Cuando estalló el quinto postulado

1. Lo demostró y luego lo declaró falso

En 1733, un jesuita italiano llamado Saccheri publicó un libro cuyo título venía a decir: Euclides, libre de toda mancha.

El título dejaba clara su posición. En el tercer episodio vimos que aquel tratado de geometría comenzaba con cinco afirmaciones que no se demostraban, y que la quinta tenía todo el aspecto de una conclusión pendiente de prueba. Durante dos mil años, la mayoría creyó que podía deducirse de las cuatro primeras; simplemente, nadie lo había conseguido todavía. Saccheri se propuso conseguirlo.

Eligió la reducción al absurdo. Suponer que el quinto postulado era falso y seguir deduciendo consecuencias hasta llegar a una contradicción. En cuanto apareciese, la suposición quedaría descartada y no habría más remedio que aceptar el quinto postulado.

Para hacerlo, construyó una figura. Tomó un segmento como base, levantó en sus extremos dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a la base, y unió sus extremos superiores. Las proposiciones anteriores permitían demostrar que los dos ángulos de arriba eran iguales. Quedaban, por tanto, tres posibilidades: ambos rectos, ambos obtusos o ambos agudos. Con los rectos se regresaba a Euclides. La hipótesis de los obtusos resultó relativamente fácil de descartar. El problema de verdad empezó con los agudos.

Saccheri siguió deduciendo y no encontró ninguna contradicción. Siguió un poco más. Tampoco. Lo que obtuvo fue una serie de proposiciones nuevas, rigurosamente trabadas: la suma de los ángulos interiores de un triángulo era estrictamente menor que dos rectos; la distancia entre rectas que no se cortaban se comportaba de una manera completamente distinta de la euclídea; la relación entre semejanza y congruencia cambiaba por entero. Además, si aquellas propiedades se cumplían en un lugar, regían toda la geometría. No eran una excepción arrinconada en alguna parte.

Decenas de páginas, decenas de proposiciones. Dicho en el lenguaje actual, había construido una porción considerable de la geometría elemental del plano hiperbólico.

No se puede dar una cifra exacta. Cuántas de sus proposiciones intermedias cuentan como teoremas de lo que después se llamaría aquella geometría depende de cómo descompongamos la cadena de razonamientos. Dar un número preciso sería fingir una precisión que no tenemos. Lo seguro es esto: había materia suficiente para un curso, aunque faltaba un sistema completo de trigonometría hiperbólica y, desde luego, no había ningún modelo. Y entonces, al final del libro, declaró que la hipótesis del ángulo agudo era absolutamente falsa. ¿Su razón? Cierto comportamiento de las rectas que se deducía de ella era contrario a la naturaleza de la recta. Esa frase es la clave del libro. Y no es una contradicción.

Ninguna de las decenas de proposiciones anteriores entraba en conflicto con otra. Lo que Saccheri llamó contradicción consistía en volver a introducir, como criterio para juzgarlas, la imagen de cómo debía comportarse una recta euclídea.

Aquí sirve sin retoques la conclusión del tercer episodio. El supuesto escrito atrae los ataques; los que no están escritos se esconden con facilidad entre las cosas que se dan por sentadas. Todo el libro de Saccheri arremetía contra el primero. En la última página, él mismo recurrió a uno de los segundos.

Una versión posterior de la historia cuenta que estuvo a un paso de descubrir la geometría no euclídea, pero se echó atrás en el último momento. Esa versión lo convierte en un cobarde y, además, se equivoca sobre la situación en que se encontraba.

No era cuestión de valor. Desde el título hasta la estructura de sus demostraciones, la misión que había asumido era probar que Euclides no tenía defecto alguno. No disponía de la idea de que otra geometría pudiera ser un objeto matemático legítimo. Por eso, aquella construcción de proposiciones que no se contradecían solo podía parecerle una reducción al absurdo a la que aún faltaba el último paso. No un mundo nuevo ya construido.

2. Una esfera de radio imaginario

Más de treinta años después, Lambert llegó más lejos y se detuvo en un lugar muy distinto. Redactó su trabajo sobre las paralelas hacia 1766. No lo publicó en vida: otros prepararon el manuscrito para la imprenta en 1786. Conviene, por tanto, distinguir la fecha de redacción de la fecha de publicación.

Su figura era algo diferente: un cuadrilátero con tres ángulos rectos. Estudiaba lo que ocurría si el cuarto era recto, obtuso o agudo. El planteamiento pertenecía a la misma tradición que el de Saccheri.

Una vez fijados los tres ángulos rectos, el cuarto solo podía caer en uno de aquellos tres casos. El dispositivo cumplía la misma función que el de Saccheri: convertir un problema que no se dejaba ver en otro cuyas posibilidades podían examinarse una por una.

Y lo que obtuvo en la rama del ángulo agudo resulta hoy reconocible a primera vista.

No se apresuró a descartarla como había hecho su predecesor. La suma de los ángulos de un triángulo era menor que dos rectos. Dos rectas con una perpendicular común se separaban cada vez más. Algunas propiedades euclídeas de círculos y polígonos dejaban de cumplirse. La propia geometría hacía aparecer una escala de longitud intrínseca. El resultado más importante era este: el área de un triángulo era proporcional a su defecto angular. Ese defecto era lo que faltaba a la suma de sus tres ángulos para alcanzar dos rectos. No se trataba de una bonita fórmula aislada. Era una de las huellas más claras de lo que después se llamaría geometría de curvatura negativa constante.

Entonces escribió la frase que se haría famosa.

Había observado que, sobre una esfera, los ángulos de un triángulo suman más de dos rectos y su área está relacionada con ese exceso angular. Bajo la hipótesis del ángulo agudo ocurría exactamente lo contrario. Uno casi se veía obligado a concluir, escribió, que esa tercera hipótesis se realizaba sobre una esfera de radio imaginario.

La frase no significa que ya tuviera un modelo. Ante todo, expresa una analogía extraordinariamente perspicaz: al sustituir formalmente el radio de las fórmulas esféricas por un número imaginario, muchos de los signos se invierten como hace falta.

En el octavo episodio vimos cómo, en el siglo XVI, las raíces cuadradas de números negativos se convirtieron en una estación de paso cuya identidad seguía en suspenso, y por la que pasaba precisamente el camino de los radicales. Unos dos siglos después reaparecen aquí, pero esta vez dentro de una afirmación geométrica: una esfera cuyo radio es imaginario.

Cuando Lambert escribió aquello, el cálculo con números complejos ya había avanzado, pero sus fundamentos y su interpretación geométrica no estaban asentados como lo estarían más tarde. Estaba usando algo que aún carecía de suelo firme para describir otra cosa que tampoco lo tenía.

Más importante aún es cómo termina su trabajo. No declaró, como Saccheri, que aquello fuera absolutamente falso. El manuscrito conservado sigue buscando una contradicción en sus últimas páginas, y esa parte quedó inconclusa.

No debemos, pues, añadirle una sentencia que él no dictó. Solo podemos afirmar que no proclamó públicamente la legitimidad de una geometría nueva.

Hay otra versión muy repetida que conviene revisar. El libro de Saccheri no permaneció perdido durante un siglo y medio. Es cierto que no dio lugar a una tradición continua de lectura ni dejó una escuela. Pero Klügel lo citó en su trabajo sobre las paralelas de 1763, y Lambert había leído a Klügel. La influencia de un libro puede viajar por un hilo así de fino: alguien lo cita y otra persona lee esa cita.

La verdadera reconsideración de su lugar en la historia llegó hacia 1889, cuando alguien reparó en el libro y se lo señaló a Beltrami. Fue después de eso cuando Saccheri entró en el relato habitual de la geometría no euclídea. Dejar un rastro bibliográfico y ser leído como un punto de partida son cosas diferentes.

La distinción volverá a aparecer en este episodio, y la próxima vez sus consecuencias serán mucho mayores.

3. ¿Qué era, entonces, lo nuevo?

Esta es la sección decisiva del episodio.

Si descubrir la geometría no euclídea consistiera únicamente en demostrar proposiciones correctas a partir de la negación del quinto postulado, gran parte del trabajo ya estaría hecha en 1733, y en 1766 se habría completado otra parte de lo que quedaba. El siglo XIX añadió cuatro cosas de otra índole.

La primera fue el estatuto de aquellas proposiciones. Saccheri llamaba a la del ángulo agudo una hipótesis enemiga: había que destruirla. Lambert seguía trabajando dentro de la búsqueda de una contradicción. Los que vinieron después empezaron a decir: no demos por sentado que tiene que morir; veamos qué pasa si la dejamos funcionar como una geometría entera.

Las mismas proposiciones eran, para unos, pruebas reunidas para dictar una sentencia de muerte y, para otros, el contenido de una disciplina. La diferencia no estaba en lo escrito sobre el papel, sino en lo que se pretendía hacer con ello. Parece una diferencia de actitud, pero va mucho más allá: determina el siguiente paso. Si las proposiciones son pruebas contra una hipótesis, lo que corresponde es seguir buscando una contradicción hasta encontrarla. Cada proposición nueva solo registra otro intento fallido.

Si son el contenido de una disciplina, el trabajo siguiente cambia por completo: ordenarlas, completar lo que falte, distinguir las fundamentales de las derivadas y averiguar si con todo aquello se pueden calcular otras cosas. Los mismos papeles, dos maneras de continuar.

Y Saccheri y Lambert ya habían llenado los papeles.

La segunda novedad fue el grado de sistematización. Saccheri tenía muchas proposiciones elementales; Lambert, la profunda intuición que vinculaba el área con el defecto angular. Ninguno había desarrollado una teoría de cálculo que pudiera usarse una y otra vez. Sus sucesores establecieron relaciones completas entre el ángulo de paralelismo, las distancias y las funciones trigonométricas, extendieron al espacio los resultados del plano y explicaron cómo aparecía la geometría euclídea como límite o como caso particular.

Con ese paso, la nueva geometría dejó de ser una sarta de conclusiones extrañas surgidas durante una reducción al absurdo. Se convirtió en algo con lo que se podía calcular a diario, como con la trigonometría esférica.

Había, además, una consecuencia añadida. Un sistema de cálculo permite comprobarse a sí mismo: se obtiene una misma magnitud por caminos distintos y, si los resultados no coinciden, hay un error en alguna parte. Las proposiciones nacidas de las reducciones al absurdo ya mantenían relaciones lógicas entre sí, pero todavía no formaban un sistema de cálculo igual de completo y fácil de reutilizar.

La tercera novedad estaba en la posición desde la que se trabajaba. Sus objetivos no eran los mismos. A uno le preocupaba si la geometría podía fundarse enteramente a priori; es decir, si bastaba con pensar para decidir qué clase de espacio tenía que existir. Otro quería aislar lo que no dependía del postulado de las paralelas y convertirlo en una disciplina más básica, de la que la geometría euclídea y la no euclídea fueran dos ramas. Otro prefería tratarla sencillamente como una geometría imaginaria en la que se podía seguir deduciendo y calculando: calcular primero y ya se vería después. Pero todos habían cruzado la misma línea. Ya no suponían aquella geometría para poder refutarla.

La cuarta novedad llegó al final y fue la más decisiva: los modelos.

Aunque se hubieran demostrado cientos de fórmulas compatibles entre sí, el escéptico podía seguir respondiendo: quizá la contradicción aparezca en la siguiente. Ninguna cantidad adicional de teoremas podía refutar esa objeción, porque, por muchos que se añadieran, seguirían siendo un número finito. El modelo cambió la pregunta misma. Pero para eso hubo que esperar a 1868.

Lo nuevo, por tanto, no fue principalmente disponer de más teoremas. Fue disponer de otra respuesta a la pregunta de qué eran aquellos teoremas.

4. Tres caminos

Suele presentarse a Gauss, Bolyai y Lobachevski como tres descubridores independientes y contemporáneos. Es una fórmula cómoda para conmemorar, menos útil para entender. En el caso de Gauss, hay que separar dos clases de testimonios.

En sus últimos años afirmó repetidamente que llevaba treinta, treinta y cinco, casi cuarenta años pensando en el asunto. En 1846 llegó a decir que mantenía convicciones semejantes desde hacía cincuenta y cuatro años. Si retrocedemos esas cifras en el calendario, llegamos a la década de 1790, cuando era adolescente.

Esos recuerdos son documentos auténticos: él escribió las cartas y sus fechas son seguras. El problema es que son recuerdos, no registros de aquella época. Que alguien diga haber concebido algo treinta años antes demuestra que lo creía cuando lo dijo. No demuestra qué tenía entre manos aquel día de treinta años atrás.

Los manuscritos que sí pueden fecharse distan mucho de la teoría completa que aquellos recuerdos parecen sugerir. Su diario matemático de 1796 a 1814 es una fuente de enorme importancia, pero ninguna de sus entradas basta para establecer que el joven Gauss poseyera ya toda la geometría hiperbólica en el sentido posterior. En cambio, entre 1828 y 1832 sí aparece una serie de notas sobre paralelas y fundamentos de la geometría cuyas fechas pueden fijarse con seguridad.

Una cronología más firme empieza así: a finales de la década de 1790 ya discutía sobre los fundamentos de la geometría con Bolyai padre.

Ese hombre volverá a aparecer, precisamente en su papel de padre. En la correspondencia de Gauss de alrededor de 1816 ya circulaban ideas como el reverso de la geometría euclídea, una constante desconocida o una trigonometría trascendente. En 1819, al responder a unas páginas sobre geometría astral que le habían llegado por intermediarios, afirmó expresamente que, una vez dada aquella constante, sabía trabajar con esa geometría.

La carta que escribió a Taurinus el 8 de noviembre de 1824 ofrece un testimonio mucho más claro. Suponer que los ángulos de un triángulo suman menos de dos rectos, decía, conduce a una geometría peculiar. Muchos de sus resultados parecen paradójicos, pero hasta entonces no había encontrado nada imposible en ella. Posee una escala característica y relaciona el área de los triángulos con su defecto angular.

En la carta a Bessel del 27 de enero de 1829, la cuestión sube un nivel. Gauss dice estar cada vez más convencido de que la geometría no puede establecerse enteramente a priori. Ha investigado mucho sobre esas cuestiones, pero quizá no llegue a ordenar y publicar sus resultados en vida. Y a continuación viene la frase célebre: teme el griterío de los beocios.

Beocia era una región de la antigua Grecia. En la burla estereotipada de los atenienses, un beocio era alguien obtuso, tosco, incapaz de apreciar las cosas refinadas. La frase es auténtica y su procedencia no deja lugar a dudas: está en esa carta.

Pero no lo explica todo. El historiador de las matemáticas Jeremy Gray introdujo una corrección importante: los primeros documentos de Gauss que pueden fecharse con precisión contienen mucho menos que la teoría completa que otros reconstruyeron después en su nombre. En 1828 y en 1831 seguía redactando nuevas notas sobre los fundamentos. Eso se parece más a una investigación en curso que a un libro terminado en la década de 1790 y guardado en un cajón.

La conclusión más sólida es, pues, esta: el miedo al griterío no es una leyenda, sino una de las explicaciones que dio el propio Gauss. Convertirlo en la única explicación y usarlo para rellenar todo el contenido matemático que no dejó documentado es parte de una construcción heroica posterior. Por otro camino avanzaban un padre y un hijo.

El 4 de abril de 1820, Bolyai padre escribió a su hijo, que se encontraba en Viena. Él había consumido muchas fuerzas persiguiendo las paralelas en su juventud y había hablado de ello con Gauss. No era el consejo vago de un padre que intenta disuadir a su hijo. Era la advertencia muy concreta de alguien herido por la experiencia: no sigas las paralelas por ese camino; es una noche sin fondo que se tragará tu tiempo, tu salud y tu vida.

Quien escribió esa carta sabía de qué hablaba. Había perdido muchos años de juventud en el mismo camino y, por sus conversaciones con Gauss, sabía que ni siquiera él había resuelto el problema. Tres años después, la situación dio la vuelta. El 3 de noviembre de 1823, el hijo escribió al padre para anunciarle que había creado de la nada un mundo nuevo y extraño.

El trabajo acabó publicándose como apéndice de una obra de su padre en dos volúmenes. El título completo venía a significar: Apéndice que expone la ciencia absolutamente verdadera del espacio. Eran poco más de veinte páginas de una densidad extrema. Allí se comprimían el ángulo de paralelismo, la trigonometría hiperbólica y resultados relativos al espacio.

Una de sus auténticas novedades fue cambiar la pregunta. En lugar de preguntar si el quinto postulado era verdadero o falso, preguntaba qué hechos geométricos no lo necesitaban en absoluto y dónde se bifurcaba lo que quedaba.

El 20 de junio de 1831, el padre envió un ejemplar a Gauss. No llegó a su destino. Un segundo ejemplar llegó en enero de 1832. Gauss respondió el 6 de marzo de ese año.

El pasaje más famoso de la respuesta decía, en sustancia: quizá te sorprenda oír que no puedo alabar el trabajo de tu hijo. Pero alabarlo sería casi alabarme a mí mismo, pues su contenido, el camino seguido y los resultados obtenidos coinciden casi por completo con mis propias reflexiones de los últimos treinta o treinta y cinco años.

La carta es una prueba documental firme. Pero prueba que Gauss reclamó esa prioridad en 1832. Por sí sola, no demuestra que el Gauss de 1797 tuviera ya todo el contenido del apéndice.

Hay documentos auténticos sobre la reacción posterior del hijo, aunque las versiones populares suelen cargar las tintas. La carta agravó el distanciamiento entre padre e hijo y le hizo pensar que no tenía sentido seguir publicando. Pero no dejó de trabajar: después de leer el libro de Lobachevski en 1848, escribió una gran cantidad de notas críticas y comparativas. Durante un tiempo llegó a sospechar alguna relación entre Gauss y Lobachevski. Se conserva una enorme cantidad de manuscritos inéditos suyos.

Por eso, decir que una carta de Gauss destruyó a un genio no se sostiene. Lo que ocurrió fue que su trayectoria pública quedó prácticamente detenida en el apéndice, aunque siguió escribiendo después. No hay fuentes rastreables que permitan saber qué hizo o qué dijo en el instante de leer la carta. Las escenas tan vivas que se cuentan después proceden, precisamente, de quienes las contaron después.

El hombre del tercer camino fue el que más publicó y el que trabajó más abiertamente.

La primera etapa de Lobachevski transcurre en Kazán, entre 1829 y 1830. Publicó un trabajo sobre los principios de la geometría en cinco entregas de una revista local de la universidad. Fue la primera exposición sistemática de geometría no euclídea que llegó formalmente a la imprenta. Antes, el 11 de febrero de 1826, ya había presentado la nueva geometría ante la Universidad de Kazán y la había sometido a evaluación, pero aquel manuscrito se perdió.

El verdadero cuello de botella era el canal de publicación. Una revista universitaria local, en ruso, con una circulación muy limitada incluso dentro de Rusia. Si en Europa occidental apenas se conocía el trabajo, no era porque una carta tardara diez años en llegar. Era un problema de lengua, de redes de intercambio, de prestigio editorial y de vías de acceso a la comunidad científica.

La segunda etapa llegó en 1837, cuando publicó en francés en una importante revista de investigación de Berlín. La revista había publicado trabajos de Abel, y el francés era por entonces una lengua internacional de la ciencia.

En el décimo episodio hablamos del folleto que Abel imprimió a sus expensas. Esa misma revista publicó después una versión más completa de su trabajo, y también publicó este de Lobachevski. A partir de 1837, por tanto, deja de ser sostenible que su obra no pudiera llegar físicamente a Europa occidental.

La tercera etapa fue el opúsculo en alemán publicado en Berlín en 1840: unas sesenta páginas, su versión más clara y más fácil de difundir. Ese fue el libro que Gauss leyó y examinó seriamente.

Gauss lo apreció mucho. En su correspondencia privada elogió su auténtico espíritu geométrico y propuso a Lobachevski para una sociedad científica de Gotinga. Pero la admiración privada y la defensa pública son cosas distintas: no publicó ningún artículo en defensa de Lobachevski.

En 1855, ya completamente ciego, Lobachevski dictó su última exposición sistemática. Este hecho está mucho mejor documentado que muchos de los relatos sobre la desgracia de sus últimos años. No hay documentos que sustenten la imagen de un hombre abandonado por todos en la miseria absoluta.

La investigación moderna de los archivos ha corregido varias exageraciones sobre sus propiedades, su situación económica y la actitud de la universidad. La ceguera, la enfermedad y la muerte de su hijo mayor son reales. El abandono por parte de todos no lo es.

5. Publicada, pero no aceptada

Es falso que nadie les prestara atención. Es cierto que no hubo una aceptación generalizada.

Los primeros manuscritos de Lobachevski llegaron a los cauces de evaluación de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Los examinó Ostrogradski, su matemático más célebre, y su dictamen fue negativo. La Academia no los imprimió. En 1834, una revista de San Petersburgo publicó además un artículo que se burlaba de su geometría. El propio rechazo demuestra que alguien la había leído. En 1837 publicó en la revista berlinesa. Cuando apareció el opúsculo alemán de 1840, Gauss no tardó en advertirlo y en proponer a su autor para aquella sociedad científica. El apéndice de Bolyai tuvo, al menos, un lector que respondió con detalle: Gauss.

Mientras tanto, casi no existían redes de citas, de manuales o de enseñanza. No encontramos pruebas de que un estudiante corriente de matemáticas en Europa pudiera conocer aquella geometría en los cursos habituales de las décadas de 1830 y 1840.

Una coincidencia muestra el problema con especial claridad. En la década de 1830, Minding estudiaba superficies de revolución de curvatura negativa constante y llegó incluso a fórmulas correspondientes a las de la trigonometría hiperbólica. No las relacionó con Lobachevski. Dos personas obtuvieron por separado las mismas fórmulas, pero sus dos redes de conocimiento no llegaron a conectarse.

Vale la pena detenerse aquí. Minding no era una figura marginal, y la teoría de superficies tampoco era una especialidad remota. Tenía aquellas fórmulas delante, y Lobachevski había impreso las mismas relaciones varios años antes. Los relatos disponibles no bastan para establecer qué materiales relacionados había leído cada uno. Sí permiten afirmar que ambas vías de investigación no se conectaron eficazmente en aquel momento. Para que una teoría sea aceptada, no basta con que sea correcta. Ni siquiera basta con que esté publicada. Hace falta alguien que recorra la distancia entre dos lugares hasta entonces separados.

Gray resumió esta etapa con una fórmula: publicada, pero no aceptada. Había publicaciones y algunos lectores aislados, pero no una red eficaz capaz de cambiar el juicio de la disciplina.

El giro comenzó después de la muerte de Gauss, en 1855. Sus cartas y manuscritos fueron revelando poco a poco el apoyo privado que había prestado a aquella geometría. En la década de 1860, el francés Hoüel asumió el trabajo de traducir, comentar y poner a unos en contacto con otros. En 1866 publicó la traducción francesa del libro alemán de Lobachevski y difundió la correspondencia de Gauss sobre el asunto. El abundante epistolario de Hoüel es hoy una fuente esencial para reconstruir esta historia de la recepción.

Contado así, lo que hacía Hoüel tiene poco de deslumbrante: traducir, escribir reseñas, escribir cartas, enviar a uno el trabajo de otro y hacer llegar a un tercero la respuesta.

Pero sin personas que hicieran ese trabajo, habría continuado la situación de las décadas anteriores: las obras estaban impresas, allí a disposición de cualquiera, mientras quienes debían leerlas ni siquiera sabían que existían.

En 1870, Weierstrass dirigió en Berlín un seminario sobre la geometría de Lobachevski. Entre los asistentes estaba el joven Klein. A esas alturas ya era algo que se podía enseñar e investigar. Y al año siguiente, aquel joven dio un paso aún más lejos.

En 1871, Klein reunió estas geometrías en el marco de la geometría proyectiva. Se escogía una cónica como referencia y se definía la distancia mediante la razón doble. Así, la geometría euclídea, la hiperbólica y una tercera geometría pasaban a ser versiones métricas de una misma estructura, obtenidas a partir de distintas referencias.

De nuevo se reforzaba la misma idea. Ya no parecían universos enfrentados, sino distintas lecturas de una misma cosa, con traducciones exactas entre ellas.

Más tarde, en la década de 1880, Poincaré incorporó otra clase de modelos a las teorías de funciones de variable compleja y de grupos. Los manuales suelen atribuirle esos modelos, pero no fue el primero en construirlos: en los trabajos de Beltrami de 1868 ya había formas analíticas equivalentes. Poincaré cambió sus usos y el lugar que ocupaban. Para entonces, la geometría no euclídea había dejado de ser una extravagante teoría de las paralelas. Era una herramienta compartida por la geometría proyectiva, la geometría diferencial y el análisis complejo.

Cuando algo resulta útil en tres sitios distintos, deja de necesitar una defensa de su derecho a existir.

6. Los modelos

El 10 de junio de 1854, Riemann pronunció en Gotinga su lección de habilitación, titulada Sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría. Conforme al procedimiento, había presentado varios temas posibles. Gauss eligió ese.

Riemann no preguntaba por las paralelas. Se situaba un nivel por encima: cómo definir una magnitud extendida en varias dimensiones; cómo establecer longitudes en ella; cómo varía la métrica de un punto a otro; cómo entender la curvatura. Y la pregunta de qué estructura métrica corresponde al espacio físico no podía decidirse solo analizando conceptos.

Aquello ofrecía un marco general, no otro nombre para lo mismo. Sus predecesores habían propuesto una geometría alternativa concreta. Riemann situaba las distintas geometrías dentro de una familia general de estructuras métricas. La lección de 1854 no apareció como artículo formal durante su vida. Murió en 1866; Dedekind y otros se ocuparon de sus manuscritos, y hacia 1868 el texto se incorporó a la literatura científica publicada. Ese mismo año, Beltrami dio el paso decisivo.

Lo que hizo puede expresarse en una frase, con todas las cautelas necesarias: interpretó los objetos y las relaciones de la geometría no euclídea mediante objetos y relaciones de la geometría euclídea, que ya estaba aceptada.

La parte más fácil de visualizar era una superficie llamada pseudoesfera. Su curvatura es negativa y constante en todos sus puntos. Si medimos las distancias dentro de la propia superficie y seguimos sus caminos más cortos, aparece efectivamente una parte de la geometría plana no euclídea: las geodésicas de la superficie hacen de rectas, y los ángulos, las distancias y las relaciones entre triángulos adoptan la forma hiperbólica.

Así, unas fórmulas que antes parecían monstruos hechos de símbolos encontraban una interpretación concreta en el espacio tridimensional de siempre.

Pero la pseudoesfera no es el plano hiperbólico completo. Tiene bordes y singularidades; no permite desplegar sin más todo el plano hiperbólico infinito dentro del espacio tridimensional. Reducir el trabajo de Beltrami a una superficie con forma de trompeta es quedarse muy por debajo de lo que realmente hizo.

Más tarde se demostró algo aún más concluyente. A comienzos del siglo XX se probó que una superficie completa de curvatura negativa constante no puede encajarse de manera regular y sin deformar su métrica en el espacio tridimensional ordinario. Es decir, intentar ver todo el plano hiperbólico en un objeto material era un camino sin salida.

El verdadero alcance de su trabajo no estaba, por tanto, en aquella superficie.

Su contribución más profunda fueron los modelos analíticos. Basta tomar un disco corriente, definir de nuevo qué curvas contarán como rectas y cómo se medirán las distancias para que se cumplan todas las relaciones de la geometría no euclídea.

Dicho así, parece una trampa: será recta lo que tú decidas llamar recta.

Pero, una vez fijadas las definiciones, el resto ya no queda a su arbitrio. Las curvas elegidas como rectas se cortan, delimitan figuras con ángulos y áreas determinados. Esas relaciones se calculan; no se decretan. Y los resultados de los cálculos coinciden precisamente con los de la geometría no euclídea.

Solo la definición inicial puede elegirse libremente. Desde ese momento, cada paso queda sujeto a la geometría euclídea ordinaria.

La consecuencia lógica no es la primera que a mucha gente se le ocurre. No dice: como podemos ver la pseudoesfera, el espacio real es no euclídeo.

Dice esto: si de la geometría no euclídea pudiera deducirse una contradicción, al traducir esa deducción, frase por frase, al lenguaje del disco, obtendríamos una contradicción correspondiente dentro de la geometría euclídea ordinaria.

Por tanto, si la matemática ordinaria que sostiene el modelo es consistente, también lo es la geometría no euclídea interpretada en él.

Eso se llama consistencia relativa. No proporciona consistencia absoluta, porque el propio modelo descansa sobre otra matemática. Mucho menos demuestra qué geometría tiene el espacio real. Lo que hizo en esta historia fue invertir por completo la carga de la prueba.

Hasta entonces, los defensores de la geometría no euclídea tenían que insistir: miren, otra proposición, y sigue sin haber contradicción. Era una tarea interminable, porque el escéptico siempre podía esperar a la siguiente. A partir de entonces, quien dudaba debía responder primero a otra pregunta: explique, por favor, por qué esa contradicción no alcanzaría también a la matemática ordinaria que sostiene el modelo. No era un teorema añadido a la lista. Había cambiado a quién le tocaba dar explicaciones.

El propio Beltrami no formuló en 1868 sus objetivos con el lenguaje de la lógica formal del siglo XX. Presentar su artículo como una prueba de consistencia en el sentido moderno es una reconstrucción retrospectiva. Lo que sí hizo su interpretación fue proporcionar, de hecho, la estructura matemática de lo que más tarde se llamaría consistencia relativa.

7. Cómo terminaron aquellos dos mil años

Con los modelos apareció por primera vez una razón verdaderamente poderosa para afirmar la independencia del quinto postulado.

Aquí «independencia» tiene un significado preciso. Si el quinto postulado pudiera deducirse realmente de los demás, tendría que cumplirse en cualquier interpretación que satisficiera los restantes. Beltrami proporcionó una interpretación en la que se cumplían las otras relaciones básicas y, sin embargo, las paralelas se comportaban de manera hiperbólica.

En otras palabras, construyó un contraejemplo. No era un contraejemplo a una afirmación geométrica, sino a la posibilidad misma de una demostración: existe un caso que satisface todas las premisas y en el que la conclusión es falsa. Por tanto, esa conclusión no puede deducirse de ellas.

El quinto postulado no podía, pues, deducirse únicamente de los demás.

Hay que añadir una salvedad, y es justamente la cuestión del tercer episodio. Los cinco postulados originales de Euclides no constituían un sistema formal plenamente especificado. Había muchas suposiciones sobre orden, continuidad, congruencia y existencia de puntos de intersección que nunca se habían enunciado. Para expresar la independencia con el rigor de hoy hubo que esperar hasta finales del siglo XIX, cuando se volvió a axiomatizar todo el sistema.

Ya podemos responder a la pregunta que duró dos mil años: ¿por qué tanta gente fue incapaz de demostrarlo? No porque a todos les faltara inteligencia. Porque el objetivo mismo era inalcanzable.

La diferencia entre ambas afirmaciones es enorme. La primera habla de la capacidad de unas personas. La segunda, de la naturaleza de una tarea. Durante dos mil años, todo el mundo había dado por sentada la primera.

Si una proposición es independiente de las demás premisas, nunca podrá deducirse de ellas. Toda prueba que afirme haberlo conseguido contendrá necesariamente un error de razonamiento, una premisa no declarada o algún paso que vuelva a introducir algo suficiente para deducir el quinto postulado.

Vista desde aquí, aquella última frase de Saccheri sobre lo que era contrario a la naturaleza de la recta se vuelve especialmente transparente.

No fue una flaqueza personal. Fue la forma que habían compartido durante siglos todas las demostraciones fallidas: en el paso crucial, una intuición euclídea nunca escrita regresaba bajo otro nombre. Y cada vez que alguien la hacía volver, creía estar diciendo algo evidente.

Eso es lo más difícil de detectar. Una premisa suele quedar sin escribir precisamente porque parece innecesario escribirla. Y lo que parece innecesario escribir tampoco despierta sospechas cuando se utiliza.

Podemos releer aquí el ejemplo del tercer episodio. La primera proposición de toda la obra requiere tomar la intersección de dos círculos, aunque no hay ninguna regla que garantice que se corten. En cuanto se trazan los círculos, el punto está ahí. Es fácil pensar que no hace falta decir más. Después hubo quien se empeñó en decir también eso con claridad.

El último paso de Saccheri recurría a lo mismo, solo que esta vez servía para cerrar una puerta. Durante dos mil años se había dado ese paso una y otra vez. Y siempre se había considerado demasiado obvio para merecer una mención.

8. La carga de la prueba

Lo que hicieron los protagonistas de este episodio puede ordenarse en una secuencia muy clara.

Saccheri demostró un gran número de proposiciones y después se negó a reconocerlas. Lambert demostró más y vio una analogía asombrosa, pero no dictó sentencia. Gauss creía que aquella geometría podía estar libre de contradicciones, sin presentar un sistema capaz de convencer a los demás. Bolyai y Lobachevski fueron los primeros en darle la forma de una disciplina que funcionaba por sí sola. Entre ellos hubo, además, toda una capa de investigadores que el habitual relato de los tres descubridores suele borrar por completo.

En la década de 1820, Schweikart y Taurinus ya trabajaban en direcciones próximas. Schweikart era profesor de Derecho. Llamó geometría astral a la que había concebido y se la hizo llegar a Gauss por medio de un intermediario. Taurinus partió de trabajos anteriores sobre las paralelas, mantuvo también correspondencia con Gauss y escribió fórmulas muy cercanas ya a la trigonometría hiperbólica.

Ninguno de los dos puso en marcha un programa público y sostenido de geometría nueva como los que vendrían después. Pero su trabajo demuestra algo: aquello no nació en tres cabezas geniales que pensaban aisladas del mundo. Esas cabezas sobresalían entre muchas otras que venían trabajando en lo mismo.

Y ni siquiera aquellos cuatro pasos, sumados, bastaron para que la comunidad matemática aceptara la nueva geometría.

Cinco personas, cien años, cientos de proposiciones. Todavía no bastaba.

Los objetivos de aquellos trabajos eran distintos, pero seguir obteniendo proposiciones compatibles entre sí no bastaba para garantizar que nunca aparecería una contradicción. Y ese trabajo no tenía fin. Por cada proposición demostrada, el escéptico podía esperar a la siguiente. Lo que puso fin al asunto no fue el teorema que venía después de los cientos anteriores. Fue que alguien dejó de responder a esa pregunta y formuló otra. En vez de preguntar si había contradicciones, preguntó si existía una traducción entre aquello y algo ya aceptado. Una vez establecida la traducción, la pregunta original pasó a ser problema de otros.

Ese paso solo era posible porque había otra cosa a la que enlazar la nueva geometría. Si la geometría euclídea y los métodos analíticos de la época hubieran estado también tambaleándose, establecer el enlace no habría servido de nada.

No es, por tanto, un recurso que pueda utilizarse en cualquier momento. Lógicamente necesita una teoría que sostenga el modelo. Y, en la historia de su aceptación, fue especialmente importante que esa teoría contara con una confianza generalizada. Tampoco fue una manera de eludir el problema.

El modelo no esquivó la pregunta. La trasladó intacta a otro lugar. Si había una contradicción en la geometría no euclídea, esa misma contradicción aparecería en la geometría euclídea ordinaria. Nadie se había librado de ninguna carga. Lo único que cambiaba era quién la soportaba ahora: una matemática que llevaba dos mil años en uso y que nadie tenía intención de poner en duda.

Al final del segundo episodio dijimos que, cuando no se puede alcanzar algo, cabe cambiar el criterio de qué cuenta como alcanzarlo. Aquí hemos visto otra forma del mismo movimiento. Solo que esta vez no cambió el criterio, sino quién debía aportar la prueba. Conviene recordar ambas cosas, porque no ocurren únicamente en matemáticas.

Una afirmación que lleva mucho tiempo sin poder demostrarse ni refutarse no suele quedar zanjada por un elemento de prueba más. A menudo el asunto termina cuando alguien la enlaza con otra cosa ya aceptada. Entonces, la pregunta cambia de dueño.

Y ese enlace no la hace más verdadera. Solo la hace tan verdadera como la otra cosa. O tan falsa.

Seguimos haciendo cuentas, pero nunca hemos acabado de aclarar qué cuenta como matemática.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Las siguientes fuentes documentan los detalles históricos y las diferencias de interpretación del texto. Los registros de colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son la misma clase de prueba.

• Beltrami: publicación original de la traducción francesa de 1869 de su artículo de 1868
• Jeremy Gray: una reinterpretación de la geometría no euclídea
• CultureMath, École normale supérieure: geometrías euclídea y no euclídeas
• Universidad de Florencia: el artículo de Beltrami de 1868
• Enciclopedia de Matemáticas: la interpretación de Beltrami