Die Sprengkraft des fünften Postulats

1 Er bewies es und erklärte es für falsch

1733 veröffentlichte ein italienischer Jesuit namens Saccheri ein Buch. Sein Titel bedeutete: Euklid von jedem Makel befreit.

Damit war die Absicht bereits ausgesprochen. In Folge 3 ging es um die fünf Aussagen, die am Anfang jenes Geometriebuchs ohne Beweis stehen. Die fünfte sieht eher aus wie eine Schlussfolgerung, die einen Beweis verlangt. Zweitausend Jahre lang waren die meisten überzeugt, sie müsse sich aus den ersten vier herleiten lassen. Es hatte nur noch niemand geschafft. Saccheri wollte es schaffen.

Sein Verfahren war der Widerspruchsbeweis. Man nimmt an, das fünfte Postulat gelte nicht, und verfolgt die Folgerungen, bis sie sich widersprechen. Sobald der Widerspruch auftaucht, ist die Annahme erledigt. Das fünfte Postulat muss dann wahr sein.

Dazu konstruierte er eine Figur. An beiden Enden einer Grundseite errichtete er gleich lange Senkrechte und verband deren obere Endpunkte. Aus den zuvor bewiesenen Sätzen folgt, dass die beiden oberen Winkel gleich groß sind. Es bleiben also drei Möglichkeiten: Beide sind recht, beide stumpf oder beide spitz. Mit rechten Winkeln ist man wieder bei Euklid. Die stumpfen konnte Saccheri vergleichsweise leicht ausschließen. Schwierig wurde es bei den spitzen.

Er leitete weiter ab. Kein Widerspruch. Er ging noch weiter. Wieder keiner. Stattdessen entstanden neue Sätze, die sich zu einem erstaunlich festen Gefüge verbanden: Die Winkelsumme eines Dreiecks ist strikt kleiner als zwei rechte Winkel. Der Abstand zwischen Geraden, die einander nicht schneiden, verhält sich ganz anders als in der euklidischen Geometrie. Das Verhältnis von Ähnlichkeit und Kongruenz verändert sich grundlegend. Und gelten diese Eigenschaften an einer Stelle, dann bestimmen sie die gesamte Geometrie. Sie bilden keine kleine Ausnahme in irgendeinem Winkel des Systems.

Dutzende Seiten, Dutzende Sätze. In heutiger Sprache: Saccheri hatte bereits einen beträchtlichen Teil der Elementargeometrie der hyperbolischen Ebene entwickelt.

Wie viele Sätze genau? Dafür lässt sich keine verlässliche Zahl nennen. Welche Zwischenschritte seiner Beweisketten man als eigenständige Sätze der späteren Geometrie zählt, hängt davon ab, wie man diese Ketten zerlegt. Eine genaue Zahl würde Genauigkeit nur vortäuschen. Sicher lässt sich sagen: Der Stoff hätte für eine Vorlesung gereicht. Ein vollständiges System der hyperbolischen Trigonometrie war noch nicht darunter, erst recht kein Modell. Am Ende erklärte Saccheri die Annahme spitzer Winkel dann für schlechthin falsch. Seine Begründung: Ein bestimmtes Verhalten von Geraden, das daraus folge, widerspreche der Natur der Geraden. An diesem Satz hängt das ganze Buch. Und dieser Satz ist kein Widerspruch.

Von den Dutzenden zuvor bewiesenen Sätzen geriet keiner mit einem anderen in Konflikt. Was Saccheri einen Widerspruch nannte, war etwas anderes: Er holte seine Vorstellung davon, wie eine euklidische Gerade sich zu verhalten habe, wieder herein und machte sie zum Maßstab.

Hier lässt sich die Einsicht aus Folge 3 unmittelbar anwenden. Die ausdrücklich hingeschriebene Voraussetzung zieht Angriffe auf sich. Die unausgesprochenen verstecken sich dagegen leicht im Selbstverständlichen. Ein ganzes Buch lang bekämpfte Saccheri die hingeschriebene. Auf der letzten Seite stützte er sich selbst auf eine, die nirgends stand.

Später erzählte man gern, er sei nur einen Schritt von der Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie entfernt gewesen und im entscheidenden Augenblick zurückgeschreckt. Diese Geschichte macht einen Feigling aus ihm. Sie verkennt außerdem die Lage, in der er arbeitete.

Es fehlte ihm nicht an Mut. Vom Titel bis zum Aufbau der Beweise lautete sein Auftrag: Euklid von jedem Makel befreien. Die Vorstellung, eine andere Geometrie könne ein legitimer Gegenstand der Mathematik sein, stand ihm nicht zur Verfügung. So konnte die ganze Sammlung miteinander verträglicher Sätze für ihn nur bedeuten, dass seinem Widerspruchsbeweis noch der letzte Schritt fehlte. Dass hier bereits eine neue Welt stand, konnte sie nicht bedeuten.

2 Eine Kugel mit imaginärem Radius

Gut dreißig Jahre später ging Lambert weiter. Und er blieb an einer ganz anderen Stelle stehen. Seine Abhandlung über die Parallelen entstand ungefähr 1766. Zu seinen Lebzeiten erschien sie nicht; andere bereiteten sie für den Druck vor und veröffentlichten sie 1786. Bei Lambert muss man Entstehungsjahr und Erscheinungsjahr auseinanderhalten.

Seine Figur sah etwas anders aus: ein Viereck mit drei rechten Winkeln. Er untersuchte, was geschieht, wenn der vierte Winkel recht, stumpf oder spitz ist. Der Gedankengang gehörte derselben Tradition an wie Saccheris Vorgehen.

Sind drei rechte Winkel festgelegt, bleiben für den vierten genau diese drei Fälle. Diese Konstruktion leistet dasselbe wie Saccheris Viereck: Aus einer Frage, an der man keinen Ansatzpunkt sieht, wird eine Reihe von Fällen, die sich einzeln prüfen lassen.

Was Lambert im Fall des spitzen Winkels fand, erkennen wir heute auf Anhieb.

Er beeilte sich nicht wie sein Vorgänger, diesen Fall auszuschließen. Die Winkelsumme im Dreieck bleibt unter zwei rechten Winkeln. Zwei Geraden mit einer gemeinsamen Senkrechten laufen immer weiter auseinander. Bestimmte euklidische Eigenschaften von Kreisen und Vielecken gelten nicht mehr. In der Geometrie selbst tritt ein ihr eigener Längenmaßstab hervor. Besonders wichtig war dieser Zusammenhang: Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist seinem Winkeldefekt proportional. Der Winkeldefekt ist die Differenz zwischen zwei rechten Winkeln und der Summe der drei Innenwinkel. Das ist mehr als ein einzelnes schönes Ergebnis. Es gehört zu den auffälligsten Erkennungszeichen dessen, was später Geometrie konstanter negativer Krümmung heißen sollte.

Dann schrieb Lambert jenen berühmt gewordenen Satz.

Ihm war aufgefallen, dass auf einer Kugel die Winkelsumme eines Dreiecks größer als zwei rechte Winkel ist und sein Flächeninhalt mit diesem Winkelüberschuss zusammenhängt. Bei der Annahme des spitzen Winkels verhält es sich genau umgekehrt. Man werde, meinte er, beinahe zu dem Schluss gezwungen, diese dritte Hypothese müsse auf einer Kugel mit imaginärem Radius verwirklicht sein.

Das bedeutet nicht, dass er bereits ein Modell besaß. Zunächst ist es eine außerordentlich scharfsinnige Analogie: Ersetzt man in den Formeln der Kugelgeometrie den Radius formal durch eine imaginäre Zahl, wechseln zahlreiche Vorzeichen genau so, wie es hier gebraucht wird.

In Folge 8 wurden die Quadratwurzeln negativer Zahlen im 16. Jahrhundert zu einer Zwischenstation, deren Status noch offen war. Ausgerechnet der Weg über Wurzelausdrücke führte hier hindurch. Etwa zweihundert Jahre später tauchen sie hier wieder auf. Diesmal stehen sie mitten in einer geometrischen Aussage: eine Kugel, deren Radius imaginär ist.

Als Lambert das schrieb, hatte sich das Rechnen mit komplexen Zahlen bereits weiterentwickelt. Doch ihre Grundlagen und ihre geometrische Deutung waren noch längst nicht so gesichert wie später. Er beschrieb etwas, dessen Status offen war, mit etwas anderem, dessen Status ebenfalls noch offen war.

Entscheidender ist, wie seine Abhandlung endet. Er erklärte die Annahme nicht, wie Saccheri, für schlechthin falsch. Die erhaltene Handschrift sucht am Schluss noch immer nach einem Widerspruch. Dieser Teil blieb unvollendet.

Wir sollten ihm deshalb kein Urteil in den Mund legen, das er selbst nicht gefällt hat. Festhalten lässt sich nur: Er trat nicht öffentlich mit dem Anspruch auf, eine neue, legitime Geometrie vorgelegt zu haben.

Noch eine verbreitete Erzählung bedarf der Korrektur. Saccheris Buch war nicht anderthalb Jahrhunderte lang verschollen. Es wurde zwar nicht fortlaufend gelesen und begründete keine Schule. Aber 1763 zitierte Klügel es in seiner eigenen Abhandlung über Parallelen, und Lambert las Klügel. Der Einfluss eines Buchs kann an einem derart dünnen Faden hängen: Einer zitiert es, ein anderer stößt auf das Zitat.

Seine eigentliche historische Neubewertung erfolgte um 1889. Jemand wurde auf das Buch aufmerksam und wies Beltrami darauf hin. Erst danach erhielt Saccheri seinen festen Platz in der üblichen Geschichte der nichteuklidischen Geometrie. Eine bibliografische Spur zu hinterlassen ist etwas anderes, als späteren Lesern zum Ausgangspunkt zu werden.

Auf diesen Unterschied werden wir noch einmal stoßen. Dann wird er erheblich schwerer wiegen.

3 Was war dann eigentlich neu?

Hier liegt der entscheidende Punkt dieses Essays.

Falls die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie nur darin bestand, aus der Verneinung des fünften Postulats eine Reihe richtiger Sätze abzuleiten, war ein großer Teil der Arbeit schon 1733 getan. 1766 kam weiterer Stoff hinzu. Das 19. Jahrhundert brachte vier andere Dinge hinzu.

Zuerst änderte sich der Status dieser Sätze. Saccheri behandelte die Annahme spitzer Winkel als feindliche Hypothese; sie sollte vernichtet werden. Auch Lambert blieb mit seiner Arbeit im Rahmen der Suche nach einem Widerspruch. Spätere Mathematiker begannen anders zu fragen: Setzen wir nicht gleich voraus, dass diese Geometrie sterben muss. Sehen wir erst einmal zu, wie sie als Ganzes funktioniert.

Dieselben Sätze sind auf der einen Seite Beweismaterial für eine noch ausstehende Hinrichtung, auf der anderen der Inhalt einer Wissenschaft. Der Unterschied liegt nicht in dem, was auf dem Papier steht, sondern darin, was der Verfasser damit vorhat. Das klingt nach einer bloßen Frage der Einstellung. Es entscheidet aber über den nächsten Arbeitsschritt. Sind die Sätze Belastungsmaterial, muss man weitersuchen, bis endlich der Widerspruch gefunden ist. Jeder neue Satz belegt vorerst nur, dass man ihn schon wieder nicht gefunden hat.

Bilden die Sätze dagegen den Stoff einer Wissenschaft, steht etwas ganz anderes an: ordnen, ergänzen, die Grundlagen von ihren Folgerungen unterscheiden und prüfen, was sich mit dem Ganzen sonst noch berechnen lässt. Dieselben beschriebenen Blätter führen zu zwei völlig verschiedenen nächsten Schritten.

Und Saccheri und Lambert hatten die Blätter bereits vollgeschrieben.

Das Zweite war der Grad der Systematisierung. Saccheri hatte zahlreiche elementare Sätze, Lambert die tiefe Einsicht in den Zusammenhang zwischen Fläche und Winkeldefekt. Keiner von beiden hatte daraus eine ausgearbeitete Rechentheorie gemacht, die sich immer wieder anwenden ließ. Später wurden die Beziehungen zwischen Parallelwinkel, Entfernung und trigonometrischen Funktionen vollständig entwickelt. Ergebnisse der Ebene wurden auf den Raum übertragen, und man zeigte, wie die euklidische Geometrie als Grenzfall oder besonderer Fall hervortritt.

Damit war die neue Geometrie keine bloße Folge merkwürdiger Resultate mehr, die unterwegs bei einem Widerspruchsbeweis abgefallen waren. Man konnte nun mit ihr rechnen, Tag für Tag, so wie mit der sphärischen Trigonometrie.

Diese Entwicklung hatte einen Nebeneffekt. Ein Rechensystem lässt sich gegen sich selbst prüfen: Berechnet man dieselbe Größe auf verschiedenen Wegen und bekommt verschiedene Ergebnisse, muss irgendwo ein Fehler stecken. Die im Zuge der Widerspruchsbeweise gewonnenen Sätze waren zwar bereits logisch miteinander verbunden. Doch sie bildeten noch kein ebenso vollständiges, bequem und wiederholt einsetzbares Rechensystem.

Das Dritte war die grundsätzliche Haltung. Die Beteiligten verfolgten durchaus verschiedene Ziele. Den einen beschäftigte, ob Geometrie sich vollständig a priori begründen lasse: ob man allein durch Denken entscheiden könne, welche Beschaffenheit der Raum notwendig haben muss. Ein anderer wollte gerade den Teil absondern, der ohne das Parallelenpostulat auskommt, und daraus eine grundlegendere Wissenschaft machen, von der die euklidische und die nichteuklidische Geometrie als zwei Zweige ausgehen. Wieder ein anderer behandelte das Ganze kurzerhand als imaginäre Geometrie, in der man weiter ableiten und weiter rechnen konnte. Erst einmal rechnen, dann weitersehen. Doch dieselbe Grenze hatten sie alle überschritten: Sie nahmen die neue Geometrie nicht mehr ausschließlich an, um sie zu widerlegen.

Das Vierte kam zuletzt und gab den Ausschlag: das Modell.

Selbst nach Hunderten bewiesener, miteinander verträglicher Formeln konnte ein Skeptiker noch erwidern: Vielleicht wartet der Widerspruch beim nächsten Satz. Diese Erwiderung lässt sich nicht mit immer weiteren Sätzen entkräften. Wie viele man auch hinzufügt, es bleiben endlich viele. Das Modell veränderte die Frage selbst. Darauf musste man bis 1868 warten.

Das eigentlich Neue bestand also weniger in zusätzlichen Sätzen als in einer neuen Antwort auf die Frage, was diese Sätze überhaupt waren.

4 Drei Wege

Gewöhnlich nennt man Gauß, Bolyai und Lobatschewski in einem Atemzug: drei unabhängige Entdecker zur selben Zeit. Das lässt sich gut auf Gedenktafeln schreiben, hilft aber wenig beim Verstehen. Gerade bei Gauß muss man zwei Arten von Quellen auseinanderhalten.

Im Alter erklärte er wiederholt, er beschäftige sich seit dreißig, seit fünfunddreißig, seit beinahe vierzig Jahren mit der Sache. 1846 sprach er sogar davon, ähnliche Überzeugungen seit vierundfünfzig Jahren zu hegen. Rechnet man von diesen Angaben zurück, gelangt man in die 1790er-Jahre, in seine Jugend.

Diese Erinnerungen sind echte Quellen. Die Briefe stammen von ihm, ihre Daten stehen fest. Nur sind es Erinnerungen und keine Aufzeichnungen aus jener früheren Zeit. Wenn jemand sagt, er habe einen Gedanken schon vor dreißig Jahren gehabt, belegt das, dass er es im Augenblick dieser Aussage glaubt. Es belegt nicht, was ihm an jenem Tag dreißig Jahre zuvor tatsächlich vorlag.

Die datierbaren Manuskripte sind längst nicht so vollständig, wie die Rückblicke vermuten lassen. Gauß’ mathematisches Tagebuch von 1796 bis 1814 ist eine Quelle von außerordentlichem Gewicht. Es enthält aber keinen Eintrag, aus dem hervorginge, der junge Gauß habe bereits eine vollständige hyperbolische Geometrie im späteren Sinn besessen. Verlässlich datierbare Aufzeichnungen über Parallelen und die Grundlagen der Geometrie liegen dagegen aus den Jahren 1828 bis 1832 vor.

Eine vorsichtigere Zeittafel beginnt so: Ende der 1790er-Jahre sprach Gauß bereits mit dem älteren Bolyai über die Grundlagen der Geometrie.

Dieser Mann wird gleich noch einmal auftreten, dann als Vater. In der Korrespondenz um 1816 begegnen im Umkreis von Gauß bereits Gedanken wie ein Gegenstück zur euklidischen Geometrie, eine unbekannte Konstante und eine transzendente Trigonometrie. 1819 antwortete er auf Unterlagen zu einer „Astralgeometrie“, die ihn auf Umwegen erreicht hatten. Er erklärte ausdrücklich, er könne diese Geometrie behandeln, sobald jene Konstante gegeben sei.

Der Brief an Taurinus vom 8. November 1824 ist bereits unmissverständlich. Die Annahme einer Dreieckswinkelsumme unter zwei rechten Winkeln führe zu einer eigentümlichen Geometrie, schrieb Gauß. Viele ihrer Ergebnisse erschienen paradox; etwas Unmögliches habe sich darin bisher aber nicht finden lassen. Zu dieser Geometrie gehöre ein charakteristischer Längenmaßstab, und der Flächeninhalt eines Dreiecks hänge mit seinem Winkeldefekt zusammen.

Im Brief an Bessel vom 27. Januar 1829 ging er eine Ebene höher. Seine Überzeugung wachse, dass sich die Geometrie nicht vollständig a priori begründen lasse. Er habe dazu umfangreiche Untersuchungen angestellt, werde sie aber womöglich zu Lebzeiten nicht mehr ausarbeiten und veröffentlichen. Unmittelbar darauf folgt der berühmteste Satz: Er fürchte das Geschrei der Böotier.

Böotien war eine Landschaft im antiken Griechenland. Im spöttischen Klischee der Athener standen die Böotier für geistige Schwerfälligkeit, Grobheit und mangelnde Bildung. Der Satz ist echt und einwandfrei belegt. Er steht in genau diesem Brief.

Nur erklärt er nicht alles. Der Mathematikhistoriker Gray hat eine wichtige Korrektur vorgeschlagen: Die frühen, genau datierbaren Zeugnisse von Gauß sind wesentlich schmaler als die vollständige Theorie, die Nachgeborene daraus für ihn rekonstruiert haben. Noch 1828 und 1831 schrieb er neue Notizen zu den Grundlagen. Das sieht eher nach fortgesetzter Forschung aus als nach einem Buch, das seit den 1790er-Jahren fertig in der Schublade lag.

Die belastbare Aussage lautet deshalb: Seine Furcht vor dem Geschrei ist keine Legende, sondern eine von Gauß selbst gegebene Erklärung. Sie zur einzigen Ursache zu machen und damit zugleich all die Mathematik aufzufüllen, die er nicht hinterlassen hat, gehört zur späteren Heldenbildung. Auf einem anderen Weg begegnen uns ein Vater und sein Sohn.

Am 4. April 1820 schrieb der ältere Bolyai seinem Sohn nach Wien. Er hatte in jungen Jahren selbst viel Kraft auf die Parallelen verwandt und mit Gauß darüber gesprochen. Seine Warnung war keine allgemeine väterliche Mahnung. Hier sprach eine sehr konkrete Verletzung: Verfolge die Parallelen nicht auf diesem Weg. Dahinter liegt eine bodenlose Nacht, die deine Zeit, deine Gesundheit und dein Leben verschlingen wird.

Der Mann wusste, wovon er sprach. Er hatte in jungen Jahren auf demselben Weg viele Jahre verloren. Aus seinen Gesprächen mit Gauß wusste er zudem, dass nicht einmal Gauß die Sache gelöst hatte. Drei Jahre später kehrte sich die Richtung um. Am 3. November 1823 schrieb der Sohn dem Vater, er habe aus dem Nichts eine seltsame neue Welt erschaffen.

Die Arbeit erschien später als Anhang zu einem zweibändigen Werk des Vaters. Ihr vollständiger Titel bedeutet ungefähr: Anhang, der die absolut wahre Wissenschaft des Raumes darlegt. Gut zwanzig Seiten, bis zum Äußersten verdichtet. Darin steckten der Parallelwinkel, die hyperbolische Trigonometrie und Ergebnisse für den Raum.

Eine seiner wirklichen Neuerungen bestand darin, die Frage umzubauen. Statt zu fragen, ob das fünfte Postulat wahr oder falsch sei, fragte er: Welche geometrischen Tatsachen brauchen es überhaupt nicht? Und wo beginnen die Wege, die sich erst danach trennen?

Am 20. Juni 1831 schickte der Vater ein Exemplar an Gauß. Diese Sendung kam nicht an. Ein zweites Exemplar erreichte ihn im Januar 1832. Am 6. März 1832 antwortete Gauß.

Die bekannteste Passage des Briefs besagt ungefähr: Dass Gauß die Arbeit des jungen Bolyai nicht loben könne, werde den Vater vielleicht erstaunen. Doch ein solches Lob käme beinahe einem Selbstlob gleich. Inhalt, Vorgehen und Ergebnisse der Arbeit deckten sich nämlich fast vollständig mit Gauß’ eigenen Überlegungen aus den letzten dreißig bis fünfunddreißig Jahren.

Auch dieser Brief ist eine belastbare Quelle. Er belegt, dass Gauß 1832 diesen Prioritätsanspruch erhob. Für sich allein beweist er nicht, dass Gauß bereits 1797 über den gesamten Inhalt des Anhangs verfügte.

Für die spätere Reaktion des Sohnes gibt es echte Zeugnisse. Die populären Fassungen dramatisieren sie allerdings häufig über Gebühr. Der Brief verschärfte die Entfremdung zwischen Vater und Sohn und ließ den Sohn am Sinn weiterer Veröffentlichungen zweifeln. Er hörte jedoch keineswegs auf zu arbeiten. Nachdem er 1848 Lobatschewskis Buch gelesen hatte, schrieb er umfangreiche kritische und vergleichende Notizen. Zeitweise vermutete er sogar eine Verbindung zwischen Gauß und Lobatschewski. Sein erhaltener handschriftlicher Nachlass ist gewaltig.

Die Behauptung, ein einziger Brief von Gauß habe ein Genie zerstört, hält den Tatsachen also nicht stand. Fast zum Erliegen kam mit dem Anhang seine öffentliche Publikationstätigkeit. Geschrieben hat er danach weiterhin. Was er unmittelbar nach der Lektüre des Briefs sagte oder tat, lässt sich dagegen auf keine nachprüfbare Quelle zurückführen. Die lebhaften Szenen, die spätere Erzähler ausmalen, stammen eben von späteren Erzählern.

Der Mann auf dem dritten Weg veröffentlichte am meisten und trat damit am offensten hervor.

Lobatschewskis erste Publikationsphase fällt in die Jahre 1829 und 1830 in Kasan. Eine Abhandlung über die Grundlagen der Geometrie erschien in fünf Folgen in einer örtlichen Zeitschrift der Universität Kasan. Dies war die erste im Druck veröffentlichte systematische Darstellung der nichteuklidischen Geometrie. Bereits am 11. Februar 1826 hatte er seine neue Geometrie an der Universität vorgetragen und zur Begutachtung eingereicht. Diese ursprüngliche Fassung ging später verloren.

Hier lag tatsächlich ein Engpass: eine russischsprachige Zeitschrift einer regionalen Universität, mit geringer Verbreitung auch innerhalb Russlands. Dass Westeuropa nichts davon wusste, lag nicht daran, dass ein Brief zehn Jahre unterwegs gewesen wäre. Es lag an der Sprache, am Zeitschriftentausch, am Ansehen des Publikationsorts und an den Verbindungen innerhalb der wissenschaftlichen Gemeinschaft.

Die zweite Phase begann 1837. Lobatschewski veröffentlichte nun auf Französisch in einer bedeutenden Berliner Forschungszeitschrift. Dort waren bereits Arbeiten Abels erschienen, und Französisch war eine internationale Sprache der Wissenschaft.

In Folge 10 ging es um Abels auf eigene Kosten gedruckte kleine Schrift. In derselben Zeitschrift, die später seine ausführlichere Fassung veröffentlichte, erschien nun auch Lobatschewskis Arbeit. Für die Zeit nach 1837 lässt sich deshalb nicht mehr behaupten, sein Werk sei materiell gar nicht nach Westeuropa gelangt.

Die dritte Phase brachte 1840 eine deutschsprachige, gut sechzig Seiten starke Schrift hervor, erschienen in Berlin. Sie war seine klarste und am leichtesten verbreitbare Darstellung. Genau diese Fassung las Gauß tatsächlich und setzte sich ernsthaft mit ihr auseinander.

Gauß schätzte sie sehr. In privaten Briefen lobte er ihren wahrhaft geometrischen Geist und schlug Lobatschewski für die Aufnahme in eine Göttinger Gelehrtengesellschaft vor. Private Wertschätzung ist allerdings etwas anderes als öffentliches Eintreten. Einen Aufsatz zur Verteidigung Lobatschewskis veröffentlichte er nicht.

1855 diktierte Lobatschewski, inzwischen vollständig erblindet, seine letzte systematische Gesamtdarstellung. Das ist besser belegt als viele Geschichten über sein angeblich trostloses Ende. Für die Behauptung, er sei in völliger Armut von allen verlassen worden, fehlt dagegen der Nachweis.

Neuere Archivforschung hat mehrere Übertreibungen über seinen Besitz, seine Finanzen und das Verhalten der Universität berichtigt. Blindheit, Krankheit und der Tod seines ältesten Sohnes sind belegt. Dass alle ihn verlassen hätten, ist es nicht.

5 Veröffentlicht, aber nicht anerkannt

Vollständige Nichtbeachtung: Das ist falsch. Ausbleibende breite Anerkennung: Das trifft zu.

Frühe Manuskripte Lobatschewskis gelangten in das Begutachtungsverfahren der Petersburger Akademie der Wissenschaften. Ihr damals bekanntester Mathematiker, Ostrogradski, begutachtete sie ablehnend; die Akademie druckte sie nicht. 1834 veröffentlichte eine Petersburger Zeitschrift außerdem einen Artikel, der sie verspottete. Schon eine Ablehnung beweist, dass jemand hingesehen hat. 1837 erschien seine Arbeit in der Berliner Zeitschrift. Auf die deutsche Schrift von 1840 wurde Gauß rasch aufmerksam und schlug ihren Autor für die Gelehrtengesellschaft vor. Und Bolyais Anhang hatte zumindest Gauß gelesen und ausführlich beantwortet.

In den Zitationsnetzen, den Lehrbüchern und dem Unterricht kam sie dagegen so gut wie nicht vor. Es gibt keinen Beleg dafür, dass ein gewöhnlicher europäischer Mathematikstudent in den 1830er- oder 1840er-Jahren dieser Geometrie im üblichen Studiengang begegnet wäre.

Am deutlichsten zeigt sich die Lage an einem Zusammentreffen, das keines wurde. In den 1830er-Jahren untersuchte Minding Rotationsflächen konstanter negativer Krümmung. Er gelangte sogar zu Formeln, die denen der hyperbolischen Trigonometrie entsprachen. Mit Lobatschewskis Arbeit brachte er sie nicht in Verbindung. Zwei Forscher fanden dieselben Formeln. Die Wissensnetze, in denen sie arbeiteten, blieben unverbunden.

Hier lohnt es sich, kurz stehen zu bleiben. Minding war kein Außenseiter, und die Flächentheorie war kein entlegenes Spezialgebiet. Er verfügte über jene Formeln; Lobatschewski hatte dieselben Beziehungen schon Jahre zuvor gedruckt. Aus den vorhandenen Darstellungen lässt sich nicht mit Sicherheit entnehmen, welche einschlägigen Arbeiten die beiden jeweils gelesen hatten. Sicher ist, dass ihre Forschungswege damals nicht wirksam miteinander verbunden wurden. Damit eine Theorie anerkannt wird, genügt es nicht, dass sie richtig ist. Es genügt auch nicht, dass sie veröffentlicht ist. Jemand muss noch den Weg zwischen zwei bis dahin getrennten Orten zurücklegen.

Gray hat diese Phase mit einer treffenden Formel beschrieben: veröffentlicht, aber nicht anerkannt. Es gab Publikationen und einzelne Leser. Es entstand jedoch kein wirksames Netz, das das Urteil des Fachs hätte verändern können.

Die Wende setzte nach Gauß’ Tod 1855 ein. Aus seinen Briefen und hinterlassenen Schriften wurde nach und nach sichtbar, wie sehr er diese Geometrie privat unterstützt hatte. In den 1860er-Jahren übernahm in Frankreich Hoüel die Arbeit des Übersetzens, Kommentierens und Verbindens. 1866 veröffentlichte er die französische Übersetzung von Lobatschewskis deutschem Buch und verbreitete die einschlägigen Briefe von Gauß. Hoüels umfangreiche Korrespondenz gehört heute zu den wichtigsten Quellen für die Rekonstruktion dieser Rezeptionsgeschichte.

Was Hoüel tat, klingt wenig glanzvoll: übersetzen, Besprechungen schreiben, Briefe verfassen, die Arbeit von A an B schicken und Bs Antwort an C weiterreichen.

Ohne Menschen, die diese Arbeit übernahmen, wäre es aber so weitergegangen wie in den Jahrzehnten zuvor. Die Texte waren gedruckt und lagen irgendwo. Nur diejenigen, die sie hätten lesen sollen, wussten nichts von ihrer Existenz.

1870 leitete Weierstraß in Berlin bereits ein Seminar über Lobatschewskis Geometrie. Der junge Klein nahm daran teil. Nun war sie ein Gegenstand, den man lehren und erforschen konnte. Und dieser junge Teilnehmer ging schon im folgenden Jahr einen weiteren Schritt.

1871 brachte Klein die verschiedenen Geometrien in einen gemeinsamen projektiven Rahmen. Man wählt einen Kegelschnitt als Bezugsfigur und definiert Entfernungen über das Doppelverhältnis. So ergeben sich die euklidische, die hyperbolische und eine weitere Geometrie als verschiedene metrische Fassungen derselben Struktur, je nachdem, welche Bezugsfigur zugrunde liegt.

Damit gewann derselbe Gedanke erneut an Kraft. Die Geometrien erschienen nicht länger als feindliche Universen, sondern als verschiedene Lesarten ein und derselben Sache, zwischen denen sich genau übersetzen ließ.

In den 1880er-Jahren verband Poincaré eine weitere Art von Modellen mit der Theorie komplexer Funktionen und der Gruppentheorie. In Lehrbüchern tragen diese Modelle häufig seinen Namen. Er hatte sie aber nicht als Erster geschaffen: Gleichwertige analytische Formen finden sich bereits in Beltramis Arbeiten von 1868. Poincaré veränderte ihre Verwendung und ihren Platz in der Mathematik. Inzwischen war die nichteuklidische Geometrie keine sonderbare Theorie der Parallelen mehr. Projektive Geometrie, Differentialgeometrie und komplexe Analysis griffen gleichermaßen auf sie zurück.

Was an drei verschiedenen Stellen gebraucht wird, muss seine Existenz nicht länger rechtfertigen.

6 Modelle

Am 10. Juni 1854 hielt Riemann in Göttingen seinen Habilitationsvortrag über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen. Dem Verfahren entsprechend hatte er zuvor mehrere Themen eingereicht. Gauß wählte dieses aus.

Riemanns Frage galt nicht den Parallelen. Er setzte eine Ebene darüber an. Wie lässt sich eine mehrfach ausgedehnte Größe definieren? Wie legt man auf ihr Längen fest? Wie verändert sich die Metrik von Ort zu Ort? Was soll Krümmung bedeuten? Und welche metrische Struktur der physische Raum tatsächlich besitzt, lässt sich nicht durch Begriffsanalyse allein entscheiden.

Riemann lieferte damit einen übergreifenden Rahmen, nicht bloß einen neuen Namen für die bis dahin entwickelte Geometrie. Die früheren Forscher hatten eine bestimmte alternative Geometrie entwickelt. Riemann ordnete unterschiedliche Geometrien einer allgemeinen Familie metrischer Strukturen zu. Der Vortrag von 1854 erschien zu seinen Lebzeiten nicht als reguläre Abhandlung. Nach seinem Tod 1866 bereiteten Dedekind und andere den Nachlass auf; um 1868 wurde der Text Teil der öffentlich zugänglichen Fachliteratur. Im selben Jahr tat Beltrami den entscheidenden Schritt.

Was er tat, lässt sich in einem vorsichtig formulierten Satz sagen: Er deutete die Gegenstände und Beziehungen der nichteuklidischen Geometrie als Gegenstände und Beziehungen innerhalb der bereits anerkannten euklidischen Geometrie.

Der anschaulichste Teil betraf eine Fläche namens Pseudosphäre. Ihre Krümmung ist überall negativ und konstant. Misst man Entfernungen innerhalb dieser Fläche und folgt den kürzesten Wegen auf ihr, tritt tatsächlich ein Teil der nichteuklidischen ebenen Geometrie hervor. Die Rolle der Geraden übernehmen Geodäten auf der Fläche. Winkel, Entfernungen und die Beziehungen im Dreieck nehmen hyperbolische Gestalt an.

Damit erhielten Formeln, die zuvor wie reine Ungeheuer aus Symbolen ausgesehen hatten, eine konkrete Deutung im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum.

Doch die Pseudosphäre ist nicht die ganze hyperbolische Ebene. Sie hat einen Rand und singuläre Stellen. Die gesamte unendliche hyperbolische Ebene lässt sich auf diese Weise nicht unversehrt im dreidimensionalen Raum unterbringen. Wer Beltramis Leistung auf eine trichter- oder hornförmige Fläche reduziert, unterschätzt, was er tatsächlich erreicht hat.

Später wurde die Grenze dieses Wegs noch grundsätzlicher bewiesen. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts zeigte man, dass sich eine vollständige Fläche konstanter negativer Krümmung überhaupt nicht glatt und längentreu in den gewöhnlichen dreidimensionalen Raum einbetten lässt. Wer die ganze hyperbolische Ebene an einem körperlichen Gegenstand sehen will, kommt auf diesem Weg also grundsätzlich nicht ans Ziel.

Beltramis eigentliche Leistung lag deshalb nicht in dieser einen Fläche.

Sein tiefer gehender Beitrag waren analytische Modelle. Auf einer gewöhnlichen Kreisscheibe kann man neu festlegen, welche Kurven als Geraden zählen und wie Entfernungen gemessen werden. Dann lassen sich sämtliche Beziehungen der nichteuklidischen Geometrie darin verwirklichen.

Das klingt zunächst nach einem Trick: Als Gerade zählt eben, was man zur Geraden erklärt.

Doch sobald die Festlegungen getroffen sind, hat der Urheber den Rest nicht mehr in der Hand. Die zu Geraden erklärten Kurven schneiden einander; die von ihnen begrenzten Figuren besitzen bestimmte Winkel und Flächeninhalte. Diese Beziehungen werden berechnet, nicht verfügt. Und die Rechnung ergibt genau jene Beziehungen, die in der nichteuklidischen Geometrie gelten.

Frei festlegen lässt sich nur der Anfang. Jeder weitere Schritt unterliegt der gewöhnlichen euklidischen Geometrie.

Die logische Bedeutung ist eine andere, als viele zunächst vermuten. Die Behauptung lautet nicht: Weil man die Pseudosphäre sehen kann, muss der wirkliche Raum nichteuklidisch sein.

Sie lautet: Ließe sich innerhalb der nichteuklidischen Geometrie ein Widerspruch herleiten, könnte man die Herleitung Satz für Satz in Aussagen über die Kreisscheibe übersetzen. Damit erhielte man einen entsprechenden Widerspruch in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie.

Solange also die gewöhnliche Mathematik, auf der das Modell beruht, widerspruchsfrei ist, ist es auch die nichteuklidische Geometrie, die das Modell deutet.

Das nennt man relative Widerspruchsfreiheit. Eine absolute Widerspruchsfreiheit ist damit nicht bewiesen, denn das Modell steht selbst auf dem Boden einer anderen Mathematik. Noch weniger ist damit bewiesen, welcher Geometrie der wirkliche Raum folgt. Für diese Geschichte war entscheidend, dass sich die Beweislast vollständig umkehrte.

Zuvor musste die nichteuklidische Seite unablässig vorführen: Seht her, noch ein Satz, und wieder kein Widerspruch. Diese Arbeit konnte nie fertig werden. Der Skeptiker brauchte nur auf den nächsten Satz zu warten. Danach musste zunächst die skeptische Seite antworten: Erklären Sie bitte, warum ein Widerspruch hier nicht zugleich die gewöhnliche Mathematik treffen würde, die das Modell trägt. Das war kein zusätzlicher Satz. Es hatte sich geändert, wer überhaupt eine Antwort schuldete.

Beltrami selbst formulierte sein Ziel 1868 nicht in der Sprache der formalen Logik des 20. Jahrhunderts. Seine Abhandlung einen modernen Widerspruchsfreiheitsbeweis zu nennen, ist eine nachträgliche Rekonstruktion. Was seine Deutung tatsächlich bereitstellte, war die mathematische Struktur, die man später als relative Widerspruchsfreiheit erkannte.

7 Wie die zweitausend Jahre endeten

Erst mit einem Modell erhielt die Unabhängigkeit des fünften Postulats ein wirklich tragfähiges Argument.

Unabhängigkeit bedeutet hier etwas sehr Bestimmtes. Ließe sich das fünfte Postulat tatsächlich aus den übrigen herleiten, dann müsste es in jeder Deutung gelten, in der jene übrigen Voraussetzungen erfüllt sind. Beltrami aber lieferte eine Deutung, in der die anderen grundlegenden Beziehungen gelten und die Parallelen sich dennoch hyperbolisch verhalten.

Er hatte also ein Gegenbeispiel konstruiert. Kein Gegenbeispiel zu einem geometrischen Satz, sondern eines zur Möglichkeit eines Beweises: Hier sind sämtliche Voraussetzungen erfüllt, die Schlussfolgerung aber nicht. Also kann die Schlussfolgerung nicht aus diesen Voraussetzungen folgen.

Das fünfte Postulat lässt sich folglich nicht allein aus den anderen herleiten.

Allerdings braucht dieser Satz einen Vorbehalt. Es ist genau der Vorbehalt aus Folge 3: Euklids ursprüngliche fünf Postulate bilden kein vollständig und eindeutig formuliertes formales System. Viele Voraussetzungen über Anordnung, Stetigkeit, Kongruenz und die Existenz von Schnittpunkten hat er nie ausdrücklich genannt. Um Unabhängigkeit in der heute verlangten Strenge nachzuweisen, musste man deshalb bis zum Ende des 19. Jahrhunderts warten, als das ganze System neu axiomatisiert wurde.

Nun lässt sich die zweitausend Jahre alte Frage beantworten: Warum war der Beweis so vielen nicht gelungen? Nicht, weil all diese Menschen immer noch nicht klug genug gewesen wären. Das Ziel selbst war unerreichbar.

Zwischen diesen beiden Aussagen liegt sehr viel. Die erste urteilt über die Fähigkeiten einer Gruppe von Menschen. Die zweite bestimmt die Beschaffenheit einer Aufgabe. Zweitausend Jahre lang hatte man stillschweigend die erste vorausgesetzt.

Ist ein Satz von den übrigen Voraussetzungen unabhängig, wird man ihn aus diesen Voraussetzungen niemals herleiten. Jeder angeblich gelungene Beweis muss deshalb einen Denkfehler enthalten, eine unausgesprochene Voraussetzung verwenden oder an irgendeiner Stelle etwas wieder einführen, das stark genug ist, um das fünfte Postulat doch zu erzwingen.

Von hier aus wird Saccheris abschließender Verweis auf die Natur der Geraden besonders durchsichtig.

Er war kein einzelner Moment persönlicher Schwäche. Er zeigte das gemeinsame Muster jahrhundertelang gescheiterter Beweise: Im entscheidenden Schritt holte man eine nie ausgesprochene euklidische Anschauung unter einem anderen Namen wieder herein. Und jedes Mal glaubte derjenige, der sie hereinholte, lediglich etwas Selbstverständliches zu sagen.

Gerade darin liegt die Schwierigkeit, sich davor zu schützen. Eine Voraussetzung bleibt gewöhnlich deshalb unausgesprochen, weil sie keiner ausdrücklichen Erwähnung zu bedürfen scheint. Was man nicht einmal hinschreiben zu müssen glaubt, weckt auch keinen Verdacht, wenn man es benutzt.

Hier passt das Beispiel aus Folge 3. Schon bei der ersten Aufgabe des ganzen Werks werden Schnittpunkte zweier Kreise gewählt. Keine der zugelassenen Voraussetzungen sagt jedoch ausdrücklich, dass diese Kreise einander schneiden müssen. Sobald die Zeichnung stand, war der Schnittpunkt da. Da schien ein weiterer Satz leicht entbehrlich. Später bestand man darauf, auch diesen Punkt ausdrücklich zu klären.

Auf dieselbe Art von Selbstverständlichkeit griff Saccheri in seinem letzten Schritt zurück. Diesmal diente sie dazu, eine Tür zu schließen. Zweitausend Jahre lang war man diesen Schritt immer wieder gegangen. Und jedes Mal hielt man ihn für so unbedeutend, dass er keiner Erwähnung bedurfte.

8 Die Beweislast

Die Arbeiten der Menschen in diesem Essay lassen sich in eine klare Folge bringen.

Saccheri bewies zahlreiche Sätze und verweigerte ihnen anschließend die Anerkennung. Lambert bewies weitere, sah eine erstaunliche Analogie und gab kein abschließendes Urteil. Gauß hielt eine widerspruchsfreie neue Geometrie für möglich, legte aber kein System vor, das andere hätte überzeugen können. Bolyai und Lobatschewski schrieben sie erstmals als Wissenschaft aus, die auf eigenen Füßen stehen konnte. Dazwischen gab es noch weitere Beteiligte. Die übliche Erzählung von den drei Entdeckern löscht diese ganze Schicht vollständig aus.

Schon in den 1820er-Jahren arbeiteten Schweikart und Taurinus an verwandten Fragen. Schweikart war Professor der Rechte. Die von ihm entworfene Geometrie nannte er Astralgeometrie und ließ sie Gauß durch einen Vermittler zukommen. Taurinus ging von älteren Schriften über Parallelen aus, korrespondierte ebenfalls mit Gauß und gelangte zu Formeln, die der hyperbolischen Trigonometrie schon sehr nahe kamen.

Keiner der beiden begründete ein öffentliches, dauerhaft verfolgtes Forschungsprogramm für die neue Geometrie, wie es später entstehen sollte. Eines zeigen sie aber deutlich: Hier dachten sich nicht drei Genies unabhängig voneinander im luftleeren Raum etwas aus. Einige Namen ragten aus einem viel dichteren Zusammenhang von Menschen hervor.

Und selbst diese vier Schritte zusammen reichten noch nicht aus, um der Geometrie die Anerkennung der mathematischen Welt zu verschaffen.

Fünf Männer, ein Jahrhundert, Hunderte Sätze. Es reichte nicht.

Die Arbeiten verfolgten verschiedene Ziele. Doch immer weitere miteinander verträgliche Sätze konnten bei keiner von ihnen garantieren, dass niemals ein Widerspruch auftauchen würde. Diese Arbeit ließ sich nicht abschließen. Auf jeden zusätzlichen Satz antwortete der Skeptiker mit dem Warten auf den nächsten. Beendet wurde die Sache nicht durch den soundsovielten weiteren Satz. Jemand hörte auf, dieselbe Frage zu beantworten, und stellte eine andere. Statt zu fragen, ob diese Geometrie einen Widerspruch enthalte, fragte er, ob sie sich in etwas bereits Anerkanntes übersetzen lasse. Sobald diese Übersetzung stand, war die ursprüngliche Frage das Problem einer anderen Seite.

Damit dieser Schritt tragen konnte, musste es etwas anderes geben, an das sich anknüpfen ließ. Hätten die euklidische Geometrie und die analytischen Verfahren damals selbst auf schwankendem Boden gestanden, hätte auch der Anschluss an sie nichts geholfen.

Deshalb ist dieses Verfahren nicht jederzeit verfügbar. Logisch braucht es eine Theorie, die das Modell trägt. Für die damalige Geschichte seiner Anerkennung war besonders wichtig, dass diese Theorie weithin Vertrauen genoss. Ein billiger Ausweg war das dennoch nicht.

Das Modell wich der Frage nicht aus. Es versetzte sie unverändert an einen anderen Ort. Gäbe es tatsächlich einen Widerspruch in der nichteuklidischen Geometrie, träte genau dieser Widerspruch auch in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie auf. Niemand hatte weniger zu verantworten. Geändert hatte sich nur, wer die Last nun trug: eine Mathematik, die seit zweitausend Jahren in Gebrauch war und die niemand ernsthaft infrage stellen wollte.

Am Ende von Folge 2 hieß es: Wenn etwas unerreichbar bleibt, kann man ändern, was als Erreichen gilt. Hier begegnet uns derselbe Vorgang in einer anderen Gestalt. Diesmal änderte sich nicht der Maßstab, sondern die Frage, wer den Nachweis führen musste. Es lohnt sich, beides im Gedächtnis zu behalten. Beides kommt auch außerhalb der Mathematik vor.

Der Streit um eine Behauptung, die sich lange weder beweisen noch widerlegen ließ, endet gewöhnlich nicht mit einem einzigen weiteren Beleg. Oft endet er anders: Jemand verbindet sie mit etwas, das bereits anerkannt ist. Nun muss jemand anderes die Frage beantworten.

Wahrer ist die Behauptung durch diesen Anschluss nicht geworden. Sie ist nur ebenso wahr wie etwas anderes. Oder ebenso unwahr.

Gerechnet wird weiter. Was aber zur Mathematik zählt, war noch nie abschließend geklärt.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen belegen historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen im Text. Bestandsnachweise von Sammlungen, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Beltramis Abhandlung von 1868: Originaldruck der französischen Übersetzung von 1869
• Jeremy Gray: Eine neue Deutung der nichteuklidischen Geometrie
• CultureMath, École normale supérieure: Euklidische und nichteuklidische Geometrien
• Universität Florenz: Beltramis Abhandlung von 1868
• Encyclopedia of Mathematics: Beltramis Interpretation