Was sich nicht zu Ende zählen lässt

1 Ich sehe es, aber ich glaube es nicht

Am 29. Juni 1877 schrieb Cantor an Dedekind. Er hatte gerade etwas bewiesen, und sein eigener Beweis ließ ihm keine Ruhe.

Er war zweiunddreißig und lehrte an der Universität Halle. Was er zu berichten hatte, widerlegte keinen fremden Lehrsatz. Es widerlegte seine eigene bisherige Vorstellung.

Die Punkte einer Strecke lassen sich den Punkten eines Quadrats eins zu eins zuordnen. Zu jedem Punkt der Strecke gehört dann genau ein Punkt des Quadrats, und auch jeder Punkt des Quadrats bekommt seinen Partner. Keiner bleibt übrig, keiner wird doppelt vergeben. Dabei hat das Quadrat eine Dimension mehr als die Strecke. Es müsste doch, so sieht es jedenfalls aus, sehr viel mehr Punkte enthalten.

Gemessen an der Möglichkeit, sie einander zuzuordnen, sind es aber gleich viele.

Cantor schrieb, das Ergebnis sei so unerwartet und so neu, dass er kaum wieder zur Ruhe kommen könne, bevor Dedekind über seine Richtigkeit geurteilt habe. Dann folgt auf Französisch der Satz, den man seither unzählige Male zitiert hat: Ich sehe es, aber ich glaube es nicht.

Dieser eine Satz steht auf Französisch in einem ansonsten deutschen Brief. Cantor wechselt hier die Sprache; warum, lässt sich aus dem Satz allein nicht erschließen. Drei Tage später antwortete Dedekind. Er habe den Beweis geprüft, keinen Fehler gefunden und gratuliere ihm. Häufig wird aus Cantors Satz eine philosophische Haltung gemacht: Ein Mensch hat etwas bewiesen und weigert sich innerlich dennoch, es anzuerkennen.

Die wirkliche Situation war gewöhnlicher. Und glaubwürdiger. Da schrieb jemand einen privaten Brief und bat einen Kollegen, den Beweis noch einmal zu prüfen. Er hatte gerade etwas zustande gebracht, dem er selbst nicht ganz traute, und wollte einem anderen sagen: Schau du bitte auch noch einmal hin.

Dedekind erkannte außerdem sofort, wo der eigentliche Punkt lag. Eine solche Zuordnung kann nicht zugleich die Stetigkeit bewahren. Man kann nicht dafür sorgen, dass Punkte, die auf der Strecke nahe beieinanderliegen, auch im Quadrat stets nahe beieinander ankommen.

Dass beide gleich viele Punkte haben, hebt den Unterschied zwischen einer und zwei Dimensionen also nicht auf. Es besagt etwas anderes: Aus der bloßen Möglichkeit einer Eins-zu-eins-Zuordnung lässt sich die Dimension nicht bestimmen.

In dieser Folge geht es darum, was geschah, als man mit solchen Zuordnungen anfing, das Unendliche zu messen.

Noch aufschlussreicher ist, was daraus wurde. Mit diesem Verfahren gelangte Cantor zu einer Reihe von Ergebnissen, die niemand widerlegen konnte. Zugleich gab es Menschen, die schon das Verfahren, mit dem er zu diesen Ergebnissen kam, für unzulässig hielten.

Der Streit ging nicht darum, ob die Ergebnisse stimmten.

Er ging darum, wann etwas als bewiesen gelten durfte.

Dabei ist das Zuordnen an sich nichts Besonderes. Hirten benutzten es, um den Bestand ihrer Herde zu prüfen: nicht zählen, sondern schauen, ob etwas übrig bleibt. Auch die Schreiber aus der ersten Folge, die verschiedene Dinge mit verschiedenen Zeichen zählten, arbeiteten damit. Seltsam wird es erst, wenn man das Verfahren auf Dinge anwendet, die sich nicht zu Ende zählen lassen.

2 Was man zu Ende zählen kann und was nicht

Um das zu verstehen, müssen wir zunächst eine ganz alltägliche Handlung auseinandernehmen.

Welcher von zwei Haufen enthält mehr? Gewöhnlich zählt man beide durch und vergleicht die Ergebnisse. Es geht aber noch einfacher, ganz ohne Zählen. Man nimmt von jedem Haufen einen Gegenstand, bildet ein Paar und legt es beiseite. Dann das nächste Paar, dann das nächste. Sind beide Haufen gleichzeitig aufgebraucht, waren es gleich viele. Ist einer leer und beim anderen bleibt etwas liegen, war der andere größer. Der Vorteil ist offensichtlich: Man braucht nicht zu wissen, wie viele Gegenstände überhaupt in den einzelnen Haufen lagen.

Deshalb lässt sich das Verfahren auch dort anwenden, wo man mit dem Zählen nie fertig wird.

Die natürlichen Zahlen gehen immer weiter. Die geraden Zahlen auch. Nach unserem Alltagsgefühl müssten die geraden Zahlen weniger sein: Sie machen schließlich nur die Hälfte der natürlichen Zahlen aus.

Ordnen wir aber zu: eins zu zwei, zwei zu vier, drei zu sechs, und immer so weiter. Jede natürliche Zahl bekommt eine gerade Zahl, jede gerade Zahl bekommt eine natürliche. Auf keiner Seite bleibt etwas übrig. Also sind es gleich viele.

Das war schon vor Cantor aufgefallen. Meist nahm man es als Warnung: Wer auf das Unendliche die alltäglichen Vorstellungen von mehr und weniger anwendet, gerät ins Absurde. Galilei hatte mehr als zweihundert Jahre zuvor über solche Fälle geschrieben. Sein Schluss lautete: Mehr, weniger und gleich viel sind auf unendliche Gesamtheiten überhaupt nicht anwendbar. Die Vorgänger verstanden das also als Signal: Bis hierher und nicht weiter. Cantor kehrte die Warnung um. Er machte aus dem Stoppschild einen Wegweiser.

Wo andere sagten: Hier ist Schluss, fragte er: Was sieht man, wenn man weitergeht?

Wenn das Zuordnen auch dann funktioniert, wenn man nicht zu Ende zählen kann, dann soll man es eben benutzen. Alles, was sich den natürlichen Zahlen eins zu eins zuordnen lässt, hat in diesem Sinne dieselbe Größe. Diese Gesamtheiten lassen sich, wie er es ausdrückte, in eine Folge bringen: Man kann ihren Gliedern die Nummern eins, zwei, drei und so weiter geben, ohne eines auszulassen. Dann stellte Cantor eine Frage, die zuvor niemand ernsthaft gestellt hatte. Gibt es auch Gesamtheiten, die man nicht einmal in eine solche Folge bringen kann? 1874 veröffentlichte er eine Arbeit, deren Antwort lautete: Ja.

Die Arbeit bewies eigentlich zwei Dinge. Erstens: Alle reellen algebraischen Zahlen, also die reellen Zahlen, die Lösungen einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sind, lassen sich in einer Folge aufzählen. Zweitens: Zu jeder Folge reeller Zahlen gibt es reelle Zahlen, die in ihr nicht vorkommen. Der Titel kündigte nur das erste Ergebnis an; sinngemäß ging es um eine Eigenschaft der Gesamtheit aller reellen algebraischen Zahlen. Die schlichteste Aussage, dass sich die reellen Zahlen nicht in einer Folge aufzählen lassen, erschien lediglich als Anmerkung am Ende der Einleitung. Weierstraß hatte Cantor geraten, sie aus dem eingereichten Manuskript herauszulassen, und zugleich gesagt, bei der Korrektur der Druckfahnen könne er sie als Anmerkung wieder einfügen. Cantor tat es so. An Dedekind schrieb er, die veröffentlichte Fassung sei teilweise auch wegen der örtlichen Verhältnisse eingeschränkt worden. Welche Verhältnisse er meinte, sagte er nicht.

Nimmt man beide Ergebnisse zusammen, folgt sofort: Es gibt reelle Zahlen, die keine Lösung irgendeiner solchen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten sind. Dabei geht es nicht bloß darum, dass sich zufällig eine einzelne solche Zahl findet. Die Gesamtheit der reellen Zahlen erweist sich als von anderer Größe als alles, was man in einer Folge aufzählen kann. Diesen Schluss sollte man genau betrachten. In ihm steckt der Keim der späteren Auseinandersetzungen.

Aus den beiden Ergebnissen lässt sich also durch einen Größenvergleich auf die Existenz transzendenter Zahlen schließen. Doch Cantors ursprüngliche Arbeit von 1874 enthielt außerdem ein Verfahren mit ineinandergeschachtelten Intervallen, das zu jeder Folge reeller Zahlen eine fehlende reelle Zahl konstruiert. Wendet man es auf eine Aufzählung der reellen algebraischen Zahlen an, kann es eine transzendente Zahl bestimmen. Man darf die Arbeit deshalb nicht als bloßen Existenzbeweis ohne jede Konstruktion darstellen. Außerdem ist hier ein verbreiteter Fehler in der zeitlichen Zuordnung zu berichtigen: Der Beweis von 1874 war nicht das später berühmt gewordene Diagonalargument.

Cantor arbeitete mit einer Intervallschachtelung. Angenommen, jemand gibt uns eine unendlich lange Liste reeller Zahlen. Innerhalb eines Intervalls wählen wir anhand dieser Liste zwei geeignete Zahlen als neue linke und rechte Grenze. So entsteht ein kleineres Intervall. In diesem wählen wir wieder zwei Zahlen, verkleinern es weiter und fahren immer so fort. Die Stelle, die durch diese immer enger ineinanderliegenden Intervalle schließlich festgelegt wird, kann nicht auf der ursprünglichen Liste stehen. Das Argument braucht die Stetigkeit der reellen Zahlen. Es arbeitet nicht mit dem späteren Verfahren, Ziffer um Ziffer abzuändern.

Zwischen den beiden Beweisen liegen siebzehn Jahre. Auch ihre Grundgedanken sind völlig verschieden. Spätere Lehrbücher schreiben häufig das Verfahren von 1891 der Arbeit von 1874 zu. So schrumpfen zwei verschiedene Leistungen eines Menschen zu einer einzigen zusammen.

Neuere Materialien haben noch etwas anderes deutlicher gemacht. Ende 1873 standen Cantor und Dedekind in engem Austausch. Zu dem Teil der Arbeit, der die Aufzählbarkeit der algebraischen Zahlen zeigte, trug Dedekind wesentlich bei. Cantor dankte ihm damals in einem privaten Brief: Seine Anmerkungen und die Art, wie er einige entscheidende Punkte dargestellt habe, seien ihm eine große Hilfe gewesen. In der gedruckten Arbeit fehlt Dedekinds Name. Danach beantwortete Dedekind Cantors Briefe nicht mehr. Der Briefwechsel brach für fast drei Jahre ab und wurde erst im Oktober 1876 wieder aufgenommen.

Man muss also zwei Dinge auseinanderhalten. Am Beweis des ersten Satzes hatte Dedekind Anteil. Für den zweiten Satz, die Unmöglichkeit einer Aufzählung aller reellen Zahlen, spricht die Beweislage weiterhin sehr deutlich für Cantor selbst.

3 Er stand nicht allein

In späteren populären Darstellungen wird daraus häufig die Geschichte eines Einzelnen gegen die gesamte mathematische Welt.

Beide Extreme sind falsch. Es stimmt nicht, dass die Mathematiker ihn geschlossen für verrückt hielten. Es stimmt aber auch nicht, dass nur Kronecker widersprach. Die Aufnahme seiner Arbeit vollzog sich auf verschiedenen Ebenen.

Seine frühen Methoden für Punktmengen gingen rasch in die Forschung zur Analysis ein. Schon in den 1870er Jahren wurden sie verwendet. Als 1883 seine Schrift über die Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre erschien, erhielt sie auch ausgesprochen positive Besprechungen. In den 1890er Jahren begann sich die mengentheoretische Sprache, für die Cantor und Dedekind standen, unter einer neuen Generation von Mathematikern auszubreiten.

1890 und 1891 wirkte Cantor an der Gründung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung mit und wurde ihr erster Vorsitzender. Seine letzten beiden bedeutenden Arbeiten zur Mengenlehre erschienen 1895 und 1897 in einer der angesehensten mathematischen Zeitschriften der Zeit, unter der Herausgeberschaft Kleins.

Die Behauptung, die mathematische Fachwelt habe Cantor in den 1890er Jahren verstoßen, passt nicht zu diesen institutionellen Tatsachen. Treffender ist: Seine zentralen Vorstellungen blieben umstritten, ließen sich aber längst nicht mehr als abseitige Sonderlehre beiseiteschieben. Und der Widerspruch war keineswegs nur eine Frage des Gefühls.

Manche wandten sich dagegen, eine bereits abgeschlossene unendliche Gesamtheit als zulässigen mathematischen Gegenstand zu behandeln. Sie lehnten auch Existenzbeweise ab, die den behaupteten Gegenstand nicht vorweisen; darauf kommen wir noch eigens zurück. Andere fanden nicht, dass er unrecht hatte. Ihnen erschienen die transfiniten Untersuchungen einfach zu abstrakt, ohne erkennbaren Nutzen für die gegenwärtige Arbeit. Für die meisten Zeitgenossen sahen jene ersten transfiniten Ordnungszahlen nach unfruchtbarer Spekulation aus. Ein Mensch eignet sich besonders gut dazu, die schlichte Aufteilung in Unterstützer und Verfolger durcheinanderzubringen.

Mittag-Leffler war einer von Cantors wichtigen Förderern. Er verschaffte dessen Arbeit eine internationale Plattform. Doch um 1885 riet ausgerechnet dieser Förderer ihm, ein besonders abstraktes Manuskript nicht zu veröffentlichen. Sinngemäß: So etwas komme womöglich hundert Jahre zu früh; es jetzt vorzulegen, könne seiner Laufbahn eher schaden. Cantor nahm ihm das sehr übel und ging danach zu der Zeitschrift auf Abstand. Das war kein philosophischer Einwand. Es war eher das Urteil eines Herausgebers: Können die Leser folgen? Ist jetzt der richtige Zeitpunkt?

Derselbe Mensch kann dein wichtigster Förderer sein und dir raten, das Beste, was du hast, in der Schublade zu lassen.

Das kommt dem wirklichen Wissenschaftsbetrieb näher als die Aufteilung in Unterstützung und Verfolgung. Jemand kann deiner Arbeit einen Platz geben wollen und zugleich finden, dass ein bestimmter Aufsatz so weit vorauseilt, dass die Leser nicht mehr mitkommen. Beides kann gleichzeitig wahr sein.

4 Die Diagonale

1891 veröffentlichte Cantor einen weiteren Beweis. Später wurde er als Diagonalverfahren bekannt. Er ist viel einfacher als der von 1874 und lässt sich wesentlich allgemeiner anwenden. Man kann ihn ganz ohne Formeln durchgehen.

Stellen wir uns zunächst unendlich lange Folgen aus jeweils zwei möglichen Zeichen vor. An jeder Stelle steht entweder A oder B. Jede Folge hat unendlich viele Stellen, und an jeder Stelle gibt es diese eine Wahl zwischen zwei Möglichkeiten.

Nun bringt jemand eine Liste und behauptet, auf ihr stünden alle Folgen dieser Art. Nummer eins, Nummer zwei, Nummer drei und immer weiter. Keine fehle.

Wir sehen uns die erste Stelle der ersten Zeile an. Steht dort A, schreiben wir an die erste Stelle einer neuen Folge B. Steht dort B, schreiben wir A. Dann nehmen wir die zweite Stelle der zweiten Zeile und wählen wieder das jeweils andere Zeichen.

Dann die dritte Stelle der dritten Zeile, die vierte Stelle der vierten Zeile. Und immer so weiter.

Sehen wir uns nun die neue Folge an, die wir gerade gebaut haben.

Sie kann nicht die Folge in der ersten Zeile sein, denn schon an der ersten Stelle unterscheidet sie sich von ihr. Sie kann nicht die zweite sein, denn an der zweiten Stelle ist sie anders. Nicht die dritte, denn an der dritten Stelle ist sie anders. Welche Zeile der Liste wir auch herausgreifen: Unsere Folge unterscheidet sich von ihr.

Die Behauptung, die Liste sei vollständig, ist also falsch.

Dieses Argument ist nicht auf reelle Zahlen zugeschnitten. Es betrifft die Wahl zwischen zwei Möglichkeiten auf einer beliebigen Menge, also die Gesamtheit aller ihrer Teilmengen. Das Ergebnis: Zu jeder Menge lässt sich eine Menge von echt größerer Mächtigkeit bilden. Heutige Lehrbücher führen das oft mit abgeänderten Nachkommastellen reeller Zahlen vor. Das ist eine bequeme spätere Fassung. Die Arbeit von 1891 lässt sich darauf nicht reduzieren. Das Schönste daran ist nicht einmal, was es beweist. Es ist die Art, wie es das Gegenüber mit dessen eigenen Mitteln schlägt.

Man muss nicht im Voraus erraten, was auf der Liste fehlt. Die Liste selbst liefert eine eindeutige Vorschrift für einen Gegenstand, der auf ihr nicht vorkommt. Gib mir deine Zeilen, ich werde sie benutzen. So viele du mir gibst, so viele nehme ich. Je vollständiger deine Liste sein soll, desto reibungsloser lässt sich die neue Folge bilden.

Darin liegt seine größere Reichweite gegenüber dem Beweis von 1874. Der ältere Beweis brauchte Eigenschaften der reellen Zahlen und war auf sie beschränkt. Diese abzählbare Fassung braucht lediglich eine Liste mit nummerierten Zeilen. Für die Verallgemeinerung auf eine beliebige Menge geht man von einer beliebigen Abbildung dieser Menge in ihre Potenzmenge aus. Dann bildet man die Teilmenge aus genau denjenigen Elementen, die nicht zu der ihnen jeweils zugeordneten Bildmenge gehören.

Erst damit erhält man die allgemeine Aussage: Die Potenzmenge einer beliebigen Menge hat stets eine echt größere Mächtigkeit als diese selbst.

Und darauf läuft es am Ende hinaus. Zu jeder Menge lässt sich eine größere bilden. Eine größte gibt es folglich nicht.

Das Unendliche ist keine einzelne Größe. Es ist eine Treppe, die immer weiter nach oben führt.

Der Widerspruchsbeweis mit geraden und ungeraden Zahlen aus der zweiten Folge, der doppelte Widerspruchsbeweis aus der vierten und dieser hier gehören zur selben Familie. Man lässt sich zunächst auf die Annahme des Gegenübers ein. Dann bringt man die Annahme selbst an einen Punkt, an dem sie nicht mehr bestehen kann.

5 Was Kronecker verlangte

Wer den Streit verstehen will, sollte den Satz, Kronecker habe das Unendliche gehasst, als Erstes streichen. Kroneckers Vorhaben war, die Mathematik so weit wie möglich auf das Rechnen mit ganzen Zahlen zurückzuführen und auf endliche, eindeutig bestimmte, ausführbare Verfahren. Die eigentlichen Grundgegenstände waren für ihn die ganzen Zahlen. Brüche, algebraische Zahlen und selbst die Gegenstände der Analysis sollten sich durch arithmetische Beziehungen zwischen ganzen Zahlen beherrschen lassen.

Um zu sagen, ein Gegenstand existiere, genügte es nach diesem Anspruch nicht, durch einen Widerspruchsbeweis zu zeigen, dass seine Nichtexistenz widersprüchlich wäre. Am besten sollte man ein endliches Verfahren angeben können, das ihn tatsächlich hervorbringt. Ein deutscher Satz dient häufig als Kroneckers Markenzeichen. Sinngemäß lautet er: Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Die Überlieferung dieses Satzes führt auf eine einzige Spur. Der früheste nachweisbare gedruckte Beleg ist keine Veröffentlichung Kroneckers selbst, sondern ein Nachruf, den Weber 1893 auf ihn schrieb. Kronecker war Ende 1891 gestorben. Es handelt sich also um die zeitnahe Erinnerung eines Zeitgenossen. Um eine Mitschrift des Gesagten handelt es sich trotzdem nicht.

In der verbreiteten Erzählung fällt der Satz bei einem Vortrag im Jahr 1886. Diese Zuordnung mag begründet sein. Solange Kroneckers eigener Vortragstext von 1886 aber nicht vorliegt, darf man sie nicht mit dem gedruckten Zeugnis von 1893 auf eine Belegstufe stellen. Und Weber beschrieb hier keinen Menschen, dem unvermittelt ein religiöser Sinnspruch entfuhr. Er fasste ein mathematisches Programm zusammen.

Jetzt lässt sich erkennen, wo der Konflikt lag.

Aus Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit lässt sich ein klassisches Existenzargument gewinnen. Aber darin erschöpft sich die ursprüngliche Arbeit von 1874 nicht: Ihr Intervallverfahren kann auch zur Bestimmung transzendenter Zahlen dienen. Die Differenz zwischen Kronecker und Cantor lässt sich deshalb nicht darauf verkürzen, dieser Beweis konstruiere überhaupt keinen Gegenstand. Sie gehört in den umfassenderen Streit über abgeschlossene unendliche Gesamtheiten, endliche Verfahren und darüber, welche weiteren Maßstäbe für Existenz gelten dürfen.

Hier weigerte sich also nicht einfach jemand, etwas Neues anzunehmen. Hier trafen zwei Antworten auf die Frage, was Existenz bedeutet, in demselben Satz aufeinander.

Und beide Antworten haben für sich etwas Einleuchtendes. Der eine sagt: Ich habe bewiesen, dass es unmöglich fehlen kann, also ist es da. Der andere sagt: Wenn du behauptest, es sei da, dann zeig es mir. Im Alltag ist die zweite Forderung keineswegs überzogen.

Du sagst, im Schrank liege ein Schraubenzieher. Ich bitte dich, ihn herauszuholen. Damit mache ich dir das Leben nicht unnötig schwer.

Man sollte Kronecker allerdings auch nicht zum Propheten des späteren Konstruktivismus erklären. In seiner eigenen Forschung hielt er diesen Maßstab nicht immer restlos ein. Auch in seiner Analysis benutzte er herkömmliche Werkzeuge. Was er hinterließ, war eher ein methodisches Programm der Arithmetisierung als ein Katalog von Verboten.

In der vorigen Folge war davon die Rede: Der früheste bislang nachweisbare Gebrauch des Wortes Arithmetisierung findet sich gerade in einer Arbeit Kroneckers von 1887. Vieles von dem, was spätere Generationen unter diesem Wort zusammenfassten, war aber genau das, wogegen er sich wandte.

6 Die Vorwürfe

Über Kroneckers Unterdrückung Cantors kursiert eine ganze Reihe von Behauptungen. Prüft man sie einzeln, erweisen sie sich als sehr unterschiedlich belastbar. Am besten belegt ist die Verzögerung von 1877.

Am 12. Juli jenes Jahres reichte Cantor ein Manuskript bei einer Berliner mathematischen Zeitschrift ein. Im November war es immer noch nicht erschienen. In seinen Briefen an Dedekind machte er seinem Unmut Luft; zeitweise wollte er das Manuskript zurückziehen und anderswo unterbringen. Dedekind riet ihm davon ab. Schließlich wurde die Arbeit in dem Band gedruckt, der gewöhnlich dem Jahr 1878 zugeordnet wird. Einreichung, langes Warten, die Absicht, den Text zurückzuziehen: Diese Abfolge ist klar belegt.

Wer die Verzögerung verursachte, ist weniger klar.

Wer die einschlägigen Archivalien untersucht hat, formuliert vorsichtig: Sehr wahrscheinlich habe die Verzögerung mit Kronecker zu tun gehabt, der im Herausgeberkreis der Zeitschrift großen Einfluss besaß. Das ist ein historisches Urteil, gewonnen aus persönlichen Verbindungen, Positionen und weiteren Materialien. Es ist kein Dokument, in dem steht: Ich habe beschlossen, dieses Manuskript zurückzuhalten.

Eine weitere gesicherte Tatsache wird in populären Biografien häufig falsch wiedergegeben. 1877 war Kronecker noch nicht als Herausgeber dieser Zeitschrift verzeichnet. Die formale Leitung lag bei einem anderen, der sie bis 1880 innehatte. Erst 1881 wurde Kronecker als Herausgeber genannt; erst ab 1889 war er alleiniger Herausgeber.

Der Satz, Kronecker habe 1877 als leitender Herausgeber Cantors Arbeit unterdrückt, ist deshalb falsch. Vertretbar ist nur: Er hatte im Berliner Mathematikbetrieb und bei dieser Zeitschrift erheblichen Einfluss. Es gibt Gründe für den Verdacht, dass seine Gegnerschaft die Behandlung des Manuskripts beeinflusste. Die formale Entscheidungsgewalt lag damals jedoch nicht bei ihm.

Darüber hinaus wird die Beweislage rasch dünn. Er habe alle deutschen Zeitschriften kontrolliert und Cantor am Publizieren gehindert: Das hält offenkundig nicht stand, denn Cantor veröffentlichte anschließend zahlreiche Arbeiten in anderen wichtigen Zeitschriften. Er habe mit seinem Veto sämtliche Aufstiegsmöglichkeiten Cantors zunichtegemacht: Wer das als institutionelle Tatsache behaupten will, braucht dafür Akten der Berufungsgremien. Aus dem mathematischen Streit lässt es sich nicht rückwärts ableiten. Besonders genau muss man sich aber den verbreitetsten Satz ansehen. Der populären Erzählung zufolge nannte Kronecker Cantor höchstpersönlich einen Verderber der Jugend.

Die entscheidende nachweisbare Quelle ist ein Aufsatz von Schoenflies aus dem Jahr 1927. Dort steht aber nicht, Kronecker habe Cantor einen Verderber der Jugend genannt. Sinngemäß schreibt Schoenflies: Man gehe nicht zu weit, wenn man sage, Kroneckers Haltung habe den Eindruck erwecken müssen, Cantor verderbe als Forscher und Lehrer die Jugend. Das ist ein gewaltiger Unterschied.

Erstens: 1927 lag Kroneckers Tod bereits sechsunddreißig Jahre zurück, der Streit ungefähr vierzig.

Zweitens: Der Satz beschreibt den Eindruck, den seine Haltung erweckte. Er überliefert keine Beschimpfung aus einer konkreten Begegnung.

Eine später sehr einflussreiche englischsprachige Biografie fasste Kroneckers Sicht zu Beginn so zusammen: Für ihn sei Cantor ein wissenschaftlicher Betrüger, ein Abtrünniger und ein Verderber der Jugend gewesen. Enzyklopädien und populäre Bücher zitierten das immer weiter, bis aus dem letzten Ausdruck allmählich ein wörtlicher Ausspruch Kroneckers in Anführungszeichen wurde. Diesen Vorgang haben wir in der zehnten Folge schon einmal gesehen. Erst fasst jemand etwas zusammen. Dann streichen die Nachfolger die Fragezeichen aus der Zusammenfassung.

Die beiden Überlieferungsgeschichten haben noch etwas gemeinsam. Dort wuchs aus einer archivalisch gestützten Biografie von 1896 eine literarisch ausgemalte Szene, bei der 1937 die Fragezeichen verschwanden. Hier wurde ein 1927 beschriebener Eindruck in ebenjenem Buch von 1937 zum Zitat. Dasselbe Buch, zweimal derselbe Handgriff. Und noch etwas findet in der Erzählung einer lebenslangen, unversöhnlichen Feindschaft keinen Platz.

Nach Cantors erster schwerer Erkrankung im Sommer 1884 brachte er seine körperliche und seelische Niedergeschlagenheit zeitweilig selbst mit den Reibereien in Verbindung. Am 18. August schrieb er an Mittag-Leffler, nicht die angestrengte Arbeit habe ihm zugesetzt, sondern die vermeidbaren Reibungen. Danach beschloss er, sich mit Kronecker zu versöhnen, und schrieb ihm. Die erhaltenen Unterlagen zeigen: Kroneckers Antwort war höflich und menschlich zugewandt. Ihr persönliches Verhältnis besserte sich dadurch wieder zu ihrer Zufriedenheit.

Die mathematischen Differenzen verschwanden nicht. Doch nach 1884 hatten die beiden den persönlichen Kontakt nicht abgebrochen. Der Streit blieb auf dem Papier. Er bedeutete nicht, dass sie nicht mehr miteinander sprachen.

7 Die Krankheit

In diesem Abschnitt liegt zwischen dem, was sich sagen lässt, und dem, was man nicht sagen darf, ein großer Abstand.

Vier Arten von Angaben sind zulässig: Zeitpunkte, für die Cantor selbst oder Zeitgenossen eine Erkrankung ausdrücklich festhielten. Zeiten, für die Universitätsakten eine Beurlaubung wegen Krankheit verzeichnen. Klinikaufenthalte, die durch verlässliche Unterlagen belegt sind. Und die Bezeichnungen, die spätere behandelnde Ärzte und Historiker dafür verwendeten.

Drei Dinge sind dagegen zu unterlassen. Einen Verstorbenen nach heutigen Kriterien diagnostizieren. Aus dem Inhalt seiner Werke auf eine Erkrankung zurückschließen. Oder ein äußeres Ereignis zur Krankheitsursache erklären, nur weil es zeitlich nahe an einer seelischen Krise lag. Hält man diese Grenzen ein, ergibt sich aus den Unterlagen folgendes Bild.

Im Frühsommer 1884 kam es zur ersten eindeutig dokumentierten schweren Krise. Am 21. Juni schrieb Cantor an Mittag-Leffler, es sei ihm zuvor nicht gut gegangen, und gegenwärtig fehle ihm die geistige Frische zur wissenschaftlichen Arbeit. Von dieser Krise erholte er sich verhältnismäßig rasch. Moderne Biografien schreiben häufig ohne Weiteres, er sei 1884 in eine Klinik gekommen. Die heute öffentlich überprüfbaren Archivalien belegen den Zeitpunkt der Krise aber wesentlich besser als konkrete Aufnahme- und Entlassungsdaten.

Für die Jahre 1899 und 1900 wird die Aktenlage erneut deutlich dichter. Ein Verwaltungsbeamter der Universität berichtete dem zuständigen Minister über Cantors Gesundheitszustand und bezeichnete die damalige Krise als besonders schwer. Das sind amtliche Unterlagen zu seinem Dienstverhältnis. Für mehrere spätere Wintersemester halten die Lehrverzeichnisse ausdrücklich fest, dass er wegen Krankheit beurlaubt war. Von 1911 bis 1913 folgten weitere zusammenhängende Krankheitsbeurlaubungen; im Sommer 1913 ging er in den Ruhestand. Das sind belastbare Belege. Aber sie belegen eine Beurlaubung wegen Krankheit. Daraus darf man nicht unversehens einen Klinikaufenthalt in jedem dieser Semester machen.

Gegen die Erzählung vom vollständigen Rückzug aus dem akademischen Leben sprechen außerdem diese Tatsachen: Seine letzte Lehrveranstaltung war Analytische Mechanik im Wintersemester 1910/11. Auch nach dem Ruhestand beteiligte er sich noch an Fakultätsangelegenheiten. Auf Fakultätsakten findet sich seine Unterschrift noch am 16. Mai 1914. Und was ist mit dem Satz, Kronecker habe ihn in den Wahnsinn getrieben?

Auch dafür bleibt Schoenflies’ Aufsatz von 1927 die wichtigste frühe Quelle. Er schrieb, das mehr als ein Jahrzehnt andauernde Zerwürfnis habe an Cantor genagt. Zugleich hielt er es für möglich, dass der lebenslange Kampf mit dem Kontinuumsproblem eine Rolle gespielt habe.

Einen entscheidenden Satz lassen die späteren Erzählungen fast immer weg: Schoenflies selbst erklärte es für grundfalsch, Kronecker die alleinige Schuld an der Depression von 1884 zu geben.

Die frühe Fassung besagt also: Der wissenschaftliche Streit und das schwierige Problem könnten auslösende Faktoren gewesen sein. Erst später wurde daraus die Kurzform: Verfolgung führte zum Wahnsinn.

Der zweite wichtige Knotenpunkt dieser Überlieferung war das englischsprachige populäre Mathematikerbuch von 1937, dasselbe wie in der zehnten Folge. Aus persönlichen Konflikten, dem Verhältnis zwischen Vater und Sohn und Fragen der Identität machte es eine hochdramatische psychologische Lebensgeschichte. Spätere Mathematikhistoriker haben seine Verlässlichkeit gerade in diesem Teil scharf kritisiert. Weil es lange kaum andere gut lesbare englischsprachige Biografien gab, konnte sich seine Erzählung besonders leicht verbreiten. Die Archivforschung brachte zwei Korrekturen an, die in entgegengesetzte Richtungen weisen.

Erstens: Cantor selbst sah 1884 in den Reibereien tatsächlich einen Auslöser seiner damaligen Niedergeschlagenheit. Man kann also auch nicht umgekehrt behaupten, der Konflikt habe überhaupt keinen Einfluss gehabt. Zweitens: Nach den späteren Erinnerungen eines Arztes und dem wiederkehrenden Verlauf der Krisen lassen sich äußere Konflikte nicht als die Krankheitsursache behandeln. Allenfalls kamen sie als auslösender oder verschärfender Faktor infrage.

Ein Zeugnis eignet sich besonders dazu, die literarische Kausalität vom zu tiefen Forschen und dem anschließenden Zusammenbruch aufzulösen: Cantors langjähriger Hausarzt riet der Familie während seiner Erkrankung gerade dazu, ihn zum mathematischen Arbeiten zu ermuntern. Mathematik beruhige ihn und helfe bei seiner Erholung.

Mit dem Krankheitsnamen, der in modernen Veröffentlichungen häufig auftaucht, sollte man äußerst zurückhaltend umgehen. Einer der Ärzte, die Cantor später behandelten, beschrieb den Verlauf mit einem damaligen klinischen Begriff: wiederkehrende Krisen, dazwischen Phasen, in denen er seine Arbeit wieder aufnehmen konnte. Einige heutige Historiker halten das für besser mit den Unterlagen vereinbar als die Behauptung, man habe ihn in den Wahnsinn getrieben. Bis hierher lässt sich gehen. Einen Schritt weiter, und man stellt einem Menschen eine Diagnose aus, der vor hundert Jahren gestorben ist, von dem keine vollständige Krankenakte vorliegt und den niemand mehr befragen kann.

Hier auf Genauigkeit zu bestehen, dient nicht dem Schutz irgendeines Rufes. Sobald man sagt, jemand habe Cantor in den Wahnsinn getrieben, verändert sich der Sinn der ganzen Geschichte. Dann handelt sie von Böswilligkeit statt von zwei verschiedenen Maßstäben. Eine Geschichte über Böswilligkeit lässt sich leichter erzählen und leichter behalten. Nur verdeckt sie das, worum tatsächlich gestritten wurde.

Und darüber wurde hundert Jahre später immer noch gestritten.

8 Was heißt existieren

Im Jahr 1900 legte Hilbert auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris seine berühmte Problemliste vor. An erster Stelle stand das Kontinuumsproblem. Spätestens jetzt war es nicht mehr Cantors privates Forschungsvorhaben. Es stand ganz vorn auf der Tagesordnung der künftigen Mathematik. Später sagte Hilbert etwas, das noch berühmter wurde. Sinngemäß: Niemand dürfe die Mathematiker aus dem Paradies vertreiben, das Cantor geschaffen habe. Meist wird der Satz als Beleg dafür angeführt, dass Cantor am Ende doch gesiegt habe.

Tatsächlich zeigt er noch etwas anderes. Wenn zu diesem Zeitpunkt jemand aufstehen und sagen musste, man dürfe sie nicht vertreiben, dann gab es offenbar Menschen, die eben das vorhatten. Hier sprach einer der einflussreichsten Mathematiker Deutschlands. Und er verteidigte etwas, mit dem längst seit Jahren gearbeitet wurde. Dieser Streit war 1900 nicht zu Ende. Unter neuen Bezeichnungen und mit anderen Beteiligten ging er noch dreißig Jahre weiter.

Kehren wir zum Ausgangspunkt zurück. 1874 eröffnete Cantor mit dem Größenvergleich über die Abzählbarkeit eine neue Sicht. Zugleich gab er ein Intervallverfahren an, das aus einer Aufzählung eine darin fehlende reelle Zahl bestimmt. Deshalb müssen wir hier drei Fragen auseinanderhalten: den reinen Schluss auf Existenz, ein Konstruktionsverfahren und die Anerkennung abgeschlossener unendlicher Gesamtheiten. Kronecker verlangte eine andere Art von Existenz: Wenn du sagst, es gebe etwas, dann stell es für mich her, in endlich vielen Schritten, nach eindeutigen Regeln. Die Alltagssprache trennt diese Bedeutungen nicht. Wenn in der Schublade ein Stift liegt, heißt das gewöhnlich, dass man ihn herausnehmen und zeigen kann. Das mathematische „Es gibt“ kann aber auch etwas anderes bedeuten: Ich habe bewiesen, dass die Annahme, es gebe diesen Gegenstand nicht, zu einem Widerspruch führt.

Meist merkt niemand, dass das zwei verschiedene Dinge sind. Denn meistens lässt sich der Gegenstand tatsächlich hervorholen.

Im Alltag geht das fast immer. Im Kühlschrank ist Milch. In diesem Buch steht jener Satz. An diesem Schlüsselbund hängt ein Schlüssel, der die Tür öffnet. Jede dieser Aussagen lässt sich an Ort und Stelle einlösen.

Also fragt niemand: Wenn sie sich nicht einlösen lässt, gilt das „Es gibt“ dann noch?

Erst wenn ein Beweis „Es gibt“ sagt und den Gegenstand dennoch nicht vorweisen kann, wird der Unterschied sichtbar. Dann geht der Streit nicht mehr darum, ob dieser eine Satz richtig ist. Er geht darum, wie man „Es gibt“ verwenden darf. Ein Beweis kann klären, welche Folgen verschiedene Verwendungen haben und wie sie zusammenhängen. Wenn die Gegenseite aber nicht dieselben Grundannahmen teilt, kann ein Beweis allein beide Seiten nicht zwingen, denselben Maßstab für Existenz anzulegen. Darüber wird die Mathematik noch dreißig Jahre streiten. Und beim nächsten Mal werden die Fronten sehr viel weiter reichen.

Es wird weitergerechnet. Doch was als Mathematik zählt, ist noch nie abschließend geklärt worden.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Quellen beziehen sich auf die historischen Einzelheiten und die strittigen Deutungen dieses Essays. Archivnachweise, antike Literatur und moderne Rekonstruktionen sind nicht dieselbe Art von Beleg.

• Cantors Arbeit von 1874 über reelle algebraische Zahlen: Zugang zur Originalveröffentlichung
• Robert Gray: Cantor und die transzendenten Zahlen
• Cantor Trio: Abzählbarkeit, reelle Zahlen und reelle algebraische Zahlen
• Der Cantor-Artikel im Dictionary of Scientific Biography, bereitgestellt von der Universität St Andrews
• Deiser zum Briefwechsel Cantor–Dedekind: Die Veröffentlichung von 1874