Ce qu’on n’en finit pas de compter

1. Je le vois, mais je ne le crois pas

Le 29 juin 1877, Cantor écrit à Dedekind. Il vient de démontrer quelque chose, et cette découverte l’empêche de tenir en place.

Il a trente-deux ans, enseigne à l’université de Halle, et ce qu’il s’apprête à annoncer ne renverse pas le théorème d’un autre. Cela renverse ce qu’il croyait lui-même.

Les points d’un segment peuvent être associés, un à un, aux points d’un carré. À chaque point du segment correspond un point du carré, et tous les points du carré trouvent leur correspondant, sans manque ni doublon. Le carré a une dimension de plus que le segment. Il devrait, semble-t-il, contenir beaucoup plus de points.

Pourtant, si l’on s’en tient à cette possibilité de les apparier, ils en ont autant.

Dans sa lettre, Cantor explique que le résultat est si inattendu, si nouveau, qu’il aura peine à retrouver son calme tant que Dedekind ne se sera pas prononcé sur sa justesse. Puis vient cette phrase française que l’on citera tant de fois : « Je le vois, mais je ne le crois pas. »

Ces mots sont en français ; le reste de la lettre est en allemand. Cantor change de langue à cet endroit, mais la phrase, à elle seule, ne permet pas de savoir pourquoi. Trois jours plus tard, Dedekind lui répond : il a vérifié le raisonnement, n’y a trouvé aucune faille et le félicite. On a souvent fait de cette phrase une posture philosophique : un homme aurait démontré une chose tout en refusant, intérieurement, de l’admettre.

La situation réelle est plus ordinaire, et plus humaine. C’est une lettre privée dans laquelle on demande à un collègue de vérifier un travail. Son auteur vient de faire quelque chose qui lui paraît suspect à lui-même. Il cherche quelqu’un à qui dire : regardez encore, voulez-vous ?

Dedekind voit aussi, tout de suite, où se trouve le véritable enjeu. Un tel appariement ne peut pas préserver la continuité : on ne peut pas faire en sorte que la proximité des points sur le segment se conserve pour les points qui leur correspondent dans le carré.

Avoir autant de points n’efface donc pas la différence entre une et deux dimensions. Cela dit autre chose : la seule possibilité d’un appariement ne suffit pas à définir la dimension.

Cet épisode raconte ce qui s’est passé lorsque l’on a commencé à mesurer l’infini de cette façon.

Et la suite mérite plus encore qu’on s’y arrête. Cette méthode permet à Cantor d’obtenir des résultats que personne ne parvient à réfuter. Dans le même temps, certains estiment que la manière dont il les obtient ne devrait tout simplement pas être admise.

La dispute ne porte pas sur la justesse des conclusions.

Elle porte sur ce qui permet de dire qu’on a démontré quelque chose.

L’appariement, en lui-même, n’a pourtant rien d’extraordinaire. Les bergers s’en servent pour vérifier leur troupeau : pas besoin de compter, il suffit de voir s’il reste une bête sans correspondance. Les scribes du premier épisode, qui employaient des signes différents selon les choses à compter, faisaient déjà cela. Ce qui devient étrange, c’est le résultat obtenu lorsqu’on applique cette méthode à des choses dont on ne peut pas finir le compte.

2. Ce qu’on peut finir de compter, et le reste

Pour comprendre, il faut décomposer un geste de tous les jours.

Comment savoir lequel de deux tas contient le plus d’objets ? D’habitude, on compte chaque tas, puis on compare. Il existe pourtant une méthode plus élémentaire, qui se passe de nombres. On prend un objet dans chaque tas, on forme une paire et on la retire. Puis une autre paire, et encore une autre. Si les deux tas s’épuisent ensemble, ils contenaient autant d’objets. Si l’un est vide alors qu’il en reste dans l’autre, c’est l’autre qui en avait le plus. L’avantage est simple : on n’a jamais besoin de savoir combien il y en a dans chacun.

On peut donc procéder ainsi même lorsqu’il est impossible d’aller jusqu’au bout du compte.

Les entiers naturels se succèdent sans fin. Les nombres pairs aussi. L’intuition ordinaire nous dit que les pairs ne représentent que la moitié des entiers naturels : il devrait y en avoir moins.

Mais essayons les paires : un avec deux, deux avec quatre, trois avec six, et ainsi de suite. Chaque entier naturel reçoit son nombre pair, et chaque nombre pair a son entier naturel. Aucun ne reste de côté, ni d’un côté ni de l’autre. Il y en a donc autant.

On avait remarqué ce résultat bien avant Cantor. On y voyait généralement un avertissement : nos idées courantes du plus et du moins tournent à l’absurde dès qu’on les applique à l’infini. Plus de deux siècles auparavant, Galilée avait décrit des situations de ce genre. Il en concluait que les mots « plus », « moins » et « égal » ne s’appliquaient tout simplement pas à des quantités infinies. Avant Cantor, on y avait donc lu une consigne : on s’arrête ici, inutile de poser d’autres questions. Cantor retourne l’avertissement. Du panneau « stop », il fait un panneau indicateur.

Là où les autres disaient : pas plus loin, il demande : et qu’est-ce qu’on verrait de l’autre côté ?

Puisque l’appariement fonctionne sans qu’on ait à terminer le compte, servons-nous-en. On dira que toutes les collections que l’on peut apparier aux entiers naturels ont la même taille. Ce sont les ensembles dont on peut disposer les éléments en une suite : numéro un, numéro deux, numéro trois, sans en oublier aucun. Cantor pose alors une question que personne, jusque-là, n’avait sérieusement poursuivie : existe-t-il des collections que l’on ne puisse même pas ranger en une suite ? En 1874, il publie un article dont la réponse est oui.

Cet article démontre en réalité deux choses. D’abord, tous les nombres réels algébriques, c’est-à-dire ceux qui sont racines d’un polynôme non nul à coefficients entiers, peuvent être rangés en une suite. Ensuite, quelle que soit la suite de nombres réels que l’on propose, certains réels n’y figurent pas. Le titre n’annonce que le premier résultat : il est question d’une propriété de l’ensemble de tous les nombres réels algébriques. L’énoncé le plus direct, celui selon lequel les réels ne peuvent pas tous être mis en une suite, ne paraît que dans une remarque ajoutée à la fin de l’introduction. Weierstrass avait conseillé à Cantor de l’omettre dans le manuscrit soumis, quitte à l’ajouter en remarque au moment des épreuves. Cantor suit son conseil. Il écrit à Dedekind que la version publiée est soumise à certaines restrictions, en partie à cause des circonstances locales. Lesquelles ? Il ne le précise pas.

Réunissons ces deux résultats. Il existe nécessairement des nombres réels qui ne sont racines d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers. Et ce n’est pas seulement l’apparition fortuite d’un exemple : l’ensemble des réels révèle ici une taille différente de celle d’une simple suite. Il faut bien voir ce passage du raisonnement. Toutes les disputes à venir y sont en germe.

La comparaison des tailles permet donc de déduire l’existence de nombres transcendants. Mais l’article de 1874 ne s’arrête pas à cette déduction : il donne aussi une méthode d’intervalles emboîtés qui construit, à partir d’une suite quelconque de réels, un réel absent de la suite. Appliquée à une énumération des réels algébriques, elle permet de déterminer un nombre transcendant. On ne peut donc pas présenter l’article comme une preuve d’existence dépourvue de toute construction. Il faut également corriger un télescopage chronologique très répandu : la preuve de 1874 n’est pas le fameux argument diagonal.

Cantor procède par intervalles emboîtés. Supposons qu’on nous remette une liste infinie de nombres réels. À l’intérieur d’un intervalle, on choisit, dans l’ordre de la liste, deux nombres convenables qui serviront de nouvelles bornes, à gauche et à droite. On obtient un intervalle plus petit. À l’intérieur de celui-ci, on recommence : deux nouvelles bornes, un nouvel intervalle, et ainsi de suite. Le point que finit par imposer cette succession d’intervalles de plus en plus resserrés ne peut pas figurer sur la liste initiale. Le raisonnement s’appuie sur la continuité des réels. Il ne consiste pas à modifier des chiffres un à un, comme le fera la méthode ultérieure.

Dix-sept ans séparent les deux preuves, et leurs idées sont entièrement différentes. Les manuels ont souvent transporté la méthode de 1891 dans l’article de 1874. Deux travaux distincts d’un même homme se sont ainsi retrouvés fondus en un seul.

Des documents étudiés plus récemment éclairent aussi un autre point. À la fin de 1873, Cantor et Dedekind échangent beaucoup, et Dedekind contribue substantiellement à la partie qui établit que les nombres algébriques peuvent être rangés en une suite. Cantor le remercie alors dans une lettre privée : ses remarques et sa façon de dégager certains points décisifs lui ont été d’un grand secours. Le nom de Dedekind ne figure pas dans l’article publié. Après cela, Dedekind cesse de répondre. Leur correspondance s’interrompt pendant près de trois ans et ne reprend qu’en octobre 1876.

Il faut donc distinguer deux choses. Dedekind a sa part dans la démonstration du premier théorème. Pour le second, l’impossibilité de mettre tous les réels en une suite, les éléments disponibles continuent de désigner très nettement Cantor lui-même.

3. Une histoire qui dépasse un seul homme

Les récits de vulgarisation ont souvent fait de cette histoire le combat d’un homme seul contre l’ensemble des mathématiciens.

Aucun des deux extrêmes ne tient. Dire que le monde mathématique l’a unanimement pris pour un fou est faux. Dire que Kronecker était son seul opposant est faux aussi. Ses travaux n’ont pas tous été accueillis de la même manière.

Ses premières méthodes relatives aux ensembles de points entrent rapidement dans la recherche en analyse : on les utilise dès les années 1870. Son ouvrage de 1883 sur les fondements de la théorie générale des ensembles reçoit certains comptes rendus franchement favorables. Dans les années 1890, le langage des ensembles qu’il développe, dans une voie également suivie par Dedekind, commence à se répandre parmi la nouvelle génération de mathématiciens.

En 1890 et 1891, il participe à la création de la Société mathématique allemande, dont il devient le premier président. Ses deux derniers grands articles de théorie des ensembles paraissent en 1895 et en 1897 dans l’une des revues mathématiques les plus importantes du moment, dirigée par Klein.

Parler d’un Cantor banni du monde professionnel des mathématiques dans les années 1890 ne correspond donc pas aux faits institutionnels. Ses idées centrales restent contestées, mais il n’est plus possible de les ignorer comme les extravagances d’un marginal. Et les objections ne relèvent pas toutes de l’humeur.

Certains refusent qu’on traite une totalité infinie déjà achevée comme un objet mathématique légitime. Ils refusent aussi les preuves qui affirment l’existence d’une chose sans la fournir ; nous y reviendrons. D’autres ne pensent pas que Cantor se trompe. Ils trouvent seulement ses recherches sur le transfini trop abstraites et n’en aperçoivent pas l’utilité présente. Pour la plupart de ses contemporains, les premiers ordinaux transfinis ont tout l’air de spéculations sans usage. Un homme, en particulier, fait éclater le partage commode entre soutien et persécution.

Mittag-Leffler est un soutien important de Cantor. Il offre à ses travaux une tribune internationale. Pourtant, vers 1885, c’est lui qui lui conseille de ne pas publier un manuscrit particulièrement abstrait : en substance, ce travail a peut-être un siècle d’avance, et le faire paraître maintenant risquerait de nuire à sa carrière. Cantor le prend très mal et s’éloigne ensuite de la revue. Ce n’est pas une objection philosophique. C’est plutôt un jugement d’éditeur : est-ce le bon moment, et les lecteurs pourront-ils suivre ?

La personne qui vous soutient le plus peut aussi être celle qui vous conseille de ranger dans un tiroir ce que vous avez fait de meilleur.

C’est une description de la vie savante bien plus juste que le choix entre soutien et persécution. On peut vouloir donner une tribune à votre travail et trouver, dans le même temps, que tel article va trop loin pour ses lecteurs.

4. La diagonale

En 1891, Cantor publie une autre preuve. Elle prendra le nom d’argument diagonal. Beaucoup plus simple que celle de 1874, elle est aussi beaucoup plus générale. On peut la suivre jusqu’au bout sans écrire un seul symbole.

Imaginons d’abord des suites infinies dans lesquelles chaque place n’offre que deux possibilités : A ou B. Il y a une infinité de places, et deux choix à chaque place.

Supposons maintenant qu’on nous apporte une liste censée contenir toutes ces suites : la première, la deuxième, la troisième, et ainsi de suite, sans en manquer une seule.

Regardons la première place de la première ligne. Si elle porte un A, nous mettons un B à la première place d’une nouvelle suite. Si elle porte un B, nous mettons un A. Puis regardons la deuxième place de la deuxième ligne : là encore, nous choisissons l’autre lettre.

Même chose pour la troisième place de la troisième ligne, la quatrième place de la quatrième ligne, et ainsi de suite.

Regardons maintenant la suite que nous venons de fabriquer.

Elle ne peut pas être celle de la première ligne : la première lettre est différente. Ni celle de la deuxième ligne : la deuxième lettre est différente. Ni celle de la troisième : la troisième lettre est différente. Quelle que soit la ligne choisie dans la liste, notre suite en diffère.

La liste prétendait tout contenir. Cette prétention est fausse.

Et ce raisonnement ne vise pas spécialement les nombres réels. Il porte sur les choix entre deux possibilités pour chacun des éléments d’un ensemble quelconque, autrement dit sur l’ensemble de toutes ses parties. Conclusion : à partir de n’importe quel ensemble, on peut toujours en construire un strictement plus grand. Les manuels présentent souvent l’argument en modifiant les décimales de nombres réels. C’est une version ultérieure commode, pas l’unique forme du texte de 1891. Ce qu’il y a de plus beau dans cette preuve n’est pas tant son résultat que sa manière de retourner contre l’adversaire ce que l’adversaire lui fournit.

Il n’est pas nécessaire de deviner à l’avance ce que la liste a oublié. La liste elle-même donne la règle précise qui définit un objet manquant. Vous me fournissez des lignes, je les utilise. Autant vous m’en donnez, autant j’en prends. Plus votre liste se veut complète, plus elle me facilite la fabrication de la nouvelle suite.

C’est là que cet argument dépasse celui de 1874. Le premier dépendait des propriétés des réels et ne s’appliquait qu’à eux. Dans la version dénombrable que nous venons de suivre, il suffit d’une liste dont les lignes sont numérotées. Pour passer à un ensemble quelconque, on part d’une application de cet ensemble vers l’ensemble de ses parties, puis on forme la partie constituée des éléments qui n’appartiennent pas à leur propre image.

C’est ainsi que l’on établit que l’ensemble des parties d’un ensemble quelconque est toujours strictement plus grand que cet ensemble.

Voilà le point d’arrivée. Quel que soit l’ensemble de départ, on peut en construire un plus grand. Il n’y en a donc pas de plus grand que tous les autres.

L’infini n’est pas une quantité. C’est un escalier qui monte sans fin.

Le raisonnement par l’absurde fondé sur le pair et l’impair dans le deuxième épisode, la double preuve par l’absurde du quatrième et l’argument que nous venons de voir appartiennent à la même famille. On commence par accepter l’hypothèse de l’adversaire, puis on la laisse avancer jusqu’à un endroit où elle ne peut plus tenir.

5. Ce que voulait Kronecker

Pour comprendre la dispute, mieux vaut commencer par effacer la formule : Kronecker détestait l’infini. Son projet est de ramener autant que possible les mathématiques aux opérations sur les entiers et à des procédures finies, explicites, exécutables. Pour lui, les objets véritablement fondamentaux sont les nombres entiers. Les fractions, les nombres algébriques, jusqu’aux objets de l’analyse, doivent pouvoir être maîtrisés au moyen de relations arithmétiques entre entiers.

Affirmer qu’une chose existe ne devrait donc pas se réduire à montrer, par l’absurde, que son inexistence entraînerait une contradiction. Il faudrait de préférence fournir une méthode finie permettant de la construire effectivement. Une phrase allemande lui sert souvent d’emblème : Dieu a fait les nombres entiers ; tout le reste est l’œuvre de l’homme.

Pour retrouver cette phrase, on ne dispose que d’une seule piste documentaire. La plus ancienne attestation imprimée que l’on ait retrouvée n’est pas un article de Kronecker. C’est l’hommage que Weber lui consacre après sa mort, en 1893. Kronecker est mort à la fin de 1891 : il s’agit donc du souvenir encore proche d’un contemporain, mais pas d’une transcription prise sur le vif.

La version courante situe la phrase dans une conférence de 1886. L’attribution a peut-être des fondements. Mais tant qu’on ne dispose pas du texte de cette conférence de sa main, il ne faut pas lui donner le même statut qu’au témoignage imprimé de 1893. Et lorsque Weber rapporte ces mots, il ne dépeint pas un homme qui se serait soudain mis à énoncer une maxime religieuse. Il résume un programme mathématique.

On voit maintenant où se noue le conflit.

En rapprochant dénombrabilité et non-dénombrabilité, on obtient bien une preuve d’existence au sens classique. Mais l’article de 1874 contient davantage : sa procédure par intervalles permet aussi de déterminer des nombres transcendants. Le désaccord entre Kronecker et Cantor ne se ramène donc pas à une preuve qui ne construirait absolument aucun objet. Il faut le replacer dans la discussion sur les totalités infinies achevées, les procédures finies et, plus largement, les critères de l’existence mathématique.

Ce n’est donc pas simplement l’histoire d’un homme qui refuse la nouveauté. Deux manières de comprendre le mot « exister » se heurtent à propos d’un même théorème.

Et chacune a sa cohérence. L’un dit : j’ai démontré que cette chose ne pouvait pas ne pas exister, donc elle existe. L’autre répond : vous dites qu’elle existe, alors montrez-la-moi. Dans la vie courante, cette seconde exigence n’a rien d’excessif.

Vous dites qu’il y a un tournevis dans le placard. Je vous demande de le sortir. Ce n’est pas vous demander la lune.

Il ne faudrait pas davantage faire de Kronecker le prophète du constructivisme à venir. Ses propres recherches n’ont pas toujours respecté intégralement ce critère, et ses travaux d’analyse emploient aussi des outils traditionnels. Ce qu’il laisse ressemble davantage à un programme méthodologique d’arithmétisation qu’à une liste d’interdictions.

Nous l’avons vu dans l’épisode précédent : le plus ancien emploi repérable du mot « arithmétisation » se trouve dans l’un de ses articles de 1887. Or tout cet ensemble de travaux que la postérité réunira sous ce mot est précisément ce qu’il combattait.

6. Les accusations

On raconte bien des choses sur les obstacles que Kronecker aurait dressés devant Cantor. Examinées une à une, ces accusations n’ont pas du tout la même solidité. L’épisode le mieux établi est le retard de publication de 1877.

Le 12 juillet de cette année-là, Cantor soumet un manuscrit à une revue mathématique berlinoise. En novembre, l’article n’est toujours pas paru. Dans ses lettres à Dedekind, il exprime son vif mécontentement et envisage un moment de retirer le texte pour le proposer ailleurs. Dedekind l’en dissuade. L’article paraît finalement dans le volume que l’on date habituellement de 1878. Envoi du manuscrit, longue attente, projet de retrait : cet enchaînement est bien attesté.

L’identité du responsable du retard l’est beaucoup moins.

Les chercheurs qui ont étudié ces archives écrivent que le retard est très probablement lié à Kronecker, dont l’influence était considérable au sein du milieu éditorial de la revue. Il s’agit donc d’un jugement historique fondé sur ses relations, ses positions et d’autres documents. Nous ne possédons pas un ordre signé disant : je décide de bloquer ce manuscrit.

Un autre fait établi est souvent mal rapporté dans les biographies populaires. En 1877, Kronecker ne figure pas officiellement parmi les éditeurs de la revue. Un autre homme en assume la direction, et la conservera jusqu’en 1880. Kronecker n’est nommé comme éditeur qu’à partir de 1881 ; il n’en devient l’unique responsable qu’à partir de 1889.

Écrire que Kronecker, en sa qualité de directeur de la revue, a bloqué l’article de Cantor en 1877 est donc faux. On peut seulement écrire ceci : il disposait d’une forte influence dans le milieu mathématique berlinois et auprès de cette revue ; il y a des raisons de soupçonner que son opposition a pesé sur le traitement du manuscrit ; mais le pouvoir officiel de décision n’était alors pas entre ses mains.

Au-delà, les preuves se raréfient vite. Prétendre qu’il contrôlait toutes les revues allemandes pour empêcher Cantor de publier ne tient manifestement pas : Cantor a ensuite abondamment publié dans d’autres revues importantes. Pour affirmer, comme un fait institutionnel, que Kronecker aurait opposé son veto à toutes ses promotions, il faudrait des archives de commissions de nomination. On ne peut pas le déduire rétrospectivement de leur désaccord mathématique. Mais ce qui demande surtout à être démonté à part, c’est la formule la plus répandue : selon le récit populaire, Kronecker aurait personnellement traité Cantor de « corrupteur de la jeunesse ».

La source décisive que l’on peut retrouver est un article de Schoenflies paru en 1927. Or Schoenflies n’écrit pas que Kronecker a appelé Cantor un corrupteur de la jeunesse. Il dit, en substance, qu’il n’est pas excessif de soutenir que l’attitude de Kronecker ne pouvait manquer de donner l’impression que Cantor, comme chercheur et comme enseignant, corrompait la jeunesse. La différence est immense.

D’abord, en 1927, Kronecker est mort depuis trente-six ans, et le conflit remonte à une quarantaine d’années.

Ensuite, la phrase décrit l’impression produite par une attitude. Elle ne rapporte pas une insulte entendue sur le moment.

Une biographie de vulgarisation en anglais, qui aura beaucoup d’influence, présente ensuite Kronecker, dès son introduction, comme un homme qui tenait Cantor pour un imposteur scientifique, un renégat et un corrupteur de la jeunesse. De reprise en reprise dans les encyclopédies et les ouvrages grand public, le dernier terme devient peu à peu une parole de Kronecker, munie de guillemets. Nous avons déjà rencontré ce mécanisme dans le dixième épisode. Quelqu’un propose une interprétation ; les suivants en effacent le point d’interrogation.

Le parcours des deux récits présente un autre point commun. Dans l’autre cas, une scène romanesque avait pris forme dans une biographie fondée sur les archives, en 1896 ; en 1937, le point d’interrogation disparaissait. Ici, une impression formulée en 1927 devient une citation dans ce même livre de 1937. Un seul livre, deux fois le même geste. Et il reste un autre fait que l’histoire de deux ennemis irréconciliables jusqu’à la mort ne sait pas où mettre.

Après sa première grave crise de santé, à l’été 1884, Cantor associe lui-même, pendant un temps, son abattement physique et moral aux frictions qu’il subit. Le 18 août, il écrit à Mittag-Leffler que ce n’est pas le travail difficile qui le rend malade, mais des frictions qui auraient pu être évitées. Il décide ensuite de se réconcilier avec Kronecker et lui écrit. Les archives montrent que la réponse de Kronecker est mesurée et humaine. Leurs relations personnelles retrouvent alors un état satisfaisant.

Le désaccord mathématique demeure. Mais, après 1884, les deux hommes ne sont pas personnellement brouillés au point d’avoir coupé les ponts. Ils continuent à s’opposer sur le papier ; ils n’ont pas cessé de se parler.

7. La maladie

Dans cette partie de l’histoire, il y a un large écart entre ce qu’on peut dire et ce qu’on ne peut pas dire.

Quatre sortes d’informations sont recevables : les dates auxquelles Cantor ou ses contemporains attestent explicitement un épisode de maladie ; les périodes de congé de maladie consignées dans les archives universitaires ; les hospitalisations documentées par des sources fiables ; enfin, les termes employés par les médecins qui l’ont soigné plus tard et par les historiens.

Trois choses, en revanche, sont à proscrire. Diagnostiquer un mort à l’aide des critères cliniques d’aujourd’hui. Déduire sa maladie du contenu de son œuvre. Faire d’un événement extérieur la cause d’une crise psychique simplement parce que les deux se suivent de près. Avec ces précautions, voici ce que donnent les documents.

La première crise grave clairement attestée survient au début de l’été 1884. Le 21 juin, Cantor écrit à Mittag-Leffler qu’il a traversé une mauvaise période et qu’il lui manque encore la fraîcheur d’esprit nécessaire au travail scientifique. Il se remet assez vite de cet épisode. Les biographies modernes mentionnent souvent sans réserve une hospitalisation en 1884. Mais les archives aujourd’hui publiques et vérifiables établissent bien plus fermement la date de la crise que les dates précises d’entrée et de sortie de l’hôpital.

Le dossier devient de nouveau beaucoup plus fourni en 1899 et 1900. Un responsable de l’administration universitaire adresse au ministre de tutelle un rapport sur la santé de Cantor, en soulignant la gravité particulière de cette crise. Ce sont des pièces administratives relatives à ses fonctions. Les registres d’enseignement de plusieurs semestres d’hiver ultérieurs mentionnent explicitement des congés de maladie. Suivent encore des congés successifs de 1911 à 1913, puis son départ à la retraite à l’été 1913. Ces preuves sont solides. Mais elles prouvent des congés de maladie ; on ne peut pas les transformer en autant de semestres passés à l’hôpital.

Un autre fait cadre mal avec le récit d’un retrait de la vie universitaire : son dernier cours porte sur la mécanique analytique et date du semestre d’hiver 1910-1911. Après sa retraite, il participe encore aux affaires de la faculté. Sa dernière signature retrouvée sur un document de celle-ci est datée du 16 mai 1914. Reste la formule : Kronecker l’aurait rendu fou.

Là encore, la principale source ancienne est Schoenflies, en 1927. Il écrit que la mésentente, qui a duré plus de dix ans, a rongé Cantor intérieurement. Il considère aussi que sa lutte de toute une vie avec le problème du continu a pu jouer un rôle.

Mais les récits ultérieurs omettent presque toujours une phrase essentielle : Schoenflies lui-même juge fondamentalement erroné d’imputer entièrement à Kronecker la dépression de 1884.

La première version avançait donc que le conflit savant et ce problème difficile avaient pu agir comme facteurs déclenchants. C’est ensuite seulement qu’elle s’est contractée en une autre histoire : la persécution l’aurait rendu fou.

Le second relais est le livre de vulgarisation biographique paru en anglais en 1937, celui que nous avons rencontré dans le dixième épisode. Il transforme les conflits entre les hommes, les rapports entre père et fils et les questions d’identité en une biographie psychologique très dramatisée. Des historiens des mathématiques ont depuis sévèrement contesté sa fiabilité sur ce point. Mais pendant longtemps, faute d’autres biographies accessibles en anglais, son récit s’est propagé d’autant plus facilement. Le travail sur les archives a imposé deux corrections, qui vont en sens opposés.

Premièrement, en 1884, Cantor a bel et bien tenu les frictions pour un facteur déclenchant de son abattement. Il serait donc tout aussi faux d’affirmer, à l’inverse, que les conflits n’ont eu aucun effet. Deuxièmement, les souvenirs de médecins qui l’ont soigné par la suite et le caractère périodique des crises ne permettent pas de faire d’un conflit extérieur la cause de sa maladie. Tout au plus peut-on y voir un facteur déclenchant ou aggravant.

Un témoignage, en particulier, défait le raccourci romanesque selon lequel Cantor se serait effondré pour avoir poussé trop loin ses recherches. Son médecin de famille de longue date conseillait au contraire à ses proches, pendant ses périodes de maladie, de l’encourager à faire des mathématiques : ce travail l’apaisait et favorisait son rétablissement.

Quant au nom de maladie que l’on rencontre souvent dans les publications modernes, il faut une grande retenue. Un médecin qui l’a soigné ultérieurement a employé les termes cliniques de son époque pour décrire cette évolution : des crises répétées, séparées par des périodes où Cantor pouvait reprendre son travail. Certains historiens modernes estiment que cette description correspond mieux aux documents que le récit de l’homme « rendu fou ». C’est tout ce que l’on peut écrire. Aller plus loin, ce serait établir un diagnostic pour un homme mort depuis un siècle, dont le dossier médical est incomplet et que personne ne peut réexaminer.

Si l’on insiste sur ces distinctions, ce n’est pas pour sauver une réputation. C’est que la formule « il l’a rendu fou », une fois admise, change le sens de toute l’histoire. On raconte alors la malveillance d’un homme, et non le conflit entre deux critères. L’histoire de la malveillance est plus facile à raconter et à retenir. Mais elle masque ce qui faisait vraiment l’objet de la dispute.

Et sur cet objet-là, un siècle plus tard, on se dispute encore.

8. Que veut dire exister ?

En 1900, au Congrès international des mathématiciens de Paris, Hilbert présente sa célèbre liste de problèmes. Le premier est le problème du continu. Ce n’est plus, désormais, le programme de recherche personnel de Cantor : il se trouve placé en tête des travaux que les mathématiques à venir devront entreprendre. Plus tard, Hilbert aura une formule plus célèbre encore : personne ne pourra chasser les mathématiciens du paradis créé par Cantor. On la cite d’ordinaire comme le signe de sa victoire finale.

Elle dit pourtant autre chose. S’il fallait encore que quelqu’un se lève pour interdire l’expulsion, c’est que certains songeaient bel et bien à expulser. L’homme qui parle est l’une des figures les plus influentes des mathématiques allemandes, et il défend un acquis dont on se sert depuis des années. La querelle ne s’est pas arrêtée en 1900. Elle a changé de nom, changé de protagonistes et s’est poursuivie pendant trente ans encore.

Revenons au point de départ. En 1874, Cantor ouvre une perspective nouvelle par la comparaison des ensembles dénombrables et non dénombrables ; il donne aussi une procédure par intervalles qui permet, à partir d’une énumération, de déterminer un réel absent de la liste. Il faut donc distinguer trois questions : la simple déduction d’une existence, la procédure de construction et l’acceptation de totalités infinies achevées. Kronecker, lui, exige une autre forme d’existence : vous dites qu’il y en a un, alors construisez-m’en un, en un nombre fini d’étapes, selon des règles explicites. Le langage quotidien ne sépare pas ces deux sens. Dire qu’il y a un stylo dans le tiroir signifie généralement qu’on peut le sortir et le montrer. Mais en mathématiques, « il y a » peut aussi vouloir dire : j’ai prouvé que « il n’y a pas » entraînerait une contradiction.

La plupart du temps, personne ne remarque qu’il s’agit de deux choses différentes, parce que la plupart du temps on peut effectivement produire l’objet.

Dans la vie courante, c’est presque toujours possible. Il y a du lait dans le réfrigérateur. Cette phrase se trouve dans ce livre. L’une des clés de ce trousseau ouvre la porte. Chacune de ces affirmations peut être vérifiée sur-le-champ, objet en main.

Personne ne songe donc à demander : si l’on ne peut pas tenir cette promesse, les mots « il y a » sont-ils encore valables ?

Il faut qu’une preuve affirme une existence sans pouvoir en produire l’objet pour que la différence apparaisse. Alors la dispute ne porte plus sur la justesse du théorème, mais sur l’usage des mots « il y a ». Une démonstration peut éclairer les conséquences de différents usages et leurs rapports. Mais si les interlocuteurs n’acceptent pas les mêmes présupposés fondamentaux, une preuve ne suffit pas à les contraindre à adopter le même critère d’existence. Les mathématiciens vont encore en débattre pendant trente ans. Et la prochaine fois, le front sera beaucoup plus étendu.

On continue à compter. Mais ce qui compte comme mathématiques n’a jamais été tranché.

Sources historiques et lectures complémentaires

Les documents ci-dessous éclairent les détails historiques et les désaccords d’interprétation évoqués dans cet épisode. Notices de catalogue, littérature ancienne et reconstitutions modernes ne constituent pas des preuves de même nature.

• Article de Cantor de 1874 sur les nombres réels algébriques, publication originale
• Robert Gray : Cantor et les nombres transcendants
• Cantor Trio : dénombrabilité, nombres réels et réels algébriques
• Notice « Cantor » du Dictionary of Scientific Biography, hébergée par l’université de St Andrews
• Deiser, correspondance Cantor–Dedekind : la publication de 1874