Infinitesimales y falta de rigor

1 Un obispo

En 1734, un obispo publicó un pequeño libro contra la herramienta matemática que más éxitos cosechaba en aquel momento.

Se llamaba George Berkeley. Era irlandés y ese mismo año lo nombraron obispo de Cloyne. En la historia de la filosofía tiene otra fama: sostuvo que no cabe hablar de las llamadas cosas al margen de su percepción. Más de un siglo después, una ciudad norteamericana recibió su nombre.

Pero este pequeño libro estaba dirigido a los matemáticos.

Se titulaba El analista. Su largo subtítulo venía a preguntar si los objetos, los principios y las inferencias del análisis moderno eran de verdad más claros y estaban deducidos de manera más evidente que los misterios de la religión y las proposiciones de la fe. Iba dedicado a un matemático no creyente.

El subtítulo dejaba casi todo el rumbo del libro escrito en la portada. No era un libro para explicar matemáticas, sino para preguntar qué las hacía fiables; y lo que movía al autor a preguntarlo venía de fuera de ellas. Un obispo atacando las matemáticas suena a otra representación del viejo drama entre Iglesia y ciencia. Esta vez no era ese drama.

Al menos, no en su versión habitual. Berkeley no decía que las matemáticas estuvieran equivocadas ni que hubiera que dejar de hacerlas. Decía: hay un punto de su oficio que ustedes no saben explicar, aunque suelen exigir a los demás que lo expliquen todo con claridad.

¿Quién era aquel matemático no creyente? El candidato más habitual es Halley. Pero se trata de una identificación inferida, no de un nombre que figure en la dedicatoria. Newton es un candidato muy poco plausible: había muerto en 1727. Y hay algo más importante. Berkeley también preguntaba en el libro por qué algunos elogiaban las matemáticas de aquel gran autor mientras se burlaban de su religión. Esa referencia al gran autor distingue claramente al devoto Newton del no creyente al que se dirige. Volveremos a sus motivos para escribir el libro en la sexta sección.

El libro le valió después bastantes réplicas. La mayoría de quienes respondieron rodearon el punto decisivo sin entrar en él.

Digamos primero algo más importante: tenía razón.

No en todo, y tampoco había demostrado que el cálculo infinitesimal fuera contradictorio. Pero la maniobra lógica que señaló existía: se repetía en manuales y demostraciones de la época, y los propios matemáticos no coincidían en cómo explicarla.

Para ver lo extraño de la situación, primero hay que saber qué lugar ocupaba entonces la herramienta que atacaba.

Llevaba apenas medio siglo de vida y ya había calculado planetas en el cielo, parábolas en la tierra, períodos de péndulos y corrientes de agua. Era la herramienta más eficaz de su tiempo. Tan eficaz que la mayoría ni siquiera tenía ganas de preguntar por qué funcionaba.

Y entonces salió un filósofo que conocía aquellos argumentos, aunque no se dedicaba profesionalmente a investigar en matemáticas, y dijo: ese paso que ustedes dan en medio no se sostiene. Durante el siglo siguiente, al menos cinco grupos intentaron contestarle. Entre quienes lo hicieron estaban el mejor matemático británico de entonces, uno de los directores de la Enciclopedia francesa y un profesor que escribió más de setecientas páginas para responder a la cuestión.

Vale la pena insistir: quien había planteado el problema no tenía la investigación matemática como oficio. Era filósofo y obispo, y atacaba las matemáticas porque quería defender la religión. Vista desde hoy, ninguna de las respuestas que recibió fue definitiva.

Un tipo de respuesta que después serviría de base a los manuales habituales solo fue madurando a lo largo del siglo XIX. Y lo que cambió no fue un argumento aislado, sino todo el lenguaje con que se decía qué era un límite, qué era la continuidad y qué era la convergencia. No se respondió averiguando qué era, en el fondo, aquella cantidad que desaparecía. Se redefinieron las palabras de tal modo que ya no hiciera falta plantear la pregunta.

2 Generación y diferencias

Veamos primero qué atacaba. Alguien recorre un trayecto. Preguntar a qué velocidad ha caminado durante ese minuto no presenta ninguna dificultad: se divide la distancia recorrida en ese minuto entre un minuto.

Pero ¿a qué velocidad caminaba en un instante concreto?

Un instante no tiene duración. La distancia recorrida en él es cero, y el tiempo empleado también es cero.

Cero dividido entre cero.

Eso es lo que aquellos dos hombres del siglo XVII tuvieron que afrontar, cada uno por su cuenta. Y lo afrontaron de maneras distintas.

Newton partió del movimiento. Para él, una línea, una superficie o un volumen se generan mediante algún movimiento continuo. La cantidad que buscaba era la rapidez con que crecía esa magnitud en un momento dado. La llamó fluxión: literalmente, el número que fluye. La magnitud fluye, y ese número registra con qué rapidez lo hace.

Detrás de esas palabras hay una imagen: el mundo se mueve, las magnitudes crecen. La imagen puede ser errónea, pero al menos es una imagen; hay algo que señalar. Además, Newton insistió después una y otra vez en que buscaba una velocidad finita. No estaba afirmando que el mundo se compusiera de fragmentos tan pequeños que ya no pudieran hacerse más pequeños.

Leibniz partió de las diferencias. Dos magnitudes están vinculadas: una cambia un poco y la otra cambia con ella. Le interesa la razón entre esos dos cambios. No pretende fijar de una vez cuánto mide ese poco; dice que es una diferencia tan pequeña que no se puede asignar su tamaño.

¿Existe de verdad esa pequeña diferencia? Leibniz no siempre respondió igual. A veces la trató como una cantidad ideal útil, o como una ficción: lo decisivo era operar según las reglas correctas, pues el resultado podía traducirse de nuevo a relaciones entre magnitudes finitas ordinarias. Reaparece la palabra del episodio anterior. Llamar ficción a algo no lo expulsa: le concede una condición bajo la cual puede quedarse. Entre un episodio y otro hay cien años. Cambia el objeto; el modo de alojarlo sigue siendo el mismo.

Los dos métodos acabaron siendo traducibles entre sí. Eso no significa que en el siglo XVII constituyeran un mismo sistema conceptual.

Tampoco partían de las mismas preguntas. Entre los núcleos del trabajo temprano de Newton estaban la cuadratura de curvas, las series infinitas y el paso de una ecuación a las tasas de movimiento, así como el camino inverso de las tasas a las magnitudes. Su filosofía natural estrechó además el vínculo entre fluxiones y movimiento. La entrada pública de Leibniz en 1684, en cambio, fueron las tangentes, los extremos y un algoritmo general que no se detenía ante radicales ni fracciones. Alguien resumió después la diferencia que percibían sus contemporáneos: en la práctica, los dos métodos no eran equivalentes.

Nos resulta fácil verlos como dos escrituras de lo mismo, porque los manuales actuales permiten pasar libremente de una notación a otra. Pero que la conversión sea posible y que sus contemporáneos los consideraran una misma cosa son dos asuntos distintos. La notación, además, tiene su propio calendario.

Los apuntes privados de Leibniz permiten remontar la formación de esa notación a 1675. En octubre comenzó a utilizar aquella letra alargada que terminaría siendo el signo de la integral, tomada de la palabra latina que significa suma. En noviembre tomó forma la escritura que expresaba los cambios de las variables mediante pequeñas diferencias. Pero las fechas de publicación importan más: en 1684 apareció el algoritmo diferencial; la notación integral no entró oficialmente en sus artículos públicos hasta 1686. El célebre artículo de octubre de 1684 ocupaba, aproximadamente, las páginas 467 a 473 de la revista original. Unas siete páginas.

No era un tratado de fundamentos. Se parecía más a un anuncio muy condensado de un algoritmo nuevo: exponía las reglas de diferenciación, las aplicaba a tangentes y máximos y mínimos, y mostraba con ejemplos que aquello era una forma de cálculo que se podía poner a trabajar. Apenas contenía una fundamentación conceptual en el sentido de los manuales posteriores. Eso, precisamente, tiene un gran significado histórico. Lo primero que circuló fue un lenguaje que permitía calcular. Un lenguaje así podía recorrer Europa en pocos años. Una explicación clara tendría que esperar más de un siglo.

Y la velocidad de difusión y la velocidad de explicación no dependían de las mismas personas. Todo lo que sigue en este episodio ocurre en la distancia que se abrió entre una y otra.

Al final del episodio anterior decíamos que las matemáticas crean primero cosas con las que se puede calcular, pero que no saben explicar; luego vuelven sobre sus definiciones y las ensanchan para darles cabida. Allí hablábamos de una clase de objetos. Aquí hablamos de todo un método.

3 Por qué los Principia usan geometría

Los Principia de 1687 no empiezan con un sistema de ecuaciones de fluxiones.

Newton construyó argumentos geométricos de límite basados en razones primeras y últimas: las magnitudes geométricas se aproximan mediante un movimiento continuo, y ciertas razones tienden a una razón última antes de que las magnitudes desaparezcan. Lo decisivo no es suponer que al final queda un triángulo infinitesimal distinto de cero, sino examinar el límite al que tienden sus razones. El lenguaje dominante del libro lo forman segmentos, áreas, razones, figuras semejantes, cónicas y construcciones geométricas. La versión popular dice que Newton lo había calculado todo con cálculo infinitesimal y luego lo tradujo deliberadamente a la geometría clásica para que sus lectores lo entendieran.

Esa versión solo acierta en parte.

Ya de anciano, Newton sí afirmó que el nuevo análisis le había ayudado a encontrar la mayoría de las proposiciones de los Principia, y que después las había demostrado sintéticamente para darles la certeza que les daban los antiguos. Pero esa explicación nació durante la disputa con Leibniz y lleva consigo una construcción de su propia imagen metodológica. No puede leerse como un diario de cómo compuso cada proposición.

El estudio de los borradores correspondientes muestra que detrás de algunas proposiciones hubo técnicas de series, cuadratura e incluso fluxiones. Pero el libro entero no se puede reducir a un manual moderno de cálculo cifrado en geometría. Hay al menos cuatro razones para elegir ese lenguaje.

La primera es la jerarquía de las pruebas. Newton tendía cada vez más a entender los nuevos métodos como vías de descubrimiento y la geometría clásica como la forma de una demostración acabada. La tradición antigua que reconstruía en su mente permitía dejar el análisis en el taller y ofrecer al público una prueba sintética.

En el tercer episodio abordamos una cuestión afín: qué merecía el rango de principio. Aquí la pregunta cambia de nivel: qué merece presentarse como una demostración pública.

La segunda razón es el sentido físico. Newton no quería fundar las magnitudes básicas de la filosofía natural en indivisibles a los que no atribuía existencia geométrica ni natural. En un tratado específico insistió en que las magnitudes matemáticas pueden generarse mediante movimiento continuo, y en que la cantidad que buscaba era finita y real.

La tercera es el objeto de estudio de los propios Principia. Quería investigar las relaciones estructurales entre fuerzas, órbitas, velocidad areolar y movimiento celeste, no empezar por una teoría general de ecuaciones diferenciales. En ciertos problemas de fuerzas centrales, una construcción geométrica no era una traducción torpe: permitía mostrar directamente la estructura de la órbita y las relaciones de proporcionalidad.

La generación siguiente daría más valor a los algoritmos universales, las ecuaciones generales y los cálculos reproducibles. Pero ese criterio se fue formando con la generación siguiente. No conviene aplicarlo sin más a una decisión tomada en 1687.

La cuarta razón es la diferencia entre el método público y el privado. Los manuscritos del círculo de Newton muestran que podían acompañar algunas conclusiones con procedimientos de cálculo. Él dejó esas técnicas en los manuscritos, las cartas y el círculo de sus discípulos.

La pregunta no debería limitarse, por tanto, a si usó el cálculo infinitesimal a escondidas. Debería ser esta: dentro de su cultura de la demostración, ¿qué significaba dar por terminada una proposición de filosofía natural?

Cuando se formula esa pregunta, el libro cambia de forma ante nosotros. No es un manual de cálculo traducido a otro idioma. Es alguien que rehace una serie de descubrimientos de acuerdo con los criterios de prueba en los que cree. Separar descubrimiento y demostración: en el cuarto episodio, otro había escrito algo semejante, mil novecientos años antes. La diferencia es que aquel dejó escritos los dos métodos y dijo expresamente que el primero no constituía una prueba. Este dejó la parte correspondiente al descubrimiento dentro del taller.

4 La prioridad

Antes de 1676 no había una guerra abierta.

Ambos se escribían a través de un intermediario. En sus cartas, Newton hablaba de series y otros resultados; también ocultó parte de sus métodos en combinaciones de letras a modo de acertijo. Leibniz, por su parte, ya estaba desarrollando el algoritmo de diferencias en sus apuntes parisinos. Publicó el cálculo diferencial en 1684, y en los Principia de 1687 Newton todavía mencionó su método en términos bastante amistosos.

A comienzos de la década de 1690, alguien empezó a albergar sospechas en privado. En 1699 insinuó por primera vez en público que Leibniz había obtenido su método de Newton. Esa fecha suele tomarse como el comienzo de la disputa pública.

La segunda escalada llegó entre 1704 y 1705. Tras publicarse el Tratado de la cuadratura de las curvas como apéndice de la Óptica, una revista académica incluyó una reseña anónima que colocaba lado a lado las fluxiones de Newton y los diferenciales de Leibniz. Los partidarios de Newton entendieron su redacción como una insinuación inversa: que Newton había tomado ideas de Leibniz. La reseña suele atribuirse a Leibniz, aunque, cuando se le responsabiliza de palabras concretas, sigue siendo necesario recordar que se publicó sin firma.

Después, Keill escribió expresamente en un artículo de la Royal Society que Newton había sido el primer inventor de la aritmética de fluxiones y que Leibniz la había publicado más tarde con otro nombre y otra notación. La guerra velada se convirtió en una acusación directa de plagio. Desde ese momento ya no se discutía solo quién había calculado qué primero. Se discutía la reputación de una persona. Y la reputación no se puede repartir dejando media para cada cual. Dos personas pueden descubrir algo independientemente, pero los protagonistas estaban cada vez menos dispuestos a entender que el honor pudiera compartirse. Ahí estaba la verdadera razón por la que la disputa no admitía arreglo.

Además, sus situaciones eran muy distintas, y lo que estaba en juego no pesaba lo mismo para cada uno. Uno era profesor en Cambridge y más tarde pasó a trabajar en la Casa de la Moneda: tenía en sus manos la universidad, la sociedad científica y un cargo con poder efectivo. El otro era consejero de corte, bibliotecario y responsable de un proyecto de historia dinástica; cobraba un sueldo y arrastraba una historia familiar casi imposible de terminar. Presentarlos como dos profesores universitarios de matemáticas peleándose por una invención desfigura todo el contexto social.

En 1711, Leibniz presentó una queja formal ante la Royal Society. En marzo de 1712, la sociedad creó un comité. Importa mucho quiénes lo integraban.

Los registros conservados enumeran entre sus primeros miembros a varias personas con competencia matemática. Más tarde se sumaron otras, entre ellas un enviado prusiano. No todos eran hombres de confianza personal de Newton. Pero un hecho pesaba más que todos esos detalles: Newton era entonces presidente de la Royal Society.

Tampoco el procedimiento se parecía mucho a lo que hoy entendemos por presentación de pruebas de ambas partes, apartamiento por conflicto de intereses y evaluación independiente entre pares. El comité cotejó sobre todo cartas antiguas y copias conservadas por la sociedad y por aquel intermediario matemático. Newton suministró y organizó personalmente buena parte del material. No se invitó a Leibniz a explicar cada punto ante el comité ni se le concedió una capacidad de editar los documentos equivalente a la de Newton. El comité concluyó que el método de Newton era anterior y que aquella afirmación de prioridad no había perjudicado a Leibniz.

Los materiales se publicaron después en nombre de la sociedad.

La participación de Newton en la redacción no es algo que los historiadores hayan deducido simplemente de su condición de presidente. Entre los manuscritos de la disputa conservados en Cambridge hay borradores de su puño y letra, materiales ordenados por él y textos preparados para aquella recopilación. La descripción archivística señala además expresamente que esos documentos prueban que también fue suyo el artículo anónimo publicado después en la revista de la sociedad. Presidente, parte interesada, principal proveedor de documentos y redactor: entre esos cuatro papeles no existía ninguna de las separaciones que exigiría una institución moderna.

No hace falta usar ese hecho para condenar a nadie. Solo muestra una cosa: la investigación no estableció una separación suficiente en el procedimiento para apartar al principal interesado de la organización de los materiales y de la elaboración de las conclusiones. Tampoco hay un año de revelación súbita en que se descubriera todo.

De Morgan, que apareció en el episodio anterior, ya publicó en 1852 un artículo que atribuía a Newton aquel texto anónimo mediante pruebas textuales y bibliográficas. Después de que la familia de Newton entregara sus papeles científicos a Cambridge en 1872, muchos borradores de la disputa entraron en un proceso de ordenación sistemática. El catálogo publicado en 1888 permitió confirmar mejor, a partir de los manuscritos, hasta qué punto había intervenido. Entonces, ¿de dónde sale la conclusión de que ambos desarrollaron sus métodos de forma independiente? No de un reparto salomónico para ser justos. Sale de dos conjuntos de archivos independientes.

«Descubrimiento independiente» suena a fórmula diplomática. No lo es. Es la conclusión que resulta de comparar dos montones de papeles: dos notaciones, dos cronologías y las fechas que cada uno dejó por escrito.

Los manuscritos de Newton de la década de 1660 bastan para demostrar que su camino ya estaba abierto antes del de Leibniz. Los apuntes privados de Leibniz de alrededor de 1675, a su vez, permiten ver en qué problemas concretos fueron surgiendo su notación y su algoritmo diferenciales.

Si Leibniz hubiera recibido el método de Newton y se hubiera limitado a cambiarle los símbolos, esperaríamos ver una apropiación brusca. Lo que se conserva es otra trayectoria de trabajo, llena de intentos fallidos, cambios de notación y reorganizaciones conceptuales. Podemos ordenar la fuerza de las pruebas de este modo.

Que vio algunos materiales matemáticos de Newton está documentado: en el siglo XIX se encontraron en sus archivos copias de esos materiales hechas de su propia mano. Por tanto, no se sostiene que jamás hubiera visto trabajo alguno relacionado con el tema. Que sabía que Newton disponía de métodos muy potentes también se puede sostener. Que conocía todo el sistema de Newton antes de ponerse a trabajar por su cuenta en 1675 carece de pruebas directas fiables. Y que lo dedujo de esos materiales y luego lo hizo pasar por propio no encuentra apoyo en ningún documento.

También circula mucho la afirmación de que la disputa de prioridad detuvo las matemáticas británicas durante cien años. Tiene una base real, pero suele exagerarse.

La disputa sí convirtió las diferencias de método en diferencias nacionales. En el continente se adoptó cada vez más un lenguaje; en Gran Bretaña, el centro siguieron ocupándolo las fluxiones, las razones primeras y últimas y la autoridad de Newton. La literatura continental entraba allí con mayor lentitud.

Las pruebas en sentido contrario importan igual. Las matemáticas británicas no se paralizaron: aquella generación trabajó activamente en series, diferencias, teoría de fluxiones y análisis. Tampoco la notación de puntos de Newton impedía por sí misma calcular.

Lo razonable es decir que la disputa reforzó el aislamiento institucional y lingüístico entre las dos tradiciones y contribuyó a un declive relativo. Que Gran Bretaña eligió mal unos símbolos y por eso sus matemáticas durmieron cien años es una dramatización posterior. Hay además una razón material que encaja bien en este episodio.

Un artículo publicado puede ocupar unas pocas páginas; los papeles privados de trabajo pueden contarse por decenas de miles. Newton dejó al morir una cantidad extraordinaria de manuscritos, y el archivo en el sentido moderno solo se formó después de dos siglos de dispersión y división de esos papeles. De Leibniz se conservan unas cincuenta mil piezas documentales, doscientas mil páginas, alrededor de quince mil cartas y unos mil cien corresponsales. La conservación de los papeles de unos u otros, la fecha de su catalogación y las partes que llegan a ver los editores cambian directamente la historia del descubrimiento que escribirán los que vengan después.

Sin esa historia material no se entiende que en los siglos XIX y XX pudiera revisarse el veredicto de la disputa de prioridad.

5 El incremento

Volvamos ahora a Berkeley.

Los manuales de entonces esquivaban así la dificultad de cero dividido entre cero que vimos en la segunda sección.

Para calcular a qué rapidez cambia una magnitud en un momento dado, no se toma primero el instante, sino un intervalo pequeño. Se deja crecer un poco la variable independiente. A ese poco se lo llama incremento.

Tiene que ser distinto de cero, porque en el siguiente paso se va a usar como divisor, y no se puede dividir entre cero.

Hecha la división, todavía quedan en la expresión algunos términos que contienen ese incremento. Entonces quien calcula dice: el incremento ya ha desaparecido. Descarta esos términos y obtiene la respuesta.

Berkeley dice que eso equivale a cambiar de hipótesis a escondidas dentro de un mismo razonamiento.

Cuando hace falta dividir, existe. Cuando hace falta obtener una respuesta bonita, deja de existir.

Si era cero desde el principio, la división anterior no era válida. Si no era cero, ¿con qué derecho se consideran nulos después los términos que lo contienen?

La fuerza de la acusación está en lo concreta que es. No apunta a la pregunta filosófica de qué es, en definitiva, aquella cosa diminuta. Apunta a unas líneas escritas en el papel: en la primera tiene que ser distinta de cero; en la tercera tiene que ser cero. Y en medio no hay una sola frase que explique cuándo cambió.

Y entonces llega la frase más famosa.

Primero pregunta qué es exactamente esa supuesta cantidad. ¿La velocidad de unos incrementos que están desapareciendo? Esos incrementos, por su parte, ni son magnitudes finitas ordinarias ni pueden identificarse sin más con cero.

Y lanza la pregunta: ¿podríamos llamarlos fantasmas de cantidades difuntas?

No es una ocurrencia aislada para insultar con gracia. Condensa todo el ataque lógico: el cálculo ha necesitado esas cantidades para realizar una operación válida; al terminar la demostración se declara que han desaparecido, pero el resultado permanece.

La entidad ha muerto. Su efecto sigue presente.

La imagen tiene además una intención que se menciona menos. Un obispo no usa la palabra fantasmas por casualidad. Está señalando a quienes se burlan de la religión por albergar cosas invisibles, para decirles: en sus propios cálculos también vive un grupo de cosas que no se ven. Reducir la frase a que Berkeley se mofaba de lo absurdo de los infinitesimales le quita el filo al argumento. Pero el golpe tiene un alcance preciso.

Acierta con extraordinaria precisión contra ciertas exposiciones de manual del cálculo infinitesimal ingenuo. Eso no equivale a haber derribado los argumentos de razones últimas de los Principia. Newton podía responder: nunca he dicho que al final quede una cantidad que sea a la vez distinta de cero e igual a cero. Hablo de aquello a lo que tiende una razón cuando las magnitudes tienden a desaparecer. Esa será precisamente la vía que tomen después varios de sus defensores.

Así que el golpe no alcanza la versión más cuidadosa de Newton, sino la que más circulaba entonces. Y la que más circulaba era justamente la que aprendían los estudiantes.

El punto más vulnerable de una disciplina muchas veces no está en su nivel más profundo, sino en lo que enseña a los principiantes. El nivel profundo tiene quien lo vigile. Lo que se enseña al principiante ya ha pasado por una simplificación, y al simplificar se han perdido precisamente las frases que explicaban por qué estaba permitido hacer aquello.

6 Lo que Berkeley pretendía

Ya podemos decir por qué escribió el libro.

Berkeley llevaba mucho tiempo atacando a los librepensadores. Estos contraponían a menudo la claridad y la certeza de las matemáticas y de la filosofía natural a los misterios, la gracia y las proposiciones de la fe cristiana. Su estrategia no consistía en demostrar que las matemáticas no servían. Consistía en volver contra ellos su propia arma epistemológica.

Dicen ustedes que solo aceptan lo claro y comprensible, lo que se deduce con rigor paso a paso. Muy bien: expliquen con ese mismo criterio las fluxiones, los incrementos que desaparecen y los infinitesimales que usan todos los días.

La comparación del subtítulo, por tanto, no es un adorno. Berkeley busca construir una simetría: si la práctica matemática puede producir resultados fiables aun cuando sus conceptos sean confusos, la mera existencia de algo que no se deja conceptualizar por completo no puede convertirse automáticamente en una razón suficiente para rechazar la religión.

Llega incluso a satirizar el análisis una y otra vez con vocabulario teológico. Coloca las creencias, los misterios y los objetos incomprensibles de los matemáticos al lado de los conceptos religiosos que ellos atacan.

No conviene retratarlo, por eso, como un lógico del siglo XVIII que se hubiera adelantado al posterior lenguaje de límites. Era, ante todo, filósofo y obispo. Aquí los problemas de los fundamentos matemáticos se emplean en una contraofensiva epistemológica contra los librepensadores.

Esa posición le permitió, paradójicamente, ver con más claridad que otros. Quien pertenece al oficio usa el algoritmo a diario y recibe de él respuestas correctas a diario. Quien viene de fuera lee los pasos escritos sin la confianza que da la familiaridad. La crítica matemática es real, y el propósito religioso también. No son explicaciones rivales.

Presentarlo como un charlatán religioso que usa las matemáticas para atacar la ciencia, o como un lógico que resulta ser obispo por casualidad, hace perder en ambos casos la razón por la que se escribió el libro.

Y esta es la capa más importante del episodio: un hombre que aprovecha una laguna matemática para defender la teología tiene razón en matemáticas.

Para que la frase tenga interés, las dos mitades deben ser verdaderas. Si se equivocaba en matemáticas, solo habría sido una queja que no acertó en el blanco. Si no hubiera tenido un propósito teológico, sería una crítica académica más. El libro existe porque estaban presentes las dos cosas. Pero ¿hasta qué punto tenía razón?

La historia tradicional de las matemáticas lo trata con bastante respeto. Contra las formulaciones concretas que criticaba, sus objeciones acertaban en lo esencial y eran poderosas en su contexto. Eso vale especialmente para las exposiciones que primero dividían por una cantidad no nula y después la descartaban como cero, o que utilizaban infinitesimales de orden superior sin explicar su estatuto lógico. Sin embargo, en las últimas décadas se han introducido matices importantes.

Los historiadores de Leibniz señalan que Berkeley solía equiparar un infinitesimal a una pequeña cantidad del tipo de un número real ordinario, para exigirle después propiedades incompatibles entre sí. Leibniz, en cambio, tenía una ley de continuidad y unas reglas para los términos de orden superior que explicaban por qué solo se conservaban los términos de un mismo orden dominante. Por otro lado, algunos estudios observan que tampoco eran completos los argumentos del propio Berkeley para explicar la corrección de los resultados mediante dos errores que se compensarían mutuamente.

La conclusión más prudente es esta: detectó verdaderos problemas de fundamento y muchas exposiciones insuficientes de su tiempo. No demostró que el cálculo fuera necesariamente contradictorio, y menos aún proporcionó la teoría moderna de límites. Atribuirle una derrota total o una victoria completa no encaja con los estudios actuales. Sí puede afirmarse que su libro suscitó respuestas inmediatas y sostenidas, y concentró la discusión pública en la pregunta de por qué era correcto calcular así. No se puede atribuir a ese libro toda la investigación posterior sobre los fundamentos.

Durante los cien años siguientes se propusieron seriamente al menos cuatro respuestas distintas entre sí.

7 En otro lugar

Antes de seguir, retrocedamos trescientos años y trasladémonos al extremo sur de la India.

Allí hubo una tradición que los historiadores actuales llaman escuela de Kerala. El nombre describe una red de maestros y discípulos, familias, comentarios y preguntas astronómicas compartidas. No hay que imaginar una academia con aulas y un registro de socios.

Esta línea entra en el episodio sin ánimo de decidir quién llegó primero. Entra porque plantea la misma cuestión de criterio, antes que en Europa y de una manera más difícil de resolver. Más difícil porque sus textos dan razones, pero esas razones no tienen la misma forma que las europeas. Si dan razones, no podemos decir que se limitaran a adivinar fórmulas. Si la forma de esas razones es distinta, tampoco podemos decir que ya tuvieran el sistema posterior. Se suele situar el nacimiento de su primera figura central hacia 1340 y su muerte en la década de 1420. Le siguieron varias generaciones.

En esa tradición aparecieron series infinitas de potencias que hoy reconocemos como las del seno, el coseno y la arcotangente; de un valor particular de la arcotangente se obtuvo además una serie alternada para pi. También aparecieron términos de corrección destinados a hacer más eficiente el cálculo de pi. Escritas en notación moderna, esas series son iguales o equivalentes a sus correspondientes series posteriores de la matemática europea.

En cuanto a la cronología, lo más seguro no es colgarle a cada fórmula una fecha ficticia de descubrimiento. Textos posteriores atribuyen expresamente varios resultados centrales a aquella primera figura, lo que permite situar el origen entre finales del siglo XIV y comienzos del XV. Pero los testimonios escritos completos más antiguos que se conservan suelen ser una o dos generaciones posteriores.

Aquí hay que distinguir dos afirmaciones. Que un texto posterior diga expresamente que un método procede de cierta persona está documentado. Que hoy conservemos un manuscrito del siglo XIV escrito por esa persona no es verdad.

Tampoco se trataba solo de descubrir una serie bonita. Los resultados servían para elaborar tablas trigonométricas y calcular pi y valores astronómicos. Más importante aún: se investigaba cómo truncar una serie alternada de convergencia muy lenta y añadir correcciones para obtener mayor precisión con un cálculo finito. Entonces, ¿aquellos textos solo daban fórmulas o también daban razones? Daban razones. Y ese fue uno de los motivos importantes para revaluar la tradición en el siglo XX.

El texto más importante de la primera mitad del siglo XVI dedicado a esas razones las destaca ya en su propio nombre. No se limita a enumerar fórmulas. Recurre a la geometría de arcos, divide las figuras en muchas partes diminutas, las compara, aplica reglas de suma de potencias y refina una y otra vez la partición para explicar por qué se obtienen los desarrollos correspondientes. Pero poseer una cadena de razonamiento y poseer ya una prueba moderna de convergencia son dos cosas que hay que separar.

Los argumentos se apoyan en intuiciones geométricas y numéricas: los arcos pequeños se aproximan cada vez más a alguna magnitud sencilla; una vez que la partición es suficientemente fina, el error se puede despreciar. También recurren a relaciones aproximadas para sumas finitas de potencias. No cuentan con la completitud de los números reales del siglo XIX, una definición unificada de límite ni una teoría general de la convergencia de series.

Lo mismo puede decirse de la Europa del período correspondiente. La laguna que Berkeley atacaba en la quinta sección era de esa misma clase. En el caso de ciertos términos de corrección, algunas lecturas modernas minuciosas juzgan incluso expresamente que las razones tradicionales no bastan para convencer según los criterios actuales.

En el quinto episodio tratamos una controversia de la misma forma. Allí preguntábamos si el argumento de un comentarista contaba como demostración. Aquí preguntamos si todo esto cuenta como cálculo infinitesimal. La respuesta vuelve a depender del criterio.

La conclusión de aquel episodio era que la terminología decide si se coloca al autor en la caja de las demostraciones; el análisis de los materiales decide qué contiene de verdad esa caja. Aquí podemos copiar la conclusión.

Una posición sostiene que sí debe contar: si el criterio es trabajar con funciones trigonométricas mediante procesos infinitos, deducir series infinitas a partir de variaciones locales, sumas y razonamientos sobre áreas, y estudiar truncamientos finitos, la tradición reúne suficientes estructuras centrales.

Otra posición, más conservadora, prefiere hablar de ideas de cálculo y no de un sistema de cálculo. Su criterio es más sistemático: para tener un cálculo maduro no bastan las series de potencias de unas pocas funciones. Hacen falta un concepto general de diferenciación, un concepto general de integración, la relación sistemática entre ambos y un marco que reúna muchos problemas nuevos bajo algoritmos comunes. Hay además una tercera opinión, especialmente importante para la historiografía: quizá la propia pregunta sea demasiado europea.

Si a cada tradición matemática local le preguntamos qué le faltaba para llegar a aquel sistema posterior, es fácil convertir sus fines astronómicos, sus formas de razonar, su tradición de cálculo trigonométrico y la estructura de su lenguaje en una tabla de progreso rumbo a otra parte.

Por eso no corresponde ordenar aquí a los verdaderos inventores en una clasificación. Las atribuciones distintas proceden, sobre todo, de criterios de clasificación distintos, no de que una de las partes ignore la existencia de esas series. Los estudiosos de ambos lados saben que están ahí. Lo que discuten es cómo llamar a un sistema que las contiene.

Es la tercera vez que la serie tropieza con esa pregunta: cómo llamarlo. En el tercer episodio preguntábamos si aquel libro era el nacimiento del método axiomático. En el quinto, si aquellos comentarios contaban como demostraciones. Aquí, si estas series cuentan como cálculo infinitesimal. En los tres casos, la diferencia no se reduce a disponer o no de suficientes materiales: se está midiendo con reglas distintas. Y la regla siempre está en manos de los que llegan después. Ya lo hemos visto repetidamente en la serie, y en lo que viene pesará aún más. Pasemos a la transmisión.

Se ha propuesto una hipótesis: durante los siglos XVI y XVII, los portugueses crearon una red marítima en el océano Índico; había misioneros en la región, y tenían necesidades prácticas de datos calendáricos, astronómicos y náuticos. Existían, por tanto, oportunidades y motivos para entrar en contacto con los calculadores astronómicos locales y sus textos. Los argumentos a favor son de tres clases: había rutas, había demanda y las fechas lo permitían. El problema es que entre la existencia de barcos, misioneros y matemáticas parecidas y la afirmación de que una fórmula concreta viajó de un lugar al otro falta justamente el eslabón que más necesita la historia.

No se ha encontrado hasta ahora una traducción europea, carta, copia manuscrita, apunte de estudio, registro de catálogo bibliográfico ni cita expresa de un matemático europeo de los siglos XVI o XVII que permita seguir de manera continua una de esas series desde un texto indio concreto hasta Europa. Los materiales disponibles, por tanto, todavía no permiten establecer una cadena documental continua que pruebe que esas series concretas llegaron a Europa en los siglos XVI y XVII e influyeron en los descubrimientos correspondientes.

La conclusión no demuestra que la transmisión fuera absolutamente imposible. Pudo ocurrir una transmisión de la que no se haya conservado huella. Lo que dice es que, con las pruebas disponibles, no se puede elevar una posibilidad a la categoría de hecho ocurrido.

Los estudiosos europeos volvieron a fijarse en esos materiales a partir de una comunicación leída en diciembre de 1832 y publicada en 1834 en la revista de una sociedad de estudios orientales. El autor era un funcionario de la Compañía de las Indias Orientales. Su juicio fue audaz: creía que aquellos textos habían sentado las bases de un sistema completo de fluxiones. La denominación que escogió en el siglo XIX anticipaba ya la disputa posterior sobre si aquello era o no cálculo infinitesimal.

Su artículo, sin embargo, no reescribió de inmediato la historia europea de las matemáticas. Durante mucho tiempo, las obras principales apenas lo incorporaron. Hubo que esperar a finales de la década de 1940 y a los años posteriores para que se retomaran la publicación, la traducción y el análisis de esos materiales.

Decir que fue el primero en contárselo a Occidente y luego lo silenciaron deliberadamente también es demasiado teatral. Es más preciso decir que reconoció muy pronto la importancia de los materiales, pero el artículo circulaba en los márgenes de las redes disciplinares, los textos originales eran difíciles de leer, faltaban ediciones críticas y la historia de las matemáticas del siglo XIX ya tenía un marco narrativo propio. Todo eso impidió durante mucho tiempo que esa línea cuajara en una tradición de investigación sostenida. Ninguna explicación psicológica única de su desatención tiene respaldo documental. Para que una pista pase cien años inadvertida no suele hacer falta que alguien la suprima.

Es el mismo mecanismo de conservación que encontramos en episodios anteriores. Los manuscritos sobre hojas de palma necesitan copias y cuidados periódicos. Son especialmente vulnerables a la humedad, el calor, los insectos y el desgaste. Que un texto perdure varios siglos suele significar que se lo ha vuelto a copiar una y otra vez, no que una hoja del siglo XIV haya llegado intacta hasta hoy.

Así que conservar una copia del siglo XVI y fechar la composición del texto en el XIV no proporciona el mismo tipo de prueba cronológica. Basta con que la publicación aparezca en el lugar equivocado, que no se entienda la lengua, que el original sea difícil de leer y que la disciplina ya tenga su propia manera de contar la historia.

8 ¿Cambió el significado de rigor?

Volvamos al siglo que siguió a Berkeley. Los matemáticos no se pasaron esos cien años calculando como si no hubiera ocurrido nada.

Hubo réplicas ese mismo año. En 1734 apareció una defensa de Newton y de los matemáticos británicos cuyo título afirmaba que la geometría no era amiga de la incredulidad. Después ambos bandos fueron intercambiando textos. La guerra de folletos acabó acumulando un volumen considerable de páginas, aunque se trató más de aclaraciones polémicas que de una reconstrucción completa de los fundamentos.

Al año siguiente, otro autor tomó una vía más matemática. Su estrategia consistió en admitir un punto decisivo: si se funda el método de Newton en misteriosos infinitesimales realmente existentes, los problemas son graves. Pero su método más maduro no exige esa lectura; debe entenderse mediante las razones primeras y últimas de las variables o mediante procesos de límite. Dejó, por tanto, de defender los infinitesimales para sostener que el verdadero método de Newton no era el que estaba siendo atacado.

El libro de 1742 fue la respuesta británica más amplia y técnicamente más seria. Dos volúmenes, con más de setecientas páginas de texto principal. Su autor recurrió profusamente a la geometría clásica, los principios del método de agotamiento, las proporciones y los argumentos de límite. Quería mostrar que las fluxiones podían fundarse en cambios de magnitudes finitas y procesos de límite controlables, sin depender de un infinitesimal que existiera y no existiera a la vez. No se limitaba a responder a Berkeley. Intentaba dar a todo el análisis una base defendible en público.

Setecientas páginas y mucha geometría clásica. Para defender un algoritmo desarrollado unos setenta años antes, volvió a un lenguaje de dos mil años atrás.

En el tercer episodio vimos por qué ese lenguaje había llegado a considerarse la forma de una prueba fiable. Aquí se convierte en la última línea de defensa.

A mediados del siglo XVIII, d'Alembert colocó expresamente el límite en el lugar de fundamento. Rechazaba tratar los infinitesimales como entidades misteriosas. Sostenía que lo que interesa de verdad al cálculo diferencial es el valor al que tiende la razón entre diferencias finitas cuando los incrementos tienden a cero. Se cita a menudo su afirmación de que la teoría de límites es la verdadera metafísica del cálculo diferencial. Es decir: dejen de preguntar qué es esa cosa diminuta; pregunten hacia dónde tiende. Está muy cerca de la orientación del siglo XIX, aunque le falta todavía su lenguaje afinado.

A Lagrange, incluso ese tender le parecía demasiado geométrico, demasiado metafísico.

En 1797 intentó convertir todo el cálculo en álgebra de magnitudes finitas. Su procedimiento era desarrollar una función en serie de potencias cuando se modifica el valor de la variable, definir el coeficiente del término de primer grado como la primera función derivada y continuar así. En apariencia, no hacían falta fluxiones, ni infinitesimales, ni siquiera límites. El subtítulo de su libro anunciaba que iba a liberar los principios del cálculo diferencial de los infinitesimales, las cantidades evanescentes, los límites y las fluxiones.

El fallo se vio con claridad después: no toda función diferenciable, ni siquiera toda función infinitamente diferenciable, puede representarse en un entorno mediante su propia serie. Incluso cuando existe formalmente una serie de potencias, hay que demostrar su convergencia y el comportamiento de la parte que queda después del truncamiento. Y eso es justamente lo que el álgebra formal, por sí sola, no puede garantizar.

En la práctica, Lagrange hizo de la existencia del desarrollo necesario de la función una premisa básica. Cambió así el problema de los límites por un problema de series que también exigía demostraciones propias de la teoría del análisis.

Fue un fracaso limpio, y merece recordarse. No había calculado mal ni había eludido el trabajo. Trasladó un problema difícil a otro lugar, y ese lugar era igual de difícil. En el séptimo episodio vimos una maniobra parecida: remitir la dificultad a la semántica para no tener que responder a una pregunta más ardua. Esta vez intentó remitirla al formalismo. No consiguió desplazarla.

Ahora sí podemos hacer la pregunta: ¿cambió la palabra rigor de significado en el siglo XIX, y por eso los que vinieron después calificaron retrospectivamente de poco rigurosos a sus antecesores?

En el tercer episodio tratamos una pregunta de esta forma. La conclusión fue que los antiguos no habían mirado al lugar equivocado: había cambiado el significado de rigor, y ese cambio trasladaba el problema de lo declarado a lo que se dejaba sin declarar. Aquí la respuesta es un poco más complicada, porque dos afirmaciones son verdaderas a la vez.

Las pruebas a favor de la analogía son fuertes. Newton veía en la geometría sintética clásica la forma de una demostración fiable. Leibniz daba importancia a las reglas generales del cálculo simbólico. La generación de Euler incorporó cada vez más la generalidad formal y la capacidad productiva del cálculo a lo que consideraba evidencia matemática. La corriente del siglo XIX fue exigiendo cada vez más que límite, continuidad, convergencia y función se formularan uno por uno con condiciones explícitas. Los criterios para juzgar qué le falta a una prueba sí cambian de una época a otra. Pero la analogía no puede llevarse demasiado lejos.

No ocurrió que en el siglo XIX se inventaran de la nada unas exigencias y solo entonces se volvieran atrás para buscarles defectos a los antepasados.

A finales del XVII ya había ataques contra el nuevo análisis. En 1734, Berkeley señaló la incoherencia del argumento del incremento. Dos autores sintieron de inmediato la necesidad de responder. D'Alembert buscó expresamente un fundamento verdadero. En 1797, Lagrange aún quería librarse por completo de infinitesimales, límites y fluxiones. Los propios participantes del siglo XVIII sabían que había problemas de fundamento. Y que cada uno ofreciera una respuesta distinta es ya una prueba de ello. Si todos hubieran creído que no había problema, nadie habría escrito setecientas páginas.

El propio Newton es un ejemplo. En sus obras maduras insistió en que las fluxiones eran finitas y reales, y en que convenía representarlas mediante segmentos finitos visibles, no mediante objetos infinitamente pequeños. La reiteración de esas aclaraciones muestra por sí misma que sabía que el estatuto de los infinitesimales como objetos era una cuestión que había que responder.

Hay que escribir, por tanto, las dos afirmaciones juntas. Las épocas posteriores cambiaron realmente los criterios técnicos del rigor, y no se deben convertir las exigencias de la segunda mitad del siglo XIX en un tribunal eterno. Al mismo tiempo, los matemáticos de los siglos XVII y XVIII ya habían detectado que ciertos razonamientos necesitaban explicación. La falta de rigor tampoco es una acusación enteramente inventada por la posteridad. Entre esas dos afirmaciones está el verdadero contenido de este episodio.

Los antiguos no eran unos despistados, ni los posteriores unos jueces demasiado severos. Una herramienta había corrido por delante de su propia explicación. Tanto quienes vivieron entonces como quienes llegaron después vieron la distancia que había ganado; simplemente la vieron de maneras distintas.

Y durante todo ese tiempo, ¿qué consiguió hacer la herramienta cuyo fundamento no dejaba de tambalearse?

La mecánica de Newton se reescribió como una mecánica analítica que permitía calcular de forma sistemática. En 1736, alguien organizó el movimiento de puntos materiales mediante métodos analíticos; después, otros convirtieron los sistemas con restricciones, los desplazamientos virtuales, las ecuaciones diferenciales y los métodos variacionales en herramientas generales. Un libro de 1788 alcanzó un punto de llegada simbólico: la mecánica clásica podía calcularse cada vez más a partir de ecuaciones generales, sin reinventar para cada problema una construcción geométrica al modo de los Principia.

La mecánica celeste muestra especialmente bien el peso de lo logrado. Los Principia resolvían la estructura central de un modelo ideal de dos cuerpos. El sistema solar real presenta perturbaciones entre muchos cuerpos. A mediados del siglo XVIII, las aproximaciones de orden superior a la precesión del perigeo lunar se convirtieron durante un tiempo en una prueba decisiva de la ley de gravitación. En la obra de cinco volúmenes cuya publicación comenzó a finales de aquel siglo, las perturbaciones planetarias, la Luna, las mareas, la figura de la Tierra y la estabilidad a largo plazo ya estaban reunidas en un gran sistema analítico.

A esas alturas ya no se estaba traduciendo a Newton a una notación nueva. Se estaban creando cosas que él no tenía en absoluto en 1687.

Los fluidos, la elasticidad y las vibraciones avanzaron cada uno por su camino. En 1822, Fourier publicó un libro sobre el calor. Expresaba el flujo térmico mediante ecuaciones en derivadas parciales y representaba un amplísimo abanico de distribuciones de temperatura mediante series trigonométricas. La parte principal del trabajo se había hecho durante sus años como prefecto de Isère y había sido entregada a la Academia a finales de 1807. En 1812 obtuvo el premio de la Academia, pero el dictamen advertía que la manera de obtener las ecuaciones no estaba libre de dificultades y que al análisis usado para resolverlas le faltaba generalidad, e incluso rigor. El libro no solo transformó la física: obligó también a los matemáticos del siglo XIX a repensar las funciones, la convergencia de series, las operaciones término a término y la definición de integral. Desde ahí, los problemas de fundamento dejaron de ser la provocación de un filósofo situado fuera del oficio. Se convirtieron en problemas matemáticos que el propio éxito de la física hacía inevitables.

Así que la realidad no se resume diciendo que una herramienta sin rigor sostuvo dos siglos de física. Un conjunto de herramientas analíticas, cuyos fundamentos aún no estaban unificados y cuyos criterios locales de prueba seguían cambiando, maduró mucho más deprisa que su propia teoría de fundamentos. En 1734, Berkeley preguntaba con qué derecho decían ellos ser más claros que él. Cien años después no le respondió la filosofía. Le respondieron las cosas calculadas con la herramienta que había atacado, y calculadas correctamente: eran tantas que ya nadie podía eludir la obligación de explicarlas.

La precesión de la Luna, las perturbaciones de los planetas, el movimiento de los fluidos, la flexión de una viga, la forma que adopta una cuerda al vibrar, la propagación del calor dentro de un metal. Todo eso se fue acumulando, pieza a pieza. Llegado cierto momento, no poder explicar por qué funcionaba dejó de ser un problema que se pudiera legar a la siguiente generación. La siguiente generación necesitaba calcular todavía más cosas. Y cuanto más se calculaba, más difícil era soportar que alguien al lado preguntara: ¿con qué derecho?

Lo que acabó forzando una respuesta no fue aquella pregunta. Fue que, después de formulada, se siguieran calculando cosas durante otros cien años. Una disciplina suele terminar reparando sus cimientos porque lo que ha construido encima pesa demasiado, no porque alguien le haya señalado que se han derrumbado.

Se sigue calculando. Pero qué cuenta como matemáticas nunca ha acabado de quedar claro.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes corresponden a los detalles históricos y a las diferencias de interpretación del texto. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son el mismo tipo de evidencia.

• Berkeley, El analista: edición electrónica del texto original
• Documentos originales de la controversia en torno a El analista
• Newton: catálogo del manuscrito de su comentario sobre el Commercium Epistolicum
• Transcripción íntegra del manuscrito de Newton sobre la disputa
• Newton Project: introducción a los textos conservados
• Comisión Alemana para la UNESCO: correspondencia de Leibniz
• Artículo original de Whish sobre la cuadratura del círculo en la India
• Singh: estudio sobre la India y el cálculo de funciones trigonométricas
• Maclaurin: introducción al Tratado de fluxiones