Gotinga

1. Quince minutos entre clases

En 1931 llegó a Gotinga un estudiante estadounidense llamado Mac Lane. Entre los recuerdos que dejó por escrito muchos años después hay uno que parece no tener la menor importancia.

Las clases solían durar dos horas, con una pausa de quince minutos en medio. Los estudiantes salían del aula y recorrían el pasillo de un lado a otro. A ambos lados había vitrinas: superficies de yeso, formas de metal e hilos tensados, algún mecanismo con manivela. Caminaban, miraban y hablaban con quien tenían al lado. Al cabo de un cuarto de hora volvían para la segunda mitad de la clase. Y, al terminar, esas mismas personas se encontraban otra vez en una sala del edificio bien provista de libros.

Lo escribió mucho después, y hay que darle el valor que corresponde a un recuerdo. El edificio y los modelos permiten corroborar por otras vías el entorno que describe; no garantizan que cada detalle de las clases sea independiente de su memoria. Pero el pasillo era ese pasillo, los objetos de las vitrinas siguen ahí y alguien había reservado aquellos quince minutos en el horario.

Eso es precisamente lo que merece atención. El cuarto de hora no había nacido de una inspiración. Alguien había dispuesto clases de dos horas con un descanso en medio; alguien había colocado las vitrinas en el pasillo en vez de encerrar los modelos en un almacén; alguien había reservado, en el mismo edificio, una sala donde sentarse a leer. Si los estudiantes se encontraban entre clase y clase y acababan hablando de matemáticas, era porque esas tres decisiones coincidían.

Retrocedamos cuarenta años: esa misma universidad se había quedado casi sin estudiantes. Hoy el nombre de Gotinga va unido a Gauss y a Riemann. Gauss trabajó allí durante décadas; Riemann estudió, enseñó y pronunció allí su conferencia sobre los fundamentos de la geometría. Sin embargo, en 1882 la universidad tenía unos doscientos cuarenta estudiantes de matemáticas y ciencias naturales; diez años después eran alrededor de noventa. Ambas cifras suman matemáticas y ciencias naturales: sería un error tomarlas por la matrícula de matemáticas solamente. Pero el descenso existió. Y ocurrió en una universidad por la que habían pasado Gauss y Riemann.

La fama no se mantiene viva por sí sola.

Durante algo más de cuarenta años, desde 1886 hasta comienzos de la década de 1930, hubo quienes montaron una máquina en aquella pequeña ciudad. Este episodio trata de esa máquina, no de los teoremas que se produjeron dentro de ella.

No se construyó siguiendo un plano. En 1886 no existía ningún papel que contuviera el programa de los cuarenta años siguientes. Se fueron añadiendo piezas, una tras otra. Solo más tarde pudo verse que, juntas, formaban una máquina.

Antes hay que explicar por qué merece un episodio propio. En los trece anteriores, hacer matemáticas había sido, en lo esencial, el trabajo de una persona sobre un papel. Arquímedes enviaba sus resultados por carta a Alejandría y luego esperaba mucho tiempo una respuesta. Cardano y Tartaglia se retaban desde ciudades distintas. Los trabajos de Newton pasaron décadas en un cajón. Cuando murió Galois, sus manuscritos fundamentales sobre la teoría de ecuaciones todavía no habían sido publicados formalmente ni comprendidos a fondo; sus principales memorias no salieron a la luz hasta catorce años después.

Todos estaban muy solos, y esa soledad no era únicamente una cuestión de carácter. Entregar una idea a medio hacer y encontrar al día siguiente a alguien dispuesto a seguir pensándola dependía más de dar con la persona adecuada. Todavía no era algo con lo que se pudiera contar todos los días. Cuando una persona moría, lo que había dejado sin terminar solía desaparecer con ella.

A partir de este episodio cambia el sujeto de la historia.

2. Un hombre se hizo cargo de un cascarón vacío

Klein llegó a Gotinga en 1886.

Lo más habitual es contar su labor como una sucesión de buenos matemáticos a los que fue invitando a venir. No es falso. Solo deja fuera lo más difícil. Para traer a alguien hacía falta una plaza; para tener una plaza hacía falta dinero; y el dinero tenía que pasar por la administración educativa prusiana. Lo que Klein estaba cambiando de verdad era cuanto aquella universidad podía poner a disposición de las matemáticas.

Nada más llegar se ocupó de varias cosas que, vistas desde fuera, parecen bastante tediosas: abrir cursos avanzados, organizar seminarios, conseguir para los estudiantes una sala donde reunir libros. Volveremos a ellas.

Más importante aún fue que empezó a conectar las matemáticas con el exterior. En 1893 viajó a Estados Unidos. A su regreso presentó a las autoridades educativas prusianas un informe sobre la organización de la enseñanza superior estadounidense. Algunas de sus propuestas no parecen, ni siquiera hoy, asuntos propios de un matemático: reformar la formación de los profesores de secundaria, permitir que las mujeres estudiaran en la universidad, reforzar la vertiente aplicada de las matemáticas y buscar financiación entre ingenieros e industriales.

El 2 de junio de 1897 escribió a Althoff. Era un funcionario de enorme poder dentro de la educación prusiana: la decisión de crear una cátedra, dónde establecerla y a quién concedérsela pasaba en buena medida por sus manos. La carta trataba de las nuevas normas de examen y planteaba una idea: que las matemáticas aplicadas se convirtieran en una especialidad para la que pudiera obtenerse una titulación docente.

El paso de mayor alcance llegó al año siguiente. En febrero de 1898 se fundó en Gotinga una asociación; la publicación conmemorativa de su décimo aniversario da como fecha el día 26. Su nombre y su cometido se referían entonces a la física aplicada. Las matemáticas no se incorporaron oficialmente a uno y otro hasta alrededor de 1900-1901; las distintas historias no coinciden por completo en el año en que entró en vigor el cambio de nombre. No se puede invertir ese orden. Las matemáticas se subieron al tren de la física y de la industria; no tenían uno propio de antemano.

En la asociación participaban profesores universitarios de matemáticas, física y química, junto con industriales adinerados y representantes de la ingeniería. La presidía Böttinger, empresario de la industria química; Klein era vicepresidente. Althoff formaba parte de la misma red desde la administración educativa. En cierto momento, la asociación llegó a reunir en torno a sí a unos cincuenta representantes de la industria con capacidad económica.

La financiación quedó así repartida en tres estratos. El Estado sostenía las cátedras oficiales, las plazas de plantilla y los edificios universitarios. El dinero de la industria, canalizado por la asociación, permitía poner en marcha nuevas iniciativas de física aplicada, física técnica y matemáticas aplicadas. En la década de 1920 se sumaron las fundaciones filantrópicas estadounidenses para construir edificios.

Aquí es fácil torcer el relato. Que los industriales pagaran por las matemáticas puede sonar a que el capital compró un departamento. Rieppel, uno de los fundadores de la asociación, recordó más tarde lo que buscaban: mejorar la preparación de los futuros profesores de secundaria, impulsar la investigación en ciencias aplicadas y hacer que la universidad respondiera mejor a las necesidades prácticas. De las tres cosas, consideraban la primera la más importante.

Profesores de secundaria. Un grupo de hombres del acero y de la química se sentó a financiar las matemáticas de una universidad, y su primer motivo era que la enseñanza en las escuelas secundarias no era lo bastante buena.

El vínculo funcionaba. Para 1910, ciento setenta y ocho estudiantes prusianos habían obtenido ya aquella nueva titulación para enseñar matemáticas aplicadas.

Si se mira el conjunto, aparece un circuito. Con mejores profesores de secundaria, la universidad recibía estudiantes mejor preparados. Los seminarios convertían a algunos en investigadores. Las nuevas cátedras permitían retenerlos. La investigación aplicada volvía a reclamar recursos al Estado y a la industria. Las publicaciones y los contactos internacionales extendían la reputación, y esa reputación ayudaba, a su vez, a atraer estudiantes y a conseguir nombramientos. En cada vuelta, todos los tramos del circuito ganaban un poco más de consistencia.

La cifra más visible es la de las cátedras. En los diez años que van de 1898 a 1908, las plazas de profesor ordinario de matemáticas y física en Gotinga pasaron de unas cinco a unas diez.

Hilbert llegó en 1895, pero tampoco bastó con invitarlo. Cuando Schwarz dejó Gotinga por Berlín en 1892, Klein ya quería que Hilbert ocupara la vacante. La plaza fue para Weber. Solo cuando Weber se trasladó a Estrasburgo en 1895 pudo Klein intentarlo de nuevo. Esta vez lo consiguió. Entre un intento y otro habían pasado tres años.

Ningún estatuto establecía un reparto de funciones entre los dos. Pero, al observar lo que hicieron durante décadas, se distingue una diferencia de énfasis. Klein se ocupaba sobre todo de la organización académica, la enseñanza, los nombramientos, las relaciones con el Estado y las aplicaciones. Hilbert ponía el centro en la investigación misma y en ordenar los problemas que merecía la pena abordar.

Eso no autoriza a convertir a uno en administrador y al otro en investigador. Hilbert también intervenía en los nombramientos, formaba parte de redacciones y dirigía seminarios; más tarde se implicó personalmente en la política del instituto. Klein, por su parte, nunca dejó de investigar. La diferencia estaba en dónde cargaban el peso: uno ampliaba los recursos que el sistema podía movilizar; el otro, su capacidad para generar problemas y formar jóvenes matemáticos.

3. Una sala de la que no salían los libros

La sala que Klein había conseguido se llamaba entonces sala de lectura. Hoy la expresión puede hacer pensar en una sucursal de biblioteca, pero no era eso. No había préstamo para llevarse los libros: tanto estos como las revistas se consultaban allí. Era, además, el lugar de trabajo de la comunidad matemática; un estudiante podía pasar el día entero sentado en ella. Klein había ensayado algo parecido en Leipzig y le dio continuidad en Gotinga.

Junto a los libros y las revistas había materiales que no se encontraban en otras partes. Era frecuente poner por escrito los cursos de Gotinga: ayudantes o estudiantes ordenaban lo expuesto en clase, el texto se revisaba y luego circulaba entre los miembros de la comunidad. Un curso no desaparecía al terminar el semestre. Quedaba convertido en un fajo de papeles disponible para su consulta.

En una misma habitación, un estudiante podía buscar información, leer las versiones escritas de cursos de años anteriores, preparar la parte que le tocaría exponer la semana siguiente y encontrarse, de paso, con los ayudantes de los profesores y con otros estudiantes.

Aquel nivel intermedio no tenía nombre oficial, pero cumplía una función muy concreta: acortaba el tiempo entre el momento en que alguien enunciaba una idea nueva y aquel en que la siguiente generación podía servirse de ella.

En episodios anteriores, esos papeles ya existían. Lo que no dejaban de hacer era perderse. El pergamino de Arquímedes raspado y vuelto a escribir del cuarto episodio; los papeles de trabajo privados encerrados en un cajón del noveno; los resultados de Weierstrass, que publicaba muy poco y llegaban a los demás a través de los apuntes de sus alumnos, en el duodécimo: todos hablan de lo mismo. El contenido decisivo estaba en papeles que no se habían preparado para la imprenta. Algunos de esos papeles se dispersaron; otros aparecieron mucho después. Y otros, como los apuntes de las clases de Weierstrass, ya circulaban entonces de copia en copia y servían para trabajar.

La solución de Gotinga no tuvo nada de deslumbrante: llevar aquellos papeles a una sala, ponerlos en estantes y hacer que los estudiantes siguientes pudieran encontrarlos.

Los objetos de las vitrinas del pasillo eran otra forma de la misma solución. Gotinga conserva hoy más de quinientos modelos matemáticos históricos, fechados entre 1780 y 1930, aunque la mayor parte data de entre 1870 y 1920. Superficies moldeadas en yeso, formas hechas con hilos tensados sobre armazones metálicos, mecanismos de manivela y láminas para las clases.

No eran adornos. En la enseñanza matemática europea de la segunda mitad del siglo XIX se extendió el gusto por construir las cosas para poder verlas. Brill y Klein estuvieron entre sus impulsores. Más adelante, Schilling hizo de los modelos un negocio: en 1911 su catálogo ya ofrecía cientos de piezas a la venta.

Una superficie dibujada en la pizarra solo se ve desde un ángulo. Un modelo se puede coger, girar y colocar junto a otro para compararlos. Por eso aquellos objetos servían a la vez para enseñar, para tantear ideas durante una investigación y para que los estudiantes se ejercitaran por su cuenta.

Ahora, detrás de un cristal, es fácil tomarlos por piezas de museo. Entonces eran material de enseñanza. Eso era lo que Mac Lane veía en los descansos: material que todavía se utilizaba.

Ya hemos visto la sala y las vitrinas. Falta saber quién estaba al lado.

La orientación aplicada que promovía Klein no cabía solo en una norma de examen: también necesitaba espacio. Runge llegó a la cátedra de matemáticas aplicadas de Gotinga hacia 1904. Por aquellos años atrajeron también a Prandtl, que trabajaba en mecánica aplicada y fluidos. El dinero y el interés de la industria hicieron que los contactos entre matemáticos, físicos e ingenieros fueran más estrechos que en la universidad alemana corriente.

Eso no significó que las matemáticas aplicadas absorbieran la física teórica. Gotinga contaba con una tradición y con cátedras propias de física matemática. Más tarde, el instituto de física teórica de Born y sus colegas quedó muy cerca del mundo de las matemáticas, tanto por su ubicación como por las personas que lo frecuentaban. Lo que Mac Lane recordaba de 1931 era precisamente que los físicos estaban al lado.

La relación cabe en cuatro frases: las instituciones eran vecinas; las personas pasaban de unas a otras; los problemas circulaban; las estructuras administrativas seguían separadas.

4. Los estudiantes tomaban la palabra

Conviene distinguir primero tres situaciones, porque en chino a menudo se confunden bajo una sola palabra. En la primera, el profesor habla de principio a fin y los estudiantes toman apuntes. En la segunda, cada estudiante debe preparar un trabajo, levantarse a exponerlo y responder a las preguntas que le hagan allí mismo. La tercera es una reunión periódica a la que se invita a alguien de fuera para que hable ante los miembros de la institución.

En Gotinga existían las tres. Aquí nos interesa la segunda.

De ella ha quedado una huella material muy sólida. Los seminarios dirigidos por Klein dejaron libros de actas manuscritos: veintinueve volúmenes, unas ocho mil seiscientas páginas que abarcan varias décadas. Esos cuadernos también guardan los años en que enseñaba en otros lugares, antes de llegar a Gotinga. Allí se anotaba a quién correspondía cada tema, quién había hablado, en qué fecha, qué había expuesto y qué problemas habían surgido en la discusión. Más tarde se digitalizó la colección entera. Por eso, para saber qué ocurrió en aquella aula durante el invierno de 1911, hoy no hace falta depender de unas memorias.

En esto resultan más útiles que los artículos: una publicación formal suele conservar el resultado final; las actas conservan el proceso. Muestran cómo se escogió un tema, en qué orden se fue desplegando en la exposición y qué forma tenía entonces el razonamiento. A veces permiten incluso seguir el recorrido de una idea desde el seminario hasta la imprenta.

Gracias a esas actas, no tenemos que imaginar cómo transcurría un seminario. En el semestre de invierno de 1911-1912, Klein organizó uno sobre el nacimiento del cálculo diferencial e integral. Exigía reconstruirlo a partir de los documentos originales de la época. En la primera sesión explicó el propósito y repartió los temas concretos.

De aquel semestre quedaron veintitrés exposiciones. Hablaron estudiantes, investigadores jóvenes y también mujeres. Veintitrés es el número de exposiciones, no el de participantes: algunos intervinieron más de una vez.

Durante el curso, Klein enfermó y no pudo seguir dirigiéndolo.

El seminario no se interrumpió. Schimmack tomó el relevo y lo llevó hasta el final del semestre.

Esta es la frase del episodio que más merece una pausa. El director se retira y el curso sigue. Los temas estaban repartidos, las funciones asignadas y la manera de dejar constancia de lo ocurrido ya estaba establecida. El seminario había dejado de depender de una sola persona.

¿Qué había de nuevo, entonces, respecto de los siglos anteriores? No es que antes el maestro hablara y los alumnos escucharan, y ahora todos discutieran. Siempre hubo discusión; siempre hubo estudiantes que hacían preguntas. La novedad tenía cuatro capas, y solo actuaban juntas.

Primera: se exigía a los estudiantes producir contenido, no limitarse a asimilarlo. Segunda: sus compañeros sometían ese contenido a crítica en el acto. Tercera: después de la crítica, quedaba por escrito y se archivaba. Cuarta: todo ello formaba parte de un recorrido articulado, de los cursos al seminario, del seminario al doctorado, de ahí a la habilitación docente y, por fin, a la cátedra.

El aula dejaba así de ser un lugar donde el saber descendía desde la tarima. Se convertía en una fase de la formación de investigadores.

Gotinga no inventó esa clase de seminario. Las universidades alemanas, incluida la de Berlín, lo conocían desde antes. Su singularidad consistió en anudarlo a la sala de lectura, a una serie de cátedras, a la formación doctoral, a los investigadores visitantes y a las revistas. Cada pieza, por separado, existía también en otros lugares. Lo que distinguía a Gotinga era la densidad de las conexiones entre ellas.

5. La mesa de la redacción

Hacia 1900, la pregunta de adónde enviar un artículo de matemáticas una vez terminado ya tenía una respuesta estable: a una revista. Las revistas tenían editores. Conviene mirar con cuidado qué podían decidir esos editores.

Los Mathematische Annalen habían sido fundados en 1868 por Clebsch y Neumann, sin dependencia institucional de Gotinga. Pero la lista de sus editores permite ver cómo fue entrando allí aquella red. Klein se incorporó a la estructura editorial hacia 1876 y permaneció hasta 1924. Hilbert entró en 1903. Blumenthal, en 1906.

Los Mathematische Annalen no eran la revista de la Universidad de Gotinga. Existían desde dieciocho años antes de la llegada de Klein, sus autores procedían de muchos países y publicar en sus páginas daba visibilidad fuera de Alemania. Precisamente por su carácter internacional, sentarse a su mesa editorial tenía peso. Decidir qué publicaba la revista de la propia universidad era un asunto interno. Decidir qué publicaba una revista internacional era decidir qué iban a ver los matemáticos de otros países.

El trabajo editorial de 1900 no funcionaba como el actual. Hoy muchas revistas emplean procedimientos bastante normalizados para recibir y evaluar artículos, aunque no hay una regla única sobre el anonimato, el número de evaluadores o la intervención del editor. Entonces el cauce era otro. Un editor podía haber solicitado personalmente un artículo, o recibirlo directamente del autor. Lo leía él mismo y también podía enviarlo a un colega conocedor del tema o a alguien ajeno a la redacción. De un manuscrito que tramitó Klein quedó esta observación: tanto él como el evaluador externo encontraban que le faltaba originalidad. Ya había evaluación externa; se movía por relaciones personales, no por un circuito de oficina.

Quien ocupaba ese puesto podía hacer varias cosas muy concretas. Decidir si animaba a alguien a enviar un trabajo. Elegir a quien lo evaluaría. Decidir cómo transmitir al autor las observaciones recibidas. En muchos casos, impulsar de hecho la aceptación o la devolución de un manuscrito. Y, por encima de todo, al encargar artículos y organizar conjuntos de trabajos sobre un tema, decidir qué problemas iban a quedar a la vista de los matemáticos de distintos países.

Formar parte de una redacción era también una posición reconocida. Por entonces, entrar en el equipo editorial de una revista se consideraba una distinción académica.

Tampoco sería cierto que un editor pudiera decidirlo todo a su antojo. Había otros editores, había una casa editorial y había que ponerse de acuerdo. Por eso el episodio de 1928 provocó tanto ruido. Hilbert promovió la expulsión de Brouwer de la redacción de los Mathematische Annalen y acabó consiguiéndola. Un editor con suficiente peso, apoyado por la editorial y por parte de sus colegas, podía modificar el propio consejo de redacción. Las protestas de otros editores muestran, al mismo tiempo, que no era una facultad de la que se pudiera disponer con normalidad. Dedicaremos otro episodio a lo que se disputaba en aquel conflicto.

Si juntamos esta sección con la anterior, aparece algo que pocas veces se cuenta. Algunas personas de Gotinga se sentaban a la vez en tres mesas. En una se decidía quién recibiría formación; en otra, quién sería contratado; en la tercera, quién conseguiría que el mundo leyera sus artículos.

6. Veintitrés números

París, 8 de agosto de 1900. Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. Hilbert subió a la tribuna para hablar de «Problemas matemáticos».

La escena más repetida lo muestra leyendo, uno por uno, veintitrés problemas y repartiendo así las tareas de las matemáticas del siglo XX. Eso no ocurrió en la sala. No había tiempo suficiente: expuso diez.

Los veintitrés sobrevivieron completos gracias a la imprenta. El texto alemán íntegro apareció en 1900 en las comunicaciones de la sociedad científica de Gotinga y volvió a imprimirse en 1901. La traducción francesa de 1902 entró en las actas del congreso de París. Ese mismo año, la inglesa apareció en una publicación de la Sociedad Matemática Americana. La traductora era una matemática estadounidense, Winston. En el congreso de matemáticas de Chicago de 1893 había conocido a Klein; siguiendo su consejo, se había ido a Gotinga y había obtenido allí el doctorado.

El efecto no lo produjeron aquellas decenas de minutos en la tribuna. Lo produjo la transformación de la selección de una persona en una lista que podía citarse, numerarse, traducirse, enseñarse en clase y seguirse durante años.

La numeración importaba especialmente. Cuando expresiones como «el octavo problema» o «el décimo problema» entraron en los impresos de distintos países, se convirtieron en referencias compartidas por los matemáticos de todo el mundo. Bastaba con que alguien en Moscú dijera que trabajaba en el décimo problema para que otra persona en Chicago supiera inmediatamente de qué hablaba. Esa es una fuerza considerable, y no necesita ninguna orden administrativa.

Tampoco era una orden. Hilbert no había asignado a la comunidad matemática el trabajo de los cien años siguientes. Había convertido una red que ya contaba con prestigio internacional, poder editorial, capacidad de formación doctoral y acceso a la tribuna de los congresos en un sello de reconocimiento: estos problemas merecen ser estudiados. Un reconocimiento no obliga. Da carta de naturaleza.

También hay que hablar de quienes llegaban. Desde finales de la década de 1880 y a lo largo de la siguiente aumentó de forma notable el número de estudiantes estadounidenses que iban a Alemania a estudiar matemáticas. El viaje de Klein a Chicago en 1893 estrechó todavía más ese vínculo.

Aquí es fácil caer en una precisión falsa. Se suele decir que, en un año determinado, había tantos estudiantes estadounidenses en Gotinga. No se puede dar la cifra sin más, porque los documentos conservados permiten al menos cuatro recuentos: los alumnos matriculados oficialmente, los oyentes, los que figuran en la lista de un curso de cierto profesor y los que terminaron obteniendo un doctorado. Los resultados difieren mucho. Es verdad, además, que llegaron muchos estadounidenses a Alemania. Pero Alemania no era solo Gotinga.

Lo que sí se puede establecer es otra cosa, más importante que el número. Quienes llegaban no se marchaban después de oír una clase de un profesor célebre. Entraban en los seminarios, utilizaban la sala de lectura, escribían una tesis doctoral y conocían a quienes formaban parte de la red de las revistas. Al volver a su país, organizaban universidades estadounidenses siguiendo aquel modelo. Gotinga no exportaba unos cuantos teoremas: exportaba un plano de cómo organizar las matemáticas dentro de una universidad.

Conviene poner al lado lo que ocurría por entonces en otros lugares. De lo contrario, Gotinga puede parecer un caso sin semejantes.

Berlín también tenía cátedras y seminarios de matemáticas, además de la Academia Prusiana de Ciencias. Weierstrass y Kronecker contaban cada uno con un grupo de estudiantes de gran nivel. No era un lugar anclado en el pasado. Lo que faltaba era la conexión continua entre matemáticas, física aplicada, financiación industrial y un instituto que las reuniera.

París tenía mucha gente y muchas instituciones: la Sorbona, la Escuela Normal Superior, la Escuela Politécnica, el Colegio de Francia y la Academia de Ciencias. Esa pluralidad era precisamente su forma de organizarse. Las fuerzas se repartían entre varias escuelas de élite, sin que un solo lugar las concentrara. Hubo que esperar a 1928 y a la financiación de la Fundación Rockefeller para que se levantara en París un instituto que se acercara a la idea de un centro común de visitas internacionales y física matemática.

Cambridge combinaba su organización en colleges con un célebre examen de matemáticas de gran peso y una larga tradición de preparadores privados. Hacia 1900, la formación de grado estaba moldeada casi por entero por aquel examen: quien resolvía más deprisa obtenía mejor puesto. La cultura de investigación crecía, pero la secuencia alemana del doctorado a la habilitación y de esta a la cátedra no era su manera de organizarse. El doctorado de investigación, el PhD, no llegó formalmente a Cambridge hasta después de la Primera Guerra Mundial.

Ambos sistemas estaban fuertemente institucionalizados, pero premiaban cosas distintas. Durante mucho tiempo, Cambridge recompensó la rapidez al resolver problemas y el buen desempeño en los exámenes. Gotinga incorporó a la formación reglada la participación misma en una comunidad de investigación.

Hay otro dato que impide convertir a Gotinga en una receta exclusiva. En la década de 1920, la Fundación Rockefeller financió tanto su nuevo edificio como el instituto parisino. Concentrar las infraestructuras de investigación era una nueva práctica de la financiación científica internacional de entreguerras, no una especialidad de un solo país.

7. Quién podía entrar y quién quedaba fuera

Hacia 1900, ¿ser matemático era ya una profesión?

Según varios criterios, sí. Había títulos reconocibles que acreditaban una formación: el doctorado y la habilitación docente. Había una sucesión de puestos. Había sueldos pagados por el Estado. Había revistas especializadas, dirigidas por los propios matemáticos, y seminarios que preparaban a la siguiente generación. También había congresos internacionales y sociedades nacionales que permitían a sus miembros reconocerse más allá de la propia universidad.

Lo que no se puede afirmar es que investigar en matemáticas se hubiera convertido ya en una ocupación corriente, autónoma y de cierta escala. Una parte considerable de quienes se formaban en matemáticas acababa enseñando en secundaria. Esa era, precisamente, la primera razón por la que Klein había impulsado la nueva titulación docente. Los investigadores trabajaban dentro de un sistema mayor, compuesto por las escuelas secundarias, las universidades y los exámenes del Estado.

El cambio de alrededor de 1900 no consistía, por tanto, en que los matemáticos empezaran por primera vez a ganarse la vida con las matemáticas. La investigación había desarrollado un mecanismo capaz de reproducirse: formaba a un doctor, este preparaba a la siguiente generación como ayudante o como docente privado y, al final, competía por una cátedra. Gotinga sabía enlazar con especial firmeza los eslabones de esa cadena, pero la cadena misma era un producto del sistema universitario alemán.

¿Se cobraba en todos sus eslabones? No.

Quienes vivían de las matemáticas en una universidad alemana pertenecían entonces a distintas categorías. La diferencia más tajante entre unas y otras no era el rango académico, sino tener o no tener sueldo.

El catedrático percibía una retribución fija del Estado, era funcionario prusiano, tenía asegurada la jubilación y ejercía poder efectivo: decidía a quién contratar, qué examinar y cómo gastar el dinero del instituto. En el nivel siguiente, las situaciones variaban; algunos recibían un salario estatal, otros solo poseían un título, sin plaza en la plantilla. Más abajo estaba el Privatdozent, el docente privado. Su condición le concedía una facultad: podía impartir cursos y examinar por cuenta propia. No le concedía un sueldo. Vivía de las tasas que pagaban los estudiantes por asistir a sus clases, de la familia, de becas y ayudas o de algún trabajo adicional fuera de la universidad. En el último peldaño estaban los ayudantes. Ellos sí cobraban, a cargo del instituto o de una cátedra, pero su puesto era temporal: quienes estaban por encima decidían si se renovaba y qué trabajo debían hacer.

Al poner esos cuatro niveles uno detrás de otro, aparece una exigencia muy concreta: para llegar a una cátedra había que atravesar un periodo, acaso de varios años, sin ingresos fijos.

Por eso hay que poner un límite a la idea de que se competía por talento. Poder resistir esos años no dependía del talento. Dependía de que la familia tuviera dinero, de que alguien concediera una beca o de que un profesor estuviera dispuesto a ofrecer una plaza de ayudante. Era una criba, y lo que se ponía a prueba no eran las matemáticas.

Había otra criba: el sexo. Era todavía más visible, porque figuraba en el reglamento.

En 1874, Gotinga concedió un doctorado a una mujer rusa. Se llamaba Kovalevskaya y había estudiado durante años, en privado, con Weierstrass en Berlín, porque la universidad de esa ciudad no la admitía. Recibió el título por los trabajos de investigación que presentó, con la máxima calificación. La eximieron del examen oral y ella no compareció en persona.

Puede parecer una puerta que se abría. Fue, en realidad, un rodeo. Durante todo el proceso no asistió a una sola clase en Gotinga ni realizó allí un solo examen. La universidad no la dejó entrar: reconoció lo que ella había hecho fuera.

Lo de 1895 fue distinto. Una británica, Chisholm, había llegado a Gotinga en 1893 para estudiar con Klein. Ese mismo año llegaron también dos estadounidenses; una era Winston, la futura traductora de la lista de problemas. Para poder estudiar allí, Chisholm necesitó ya una autorización especial por ser mujer. Asistió a clase, escribió su tesis y, dos años después, se sentó de verdad ante un tribunal para hacer un examen oral en alemán. No la examinaron solo de matemáticas: también de física y astronomía.

Por eso, al hablar de las primeras mujeres que obtuvieron doctorados en matemáticas en las universidades alemanas, hay que precisar la disciplina, la institución y la vía por la que se consiguió el título. Si contamos los doctorados expedidos por Gotinga, el de 1874 fue anterior. Si contamos a quien estudió realmente en la universidad y pasó por los exámenes, el primero fue el de 1895. Decir sin más «la primera» funde dos experiencias muy distintas en una sola.

Hasta ahí, la puerta que se había abierto era únicamente la de los estudiantes.

La de los docentes venía después. Y era mucho más difícil de franquear.

A partir de 1908, las mujeres pudieron acceder con relativa normalidad a las universidades prusianas. Otra norma, establecida ese mismo año, les cerraba el acceso a la habilitación docente.

En 1915, Noether llegó a Gotinga invitada por Klein y Hilbert. En julio de ese año solicitó la habilitación.

El obstáculo para Noether no estaba en las matemáticas. La sección de Matemáticas y Ciencias Naturales no solo no se opuso: en noviembre de ese mismo año presentó una petición formal al ministro prusiano de Educación. Solicitaba una excepción individual que la eximiera de la prohibición de 1908. El escrito cuidaba mucho de aclarar que no se pedía abolir la prohibición entera. Se pedía una excepción para una sola persona.

La petición fue rechazada.

Las razones de la oposición tenían dos niveles, y conviene separarlos. El primero era formal. La habilitación no se limitaba a reconocer que alguien sabía enseñar: confería una condición que autorizaba a dar cursos de manera independiente, preparar exámenes y decidir si un estudiante aprobaba. Los reglamentos de entonces no contemplaban que una mujer pudiera ostentarla.

El segundo nivel no hablaba de reglamentos. A los opositores les inquietaba que los soldados que volvieran del frente tuvieran que sentarse a los pies de una mujer para recibir sus lecciones. También temían que aquella primera excepción abriera un paso por el que las mujeres entraran en el cuerpo de profesores.

La actuación de quienes la apoyaban merece más atención que la de sus adversarios. No se dedicaron a demostrar lo inteligente que era Noether: de eso sobraban pruebas y no era lo que estaba en discusión. Primero intentaron la excepción individual, porque no tocaba el reglamento entero y ofrecía las mayores probabilidades de ser autorizada. Mientras seguía bloqueada la habilitación formal, Hilbert recurrió a otro procedimiento. Los cursos figuraban a su nombre, pero quien los impartía era Noether. En el programa del semestre de invierno de 1916-1917 aparece uno así: seminario de física matemática, profesor Hilbert, con la colaboración de la doctora Noether; lunes, de cuatro a seis; sin tasas de asistencia.

La habilitación formal y la enseñanza efectiva quedaron separadas. Que aquello pudiera hacerse muestra, precisamente, la firmeza del sistema en los demás puntos: hasta para sortearlo había que ampararse en un nombre oficial.

De la discusión ha sobrevivido sobre todo una frase que viene a decir que una universidad no es una casa de baños. Circula en varias versiones. Sabemos que la disputa fue muy dura y que Hilbert criticó con aspereza a los colegas que anteponían el sexo a las cualificaciones académicas. Lo que no está asegurado es la ocurrencia misma. No figura en ninguna acta de 1915; las palabras que se repiten hoy se transmitieron más tarde.

Llevamos un siglo recordando una ocurrencia que sirve de desahogo. Lo que ocurrió entonces, de manera documentada, fue que rechazaron aquella petición. Las dos huellas no tienen el mismo peso.

Conviene leer juntas las fechas que siguen, porque separan con nitidez los títulos de los salarios. Solo en 1919, después de un cambio en el sistema, Noether pudo completar la habilitación. Pasó a ser docente privada, sin sueldo fijo. En 1922 recibió un título de profesora, pero fuera de la plantilla de funcionarios: seguía sin ser una profesora ordinaria remunerada. No obtuvo un encargo docente pagado hasta 1923. La cantidad era muy baja y el encargo debía renovarse periódicamente.

Desde la solicitud de 1915 hasta la primera retribución de 1923 que podía llamarse sueldo habían pasado ocho años.

El sistema no excluía únicamente a las mujeres. Ya hemos visto cómo dejaba fuera a parte de quienes no disponían de un colchón económico. También quedaban al margen quienes no habían entrado en la red de recomendaciones. Los seminarios y la sala de lectura reducían de verdad el esfuerzo necesario para intercambiar ideas dentro del círculo. Pero del doctorado a la habilitación y de la habilitación a una cátedra, cada paso exigía superar los trámites del cuerpo de profesores y del Estado. Cuanto mejor funcionaba la red, mejor funcionaba para los que ya estaban dentro.

El caso de los estudiosos judíos exige especial cuidado: no se puede proyectar 1933 hacia atrás. Durante el Imperio hubo prejuicios y obstáculos en los nombramientos, eso es cierto. Pero entre las figuras importantes de las matemáticas y la física de Gotinga había varias judías o de origen judío. No era lo mismo que la expulsión masiva amparada por la ley que llegó después de 1933. Confundir ambas cosas hace un juicio injusto de los treinta años anteriores y resta gravedad a lo que vino después. Eso último necesita su propio episodio.

8. El edificio llegó al final

Si hoy vamos a Gotinga, alguien nos señalará el edificio del Instituto de Matemáticas.

No entró en servicio hasta 1929.

Todo lo que hemos visto apareció antes: los seminarios, la sala de lectura, las lecciones puestas por escrito, las actas, los modelos, las cátedras, el dinero de la asociación industrial, las mesas de las redacciones, los estudiantes llegados de Estados Unidos. Las primeras piezas le llevaban al edificio cuarenta años de ventaja.

La propia construcción tiene dos fechas, y las dos son correctas. En 1926, Courant impulsó la constitución del instituto como organización. Entre 1927 y 1929 se reunieron las instalaciones matemáticas que hasta entonces estaban dispersas por la ciudad. Una cosa era la organización; otra, la casa que la alojaba. La mayor parte del dinero vino de la Fundación Rockefeller, de Estados Unidos. Más tarde se ha citado una cantidad, trescientos cincuenta mil dólares: conviene entenderla como el orden de magnitud de la aportación de la fundación al proyecto, no como el coste total de la obra.

El nuevo edificio empezó a utilizarse a finales de 1929. Dos años después, Mac Lane recorría sus pasillos de un lado a otro.

Vale la pena recordar el orden, porque va en dirección contraria a la imagen de la «edad de oro de Gotinga». En esa imagen, un grupo de genios coincide por casualidad en una pequeña ciudad, pasea, toma el té y, de aquella convivencia, salen las matemáticas modernas.

Podemos enumerar lo que falta en el cuadro. Ayudantes que preparan las versiones escritas de los cursos. Estudiantes que redactan las actas. Mujeres y alumnos extranjeros sentados en los seminarios. Editoriales que imprimen. Funcionarios prusianos que autorizan cátedras. Industriales que reúnen dinero. Si se borra todo eso, solo quedan unos cuantos genios de paseo.

Tampoco hubo nunca unanimidad dentro. La voluntad de Klein de conectar la universidad con la industria y la técnica encontró oposición desde el principio. Sus críticos temían que las matemáticas puras acabaran arrastradas por los criterios de las escuelas técnicas y las necesidades de la industria. Esa tensión no llegó a resolverse institucionalmente. La mayor parte del tiempo, unas pocas personas que pertenecían a varias redes a la vez tendían puentes provisionales entre ellas.

Otro hecho vino a reforzar, retrospectivamente, aquella imagen: 1933. Cuando algo se corta de golpe, es fácil que la memoria posterior lo convierta en un mundo completo que se ha perdido.

¿Cuánta fuerza tenía realmente? ¿Se puede medir? Estas son las cosas que sí podemos contar. De cinco cátedras a diez. Ciento setenta y ocho titulaciones para enseñar matemáticas aplicadas. Veintinueve volúmenes de actas manuscritas reunidos hoy en una colección. Veintitrés exposiciones en un solo curso durante un semestre. Más de quinientos modelos. Y los doctores que formó Hilbert en Gotinga, que hoy suelen cifrarse en unos setenta y seis.

Esas cifras miden la intensidad de la actividad y la capacidad de formación. No miden la calidad de la investigación. Nadie ha conseguido convertirlas en una clasificación objetiva, y quizá no sea posible: la extensión de los artículos, los libros, los textos de los cursos, las tesis doctorales, los colaboradores de otras instituciones, el poder editorial y las citas de generaciones posteriores no comparten una unidad de medida. Tampoco se pueden apuntar a la cuenta de Gotinga los buenos artículos publicados en los Mathematische Annalen. Era una revista internacional: sus editores estaban en Gotinga, sus autores estaban por todo el mundo.

Si dejamos de lado las clasificaciones, hay una pregunta que sí admite respuesta. Frente a las maneras de hacer matemáticas que hemos visto en los trece episodios anteriores, ¿qué había aquí de nuevo? Pongamos cuatro situaciones una junto a otra.

La escuela de escribas del primer episodio: un lugar pequeño, un grupo de alumnos que aprende con un maestro, copiando y cara a cara. Mientras existe la escuela, la transmisión continúa. Cuando la escuela se dispersa, se corta. El dinero responde a las necesidades prácticas del Estado o del templo: calcular impuestos, fijar el calendario.

Los contactos por carta del cuarto episodio: Arquímedes trabaja en Sicilia y envía sus resultados por escrito a Alejandría. Hay una fragilidad decisiva en ese vínculo: depende de personas concretas. Si el destinatario muere o se marcha, el hilo desaparece.

La situación de los episodios noveno y duodécimo: ya hay revistas; lo impreso puede viajar muy lejos y durar mucho tiempo. Pero la investigación misma sigue siendo privada. Alguien calcula en sus papeles y, cuando acaba, envía el resultado. Lo que queda en medio, los cálculos sin terminar, los errores, lo que no pasa aún de una idea, depende más de las cartas y las clases para seguir circulando.

Gotinga reunió las funciones de esas tres formas en un mismo circuito que giraba muy deprisa. Las personas pasaban largos periodos en un mismo edificio. Había un lugar donde exponer lo que aún no se había publicado, y de la exposición quedaba constancia. Los materiales se reunían en una sala donde la siguiente promoción podía encontrarlos. Las cualificaciones seguían un recorrido claro. El dinero tenía tres procedencias. Y esas mismas personas se sentaban también en las mesas de las redacciones.

La capa menos visible, y también la más importante, era que el trabajo sin terminar había encontrado un lugar. En los trece episodios anteriores, las cartas, las escuelas matemáticas y los apuntes de clase ya habían servido como pasos intermedios; pero esa transmisión solía depender más de personas particulares. Gotinga convirtió parte de ella en una institución más estable. Allí una idea podía entrar primero en un seminario, pasar a un libro de actas, llegar al estante de la sala de lectura, ser leída por los estudiantes siguientes, convertirse en el tema de una tesis doctoral y solo entonces desembocar en una revista.

Lo que se construyó en aquellos cuarenta años no fue un grupo de genios. Fue un camino que evitaba tener que empezar de cero cada vez.

Y el tramo más visible de ese camino, el edificio, fue el último en construirse.

Hay que decirlo por separado porque casi siempre se cuenta al revés. Cuando un lugar ha cobrado fuerza, quienes van a visitarlo ven los edificios, los nombres, las personas premiadas. Todo eso aparece al final. Nadie fotografía lo que lo puso en marcha: una sala sin préstamo a domicilio, un cuaderno manuscrito, quince minutos en un horario, una partida de dinero para formar profesores de secundaria, un camino que va de los cursos a la cátedra. No se puede construir lo mismo copiando solo la parte que se ve.

Hay otra cuestión, que en realidad es la misma. El sistema daba entrada a unas personas y detenía a otras, y lo hacía mediante el mismo mecanismo. Estrechar mucho los vínculos internos también podía reforzar a quienes controlaban el acceso; si eso agravaba la exclusión debe comprobarse caso por caso. El seminario permitía oírse entre sí a quienes estaban dentro, lo que también significaba que desde fuera se oía aún menos. Un itinerario claro de cualificaciones orientaba a quien lo recorría, pero también convertía cada puerta en un punto donde se podía impedir legalmente el paso. Las reglas de ese mismo camino fueron el fundamento del rechazo a la petición de 1915.

No basta con quedarse en una reflexión. Se puede comprobar: qué puerta, quién la custodiaba, al amparo de qué norma. Cuando podemos responder, sabemos a quién recibía la máquina y a quién detenía.

La máquina podía decidir muchas cosas: quién contaba como matemático, los problemas de quién merecían estudiarse, quién recibía formación y los artículos de quién llegaban a leerse. Pero había algo que no podía decidir. Había organizado a las personas; no había resuelto aquello por lo que esas personas iban a discutir.

En esos mismos pasillos y en esa sala de lectura, durante los veinte años siguientes se libraría una disputa que llegaba más al fondo que todas las anteriores: qué podía darse por demostrado.

Se seguía calculando. Qué contaba como matemáticas no se había resuelto nunca.

Fuentes y lecturas complementarias

Las siguientes referencias corresponden a los detalles históricos y a las discrepancias de interpretación del texto. Los registros de las colecciones, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no constituyen el mismo tipo de prueba.

• Índice de las actas de los seminarios de Klein, 1872–1912: cuatro ciudades

• Instituto Clay de Matemáticas: digitalización de las actas de los seminarios de Klein

• Universidad de Gotinga: guía de sus colecciones
• Inventario de archivos de matemáticas y ciencias naturales de Gotinga, 1880–1933
• Universidad de Gotinga: biografía de Emmy Noether
• Hilbert, Problemas matemáticos: traducción inglesa de Mary Winston Newson, 1902
• Historia de la Comisión Internacional de Instrucción Matemática: Felix Klein
• Colección de publicaciones de la Biblioteca de Gotinga, volumen 23