La crisis de la teoría de conjuntos

1. Un libro a medio imprimir

El 16 de junio de 1902 salió de Gran Bretaña una carta con destino a Jena.

La enviaba un inglés que acababa de cumplir treinta años; iba dirigida a un lógico alemán de cincuenta y tantos. No empezaba con una provocación, sino con un elogio. Su autor decía haber leído el libro del destinatario y tenerlo en gran estima. Después venía una pregunta. Bastaban unas pocas líneas para formularla.

El destinatario se llamaba Frege y enseñaba en Jena. Llevaba veinte años dedicado a una sola tarea.

La tarea, en palabras de todos los días, era esta. Todos aprendemos de niños que uno más uno son dos. Pero ¿por qué? La respuesta más cómoda es: basta con contarlos. Frege no la aceptaba. Para contar hacen falta ojos y manos, y él buscaba una razón que no necesitara ojos. Estaba convencido de que esa razón podía nacer enteramente del razonamiento, sin recurrir a la experiencia del mundo ni a dibujo alguno. Así que partió de algo más elemental que los números, fue construyéndolos paso a paso y se propuso deducir de ahí cada una de las reglas de la aritmética.

A eso había dedicado veinte años. El primer volumen de sus Leyes fundamentales de la aritmética había salido en 1893. El segundo estaba en la imprenta, casi terminado. Por entonces eran pocos los que lo leían. Russell era uno de ellos.

Frege lo entendió en cuanto lo vio.

Seis días después, el 22 de junio, contestó. En esencia, decía que la contradicción lo había sorprendido profundamente, casi hasta la consternación, y empezaba a buscar dónde estaba el fallo. Luego hizo algo poco habitual: dejó constancia de lo sucedido al final del libro que estaba a punto de salir. Venía a decir que pocas cosas podían resultarle más penosas a un hombre de ciencia que descubrir, cuando la obra ya estaba terminada, que uno de los cimientos de lo construido se tambaleaba. Eso era lo que le había ocurrido al recibir la carta del señor Russell, cuando la impresión del segundo volumen estaba casi concluida.

Este detalle dice más que la versión que acabaría circulando. En ella, una carta arruinaba la vida de un hombre. Lo que ocurrió entonces fue que el libro ya estaba en imprenta y fue su propio autor quien añadió la mala noticia al final.

Este episodio trata de lo que después se dijo de aquella carta y de lo que la carta hizo en realidad. Hay una versión muy conocida: en 1902 desencadenó una crisis de la teoría de conjuntos, y desde ese momento toda la comunidad matemática perdió la confianza en sus fundamentos. Esa versión es cierta a medias. Lo importante es saber qué mitad.

En el segundo episodio examinamos otra crisis con el mismo nombre. Al volver a buscar aquella conmoción de la leyenda, no encontramos una sola palabra dejada por quienes la habrían vivido. El relato era cada vez más completo. Si había ocurrido, en cambio, resultaba cada vez más difícil de decir.

Esta vez no podemos repetir la conclusión. Esta vez hay documentos de la época.

2. Russell no fue el primero

Conviene aclarar algo antes de seguir, porque de ello depende la forma de toda esta historia. Russell no fue el primero en advertir que la teoría de conjuntos podía producir contradicciones. Al menos tres personas lo habían visto antes que él, y en circunstancias muy distintas.

El primero fue Burali-Forti. En 1897 publicó un breve artículo en la revista del Círculo Matemático de Palermo. Su título anunciaba una cuestión sobre los números transfinitos. Allí deducía, en efecto, una contradicción; de ella saldría el material con el que después se construyó la paradoja que hoy lleva su nombre.

Pero él no lo interpretó así en aquel momento. En el artículo distinguía lo que llamaba «perfectamente ordenado» del buen orden de Cantor, y atribuía el problema a otra proposición, relativa a la posibilidad de comparar entre sí los ordinales. Para él se trataba más bien de una reducción al absurdo: obtener una contradicción demostraba que aquella proposición era falsa. En octubre del mismo año publicó, además, una nota que corregía un error del artículo.

Así que en 1897 no estalló una primera bomba que sembrara el pánico entre los matemáticos de toda Europa. La paradoja de los manuales actuales fue tomando forma poco a poco. La primera vez que apareció impresa como paradoja fue en el libro de Russell de 1903. A comienzos de 1905 todavía no era una preocupación generalizada entre quienes trabajaban en teoría de conjuntos. Solo a finales de ese año pasó a ser objeto de polémica pública, a la vez, en Gran Bretaña, Alemania y Francia.

El segundo fue el propio Cantor. Este caso es el más decisivo, porque desmiente de lleno la afirmación de que Russell descubrió antes que nadie que la idea de conjunto podía conducir a una contradicción.

Su correspondencia permite fechar esas ideas, como mínimo, hacia 1896. En 1897 ya había intentado discutirlo con Dedekind y había advertido a Hilbert de los problemas que planteaban totalidades como la de todos los álef. Varias cartas extensas a Dedekind, de 1899, nos han dejado una exposición mucho más completa.

En ellas introducía una distinción. Algunas multiplicidades, algunas agrupaciones de cosas, podían reunirse y concebirse como una totalidad acabada: a esas las llamaba consistentes. En otras, empeñarse en tratarlas como una totalidad acabada llevaba a una contradicción: esas eran inconsistentes.

Su respuesta no fue declarar en quiebra toda su teoría. Fue sostener que poder reunirse en un todo era, por sí mismo, una condición adicional para ser un conjunto. La contradicción mostraba precisamente que ciertas totalidades, aun estando perfectamente definidas, no eran conjuntos.

Eso se parece mucho a la solución posterior. Pero no debemos atribuirle retrospectivamente lo que vendría después. Cantor no disponía todavía de unas reglas que permitieran decidir formalmente qué totalidades eran consistentes y cuáles no. Tenía un criterio, no aquel sistema.

Tampoco publicó estas ideas. Quedaron sobre todo en su correspondencia y solo llegaron a publicarse en la edición de sus obras completas de 1932. El editor de aquellas obras fue Zermelo.

Zermelo es precisamente el tercero. Más tarde contó que había llegado al mismo tipo de contradicción con independencia de Russell y antes que él. La bibliografía antigua suele fecharlo en 1899. Conviene tomar esa fecha con cierta reserva: se apoya principalmente en el recuerdo posterior del propio Zermelo.

La prueba firme es otra. En 1981 salió a la luz un cuaderno de Husserl de 1902 que recogía con detalle la versión de la contradicción debida a Zermelo. Eso permite afirmar al menos dos cosas. Antes de que el resultado de Russell se publicara, el argumento de Zermelo ya circulaba por las redes académicas de lengua alemana. Y Zermelo no lo había concebido después de leer el libro de 1903. Una anotación de un filósofo le devolvió a un matemático, casi ochenta años más tarde, una fecha que le faltaba.

¿Por qué se ignoró durante décadas? Por una razón sencilla: Zermelo no lo publicó a tiempo. El resultado vivía sobre todo en las conversaciones de Gotinga, en cartas privadas y en cuadernos de notas. En el episodio anterior hablamos de esa capa de papeles a medio camino entre lo privado y lo público. Este caso muestra tanto lo que podía hacer como lo que no podía. La idea circuló dentro del grupo, pero no llegó a ningún libro que pudiera citarse. El nombre quedó ligado a quien sí había dejado un texto público.

Russell concibió aquellas pocas líneas en mayo de 1901. La fecha es bastante segura, pues se conserva un manuscrito fechado en ese mes. Escribió a Frege en 1902. Había transcurrido más de un año. Son justamente esas dos fechas las que tantas veces se funden en una sola.

El papel de Russell, por tanto, no consistió en ser el primero en verlo. Hizo otras dos cosas, y fue su combinación la que produjo el efecto posterior: redujo la contradicción a unas pocas líneas y se las envió a un hombre que ya había fijado por escrito unas reglas sin dejarse margen de maniobra.

3. Aquellas pocas líneas

Para entender aquellas líneas hay que empezar por una regla. En aquel momento no parecía tener nada de sospechoso. Casi ni parecía una regla: parecía una obviedad.

Si puedes expresar con claridad una condición, todos los objetos que la cumplen forman automáticamente una colección.

Todas las cosas rojas, una colección. Todos los enteros mayores que tres, otra. Todas las personas que conozco, otra. Nadie pondría reparos a esa frase.

Apliquémosla. Hay colecciones que se incluyen a sí mismas. La colección de todas las cosas que pueden describirse con claridad en chino también puede describirse con claridad en chino; por tanto, ella misma figura entre sus elementos. Otras no se incluyen. La colección de todas las cosas rojas no es, ella misma, roja; por tanto, no figura entre sus propios elementos.

Ya tenemos una condición: no incluirse a sí misma.

Según nuestra regla, las colecciones que no se incluyen a sí mismas también tienen que formar una colección. Nos referiremos a ella como «esa colección».

Una sola pregunta: ¿esa colección se incluye a sí misma?

Si se incluye, es una colección que se incluye a sí misma. Pero solo admite colecciones que no se incluyen a sí mismas. Así que no debería estar dentro.

Si no se incluye, cumple exactamente la condición. Así que debería estar dentro.

Por cualquiera de los dos caminos llegamos a lo contrario de lo que habíamos supuesto.

El problema no es lo extraña que resulte esa colección. El problema está en la regla. Mientras la dejemos en pie, podremos volver a escribir esas mismas líneas cuando queramos.

Esta contradicción era más difícil de despachar que las anteriores porque necesitaba muy poco para ponerse en marcha. La de Burali-Forti requería toda una teoría de los ordinales. Para la de Cantor había que saber que la colección de todos los subconjuntos de una colección es mayor que la colección inicial. La de Russell no necesitaba nada de eso. Bastaba con aceptar la obviedad del principio.

Cantor tenía una salida cuando se encontraba con algo así. Podía decir que aquellas totalidades desmesuradamente grandes no eran conjuntos. Su teoría no era un sistema formal fijado hasta el último detalle: tenía margen de maniobra. Frege no lo tenía. Su ley fundamental V era una regla formal sobre la igualdad de recorridos de valores, no el enunciado moderno del principio de comprensión de conjuntos. Pero, combinada con las reglas de formación de conceptos y las reglas lógicas de su sistema, bastaba para deducir la contradicción correspondiente. Russell podía situarse dentro del sistema de Frege y obtenerla desde allí.

Hay otro anacronismo que conviene señalar. Hoy hablamos sin más de conjuntos. Russell y Frege hablaban de clases, de conceptos y de extensiones de conceptos, que no son exactamente lo mismo que lo que hoy llamamos conjuntos. Contarlo en términos de conjuntos ayuda a entenderlo, pero sigue siendo una reformulación en lenguaje moderno.

Durante los treinta años siguientes, buena parte del esfuerzo se concentró en una sola tarea: sustituir aquella regla sin tirar con ella todo lo que servía.

4. Frege no se hundió

Empecemos por desmontar la afirmación más repetida: una carta arruinó la vida de Frege, provocó su derrumbe mental y desde entonces ya no produjo nada.

La parte técnica de la primera afirmación es cierta. Frege comprendió al instante la gravedad del problema y se puso a repararlo. Propuso un remiendo en el apéndice del segundo volumen. Después quedó muy claro que aquel remiendo no podía salvar el sistema original. Su proyecto concreto de deducir la aritmética exclusivamente de la lógica sí había llegado a su fin.

Lo que viene después no se desprende de los documentos.

Frege no se retiró de la actividad intelectual después de 1903. Siguió enseñando en Jena. Entre 1903 y 1917 publicó varios artículos, entre ellos el de 1904 sobre las funciones, y continuó discutiendo con Hilbert sobre cómo debían establecerse los fundamentos de la geometría. Tras jubilarse publicó, en 1918, El pensamiento; después vendrían La negación y Pensamientos compuestos. Siguen siendo textos que hay que leer en lógica y filosofía del lenguaje.

Es verdad que al final de su vida cambió de posición. Ya no podía llevar a término el proyecto original con aquellas leyes fundamentales. Los fragmentos inéditos de la década de 1920 muestran que estaba reconsiderando el origen del conocimiento matemático y que buscaba las raíces de la aritmética en la geometría y la intuición. Pero una o dos páginas póstumas no bastan para sostener el relato de una conversión repentina. Lo que podemos afirmar se reduce a dos frases, la segunda aún más acotada que la primera.

La contradicción de Russell destruyó el proyecto de fundamentación de la aritmética que Frege había publicado.

No destruyó a Frege.

Pero tampoco debemos aprovechar esto para respirar aliviados. El pasaje del final del volumen lo escribió él y lo imprimió en su propio libro. No es una emoción que la posteridad le haya inventado. Un hombre puede seguir enseñando, seguir escribiendo y vivir otros veinte años, y a la vez reconocer que se mueve uno de los cimientos de aquello que llevaba veinte años construyendo. Una cosa no anula la otra. Más adelante volveremos a encontrarnos con esta dificultad: demostrar que alguien no se hundió no equivale a demostrar que no pasó nada.

Hay otro detalle documental que merece anotarse. Russell y Frege mantuvieron correspondencia de 1902 a 1904; no hubo solo aquella primera carta famosa. Entre los papeles de Russell se conservaron reproducciones fotográficas de las cartas de Frege. Gracias a ellas puede reconstruirse el contenido de la correspondencia, aunque la transmisión de algunos originales haya sido complicada.

Los escritos inéditos de Frege tuvieron menos suerte. Han llegado hasta nosotros, en buena medida, gracias a las transcripciones y copias que dejó un historiador de la lógica. Por el camino hubo pérdidas debidas a la guerra y a los traslados. Lo que podemos consultar hoy ya no es el conjunto tal como existía entonces.

Así que lo ocurrido en 1902 no se ha reconstruido a partir de recuerdos recogidos muchas décadas después. Las cartas decisivas son documentos de aquel momento. Por eso podemos establecer las fechas y la secuencia con tanta firmeza.

5. Cuatro franceses discuten

En 1904, Zermelo demostró algo que Cantor llevaba muchos años afirmando sin haber conseguido probarlo. La polémica fue inmediata y resultó aún más ruidosa que la provocada por las propias paradojas.

Veamos primero qué afirmaba. Los números naturales tienen una propiedad muy sencilla: cualquier subconjunto no vacío que escojamos entre ellos tiene un elemento menor que todos los demás. Uno, dos, tres, y así sucesivamente: siempre hay por dónde empezar.

Los números reales no tienen esa propiedad. Entre los reales mayores que cero no hay uno que sea el más pequeño. Nombra el que quieras: siempre habrá otro menor y todavía mayor que cero.

Cantor sostenía que incluso para algo como los números reales existe alguna manera de ordenarlos que les dé esa propiedad. Una vez establecido ese orden, cualquier subconjunto no vacío tendría un primer elemento. Llevaba años diciéndolo, sin poder demostrarlo.

Zermelo lo demostró en 1904. Su procedimiento se apoyaba en elegir un objeto de cada colección no vacía.

Ese principio es lo que acabaría llamándose axioma de elección. Las objeciones que suscitó no eran una sola: había varias, y cada una tenía sus razones.

Una objeción señalaba que Zermelo decía que había que elegir un objeto de cada colección, pero no decía cómo elegirlo. La demostración parecía hablar de algo para lo que no había ni regla ni definición. Otra sospechaba que esa elección simultánea a gran escala era precisamente una de las operaciones peligrosas que habían producido las anomalías de la teoría de conjuntos. A Poincaré le preocupaba una tercera cuestión: si, al definir un objeto, se estaba recurriendo de manera encubierta a una totalidad que ya lo incluía. La objeción de Peano nacía de su posición sobre el sistema: si el principio no podía deducirse de los principios formales que él admitía, ¿con qué derecho se consideraba un razonamiento legítimo?

A los franceses conviene distinguirlos con especial cuidado, porque a menudo se los presenta como un bloque. En 1905 se publicó en el Bulletin de la Société mathématique de France una correspondencia de cuatro autores bajo el título Cinco cartas sobre la teoría de conjuntos. Eran Baire, Borel, Hadamard y Lebesgue.

Borel objetaba que la demostración no ofrecía un procedimiento efectivo para elegir y tampoco daba explícitamente el orden resultante. Su posición puede resumirse así: afirmar que algo existe no es lo mismo que proporcionar un método preciso que permita determinarlo.

Baire estaba, en líneas generales, del lado de Borel, pero no repetía sin más su argumento. Era especialmente cauteloso con las elecciones infinitas y quería separar dos situaciones: disponer de un procedimiento de elección que pudiera seguirse matemáticamente paso a paso y suponer, sin más, que una infinidad de elecciones ya se había completado. Presentarlo como enemigo de todo principio de elección sería exagerar. En sus propios trabajos anteriores, estos analistas franceses habían empleado a veces, de forma tácita, algunas versiones más débiles de la elección.

Lebesgue era quien más se acercaba a la idea de que la existencia debía ir acompañada de alguna propiedad que pudiera especificarse. No quería separar por completo «existe una función» de «al menos podemos decir cuál es». En aquellos años trabajaba en el centro mismo de los problemas de la medida y de los conjuntos definibles. No era una interpretación filosófica añadida desde fuera: era lo que hacía todos los días.

Hadamard estaba en el otro lado. Para él, la distinción decisiva no era entre elegir una cantidad finita, numerable o no numerable de objetos, sino entre existir y poder ser descrito de manera única y explícita: no había que confundir ambas exigencias. Sostenía que las matemáticas podían demostrar la existencia de algo sin tener que proporcionar inmediatamente una regla para escribirlo. En aquella correspondencia de 1905 fue el defensor más firme de ese principio.

Por eso es falso decir que «los matemáticos franceses se opusieron al axioma de elección». De los cuatro, uno lo defendía. Los tres que lo objetaban tenían razones propias, y sus razones no coincidían.

Lo que de verdad resultaba incómodo no era que la conclusión sonara extraña. Era la distancia que se abría entre demostrar y mostrar. El ejemplo más claro eran los números reales. Zermelo podía probar que existía cierta manera de ordenarlos sin mostrar en absoluto cómo era ese orden. Para quienes acababan de incorporar al análisis moderno cuestiones como la definibilidad, la medibilidad y las funciones concretas, esa idea de la existencia resultaba especialmente chocante: «Demuestro que hay uno, pero no te digo cuál».

El episodio trece terminaba precisamente en esa palabra. El resultado de 1874 permitía extraer, de una comparación de tamaños, una conclusión de existencia, aunque el procedimiento por intervalos del texto original también construía un número real que no figuraba en la lista. La demostración del buen orden de 1904 separaba de una manera más directa la existencia de la exigencia de exhibir un orden concreto. En el habla cotidiana, «hay» tiene un solo sentido, porque en la vida cotidiana se puede sacar la cosa y enseñarla.

En 1905, esa diferencia ya no era una reflexión que pudiera esquivarse. Se había convertido en el asunto por el que cuatro hombres discutían abiertamente por carta. La pregunta era la misma para todos: ¿qué hace falta para tener derecho a decir, en matemáticas, que algo existe?

6. Cambiar aquella regla

En 1908, Zermelo publicó un sistema de axiomas. Expuso con toda claridad lo que pretendía: limitar la formación de conjuntos lo suficiente para mantener fuera las contradicciones conocidas y, al mismo tiempo, conservar cuanto pudiera de lo valioso que había en la teoría de Cantor.

El paso decisivo no consistió en encontrar una definición segura de conjunto. Consistió en retirar aquella regla que lo permitía todo.

La nueva manera de proceder era esta: ya no se podía afirmar que todos los objetos que cumplieran cierta condición formaban automáticamente una colección. Solo se podían seleccionar los que cumplieran la condición dentro de una colección previamente dada y formar con ellos otra colección.

Las líneas de Russell ya no podían escribirse de la misma manera. Necesitaban una gran colección capaz de reunir de una vez todos los objetos, para poder seleccionar de ella «los que no se incluyen a sí mismos». Esa gran colección ya no estaba disponible. Zermelo explicó expresamente que, dada cualquier colección, separar en ella los elementos que no pertenecen a sí mismos no produce una contradicción. Al contrario: el procedimiento permite demostrar que no existe un conjunto universal capaz de contenerlo todo.

Zermelo sabía perfectamente que había otra cosa que no había logrado.

En 1908 se expresó con prudencia: bajo aquellas restricciones no se podían construir las paradojas conocidas. No afirmó que en el sistema no pudieran surgir otras contradicciones. Muchas exposiciones posteriores lo han convertido en «Zermelo demostró que la teoría de conjuntos era consistente». Eso no es cierto, ni se le parece.

Tampoco se aceptó el sistema de una vez. Siguió recibiendo críticas, sobre todo porque no precisaba lo suficiente qué permitía su expresión «propiedad determinada». En la década de 1920, Fraenkel y Skolem señalaron, cada uno por su cuenta, que los axiomas originales no bastaban para construir conjuntos de niveles superiores, y promovieron la incorporación de lo que después se llamaría principio de reemplazo. Skolem, además, dio un tratamiento explícito de las «propiedades determinadas» mediante fórmulas de primer orden. Fraenkel propuso la idea del reemplazo hacia 1922. Skolem presentó su trabajo ese mismo año en el Congreso de Matemáticos Escandinavos de Helsinki y lo publicó al año siguiente. Al principio, Zermelo no estuvo del todo de acuerdo con esas modificaciones. Más tarde aceptó el reemplazo y utilizó una forma correspondiente de ese principio en su nueva axiomatización de 1930.

El sistema de axiomas que hoy lleva dos apellidos, por tanto, no quedó escrito de una vez en un artículo de 1908. Fue el resultado de más de veinte años de reparaciones y aclaraciones. Y el aporte de un tercero no quedó recogido en el nombre.

Russell tomó otro camino. En su libro de 1903 ya aparecía una primera idea, más sencilla, de organización por niveles. Solo en el artículo de 1908 adquirió la forma que después se conocería como teoría ramificada de tipos. De ahí pasó a los tres volúmenes de los Principia Mathematica, que escribió con Whitehead y que se publicaron entre 1910 y 1913.

La idea era impedir que una afirmación se aplicara sin restricción a cosas situadas en su mismo nivel. Los objetos ocupaban un nivel; las propiedades de los objetos, otro; las propiedades de esas propiedades, otro más. Posteriormente añadió a los niveles un sistema de restricciones por «órdenes». Así, la combinación autorreferente que hacía posibles las líneas de Russell ni siquiera podía formularse legítimamente.

El precio era alto. Para evitar los círculos, la jerarquía se volvió muy compleja. Además, las restricciones dejaban fuera muchas definiciones habituales de la matemática ordinaria. Para recuperar una parte suficientemente rica de la matemática clásica, Russell y Whitehead tuvieron que introducir una hipótesis adicional: el axioma de reducibilidad.

Con esa hipótesis se abría una grieta en el proyecto. El objetivo había sido deducir las matemáticas solo de la lógica. Pero para recuperar la matemática de todos los días había que añadir un supuesto fuerte que no tenía aspecto de verdad puramente lógica.

Dos caminos, dos precios.

El precio de Zermelo fue que la teoría de conjuntos dejó de tener la naturalidad de aquella idea según la cual todo lo que podía describirse claramente formaba una colección. Pasó a depender de unas reglas que había que escribir de antemano. El precio de Russell fue admitir una hipótesis que ya no era puramente lógica para poder recuperar las matemáticas.

También merece atención lo que ocurrió después con el axioma de elección. En la década de 1930 se utilizaba cada vez más, pero aún no había alcanzado la condición de supuesto tácito que tendría más adelante. Había una costumbre que tenía algo de cortesía: si un teorema usaba el axioma de elección, se decía expresamente. Las objeciones filosóficas no habían desaparecido; se les había reservado un lugar que podía señalarse. Era una solución muy práctica: no resolver el desacuerdo, sino exigir que quedara a la vista.

Y ninguno de los dos caminos había conseguido una misma cosa: demostrar que su propio sistema no podía producir contradicciones.

7. La palabra crisis

Ahora podemos volver a aquella palabra. En 1921, Weyl publicó en el volumen diez de Mathematische Zeitschrift un artículo titulado, sin rodeos, Sobre la nueva crisis de los fundamentos de las matemáticas. Las palabras están en el título. No hay prueba más firme de que se usaban.

Aquí hay que distinguir dos cosas. La primera es la fecha: 1921, no 1901 ni 1902. Habían pasado casi veinte años. La segunda es el adjetivo: Weyl hablaba de una «nueva» crisis de los fundamentos. El contexto inmediato de su artículo no eran las pocas líneas de Russell, sino el desafío de Brouwer a la matemática clásica y a los principios tradicionales de la lógica. El próximo episodio estará dedicado a esa controversia.

Por eso no es fiable trasladar el título de 1921 a 1901 y decir que, en cuanto Russell descubrió su paradoja, la comunidad matemática lo llamó «crisis de la teoría de conjuntos». En la primera década del siglo se empleaba otro vocabulario: contradicción, antinomia, paradoja, fundamentos.

¿Cuántas personas participaron realmente? No existe una estadística fiable. Hay que rechazar frases del tipo «había tantos matemáticos y tal porcentaje participó en la crisis de la teoría de conjuntos». No hay una lista de nombres que permita sostenerlas.

Sí podemos contar a quienes dejaron textos. Las cinco cartas francesas de 1905 tienen cuatro autores. Si añadimos a los que publicaron sobre el buen orden y las paradojas entre 1904 y 1906, como Zermelo, Russell, Jourdain, Bernstein, Hobson, Hardy, Poincaré, Peano y Schoenflies, pronto reunimos más de una docena de participantes centrales que escribieron de verdad sobre el asunto, repartidos entre Gran Bretaña, Francia, Alemania e Italia. En la década de 1920, si incluimos la controversia entre Hilbert y Brouwer, junto con Weyl, Bernays, Ackermann, von Neumann y Skolem, el círculo se amplía hasta formar una red de varias decenas de especialistas.

Una red de varias decenas de especialistas es una comunidad matemática. No es toda la comunidad matemática.

La controversia tiene también una geografía reconocible. En Italia arrancaba de la escuela de Peano y del Círculo Matemático de Palermo. En Alemania, el centro principal era Gotinga: Hilbert se carteaba con Cantor y Zermelo trabajaba allí. En Francia, el debate pasaba por las publicaciones de la Sociedad Matemática de Francia. En Gran Bretaña, Russell introdujo el problema en los círculos matemáticos y filosóficos mediante su libro de 1903 y sus conversaciones con Jourdain, Hardy y otros.

Jena, en cambio, era el lugar de un solo hombre: Frege. La carta que Russell envió en 1902 no llegó a un instituto de investigación consolidado. Llegó a un proyecto personal bastante aislado. Frege no contaba con ninguna maquinaria como la descrita en el episodio catorce.

Hay otra fecha que llama la atención. La Asociación de Lógica Simbólica se fundó en 1936, el mismo año en que empezó a publicarse el Journal of Symbolic Logic. Solo entonces la especialidad contó con una asociación internacional propia y una revista dedicada a ella. Antes, los trabajos estaban dispersos entre revistas generales de matemáticas, revistas de filosofía, boletines de sociedades matemáticas, monografías y correspondencia privada. Eso ayuda a entender por qué las noticias circulaban de forma tan desigual. Al principio, lo más importante viajaba por cartas, contactos personales y unas pocas publicaciones generales, no por una comunidad internacional de lógicos ya constituida.

¿Qué hacían, mientras tanto, los matemáticos ajenos a aquellas pocas decenas de especialistas? Enumerar unos cuantos grandes teoremas no basta para demostrar que las matemáticas no se interrumpieron. Pero una paralización general tendría que haber dejado al menos ciertas huellas: programas de investigación detenidos, un vuelco en los temas de las revistas, grandes congresos concentrados en los fundamentos, una revisión masiva de los criterios de demostración en los artículos corrientes. Esas huellas no aparecen.

El análisis, que era la disciplina más cercana al lugar de la explosión, ofrece precisamente la prueba más fuerte en sentido contrario. En el primer Congreso Internacional de Matemáticos, celebrado en 1897, Hadamard y Hurwitz ya habían defendido públicamente el valor de los métodos de la teoría de conjuntos para el análisis. Alrededor de 1900, Borel, Baire y Lebesgue seguían avanzando en los conjuntos de puntos, la clasificación de funciones, la medida y la integración. Esos trabajos no se detuvieron en 1897. Ni en 1901. Ni en 1902.

Ese es el contraste que más merece recordarse. Los mismos analistas franceses que cuestionaban por carta el principio de Zermelo seguían haciendo análisis con un uso intenso de las ideas de Cantor sobre conjuntos. La polémica modificó qué tipos de argumentos de existencia sobre lo infinito estaban dispuestos a admitir. No hizo que Lebesgue abandonara la teoría de la integración ni que Borel dejara de trabajar con conjuntos.

En los años treinta, el asunto ya se había separado en dos planos. El técnico se había estabilizado: aclarada y reforzada, la teoría de conjuntos era una herramienta habitual de la topología y de las funciones de variable real, entre otros campos. Se usaba todos los días. En el plano filosófico, ninguna de las cuestiones estaba completamente resuelta. La controversia no había terminado en los años treinta. Había encontrado acomodo.

Ni siquiera el descubridor de la paradoja vivió todo aquello con tanta alarma. En una carta posterior a Jourdain, Russell venía a decir que no se había puesto a estudiar seriamente la contradicción de Burali-Forti hasta 1905. Antes le parecía mucho más complicada que sus propias líneas y pensaba que probablemente se trataba de una dificultad técnica resoluble, o que tendría que esperar a que se resolviera primero su propia contradicción.

A propósito: hay frases brillantes que circulan por todas partes. Una de ellas atribuye a Poincaré la predicción de que las generaciones futuras verían la teoría de conjuntos como una enfermedad de la que ya se habrían curado. Es cruel y elegante, de modo que se cita una y otra vez. Pero no se encuentra una fuente fiable que acredite que Poincaré la pronunció. La citan libros y más libros, y ninguno explica de dónde procede.

Estas frases sirven para montar una escena. No sirven como prueba.

8. Los límites de la crisis

En el episodio dos examinamos otra crisis con ese nombre. De aquella ni siquiera estaba claro que hubiera ocurrido.

El problema estaba en los papeles. Que dos segmentos no admitieran una medida común era cierto. Que alguien se estremeciera por ello hasta sentir que se derrumbaban los cimientos no dejó papeles de la época. El relato del ahogamiento apareció mucho después; el de una crisis general, más tarde aún. No cuesta entender por qué a los narradores posteriores les gustaba disponer así las cosas: un hecho estructural no tiene protagonista ni giro narrativo. Se le añade una persona y ya hay protagonista. Se le añade un derrumbe y ya hay giro.

Esta vez no podemos hacer lo mismo.

Esta vez hay documentos de la época, y más de uno. Frege escribió personalmente sus respuestas de 1902 y 1903, y también aquel apéndice. La polémica pública de los cuatro franceses de 1905 apareció en el boletín de su sociedad matemática. Poincaré escribió artículos sobre aquellas anomalías. Zermelo declaró expresamente en 1908 que uno de los objetivos de su axiomatización era mantener fuera las contradicciones. En la correspondencia de 1905, Hadamard se refirió a la contradicción del mayor ordinal y vino a decir que, si resultaba fundamental e incurable, sería una derrota tan tremenda para el racionalismo que las antinomias de Kant parecerían insignificantes a su lado. En 1921, Weyl puso directamente «nueva crisis de los fundamentos» en el título de un artículo.

Nada de eso existe en el caso de la antigua Grecia. No podemos afirmar, por tanto, que ambas crisis fueron inventadas de la nada por la posteridad.

Pero en ambos casos hay una misma trampa, y esa es la que debemos desmontar. Los relatos modernos pueden comprimir cambios de alcance limitado, prolongados y distintos entre sí en una misma estructura dramática: un descubrimiento, una crisis, una conmoción general, unos fundamentos nuevos.

Aquí debemos separar tres planos. Son distintos los momentos, los grupos y lo que se discute.

Desde finales de la década de 1890 hasta 1908 se discutían las anomalías surgidas en la teoría de conjuntos y la lógica, el axioma de elección y la manera de axiomatizar. En las décadas de 1910 y 1920, el debate se amplió: logicismo, intuicionismo y formalismo disputaban qué debía considerarse matemática legítima. Solo en los años veinte «crisis» pasó a ser una palabra empleada por los propios protagonistas, y la pronunciaron en esa tercera controversia.

Si comprimimos esos tres planos en uno solo, obtenemos la versión tan difundida: una carta en 1902 y, desde entonces, el mundo matemático sumido en el pánico.

Por eso el veredicto de este episodio es distinto del que dimos en el segundo. Y hacen falta cuatro frases para formularlo.

La crisis no fue una invención.

Tampoco nació de la noche a la mañana en 1902.

Afectó profundamente a unos pocos que querían dar fundamento a toda la matemática, y mucho menos a quienes hacían matemáticas a diario.

Lo que se amplificó después fue, sobre todo, su alcance y su dramatismo, no las paradojas ni la controversia sobre los fundamentos en sí.

Aquella crisis de la leyenda quizá nunca ocurrió. Esta sí, pero abarcó mucho menos de lo que cuenta la versión heredada. Puede parecer que en ambos casos desmontamos de la misma manera, pero no es así. En el primero hay que preguntar, antes que nada, si la historia ocurrió; en el segundo se vuelven a trazar los límites de una historia verdadera. Lo segundo es más difícil de contar, porque no le da al lector la satisfacción de zanjarlo todo de un golpe.

Llegados hasta aquí, hay algo positivo que podemos llevarnos. Y tiene más recorrido que esas cuatro frases.

Lo que de verdad se consiguió en aquellos treinta años no fue curar un ataque de pánico. Fue localizar una afirmación que todos daban por supuesta, descubrir que no se sostenía y sustituirla.

La afirmación venía a decir que, si una condición puede expresarse con claridad, los objetos que la cumplen forman automáticamente una colección.

Si nadie la puso en duda durante tanto tiempo fue precisamente porque parecía una obviedad. Nadie se detiene a comprobar una obviedad. En muchas exposiciones no formalizadas se daba por descontada. Frege, en cambio, había enunciado solemnemente como axioma el principio relacionado con los recorridos de valores, de modo que había asumido sus consecuencias de una manera más explícita.

El fallo no suele estar donde salta a la vista algo sospechoso. Suele estar en la frase que a nadie se le ocurrió comprobar.

No es la primera vez que ocurre en esta serie. El postulado del episodio tres, que ni siquiera parecía un axioma, y aquella cosa del episodio nueve que era cero y no lo era, solo recibieron una segunda mirada cuando el peso de lo que sostenían dejó el problema al descubierto. Lo importante aquí fue que se examinaron a la vez el permiso intuitivo para formar conjuntos y el principio de los recorridos de valores ya escrito como axioma. Se aclaró qué permitía cada uno y se reescribieron las reglas.

Hemos recorrido los dos caminos de reparación, y ambos dejaron la misma brecha: nadie había demostrado que su sistema no pudiera producir contradicciones.

Más adelante, cerrar esa brecha se plantearía formalmente como una tarea. Pero antes hubo quien se levantó para decir otra cosa: eso que ustedes quieren conservar nunca debió conservarse.

Se sigue calculando. Lo que nunca se ha terminado de resolver es qué cuenta como matemáticas.

Fuentes y lecturas complementarias

Estas fuentes corresponden a los detalles históricos y a las diferencias de interpretación examinados en el texto. Los registros de archivo, la literatura antigua y las reconstrucciones modernas no son pruebas del mismo tipo.

• Archivos de Bertrand Russell en McMaster: carta a Frege del 16 de junio de 1902
• Baire, Borel, Hadamard y Lebesgue: publicación original de Cinco cartas sobre la teoría de conjuntos
• Zermelo: publicación original de sus investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos, 1908
• Weyl: publicación original de Sobre la nueva crisis de los fundamentos de las matemáticas, 1921
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: la paradoja de Russell
• La investigación francesa sobre teoría de conjuntos antes de la crisis de 1905