数学 · 13 / 25
数えきれないもの
一対一に対応させることで無限を測る。カントールは大小を問う方法を変え、同時に、存在とは何か、何をもって証明とするのかという対立を浮かび上がらせた。
この篇の目次
一 見えているのに、信じられない
1877年6月29日、カントールはデデキントに手紙を書いた。たったいま一つのことを証明した。ところが、その結果に、証明した本人が落ち着いていられなかった。
32歳。ハレ大学で教えていた。手紙で伝えようとしていた発見が覆したのは、ほかの誰かの定理ではない。それまでの自分の考えだった。
一本の線分上の点と、正方形の中の点を、一対一に対応させることができる。線分のどの点にも正方形の点を一つずつ割り当てられ、正方形の側にも、割り当てられずに残る点はない。余りも重複もない。正方形は線分より次元が一つ多い。ならば点の数も、ずっと多いはずではないか。
ところが、一対一に対応するかどうかで比べれば、両者の点は同じだけある。
この結果はあまりにも意外で新しく、デデキントが正しいかどうか判断してくれるまでは、とても平静に戻れそうにない。カントールは手紙にそう書いた。そして、のちに数えきれないほど引用される、あのフランス語の一文が続く。「私には見えている。だが、信じられない」。
この一文だけがフランス語で、手紙のほかの部分はドイツ語だった。ここで言語が切り替わっていることは確かだが、なぜそうしたかは、この一文だけではわからない。3日後、デデキントは返事を書いた。論証を検討したが穴は見つからなかった、と祝意を伝えている。「見えているのに信じられない」は、しばしば一つの哲学的な態度として語られる。証明はできた。それでも心では認めようとしない人の姿として。
実際の場面はもっと日常的で、そのぶん生々しい。同業者に論証の確認を頼む私信だったのだ。書き手は、自分でも疑わしく思う仕事をしたばかりだった。誰かに「もう一度見てくれないか」と言いたかった。
デデキントは、何が本当の問題かもすぐに見抜いていた。この一対一の対応は、連続性まで保つことはできない。線分上で近くにある点どうしが、正方形の中でも近くにあるように、その近さを保って対応させるわけにはいかない。
だから、点が同じだけあるという結果で、一次元と二次元の違いが消えたわけではない。わかったのは別のことだ。一対一に対応するかどうか、それだけでは次元を定義できない。
この回でたどるのは、対応をつけるという方法を無限の物差しにしたあと、何が起きたかである。
その先が、いっそう興味深い。この方法によってカントールは、誰にも反駁できない一連の結論を得た。それと同時に、その結論を導く方法自体、数学では認めるべきでないと考える人々がいた。
結論が正しいかどうかを争っていたのではない。
何ができれば、証明したことになるのかを争っていた。
一対一に対応させる方法そのものは、何も珍しくない。羊飼いが群れを確かめるときにも使っていた。数えるのではなく、余るものがあるかを見る。第1回に出てきた、数えるものごとに異なる記号を使っていた書記たちも、同じことをしていた。奇妙なのは、数え終わらないものにこの方法を使うと、何が起きるかだ。
二 数え終わるもの、終わらないもの
話をはっきりさせるために、まず、ごく日常的な動作をほどいてみよう。
ものが二山ある。どちらが多いか知りたければ、普通はそれぞれを数えて比べる。だが、数えなくてもできる、もっと素朴な方法がある。こちらの山から一つ、あちらの山から一つ取り、対にして除く。また一対取って、除く。両方の山が同時になくなれば、同じ数だ。片方が先になくなり、もう片方に残れば、残ったほうが多い。この方法には一つ利点がある。それぞれが全部でいくつあるか、知る必要がない。
だから、数え終わらないものにも使える。
自然数は一つのあとにまた一つと続き、数え終わることがない。偶数も同じだ。日常の感覚では、偶数は自然数の半分なのだから、その数は少ないはずだ。
ところが、対をつくってみるとどうか。1には2、2には4、3には6を対応させ、そのまま続けていく。どの自然数にも偶数が一つ対応し、どの偶数にも相手がいる。どちら側にも余りはない。つまり、同じだけある。
カントール以前にも、このことに気づいた人はいた。たいていは、無限を相手に日常の「多い」「少ない」を使ってはいけない、使えばおかしなことになるという戒めにされた。200年以上前、ガリレオもこの種の事例を書いている。彼の結論は、多い、少ない、等しいという言葉は、無限にはそもそも適用できない、というものだった。先人たちはここに、立ち止まるべき合図を見た。これ以上は問うな、と。カントールは、その戒めを逆向きに使った。停止標識を、行く先を示す道しるべにしたのだ。
先人たちが、ここまでだと言った場所で、彼は問うた。では、その先へ行けば何が見えるのか。
最後まで数えなくても対応はつけられる。ならば、それを使えばいい。自然数と一対一に対応するものは、どれも同じ大きさとみなす。そうしたものは、一列に並べられる。一番、二番、三番と、何一つ漏らさず番号を振れる。そこで彼は、それまで誰も本気で問わなかったことを問うた。一列に並べることさえできない集まりは、あるのか。1874年の論文で、答えを出した。ある。
その論文が証明したことは、実は二つある。第一に、実代数的数、つまり零でない整数係数多項式の根になる実数は、すべて一列に並べられる。第二に、どんな実数の列を与えても、その列に載っていない実数が必ずある。表題に書かれていたのは第一のほうだけだった。「すべての実代数的数の集合の一つの性質について」という意味の題だ。実数は一列に並べられない、という最も端的な言い方は、刊行された論文では序文の末尾の注記にすぎない。ワイエルシュトラスが、投稿原稿には入れないほうがよい、校正の段階で注として付け加えればよいと助言し、彼はそれに従った。デデキントへの手紙では、刊行版の内容を抑えたのは、一部には「当地の事情」のためだと書いている。それがどんな事情だったかは、書かなかった。
二つを合わせれば、零でない整数係数多項式のどれの根にもならない実数が存在することが、すぐにわかる。たまたま一個だけ、そういう数が紛れ込んでいるのではない。実数全体が、一列に並ぶものとは違う大きさを持つことが、ここで姿を現す。この推論は、よく見ておきたい。このあとに続く論争の種が、ここにある。
二つの結果を組み合わせれば、大きさを比べることで超越数の存在を導ける。ただし、1874年の原論文はそれだけではない。任意の実数列から、その列に漏れている実数を構成する、区間を入れ子にしていく方法も示している。実代数的数を列挙したものにこの手順を適用すれば、超越数を一つ定められる。したがって、まったく構成を伴わない存在証明だとは言えない。ここで、広く流布している年代の取り違えも正しておこう。1874年の証明は、のちに有名になる対角線論法ではない。
使ったのは、区間を入れ子にする方法だった。誰かが実数の無限に長い一覧を渡してきたとする。まず一つの区間の中で、一覧に沿って適切な二つの数を選び、それを新しい左右の端点にして、もっと小さな区間をつくる。その中でまた選び、また狭める。それを続けていく。幾重にも入れ子になった区間が最後に絞り込む位置は、元の一覧にはありえない。この論証は実数の連続性を使う。のちの証明のように、一桁ずつ数字を書き換えていくわけではない。
二つの証明の間には17年あり、発想もまるで違う。ところが、後世の教科書はしばしば、1891年の方法を1874年の論文に持ち込んでしまう。一人の人間が二度にわたって成し遂げた別々の仕事が、一つに押しつぶされる。
近年の資料によって、もう一つ、以前よりはっきりしてきたことがある。1873年末、カントールとデデキントは盛んに手紙を交わしていた。代数的数を一列に並べられるという部分には、デデキントの実質的な貢献があった。カントールは私信で礼を述べ、その意見や、いくつかの要点の示し方が大きな助けになったと書いている。だが、刊行された論文にデデキントの名はない。その後、デデキントは返事をしなくなった。二人の文通は3年近く途絶え、再開したのは1876年10月だった。
したがって、二つの話を分けなければならない。第一の定理の証明には、デデキントの仕事が含まれている。一方、実数は一列に並べられないという第二の定理については、カントール自身の業績だとする証拠が、今なおきわめて強い。
三 ひとりだけの闘いではなかった
後世の一般向けの語りでは、この歴史はしばしば、一人の男と数学界全体との闘いに仕立てられる。
だが、両極端の説明はどちらも違う。数学界がこぞって彼を狂人扱いした、というのは違う。反対していたのはクロネッカー一人だけだった、というのも違う。何がどこまで受け入れられたかは、一様ではなかった。
初期に開発した点集合の方法は、すぐに解析の研究に取り入れられ、1870年代にはすでに使う人がいた。1883年に集合の一般理論の基礎を論じた著作が刊行されると、かなり好意的な論評も出た。1890年代には、カントールとデデキントが切り開いた集合の言葉が、新しい世代の数学に広がりはじめた。
1890年から1891年にかけて、彼はドイツ数学者協会の創設に加わり、初代会長を務めた。1895年と1897年には、集合論についての最後の重要な二論文が、当時最も権威ある数学誌の一つに掲載された。編集長はクラインだった。
だから、1890年代のカントールが数学の専門家たちの世界から追放されていた、という話は、制度上の事実と合わない。より正確には、核心にある考えはなお論争の的だったが、もはや周縁の奇説として無視することはできなくなっていた。そして、反対も単なる感情ではなかった。
すでに完成した無限の全体を、正当な数学的対象として認めることに反対する人がいた。ものを提示せずに存在を証明することへの反対もあった。これについては、あとで詳しく見る。また、間違っているとは思わないが、超限の研究は抽象的すぎて、当面何の役に立つのかわからないという人もいた。当時の大多数にとって、初期の超限順序数は、使い道のない思弁に見えたのだ。そして、支持か迫害かという二分法を、とりわけ見事に崩してくれる人物がいる。
ミッタク＝レフラーはカントールの重要な支持者であり、その仕事に国際的な発表の場を提供した。ところが1885年前後、この支持者は、きわめて抽象的なある原稿を発表しないよう勧めた。こういうものは100年早いのかもしれない。いま出せば、かえって研究者としての君の歩みを損ないかねない。おおむね、そういう判断だった。カントールはひどく不快に思い、その後、その雑誌から距離を置いた。これは哲学上の反対ではない。むしろ編集者としての判断に近い。読者に届くのか。出すなら、いまなのか。
最も大切な支持者が、いちばんよい仕事をしまっておくよう勧める人でもありうる。
支持か迫害かという二分法より、このほうが学問の現場の実情に近い。ある人の仕事に発表の場を用意したいと思うことと、その人のある論文については、先へ行きすぎて読者がついていけないと思うことは、十分に両立する。
四 対角線
1891年、カントールは別の証明を発表した。のちに対角線論法と呼ばれるものだ。1874年の証明よりずっと簡単で、ずっと広く使える。数式を一つも使わずに、最後までたどることができる。
まず、無限に長い二者択一の列を考えよう。どの位置にも二つの可能性しかなく、それを甲と乙と呼ぶ。位置は無限にあり、一つひとつが甲か乙のどちらかになっている。
ここで誰かが一覧を持ってきて、こういう列はすべて載せたと言う。一番、二番、三番と続き、一つも漏れていないという。
一行目の一番目の位置を見る。甲と書いてあれば、新しくつくる列の一番目には乙と書く。乙なら、甲と書く。次に、二行目の二番目を見る。同じように、反対のほうを選ぶ。
三行目の三番目、四行目の四番目。そのまま続けていく。
では、こうしてできた新しい列を見よう。
一行目とは一致しない。一番目の位置が違うからだ。二行目とも一致しない。二番目が違う。三行目とも、三番目が違う。一覧のどの行を持ってきても、必ず違う。
したがって、この一覧には全部載っている、という主張は成り立たない。
しかも、この論証の対象は実数に限られない。どんな集合についても、その各要素で二者択一をすること、言い換えれば、その集合のあらゆる部分集合をまとめたものに適用できる。結論は、どんな集合からも、それより厳密に大きな集合をつくれる、ということだ。いまの教科書では、実数の小数の桁を書き換える形で説明されることが多い。それは後世のわかりやすい書き方であり、1891年の原文をその一つの形だけで捉えてはいけない。この論証がいちばん美しいのは、何を証明したかよりも、相手の持ち物をどうやって相手自身に突きつけるかにある。
一覧から何が漏れているか、先に当てる必要はない。一覧そのものを使って、漏れているものを明確に定めるのだ。何行渡してきても、その行を使う。どれだけ出してきても、その分を受け取る。一覧が完全であろうとすればするほど、新しい列はすんなりできあがる。
ここが、1874年の証明より強いところだ。あの証明は実数の性質を必要とし、実数にしか使えなかった。いま見た可算の場合には、行に番号をつけた一覧があれば足りる。任意の集合へ一般化するときは、その集合から、そのすべての部分集合を集めた冪集合への任意の写像から始める。そして、自分の像に自分自身が含まれていない要素だけを集め、部分集合をつくる。
このようにしてはじめて、どんな集合でも、その冪集合のほうが厳密に大きいという結論が得られる。
最後に行き着くのは、そこだ。どんな集合からも、もっと大きなものをつくれる。ならば、いちばん大きなものはない。
無限は一つの大きさではない。どこまでも上へ続く階段なのだ。
第2回の奇数と偶数を使った背理法も、第4回の二重の背理法も、これと同じ仲間である。まず相手の仮定を受け入れる。そして、その仮定に自分で歩いてもらい、もう立っていられない場所まで進ませる。
五 クロネッカーは何を求めたのか
この論争を理解するには、まず「彼は無限が嫌いだった」という説明を消しておいたほうがいい。クロネッカーの計画は、数学をできるかぎり整数の演算と、有限で、明確で、実行可能な手順に還元することだった。彼にとって本当に基礎となる対象は整数である。分数も、代数的数も、解析に登場する対象さえも、整数の算術的な関係を通して扱えるようにすべきだった。
そして、あるものが「存在する」と言うのに、存在しないと仮定すれば矛盾する、と背理法で示すだけでは足りない。できれば、有限の方法で、そのものを実際につくってみせてほしい。彼の看板のように引用されるドイツ語の言葉がある。「整数は神がつくった。あとはすべて人間の仕事である」。
この言葉の出所をたどる道筋は、一本しかない。確認できる最古の印刷された証言は、彼自身の論文ではなく、死後の1893年にヴェーバーが書いた追悼文だ。クロネッカーが亡くなったのは1891年末だから、時期の近い、同時代人の回想ではある。それでも、その場の速記録ではない。
よくある紹介では、1886年のある講演で述べた言葉とされる。その帰属には根拠があるのかもしれない。だが、本人の1886年の講演原稿が見つかるまでは、1893年の印刷された証言と同じ確かさで扱うべきではない。また、ヴェーバーがこの言葉を書いたのは、ある人が突然、宗教的な格言を口にした場面を描くためではなかった。一つの数学上の方針を要約していたのだ。
これで、どこに衝突があったかが見えてくる。
可算であることと非可算であることを組み合わせれば、古典的な存在論証が得られる。だが、それが1874年の原論文のすべてではない。そこにある区間の手順は、超越数を定めるためにも使える。したがって、クロネッカーとカントールの対立を、この証明は対象をまったく構成しないからだ、と片づけることはできない。完成した無限の全体を認めるのか、有限の手順を求めるのか、存在の基準をどこまで広げるのか。その論争の中に置かなければならない。
新しいものを受け入れたがらない人が、一人いたという話ではない。「存在する」とはどういうことかについて、二つの考えが、同じ定理の上でぶつかったのだ。
しかも、どちらにも筋が通っている。一方は言う。「ないはずがないと証明した。だから、ある」。もう一方は言う。「あると言うなら、見せてくれ」。日常生活なら、後者は少しも無理な要求ではない。
棚にドライバーがあると言うので、出してくれと頼む。それを意地悪とは呼ばない。
かといって、クロネッカーを後世の構成主義の預言者に仕立てるべきでもない。本人の研究が、この基準をいつも百パーセント貫いていたわけではなく、解析の仕事では従来の道具も使っていた。彼が残したのは、禁止事項の一覧というより、算術化を進める方法論の方針だった。
前の回で見たように、「算術化」という言葉の、最も早くまでたどれる用例は、彼の1887年の論文にある。ところが後世、この言葉でひとまとめにされた仕事の多くは、まさに彼が反対していたものだった。
六 告発の中身
クロネッカーがカントールを抑えつけたという話は、いくつも流布している。一つずつ調べると、証拠の確かさにはずいぶん差がある。最も確かなのは、1877年の掲載の遅れだ。
その年の7月12日、カントールはベルリンの数学誌に原稿を送った。11月になっても掲載されず、デデキントへの手紙で強い不満を漏らしている。一時は取り下げて別の雑誌へ送ろうとしたが、デデキントが思いとどまらせた。論文は最終的に、通常1878年の巻とされる巻に載った。投稿した、長く待たされた、取り下げようとした。この経過は明らかだ。
だが、誰が遅れを引き起こしたかは、そこまで明らかではない。
この時期の史料を調べた研究者は、遅れにはクロネッカーが関わっていた可能性が高い、と述べている。その雑誌の編集に携わる人々の間で、大きな影響力を持っていたからだ。つまり、人間関係や立場、ほかの資料を合わせて導いた歴史的な判断である。「この原稿は差し止めることにした」と書かれた文書が残っているわけではない。
もう一つ、一般向けの伝記がよく間違える確実な事実がある。1877年のクロネッカーは、その雑誌の正式な編集者ではなかった。当時の正式な編集長は別の人物で、1880年まで務めている。クロネッカーが編集者として名を連ねるのは1881年から、単独で担うのは1889年以降だ。
したがって、「クロネッカーは1877年、編集長としてカントールの論文を握りつぶした」という書き方は誤りである。書けるのはここまでだ。ベルリンの数学界とその雑誌に強い影響力を持っており、彼の反対が原稿の扱いを左右したと疑う理由はある。ただし、その時点で正式な決定権を握っていたわけではない。
そこから先へ行くと、証拠は急に薄くなる。ドイツのすべての雑誌を支配し、カントールに発表させなかったという話は、明らかに成り立たない。カントールはその後、ほかの重要な雑誌に数多く発表している。また、彼の昇進をことごとく一人で拒否したと言うなら、制度上の事実として使うには、任用委員会の記録が別途必要だ。二人の数学上の対立から逆算してよいことではない。そして、何より切り分けて調べたいのが、最も広まったあの言葉である。通俗的な物語によれば、クロネッカーはカントール本人を「青年を堕落させる者」と呼んだという。
たどることのできる重要な出所は、1927年のシェーンフリースの論文だ。だが彼は、クロネッカーがカントールを「青年を堕落させる者」と呼んだ、とは書いていない。元の文の趣旨はこうだ。クロネッカーの態度は、研究者として、また教師としてのカントールが青年を堕落させているかのような印象を、否応なく与えるものだった。そう言っても言いすぎではない。この差は大きい。
第一に、1927年はクロネッカーの死から36年後であり、問題の対立からはおよそ40年がたっている。
第二に、原文が述べているのは、その態度が与えた印象だ。その場で浴びせられた罵声を伝えているのではない。
のちに広く読まれた英語の伝記は、冒頭で、クロネッカーはカントールを科学の詐欺師、裏切り者、青年を堕落させる者とみなしていた、と要約した。それが百科事典や一般向けの本に繰り返し引用されるうちに、最後の表現は、引用符をつけたクロネッカー本人の発言へと変わっていった。第10回でも見た過程である。誰かがまず要約し、後の人が、その要約に残っていた疑問符を取り払う。
この二つの話の伝わり方には、もう一つ共通点がある。前の話では、1896年の史料に基づく伝記から文学的な場面が生まれ、1937年に疑問符が消えた。今回は1927年の「印象」が、同じ1937年のあの本で、発言の引用になった。同じ本が、二度、同じことをした。そしてもう一つ、生涯相いれぬ宿敵どうしという物語には、まるで収まらない事実がある。
1884年の夏、初めて重い不調に陥ったあと、カントール自身も一時、心身の落ち込みを周囲との摩擦に結びつけていた。8月18日、ミッタク＝レフラーへの手紙に、不調のもとは厳しい仕事ではなく、避けられたはずの摩擦だと書いている。その後、彼はクロネッカーとの和解を決め、手紙を送った。史料によれば、クロネッカーの返事は礼を尽くした、人間味のあるものだった。二人の私的な関係は、これによって満足できる程度まで回復した。
数学上の意見の違いは消えなかった。それでも1884年以降、二人は私的な交際を断っていたわけではない。違いは紙の上に残った。口を利かなくなったのではなかった。
七 病
この節では、言えることと言えないことの間に、大きな隔たりがある。
言えることは四種類ある。本人や同時代人が、病状を明確に記録した時期。大学の記録に残る病気休暇の時期。信頼できる資料で入院が確認できる時期。そして、後年の治療者や歴史家がどんな用語を使ったか。
してはいけないことは三つある。今日の診断基準で、亡くなった人を診断しない。作品の内容から病気を逆算しない。外で起きた出来事と精神的な危機の時期が近いからといって、それをそのまま病因にしない。この線を守ると、資料からわかることは次のようになる。
明確な記録がある最初の重い発症は、1884年の初夏である。6月21日、ミッタク＝レフラーへの手紙に、ここしばらく調子が悪く、いまも科学の仕事に取り組むだけの頭の冴えがないと書いている。このときの回復は比較的早かった。現代の伝記には、1884年に入院したとあっさり書かれることが多い。だが、現在公開され、照合できる記録は、この危機がいつ起きたかについてはかなり確かである一方、具体的な入院日や退院日については、それほど確かではない。
1899年から1900年にかけては、記録が一段と豊富になるもう一つの時期だ。大学の校務担当官が所管大臣に健康状態を報告し、今回の危機はとりわけ深刻だと述べている。これは大学での勤務に関する行政文書である。その後、いくつかの冬学期の授業記録には、病気休暇と明記されている。1911年から1913年にも病気休暇が続き、1913年夏に退職した。これらは確かな証拠だが、書くなら「病気休暇」でなければならない。どの学期もずっと入院していた、という話にすり替えてはいけない。
一方、学問の世界から身を引いたという物語にそぐわない事実もある。最後に教えたのは、1910年から1911年の冬学期の解析力学だった。退職後も学部の仕事には関わり、学部文書では、遅いものだと1914年5月16日の署名まで見つかる。では、「クロネッカーに追い詰められて狂った」という話はどうか。
ここでも、初期の最も重要な出所は1927年のシェーンフリースである。彼は、十数年に及ぶ不和がカントールの心をむしばんだと書き、同時に、生涯にわたって連続体問題と格闘したことも、影響したのではないかと考えていた。
だが、その後の物語がほとんどいつも省いてしまう、肝心な一文がある。1884年の抑うつをすべてクロネッカーのせいにするのは、根本的な誤りだ。シェーンフリース本人が、そう述べている。
最初の説明では、学問上の対立とあの難問が、きっかけになった可能性がある、という話だった。それが後になって、「迫害されて狂った」という一筋の話に縮められた。
広まる過程の二つ目の節目は、1937年の、英語で書かれた一般向けの数学者伝だ。第10回にも出てきた、あの本である。人物どうしの衝突、父と子の関係、アイデンティティーをめぐる問題を、ひどく劇的な心理伝記に仕立てている。この部分の信頼性については、後の数学史家から厳しい批判が出た。それでも長いあいだ、ほかに読みやすい英語の伝記が乏しかったため、この物語はとりわけ広まりやすかった。史料に基づく研究は、二つの修正を加えた。しかも、逆の方向へ。
一つ目。カントール自身、1884年には、摩擦がこのときの落ち込みのきっかけになったと確かに考えていた。だから、逆に対立はまったく影響しなかったと言ってもいけない。二つ目。後年の医師の回想と発症の周期を見るかぎり、外部の対立を病因とすることはできない。せいぜい、発症を促したり、症状を悪化させたりする要因の一つである。
研究の深みに入りすぎて壊れてしまった、という文学的な因果関係を、とりわけ鮮やかに崩す記録がある。長年のかかりつけ医は、病気のあいだ、むしろ家族に、数学をするよう勧めてほしいと助言していた。数学の仕事は彼を落ち着かせ、回復の助けになるからだ。
現代の文献によく出てくる病名についても、きわめて慎重であるべきだ。後年彼を治療した医師の一人が、当時の臨床用語を使い、繰り返し発症する一方、その合間には仕事に戻れるという経過を記述している。現代の歴史家の中には、追い詰められて狂ったという話より、こちらのほうが資料に合うと考える人もいる。書けるのは、そこまでだ。もう一歩踏み込めば、100年前に亡くなり、完全な診療記録もなく、あらためて問診することもできない人に、こちらが診断書を書くことになる。
ここにこだわるのは、誰かの名誉を守るためではない。「追い詰められて狂った」という説明が通ってしまうと、この歴史全体の意味が変わるからだ。二つの基準をめぐる話が、悪意をめぐる話になる。悪意の物語は語りやすく、覚えやすい。だが、それによって、本当に争っていたことが見えなくなる。
本当に争っていたそのことを、100年後にも、まだ争っている人がいる。
八 「ある」とはどういうことか
1900年、パリの国際数学者会議で、ヒルベルトはあの有名な問題の一覧を提示した。第一に置かれたのは連続体問題だった。もはやカントール個人の研究計画ではない。これからの数学が取り組むべき課題の、先頭へ押し出されたのである。のちにヒルベルトは、さらに有名な言葉も残した。カントールがつくったこの楽園から、誰にも数学者たちを追い出させはしない、という趣旨の言葉だ。カントールがついに勝利した証しとして、よく引かれる。
だが、その言葉は別のことも示している。その時点でなお、追い出すなと誰かが立ち上がる必要があった。つまり、本当に追い出そうとする人がいたのだ。語ったのは、当時のドイツ数学界で最も影響力のある人物の一人である。そして、長年すでに使われてきたものを擁護していた。この論争は1900年に終わったのではない。名前を変え、顔ぶれを変え、さらに30年続いた。
出発点に戻ろう。1874年、カントールは、可算性を比べるという新しい見方を与えるとともに、列挙された実数から、そこに漏れている実数を定める区間の手順も示した。したがって、純粋な存在の推論、構成の手順、完成した無限の全体を認めることは、三つの別の問題として分けなければならない。一方、クロネッカーが求めたのは、別の意味での存在だった。あると言うなら、一つつくってくれ。有限回の手順で、明確な規則に従って。この二つの意味を、日常の言葉では区別しない。「引き出しにペンが一本ある」と言えば、普通は、それを取り出して見せられるということだ。だが数学の「ある」には、もう一つの意味がある。ないとすれば矛盾すると、証明した、という意味だ。
たいていは、これが二つのことだと誰も気づかない。たいていは、そのものを本当に取り出せるからだ。
日常生活なら、ほとんどいつでもできる。冷蔵庫に牛乳がある。この本にはあの一文がある。この鍵束の中に、扉を開ける鍵がある。どの言葉も、その場で裏づけられる。
だから、誰も問わない。取り出して見せられなくなっても、「ある」という言葉は、まだ通用するのか。
証明が「ある」と告げても、ものを取り出せない。そのときに初めて、違いが露わになる。そこで争われるのは、もはや定理が正しいかどうかではない。「ある」という言葉を、どう使うべきかである。証明によって、使い方の違いが何をもたらし、互いにどう関わるかを明らかにすることはできる。だが、同じ土台の前提を受け入れていない相手に、一つの証明だけで、同じ存在の基準を採用させることはできない。数学は、このことでさらに30年争う。しかも次に論争が起きるとき、争いの広がる範囲は、今回よりはるかに大きくなる。
数は、その先も計算されていく。だが、何を数学に数え入れるのかは、まだ一度も決着がついていない。
史料と、さらに読むために
以下の資料は、本文の歴史的な細部や解釈の食い違いに関わるものだ。所蔵記録、古代の文学、現代の研究による再構成は、同じ種類の証拠ではない。