数学 · 15 / 25
集合論の危機
一通の手紙は、明確に組み立てられた一つの体系を直撃した。それでも、数学全体の仕事が止まったわけではない。パラドックス、選択、危機は、それぞれの時期を分けてたどる必要がある。
この篇の目次
一 印刷が進んでいた本
1902年6月16日、イギリスからイェーナへ、一通の手紙が送られた。
差出人は三十歳になったばかりのイギリス人。宛先は五十代のドイツ人論理学者だった。書き出しは挑戦状めいてなどいない。あなたの本を読み、高く評価している、と敬意を伝えている。そのあとに問いが一つ。ほんの数行で済む問いだった。
受取人の名はフレーゲ。イェーナで教えていた。この二十年、彼が取り組んできたのは一つの仕事だった。
日常の言葉にすれば、こういう仕事だ。一足す一は二。誰もが子どものころから知っている。だが、なぜそう言えるのか。数えてみればわかる、というのがいちばん手っ取り早い答えだろう。フレーゲはそれでは納得しなかった。数えるには目や手を使う。彼が欲しかったのは、目を使わなくても成り立つ理由だった。その理由は、推論そのものからすべて導き出せるはずだ。世界についての経験も、図形も、借りる必要はない。そう信じて、数よりも素朴なものから出発し、一歩ずつ数を組み立て、算術の規則を一つ残らずそこから導こうとした。
二十年を費やした仕事である。『算術の基本法則』の第一巻は1893年に刊行された。第二巻はいま印刷所にあり、刷り上がりが近づいていた。当時、彼の本を読む人は多くなかった。ラッセルはその数少ない読者の一人だった。
読んだ瞬間、フレーゲにはわかった。
六日後の6月22日、彼は返事を書いた。趣旨はこうだ。この矛盾にはまったく不意を突かれた。ほとんど狼狽したと言ってよい。そして、どこに問題があるのかを探り始めた。続いて彼は、めったに見られない行動に出る。刊行間近の本の末尾に、この一件を書き加えたのである。仕事を終えたところで、自分の築いたものの土台の一部が揺らいでいると知る。学問に携わる者にとって、これほど避けたい出来事はほかにまずない。ラッセル氏の手紙が届いたとき、第二巻は印刷をほぼ終えていたが、自分はまさにその事態に直面したのだ、と。
後世に広まった話より、この細部のほうがいい。語り継がれたのは、一通の手紙が一人の人生を壊したという話だ。実際に起きたのは、すでに印刷中だった自分の本に、本人が悪い知らせを書き足したということだった。
この回でたどるのは、あの手紙がのちにどんな話へと仕立てられ、実際には何をもたらしたのか、である。よく聞く説明がある。1902年の手紙が集合論の危機に火をつけ、数学界全体が自らの土台を信じられなくなった、と。半分は本当だ。肝心なのは、どちらの半分かである。
第二回でも、同じ「危機」という名のついた出来事を扱った。振り返って探してみても、伝説にいうあの動揺については、当時の人が残した一言も見つからない。物語は語られるほど整っていくのに、起きたのかどうかは、かえって言いにくくなる。
今回は、その結論をそのまま持ってくるわけにはいかない。今回は、当時の紙が残っている。
二 最初に気づいたのはラッセルではない
最初に一つ、はっきりさせておこう。ここをどう押さえるかで、話の形がまるごと変わる。集合論から矛盾が生じると気づいた最初の人は、ラッセルではない。それ以前に少なくとも三人いる。しかも、三人の事情はそれぞれ違う。
一人目はブラリ＝フォルティ。1897年、パレルモ数学会の会誌に短い論文を発表した。題名は、超限数についてのある問題、といった意味である。その論文で彼が矛盾を導いたことは確かだ。それがのちに、今日彼の名で呼ばれるパラドックスの材料になった。
ただし、本人は当時そう理解していなかった。論文では、自分のいう「完全に順序づけられていること」とカントールの整列順序とを区別し、問題があるのは、順序数を互いに比較できるかどうかについての別の命題だと考えていた。彼にとっては、むしろ帰謬法に近い。矛盾が出たのだから、その命題は成り立たない、というわけだ。同じ年の10月には訂正も発表し、論文中の誤りを一か所直している。
だから、1897年に最初の爆弾が炸裂し、ヨーロッパ中の数学者が狼狽した、という場面はなかった。今日の教科書に載るパラドックスは、のちに少しずつ形を整えられたものだ。パラドックスとして初めて活字になったのは、ラッセルの1903年の著書だった。それでも1905年の初めには、集合論に携わる人々のあいだで広く関心を集めていたわけではない。その年の末になってようやく、イギリス、ドイツ、フランスで同時に公開の論争となった。
二人目はカントール本人である。この事実は決定的だ。「集合という考え方から矛盾が出ることを初めて発見したのはラッセルだ」という説明が、これだけで崩れる。
書簡をたどれば、時期は少なくとも1896年前後までさかのぼる。1897年にはデデキントとこの問題を論じようとしており、すべてのアレフを集めた総体などで何が起きるかをヒルベルトにも伝えていた。1899年にデデキントへ送った数通の長い手紙には、さらにまとまった説明が残っている。
手紙の中で、カントールは区別を設けた。「たくさんのもの」のなかには、すでに完成した一つの全体としてまとめられるものがある。それを「整合的」と呼ぶ。一方、無理に完成した全体としてまとめようとすると矛盾を生じるものもある。それは「非整合的」だとした。
自分の理論は破産した、と宣言したのではない。一つの全体にまとめられること自体が、集合と認められるための追加条件なのだ、と考えたのである。矛盾が出るのは、定義がはっきりしていても集合にはならない総体がある、その証拠だった。
のちの対処法に、かなり近い考えではある。だが、後世の理論をそのまま彼に与えてはいけない。どの総体が整合的で、どれが非整合的かを形式的に判定する規則を、彼はまだ持っていなかった。あったのは一つの判断である。
しかも、これらを公刊しなかった。考えの大部分は書簡にとどまり、公開された資料に加わったのは1932年の全集によってだった。その全集を編んだのが、ツェルメロである。
三人目は、そのツェルメロだ。のちに本人は、ラッセルとは独立に、しかもラッセルより早く、同種の矛盾に行き着いていたと述べている。古い文献では、たいてい1899年とされる。ただし、この年は少し慎重に受け取る必要がある。主な根拠が、本人による後年の回想だからだ。
もっと確かな証拠は、別のところから出てきた。1981年、フッサールが1902年につけたノートの一冊が見いだされ、その中にツェルメロ版の矛盾を詳しく記した箇所があった。少なくとも二つのことは、これでわかる。ラッセルの結果が公刊される前に、ツェルメロの議論はすでにドイツ語圏の学術のつながりを通じて伝わっていた。そして、1903年のあの本を読んで初めて思いついたのでは、決してなかった。一人の哲学者が書き留めたメモが、八十年近くたって、一人の数学者に日付を取り戻してくれたのである。
なぜ何十年も知られずにいたのか。理由は単純で、すぐには発表しなかったからだ。この結果が生きていたのは、おもにゲッティンゲンでの口頭のやり取り、私信、ノートの中だった。第十四回で見た、半ば公開された紙の世界。その働きを示す例であり、限界を示す例でもある。仲間のあいだには伝わっていたのに、引用できる本には入らなかった。そのため、矛盾には、公刊された文章を残した側の名前がついた。
ラッセルがあの数行を思いついたのは1901年5月。この時期はかなり確かで、その月を記した手稿がある。フレーゲに手紙を送ったのは1902年だ。一年以上の隔たりがあるのに、この二つの日付こそ、よく同じ年の出来事として記憶されてしまう。
ラッセルの役割は、最初に気づいたことではない。ほかの二つのことをした。それが重なって、のちの影響を生んだ。矛盾を数行にまで切り詰めたこと。そして、その数行を、すでに退路のない形で自説を定めていた人に送ったことである。
三 あの数行
あの数行を読む前に、一つだけ規則を置く。当時は何の問題もなさそうに見えた規則だ。規則と呼ぶのさえ大げさで、わざわざ言うまでもないことにしか聞こえない。
ある条件をはっきり述べられるなら、それに当てはまるものは、それだけですべて一つの集まりになる。
赤いものを全部集めて、一つの集まりにする。三より大きい整数を全部集める。私の知っている人を全部集める。こんな話に異を唱える人はいない。
では、一度使ってみよう。自分自身を中に含む集まりがある。「中国語ではっきり記述できるもの」を全部集めた集まりは、それ自体も中国語ではっきり記述できるから、自分の中に入る。反対に、自分を含まない集まりもある。赤いものを全部集めても、その集まり自体が赤いわけではない。だから、それは自分の中には入らない。
そこで、こんな条件が作れる。「自分自身を含まない」。
先ほどの規則に従えば、自分自身を含まない集まりを全部集めて、また一つの集まりにできるはずだ。それを、いま問題にしている「あの集まり」と呼ぶことにしよう。
問うのは一つだけ。あの集まりは、自分自身を含むのか。
含むとしよう。それなら、あの集まりは「自分自身を含む集まり」である。だが、中に入れてよいのは「自分自身を含まない集まり」だけだ。したがって、中に入ってはいけない。
含まないとしよう。それなら、ちょうど条件に当てはまる。したがって、中に入るはずだ。
どちらへ進んでも、自分で出発点をひっくり返してしまう。
問題は、あの集まりがどれほど奇妙かではない。問題は、最初の規則のほうにある。あの一文を認めるかぎり、この数行はいつでも書き直せる。
先の矛盾より始末が悪いのは、必要な道具があまりにも少ないからだ。ブラリ＝フォルティの矛盾を導くには、順序数についての理論がひととおり要る。カントールの矛盾なら、ある集まりの部分集合をすべて集めると、もとの集まりより大きくなることを知っていなければならない。ラッセルの場合は、どちらも要らない。初めの、言うまでもないはずの一文を認めるだけで、矛盾が出る。
カントールには、こうした事態に出会っても身をかわす余地があった。大きすぎる総体は、そもそも集合ではないと言える。彼の理論は、規則をすべて固定した形式体系ではなかったからだ。フレーゲには、その余地がない。フレーゲの基本法則Vは、値域が等しいための条件を定めた形式的な法則であり、現代の集合の内包原理そのものではない。だが、それを彼の体系にある概念形成の規則や論理規則と組み合わせれば、対応する矛盾を導くには十分だった。ラッセルは、フレーゲの体系の内側に立ったまま、矛盾を引き出せたのである。
もう一つ、時代のずれを断っておこう。いまなら何気なく「集合」と言うが、当時ラッセルやフレーゲが用いていたのは、クラス、概念、概念の外延といった言葉だ。現在いう集合と、すっかり同じものではない。集合で説明するとわかりやすい。ただし、それは現代の言葉に置き換えて語っているのだ。
その後の三十年、多くの労力が一つの課題に注がれる。あの規則をどう取り替えれば、有用なものまで一緒に捨てずに済むのか。
四 フレーゲは倒れなかった
まず、最も広く流布した話からほどいていこう。一通の手紙でフレーゲの人生は壊れ、それ以来、精神的に崩れ落ち、何も生み出せなくなった、という話である。
前半のうち、理論にかかわる部分は本当だ。彼は問題の深刻さをただちに理解し、修繕にもただちに取りかかった。第二巻末尾の付録には修正案を載せたが、それで元の体系を救えないことは、のちにはっきりした。算術を論理だけから導こうとした、あの具体的な計画は、確かに終わった。
後半は、史料から導ける話ではない。
1903年以降も、フレーゲは仕事をやめなかった。イェーナで教え続け、1903年から1917年にかけても複数の論文を発表している。1904年の関数についての論文もその一つだ。幾何学の土台をどう据えるべきかをめぐって、ヒルベルトとの論争も続けた。退職後の1918年には「思想」を発表し、その後に「否定」「思想の構造」が続く。どれも、今日なお論理学や言語哲学で読むべき論文である。
晩年、立場が変わったのは確かだ。元の基本法則だけで当初の計画を達成できないことは、もはや明らかだった。1920年代の未刊草稿には、数学的知識はそもそもどこから来るのかを考え直し、幾何学や直観の側から算術の根を探ろうとする姿が見える。ただ、一、二ページの遺稿だけで、突然の改宗という話は支えられない。言えるのは二つのことだけだ。二つ目は、一つ目よりもさらに射程が狭い。
ラッセルの矛盾は、フレーゲがすでに公刊していた、算術に基礎を与えるあの計画を壊した。
フレーゲ自身を壊したのではない。
だが、これでほっとして終わってはいけない。巻末のあの言葉は、本人が書き、自分の本に印刷したものだ。後世の人が彼に割り当てた感情ではない。教え続け、論文を書き続け、その後二十年を生きながら、二十年かけて築いたものの土台の一部が揺らいでいると認めることはできる。この二つは、互いを帳消しにしない。この先でも、同じ難しさに出会う。ある人が倒れなかったと証明できても、何事もなかったと証明したことにはならない。
紙にまつわる事実を、もう一つ記しておこう。ラッセルとフレーゲの往復書簡は、あの有名な最初の一通だけではない。1902年から1904年まで続いている。ラッセルの側にはフレーゲからの手紙の写真複製が保存されていた。そのため、一部の原本がたどった道筋は複雑でも、やり取りの内容は復元できる。
フレーゲの遺稿は、それほど幸運ではなかった。おもに一人の論理学史家が残した写しや複製を通じて伝わり、その途中には戦争や移転に伴う損失もあった。いま私たちが読める一群の資料は、もとの姿のままではない。
つまり、1902年の一件は、何十年もあとの回想から組み立てた話ではない。決め手になる数通の手紙は、その時代に書かれた紙そのものだ。だからこそ、日付や順序をこれほどはっきり言える。
五 フランスの四人が争う
1904年、ツェルメロは、カントールが何年も主張しながら証明できずにいた命題を証明した。たちまち論争が起こる。その騒ぎは、パラドックスそのものをめぐる騒ぎよりも大きかった。
まず、何を証明したのか。自然数には、ごく素朴な性質がある。空でない部分集合をどんなふうに選んでも、その中には必ずいちばん小さい数がある。一、二、三と並ぶ数から取り出したものには、必ず最初があるのだ。
実数では、そうはいかない。ゼロより大きい実数のなかに、いちばん小さいものはない。どの数を挙げても、それより小さく、なおゼロより大きい数がある。
カントールが主張したのは、実数のようなものであっても、ある並べ方をすれば、この性質を持たせられるということだった。空でない部分集合をどれでも選べば、その中に必ず先頭がある。そんな並べ方が存在する。何年もそう言い続けたが、証明には届かなかった。
1904年、ツェルメロがそれを証明した。使ったのは、どの集まりにも何かが入っていれば、それぞれから一つずつ選び出せる、という原理だった。
これが、のちにいう選択公理である。反対の声は一種類ではなかった。いくつもの異論があり、それぞれに理由があった。
ある人は、各集まりから一つ選ぶと言いながら、どう選ぶのかをツェルメロは示していない、と言う。だとすれば、規則も定義もないものについて語っているような証明ではないか。別の人は、これほど大規模に一斉に選ぶという操作こそ、集合論の異常を生んだ危険な操作と同類ではないか、と疑う。ポアンカレの懸念はまた別だった。あるものを定義するとき、そのものをも含む全体を、ひそかに使ってはいないか。ペアノは、自分の体系を基準に反対した。自分の認める形式的原理から導けない原理を、何を根拠に正当な推論として認めるのか。
とりわけフランスの人々は、一人ずつ分けて見なければならない。ひとまとめにされがちだからだ。1905年、四人の往復書簡が「集合論についての五通の手紙」としてフランス数学会の会報に掲載された。ベール、ボレル、アダマール、ルベーグの四人である。
ボレルが問うたのは、実際の選び方が示されず、選んだ先にできる順序も具体的に書かれていない、という点だった。彼の立場をひと言に近づければ、あるものが存在すると宣言することと、それを定める方法を明示することは、同じではない、となる。
ベールはおおむねボレルの側にいたが、同じことを繰り返していたわけではない。とくに無限回の選択には慎重で、二つの場合を分けようとした。数学的に一歩ずつ捉えられる選び方と、無限回の選択をすべて終えたと初めから仮定するやり方である。あらゆる選択原理に反対した人、と書くのは言いすぎだ。このフランスの解析学者たちも、初期の仕事では、より弱い形の選択を暗黙に使っていることがあった。
「存在するというなら、何らかの仕方で指定できる性質を伴うべきだ」という立場に最も近いのが、ルベーグだった。「ある関数が存在する」と「少なくとも、それが何なのかを言える」とを、完全に切り離すことを彼は望まなかった。当時の彼は、測度や定義可能な集合をめぐる問題のまさに中心にいた。あとから哲学をこじつけた話ではない。日々の仕事に直結していた。
アダマールは反対側に立つ。問題を分けるのは、有限個を選ぶか、可算個か、非可算個かではない。「存在すること」と「一意に、明確に記述すること」を、誤って同じ要求と考えていないか、である。数学では、あるものが存在すると証明しても、それを書き出す規則までただちに示す必要はない。1905年の書簡のなかで、この原理を最も力強く擁護したのは彼だった。
だから、「フランスの数学者は選択公理に反対した」という説明は誤りだ。四人のうち一人は擁護者であり、反対する三人にもそれぞれの理由があった。その理由どうしも一致していない。
当時の人々が本当に居心地の悪さを感じたのは、結論が奇妙に聞こえたからではない。証明することと、実物を示すことのあいだに、裂け目ができたからだ。いちばんはっきりするのが実数である。ツェルメロは、ある並べ方が存在するとは証明できた。だが、その並べ方がどんなものかは、まったく示さなかった。定義可能性、可測性、具体的な関数といった問題を現代解析学に持ち込んだばかりの人々にとって、「あることは証明する。どれなのかは教えない」という存在の捉え方は、ひどく目障りだった。
第十三回の末尾で立ち止まったのも、この「ある」という言葉だった。1874年の結果からは、集合の大きさの比較による存在の結論が得られる。ただし原論文の区間を用いた手順でも、列挙から漏れる実数を構成できる。1904年の整列可能性の証明は、それより直接に、存在することと、具体的な並べ方を示すという要求を切り離した。日常の言葉で「ある」は一つの意味しか持たない。日常なら、そのものを実際に取り出してみせられるからだ。
1905年になると、この違いは、聞き流せる感想ではなくなっていた。四人が書簡の中で正面から争う問題になったのである。争点は同じだった。数学で何かが存在すると言うには、いったい何が必要なのか。
六 あの規則を取り替える
1908年、ツェルメロは公理の体系を発表した。何を目指すかは率直に書かれている。集合の作り方に制限をかけ、既知の矛盾が入り込めないようにする。それと同時に、カントールの理論の価値ある部分を、できるだけ残す。
決定的だったのは、安全な集合の定義を見つけたことではない。あの、何でも許してしまう規則を撤回したことだ。
新しいやり方はこうなる。ある条件を満たすすべてのものが、自動的に一つの集まりになるとは言えない。すでに与えられた集まりの中から、条件を満たすものを選び、別の集まりを作ることだけが許される。
これで、ラッセルの数行は続けられなくなる。あの議論には、ありとあらゆるものを一度に収める大きな集まりが必要だった。そこから「自分を含まないもの」を選び出すためである。その大きな集まりが、もうない。ツェルメロ自身、どんな集まりを与えても、その中から自分自身に属さないものを取り出すだけなら矛盾は起こらない、とわざわざ説明している。むしろ、ほかならぬこのやり方で、あらゆるものを収める万能の集合は存在しないと証明できる。
もう一つの仕事は果たしていない。そのことを、彼はよくわかっていた。
1908年の主張は控えめだ。この制限のもとでは、既知のパラドックスを作れない。それだけであって、この体系から別の矛盾が出ることもない、とは言っていない。後世の説明では、これがしばしば「ツェルメロは集合論に矛盾がないと証明した」に変わる。成り立たない説明だ。しかも、元の主張とは大きな隔たりがある。
受け入れられるまでにも、段階があった。体系への批判は続き、とりわけ「確定した性質」という言葉でどこまで認めるのかが、十分に定められていないとされた。1920年代にはフレンケルとスコーレムが、それぞれ、元の体系ではより高い段階の集合を作るのに足りないことを指摘し、のちに置換原理と呼ばれるものの導入を進めた。スコーレムはさらに、「確定した性質」を一階の論理式で明確に扱った。フレンケルが置換の考えを提出したのは1922年前後。スコーレムの仕事は同じ年、ヘルシンキのスカンディナヴィア数学者会議で報告され、翌年に刊行された。ツェルメロは当初、こうした変更に全面的に賛同していたわけではない。のちには置換を受け入れ、1930年の自身による新たな公理化では、それに当たる形式を用いている。
つまり、いま二人の名前を冠している公理系は、1908年の一編の論文で一度に完成したのではない。二十年以上にわたる修繕と明確化の成果である。そして、三人目の貢献は、その名前に入っていない。
ラッセルは別の道を進んだ。1903年の著書にも、初期の、比較的単純な階層化の発想はあった。のちに分岐型理論と呼ばれるものが形をなしたのは、1908年の論文である。それが、1910年から1913年にホワイトヘッドと共著で刊行した、三巻の『プリンキピア・マテマティカ』へと組み込まれた。
仕組みはこうだ。ある言明を、それと同じ層にあるものにまで無制限に適用することは、もう許さない。対象で一つの層。対象についての性質は別の層。その性質についての性質は、さらに別の層となる。その後、層に加えて「階」という制限も設けた。ラッセルのあの数行を生む自己言及の組み合わせは、そもそも規則に従った形では書けなくなる。
代償は大きかった。循環を防ぐために階層はひどく複雑になり、その制限は、通常の数学で当たり前に使われる多くの定義まで締め出した。十分に豊かな古典数学を取り戻すため、ラッセルとホワイトヘッドは、もう一つの仮定を加えざるをえなかった。還元公理である。
これを加えたところで、当初の計画にひびが入る。目標は、数学を論理だけから導くことだった。ところが、普段の数学を取り戻すために、純粋に論理的な真理には見えない強い仮定を加えなければならない。
二つの道に、それぞれの代償があった。
ツェルメロの側で支払ったのは、集合論が「はっきり言えるものは集められる」という自然な営みではなくなり、あらかじめ書き定めるべき規則の体系になったことだ。ラッセルの側では、数学を取り戻すために、純粋な論理とは言えない仮定を認めなければならなかった。
選択公理がその後どう扱われたかも、見ておこう。1930年代にはますます広く使われていたが、後年のように、断らなくても使ってよいという地位にはまだなかった。当時には、礼儀ともいえる慣行がある。ある定理で選択公理を使ったなら、そのことを明記する。哲学的な異論が消えたのではない。注記できる場所に置かれたのだ。きわめて実用的な対処だった。意見の違いを解決するのではなく、どこに違いがあるのかを示すよう求めるのである。
そして、どちらの側にもできなかったことが、一つある。自分たちの体系から矛盾が生じない、と証明することだった。
七 「危機」という言葉
ここで、あの言葉に戻れる。1921年、ワイルは一編の論文を発表した。題名そのものが「数学の新たな基礎の危機について」。『Mathematische Zeitschrift』第十巻に載っている。タイトルに、その言葉が書かれている。これほど確かな証拠はない。
ここでは、二つの点を見落としてはいけない。第一に、これは1921年であって、1901年でも1902年でもない。二十年近く隔たっている。第二に、彼が書いたのは「新たな」基礎の危機だ。論文の直接の背景はラッセルのあの数行ではなく、古典数学と従来の論理原則に対するブラウワーの挑戦だった。この論争は、次の回であらためて扱う。
したがって、1921年の題名を1901年へさかのぼって貼りつけ、「ラッセルがパラドックスを見つけると、数学界はただちにそれを集合論の危機と呼んだ」と書くのは、あてにならない。1900年代に使われていたのは、別の言葉だった。矛盾、二律背反、パラドックス、基礎である。
では当時、実際には何人がかかわっていたのか。信用できる統計はない。「当時、数学者は何人いて、その何パーセントが集合論の危機に参加した」といった説明は、受け取るべきではない。それを支える名簿が、どこにもないからだ。
数えられるのは、文章を残した人々である。1905年のフランスの五通の手紙には、四人の書き手がいた。1904年から1906年にかけての整列順序やパラドックスに関する公刊論文を見ていけば、ツェルメロ、ラッセル、ジョーダイン、ベルンシュタイン、ホブソン、ハーディ、ポアンカレ、ペアノ、シェーンフリースと名前が加わる。実際に書いて議論した中心人物だけで、たちまち十数人になる。イギリス、フランス、ドイツ、イタリアにまたがる人々だ。1920年代に進み、ヒルベルトとブラウワーの論争に、ワイル、ベルナイス、アッカーマン、フォン・ノイマン、スコーレムまで含めれば、数十人からなる専門家のつながりへと広がる。
数十人の専門家のつながり。それは一つの数学の共同体ではあっても、数学界全体ではない。
論争の地理も、はっきりしている。イタリアではペアノ学派とパレルモの数学会が出発点となった。ドイツの最重要拠点はゲッティンゲン。ヒルベルトがカントールと書簡を交わし、ツェルメロが活動した場所である。フランスの論争は、フランス数学会の刊行物を通じて進んだ。イギリスでは、ラッセルが1903年の著書や、ジョーダイン、ハーディらとの議論によって、数学と哲学の双方の世界に問題を持ち込んだ。
一方、イェーナはフレーゲ一人の場所だった。1902年のラッセルの手紙が届いた先は、成熟した研究所ではない。かなり孤立した、一人の人間の計画だった。第十四回で見たあの機械は、フレーゲのそばには一台もなかった。
もう一つ、目を引く年がある。1936年、記号論理学会が設立され、同じ年に『記号論理学雑誌』が創刊された。この分野が、自前の国際学会と専門誌を持つのは、そこまで待ってからだった。それ以前の論文は、一般の数学雑誌、哲学雑誌、数学会の会誌、単行本、私信に散らばっていた。情報の伝わり方に大きなむらがあった理由も、ここにある。初期の重要な内容を運んだのは手紙、私的な交流、いくつかの総合誌だった。国際的な論理学界がすでに整っていて、そこが運んでいたわけではない。
では、この数十人の外にいた数学者は、何をしていたのか。数学全体の仕事が止まらなかったと証明するのに、大定理をいくつか並べるだけでは足りない。とはいえ、もし全員を巻き込む中断が本当にあったなら、少なくともいくつかの痕跡はあるはずだ。研究計画が停止する。雑誌の論題が大きく変わる。主要な会議が基礎の問題に集中する。通常の論文でも、証明を認める基準が大量に改められる。そうした痕跡は見つからない。
爆心に最も近かった解析学こそ、むしろ最も強い反証になる。1897年の第一回国際数学者会議では、アダマールとフルヴィッツがすでに、解析学における集合論的方法の価値を公に擁護していた。1900年前後、ボレル、ベール、ルベーグは、点集合、関数の分類、測度、積分の研究を着々と進めていた。1897年にも止まらず、1901年にも止まらず、1902年にも止まらなかった。
覚えておきたい対照は、ここにある。同じフランスの解析学者たちが、書簡ではツェルメロの原理を問いただしながら、解析学の仕事ではカントール流の集合の考え方を盛んに使い続けていた。論争によって変わったのは、無限にかかわるどのような存在証明なら受け入れるか、という点だ。ルベーグが積分論の手を止めたわけでも、ボレルが集合を研究しなくなったわけでもない。
1930年代には、問題は二つの層に分かれていた。技術の層は落ち着いた。集合論は明確化と強化を経て、位相や実変数関数論などの日常の道具となり、毎日使われていた。哲学の層では、どの問題も完全には解決されていない。論争は1930年代に終わったのではない。置き場所が定まったのである。
パラドックスを見つけた当人でさえ、そこまで緊迫してはいなかった。ラッセルがのちにジョーダインへ書いた手紙によると、ブラリ＝フォルティの矛盾を本腰を入れて研究し始めたのは1905年だった。それまでは、自分の数行よりはるかに複雑な問題だと見ていた。おそらく技術的に解ける問題にすぎないか、あるいは、自分の矛盾を先に解いてから取りかかるべきものだと考えていたのである。
広く流布している、気の利いた言葉にも触れておこう。ポアンカレが、後世の人は集合論を、すでに治った病気のように見るだろうと言った、という一節がよく引用される。辛辣で、うまい言い方だから、あちこちに登場する。だが、彼がそう言ったと確認できる、信頼のおける出典は見つからない。本から本へと引用され、そのどの本も、どこから引いたのかを示していない。
こういう言葉は、芝居を盛り上げる役には立つ。証拠の役には立たない。
八 危機はどこまで及んだのか
第二回では、同じ名で呼ばれる危機を扱った。あちらは、起きたかどうかさえ問題だった。
問題は紙にある。二つの線分が同じ尺度では測れない。それは本当だ。だが、そのために人々が土台まで崩れるほど動揺したという、当時の紙は残っていない。溺死の物語が現れるのはずっと後で、広く危機が起きたという語り方は、さらに後になる。後世の語りがなぜそうした筋立てを好むのかは、むしろわかりやすい。構造上の事実だけでは、主人公も転機もない。人を一人足せば主人公ができ、崩壊を一つ足せば転機ができる。
今回は、その判定を写すわけにはいかない。
今回は、当時の紙がある。しかも一枚ではない。1902年から1903年にかけてのフレーゲの返書とあの付録は、本人が書いたものだ。1905年のフランスの四人による公開論争は、数学会の会報に載っている。ポアンカレは、これらの異常を論じる文章を書いた。ツェルメロは1908年、公理化の目的の一つが矛盾を締め出すことだと自ら明記した。1905年の書簡でアダマールは、最大の順序数をめぐる矛盾について、おおよそ次のように書いている。もしこの矛盾が根本的なもので、しかも治しようがないとしたら、合理主義にとって何という惨敗だろう。それに比べればカントの二律背反など、ほとんど問題にならない。そして1921年には、ワイルが「新たな基礎の危機」を、堂々と論文の題名にした。
古代ギリシアの例には、こうした証拠がなかった。だから、どちらも後世の人が何もないところから作った話だ、とは言えない。
ただし、二つには同じ形の罠がある。解きほぐすべきなのは、そこだ。現代の語り方は、どちらの場合も、局所的で、長い時間をかけて起こり、互いに異なる変化を、一つの劇の筋に押し込めかねない。一つの発見。一つの危機。全員が動揺し、新しい土台が生まれる。
今回は、三つの層を分けなければならない。時期も、かかわる人々も、争っている事柄も違う。
1890年代末から1908年にかけて争われたのは、集合論と論理に現れた異常、選択公理、そして公理化の進め方だった。1910年代から1920年代には、論争の範囲が広がる。論理主義、直観主義、形式主義のあいだで、何を正当な数学と認めるかが問われるようになった。1920年代になって初めて、「危機」は当事者自身が口にする言葉となる。しかも、それが口にされたのは、三つ目の論争の中だった。
この三つの層を一つに潰すと、よく知られた話ができあがる。1902年、一通の手紙。それ以来、数学界は恐慌に陥った。
だから、今回の判定は第二回とは違う。しかも、四つの文が要る。
危機は、作り話ではない。
危機は、1902年、一夜のうちに生じたのでもない。
数学全体の土台を据えようとした少数の人々には深く及んだが、日々数学を進める人々への影響は、はるかに小さかった。
後世に大きく膨らんだのは、おもに危機の広がりと劇的な側面であり、パラドックスや基礎をめぐる争いそのものではない。
伝説のあの危機は、起きなかったのかもしれない。こちらは起きた。ただし、その及ぶ範囲は伝えられてきたよりずっと狭かった。似た解体作業に見えて、同じではない。一方はまず、その物語が本当に起きたのかを問わなければならない。もう一方は、本当にあった物語の境界を引き直すことだ。後者のほうが書くのは難しい。読者に、すっきりした決着を与えてくれないからである。
ここまで解きほぐしてきて、肯定的なものも一つ持ち帰れる。しかもそれは、先の四つの文より長持ちする。
あの三十年が本当に成し遂げたのは、人々の狼狽を鎮めたことではない。誰もが当然としていた一文を見つけ出し、それでは支えきれないと知り、別の規則に取り替えたことだ。
その一文は、おおよそこうだった。条件をはっきり述べられさえすれば、それに合うものは自動的に一つの集まりになる。
長年疑われなかったのは、あまりにも言うまでもない話に見えたからだ。言うまでもないことを、わざわざ点検する人はいない。形式化されていない多くの議論では、それが当然のこととして扱われていた。一方フレーゲは、これにかかわる値域の原理を、正式に公理として書き定めていた。だからこそ、その帰結も、より明確な形で引き受けることになった。
問題が起きるのは、たいてい、一目で怪しいとわかる場所ではない。誰も調べようと思わなかった、あの一文からだ。
この連載で、初めて見ることではない。第三回の、公理らしく見えなかったあの公準も、第九回の、ゼロでありながらゼロでないものも、上に積まれた重みで問題が表に出てから、人々はようやく振り返った。今回の要点は、直観が許していた集合の作り方と、すでに明文化されていた値域の原理とを、ともに点検の対象にしたことである。何をどこまで認めているのかを見極め、そのうえで規則を書き換えた。
修繕のための二つの道をたどり終えても、どちらにも同じ穴が残った。自分たちの体系から矛盾が出ないことは、誰も証明していなかった。
この穴をふさぐことは、のちに正式な課題として掲げられる。だが、その前に、別のことを言って立ち上がった人がいた。あなたたちが守ろうとしているものは、そもそも守るべきものではない、と。
数を計算する仕事は続いていく。何を数学に数えるのかは、まだ一度も決着がついていない。
史料と関連文献
以下の資料は、本文の歴史的な細部や解釈の分かれる点に対応している。所蔵記録、古代の文学的記述、現代の復元は、同じ種類の証拠ではない。