Les infinitésimaux et le défaut de rigueur

1. Un évêque

En 1734, un évêque publia un petit livre pour attaquer l’outil mathématique le plus efficace de son temps.

Il s’appelait George Berkeley. Irlandais, il fut nommé évêque de Cloyne cette même année. L’histoire de la philosophie le connaît pour une autre thèse : parler des choses en dehors de toute perception n’a, selon lui, aucun sens. Plus d’un siècle après, une ville d’Amérique du Nord prendrait son nom.

Ce petit livre, lui, s’adressait aux mathématiciens.

Il s’intitulait L’Analyste. Son long sous-titre annonçait, en substance, un examen : les objets, les principes et les raisonnements de l’analyse moderne sont-ils vraiment plus clairs, et leurs conclusions mieux déduites, que les mystères de la religion et les propositions de la foi ? L’ouvrage était adressé à un mathématicien incroyant.

Le sous-titre disait presque tout, dès la couverture. Le livre ne portait pas sur les mathématiques, mais sur ce qui autorise à leur faire confiance. Et la raison pour laquelle cette question intéressait son auteur se trouvait ailleurs que dans les mathématiques. Un évêque qui s’en prend aux mathématiciens : on croit reconnaître la vieille pièce du conflit entre l’Église et la science. Ce n’est pas celle qu’on va jouer ici.

Du moins, pas dans sa mise en scène habituelle. Berkeley ne disait ni que les mathématiques étaient fausses, ni qu’il fallait cesser d’en faire. Il disait : dans votre propre métier, il y a une étape que vous ne savez pas expliquer clairement, alors que vous exigez couramment des autres cette même clarté.

Qui était le mathématicien incroyant ? On l’identifie le plus souvent à Halley. C’est toutefois une identification supposée, pas un nom imprimé sur le livre. Newton ferait un bien mauvais candidat : il était mort en 1727. Surtout, Berkeley demandait aussi pourquoi certains admiraient les mathématiques de ce grand auteur tout en raillant sa religion. Le « grand auteur » de cette phrase désignait manifestement le pieux Newton, distinct de l’incroyant auquel le livre s’adressait. Quant à la raison d’écrire ce livre, nous y reviendrons dans la sixième section.

L’ouvrage valut à Berkeley de nombreuses ripostes. La plupart contournaient pourtant le point essentiel.

Disons donc tout de suite quelque chose de plus important. Il avait raison.

Pas sur tout. Et il n’avait pas démontré que le calcul infinitésimal se contredisait lui-même. Mais le tour de raisonnement qu’il dénonçait existait bel et bien. On le répétait dans les manuels et les démonstrations de l’époque, sans que les mathématiciens s’accordent sur la façon de le justifier.

Pour mesurer l’étrangeté de la situation, il faut d’abord voir quelle place occupait alors l’outil qu’il attaquait.

Il avait à peine un demi-siècle et servait déjà à calculer les mouvements des planètes, les trajectoires paraboliques sur terre, la période des pendules et l’écoulement de l’eau. C’était l’outil le plus puissant de l’époque. Si puissant que presque personne n’avait envie de demander d’où lui venait sa puissance.

Et voilà qu’un philosophe, familier de ces raisonnements mais dont le métier n’était pas la recherche mathématique, se levait pour dire : cette étape, au milieu, ne tient pas. Au cours du siècle suivant, au moins cinq groupes se succéderaient pour tenter de lui répondre. Parmi eux figuraient les meilleurs mathématiciens britanniques de leur temps, un maître d’œuvre de l’Encyclopédie française et un professeur qui consacrerait plus de sept cents pages à la question.

Il faut insister sur ce fait : celui qui posait le problème n’était pas un mathématicien de métier. C’était un philosophe, un évêque, et s’il attaquait les mathématiques, c’était pour défendre la religion. Aucune de ces réponses ne nous paraît aujourd’hui définitive.

Une famille de réponses, devenue ensuite le socle des manuels, ne mûrirait que progressivement au XIXe siècle. Elle remplacerait bien davantage qu’un raisonnement : toute la langue dans laquelle on disait ce qu’est une limite, une continuité, une convergence. Autrement dit, on ne lui répondrait pas en découvrant ce qu’était au juste cette quantité évanouie. On redéfinirait les mots de façon à ne plus avoir à poser la question.

2. Engendrer les grandeurs, prendre leurs différences

Voyons d’abord ce qu’il attaquait. Quelqu’un marche. Lui demander à quelle vitesse il a marché pendant cette minute ne pose aucune difficulté : on divise la distance parcourue en une minute par la durée d’une minute.

Mais à quelle vitesse marchait-il à un instant précis ?

Un instant n’a pas de durée. Pendant cet instant, la distance parcourue est nulle, et le temps écoulé aussi.

Zéro divisé par zéro.

C’est ce problème que les deux hommes du XVIIe siècle devaient affronter, chacun de son côté. Ils ne s’y prirent pas de la même manière.

Newton partit du mouvement. Pour lui, une ligne, une aire, un volume étaient engendrés par un mouvement continu. La quantité recherchée était la vitesse à laquelle ils croissaient à un instant donné. Il l’appela « fluxion » : littéralement, le nombre de ce qui s’écoule. La grandeur coule ; la fluxion indique avec quelle rapidité.

Derrière cette façon de parler, il y avait une image : le monde bouge, les grandeurs se forment. Une image peut être fausse, mais c’est une image ; elle donne quelque chose à montrer. Newton répéterait d’ailleurs par la suite qu’il cherchait une vitesse finie. Il ne prétendait pas que le monde était assemblé à partir de fragments si petits qu’on ne pouvait plus les diviser.

Leibniz partit des différences. Deux grandeurs dépendent l’une de l’autre : l’une varie un peu, l’autre varie un peu à sa suite. Ce qui l’intéressait était le rapport entre ces deux variations. Leur petitesse, en revanche, il ne voulait pas la fixer une fois pour toutes. Il parlait d’une différence trop petite pour qu’on puisse lui assigner une valeur.

Cette petite différence existait-elle vraiment ? Il ne donnait pas toujours la même réponse. L’une consistait à la traiter comme une grandeur idéale utile, ou comme une fiction : l’essentiel était de calculer selon les bonnes règles, puisque le résultat pouvait ensuite être retraduit en relations entre des grandeurs finies ordinaires. Le mot de l’épisode précédent revient. Une fiction ne sert pas à expulser une chose, mais à lui donner un statut qui lui permette de rester. D’un épisode à l’autre, un siècle d’histoire s’est écoulé ; l’objet a changé, cet arrangement demeure.

On peut finalement traduire les deux méthodes l’une dans l’autre. Cela ne signifie pas qu’elles formaient au XVIIe siècle un seul et même système conceptuel.

Les problèmes qui les guidaient différaient aussi. Parmi les grandes préoccupations du jeune Newton figuraient les quadratures des courbes, les séries infinies, le passage d’une équation à un taux de variation puis, dans l’autre sens, du taux à la grandeur. Sa philosophie naturelle liait en outre étroitement les fluxions au mouvement. En 1684, Leibniz entra sur la scène publique par les tangentes, les extrema et un algorithme général que ni les radicaux ni les fractions ne devaient arrêter. On résumerait plus tard en une phrase la différence ressentie par leurs contemporains : dans la pratique, ces deux méthodes n’étaient pas équivalentes.

Il est facile, après coup, de n’y voir que deux écritures d’une même chose. Les manuels actuels passent effectivement sans difficulté d’une notation à l’autre. Mais pouvoir faire cette conversion n’est pas la même chose que considérer, à l’époque, qu’on a affaire au même objet. Les notations ont d’ailleurs leur propre calendrier.

Les notes privées de Leibniz permettent de faire remonter leur formation à 1675. En octobre, il commença à employer la lettre allongée qui deviendrait le signe d’intégration, tirée du mot latin signifiant « somme ». En novembre se forma l’écriture des variations des variables par de petites différences. Mais les dates de publication comptent davantage : il rendit public l’algorithme différentiel en 1684 ; le signe d’intégration n’apparut officiellement dans ses articles publiés qu’en 1686. Le célèbre article d’octobre 1684 occupait, dans la revue d’origine, à peu près les pages 467 à 473. Environ sept pages.

Ce n’était pas un traité des fondements, plutôt l’annonce très condensée d’un nouvel algorithme. Il présentait les règles de différentiation, les appliquait aux tangentes et aux maxima et minima, puis montrait par des exemples qu’on tenait là un type de calcul praticable. On y trouvait à peine ce qu’un manuel ultérieur appellerait une fondation conceptuelle. C’est précisément ce qui lui donne sa portée historique. Ce qui circula d’abord, ce fut une langue capable de calculer. Une telle langue pouvait traverser l’Europe en quelques années. Une explication vraiment claire devrait attendre plus d’un siècle encore.

Et la vitesse de diffusion ne dépendait pas des mêmes personnes que la vitesse d’explication. Tout ce qui va suivre dans cet épisode se passe dans l’écart entre les deux.

À la fin de l’épisode précédent, nous avons vu que les mathématiques fabriquent d’abord des choses qui se calculent bien sans s’expliquer clairement, puis élargissent leurs définitions pour les accueillir. Il s’agissait alors d’une catégorie d’objets. Cette fois, il s’agit d’une méthode entière.

3. Pourquoi les Principia parlent géométrie

Les Principia de 1687 ne s’ouvrent pas sur un système d’équations de fluxions.

Newton y construit des raisonnements géométriques de limite fondés sur les rapports premiers et derniers. Les grandeurs géométriques se rapprochent par un mouvement continu ; certains de leurs rapports tendent vers un rapport dernier avant qu’elles ne s’évanouissent. Le point décisif n’est pas de supposer qu’il subsiste à la fin un triangle infinitésimal non nul. Il est de parler de la limite vers laquelle tend leur rapport. La langue du livre est principalement celle des segments, des aires, des proportions, des figures semblables, des coniques et des constructions géométriques. Selon un récit très répandu, Newton aurait en réalité tout calculé par le calcul infinitésimal, puis volontairement traduit le résultat en géométrie classique pour se faire comprendre.

Ce récit n’est vrai qu’en partie.

Newton dit effectivement, à la fin de sa vie, que la nouvelle analyse l’avait aidé à découvrir la plupart des propositions des Principia, et qu’il les avait ensuite démontrées par synthèse pour leur donner la certitude des Anciens. Mais ce témoignage date des années de controverse avec Leibniz. Il participe à la construction de son image méthodologique ; ce n’est pas le journal de création de chaque proposition.

L’étude des brouillons montre bien, derrière certaines propositions, le recours aux séries, aux quadratures, voire aux techniques de fluxions. On ne peut pourtant ramener le livre entier à un manuel moderne de calcul infinitésimal chiffré en géométrie. Au moins quatre raisons expliquent ce choix de langue.

La première tient à la hiérarchie des preuves. Newton voyait de plus en plus la nouvelle méthode comme un chemin vers la découverte, et la géométrie classique comme la forme dans laquelle une preuve s’achève. Il reconstruisait ainsi la tradition antique : l’analyse pouvait rester dans l’atelier ; le texte public devait fournir la démonstration synthétique.

L’épisode trois abordait une question voisine : qu’est-ce qui mérite d’être posé en principe ? Ici, la question se déplace d’un étage : qu’est-ce qui mérite d’être présenté comme une preuve publique ?

La deuxième raison est physique. Newton ne voulait pas fonder les grandeurs essentielles de la philosophie naturelle sur des indivisibles auxquels il refusait une existence géométrique ou naturelle. Dans un traité, il insistait sur le fait que les grandeurs mathématiques pouvaient être engendrées par un mouvement continu, et que la quantité recherchée était finie, réelle.

La troisième tient à l’objet même des Principia. Newton voulait étudier les rapports de structure entre forces, trajectoires, vitesses aréolaires et mouvements célestes, plutôt que commencer par bâtir une théorie générale des équations différentielles. Pour certains problèmes de forces centrales, la construction géométrique n’était pas une traduction maladroite. Elle révélait directement la structure des orbites et les rapports de proportion.

La génération suivante accorderait une place supérieure aux algorithmes universels, aux équations générales et aux calculs reproductibles. Mais ce critère se forma progressivement chez les successeurs. On ne peut l’appliquer tel quel au choix de 1687.

La quatrième raison est la différence entre méthode publique et méthode privée. Les manuscrits du cercle de Newton montrent que ses membres savaient fournir, pour certains résultats, une procédure de calcul. Newton gardait ces techniques dans les manuscrits, la correspondance et le cercle de ses disciples.

Il ne suffit donc pas de demander s’il utilisait le calcul infinitésimal en secret. Il faut demander ce qui, dans sa culture de la preuve, achevait une proposition de philosophie naturelle.

Une fois cette question posée, le livre change d’allure. Ce n’est plus un manuel de calcul infinitésimal traduit dans une autre langue. C’est un homme qui reprend tout un ensemble de découvertes selon les critères de preuve auxquels il croit. Séparer découverte et démonstration : quelqu’un avait dit la même chose dans l’épisode quatre, dix-neuf siècles plus tôt. À ceci près que cet autre auteur avait écrit les deux méthodes et déclaré explicitement que la première n’était pas une preuve. Newton, lui, avait laissé la moitié consacrée à la découverte dans l’atelier.

4. La priorité

Avant 1676, il n’y avait pas de guerre ouverte.

Les deux hommes correspondaient par un intermédiaire. Dans ses lettres, Newton parlait de ses résultats sur les séries et d’autres travaux, tout en cachant certaines méthodes derrière des anagrammes. Leibniz développait déjà, dans ses notes parisiennes, son propre algorithme des différences. Il publia le calcul différentiel en 1684 ; dans les Principia de 1687, Newton mentionnait même sa méthode en termes plutôt amicaux.

Au début des années 1690, un homme commença à nourrir des soupçons en privé. En 1699, il suggéra pour la première fois publiquement que Leibniz avait reçu sa méthode de Newton. C’est généralement là qu’on situe le début de la querelle publique.

Elle monta d’un cran entre 1704 et 1705. Après la publication du Traité de la quadrature des courbes en annexe de l’Optique, une revue savante fit paraître un compte rendu anonyme qui rapprochait les fluxions de Newton des différentielles de Leibniz. Le camp newtonien lut certaines de ses formulations comme une insinuation inverse : Newton aurait emprunté à Leibniz. Le compte rendu est habituellement attribué à Leibniz. Mais si l’on veut lui imputer des phrases précises, il faut rappeler qu’il avait paru sans signature.

Puis Keill écrivit sans détour, dans un article de la Royal Society, que Newton était le premier inventeur du calcul des fluxions et que Leibniz l’avait publié plus tard sous un autre nom, avec d’autres signes. Les sous-entendus devenaient une accusation directe de plagiat. Dès lors, on ne se disputait plus seulement pour savoir qui avait calculé quoi en premier. On se disputait une réputation. Et une réputation ne se partage pas en deux moitiés que chacun emporterait. Deux personnes peuvent faire séparément la même découverte ; les intéressés acceptaient de moins en moins que l’honneur puisse, lui aussi, se partager. C’est là que la querelle devenait réellement inconciliable.

Leurs situations étaient en outre très différentes, et l’enjeu n’avait pas le même poids pour chacun. L’un était professeur à Cambridge, puis avait rejoint la Monnaie royale ; il disposait à la fois d’un ancrage universitaire, d’une société savante et d’une fonction dotée d’un pouvoir réel. L’autre était conseiller de cour, bibliothécaire et responsable d’un projet d’histoire dynastique. Salarié depuis longtemps, il traînait derrière lui une histoire familiale presque impossible à terminer. En faire deux professeurs de mathématiques qui revendiquent la même invention, c’est manquer tout le contexte social.

En 1711, Leibniz adressa une plainte officielle à la Royal Society. Celle-ci constitua une commission en mars 1712. Sa composition mérite attention.

Les premiers membres nommés dans les archives comprenaient plusieurs hommes compétents en mathématiques. D’autres vinrent ensuite, dont un envoyé prussien. Tous n’étaient donc pas des proches personnels de Newton. Mais un fait dominait les autres : Newton était alors président de la Royal Society.

La procédure était loin d’une confrontation actuelle des preuves, avec prévention des conflits d’intérêts et examen indépendant par les pairs. La commission vérifia surtout les anciennes lettres et les copies conservées par la société et par l’intermédiaire mathématique. Newton fournit et organisa lui-même une grande part du dossier. Leibniz ne fut pas invité à venir expliquer chaque point devant la commission ; il ne reçut pas non plus un droit d’édition des documents égal à celui de Newton. La commission conclut que la méthode de Newton était antérieure et que l’affirmation de cette priorité ne lésait pas Leibniz.

Le dossier fut ensuite publié au nom de la société.

La participation de Newton à la rédaction n’est pas une déduction tardive tirée de sa seule fonction de président. Les manuscrits de la controverse conservés à Cambridge comprennent des brouillons de sa main, des documents qu’il avait ordonnés et des textes rédigés pour le recueil. Les notices d’archives précisent aussi que ces documents établissent qu’il était l’auteur de l’article anonyme publié plus tard dans la revue de la société. Président, partie au litige, principal fournisseur des pièces, rédacteur du texte : aucune des séparations qu’exigerait une institution moderne ne distinguait ces quatre rôles.

Il n’est pas nécessaire d’en faire une pièce à charge contre quelqu’un. Cela établit simplement que l’enquête n’avait pas assez séparé les fonctions pour tenir son principal protagoniste à l’écart de l’organisation des preuves et de la formation des conclusions. Quant à la date où l’on s’en aperçut, il n’y eut pas une année unique de révélation soudaine.

De Morgan, rencontré dans l’épisode précédent, avait déjà publié en 1852 un article attribuant le texte anonyme à Newton sur la base d’indices textuels et bibliographiques. Après le dépôt des papiers scientifiques de Newton à Cambridge par sa famille, en 1872, de nombreux brouillons de la querelle furent classés systématiquement. Le catalogue publié en 1888 permit de confirmer davantage son implication profonde à partir des manuscrits eux-mêmes. D’où vient alors la conclusion d’un développement indépendant ? Pas d’un partage équitable décidé pour faire plaisir aux deux camps. Elle vient de deux ensembles d’archives indépendants.

« Découvertes indépendantes » sonne comme une formule diplomatique. Ce n’en est pas une. C’est le résultat de la comparaison de deux piles de papiers : deux notations, deux chronologies, les dates laissées par chacun.

Les manuscrits de Newton des années 1660 suffisent à montrer que sa démarche avait commencé avant celle de Leibniz. Les notes privées de Leibniz autour de 1675 montrent, de leur côté, les problèmes précis au fil desquels sa notation et son algorithme différentiels se formèrent.

S’il s’était contenté de recevoir la méthode de Newton et de changer ses signes, on s’attendrait à voir un emprunt brusque. Ce qui subsiste montre au contraire une autre trajectoire de travail, pleine d’essais manqués, de modifications de notation et de réorganisations conceptuelles. On peut ainsi distinguer plusieurs degrés dans la solidité des affirmations.

Leibniz avait vu certains travaux mathématiques de Newton : on en a la preuve. Au XIXe siècle, on retrouva dans ses archives des copies qu’il en avait faites de sa propre main. Il est donc impossible de soutenir qu’il n’avait jamais rien vu de pertinent. Qu’il ait su que Newton disposait de méthodes puissantes est également défendable. Qu’il ait possédé toute la méthode de Newton avant de se mettre lui-même au travail en 1675 n’est appuyé par aucune preuve directe fiable. Quant à l’idée qu’il l’aurait tirée de ces documents avant de la faire passer pour la sienne, aucun document ne l’étaye.

Et cette phrase si souvent répétée, selon laquelle la querelle de priorité aurait arrêté les mathématiques britanniques pendant cent ans ? Elle a une base réelle, mais on l’exagère généralement.

La querelle a bien donné une dimension nationale aux différences de méthode. Le continent adopta de plus en plus une langue commune, tandis que la Grande-Bretagne resta centrée sur les fluxions, les rapports premiers et derniers et l’autorité de Newton, et accéda plus lentement aux travaux continentaux.

Les faits contraires comptent tout autant. Les mathématiques britanniques ne s’arrêtèrent pas : cette génération fut très active dans les séries, les différences, la théorie des fluxions et l’analyse. La notation à points de Newton n’empêchait pas, à elle seule, de calculer.

La conclusion raisonnable est que la querelle renforça la séparation institutionnelle et linguistique entre les deux traditions et contribua à un déclin relatif. Les mathématiques britanniques endormies pendant cent ans pour avoir choisi les mauvais symboles, c’est un récit théâtral inventé après coup. Il reste une dimension matérielle, qui trouve bien sa place ici.

Un article public peut tenir en quelques pages ; les papiers de travail privés peuvent occuper des dizaines de milliers de pages. Newton laissa à sa mort une masse exceptionnelle de manuscrits. Leur organisation en archives au sens moderne fut le résultat de deux siècles de dispersion et de répartition. Du côté de Leibniz, les documents conservés représentent quelque cinquante mille pièces et deux cent mille pages ; sa correspondance, environ quinze mille lettres échangées avec onze cents personnes. De qui a-t-on conservé les papiers de travail ? Quand les a-t-on catalogués ? Quelles parties les éditeurs ont-ils pu consulter ? Les réponses changent directement l’histoire des découvertes que les générations suivantes écrivent.

C’est aussi pour cette raison que le verdict de la querelle de priorité a pu être révisé aux XIXe et XXe siècles.

5. L’accroissement

Revenons à Berkeley.

Voici comment les manuels de l’époque contournaient le zéro divisé par zéro de la deuxième section.

Pour calculer à quelle vitesse une grandeur change à un instant donné, on ne prend pas tout de suite l’instant. On prend un petit intervalle. On augmente un peu la variable indépendante ; ce petit supplément s’appelle l’accroissement.

Il doit être non nul. On va en effet diviser par lui, et l’on ne peut pas diviser par zéro.

La division faite, il reste dans l’expression quelques termes qui contiennent encore cet accroissement. Le calculateur déclare alors qu’il s’est évanoui. Il écarte ces termes, et voici la réponse.

Berkeley dit : vous avez changé d’hypothèse en douce, à l’intérieur d’un seul raisonnement.

Quand il faut diviser, l’accroissement existe. Quand il faut obtenir une belle réponse, il n’existe plus.

S’il était nul dès le départ, la division précédente était illégitime. S’il ne l’était pas, de quel droit traitez-vous ensuite les termes qui le contiennent comme des zéros ?

La force de l’accusation est d’être aussi précise. Elle ne vise pas la question philosophique de savoir ce qu’est ce petit quelque chose. Elle vise les lignes sur le papier : à la première, il doit être non nul ; à la troisième, il doit être nul. Entre les deux, aucune phrase ne dit quand il a changé.

Puis vient la formule la plus célèbre.

Berkeley demande d’abord : qu’est donc cette quantité dont vous parlez ? La vitesse des accroissements en train de s’évanouir ? Ces accroissements eux-mêmes ne sont alors ni des grandeurs finies ordinaires, ni quelque chose que l’on puisse simplement déclarer nul.

Et il lance : peut-on les appeler les fantômes de quantités disparues ?

Ce n’est pas un bon mot isolé, un trait d’esprit injurieux jeté au passage. La formule condense toute l’attaque logique. Le calcul a eu besoin de ces quantités pour effectuer une opération légitime ; à la fin de la preuve, elles sont déclarées disparues, mais le résultat du calcul demeure.

La chose est morte. Son effet est toujours là.

La métaphore possède une autre intention, moins souvent relevée. Sous la plume d’un évêque, le mot « fantômes » n’est pas choisi au hasard. Berkeley montre du doigt des gens qui se moquent des réalités invisibles de la religion et leur dit : vos propres calculs sont habités par des êtres invisibles. Réduire la phrase à une raillerie contre l’absurdité des infinitésimaux émousserait la pointe de son argument. Le coup a cependant une portée déterminée.

Il touche avec une grande précision certaines présentations de manuel du calcul infinitésimal naïf. Cela ne revient pas à avoir abattu les raisonnements des Principia sur les rapports derniers. Newton peut répondre : je n’ai jamais dit qu’il restait à la fin une quantité à la fois non nulle et égale à zéro. Je parle de ce vers quoi tend un rapport lorsque les grandeurs tendent à s’évanouir. C’est justement la voie que suivront plusieurs de ses défenseurs.

Ce n’est donc pas la version la plus prudente de Newton que le coup atteint, mais la version la plus largement diffusée. Or la version la plus diffusée était aussi celle que les étudiants apprenaient.

La zone la plus fragile d’une discipline n’est souvent pas son étage le plus profond, mais ce qu’elle enseigne aux débutants. L’étage profond a ses gardiens. L’enseignement destiné aux débutants a déjà été simplifié ; dans la simplification, on a justement perdu les phrases qui expliquaient pourquoi l’opération était permise.

6. Ce que Berkeley voulait faire

Nous pouvons maintenant dire pourquoi Berkeley écrivit son livre.

Il combattait depuis longtemps les libres-penseurs de son époque. Ceux-ci opposaient souvent la clarté et la certitude des mathématiques et de la philosophie naturelle aux mystères, à la grâce et aux propositions de foi du christianisme. Sa stratégie n’était pas de prouver l’inutilité des mathématiques. Il voulait retourner leur arme épistémologique contre eux.

Vous dites n’accepter que des choses claires, intelligibles, rigoureusement déduites étape par étape. Très bien. Expliquez donc, selon ce même critère, les fluxions, les accroissements évanouissants et les infinitésimaux dont vous vous servez tous les jours.

La comparaison du sous-titre n’avait donc rien d’un ornement. Berkeley voulait établir une symétrie : si la pratique des mathématiciens pouvait produire des résultats fiables à partir de concepts mal éclaircis, la seule existence de choses qui ne se laissent pas entièrement saisir par des concepts ne pouvait suffire, automatiquement, à rejeter la religion.

Il employait même sans cesse un vocabulaire théologique pour ironiser sur l’analyse, plaçant la foi, les mystères et les objets incompréhensibles des mathématiciens à côté des concepts religieux qu’ils attaquaient.

On ne peut donc en faire un logicien du XVIIIe siècle qui aurait découvert en avance la future langue des limites. C’était d’abord un philosophe et un évêque. La question des fondements mathématiques servait ici une contre-attaque épistémologique dirigée contre les libres-penseurs.

Cette position lui permettait justement de mieux voir. Le professionnel utilise l’algorithme chaque jour, et chaque jour il obtient des réponses justes. L’homme venu du dehors ne lit que les étapes sur le papier, sans la confiance née de l’habitude. La critique mathématique est réelle ; le dessein religieux l’est aussi. Ces deux explications ne s’excluent pas.

Le présenter comme un charlatan religieux qui utilise les mathématiques pour attaquer la science, ou comme un logicien qui se trouve accessoirement évêque, ferait perdre dans les deux cas la raison même d’écrire ce livre.

Et c’est le point essentiel de cet épisode. Un homme qui exploite une faille des mathématiques pour défendre la théologie a raison, en mathématiques.

Les deux moitiés de la phrase doivent être vraies pour qu’elle ait un intérêt. S’il avait tort en mathématiques, ce ne serait qu’une protestation qui manque sa cible. Sans dessein théologique, ce serait une critique savante ordinaire. Il faut les deux pour qu’existe ce livre. Mais jusqu’où avait-il raison ?

L’histoire traditionnelle des mathématiques lui témoigne beaucoup de respect. Contre les formulations qu’il visait effectivement, sa critique touche dans l’ensemble juste et possède une force considérable dans le contexte de l’époque. Cela vaut tout particulièrement pour les présentations qui divisent d’abord par une quantité non nulle avant de l’éliminer comme nulle, ou qui utilisent des infinitésimaux d’ordre supérieur sans en expliquer le statut logique. Les dernières décennies ont toutefois apporté des corrections importantes à ce jugement.

Les historiens de Leibniz soulignent que Berkeley assimilait souvent l’infinitésimal à une petite quantité du type d’un nombre réel ordinaire, puis lui demandait de satisfaire simultanément des propriétés incompatibles. Leibniz disposait, lui, d’une loi de continuité et de règles concernant les termes d’ordre supérieur, qui expliquaient pourquoi on ne retenait que les termes du même ordre dominant. Inversement, d’autres études soulignent que les raisonnements de Berkeley expliquant la justesse des résultats par la compensation de deux erreurs n’étaient pas davantage pleinement satisfaisants.

La conclusion la plus solide est donc celle-ci : Berkeley a découvert un véritable problème de fondements et de nombreuses formulations contemporaines insuffisantes. Il n’a pas prouvé que le calcul infinitésimal était nécessairement contradictoire. Encore moins a-t-il fourni une théorie moderne des limites. Lui donner complètement tort ou lui accorder une victoire totale ne correspond pas aux recherches actuelles. Un effet de son livre est cependant certain : il a suscité des réponses immédiates et durables, concentrant davantage la discussion publique sur cette question, pourquoi ce calcul est-il juste ? On ne peut pour autant faire de toutes les recherches ultérieures sur les fondements une conséquence de ce seul ouvrage.

Au cours des cent années suivantes, au moins quatre réponses vraiment différentes furent proposées et prises au sérieux.

7. Ailleurs

Avant de poursuivre, remontons de trois cents ans et déplaçons-nous à l’extrémité sud de l’Inde.

Une tradition s’y développa, que les historiens actuels appellent l’école du Kerala. Le nom désigne un réseau de maîtres et de disciples, de familles, de commentaires et de préoccupations astronomiques partagées. N’imaginons pas une académie avec un bâtiment et une carte de membre.

Si cette tradition entre dans cet épisode, ce n’est pas pour établir qui est arrivé le premier. C’est qu’elle pose la même question des critères, plus tôt que du côté européen, et sous une forme encore plus difficile à trancher. Ses textes donnent des raisons, mais des raisons d’une autre forme que celles de l’Europe. Puisqu’il y a des raisons, on ne peut dire qu’ils devinaient simplement des formules. Puisque ces raisons ont une autre forme, on ne peut dire non plus qu’ils possédaient déjà le système ultérieur. Le premier personnage central de cette tradition serait né vers 1340 et mort dans les années 1420. Plusieurs générations le suivirent.

On trouve dans cette tradition des séries entières infinies que nous reconnaissons aujourd’hui comme celles du sinus, du cosinus et de l’arctangente. Une valeur particulière de l’arctangente fournit aussi une série alternée pour calculer pi. Des termes correctifs rendent ce calcul plus efficace. Écrites dans notre notation, ces séries sont identiques ou équivalentes aux séries correspondantes apparues plus tard dans les mathématiques européennes.

Pour les dates, le plus sûr n’est pas d’attribuer à chaque formule un faux jour de découverte. Des textes postérieurs rapportent explicitement plusieurs résultats centraux au premier personnage de la tradition : on peut donc en situer l’origine entre la fin du XIVe et le début du XVe siècle. Mais les plus anciens témoignages écrits complets qui subsistent sont souvent postérieurs d’une ou deux générations.

Il faut distinguer deux choses. Que des textes ultérieurs attribuent expressément cette méthode à cet homme, nous en avons la preuve écrite. Que nous possédions aujourd’hui ses propres manuscrits du XIVe siècle, ce n’est pas un fait.

Ces résultats ne se réduisaient pas non plus à la découverte d’une jolie série. Ils servaient à établir des tables trigonométriques, à calculer pi et à effectuer des calculs astronomiques numériques. Plus important encore, on étudiait comment tronquer une série alternée très lente à converger, puis lui ajouter une correction afin d’obtenir une meilleure précision avec un calcul fini. Les textes ne contenaient-ils que des formules, ou expliquaient-ils pourquoi elles fonctionnaient ? Ils l’expliquaient. C’est même une raison majeure de la réévaluation de cette tradition au XXe siècle.

Le principal texte d’explication, composé dans la première moitié du XVIe siècle, met les raisons en avant jusque dans son titre. Il ne se contente pas d’aligner des formules. Il utilise la géométrie des arcs, partage les figures en de nombreuses petites parties, les compare, applique des règles de sommation des puissances et affine les divisions pour expliquer l’apparition des développements. Mais posséder une chaîne de raisonnements et posséder déjà une preuve moderne de convergence restent deux choses distinctes.

Ces raisonnements font appel à des intuitions géométriques et numériques : un petit arc se rapproche toujours davantage d’une grandeur plus simple ; une fois la division assez fine, l’erreur devient négligeable. Ils utilisent aussi des relations approchées concernant des sommes finies de puissances. On n’y trouve ni la complétude des nombres réels du XIXe siècle, ni une définition unifiée de la limite, ni une théorie générale de la convergence des séries.

Il en va de même pour l’Europe de la même époque. La lacune attaquée par Berkeley dans la cinquième section est du même type. Pour certains termes correctifs, des lectures modernes détaillées jugent même explicitement que les justifications traditionnelles ne convainquent pas selon les critères actuels.

L’épisode cinq rencontrait une querelle de même forme. On demandait alors si le raisonnement d’un commentateur comptait comme une preuve. Ici, on demande si cette tradition compte comme du calcul infinitésimal. La réponse dépend, là encore, des critères.

La conclusion de l’épisode cinq peut être reprise telle quelle : les mots déterminent si l’on met l’auteur dans la boîte « preuve » ; l’analyse des documents détermine ce qu’il y a réellement dans la boîte.

Pour un premier groupe d’historiens, la réponse est oui. Si le critère consiste à traiter les fonctions trigonométriques par des processus infinis, à obtenir des séries infinies à partir de variations locales, de sommations et de raisonnements sur les aires, puis à étudier les troncatures finies, cette tradition possède suffisamment de structures essentielles.

Un second groupe, plus réservé, parle d’idées de calcul infinitésimal plutôt que d’un calcul infinitésimal constitué. Son critère est plus systématique : un calcul arrivé à maturité demande davantage que les séries entières de quelques fonctions. Il lui faut des concepts généraux de différentiation et d’intégration, leur lien systématique, ainsi qu’un cadre qui ramène de nombreux problèmes nouveaux à des algorithmes communs. Une troisième position mérite une attention particulière en histoire : peut-être la question elle-même est-elle trop européenne.

Demander de chaque tradition mathématique locale ce qui lui manque encore pour devenir le système ultérieur risque de transformer ses objectifs astronomiques, ses façons d’argumenter, sa tradition de calcul trigonométrique et ses structures linguistiques en tableau d’avancement vers une destination située ailleurs.

Il ne convient donc pas de dresser ici un classement des véritables inventeurs. Les attributions divergent surtout parce que les critères de classement divergent, et non parce qu’un camp ignorerait l’existence de ces séries. Les chercheurs des deux côtés savent qu’elles sont là. Leur désaccord porte sur le nom à donner à une tradition qui les possède.

C’est la troisième fois que la série rencontre cette question : comment faut-il appeler cela ? Dans l’épisode trois, ce livre marquait-il la naissance de la méthode axiomatique ? Dans l’épisode cinq, ces commentaires étaient-ils des preuves ? Ici, ces séries constituent-elles un calcul infinitésimal ? Dans les trois cas, le désaccord ne porte pas seulement sur la quantité de documents disponibles. On mesure avec des règles différentes. Et la règle reste toujours dans les mains de ceux qui viennent après. Le thème est déjà revenu plusieurs fois ; il pèsera plus lourd encore par la suite. Reste la transmission.

Une hypothèse a été proposée : aux XVIe et XVIIe siècles, les Portugais avaient créé un réseau maritime dans l’océan Indien ; les missionnaires présents dans la région avaient des besoins concrets en calendriers, en astronomie et en données de navigation. Ils avaient donc des occasions et des raisons d’entrer en contact avec les calculateurs astronomiques locaux et leurs textes. Trois types d’arguments soutiennent surtout l’hypothèse : les routes existaient, les besoins existaient, les dates rendaient la rencontre possible. Mais entre des navires, des missionnaires et des mathématiques semblables d’une part, et la transmission effective de cette formule d’autre part, il manque précisément le maillon dont l’histoire a le plus besoin.

On n’a trouvé à ce jour aucune traduction européenne, lettre, copie, note d’étude, mention dans un catalogue de bibliothèque ni citation explicite d’un mathématicien européen, datant du XVIe ou du XVIIe siècle, qui permette de suivre sans rupture une série donnée depuis un texte indien précis jusqu’à l’Europe. Les documents disponibles n’établissent donc pas une chaîne continue de preuves montrant que ces séries particulières furent transmises à l’Europe durant ces deux siècles et influencèrent les découvertes correspondantes.

Cela ne prouve pas que la transmission était absolument impossible. Une transmission dont aucune trace n’a survécu peut évidemment avoir eu lieu. Cela signifie seulement qu’au vu des preuves actuelles, on ne peut faire passer cette possibilité au rang de fait établi.

Ces documents revinrent à l’attention des savants européens lors d’une communication en décembre 1832, publiée en 1834 dans la revue d’une société d’études orientales. Son auteur était un fonctionnaire de la Compagnie des Indes orientales. Son jugement était audacieux : les textes auraient déjà posé les fondements d’un système complet de fluxions. Ce vocabulaire du XIXe siècle annonçait à lui seul la querelle ultérieure sur ce qui mérite le nom de calcul infinitésimal.

Son article ne réécrivit pourtant pas aussitôt l’histoire européenne des mathématiques. Les ouvrages dominants l’intégrèrent très peu pendant longtemps. Il fallut attendre la fin des années 1940 et au-delà pour que reprennent les publications, les traductions et les analyses.

Dire qu’il révéla le premier la vérité à l’Occident avant d’être délibérément étouffé serait, là encore, trop théâtral. Il reconnut très tôt l’importance des documents. Mais son article circulait à la périphérie des réseaux disciplinaires, les textes originaux étaient difficiles à lire, les éditions critiques manquaient et l’histoire des mathématiques du XIXe siècle possédait déjà son propre cadre narratif. Tout cela empêcha longtemps la formation d’une tradition de recherche continue. Aucune explication psychologique unique de cet oubli n’est étayée par les documents. Il n’est généralement pas nécessaire que quelqu’un étouffe une piste pour qu’elle reste ignorée pendant cent ans.

On retrouve le même mécanisme de conservation que dans les épisodes précédents. Les manuscrits sur feuilles de palmier doivent être périodiquement recopiés et entretenus. L’humidité, la chaleur, les insectes et l’usure les rendent particulièrement fragiles. Si un texte traverse plusieurs siècles, c’est souvent parce qu’on n’a cessé de le recopier, pas parce qu’une feuille du XIVe siècle est arrivée intacte jusqu’à nous.

Un manuscrit conservé du XVIe siècle et un texte composé au XIVe ne fournissent donc pas la même preuve de datation. Et pour qu’un texte reste dans l’ombre, il suffit qu’il soit publié au mauvais endroit, dans une langue inaccessible, que l’original soit difficile à lire et que la discipline ait déjà sa propre manière de raconter l’histoire.

8. La rigueur a-t-elle changé de sens ?

Revenons au siècle qui suivit Berkeley. Les mathématiciens ne passèrent pas les cent années suivantes à calculer comme si de rien n’était.

La riposte commença l’année même. En 1734, un texte intitulé La géométrie n’est pas l’amie de l’incroyance défendit Newton et les mathématiciens britanniques. Les deux camps échangèrent ensuite leurs publications. Cette guerre de brochures finit par remplir un nombre considérable de pages. Elle apportait surtout des éclaircissements polémiques, plutôt qu’une reconstruction complète des fondements.

L’année suivante, un autre auteur suivit une voie plus mathématique. Sa stratégie centrale consistait à reconnaître ceci : si la méthode de Newton repose sur de mystérieux infinitésimaux réellement existants, les objections sont effectivement graves. Mais rien n’oblige à lire de cette façon sa méthode la plus mûre. Il faut la comprendre à partir des rapports premiers et derniers des variables, ou de processus de limite. Au lieu de défendre les infinitésimaux, il soutenait donc que la véritable méthode de Newton n’était pas celle que l’on attaquait.

Le livre de 1742 fut la réponse britannique la plus ample et la plus sérieuse techniquement. Deux volumes, plus de sept cents pages de texte principal. Son auteur y employait abondamment la géométrie classique, l’idée d’exhaustion, les proportions et des raisonnements de type limite. Il voulait montrer qu’on pouvait fonder les fluxions sur les variations de grandeurs finies et sur des processus de limite maîtrisables, sans recourir à un infinitésimal qui existerait et n’existerait pas à la fois. L’ouvrage ne se bornait pas à répondre à Berkeley. Il tentait de donner à toute l’analyse des fondements qu’on puisse défendre publiquement.

Sept cents pages, beaucoup de géométrie classique. Pour défendre un algorithme développé quelque soixante-dix ans auparavant, il revenait à une langue vieille de deux mille ans.

L’épisode trois expliquait pourquoi cette langue passait pour la forme d’une preuve fiable. Ici, elle devenait la dernière ligne de défense.

Au milieu du XVIIIe siècle, d’Alembert plaça explicitement les limites au fondement du calcul. Il refusait de traiter les infinitésimaux comme des entités mystérieuses. Ce qui importe réellement au calcul différentiel, affirmait-il, c’est la valeur vers laquelle tend le rapport de différences finies lorsque l’accroissement tend vers zéro. Une de ses formules est souvent citée : la théorie des limites est la véritable métaphysique du calcul différentiel. Autrement dit : cessez de demander ce qu’est ce petit quelque chose ; demandez vers quoi il tend. On approche déjà beaucoup de l’orientation du XIXe siècle, sans disposer encore de sa langue précise.

Pour Lagrange, même « tendre vers » restait trop géométrique, trop métaphysique.

En 1797, il tenta de transformer entièrement le calcul infinitésimal en algèbre des grandeurs finies. Il développait une fonction en série entière après un changement de sa variable, définissait le coefficient du terme du premier degré comme la première fonction dérivée, puis poursuivait de la même façon. En apparence, on n’avait plus besoin ni de fluxions, ni d’infinitésimaux, ni même de limites. Le sous-titre de son livre annonçait précisément la libération des principes du calcul différentiel à l’égard des infiniment petits, des quantités évanouissantes, des limites et des fluxions.

L’échec devint clair par la suite : la dérivabilité, même à tous les ordres, ne garantit pas qu’une fonction puisse être représentée par sa propre série dans un voisinage. Et même lorsqu’une série entière existe formellement, il reste à prouver sa convergence et à établir le comportement du reste après troncature. C’est justement ce que l’algèbre formelle ne peut garantir à elle seule.

Lagrange avait en réalité pris pour prémisse fondamentale l’existence du développement nécessaire. Il échangeait ainsi la difficulté des limites contre un problème de séries qui exigeait, lui aussi, des justifications relevant de la théorie de l’analyse.

C’est un échec net, qui mérite qu’on s’en souvienne. Il n’avait ni mal calculé ni travaillé paresseusement. Il avait déplacé une difficulté vers un autre endroit, aussi difficile que le premier. Nous avons rencontré un geste de même forme dans l’épisode sept : renvoyer le problème à la sémantique pour ne pas avoir à répondre à la question la plus dure. Cette fois, on le renvoyait aux formes. Elles ne purent pas l’absorber.

Nous pouvons maintenant poser la question. Le mot « rigueur » a-t-il changé de sens au XIXe siècle, si bien que les générations suivantes ont déclaré rétrospectivement leurs devanciers peu rigoureux ?

L’épisode trois examinait déjà une question de cette forme. Sa conclusion était que les Anciens n’avaient pas regardé au mauvais endroit : le mot « rigueur » avait changé de sens, et ce changement avait déplacé le problème de ce qui était explicitement dit vers ce qui ne l’était pas. La réponse sera ici plus complexe, car deux propositions sont vraies à la fois.

Les éléments en faveur de l’analogie sont solides. Pour Newton, la géométrie synthétique classique représentait la preuve fiable. Leibniz accordait une grande importance aux règles générales du calcul symbolique. La génération d’Euler accordait de plus en plus à la généralité des formes et à la fécondité du calcul une place parmi les éléments qui étayaient les résultats mathématiques. Le courant du XIXe siècle exigeait toujours davantage que limite, continuité, convergence et fonction soient chacune formulées par des conditions explicites. Ce qu’on juge manquant dans une preuve varie réellement selon les époques. Mais on ne peut pousser l’analogie trop loin.

Le problème n’a pas attendu que les mathématiciens du XIXe siècle inventent de toutes pièces des exigences nouvelles, puis retournent chercher les fautes de leurs ancêtres.

La nouvelle analyse était attaquée dès la fin du XVIIe siècle. En 1734, Berkeley signala l’incohérence du raisonnement sur les accroissements ; deux auteurs estimèrent aussitôt nécessaire de répondre. D’Alembert chercha explicitement le véritable fondement. En 1797, Lagrange voulait encore se débarrasser entièrement des infinitésimaux, des limites et des fluxions. Les acteurs du XVIIIe siècle savaient eux-mêmes qu’il existait un problème de fondements. Le fait qu’ils aient apporté des réponses différentes en est une preuve. Si tout le monde avait trouvé que tout allait bien, personne n’aurait écrit sept cents pages.

Newton en offre lui-même un exemple. Dans ses œuvres de maturité, il souligne que les fluxions sont finies, réelles, et insiste pour les représenter de préférence par des segments finis que l’œil peut voir, plutôt que par des objets infiniment petits. Ces mises au point répétées montrent qu’il savait devoir répondre à la question du statut des objets infinitésimaux.

Il faut donc écrire les deux propositions ensemble. Les générations suivantes ont réellement modifié les critères techniques de la rigueur ; on ne peut ériger les exigences de la seconde moitié du XIXe siècle en tribunal éternel. En même temps, les mathématiciens des XVIIe et XVIIIe siècles avaient eux-mêmes repéré des raisonnements qui demandaient une explication. Le défaut de rigueur n’est donc pas non plus une accusation entièrement fabriquée après coup. Le véritable contenu de cet épisode se trouve entre ces deux propositions.

Les anciens ne manquaient pas de discernement ; les successeurs n’étaient pas excessivement sévères. Un ensemble d’outils avait pris de l’avance sur sa propre explication. L’écart était visible pour ceux qui s’en servaient comme pour ceux qui vinrent après, même s’ils ne le voyaient pas de la même manière.

Et pendant ce temps, qu’avait donc accompli cet outil dont les fondements ne cessaient de bouger ?

La mécanique de Newton fut réécrite en mécanique analytique, susceptible de calculs systématiques. En 1736, un auteur organisa le mouvement des points matériels par des méthodes analytiques ; d’autres firent ensuite des systèmes soumis à des contraintes, des déplacements virtuels, des équations différentielles et des méthodes variationnelles des outils généraux. Un livre de 1788 marqua un aboutissement symbolique : la mécanique classique pouvait de plus en plus se calculer à partir d’équations générales, sans réinventer, pour chaque problème, une construction géométrique à la manière des Principia.

La mécanique céleste donne particulièrement bien la mesure du changement. Les Principia avaient dégagé la structure essentielle du modèle idéal à deux corps. Le système solaire réel, lui, pose des problèmes de perturbations à plusieurs corps. Au milieu du XVIIIe siècle, les approximations d’ordre supérieur de la précession du périgée lunaire devinrent un temps décisives pour mettre à l’épreuve la loi de gravitation. Dans le traité en cinq volumes dont la publication commença à la fin du siècle, les perturbations planétaires, la Lune, les marées, la forme de la Terre et la stabilité à long terme entraient déjà dans un vaste système analytique.

On ne se contentait donc plus de traduire Newton dans une nouvelle notation. On construisait quelque chose qu’il ne possédait tout simplement pas en 1687.

Les fluides, l’élasticité, les vibrations progressaient chacun de leur côté. En 1822, Fourier publia un livre sur la chaleur. Il décrivait les flux thermiques par des équations aux dérivées partielles et représentait des distributions de température extrêmement variées par des séries trigonométriques. Il avait accompli l’essentiel de ce travail durant ses années de préfet de l’Isère et l’avait soumis à l’Académie des sciences dès la fin de 1807. En 1812, le travail reçut le prix de l’Académie. Le rapport estimait pourtant que la façon d’obtenir les équations n’était pas exempte de difficultés et que l’analyse de leur résolution restait insuffisante en généralité, voire en rigueur. Le livre ne remodela pas seulement la physique : il obligea en retour les mathématiciens du XIXe siècle à repenser les fonctions, la convergence des séries, les opérations terme à terme et la définition de l’intégrale. La question des fondements cessait d’être une provocation extérieure lancée par un philosophe. Elle devenait un problème mathématique imposé par le succès même de la physique.

La réalité n’est donc pas qu’un outil dépourvu de rigueur aurait soutenu deux siècles de physique. C’est qu’un ensemble d’outils analytiques, aux fondements encore non unifiés et aux critères locaux de preuve sans cesse changeants, avait mûri bien plus vite que sa propre théorie des fondements. En 1734, Berkeley demandait : de quel droit prétendez-vous être plus clairs que moi ? Cent ans plus tard, ce qui lui répondait n’était pas la philosophie. C’étaient les choses calculées avec les outils qu’il attaquait, et calculées juste. Il y en avait désormais trop pour que quiconque puisse se dispenser de les expliquer.

La précession de la Lune, les perturbations des planètes, le mouvement des fluides, la flexion des poutres, la forme d’une corde qui vibre, la propagation de la chaleur dans un morceau de métal. Les résultats s’empilaient, un à un. Arriva un moment où ne pas savoir expliquer pourquoi ils étaient justes ne pouvait plus être un problème légué à la génération suivante. Car cette génération allait calculer davantage encore. Et plus on calcule, moins on peut supporter qu’une voix, à côté, demande : de quel droit ?

Ce qui força finalement la réponse ne fut pas cette seule question. Ce fut le siècle de résultats calculés après qu’elle avait été posée. Une discipline finit généralement par réparer ses fondations, non parce que quelqu’un lui signale qu’elles se sont effondrées, mais parce que ce qu’on a construit dessus pèse trop lourd.

Les calculs se poursuivent. Quant à ce qui compte comme mathématiques, le compte n’a jamais été arrêté.

Sources historiques et lectures complémentaires

Les documents ci-dessous éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation de cet épisode. Notices de collections, textes anciens et reconstructions modernes ne constituent pas le même type de preuve.

• Berkeley, L’Analyste : texte original en ligne
• Documents originaux de la controverse de L’Analyste
• Newton, compte rendu du Commercium Epistolicum : notice du manuscrit
• Manuscrit de Newton sur la controverse : transcription intégrale
• Newton Project : introduction aux textes conservés
• Commission allemande pour l’UNESCO : correspondance de Leibniz
• Whish, étude originale sur la quadrature du cercle en Inde
• Singh, étude sur l’Inde et le calcul des fonctions trigonométriques
• Maclaurin, Traité des fluxions : introduction