数学 · 12 / 25
無限小を「追い出す」
厳密さは、一度の追放で手に入ったのではない。極限、連続性、実数、そして教室のノートが、ともに解析の境界を変えていった。
この篇の目次
一 図に証明させてはいけない定理
1817年、プラハで一冊の小冊子が刊行された。長い表題を大まかに言い直すと、こうなる。ある式に正負反対の符号を与える二つの値のあいだには、その方程式の実根が少なくとも一つある。この定理を、純粋に解析的に証明する。肝心なのは、「純粋に解析的に」の部分だ。
定理そのものを疑う人はいなかった。連続した曲線を描いてみる。左端が横軸より下にあり、右端が上にあれば、途中のどこかで必ず横軸を横切る。ほとんど言うまでもない。小冊子を書いたボルツァーノが納得しなかったのは、まさにその「言うまでもない」だった。
曲線が一本の線を横切る。それは図である。そこから得られる確信は、どこから来るのか。目から来る。ところが、この定理は別の証明にも使いたい。目に見える図などない場所でも使いたいのだ。
そこで彼は、図を描かずに証明しようとした。数とは何か、関数とは何か、連続とは何か。その言葉で述べられたことだけを出発点にして、結論までたどり着こうとしたのである。
第3話でも、同じ形の問題を扱った。あの幾何学の本は最初の作図から、二つの円の交点を取る。ところが、二つの円が必ず交わると保証する取り決めは、どこにもない。描けば見えるからだ。図はまだ、言葉の仕事の一部を肩代わりできた。後には、その部分まで一文ずつ明らかにすることが求められる。
今回は、この定理の証明を、もう図に任せまいとした人の話である。そして、その異議はすんなりとは通らなかった。
何を壊そうとしたのか、先に確かめておこう。定理を壊したかったのではない。定理は正しい。彼が取り壊そうとしたのは、その証明の仕方だった。
曲線が下から上へ行くなら、途中で横軸を通るはずだ。この一文に安心できるのは、読者の頭に図が浮かぶからである。ただし、図が証人になれるのは、図に描ける場合に限られる。
十九世紀の解析には、描けないものがますます増えていた。無限個の項を足し合わせる式。いたるところで飛び跳ねる関数。無限に繰り返して取る極限。そういう場所では図は黙り込む。それでも、定理の証明は先へ進めなければならない。
ボルツァーノは数学の教授ではなかった。カトリックの司祭であり、プラハ大学の哲学部で教えていたのは宗教教義だった。数学には長く力を注いでいたが、それは彼の講座の名ではない。1819年、説教や思想に危険な自由主義的傾向があるとされ、職を解かれた。その後も長年、調査と監視が続き、書簡は検閲され、出版は制限された。
だから、小冊子が長く影響力を持てなかった理由も、一つではない。いくつもの事情が連なっている。
もっとも、誰の目にも触れなかったと言うのは行き過ぎだ。ドイツ語圏の書評誌が取り上げ、プラハの数学者の一部も知っていた。アーベルも彼の著作をいくつか知っていた。欠けていたのは読者ではなく、その一人ひとりの読書をつなぐ伝統だった。学派が育たず、教科書に入らず、他人が証明を始める足場にならなかった。
改めて古典として位置づけられるのは、ずっと後である。十九世紀後半になると、級数と収束の問題で彼が先を歩いていたと、公に認める人が相次いだ。1881年には、この歴史の中で彼が占める位置を論じた専論も出る。書誌に痕跡が残ることと、誰かの出発点になることは別だ。前回使ったこの言葉を、今回も使わなければならない。
しかも、今度の損失はもっと具体的だった。あの小冊子には、後に解析の基礎技術と認められる論法が、すでに含まれていた。もし当時の教科書に取り込まれていれば、その後数十年にわたり、何人もの人がそれぞれ同じ道を歩き直さずに済んだはずである。
二 コーシーは無限小を追い出していない
この回の題名にある「追い出す」には、かぎ括弧が要る。その理由は、今のうちにはっきりさせておきたい。
よく聞く筋書きは、こうだ。十八世紀の微積分は、ゼロではないのに、これ以上小さくできないほど小さいものの上に成り立っていた。何なのか、うまく説明できない。十九世紀の初め、コーシーがそれを極限に置き換えた。次いでワイエルシュトラスが言葉を徹底して形式化し、ここに厳密性が確立した。
最初の一歩から、違っている。
1821年、コーシーはパリのある工科学校のために教科書を出版した。序論には、関数の連続性を論じる以上、無限小量の主要な性質を避けて通れない、とある。それらが無限小解析の基礎をなすからだ。さらに本文では、変数の数値が限りなく小さくなり、ゼロを極限とするとき、その変数は無限小になる、と定めている。二年後には、同じ学校で教えた無限小解析の講義をまとめて、もう一冊の本を出した。表題にも、無限小解析と書いてある。
言葉を追放するどころではない。コーシーは無限小を基礎の材料に使い、講義の名前にまでした。無限小を葬ったとされる当人が、自分の講義の看板に無限小を掲げている。では、彼は何をしたのか。
彼の極限の定義は、過程を語る。変数が順々に取る値が、ある固定された値へ限りなく近づき、ついには両者の差を望むだけ小さくできるようになる。このとき、その固定された値を変数の極限という。一読して意味がわかる。しかも、手応えを伴ってわかる。そこで何かが起きているからだ。一つの量が動き、動くほどに、もう一つの量へ近づいていく。
連続性には二通りの言い方があり、両者はつながっている。一つは、変数の増分を小さくしていくと、二つの点での関数値の差も小さくなっていく、という言い方。もう一つは、よりよく知られたものだ。与えられた区間の中で、変数の無限小の増分は、つねに関数の無限小の増分を生む。
級数の収束は、部分和で説明する。初めから何項かを足した和が、項数を増やすにつれてある有限の値に近づくなら、その級数は収束し、その値を級数の和と呼ぶ。この三つには、後の言葉遣いに必要な材料がすべてそろっている。いくらでも小さくすること、値を制御すること、近づくこと。まだなかったのは、その材料をいつも同じ順序に並べる文法だった。
材料はあるのに文法が固まっていないとなると、使うたびに、使う人が自分で順序を整えなければならない。正しく並べれば厳密な論証になる。間違えて並べても、間違いが見えるとは限らない。
しかも実際の証明で、コーシーは不等式によるきわめて精密な評価を数多く使っている。直観だけで仕事をした人として描くのも、後世の仕事をすでにすべて済ませた人として描くのも、同じくらい誤っている。彼の無限小はいったい何だったのか。これは本物の論争であり、今も決着していない。
一方の読み方では、無限小はゼロに近づく変数であって、それ自体で存在する、固定された小さな数ではない。この立場に立てば、コーシーの記述の大半は後世の言葉に置き換えられる。無限小は話し方の癖にすぎず、取り除こうと思えばいつでも取り除ける。
もう一方は、その最後の一歩に反対する。彼はときに、無限小そのものを関数に代入する。異なる位数の無限小を比較する。1853年に古い問題へ戻ったときには、ある量に、項数とともに小さくなる値を取らせ、そのうえで項数を限りなく大きくした。そうした操作をすべて、削っても困らない言葉の癖として片づけるなら、後世の答えを過去へ流し込むことになる。
ただし、それに対する反論も軽く扱えない。二十世紀の道具を使って十九世紀の論証に忠実なモデルを作れることと、十九世紀の当人が実際にその存在論を持っていたことは、別の話だ。コーシーの手元には、そのモデルも、後の数体系も、それに対応する移行の規則もなかった。
だから、いちばん確かな言い方は、どちらかの陣営を選ぶことではない。どちらに立っても、コーシーは無限小を使わなかったとは言えない。争点は、その無限小が単に過程を述べる言葉だったのか、それとも、別の言葉へ移すと何かが失われるような役割も果たしていたのか、というところにある。
この論争の形そのものにも、目を留めておきたい。この連載ですでに何度か出会っている形だからだ。昔の人が書いたものを、後の人は自分の言葉で語り直せる。筋も通り、結論も合う。だが、うまく語り直せたからといって、当人も初めからそう考えていたことにはならない。
第5話でも同じ問題を扱った。そこで述べたのは、後の人が再構成したものを、昔の人が自ら書き残したものの代わりにしてはいけない、ということだった。
三 例外がある
1821年の教科書には、おおよそ次の定理がある。ある級数の各項が、同じ変数についての連続関数であり、その級数がある点の近くで収束するなら、和もその近くで連続である。後世の標準的な読み方では、この定理は成り立たない。1826年、アーベルがそれを指摘した。そのとき選んだ言葉を、覚えておきたい。アーベルは二十三、四歳で、ヨーロッパを遊学中だった。コーシーは、当時のフランスを代表する解析学者の一人だった。
アーベルは、この定理は間違っている、とは書かなかった。この定理には例外がある、と書いた。挙げた例外は三角級数だった。フーリエが熱の研究で関数を分解するために用いた、あの種類の級数である。一つひとつの項は連続しているのに、足し合わせてできる周期関数は、ある点で不連続になる。
ここでは、よくあるすり替えに注意したい。後の授業では、べき乗を並べた級数を例に使い、これが1826年にアーベルの出した反例だと説明することがある。そうではない。アーベルが使ったのは、三角級数だ。
「例外」という言葉も、遠慮から出たのではなかった。1820年代の数学には、後にいう一様収束の概念がまだなく、それを物差しにして、この定理の真偽を決めることはできなかった。定理に従わない場合がいくつかあることと、定理が反証されることは、当時、同じ出来事ではなかった。
1853年、コーシー自身がこの問題に戻ってくる。級数の残りの部分が、項数を限りなく増やすとき「つねに」無限小になること。この条件を付け加えた。要は「つねに」である。そのうえで、アーベルのものに似た三角級数を調べ、論証の中で、ある量に項数が増えるほど小さくなる値を取らせた。
この仕事には、現在、二つの読み方がある。
一つは、1821年の条件は弱すぎた、という読み方だ。アーベルが穴を明るみに出し、その後、何人かの手によって、一様収束と呼ばれる条件が次第に切り分けられた。1853年のコーシーも、「つねに」という語によって、実質的に仮定を強めたのだとする。
もう一つは、コーシー自身の無限小の言葉に沿って「すべて」を読み、そこに無限小の値も含めるなら、1853年の条件は正しい、という読み方である。1821年の証明さえ、単純に誤っていたとは言い切れない。そこでいう変数や近傍の意味を、後の人が別の枠に押し込めてしまった可能性がある。ただし、この読み方が示せるのは、忠実な再構成が可能だということまでだ。1821年のコーシーが、すでにその意味体系を持っていたことまでは示せない。
どちらを採るにせよ、はっきりしていることがある。問題が出たのは1821年。例外が指摘されたのは1826年。本当に役に立つ条件が公に書き出されるのは、ようやく1847年前後。1853年にはコーシーがもう一度戻ってきて、それが標準的な概念にまとめられるのは、さらに後だ。三十年である。この定理をめぐって、変数、近傍、収束の条件がそれぞれ何を意味するのか、少しずつ分かれて定まっていった。初めから固定された一つの現代的命題があり、誰もなかなか真偽を決められなかった、という話に縮めてはならない。こうした状態は、今日の数学ではほとんど見られない。今はまず、主張の意味と仮定を明確にすることが求められる。ただし、そのうえでも問題が未解決のままであったり、指定された公理系から独立であったりすることはある。「証明がある」と「反例がある」だけで、私たちの知識の状態を言い尽くせるわけではない。
それに対して、あの三十年間には、第三の状態がごく普通にあった。だいたいは成り立つ。ときどき言うことを聞かない。そして、その「ときどき」が何なのか、誰にもはっきり言えない。
しかも、これは一つの定理だけが抱えていた問題ではなかった。十八世紀から受け継いだ多くの結果が、同じ状態にあった。使えばよく効く。だが問い詰めると、どこまで使ってよいのか言えなくなる。その後に起きたことの大半は、この第三の状態をなくすための仕事だった。
なくす方法は、言うことを聞かない場合を、一つずつ探し出すことではない。定理の言い方を十分に精密にして、そもそもそんな不服従が起こりえないようにすることだ。何を要求するのかを、条件にはっきり書く。書き切ってしまえば、条件を満たすものはすべて従う。満たさないものは、初めからその定理の管轄外である。
その代わり、条件は長くなる。見た目も、ひどく悪くなる。
四 一人の中等学校教師
ワイエルシュトラスの歩みは、天才少年がとんとん拍子に出世する物語の、ちょうど裏返しだった。
若いころは父の意向に従ってボンに学んだが、大学生活はうまくいかず、その後、教員資格を得るための教育を受け直した。1840年代を通じて、プロイセンの中等学校で教え、二か所の学校を渡り歩いた。早い時期から水準の高い研究をしていたものの、その一部は学校の年報のような目立たない冊子に載り、ヨーロッパ数学界の主流には、ほとんど届かなかった。
転機は1854年に来る。ある種の関数を扱った論文が注目され、ケーニヒスベルク大学から名誉博士号を授けられた。1856年にはベルリンへ移り、まず工業学校に勤め、同じ年にベルリン大学の員外教授となり、科学アカデミーにも入った。正教授になったのは1864年である。つまり、中等学校の教師から首都の大学の花形へと転じたのは、四十歳前後だったのである。
この経歴は、この後に出てくる言葉の仕組みと無関係ではない。十数年も中等学校で教えた人は、一言話したときに生徒がわかるかどうかについて、大学だけで育った人が必ずしも持たない敏感さを備えている。彼の後の定義は、まさに教室で一歩ずつ先へ進める形をしていた。円熟期の基礎講義は、若いころに一度で作り上げた体系ではない。ベルリンに来てから何度も書き直した、授業づくりの成果だった。
ここで一つ、この回を物の側からたどるための手がかりを挙げておこう。彼は、驚くほど発表しなかった。
まったく発表しなかったわけではない。1854年の論文こそ、中等学校を離れるきっかけだった。だが、その大きな影響力に比べると、自分の解析の基礎を公刊の教科書にまとめない時期が長く続いた。ベルリンに入ってからも、関数論の基礎を扱う講義を繰り返し手直ししながら、体系全体を正式には出版しなかった。
そのため、1860年代から1880年代までの彼の考えを知る、後世の私たちの主な手がかりは、学生の講義ノートである。ここは少しゆっくり読んでほしい。ノートが補足資料としていくらか使われるのではない。主な証拠がノートなのだ。1861年、若いシュヴァルツが微分学の講義を書きとめた。シュヴァルツ自身、後にそれを、内容を切り詰めた、欠点のある不完全な要約だったと述べている。この自己評価は重い。今、「ワイエルシュトラスは1861年に何々を定義した」と書かれるとき、その根拠は1861年に本人が刊行した本ではなく、一人の学生が手で書いた記録であることが多い。
1860年代以降、彼の健康が衰えると、この仕組みはかえって強固になった。記録に残る情景は具体的だ。彼が座ったまま話し、選ばれた学生がその言葉を黒板に書き、ほかの聴講者がそれを書き写す。その写しがベルリンの外へ、さらにはドイツの外へと出回っていった。
しかも、写しは個人的な思い出の品ではなかった。複製され、交換され、ときには売買もされた。シュヴァルツの遺した資料には、別の人がまとめた1868年の講義ノートを手に入れるために、金を払った形跡がある。ワイエルシュトラス自身も、学生のノートを遠ざけてはいない。聴講者がまとめたものの中には、出回っている別の版よりずっとよいものを自分は持っている、と語り、授業の準備に学生のノートを借りることもあった。
発表が少なかったからといって、考えを隠していたわけではない。伝える道筋が違ったのだ。講座、教室での口述、黒板、学生の写し、さらにその写しや売買、遠方の数学者。そして最後に、編集と出版が来る。
第4話の、文字を削り取られて祈祷文を書き重ねられた羊皮紙。第9話の、出版するつもりのなかった私的な作業メモ。そして今回の講義ノート。同じ一本の線の上に、三つの点が並ぶ。本当に大切な内容は、しばしば正式な出版物の外にある。ただし違いもある。前の二つは偶然に残った。今回は、仕組み全体が動いていたのだ。
そして、その仕組みには費用がかかる。一冊のノートを作るには、誰かが聞き、誰かが書き、誰かが写さなければならない。ときには、誰かが金を払う。どこまで伝わるかは、それだけのものを差し出す人がどれだけいるかに左右される。
だから、未刊の思想が人々の共有財産になれるかどうかは、その思想が正しいかどうかだけでは決まらない。
五 どんな誤差でもよい
では、その言葉の仕組みに入ろう。まず取り払いたいのは、何年の何という論文でワイエルシュトラスが現代の極限を定義した、という語り方だ。そのような一本の論文はない。そして、この言葉が何をしたのかは、記号を一つも使わずに説明できる。
コーシーは言う。変数の値が、ある固定された値に限りなく近づき、ついには両者の差を望むだけ小さくできるようになる。この文には、「近づく」という動きがある。近づくのは過程であり、時間の中で起こる。読者も頭の中で、その動きを追わなければならない。新しい言い方は、この動きを取り除く。
代わりに、こう言う。まず、あなたが許す誤差を一つ示してほしい。どれほど小さくてもよい。それを受けて、私が範囲を一つ見つける。独立変数の値が、指定された点のまわりのその範囲に入り、しかもその点自体とは異なっていれば、関数値と、極限だと主張する値との隔たりは、あなたの示した誤差より小さくなる。あなたがどんな誤差を持ってきても、私はそういう範囲を見つけられる。
何が入れ替わったのかに注目してほしい。前の文が語っていたのは、量の振る舞いだった。動き、近づいていく量である。今度の文が語るのは、やり取りだ。あなたが数を一つ出し、私が数を一つ出す。しかも、あなたの出し方がどうであれ、私は必ず応じられると保証する。その値を極限に持つとは、そういうことだ。
そこには「近づく」も「ついには」も「だんだん」もない。あるのは、あなたが何を出すか、私が何で応じるか、その二つだけだ。過程の描写が、勝ち負けの決まる応酬に変わった。
利点は、点検できることだ。過程が正しいかどうかは、頭の中でもう一度たどってみなければわからない。一方、この応酬で勝てるかどうかなら、一つずつ確かめられる。
しかも、あなたを知らない人が確かめられる。百年後の人でも、あなたとまったく意見の合わない人でもよい。その人は、あなたの通った道をたどり直す必要がない。あなたがどの場合にも正しく応じられるか、それだけを調べればよい。
第3話にも、姿を変えて同じことが現れていた。あのときは証明から図を追い出し、誰の目にも頼らずに済むようにした。今回は定義から過程を追い出し、誰の想像にも頼らずに済むようにした。その代償として、読んでも、何かが起きている感じはしなくなる。
この仕組みも、一度に出来上がったのではない。現存する最も早い明確な証拠は、1861年の微分学の講義ノートだ。1863年以降、彼は中核となる講義を繰り返し担当し、ベルリンで名高い講義のサイクルが形になっていく。その後の各年のノートを見ると、定義は最初の形で凍結されたのではなく、少しずつ標準化されていったことがわかる。
こうした段階の違いは、一様収束に最もよく現れる。1838年にはすでに、別の問題で「一様な仕方で収束する」といった表現が使われていた。1841年の日付を持つワイエルシュトラスの論文にも、それに当たる言い回しがある。ただし、公刊されたのは1894年だ。近年の研究は、刊行版には改訂が加わっていると指摘している。そこにある記述の全体を、何の留保もなく1841年へ戻してよいわけではない。1847年前後には、ほかの二人がそれぞれ関数項級数の連続性の問題から出発し、後に核心とみなされる条件を公表した。1853年にはコーシーも、自分の言葉でもう一度この問題に戻っている。
つまり、誰が最初だったかは、何を問うかで変わる。
この現象を最初に見抜いたのは誰か。似た条件を最初に書いたのは誰か。最初に公刊したのは誰か。解析全般を支える基礎概念だと、最初に理解したのは誰か。四つの問いに、同じ一人の名が答えとして入るわけではない。
六 1872年
1872年7月18日、ワイエルシュトラスはベルリン科学アカデミーで、ある関数を発表した。いたるところで連続しながら、どの点でも微分係数が定まらない関数である。当時、この二つを並べて言うことは、ほとんど自己矛盾のように聞こえた。
それまで、人々が思い浮かべる連続曲線は、鉛筆を離さずに一筆で描ける線だった。一筆で描ける線なら、いくつかの角を除いて、どこにでも接線を引けるはずだ。これは定理ではない。図が与えてくれる自信だった。
連続しているとは、曲線が途中で切れないこと。微分係数を持つとは、その点に有限の傾きを持つ接線を引けること。切れずにつながっているのに、どの点にも、そのような接線を引けない曲線がある。
それ以前は滑らかでない曲線を誰も考えなかった、という話ではない。折れ線の角にも、接線はない。ただし、折れ線で問題が起きるのは有限個の点であり、残りはすっかり滑らかだ。今度の関数には、有限の微分係数がどこにもない。それでいて連続している。これは、普通の意味で角があらゆる場所にある、ということではない。
衝撃は、奇妙な例が一つ増えたことにあるのではない。連続して見える曲線だからというだけでは、接線についても、局所的な滑らかさについても、微分できるかどうかについても、もう直観を使う許しが得られなくなったことにある。
ここで、しばしば1872年に押し込まれてしまう二つの時点を、分けておきたい。どちらも、その年ではない。
一つは、この例が広まった時期だ。1872年の発表の場で、それが済んだわけではない。ワイエルシュトラス自身の論考は、すぐに通常の論文として流通したのではなかった。この例を公に広めたのは、デュ・ボア＝レーモンが1875年に出した刊行物だった。
もう一つは、「数学の怪物」という言い方だ。これも当日の反応ではない。「論理はときとして怪物を生む」という有名な言葉は、1899年ごろのポアンカレに由来する。エルミートは1893年にスティルチェスへ送った手紙で、微分係数を持たない連続関数について、恐怖や嫌悪を語っている。どちらも確かな史料だが、1872年から二十年前後も後のものだ。アカデミーの会場で、その日に人々が示した反応の代わりにはできない。さて、1872年には、もう一つのことも起きている。一つというより、いくつもだ。
デデキントが『連続性と無理数』という小冊子を刊行した。出発点は、1858年に教えていて行き当たった困難だった。連続性に関わる定理を証明するたびに、幾何学の直線を借りてきて、数体系の身元を保証させるわけにはいかない。彼の方法は、有理数全体を、ある順序の条件を満たす二つの部分に分けることだった。その「切断」によって対応する無理数を作る。こうして、直線に託していた連続性は、数体系自身の性質になった。
同じ年、カントールが雑誌に発表した論文は、ある種の有理数列から出発していた。同じ近づき方をする数列をまとめ、それを新しい数にする。同年、ハイネも別の雑誌で、同様に数列を使って無理数と関数論を扱った。
だからといって、三人が同時に、それぞれ独立に実数を発明したのではない。ハイネとカントールを取り巻く人々の考えは、密接につながっていた。この道を歩いた人はほかにもいる。方法は三つだけではない。
1872年は、むしろ合流点だった。極限、無理数、関数、連続性をめぐって数十年間たまっていた圧力が、この年、いくつもの案となって同時に形を取った。印刷でき、互いに比べられる案である。それによって、何が変わったのか。
それまで数学者が無理数を知らなかったわけではない。問題は、解析の証明を最後まで進めると、どこかで幾何学の直線を借りたり、ある極限は存在するはずだという直観に頼ったりしがちだったことだ。それらを、もっと基礎的なところから、独立に作り上げてはいなかった。
今度は、それができる。空でなく上に有界な実数の集合には上限がある。実数からなるコーシー列は、実数の極限を持つ。こうした主張は、もう直線の図に保証してもらわなくてよい。数体系の構成そのものに、直接組み込める。
ただし、ここにも神話を作ってはいけない。切断と数列は、自然の中に隠れていた同じ物を、二通りに発見したのではない。実数に備わっていてほしいと人々が求める性質を、ある構造に満たさせるための、二つの異なる作り方である。
七 算術化という言葉
「解析の算術化」。今では滑らかに使える言葉だが、出どころは具体的にたどれる。しかも、その出どころと現在の用法は、かみ合っていない。確認できる早い用例の一つは、クロネッカーの1887年の論文にある。ところが、彼のいう算術化は、後の歴史書が「ワイエルシュトラス、デデキント、カントールによって解析の算術化が成し遂げられた」と書くときの算術化とは、同じものではなかった。
クロネッカーは、数学を整数と有限的な構成手続きの上に築こうとしていた。カントールの方向へ進む集合論や、ある種の無限の対象は、まさに彼が強い留保を抱いていたものに当たる。
したがって、「算術化」を1870年代のこの陣営に共通の合言葉とみなすと、年代も立場も取り違える。この言葉が歴史上の一連の動きをまとめる名としてなじんでいくのは、1895年にクラインが論文の表題に使ってからだ。ここを確かめる価値はある。後世がある歴史をひとまとめにするために使う言葉は、その歴史の中の反対者から来ることが少なくない。彼は「算術化」には賛成した。だが、今その名の下に収められているものの大半には、賛成しなかった。
第6話にも、よく似た形の話があった。もはや残っていない本の、その翻訳の冒頭の一文から、ある言葉が生まれる。ところが、その言葉が今指すものは、元の本とは関係がない。今回は別の形だ。反対者の作った言葉が、後になって、彼の反対した営み全体の名に使われる。そして同じ時代には、もう一本、別の線も動いていた。ここまでのいくつもの線と、つながる線である。
リーマンが1854年に書いた三角級数についての大学教授資格論文は、定積分の概念と、その適用範囲を特に取り上げている。刊行されたのは、死後の1867年だった。彼の関心は、連続関数なら当然積分できる、というところにはもうない。不連続点を大量に持つかもしれない関数に、どんな条件があれば積分を定義できるか、という問いにある。1875年、ダルブーはこの方向を、もっと使いやすい形にした。区間を細かく分け、それぞれの小区間で上限と下限を取り、二つの和を組み立てたのである。
この数十年間に動いていたのは、一つの問題だけではない。何を関数として認めるか、何を積分の対象とするか、級数の極限をどう扱うか、数体系をどう完備にするか。それらが一緒に動いていた。
病的な関数がますます重要になったのも、そのためだ。定義が整うことで、数学者はようやく本気で問えるようになった。極端な場合まで行ったとき、この定理はどこまで持ちこたえるのか。
八 柵を動かしたあとで
では、代償の話をしよう。ただし、ここには空白のまま残すべき箇所がある。よくある説明では、この新しい言葉によって解析は読めなくなり、教えられなくなったと、当時から不満が出ていたという。1880年代より前に限って調べると、そう書けるほど確かな史料は見つからない。後の言葉を十数年も前へ移すくらいなら、空けておくほうがよい。確実に挙げられるのは、すぐ次の世代に属する二つの言葉である。
1893年、エルミートはスティルチェスへの手紙に、微分係数のない連続関数に対して、恐怖に近い嫌悪を覚えると書いた。1899年前後、ポアンカレは、論理はときとして怪物を生むと述べ、その代表に、微分係数を持たない連続関数を挙げた。
ただし、二人が何に向かって言っているかを見落としてはいけない。矛先は病的な対象であって、記号の仕組みそのものではない。ポアンカレは、もう一つのことも述べている。こちらのほうが重要だ。研究にとって最も確かな論理の順序が、教えるときに最も理解しやすい認識の順序であるとは限らない。
だから、代償には少なくとも三つの層がある。
幾何学的な直観は、最終判定を下す権限を失った。定義が認める対象は、直観が認める対象よりもはるかに多くなった。そして、最も厳密な順序と、最も学びやすい順序は、別々の道を歩き始めた。真ん中の点には、少し立ち止まっておきたい。多くの人の予想と逆だからだ。この一連の仕事は、入口をもっと狭くするために始まったように聞こえる。説明のつかないものを追い出し、確かなものだけを残す。ところが実際には、入口は広がった。この回から一つだけ持ち帰るなら、このことだ。
昔の直観は言う。連続曲線なら、大部分の場所で接線があるはずだ。したがって、どこにも接線のないものなど、存在してよいはずがない。新しい定義は、存在してよいかどうかを尋ねない。ただ一つ、あなたの定義のどの条項が、接線の存在を保証しているのか、と尋ねる。その条項がないなら、その対象にも中に入る資格がある。
こうして、確かさを求めて設けた基準が、締め出したものより多くのものを、中へ通した。
第7話にも、違う姿で同じことが起きていた。あのとき取り払われたのは、記号には、まず量としての解釈がなければならないという敷居だった。それを外すと負の数が入り、後には、さらに多くのものが入ってきた。
二度とも、仕組みは同じだ。敷居を内容から形式へ移すと、入れるものは減るどころか、増える。
この方法が失敗したのではない。基準というものには、一般にこういう性質がある。言葉で書かれた規定が、図から裁定の権限を引き継いだ瞬間、その規定が裁くのは、もはや図に描ける場合だけではなくなる。柵を、見えるものの側から書けるものの側へ移せば、囲い込む範囲も変わる。たいていは、広くなる。
最後に、もう一つ書きとめておきたい。1960年代、現代の道具を使って、ゼロではない無限小を含む拡張された数体系が作られ、その中で厳密な微積分が行われた。これが示したのは、十九世紀の道が間違いだったということではない。無限小を使うことと、数学が厳密でないことは、別だということだ。十九世紀末の道が、後に支配的な地位を得たのは、歴史上起きた出来事である。論理が許す唯一の道だったのではない。
だから、この回の題名には、初めから終わりまで、あのかぎ括弧が要る。
無限小は、追い出されたのではない。変わったのは、証明の中でそれが占める場所だった。そして、論証が確かなものかどうかを、誰が判定できるのかということだった。
数の計算は、まだ先へ進む。だが、何を数学に数え入れるのか。その勘定が、きれいに済んだことは一度もない。
史料と参考文献
以下は、本文の歴史的な細部や解釈上の論争に対応する資料である。所蔵記録、古代の文学資料、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。