数学 · 11 / 25
第五公準がはじける
背理法の中で倒されるはずだった仮定が、それだけで成り立つ幾何学になるまで。モデルは、二千年にわたる立証責任をどう変えたのか。
この篇の目次
一 証明した。そして、誤りだと言った
1733年、イタリアのイエズス会士サッケーリが一冊の本を世に出した。書名を訳せば、『あらゆる瑕疵を取り除かれたユークリッド』となる。
その題名だけで、彼がどちらの側に立っていたかはわかる。第3話で見たように、あの幾何学の書は、証明せずに認める五つの事柄から始まっていた。ところが五番目だけは、証明を待つ結論のような顔をしている。二千年にわたり、大方の人は、最初の四つから導けるはずだと信じていた。まだ誰も成功していないだけだ、と。サッケーリも、その証明を目指した。
選んだ手段は背理法だった。第五公準が成り立たないと仮定し、そこから推論を重ねて、矛盾に突き当たるまで進む。矛盾が出れば、最初の仮定は捨てるほかない。そうして第五公準は、正しいと認めざるをえなくなる。
彼は一つの図形を用意した。底辺の両端から、底辺に垂直な、長さの等しい二本の辺を立て、その先端どうしを結ぶ。それまでに得た命題を使えば、上側の二つの角が等しいことは証明できる。すると可能性は三つしかない。両方とも直角か、両方とも鈍角か、両方とも鋭角か。直角ならユークリッドの世界に戻る。鈍角の場合は、比較的たやすく排除できた。厄介だったのは、鋭角の場合である。
推論を進めても、矛盾が出ない。さらに進めても、まだ出ない。代わりに現れたのは、整然と組み合わさる新たな命題だった。三角形の内角の和は180度より必ず小さい。交わらない二直線の隔たり方が、ユークリッド幾何とはまるで違う。相似と合同の関係も、すっかり変わってしまう。しかも、こうした性質はどこか一か所で成り立つと、幾何学全体を支配する。片隅に例外が一つできるという話ではなかった。
数十ページに、数十の命題。今の言葉で言えば、双曲平面の初等幾何のかなりの部分を、彼はすでに作り上げていた。
正確に何個かと聞かれても、数字は出せない。後の双曲幾何の定理に数えてよい中間命題がどれだけあるかは、彼の論証の連鎖をどう切り分けるかによる。細かな数を示すほうが、かえって見せかけの精密さになる。確かに言えるのは、それだけで一つの講座になるほどの内容があったということだ。ただし、双曲三角法の完全な体系はなく、ましてモデルはなかった。そして本の終わりで、彼は鋭角の仮定は断じて誤りだと宣言する。その仮定から導かれる直線のある振る舞いが、「直線の本性に反する」からだという。この一言が本全体の急所である。そして、それは矛盾ではない。
それまでの数十の命題のうち、別の命題と衝突していたものは一つもなかった。彼が矛盾と呼んだものは、ユークリッド的な直線ならこうあるべきだという姿を呼び戻し、それを判定基準にしたものだった。
第3話の結論が、ここではそのまま当てはまる。書かれた前提は攻撃を招くが、書かれていない前提は、当たり前のことの中に隠れやすい。サッケーリは一冊を費やして、明記されたあの一条を攻めた。そして最後のページで、自分が一度も明記していない前提を使った。
後世には、彼はあと一歩で非ユークリッド幾何を発見できたのに、最後の最後で怖じ気づいたのだ、という語り方がある。これでは彼が臆病者になってしまう。しかも、彼の置かれていた状況を取り違えている。
勇気が足りなかったのではない。題名から証明の組み立てまで、彼が引き受けた仕事は、ユークリッドに瑕疵がないことを示すことだった。別の幾何学も正当な数学の対象になりうる、という考えを彼は持ち合わせていなかった。だから、目の前に矛盾なく並ぶこの一群の命題は、新世界がすでに出来上がっている証しには見えない。背理法を仕上げるために、あと一手足りない。それだけだった。
二 半径が虚数の球
それから三十数年後、ランベルトはもっと先へ進み、まったく違う場所で足を止めた。平行線を論じた彼の草稿は、およそ1766年に書かれたものだ。生前には刊行されず、1786年になって他の人の手で整理され、公にされた。彼の仕事を年表に置くときは、書いた年と出た年を分けなければならない。
使った図形は少し違った。四角形の三つの角を直角にし、残る一つが直角、鈍角、鋭角である場合をそれぞれ調べる。発想そのものは、サッケーリと同じ伝統に属していた。
三つの直角をそろえてしまえば、第四の角に残る可能性は三通りしかない。この仕掛けの働きはサッケーリのものと同じだ。見通しの立たない問いを、一つずつ調べていける問いに作り替えるのである。
そして鋭角の場合に彼が得たものは、今なら一目でそれとわかる。
前の人のように、急いでそれを排除しようとはしなかった。三角形の内角の和は180度に届かない。共通の垂線を持つ二直線は、そこから離れるほど互いに遠ざかる。ユークリッド幾何で成り立つ円や多角形の性質のいくつかは、もはや通用しない。幾何学の内側から、固有の長さの尺度まで現れる。とりわけ重要なのは、三角形の面積が角欠損に比例するという結果だ。角欠損とは、180度から三つの内角の和を引いた量である。単独で美しいだけの結果ではない。後に「一定の負の曲率を持つ幾何学」と呼ばれるものを見分ける、最も鮮明な指紋の一つだった。
そこで彼は、あの有名な一文を書く。
球面上では三角形の内角の和が180度を超え、面積はその超過分に結びつく。鋭角の仮定のもとでは、ちょうど逆になる。これに気づいた彼は、こう記した。ほとんどこう結論せざるをえないではないか。この第三の仮定が成り立つのは、半径が虚数の球の上なのだ、と。
この一文を、モデルがすでに手に入っていたという意味に読んではならない。まずそこにあったのは、きわめて鋭い類推だ。球面の公式に出てくる半径を、形式的に虚数へ置き換えてみる。すると、多くの符号がちょうど反転する。
第8話で見たように、16世紀の負の数の平方根は、身分の定まらない中継地になった。あいにく、あの根式の道は、ここを通っていた。およそ二百年後、ここでまた顔を出す。今度は幾何学の一文の中に。球がある。その半径が虚数である。
ランベルトがこれを書いた時代には、複素数の計算はすでにある程度進んでいた。ただ、その基礎や幾何学的な意味づけは、後世ほど確立していない。彼はまだ宙に浮いているものを使って、もう一つの宙に浮いているものを言い表そうとしていた。
もっと大事なのは、草稿の終わり方だ。彼はサッケーリのように、これは断じて誤りだと宣告しなかった。残された草稿では最後まで矛盾を探しており、その部分は未完のままである。
だから、本人が下していない判決を、こちらで書き足してはいけない。言えるのは、正当な新しい幾何学の誕生を、彼が公に宣言したわけではないということだけだ。
もう一つ、よくある話をほどいておこう。サッケーリの本は、一世紀半にわたって行方不明になっていたわけではない。読み継ぐ伝統が生まれず、学派も残らなかったのは確かだ。しかし1763年、クルーゲルは自分の平行線に関する論文でこの本を引用している。そしてランベルトは、クルーゲルを読んでいた。本の影響は、ときにこれほど細い糸だけを伝っていく。誰かが引用し、別の誰かが、その引用箇所を読む。
歴史上の位置づけが本当に変わったのは、1889年前後だった。この本に目を留めた人がベルトラミに知らせ、それからサッケーリは非ユークリッド幾何の定番の歴史叙述に登場するようになる。文献の上に痕跡が残っていることと、出発点として読まれることは、別の話なのだ。
この違いは、本話でもう一度姿を現す。そのときには、ずっと大きな結果をもたらすことになる。
三 では、何が新しかったのか
ここが、本話でいちばん大事なところだ。
非ユークリッド幾何の発見とは、第五公準を否定したうえで正しい命題をいくつも証明することだ、というだけなら、その仕事の大半は1733年に済んでいた。1766年には、残りも少し進んだ。19世紀に加わった新しさは、それとは別の四つの層にある。
第一は、その命題群を何と見なすかだ。サッケーリは鋭角の場合を「敵対する仮定」と呼び、倒すことを目指した。ランベルトもなお、矛盾探しという枠の中で仕事をしていた。後の人たちは、そこでこう言い始める。はじめから葬るつもりで考えるのはやめよう。一つの幾何学として丸ごと動かしたら、どうなるだろうか。
同じ命題の束が、一方では仮定を処刑するための証拠品であり、もう一方では学問そのものの中身になる。違いは紙に何が書いてあるかではなく、書き手がそれを何に使うつもりかにある。気の持ちようの話に聞こえるかもしれないが、そうではない。次にどこへ進むかが、それで決まるからだ。命題が証拠品なら、次にすることは矛盾を探し続けること、見つかるまで探すことになる。新しい命題が一つ増えるたびに、「また見つからなかった」が一つ増えるだけだ。
それが学問の中身なら、次の仕事はまったく変わる。順序を整え、足りないところを埋め、何が基本で何がそこから導かれるかを見分け、この仕組みでほかの何かを計算できないかと考える。同じ紙の束から、二つの違う次の一手が生まれる。
そしてサッケーリとランベルトは、その紙をすでに文字で埋め尽くしていた。
第二は、体系化の深さだ。サッケーリには数多くの初等的な命題があり、ランベルトには面積と角欠損を結びつける深い洞察があった。しかし、どちらも繰り返し使える計算理論を作るには至らなかった。後の人たちは、平行角と距離と三角関数を結ぶ関係を一通りそろえ、平面での結果を空間へ広げ、ユークリッド幾何がどのように極限や特殊な場合として現れるかまで示した。
そこまでくると、新しい幾何学は、背理法の途中に飛び出してきた奇妙な結論の列ではなくなる。球面三角法と同じように、日々の計算に使える道具立てになる。
これには副産物もあった。計算できる体系は、自分自身を検査できる。同じ量を別々の道筋で求め、答えが食い違えば、どこかに誤りがあるとわかる。背理法の過程で生まれた命題群にも論理的なつながりはあったが、同じくらい全体が整い、繰り返し使いやすい計算の仕組みには、まだなっていなかった。
第三は、何を問おうとするかだ。この人たちの目的は、実は同じではない。幾何学の基礎を完全に先験的に定められるのか、つまり、考えるだけで空間はこうでなければならないと決められるのかを問う人がいる。平行線公準に依存しない部分だけを取り出して、より基礎的な学問を作り、その先でユークリッドと非ユークリッドが二つに枝分かれするようにしたい人もいる。あるいは、これは「想像上の幾何学」だとして、導けるものを導き、計算できるものを計算する。まずやってみようという人もいた。それでも、全員が同じ一線を越えていた。否定するためだけに、その仮定を置くのはやめたのである。
第四の層は最後に現れ、しかも最も決定的だった。モデルである。
つじつまの合う公式を何百と証明しても、疑う側にはまだ言い返す余地がある。矛盾はその次に出るのかもしれない、と。この言葉を、定理を増やすだけで退けることはできない。いくら増やしても有限個だからだ。モデルが変えたのは、この問いそのものだった。それは1868年を待たねばならない。
だから後に加わった新しさの中心は、定理の数ではなかった。この一群の定理は何なのか。その答えだった。
四 三つの道
ガウス、ボーヤイ、ロバチェフスキーは、同じ時期に独立して非ユークリッド幾何を発見した三人として並べられることが多い。顕彰するには便利だが、理解するには向かない整理である。まず、ガウスに関する史料は二層に分けて読む必要がある。
晩年の彼は、この問題を考え始めて三十年になる、三十五年になる、ほとんど四十年になると繰り返し書いている。1846年には、同種の確信を抱いてから五十四年になるとまで述べた。その数字から逆算すると、出発点は1790年代、少年時代にまでさかのぼる。
これらの回想自体は、まぎれもない史料だ。手紙を書いたのは本人で、日付も確かである。問題は、それが回想であって、当時の記録ではないことだ。三十年前にもう思いついていた、と誰かが言う。その発言からわかるのは、発言した時点で本人がそう信じていたということだ。三十年前のその日に、何を手にしていたかまでは証明できない。
実際、年代を確定できる手稿は、そうした回想が思わせるほど充実していない。1796年から1814年までの数学日記はきわめて重要な史料だが、少年ガウスが後世の意味での双曲幾何の全体系をすでに持っていたと証明できる記載は、一つもない。むしろ、平行線や幾何学の基礎について、確実に年代を定められる一群のノートが現れるのは、1828年から1832年にかけてである。
より堅実に年表をたどると、こうなる。1790年代末にはすでに、彼は父ボーヤイと幾何学の基礎を論じていた。
この人物は、後ほど父親として再登場する。1816年前後の書簡には、ユークリッド幾何の反対側、未知の定数、超越三角法といった考えが、すでにガウスの周辺に現れている。1819年、仲介者を経て届いた「星の幾何学」に関する資料に返答したときには、その定数さえ与えられれば、この幾何学を扱えるとはっきり述べていた。
1824年11月8日付のタウリヌス宛ての手紙までくると、史料が示すものはかなり明瞭になる。三角形の内角の和が180度より小さいと仮定すると、ある特異な幾何学が導かれる。その結論の多くは逆説めいて見えるが、これまでのところ、不可能なことは何も見つかっていない。その幾何学には特徴的な長さの尺度があり、三角形の面積は角欠損に結びつく。そう彼は書いた。
1829年1月27日のベッセル宛ての手紙では、問いがもう一段上がる。幾何学は完全に先験的には構築できないという考えを、ますます強く持つようになったという。自分はこれらの問題を広く研究してきたが、生きているうちに整理して公刊するとは限らない。そして、あの最も有名な言葉が続く。彼は「ボイオティア人たちのわめき声」を恐れていた。
ボイオティアは古代ギリシャの地名である。アテナイ人が紋切り型の悪口を言うとき、ボイオティア人とは、鈍く、粗野で、風雅を解さない人を指した。この言葉は作り話ではない。出典は確かで、まさにその手紙に書かれている。
だが、それで何もかも説明できるわけではない。数学史家グレイは、重要な修正を加えている。正確な年代を定められるガウスの初期の史料は、後世の人々が彼のために再構成した完成済みの理論に比べて、はるかに薄い。1828年にも1831年にも、彼は基礎に関する新たなノートを書いていた。それは、1790年代に書き上げた本を引き出しに封じていた姿よりも、研究を続けていた姿によく似ている。
したがって最も確実なのは、こう言うことだ。わめき声を恐れたという話は伝説ではなく、ガウス自身が挙げた理由の一つである。ただし、それを唯一の理由とし、彼が残さなかった数学のすべてをその一言で埋めてしまうのは、後世の英雄化だ。もう一つの道には、父と息子がいる。
1820年4月4日、父ボーヤイはウィーンにいる息子へ手紙を書いた。自身も若いころ、平行線の問題に膨大な力を注ぎ、ガウスとも論じ合っていた。だからこれは、父親がありきたりの小言を並べた手紙ではない。傷を負った人の、具体的な警告だった。その道を進んで平行線を追ってはいけない。そこは底のない暗夜であり、お前の時間も健康も人生も吞み込んでしまう、と。
この手紙の書き手は、自分が何を言っているかを知っていた。同じ道で若い日の何年もを費やし、ガウスと話し合った末に、ガウスさえ解けていないとわかっていたのだ。ところが三年後、話は逆転する。1823年11月3日、息子は父に、無から奇妙な新世界を創り出した、と書き送った。
その成果は後に、父の二巻本の著作に付された一篇の付録となった。正式な題名の意味は、おおよそ「絶対に真なる空間の学を提示する付録」である。わずか二十数ページ。極限まで切り詰めた記述の中に、平行角、双曲三角法、さらには空間における結果まで詰め込まれていた。
彼の本当の新しさの一つは、問いの組み替えにあった。第五公準は正しいのか、間違っているのか。そこから、第五公準をそもそも必要としない幾何学的事実はどれで、残る部分はどこで分岐するのか、という問いへ変えたのである。
1831年6月20日、父は一部をガウスに送ったが、それは届かなかった。二度目に送ったものは、1832年1月に届く。ガウスが返事を書いたのは、同年3月6日だった。
その手紙で最も有名な一節は、およそ次のような内容だ。ご子息の仕事を褒めることはできない、と私が言えば、驚かれるかもしれない。だがそれを褒めるのは、自分を褒めるのとほとんど同じなのだ。この論文の内容も、たどった道も、得られた結果も、私が三十年から三十五年にわたって考えてきたことと、ほぼ完全に一致しているのだから。
手紙そのものは、確かな史料である。しかし、それだけで証明できるのは、ガウスが1832年にこの優先権の主張をしたということだ。1797年のガウスが、付録の内容をすべて持っていたことまで、この一通で証明することはできない。
その後の息子の反応についても、確かな資料はある。ただ、広く語られる筋書きは、しばしば劇的にしすぎている。この手紙は父子の隔たりを深め、息子に、これ以上発表しても意味がないと思わせた。だが、彼はそれきり手を止めたわけではない。1848年にロバチェフスキーの本を読むと、批判や比較を記したノートを数多く書き、一時はガウスとロバチェフスキーの間に何かつながりがあるのではないかと疑いもした。今も残る遺稿の量は膨大だ。
だから、ガウスの一通の手紙が一人の天才を潰した、という言い方は事実に合わない。起きたのは、公刊によって仕事を発表する彼の歩みが、ほぼあの付録で途絶えたということだ。その後も彼は書き続けた。手紙を読んだその場で何をしたのか、何と言ったのかについては、出所をたどれる資料が見つからない。後世に描かれた生々しい場面は、いずれも後世に由来する。
第三の道を進んだ人物は、最も多く、最も公然と発表した。
ロバチェフスキーの仕事の第一期は、1829年から1830年にかけてのカザンである。「幾何学の原理について」という論文を五回に分け、カザン大学の地方刊行物に載せた。これが、正式に印刷された最初の体系的な非ユークリッド幾何の論述となる。それ以前の1826年2月11日には、すでにカザン大学で新しい幾何学を講演し、審査に付していた。ただし、その原稿は後に失われた。
本当の障害は、この発表の経路にあった。地方大学の刊行物で、言語はロシア語。流通は限られ、ロシア国内でさえ広く出回るものではない。西欧では誰も知らなかった、というとき、郵便に十年かかったという話をしているのではない。言語、文献交換のつながり、雑誌の評価、研究者共同体の流通経路が問題なのだ。
第二期は1837年。彼はベルリンの重要な研究雑誌に、フランス語で論文を発表した。そこはアーベルの仕事も掲載していた雑誌であり、フランス語は当時、国境を越えて科学を伝える言葉でもあった。
第10話では、アーベルが自費で刷った小冊子を取り上げた。その後、彼のより完全な版を載せたのが、この同じ雑誌だった。そして今度は、こちらの論文も載った。だから1837年以降まで、ロバチェフスキーの仕事は物理的に西欧へ届きようがなかったと言い続けることはできない。
第三期は、1840年にベルリンで出版されたドイツ語の小冊子である。六十数ページほどの、彼の説明として最も明快で、流通にも最も適した版だった。ガウスが実際に読み、真剣に評価したのは、この一冊である。
ガウスは高く買っていた。私信では、そこに真の幾何学の精神があると称賛し、ゲッティンゲンのある学術団体の会員候補にまで推薦した。しかし、私的な賛辞と、公の場で支持を訴えることは別である。ロバチェフスキーを擁護する論文を、ガウスは発表していない。
1855年、すでに完全に視力を失っていた彼は、最後の体系的な総括を口述した。この出来事には、悲惨な晩年を語る多くの逸話よりも、よい裏づけがある。一方、極貧の中で誰からも見捨てられたという話には、それを支える史料がない。
近年の文書史料の研究によって、彼の資産や財政状態、大学側の態度についての誇張は、いくつも訂正されている。失明、病気、長男の死は事実だ。誰からも見捨てられた、は事実ではない。
五 発表はされた。受け入れられはしなかった
まったく誰にも相手にされなかった、は間違いだ。広く受け入れられるには至らなかった、なら正しい。
ロバチェフスキーの初期の原稿は、ペテルブルク科学アカデミーの審査に回っている。読んだのは、そこの最も名高い数学者オストログラツキーで、評価は否定的だった。アカデミーは刊行しなかった。1834年には、ペテルブルクのある雑誌が、この仕事を嘲笑する記事まで載せている。否定されたという事実そのものが、誰かが読んだことを示している。1837年にはベルリンの雑誌に論文が出た。1840年のドイツ語の小冊子には、ガウスがすぐに目を留め、著者を会員候補に推薦した。ボーヤイの付録も、少なくともガウスは読み、詳しい返事を書いている。
その一方で、引用を通じたつながりも、教科書を通じた広がりも、教える場のつながりも、ほとんど存在していなかった。1830年代、40年代の普通のヨーロッパの数学学生が、標準的な授業の中でこの幾何学に触れていたことを示す証拠は見つからない。
この状況を最もよく表すのが、一つの偶然である。1830年代、ミンディングは一定の負の曲率を持つ回転面を研究し、双曲三角法に対応する公式まで得ていた。それをロバチェフスキーの仕事とは結びつけなかった。同じ公式に、二人が別々にたどり着いている。それでも、二つの知のつながりは接続されなかった。
ここは少し立ち止まって見ておきたい。ミンディングは周辺的な人物ではないし、彼が研究していた曲面論も人目につかない分野ではなかった。その彼が手にしていた公式と同じ関係を、ロバチェフスキーは数年前にすでに印刷していた。今ある叙述だけでは、二人がそれぞれどの関連文献を読んでいたかまでは断定できない。確かなのは、その時点で二つの研究の道筋が、うまくつながっていなかったことだ。理論が受け入れられるには、正しいだけでは足りない。発表されただけでも足りない。それまで無関係だった二つの場所の間を、誰かが一度、行き来しなければならない。
グレイは、この時期を一言でまとめた。発表はされたが、受け入れられはしなかった。刊行物はある。読んだ人も何人かはいる。だが、その分野全体の判断を変えるだけの、有効なつながりはまだできていなかった。
転機は、1855年にガウスが亡くなった後から始まる。彼が生前、私的にはこの幾何学を支持していたことが、書簡や遺稿から次第に知られるようになった。1860年代には、フランスのウエルが翻訳、批評、連絡の役を引き受ける。1866年にロバチェフスキーのドイツ語の本のフランス語訳を出し、ガウスの関連書簡も広めた。ウエルが残した膨大な往復書簡は、今日、この受容の歴史を再構成するための鍵となる史料とされている。
ウエルの仕事は、言ってしまえば、少しも華々しくない。訳す。論評を書く。手紙を書く。ある人の仕事を別の人へ送り、その返事をまた別の人へ伝える。
けれども、彼のように間をつなぐ人がいなければ、それまでの数十年と同じことが続いていただろう。本は刷られ、そこに置かれている。読むべき人は、それがあることを知らない。
1870年には、ワイエルシュトラスがベルリンでロバチェフスキー幾何を扱う演習を主宰し、若いクラインが参加していた。ここまで来れば、それはもう、教えることも研究することもできる学問になっている。そして、その若者は翌年、さらに先へ進む。
1871年、クラインはこれらの幾何学をそろって射影幾何の枠組みに入れた。基準となる二次曲線を選び、複比を使って距離を定義する。するとユークリッド幾何、双曲幾何、そしてもう一つの幾何学は、同じ構造の中で、基準の違いに応じて異なる測り方を与えられたものになる。
ここでも、同じ考え方がいっそう強まった。互いに敵対する宇宙のように見えていたものが、一つのものを別々に読む方法になる。しかも、読み方の間には正確な翻訳の関係がある。
さらに1880年代、ポアンカレは別の一群のモデルを、複素関数と群の理論へつないだ。教科書ではそれらのモデルに彼の名前が付いていることが多いが、最初に作ったのは彼ではない。ベルトラミの1868年の仕事に、すでに同等の解析的な形があった。ポアンカレが変えたのは、何に使うか、どこに置くかだった。この段階になると、非ユークリッド幾何は、風変わりな平行線の理論ではなく、射影幾何、微分幾何、複素解析が共に使うものになっていた。
三つの違う場所で役に立つようになれば、その存在を弁護して回る必要は、もうない。
六 モデル
1854年6月10日、リーマンはゲッティンゲンで就任講演を行った。題目は「幾何学の基礎をなす仮説について」。定められた手続きに従い、あらかじめいくつかの題目を提出していた中から、ガウスがこれを選んだ。
リーマンが問うたのは平行線ではなかった。もう一段高いところから、問いを立てた。多重に広がる量を、どう定義すればよいか。その上で、長さをどう定めるか。場所によって測り方はどう変わるか。曲率をどう理解するか。そして、物理的な空間がどの計量構造に属するのかは、概念を分析するだけでは決められない。
これは枠組みであって、非ユークリッド幾何の言い換えではない。それまでの人々は、ユークリッドに代わる一つの具体的な幾何学を提示していた。リーマンはさまざまな幾何学を、もっと一般的な計量構造の一族として捉え直したのだ。1854年に行われたこの講演は、生前、正式な論文として刊行されることはなかった。彼は1866年に死去し、デデキントらが遺稿を整理した。それが1868年前後に、正式な公刊文献として読まれるようになる。同じ年、ベルトラミがあの決定的な仕事をした。
慎重に言葉を選ぶなら、彼のしたことは一文で言える。非ユークリッド幾何の対象と関係を、すでに受け入れられていたユークリッド幾何の対象と関係として解釈したのである。
最も目に見えやすい部分には、「擬球面」と呼ばれる曲面がある。その曲率はどこでも負で、しかも一定だ。この曲面から外へ出ずに距離を測り、面の上の最短経路をたどってみる。すると、非ユークリッド平面幾何の一部が実際に現れる。直線の役を担うのは曲面上の測地線であり、角、距離、三角形の関係が、いずれも双曲幾何の形を取る。
こうして、それまでは記号だけでできた怪物のように見えていた公式に、普通の三次元空間の中で、具体的な意味が与えられた。
ただし、擬球面そのものが双曲平面の全体なのではない。境界があり、特異な箇所もある。無限に広がる双曲平面をそっくりそのまま、傷めずに三次元空間へ収めることはできない。ベルトラミの仕事を、角笛の形をした曲面一つに縮めてしまうと、彼が本当に成し遂げたことを見誤る。
後には、もっと徹底した形でこれが確かめられた。20世紀初め、一定の負の曲率を持つ完備な曲面は、そもそも普通の三次元空間の中へ、滑らかに、しかも距離を保ったまま埋め込むことはできないと証明されたのだ。つまり、実物を一つ作って双曲平面の全体を見ようという道は、もともと通れない。
だから、彼の仕事の核心は、あの曲面にはない。
さらに深い貢献は、解析的なモデルだった。ありふれた円盤の上で、どの曲線を直線とするかを定め直し、距離の測り方を定め直す。それによって、非ユークリッド幾何のすべての関係を成り立たせることができる。
これだけ読むと、ずるをしているようにも思える。何を直線と呼ぶか、自分で決めていいというのだから。
しかし、決めてしまった後のことは、もう彼の自由にはならない。直線と指定された曲線どうしが交わり、囲まれた図形には決まった角や面積が生じる。それらの関係は、計算して求まるのであって、好きに決められるものではない。そして計算の答えが、ちょうど非ユークリッド幾何で得られていたあの関係になる。
自由に決められるのは、冒頭の一言だけだ。そこから先の一歩一歩は、普通のユークリッド幾何に縛られている。
この仕事が論理の上で意味することは、多くの人がまず思いつくこととは違う。擬球面が目に見えるのだから、現実の空間は非ユークリッド的だ、という話ではない。
言っているのは、こういうことだ。もし非ユークリッド幾何から矛盾を導けるなら、その推論を一文ずつ円盤上の言葉に訳すことで、普通のユークリッド幾何の中にも対応する矛盾を導けてしまう。
だから、モデルを支える普通の数学が無矛盾なら、そこで解釈された非ユークリッド幾何も無矛盾である。
これが相対的無矛盾性である。絶対的な無矛盾性を手に入れたわけではない。モデル自体が、別の数学の上に立っているからだ。まして、現実の空間がどの幾何学に従うかを証明したわけでもない。この歴史の中でそれが果たした役割は、立証責任の向きを、まるごと逆にしたことだった。
それまでは非ユークリッド幾何の側が、証明を繰り返さなければならなかった。ほら、また一つ命題が得られた。それでも矛盾はない、と。この仕事に終わりはない。疑う人は、いつでも次の一つを待てるからだ。モデルができた後は、疑う側に先に答えてもらわなければならない。では、それを支える普通の数学にも同じ矛盾が生じてしまうはずだが、そうはならないと言うなら、その理由を説明してほしい。増えたのは定理一つではない。次に説明しなければならないのは誰か、その問いが変わったのである。
ただし、1868年のベルトラミ自身が、20世紀の形式論理の言葉で目的を述べていたわけではない。彼の論文を、現代的な意味での無矛盾性の証明だったと呼ぶのは、後からの再構成である。彼が成し遂げたのは、その解釈によって、後に相対的無矛盾性として理解される数学的構造を、実際に与えたことだった。
七 二千年の問いはどう終わったか
モデルができて初めて、第五公準の独立性には、本当に強い根拠が与えられた。
ここでいう「独立」には、具体的な意味がある。もし第五公準を本当に残りの公準から導けるなら、残りの公準を満たすどんな解釈の中でも、第五公準は成り立たなければならない。ところがベルトラミは、残りの基本的な関係が成り立ち、なおかつ平行線が双曲幾何の振る舞いをする解釈を、一つ与えたのだ。
言い換えれば、反例を作ったのである。ただし、幾何学の中のある主張に対する反例ではなく、証明できるかどうかに対する反例だ。すべての前提が成り立つのに、結論は成り立たない場合がここにある。ならば、その前提からその結論を導くことはできない。
したがって、残りの公準だけから第五公準を導くことは不可能になる。
ただし、この言い方には条件を添えなければならない。第3話で扱った、あの問題があるからだ。ユークリッドの最初の五公準は、必要なことをすべて明記した形式体系ではなかった。順序、連続性、合同、交点の存在について、彼は数多くの仮定を明言していない。だから独立性を今日のように厳密に述べるには、19世紀末、体系全体が改めて公理化されるのを待つ必要があった。
これでようやく、二千年の問いに答えられる。どうして、あれほど多くの人が証明できなかったのか。みんなの頭が足りなかったからではない。目標そのものが、到達不可能だったからだ。
この二つの言い方は、重みがまるで違う。前者が語っているのは人々の能力であり、後者が語っているのは、その問題の性質である。二千年もの間、誰もが当然のように前者を受け入れていた。
ある命題が残りの前提から独立なら、その前提からいくら進んでも、命題は導けない。成功したと称する証明は、必ず推論の誤りを含んでいるか、明言されていない前提に頼っているか、あるいは途中で、第五公準を導くのに十分な何かを再び持ち込んでいる。
そう考えてから、サッケーリの最後の言葉、「直線の本性に反する」を振り返ると、何が起きたかがよく見える。
それは一人の人間が弱さを見せた瞬間ではない。何百年もの間、失敗した証明が繰り返してきた形そのものだ。肝心の一歩で、どこにも書かれていなかったユークリッド的な直観を、別の名前で呼び戻す。そして呼び戻すたびに、当人は、ただ当たり前のことを言っているつもりでいる。
ここが、最も用心しにくいところだ。ある前提が書かれずに済んできたのは、たいてい、書く必要などないと思われていたからである。書かなくてよいと思えるものを使っても、警戒する気にはならない。
第3話の例も、ここに重ねてみるとよい。あの本では、いちばん初めの問題から二つの円の交点を取る。ところが、その二円が必ず交わると認めてよいとは、どの公準にも書かれていない。図を描けば交点はそこにある。わざわざ言うまでもない、と思いやすい。やがて、この一言まできちんと言おうとする人が現れた。
サッケーリが最後の一歩で使ったのも、同じものだった。ただし今度は、扉を閉じるために使われた。二千年の間、その一歩は何度も踏み出され、そのたびに、取り立てて言うほどでもない一歩とされてきたのである。
八 立証責任
この話に登場した人々の仕事は、はっきりした順序に並べることができる。
サッケーリは多くの命題を証明し、それを認めることを拒んだ。ランベルトはさらに多くを証明し、驚くべき類推に気づいたが、判決は下さなかった。ガウスは、この幾何学には矛盾がないかもしれないと信じたが、他の人を納得させるだけの体系を差し出さなかった。ボーヤイとロバチェフスキーが初めて、それ自体で動く学問として書き上げた。その間にも人々の一群がいるのだが、例の「三人の発見者」という枠組みでは、そっくり消されがちである。
1820年代には、シュヴァイカルトとタウリヌスも、すでに近い仕事をしていた。シュヴァイカルトは法学教授で、自分の考えた幾何学を「星の幾何学」と呼び、仲介者を通じてガウスに送った。タウリヌスはさらに古い平行線の文献を出発点にし、ガウスとも文通しながら、双曲三角法にかなり近い公式を書いていた。
二人とも、後のように、新しい幾何学を公に打ち出して継続的に育てる仕事を確立したわけではない。それでも、この二人の存在からわかることがある。三人の天才が、それぞれ真空の中で考え出したのではない。連なっていた多くの人々の中から、何人かが頭角を現したのだ。
だが、この四段階を全部合わせても、数学界に受け入れてもらうには足りなかった。
五人、百年、数百の命題。それでも足りない。
それぞれの仕事の目的は違っていた。しかし、整合する命題を次々に得るだけでは、いつまでも矛盾に遭遇しないとは保証できない。そして、その確認には終わりがない。一つ証明するたびに、疑う人は次の一つを待つ。この状態を本当に終わらせたのは、何百個目かの、そのまた次の命題ではなかった。誰かがその問いに答えるのをやめ、別の問いを立てたことだった。矛盾があるかを問う代わりに、すでに受け入れられているものとの間に、翻訳の関係を作れるかを問う。翻訳できるとわかった瞬間、元の問いは、別の側が引き受ける問いになった。
この一手が成り立つには、つなぐ先となる別のものが必要だった。もし当時のユークリッド幾何や解析の方法まで足もとが揺らいでいたなら、そこへつないでも意味はなかった。
だから、いつでも使える手段というわけではない。論理の上では、モデルを支える理論が必要になる。そして当時の受容の歴史では、その理論が広く信頼されていたことが、とりわけ重要だった。これは抜け道を使ったわけでもない。
モデルは、あの問いを避けてはいない。問いをそのまま、別の場所へ移したのだ。もし非ユークリッド幾何に本当に矛盾があるなら、その矛盾は普通のユークリッド幾何の中にも、そのまま姿を現す。誰かの負担が軽くなったわけではない。変わったのは、それを今や、二千年にわたり使われ、誰も疑おうとはしていない体系が引き受けることになった、という点だけである。
第2話の結びでは、手が届かないものがあるなら、何をもって届いたとするか、その基準を変えることができると書いた。本話は、同じ動きの別の姿である。ただし今回変わったのは基準ではなく、誰が立証しなければならないかだった。どちらも覚えておいてよい。数学の中だけで起きることではないからだ。
長い間、証明も反証もできずにいる主張は、証拠がもう一つ増えたからといって、たいていは決着しない。多くの場合、決着をもたらすのは、誰かがそれを、すでに受け入れられている別のものにつなぐことだ。すると、問いを引き受ける主が変わる。
つながったからといって、それが前より真になったわけではない。ただ、他のものと同じだけ真であることになった。あるいは、同じだけ真ではないことになった。
数を計算する手は、まだ止まらない。何を数学に数えるのかは、いまだに決着がついていない。
史料とさらに読むための文献
以下は、本文の歴史的な細部や解釈の相違に関わる資料である。所蔵記録、古代の文学作品、現代の再構成は、同じ種類の証拠ではない。