Des quantités imaginées

1. Trente problèmes

Venise, au début de 1535. Deux hommes proposent chacun à l’autre trente problèmes à résoudre.

Les énoncés sont placés sous scellés et confiés à un notaire. On fixe une échéance. Ce jour-là, chacun devra remettre ses solutions.

L'un s'appelle Fiore. Il possède quelque chose que l'autre est censé ne pas avoir : une méthode pour résoudre une certaine famille d'équations du troisième degré. Il la tient de son maître, Scipione del Ferro, qui enseigne l'arithmétique et la géométrie à l'université de Bologne. Del Ferro la maîtrise depuis les environs de 1515. Il ne l'a jamais rendue publique.

Retenons la réserve qui accompagne cette date. Les historiens des mathématiques s'accordent aujourd'hui sur elle, mais aucun manuscrit autographe daté ne permet de la fixer avec certitude. Le résultat nous est parvenu ; le jour de sa découverte, non. Fiore a misé presque tous ses trente problèmes sur cette seule méthode. Son adversaire, Tartaglia, a composé un lot hétérogène, où se côtoient plusieurs types de problèmes.

D'après le récit que Tartaglia en fera plus tard, il aurait enfin découvert par lui-même, peu avant de recevoir officiellement les énoncés, la méthode générale sur laquelle comptait Fiore. Il aurait alors résolu les trente problèmes adverses en deux heures environ. Fiore n'en aurait résolu aucun. On a raconté ce duel d'innombrables fois, généralement comme une scène où deux génies s'affrontent à coups de calcul mental. Ce qui s'est passé ressemble davantage à un pari mal placé.

Le mécanisme du duel est limpide. L'un engage toute sa mise sur un secret ; l'autre diversifie ses problèmes. Dès que le secret est percé, la situation se renverse dans la journée. Posons ici trois faits : nous aurons souvent besoin d'y revenir.

D'abord, l'année portée par les documents d'origine précède d'un an celle que nous donnons ici. À Venise, l'année commençait alors le 1er mars. Février appartenait encore à l'année précédente. Avec notre façon de compter, il s'agit de février 1535. Recopier sans précaution le millésime de la source produit une erreur d'un an, assez fréquente.

Ensuite, les récits modernes donnent volontiers pour enjeu trente banquets. Les textes proches des sources premières n'offrent pas une formule aussi bien arrondie : ils parlent d'honneur et de certaines récompenses calculées selon le nombre de problèmes résolus. Trente problèmes, des énoncés scellés, un notaire, une échéance : tout cela est documenté. Les trente banquets ne le sont pas.

Enfin, et c'est le point essentiel, notre source la plus précieuse sur le duel de 1535 est un livre que Tartaglia a lui-même composé et publié onze ans après les faits. Il est à la fois le protagoniste et celui qui ordonne le récit. Reste une question : pourquoi une méthode découverte vers 1515 ne circulait-elle encore, en 1535, qu'entre quelques mains ?

Nous n'avons retrouvé aucune déclaration de del Ferro qui l'explique. Voici la reconstitution plausible. Dans l'Italie du Nord de cette époque, la réputation professionnelle des maîtres de mathématiques appliquées dépend étroitement des défis publics. Une méthode dont on est seul détenteur constitue un capital pour trouver un emploi, conserver sa place ou affronter un concurrent. Dans un tel cadre, garder une belle découverte comme arme secrète a un sens économique.

Mais c'est une explication du système, pas une parole de l'intéressé. Les récits modernes font souvent un pas de plus : perdre un concours aurait entraîné automatiquement la perte d'une chaire. Ce mot, « automatiquement », n'est étayé par aucun document. Il faut aussi regarder d'un peu plus près qui étaient ces hommes.

Une autre précaution s'impose avant de poursuivre. Quatre hommes vont s'accuser mutuellement au fil de cet essai, mais les traces qu'ils nous ont laissées sont profondément inégales. L'un a abondamment raconté son passé en le mettant lui-même en scène ; un autre n'a laissé qu'un livre de mathématiques imprimé ; un autre encore n'a rien laissé. Avoir la voix qui porte le plus loin et avoir raison sont deux choses différentes.

Dans les deux sections qui suivent, nous distinguerons donc constamment les textes que les deux camps ont fait imprimer de ce qu'un seul affirme. L'homme qui avait été le premier à maîtriser ces règles occupait un poste universitaire. Tartaglia, lui, se faisait un nom par l'enseignement, les ouvrages techniques et les défis publics. « Tartaglia » est un surnom : le bègue. En 1512, quand les Français prennent Brescia, il se réfugie dans la cathédrale avec sa mère et sa sœur. Le sabre d'un soldat français lui blesse la mâchoire inférieure et le palais ; il en gardera des difficultés à parler. Son premier livre paraît en 1537. Il étudie le vol des boulets de canon et contient les premières tables de tir. Dans la dédicace, il explique avoir d'abord jugé honteux et cruel de perfectionner un art qui blesse son prochain, voire détruit l'humanité. Il avait non seulement abandonné ces recherches, mais déchiré et brûlé ses notes et ses calculs. Puis il avait vu le loup s'apprêter à entrer dans la bergerie, et tous les bergers convenir qu'il fallait se défendre. Il avait alors estimé ne plus devoir garder ses travaux cachés et les avait fait imprimer. Ce loup désignait les Turcs ottomans. Cardan, que nous rencontrerons bientôt, circulait entre l'enseignement des mathématiques, la médecine, les universités et les réseaux des puissants. Quant à Ferrari, ses affrontements publics allaient vite devenir un atout professionnel.

L'Italie du XVIe siècle n'offrait pas aux mathématiciens une carrière aussi unifiée que celle que nous connaissons. Le défi public n'était pas un divertissement en marge du métier. C'était l'une des façons de trouver du travail.

Demander pourquoi ils ne publiaient pas immédiatement, au nom de nos normes universitaires, revient donc à manquer le problème. Pour un maître indépendant des années 1530, publier, c'était donner la méthode à tous ses concurrents. La garder, c'était conserver un problème que l'on était seul à pouvoir poser, une compétence que l'on était seul à pouvoir mobiliser pour le résoudre.

2. Le texte d’un seul camp

En 1539, Cardan veut obtenir la méthode.

Les documents conservés montrent que les deux hommes commencent par correspondre, au début de l'année, par l'entremise d'un intermédiaire. En janvier, le camp de Cardan avance deux possibilités : intégrer la règle à son livre en l'attribuant à Tartaglia, ou s'engager à la garder secrète. Tartaglia refuse d'abord, car il compte la publier lui-même plus tard. Les échanges se poursuivent en février, tantôt conciliants, tantôt pressants. Cardan évoque aussi un personnage influent de Milan qui pourrait souhaiter le rencontrer. Tartaglia finit par se rendre à Milan.

Selon son récit ultérieur, il rencontre Cardan chez celui-ci le 25 mars 1539. Il espérait profiter du voyage pour voir le puissant personnage ; la rencontre n'a pas lieu. Il transmet ensuite à Cardan les règles des équations du troisième degré sous la forme d'un poème. Le texte de ces vers mnémotechniques nous est bel et bien parvenu. Il ne s'agit pas d'une démonstration complète, mais d'instructions permettant de traiter plusieurs types d'équations cubiques. Puis vient le serment. Ici, il faut être précis sur la provenance du récit.

Le plus ancien texte intégral du serment qui nous soit resté figure dans le livre publié par Tartaglia en 1546. Le narrateur est Tartaglia. L'événement raconté est daté du 25 mars 1539. Environ sept ans séparent les deux. Nous n'avons ni engagement signé par les deux hommes en 1539, ni procès-verbal établi par un témoin neutre.

Dans ce dialogue théâtralisé, Tartaglia fait jurer à Cardan, sur les saints Évangiles et sur sa foi de gentilhomme, non seulement de ne jamais publier les découvertes qu'il lui confiera, mais de les consigner en langage chiffré, afin que personne ne puisse les comprendre même après sa mort. Tartaglia répond alors que, s'il ne se fiait pas à tant de serments, c'est lui-même qui mériterait de passer pour un homme sans foi. Ce que nous possédons, c'est la façon dont Tartaglia a rapporté ces engagements sept ans plus tard. Ce que nous ne possédons pas, ce sont les paroles prononcées par Cardan sur le moment.

Le récit public de Cardan repose sur une autre architecture.

Dans l'Ars magna de 1545, il reconnaît que Tartaglia lui a transmis la règle et ne prétend pas avoir lui-même fait la découverte. Mais il en attribue d'abord la priorité au professeur de Bologne, avant d'expliquer que Tartaglia l'a retrouvée indépendamment dans le cadre de sa rivalité avec Fiore. Il souligne aussi qu'après avoir reçu la règle, il en a recherché la preuve, l'a étendue à d'autres cas, tandis que Ferrari menait à bien la résolution des équations du quatrième degré.

La filiation est donc la suivante : del Ferro découvre le premier ; Tartaglia redécouvre indépendamment ; Cardan démontre et systématise ; Ferrari prolonge.

Il ne faut pas inverser l'ordre des dates. L'Ars magna paraît en 1545, un an avant que Tartaglia ne publie le texte intégral du serment. On ne peut donc pas en faire la réponse de Cardan à l'accusation de l'avoir violé. La véritable riposte publique viendra de Ferrari, à partir de 1547.

Pourquoi Cardan s'estime-t-il autorisé à publier ? Le récit traditionnel veut que Ferrari et lui se soient rendus à Bologne vers 1543. Ils y auraient rencontré le gendre du défunt del Ferro, consulté les documents laissés par ce dernier et ainsi vérifié que Tartaglia n'avait pas été le premier découvreur.

Les historiens des mathématiques acceptent généralement les grandes lignes de cette vérification. En revanche, la date précise de leur arrivée à Bologne, le cahier ouvert devant eux, les personnes présentes dans la pièce nous sont surtout connus par les explications fournies au cours de la querelle ultérieure. Il ne faut pas faire rentrer rétrospectivement tous ces détails dans le texte de 1545. Le cahier original que le gendre aurait conservé ne nous est pas parvenu sous la forme d'un fonds autographe complet. Une consultation a décidé du droit d'un homme à publier une formule ; le cahier consulté, lui, a disparu. Et les raisonnements moraux des deux camps se tiennent.

Du côté de Cardan, l'argument est celui-ci : il s'était engagé à garder le secret de Tartaglia. Si un autre avait déjà obtenu le même résultat, de façon indépendante et plus tôt, Tartaglia ne pouvait en conserver indéfiniment le monopole puisqu'il n'en détenait pas la priorité exclusive. De plus, la méthode de Ferrari pour les équations du quatrième degré devait faire appel à celle du troisième. Maintenir l'interdit de publication aurait aussi étouffé le résultat propre à Ferrari.

Du côté de Tartaglia, on répond : le serment engageait la personne de Cardan. Qu'un autre ait fait la même découverte indépendamment, avant lui, n'annulait en rien cette promesse privée. La postérité a d'ailleurs souvent vu dans l'argument adverse une échappatoire morale plutôt qu'un motif incontestable de se délier du serment.

De 1547 à 1548, Ferrari lance six défis publics imprimés, auxquels Tartaglia répond par six publications. Ces douze pièces, ainsi que les soixante-deux problèmes échangés par les adversaires, sont intégralement conservées dans des éditions modernes en fac-similé.

La bataille d'injures n'est donc pas une invention postérieure. Les douze textes ont été imprimés à l'époque et nous en possédons aujourd'hui chaque mot. On situe généralement la rencontre finale à Milan, le 10 août 1548. Dans l'ensemble, les historiens des mathématiques estiment que Ferrari y prend nettement le dessus, après quoi Tartaglia s'en va.

Les détails qui feraient les meilleures scènes de cinéma sont justement ceux que les sources ne permettent pas d'assurer. Une église bondée de citadins ; le gouverneur présidant en personne ou tenant lieu d'arbitre ; Ferrari entouré d'une foule de partisans, Tartaglia accompagné de son seul frère ; un départ nocturne à l'issue de la première journée : aucun compte rendu neutre ne vient confirmer point par point ce tableau. Les récits modernes les plus solides prennent même soin de rappeler que nous savons très peu de choses du déroulement du concours proprement dit, et que l'essentiel repose sur un bref témoignage rétrospectif de Tartaglia, lui-même sujet à caution.

Cette section tout entière revient, au fond, à une seule idée. L'imprimerie a changé la forme des preuves dont une controverse peut disposer.

Autrefois, ce qu'un homme affirmait avoir entendu d'un autre pouvait disparaître avec la transmission orale. Désormais, accusations, insultes, problèmes et dates peuvent être reproduits, expédiés, conservés, puis comparés mot pour mot quatre siècles plus tard. Cardan ne peut pas, après avoir lu le livre de son adversaire en 1546, revenir en 1545 modifier discrètement sa première édition. Tartaglia ne peut pas davantage transformer de lui-même une accusation publiée en 1546 en document rédigé sur les lieux en 1539. L'imprimé fournit un point d'ancrage chronologique que chacun peut contrôler.

Cela ne signifie pas que l'imprimerie ait créé d'un coup le système moderne de priorité par publication scientifique. Un manuscrit peut toujours précéder un livre imprimé ; une transmission orale secrète peut toujours constituer une preuve dans l'histoire d'une découverte ; l'année portée par un éditeur doit encore être rapportée au calendrier local. Ce que l'imprimé apporte, ce sont des versions et des attestations datées que l'on peut confronter publiquement. Réimpressions, éditions successives, erreurs d'impression et calendriers restent à démêler par le travail bibliographique.

C'est là qu'apparaît le trait le plus singulier de cette affaire.

L'asymétrie a une raison supplémentaire. Si la guerre d'injures s'est si bien conservée, c'est précisément parce qu'elle était une guerre d'injures : ces douze textes étaient destinés à être lus. Si, à l'inverse, le serment ne subsiste que dans la version d'un seul homme, c'est précisément parce qu'il était privé. La dispute publique laisse des preuves. La promesse privée n'en laisse pas.

Notre connaissance de l'affaire en sort déformée. Nous distinguons le mieux ce qui faisait le plus de bruit, et le moins bien ce qui comptait le plus.

Sur la querelle publique, la postérité sait énormément : les douze imprimés sont là, mot pour mot. Sur le serment privé décisif, elle ne possède que le texte d'un seul des deux hommes, écrit sept ans après.

3. Treize formes

L'Ars magna compte quarante chapitres. Le livre est imprimé à Nuremberg en 1545.

Les équations du troisième degré y sont réparties en de nombreuses catégories. Les chapitres XI à XXIII en traitent successivement treize types. Les équations du quatrième degré sont elles aussi divisées en plusieurs formes. Ce n'est pas que l'auteur ignore ce que nous pouvons aujourd'hui réunir en une seule expression.

Nous l'avons vu dans l'essai précédent : l'algèbre de cette époque ne traite pas encore les coefficients positifs et négatifs comme des nombres de même nature. Faire passer une quantité d'un côté à l'autre du signe égal ne demande aujourd'hui qu'un changement de signe. À l'époque, cela peut vous faire entrer dans une autre catégorie d'équations. Les six catégories de l'essai précédent et les treize de celui-ci sont deux aspects du même mur. Nous disions alors que les six catégories n'étaient pas six règles, mais les six faces d'un mur. Le mur est toujours là. Il a davantage de faces, parce que le degré a augmenté.

Quelques décennies plus tard, autre chose viendra y ouvrir une brèche. Mais cette brèche se trouvera ailleurs, pas ici.

Commençons par dresser le mur dans cette section. Nous parlerons de la brèche dans la suivante.

Projeter d'emblée sur 1545 nos polynômes à coefficients positifs ou négatifs conduirait à croire que l'auteur se répète délibérément. C'est tout le contraire : les nombres négatifs n'étant pas encore des membres ordinaires du système des coefficients, il faut distinguer les formes selon le côté où l'on ajoute les quantités. Le chapitre XXXVII contient un passage particulièrement célèbre. Le problème paraît enfantin : partager dix en deux parties dont le produit soit quarante. C'est impossible dans les réels. Si la somme des deux parties vaut dix, leur produit ne peut dépasser vingt-cinq.

Cardan poursuit pourtant le calcul selon la méthode des équations du second degré. Il obtient deux objets qui se répondent : chacun contient un cinq, auquel s'ajoute, avec un signe différent dans chaque cas, une partie issue de la racine carrée de moins quinze. Dans notre langage, ce serait cinq plus la racine carrée de moins quinze, et cinq moins la racine carrée de moins quinze. Ce qui compte vraiment, c'est son geste. Il ne jette pas ces objets.

Arrêtons-nous là un instant. Il aurait pu déclarer tout simplement que le problème n'avait pas de solution. Il choisit de continuer à calculer. Il dit qu'en dépit du caractère sophistique de la chose, il faut effectuer l'opération. Puis il multiplie les deux objets : le calcul formel redonne effectivement quarante.

La somme des deux parties doit valoir dix : il fait en sorte que ce soit le cas. Leur produit doit valoir quarante : cette condition aussi est satisfaite. Il n'y a qu'un prix à payer : ces deux parties ne sont pas des nombres.

Il a donc trouvé deux choses qui remplissent toutes les conditions, sans savoir ce qu'elles sont. C'est dans de tels moments que s'invente le statut de « fictif » rencontré dans l'essai précédent. Ce statut ne résout rien. Il permet seulement de laisser le problème sur la table. Or ce simple fait se révélera décisif. Ce qu'on a jeté ne revient pas tout seul.

Une formule de la traduction anglaise est souvent rendue par l'idée de « laisser de côté les tortures de l'esprit » : on écarte le tourment intellectuel que cela provoque, et l'on poursuit la multiplication. Le jugement final est célèbre : cette subtilité arithmétique atteint au bout du compte le comble de la subtilité, et le comble de l'inutilité. Son geste est bien plus audacieux que son commentaire. Sa bouche dit que cela ne sert à rien ; sa main a déjà mené le calcul à terme selon les règles de l'algèbre.

Nous avons déjà vu le même geste dans l'essai précédent. On disait les nombres négatifs fictifs tout en les intégrant aux techniques de résolution des équations. Le mot « fictif » ne chassait pas l'objet : il lui attribuait un statut grâce auquel il pouvait rester. Ici, « sophistique » joue le même rôle.

Il faut cependant éviter une confusion fréquente. Partager dix en deux parties est un problème du second degré. Cet exemple ne prouve pas que Cardan ait déjà résolu une équation cubique à l'aide de racines carrées de nombres négatifs. Le mur est ailleurs, et il s'y était heurté très tôt. Il venait à peine de recevoir la règle. Imaginez un homme qui entre en possession d'une arme secrète, découvre qu'elle s'enraye dans certains cas, et s'entend répondre par celui qui la lui a confiée qu'il s'y prend mal.

Dans la correspondance de 1539 publiée plus tard par Tartaglia, on voit Cardan tester la règle sur des exemples peu après avoir reçu les vers mnémotechniques. Selon notre classification actuelle, l'un de ces exemples relève précisément du cas le plus embarrassant. Cardan interroge Tartaglia. Celui-ci répond qu'il a dû commettre une erreur dans les opérations, tout en laissant paraître un regret et une méfiance de plus en plus vifs. Dès 1539, Cardan avait donc rencontré l'endroit où la règle ne fonctionnait plus.

Mais un fait concernant le livre de 1545 est souvent déformé dans les histoires populaires des mathématiques : dans les chapitres consacrés aux équations cubiques, Cardan ne réussit pas à traiter ce cas avec de tels objets. Le livre contient bien des équations du troisième degré auxquelles nous reconnaissons trois racines réelles. Pourtant, lorsque sa règle par radicaux l'aurait obligé à placer un nombre négatif sous une racine carrée, il ne poursuivait pas en appliquant la formule.

Il faut donc séparer trois choses.

Il savait qu'il y avait un mur. Dans d'autres problèmes, il avait aussi tendu la main vers les opérations situées derrière ce mur. Mais celui qui allait ramener systématiquement ces opérations dans le cas récalcitrant des équations du troisième degré serait un autre homme.

4. Le cas irréductible

Précisons maintenant la nature du mur. Nous n'aurons besoin d'aucun symbole. On commence par changer de variable dans l'équation générale du troisième degré pour supprimer le terme au carré. L'étape décisive de la méthode ne consiste pas à deviner directement la réponse, mais à supposer que la racine cherchée peut se décomposer en une somme de deux quantités auxiliaires.

Après réarrangement, ces deux quantités doivent satisfaire simultanément deux conditions : leur produit est déterminé par l'équation initiale, et la somme de leurs cubes l'est également.

Le problème descend alors d'un degré. Les valeurs de ces deux cubes sont précisément les deux solutions d'un problème ordinaire du second degré.

C'est ici que les chemins se séparent.

Si l'équation cubique de départ n'a qu'une racine réelle, le problème auxiliaire du second degré donne généralement deux nombres réels. On prend leur racine cubique respective, on les additionne, et tout reste dans le domaine des réels.

Mais si l'équation de départ possède trois racines réelles distinctes, la situation du discriminant s'inverse dans le problème auxiliaire. Ses deux solutions ne sont plus réelles. Pour les calculer, il faut d'abord extraire la racine carrée d'un nombre négatif. Les trois réponses que l'on cherche se trouvent toutes sur la droite réelle ; pourtant, la voie des radicaux nous oblige à quitter cette droite en cours de route. Ce n'est ni un accident arithmétique ni une erreur dans le choix des signes. Changer de sens n'y ferait rien. Cette route n'offre pas d'autre passage.

Les deux quantités intermédiaires forment ce que nous appelons aujourd'hui une paire de conjugués. En prenant pour chacune une racine cubique convenablement choisie, on obtient encore deux quantités qui se répondent. Lorsqu'on les additionne, leurs parties non réelles s'annulent et l'on retrouve un nombre réel. En choisissant les deux autres paires de racines cubiques compatibles entre elles, on obtient les deux autres racines réelles. Les intermédiaires non réels n'ont pas contaminé les réponses. Ils constituent au contraire la structure qui encode les trois réponses réelles à la fois.

Tout le ressort dramatique du cas tient donc en trois phrases.

Le problème n'a pas de fausses réponses. Ses trois réponses sont réelles. Et pourtant, pour les atteindre par la méthode générale d'algèbre la plus récente de l'époque, il faut traverser une catégorie d'objets qui n'a encore aucune existence légitime. Le nombre négatif de l'essai précédent avait poussé dans le monde des dettes et des directions : il pouvait au moins désigner un opposé déjà disponible. Celui-ci ne peut rien désigner du tout. Et sans lui, pas de réponse. Plus exactement : sans lui, pas de réponse par cette route-là. La précision importe ; nous allons y revenir aussitôt.

Cette affirmation a elle aussi ses limites.

Il est juste de dire que, pour trois racines réelles distinctes, cette formule fait apparaître des racines carrées de nombres négatifs. Il serait excessif d'affirmer que toute méthode doit faire appel à de tels objets. Plus tard, les fonctions trigonométriques permettront d'exprimer ces racines en restant entièrement dans les réels.

Il faudra attendre le XIXe siècle pour disposer d'un énoncé plus rigoureux. Si un polynôme du troisième degré à coefficients rationnels est irréductible sur les rationnels et possède trois racines réelles, on ne peut pas exprimer ces racines en n'utilisant que des racines carrées et cubiques ordinaires prises dans les réels. La démonstration paraît en 1843. La condition d'irréductibilité est indispensable. Si le polynôme cubique admet déjà une racine rationnelle, on peut commencer par le factoriser et, bien entendu, il devient possible d'éviter ce passage.

La situation exacte est donc celle-ci : dans cette famille de cas, emprunter la route dont on dispose alors oblige à passer par ces objets. Cette route est une importante méthode algébrique générale, récemment conquise ; elle n'est pas la seule méthode concevable pour chercher des racines. Ce n'est que trois siècles plus tard que l'on prouvera qu'une autre route du même genre ne permet pas non plus de les éviter.

5. Un ingénieur

L'homme qui parvient à franchir ce passage s'appelle Raphaël Bombelli. Il est baptisé à Bologne en 1526 et meurt en 1572.

Bombelli n'a pas suivi la carrière du professeur de mathématiques à l'université. Il s'est formé dans le monde des chantiers, de l'arpentage et de l'hydraulique, auprès d'un architecte et ingénieur qui avait travaillé à des opérations de drainage et d'aménagement foncier pour l'administration financière pontificale.

Son chantier le mieux documenté est l'assainissement d'un marais et l'aménagement de terres en Toscane. Son protecteur en obtient les droits d'exploitation vers 1549 ; dès 1551, des actes attestent la participation de Bombelli aux relevés de limites foncières et aux affaires du chantier. Les travaux sont interrompus vers 1555, puis reprennent ; une étape importante est achevée avant 1560. Ces travaux lui valent une réputation d'ingénieur hydraulicien. En 1561, il participe aussi, à Rome, à une tentative de réparation d'un pont sur le Tibre. Plus tard, il sera consulté pour le drainage d'un autre marais.

Le qualifier simplement de mathématicien amateur ferait perdre de vue l'essentiel. Cet homme gagne sa vie avec la terre, les écoulements d'eau, les limites de parcelles et les chantiers. Et il écrit l'une des œuvres d'algèbre abstraite les plus audacieuses du XVIe siècle.

Aucun lien de cause à effet évident ne relie les deux activités ; inutile de le forcer. On peut tout de même penser qu'un homme chargé chaque jour de délimiter un marais a ses propres critères pour décider de ce qui est bel et bien là.

Son livre n'a pas non plus surgi d'un seul coup en 1572. Il commence à l'écrire au milieu des années 1550, pendant la suspension des travaux ; vers 1557, la rédaction est en cours. Il prévoit cinq livres. Les trois premiers paraissent en 1572. Les deux derniers, consacrés à la géométrie, ne sont pas publiés alors ; le manuscrit inédit ne sera redécouvert qu'en 1923, puis édité en 1929. Bombelli sait lui-même que ses lecteurs vont le prendre pour un fou.

En abordant cette famille d'équations cubiques, il prévient que beaucoup jugeront son idée bizarre, téméraire, contraire aux usages. Il reconnaît qu'au début lui aussi y voyait moins quelque chose de vrai qu'une sorte de sophisme. Vingt-sept ans auparavant, Cardan avait déjà employé ce mot.

Il avertit aussi le lecteur qu'il lui faudra mobiliser toutes les forces de son esprit dans cette partie, sous peine de se laisser très facilement égarer. Vingt-sept ans plus tôt, l'autre parlait de laisser de côté les tortures de l'esprit. À vingt-sept ans de distance, les deux hommes puisent dans le même vocabulaire.

Ce détail importe davantage qu'il n'y paraît. Deux hommes occupent des positions opposées : l'un déclare l'objet inutile, l'autre lui donne des règles. Pourtant, ils décrivent leur état d'esprit devant lui avec les mêmes mots. En vingt-sept ans, l'impression produite par la chose n'a pas changé. La différence, c'est que le second ne s'arrête pas. À force d'examiner le problème, il constate qu'il peut proposer des opérations cohérentes et des démonstrations. Il décide donc de poursuivre. Son travail tient en trois étapes.

Première étape : cesser de voir dans la racine carrée d'un nombre négatif une racine ordinaire qui aurait mal tourné. Il donne des noms spécifiques aux deux objets élémentaires, que l'on pourrait rendre littéralement par « plus de moins » et « moins de moins ». Ils correspondent à peu près aux deux unités imaginaires de signes opposés que nous utiliserons ensuite. Lui ne dispose évidemment pas de notre notation par une lettre.

Deuxième étape : établir un ensemble de règles opératoires. Quel type de quantité obtient-on en multipliant des quantités positives ordinaires, des quantités négatives et ces deux nouveaux objets ? Deux objets de même sens donnent une quantité négative ordinaire ; deux objets de sens contraires donnent une quantité positive ordinaire. Pour l'addition et la soustraction, on réunit les parties ordinaires entre elles et les parties de l'autre espèce entre elles. Autrement dit, il ne se contente plus de tolérer ces objets. Pour la première fois, il leur fournit une table de multiplication.

Fournir une table de multiplication et donner une définition sont deux gestes différents. La définition doit dire ce qu'est la chose ; la table dit seulement comment on calcule avec elle. Bombelli donne la seconde. Pendant plus de deux siècles encore, on calculera avec ces objets tout en cherchant à répondre à la première question.

Nous avons déjà rencontré cette ligne de partage dans la série. Dans le cinquième essai, le commentateur s'arrêtait devant le volume de la sphère parce qu'il n'avait même pas encore l'algorithme. Ici, c'est l'inverse : l'algorithme existe, et il est fiable. Ce qui manque, c'est l'objet.

La troisième étape est le cœur de l'histoire. Bombelli choisit un exemple dont on sait déjà qu'une racine réelle vaut quatre. La méthode conduit à deux quantités intermédiaires non réelles qui se répondent, et dont il faut encore extraire les racines cubiques. C'est là que tout bloquait : une racine carrée de nombre négatif est déjà assez étrange ; comment prendre la racine cubique d'un nombre qui en contient une ? Bombelli ose une hypothèse. Peut-être cette racine cubique compliquée peut-elle elle-même s'écrire comme un nombre ordinaire augmenté d'un objet simple de la même espèce.

Il ne s'en remet pas alors à une devinette intuitive. Il élève son expression entière au cube, développe selon la table d'opérations qu'il a établie, puis compare terme à terme la partie ordinaire et la partie non réelle. Résultat : l'une des racines cubiques s'écrit deux plus une unité de cette nouvelle espèce ; l'autre est exactement sa partenaire, deux moins la même unité. Lorsqu'on les additionne, les parties non réelles s'effacent complètement. Il reste quatre.

Ce n'est pas l'exactitude de la réponse qui rend cette étape convaincante. On savait déjà que la réponse était quatre. Ce qui convainc, c'est que, du début à la fin, chaque opération suit les règles qu'il a lui-même posées. Aucune permission supplémentaire n'est nécessaire en cours de route. Et, à l'arrivée, le calcul se referme de lui-même.

Pour la première fois, la situation apparaît clairement.

La racine carrée d'un nombre négatif n'est pas le signal d'une erreur. Un résultat intermédiaire peut ne pas être réel. Deux résultats de ce genre obéissent parfaitement aux règles de l'algèbre et, ensemble, produisent à la fin une racine réelle dont on savait déjà avec certitude qu'elle existait. Bombelli ne donne ni la théorie moderne des nombres complexes, ni le plan complexe, encore moins la définition moderne d'un corps. Il établit quelque chose de plus concret pour l'histoire des idées : ces objets peuvent former un langage de calcul qui ne s'effondre pas à tout instant.

« Ne s'effondre pas à tout instant » : ces mots comptent. Le danger le plus immédiat pour un nouvel objet n'est pas que personne ne croie en lui. C'est qu'au détour d'un calcul il se contredise. Avec ses règles et ses exemples réussis, Bombelli réduit considérablement ce soupçon, sans fournir une preuve de cohérence globale au sens que l'on donnera plus tard à ce terme. L'explication systématique de l'objet reste à construire. Quant au nombre de lecteurs de son livre à l'époque, on ne saurait le chiffrer. Nous ne disposons d’aucun chiffre fiable pour le tirage de la première édition, et aucun registre des ventes ne nous est parvenu.

L'histoire de sa réception fait elle-même débat. Une tradition insiste sur l'importance extrême du livre : les opérations y sont déjà très élaborées, et d'importants mathématiciens l'ont ensuite lu et hautement apprécié. Une autre souligne que sa diffusion effective et son influence directe aux XVIe et XVIIe siècles ont été moins grandes que ne le laisserait croire son statut ultérieur de classique.

Les faits sont donc les suivants : ce que Bombelli accomplit en 1572 ne conduit pas tous les mathématiciens d'Europe à reconnaître ces objets dès le lendemain. On peut prouver que le livre existe, et que de grands mathématiciens l'ont lu par la suite. On ne peut pas déduire de sa place dans la postérité qu'il disposait d'un vaste lectorat dans les années 1570. L'invention et l'acceptation doivent être distinguées. Un livre peut avoir raison avant même d'avoir des lecteurs.

6. Deux cent cinquante ans

Pour résumer la période qui va de 1572 au début du XIXe siècle, la formule la plus juste n'est pas : ces objets ont été rejetés pendant deux cent cinquante ans. C'est plutôt : on s'en est servi avant d'être rassuré sur leur existence.

Les mathématiciens emploient de plus en plus souvent les racines carrées de nombres négatifs comme outils formels. Aux XVIIe et XVIIIe siècles, la théorie des équations, les logarithmes, les fonctions trigonométriques et les séries infinies les entraînent dans un nombre croissant de calculs. Vient un moment où certaines opérations d'analyse deviennent même plus lourdes si l'on s'en passe. En 1748, Euler relie la fonction exponentielle aux fonctions trigonométriques par l'intermédiaire de paramètres complexes : c'est un jalon célèbre. Mais la question de savoir ce que sont ces objets continue de troubler.

Un même mathématicien peut donc parfaitement les dire « impossibles » à une page et les manier avec aisance à la suivante. Il n’y a là aucun dédoublement de personnalité sur le plan logique. C'est que, dans les mathématiques du début de l'époque moderne, la légitimité d'une opération et le droit d'un objet à exister ne sont pas encore attachés l'un à l'autre. La septième section de l'essai précédent décrivait déjà ce phénomène, à propos des nombres négatifs. Ici, la zone grise dure plus longtemps, et elle est plus sombre. Le nom apparaît en 1637.

Au livre III de La Géométrie, Descartes examine les racines des équations. Il écrit que les racines dites vraies ou fausses ne sont pas toujours réelles : elles peuvent n'être qu'imaginées. On peut en imaginer autant que l'indique le degré de l'équation, sans qu'il existe toujours une quantité correspondant à ce que l'on imagine.

Le mot porte donc bien, dans son contexte initial, une marque d'infériorité. Il s'oppose à « réel » et signifie : concevable par l'imagination, mais sans quantité nécessairement correspondante.

Il faut saisir exactement l'opposition. Descartes ne dit pas que la chose est erronée, ni qu'on ne peut obtenir aucun résultat avec elle. Il dit qu'aucune quantité ne lui correspond. Dans un système où un nombre doit encore être une certaine quantité, cela revient à lui refuser le nom de nombre.

Dire qu'il n'utilise ce mot que pour insulter l'objet serait toutefois projeter sur lui une attitude un peu trop moderne. Plus exactement, le terme signale chez lui un statut ontologique insuffisant. Ce n'est pas un éloge. Mais la dépréciation tient à l'opposition entre une simple imagination et l'absence de quantité correspondante, non à une injure lancée sous le coup de l'émotion.

Voilà pourquoi le titre de cet essai est historiquement juste. Il ne s'agit pas, à l'origine, du récit romantique que la postérité aime faire d'une imagination mathématique créatrice de mondes. Le sens est plus proche de ceci : vous pouvez imaginer une telle racine, mais aucune quantité ne lui correspond dans les faits.

En 1685, Wallis cherche déjà une interprétation géométrique de ces quantités. À partir des segments orientés et des proportions géométriques, il tente de comprendre les racines carrées de nombres négatifs dans une direction perpendiculaire du plan. Il ouvre lui-même son exposé en rappelant qu'on les appelle couramment « quantités imaginaires » : le terme appartient donc déjà au vocabulaire mathématique anglais. C'est bien le même homme que dans l'essai précédent, celui qui dessinait une droite à deux directions tout en croyant que les nombres négatifs se trouvaient au-delà de l'infini.

Pourquoi ne fait-on généralement pas de lui le fondateur du plan complexe ? Parce qu'il n'a pas établi la correspondance complète, terme à terme, qui viendra ensuite. Il ne suffit pas de représenter telle racine carrée d’un nombre négatif par une ligne perpendiculaire. Il faut associer tout nombre composé d'une partie réelle et d'une partie non réelle à un point ou à un segment orienté du plan, de telle sorte qu'addition, multiplication, longueur et rotation concordent avec les opérations algébriques. Wallis possède une intuition géométrique décisive. Il n'a pas achevé ce système fermé de correspondances.

L'histoire des mathématiques revient sans cesse à cette distinction : entre apercevoir la forme d'une chose et l'inscrire dans un système complet de correspondances, la distance est immense.

Leibniz utilise abondamment ces quantités. Il nous a aussi laissé des formules singulières qui les situent entre l'existence et la non-existence. Ce n'est pas un refus de calculer. C'est un refus de répondre trop vite à la question de ce qu'elles sont.

Pour la lettre qui désigne l'unité imaginaire, il faut distinguer la date de rédaction et celle de publication. On attribue habituellement son adoption systématique à un mémoire achevé par Euler en 1777. Le mémoire ne sera publié qu'en 1794.

Cela ne veut pas dire qu'Euler ne commet plus jamais d'erreur. Au XVIIIe siècle, les règles modernes de choix des branches ne sont pas encore établies. Il lui arrive d'appliquer à deux nombres négatifs une règle des racines carrées qui n'est sûre que pour des réels non négatifs, d'où des erreurs de signe.

Ne racontons donc pas l'histoire comme si personne avant Euler ne savait calculer et que tout était devenu juste avec son arrivée. Sur certaines règles de signes, Bombelli était au contraire particulièrement prudent.

Plus on connaît intimement un objet, plus on risque de lui appliquer à tort une règle empruntée ailleurs. Moins on le connaît, plus on doit s'arrêter pour réfléchir à chaque pas. Le premier homme qui en donne véritablement le dessin est un arpenteur et cartographe.

Il soumet son mémoire à l'Académie royale des sciences du Danemark en 1797. Publié en danois en 1799, le texte associe systématiquement ces quantités à des segments orientés possédant une direction et une longueur : l'addition consiste à les mettre bout à bout ; la multiplication multiplie les longueurs et additionne les angles de direction. Nous sommes déjà tout près du plan complexe moderne. Son histoire fournit pourtant un excellent contre-exemple à l'idée qu'une découverte juste serait, par là même, acceptée.

Le mémoire paraît dans une publication de l'Académie danoise que les lecteurs étrangers consultent peu, et il est écrit en danois. Il tombe dans un silence presque centenaire. Ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle que des travaux danois d'histoire des mathématiques le ramènent à l'attention. Une traduction française paraît en 1897 ; sa priorité est alors reconnue à l'échelle internationale.

En 1806, un autre homme publie indépendamment une petite brochure donnant à ces quantités une représentation dans la géométrie du plan. Ce n'est pas un célèbre professeur d'université. Sa première édition, privée et de faible ampleur, ne fait pas davantage sensation au départ. Vers 1813, des textes sur le sujet réintroduisent la question dans le débat public, au sein d'annales mathématiques. Sa méthode pénètre ainsi plus directement que celle de son prédécesseur dans les réseaux mathématiques français.

Le cas de Gauss est le plus complexe. Sa thèse de 1799 approche déjà ce monde à travers le problème du théorème fondamental de l'algèbre ; il possède manifestement depuis longtemps les intuitions géométriques correspondantes. Mais sa prise de position publique et explicite date de 1831. Il y fait entrer dans l’arithmétique elle-même des objets formés d’un entier réel auquel s’ajoute un autre entier réel multiplié par l’unité imaginaire.

Dans les années 1830, Hamilton emprunte une voie complémentaire de l'interprétation géométrique. Au lieu de demander où peut bien exister la racine carrée de moins un, pourquoi ne pas définir dès le départ ces nombres comme des couples de réels ?

Il propose cette idée vers 1833 et en publie une version aboutie en 1837. Pour additionner deux couples, on additionne séparément leurs premières et leurs secondes composantes. La multiplication est définie par une opération particulière sur les couples, de telle sorte que l'unité de la seconde direction, multipliée par elle-même, donne exactement moins un. Dès lors, ce qu’on appelle l’unité imaginaire n'a pas besoin d'exister d'abord comme une mystérieuse racine carrée. C'est simplement un élément déterminé du système des couples.

On va ici plus loin qu'en traçant un axe perpendiculaire. La géométrie dit comment voir l'objet ; cette construction dit comment le fabriquer avec les seuls nombres réels déjà admis et des règles opératoires explicites. Dès lors, l'interprétation géométrique a-t-elle causé l'acceptation, ou résulte-t-elle d'une acceptation déjà engagée ? La question mérite d'être posée, car les récits de vulgarisation suivent presque tous le même scénario : personne n'y croyait, puis quelqu'un a dessiné le plan complexe, et tout le monde s'est mis à y croire.

La chronologie suffit à démentir cette causalité à sens unique. Bombelli calcule dès 1572 ; Wallis cherche une interprétation en 1685 ; au XVIIIe siècle, ces objets participent aux opérations essentielles de la trigonométrie et de l'analyse. Tout cela précède leur représentation complète dans le plan. Inversement, l'arpenteur prouve que le seul fait de dessiner n'entraîne pas automatiquement l'acceptation : son interprétation géométrique complète est restée presque un siècle dans l'ombre.

Une formulation plus fidèle aux recherches actuelles serait donc celle-ci : la mise en géométrie est à la fois le fruit d'un long usage et l'une des causes d'une légitimation plus poussée. Pendant plus de deux siècles, d'abord, le calcul fonctionne. Puis les réponses se multiplient peu à peu : on peut dessiner l'objet, le définir, en faire un membre à part entière d'un système de nombres. L'ordre est presque le même que pour les nombres négatifs dans l'essai précédent. Mais le temps est plus long, et les deux siècles intermédiaires plus obscurs.

Les nombres négatifs pouvaient déjà s'appuyer sur des explications par les dettes ou les directions. Durant ces deux siècles et plus, les quantités non réelles ont elles aussi suscité des tentatives d'interprétation géométrique. Il leur manquait encore une explication largement admise et systématiquement cohérente.

7. Direct, inverse, latéral

En 1831, dans ce même article, Gauss formule un reproche.

Si, dit-il, au lieu des termes maladroits de positif, négatif, imaginaire, voire impossible, on avait conçu les trois directions fondamentales comme des unités, par exemple, directes, inverses et latérales, l'obscurité mystérieuse entourant ces objets ne serait presque jamais apparue.

Autrement dit, dès 1831, l'un des mathématiciens les plus écoutés d'Europe fait remarquer qu'une partie du problème ne vient pas de l'absurdité des quantités, mais des noms par lesquels les mathématiciens n'ont cessé de suggérer qu'elles étaient absurdes.

La dernière section de l'essai précédent le rappelait : dans bien des langues, on n'avait pas d'abord nommé les nombres négatifs à partir d'une catégorie neutre, mais à partir du déficit, du manque, de la dette, du non, de la soustraction ou du sens inverse. Les objets avaient ensuite acquis une égalité de statut formel. Les anciens noms, eux, étaient restés.

Le nom qui nous occupe ici heurte davantage encore, puisqu'il dit expressément que l'objet est imaginé. Il faut d'ailleurs distinguer ces appellations, au lieu de les fondre en une seule liste. « Sophistique » vient de Cardan en 1545. Bombelli réemploie plus tard le même mot lorsqu'il explique qu'au début il voyait plutôt là un sophisme. « Imaginaire » vient de Descartes en 1637. C'est ce nom-là qui finira par s'imposer.

« Impossible » devient progressivement courant aux XVIIe et XVIIIe siècles. En revenant sur le vocabulaire ancien en 1831, Gauss associe « imaginaire » et « voire impossible » parmi les noms qui ont produit cette obscurité. « Absurde », en revanche, demande de la prudence. Dans la tradition examinée dans l'essai précédent, les « nombres absurdes » désignent principalement les nombres négatifs ou les solutions négatives, non les imaginaires purs au sens pleinement constitué du terme. Dire que les mathématiciens du XVe siècle appelaient les imaginaires « nombres absurdes », c'est substituer l'histoire de l'acceptation des nombres négatifs à celle qui nous occupe ici.

La distinction permet pourtant de formuler un constat historique éclairant. À une époque où même les nombres négatifs étaient encore souvent traités d'absurdes, leurs racines carrées avaient moins de chances encore de trouver une place toute prête. Pourquoi, ensuite, n'a-t-on pas changé leur nom ?

Aucun congrès de mathématiciens n'a voté le maintien de ce mauvais nom. L'explication la plus plausible est l'inertie du vocabulaire. Quand on a pleinement mesuré le contresens philosophique auquel il invitait, le terme était déjà inscrit dans les manuels de nombreux pays, dans les couples partie réelle et partie imaginaire, axe réel et axe imaginaire, ainsi que dans une immense littérature spécialisée. Une fois fixé, un terme technique cesse généralement d'obéir tout à fait au sens de ses mots dans la langue courante.

Et changer de nom n'a jamais été une question de mathématiques. Il faudrait remanier les manuels, les notations, les mots déjà appariés dans des dizaines de langues. Le gain serait de supprimer un malentendu ; le coût, de réorganiser un système qui fonctionne déjà. Personne n'a entrepris cet échange. Du côté chinois, en revanche, cet essai doit laisser une lacune ouverte.

Les documents qu'il est possible de vérifier ne permettent pas de déterminer quel traducteur chinois a fixé pour la première fois le terme 虚数 (« nombres imaginaires »), dans quel livre et en quelle année.

Tout ce que l'on peut affirmer avec assurance, c'est que le chinois moderne oppose 虚数, les nombres imaginaires, à 实数, les nombres réels, et que le terme chinois s'écrit comme son équivalent japonais. Entre la fin des Qing et l'ère Meiji, les termes relatifs aux savoirs occidentaux ont abondamment circulé dans les deux sens entre la Chine et le Japon.

La seule identité graphique ne prouve pourtant pas que le mot ait nécessairement été créé au Japon avant de passer en Chine. Des traductions chinoises d'algèbre occidentale existaient dès le milieu du XIXe siècle. Les ouvrages mathématiques des traducteurs évoqués dans l'essai précédent sont antérieurs à l'importation massive de néologismes japonais à la fin des Qing. Pour ce terme en particulier, il faut donc examiner les premières éditions une à une, plutôt que d'en reconstituer l'origine parce qu'il ressemble à un mot japonais écrit en caractères chinois. L'essai précédent laissait déjà deux lacunes comparables : l'existence éventuelle de traductions concurrentes pour « nombre négatif », et l'origine du terme désignant le nombre opposé.

Devant les quatre blancs de ces deux essais, mieux vaut écrire que l'on n'a pas trouvé que fabriquer une généalogie qui ait l'air complète.

Une chose peut néanmoins être dite. Le caractère 虚 va plus loin que la simple imagination. Il porte les résonances classiques du vide, du non-réel, de ce qui n'a pas d'existence effective. L'histoire dépréciative du mot européen trouve dans ce caractère un relais remarquablement exact. Une traduction inexacte finit généralement par s’effacer à l’usage. Celle-ci était si exacte qu’elle a traduit aussi le défaut du mot d’origine.

8. Passer par là

Mettons cet essai à côté du précédent : les deux objets ne sont pas entrés en mathématiques de la même manière.

Les nombres négatifs ont été poussés dans les mathématiques. Ils apparaissaient naturellement dans les étapes intermédiaires des algorithmes, correspondaient à une réalité dans les livres de comptes et disposaient, avec les directions, d'un opposé déjà là qu'ils pouvaient désigner. La querelle portait sur leur droit à être des nombres, pas sur leur utilité. L’objet de cet essai, lui, c’est sous la contrainte qu’on l’a fait entrer.

Personne n'en voulait. Nulle part une quantité ne lui correspondait. Quand Descartes l'a nommé, il a précisément dit cela : aucune quantité ne lui correspond.

Mais pour les équations cubiques irréductibles rencontrées plus haut, les trois réponses sont toutes réelles ; si l’on veut les atteindre par les radicaux, il faut pourtant passer par là. Les nombres imaginaires n'ont pas aidé les mathématiciens à trouver une fausse racine. Tout au contraire, ils sont d'abord apparus comme le passage intermédiaire conduisant à trois racines réelles. Retenons cette forme : elle ne ressemble à aucune de celles des essais précédents.

Dans le troisième essai, la lacune se cachait dans une figure que l’on voyait d’un seul coup d’œil. Dans le quatrième, l'intéressé avait pris lui-même l'initiative de son témoignage. Dans le septième, l'objet avait suscité des résistances et des défenses, et la résistance avait ses arguments.

La chose dont nous parlons ici ressemble à une étape de transit dont le statut reste en suspens. Or la route des radicaux passe justement par là. Celle de l'essai précédent pouvait au moins montrer une dette en disant : c'est moi. Celle-ci ne peut rien montrer. Et cette étape ne se situe ni au départ ni à l'arrivée. Elle se trouve en chemin. Il faut y entrer, puis en sortir ; une fois qu'on en est sorti, elle a disparu.

Elle est donc encore plus difficile à défendre que les nombres négatifs. Un nombre négatif peut au moins demeurer dans la réponse, pour qu'on le désigne en demandant : qu'est-ce que c'est ? L’objet qui nous occupe ne reste même pas. Comment établir l'existence d'une chose qui n'apparaît qu'en cours de route et s'évanouit à la fin ? Pendant plus de deux siècles, des explications partielles ne cessent d'être proposées et de plus en plus de mathématiciens s'en servent. Mais l'explication systématique et l'acceptation générale n'arrivent pas ensemble. Dans les trois réponses finales, il ne subsiste aucune trace de la chose. On l’a utilisée durant plus de deux siècles. Les explications se sont peu à peu développées, mais ce qui rassurait l’un dans ses calculs ne rassurait pas forcément l’autre.

On peut calculer avec elle. Le résultat est juste, et le reste autant de fois qu’on recommence. Mais, une fois le calcul terminé, la question demeure : qu’est-elle au juste ? Pendant plus de deux siècles, les opérations sont allées très loin ; les explications et la reconnaissance n’ont pas avancé du même pas.

La fin de l'essai précédent rappelait une idée : les mathématiques fabriquent d'abord des choses avec lesquelles on sait calculer sans savoir les expliquer, puis reviennent élargir leurs définitions pour leur faire une place. L'homme qui formulait cette idée vivait au XIXe siècle, et son meilleur exemple se trouve ici. D'abord, Bombelli donne à l'objet une table de multiplication et montre qu'au moins il ne s'effondre pas à tout instant. Le jour, cet homme relève les limites de parcelles dans les marais. Ensuite, quelqu'un essaie de dessiner l'objet ; mais on ignore celui qui l'a dessiné pendant cent ans.

Puis quelqu'un le définit comme un couple de nombres réels. Il n'a donc plus besoin d'exister d'abord sous la forme d'une mystérieuse racine carrée.

Quelqu’un fait aussi remarquer qu’une part du problème vient du nom. Ce nom n'a toujours pas changé. Chaque élève qui entend pour la première fois parler de nombres réels et de nombres imaginaires reçoit d'abord des deux mots la même suggestion : d'un côté, c'est vrai ; de l'autre, c'est faux. Cette suggestion nous vient du XVIIe siècle, et, à l’époque, c’était bien le sens voulu. Seulement, celui qui la formulait voulait dire qu'aucune quantité ne correspondait à l'objet ; l'élève, lui, entend qu'il n'existe pas. Entre les deux, il y a trois cents ans de mathématiques.

On continue à compter. Ce qui compte comme mathématiques, en revanche, n'a jamais été définitivement réglé.

Sources et lectures complémentaires

Les références ci-dessous correspondent aux détails historiques et aux divergences d’interprétation évoqués dans le texte. Les notices de collections, la littérature ancienne et les reconstitutions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Tartaglia et Cardan : traduction des échanges originaux
• Dictionnaire des biographies scientifiques : Bombelli
• Traduction de l’Algèbre de Bombelli
• Étude d’histoire des mathématiques sur les travaux de Wantzel
• Université de St Andrews : Wessel
• Université de St Andrews : Argand