Göttingen

1. Le quart d’heure entre deux cours

En 1931, un étudiant américain du nom de Mac Lane vint étudier à Göttingen. Dans les souvenirs qu’il écrivit plus tard, il est un détail qui semble ne compter pour rien.

Les cours duraient généralement deux heures, avec un quart d’heure de pause au milieu. Les étudiants sortaient alors de la salle et arpentaient le couloir. Des vitrines en bordaient les deux côtés : on y voyait des surfaces en plâtre, des formes tendues de fils sur des armatures métalliques, quelques dispositifs mécaniques à manivelle. On marchait, on regardait, on parlait avec son voisin. Au bout de quinze minutes, chacun retournait suivre la seconde moitié du cours. Et une fois le cours terminé, les mêmes se retrouvaient dans une autre pièce du bâtiment, abondamment garnie de livres.

Mac Lane écrivit cela bien des années après les faits. Il faut donner à son récit le poids d’un souvenir. Le bâtiment et les modèles attestent indépendamment le cadre qu’il décrit ; ils ne garantissent pas que chaque détail de la vie des cours échappe aux aléas de la mémoire. Le couloir est bien ce couloir-là, les objets des vitrines existent encore, et quelqu’un avait ménagé ce quart d’heure dans l’emploi du temps.

C’est précisément ce qui mérite attention. Ces quinze minutes ne relevaient pas d’une inspiration heureuse. Quelqu’un avait prévu des cours de deux heures coupés d’une pause ; quelqu’un avait placé les modèles dans le couloir au lieu de les enfermer dans une réserve ; quelqu’un avait gardé, dans le même bâtiment, une pièce où s’asseoir pour lire. Si les étudiants se croisaient à l’intercours et se mettaient à parler de mathématiques, c’était le résultat de ces trois dispositions réunies.

Revenons quarante ans en arrière. La même université avait bien failli se vider de ses étudiants. Aujourd’hui, le nom de Göttingen appelle ceux de Gauss et de Riemann. Gauss y avait travaillé pendant des décennies ; Riemann y avait étudié, enseigné et prononcé sa conférence sur les fondements de la géométrie. Pourtant, en 1882, l’université comptait environ deux cent quarante étudiants en mathématiques et en sciences de la nature. Dix ans plus tard, ils n’étaient plus qu’environ quatre-vingt-dix. Ces deux chiffres additionnent les mathématiques et les sciences de la nature : les présenter comme les effectifs des seules mathématiques serait faux. Mais la chute, elle, avait bien eu lieu. Et elle frappait une université qui avait eu Gauss et Riemann.

La renommée ne s’entretient pas toute seule.

Pendant un peu plus de quarante ans, de 1886 au début des années 1930, on assembla dans cette petite ville une sorte de machine. C’est d’elle qu’il sera question ici, et non des théorèmes qu’elle permit de produire.

Elle ne fut pas construite d’après un plan. Aucun document, en 1886, n’avait arrêté le programme des quarante années à venir. Les pièces s’ajoutèrent une à une. C’est seulement plus tard qu’on put voir qu’elles formaient ensemble une machine.

Il faut d’abord expliquer pourquoi cela mérite un épisode à part. Dans les treize précédents, faire des mathématiques était, pour l’essentiel, le travail d’un homme seul devant sa feuille. Archimède envoyait ses résultats par lettre à Alexandrie, puis attendait longtemps une réponse. Cardan et Tartaglia se lançaient des défis d’une ville à l’autre. Les travaux de Newton restaient des décennies dans un tiroir. À la mort de Galois, ses textes essentiels sur la théorie des équations n’avaient encore été ni officiellement publiés ni pleinement compris ; ses principaux mémoires ne parurent que quatorze ans plus tard.

Tous ces hommes étaient seuls, et cette solitude n’était pas entièrement une affaire de caractère. Confier une idée encore inachevée pour que quelqu’un la reprenne dès le lendemain dépendait surtout d’une rencontre avec la bonne personne. On ne pouvait pas compter que cela se produirait tous les jours. Quand un homme mourait, ce qu’il n’avait pas terminé disparaissait le plus souvent avec lui.

À partir de cet épisode, le sujet de la phrase va changer.

2. Un homme reprend une coquille vide

Klein arriva à Göttingen en 1886.

On raconte le plus souvent son action de cette manière : il fit venir, un à un, de bons mathématiciens. Ce n’est pas faux. C’est seulement passer sous silence le plus difficile. Pour faire venir quelqu’un, il faut un poste ; pour un poste, de l’argent ; pour l’argent, il faut passer par l’administration prussienne de l’enseignement. Ce que Klein transformait réellement, c’était l’ensemble des moyens que cette université pouvait mettre à la disposition des mathématiques.

Dès son arrivée, il entreprit quelques besognes d’apparence ingrate : ouvrir des cours avancés, organiser des séminaires, trouver aux étudiants une pièce où mettre des livres. Nous y reviendrons.

Plus important encore, il se mit à nouer des liens au-dehors. En 1893, il se rendit aux États-Unis. À son retour, il remit aux autorités prussiennes un rapport sur l’organisation de l’enseignement supérieur américain. Plusieurs de ses propositions ne ressemblent guère, à nos yeux, à ce qu’on attend d’un mathématicien : réformer la formation des professeurs du secondaire, ouvrir l’université aux femmes, renforcer les applications des mathématiques et solliciter des financements auprès des ingénieurs et des industriels.

Le 2 juin 1897, il écrivit à Althoff. Ce très puissant fonctionnaire de l’enseignement prussien avait une large part à la décision de créer une chaire, de l’implanter ici ou là et de la confier à tel ou tel. La lettre portait sur de nouvelles règles d’examen et sur un projet : faire des mathématiques appliquées une qualification d’enseignement que l’on puisse obtenir en bonne et due forme.

L’étape la plus lourde de conséquences vint l’année suivante. En février 1898, une association fut fondée à Göttingen ; la publication de son dixième anniversaire donne le 26 comme jour de fondation. Son nom et sa mission concernaient alors la physique appliquée. Les mathématiques n’y entrèrent officiellement que vers 1900-1901, les récits historiques différant légèrement sur l’année où le changement de nom prit effet. Il ne faut pas inverser cet ordre. Les mathématiques montèrent dans le train de la physique et de l’industrie ; elles ne disposaient pas d’emblée de leur propre locomotive.

L’association réunissait des professeurs de mathématiques, de physique et de chimie de l’université, de riches industriels et des représentants du monde des ingénieurs. Böttinger, industriel de la chimie, en était le président ; Klein, le vice-président. Althoff y figurait dans le même réseau en sa qualité de haut fonctionnaire. À un moment, l’association avait noué des liens avec une cinquantaine de représentants de l’industrie disposant de moyens financiers.

Le financement s’organisa ainsi en trois couches. Le budget de l’État faisait vivre les chaires titulaires, les postes statutaires et les bâtiments universitaires. Les fonds apportés par l’industrie à travers l’association permettaient de lancer de nouveaux projets en physique appliquée, en physique technique et en mathématiques appliquées. Puis, dans les années 1920, des fondations philanthropiques américaines vinrent financer des constructions.

C’est ici qu’on dérape le plus facilement. Des industriels financent les mathématiques : à l’entendre, on croirait que le capital s’est acheté un département. Rieppel, l’un des fondateurs de l’association, a raconté plus tard ce qu’ils recherchaient : mieux former les futurs professeurs du secondaire, renforcer la recherche dans les sciences appliquées et rendre l’université plus attentive aux besoins pratiques. À leurs yeux, le premier objectif était le plus important.

Les professeurs du secondaire. Des hommes de la sidérurgie et de la chimie se réunissaient pour financer les mathématiques d’une université, et leur première raison était que les professeurs du secondaire n’enseignaient pas assez bien.

Cette voie déboucha sur du concret. En 1910, cent soixante-dix-huit étudiants prussiens avaient déjà obtenu la nouvelle qualification d’enseignement en mathématiques appliquées.

Tout cela, une fois relié, formait une boucle. Des professeurs du secondaire mieux formés donnaient à l’université de meilleurs étudiants. Les séminaires faisaient de certains d’entre eux des chercheurs. De nouvelles chaires permettaient de les garder. Les travaux appliqués procuraient ensuite des arguments pour demander des moyens à l’État et à l’industrie. Les publications et les échanges internationaux faisaient circuler la réputation, laquelle favorisait à son tour le recrutement des étudiants et les nominations. À chaque tour, chaque point de la boucle gagnait un peu d’épaisseur.

Les chaires en donnent la mesure la plus visible. Entre 1898 et 1908, le nombre de postes de professeurs titulaires en mathématiques et en physique à Göttingen passa d’environ cinq à environ dix.

Même l’arrivée de Hilbert en 1895 ne se résume pas à une invitation acceptée. En 1892, lorsque Schwarz quitta Göttingen pour Berlin, Klein souhaitait déjà donner à Hilbert la place vacante. Elle revint à Weber. En 1895, Weber partit pour Strasbourg ; Klein tenta de nouveau sa chance et réussit cette fois. Trois ans s’étaient écoulés.

Aucun règlement ne fixa le partage du travail entre les deux hommes. Mais leurs activités, suivies sur plusieurs décennies, montrent bien des centres de gravité différents. Du côté de Klein : l’organisation de la vie savante, l’enseignement, les nominations, les rapports avec l’État, les applications. Du côté de Hilbert : la recherche elle-même et la mise en ordre des problèmes qui méritaient qu’on s’y attaque.

Il serait pourtant faux d’en faire un administrateur d’un côté et un savant de l’autre. Hilbert participait lui aussi aux nominations, travaillait lui aussi à la rédaction de revues, dirigeait lui aussi des séminaires ; plus tard, il s’engagea personnellement dans les luttes internes de l’institut. Et Klein ne cessa pas de faire de la recherche. La différence tenait à l’accent : l’un augmentait les ressources mobilisables par le système, l’autre sa capacité à faire naître des problèmes et à former de jeunes chercheurs.

3. Une salle dont les livres ne sortent pas

La pièce que Klein avait aménagée portait alors le nom de salle de lecture. L’expression évoque aujourd’hui une annexe de bibliothèque ; ce n’était pas cela. Le prêt à l’extérieur était interdit : les livres et les revues se consultaient sur place. C’était aussi le lieu de travail propre à ce petit monde de mathématiciens, où un étudiant pouvait rester toute la journée. Klein avait déjà fait quelque chose de semblable à Leipzig. Il poursuivit à Göttingen.

À côté des livres et des revues, on y trouvait une catégorie de documents qu’on ne trouvait pas ailleurs. À Göttingen, les cours étaient souvent mis au propre : des assistants ou des étudiants rédigeaient à partir de ce qui avait été exposé, le texte était révisé, puis circulait dans le milieu. Un cours terminé ne disparaissait donc pas avec le semestre. Il devenait une liasse que d’autres pouvaient consulter.

Dans une seule et même pièce, un étudiant pouvait alors chercher un renseignement, lire les rédactions des cours des promotions précédentes, préparer la partie qu’il devait présenter la semaine suivante et, au passage, rencontrer l’assistant d’un professeur ou ses camarades.

Cette couche intermédiaire n’avait pas de nom officiel. Son effet était pourtant très précis : elle raccourcissait le délai entre le moment où une idée nouvelle était énoncée et celui où la génération suivante pouvait s’en servir.

Dans les épisodes précédents, cette couche de papier existait déjà, mais elle se perdait sans cesse. Le parchemin d’Archimède gratté pour être réécrit, dans le quatrième épisode ; les papiers de travail privés enfermés dans les tiroirs, dans le neuvième ; Weierstrass, dans le douzième, publiant très peu lui-même et laissant ses résultats circuler par les notes de cours de ses étudiants : partout, c’était la même histoire. Le contenu essentiel se trouvait sur des feuilles qui n’étaient pas destinées à l’impression. Certaines feuilles se dispersaient, d’autres n’étaient retrouvées que très tard. D’autres encore, comme les notes des cours de Weierstrass, passaient de main en main et servaient déjà à leurs contemporains.

Göttingen fit quelque chose de très terre à terre : porter ces papiers dans une pièce, les ranger sur des étagères et permettre à la promotion suivante de les retrouver.

Les objets des vitrines du couloir donnaient à la même méthode une autre forme. Göttingen conserve aujourd’hui plus de cinq cents modèles mathématiques historiques, datés de 1780 à 1930, dont la majeure partie date de la période 1870–1920. Des surfaces moulées en plâtre, des formes dessinées par des fils tendus sur une armature métallique, des mécanismes à manivelle, mais aussi des planches pour l’enseignement.

Ce n’étaient pas des ornements. Dans la seconde moitié du XIXe siècle, l’enseignement des mathématiques en Europe avait pris goût aux objets qu’on pouvait construire pour les regarder. Brill et Klein contribuèrent à répandre cette pratique. Schilling en fit ensuite un commerce : en 1911, son catalogue proposait déjà plusieurs centaines de modèles à la vente.

Une surface dessinée au tableau ne se montre que sous un angle. Un objet, lui, se tourne dans la main ; on peut le placer à côté d’un autre et les comparer. Ces modèles servaient donc à trois choses à la fois : enseigner, donner forme aux raisonnements pendant la recherche et permettre aux étudiants de s’exercer eux-mêmes.

Aujourd’hui, derrière leurs vitres, on les prend facilement pour des pièces de musée. À l’époque, c’étaient des instruments d’enseignement. Ce que Mac Lane regardait pendant la pause, c’étaient des instruments encore en service.

Après la salle et les vitrines, il faut aussi regarder qui occupait la pièce d’à côté.

Les applications que défendait Klein ne tenaient pas seulement dans un règlement d’examen. Elles prenaient de la place. Runge occupa la chaire de mathématiques appliquées de Göttingen vers 1904 ; Prandtl fut lui aussi attiré dans la ville au cours de ces années, pour y travailler sur la mécanique appliquée et les fluides. L’argent et l’intérêt des industriels rendaient les échanges entre mathématiciens, physiciens et ingénieurs plus denses que dans une université allemande ordinaire.

La physique théorique ne fut pas pour autant absorbée par les mathématiques appliquées. Göttingen possédait sa propre tradition et ses propres chaires de physique mathématique. Plus tard, l’institut de physique théorique de Born et de ses collègues demeura très proche des mathématiques, aussi bien par ses locaux que par ses membres. En 1931, ce que Mac Lane retenait, c’était justement la présence des physiciens à côté.

Quatre traits suffisent à décrire la relation : des institutions voisines, des personnes qui passaient de l’une à l’autre, des problèmes qui circulaient, des structures administratives qui ne fusionnaient pas.

4. Cette fois, c’est l’étudiant qui parle

Distinguons d’abord trois situations que le chinois confond souvent sous un même mot. Dans la première, le professeur parle du début à la fin et les étudiants prennent des notes. Dans la deuxième, les étudiants doivent préparer eux-mêmes un travail, se lever pour l’exposer et répondre ensuite aux questions de l’assistance. La troisième est une réunion régulière où l’on invite un intervenant extérieur que les chercheurs du lieu viennent écouter.

Les trois existaient à Göttingen. C’est la deuxième qui nous intéresse ici.

Elle a laissé des traces solides. Les séminaires dirigés par Klein ont laissé leurs registres manuscrits : vingt-neuf volumes, environ huit mille six cents pages, couvrant plusieurs décennies. Ces cahiers gardent aussi les années où il enseignait ailleurs, avant de venir à Göttingen. Quel sujet revenait à qui, qui avait parlé à quelle date, ce qui avait été exposé, les difficultés apparues dans la discussion : tout cela y était consigné. L’ensemble a depuis été numérisé. Pour savoir ce qui se passait réellement dans cette salle pendant l’hiver 1911, nous n’avons donc pas à nous en remettre aux mémoires de quelqu’un.

Sur un point, ces registres sont plus utiles que les articles : ceux-ci ne gardent généralement que le résultat final, alors que les registres conservent le cheminement. On y voit comment un sujet avait été choisi, dans quel ordre il était présenté, quelle forme avait alors la démonstration. Parfois, on peut même suivre une idée du séminaire jusqu’à la publication officielle.

Grâce à eux, le déroulement concret d’un séminaire n’est plus à deviner. Pendant le semestre d’hiver 1911-1912, Klein en consacra un à la naissance du calcul différentiel et intégral. Il demandait qu’on en retrace l’histoire à partir des textes originaux de l’époque. Il précisa cet objectif à l’ouverture, puis répartit les sujets particuliers entre les participants.

Le semestre laissa vingt-trois exposés. Parmi les intervenants, il y avait des étudiants, de jeunes chercheurs et des femmes. Vingt-trois est le nombre des exposés, pas celui des personnes : certaines étaient intervenues plusieurs fois.

En cours de semestre, Klein tomba malade et ne put continuer à diriger les séances.

Le séminaire ne s’arrêta pas. Schimmack prit le relais jusqu’à la fin du semestre.

C’est la phrase de cet épisode sur laquelle il faut s’arrêter le plus longtemps. Le responsable se retire, le cours continue. Les sujets avaient été distribués, les rôles fixés, les règles de consignation établies. Le séminaire ne tenait plus à la seule présence d’un homme.

Qu’y avait-il donc de nouveau par rapport aux siècles précédents ? On ne passait pas d’un passé où le maître parlait et l’élève écoutait à un présent où l’on discutait enfin. Il y avait toujours eu des discussions, et toujours eu des questions d’étudiants. La nouveauté tenait à quatre éléments, qui n’agissaient qu’une fois réunis.

Premièrement, on demandait aux étudiants de produire un contenu, pas seulement de l’assimiler. Deuxièmement, ce contenu était soumis sur-le-champ à la critique de leurs pairs. Troisièmement, l’échange était ensuite mis par écrit et conservé. Quatrièmement, tout cela s’inscrivait dans un parcours : cours, séminaire, doctorat, habilitation à enseigner, chaire. Chaque étape s’articulait à la suivante.

La classe cessait ainsi d’être le lieu où le savoir descend de l’estrade. Elle devenait une étape dans la fabrication d’un chercheur.

Göttingen n’avait pas inventé le séminaire. Les universités allemandes en organisaient depuis longtemps, Berlin aussi. Sa singularité était d’avoir attaché le séminaire à la salle de lecture, à une série de chaires, à la formation doctorale, aux chercheurs de passage et aux revues. Chacun de ces éléments, pris séparément, existait ailleurs. Ce qui distinguait Göttingen, c’était la densité particulière des liens qui les unissaient.

5. La table de rédaction

Vers 1900, la question de savoir où envoyer un article de mathématiques une fois terminé avait déjà sa réponse habituelle : à une revue. Une revue avait des rédacteurs. Il vaut la peine de regarder exactement ce que ceux-ci pouvaient décider.

Les Mathematische Annalen avaient été fondées en 1868 par Clebsch et Neumann, sans lien de subordination avec Göttingen. Mais la liste de leurs rédacteurs permet de voir comment le réseau de la ville s’y était installé. Klein entra dans l’équipe de rédaction vers 1876 et y resta jusqu’en 1924. Hilbert la rejoignit en 1903. Blumenthal, en 1906.

Les Annalen n’étaient pas le bulletin de l’université. La revue avait dix-huit ans d’avance sur l’arrivée de Klein ; ses auteurs venaient de nombreux pays, et y publier rendait un travail visible à l’étranger. C’est précisément parce qu’elle était internationale qu’une place à sa table de rédaction avait du poids. Choisir les articles du bulletin de son université reste une affaire locale. Choisir ceux d’une revue internationale, c’est décider de ce que liront les mathématiciens d’autres pays.

Le fonctionnement d’une rédaction en 1900 ne ressemblait pas à celui d’aujourd’hui. Beaucoup de revues disposent désormais de procédures assez normalisées de soumission et d’évaluation, sans pour autant adopter toutes les mêmes règles d’anonymat, le même nombre de rapporteurs ou les mêmes modalités d’intervention des rédacteurs. À l’époque, le fonctionnement était différent. Un article pouvait avoir été sollicité par un rédacteur, ou lui être envoyé directement. Il le lisait lui-même, puis le transmettait parfois à un collègue ou à quelqu’un de l’extérieur connaissant le domaine. À propos d’un manuscrit qu’il avait traité, Klein a laissé ce commentaire : lui-même et le lecteur extérieur le jugeaient insuffisamment original. L’évaluation extérieure existait donc déjà. Elle passait par des relations personnelles plutôt que par une procédure de bureau.

Un homme assis à cette table disposait ainsi de moyens très concrets. Il pouvait encourager ou non quelqu’un à soumettre un article. Choisir qui le lirait. Décider de la manière dont les critiques seraient transmises à l’auteur. Dans bien des cas, il pouvait faire pencher réellement la décision vers l’acceptation ou le renvoi. Surtout, en sollicitant des textes et en organisant des ensembles thématiques, il pouvait déterminer quels problèmes seraient portés à la connaissance des mathématiciens de différents pays.

Une place dans une rédaction conférait aussi un statut. Être appelé à celle d’une revue était alors une forme de reconnaissance savante.

Il serait tout aussi faux, pourtant, de croire qu’un rédacteur pouvait décider seul de tout. Il y avait d’autres rédacteurs, un éditeur commercial, des concertations nécessaires. C’est justement pour cela que l’affaire de 1928 fit tant de bruit. Hilbert œuvra pour évincer Brouwer de la rédaction des Annalen, et finit par y parvenir. L’épisode montre qu’un rédacteur influent, soutenu par la maison d’édition et une partie de ses collègues, pouvait toucher à la composition même du comité. Les protestations des autres montrent en même temps que ce n’était pas un pouvoir dont on usait librement en temps ordinaire. Ce qui se disputait au fond dans cet affrontement fera l’objet d’un épisode à part.

Rapprochons cette section de la précédente : quelque chose apparaît, qu’on écrit rarement. Certains hommes de Göttingen étaient assis à trois tables à la fois. À l’une, on décidait qui serait formé ; à la deuxième, qui serait nommé ; à la troisième, quels auteurs seraient lus dans le monde entier.

6. Vingt-trois numéros

Le 8 août 1900, à Paris, lors du deuxième Congrès international des mathématiciens, Hilbert prit la parole. Son exposé avait pour titre « Problèmes mathématiques ».

L’image la plus répandue le montre énonçant un à un ses vingt-trois problèmes et fixant ainsi le programme des mathématiques du XXe siècle. Cela ne s’est pas passé dans la salle. Il n’en avait pas le temps. Il en présenta dix.

La liste complète des vingt-trois survécut grâce à l’imprimé. Le texte allemand intégral parut en 1900 dans les communications de l’Académie des sciences de Göttingen, puis fut réimprimé en 1901. En 1902, une traduction française entra dans les actes du congrès de Paris et une traduction anglaise dans la revue de l’American Mathematical Society. Cette dernière était due à une mathématicienne américaine, Winston. Elle avait rencontré Klein au congrès de mathématiques de Chicago en 1893 et, sur son conseil, était partie étudier à Göttingen, où elle avait obtenu son doctorat.

L’effet décisif ne venait donc pas des quelques dizaines de minutes passées à la tribune. Il venait de la transformation du choix d’un homme en une liste que l’on pouvait citer, numéroter, traduire, enseigner et suivre pendant des années.

La numérotation jouait un rôle décisif. Dès lors que « huitième problème » ou « dixième problème » entraient dans les imprimés de différents pays, les mathématiciens du monde entier pouvaient désigner la même chose. Un homme disait à Moscou qu’il travaillait sur le dixième problème ; un autre, à Chicago, savait aussitôt de quoi il s’agissait. C’était un pouvoir considérable, qui ne devait rien à un ordre administratif.

Ce n’était d’ailleurs pas un ordre : Hilbert ne venait pas assigner cent ans de travail à toute la communauté mathématique. Il convertissait en une forme de reconnaissance un réseau qui possédait déjà une réputation internationale, un pouvoir éditorial sur les revues, des moyens de former des docteurs et l’accès aux tribunes des congrès : voilà des problèmes dignes d’être étudiés. Cette reconnaissance n’obligeait personne. Elle donnait simplement une légitimité au travail entrepris.

Il faut aussi parler de ceux qui venaient. De la fin des années 1880 aux années 1890, les étudiants américains partirent nettement plus nombreux étudier les mathématiques en Allemagne. La visite de Klein à Chicago, en 1893, resserra encore ces liens.

La fausse précision guette ici. On lit souvent qu’en telle année Göttingen accueillait tant d’étudiants américains. On ne peut donner ce chiffre sans précaution, car les sources conservées comptent au moins quatre populations différentes : les étudiants officiellement inscrits, les auditeurs, ceux qui figurent sur la liste du cours d’un professeur, et ceux qui obtinrent finalement un doctorat. Ces quatre façons de compter donnent des résultats très éloignés. De plus, si les Américains furent bien nombreux à affluer en Allemagne, l’Allemagne n’était pas Göttingen.

On peut établir autre chose, qui importe davantage que les effectifs. Ces étudiants ne venaient pas écouter une fois un professeur célèbre avant de repartir. Ils entraient dans les séminaires, fréquentaient la salle de lecture, rédigeaient une thèse et rencontraient les hommes du réseau des revues. De retour chez eux, ils bâtissaient les universités américaines en s’inspirant de cette organisation. Ce que Göttingen exportait, ce n’était pas une poignée de théorèmes. C’était un plan indiquant comment organiser les mathématiques dans une université.

Encore faut-il regarder ce qui se faisait ailleurs au même moment. Sans cela, on risque de faire de Göttingen un cas isolé.

Berlin possédait elle aussi des chaires, des séminaires de mathématiques et l’Académie des sciences de Prusse. Weierstrass et Kronecker avaient chacun autour d’eux un groupe d’étudiants remarquables. Berlin n’était pas une institution d’un autre âge. Ce qui y manquait, c’était la liaison continue entre mathématiques, physique appliquée, argent industriel et institut de recherche centralisé.

Paris avait beaucoup de savants et beaucoup d’établissements : la Sorbonne, l’École normale supérieure, l’École polytechnique, le Collège de France, sans oublier l’Académie des sciences. Cette multiplicité était précisément sa forme. Les forces se répartissaient entre plusieurs établissements d’élite, sans qu’aucun les rassemble. Il fallut attendre l’institut fondé à Paris en 1928 avec l’aide financière de la fondation Rockefeller pour voir apparaître une structure centralisée s’approchant d’un centre d’accueil international et de physique mathématique.

Cambridge reposait sur ses collèges, un célèbre grand examen de mathématiques et une longue tradition de préparateurs privés. Vers 1900, la formation de premier cycle y était presque entièrement modelée par cet examen : plus on résolvait vite les problèmes, mieux on était classé. La culture de la recherche progressait, mais la chaîne allemande qui menait du doctorat à l’habilitation, puis à la chaire, n’y organisait pas les carrières. Cambridge n’instaura officiellement le doctorat de recherche, le PhD, qu’après la Première Guerre mondiale.

Les deux systèmes étaient fortement institutionnalisés. Ils ne récompensaient simplement pas les mêmes choses. Cambridge avait longtemps récompensé la vitesse de résolution et la réussite aux examens ; Göttingen intégrait à la formation officielle la participation même à une communauté de recherche.

Un autre fait empêche d’y voir une recette propre à Göttingen : dans les années 1920, la fondation Rockefeller finançait à la fois le nouveau bâtiment de Göttingen et l’institut parisien. Regrouper les infrastructures de recherche était, dans l’entre-deux-guerres, une nouvelle manière de financer la science à l’échelle internationale, pas la spécialité d’un pays.

7. Ceux qui entrent et ceux qui restent dehors

Vers 1900, être mathématicien était-il un métier ?

À plusieurs titres, oui. Il existait des qualifications reconnaissables : le doctorat et l’habilitation. Une hiérarchie de postes. Des traitements versés par l’État. Des revues spécialisées dirigées par les mathématiciens eux-mêmes. Des séminaires pour former la génération suivante. Des congrès internationaux et des sociétés nationales permettaient aussi à ces hommes de se reconnaître entre eux au-delà de leur propre université.

On ne peut pourtant pas dire que la recherche mathématique était devenue un secteur d’activité ordinaire, autonome et de grande ampleur. Une part importante de ceux qui recevaient une formation mathématique finissait dans l’enseignement secondaire. C’était justement la première raison pour laquelle Klein avait défendu la nouvelle qualification. Les chercheurs en mathématiques vivaient à l’intérieur d’un ensemble plus vaste : l’enseignement secondaire, l’université et les examens d’État.

Le vrai changement, autour de 1900, n’était donc pas que des mathématiciens vivaient pour la première fois de leurs mathématiques. C’était que la recherche avait développé un dispositif capable de se reproduire : un docteur en sortait, formait à son tour la promotion suivante comme assistant ou Privatdozent, puis concourait pour une chaire. Göttingen savait particulièrement bien resserrer les maillons de cette chaîne ; la chaîne elle-même était un produit du système universitaire allemand.

Chaque maillon de cette chaîne était-il rémunéré ? Non.

Pour vivre des mathématiques dans une université allemande de l’époque, plusieurs statuts existaient. La distinction la plus décisive entre eux n’était pas le rang du titre : c’était d’avoir, ou non, un salaire.

Au sommet, le professeur titulaire d’une chaire recevait de l’État un traitement fixe. Fonctionnaire prussien, assuré d’une retraite, il disposait aussi de pouvoirs réels : les recrutements, le contenu des examens et l’emploi de l’argent de l’institut relevaient de lui. À l’échelon suivant, les situations variaient : certains recevaient un traitement public, d’autres n’avaient qu’un titre sans poste statutaire. Plus bas venait le Privatdozent. Ce statut donnait une autorisation : ouvrir des cours en son nom, faire passer des examens. Il ne donnait pas de salaire. On vivait des droits payés par les étudiants pour suivre les cours, de sa famille, de bourses ou d’aides, de travaux effectués à côté. Tout en bas, l’assistant était rémunéré par l’institut ou par une chaire, mais son poste était temporaire. Ce qu’il devait faire et le renouvellement de son emploi dépendaient de ses supérieurs.

Si l’on relie ces quatre degrés, une réalité implacable se dessine : pour atteindre une chaire, il fallait traverser une période qui pouvait durer des années sans revenu fixe.

Parler ici de concurrence au mérite demande donc une réserve. La capacité à tenir pendant ces années-là n’avait rien à voir avec le talent. Elle dépendait de la fortune familiale, d’une bourse accordée, de la volonté d’un professeur de vous donner un poste d’assistant. C’était un filtre. Et ce filtre ne sélectionnait pas sur les mathématiques.

Un autre filtre était le sexe. Celui-là était encore plus net, parce qu’il figurait dans les règlements.

En 1874, Göttingen délivra un doctorat à une Russe, Kovalevskaïa. Elle avait étudié plusieurs années à Berlin en privé auprès de Weierstrass, puisque l’université de Berlin ne l’acceptait pas. Le diplôme lui fut accordé sur la foi des travaux de recherche qu’elle avait soumis, avec dispense d’oral et sans qu’elle se présente sur place. Elle obtint la mention la plus élevée.

On pourrait y voir une porte qui s’ouvre. Il s’agissait en réalité d’un détour. De toute la procédure, elle n’avait pas passé une journée en cours à Göttingen ni subi le moindre examen. L’université ne l’avait pas laissée entrer. Elle avait reconnu un travail accompli au-dehors.

En 1895, les choses furent différentes. Une Anglaise, Chisholm, était arrivée à Göttingen en 1893 pour étudier auprès de Klein. Deux Américaines étaient venues la même année, dont Winston, la future traductrice de la liste des problèmes. Pour pouvoir s’inscrire, Chisholm avait dû obtenir une autorisation spéciale en tant que femme. Elle suivit les cours, écrivit sa thèse et, deux ans plus tard, se présenta bel et bien à un examen oral en allemand. On l’y interrogea en mathématiques, mais aussi en physique et en astronomie.

Quand on parle des premières femmes docteures en mathématiques dans les universités allemandes, il faut donc préciser la discipline, l’établissement et le parcours d’obtention du diplôme. Si l’on compte les doctorats délivrés par Göttingen, celui de 1874 vient en premier. Si l’on compte les étudiantes réellement formées sur place et ayant passé les examens, celui de 1895 est le premier. Dire vaguement « la première », c’est fondre deux événements très différents en un seul.

Jusqu’ici, seule la porte des études avait commencé à s’ouvrir.

Celle de l’enseignement se trouvait derrière. Elle était bien plus solide.

Après 1908, les femmes purent entrer à l’université en Prusse dans des conditions relativement normales. Une autre règle, établie cette même année, leur interdisait pourtant l’habilitation à enseigner.

En 1915, Noether vint à Göttingen à l’invitation de Klein et de Hilbert. En juillet de la même année, elle demanda son habilitation.

Ce qui la bloquait n’était pas ses mathématiques. La section des mathématiques et des sciences de la nature, loin de s’y opposer, adressa en novembre une demande officielle au ministre prussien de l’Instruction : accorder à Noether seule une dérogation à l’interdiction de 1908. Le texte prenait soin de préciser qu’il ne s’agissait pas d’abolir la règle dans son ensemble. Une personne, rien qu’elle.

La demande fut rejetée.

Les objections se situaient sur deux plans. Il faut les séparer pour les voir clairement. Le premier était réglementaire. L’habilitation ne reconnaissait pas simplement une capacité à enseigner : elle donnait un statut, le droit d’ouvrir ses propres cours, de fixer des questions d’examen, de décider quels étudiants réussiraient. Les règlements du temps ne prévoyaient pas qu’une femme puisse détenir ce statut.

Le second plan n’avait rien de réglementaire. Les opposants s’inquiétaient de voir des soldats revenus du front obligés de s’asseoir aux pieds d’une femme pour écouter ses leçons. Ils craignaient aussi qu’une première exception ouvre une brèche par laquelle les femmes entreraient dans le corps professoral.

La manière d’agir des partisans de Noether mérite encore plus d’attention que les objections de ses adversaires. Ils ne cherchèrent pas à démontrer son intelligence : les preuves abondaient, et ce n’était pas le point en litige. Ils tentèrent d’abord la dérogation individuelle, parce qu’elle laissait intact l’ensemble du règlement et avait donc le plus de chances d’aboutir. Alors que l’habilitation restait bloquée, Hilbert changea de méthode. Le cours porterait son nom ; Noether le donnerait. Au programme du semestre d’hiver 1916-1917 figurait ainsi : séminaire de physique mathématique, professeur Hilbert, avec l’assistance du docteur Noether, le lundi de quatre à six heures, sans droits d’inscription au cours.

On avait dissocié le titre officiel et l’enseignement effectif. La possibilité même de cette manœuvre montre combien le système était solide ailleurs : pour le contourner, il fallait encore s’abriter sous un nom officiellement reconnu.

De cette querelle, on retient surtout une réplique qui revient à dire que l’université n’est tout de même pas un établissement de bains. Elle existe en plusieurs versions. Ce qui est certain, c’est la violence du débat et la vigueur avec laquelle Hilbert critiqua ses collègues qui faisaient passer le sexe avant les qualifications savantes. Ce qui ne l’est pas, c’est le bon mot lui-même. Aucun procès-verbal de réunion de 1915 ne le rapporte. Les formulations qui circulent aujourd’hui sont apparues plus tard.

Un bon mot qui fait du bien a été retenu pendant cent ans. La pièce administrative rejetée, elle, atteste ce qui s’est réellement passé. Les deux traces n’ont pas le même poids.

La suite des dates mérite d’être lue d’un seul tenant, parce qu’elle distingue très nettement le titre du salaire. En 1919, le changement du régime réglementaire permit enfin à Noether d’obtenir son habilitation. Elle devint Privatdozent, sans traitement fixe. En 1922, elle reçut un titre de professeure hors du cadre des fonctionnaires : elle n’était toujours pas titulaire d’un poste professoral rémunéré. Ce n’est qu’en 1923 qu’elle obtint une charge d’enseignement, très modestement payée et soumise à renouvellement périodique.

Entre la demande de 1915 et le premier versement qu’on puisse appeler un salaire, en 1923, huit années s’étaient écoulées.

Ce dispositif n’écartait pas seulement les femmes. Nous l’avons vu : il éliminait aussi une partie de ceux qui n’avaient aucune réserve financière. Une autre catégorie restait dehors : ceux qui n’entraient pas dans le réseau des recommandations. Les séminaires et la salle de lecture réduisaient bien le coût des échanges à l’intérieur du cercle. Mais du doctorat à l’habilitation, puis de l’habilitation à la nomination sur une chaire, chaque passage exigeait les procédures du corps professoral et de l’État. Plus le réseau fonctionnait bien, mieux il servait ceux qui en faisaient partie.

Le cas des savants juifs exige une prudence particulière. On ne doit pas projeter 1933 sur les décennies antérieures. Sous l’Empire, les préjugés existaient, tout comme les obstacles aux nominations. Mais les mathématiques et la physique de Göttingen comptaient plusieurs grandes figures juives ou d’origine juive. Ce n’était pas la même chose que l’éviction massive fondée sur la loi qui commença en 1933. Confondre les deux, ce serait à la fois défigurer les trente années précédentes et atténuer la gravité de ce qui suivit. Ce qui suivit demandera un récit à part.

8. Le bâtiment est venu en dernier

Si vous allez aujourd’hui à Göttingen, quelqu’un vous montrera le bâtiment de l’institut de mathématiques.

Il n’entra en service qu’en 1929.

Tout ce dont nous avons parlé le précédait : les séminaires, la salle de lecture, les cours mis au propre, les registres, les modèles, les chaires, l’argent de l’association industrielle, les tables de rédaction, les étudiants venus d’Amérique. Les éléments les plus anciens avaient quarante ans d’avance sur lui.

La construction elle-même porte deux dates, toutes deux justes. En 1926, Courant poussa à la création de l’institut en tant qu’organisation. De 1927 à 1929, on regroupa les installations mathématiques jusque-là dispersées dans la ville. Dans le premier cas, il s’agit d’une institution ; dans le second, d’un bâtiment. L’essentiel des fonds venait de la fondation américaine Rockefeller. Un montant a été avancé par la suite : trois cent cinquante mille dollars. Il vaut mieux y voir un ordre de grandeur de la contribution de la fondation au projet, et non le coût total de la construction.

Le nouveau bâtiment commença à être utilisé à la fin de 1929. Deux ans plus tard, Mac Lane en arpentait les couloirs.

Cet ordre mérite d’être retenu, car il va exactement à l’encontre de l’image attachée à l’« âge d’or de Göttingen ». Dans cette image, quelques génies habitent par hasard la même petite ville, se promènent ensemble, prennent le thé ensemble, et les mathématiques modernes naissent de là.

Ce qui manque au tableau peut se nommer, pièce par pièce. Les assistants mettaient les cours au propre. Les étudiants rédigeaient les registres. Des femmes et des étudiants étrangers prenaient place dans les séminaires. Les maisons d’édition imprimaient. Les fonctionnaires prussiens autorisaient les chaires. Les industriels réunissaient l’argent. Effacez tout cela : il ne reste que quelques génies en promenade.

À l’intérieur, l’unité n’avait d’ailleurs jamais régné. Lorsque Klein voulut relier l’université à l’industrie et à la technique, certains s’y opposèrent aussitôt. Ils craignaient que les mathématiques pures soient entraînées par les normes des écoles techniques et les exigences industrielles. Cette tension ne reçut jamais, jusqu’au bout, de solution institutionnelle. Le plus souvent, il fallait quelques hommes présents dans plusieurs réseaux pour établir des passerelles provisoires.

Un autre événement renforça rétrospectivement cette image : 1933. Ce qui a été brusquement brisé devient très facilement, dans les souvenirs, un monde perdu auquel rien ne manquait.

Quelle était donc la force de Göttingen ? Peut-on la mesurer ? Voici ce qui se compte. Des chaires passées de cinq à dix. Cent soixante-dix-huit qualifications d’enseignement en mathématiques appliquées. Vingt-neuf volumes de registres manuscrits réunis aujourd’hui dans une même collection. Vingt-trois exposés pour un seul séminaire en un semestre. Plus de cinq cents modèles. Quant aux docteurs formés par Hilbert à Göttingen, le nombre généralement retenu aujourd’hui est d’environ soixante-seize.

Ces chiffres mesurent une densité d’activité et une capacité de formation. Ils ne mesurent pas la qualité de la recherche. Personne n’en a encore tiré un rang objectif, et peut-être l’opération est-elle impossible. La longueur des articles, les livres, les cours rédigés, les thèses, les collaborations entre établissements, le pouvoir éditorial, les citations ultérieures : rien de tout cela n’a d’unité commune. On ne peut pas davantage porter les bons articles des Annalen au crédit de Göttingen. C’était une revue internationale. Ses rédacteurs étaient à Göttingen ; ses auteurs étaient dans le monde entier.

Laissons les classements. Une question, elle, admet une réponse : par rapport aux manières de faire des mathématiques rencontrées dans les treize épisodes précédents, qu’est-ce qui s’était ajouté ici ? Mettons quatre situations côte à côte.

Les écoles de scribes du premier épisode : un petit lieu, un groupe d’élèves qui apprenaient auprès d’un maître, par la copie et le face-à-face. Tant que l’école tenait, la transmission tenait. L’école se dispersait, la transmission se rompait. L’argent répondait aux besoins concrets de l’État ou du temple : calculer l’impôt, établir le calendrier.

Les hommes reliés par la correspondance, dans le quatrième épisode : Archimède vivait en Sicile et envoyait à Alexandrie, par lettre, ce qu’il avait trouvé. Ce lien avait une faiblesse fatale. Il dépendait de personnes précises. Que le destinataire meure ou déménage, et la liaison disparaissait.

La situation des neuvième et douzième épisodes : les revues existaient, l’imprimé voyageait loin et durait longtemps. La recherche elle-même restait pourtant une affaire privée. Un homme calculait sur ses propres feuilles et soumettait son travail une fois terminé. Ce qui se trouvait entre les deux, les calculs inachevés, les erreurs, les simples idées, circulait surtout par les lettres et les cours.

Göttingen fit entrer les fonctions de ces trois formes dans une seule boucle, qui tournait vite. Des gens travaillaient durablement dans le même bâtiment. Les travaux non publiés avaient un lieu où être présentés, et la présentation laissait une trace. Les documents se trouvaient dans une pièce où la promotion suivante pouvait les retrouver. Les qualifications dessinaient un parcours clair. L’argent avait trois sources. Et les mêmes hommes siégeaient aussi à la rédaction des revues.

Le niveau le moins visible et le plus important, c’était celui-ci : l’inachevé avait trouvé où aller. Dans les treize épisodes précédents, lettres, écoles et notes de cours avaient déjà assuré des relais, mais cette circulation dépendait souvent davantage des personnes. Göttingen en transforma une partie en institutions plus stables. Un travail pouvait d’abord entrer au séminaire, devenir un registre, prendre place sur une étagère de la salle de lecture, être lu par la promotion suivante, fournir à quelqu’un son sujet de thèse, puis seulement parvenir à une revue.

Ce que ces quarante années avaient construit n’était donc pas un groupe de génies. C’était un chemin qui dispensait de repartir chaque fois de zéro.

Et sur ce chemin, le tronçon le plus visible, le bâtiment, avait été construit en dernier.

Cela mérite qu’on s’y arrête, car presque toujours on prend les choses à l’envers. Un lieu s’est imposé ; on va le visiter, on voit ses bâtiments, ses grands noms, ses lauréats. Tout cela est venu à la fin. Personne ne photographie ce qui l’a véritablement mis en mouvement : une salle dont les livres ne sortent pas, un registre manuscrit, un quart d’heure inscrit à l’emploi du temps, une somme affectée à la formation des professeurs du secondaire, un parcours qui mène du cours à la chaire. Copier la partie visible ne suffit pas à le reconstruire.

Il reste un autre point, qui est au fond le même. Le même dispositif accueillait les uns et écartait les autres, par le même mécanisme. Resserrer les liens à l’intérieur du cercle pouvait aussi renforcer ceux qui en contrôlaient les entrées ; pour savoir si cela aggravait l’exclusion, il faut examiner les cas un à un. Le séminaire permettait aux membres du cercle de s’entendre entre eux ; ceux du dehors en étaient d’autant plus privés. Un parcours de qualifications bien tracé orientait ceux qui s’y engageaient, tout en faisant de chaque seuil un endroit où l’on pouvait légalement tenir quelqu’un dehors. La demande rejetée en 1915 l’avait été au nom des règles de ce parcours même.

On ne peut pas en rester à un soupir. Ce point se vérifie : quelle porte, gardée par qui, en vertu de quelle règle ? Répondre, c’est savoir qui cette machine accueillait et qui elle écartait.

Cette machine pouvait décider de bien des choses : qui comptait comme mathématicien, quels problèmes, et ceux de qui, méritaient qu’on s’y consacre, qui serait formé, quels auteurs seraient lus. Mais une chose lui échappait. Elle avait organisé les hommes sans résoudre ce sur quoi ils allaient s’affronter.

Dans ces couloirs mêmes, dans cette salle de lecture, les vingt années suivantes verraient éclater une querelle plus fondamentale que toutes les précédentes : à quelles conditions une chose peut-elle être tenue pour démontrée ?

On continuait de compter. Mais ce qui comptait comme mathématiques, on ne l’avait encore jamais mis au clair.

Sources historiques et lectures complémentaires

Les documents suivants éclairent les détails historiques et les divergences d’interprétation évoqués dans cet essai. Les inventaires de collections, la littérature ancienne et les reconstitutions modernes ne constituent pas des preuves de même nature.

• Clay Mathematics Institute : numérisation des registres des séminaires de Klein
• Université de Göttingen : guide des collections
• Inventaire des archives de mathématiques et de sciences de la nature de Göttingen, 1880-1933
• Université de Göttingen : biographie d’Emmy Noether
• Hilbert, Problèmes mathématiques : traduction anglaise de Mary Winston Newson, 1902
• Histoire de la Commission internationale de l’enseignement mathématique : Felix Klein

• Göttinger Bibliotheksschriften, volume 23

• Registres des séminaires de Klein, 1872–1912 : quatre villes et une collection