Desterrar los infinitesimales

1. Un teorema que no debía demostrarse con un dibujo

En 1817 apareció en Praga un pequeño libro con un título larguísimo. Venía a decir: demostración puramente analítica del siguiente teorema; entre dos valores para los que una expresión toma signos opuestos, la ecuación tiene al menos una raíz real. De todo el título, lo decisivo estaba en dos palabras: puramente analítica.

Nadie dudaba del teorema. Dibujemos una curva continua cuyo extremo izquierdo quede por debajo del eje horizontal y el derecho, por encima: en algún punto intermedio tendrá que cruzarlo. Casi sobraba decirlo. El autor del opúsculo se llamaba Bolzano, y lo que le incomodaba era precisamente aquel «casi sobraba decirlo».

Una curva que cruza una recta: eso es un dibujo. ¿De dónde procede lo que el dibujo nos asegura? De los ojos. Pero el teorema ha de servir en otras demostraciones, incluso allí donde no habrá un dibujo que mirar.

Bolzano se proponía deducirlo sin trazar una sola línea. Quería partir únicamente de lo que se afirmara acerca de los números, de las funciones y del significado de la palabra continuidad.

En el tercer episodio encontramos un problema de la misma especie. El primer problema de aquel libro de geometría exigía tomar la intersección de dos circunferencias, aunque ninguna de sus reglas garantizaba que ambas se cortaran. Bastaba dibujarlas para verlo. El dibujo todavía podía hacer parte del trabajo de las palabras. Más tarde, también esa parte tendría que explicarse frase por frase.

Este episodio cuenta cómo alguien se negó a que el dibujo siguiera dando fe de ese teorema. Y la pelea no le resulta nada fácil.

Conviene dejar claro desde el principio qué quería derribar. No era el teorema: el teorema era verdadero. Era la manera de demostrarlo.

Si una curva pasa de abajo arriba, tiene que atravesar el eje horizontal. Esa frase nos tranquiliza porque llevamos un dibujo en la cabeza. Pero un dibujo solo puede responder de los casos que se dejan dibujar.

Y en el análisis del siglo XIX cada vez había más cosas que no se dejaban: sumas con infinitos términos, funciones que saltaban por todas partes, límites que había que tomar infinitas veces. Allí el dibujo se quedaba mudo. Las demostraciones, sin embargo, tenían que seguir adelante.

Bolzano no era profesor de matemáticas. Era sacerdote católico y enseñaba doctrina religiosa en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Se dedicó de manera sostenida a las matemáticas, pero su cátedra no llevaba ese nombre. En 1819 lo destituyeron por las tendencias liberales que se juzgaban peligrosas en sus sermones y en su pensamiento. Siguieron años de investigaciones y vigilancia, de correspondencia intervenida y de restricciones para publicar.

Que su opúsculo tardara tanto en dejar huella tiene, pues, una cadena de causas. No una sola.

Tampoco sería exacto decir que nadie lo leyó. Hubo reseñas en publicaciones del ámbito germanófono; algunos matemáticos de Praga conocían el libro, y Abel conocía parte de la obra de Bolzano. Lo que faltaba no eran lectores, sino una tradición que enlazara aquellas lecturas. No hubo una escuela, no llegó a los manuales, no se convirtió en el punto de partida de otras demostraciones.

Su recuperación como figura canónica llegó mucho después. En la segunda mitad del siglo XIX varios autores fueron reconociendo públicamente que se había adelantado en cuestiones de series y convergencia. En 1881 apareció incluso un artículo dedicado a situarlo en esa historia. Dejar un rastro bibliográfico y servir de punto de partida son cosas distintas. Ya lo dijimos en el episodio anterior. Aquí hace falta decirlo otra vez.

Esta vez la pérdida se puede precisar aún más. Aquel librito contenía ya argumentos que después se reconocerían como técnicas fundamentales del análisis. De haber entrado entonces en los manuales, muchas personas se habrían ahorrado recorrer por separado el mismo camino durante las décadas siguientes.

2. Cauchy no desterró los infinitesimales

El título de este episodio necesita comillas. Es mejor advertirlo ahora.

La versión habitual cuenta lo siguiente: el cálculo del siglo XVIII descansaba sobre unas cosas que no eran cero, pero sí tan pequeñas que no podían serlo más, y aquello no había manera de aclararlo. A comienzos del XIX, Cauchy las sustituyó por límites. Más tarde, Weierstrass formalizó el lenguaje hasta el final. Y así quedó establecido el rigor.

El relato falla desde el primer paso.

En 1821 Cauchy publicó un manual para una escuela de ingeniería de París. En la introducción explicaba que, al estudiar la continuidad de las funciones, no podía prescindir de las propiedades principales de las cantidades infinitesimales, pues constituían la base del cálculo infinitesimal. El libro fijaba también un uso del término: cuando los valores numéricos de una variable disminuyen indefinidamente y tienen cero por límite, esa variable se convierte en un infinitesimal. Dos años después publicó otro libro, un resumen de las lecciones de cálculo infinitesimal que impartía en la misma escuela. Cálculo infinitesimal: las palabras estaban en el título.

No solo conservó el término. Lo empleó como material de base y como nombre de una asignatura. El hombre al que se atribuye haber eliminado los infinitesimales los puso en la portada de su curso. ¿Qué hizo, entonces?

Su definición de límite describía un proceso: cuando los valores que va tomando una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, hasta que su diferencia con él puede llegar a ser tan pequeña como se quiera, ese valor fijo recibe el nombre de límite de la variable. Basta leerlo una vez para entenderlo, y lo entendemos con toda seguridad. La frase cuenta algo que está ocurriendo: una cantidad se mueve y, al moverse, se acerca cada vez más a otra.

Para la continuidad ofrecía dos formulaciones enlazadas. Según una, a medida que disminuye el incremento de la variable, disminuye también la diferencia entre los valores de la función en los dos puntos. La otra es más conocida: dentro de un intervalo dado, un incremento infinitesimal de la variable produce siempre un incremento infinitesimal de la función.

La convergencia de una serie la explicaba mediante sus sumas parciales: si la suma de los primeros términos se aproxima a un valor finito al aumentar el número de términos, la serie converge, y aquel valor es su suma. En estas tres definiciones están ya todos los materiales del lenguaje posterior: lo arbitrariamente pequeño, el control, la aproximación. Falta una gramática fija que los ordene.

Disponer de los materiales sin tener fijada la gramática obliga a quien los usa a ponerlos en el orden correcto cada vez. Si acierta, el argumento es riguroso. Si se equivoca, el error no tiene por qué saltar a la vista.

Además, sus demostraciones concretas recurren una y otra vez a estimaciones muy finas mediante desigualdades. Presentarlo como alguien que se fiaba solo de la intuición deforma tanto su trabajo como atribuirle la obra entera que vino después. Sobre qué eran exactamente sus infinitesimales existe una controversia de verdad, todavía abierta.

Una lectura sostiene que eran variables que tendían a cero, no pequeños números fijos dotados de existencia propia. Desde esta perspectiva, la mayor parte de sus textos puede verterse al lenguaje posterior: hablar de infinitesimales sería un hábito verbal del que siempre cabe prescindir.

La otra lectura rechaza ese último salto. Cauchy a veces introduce directamente un infinitesimal como argumento de una función. Compara infinitesimales de distintos órdenes. Cuando vuelve en 1853 sobre un problema antiguo, hace que una cantidad tome un valor que disminuye con el número de términos, y luego deja crecer ese número indefinidamente. Tratar todas estas operaciones como simples hábitos de expresión que pueden borrarse sin pérdida sería proyectar hacia atrás una respuesta elaborada más tarde.

La objeción a esa lectura también merece tomarse en serio: construir con herramientas del siglo XX un modelo fiel para un argumento del XIX no demuestra que su autor concibiera los objetos de ese modo. Cauchy no disponía de aquel modelo, ni del sistema numérico posterior, ni de sus correspondientes reglas de transferencia.

La conclusión más segura no exige elegir bando. Ninguno de los dos puede sostener que Cauchy no usara infinitesimales. Lo que se discute es si para él eran solamente un lenguaje de procesos o si cumplían también una función que no admite traducción sin pérdida.

La propia controversia merece atención, porque su forma ya ha aparecido varias veces en esta serie. Alguien escribe algo. Generaciones posteriores lo reformulan en su propio lenguaje, la reformulación funciona y las conclusiones son correctas. Pero que puedan contarlo así no quiere decir que el autor lo pensara así.

En el quinto episodio nos encontramos con lo mismo. Lo expresamos entonces de este modo: una reconstrucción posterior no puede ocupar el lugar de lo que escribió quien vivió antes.

3. Hay excepciones

El manual de 1821 enunciaba un teorema que, en sustancia, decía lo siguiente: si cada término de una serie es una función continua de la misma variable y la serie converge en las proximidades de cierto punto, su suma también será continua en ese entorno. Leído conforme a la interpretación estándar posterior, el teorema no se sostiene. Abel lo señaló en 1826. Conviene recordar las palabras que eligió. Tenía veintitrés o veinticuatro años y viajaba por Europa para formarse; Cauchy era uno de los analistas más influyentes de Francia.

Abel no dijo que el teorema fuera falso. Dijo que tenía excepciones. La suya era una serie trigonométrica, del mismo tipo que Fourier empleaba en sus investigaciones sobre el calor para descomponer funciones. Cada término era continuo, pero la función periódica obtenida al sumarlos presentaba discontinuidades en ciertos puntos.

Aquí suele colarse una sustitución. En las clases de hoy se recurre a menudo a una serie formada por potencias y se presenta como el contraejemplo de Abel de 1826. No lo es. Abel utilizó una serie trigonométrica.

Y hablar de excepciones no era una cortesía. Las matemáticas de la década de 1820 todavía no disponían del concepto de convergencia uniforme, en el sentido que tendría después, para decidir si el teorema era verdadero o falso. En aquel contexto, que unos cuantos casos se rebelaran contra un teorema y que ese teorema quedara refutado no eran lo mismo.

En 1853 el propio Cauchy regresó al problema. Añadió una condición: la cola de la serie debía convertirse siempre en un infinitesimal al aumentar indefinidamente el número de términos. La palabra crucial es «siempre». Después examinó una serie trigonométrica semejante a la de Abel y, en el curso del argumento, hizo que una cantidad tomara un valor que disminuía con el número de términos.

Hoy hay dos maneras de leer este episodio.

Según la primera, las hipótesis de 1821 eran demasiado débiles; Abel puso al descubierto el fallo; varios autores fueron aislando después la condición que recibiría el nombre de convergencia uniforme, y Cauchy, con su «siempre» de 1853, reforzó de hecho las hipótesis.

La segunda propone entender «todos» dentro del lenguaje de infinitesimales del propio Cauchy, incluyendo los valores infinitesimales. Leída así, la condición de 1853 es correcta. Incluso la demostración de 1821 podría no ser un simple error: quizá sean sus nociones de variable y de entorno las que se han encajado a la fuerza en un marco posterior. Esta lectura demuestra que es posible una reconstrucción fiel. No demuestra que Cauchy dispusiera ya en 1821 de esa semántica.

Se elija la lectura que se elija, hay algo claro. El problema se planteó en 1821; en 1826 se señalaron excepciones; hacia 1847 se hizo pública la condición que realmente permitía resolverlo; en 1853 Cauchy volvió a ocuparse de él. Su formulación como concepto estándar llegaría aún más tarde. Treinta años. A lo largo de ese tiempo se fueron precisando y diferenciando los significados de variable, entorno y condición de convergencia. No cabe reducir toda esa historia a una proposición moderna, fijada de una vez, que tardó décadas en obtener un veredicto. Una situación así apenas se encuentra en las matemáticas actuales. Hoy se exige aclarar primero qué significa un enunciado y cuáles son sus hipótesis. Eso no impide que un problema siga abierto o que resulte independiente de un sistema de axiomas determinado: tener una demostración y tener un contraejemplo no agotan todo lo que podemos saber sobre él.

Durante aquellos treinta años, en cambio, había un tercer estado que era lo normal: el teorema funcionaba en líneas generales, de vez en cuando había casos rebeldes, y nadie sabía delimitar con precisión ese «de vez en cuando».

No era un defecto de un teorema aislado. Muchos resultados heredados del siglo XVIII vivían en ese estado: funcionaban de maravilla al usarlos, pero, en cuanto se les pedían cuentas, nadie sabía precisar dónde terminaba su validez. Buena parte de lo que vino después se hizo para acabar con ese tercer estado.

La solución no consistía en ir cazando uno a uno los casos rebeldes. Consistía en enunciar el teorema con tal precisión que la rebeldía dejara de ser posible. Había que decir en las hipótesis exactamente qué se exigía. Una vez dicho, todos los casos que las cumplieran obedecerían; los demás quedarían, desde el principio, fuera de su jurisdicción.

El precio eran unas hipótesis largas. Y bastante feas.

4. Un profesor de secundaria

La trayectoria de Weierstrass fue el reverso de la del joven prodigio que asciende sin detenerse.

De joven fue a estudiar a Bonn por voluntad de su padre, pero su paso por la universidad no tuvo éxito. Más tarde se preparó para obtener el título de profesor. Durante toda la década de 1840 enseñó en centros de secundaria prusianos, en dos localidades. Algunos de sus primeros trabajos, de considerable nivel, se imprimieron en lugares tan poco visibles como los anuarios escolares. Apenas entraron en el campo de visión de los grandes círculos matemáticos europeos.

El giro llegó en 1854. Un artículo suyo sobre cierta clase de funciones llamó la atención y le valió un doctorado honoris causa de la Universidad de Königsberg. En 1856 lo destinaron a Berlín, primero a un instituto industrial; ese mismo año obtuvo una plaza de profesor extraordinario en la universidad y entró en la Academia de Ciencias. La cátedra ordinaria no llegaría hasta 1864. Rondaba los cuarenta cuando pasó de profesor de secundaria a figura de la universidad de la capital.

Esto tiene relación con el lenguaje del que hablaremos enseguida. Quien ha dado clase en secundaria durante más de diez años suele desarrollar una sensibilidad particular para detectar si una frase se entiende al oírla, una sensibilidad que no necesariamente posee quien ha hecho toda su carrera dentro de la universidad. La forma que adoptaron sus definiciones permitía precisamente avanzar paso a paso en el aula. Su enseñanza madura de los fundamentos no fue un sistema que hubiera construido entero en la juventud. Fue una obra docente que reescribió una y otra vez después de llegar a Berlín.

Hay además un dato que nos da el hilo material de este episodio: publicaba poquísimo.

No es que no publicara nada. El artículo de 1854 había sido justamente su pasaporte para salir de la secundaria. Pero su influencia real contrastaba con la ausencia, durante muchos años, de un manual publicado que recogiera su manera de fundamentar el análisis. Ya en Berlín, siguió revisando sus cursos sobre los fundamentos de la teoría de funciones sin dar a la imprenta el sistema completo.

Por eso, la principal base documental para conocer sus ideas entre las décadas de 1860 y 1880 son los apuntes de sus alumnos. Hay que leerlo despacio: los apuntes no aportan algunos complementos; son la fuente principal. En 1861 el joven Schwarz tomó notas de su curso de cálculo diferencial. Más tarde él mismo describió aquel material como un resumen muy comprimido, imperfecto y con puntos débiles. La advertencia importa. Cuando hoy leemos que Weierstrass definió tal cosa en 1861, muchas veces el respaldo no es un libro que publicara aquel año, sino el manuscrito de un estudiante.

Con el deterioro de su salud a partir de la década de 1860, el mecanismo se afianzó todavía más. Los archivos conservan una escena muy concreta: él daba clase sentado; un alumno elegido para esa tarea escribía en la pizarra lo que dictaba, y el resto del auditorio lo copiaba. Aquellos apuntes circulaban luego fuera de Berlín e incluso fuera de Alemania.

Y no eran recuerdos privados de los años de estudiante. Algunos se copiaban, se intercambiaban y hasta se compraban y vendían. Entre los papeles de Schwarz quedan huellas del dinero que pagó por hacerse con los apuntes de otro alumno correspondientes a 1868. El propio Weierstrass no desdeñaba ese material. Dijo que tenía notas elaboradas por oyentes mucho mejores que ciertas versiones en circulación, y también pedía prestados apuntes de estudiantes para preparar sus clases.

Publicar poco no significaba, por tanto, esconder sus ideas. Seguían otro circuito: la cátedra, la exposición oral, la pizarra, los apuntes de los alumnos, las copias y su compraventa, los matemáticos de otras ciudades y, solo al final, la edición impresa.

El pergamino raspado y cubierto de oraciones del cuarto episodio, los papeles de trabajo privados que nadie pensaba publicar del noveno y estos apuntes de clase son tres puntos de una misma línea. Muchas veces lo sustancial queda fuera de las publicaciones oficiales. La diferencia es que, en los dos primeros casos, los materiales sobrevivieron por accidente. Aquí funcionaba todo un sistema.

Y ese sistema tenía un coste. Para que existieran unos apuntes, alguien debía escuchar, alguien escribir, alguien copiar y, a veces, alguien pagar. Su alcance dependía de cuántas personas estuvieran dispuestas a poner ese trabajo y ese dinero.

Que una idea inédita pueda convertirse en patrimonio de todos no depende, pues, únicamente de que sea correcta.

5. Dame un margen de error

Pasemos al lenguaje. Lo primero que hay que deshacer es esa frase según la cual Weierstrass definió el límite moderno en tal artículo de tal año. Ese artículo no existe. Y lo que hacía el nuevo lenguaje puede explicarse sin escribir un solo símbolo.

Cauchy decía que los valores de una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo, hasta que la diferencia acaba siendo tan pequeña como se quiera. En la frase hay una acción: aproximarse. Esa acción se desarrolla en el tiempo y exige que el lector la recorra con la imaginación. La nueva formulación suprime ese movimiento.

En su lugar dice: dame primero un margen de error, por pequeño que sea. Yo encontraré un entorno. Siempre que la variable independiente esté dentro de ese entorno del punto indicado, pero no coincida con el propio punto, la distancia entre el valor de la función y el límite propuesto será menor que tu margen de error. Para cualquier margen que puedas darme, encontraré un entorno que cumpla esa condición.

Fijémonos en el cambio. Antes se describía la conducta de una cantidad: se mueve, se acerca. Ahora se establece un intercambio: tú das un número, yo doy otro, y garantizo que puedo responder a cualquiera de tus elecciones. Eso es lo que significa tener aquel valor por límite.

Ya no hay un «acercarse», un «al final», un «cada vez más». Solo importan dos cosas: qué propones tú y con qué respondo yo. La descripción de un proceso ha cedido el lugar a un diálogo con reglas para ganar o perder.

La ventaja es que se puede comprobar. Para juzgar un proceso hay que volver a recorrerlo mentalmente. En un intercambio con reglas, en cambio, es posible verificar punto por punto si la respuesta gana la partida.

Puede hacerlo alguien que no te conozca, alguien que viva cien años después, alguien que discrepe de ti en todo. No necesita recorrer el camino que tú recorriste. Le basta con comprobar si cada una de tus respuestas cumple lo prometido.

En el tercer episodio vimos algo parecido bajo otra forma. Entonces se expulsaba el dibujo de la demostración para dejar de depender de los ojos de nadie. Ahora se expulsa el proceso de la definición para dejar de depender de la imaginación de nadie. El precio es que, al leerla, ya no parece que esté ocurriendo nada.

Este lenguaje tampoco apareció de golpe. El testimonio claro más antiguo que se conserva está en aquellos apuntes de cálculo diferencial de 1861. A partir de 1863 Weierstrass empezó a impartir repetidamente un curso central, que dio forma al célebre ciclo de cursos de Berlín. Los apuntes de años posteriores muestran que las definiciones se fueron estandarizando. No quedaron congeladas en una única formulación inicial.

La convergencia uniforme permite distinguir muy bien esas capas. En 1838 ya se habían utilizado, a propósito de otros problemas, expresiones como converger de manera uniforme. Un artículo de Weierstrass fechado en 1841, pero publicado en 1894, contiene formulaciones afines; sin embargo, investigaciones más recientes advierten que el texto impreso fue revisado, de modo que no cabe atribuir sin reservas toda su formulación a 1841. Hacia 1847 otras dos personas, trabajando por separado sobre la continuidad de las series de funciones, hicieron pública la condición que después se reconocería como esencial. En 1853 Cauchy volvió al problema con su propio lenguaje.

Así que quién llegó primero depende de qué estemos preguntando.

Quién vio antes el fenómeno. Quién escribió antes una condición semejante. Quién fue el primero en publicarla. Quién comprendió primero que se trataba de un concepto fundamental para el análisis en general. Estas cuatro preguntas no se responden con un mismo nombre.

6. El año 1872

El 18 de julio de 1872 Weierstrass presentó en la Academia de Ciencias de Berlín una función continua en todos sus puntos y sin derivada definida en ninguno. Juntas, aquellas dos propiedades sonaban entonces casi a contradicción.

La curva continua que se tenía en la cabeza era una línea que podía dibujarse de un solo trazo. Y a una línea así, salvo en alguna esquina, se le podía poner una tangente en cualquier punto. Aquella confianza no procedía de un teorema. Procedía de un dibujo.

Continua significa que la curva no se interrumpe. Tener derivada significa que en aquel punto se puede trazar una tangente de pendiente finita. Y allí estaba una curva sin interrupciones a la que no se le podía trazar una tangente de pendiente finita en ningún punto.

No era la primera vez que alguien pensaba en curvas que no fueran suaves. Una línea quebrada carece de tangente en sus vértices. Pero solo tiene problemas en un número finito de lugares; en el resto es perfectamente suave. Esta función, en cambio, no tenía derivada finita en ningún punto y seguía siendo continua. Eso tampoco equivale a decir que tuviera esquinas por todas partes en el sentido habitual.

La conmoción no venía de añadir un ejemplo extravagante al repertorio. Venía de que, desde entonces, ver una curva aparentemente continua ya no autorizaba a servirse de ninguna intuición sobre tangentes, suavidad local o posibilidad de derivar.

A menudo se cargan a la cuenta de 1872 dos hechos que pertenecen a otros años.

El primero es la difusión del ejemplo. No se produjo de golpe aquel día de 1872. El texto de Weierstrass no empezó a circular de inmediato como un artículo corriente. Fue una publicación de du Bois-Reymond, en 1875, la que lo dio a conocer públicamente.

El segundo es la expresión monstruos matemáticos. No fue una reacción de aquella jornada. La célebre frase según la cual la lógica a veces engendra monstruos es de Poincaré, hacia 1899. Hermite, en una carta a Stieltjes de 1893, empleó palabras como miedo y repugnancia para hablar de las funciones continuas sin derivada. Ambos testimonios son sólidos, pero posteriores a 1872 en unos veinte años. No pueden hacerse pasar por las reacciones de los presentes en la Academia aquel día. Volvamos a 1872: ese mismo año sucedió algo más. Varias cosas, en realidad.

Dedekind publicó un opúsculo titulado Continuidad y números irracionales. Su punto de partida era una dificultad que había encontrado al enseñar en 1858: para demostrar teoremas sobre continuidad no se podía pedir una y otra vez a la recta geométrica que saliera de fiadora del sistema numérico. Su solución consistía en separar los racionales en dos partes sujetas a cierta condición de orden y producir mediante esa cortadura el irracional correspondiente. La continuidad de la recta pasaba así a ser una propiedad del propio sistema de números.

También en 1872, en un artículo de revista, Cantor partía de una clase de sucesiones de números racionales y agrupaba las que tenían el mismo comportamiento de aproximación para formar nuevos números. Heine, en otra revista y en el mismo año, empleó un procedimiento semejante con sucesiones para tratar los irracionales y la teoría de funciones.

Esto no equivale a que tres personas inventaran los números reales de manera independiente y al mismo tiempo. Las ideas de Heine estaban estrechamente vinculadas a las del círculo de Cantor. Además, por ese camino transitaban otras personas: las propuestas no fueron solo tres.

1872 se parece más a un punto de confluencia. La presión que se había acumulado durante décadas en torno a los límites, los irracionales, las funciones y la continuidad produjo ese año varias soluciones que podían imprimirse y compararse entre sí. ¿Qué cambiaba con ellas?

Los matemáticos ya conocían los irracionales. Lo que ocurría era que, al llegar al final de una demostración de análisis, a menudo había que recurrir a la recta de la geometría o a la intuición de que cierto límite debía existir. Esos apoyos no se habían construido por separado desde una base más elemental.

Ahora se podía hacer. Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo. Toda sucesión de Cauchy de números reales tiene un límite real. Estas afirmaciones ya no necesitaban el aval de una recta dibujada: podían quedar incorporadas a la construcción del sistema numérico.

Tampoco aquí conviene fabricar un mito. Las cortaduras y las sucesiones no descubrieron una misma cosa que estuviera escondida en la naturaleza. Son dos procedimientos distintos para conseguir que una estructura satisfaga las propiedades que se exigen a los números reales.

7. La palabra «aritmetización»

Aritmetización del análisis: hoy la expresión sale con naturalidad. Tiene, sin embargo, una procedencia concreta que no coincide con su uso actual. Uno de los primeros empleos que pueden rastrearse está en un artículo de Kronecker de 1887. El problema es que su aritmetización no era lo mismo que aquello a lo que se refieren las historias posteriores cuando dicen que Weierstrass, Dedekind y Cantor aritmetizaron el análisis.

Kronecker quería asentar las matemáticas en los enteros y en procedimientos de construcción finitos. La teoría de conjuntos desarrollada en torno a Cantor y ciertos objetos infinitos eran, precisamente, algunas de las cosas que le suscitaban serias reservas.

Presentar la aritmetización como una consigna compartida por todo aquel movimiento en la década de 1870 equivoca tanto la fecha como las posiciones. Solo después de que Klein la empleara como título de un artículo en 1895, la palabra fue afianzándose como denominación histórica general. Vale la pena detenerse en ello: el término con el que la posteridad resume una historia procede a menudo de uno de sus adversarios. Kronecker aprobaba la palabra aritmetización. No aprobaba la mayor parte de lo que hoy metemos dentro de ella.

En el sexto episodio apareció una historia de forma parecida. Una palabra brotaba de la primera frase de la traducción de un libro que ya no existe, y lo que designa hoy no guarda relación con aquel libro. Aquí la variante es otra: un adversario acuña una palabra que termina nombrando aquello a lo que se oponía. En esos mismos años se movía otra línea de trabajo, enlazada con las anteriores.

En su memoria de habilitación de 1854 sobre series trigonométricas, Riemann examinó expresamente el concepto de integral definida y los límites de su aplicación. El texto no se publicó hasta 1867, después de su muerte. Su pregunta ya no era si las funciones continuas podían, como se daba por hecho, integrarse. Quería saber bajo qué condiciones podía definirse una integral para una función que tal vez tuviera muchísimos puntos de discontinuidad. En 1875 Darboux hizo más manejable ese camino: dividía el intervalo y tomaba el supremo y el ínfimo de la función en cada tramo para formar dos sumas.

Durante aquellas décadas no se estaba moviendo una sola cosa. Cambiaban a la vez la clase de funciones admitidas, los objetos que podían integrarse, los límites de las series y la completitud del sistema numérico.

Las funciones patológicas cobraban tanta importancia precisamente porque las definiciones empezaban a permitir una pregunta que ahora se podía tomar en serio: en el caso más extremo, ¿qué queda de un teorema?

8. Cuando la cerca cambia de sitio

Hablemos del precio. Aquí hay un hueco que debemos dejar abierto. Circula la afirmación de que el nuevo lenguaje volvió el análisis ilegible e imposible de enseñar, y de que ya entonces hubo quejas. Si buscamos antes de la década de 1880, no aparece un testimonio lo bastante fiable para escribirlo así. Es preferible dejar el hueco a adelantar más de diez años palabras pronunciadas después. De la generación inmediatamente posterior sí tenemos dos testimonios seguros.

En 1893 Hermite escribió a Stieltjes que aquellas funciones continuas sin derivada le provocaban una repugnancia cercana al horror. Hacia 1899 Poincaré afirmó que la lógica a veces engendra monstruos y puso las funciones continuas sin derivada como ejemplo representativo.

Importa precisar el blanco de ambas observaciones. Se dirigían a los objetos patológicos, no al simbolismo en sí. Poincaré añadió otra idea, más importante aún: el orden lógico más seguro para investigar no tiene por qué coincidir con el orden de comprensión más accesible para enseñar.

El precio tiene, por lo menos, tres caras.

La intuición geométrica pierde la última palabra. Las definiciones admiten muchos más objetos que la intuición. Y el orden más riguroso se separa del orden en que resulta más fácil aprender. Conviene detenerse en la segunda de estas consecuencias, porque va contra lo que casi todos esperaríamos. El propósito de toda la empresa parecía ser cerrar un poco más la puerta: echar lo que no se pudiera explicar y quedarse con lo que se sostuviera. Lo que ocurrió fue que la puerta se abrió más. Si hay una frase que merece llevarse de este episodio, es esa.

La vieja intuición decía que una curva continua, por supuesto, tenía tangente en la inmensa mayoría de sus puntos. Algo que no tuviera tangente en ninguno ni siquiera debería existir. La nueva definición no preguntaba si debía existir. Preguntaba qué cláusula de la definición garantizaba la existencia de tangentes. Si no había tal cláusula, aquel objeto tenía derecho a entrar.

Así, un criterio establecido para ganar seguridad dejó entrar más cosas de las que expulsó.

En el séptimo episodio vimos el mismo movimiento bajo otra forma. Entonces se retiró la exigencia de que un símbolo tuviera de antemano una interpretación como cantidad. Por la entrada que quedó libre pasaron los números negativos y, después, muchas otras cosas.

El mecanismo es el mismo en los dos casos: al trasladar el requisito de entrada del contenido a la forma, aumenta lo que puede pasar. No disminuye.

Eso no es un fracaso del método. Es una propiedad general de los criterios: cuando un enunciado recibe la autoridad que antes tenían los dibujos, ya no juzga únicamente los casos que esos dibujos pueden representar. En cuanto la cerca deja de trazarse por lo que se ve y pasa a trazarse por lo que se puede escribir, cambia el terreno que abarca. Y por lo común se ensancha.

Queda un último hecho que merece anotarse. En la década de 1960 se construyó, con herramientas modernas, una extensión del sistema numérico que contenía infinitesimales distintos de cero y en la que se hizo cálculo con rigor. Eso no demuestra que el camino del siglo XIX estuviera equivocado. Demuestra otra cosa: usar infinitesimales no equivale a hacer matemáticas sin rigor. Que la vía consolidada a finales del XIX llegara a dominar fue un hecho histórico. No era la única posibilidad que permitía la lógica.

Por eso las comillas del título deben acompañarnos de principio a fin.

Los infinitesimales no fueron desterrados. Cambió el lugar que ocupaban en la demostración y cambió quién tenía autoridad para decidir si un argumento se sostenía.

Seguimos haciendo cuentas con los números. Qué cuenta como matemáticas sigue siendo una cuenta pendiente.

Fuentes y lecturas complementarias

Las fuentes siguientes documentan los detalles históricos y las divergencias de interpretación tratados en este episodio. Los registros de las colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de prueba.

• Biblioteca Nacional de Francia: el Curso de análisis de Cauchy de 1821
• Los infinitesimales de Cauchy, su teorema de la suma y los paradigmas de fundamentación
• Viertel: la convergencia uniforme en las lecciones y publicaciones de Weierstrass
• Dedekind: Ensayos sobre la teoría de los números, con Continuidad y números irracionales
• Edición original de Gotinga: el trabajo de Riemann sobre series trigonométricas de 1867
• Biblioteca de la ETH de Zúrich: la publicación original de Riemann de 1867