前篇で、両方向へ延びる数直線を描く一方、負数は無限を越えた先の領域にあると考えた人。それが彼だ。
では、なぜ普通、彼を複素平面の創始者とは呼ばないのか。後のような完全な一対一対応を築かなかったからである。ある負数の平方根を垂直な線として描ければ、それでよいのではない。実部と非実の部分からなる数の一つ一つが、平面上の点や有向線分に対応し、足し算、掛け算、長さ、回転角が、代数の演算と整合していなければならない。彼には重要な幾何学的直観があった。だが、閉じた一つの体系として完成させてはいなかった。
この区別は、数学史に何度も出てくる。あるものの姿が見えることと、それを完全な対応関係のなかに置くことのあいだには、大きな距離がある。
ライプニッツはこうした量をふんだんに使い、存在と非存在のあいだにあるもの、と形容する奇妙な言葉も残した。この態度は、計算を拒むものではない。それが何であるかを、早まって答えることを拒むものだった。
虚数単位を表すあの文字については、書かれた時期と出版された時期を区別する必要がある。この記号を体系的に使い始めた功績は、通常、オイラーが1777年に書き上げた論文に帰せられる。ただし、その論文が出版されたのは1794年になってからだ。
そのオイラーも、以後まったく間違えなくなったわけではない。十八世紀には、現代のような分枝の扱い方がまだ確立していなかった。彼はときに、非負の実数に対してなら安全に使える平方根の規則を、二つの負数にそのまま持ち込み、符号を誤った。
だから、先人たちは計算ができなかったが、オイラーが来たらすべて正しくなった、という歴史にしてはいけない。ある種の符号の規則については、むしろボンベリのほうが、非常に慎重だった。
あるものに慣れれば慣れるほど、よそから持ち込んだ規則を、うっかりそこへ当てはめやすくなる。慣れていなければ、かえって一歩ごとに立ち止まり、考えなければならない。それを初めて本当に描き出した人は、測量師であり、地図製作者だった。
彼は1797年に論文をデンマーク王立科学アカデミーへ提出し、1799年にデンマーク語で出版した。向きと長さを持つ有向線分を、こうした量に体系的に対応させたのである。加法では線分の終点と始点をつなぐ。乗法では長さを掛け、方向角を足す。これはすでに、現代の複素平面にきわめて近い。そして彼は、正しい発見をすることと、受け入れられることとが別であるという、格好の反例にもなった。
論文が載ったのは、国外の読者にはあまり顧みられないデンマークのアカデミー紀要だった。言語もデンマーク語である。ほぼ一世紀、論文は沈黙のなかにあった。十九世紀末、デンマークの数学史研究によってようやく再び注目され、1897年にフランス語訳が出て、初めて先取権が国際的に認められた。
1806年には別の人が、独立に小冊子を印刷し、こうした量を平面幾何学で表した。著名な大学教授ではなく、初版も私的な少部数の刊行で、こちらも最初から世を驚かせたわけではない。1813年前後、関係する資料が数学の年刊誌で改めて公の議論に上り、その方法は、先の人の場合より直接に、フランスの数学者たちのつながりへ入っていった。
ガウスの場合は最も入り組んでいる。1799年の博士論文ですでに、代数学の基本定理をめぐってこの世界に近づいており、関連する幾何学的な直観も、明らかに早くから持っていた。だが、公に、はっきりと述べたものが現れるのは1831年である。そこで彼は、実整数に、別の実整数と虚数単位の積を加えた形のものを、算術それ自体の対象にした。
1830年代、ハミルトンは幾何学的説明を補う別の道を進んだ。負の一の平方根はいったいどこに存在するのか、と問う代わりに、初めからこの種の数を、二つの実数からなる一組として定義してはどうか。
彼は1833年ごろにこの考えを示し、1837年にまとまった形で公表した。二つの数の組どうしを足すには、第一成分どうしと第二成分どうしを、それぞれ足せばよい。掛け算は特別な組の演算として定め、第二の方向の単位を自分自身に掛けると、ちょうど負の一が出るようにする。これなら、いわゆる虚数単位が、あらかじめ神秘的な平方根として存在している必要はない。それは単に、数の組からなる体系の、ある特定の要素なのだ。
これは、垂直な軸を一本描くより、もう一段深い。幾何学は、どう見ればよいかを教える。この構成は、すでに認められた実数と明確な演算規則だけで、それを作れると教える。では、幾何学的な説明は、受け入れられた原因なのか、それとも受け入れられた後の結果なのか。これは問うに値する。通俗的な話はほとんど決まって、皆が信じなかった、後から誰かが複素平面を描いた、それ以来皆が信じた、という筋になっているからだ。
だが、年表そのものが、その一本きりの因果関係を否定する。ボンベリは1572年にもう計算していた。ウォリスは1685年に説明を試みた。十八世紀にはすでに、三角法や解析の中心的な操作に入っていた。どれも、完全な平面表示が現れる前のことだ。反対の側からは、あの測量師が、描けば自動的に受け入れられるわけではないと示している。彼の完全な幾何学的説明は、ほぼ一世紀、顧みられなかった。
そこで、今日の数学史研究により近い言い方をするなら、幾何学化は、長いあいだ使われたことの結果であると同時に、さらに正当な地位を得る原因の一つでもあった。まず、計算に使えるという二百年以上の蓄積がある。その後で、描ける、定義できる、完全な数体系の一員になれる、という複数の答えが少しずつそろっていく。この順序は、前篇で見た負数の場合とほとんど同じだ。ただ、もっと長くかかり、途中の二百年がもっと暗かった。
負数には、負債や方向といった説明を借りる余地があった。非実の量についても、この二百年以上のあいだに幾何学的説明の試みはあったが、広く受け入れられ、全体が整合する説明には、まだなっていなかった。
七 順向き、逆向き、横向き
1831年、ガウスはあの論文で、一つの不満を述べた。
昔から、正、負、想像上のもの、果ては不可能なものといった不器用な言葉を使わず、三つの基本方向を、たとえば順向き、逆向き、横向きの単位として考えていたら、これらを取り巻く神秘的な暗闇は、ほとんど生じなかっただろう、というのだ。
つまり1831年には、ヨーロッパで最も権威ある数学者の一人が、すでに指摘していた。問題の一部は、これらの量があまりに不条理であることではなく、数学者の付けた名前が、ずっと不条理さをほのめかしてきたことにある、と。
前篇の最後の節でも述べたように、多くの言語は、初めから負数に中立的な分類名を与えたわけではない。損失、不足、負債、否定、減少、逆の向きといったところから名付けた。後にその対象が形式上は対等な地位を得ても、古い名は残った。
この篇の名は、前篇のものよりさらに露骨だ。それは頭で考え出しただけのものだ、と言い切っているからである。ただし、これらの名前は区別しなければならない。一枚の一覧表に混ぜてしまってはいけない。「詭弁めいた」は、1545年のカルダーノにある。後にボンベリも同じ言葉を使い、自分も初めは詭弁に近いと感じた、と述べた。「想像上の」は、1637年のデカルトにある。後に本当に定着したのは、この名称だった。
「不可能な」は、十七、十八世紀を通じてよく使われるようになる。1831年に古い用語を振り返ったガウスも、暗闇を生んだ昔の名前として、「想像上の」と「果ては不可能な」を並べている。「不条理な」には注意がいる。前篇で扱った伝統では、不条理な数とは主に負数や負の解を指し、概念の確立した純虚数を指すわけではなかった。十五世紀の数学者が虚数を不条理な数と呼んだ、と言えば、負数の受容の歴史を、ここの歴史へすり替えることになる。
とはいえ、この区別そのものが、よい歴史の一文になる。負数でさえしばしば不条理だと呼ばれていた時代に、その平方根のために用意された席など、なおさらなかった。では、この名前は、なぜ後に変えられなかったのか。
どこかの数学会議が投票で、この具合の悪い名前を残そうと決めたわけではない。もっともらしい説明は、用語の慣性だ。この名が哲学的な誤解を誘うと十分にわかったころには、各国の教科書、実部と虚部、実軸と虚軸、そして大量の専門文献に、すでに組み込まれていた。専門用語は、いったん定着すると、普通の言葉としての意味には完全には従わなくなる。
それに、名前を変えることは、もとより数学の問題ではない。変えるには、教科書を動かし、記号を動かし、何十もの言語で対になって定着した言葉を動かす必要がある。得られるのは一つの誤解の解消。払うのは、すでに動いている体系を組み替える費用だ。その取引を引き受ける人はいなかった。さて、中国語の側については、この篇でも一か所、穴を残さなければならない。
確認できた資料のなかには、「虚数」という二文字を、どの中国語の翻訳者が、何年に、どの本で初めて術語にしたのか、特定するに足る証拠が見つからない。
確実に言えるのは、現代中国語の「虚数」が「実数」と対をなし、日本語の対応する術語と同じ漢字で書かれる、というところまでだ。清末から明治にかけて、中国と日本のあいだでは、西洋の学問に関する用語が大量に、双方向に行き来していた。
だが、同じ漢字だからといって、必ず日本で先に作られ、中国へ伝わったとは証明できない。十九世紀半ば、中国ではすでに西洋代数学の翻訳が行われていた。前篇で触れた人々の数学の訳書は、清末に日本の新語が大量に入ってくる時期より早い。だからこの用語については、とりわけ一冊ずつ初版を確かめる必要がある。日本語の漢語らしく見える、というだけで由来をさかのぼって決めてはいけない。前篇にも同じような穴を二つ残した。負数に競合する訳語があったのか、そして中国語の「相反数」はどこから来たのか、という穴だ。
この二篇にある四つの空白は、もっともらしく完結した系譜で埋めるより、調べてもわからない、と書いておくほうがよい。
ただ、一つ言えることがある。「虚」は、単なる想像よりさらに一歩先へ行く。空である、実ではない、まだ実在していない、といった古典中国語の響きを伴っている。ヨーロッパの元の語が背負っていた低い評価の歴史を、この漢字は実に正確に受け止めた。訳語が的外れなら、たいていは使われるうちにすり減り、消えていく。この訳は正確すぎて、元の言葉の欠点まで、一緒に訳してしまった。
八 そこを通っていく
この篇と前篇を並べてみると、二つのものが数学に入ってきた道筋は、まるで違っている。
負数は、押し込まれるように入ってきた。計算の途中に自然に現れ、帳簿には対応する現実があり、方向には、すでにある反対側を指すことができた。争われたのは、役に立つかどうかではなく、数である資格があるかどうかだった。こちらは、必要に迫られて引き入れられた。
誰も欲しがってはいなかった。どこを探しても、対応する量がない。デカルトが名前を付けたとき、はっきり述べたのも、対応する量がないということだった。
しかし、先ほどのような既約の三次方程式では、三つの答えはどれも実数なのに、根式の道をたどって探すと、どうしてもここを通らなければならなかった。虚数が助けたのは、偽物の根を見つけることではない。まったく逆に、まず三つの実根へ至る途中の道として現れたのである。この形は、覚えておく価値がある。これまでのどの篇とも違っているからだ。
第三篇のあの穴は、一目で見える図の中に隠れていた。第四篇のあの自述は、当事者が自ら書き残したものだった。第七篇のあの数には、抵抗する人も弁護する人もいて、抵抗する側にも論証があった。
この篇に出てきたものは、身分の定まらない中継地点のようなものだ。あいにく、あの根式の道は、ここを通っていた。前篇のものなら、少なくとも一件の負債を指して、これが私だと言えた。こちらは何も指せない。しかも、この中継地点は終点にも始点にもない。道の途中にある。入ったら出なくてはならず、出た後には、もう見えなくなる。
そのため、負数よりも弁護が難しい。負数は少なくとも答えのなかに残り、これを指して、これは何だと尋ねることができる。こちらは残りさえしない。途中にだけ現れ、最後には自ら消えてしまうものの存在を、どう論証すればよいのか。二百年以上にわたり、部分的な説明を試みる人は絶えず、使う数学者も増え続けた。だが、体系的な説明と広い受容が、一緒に到来したわけではない。最後に得られる三つの答えには、その痕跡が一つもない。二百年以上使われるうちに、その説明も少しずつ育っていった。ただ、一人が安心して計算できても、別の人まで安心できるとは限らなかった。
計算できる。答えも合う。何度計算しても合う。それでも計算を終えると、問いは残る。それは、いったい何なのか。二百年以上、計算は遠くまで進んだが、説明と承認は同じ足並みではついてこなかった。
前篇の末尾で、こんな言葉を引いた。数学はまず、計算は通るが説明はできないものを作り、その後で振り返って定義を広げ、迎え入れる。この言葉を述べた人は十九世紀に生きていた。その人が見た最良の例が、ここにある。まずボンベリが掛け算の表を与え、少なくともむやみには破綻しないと示した。その人は昼間、湿地で土地の境界を記録していた。次に誰かが、それを描こうとした。ところが描いたその人は、百年ものあいだ顧みられなかった。
それから誰かが、二つの実数からなる一組として定義した。こうして、それはあらかじめ神秘的な平方根として存在している必要がなくなった。
厄介さの一部はこの名前にある、と指摘する人もいた。だが、その名は今日も変わっていない。実数と虚数を初めて聞くどの生徒も、この二語から、まずある暗示を受け取る。片方は本物で、片方は偽物だ、と。その暗示は十七世紀から残ったもので、当時もまさに、その意味が込められていた。ただし、そう言った人が指していたのは、対応する量がないということだ。生徒の耳に届くのは、存在しないということだ。その二つのあいだには、三百年分の数学が横たわっている。
数の計算は、なお先へ進む。だが、何を数学と数えるのか。その勘定は、まだ一度も決着していない。
史料と参考文献
以下の資料は、本文で扱った歴史的な細部や解釈の相違に対応している。所蔵機関の記録、古代の文学、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。