Die Krise der Mengenlehre

1 Das Buch war schon im Druck

Am 16. Juni 1902 ging ein Brief von England nach Jena.

Der Absender war ein Engländer, gerade dreißig geworden; der Empfänger ein deutscher Logiker über fünfzig. Der Brief begann mit einem Kompliment, nicht mit einem Angriff. Er habe das Buch des anderen gelesen und halte viel davon, schrieb der Jüngere. Dann stellte er eine Frage. Dafür brauchte er nur wenige Zeilen.

Der Empfänger hieß Frege und lehrte in Jena. Seit zwanzig Jahren arbeitete er an einer einzigen Sache.

In der Alltagssprache lässt sich diese Sache so erklären: Eins und eins ist zwei. Das weiß jedes Kind. Aber warum gilt es? Die bequemste Antwort lautet: Zähl doch nach. Frege ließ sie nicht gelten. Zum Nachzählen braucht man Augen und Hände; er suchte einen Grund, der ohne Augen auskam. Er war überzeugt, dass sich dieser Grund allein aus dem Schließen gewinnen ließ, ohne jede Erfahrung über die Welt, ohne eine einzige Zeichnung. Also setzte er bei etwas Einfacherem als Zahlen an, baute daraus Schritt für Schritt die Zahlen auf und wollte von dort aus jede Regel der Arithmetik herleiten.

Zwanzig Jahre hatte er daran gearbeitet. Der erste Band der Grundgesetze der Arithmetik war 1893 erschienen. Der zweite lag in der Druckerei und war fast fertig gedruckt. Frege hatte damals wenige Leser. Russell war einer von ihnen.

Frege begriff sofort.

Sechs Tage später, am 22. Juni, antwortete er. Der Widerspruch habe ihn aufs Äußerste überrascht, beinahe bestürzt, schrieb er sinngemäß, und machte sich daran, die Fehlerstelle zu suchen. Dann tat er etwas Ungewöhnliches: Er nahm die Nachricht in einen Nachtrag zu dem Buch auf, das gerade erscheinen sollte. Einem Wissenschaftler, so der Sinn dieser Zeilen, könne kaum etwas Unwillkommeneres begegnen: Die Arbeit sei abgeschlossen, und nun zeige sich, dass ein Teil des Fundaments seines Bauwerks ins Wanken gerate. Genau das sei ihm widerfahren. Als Herrn Russells Brief eintraf, war der Druck des zweiten Bandes nahezu beendet.

Dieses Detail ist besser als die Geschichte, die später daraus wurde. In der späteren Fassung zerstört ein Brief ein ganzes Leben. Tatsächlich war das Buch schon im Druck, und der Autor fügte ihm selbst die schlechte Nachricht hinzu.

Dieser Beitrag handelt davon, was man aus dem Brief gemacht hat und was er tatsächlich bewirkte. Oft wird es so erzählt: 1902 löste dieser Brief eine Krise der Mengenlehre aus, und von da an verlor die gesamte Mathematik das Vertrauen in ihre Grundlagen. Die Hälfte daran stimmt. Entscheidend ist, welche Hälfte.

Folge 2 galt einer anderen Krise gleichen Namens. Sucht man nach jener sagenhaften Erschütterung, findet sich kein Wort eines Zeitgenossen. Die Geschichte wurde immer vollständiger erzählt. Ob sie stattgefunden hatte, blieb dagegen fraglich.

Dieses Urteil lässt sich hier nicht einfach übernehmen. Diesmal gibt es Papier aus jener Zeit.

2 Russell war nicht der Erste

Zunächst muss eines klargestellt werden, denn davon hängt der ganze Zuschnitt der Geschichte ab: Russell war nicht der Erste, der bemerkte, dass die Mengenlehre Widersprüche hervorbringen konnte. Mindestens drei Menschen waren ihm voraus. Und bei jedem lag der Fall anders.

Der Erste war Burali-Forti. 1897 veröffentlichte er in den Rendiconti des mathematischen Vereins von Palermo einen kurzen Aufsatz, dessen Titel etwa „Eine Frage zu den transfiniten Zahlen“ lautet. Darin leitete er tatsächlich einen Widerspruch her. Dieser lieferte später das Material für die Antinomie, die heute seinen Namen trägt.

Er selbst verstand sein Ergebnis damals jedoch anders. Im Aufsatz unterschied er das, was er „vollständig geordnet“ nannte, von Cantors Wohlordnung. Den Fehler sah er in einer anderen Aussage, die die Vergleichbarkeit von Ordinalzahlen betraf. Für ihn war das eher ein Widerspruchsbeweis: Man gelangt zu einem Widerspruch, also ist die betreffende Aussage falsch. Im Oktober desselben Jahres veröffentlichte er außerdem eine Berichtigung zu einem Fehler in seinem Text.

1897 explodierte also keine erste Bombe, vor der Europas Mathematiker erschrocken zurückwichen. Die Antinomie der heutigen Lehrbücher nahm erst allmählich Gestalt an. Als Paradoxie gedruckt wurde sie erstmals in Russells Buch von 1903. Noch Anfang 1905 stand sie keineswegs im Mittelpunkt des allgemeinen Interesses innerhalb der Mengenlehre. Erst gegen Ende jenes Jahres wurde sie in Großbritannien, Deutschland und Frankreich zugleich zum Gegenstand einer öffentlichen Auseinandersetzung.

Der Zweite war Cantor selbst. Das wiegt besonders schwer, denn damit fällt die Behauptung, erst Russell habe entdeckt, dass schon der Gedanke einer Menge in einen Widerspruch führen könne.

Cantors Briefe führen mindestens bis ungefähr 1896 zurück. 1897 hatte er bereits versucht, mit Dedekind darüber zu sprechen, und Hilbert von den Schwierigkeiten berichtet, die Gesamtheiten wie die aller Alephs verursachen. Ein wesentlich vollständigeres Bild liefern mehrere lange Briefe an Dedekind aus dem Jahr 1899.

Darin führte er eine Unterscheidung ein. Manche Vielheiten lassen sich zu einem abgeschlossenen Ganzen zusammenfassen; diese nannte er konsistent. Bei anderen entsteht ein Widerspruch, sobald man sie als abgeschlossenes Ganzes behandeln will; diese nannte er inkonsistent.

Cantor erklärte deshalb nicht sein ganzes Unternehmen für gescheitert. Er machte vielmehr die Möglichkeit, etwas zu einem Ganzen zusammenzufassen, zu einer zusätzlichen Bedingung dafür, dass es eine Menge ist. Der Widerspruch zeigt dann gerade, dass bestimmte durchaus klar definierte Gesamtheiten keine Mengen sind.

Das kommt der späteren Behandlung schon nahe. Trotzdem darf man ihm nicht rückwirkend die spätere Theorie zuschreiben. Er besaß noch kein Regelwerk, mit dem sich formal entscheiden ließ, welche Gesamtheiten konsistent und welche inkonsistent waren. Er hatte zunächst eine Einsicht.

Veröffentlicht hat er das auch nicht. Es blieb vorwiegend in Briefen und wurde erst mit den gesammelten Werken von 1932 allgemein zugänglich. Deren Herausgeber war Zermelo.

Der Dritte war eben dieser Zermelo. Später erklärte er, unabhängig von Russell und vor ihm auf einen Widerspruch derselben Art gestoßen zu sein. In der älteren Literatur steht dafür meist das Jahr 1899. Dieses Datum sollte man mit einem Vorbehalt lesen: Es beruht hauptsächlich auf Zermelos eigener späterer Erinnerung.

Der belastbare Beleg ist ein anderer. 1981 wurde ein Notizbuch Husserls von 1902 wiedergefunden. Eine Passage darin hält Zermelos Fassung des Widerspruchs ausführlich fest. Damit stehen mindestens zwei Dinge fest: Noch bevor Russells Ergebnis öffentlich im Druck vorlag, zirkulierte Zermelos Argument bereits in deutschsprachigen akademischen Kreisen. Er kann also nicht erst durch die Lektüre des Buches von 1903 darauf gekommen sein. Die beiläufige Aufzeichnung eines Philosophen gab einem Mathematiker nach fast achtzig Jahren ein Stück seiner Chronologie zurück.

Warum erfuhr man davon jahrzehntelang nichts? Die Antwort ist schlicht: Zermelo hatte nicht rechtzeitig publiziert. Sein Ergebnis lebte vor allem in Göttinger Gesprächen, privaten Briefen und Notizbüchern. Folge 14 handelte von dieser halböffentlichen Schicht aus Papier. Hier zeigt sich, was sie leistete, und zugleich, wo ihre Grenze lag. Innerhalb des Kreises sprach sich die Sache herum. Doch sie gelangte in kein Buch, auf das man hätte verweisen können. Den Namen lieferte am Ende die Seite, die einen veröffentlichten Text vorzuweisen hatte.

Russell fand seine wenigen Zeilen im Mai 1901. Das ist recht gut gesichert, denn es gibt ein Manuskript mit dieser Monatsangabe. An Frege schrieb er 1902. Dazwischen lag mehr als ein Jahr. Gerade diese beiden Daten werden häufig in dasselbe Jahr zusammengedrängt.

Russells Leistung bestand also nicht darin, als Erster etwas zu sehen. Er tat zwei andere Dinge, die erst zusammen ihre spätere Wirkung entfalteten: Er brachte den Widerspruch auf wenige Zeilen. Und er schickte sie einem Mann, der sich bereits endgültig festgelegt hatte.

3 Die wenigen Zeilen

Um diese wenigen Zeilen zu verstehen, braucht man zunächst eine Regel. Damals schien an ihr nicht das Geringste bedenklich. Sie wirkte kaum wie eine Regel, eher wie eine Binsenweisheit.

Wenn sich eine Bedingung klar aussprechen lässt, bilden alle Dinge, die sie erfüllen, von selbst eine Sammlung.

Alle roten Dinge bilden eine Sammlung. Alle ganzen Zahlen größer als drei bilden eine Sammlung. Alle Menschen, die ich kenne, bilden eine Sammlung. Wer sollte dagegen etwas einzuwenden haben?

Wenden wir das einmal an. Manche Sammlungen enthalten sich selbst. Die Sammlung aller Dinge, die sich auf Chinesisch klar beschreiben lassen, lässt sich selbst auf Chinesisch klar beschreiben. Also gehört sie selbst mit hinein. Andere Sammlungen enthalten sich nicht selbst. Die Sammlung aller roten Dinge ist selbst nicht rot. Also gehört sie selbst nicht mit hinein.

Damit haben wir eine Bedingung: sich nicht selbst enthalten.

Nach unserer Regel müssten nun auch alle Sammlungen, die sich nicht selbst enthalten, gemeinsam eine Sammlung bilden. Nennen wir sie einfach: diese Sammlung.

Nur eine Frage: Enthält diese Sammlung sich selbst?

Falls ja, ist sie eine Sammlung, die sich selbst enthält. Sie nimmt aber ausschließlich Sammlungen auf, die sich nicht selbst enthalten. Also dürfte sie nicht dazugehören.

Falls nein, erfüllt sie genau die Bedingung. Also müsste sie dazugehören.

Beide Wege führen ins eigene Gegenteil.

Das Problem ist nicht, wie sonderbar diese Sammlung aussieht. Das Problem steckt in der Regel. Solange die gilt, lassen sich die wenigen Zeilen jederzeit wieder hinschreiben.

Dieser Widerspruch war schwerer abzutun als seine Vorgänger, weil er mit so wenig auskam. Für Burali-Fortis Widerspruch braucht man erst eine ganze Theorie der Ordinalzahlen. Für Cantors muss man zunächst wissen, dass die Sammlung aller Teilmengen einer Sammlung größer ist als die ursprüngliche Sammlung. Russell braucht nichts davon. Es genügt, die Binsenweisheit vom Anfang zuzulassen, und der Widerspruch folgt.

Cantor konnte solchen Schwierigkeiten noch ausweichen. Er konnte sagen, übergroße Gesamtheiten seien eben keine Mengen. Seine Theorie war kein bis ins Letzte festgeschriebenes formales System; ihm blieb Spielraum. Frege hatte keinen. Sein Grundgesetz V war eine ausdrücklich formulierte Regel über die Gleichheit von Wertverläufen, nicht einfach der heutige Grundsatz der unbeschränkten Mengenbildung. Zusammen mit den Möglichkeiten der Begriffsbildung und den logischen Regeln seines Systems reichte es jedoch aus, den entsprechenden Widerspruch herzuleiten. Russell konnte Freges System betreten und den Widerspruch von innen heraus gewinnen.

Noch eine zeitliche Verschiebung ist zu beachten. Heute spricht man ganz selbstverständlich von Mengen. Russell und Frege arbeiteten damals mit Klassen, Begriffen und Begriffsumfängen. Das ist nicht ohne Weiteres dasselbe wie eine Menge im heutigen Sinn. Mit Mengen lässt sich die Sache anschaulich erzählen. Es bleibt aber eine Übertragung in die Sprache einer späteren Zeit.

In den folgenden dreißig Jahren floss ein erheblicher Teil der Arbeit in ein und dieselbe Frage: Wie ersetzt man diese Regel, ohne mit ihr auch das Brauchbare wegzuwerfen?

4 Frege ging nicht daran zugrunde

Nehmen wir zuerst die verbreitetste Behauptung auseinander. Sie lautet: Ein Brief zerstörte Freges Leben; er brach geistig zusammen und brachte danach nichts mehr zustande.

Am ersten Teil ist der fachliche Kern richtig. Frege erkannte sofort, wie schwer der Einwand wog, und begann ebenso sofort mit der Reparatur. Im Nachtrag zum zweiten Band schlug er eine Änderung vor. Dass sie das ursprüngliche System nicht retten konnte, wurde später deutlich. Sein konkreter Entwurf, die Arithmetik allein aus der Logik herzuleiten, war tatsächlich am Ende.

Den zweiten Teil geben die Quellen nicht her.

Nach 1903 zog Frege sich keineswegs zurück. Er lehrte weiter in Jena. Zwischen 1903 und 1917 veröffentlichte er mehrere Aufsätze, darunter 1904 seinen Beitrag über den Funktionsbegriff, und stritt weiterhin mit Hilbert über die Grundlagen der Geometrie. Nach seiner Pensionierung erschien 1918 Der Gedanke, anschließend Die Verneinung und Gedankengefüge. Diese Texte gehören bis heute zur wichtigen Lektüre in Logik und Sprachphilosophie.

Im Alter änderte er allerdings seine Position. Mit den alten Grundgesetzen ließ sich das alte Vorhaben offenkundig nicht mehr verwirklichen. Unveröffentlichte Fragmente aus den 1920er Jahren zeigen, dass er die Herkunft mathematischer Erkenntnis neu überdachte und die Wurzeln der Arithmetik nun auf der Seite von Geometrie und Anschauung suchte. Aber ein, zwei Nachlassseiten tragen noch keine Geschichte von einer plötzlichen Bekehrung. Was sich sagen lässt, passt in zwei Sätze. Der zweite zieht die Grenze noch enger als der erste.

Russells Widerspruch zerstörte den von Frege veröffentlichten Entwurf einer Grundlegung der Arithmetik.

Er zerstörte nicht Frege.

Das ist allerdings kein Anlass, erleichtert aufzuatmen. Die Zeilen am Ende des Bandes stammen von Frege selbst und stehen in seinem eigenen Buch. Die darin spürbare Erschütterung haben ihm keine Nachgeborenen angedichtet. Ein Mensch kann weiter lehren, weiter schreiben, noch zwanzig Jahre leben und zugleich eingestehen, dass sich ein Teil des Fundaments unter der Arbeit von zwanzig Jahren bewegt. Das eine hebt das andere nicht auf. Dieselbe Schwierigkeit wird uns noch einmal begegnen: Der Nachweis, dass ein Mensch nicht zusammengebrochen ist, beweist keineswegs, dass nichts geschehen wäre.

Auch zur Überlieferung ist ein Detail festzuhalten. Russell und Frege schrieben sich von 1902 bis 1904 weiter; es blieb nicht bei jenem berühmten ersten Brief. Auf Russells Seite wurden fotografische Kopien von Freges Briefen aufbewahrt. Deshalb lässt sich der Inhalt des Briefwechsels auch dort rekonstruieren, wo die Überlieferungswege einzelner Originale verwickelt sind.

Freges Nachlass hatte weniger Glück. Er ist uns vor allem durch Abschriften und Kopien erhalten, die ein Historiker der Logik hinterließ. Krieg und Ortswechsel verursachten weitere Verluste. Was heute vorliegt, ist nicht mehr der ursprüngliche Bestand.

Die Ereignisse von 1902 müssen wir also nicht aus Erinnerungen rekonstruieren, die Jahrzehnte später niedergeschrieben wurden. Die entscheidenden Briefe sind Papier aus der Zeit selbst. Deshalb lassen sich Daten und Reihenfolge so bestimmt angeben.

5 Vier Franzosen streiten

1904 bewies Zermelo eine Behauptung, die Cantor seit vielen Jahren vertreten, aber nie hatte beweisen können. Sofort entbrannte ein Streit. Er schlug sogar höhere Wellen als die Paradoxien selbst.

Worum ging es? Die natürlichen Zahlen haben eine sehr einfache Eigenschaft: Nimmt man irgendeine nichtleere Teilmenge von ihnen, so gibt es darin stets eine kleinste Zahl. Eins, zwei, drei und so fort: Wo immer man etwas herausgreift, hat es einen Anfang.

Die reellen Zahlen haben diese Eigenschaft nicht. Unter den positiven reellen Zahlen gibt es keine kleinste. Welche man auch nennt, es gibt immer noch eine kleinere, die ebenfalls größer als null ist.

Cantor behauptete nun: Selbst für etwas wie die reellen Zahlen gibt es eine Anordnung, in der diese Eigenschaft gilt. Jede beliebige nichtleere Teilmenge hat dann ein erstes Element. Er hatte es jahrelang behauptet, ohne den Beweis zu finden.

Zermelo fand ihn 1904. Sein Mittel war ein Gedanke: Aus jeder nichtleeren Sammlung wird je ein Element ausgewählt.

Daraus wurde das sogenannte Auswahlaxiom. Die Einwände dagegen hatten nicht einen einzigen Ursprung. Es gab mehrere, und jeder hatte seine eigenen Gründe.

Der eine Einwand lautete: Zermelo sagt, man solle aus jeder Sammlung etwas auswählen, verrät aber nicht, wie. Der Beweis scheint damit von etwas zu handeln, für das es weder eine Regel noch eine Definition gibt. Andere fürchteten, eine solche gleichzeitige Auswahl in großem Maßstab gehöre gerade zu jenen gefährlichen Operationen, aus denen die Anomalien der Mengenlehre entstanden waren. Poincaré sorgte sich um etwas Drittes: Greift die Definition eines Gegenstands heimlich auf eine Gesamtheit zurück, die diesen Gegenstand selbst schon enthält? Peanos Einwand kam wiederum aus seinem eigenen formalen System: Wenn sich das Prinzip aus den von ihm anerkannten formalen Grundsätzen nicht herleiten ließ, mit welchem Recht sollte es dann als gültiger Schluss gelten?

Gerade die Franzosen muss man einzeln betrachten, weil sie so oft als geschlossene Gruppe dargestellt werden. 1905 erschien der Briefwechsel von vier Mathematikern unter dem Titel Fünf Briefe über die Mengenlehre im Bulletin der französischen mathematischen Gesellschaft. Die vier waren Baire, Borel, Hadamard und Lebesgue.

Borel wandte ein, der Beweis liefere weder ein wirkliches Auswahlverfahren noch die konkrete Anordnung, die daraus hervorgehe. Seine Haltung lässt sich ungefähr so fassen: Etwas als existent zu behaupten und ein ausdrückliches Verfahren anzugeben, das dieses Etwas bestimmt, sind zwei verschiedene Dinge.

Baire stand im Großen und Ganzen auf Borels Seite, wiederholte ihn aber nicht einfach. Vor allem bei unendlich vielen Auswahlakten war er vorsichtig. Er wollte unterscheiden zwischen einer Auswahl, die man mathematisch Schritt für Schritt wirklich in den Griff bekommt, und der bloßen Annahme, alle unendlich vielen Auswahlen seien bereits vollzogen. Ihn zum Gegner jedes Auswahlprinzips zu erklären, ginge zu weit. In früheren Arbeiten dieser französischen Analytiker waren schwächere Formen der Auswahl gelegentlich längst stillschweigend benutzt worden.

Lebesgue stand der Forderung am nächsten, Existenz müsse mit einer Eigenschaft verbunden sein, durch die sich das Existierende irgendwie bestimmen lässt. „Es gibt eine Funktion“ und „man kann wenigstens sagen, welche es ist“ wollte er nicht vollständig voneinander trennen. Seine eigene Arbeit an Maßen und definierbaren Mengen führte damals mitten in diese Fragen hinein. Das war keine nachträglich aufgesetzte Philosophie. Es war sein tägliches Geschäft.

Hadamard stand auf der anderen Seite. Die entscheidende Trennlinie verlief für ihn nicht zwischen endlich, abzählbar oder überabzählbar vielen Auswahlen. Entscheidend war, ob man „existieren“ mit „sich eindeutig und ausdrücklich beschreiben lassen“ verwechselte. Nach seiner Auffassung konnte die Mathematik sehr wohl die Existenz eines Gegenstands beweisen, ohne gleich eine Regel mitzuliefern, nach der man ihn hinschreiben konnte. Im Briefwechsel von 1905 war er der entschiedenste Verteidiger dieses Grundsatzes.

Der Satz „Die französischen Mathematiker lehnten das Auswahlaxiom ab“ ist also falsch. Einer der vier verteidigte das Prinzip. Die anderen drei hatten jeweils eigene Gründe für ihre Einwände, und diese Gründe deckten sich nicht.

Was damals Unbehagen auslöste, war auch nicht bloß ein seltsam klingendes Ergebnis. Zwischen Beweisen und Vorzeigen tat sich eine Lücke auf. Das klarste Beispiel waren die reellen Zahlen: Zermelo konnte beweisen, dass es eine bestimmte Art von Anordnung für sie gab, zeigte aber nirgends, wie eine solche Anordnung aussah. Wer gerade Fragen der Definierbarkeit, der Messbarkeit und der konkreten Funktionen in die moderne Analysis getragen hatte, musste sich an diesem Existenzbegriff stoßen: „Ich beweise, dass es so etwas gibt, sage aber nicht, welches es ist.“

Am Ende von Folge 13 waren wir bei diesem „es gibt“ stehen geblieben. Das Ergebnis von 1874 erlaubte einen Existenzschluss durch einen Größenvergleich von Mengen; zugleich ließ sich mit dem Intervallverfahren des Originalaufsatzes auch eine reelle Zahl konstruieren, die in der Aufzählung fehlte. Der Wohlordnungsbeweis von 1904 trennte die Existenz unmittelbarer von der Forderung, eine konkrete Anordnung vorzuzeigen. In der Alltagssprache hat „es gibt“ nur einen Sinn, weil man das betreffende Ding im Alltag tatsächlich hervorholen kann.

1905 war dieser Unterschied keine beiläufige Überlegung mehr, über die man hinweggehen konnte. Vier Männer trugen ihn in ihren Briefen offen miteinander aus. Und sie stritten über dieselbe Frage: Was berechtigt einen in der Mathematik dazu, zu sagen, dass etwas existiert?

6 Die Regel muss ersetzt werden

1908 veröffentlichte Zermelo ein Axiomensystem. Seine Absicht legte er offen: Die Bildung von Mengen sollte so weit eingeschränkt werden, dass die bekannten Widersprüche ausgeschlossen waren. Zugleich wollte er möglichst viel von dem bewahren, was an Cantors Theorie wertvoll war.

Der entscheidende Schritt bestand nicht darin, eine sichere Definition der Menge zu finden. Er bestand darin, die großzügige alte Regel abzuschaffen.

Nun galt: Man darf nicht mehr behaupten, alle Dinge, die irgendeine Bedingung erfüllen, bildeten von selbst eine Sammlung. Man darf nur aus einer bereits gegebenen Sammlung diejenigen Elemente heraussuchen, die die Bedingung erfüllen, und daraus eine neue Sammlung bilden.

Damit ließen sich Russells wenige Zeilen nicht mehr fortsetzen. Sie brauchten eine große Sammlung, in der alles auf einmal versammelt war, damit man aus ihr „alles, was sich nicht selbst enthält“ auswählen konnte. Eine solche Sammlung stand nun nicht mehr zur Verfügung. Zermelo wies ausdrücklich darauf hin: Aus irgendeiner gegebenen Sammlung die Elemente auszuwählen, die sich nicht selbst angehören, führt zu keinem Widerspruch. Umgekehrt lässt sich damit gerade beweisen, dass es keine Universalmenge geben kann, die alles enthält.

Was er damit noch nicht geleistet hatte, wusste er genau.

1908 formulierte er zurückhaltend: Unter diesen Beschränkungen lassen sich die bekannten Paradoxien nicht erzeugen. Er behauptete nicht, dass in seinem System niemals andere Widersprüche auftreten könnten. Spätere Darstellungen machen daraus oft, Zermelo habe die Widerspruchsfreiheit der Mengenlehre bewiesen. Das trifft nicht zu. Zwischen beidem liegt ein gewaltiger Abstand.

Auch durchgesetzt hat sich sein Entwurf nicht auf einen Schlag. Die Kritik ging weiter. Besonders umstritten blieb, was seine „definiten Eigenschaften“ eigentlich zuließen; dafür hatte er keine hinreichend feste Grenze gezogen. In den 1920er Jahren machten Fraenkel und Skolem unabhängig voneinander darauf aufmerksam, dass das ursprüngliche System zur Bildung von Mengen höherer Stufen nicht ausreichte. Sie brachten damit die Ergänzung um das spätere Ersetzungsprinzip voran. Skolem fasste außerdem die „definiten Eigenschaften“ ausdrücklich mithilfe von Formeln erster Stufe. Fraenkel entwickelte den Gedanken der Ersetzung um 1922. Skolems Arbeit wurde im selben Jahr auf dem skandinavischen Mathematikerkongress in Helsinki vorgetragen und im folgenden Jahr veröffentlicht. Zermelo war mit den Änderungen zunächst nicht vollständig einverstanden. Später nahm er die Ersetzung auf; seine eigene neue Axiomatisierung von 1930 enthielt eine entsprechende Fassung.

Das Axiomensystem, das heute zwei Namen trägt, stand also nicht schon 1908 fertig in einem einzigen Aufsatz. Es entstand in mehr als zwanzig Jahren der Nachbesserung und Präzisierung. Und der Beitrag eines Dritten hat im Namen keinen Platz gefunden.

Russell nahm einen anderen Weg. Sein Buch von 1903 enthielt bereits eine frühe, einfachere Vorstellung von einer Schichtung. Erst der Aufsatz von 1908 brachte die später so genannte verzweigte Typentheorie. Von dort ging sie in die drei Bände der Principia Mathematica ein, die Russell und Whitehead zwischen 1910 und 1913 gemeinsam veröffentlichten.

Das Verfahren sah so aus: Eine Aussage durfte nicht mehr beliebig auf Gegenstände derselben Ebene angewandt werden. Gegenstände bildeten eine Ebene, Eigenschaften von Gegenständen eine weitere, Eigenschaften dieser Eigenschaften wiederum eine andere. Über diese Schichtung legte Russell später noch zusätzliche Beschränkungen nach „Ordnungen“. Die selbstbezügliche Verknüpfung, aus der seine wenigen Zeilen bestanden hatten, ließ sich damit gar nicht mehr zulässig formulieren.

Der Preis war hoch. Um die Zirkelschlüsse abzuwehren, wurde die Hierarchie äußerst verwickelt. Zugleich versperrten ihre Beschränkungen den Weg zu vielen Definitionen, die in der gewöhnlichen Mathematik längst gebräuchlich waren. Um eine hinreichend reichhaltige klassische Mathematik zurückzugewinnen, mussten Russell und Whitehead eine weitere Annahme hinzufügen: das Reduzibilitätsaxiom.

Mit dieser Annahme bekam das ursprüngliche Vorhaben einen Riss. Die Mathematik sollte doch allein aus der Logik hervorgehen. Um die alltägliche Mathematik zu retten, brauchte man nun aber eine starke Zusatzannahme, die kaum wie eine rein logische Wahrheit aussah.

Zwei Wege. Zwei Preise.

Zermelos Preis: Die Mengenlehre war nicht länger etwas so Selbstverständliches wie „Was sich klar beschreiben lässt, bildet eine Sammlung“. Sie wurde zu einem System von Regeln, die man zuerst ausdrücklich festlegen musste. Russells Preis: Um die Mathematik zurückzugewinnen, musste er eine Annahme zulassen, die nicht mehr rein logisch war.

Auch das spätere Schicksal des Auswahlaxioms verdient einen Blick. In den 1930er Jahren wurde es immer häufiger benutzt, besaß aber noch nicht die später übliche Stellung einer stillschweigenden Standardannahme. Damals pflegte man eine gewisse Höflichkeit: Wenn ein Satz das Auswahlaxiom benötigte, sagte man es dazu. Die philosophischen Einwände waren nicht verschwunden. Sie hatten nur einen Platz bekommen, an dem man sie kennzeichnen konnte. Eine sehr praktische Lösung: Man räumte den Streit nicht aus, sondern verlangte, seine Stelle kenntlich zu machen.

Und eines hatten beide Seiten nicht geschafft: zu beweisen, dass in ihrem jeweiligen System kein Widerspruch entstehen konnte.

7 Das Wort Krise

Jetzt können wir auf das Wort zurückkommen. 1921 veröffentlichte Weyl in Band 10 der Mathematischen Zeitschrift einen Aufsatz mit dem ausdrücklichen Titel Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. Das Wort steht im Titel. Einen festeren Beleg kann man kaum verlangen.

Zwei Dinge sind dabei zu beachten. Erstens: Wir sind im Jahr 1921, nicht 1901 oder 1902. Dazwischen liegen fast zwanzig Jahre. Zweitens: Weyl spricht von einer „neuen“ Grundlagenkrise. Der unmittelbare Anlass seines Aufsatzes waren nicht Russells wenige Zeilen, sondern Brouwers Angriff auf die klassische Mathematik und die überlieferten logischen Grundsätze. Diesem Streit gilt die nächste Folge.

Den Titel von 1921 nachträglich über das Jahr 1901 zu kleben und zu behaupten, die mathematische Welt habe Russells Entdeckung sofort als „Krise der Mengenlehre“ bezeichnet, ist deshalb unzuverlässig. Im ersten Jahrzehnt des Jahrhunderts waren andere Wörter im Umlauf: Widerspruch, Antinomie, Paradoxie, Grundlagen.

Wie viele Menschen waren denn nun beteiligt? Eine verlässliche Statistik gibt es nicht. Aussagen nach dem Muster „Damals gab es so und so viele Mathematiker, und so und so viel Prozent beteiligten sich an der Krise der Mengenlehre“ sollte man zurückweisen. Es gibt keine Liste, die solche Zahlen tragen könnte.

Zählen lassen sich diejenigen, die etwas aufgeschrieben haben. Die fünf französischen Briefe von 1905 hatten vier Autoren. Nimmt man die öffentlichen Beiträge über Wohlordnung und Paradoxien zwischen 1904 und 1906 hinzu, also Zermelo, Russell, Jourdain, Bernstein, Hobson, Hardy, Poincaré, Peano, Schoenflies und andere, kommt man rasch auf mehr als ein Dutzend nachweislich schreibender Kernbeteiligter aus Großbritannien, Frankreich, Deutschland und Italien. In den 1920er Jahren wird daraus ein fachliches Netzwerk von einigen Dutzend Personen, wenn man den Streit zwischen Hilbert und Brouwer sowie Weyl, Bernays, Ackermann, von Neumann und Skolem einbezieht.

Ein fachliches Netzwerk von einigen Dutzend Personen ist eine mathematische Gemeinschaft. Es ist nicht die gesamte mathematische Welt.

Der Streit hatte auch eine deutlich erkennbare Landkarte. In Italien begann er bei der Peano-Schule und dem mathematischen Verein von Palermo. In Deutschland war Göttingen das wichtigste Zentrum: Hilbert stand mit Cantor im Briefwechsel, Zermelo arbeitete dort. In Frankreich lief die Auseinandersetzung über die Veröffentlichungen der französischen mathematischen Gesellschaft. In Großbritannien trug Russell das Problem mit seinem Buch von 1903 und im Austausch mit Jourdain, Hardy und anderen in die mathematischen und philosophischen Kreise.

In Jena hingegen stand Frege allein. Russells Brief von 1902 ging nicht an ein etabliertes Forschungsinstitut, sondern an ein ziemlich isoliertes persönliches Unternehmen. Die Maschine, von der Folge 14 handelte, stand Frege nicht zur Seite.

Ein weiteres Datum fällt auf: 1936 wurde die Association for Symbolic Logic gegründet; im selben Jahr erschien erstmals das Journal of Symbolic Logic. Erst jetzt bekam das Fach seine eigene internationale Gesellschaft und seine eigene Spezialzeitschrift. Zuvor lagen seine Beiträge verstreut in allgemeinen mathematischen Zeitschriften, philosophischen Periodika, Mitteilungsblättern mathematischer Gesellschaften, Monografien und privaten Briefen. Das erklärt auch, warum Nachrichten so ungleichmäßig weitergegeben wurden. Die entscheidenden frühen Ergebnisse reisten in Briefen, durch persönliche Kontakte und über einige allgemeine Fachzeitschriften. Eine internationale Gemeinschaft der Logiker, die sie bereits zuverlässig hätte auffangen können, gab es noch nicht.

Was taten währenddessen die Mathematiker außerhalb dieses Kreises? Ein paar große Sätze aufzuzählen reicht nicht als Beweis dafür, dass die mathematische Arbeit insgesamt ununterbrochen weiterlief. Ein allgemeiner Stillstand hätte allerdings Spuren hinterlassen müssen: abgebrochene Forschungsprogramme, eine deutliche Verschiebung der Themen in den Zeitschriften, große Kongresse, die sich auf Grundlagenfragen konzentrierten, gewöhnliche Fachaufsätze, die in erheblicher Zahl ihre Beweismaßstäbe änderten. Solche Spuren lassen sich nicht finden.

Ausgerechnet die Analysis, die dem Zentrum der Explosion am nächsten lag, liefert die stärksten Gegenbelege. Schon auf dem ersten Internationalen Mathematikerkongress 1897 hatten Hadamard und Hurwitz öffentlich den Wert mengentheoretischer Methoden für die Analysis verteidigt. Um 1900 trieben Borel, Baire und Lebesgue die Arbeit an Punktmengen, der Klassifikation von Funktionen, an Maß und Integral voran. Diese Arbeit kam weder 1897 noch 1901 noch 1902 zum Stillstand.

Das ist der Gegensatz, den man sich merken sollte. Dieselben französischen Analytiker, die in ihren Briefen Zermelos Prinzip infrage stellten, betrieben weiter Analysis mit Cantorschen Mengenvorstellungen, und zwar in großem Umfang. Der Streit veränderte, welche Existenzbeweise über das Unendliche sie akzeptierten. Er brachte Lebesgues Integrationstheorie nicht zum Erliegen und hielt Borel nicht davon ab, mit Mengen zu arbeiten.

In den 1930er Jahren hatten sich zwei Ebenen herausgebildet. Die technische hatte sich gefestigt. Präzisiert und verstärkt, war die Mengenlehre in der Topologie, der Theorie der Funktionen reeller Veränderlicher und anderen Gebieten zum alltäglichen Werkzeug geworden. Auf der philosophischen Ebene war keine der Streitfragen vollständig erledigt. Der Streit war in den 1930er Jahren nicht beendet. Er hatte seinen Platz bekommen.

Selbst der Entdecker der Paradoxie war weniger alarmiert, als man meinen könnte. In einem späteren Brief an Jourdain schrieb Russell sinngemäß, erst 1905 habe er sich ernsthaft mit Burali-Fortis Widerspruch befasst. Zuvor war ihm dieser viel komplizierter erschienen als sein eigener. Seiner damaligen Einschätzung nach ließ sich das Problem wahrscheinlich technisch lösen; oder es musste warten, bis sein eigener Widerspruch geklärt war.

Noch ein Wort zu den hübschen Sätzen, die überall wiederkehren. Poincaré soll gesagt haben, spätere Generationen würden die Mengenlehre als eine inzwischen ausgeheilte Krankheit betrachten. Das ist boshaft und gut formuliert, also wird es unablässig zitiert. Nur findet sich keine verlässliche Quelle dafür, dass er es gesagt hat. Ein Buch nach dem anderen zitiert den Satz, und keines nennt die Herkunft.

Solche Sätze taugen für die Bühne. Als Belege taugen sie nicht.

8 Die Grenzen der Krise

Folge 2 befasste sich mit einer anderen Krise gleichen Namens. Dort war schon fraglich, ob sie überhaupt stattgefunden hatte.

Das Problem lag beim Papier. Dass zwei Strecken kein gemeinsames Maß besitzen, stimmt. Dass darüber jemand so erschüttert wurde, dass ihm die Grundlagen wegbrachen, bezeugt kein erhaltenes Blatt aus jener Zeit. Die Geschichte vom Ertrinken tauchte erst viel später auf, die von der allgemeinen Krise noch später. Warum spätere Erzähler diese Anordnung mochten, ist dagegen unschwer zu erkennen: Eine strukturelle Tatsache hat weder einen Helden noch einen Wendepunkt. Man fügt einen Menschen hinzu, und schon hat man einen Helden. Man fügt einen Zusammenbruch hinzu, und schon hat man den Wendepunkt.

Hier lässt sich dieses Urteil nicht kopieren.

Hier gibt es zeitgenössisches Papier, und nicht bloß ein Blatt. Freges Antwortbriefe von 1902 und 1903 und sein Nachtrag stammen von ihm selbst. Die öffentliche Kontroverse der vier Franzosen erschien 1905 im Bulletin ihrer mathematischen Gesellschaft. Poincaré schrieb Aufsätze über die Anomalien. Zermelo hielt 1908 ausdrücklich fest, die Axiomatisierung solle unter anderem die Widersprüche ausschließen. Hadamard sprach im Briefwechsel von 1905 über den Widerspruch einer größten Ordinalzahl. Sinngemäß sagte er: Sollte dieser Widerspruch wirklich grundlegend und unheilbar sein, wäre das eine vernichtende Niederlage des Rationalismus; daneben würden Kants Antinomien geradezu verblassen. Und 1921 setzte Weyl die „neue Grundlagenkrise“ ohne Umschweife in seinen Aufsatztitel.

Nichts davon haben wir im altgriechischen Fall. Man kann deshalb nicht behaupten, beide Krisen seien von späteren Erzählern aus dem Nichts erfunden worden.

In beiden Fällen lauert jedoch dieselbe Falle. Und die gilt es auseinanderzunehmen. Moderne Darstellungen können jeweils auf einzelne Bereiche begrenzte, langwierige und verschiedenartige Veränderungen in dasselbe dramatische Schema pressen: eine Entdeckung, eine Krise, allgemeine Erschütterung, ein neues Fundament.

Diesmal müssen wir drei Schichten auseinanderhalten. Sie gehören verschiedenen Zeiten an, betreffen verschiedene Personenkreise und haben verschiedene Streitgegenstände.

Vom Ende der 1890er Jahre bis 1908 ging es um die Anomalien in Mengenlehre und Logik, um das Auswahlaxiom und um die Frage, wie man axiomatisieren sollte. In den 1910er und 1920er Jahren wurde der Streit umfassender: Logizismus, Intuitionismus und Formalismus rangen darum, was als zulässige Mathematik gelten durfte. Erst in den 1920er Jahren wurde „Krise“ zu einem Wort, das die Beteiligten selbst aussprachen, und zwar in dieser dritten Auseinandersetzung.

Drückt man diese drei Schichten zu einer einzigen zusammen, erhält man die vertraute Geschichte: 1902 kam ein Brief, und seitdem war die mathematische Welt in Panik.

Deshalb lautet das Urteil hier anders als in Folge 2. Und es braucht vier Sätze.

Die Krise war nicht erfunden.

Sie brach auch nicht 1902 über Nacht aus.

Sie traf die wenigen, die der gesamten Mathematik ein Fundament geben wollten, tief, während sie diejenigen, die Tag für Tag Mathematik betrieben, sehr viel weniger berührte.

Später vergrößert wurden vor allem ihr Umfang und ihre Dramatik, nicht die Paradoxien oder der Grundlagenstreit selbst.

Jene sagenhafte Krise hat vielleicht gar nicht stattgefunden. Diese hier schon. Doch sie betraf einen wesentlich kleineren Bereich, als die überlieferte Erzählung nahelegt. Beides mag wie dieselbe Art der Entzauberung aussehen. Es ist nicht dasselbe. Im ersten Fall muss man zunächst fragen, ob die Geschichte überhaupt geschehen ist. Im zweiten zieht man die Grenzen einer wahren Geschichte neu. Das Zweite verlangt einem beim Schreiben mehr ab, weil es dem Leser keinen so befriedigenden Schlussstrich bietet.

Nach all diesem Auseinandernehmen bleibt auch etwas Positives, das wir mitnehmen können. Es ist haltbarer als die vier Sätze eben.

Die eigentliche Leistung jener dreißig Jahre bestand nicht darin, eine Panik zu kurieren. Jemand fand einen Satz, den alle stillschweigend vorausgesetzt hatten, entdeckte, dass er nicht trug, und ersetzte ihn.

Der Satz besagte ungefähr: Ist eine Bedingung nur klar genug formuliert, bilden die Dinge, die sie erfüllen, von selbst eine Sammlung.

So lange wurde er gerade deshalb nicht angezweifelt, weil er wie eine Binsenweisheit klang. Wer prüft schon eine Binsenweisheit? In vielen nichtformalisierten Darstellungen galt er als selbstverständlich. Frege dagegen hatte das verwandte Prinzip der Wertverläufe ausdrücklich als Axiom festgeschrieben und war damit auch eindeutiger auf dessen Folgen festgelegt.

Die Bruchstelle liegt gewöhnlich nicht dort, wo etwas schon auf den ersten Blick verdächtig aussieht. Sie liegt in dem Satz, bei dem noch niemand auf die Idee gekommen ist, ihn zu prüfen.

Das zeigt sich in dieser Reihe nicht zum ersten Mal. Das Postulat aus Folge 3, das kaum wie ein Axiom wirkte, und jenes Etwas aus Folge 9, das zugleich null und nicht null war: Erst als die Last des darüber Errichteten auf ihnen lag, sah man noch einmal genauer hin. Diesmal war entscheidend, dass man sowohl die intuitive Erlaubnis zur Mengenbildung als auch das längst ausdrücklich formulierte Prinzip der Wertverläufe prüfte, ihren jeweiligen Spielraum klärte und die Regeln neu schrieb.

Beide Wege der Reparatur hatte man bis zum Ende verfolgt. Und auf beiden blieb dieselbe Lücke: Niemand hatte bewiesen, dass das eigene System widerspruchsfrei war.

Später wurde diese Lücke ausdrücklich zu einer Aufgabe erklärt. Doch vorher trat jemand auf und sagte etwas anderes: Was ihr da bewahren wollt, sollte gar nicht bewahrt werden.

Die Rechnungen gehen weiter. Was überhaupt als Mathematik zählt, ist noch immer nicht geklärt.

Quellen und weiterführende Lektüre

Die folgenden Materialien belegen historische Einzelheiten und unterschiedliche Deutungen dieses Beitrags. Archivnachweise, antike literarische Überlieferung und moderne Rekonstruktionen sind verschiedene Arten von Belegen.

• Russell-Archiv der McMaster University: Brief an Frege vom 16. Juni 1902
• Baire, Borel, Hadamard und Lebesgue: Fünf Briefe über die Mengenlehre, Originalveröffentlichung
• Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Originalveröffentlichung von 1908
• Weyl: Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Originalveröffentlichung von 1921
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Russells Paradoxie
• Mengenlehre in Frankreich vor der Krise von 1905