Lo que no se termina de contar

1. Lo veo, pero no lo creo

El 29 de junio de 1877, Cantor escribió una carta a Dedekind. Acababa de demostrar algo que no lo dejaba tranquilo ni a él mismo.

Tenía treinta y dos años y enseñaba en la Universidad de Halle. Lo que iba a contarle no echaba por tierra el teorema de otro, sino una idea que él mismo había sostenido.

Los puntos de un segmento podían emparejarse, uno por uno, con los de un cuadrado. A cada punto del segmento le correspondía un punto del cuadrado, y todos los puntos del cuadrado tenían su pareja, sin que sobrara ni faltara ninguno. Un cuadrado tiene una dimensión más que un segmento. Parecía que debía contener muchísimos más puntos.

Y, sin embargo, si lo que se mira es la posibilidad de emparejarlos, hay tantos en uno como en otro.

Cantor le decía que el resultado era tan inesperado, tan nuevo, que apenas podría recobrar la calma hasta que Dedekind se pronunciara sobre su corrección. Después venía aquella frase en francés que se citaría incontables veces: «Lo veo, pero no lo creo».

La frase estaba en francés; el resto de la carta, en alemán. Ahí cambió de lengua. Por qué lo hizo no puede deducirse de esa frase sola. Tres días después, Dedekind respondió: había revisado el razonamiento, no había encontrado ningún fallo y lo felicitaba. A menudo se presenta la frase como una postura filosófica: alguien demuestra algo y, en su fuero interno, se niega a admitirlo.

La situación real era más corriente, y también más reconocible. Era una carta privada en la que se pedía a un colega que comprobara un resultado. Quien escribía acababa de hacer algo que hasta a él le parecía sospechoso y necesitaba decirle a alguien: míralo tú también.

Dedekind vio enseguida, además, dónde estaba la cuestión decisiva. Ese emparejamiento no podía conservar también la continuidad: no era posible garantizar que a puntos cercanos del segmento les correspondieran puntos cercanos del cuadrado.

Que hubiera la misma cantidad de puntos no borraba, por tanto, la diferencia entre una dimensión y dos. Mostraba otra cosa: la posibilidad de establecer parejas no basta para definir la dimensión.

Esta entrega trata de lo que ocurrió cuando se empezó a medir el infinito de esa manera.

Y lo que vino después merece todavía más atención. Con aquel método Cantor obtuvo una serie de conclusiones que nadie podía refutar. Al mismo tiempo, había quienes consideraban que el procedimiento empleado para obtenerlas no debía admitirse.

No se discutía si la conclusión era correcta.

Se discutía qué cuenta como demostrar algo.

El procedimiento de emparejar, por sí solo, no tiene nada de extraordinario. Ya lo usaban los pastores para comprobar sus rebaños: sin contar, mirando únicamente si sobraba algo. También lo empleaban los escribas de la primera entrega, aquellos que contaban cosas distintas con signos distintos. Lo extraño es lo que ocurre cuando se aplica a cosas que no se terminan de contar.

2. Lo que se acaba de contar y lo que no

Para entenderlo conviene detenerse en un gesto de todos los días.

Si queremos saber en cuál de dos montones hay más cosas, solemos contar las de uno, contar las del otro y comparar. Pero existe un procedimiento más elemental que no exige contar: tomar una cosa de cada montón, formar una pareja y retirarla. Tomar otra pareja y retirarla también. Si ambos montones se vacían a la vez, había lo mismo. Si uno se acaba antes y en el otro queda algo, en ese otro había más. La ventaja es que no hace falta saber cuántas cosas contenía exactamente cada montón.

De ahí que pueda aplicarse a lo que no se termina de contar.

Los números naturales se suceden sin fin. Los pares también. La intuición cotidiana nos dice que los pares deberían ser menos: solo son la mitad de los naturales.

Pero emparejémoslos: el uno con el dos, el dos con el cuatro, el tres con el seis, y así sucesivamente. Cada natural tiene su par, y cada número par tiene su pareja. No queda ninguno suelto a un lado ni al otro. Luego hay tantos de unos como de otros.

Antes de Cantor ya se había observado este resultado. Solía tomarse como una advertencia: aplicar al infinito nuestras ideas corrientes de más y menos conduce al absurdo. Galileo había escrito sobre situaciones de este tipo más de doscientos años antes. Su conclusión era que las palabras «más», «menos» e «igual» no son aplicables a las cantidades infinitas. Sus predecesores veían ahí una señal: hasta aquí, no sigamos preguntando. Cantor tomó esa advertencia y le dio la vuelta. Donde había una señal de alto, él vio una indicación del camino.

Los demás decían: hasta aquí. Él preguntaba: ¿y qué se verá al otro lado?

Si emparejar permite comparar sin haber terminado de contar, usémoslo. Todo lo que pueda ponerse en correspondencia con los naturales tendrá, en ese sentido, el mismo tamaño. Son las colecciones que Cantor describía como enumerables: se pueden ordenar sus elementos en una lista y asignarles el número uno, el dos, el tres, sin dejarse ninguno. Cantor preguntó entonces algo que nadie se había planteado seriamente: ¿hay colecciones que ni siquiera se puedan disponer en una lista? En 1874 publicó un artículo cuya respuesta era sí.

Aquel artículo demostraba en realidad dos cosas. La primera: todos los números algebraicos reales, es decir, los que son raíces de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros, pueden disponerse en una lista. La segunda: dada cualquier lista de números reales, siempre hay reales que no figuran en ella. El título solo mencionaba la primera. Venía a decir: sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales. La afirmación más directa, que los reales no pueden enumerarse, apareció impresa únicamente como una nota al final de la introducción. Weierstrass le había aconsejado que no la incluyera en el manuscrito que enviara a la revista y que la añadiera después, al corregir las pruebas, como nota. Cantor siguió el consejo. En una carta a Dedekind explicó que la versión publicada tenía ciertas limitaciones, debidas en parte a las circunstancias locales. No dijo cuáles eran esas circunstancias.

Juntas, las dos conclusiones daban inmediatamente otra: existen números reales que no son raíces de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Y no se trataba de que, por casualidad, hubiera uno por ahí. El conjunto de los reales mostraba tener un tamaño distinto del de una lista. Conviene ver bien cómo funciona esta inferencia, porque en ella está la semilla de todo lo que se discutiría después.

Al combinar ambos resultados, la comparación de tamaños permite deducir que existen números trascendentes. Pero el artículo de 1874 incluía también un procedimiento de intervalos encajados para construir, a partir de cualquier lista de reales, un real que quedara fuera. Aplicado a una enumeración de los algebraicos reales, ese procedimiento permite determinar un número trascendente. No se puede describir, por tanto, como una prueba de existencia desprovista de toda construcción. Y aquí hay que corregir una confusión cronológica muy extendida: la demostración de 1874 no era la célebre diagonal de años después.

El método consistía en encajar unos intervalos dentro de otros. Supongamos que alguien nos entrega una lista infinita de números reales. Dentro de un intervalo se escogen, siguiendo la lista, dos números adecuados como nuevos extremos izquierdo y derecho. Se obtiene así un intervalo más pequeño. Dentro de él se vuelve a elegir, se vuelve a estrechar, y se continúa. El punto al que acaba conduciendo esa sucesión de intervalos cada vez más encajados no puede estar en la lista original. El argumento necesita la continuidad de los números reales. No consiste en ir cambiando cifras, que es el recurso de la demostración posterior.

Entre las dos demostraciones pasaron diecisiete años, y partían de ideas completamente distintas. Muchos manuales posteriores atribuyen el método de 1891 al artículo de 1874. Así, dos trabajos diferentes de una misma persona acaban convertidos en uno solo.

Hay otra cuestión que los estudios de los últimos años han aclarado. A finales de 1873, Cantor y Dedekind mantenían una correspondencia intensa. Dedekind contribuyó de manera sustancial a la parte que demostraba que los números algebraicos podían enumerarse. Cantor se lo agradeció en privado por carta: sus observaciones y su manera de presentar varios puntos esenciales le habían sido de gran ayuda. En el artículo publicado no aparecía el nombre de Dedekind. Después, Dedekind dejó de contestarle. La correspondencia quedó interrumpida durante casi tres años y no se reanudó hasta octubre de 1876.

Hay que distinguir, pues, las dos cosas. Dedekind tuvo parte en la demostración del primer teorema. En cuanto al segundo, el que afirma que los reales no pueden enumerarse, la evidencia sigue apuntando con mucha fuerza a Cantor como autor.

3. No era una historia de un solo hombre

Las versiones divulgativas posteriores suelen contar esta historia como el combate de un hombre contra toda la comunidad matemática.

Ninguno de los dos extremos se sostiene. Es falso que todos los matemáticos lo tomaran por un loco. También lo es que Kronecker fuera el único en oponerse. La aceptación llegó por partes.

Sus primeros métodos sobre conjuntos de puntos entraron pronto en la investigación en análisis; ya se utilizaban en la década de 1870. Su obra de 1883 sobre los fundamentos de una teoría general de conjuntos recibió algunas reseñas muy favorables. En la década de 1890, el lenguaje conjuntista de Cantor y Dedekind empezó a extenderse entre la nueva generación de matemáticos.

Entre 1890 y 1891, Cantor participó en la creación de la Sociedad Matemática Alemana y fue su primer presidente. Sus dos últimos grandes artículos sobre teoría de conjuntos, publicados en 1895 y 1897, aparecieron en una de las revistas matemáticas de mayor prestigio de la época, dirigida por Klein.

Decir que en los años noventa del siglo XIX la comunidad matemática profesional había desterrado a Cantor no encaja con los hechos institucionales. Es más preciso decir que sus ideas centrales seguían siendo discutidas, pero ya no podían despacharse como una extravagancia marginal. Y las objeciones tampoco eran una mera cuestión de sentimientos.

Algunos rechazaban que una totalidad infinita concebida como ya completa pudiera admitirse como objeto matemático. Rechazaban también las pruebas que establecen la existencia de algo sin construirlo; sobre esto volveremos más adelante. Otros no creían que Cantor estuviera equivocado. Sencillamente, sus investigaciones sobre lo transfinito les parecían demasiado abstractas, sin una utilidad que pudiera apreciarse entonces. Para la mayoría, aquellos primeros ordinales transfinitos tenían el aspecto de una especulación estéril. Hubo una persona cuya conducta desbarata especialmente bien la división entre partidarios y perseguidores.

Mittag-Leffler fue uno de sus apoyos importantes y dio a su trabajo una plataforma internacional. Sin embargo, hacia 1885 le aconsejó que no publicara un manuscrito de gran abstracción. Venía a decirle que quizá se adelantaba cien años a su tiempo y que sacarlo entonces podía perjudicar su carrera. Cantor se lo tomó muy mal y después se distanció de la revista. No era una objeción filosófica. Se parecía más al juicio de un editor sobre lo que los lectores podían entender y sobre el momento oportuno para publicarlo.

La misma persona puede ser tu principal apoyo y quien te aconseja que guardes en un cajón lo mejor que has hecho.

Eso se acerca más a la vida académica real que la división entre apoyo y persecución. Alguien puede estar dispuesto a dar espacio a tu trabajo y pensar, a la vez, que en un artículo concreto has ido tan lejos que los lectores no van a poder seguirte.

4. La diagonal

En 1891, Cantor publicó otra demostración. Más tarde se conocería como el argumento diagonal. Era mucho más sencilla que la de 1874 y tenía un alcance mucho mayor. Se puede recorrer entera sin escribir un solo símbolo.

Imaginemos una secuencia infinitamente larga en la que cada posición admita solo dos posibilidades. Llamémoslas A y B. Hay infinitas posiciones, y en cada una se elige una de las dos.

Supongamos ahora que alguien trae una lista y asegura que contiene todas esas secuencias: la primera, la segunda, la tercera, y así sucesivamente, sin que falte ninguna.

Miremos la primera posición de la primera fila. Si contiene una A, escribiremos una B en la primera posición de una secuencia nueva. Si contiene una B, escribiremos una A. Pasemos a la segunda posición de la segunda fila y elijamos, otra vez, la opción contraria.

La tercera posición de la tercera fila. La cuarta de la cuarta. Y así sucesivamente.

Miremos ahora la secuencia que acabamos de construir.

No puede ser la de la primera fila, porque difiere de ella en la primera posición. No puede ser la de la segunda, porque difiere en la segunda posición. Tampoco la de la tercera, porque difiere en la tercera. Sea cual sea la fila de la lista que tomemos, nuestra secuencia es distinta.

Así que la afirmación de que la lista las contenía todas era falsa.

Y el argumento no se limita a los números reales. Se aplica a las dos opciones sobre cualquier conjunto: incluir o no incluir cada elemento, es decir, considerar todos los subconjuntos de ese conjunto. La conclusión es que, dado cualquier conjunto, siempre se puede construir otro estrictamente mayor. Los manuales actuales suelen presentar el argumento cambiando las cifras decimales de los reales. Es una versión posterior muy cómoda; no se debe reducir el original de 1891 a esa presentación. Lo más hermoso de la demostración no está en lo que demuestra, sino en cómo vuelve contra el adversario lo que el propio adversario le entrega.

No hace falta adivinar de antemano qué se ha dejado fuera de la lista. La propia lista permite definir de manera precisa un objeto que falta en ella. Dame filas y las usaré. Dame cuantas quieras: las tomaré todas. Cuanto más completa pretenda ser la lista, mejor funciona la construcción de la nueva secuencia.

Ahí reside su ventaja sobre la demostración de 1874. Aquella dependía de las propiedades de los reales y solo servía para ellos. Esta versión numerable no necesita más que una lista de filas numeradas. Para extenderla a cualquier conjunto, se parte de una aplicación cualquiera de ese conjunto en su conjunto potencia y se construye el subconjunto formado por los elementos que no pertenecen a su propia imagen.

Ese es el paso que permite concluir que el conjunto potencia de cualquier conjunto es estrictamente mayor que él.

Y ahí desemboca todo. Para cualquier conjunto se puede construir otro mayor. Por tanto, no hay uno que sea el mayor de todos.

El infinito no es una cantidad. Es una escalera que nunca deja de subir.

La reducción al absurdo mediante pares e impares de la segunda entrega, el doble argumento por contradicción de la cuarta y este pertenecen a la misma familia. Primero se acepta la suposición del otro. Después se deja que ella misma llegue a un lugar donde ya no puede sostenerse.

5. Qué pedía Kronecker

Para entender la disputa, lo mejor es empezar por tachar la frase «odiaba el infinito». El proyecto de Kronecker era reducir la matemática, en la medida de lo posible, a operaciones con enteros y a procedimientos finitos, explícitos, que se pudieran ejecutar. Para él, los objetos verdaderamente fundamentales eran los enteros. Las fracciones, los números algebraicos e incluso los objetos del análisis debían quedar sujetos a relaciones aritméticas entre enteros.

Y para afirmar que algo existe no bastaba con demostrar, por reducción al absurdo, que su inexistencia llevaría a una contradicción. Lo deseable era ofrecer un procedimiento finito que permitiera construirlo de verdad. Hay una frase alemana que suele usarse como su divisa: «Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra humana».

La procedencia de la frase sigue una sola pista. El testimonio impreso más antiguo que se ha podido localizar no es un artículo de Kronecker, sino el texto conmemorativo que Weber publicó después de su muerte, en 1893. Kronecker había muerto a finales de 1891. Es, por tanto, el recuerdo cercano de un contemporáneo, pero sigue sin ser una transcripción tomada en el momento.

Las versiones más difundidas sitúan la frase en una conferencia de 1886. Esa atribución puede tener fundamento. Pero, mientras no aparezca el texto de aquella conferencia escrito por él, no debe concedérsele el mismo rango que al testimonio impreso de 1893. Y Weber no estaba describiendo a un hombre al que de pronto le hubiera dado por enunciar una máxima religiosa. Estaba resumiendo un programa matemático.

Ahora se puede ver con claridad dónde chocaban.

La numerabilidad y la no numerabilidad, combinadas, permiten obtener una demostración clásica de existencia. Pero el artículo de 1874 no se reduce a eso: su procedimiento de intervalos también permite determinar números trascendentes. Por ello, el desacuerdo entre Kronecker y Cantor no puede resumirse diciendo que aquella prueba no construía ningún objeto. Hay que situarlo en una disputa más amplia: la aceptación de totalidades infinitas ya completas, la exigencia de procedimientos finitos y los criterios con los que se reconoce la existencia.

No era, pues, la historia de un hombre que se negara a aceptar novedades. Eran dos maneras de entender qué significa existir, enfrentadas ante un mismo teorema.

Y las dos tenían su lógica. Una decía: he demostrado que es imposible que no exista, luego existe. La otra respondía: dices que existe; entonces, enséñamelo. En la vida corriente, esa segunda exigencia no tiene nada de desmesurado.

Me dices que hay un destornillador en el armario y te pido que lo saques. No es ponerte las cosas difíciles.

Tampoco conviene convertir a Kronecker en profeta del constructivismo posterior. Su propia investigación no siempre cumplía a rajatabla aquel criterio; en sus trabajos de análisis también utilizó herramientas tradicionales. Lo que dejó se parece más a un programa metodológico de aritmetización que a una lista de prohibiciones.

Como vimos en la entrega anterior, el uso más antiguo que se ha podido rastrear de la palabra «aritmetización» aparece precisamente en un artículo suyo de 1887. Y buena parte de lo que después se agruparía bajo ese nombre era justamente aquello a lo que él se oponía.

6. Las acusaciones

Circulan muchas afirmaciones sobre cómo Kronecker habría intentado frenar a Cantor. Si se examinan una por una, su solidez resulta muy desigual. El episodio mejor documentado es el retraso de 1877.

El 12 de julio de aquel año, Cantor envió un manuscrito a una revista matemática de Berlín. En noviembre seguía sin publicarse. Sus cartas a Dedekind dejan ver un gran disgusto; llegó a pensar en retirarlo y buscar otra revista. Dedekind le aconsejó que no lo hiciera. El artículo acabó apareciendo en el volumen que suele fecharse en 1878. El envío, la larga espera y la intención de retirar el texto forman una secuencia bien establecida.

Quién ocasionó el retraso está mucho menos claro.

Los investigadores que han estudiado esos documentos hablan en estos términos: es muy probable que Kronecker tuviera que ver con la demora, dado su gran ascendiente en el círculo editorial de la revista. Es decir, se trata de un juicio histórico apoyado en relaciones personales, posiciones intelectuales y otros testimonios. No de un documento que diga: he decidido retener este manuscrito.

Hay además un dato firme que las biografías divulgativas suelen dar mal. En 1877, Kronecker no figuraba oficialmente como editor de aquella revista. La dirección formal estaba en manos de otra persona, que siguió al frente hasta 1880. Kronecker no apareció como editor hasta 1881 y solo desde 1889 ejerció en solitario.

Por tanto, la frase «Kronecker, como director de la revista, bloqueó en 1877 el artículo de Cantor» es incorrecta. Lo que puede decirse es esto: su influencia en la matemática berlinesa y en aquella revista era muy fuerte; hay motivos para sospechar que su oposición pesó en la tramitación del artículo, pero en ese momento la autoridad formal para decidir no le correspondía.

Más allá de ahí, las pruebas se vuelven escasas enseguida. No se sostiene que controlara todas las revistas alemanas para impedir que Cantor publicara: Cantor publicó después numerosos trabajos en otras revistas importantes. Si se quiere afirmar como hecho institucional que vetó todos sus ascensos, hacen falta documentos de las comisiones de nombramiento. No basta con deducirlo del enfrentamiento matemático entre ambos. Pero lo que más merece un examen aparte es la frase más repetida de todas. En la versión popular, Kronecker llamó personalmente a Cantor «corruptor de la juventud».

La fuente clave que se puede rastrear es un artículo de Schoenflies de 1927. Y lo que escribió no era que Kronecker hubiera llamado así a Cantor. Venía a decir que no era exagerado afirmar que la actitud de Kronecker tenía que producir la impresión de que Cantor, como investigador y como profesor, corrompía a la juventud. La diferencia es enorme.

Primero: en 1927 habían pasado treinta y seis años desde la muerte de Kronecker y unos cuarenta desde el conflicto.

Segundo: la frase habla de la impresión que causaba su actitud. No reproduce un insulto pronunciado en una ocasión concreta.

Más tarde, una influyente biografía en inglés presentó a Kronecker, en su introducción, como alguien que tenía a Cantor por un charlatán científico, un renegado y un corruptor de la juventud. Enciclopedias y libros de divulgación repitieron después esa caracterización, hasta que la última expresión acabó convertida en palabras textuales de Kronecker, con sus comillas. El mecanismo ya apareció en la décima entrega. Es el mismo: alguien ofrece una síntesis; quienes vienen después le quitan los signos de interrogación.

Hay otro rasgo común en la transmisión de ambos relatos. En aquel caso, de una biografía documental de 1896 nació una escena literaria a la que en 1937 se le quitaron las reservas. En este, una impresión escrita en 1927 se convirtió en cita en el mismo libro de 1937. El mismo libro, dos veces el mismo movimiento. Y aún queda un hecho que no cabe de ninguna manera en el relato de dos enemigos irreconciliables de por vida.

Después de su primera crisis grave, en el verano de 1884, el propio Cantor relacionó durante un tiempo su decaimiento físico y anímico con las fricciones. El 18 de agosto escribió a Mittag-Leffler que lo que le causaba malestar no era el trabajo duro, sino los roces que podrían haberse evitado. Luego decidió reconciliarse con Kronecker y le escribió. Los documentos muestran que la respuesta de Kronecker fue correcta y humana. Su relación personal volvió así a un estado satisfactorio.

El desacuerdo matemático no desapareció. Pero desde 1884 no hubo una ruptura del trato personal. Las discrepancias siguieron en el papel; no los llevaron a dejar de hablarse.

7. La enfermedad

En esta sección hay una gran distancia entre lo que se puede afirmar y lo que no.

Hay cuatro clases de datos que sí podemos utilizar: las fechas en que Cantor o sus contemporáneos dejaron constancia explícita de una enfermedad; los períodos de baja que figuran en los archivos universitarios; los ingresos hospitalarios registrados en fuentes fiables; y los términos que emplearon después quienes lo trataron y quienes estudiaron su historia.

Hay también tres cosas que no debemos hacer. Diagnosticar a un muerto con los criterios clínicos de hoy. Deducir una enfermedad a partir del contenido de su obra. Convertir un suceso externo en la causa de una crisis psíquica por el solo hecho de que ocurrieran cerca en el tiempo. Con esos límites, esto es lo que ofrecen los documentos.

La primera crisis grave claramente documentada fue a comienzos del verano de 1884. El 21 de junio escribió a Mittag-Leffler que había pasado una mala temporada y que aún le faltaba la frescura mental necesaria para el trabajo científico. Esa vez se recuperó con relativa rapidez. Las biografías modernas suelen afirmar sin más que fue hospitalizado en 1884. Sin embargo, los documentos que hoy pueden consultarse y comprobarse públicamente permiten fechar la crisis con mucha más seguridad que establecer las fechas concretas de ingreso y alta.

Entre 1899 y 1900 vuelve a aumentar de manera notable la documentación. Un responsable administrativo de la universidad informó de su estado de salud al ministro competente y calificó aquella crisis de especialmente grave. Se trata de documentación administrativa relativa a su empleo. Después, los registros docentes de varios semestres de invierno señalan expresamente que estaba de baja por enfermedad. Entre 1911 y 1913 hubo de nuevo bajas continuadas, y en el verano de 1913 se jubiló. Son pruebas sólidas, pero dicen baja por enfermedad. No se puede convertir eso, sin más, en una estancia en el hospital durante cada uno de esos semestres.

Frente al relato de su abandono de la vida académica, hay además estos datos: su último curso fue de mecánica analítica, en el semestre de invierno de 1910-1911. Después de jubilarse siguió participando en asuntos de la facultad, y su firma aparece en documentos de esta hasta el 16 de mayo de 1914. En cuanto a la afirmación de que Kronecker lo volvió loco…

La principal fuente temprana vuelve a ser Schoenflies, en 1927. Escribió que la discordia entre los dos, prolongada durante más de una década, había ido corroyendo a Cantor por dentro. También consideraba que la lucha de toda una vida con el problema del continuo podía haber influido.

Pero hay una frase decisiva que las versiones posteriores casi siempre omiten: el propio Schoenflies decía que atribuir por entero a Kronecker la depresión de 1884 era un error fundamental.

La versión inicial, por tanto, señalaba el conflicto académico y aquel problema como posibles desencadenantes. Solo después se comprimió hasta convertirse en esto: la persecución lo llevó a la locura.

El segundo gran punto de difusión fue la biografía matemática de divulgación publicada en inglés en 1937, la misma de la décima entrega. Con los conflictos personales, la relación entre padre e hijo y las cuestiones de identidad compuso una biografía psicológica de enorme dramatismo. Historiadores de la matemática posteriores criticaron con dureza la fiabilidad de esa parte del libro. Y como durante mucho tiempo faltaron otras biografías en inglés que fueran accesibles al lector general, su relato se propagó con facilidad. El estudio de los archivos ha introducido dos correcciones que apuntan en sentidos opuestos.

La primera: en 1884, el propio Cantor sí atribuyó a las fricciones un papel desencadenante en aquel período de abatimiento. Tampoco se puede afirmar, por tanto, que el conflicto no influyera en absoluto. La segunda: los recuerdos de los médicos que lo atendieron más tarde y la periodicidad de las crisis no permiten presentar el conflicto externo como la causa de la enfermedad. A lo sumo, como un factor que la precipitaba o agravaba.

Un testimonio resulta especialmente revelador frente a esa causalidad literaria según la cual se derrumbó por haber investigado demasiado a fondo: su médico de cabecera, que lo atendió durante muchos años, aconsejó a la familia que lo animara a hacer matemáticas durante la enfermedad. El trabajo matemático lo tranquilizaba y favorecía su recuperación.

En cuanto al nombre de la enfermedad que suele aparecer en los estudios actuales, conviene proceder con mucha cautela. Uno de los médicos que lo atendió más adelante utilizó la terminología clínica de la época para describir una evolución con crisis recurrentes e intervalos en los que podía volver al trabajo. Algunos historiadores modernos consideran que esa descripción se ajusta mejor a los documentos que la idea de que alguien lo volvió loco. Hasta ahí llega lo que podemos escribir. Dar un paso más sería extender un diagnóstico a una persona fallecida hace un siglo, de la que no tenemos una historia clínica completa y a la que no podemos volver a examinar.

Insistir en estas distinciones no es una forma de proteger la reputación de nadie. Es que, si aceptamos que alguien lo volvió loco, cambia el sentido de toda la historia. Se convierte en un relato sobre la mala voluntad, en lugar de un relato sobre dos criterios distintos. Una historia de mala voluntad es más fácil de contar y también de recordar. Pero tapa aquello que de verdad se estaba discutiendo.

Y eso que de verdad se discutía seguía en discusión cien años después.

8. Qué quiere decir existir

En 1900, Hilbert presentó su famosa lista de problemas en el Congreso Internacional de Matemáticos de París. El primero era el problema del continuo. Para entonces había dejado de ser el proyecto particular de Cantor y ocupaba la primera línea del programa de la matemática futura. Más tarde Hilbert pronunció otra frase, aún más conocida. Venía a decir que nadie podría expulsar a los matemáticos del paraíso creado por Cantor. Suele citarse como prueba de que Cantor, al fin, había vencido.

Pero en realidad muestra otra cosa. Si a esas alturas alguien tenía que salir a decir que no se permitiría la expulsión, era porque había quienes pretendían expulsarlos. Lo decía una de las figuras con más peso de la matemática alemana, y estaba defendiendo algo que llevaba años utilizándose. La disputa no terminó en 1900. Cambió de nombre, cambió de protagonistas y continuó otros treinta años.

Volvamos al punto de partida. En 1874, Cantor ofreció una manera nueva de comparar tamaños a partir de la numerabilidad y proporcionó, además, un procedimiento de intervalos capaz de determinar, a partir de una enumeración, un real que faltara en ella. Por eso hay que separar tres cuestiones: la inferencia de pura existencia, el procedimiento de construcción y la aceptación de totalidades infinitas ya completas. Kronecker exigía otra forma de existencia: si dices que lo hay, constrúyeme uno, con un número finito de pasos y reglas explícitas. El lenguaje cotidiano no distingue esos sentidos. Decir que hay un bolígrafo en el cajón suele querer decir que puedo sacarlo y enseñártelo. Pero en matemáticas «hay» puede querer decir también: he demostrado que, si no lo hubiera, llegaríamos a una contradicción.

Por lo general no reparamos en que son dos cosas distintas, porque normalmente el objeto se puede sacar y enseñar.

En la vida corriente, prácticamente siempre. Hay leche en el frigorífico. En este libro está esa frase. En este manojo hay una llave que abre la puerta. Cada afirmación puede cumplirse en el acto, poniendo delante lo que se ha anunciado.

Por eso nadie suele preguntar: si no se puede cumplir, ¿sigue valiendo decir que lo hay?

La diferencia solo se hace visible cuando una demostración dice que algo existe, pero no permite sacarlo y mostrarlo. Y entonces ya no se discute si el teorema es correcto, sino cómo debe usarse la palabra «hay». Una demostración puede aclarar las consecuencias y las relaciones entre distintos usos. Pero si la otra parte no acepta las mismas premisas fundamentales, una demostración, por sí sola, no puede obligar a ambas a adoptar el mismo criterio de existencia. La matemática seguiría discutiendo esto otros treinta años. Y cuando volviera a estallar la disputa, el frente sería mucho más amplio.

Seguimos haciendo cuentas. Lo que nunca ha terminado de aclararse es qué cuenta como matemática.

Fuentes históricas y lecturas complementarias

Estas fuentes documentan los detalles históricos y las diferencias de interpretación del texto. Los registros de archivo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son pruebas del mismo tipo.

• Artículo original de Cantor de 1874 sobre los números algebraicos reales
• Robert Gray: Cantor y los números trascendentes
• Cantor Trio: numerabilidad, números reales y números algebraicos reales
• Entrada sobre Cantor del Dictionary of Scientific Biography, alojada por la Universidad de St Andrews
• Deiser: correspondencia entre Cantor y Dedekind sobre la publicación de 1874