Das Unendlichkleine vertreiben

1 Ein Satz, den kein Bild beweisen sollte

1817 erschien in Prag eine kleine Schrift mit einem langen Titel. Sinngemäß lautete er: Rein analytischer Beweis des Satzes, dass zwischen zwei Werten, bei denen ein Ausdruck entgegengesetzte Vorzeichen annimmt, mindestens eine reelle Nullstelle liegt. Auf zwei Wörter dieses Titels kommt es an: rein analytisch.

An dem Satz selbst zweifelte niemand. Man zeichne eine stetige Kurve, links unterhalb der waagerechten Achse, rechts oberhalb: Irgendwo dazwischen muss sie die Achse schneiden. Das versteht sich doch von selbst. Der Verfasser der Schrift hieß Bolzano. Und genau dieses „versteht sich von selbst“ genügte ihm nicht.

Eine Kurve schneidet eine Gerade: Das ist ein Bild. Woher kommt das Wissen, das dieses Bild vermittelt? Aus dem, was wir sehen. Der Satz aber soll auch in anderen Beweisen tragen, dort, wo es kein Bild zu sehen gibt.

Bolzano wollte deshalb auf die Zeichnung verzichten. Was zu zeigen war, sollte allein aus dem folgen, was man über Zahlen und Funktionen sagt und mit dem Wort „stetig“ meint.

In der dritten Folge begegnete uns dasselbe Problem in anderer Gestalt. Gleich die erste Aufgabe jenes Geometriebuchs verlangte, den Schnittpunkt zweier Kreise zu nehmen. Keine der zugelassenen Voraussetzungen garantierte jedoch, dass die Kreise einander schneiden mussten. Man zeichnete sie, und dann sah man es. Die Zeichnung konnte noch einen Teil der Arbeit für den Text übernehmen. Später musste auch dieser Teil Satz für Satz ausgesprochen werden.

Diese Folge handelt davon, dass jemand die Zeichnung nicht länger als Zeugin für diesen Satz gelten lassen wollte. Und dabei keinen leichten Stand hatte.

Was er angreifen wollte, sei gleich festgehalten. Nicht den Satz: Der war richtig. Angegriffen wurde die Art, ihn zu beweisen.

Eine Kurve, die von unten nach oben gelangt, muss unterwegs die waagerechte Achse schneiden: Dieser Satz beruhigt uns, weil wir das Bild dazu im Kopf haben. Doch ein Bild kann nur für die Fälle einstehen, die sich auch abbilden lassen.

Im 19. Jahrhundert hatte es die Analysis mit immer mehr Dingen zu tun, die sich nicht zeichnen ließen: Ausdrücken aus unendlich vielen Summanden, Funktionen, die überall sprangen, Grenzübergängen, die unendlich oft zu vollziehen waren. Darüber schwieg das Bild. Die Beweise mussten trotzdem weitergehen.

Bolzano war kein Mathematikprofessor. Er war katholischer Priester und lehrte Religionslehre an der Philosophischen Fakultät der Prager Universität. Der Mathematik widmete er sich dauerhaft, doch so hieß sein Lehrstuhl nicht. 1819 verlor er sein Amt, weil man die liberalen Züge seiner Predigten und seines Denkens für gefährlich hielt. Es folgten Jahre der Untersuchung und Überwachung; seine Briefe wurden kontrolliert, seine Möglichkeiten zu veröffentlichen eingeschränkt.

Dass die kleine Schrift lange keine Wirkung entfaltete, hatte also eine ganze Reihe von Gründen, nicht nur einen.

Völlig ungelesen blieb sie allerdings auch nicht. Deutschsprachige Rezensionszeitschriften besprachen sie, einige Prager Mathematiker kannten sie, und Abel kannte zumindest einen Teil von Bolzanos Arbeiten. Es fehlte nicht an Lesern. Es fehlte an einer Tradition, die diese einzelnen Lektüren miteinander verbunden hätte: keine Schule, kein Eingang in die Lehrbücher, kein Ausgangspunkt für die Beweise anderer.

Seinen festen Platz in der Geschichte erhielt Bolzano erst viel später zurück. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts erkannten mehrere Autoren öffentlich an, dass er ihnen bei Reihen und Konvergenz voraus gewesen war. 1881 erschien schließlich ein eigener Aufsatz über seine Stellung in dieser Geschichte. Bibliografische Spuren zu hinterlassen ist etwas anderes, als zum Ausgangspunkt weiterer Arbeit zu werden. Der Satz stand schon in der vorigen Folge. Hier muss er noch einmal stehen.

Diesmal lässt sich der Verlust noch genauer benennen. Die kleine Schrift enthielt bereits Argumente, die später zum grundlegenden Handwerkszeug der Analysis zählen sollten. Hätten sie damals den Weg in die Lehrbücher gefunden, wäre es in den folgenden Jahrzehnten vielen erspart geblieben, denselben Weg jeder für sich noch einmal zu gehen.

2 Cauchy vertrieb das Unendlichkleine nicht

Der Titel dieser Folge gehört in Anführungszeichen. Das sollte besser gleich gesagt werden.

Die geläufige Erzählung geht so: Die Infinitesimalrechnung des 18. Jahrhunderts beruhte auf etwas, das nicht null und doch kleiner als alles nur denkbar Kleine war. Recht erklären konnte man es nicht. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts ersetzte Cauchy dieses Etwas durch Grenzwerte. Später brachte Weierstraß die Sprache in eine vollständig formale Gestalt. Damit war die Strenge hergestellt.

Schon der erste Schritt stimmt nicht.

1821 veröffentlichte Cauchy ein Lehrbuch für eine Pariser Ingenieurschule. In der Einleitung erklärte er, bei der Stetigkeit von Funktionen könne er die wesentlichen Eigenschaften unendlich kleiner Größen nicht übergehen, denn auf ihnen beruhe die Infinitesimalrechnung. Das Buch bestimmte auch, was damit gemeint war: Wenn die Zahlenwerte einer veränderlichen Größe unbegrenzt abnehmen und null als Grenzwert haben, wird sie zu einer unendlich kleinen Größe. Zwei Jahre später erschien ein weiteres Buch, die Zusammenfassung seiner Vorlesung über Infinitesimalrechnung an derselben Schule. „Infinitesimalrechnung“ stand schon im Titel.

Cauchy hat das Wort also keineswegs vertrieben. Er benutzte es als Grundmaterial und gab damit seiner Vorlesung den Namen. Ausgerechnet der Mann, der das Unendlichkleine abgeschafft haben soll, schrieb es auf den Titel seiner eigenen Lehrveranstaltung. Was tat er dann tatsächlich?

Seine Grenzwertdefinition beschreibt einen Vorgang: Nähern sich die nacheinander angenommenen Werte einer veränderlichen Größe unbegrenzt einem festen Wert, sodass der Unterschied zuletzt beliebig klein werden kann, dann heißt dieser feste Wert der Grenzwert der veränderlichen Größe. Einmal gelesen, ist der Satz verstanden, und man fühlt sich damit auf sicherem Boden. Er erzählt von etwas, das geschieht: Eine Größe bewegt sich und kommt einer anderen immer näher.

Für Stetigkeit gab Cauchy zwei miteinander verbundene Formulierungen. Die eine: Wird der Zuwachs immer kleiner, so wird auch der Unterschied zwischen den beiden Funktionswerten immer kleiner. Bekannter ist die zweite: Innerhalb eines gegebenen Intervalls bewirkt ein unendlich kleiner Zuwachs der Veränderlichen stets einen unendlich kleinen Zuwachs der Funktion.

Die Konvergenz einer Reihe beschrieb er durch Partialsummen. Nähert sich die Summe der ersten Glieder bei wachsender Gliederzahl einem endlichen Wert, dann konvergiert die Reihe, und dieser Wert ist ihre Summe. In diesen drei Bestimmungen liegt das ganze Material der späteren Sprache schon bereit: beliebige Kleinheit, Kontrolle, Annäherung. Was noch fehlt, ist eine feste Grammatik, die das Material ordnet.

Liegt das Material bereit, ohne dass die Grammatik feststeht, muss jeder, der es benutzt, die richtige Reihenfolge selbst herstellen. Gelingt das, erhält man ein strenges Argument. Misslingt es, fällt der Fehler womöglich nicht einmal auf.

Zugleich arbeitete Cauchy in seinen Beweisen vielfach mit äußerst feinen Abschätzungen durch Ungleichungen. Ihn als bloßen Anschauungsmathematiker zu schildern ist deshalb ebenso falsch, wie ihm das gesamte spätere Grundlagenprogramm schon als vollendet zuzuschreiben. Was seine unendlich kleinen Größen eigentlich waren, ist Gegenstand eines wirklichen Streits. Er ist bis heute nicht entschieden.

Nach der einen Lesart handelt es sich um veränderliche Größen, die gegen null gehen, nicht um eigenständig existierende, feststehende kleine Zahlen. So gelesen lässt sich der größte Teil seiner Ausführungen in die spätere Sprache übertragen. Das Unendlichkleine wäre dann eine bloße Redeweise, auf die man jederzeit verzichten könnte.

Die andere Lesart widerspricht gerade diesem letzten Schritt. Cauchy setzte mitunter eine unendlich kleine Größe unmittelbar in eine Funktion ein. Er verglich unendlich kleine Größen verschiedener Ordnung. Als er 1853 auf ein älteres Problem zurückkam, ließ er eine Größe einen Wert annehmen, der mit wachsender Gliederzahl kleiner wurde, und ließ anschließend die Gliederzahl ins Unendliche wachsen. Wer all das für eine entbehrliche Redeweise erklärt, trägt nach dieser Lesart die später gefundene Antwort rückwärts in den Text hinein.

Ebenso ernst zu nehmen ist der Einwand dagegen: Mit Werkzeugen des 20. Jahrhunderts ein getreues Modell für ein Argument des 19. Jahrhunderts zu bauen ist eines. Nachzuweisen, dass der damalige Autor diese Ontologie tatsächlich vertrat, ist etwas anderes. Cauchy besaß weder dieses Modell noch das spätere Zahlensystem noch die zugehörigen Übertragungsregeln.

Die sicherste Aussage verlangt daher keine Parteinahme. Keine der beiden Seiten kann behaupten, Cauchy habe ohne unendlich kleine Größen gearbeitet. Strittig ist, ob sie bei ihm allein einen Vorgang beschrieben oder darüber hinaus eine Funktion erfüllten, die sich nicht verlustfrei in eine andere Sprache übertragen lässt.

Der Streit verdient auch deshalb Aufmerksamkeit, weil uns sein Muster in dieser Reihe schon mehrfach begegnet ist. Man kann die Sätze eines früheren Autors in der eigenen Sprache neu formulieren. Die Darstellung ist schlüssig, das Ergebnis stimmt. Aber dass die Neufassung funktioniert, beweist noch nicht, dass er damals genau dies gedacht hat.

Die fünfte Folge behandelte dasselbe Problem. Dort hieß es: Was spätere Leser rekonstruieren, darf nicht an die Stelle dessen treten, was die früheren Autoren selbst geschrieben haben.

3 Es gibt Ausnahmen

Das Lehrbuch von 1821 enthält einen Satz, der ungefähr besagt: Sind alle Glieder einer Reihe stetige Funktionen derselben Veränderlichen und konvergiert die Reihe in der Umgebung einer Stelle, dann ist auch ihre Summe dort in einer Umgebung stetig. Nach der später üblichen Lesart gilt dieser Satz nicht. Abel wies 1826 darauf hin. Dabei lohnt es sich, seine Wortwahl festzuhalten. Abel war damals dreiundzwanzig oder vierundzwanzig Jahre alt und auf einer Studienreise durch Europa. Cauchy gehörte zu den einflussreichsten französischen Analytikern.

Abel schrieb nicht, der Satz sei falsch. Er schrieb, er habe Ausnahmen. Seine Ausnahme war eine trigonometrische Reihe, also von der Art, mit der Fourier bei seinen Untersuchungen zur Wärme Funktionen zerlegt hatte. Jedes einzelne Glied ist stetig; die periodische Funktion, die sich als Summe ergibt, ist dagegen an bestimmten Stellen unstetig.

An dieser Stelle wird gern etwas ausgetauscht. Im späteren Unterricht dient häufig eine Reihe aus Potenzen als Beispiel, und dann heißt es: Das sei Abels Gegenbeispiel von 1826. War es nicht. Abel benutzte eine trigonometrische Reihe.

Auch „Ausnahmen“ war keine bloße Höflichkeitsformel. Die Mathematik der 1820er-Jahre verfügte noch nicht über einen Begriff der gleichmäßigen Konvergenz im späteren Sinne, mit dessen Hilfe man hätte entscheiden können, ob der Satz wahr oder falsch war. Dass sich einige Fälle einem Satz nicht fügten, war damals etwas anderes als die Widerlegung eines Satzes.

1853 nahm Cauchy das Problem selbst wieder auf. Er ergänzte eine Bedingung: Der verbleibende Rest der Reihe müsse bei unbegrenzt wachsender Gliederzahl stets unendlich klein werden. Auf dieses „stets“ kommt es an. Anschließend untersuchte er eine trigonometrische Reihe ähnlich derjenigen Abels und ließ in seinem Argument eine Größe einen mit der Gliederzahl schrumpfenden Wert annehmen.

Heute gibt es dafür zwei Lesarten.

Nach der einen waren die Voraussetzungen von 1821 zu schwach. Abel deckte die Lücke auf; mehrere Autoren lösten danach Schritt für Schritt die Bedingung heraus, die gleichmäßige Konvergenz heißen sollte. Mit dem Wort „stets“ verschärfte Cauchy 1853 tatsächlich seine Voraussetzung.

Nach der anderen Lesart stimmt die Bedingung von 1853, wenn man „alle“ in Cauchys eigener Sprache des Unendlichkleinen versteht, also auch unendlich kleine Werte einschließt. Selbst der Beweis von 1821 muss dann nicht einfach fehlerhaft gewesen sein. Vielmehr hätten spätere Leser die Bedeutung seiner Veränderlichen und Umgebungen gewaltsam in einen anderen Rahmen gepresst. Diese Lesart kann zeigen, dass eine getreue Rekonstruktion möglich ist. Sie kann nicht zeigen, dass Cauchy 1821 bereits über deren ganze Semantik verfügte.

Für welche Lesart man sich auch entscheidet, eines steht fest. Das Problem wurde 1821 formuliert, 1826 wurden Ausnahmen benannt, erst um 1847 wurde die tatsächlich tragende Bedingung öffentlich niedergeschrieben. 1853 kam Cauchy noch einmal darauf zurück; zu einem fest umrissenen Standardbegriff wurde sie noch später. Dreißig Jahre. In der Auseinandersetzung mit diesem Satz schälten sich die genauen Bedeutungen von Veränderlicher, Umgebung und Konvergenzbedingung erst allmählich auseinander. Daraus darf man nicht die Geschichte einer bereits feststehenden modernen Aussage machen, über deren Gültigkeit bloß lange niemand entschieden hätte. Einen solchen Schwebezustand kennt die heutige Mathematik kaum. Heute müssen Bedeutung und Voraussetzungen einer Aussage zunächst feststehen. Ein Problem kann trotzdem ungelöst bleiben oder von einem festgelegten Axiomensystem unabhängig sein; „ein Beweis liegt vor“ und „ein Gegenbeispiel liegt vor“ erschöpfen unsere möglichen Wissensstände nicht.

In jenen dreißig Jahren dagegen war ein dritter Zustand alltäglich: Im Großen und Ganzen stimmt es, gelegentlich fügt sich etwas nicht, und niemand kann genau sagen, was es mit diesem „gelegentlich“ auf sich hat.

Das betraf keineswegs nur einzelne Sätze. Viele aus dem 18. Jahrhundert überlieferte Ergebnisse befanden sich in diesem Zustand. Man konnte glänzend mit ihnen arbeiten; fragte man genauer nach, wusste niemand die Grenze ihrer Geltung anzugeben. Ein großer Teil dessen, was nun geschah, diente dazu, diesen dritten Zustand zu beseitigen.

Dazu musste man nicht jeden widerspenstigen Fall einzeln aufspüren. Man musste die Aussage des Satzes so präzise fassen, dass Widerspenstigkeit gar nicht mehr vorkommen konnte: In den Voraussetzungen steht genau, was verlangt wird. Wer sie erfüllt, fügt sich dem Satz. Wer sie nicht erfüllt, fällt von vornherein nicht in seinen Geltungsbereich.

Der Preis dafür: Die Voraussetzungen werden lang. Und hässlich.

4 Ein Schullehrer

Weierstraß’ Weg war das Gegenteil der steilen Karriere eines jugendlichen Genies.

Als junger Mann ging er auf Wunsch seines Vaters zum Studium nach Bonn, kam an der Universität aber nicht recht voran und wechselte später in die Lehrerausbildung. Während der gesamten 1840er-Jahre unterrichtete er an höheren Schulen in Preußen, an zwei verschiedenen Orten. Einige seiner frühen, bereits höchst anspruchsvollen Arbeiten erschienen in unscheinbaren Schuljahresberichten und ähnlichen Veröffentlichungen. Die mathematische Öffentlichkeit Europas nahm davon kaum Notiz.

Die Wende kam 1854. Eine Arbeit über eine bestimmte Klasse von Funktionen erregte Aufmerksamkeit, und die Universität Königsberg verlieh ihm die Ehrendoktorwürde. 1856 wurde er nach Berlin berufen, zunächst an ein Gewerbeinstitut. Noch im selben Jahr wurde er außerordentlicher Professor an der Berliner Universität und Mitglied der Akademie. Den ordentlichen Lehrstuhl erhielt er erst 1864. Erst um die vierzig wurde aus dem Schullehrer also eine Berühmtheit an der Universität der Hauptstadt.

Das hat mit jener Sprache zu tun, von der gleich die Rede sein wird. Wer mehr als ein Jahrzehnt an Schulen unterrichtet hat, besitzt für die Frage, ob ein ausgesprochener Satz bei den Lernenden ankommt, ein Gespür, das jemand mit einer rein universitären Laufbahn nicht unbedingt mitbringt. Gerade die Form seiner späteren Definitionen war darauf angelegt, im Unterricht Schritt für Schritt weiterzukommen. Sein ausgereifter Grundlagenkurs war kein in jungen Jahren auf einmal fertiggestelltes System. Er entstand aus einer Lehrpraxis, für die Weierstraß seine Darstellung seit der Ankunft in Berlin immer wieder neu schrieb.

Hier liegt zugleich eine materielle Spur, der diese Folge nachgeht. Weierstraß veröffentlichte sehr wenig.

Gar nichts veröffentlichte er natürlich nicht; gerade die Arbeit von 1854 hatte ihm den Weg aus der Schule eröffnet. Gemessen an seinem tatsächlichen Einfluss brachte er seine Grundlagen der Analysis jedoch lange nicht in die Form eines öffentlich zugänglichen Lehrbuchs. In Berlin überarbeitete er seine Vorlesungen über die Grundlagen der Funktionentheorie immer weiter. Das vollständige System gab er dennoch nie als geschlossenes Werk in Druck.

Was wir über seine Gedanken von den 1860er- bis zu den 1880er-Jahren wissen, beruht deshalb vor allem auf studentischen Mitschriften. Diesen Satz sollte man langsam lesen. Es geht nicht um ein paar ergänzende Hinweise aus den Mitschriften. Die Mitschriften sind die wichtigste Grundlage. 1861 schrieb der junge Schwarz seine Vorlesung über Differentialrechnung mit. Schwarz bezeichnete die Aufzeichnung später selbst als einen gedrängten, mit Schwächen behafteten und unvollkommenen Auszug. Auch das ist wichtig. Wenn es heute heißt, Weierstraß habe 1861 dieses oder jenes definiert, stützt sich die Aussage oft nicht auf ein damals von ihm gedrucktes Buch, sondern auf die Handschrift eines Studenten.

Als sich sein Gesundheitszustand seit den 1860er-Jahren verschlechterte, festigte sich dieses Verfahren noch. Die Quellen überliefern eine sehr konkrete Szene: Weierstraß trug im Sitzen vor. Ein ausgewählter Student schrieb das Diktierte an die Tafel, die übrigen Hörer schrieben von dort ab. Diese Mitschriften gelangten anschließend über Berlin hinaus, sogar über die Grenzen Deutschlands.

Es handelte sich dabei nicht um private Erinnerungsstücke. Manche Mitschriften wurden vervielfältigt, getauscht, sogar gekauft und verkauft. In Schwarz’ Nachlass finden sich Spuren einer Zahlung, mit der er sich die Mitschrift eines anderen Hörers aus dem Jahr 1868 beschaffte. Weierstraß selbst stand den studentischen Aufzeichnungen keineswegs ablehnend gegenüber. Er erwähnte, dass er Ausarbeitungen von Hörern besaß, die weit besser seien als manche umlaufende Fassung. Und er griff auf Mitschriften seiner Studenten zurück, um die eigenen Vorlesungen vorzubereiten.

Wenig zu veröffentlichen hieß also nicht, seine Gedanken geheim zu halten. Sie nahmen einen anderen Weg: vom Lehrstuhl zum mündlichen Vortrag, von dort an die Tafel, in die Mitschriften, in weitere Abschriften und in den Handel, zu Mathematikern andernorts und erst zuletzt in eine herausgegebene Druckfassung.

Das abgeschabte und mit Gebeten neu beschriebene Pergament aus der vierten Folge, die nicht zur Veröffentlichung bestimmten privaten Arbeitspapiere aus der neunten und diese Vorlesungsmitschriften liegen auf derselben Linie. Der entscheidende Inhalt steht oft nicht in den offiziellen Veröffentlichungen. Der Unterschied: Die beiden früheren Fälle verdanken sich einer zufälligen Überlieferung. Hier arbeitete ein ganzes System.

Und dieses System kostete etwas. Jemand musste zuhören, jemand schreiben, jemand abschreiben, bisweilen musste jemand bezahlen. Wie weit eine Mitschrift kam, hing davon ab, wie viele Menschen bereit waren, diesen Aufwand für sie zu treiben.

Ob ein unveröffentlichter Gedanke zum Gemeingut werden kann, entscheidet sich also nicht allein daran, ob er richtig ist.

5 Gib mir eine Fehlerschranke

Nun zur Sprache selbst. Vor allem eine Behauptung muss aus dem Weg: Weierstraß habe in einer bestimmten Abhandlung eines bestimmten Jahres den modernen Grenzwert definiert. Diese Abhandlung gibt es nicht. Was seine Sprache leistet, lässt sich dagegen ganz ohne Symbole erklären.

Cauchy sagt: Die Werte einer Veränderlichen kommen einem festen Wert unbegrenzt näher, sodass der Unterschied zuletzt beliebig klein wird. In diesem Satz steckt eine Bewegung: das Näherkommen. Es ist ein Vorgang, der in der Zeit abläuft und den der Leser im Kopf mitvollziehen muss. Die neue Formulierung nimmt diese Bewegung heraus.

Sie lautet nun so: Gib mir zuerst eine beliebig kleine positive Fehlerschranke. Ich finde dazu einen Bereich. Liegt die unabhängige Veränderliche innerhalb dieses Bereichs um die bezeichnete Stelle, ohne mit ihr zusammenzufallen, dann ist der Abstand zwischen dem Funktionswert und dem behaupteten Grenzwert kleiner als deine Fehlerschranke. Für jede Fehlerschranke, die du mir vorgeben kannst, finde ich einen solchen Bereich.

Was wurde hier ausgetauscht? Der alte Satz schilderte das Verhalten einer Größe: Sie bewegt sich, sie kommt näher. Der neue Satz beschreibt einen Austausch. Du nennst eine Zahl, ich nenne eine Zahl, und ich garantiere, auf jede deiner möglichen Vorgaben eine Antwort zu haben. Genau das heißt nun, dass jener Wert der Grenzwert ist.

Kein Näherkommen, kein „zuletzt“, kein „immer mehr“. Nur noch zwei Dinge: was du vorgibst und was ich darauf antworte. An die Stelle der Beschreibung eines Vorgangs ist ein Frage-und-Antwort-Spiel mit festgelegten Gewinnregeln getreten.

Der Gewinn besteht darin, dass man es prüfen kann. Um zu beurteilen, ob ein Vorgang stimmt, muss man ihn im Kopf durchlaufen. Ob man das Frage-und-Antwort-Spiel gewonnen hat, lässt sich dagegen Punkt für Punkt kontrollieren.

Das kann jemand tun, der dich nicht kennt. Jemand hundert Jahre später. Jemand, der dir in allem widerspricht. Er muss nicht den Weg noch einmal gehen, den du gegangen bist. Er muss nur prüfen, ob jede deiner Antworten trägt.

Etwas Ähnliches begegnete uns schon in der dritten Folge. Damals wurde das Bild aus dem Beweis entfernt, damit dieser von keinem Auge mehr abhing. Jetzt wird der Vorgang aus der Definition entfernt, damit sie von keiner Vorstellungskraft mehr abhängt. Dafür liest sie sich nicht länger wie etwas, das geschieht.

Auch diese Sprache fiel nicht fertig vom Himmel. Der früheste erhaltene eindeutige Beleg ist die Mitschrift der Differentialrechnung von 1861. Von 1863 an hielt Weierstraß einen zentralen Kurs immer wieder; daraus entstand der berühmte Berliner Vorlesungszyklus. Die Mitschriften späterer Jahre zeigen, wie sich die Definitionen allmählich vereinheitlichten. Sie wurden nicht ein einziges Mal festgelegt und dann eingefroren.

Am Begriff der gleichmäßigen Konvergenz werden diese verschiedenen Schichten besonders deutlich. Bereits 1838 hatte man in einem anderen Problemzusammenhang Formulierungen wie „auf gleichmäßige Weise konvergieren“ benutzt. Eine auf 1841 datierte Arbeit von Weierstraß, die erst 1894 gedruckt wurde, enthält entsprechende Wendungen. Neuere Forschung weist jedoch auf Überarbeitungen der Druckfassung hin: Ihre vollständige Formulierung lässt sich nicht uneingeschränkt auf 1841 zurückdatieren. Um 1847 veröffentlichten zwei andere Autoren, jeweils ausgehend vom Stetigkeitsproblem bei Funktionenreihen, jene Bedingung, die später als der entscheidende Kern galt. 1853 kehrte Cauchy in seiner eigenen Sprache noch einmal dazu zurück.

Wer zuerst kam, hängt also davon ab, wonach man fragt.

Wer sah das Phänomen als Erster? Wer schrieb als Erster eine ähnliche Bedingung auf? Wer veröffentlichte sie zuerst? Wer erkannte zuerst, dass hier ein allgemeiner Grundbegriff der Analysis vorlag? Auf diese vier Fragen antwortet nicht ein und derselbe Name.

6 Das Jahr 1872

Am 18. Juli 1872 stellte Weierstraß der Berliner Akademie eine Funktion vor. Sie war überall stetig und besaß an keiner einzigen Stelle eine bestimmte Ableitung. Beides zusammen klang damals beinahe wie ein Widerspruch in sich.

Denn bis dahin hatte man sich unter einer stetigen Kurve eine Linie vorgestellt, die man in einem Zug zeichnen konnte. Und an eine solche Linie ließ sich doch, von einzelnen Ecken abgesehen, überall eine Tangente legen. Das war kein Satz. Es war die Gewissheit, die ein Bild vermittelte.

Stetig heißt: Die Kurve reißt nicht ab. Eine endliche Ableitung zu haben heißt anschaulich: An dieser Stelle lässt sich eine Tangente mit endlicher Steigung anlegen. Nun gab es eine Kurve, die nirgends abriss und an keiner einzigen Stelle eine solche Tangente zuließ.

Niemand behauptet damit, zuvor habe noch nie jemand an eine nicht glatte Kurve gedacht. Schon ein Polygonzug hat an seinen Ecken keine eindeutige Tangente. Aber bei einem Polygonzug gibt es nur endlich viele solche Stellen; überall sonst ist er glatt. Diese Funktion besaß hingegen nirgends eine endliche Ableitung und war trotzdem stetig. Das ist nicht dasselbe wie eine Kurve, die im gewöhnlichen Sinne überall Ecken hat.

Der Schock bestand nicht darin, dass ein weiteres sonderbares Beispiel hinzugekommen war. Fortan berechtigte eine stetig aussehende Kurve allein zu keiner Berufung mehr auf die Anschauung: weder bei Tangenten noch bei lokaler Glattheit noch bei Differenzierbarkeit.

Zwei spätere Ereignisse werden gern in das Jahr 1872 hineingezogen. Beide gehören nicht dorthin.

Erstens: Die Verbreitung des Beispiels war mit seiner Vorstellung 1872 nicht schon erledigt. Weierstraß’ eigene Darstellung ging nicht sofort als gewöhnlicher Zeitschriftenaufsatz in Umlauf. Erst eine Veröffentlichung von du Bois-Reymond im Jahr 1875 machte sie öffentlich zugänglich.

Zweitens: Von mathematischen Monstern sprach man nicht schon an jenem Tag. Die berühmte Bemerkung, die Logik bringe manchmal Monster hervor, stammt von Poincaré, ungefähr aus dem Jahr 1899. Hermite gebrauchte 1893 in einem Brief an Stieltjes Wörter wie Entsetzen und Abscheu für diese stetigen Funktionen ohne Ableitung. Beide Zeugnisse sind gut belegt. Beide liegen jedoch rund zwanzig Jahre nach 1872. Man darf sie nicht als Reaktionen aus dem damaligen Sitzungssaal der Akademie ausgeben. Im Jahr 1872 geschah noch etwas anderes. Genauer: gleich mehreres.

Dedekind veröffentlichte die kleine Schrift Stetigkeit und irrationale Zahlen. Den Anstoß hatte eine Schwierigkeit gegeben, auf die er 1858 beim Unterrichten gestoßen war. Wollte man Sätze über Stetigkeit beweisen, konnte man nicht jedes Mal die geometrische Gerade als Bürgen für das Zahlensystem heranziehen. Er zerlegte daher die rationalen Zahlen in zwei Teile, die bestimmte Ordnungsbedingungen erfüllten, und erzeugte durch solche Schnitte die zugehörigen irrationalen Zahlen. Die Stetigkeit der Geraden wurde damit zu einer Eigenschaft des Zahlensystems selbst.

Im selben Jahr ging Cantor in einem Zeitschriftenaufsatz von einer bestimmten Art rationaler Zahlenfolgen aus. Folgen mit gleichem Annäherungsverhalten fasste er zu neuen Zahlen zusammen. Heine behandelte im selben Jahr in einer anderen Zeitschrift irrationale Zahlen und Funktionentheorie ebenfalls mithilfe eines ähnlichen Folgenverfahrens.

Das waren nicht drei voneinander unabhängige, gleichzeitige Erfindungen der reellen Zahlen. Die Gedanken in Heines und Cantors Umfeld standen in engem Austausch. Und auf diesem Weg waren noch andere unterwegs. Es gab mehr als drei Ansätze.

1872 war eher ein Zusammenfluss. Jahrzehntelang hatte sich an den Fragen nach Grenzwerten, irrationalen Zahlen, Funktionen und Stetigkeit ein Druck aufgebaut. In diesem Jahr entstanden daraus gleich mehrere ausformulierte Entwürfe, die sich drucken und miteinander vergleichen ließen. Was änderte sich dadurch?

Nicht, dass die Mathematiker zuvor nichts von irrationalen Zahlen gewusst hätten. Aber am Ende eines Beweises in der Analysis hatte man sich oft noch einmal auf die geometrische Gerade berufen müssen oder auf die Anschauung, nach der ein bestimmter Grenzwert wohl existieren müsse. Was man dabei voraussetzte, war nicht eigens auf einer grundlegenderen Ebene konstruiert worden.

Jetzt war das möglich. Jede nicht leere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Supremum. Jede Cauchyfolge reeller Zahlen hat einen reellen Grenzwert. Für solche Aussagen musste keine gezeichnete Gerade mehr bürgen. Man konnte sie unmittelbar in der Konstruktion des Zahlensystems verankern.

Auch daraus sollte kein Mythos werden. Schnitte und Folgen legten nicht dasselbe, irgendwo in der Natur verborgene Ding frei. Es waren zwei verschiedene Verfahren, eine Struktur mit den Eigenschaften auszustatten, die man von den reellen Zahlen verlangte.

7 Das Wort Arithmetisierung

„Arithmetisierung der Analysis“ sagt sich heute leicht. Der Ausdruck hat jedoch eine bestimmte Herkunft, und diese passt nicht recht zu seinem heutigen Gebrauch. Eine frühe nachweisbare Verwendung findet sich 1887 in einem Aufsatz Kroneckers. Nur meinte Kronecker mit Arithmetisierung etwas anderes als spätere Geschichtsbücher mit dem Satz, Weierstraß, Dedekind und Cantor hätten die Analysis arithmetisiert.

Kronecker wollte die Mathematik auf die ganzen Zahlen und auf endlich ausführbare Konstruktionsverfahren gründen. Gerade gegenüber der Mengenlehre in Cantors Richtung und gewissen unendlichen Gegenständen hatte er erhebliche Vorbehalte.

Wer „Arithmetisierung“ zum gemeinsamen Schlachtruf eines ganzen Lagers der 1870er-Jahre macht, verfehlt deshalb sowohl die Zeit als auch die Positionen. Erst nachdem Klein 1895 das Wort zum Titel eines Aufsatzes gemacht hatte, setzte es sich zunehmend als historische Sammelbezeichnung durch. Dieser Umweg ist erzählenswert. Denn der Ausdruck, mit dem die Nachwelt eine Entwicklung zusammenfasst, stammt nicht selten von einem ihrer Gegner. Kronecker befürwortete das Wort „Arithmetisierung“. Mit dem größten Teil dessen, was heute darunter fällt, war er nicht einverstanden.

In der sechsten Folge gab es einen ähnlich gelagerten Fall: Ein Wort entstand aus dem ersten Satz der Übersetzung eines nicht mehr erhaltenen Buches; was es heute bezeichnet, hat mit jenem Buch nichts zu tun. Hier liegt der Fall anders. Ein Gegner prägte einen Ausdruck, und später wurde dieser zum Namen dessen, wogegen er sich gewandt hatte. Zugleich bewegte sich in diesen Jahren noch eine weitere Linie, eng verbunden mit den bisher verfolgten.

Riemanns Habilitationsschrift über trigonometrische Reihen von 1854 befasste sich ausdrücklich mit dem bestimmten Integral und den Grenzen seiner Anwendbarkeit. Sie erschien erst 1867, nach seinem Tod. Ihm ging es nicht mehr um die Selbstverständlichkeit, dass stetige Funktionen integrierbar sind. Er fragte, unter welchen Voraussetzungen sich das Integral auch für eine Funktion definieren lässt, die sehr viele Unstetigkeitsstellen haben kann. Darboux machte diesen Ansatz 1875 handlicher. Er zerlegte das Intervall, nahm auf jedem Teilstück die obere und die untere Grenze der Funktionswerte und bildete daraus zwei Summen.

In diesen Jahrzehnten verschob sich also nicht nur eine einzige Sache. Welche Funktionen zugelassen waren, welche Gegenstände integriert werden konnten, wie man mit den Grenzwerten von Reihen umging und was die Vollständigkeit eines Zahlensystems verlangte: All das bewegte sich zugleich.

Gerade deshalb wurden pathologische Funktionen immer wichtiger. Die Definitionen erlaubten es den Mathematikern nun, ernsthaft zu fragen: Was bleibt von einem Satz im äußersten Fall noch übrig?

8 Wenn der Zaun versetzt wird

Nun zum Preis. Und zunächst zu einer Stelle, die offenbleiben muss. In der geläufigen Erzählung heißt es mitunter, die neue Sprache habe die Analysis unlesbar und unlehrbar gemacht, und schon die Zeitgenossen hätten darüber geklagt. Beschränkt man die Suche auf die Zeit vor den 1880er-Jahren, fehlt ein hinreichend zuverlässiger Beleg für diese Behauptung. Dann lässt man die Stelle besser frei, als spätere Äußerungen um zehn oder zwanzig Jahre vorzuverlegen. Zwei belastbare Zeugnisse stammen aus der unmittelbar folgenden Generation.

1893 schrieb Hermite an Stieltjes von seinem Abscheu vor stetigen Funktionen ohne Ableitung, einem Abscheu, der fast an Entsetzen grenze. Um 1899 erklärte Poincaré, die Logik bringe zuweilen Monster hervor, und nannte gerade diese stetigen Funktionen ohne Ableitung als Beispiel.

Doch worauf zielten die beiden Äußerungen? Auf die pathologischen Gegenstände, nicht auf die Symbolsprache als solche. Poincaré sagte außerdem noch etwas anderes, Wichtigeres: Die logisch verlässlichste Reihenfolge in der Forschung muss nicht diejenige sein, die sich im Unterricht am leichtesten erschließt.

Der Preis hat also mindestens drei Seiten.

Die geometrische Anschauung hat nicht mehr das letzte Wort. Die Definitionen lassen weit mehr Gegenstände zu als die Anschauung. Und die strengste Reihenfolge fällt nicht länger mit der am leichtesten erlernbaren zusammen. Bei der mittleren dieser drei Folgen sollten wir verweilen. Sie widerspricht dem, was die meisten erwarten. Der Antrieb hinter dem ganzen Unternehmen klingt, als wolle man die Tür fester schließen: hinaus mit dem Unklaren, bleiben darf nur, was standhält. Tatsächlich ging die Tür weiter auf. Wenn aus dieser Folge ein Satz hängen bleiben soll, dann dieser.

Die alte Anschauung sagte: Eine stetige Kurve hat selbstverständlich an den allermeisten Stellen Tangenten. Etwas, das nirgends eine Tangente hat, dürfte deshalb gar nicht existieren. Die neue Definition fragt nicht, ob es existieren sollte. Sie fragt: Welche deiner Definitionsbedingungen garantiert denn eine Tangente? Steht eine solche Bedingung nirgends, hat auch dieses Ding ein Recht auf Einlass.

Ein Maßstab, der Sicherheit schaffen sollte, ließ also mehr herein, als er ausschloss.

In der siebten Folge geschah etwas Ähnliches in anderer Form. Dort fiel die Eintrittsbedingung, dass ein Zeichen zuerst als Größe gedeutet werden müsse. Als sie wegfiel, kamen die negativen Zahlen herein und später noch vieles mehr.

Beide Male derselbe Mechanismus: Sobald die Eintrittsbedingung vom Inhalt zur Form wandert, wird mehr zugelassen, nicht weniger.

Das ist kein Scheitern des Verfahrens. So funktionieren Maßstäbe überhaupt. Übernimmt eine sprachliche Bestimmung die Entscheidungsmacht von einer Zeichnung, entscheidet sie nicht mehr nur über Fälle, die sich zeichnen lassen. Versetzt man den Zaun vom Sichtbaren ins Aufschreibbare, verändert sich das Gelände, das er umschließt. Und gewöhnlich wird es größer.

Eines bleibt noch festzuhalten. In den 1960er-Jahren wurde mit modernen Mitteln ein erweitertes Zahlensystem konstruiert, das von null verschiedene unendlich kleine Zahlen enthält und in dem sich streng Differential- und Integralrechnung betreiben lässt. Das beweist nicht, dass der Weg des 19. Jahrhunderts falsch war. Es beweist etwas anderes: Unendlich kleine Größen zu verwenden ist nicht dasselbe, wie auf mathematische Strenge zu verzichten. Der Weg des späten 19. Jahrhunderts erlangte später eine beherrschende Stellung. Das ist eine historische Tatsache. Es war nicht die einzige logisch zulässige Möglichkeit.

Darum gehört der Titel dieser Folge von Anfang bis Ende in Anführungszeichen.

Das Unendlichkleine wurde nicht vertrieben. Geändert hat sich seine Stellung im Beweis. Und wer darüber entscheiden darf, ob ein Argument trägt.

Weitergerechnet wird. Was als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend geklärt worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen belegen historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen im Text. Bestandsnachweise von Sammlungen, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Französische Nationalbibliothek: Cauchys Cours d’analyse von 1821
• Studie zu Cauchys unendlich kleinen Größen, seinem Summensatz und den Paradigmen der Grundlagen
• Viertel: Gleichmäßige Konvergenz in Weierstraß’ Vorlesungen und Veröffentlichungen
• Dedekinds Abhandlungen zur Zahlentheorie, einschließlich Stetigkeit und irrationale Zahlen
• Göttinger Originaldruck: Riemanns Abhandlung über trigonometrische Reihen von 1867
• ETH-Bibliothek Zürich: Riemanns Originalveröffentlichung von 1867