El fin de la persecución

1. Veintiún años

La mañana del 31 de mayo de 1832, un joven murió en el hospital Cochin de París a consecuencia del disparo recibido en un duelo el día anterior. Se conservan el libro de ingresos del hospital, el registro de su muerte y los documentos de la autopsia.

El acta de defunción le atribuye veintiún años.

Todavía no los había cumplido.

Se llamaba Évariste Galois. Hoy no hay manual de álgebra que no contenga algo que lleve su nombre. Mientras vivió, ni una sola página de la parte más decisiva de su trabajo llegó a publicarse oficialmente.

Aquel documento es una fuente oficial de primera mano. Lo cumplimentó el funcionario encargado, a menos de un día de los hechos. Y se equivocó.

El error no es grave ni le hizo daño a nadie. Sirve, eso sí, para recordar algo que necesitaremos una y otra vez en este ensayo: al medir la fiabilidad de una afirmación, importa saber a qué distancia está del suceso. Pero estar cerca no garantiza que todas y cada una de sus palabras sean ciertas.

Las fuentes disponibles para esta entrega no se parecen a las de ninguna de las anteriores.

Hasta ahora, a menudo había que reconstruir la cronología de una vida a partir de relatos escritos varios siglos después. En la segunda entrega, la noticia más antigua de Hípaso llegaba con quinientos años de retraso. En la tercera, el primer testimonio que nombraba a Euclides era un siglo posterior. En la cuarta, la fecha de nacimiento de Arquímedes procedía del cálculo de un autor del siglo XII, que había combinado el año de su muerte con los años que supuestamente vivió.

Aquí la situación es otra.

Partidas de nacimiento, expedientes escolares, notas y comentarios de profesores, actas de la Academia de Ciencias, crónicas periodísticas de juicios, archivos de la policía y de los tribunales, registros carcelarios, libros de ingreso hospitalario, autopsias, manuscritos de su puño y letra, cartas escritas por él mismo. En sus veinte años de vida, Galois pasó por casi todas las instituciones de la Francia del siglo XIX que producían montañas de documentos.

Fue a la escuela, se presentó a exámenes, lo expulsaron, lo detuvieron dos veces, compareció dos veces ante un tribunal, estuvo en prisión, fue trasladado de centro sanitario durante una epidemia de cólera y acabó muriendo en un hospital. Cada paso dejó papel.

Y no en un solo lugar. La escuela tenía sus registros; el tribunal, los suyos; los periódicos publicaban sus propias noticias. Muchas veces se puede cotejar un mismo hecho en dos o tres sitios.

Además, él también escribía. Cinco artículos publicados, varios trabajos enviados a la Academia, cartas abiertas a los periódicos, correspondencia desde la cárcel, aquella última carta larga a un amigo y un montón de manuscritos corregidos una y otra vez. Esos manuscritos siguen ahí.

Que hayan sobrevivido tampoco era inevitable. Después de su muerte, los papeles de su mesa pasaron a manos de Chevalier, que copió parte de ellos y los entregó a Liouville en 1843. Más tarde, Liouville dejó su biblioteca y sus documentos personales, incluidos aquellos manuscritos, a su yerno. La viuda de este los depositó en la Academia de Ciencias hacia 1905 o 1906. Pasaron por cuatro pares de manos antes de llegar a una colección pública.

Un descuido de cualquiera de esas personas y este ensayo habría sido imposible. Precisamente de esos papeles dependen varias de las rectificaciones más importantes que vamos a hacer. Primero se ordenaron en veinticinco legajos; luego se añadieron otros dos. El catálogo actual recoge veintisiete, encuadernados en un volumen de unas doscientas ochenta y cinco hojas, más de ciento sesenta de ellas autógrafas. A partir de 2011, las imágenes digitales de alta calidad permitieron por primera vez un acceso en línea prácticamente completo. Antes, los investigadores solían trabajar con microfilmes, porque los originales ya eran muy frágiles.

Y, aun así, la capa de leyendas que recubre a Galois sigue siendo la más gruesa de toda la historia de las matemáticas.

El borrador lanzado durante un examen. Los trabajos extraviados por grandes matemáticos. El evaluador que solo escribió «incomprensible». Toda la teoría escrita la víspera del duelo, mientras el muchacho repetía en los márgenes «no tengo tiempo». Tuvieron que pasar catorce años desde su muerte para que alguien entendiera aquellos manuscritos.

Ninguna de estas fórmulas populares puede aceptarse tal cual como un hecho establecido.

Y todas aparecen en libros serios. Algunas, incluso, en biografías de autoridad que todavía hoy es legítimo citar. Esto importa más que su falsedad: una afirmación falsa no aguanta cien años en libros respetables gracias a que alguien siga inventándola. Aguanta porque, generación tras generación, alguien se ahorra una comprobación.

De eso trata esta entrega. Pero la pregunta más interesante no es cuáles de esas historias son falsas, sino cómo pudieron crecer alrededor de una vida en la que casi cada día dejó un papel que consultar. No faltaban archivos. Los archivos dicen cuándo ocurrió algo; no dicen cuál fue aquel instante. Solo al llegar a la última sección podremos terminar esa frase. Por ahora, retrocedamos trescientos años.

2. La persecución

La publicación de aquel libro en 1545 cambió la naturaleza del problema.

La generación anterior había mostrado que las soluciones de las ecuaciones cúbicas y cuárticas podían expresarse mediante fórmulas construidas a partir de sus coeficientes. La pregunta siguiente ya no era si tal o cual ecuación de quinto grado tenía raíces. Era esta: ¿existía una fórmula, semejante a las de segundo, tercero y cuarto grado, que partiera únicamente de los coeficientes de la ecuación general y, mediante un número finito de operaciones aritméticas y extracciones de raíces, proporcionara de una vez las raíces de la ecuación general de quinto grado? La persecución duró casi tres siglos.

Aunque no se persiguió la presa como hoy solemos imaginar. No había una recompensa, ni una lista de aspirantes, ni generaciones enteras que fueran saliendo por turnos a anunciar que ellas iban a resolver el problema.

La descripción más fiel sería otra: entre la década de 1540 y la de 1840 se formó una larga tradición de investigación sobre la resolución algebraica general de ecuaciones. La fórmula de quinto grado era su asunto pendiente más obstinado. Tampoco quienes participaron en aquella tradición se enfrentaron al desafío uno detrás de otro. La mayoría estaba haciendo otras cosas; solo después sus hallazgos fueron a parar a la caja de herramientas del problema. Nunca hubo trescientos años durante los cuales todo el mundo estuviera adivinando la fórmula de la quíntica.

En los siglos XVI y XVII, lo decisivo fue fabricar las herramientas. El ingeniero de la octava entrega se ocupaba de aquellas cantidades que aparecían al resolver ecuaciones cúbicas. Viète sistematizó las relaciones entre raíces y coeficientes, así como las transformaciones de ecuaciones. Descartes llevó más lejos la factorización y el cálculo simbólico. Hacia la década de 1680 también se estudiaba cómo eliminar términos intermedios mediante cambios de variable, con la esperanza de reducir las ecuaciones de grado elevado a formas normales más sencillas.

Todo ello acabaría incorporándose al instrumental técnico de la quíntica. Pero presentar a todos esos hombres como buscadores fracasados de su fórmula sería atribuirles objetivos demasiado modernos. La dirección de la búsqueda solo empezó a hacerse cada vez más explícita a partir del siglo XVIII.

El giro decisivo no fue un fracaso en particular. Los investigadores empezaron a reconocer un mecanismo común detrás de las fórmulas cúbicas y cuárticas: ciertas expresiones no cambiaban aunque se intercambiaran las raíces. Entre 1770 y 1771, Lagrange colocó sistemáticamente ese mecanismo en el centro del estudio. Su obra no proponía otra fórmula para el quinto grado. Diseccionaba las fórmulas existentes para averiguar por qué funcionaban.

Examinó expresiones auxiliares construidas con las raíces. Al permutarlas de todas las maneras posibles, algunas expresiones permanecían invariantes y otras solo tomaban un número limitado de valores distintos. Esos valores, a su vez, eran las raíces de una ecuación auxiliar de grado menor. De ahí obtuvo dos resultados fundamentales.

Primero, logró explicar por primera vez bajo una misma idea lo que hasta entonces parecía una colección de trucos particulares sin relación entre sí: todo se convertía en un problema de permutaciones de raíces y del número de valores distintos que podían tomar ciertas funciones auxiliares.

Segundo, vio que la reducción de grado en las cúbicas y las cuárticas era posible precisamente porque algunas de esas expresiones daban muy pocos valores distintos al permutar las raíces. Pero el lugar donde tuvo que detenerse importa tanto como lo que consiguió. Al llegar al quinto grado, la ecuación auxiliar que surgía de manera natural no descendía por arte de magia a un grado inferior que ya se supiera resolver.

Su análisis explicaba, por tanto, los métodos antiguos, pero no abría una vía nueva hacia la fórmula de la quíntica. Mucho menos demostraba que cualquier método imaginable con radicales tuviera que fracasar. Lagrange no había obtenido un teorema de imposibilidad. Conviene detenerse aquí, porque este es el quiebro de toda la historia. Hasta entonces, todos habían preguntado cómo hacerlo.

El postulado que despertó dos mil años de sospechas en la tercera entrega recorrió un camino parecido. Primero hubo quien creyó que debía poder demostrarse; llegaron los intentos, y después más intentos fallidos. Al final alguien demostró que no podía demostrarse.

Y demostrar que no se puede es un resultado, no una rendición. Esta forma de investigar dirigía la atención hacia las condiciones que hacían funcionar los métodos anteriores. Una vez admitida la pregunta, «no se puede» empezaba también a convertirse en una respuesta susceptible de estudio. Era la primera señal contundente: quizá el problema no fuera que los matemáticos aún no hubiesen encontrado la fórmula correcta, sino que esa fórmula no existiera. Una disciplina necesita haber acumulado mucho para llegar a sospechar algo así. Antes de ese umbral, no encontrar algo solo significa no haberlo encontrado todavía.

Además, quien formula esa sospecha no suele estar buscando directamente la cosa en cuestión. Está desmontando algo que ya existe, para entender por qué funciona. En 1799, el matemático modenés Paolo Ruffini publicó un libro cuyo título no dejaba lugar a dudas: demostrar la imposibilidad de resolver algebraicamente las ecuaciones generales de grado superior al cuarto. La irresolubilidad algebraica general de las ecuaciones de grado elevado figuraba en el propio título.

Bastaría ese detalle para saber que Ruffini era consciente de lo que hacía. No estaba levantando acta de un fracaso: anunciaba un teorema. Y no lo hacía en un artículo de seis páginas, sino en una obra de unas quinientas, publicada por partes. Su tamaño contribuyó a las dificultades de recepción. Nadie abre de pasada un libro de quinientas páginas. Y para creer una conclusión que dice que aquello que buscas no existe, precisamente hay que llegar al final. Quien no esté dispuesto a leerlo entero se quedará solo con el título.

Ruffini partía de Lagrange, pero llevó mucho más lejos el estudio de las permutaciones. Investigó sus ciclos, sus órdenes, sus relaciones de conjugación y aquellos conjuntos de permutaciones que después recibirían los nombres de transitivos, intransitivos, primitivos e imprimitivos.

Llamarlo sin más teoría de grupos seguiría siendo un anacronismo: no disponía de la definición abstracta moderna de grupo. Pero sí convirtió la estructura combinatoria de las permutaciones en un objeto técnico autónomo, surgido desde dentro del problema de la resolución de ecuaciones. En cuanto a la laguna de su demostración, no basta con decir que le faltaba un poco de rigor.

Para analizar todas las fórmulas posibles por radicales, necesitaba relacionar los radicales introducidos sucesivamente en la fórmula con las raíces de la ecuación. En la práctica, dio por supuesto que aquellos radicales auxiliares podían elegirse como funciones racionales de las raíces; es decir, que podían permanecer dentro del ámbito generado por ellas. Esa premisa no se cumple automáticamente. La generación anterior ya había mostrado que, incluso cuando todas las raíces de una ecuación son reales, los cálculos intermedios pueden exigir cantidades auxiliares que quedan fuera de ese ámbito. De eso trataba precisamente la octava entrega.

Tampoco recibió un rechazo sencillo y unánime. Hubo objeciones de fondo, y entre 1802 y 1813 reescribió varias veces la demostración. Lagrange no le dio la respuesta que esperaba. Más adelante, Cauchy juzgó su trabajo muy favorablemente.

Así que es falso que nadie lo leyera, y también que su teorema quedara aceptado como demostrado. ¿Por qué permaneció tanto tiempo en los márgenes?

Había razones matemáticas: una demostración extensa, una estructura nueva y una premisa esencial sin justificar por completo. Había razones de circulación: Ruffini vivía en Módena, no en París, y su obra era voluminosa y compleja. Pero la razón intelectual iba más hondo. Los tres primeros obstáculos admitían arreglo: se podía reescribir la prueba, mudarse de ciudad, acortar el libro. El cuarto no.

La comunidad matemática todavía entendía por resolver una ecuación encontrar un procedimiento para hacerlo. Pedirle que aceptara una demostración de que el procedimiento buscado no existía exigía un salto conceptual considerable. Antes había que admitir que, dentro de su propio oficio, algunas preguntas podían tener por respuesta «no hay».

En las entregas séptima y octava ya apareció una versión menor de ese salto. Allí había que aceptar un objeto sin una cantidad correspondiente; aquí, la inexistencia de un método. Al menos con el primero se podía operar. Lo segundo era un agujero. En 1824, el noruego Niels Abel pagó de su bolsillo la impresión de un pequeño folleto. Rondaba los veintiún años. El texto ocupaba apenas unas seis páginas.

Los estudios modernos señalan repetidamente que comprimió al máximo la demostración porque debía pagar él mismo la imprenta. Es un dato más sólido que muchas de las anécdotas sobre su vida: la extensión real del folleto, la financiación propia y un estilo extraordinariamente condensado encajan entre sí. Hasta ahí llega lo que podemos sostener: las limitaciones económicas lo empujaron a una concisión extrema. Decir que era tan pobre que solo podía comprar seis páginas de papel ya añade otra cosa. Tenemos un hecho económico de la historia de la edición; no tenemos una factura que demuestre que no le alcanzaba para la séptima página.

Esta distinción nos hará falta muchas veces. Una cosa son los hechos; otra, disponerlos hasta obtener un plano listo para rodar una película. En 1826, Abel publicó una versión más desarrollada en una revista recién fundada y extendió el razonamiento a las ecuaciones generales de grado superior al cuarto.

Conocía a Ruffini. Lo reconoció expresamente como precursor del intento de demostrar aquel resultado, aunque se quejó de que su argumentación era tan complicada que resultaba difícil decidir si era válida. Abel murió de tuberculosis el 6 de abril de 1829, a los veintiséis años. La versión popular de la carta que llegó demasiado tarde ha desplazado un pequeño detalle.

Las biografías de referencia dicen esto: dos días después de su muerte, el fundador de aquella revista, que aún ignoraba la noticia, le escribió para comunicarle que por fin había conseguido el puesto de Berlín. Esos dos días son, ante todo, la diferencia entre la fecha de la muerte y la de la carta. No son un recibo de correos que certifique que el sobre llegó a su puerta exactamente dos días después de morir.

El orden que podemos establecer es, pues, este: dos días después de su muerte, un hombre que todavía no sabía lo ocurrido le escribió para anunciarle que sus gestiones habían dado fruto y el puesto estaba conseguido. Desde luego, la carta llegó demasiado tarde.

Pero afirmar que el nombramiento oficial de profesor llegó a su puerta al día siguiente del entierro es contar otra cosa. En una sola escena se han fundido tres hechos distintos: una comunicación privada, la obtención de un puesto y los tiempos del correo.

3. Lo que no existe no son las respuestas

Conviene dejar bien fijada la conclusión, porque es facilísimo leer en ella algo distinto. De hecho, casi siempre se lee algo distinto. Así que vamos a quitar de entrada cualquier escapatoria al malentendido.

Empecemos por algo que todos hemos visto. Para la ecuación de segundo grado hay una fórmula: se toman los tres coeficientes, se suman, restan, multiplican y dividen en un orden determinado, se extrae una raíz cuadrada y aparecen las soluciones. Sirve para cualquier ecuación de segundo grado, sean cuales sean sus coeficientes.

Las ecuaciones de tercero y cuarto grado también tienen sus fórmulas. Son bastante más largas y llevan más capas de raíces, pero hacen lo mismo: entran los coeficientes y, tras un número finito de pasos, salen las soluciones.

Durante trescientos años se buscó la correspondiente al quinto grado.

La conclusión fue que no existe.

Que las raíces no puedan obtenerse mediante radicales no significa, en absoluto, que la ecuación de quinto grado carezca de soluciones.

Claro que una ecuación general de quinto grado tiene raíces. En los números complejos, todo polinomio no constante tiene alguna, y los métodos de cálculo permiten aproximarlas numéricamente tanto como sea necesario. Lo que se ha demostrado inexistente es una forma muy particular de escribir la respuesta.

No hay una fórmula universal como la cuadrática, la cúbica o la cuártica que sirva para cualquier ecuación general de quinto grado y obtenga todas sus raíces tomando solo los coeficientes y aplicándoles un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces de diversos órdenes. Lo que terminó fue la persecución de esa fórmula. «Persecución» es aquí la palabra justa. Durante tres siglos se había ido detrás de algo que pudiera escribirse, y la conclusión era que ese algo no existía. No que aún no lo hubiesen encontrado. Que no estaba.

El peso de esas dos frases es completamente distinto. Si no lo has encontrado, puedes seguir buscando. Si no existe, ya no hay nada que buscar.

Además, la ausencia de una fórmula universal para la ecuación general de quinto grado no implica que ninguna ecuación concreta de quinto grado pueda resolverse por radicales. Hay muchas quínticas particulares que sí pueden. Abel resolvió la cuestión de la inexistencia de una fórmula general.

Galois llevó la pregunta a otro sitio: dada una ecuación concreta, ¿en qué condiciones puede resolverse por radicales? Esa es la manera más breve de distinguir sus lugares en la historia. Uno cerró una puerta. El otro preguntó bajo qué condiciones se encontraba abierta cada una de las puertas.

La segunda pregunta es mucho más amplia que la primera, porque obliga a aclarar antes algo: ¿de qué depende que una puerta esté abierta o cerrada?

Es una pregunta mucho más amplia, y exige también otra manera de mirar. La solución de Galois consistió en cambiar de dirección. Durante trescientos años, todos habían tenido los ojos puestos en la ecuación. Él dejó de mirarla de frente y pasó a observar las simetrías entre sus soluciones.

¿Qué raíces pueden intercambiarse sin que se alteren ciertas relaciones? Esos intercambios forman por sí mismos una estructura. Que la ecuación sea o no resoluble por radicales depende de la forma de esa estructura. El objeto de la pregunta se desplazó: de la ecuación a las posibilidades de intercambio entre sus raíces. El precio del giro fue que quienes debían evaluar el trabajo no lo entendieran.

Más adelante veremos que la dificultad técnica señalada en aquel dictamen estaba precisamente ahí. La condición propuesta por Galois recurría a relaciones entre las raíces; lo que sus contemporáneos esperaban era un criterio que se pudiera aplicar partiendo de los coeficientes conocidos. Había trasladado el problema a un lugar donde todavía no se había situado nadie. Desde el nuevo lugar se veía más lejos; desde el antiguo parecía que no había respondido a la pregunta. Ninguna de las dos partes estaba equivocada. No entender no siempre es cuestión de mala vista. A veces es cuestión de dónde está uno.

4. Galois en los archivos

Galois nació el 25 de octubre de 1811 en Bourg-la-Reine, al sur de París. Lo respalda la partida del registro civil. Su padre era una figura liberal de la localidad y fue alcalde durante años. Su madre tenía una buena formación y se encargó personalmente de educar a sus hijos en casa durante los primeros años. El 2 de julio de 1829, el padre de Galois se suicidó en París. La muerte es un hecho cierto. La humillación ligada a las luchas políticas locales que habría precipitado el suicidio cuenta con testimonios familiares sólidos, pero no con un expediente contemporáneo igual de completo.

Hay, por tanto, tres niveles. Que el padre fue alcalde, que existían fuertes conflictos políticos en la localidad y que se suicidó son hechos documentados en su época. Que unos poemas satíricos falsamente atribuidos a él fueran la causa directa del suicidio se apoya sobre todo en la versión de la familia, no en un expediente. Y que esa muerte le hiciera odiar desde entonces toda autoridad y por eso estallara unas semanas después en un examen es una afirmación sin fundamento documental alguno.

Esta última frase se repite con especial frecuencia, pero no la avala ningún diario ni ninguna carta suya de aquel día. La proximidad de las fechas permite hablar de una posible influencia; no autoriza un diagnóstico psicológico.

En esta vida abundan ese tipo de causalidades porque los sucesos se amontonan: suicidio del padre, examen suspendido, revolución, expulsión, dos detenciones y duelo, todo en menos de tres años. Cuando los acontecimientos van pegados unos a otros, es muy fácil que el relato convierta «después» en «a causa de». Se conservaron notas escolares, decisiones sobre promoción o repetición de curso y comentarios de los profesores. Los comentarios lo calificaban de original y extraño y decían que lo dominaba la pasión por las matemáticas. El expediente escolar es algo tangible. Que a los catorce años devorara de una sentada un tratado de geometría como quien lee una novela no es una frase del expediente.

La diferencia entre las dos afirmaciones es una hoja de papel.

Y esa hoja es casi siempre lo que falta en los detalles más famosos de esta historia. No hay duda de que Galois intentó ingresar dos veces en la célebre escuela politécnica y fracasó en ambas. Pero las biografías no coinciden ni en la fecha exacta de los exámenes ni en algunos de sus pormenores. La anécdota más conocida cuenta que, tras el segundo fracaso, lanzó al examinador lo que se usaba para borrar la pizarra. Su primera aparición localizable con seguridad está en la biografía de Dupuy de 1896. Y el propio Dupuy la presenta con un «según la tradición». Ni siquiera puede precisar quién era el examinador.

Un relato incapaz de identificar al adversario de su protagonista ha conservado, sin embargo, todos los detalles del gesto. Es la forma típica de la leyenda: lo más difícil de comprobar queda borroso; lo más fácil de contar, perfectamente enfocado. Ya en 1849, una revista matemática describía a Galois como un aspirante de inteligencia excepcional rechazado en el examen. Pero no aportaba el detalle del objeto arrojado como un hecho verificable en los archivos.

Hay otra capa: al circular, hasta el objeto se ha ido solidificando. Las primeras fuentes francesas hablan de un trapo para limpiar la pizarra. Después, el inglés fijó la imagen de una especie de goma de borrar; al pasar al chino, acabó convertido en un borrador de pizarra. En cuanto a la biografía de Dupuy, merece que nos detengamos un poco más.

Su autor dice expresamente que consultó materiales de la Escuela Normal, del Ministerio de Educación, de la Academia de Ciencias de París, de los Archivos Nacionales, del archivo municipal de la ciudad natal de Galois, de la policía parisina, del hospital Cochin y de dos prisiones. También advierte que parte de los documentos originales de la policía y la justicia habían sido destruidos en 1871 y que, para cubrir esas lagunas, había tenido que recurrir a los periódicos de la época. Su libro sigue siendo una puerta de entrada insustituible a las fuentes. Sin él no tendríamos la mitad de las fechas de este ensayo.

Es una dependencia que esta serie conoce bien. El compilador del siglo V de la segunda entrega y el comentarista del mismo siglo de la tercera cumplían una función parecida: casi toda la información de que disponen las generaciones posteriores pasa por ellos, pero ellos también cuentan historias. La diferencia es que, esta vez, quien cuenta la historia tiene delante archivos municipales.

Y precisamente en ese libro creció la mayor de las leyendas de las que hablaremos más adelante.

Una misma persona puede ser el investigador de archivos más fiable y el fabricante de mitos más eficaz. No hay contradicción: ambas cosas ocurren en páginas distintas de un mismo volumen.

Los lectores que vienen después no separan las páginas. Leen una biografía de referencia que contiene tanto una fecha de nacimiento tomada del registro municipal como la imagen de un joven escribiendo febrilmente en los márgenes. Colocadas una junto a otra, parecen cosas de la misma naturaleza.

5. Tres rondas

Los trabajos centrales de Galois fueron enviados a evaluación tres veces. Mejor hablar de tres rondas de presentación, para no imaginar que entregó tres veces las mismas hojas.

La primera fue en 1829. Las actas de la Academia de Ciencias muestran que Cauchy presentó investigaciones de aquel joven en las sesiones del 25 de mayo y del 1 de junio. Se considera que eran dos manuscritos relacionados entre sí sobre teoría de ecuaciones, no copias del trabajo posterior. No se conserva un dictamen formal definitivo. La versión más difundida dice que Cauchy perdió los manuscritos. No podemos darla por probada.

El primer nivel de evidencia son esas dos actas. No encajan con un hombre que hubiera perdido los papeles nada más recibirlos y se hubiera desentendido por completo.

El segundo es aún más sólido. Se conserva una carta de Cauchy al presidente de la Academia, fechada el 18 de enero de 1830.

Explica que tenía previsto presentar dos asuntos aquel día. El primero era, precisamente, un informe sobre el trabajo del joven Galois. Como estaba enfermo y no podía asistir, pedía que ambos asuntos pasaran al orden del día de la sesión siguiente. Esa carta es la pieza central de toda la rectificación.

El 25 de enero volvió a asistir y presentó efectivamente el segundo asunto mencionado en su carta. El informe sobre Galois, en cambio, no llegó. Tampoco vuelve a aparecer después en las actas. ¿Por qué? El archivo no responde. Ahí está la tentación: cuando los documentos callan, lo más cómodo es insertar una intención. Se olvidó. Lo despreció. Tenía otras cosas que hacer. Pero el silencio solo es silencio.

Encontraremos varios silencios de esta clase. En cada uno de ellos, justamente, ha crecido una leyenda.

Por qué no volvió a presentarse aquel escrito. Adónde fue a parar el manuscrito. Por qué se produjo el duelo. Por qué aquellos papeles tardaron diez años en llegar a otras manos. Cuatro silencios, cuatro leyendas.

En 1971, el historiador francés de las matemáticas René Taton utilizó sistemáticamente esos documentos para proponer otra explicación. Era muy posible que, entre el 18 y el 25 de enero, Cauchy y Galois hubieran decidido prescindir del informe formal sobre los dos trabajos de 1829 y reunir y ampliar sus partes más originales, a tiempo de presentarlas al gran premio de la Academia antes del 1 de marzo. Taton lo llamó expresamente una hipótesis muy probable a partir de la documentación existente. No afirmó haber encontrado una carta de Cauchy que dijera: «Reescríbalo».

Hay además una coincidencia de fechas que respalda con fuerza esa reconstrucción: en febrero de 1830, Galois presentó de hecho un manuscrito de conjunto al premio. Aconsejar a alguien que concurra a un gran premio y meter sus papeles en un cajón son historias completamente distintas. Los testimonios conservados apuntan hacia la primera. Esta rectificación no llegó hasta 1971, más de un siglo después de que comenzara a circular la frase «Cauchy perdió el trabajo». Durante todo ese siglo largo, la frase siguió en los libros.

Los documentos habían estado siempre en la Academia. Nadie los había escondido. Sencillamente, nadie había ido a mirarlos.

Podemos ordenar lo sucedido según cuánto sabemos de ello.

Cauchy había leído aquellos trabajos. Tenía listo un informe para presentarlo. El 18 de enero estaba enfermo y escribió para pedir un aplazamiento. Después, el informe dejó de aparecer. Cada una de esas cuatro frases tiene detrás un papel de la época. Que aconsejara a Galois refundir y ampliar el trabajo para optar al premio es una deducción posterior hecha a partir de esos papeles. Razonable, sí; pero ninguna carta lo dice. Que perdiera los manuscritos no lo dice ningún documento contemporáneo.

La segunda ronda corresponde a aquel envío de febrero de 1830.

Fourier era entonces uno de los secretarios perpetuos de la Academia. Murió el 16 de mayo. El 28 de junio, el premio se concedió finalmente al ya fallecido Abel y al prusiano Jacobi, por sus trabajos sobre funciones elípticas. El manuscrito de Galois no llegó a la evaluación final y tampoco apareció después entre los documentos donde habría debido estar. En los primeros relatos figura una respuesta atribuida a cierto erudito: todo era muy sencillo, el manuscrito se había perdido al morir Fourier, encargado de tramitarlo. Pero quien reproduce esa respuesta ya emplea una cautela del tipo «se dice que contestó».

Estas afirmaciones no pesan lo mismo. Que el manuscrito estuviera desaparecido después de la muerte de Fourier es lo que consta. Relacionar la desaparición con aquella muerte es una explicación razonable. Imaginar que Fourier lo olvidó en un cajón o se lo llevó a casa y lo perdió es inventar. Y afirmar que la Academia lo destruyó deliberadamente no tiene ni un solo documento que dé pie a la imaginación.

La tercera ronda llegó en enero de 1831.

El manuscrito conservado lleva fecha del 16 de enero. Se presentó a la Academia el día 17, y Poisson y Lacroix quedaron encargados de evaluarlo. Emitieron su dictamen el 4 de julio. La versión popular dice que Poisson se limitó a escribir «incomprensible» y devolvió el trabajo de mala manera.

Lo que venía a decir el informe real era esto: los evaluadores habían procurado entender las demostraciones del autor, pero la exposición no era lo bastante clara ni estaba lo bastante desarrollada para que pudieran juzgar su rigor.

El dictamen señalaba además un problema crucial para la época. Las condiciones de resolubilidad de Galois apelaban directamente, en buena medida, a las relaciones entre las raíces de la ecuación. La teoría tradicional esperaba un criterio operativo que partiera de los coeficientes conocidos. A los evaluadores les resultaba difícil decidir qué clase de solución constituía aquello. «No entendieron» se queda muy corto. Dos generaciones no estaban entendiendo lo mismo por resolver una ecuación.

Todavía importa más el párrafo final. Puesto que el autor decía haber presentado solo una parte de una teoría más general, quizá resultara más fácil comprenderla si sus distintas partes se reunían y se aclaraban entre sí. Le recomendaban publicar el conjunto de su trabajo antes de que se emitiera un juicio definitivo. Es, a todas luces, una observación constructiva. No equivale a decir que aquel muchacho desvariaba.

Basta situar el informe dentro del funcionamiento cotidiano de la Academia en 1831. Muchas de las investigaciones que recibía ni siquiera obtenían un dictamen formal. Que Galois recibiera una respuesta escrita relativamente detallada ya demuestra que no lo habían tomado por un loco al que no merecía la pena prestar atención.

6. Aquella noche

Llegamos a la rectificación central de este ensayo. Según la versión más conocida, Galois escribió toda su teoría la noche anterior al duelo. La inmensa mayoría de esa teoría no fue escrita aquella noche.

El primer artículo que se conserva ya estaba terminado cuando se presentó a la Academia en enero de 1831. Antes habían existido los dos estudios relacionados de 1829 y el manuscrito de conjunto enviado al premio de 1830. Un segundo manuscrito importante se fecha hacia mayo o junio de 1830. La noche del 29 de mayo, lo que Galois hizo fueron, en realidad, dos cosas.

Una: escribir su testamento científico a su amigo Auguste Chevalier. Una carta de varias páginas, no un nuevo tratado de decenas de ellas. Organizaba por temas tanto los resultados alcanzados como los que aún tenía pendientes. Hablaba, sobre todo, de ecuaciones, ecuaciones primitivas, funciones elípticas y análisis trascendente, además de una idea de «ambigüedad», y pedía a su destinatario que procurara publicarlo. Dos: corregir los viejos manuscritos matemáticos y añadir notas al margen. La investigación moderna resume sin rodeos la actividad de aquel día: escribió la carta testamentaria y revisó algunos manuscritos.

También escribió cartas de despedida dirigidas a sus amigos republicanos. En ellas explicaba por qué se veía obligado a batirse en un duelo privado y les pedía que no se lo reprocharan.

Lo estremecedor de aquella noche no es, por tanto, que un muchacho de veinte años inventara de pronto una teoría entera en unas pocas horas.

Es que un joven que llevaba años trabajando creyera que podía morir al día siguiente y se esforzara por remendar sus antiguos manuscritos y trazar para un amigo el panorama de una investigación que todavía no había visto la luz. Esta versión es más difícil de contar que la leyenda. También duele más.

La noche de la leyenda es un estallido: tiene un principio y un final, y al amanecer el trabajo está completo. La noche real es la de alguien que pone en orden lo que lleva tres años haciendo sin que nadie quiera publicárselo. Corrige y, mientras corrige, sabe que no va a acabar.

La leyenda convirtió la tarea de ordenar un legado en la de crearlo. La diferencia no está en su intensidad dramática: la primera exige que ese hombre haya trabajado mucho tiempo; a la segunda le basta con concederle una noche. También se cambió de sitio la frase «no tengo tiempo».

La aparición más famosa está en una nota al margen de la demostración de la segunda proposición del primer artículo. Su sentido es este: falta completar un punto de esta demostración; no tengo tiempo. Los estudios modernos del original sitúan la frase expresamente allí. No en la primera página del artículo ni en la cubierta de la carta de despedida.

Hay otra aparición al final de la carta. Mientras habla de aplicar su idea de ambigüedad al análisis trascendente, dice que sus pensamientos sobre ese inmenso campo todavía no están suficientemente desarrollados, pero que no tiene tiempo. Una anotación marginal en un artículo y una frase dentro de una carta. Incluso el lugar puede fijarse: la nota está junto a la demostración de la segunda proposición del primer trabajo. Alguien escribió que no tenía tiempo y sabemos dónde, hasta el borde de qué proposición.

Las dos frases están ahí. Las dos se pueden comprobar. Se fundieron en un grito repetido porque la frase servía demasiado bien al relato. Un hombre escribe «no tengo tiempo» junto a una demostración inacabada; a la mañana siguiente se bate en duelo, y a la otra mañana muere. No hace falta añadir nada para que esas palabras pesen. El añadido consistió en extenderlas a toda la noche.

Escribir una vez esa frase en un manuscrito indica que alguien va con prisa. Escribirla durante toda una noche indica que está creando. Son dos efectos distintos. Decir que Galois no dejó de llenar los márgenes con «no tengo tiempo» funde aquellos dos pasajes en un motivo dramático recurrente. También conviene mirar la carta por lo que es. No está organizada como «teorema primero, teorema segundo». Es un mapa de investigación.

Al principio dice que tiene varios trabajos matemáticos que confiar a su amigo. La primera gran parte repasa la teoría de ecuaciones. La segunda se adentra en las funciones elípticas, sus períodos y un análisis trascendente más amplio. Al final explica que sus reflexiones recientes se han centrado en extender la idea de ambigüedad a las relaciones entre cantidades trascendentes: dada una relación, estudiar qué cantidades pueden intercambiarse sin alterarla. Esto basta para ver que, a sus propios ojos, el horizonte de su investigación se extendía mucho más allá del quinto grado.

Suele olvidarse, porque la posteridad ha clavado a Galois entero en la quíntica. Pero él dedicó una parte considerable de su última carta a hablar de otras cosas. Y lo que pedía era muy concreto.

Que su amigo publicara la carta. Que dos de los matemáticos más prestigiosos de entonces expresaran públicamente su parecer; y puntualizó que no les pedía juzgar si los teoremas eran verdaderos, sino si eran importantes. Y que alguien pudiera ordenar, continuar y completar su trabajo. De esas tres peticiones, la primera se cumplió.

La segunda, no. Para la tercera hubo que esperar catorce años, y la persona que la atendería aún no sabía que existían aquellos papeles. En septiembre de 1832 se publicó el testamento científico en una revista. En noviembre, su destinatario publicó también el primer homenaje póstumo con una semblanza biográfica relativamente completa. En cambio, la historia de que después envió los manuscritos a aquellos dos maestros y ambos los desdeñaron no cuenta con un rastro documental de envío igual de sólido.

7. El duelo

Esta sección tiene que comenzar por lo que no sabemos. Según el estado de la investigación especializada, ninguna explicación del duelo dispone de pruebas de primera mano suficientes para zanjar el asunto. El punto de partida más antiguo son los textos que escribió el propio Galois el 29 de mayo.

En la carta a sus amigos republicanos dice que va a ser víctima de una mujer frívola y detestable, y que su vida terminará por un miserable chisme. En otro pasaje llama «dos patriotas» a quienes lo han empujado al duelo y afirma haber hecho cuanto pudo para lograr una reconciliación. También pide a sus amigos que perdonen a quienes lo maten, pues cree que actúan de buena fe.

Esta última frase es la más incómoda para todas las versiones, porque no encaja en ninguna historia fácil de contar. Cuesta insertarla en un relato sencillo de asesinato político o de rivalidad amorosa. Pero tampoco basta una interpretación psicológica de una frase para descartar por sí sola una posibilidad.

Ahí nace toda la tradición de la disputa amorosa. Lo que esa fuente prueba es que Galois entendía lo sucedido como un conflicto privado de honor en el que estaban implicados una mujer y compañeros republicanos. No nos dice quién era ella ni qué había pasado exactamente. Tampoco dice que un rival lo hubiera retado para disputarse una novia. Él escribió cómo entendía lo ocurrido, no una reconstrucción de cómo había ocurrido. Esa distancia existe en cualquier relato de un protagonista.

Por otra parte, la frase sobre la buena fe de los adversarios crea una dificultad evidente para la tesis del asesinato político. Ordenemos las versiones posteriores.

Un familiar transmitió la tradición de la familia más de sesenta años después: tras un último encuentro, intervinieron sucesivamente dos hombres cercanos a la mujer, uno presentado como su tío y otro como su prometido, y aquello terminó en el duelo. Un testimonio separado de los hechos por más de seis décadas no es un documento escrito por un protagonista en el momento de los sucesos.

Para el nombre concreto del adversario, la principal fuente temprana son las memorias de Alexandre Dumas. Dumas conocía aquel círculo republicano y estuvo presente en el banquete del 9 de mayo. Pero sus memorias no son un acta del duelo, y él no presenció el combate.

La identificación de la mujer procede de una investigación de 1968, basada en documentos del registro civil, en el entorno de la casa de salud y en un nombre que Galois dejó escrito en sus papeles. Los archivos confirman que esa mujer existió y que tenía vínculos concretos con aquel lugar. Su identificación no es, por tanto, pura novela. Que fuera precisamente la mujer a causa de la cual se produjo el duelo sigue siendo una inferencia construida con varias piezas.

Las hipótesis de una trampa política o de un asesinato policial carecen por completo de apoyo documental. No se ha encontrado ninguna orden policial, informe de un confidente, pago, preparación del duelo ni documento contemporáneo que demuestre una conspiración del Gobierno. Ocurre lo mismo con la idea de que Galois buscara deliberadamente suicidarse mediante el duelo. No hay ninguna carta de despedida que diga eso. Sobre el duelo en sí podemos fijar muy pocas cosas: sucedió al amanecer del 30 de mayo de 1832, en una zona al sur de París.

Galois recibió un disparo en el abdomen y fue llevado al hospital Cochin. El recorrido médico reconstruido a partir del libro de ingresos y de la autopsia es este: la bala entró por un costado del abdomen, atravesó la región abdominal y causó lesiones mortales. Ingresó hacia las nueve y media de la mañana y murió aproximadamente a las diez de la mañana siguiente. Los documentos médicos y administrativos directos no dan el nombre de su adversario. Tampoco se conserva un acta fiable del duelo que identifique a los testigos o a los padrinos de cada parte.

No hay documentación formal suficiente para reconstruir las reglas, quién disparó primero, si se turnaban, si los separaban veinticinco pasos o si Galois se abstuvo de disparar deliberadamente. Las primeras versiones tampoco coinciden en quién lo encontró y lo trasladó. La familia habló de un campesino o un cochero; una biografía de 1848 ofrecía otra versión, con un veterano del ejército. La propia contradicción debería impedirnos escoger la escena más vistosa. Escogerla es lo más fácil para quien escribe y casi nunca lo descubrirá el lector: el lector no tiene delante las otras versiones.

La conclusión que se sostiene es muy sobria. Un duelo al amanecer. Un disparo en el abdomen. Quienes lo acompañaban se marcharon sin dejar una identidad verificable. Después lo llevaron al hospital y murió al día siguiente. Basta añadir otra capa para que la fuerza de las pruebas caiga en picado.

Y casi todos los relatos populares se construyen precisamente con esa capa adicional. Los veinticinco pasos. Los disparos por turnos. Galois disparando al aire. El cuerpo tendido en el campo hasta que un campesino lo descubre al día siguiente. Ninguno de esos detalles tiene apoyo documental.

8. Catorce años no son catorce años de lectura

¿No recibió Galois ningún reconocimiento en vida? La afirmación es inexacta. Después de cotejar su historia editorial, la investigación moderna lo dice con claridad: publicó cinco artículos matemáticos mientras vivió.

Entre ellos están el trabajo sobre fracciones continuas aparecido en una revista en 1829 y varios publicados en otra durante 1830, que ya abordaban la teoría de ecuaciones que estaba elaborando.

En la escuela, los profesores de matemáticas habían advertido sin duda sus capacidades excepcionales. En el informe que justificaba su expulsión, las autoridades escolares le reprochaban un carácter difícil de gobernar y una conducta irregular, pero reconocían al mismo tiempo su talento indiscutible para las ciencias matemáticas.

En la Academia, Cauchy presentó dos veces sus investigaciones y preparó un informe sobre ellas. Poisson le pidió por iniciativa propia que volviera a entregar el trabajo y, después, él y Lacroix emitieron un dictamen real. Nada de eso encaja con la idea de que nadie quiso leer una sola palabra suya.

Si la imagen del genio ignorado ha circulado tanto, se debe en parte a que pide pocas pruebas. Para decir que alguien no obtuvo reconocimiento basta con señalar un fracaso. Para explicar que obtuvo un reconocimiento parcial hay que reunir cinco artículos, un informe escolar, dos presentaciones ante la Academia y un dictamen. La segunda historia cuesta más trabajo y se deja contar peor.

Y, una vez contada, tampoco conmueve. Un joven de talento recibió cierto reconocimiento, aunque insuficiente y tardío. En esa frase no hay una historia.

Lo que ocurrió fue esto: mientras vivía, algunos profesores, editores y matemáticos de primera fila ya habían reparado en él, y había conseguido publicar varios artículos. Pero la parte central de su teoría de la resolubilidad de ecuaciones no alcanzó en vida ni la publicación formal ni el reconocimiento de la comunidad. En cuanto a los famosos catorce años: que la publicación oficial llegara catorce años después de su muerte no significa que Liouville necesitara catorce años para entenderla.

Cuando Galois murió en 1832, los manuscritos quedaron primero en manos de Chevalier. En septiembre apareció la carta testamentaria; en noviembre, el homenaje póstumo. El recorrido concreto de los papeles durante los aproximadamente diez años siguientes no se conoce por completo. El dato decisivo es que Liouville no recibió la colección entera en 1832. Por lo que permiten establecer las fuentes, Chevalier no se la entregó hasta el verano de 1843.

En julio de 1843, Liouville ya pudo anunciar públicamente ante la Academia que había encontrado en aquellos trabajos resultados de gran importancia sobre las ecuaciones algebraicas. Publicó los escritos principales en su propia revista en 1846.

Los catorce años, por tanto, deben dividirse en dos tramos. Desde 1832 hasta aproximadamente 1843, los manuscritos estuvieron, en lo esencial, fuera de las manos de Liouville. No tenemos documentación suficiente para explicar por qué no produjeron una influencia matemática durante aquella década. De 1843 a 1846, Liouville leyó, comprobó, ordenó y preparó la publicación: unos tres años.

Tampoco hay una respuesta firme a la pregunta de por qué Chevalier esperó hasta 1843 para entregarlos. Hoy por hoy, explicar el retraso como una maniobra del Gobierno para silenciar deliberadamente a un mártir republicano carece de respaldo en los archivos.

Ahora podemos ver cómo se formó la leyenda. No apareció de pronto en 1937. Fue depositándose capa a capa. Ya en 1832, Chevalier había relacionado la muerte de Galois con el insuficiente reconocimiento académico oficial. Ahí estaba el núcleo de la historia del joven traicionado por las instituciones.

Una capa todavía anterior la había escrito el propio Galois. En diciembre de 1831, preso en Sainte-Pélagie, redactó un prefacio para sus trabajos que no llegó a imprimirse mientras vivió. Allí decía que el manuscrito presentado a la Academia en febrero de 1830 no había obtenido respuesta y que nunca había vuelto a verlo. Que el de 1831 había pasado a Poisson, y que este se había limitado a decir en una sesión que no lo entendía. Añadía que los papeles se perdían con especial frecuencia entre los legajos de los académicos, y que no comprendía cómo podían seguir siendo tan negligentes unos hombres que cargaban sobre su conciencia con la muerte de Abel. Aquel dictamen escrito que vimos en la quinta sección, con sus razones y su recomendación de publicar el conjunto de la obra, había quedado reducido en este prefacio a «no lo entendió».

El caso de Abel sí deja rastro documental. El 30 de octubre de 1826 presentó a la Academia un extenso trabajo que fue asignado a Cauchy y Legendre. Pasaron más de dos años sin respuesta. En marzo de 1829, Jacobi escribió a Legendre para preguntarle cómo era posible que un descubrimiento que quizá fuera el más importante del siglo en matemáticas llevara dos años en la Academia sin recibir atención. El artículo no se publicó hasta 1841. Abel llevaba doce años muerto.

En 1848, una revista ilustrada publicó el célebre retrato de Galois que su hermano menor había dibujado de memoria, y lo acercó al gran público. En 1849 apareció en una revista matemática una de sus primeras biografías matemáticas. Las memorias de Dumas incorporaron el banquete y el nombre de un adversario concreto a una tradición narrativa cargada de dramatismo. Después llegó la biografía de Dupuy de 1896, fruto de una enorme labor auténtica de archivo y todavía hoy puerta de entrada insustituible.

Pero ese mismo libro narraba la última noche mediante una escena intensamente literaria: Galois anotaba febrilmente sus resultados mientras repetía en los márgenes «no tengo tiempo». Fue precisamente una biografía documental de autoridad la que vistió de credibilidad el mito que acabaría siendo más famoso. En 1937 se publicó la colección de biografías matemáticas de Bell para el público de lengua inglesa. Uno de sus capítulos se titulaba, sin más, «Genio y estupidez». La principal aportación de Bell no fue inventar todas las historias, sino borrar los signos de interrogación de las fuentes anteriores.

El trapo de pizarra que aparecía en una tradición se convirtió en una goma de borrar arrojada al examinador como hecho seguro. La complicada historia de los manuscritos en la Academia pasó a ser una cadena de autoridades estúpidas o descuidadas que maltrataban al genio. La revisión de viejos papeles y la carta del 29 de mayo se transformaron en una noche entera escribiendo frenéticamente su legado matemático. «No tengo tiempo» se volvió un clamor incesante en los márgenes. Y toda la vida quedó ordenada según el título: el genio chocando una y otra vez con la estupidez.

En 1982, Rothman publicó un artículo dedicado a este problema. Su título, «Genio y biógrafos», respondía justamente a aquella tradición de «Genio y estupidez» de Bell.

Su método no consistía en escribir otra vida heroica. Fue cotejando, capa por capa, las biografías posteriores con las fuentes tempranas, para observar cómo un detalle pasaba de «se cuenta que» a «así ocurrió». Su importancia en esta historia biográfica va más allá de desmontar falsedades. Por primera vez, un caso de historia popular de las matemáticas se convertía él mismo en objeto de estudio: cómo fabrican las biografías el mito del genio matemático.

El objeto de estudio había cambiado. Ya no era el hombre, sino los relatos sobre el hombre. El cambio aparece en el lugar justo de este ensayo, porque eso mismo es lo que venimos haciendo desde la primera línea.

Volvamos al documento de defunción que se equivocaba en la edad.

En la segunda entrega, la historia del hombre arrojado al mar tenía una parte firme, la cuestión que quedaba en el plano de la estructura, y otra endeble, lo que le había sucedido al hombre. Los relatos posteriores llenaron ese hueco con una víctima.

Aquí las dos partes son firmes. Partida de nacimiento, registros de exámenes, actas de sesiones, crónicas de los juicios, registros carcelarios, libro de ingresos del hospital, los propios manuscritos, aquella carta. Sin embargo, la leyenda también creció, y con mayor espesor. La causa no es la cantidad de documentos. Un archivo puede decir cuándo, dónde y quién firmó. No puede decir en qué instante una persona vio aquella estructura.

Ese es el límite común de todos los archivos, no solo de los suyos. El hombre que en la cuarta entrega dejó por escrito cómo había encontrado sus respuestas ha sido, en toda esta serie, lo más parecido a una excepción. Pero también él describía un método, no aquel instante. Ningún documento registra el segundo en que se produce la comprensión.

Así que el relato tiene que colocar ese instante en algún sitio. No puede dejarlo fuera. Sin ese momento, la historia no se sostiene, igual que en la segunda entrega no se sostenía sin una víctima. Pero, en los relatos posteriores, de tantos días de su vida que tenían fecha parecía haber quedado solo la última noche. Tenía fecha, tenía lugar, tenía papeles que habían sobrevivido y tenía, a la mañana siguiente, un duelo mortal. No había mejor sitio donde alojar aquel instante.

Y allí lo pusieron. Una vez instalado, ya no volvió a salir.

No le ocurre solo a Galois. Casi cualquier historia sobre alguien que por fin entendió algo necesita señalar un momento: el instante en que cae la manzana, el agua que se desborda de la bañera, el instante en que se enciende la luz.

Esos momentos rara vez tienen pruebas. Y a menudo ni siquiera las necesitan, porque nadie va a preguntar por ellas. Lo que el lector quiere es ese instante.

Así que, la próxima vez que leas que alguien comprendió algo de golpe cierta noche, vale la pena preguntar: ¿quién le puso la fecha?

Seguimos haciendo cuentas; lo que cuenta como matemáticas sigue sin estar zanjado.

Fuentes y lecturas complementarias

Las fuentes siguientes corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación del ensayo. Los registros de archivo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son pruebas del mismo tipo.

• Escritos matemáticos de Galois, editados por Liouville: publicación original de 1846
• Dupuy: La vida de Évariste Galois (1896)
• Ehrhardt: Galois y los tiempos sociales de las matemáticas
• Bibliografía de estudios sobre Galois y acceso al catálogo de manuscritos
• Neumann: editores y ediciones de los escritos de Galois
• Biografía de Abel, Universidad de St Andrews